›
›

Giải bài tập toán cao cấp A1

pdf 68 trang hapham 2080
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giải bài tập toán cao cấp A1", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfgiai_bai_tap_toan_cao_cap_a1.pdf

Nội dung text: Giải bài tập toán cao cấp A1

  1. ĐẠI HỌC NÔNG LÂM KHOA KHOA HỌC   GIẢI BÀI TẬP TTOOÁÁNN CCAAOO CCẤẤPP AA11 deathhappiness Life time birth time BIÊN SOẠN: BBT ĐỀ THI NÔNG LÂM - LƯU HÀNH NỘI BỘ 2015 -
  2. Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục Câu 6. Tính các giới hạn sau n n 3 3 4. 4. 4n 1 3n 4.4n 3n 4.4n 3n 4n 4 4 6 a). 4 lim 2n n 1 lim n lim n lim n n lim n x 2 3 x 3 x 3 x 4 3 x 3 4n 4n 1 1 n n 3 3 3.4 3.4 2n 1 3 n4 n2 1 2n 1 3 n4 n2 1 6b). lim n 2 n 1 lim n 2 lim n 1 x x x 1 1 1 3 n 2 n n 2 3 n n n 1 1 2 3 n 2 0 2 lim lim lim 2 3 x 2 x 1 x n n n 1 n 1 n n 6 c). lim n3 n3 1 n3 1 1 x  g : A B Ta có: A B , A B Áp dụng vào ta có: 2 2 n3 n3 1 n3 1 n3 1 lim lim 3 3 lim x x n 1 n 1 x 1 1 1 1 n3 n3 n 1 2 n 2 1 n n 1 n 2 1 6 d). n 0 lim 2 lim 2 lim x 2n n 1 x n 1 1 x 2 2 n n 2 Có thể giải bằng tiêu chuẩn 2 (Định lý Weierstrass) n 1 sin n2 6 e). 0 lim n2 2 x  g : Giới hạn đã cho có dạng: , Áp dụng Quy tắc L’Hospital ta có: n 1 sin n2 L n 1 sin n2 sin n 2 2n.cos n2 n 1   lim 2 lim lim n 2 2 2n x x n 2 x L 2n.cos n2 2cos n2 n 1 4n2 sin n2  lim 2 x ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 1 -
  3. Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục 6 f ). lim n 2 1 0 Do lim n 2 1 Vì lim n a 1 x x x 6 g). lim n n 1 x  g : Cách 1: Mượn bàn tay của “LỐC” 1 n 0 Đặt A lim n 1 lim n 1 n x x Lấy Lô-ga Nepe 2 vế ta có: 1 1 ln n 1 ln(A) ln n 1 n ln n 1 L lim lim n lim n x x x 1 ln n 1 n 1 1 lim lim lim 0 , x n x 1 x n 1 Vậy ln( A) 0 A 1 Cách 2: Với mọi giá trị: n 1ta có: n n n n 1 n 2n Mà lim n n 1 x Trang 20 Giáo Trình Toán CC A1 ĐHNL Mặc khác ta có: Mà lim n 2n lim n 2 .lim n n 1 Do lim n 2 1;Và lim n n 1 x x x x x Vậy ta có Mà lim n n 1 1 x 1 1 1 1 1 6 h). lim 1.3 3.5 5.7 2n 1) 2n 1 2 x  g : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 lim lim 1 x 1.3 3.5 5.7 2n 1) 2n 1 3 3 5 2n 1 2n 1 2 x 1 1 1 1 lim 2n 1 2 2 x 6i). lim n 3 1 n3 0 x  g : A3 B3 Ta có Công thức liên hợp (hiệp): A B , Ta có: A2 AB B 2 3 3 3 3 n 1 n n 1 n 0 lim lim 2 x x 2 3 3 3 3 n n 1 n 1 n ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 2 -
  4. Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục 1 1 1 6 j). 1 lim 2 2 2 x n 1 n 2 n n  g : 1 1 1 lim 2 2 2 x  n  1 n 2n n 1 1 1 Với n 1, Ta có: Cho nên: n2 1 n2 2 n2 n 1 1 n n n2 n n2 1 1 1 1 1 1 Mà 1 nên 1 lim 2 lim 2 lim 2 2 2 x n n x n 1 x n 1 n 2 n n Câu 8. Tính các giới hạn sau 3n 8 a). 0 lim n! x  g : Do: n!Là Vô cùng lớn (VCL) Bậc cao hơn so với 3n khi n n3 8b). 0 lim n x 3  g : Cách 1: Do: 3n Là Vô cùng lớn (VCL) Bậc cao hơn so với n3 khi n Cách 2: Giới hạn đã cho có dạng , Dùng quy tắc L’Hospital ta có: n3 L' 3n2 L' 6n L' 6 6 0 lim lim n lim n lim n 2 lim n 3 n 1.3 .ln 3 1.3 .ln 3 .ln 3 1.3 .ln 3 .ln 3 3 .ln 3 x 3 x x   x   x 2n 8 c). lim 0 x n!  g : Do: Là Vô cùng lớn (VCL) Bậc cao hơn so với 2n khi Câu 11. Tính các giới hạn sau x 2 1 22 1 3 11 a). 1 lim x 2 2x 3 22 2.2 3 3 x 2 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 3 -
  5. Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục Do thế vào không có dạng vô định x 2 2 x 2 2 1 1 11b). lim x 4 x 2 2 lim x 2 1 x 2 2 lim x 2 1 3 x 2 x 2 x 2  g :  g cách 1: (Dùng ’Hosp tal) x 2 2 L' x 2 2 2x 1 1 lim 4 2 lim lim 3 lim 2 x x 2 4 2 4x 2x 2x 1 3 x 2 x 2 x x 2 x 2 x 2  g cách 2: (Phân tích thừa số khử) Ta thấy x 2 là nghiệm của tử và mẫu, vậy ta có: x 2 2 x 2 2 1 1 lim x 4 x 2 2 lim x 2 1 x 2 2 lim x 2 1 3 x 2 x 2 x 2 Do có dạng vô đinh nên phải tiến hành biến đổi rồi khi hết dạng ta mới thế giá trị vào 3 x 6 2 11 c). lim x3 8 x 2  g :  g cách 1: 3 x 6 2 x 2 lim 3 lim 2 x 2 x 8 x 2 x 2 x 2 2x 4 3 x 6 23 x 6 4 1 1 lim 2 x 2 x 2 2x 4 3 x 6 23 x 6 4 144  g cách 2: (Dùng ’Hosp tal) 3 x 6 2 0 có dạng vô định vậy có thể dùng được Nhận thấy lim 3 ’Hosp tal x 2 x 8 0 1 2 3 x 6 2 L 3 x 6 2 3.3 x 6 1/12 1 lim 3 lim lim 2 x 8 3 3x 12 144 x 2 x 2 x 8 x 2 1/ 3 1 1/ 3 1 Với 3 x 6  x 6  . x 6 . x 6 3 Công thức tổng quát: u . u 1.u 3 8 3x 2 0 11 d). L lim 4 0 x 0 16 5x 2 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 4 -
