Bài tập phần UD hình học của tích phân kép

Nội dung text: Bài tập phần UD hình học của tích phân kép

1. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép Tính diện tích miền D giới hạn bởi 1.x=y2-2y, x+y=0 2.y2=10x+25, y2=-6x+9 3.y=lnx, x=y+1, y=-1 4.y=4x-x2, y=2x2-5x 5.y2=4-4x, x2+y2=4 (phía ngoài parabol) Giải: Nhắc lại công thức S() D= òò dxdy D
2. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 1. Ta tìm cận tích phân theo dy bằng cách khử x từ 2 phương trình 2 mặt x=y2-2y=-y (1) ↔ y2-y=0 ↔ y=0, y=1 Từ đó suy ra 0≤y≤1, ta lấy ngược lại phương trình 1 để được tiếp cận đối với tích phân theo dx y2-2y ≤x ≤ -y 1 - y 1 1 Vậy : S( D 1) = òò dy dx =ò ()y - y2 dy = 2 6 0 yy- 2 0
3. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 2. Khử x từ 2 phương trình đã cho 11 (y22- 25) = (9 - y ) (1) Û y = ± 15 10 6 Suy ra cận tích phân theo dy, tương tự như trên, ta thay vào phương trình (1) để có cận tích phân theo dx Vậy : 1 (9- y 2 ) 156 15 1 16 15 S( D 2)=ò dy ò dx = ò (120 - 8 y2 ) dy = 1 30 3 15(y 2- 25) 15 10
4. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 3. Ta sẽ vẽ miền D3 để xác định cận tích phân 0 ey 1 S() D= dy dx 3 òò -+11y -1 11 SD()=- 3 2 e 4. Tìm giao điểm 2 đường giới hạn D 4x-x2=2x2-5x ↔ 0=3x2-9x ↔ x=0, x=3 Suy ra : 0≤x ≤3 ↔ 0 ≤3x2-9x ↔ 4x-x2 ≤2x2-5x 3 2xx2- 5 S() D= dx dy 4 òò =27/2 0 4xx- 2
5. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 5. Tìm giao điểm của 2 đường đã cho 4-4x=4-x2 ↔ x2-4x=0 ↔ x=0, x=4 (Loại vì y2=4-4x<0) Ta vẽ hình để có cận tích phân theo dx 2 4- y 2 2 S() D= dy dx 5 òò - 2 2 1- y 4 1 8 SD( )=- 2p 5 3 -2
6. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép Bài 1: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi 2 mặt 2 2 2 2 2 2 1.V1: x +y +z =2, z =x +y , z≥0 2 2 2 2 2 2.V2: x +y +z =4, x +y =2x, phần trong hình trụ 2 2 2 2 3.V3: x +y =1, x +z =1 2 2 2 2 2 3a. V3a: y +z -x =0, x=6-y -z Ta sẽ tìm hình chiếu của vật thể xuống mặt phẳng z=0 (x=0, y=0) bằng cách khử z ( khử x, khử y) từ 2 phương trình 2 mặt tạo nên vật thể
7. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 1. z2 = 2-x2-y2=x2+y2 ↔ 1= x2+y2 Như vậy, hình chiếu của V1 xuống mp z=0 là hình tròn x2+y2 ≤1 ↔ x2+y2 ≤2-x2-y2. (Làm ngược lại với pt trên) Tức là ta cũng xác định được mặt nằm trên, nằm dưới trong miền V1. Vậy : V=[(2 - x2 - y 2 ) - ( x 2 + y 2 )] dxdy 1 òò xy22+£1 Vì miền lấy tích phân là hình tròn có tâm là gốc tọa độ nên ta sẽ đổi biến tp trên sang tọa độ cực bằng cách đặt x=rcosφ, y=rsinφ 1 21p p V= djp r(2 - 2 r2 ) dr = 2 ( r 2 -3 r 4 ) = 1 òò 4 2 00 0
8. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 1 0≤φ≤2π 0≤r ≤1
9. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 2. Trong 2 mặt đã cho có 1 mặt trụ kín nên hình chiếu chính là hình tròn x2+y2≤2x 2 mặt còn lại là nửa dương và nửa âm của mặt cầu. Vì cả 2 mặt đã cho đều nhận z=0 là mặt đối xứng nên ta sẽ tính thể tích nửa phía trên và nhân đôi V=24 - x22 - y dxdy 2 òò x22+£ y2 x Miền lấy tp là hình tròn đi qua gốc tọa độ nên ta đổi biến bằng cách đặt x=rcosφ, y=rsinφ p 2 2cosj V=-24 dj r r2 dr 2 òò - p 0 2
10. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 2 -π/2≤φ≤π/2 0 ≤r ≤2cos φ
11. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 3. Vật thể giới hạn bởi 2 hình trụ kín nên ta có thể chọn 1 trong 2 hình trụ đó để chiếu xuống mặt z=0 hoặc y=0. Chẳng hạn, ta chọn chiếu xuống mặt z=0 để hình chiếu là hình tròn D: x2+y2≤1 Cả 2 hình trụ tạo nên V3 đều nhận cả 3 mặt tọa độ là các mặt đối xứng nên ta sẽ chỉ tính thể tích V3 phần ứng với x, y, z ≥ 0 rồi nhân với 8 Khi đó, hình chiếu chỉ còn là ¼ hình tròn với x, y ≥ 0 và giới hạn bởi 01£zx £ - 2 p 4 1 V=-81 x2 dxdy 22 3 òò =-8òòdjj r 1 r cos dr x22+ y £1, x ³ 0, y ³ 0 00
12. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép p 4 1 - 1 3 V=-8 djj ( (1 r 22 cos ) 2 3 ò 3cos2 j 0 0 p 4 - 1 3 Vd=8jj ( ((1 - cos2 )2 - 1) 3 ò 3cos2 j 0 p 4 - 1 Vd=-8jj ( (sin3 1)) 3 ò 3cos2 j 0 Ghi chú: Hình vẽ cho 1/8 thể tích đã có trong bài giảng lý thuyết
13. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 3a. Ta sẽ khử x từ 2 phương trình 2 mặt để tìm hình chiếu của vật thể xuống mặt phẳng Oyz 22 (6−−y2 z 2) =+ − y 2 z 2 36 12( y 2 +++ z 2 ) ( y 2 z 2) =+ y 2 z 2 22 2 yz+=4(1) y2 + z 2 −13 y 2 + z 2 + 36 = 0(*) ( ) ( ) 22 yz+=9(2) Do điều kiện x ≥ 0 nên ta loại trường hợp (2), như vậy hình chiếu cần tìm là hình tròn D : y2+z2≤4 Tức là ta đang lấy ngoài khoảng 2 nghiệm của tam thức (*) nên ta có bất đẳng thức tương ứng 2 y2+ z 2 4 ( y 2 + z 2) − 13( y 2 + z 2 ) + 36 0
14. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 2 y2+ z 2 4 ( y 2 + z 2) − 13( y 2 + z 2 ) + 36 0 2 36− 12(y2 + z 2 ) +( y 2 + z 2) y 2 + z 2 2 (6 −y2 − z 2) y 2 + z 2 6 −y2 − z 2 y 2 + z 2 6−−yz22 Vậy: V= dydz dx 22 yz+ 4 yz22+ 2 2 2 2 = ((6 −y − z ) − y + z) dydz D 22 z=rcosφ 2 d r(6 −− r r) dr y=rsinφ 00
15. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép
16. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép Bài 2: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt 2 2 2 4. V4: 2z=y , x +y =4,z=0 2 2 5. V5: x +y =4x, z=x, z=3x 2 6. V6: x =y,z=0,z=4-y 2 2 7. V7: x=y , x=4y , x+z=4, z=0, y≥0 2 8. V8: y=1+x , z=3x, y=5, z=0 2 2 9. V9: z=4-y , z=y +2, x=-1, x=2 2 2 2 2 2 10. V10: z=x +y , z=2x +2y , y=x, y=x 2 2 11. V11: x +z =4, y=0, y=x, z=0, z≥0 2 2 2 2 12. V12: y=x, y=2x, x=1, z=x +y , z=2x +y
17. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 4. Trong 3 mặt đã cho có 1 hình trụ kín là x2+y2=4 nên ta được hình chiếu là hình tròn D: x2+y2≤4 1 2 Với 2 mặt còn lại, hiển nhiên 0 ≤ /2y nên ta được 22p 22 1 2 r sin j 8p V4 =-( y 0) dxdy = dj r dr = òò 2 òò 2 3 D 00
18. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 5. Trong 3 mặt đã cho có 1 hình trụ kín nên hình chiếu xuống mp z=0 là D: x2+y2≤4x, tức là x≥0 trong miền D Từ đó suy ra 3x≥x p 2 4cosj V=-(3 x x ) dxdy 5 òò = òòdjj r.2 r cos dr =16π D - p 0 2
19. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 6. Trong 3 mặt đã cho có 1 hình trụ nhưng là trụ không kín, hình chiếu của nó xuống mp z=0 chỉ là đường parabol – đường cong không kín : y=x2. Do đó, phần còn hở của parabol phải được “đậy kín” bởi giao tuyến của 2 mặt còn lại là z=y-4=0, để hình chiếu của vật thể là D: y=x2, y=4, suy ra y≤4 trong D Còn lại 2 mặt, ta có y≤4 ↔ 0≤y-4 24 128 V=(( y - 4) - 0) dxdy=-dx( y 4) dy = 6 òò òò 5 D - 2 x2
20. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép
21. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 7. Trong 4 mặt đã cho có 2 mặt trụ cùng song song với Oz, có hình chiếu xuống mp z=0 là phần mp không kín x=y2, x=4y2 Do đó, phần hở giữa 2 parabol phải được “đậy kín” bởi giao tuyến của 2 mặt còn lại là z=4-x=0, để hình chiếu của vật thể là D: x=y2, x=4y2, x=4, suy ra x≤4 trong D Còn lại 2 mặt, ta có x≤4 ↔ 0≤4-x 4 x 64 V=-(4 x ) dxdy =-(4x ) dx dy = 7 òò òò15 D 0 x 2
22. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép
23. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 8. Trong 4 mặt đã cho, có 1 mặt trụ và 1 mp cùng song song với trục Oz là y=x2+1 và y=5, hình chiếu của 2 mặt này xuống mp z=0 cho miền D: y=x2+1, y=5 Miền D có 2 phần: bên trái ứng với x≤0 và bên phải ứng với x≥0 nên tương ứng khối V8 chia thành 2 phần với mp z=0 lúc nằm trên, lúc nằm dưới mp z=3x V=3 xdxdy + ( - 3 x ) dxdy 8 òò òò D, x³< 0 D , x 0 2 5 0 5 V= dx3 xdy + dx ( - 3 x ) dy 8 ò ò ò ò 0211++xx22- 2 V=-2 (4 x2 )3 xdx 8 ò =24 0
24. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép
25. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 9. Trong 4 mặt đã cho có 2 mặt trụ parabol cùng song song với trục Ox cho ta hình chiếu xuống mp x=0 là miền D: z=4-y2, z=2+y2 1 4- y 2 V=(2 - ( - 1)) dydz 9 òò = òòdy3 dz =8 D - 1 2+ y 2
26. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 10. Trong 4 mặt đã cho có 2 mặt trụ parabol cùng song song với trục Oz cho ta hình chiếu xuống mp z=0 là miền D: y=x, y=x2 V=((2 x2 - 2 y 2 ) - ( x 2 - y 2 )) dxdy 10 òò D 1 x V=+ dx() x22 y dy 10 òò 0 x2 1 = 70
27. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 11. Ta chọn nửa hình trụ x2+z2=4, z=0, z≥0 song song với trục Oy, tức là hình chiếu là D: 0≤z, x2+z2≤4 Vật thể V11 lại chia thành 2 phần: phần ứng với x≥0 thì mp y=x nằm trên, phần ứng với x<0 thì mp y=x nằm dưới so với mp y=0 V= xdxdz +() - x dxdy 11 òò òò D, x³< 0 D , x 0 p 2 22p 16 V= drrj. cos j dr + drr j ( - cos j ) dr = 11 ò ò ò ò 3 0 0p 0 2
28. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép
29. Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 12. Trong 5 mặt đã cho, có 3 mặt phẳng cùng song song với trục Oz, hình chiếu của chúng xuống mp z=0 là tam giác D: y=x, y=2x, x=1 12x V=((2 x2 + y 2 ) - ( x 2 + y 2 )) dxdy 2 12 òò = òòdx x dy D 0 x