  6. Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục 1 1/ 3 . 8 3x 1/ 3 1.3 8 3x 2 / 3 3 8 3x 2 lim 1/ 4 1 lim 3/ 4 lim 1 x 0 1/ 4 16 5x .5 x 0 5/ 4 16 5x x 0 5/ 4 . 4 16 5x 3 4 4 16 5x 3 4 4 163 8 . . lim 2 lim 3 2 x 0 5 3 8 3x x 0 5 8 5 Câu 12. Tính các giới hạn sau sin ax sin bx 12 a). , a b lim tan x x 0  g cách 1: (Dùng ’Hosp tal) sin ax sin bx L cos ax .a cosbx .b a b lim tan x lim 1 x 0 x 0 cos 2 x  g cách 2a: dùng tương đương ax bx ax bx 2.cos .sin sin ax sin bx 2 2 lim lim x 0 tan x x 0 tan x ax bx ax bx Do lim tan x ~ x và lim sin ~ x 0 x 0 2 2 Trở thành ax bx ax bx ax bx ax bx ax bx 2.cos .sin 2. .cos x a b cos 2 2 2 2 2 lim tan x lim x lim x x 0 x 0 x 0 ax bx ax bx lim a b .cos a b Vì lim cos 1 x 0 2 x 0 2  g cách 2b: dùng tương đương Ta có : sinu ~ u khi u 0 ; tan x ~ x khi x 0 , Vậy giới hạn đã cho trở thành sin ax sinbx ~ ax bx lim lim lim a b a b x 0 tan x x 0 x x 0 x 2 x tan x sin x tan x 1 cos x 1 12b). 2 lim x3 lim x3 lim x3 2 x 0 x 0 x 0 x 2 Do tan x ~ x và 1 cos x ~ 2 x 12 c). 1 x tan lim 2 x 1  g cách 1: Đặt ẩn phụ Đ ặt t x 1 Khi x 1 thì t 0 Khi đó trở thành ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 5 -
  7. Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục cos t 2 lim t tan t 1 lim t cot t lim t cot t lim t t 0 2 t 0 2 t 0 2 t 0 sin t 2 Do sin t ~ t Khi t 0 2 2 cos t cos t cos t 2 2 2 cos 0 2 t t lim lim lim t 0 t 0 t t 0 t sin t 2 2 2 2 x 2 Vậy 1 x tan lim 2 x 1  g cách 2: (Biến đổ + Dùng ’Hosp tal) x 1 x tan 0. VĐ lim 2 x 1 1 lim 1 x . 0. VĐ x 1 x cot 2 1 x lim 0 x 1 VĐ L'Hospital x 0 cot 2 L 1 2 lim 1 x 1 x sin 2 . 2 2 1 1 cos x cos3x .cos3x 1 cos x.cos 2x.cos3x 12 d). 2 lim x 2 lim x 2 x 0 x 0 1 1 1 1 1 1 1 cos 2x cos 4x 1 cos 6x 1 cos 2x 1 cos 4x 1 cos 6x 4 4 4 4 4 4 lim 2 lim 2 x 0 x x 0 x 1 9 2 7 2 7 Câu 13. Tính các giới hạn sau 2x 3 x 1 13 a). lim x 2 x  g : ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 6 -
  8. Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục Cách 1: Mượn bàn tay của “LỐC” 2x 3 x 1 Đặt A 1 lim x 2 x Lấy Lô-ga Nepe 2 vế ta có: 2x 3 x 1 x 1 ln(A) ln 2x 3 ln lim x 2 lim x 2 x x 1 Đặt t ; Khi x ,t 0 x Vậy ta có giới hạn đã cho tương đương với 1 1 t 1 x 1 2 t 2 3t t lim 2x 3 ln lim 3 ln lim ln x x 2 t 0 t 1 t 0 t 1 2t 2 t t 2 3t 1 t 2 3t 1 t 2 3t 1 t lim ln lim ln 1 1 lim 1 t 0 t 1 2t t 0 t 1 2t t 0 t 1 2t 2 3t 3t 6t 9t 2 0 L'Hospital lim lim 2 t 0 t 1 2t t 0 t 2t 0 L' 6 18t 6 lim 1 4t t 0 Vậy ln( A) 6 A e6 Cách 2: Giải nhanh từ Công thức suy ra cách 1 như sau: x lim x  f x 1 limf x  e x a e A x a Vậy áp dụng CT ta có: x 1 6x 9 2x 3 2x 3 1 x 1 lim x 2 lim x 2 lim e x e x e6 x x 2 x x 2 x 1 13b). lim x 2 1 x  g : Áp dụng công thức như trên ta có: 2 2 x x x 1 x 2 1 x x 1 lim x x2 1 lim x2 1 e x e x e lim x2 1 x ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 7 -
  9. Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục 2 13 c). lim cos 2x 1/ x x 0  g : Áp dụng công thức như câu trên ta có: 1 1 2sin2 x 1 2sin2 x cos2x 1 2 lim 2 lim 2 lim 2 1/ x x 0 x x 0 x x 0 x lim cos 2x e e e x 0 sin2 x 2 lim 2 x 0 x 2 e e Do Khi x 0 sin x ~ x ln cos x ln 1 cos x 1 cos x 1 x 2 1 1 13 d). lim x 2 lim x 2 lim x 2 lim 2x 2 lim 2 2 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 2 Do Khi x 0 ln 1 cos x 1 ~ cos x 1;Và cos x 1 ~ 2 eax ebx 13 e). ,a,b 0 và a b lim x x 0  g : ax bx e e eax 1 1 ebx lim lim x x x 0 x x 0 Ta có: eax 1 eax 1 1 ebx 1 ebx a a và b b lim x lim ax lim x lim bx x 0 x 0 x 0 x 0 eax ebx Vậy lim a b x 0 x 1 sin x cosx 1 sin x cosx 1 lim x lim x x f ). lim sin x cos x 1/ x e x 0 e x 0 x 0 Mà ta có: x2 x2 sin2 sin2 sin x cosx 1 1 Và 2 . x 0 Do 2 . 1 Và x 0 lim 2 2 x 0 x lim x lim x lim x lim x 0 x 0 x 0 x 0 2 2 1/ x Vậy lim sin x cos x e x 0 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 8 -
  10. Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục sin x sin x x sin x 13 g). lim x x 0  g : sin x 1 x Xét , Do 1 0 lim x sin x lim x sin x x 0 x 0 1 sin x Giới hạn đã cho có dạng vô định: 1 , Ta có: sin x sin x x sin x x x 1 sin x x sin x lim x x sin x lim x x sin x 1 e x 0 e x 0 e 1 lim x 0 x e Câu 14. Tính các giới hạn sau x 2 2x 3 14 a). lim 2 x 1 x 1  g cách 1: Xét dấu Ta thực hiện xét dấu để “Phá dấu trị tuyệt đối” X -3 1 x2 +2x - 3 + 0 - 0 + Nhận xét: 1- giá trị của hàm số “âm” nên ta có: 2 x 2x 3 x 2 2x 3 x 1 x 3 x 3 2 lim 2 lim 2 lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1  g cách 2: Biến đổi x 2 2x 3 x 1 x 3 x 1 . x 3 lim 2 lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Do x 1 nên x 1 âm x 1 . x 3 x 3 4 lim lim 2 x 1 x 1 x 1 x 1 2 x 1 x 1 14b). arctan x lim 2 x Dựa vào đồ thị của hàm arctanx ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 9 -
  11. Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục tan x 4 14 c). lim 4x x 4  g cách 1: Dùng định lý kẹp Chú ý: x Có nghĩa là x và x . Cho nên khi x thì x 0 4 4 4 4 4 Vậy ta có: tan x tan x . Khi đó giới hạn đã cho trở thành: 4 4 tan x tan x tan x 4 1 4 1 4 lim lim ; Do 1 4x 4 4 x x x x 4 4 4 4  g cách 2: (Dùng ’Hosp tal) tan x 4 0 lim VĐ L'Hospital 4x 0 x 4  g cách 3: (Đặt ẩn phụ + tương đương) t x khi x t 0 ( ngầm hiểu: là ) 4 4 tan x 4 tant 0 lim lim VĐ 4x 4t 0 x x 4 4 ~ t ~ t lim lim Do t 0 4t 4t x x 4 4 1 4 Câu 15. Tính các giới hạn sau 3 x 1 15 a). lim x x 0  g cách 1: 3 x 1 0 lim ,VĐ x 0 x 0 1 3 x.ln 3 . L 2 x 1 3 x 1 1 1 .ln 3 . .ln 3 . .ln 3 . lim lim 1 2 2 0 2 x 0 x 0 2 x  g cách 2: ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 10 -
  12. Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục x 3 x 1 e3 1 e x ln 3 1 ln 3 e x ln 3 1 ln 3 . lim lim lim Do 1, x x x 0 x 0 x 0 x ln 3 x x ln 3 x e 1 Công thức: lim 1, ở bài này x ln 3 0 2 x cos x o 15b). ,VĐ L'Hospital lim x 0 x 0  g : Bài này có 2 cách gi như sau:  g cách 1: Sử dụng ’Hosp tal L 2 x.ln 2 sin x ln 2 1  g cách 2: Dùng tương đương 2 x cos x 2 x cos x 1 1 2 x 1 1 cos x lim x lim x lim x x 0 x 0 x 0 x 2 xln 2 ~ x lim 2 lim ln 2 ln 2 x 0 x x 0 2 ax 2 Chú ý công thức: ax -1 ~ x.lna ; 1 – cosax ~ 2 x arcsin 2 1 x 0 15 c). ,VĐ lim ln 1 x 0 x 0  g : Bài này có 2 cách gi như sau:  g cách 2: Dùng tương đương x x arcsin 2 1 x ~ 1 x 2 1 1 lim ln 1 x lim x lim 2 x 0 x 0 x 0 1 x  g cách 3: Sử dụng ’Hosp tal 2 2x 2 x 1. 1 x 1 x 2 2 2 1 x x 2 1 x 1 x L 2 2 1 x 2 . 1 x 2 1 x 1 x lim 1 lim 1 lim 1 x 0 x 0 x 0 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 2 x 1. Cách này rất lâu và dễ sai xót. Vậy nên tùy bài toán mà ta nên lựa lim 2 2 x 0 1 x . 1 x chọn phương pháp phù hợp. ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 11 -
  13. Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục arctan x 2 0 15 d). lim ,VĐ x 0 x 0 arcsin .sin 2x 2  g cách 1: Dùng ’Hosp tal “Dà ” nên hạn chế gi i  g cách 2: Dùng tương đương arctan x 2 ~ x 2 x 2 x 2 1 lim lim lim 2 lim 2 x 0 x x 0 x x 0 2x x 0 x arcsin .sin 2x .2x 2 2 2 1 cos 2x 0 15 e). ,VĐ lim 2sin 2 x 2x.tan3x 0 x 0  g cách 1: Dùng tương đương 2x 2 ~ 2x 2 2x 2 1 2 lim 2x 2 2x.3x lim 2x 2 6x 2 lim 8x 2 4 x 0 x 0 x 0  g cách 2: Sử dụng ’Hosp tal (Cách này lâu ) 1 x 0 15 f ). ,VĐ L'Hospital lim lg x 0 x 1 L 1 ln10 lim 1 x 1 x.ln10 1 Chú ý công thức: log x a x.ln a arcsin 2x 1 0 15 g). ,VĐ lim 2 1 4x 1 0 x 2  g : Đặt ẩn phụ + Dùng tương đương Đặt t 2x 1 Khi x 1/ 2,t 0; 4x2 1 2x 2 1 2x 1 2x 1 2x 1 1 2x 1 t 1 .t Vậy ta có: arcsin 2x 1 arcsin t ~ t 1 1 lim 2 lim lim lim 1 4x 1 t 0 t 1 .t t 0 t 1 .t t 0 t 1 x 2 1 1 x 1 1 1 1 15 h). .ln ln 1 x ln 1 x ln 1 x ln 1 x lim x 1 x lim x lim x 2 2 x 0 x 0 x 0 ln 1 x ln 1 x x x 2x lim lim lim 1 x 0 2x x 0 2x x 0 2x ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 12 -
  14. Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục 1 15 j). lim sin x cos x 2 x 1 VĐ x 0  g : 1 Đặt A lim sin x cos x 2 x 1 VĐ x 0 Lấy Lô-ga Nepe 2 vế ta có: 1 1 ln sin x cos x 2 0 ln(A) ln lim sin x cos x 2 x lim ln sin x cos x 2 lim L x 0 x x x 0 x 0 Đến đây có 2 cách g i: Cách 1: Dùng Quy tắc L’Hospital (Sẽ ra nhưng lâu) cos x sin x ln sin x cos x 2 L' sin x cos x 2 cos x sin x cos x 1 1 sin x lim lim lim lim x 0 x x 0 1 x 0 sin x cos x 2 x 0 sin x 1 cos x 1 x 2 1 x 2 1 lim x 2 x 0 x 1 2 Vậy ln( A) 1 A e Cách 2: Dùng tương đương x 2 x ln sin x cos x 2 sin x cos x 1 x 2 1 1 lim x lim x lim x lim 2 x 0 x 0 x 0 x 0 Vậy ln( A) 1 A e 1 15 k). lim x e x x 0 VĐ x  g a. Các kiến thức cần nhớ 1 1 Nhớ e 0 Dạng đặc trưng : limu x v x lũy th ừa cơ số hàm : b. Trình tự cách gi i: * B1: Đặt A limu x v x , Tìm A  * B2: Lấy Loga Nepe 2 vế (Nhớ câu “thần chú”: “lốc của lim = lim của lốc” )  ln A ln limu x v x lim lnu x v x lim v x .lnu x  b ( Chú ý trong dấu “ .” Tức là biến đổi 1 thời gian để đưa về “=b” ) Vậy ln A b A eb ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 13 -
  15. Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục c. Áp dụng gi i bài tập k). : 1 * Đặt A lim x e x x , Tìm A x * Lấy lô-ga Nepe 2 vế: 1 ln A ln lim x e x x x 1 ln x e x 0. VĐ lim x x ln x e x 0 VĐ L'Hospital lim x 0 x 1 . x e x L x e x 1 e x VĐ L'Hospital lim 1 lim x e x x x L e x VĐ L'Hospital lim 1 e x x L e x 1 lim e x x * Vậy ln A 1 A e1 e 1 15 z*). cot x VĐ lim x x 0  g Mẹo gặp dạng vô định “ ” thường “QUY ĐỒNG” sau đó dung “ ’Hosp tal” 1 cos x 1 x.cos x sin x 0 cot x VĐ L'Hospital lim x lim sin x x lim x.sin x 0 x 0 x 0 x 0 L x.cos x sin x 1.cos x xsin x cos x xsin x 0 VĐ lim lim 1.sin x x.cos x lim sin x x.cos x 0 x 0 x.sin x x 0 x 0 Tới đây có 2 cách để giải: Dùng L’hospital, Hoặc tương đương (VCB tương đương), Để đa dạng phương pháp tôi dung cách tương đương. ~ x.x x 0 0 lim x x.cos x lim 1 .cos x 1 1 x 0 x 0 Câu 16. Xét sự liên tục của các hàm số sau tại điểm x0=0 sin x Khi x 0 16a). f x x 1 Khi x 0  g 1: Hàm số lien tục tại điểm x0=0 nếu lim f x f 0 , Mà lim f x không tồn tại, thật vậy: x 0 x 0 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 14 -
  16. Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục sin x lim f x lim 1 x f x x 0 x 0 sin x lim f x lim 1 x 0 x 0 x Do đó f(x) không tồn tại tại x0 = 0  g 2: ưu ý: Nếu đề cho (x ≠ 0, x = 0 :Thì dùng định nghĩa ), ( Nếu cho x ≥ , x ≤ :Thì dùng trái phải )  g chi tiết: Kiểm tra: i). Hàm số f(x) xác định tại x0 vì f(0) = 1, Xác định sin x 0 ii xét lim f x lim VĐ, x 0 x 0 x 0 Ta _ thay lim f x f (0) x 0 x 0 Ta _ thay lim f x f (0) x 0 x 0 Nhận thấy: Hàm số chỉ liên tục phải tại x = 0 mà không liên tục trái. Kết luận: Hàm số không liên tục tại x0 = 0. 1 cos x Khi x ; \ 0 2 16b). f x sin x 2 2 1 Khi x 0 4  g : Hàm số liên tục t ại điểm x0=0 nếu lim f x f 0 , Mà ta có: x 0 cos x 1 1 cos x 2 1/ 2 1 x lim sin 2 x lim sin 2 x 2 4 x 0 x 0 . 1 cos x x 2 1 f x 4 1 cos x 1 f x f 0 lim lim sin 2 x 4 x 0 x 0 Vậy hàm số f(x) liên tục tại x0=0  g 2:  g chi tiết: Kiểm tra: i). Hàm số f(x) xác định tại x0 = 0 vì f(0)= 1/4 , Xác định ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 15 -
  17. Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục 1 cos x 0 ii) xét f x VĐ , Giới hạn này có 2 cách giải: L’Hospital hoặc liên lim lim 2 x 0 x 0 sin x 0 hợp, Cách giải sau sử dụng lien hợp sau đó tương đương 1 cos x Liên _ hop 1 cos x f x lim lim sin 2 x lim 2 x 0 x 0 x 0 sin x. 1 cos x x 2 ~ 1 1 1 2 lim 2 lim x 0 x . 1 cos x x 0 2. 1 cos x 2. 1 1 4 ta _ thay f 0 Thỏa i) và ii) nên hàm số lien tục tại x0 = 0 Câu 17. Tìm giá trị của a (và b, nếu có) để hàm số sau liên tục lien tục tại x0 tan x Khi x. 2 17a). f x x 2 , tai x0 2 1 Khi x 2 Hàm số f(x) liên tục tại x0=0, Nếu lim f x f 0 1 x 0 Ta có f x a + lim f x lim a x a x 0 x 0 1 + lim f x lim arctan x x x 0 x 0 a lim f x lim f x 2 x 0 x 0 Vậy a thì hàm số liên tục tại x0=0 2 1 arctan Khi x 0 17b). f x x , tai x0 0 ax Khi x 0  g : Kiểm tra: i). Hàm f(x) xác định tại x0=0 vì f(0) = a.0 = 0, Xác định ii). Điều kiện để hàm số lien tục tại x0=0 liên tục phải, liên tục trái tại x0=0 lim f x lim f x f 0 x 0 x 0 Ta có: lim f x lim a.x a.0 0 x 0 hay x 0 x 0 x 0 1 lim f x lim arctan arctan x 0 hay x 0 x 2 x 0 x 0 Từ (*) 0 0 (Vô lý) 2 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 16 -
  18. Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục 0 2 (Vô lý) không có giá trị a nào để hàm số f(x) liên tục tại x0=0 0 0 a Khi x 1 17c). f x arccos x Khi 1 x 1 Tại x0 0 và x1 1 x b Khi x 1  g : x cos y y arccos x 1 1 1 0 y Trước hết hàm số ph xác định tại x0 = -1 và x1 = 1 f 1 a xác định và f 1 0xác định * Hàm f liên tục tại x0 1vừa phải liên tục phải và lien tục trái tại Ta có : f x0 f 1 a Giới hạn : lim f x lim f x f 1 ( I ) x 1 x 1 Mà : lim f x lim arccos x arccos 1 x 1 x 1 Và : lim f x lim a a Thế vào ( I ) x 1 x 1 Vậy để hàm liên tục tại x0 1 thì a = * Tương tự hám số liên tục tại x0 1 Ta có : f x1 f 1 0 Và : lim f x lim x b 1 b x 1 x 1 Vậy để hàm liên tục tại x0 1 thì b = 1 Vậy để hàm số liên tục thì a = và b = 1 Câu 18. Tìm và phân loại các điểm gián đoạn của các hàm số sau: x 1 18 a). y x x 2 1  g x 1 x 1 1 y x x 2 1 x x 1 x 1 x x 1 * Tại x0 = 0: 1 Kh đó lim f x lim x 0 x 0 x x 1 x0 0 gọi là điểm gián đoạn vô cực: * Tại x0 = -1: 1 Kh đó lim f x lim x 1 x 1 x x 1 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 17 -
  19. Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục Vậy đây là đ ểm g án đoạn loại 2 sin x Khi x 0 18 b). f x x 1 Khi x 0  g * Tại x0 = 0: sin x Kh đó lim f x lim 1 x 0 x 0 x x0 0 gọi là điểm gián đoạn bỏ được: *Tại x0 0: sin x Kh đó các hàm sinx, x đều liên tục tại x , do đó cũng lien tục tại x 0 x 0 x 1 18 c). y x 2 1 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 18 -
  20. Toán Cao Cấp A1 Chương 2: Phép Tính Vi Phân Của Hàm Một Biến Chương 2: PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM 1 BIẾN Câu 2.1 Tính f’(1), f’(2), f’(3) của hàm số f(x) = (x – 1)3(x – 2)2(x – 3) f x f x f x 0 lim x x x x0 0 Gọi x x x0 x x0 x 3 2 f x x f x x x 1 x 2 x 3 x 0 0 0 0 lim x x x x x x0 0 0 3 2 x 1 x 2 x 3 2 2 f 1 x 1 x 2 x 3 0 lim x 1 lim x 1 x 1 3 2 x 1 x 2 x 3 3 f 2 x 1 x 2 x 3 0 lim x 2 lim x 2 x 2 3 2 x 1 x 2 x 3 3 2 f 3 x 1 x 2 8 lim x 2 lim x 3 x 3 Câu 2.2 Tính đạo hàm a). y 2 x 2 x2 2 x3  g : Mượn bàn tay của Lô-ga ta có: ln y ln 2 x 2 x2 2 x3  ln 2 x ln 2 x2 ln 2 x3 1 1 = ln 2 x ln 2 x 2 ln 2 x3 2 2 Lấy đạo hàm 2 vế theo biến x ta có: y 1 1 2x 1 3x 2 1 x 3 x 2 y 2 x 2 2 x 2 2 2 x3 2 x 2 x 2 2 2 x3 1 x 3 x 2 1 x 3 x 2 2 3 y 2 3 y 2 3 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 2 x 2 x 2 x 2 2 x 1 1 1 1 1 1 1 2 3 b). y x x x y 2 x x 3 x x 2 x3 33 x 4 c). y sin x cos 2 .tan3 x sin x cos 2 .tan3 x cos x. cos 2 x.tan3 x 1 2cos x. sin x tan3 x cos 2 x.3tan2 x. cos x. cos 2 x.tan3 x cos 2 x  sin 2x tan3 x 3tan2 x cos x. cos 2 x.tan3 x d). y x x x 2x  g : x x x * Ta có: y1 x y1 x 1, y2 2 y2 2 2 .ln a x * y3 x , Ta lấy Loga-Nepe 2 vế ta có x ln y3 ln x x.ln x Lấy đạo hàm 2 vế ta có: y 3 x.ln x x ln x ln x x xln x 1 y3 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 19 -
  21. Toán Cao Cấp A1 Chương 2: Phép Tính Vi Phân Của Hàm Một Biến x y3 xln x 1 y3 xln x 1 x Vậy y 1 xln x 1 x x 2x.ln a x x x x ln x 1 e). y 2 ln x y 2 ln x.ln 2. ln 2 .2 ln x ln x ln 2 x 2x, x 0 f). y x. x y 2x, x 0 y x y 0 x. x x 0 lim x 0 lim x 0 lim x 0 x 0 x 0 g). y x 1 x 1 2  g : y x 1 x 1 2 x 1 x 1 2 x 1 x 1 2 Do x 1 2 0 x 1 x 1 2 Khi x 1 y 2 x 1 x 1 Khi x 1 2  x 1 x 1  3x 2 2x 1 Khi x 1 y 2 2  x 1 x 1  3x 2x 1 Khi x 1 1, x 0 x Khi x 1 h). y y 1 ln 1 x Khi x 1 , x 0 1 x y x y 0 ln 1 x lim lim 1 x 0 x x 0 x 0 y x y 0 x lim lim 1 x 0 x x 0 x 0 i). y log x 2x 1  g : Vì đề cho cơ số x nên ta đổi qua cơ số e để tính giới hạn như sau: log e 2x 1 ln 2x 1 y log x 2x 1 log e x ln x ln 2x 1  .ln x ln x ln 2x 1  2x.ln x 2x 1 .ln 2x 1 y ln x 2 x 2x 1 .ln 2 x j). y arcsin 1 x2  g : 1 Áp dụng Công thức: arcsin u .u 1 u 2 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 20 -
  22. Toán Cao Cấp A1 Chương 2: Phép Tính Vi Phân Của Hàm Một Biến 1 1 2x 1 y arcsin 1 x 2 1 x 2 . 2 x 2 2 1 1 x 2 1 x 1 x ( Do còn nằm trong dấu tuyệt đối) k). y arctan x2 1  g : 1 Áp dụng Công thức: arctan u .u 1 u 2 1 1 x x y arctan x 2 1 x 2 1 . 1 x 2 1 2 x 2 2 2 2 x 1 2 x x 1 l). y arccos 2x 1  g : 1 Áp dụng Công thức: arccos u .u 1 u 2 1 2 y arccos 2x 1 2x 1 1 2x 1 2 1 2x 1 2 dy Câu 2.5 Tính đạo hàm biết dx x a t sin t a). y b 1 cost  g : dx a t sin t a a cost dt dy bsin t bsin t 1 cost b 1 cost dy 2 b 1 cost bsin t dx a 1 cost a sin t a sin t dt x sin 2 t b). 2 y cos t  g : 2 dy cos t 2cost. cost 2cost.sin t 1 dx 2 2sin t.cost sin t 2sin t. sin t Câu 2.6 Tìm đạo hàm biết a). x2 2xy y 2 2x Cách 1: Xem y = y(x), đạo hàm 2 vế phương trình theo x, ta có: x2 2xy y 2 2x ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 21 -
  23. Toán Cao Cấp A1 Chương 2: Phép Tính Vi Phân Của Hàm Một Biến dy 2x 2 x y xy 2yy 2 dx x y x y .y 1 1 x y y x y x y Với y 2x2 2x x Cách 2 y 2 2xy x2 2x 0 Tính nghiệm theo x ta có: 4x 2 2x 1 y1 1 1 2 2 2 y1 x 2x 2x 2 2x 2x 2x 2x 2 4x 2 2x 1 y2 x 2x 2x y2 1 1 2 2 2 2x 2x 2x 2x y b). arctan ln x 2 y 2 x y 1 y 1 Ta có: arctan ln x 2 y 2 2 arctan ln x 2 y 2 x x 2 Đạo hàm 2 vế phương trình theo x, ta có: y 1 arctan ln x 2 y 2  x 2 1 x.y y 1 2x 2y.y 2 . 2 2 2 y x 2 x y 1 x x.y y x y.y Với x2 y 2 0 x y y x y x y Câu 2.7 Tính y 0 biết e y xy e Khi x =0 . Tìm y , Ta có: e y 0y e e y e y 1 Đạo hàm: y e xy e y .e y y x.y 0 1 y .e 1 0y y Khi x 0, y 1 e Câu 2.8 Tính đạo hàm cấp cao tương ứng a). y esin x .cos sin x , Tính y sin x sin x sin x Ta có: y e .cos sin x e cos sin x cos sin x e esinx.cos x.cos sin x sin sin x .cos x.esinx ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 22 -
  24. Toán Cao Cấp A1 Chương 2: Phép Tính Vi Phân Của Hàm Một Biến y esin x .cos x.cos sin x sin sin x .cos x.esin x  sin x sin x sin x sin x e cos x.cos sin x  sin sin x .cos x e e sin sin x .cos x sin sin x .cos x e esin x cos x.cos sin x  esin x sin sin x .cos x cos x.esin x cos x.cos sin x  cos x.esin x sin sin x .cos x cos 2 x.esin x cos sin x sin sin x  x 2 b). y Tính y 8 1 x 2 x 2 1 Ta có: y 1 1 x 2 1 x 2 8 8 8 8 1 8 1 1 1 Suy ra: y 8 1 1 0 1 x 2 1 x 2 1 x 2 1 x 2 1 1 1 1 Đặt y1 (Dùng phương pháp đồng nhất) 1 x 2 2 x 1 x 1 8 8 8 8 8 1 1 1 1 1 1 1 Suy ra: y1 2 1 x 2 x 1 x 1 2 x 1 x 1 1 1 1 1 1 8 .18.8!. 1 8 .18.8!. 2 x 1 9 2 x 1 9 n 1 n 1 ADCT 1 .a n .n!. n 1 ax b ax b 1 x c). y Tính y n 1 x 1 Đặt f x 1 x; g x 1 x 1/ 2 1 x Xét: f n x 1 x n 0 Khi n 2 1 3 1/ 2 1/ 2 1 1 1 Xét: g x 1 x ; g x 1 x 1 x 2 . 1 1 x 2 2 2 1 5 1 3/ 2 1 3 2 3 g x 1 x 1 x 2 1 1 x 2 2 2 2 4 5 7 1 3 1 3 15 n 1 1 n g x 1 x 2 1 x 2 g x . n 1 1 x 2 , Với n 2 2 2 8 2 2 Áp dụng Công thức Leibniz ta có n n n k n k k k 1/ 2 n k k y Cn f x g x Cn 1 x 1 x k 0 k 0 n 0 1/ 2 n 0 1 1/ 2 n 1 1 n 1/ 2 0 n y Cn 1 x 1 x Cn 1 x 1 x Cn 1 x 1 x Nhận thấy: 1 x n 0 khi n 2 n 0 1/ 2 n 0 1 1/ 2 n 1 1 1/ 2 n 1/ 2 n 1 y Cn 1 x 1 x Cn 1 x 1 x 1 x 1 x n 1 x ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 23 -
  25. Toán Cao Cấp A1 Chương 2: Phép Tính Vi Phân Của Hàm Một Biến d). y cos 2 x Tính y n 1 cos 2x Hạ bậc ta có: y cos 2 x 2 n n n 1 1 1 1 1 n 1 n Suy ra: y n cos 2x cos 2x 0 cos 2x cos 2x 2 2 2 2 2 2 n n Áp dụng công thức: cos ax a .cos ax n 2 1 Suy ra: y n .2n cos 2x n 2 2 e). y x2e2x Tính y 20 Áp dụng công thức Leibniz ta có: 20 20 2 2x 20 k 2 20 k 2x k y x e C20 x e k 0  0  0 0 2 20 2x 0 1 2 19 2x 1 18 2 2 2x 18 19 2 1 2x 19 20 2 0 2x 20 C20 x e C20 x e C20 x e C20 x e C20 x e 20 18 18 2x 19 19 2x 20 2 20 2x y C20 22 .e C20 2x.2 .e C20 x 2 e Câu 2.9 Tính vi phân cấp cao tương ứng a). y x.cos 2x, Tính d 10 y 10 0 10 0 9 d y Cn x.d cos 2x Cn dx.d cos 2x d cos 2x 2sin 2x 2cos 2x dx 2 d 2 cos 2x 22 cos 2x 2 dx 2 2 d 9 cos 2x 29 cos 2x 9 dx 9 29 sin 2x dx 9 2 d 10 cos 2x 210 cos 2x 10. dx10 210 cos 2xdx10 2 d 10 y 210ncos 2xdx10 n29 sin 2xdx10 b). y xn .e x , Tính d n y n n k k n n k x d y Cn .d x .d . e k 0 0 n x 1 n 1 x 2 n 2 x n n n Cn .x .e Cn .nx .e Cn .n n 1 x .e Cn .n!.x .edx c). y 1 x2 , Tính d 2 y 2 d 2 y y 2 dx 2 1 x2 dx 2 1 1/ 2 1 1 x 1 x 2  1 x 2  1 x 2 2 . 2x 2 1 x 2 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 24 -
  26. Toán Cao Cấp A1 Chương 2: Phép Tính Vi Phân Của Hàm Một Biến 2x 1 x 2 x 1. 1 x 2  2 2 2 2 x 2 1 x 1 x 1 x x 1 x 2 2 2 2 2 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 2 1 x 2 x d 2 y y 2 dx 2 2 2 1 x 1 x ln x d). y , Tính d 5 y x  g : Áp dụng công thức Leibniz ta có: 5 k 5 k 5 k 1 y C5 ln x k 0 x 0 1 2 5 0 5 1 1 4 1 2 3 1 y C5 ln x C5 ln x C5 ln x x x x 3 4 5 3 2 1 4 1 1 5 0 1 C5 ln x C5 ln x C5 ln x x x x 0 4 4 5 1 1 1 1 1 Nhận xét: ln x ln x x x x x 1 3 3 1 4 1 2 1 1 1 ln x ln x x x x x 4 3 1 2 2 5 5 1 1 0 4 1 1 1 3 2 1 1 5 1 y C5 C5 C5 C5 C5 C5 ln x x x x x x x x 3 1 4 .41 1 1 3.31 1 2 1 5 51 y 5 . .6 . .15 10 ln x. x5 x x 4 x x3 x6 274 119ln x d 5 y dx5 x6 x6 1 e). y , Tính d n y x  g : Ta có 1 1 1 1 .1 y 1 x x 2 x1 1  2 2 1 2 1 .2.1 1 .2.! y 2 x x3 x 2 1 x 2 1 6 1 3.3.21 1 3.3.! 24 1 4 .4! 120 1 5 .5! Tương tự: y 3 ; y 4 ; y 5 x 4 x3 1 x3 1 x5 x 4 1 x6 x5 1 1 y n 1 n . n ! x n 1 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 25 -
  27. Toán Cao Cấp A1 Chương 2: Phép Tính Vi Phân Của Hàm Một Biến 1 Vậy d n y 1 n . n ! .dx n x n 1 Câu 2.10 Tính gần đúng a). tan460  g : x0 Chọn 4 Xét tương ứng hàm f(x) = tanx , x 180 0 Vậy ta có: tan46 tan x0 x Áp dụng công thức: f x0 x f x0 f x0 x Với f x0 f tan 1; 4 4 1 f x tan x f x0 f 2 cos 2 x 4 Vậy tan460 1 2 1,035 180 b). 4 15,8  g : x0 16 Chọn Xét tương ứng hàm f x 4 x x 0,2 4 4 Vậy ta có: 15,8 x0 x Áp dụng công thức: f x0 x f x0 f x0 x 4 Với f x0 f 16 16 2 1 4 4 1 1 1 f x x x f x0 f 16 3 4 4 x 32 1 Vậy 4 15,8 2 . 0,2 1,99375 32 c). arcsin 0,54  g : x0 0,5 Chọn Xét tương ứng hàm f x arcsin x x 0,04 Vậy ta có: arcsin 0,54 arcsin x0 x Áp dụng công thức: f x0 x f x0 f x0 x Với f x f 0.5 arcsin 0,5 0 6 1 2 3 f x arcsin x f x0 f 0,5 1 x 2 3 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 26 -
  28. Toán Cao Cấp A1 Chương 2: Phép Tính Vi Phân Của Hàm Một Biến 2 3 Vậy arcsin 0,54 0,04 0,56978 6 3 d). arctan 1,05  g : x0 1 Chọn Xét tương ứng hàm f x arctan x x 0,05 Vậy ta có: arctan 1,05 arctan x0 x Áp dụng công thức: f x0 x f x0 f x0 x Với f x f 1 arctan 1 0 4 1 1 f x arctan x f x f 1 1 x 2 0 2 1 Vậy arctan 1,05 0,05 0,810398 4 2 Câu 2.15 Khai triển MacLaurin với phần dư Peano của hàm: a). f x cos 2 x đến x 4  g : 1 cos 2x 1 1 Ta có: f x cos 2 x cos 2x 2 2 2 2 4 x x 4 Áp dụng Công thức: cos x 1 0 x 2! 4! 2 4 1 1 1 1 4x 16x 4 2 1 4 4 Suy ra: f x cos 2x 1 0 x 1 x x 0 x 2 2 2 2 2! 4! 3 b). f x 1 sin x đến x 5  g : Ta có: f x 1 sin x Áp dụng Công thức: 1 1 1 1 x 1 x x 2 0 x 2 , Bài này để đơn giản ta xét 1 x 1 x 0 x 2 2 8 2 x3 x5 sin x x 0 x5 3! 5! 3 5 3 5 1 1 x x 5 x x x 5 Suy ra: f x 1 sin x 0 sin x 1 x 0 x 1 0 x 2 2 3! 5! 2 12 240 sin x c). f x đến x 6 x  g : Theo công thức Taylor 3 5 7 2 4 6 x x x 7 sin x x x x 6 sin x x 0 x 1 0 x 3! 5! 7! x 3! 5! 7! ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 27 -
  29. Toán Cao Cấp A1 Chương 2: Phép Tính Vi Phân Của Hàm Một Biến d). f x 1 cos x đến x 4 Áp dụng Công thức: 1 1 1 * 1 x 1 x x 2 0 x 2 , Bài này để đơn giản ta xét 1 x 1 x 0 x 2 2 8 2 x 2 x 4 * cos x x 0 x 4 2! 4! 2 4 2 4 1 1 x x 4 x x x 4 Suy ra: f x 1 cos x 0 cos x 1 x 0 x 1 0 x 2 2 2! 4! 2 4 48 2.17 .Áp dụng quy tắc dung L’Hospital tim giới hạn. x x 1 0 Câu a. L L'Hospital lim ln x x 1 0 x 1 Với x x xln x 1 x x Bài 2.2 câu d, Ta có: x x 1 x x xln x 1 lim lim  x 1 x 1 1 ln x x 1 1 x 1 cos x 1 xcos x sin x 0 Câu b. cot x L L'Hospital lim x lim sin x x lim xsin x 0 x 0 x 0 x 0 L' cos x xsin x cos x xsin x 0 L L'Hospital lim sin x xcos x lim sin x xcos x 0 x 0 x 0 L' sin x xcos x sin x xcos x 0 lim cos x cos x xsin x lim 2cos x xsin x x 0 x 0 x tan Câu c. lim 2 x 2 1 x 1 L i gi i: Mượn bàn tay của “LỐC” x tan Đặt A lim 2 x 2 1 x 1 Lấy Lô-ga Nepe 2 vế ta có: x x sin tan x 2 ln(A) ln lim 2 x 2 lim tan ln 2 x lim ln 2 x x 1 x 1 2 x 1 x cos 2 x sin ln 2 x 2 0 L  L'Hospital lim x 0 x 1 cos 2 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 28 -
  30. Toán Cao Cấp A1 Chương 2: Phép Tính Vi Phân Của Hàm Một Biến x 1 x cos ln 2 x sin L' 2 2 2 x 2 2 lim x x 1 sin 2 2 2 2 ln(A) A e 2arctan x Câu d. 2arctan x ln x L' L'Hospital lim lim 1 x x ln x 1 2 2 2 2 L' 2arctan x L' 1 x 2xln x 2ln x 0 lim lim lim 2 lim x x 1 x 1 x x 1 1 x xln 2 x x ln x 1 Vì x là VCL bậc cao hơn với 2ln 2 x ; Còn 0 khi x x Câu f. lim tan x 2cos x x 2 Đặt A lim tan x 2cos x ln A ln lim tan x 2cos x ln lim 2cos x tan x lim 2cos xln tan x x x x x 2 2 2 2 1 ln tan x L' ln tan x 2 lim ln A lim 2cos x.ln tan x lim lim lim cos x.tan x 1 sin x x x x x 1 x 2 2 2 2cos x 2 2 2cos 2 x 2cos x 2cos 2 x 2cos x ln A 0 A 1 lim 2 lim 2 cos x.tan x.sin x sin x x x 2 2 Câu g. Đặt A = . tìm A = = = = = = = = = 1 Vậy : = 1 = e Câu h. 1 1 e x 1 x L' e x 1 x e x 1 lim x lim x lim lim x x x 0 x e 1 x 0 x e 1 x 0 x e x 1 x 0 e 1 xe ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 29 -
  31. Toán Cao Cấp A1 Chương 2: Phép Tính Vi Phân Của Hàm Một Biến L' e x 1 e x 1 e x e x 1 lim lim lim x x x lim x x 0 e x 1 xe x x 0 e x 1 xe x x 0 e e xe x 0 e 1 1 x 2 x x L' x x x x e e 2 e e 2 e e 2 x x Câu i. cos x e e 0 lim lim lim 1 lim x 0 tan x x 0 tan x x 0 x 0 cos 2 x Câu 2.18 Đưa phương trình tọa độ cực về phương trình tọa độ Descartes vuông góc. a). r 2cos  g : Nhân 2 vế cho “ r ” r 0 r 2 2 r cos x2 y 2 2x x 1 2 y 2 1 . Đư ng tròn tâm 1;0 , R 1 b). r 3 r 2 9 x2 y 2 9 Đư ng tròn tâm 0;0 , R 3 c). r a 1 cos , a 0 x x 2 y 2 a 1 2 2 x y y c). r tan x 2 y 2 x ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 30 -
  32. Toán Cao Cấp A1 Chương 3: Phép Tính Tích Phân Của Hàm 1 Biến Chương 3: Phép Tính Tích Phân Của Hàm 1 Biến T C P T Đ C c T n Tích Phân Đ nh Cơ n Ch : ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 31 -
  33. Toán Cao Cấp A1 Chương 3: Phép Tính Tích Phân Của Hàm 1 Biến C ch : C ch : ) ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 32 -
  34. Toán Cao Cấp A1 Chương 3: Phép Tính Tích Phân Của Hàm 1 Biến ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 33 -
  35. Toán Cao Cấp A1 Chương 3: Phép Tính Tích Phân Của Hàm 1 Biến ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 34 -
  36. Toán Cao Cấp A1 Chương 3: Phép Tính Tích Phân Của Hàm 1 Biến D ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 35 -
  37. Toán Cao Cấp A1 Chương 3: Phép Tính Tích Phân Của Hàm 1 Biến ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 36 -
  38. Toán Cao Cấp A1 Chương 3: Phép Tính Tích Phân Của Hàm 1 Biến : ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 37 -
  39. Toán Cao Cấp A1 Chương 3: Phép Tính Tích Phân Của Hàm 1 Biến Tích Phân T : : Ch : ng Phương ph p ng nh h c ế : : : : dx 1 x 2 2x 1 1 Câu 43 I ln arctan 2x 1 arctan 2x 1 C x 4 1 2 4 2 x 2x 1 2 2 1 1 x 2 1 x 2 ẫ x 4 1 x 2 x 2 1 x 2 x 2 1 x 4 1 2 2 x 2 x 2 1 2 2 x 2 x 2 1 : ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 38 -
  40. Toán Cao Cấp A1 Chương 3: Phép Tính Tích Phân Của Hàm 1 Biến : : : : ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 39 -
  41. Toán Cao Cấp A1 Chương 3: Phép Tính Tích Phân Của Hàm 1 Biến ẫ : : : ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 40 -
  42. Toán Cao Cấp A1 Chương 3: Phép Tính Tích Phân Của Hàm 1 Biến Câu 54 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 1 1 1 I dx dx dx dx x5 2x 4 x3 x3 x 2 2x 1 3 2 2 2 2 3 2 x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 1 1 1 1 2 3 1 1 1 1 1 1 I dx dx dx 2 2 2 2 2 x x 1 x 1 x x 1 x 1 x 6 x 3 x 1 x 1 5 10 1 4 dx 6x 2 3 x 1 2 x 1 ạ 3 Tích Phân ư ng c : ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 41 -
  43. Toán Cao Cấp A1 Chương 3: Phép Tính Tích Phân Của Hàm 1 Biến : ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 42 -
  44. Toán Cao Cấp A1 Chương 3: Phép Tính Tích Phân Của Hàm 1 Biến dx Câu 65 I a 2 b2 0 HD : Chia cos 2 x a 2 cos 2 x b2 sin 2 x dx 1 1 dx 1 1 I t tan x dt a 2 b2 tan 2 x cos 2 x b2 a 2 cos 2 x cos 2 x tan2 x b2 1 dt 1 b bt 1 bt 1 b tan x I arctan C arctan C arctan C 2 2 2 b a 2 b a a ba a ba a t b2 Chú ý: Áp d ng công thức: dx 1 x I arctan C a 2 b2 a a Xem them tại GT Toán Cao c 1 NL 98 Tích Phân C n Th c x 2 1 x x 2 1 x x 2 1 x Câu 69 I dx dx dx dx 3 3 3 3 3 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 43 -
  45. Toán Cao Cấp A1 Chương 3: Phép Tính Tích Phân Của Hàm 1 Biến 2 t t 3 1 x t 3 1 x x t 3 1 dx 3t 2dt V i x2 t 3 1 ; 1 x t 3/ 2 V y tích phân tr thành: 3 2 3/ 2 t 1 2 t 2 3 2 3/ 2 6 3 5 / 2 I .3t dt 3t dt 3 t 1 .tdt 3 t .tdt 3 t 2.t 1 .tdt 3 t dt t t 1 2 1 2 1 2 1 2 3 t 7 2.t 4 t .dt 3 t 5 / 2dt 3 t 8 .t 5 t 2 3 t 7 / 2 C 3 t 8 .t 5 t 2 t 7 / 2 C 8 5 2 7 8 5 2 7 1 8 2 5 1 2 2 7 / 2 3 3 1 x . 3 1 x 3 1 x 3 1 x C 8 5 2 7 x 1 Câu 70 I 3 dx x 1 ạ 117 1 ạ ọ Nô L 1 x 1 x t 3 1 6t 2 3 3 t t t x 3 dx 2 dt x 1 x 1 t 1 t 3 1 t 3 V y tích phân tr thành: I 6 dt 3 2 t 1 1 x Câu 74 I dx t x cost x cos 2 t dx 2sint.costdt;t arccos x 1 x V y tích phân tr thành: 1 cost 1 cost 2 I 2sin t.cost dt 2sint.cost dt 2 1 cost costdt 1 cost 1 cos 2 t 1 2 cost cos 2 t dt 2 cost 1 cos 2t dt 2sint t sin 2t C 2 1 2sin arccos x arccos x sin 2arccos x C 2 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 44 -
  46. Toán Cao Cấp A1 Chương 3: Phép Tính Tích Phân Của Hàm 1 Biến x6 Câu 93 I dx 1 NL 118 ạng 3.1.6.2 2 1 x tdt 3 t t 1 x 2 t 2 1 x 2 x t 2 1;dx ; x6 t 2 1 V y tích phân tr thành: 2 t 1 2 3 t 1 .t 2 3 3 2 3 2 1 2 2 I dt t 1 dt ln t t 1 t t 1 t t 1 t 1 C 2 8 8 4 t 1 t 3 3 1 ln 1 x 2 x x 1 x 2 x3 1 x 2 C 8 8 4 dx Câu 99 I 1 NL 118 ạng 3.1.6.2 4 2 x x 1 tdt 2 t t x 2 1 t 2 x 2 1 x t 2 1;dx ; x 4 t 2 1 V y tích phân tr thành: 2 t 1 t dt I dt 2 2 2 5 t 1. t 1 .t t 2 1 du 5 1 t t tanu dt ; t 2 1 ; V y tích phân tr thành: cos 2 u cos5 u cos5 u 1 1 1 I du cos3 u.du cos3u 3cosu du sin3u 3sin u C cos 2 u 4 4 3 3 3 1 t 1 t x 2 1 1 x 2 1 sin u sin 3 u C C C 3 2 3 2 x 3 x t 1 t 1 Xem thêm GT TCCA1 NL 1 0 dạ 3 1 6 3 i sinu sang t dx Câu 100 I 1 NL 118 ạng 3.1.6.2 3 x 1 x 2 tdt 2 t t 1 x3 t 2 1 x3 x 3 1 t 2 ;dx ; x 4 t 2 1 V y tích phân tr thành: 3 2 2 / 3 1 t dt dt 1 t 1 1 1 x3 1 I ln C ln C 2 2 1 t t 1 2 t 1 2 1 x3 1 T C P C Đ C h h ng h ế h c h c ph n Đ C Câ ng nh ngh ính c c ích phân â : l ạ ô ạ ọ . ạ ạ ọ ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 45 -
  47. Toán Cao Cấp A1 Chương 3: Phép Tính Tích Phân Của Hàm 1 Biến ạ ọ ạ : : Câ Tính c c ích phân â : ; : 2 dx 2 1 cos x dx 2 1 cos x dx 2 1 cos x dx 2 1 cos x d). I dx 2 2 2 2 1 cos x 1 cos x 1 cos x 1 cos x sin x sin x sin x 2 2 2 2 2 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 46 -
  48. Toán Cao Cấp A1 Chương 3: Phép Tính Tích Phân Của Hàm 1 Biến 1 2 cot x 0 sin x 2 2 e). I 1 cos 2xdx 1 2cos 2 x 1 dx 2cos 2 xdx 2 cos xdx 2 cos xdx 0 0 0 0 2 2 2 sin x 2 sin x 0 0 2 3 x t x dt dx f). I dx HD :TPTP Đăt dx 2 sin x dv 2 v cot x sin x 4 8 x g). I dx 3 1 x Đăt t 1 x t 2 1 x x t 2 1 dx 2t.dt Khi x 3 t 2; Khi x 8 t 3 3 1 3 32 I 2 t 2 1 dt 2 t 3 t 3 2 3 2 1 h). I x 2 1 x 2 dx 0 1 1 HD: Đăt x sint cost 1 x2 ;sin2 t.cos2 t sin 2 2x 1 cos 4x 4 8 3 3 cos 4 x 3 1 2sin 2 x sin 4 x 3 1 3 2sin 2 x 3 sin 4 x i). I cot 4 x.dx .dx .dx .dx .dx .dx sin 4 x sin 4 x sin 4 x sin 4 x sin 4 x 4 4 4 4 4 4 3 1 3 2 3 3 1 cos 2 x 3 2 3 .dx .dx dx .dx .dx dx sin 4 x sin 2 x sin 2 x sin 4 x sin 2 x 4 4 4 4 4 4 3 cos 2 x 3 dx 3 3 cos 2 x 1 3 dx 3 .dx dx .dx dx 4 2 2 2 2 sin x sin x sin x sin x sin x 4 4 4 4 4 4 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 47 -
  49. Toán Cao Cấp A1 Chương 3: Phép Tính Tích Phân Của Hàm 1 Biến 3 cos 2 x 1 3 1 3 ng dẫn: .dx cot 2 x.d cot x cot 3 x 2 2 sin x sin x 3 4 4 4 5 5 2 x9 2 x 4 .x5 j). I .dx .dx HD : Đăt t 1 x5 dt 5x 4 ; x5 t 1 5 3 5 3 0 1 x 0 1 x Câ T c ng h c ch ng củ : ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 48 -
  50. Toán Cao Cấp A1 Chương 3: Phép Tính Tích Phân Của Hàm 1 Biến C C T T h ng c ng T 1 1 I dx 333 1 xx . 1 0 Lời gi i: 11 1 1 x3 x 3 1 1 1 x 3 I dx dx dx dx I I 33 3 3 3 3 3 3 3 3 3 12 0 1 x . 1 x 0 1 x . 1 x 0 1 x 0 1 x . 1 x 1 1 x3 ' ' 3 3 3 2 1 1 x 313 x x2 333 2 2 3 3 1 x33 11 xx33 1 x . 1 x Tính I1 : 2 1 1 x 1 u du dx I dx t: 3 1 x3 333 1 3 3 1 xx . 1 1 x 0 dv dx vx V y: 1 xx1 3 1 I12 dx I 333 3 3 3 2 1 x0 0 1 x . 1 x Ta có: 11 IIIII 1 23322 2 2 ô 1 11 I dx n nnn n 1 xx . 1 2 0 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 49 -
  51. Toán Cao Cấp A1 Chương 3: Phép Tính Tích Phân Của Hàm 1 Biến 2 1 x 1 I= dx 0 x4 1 2 Lời gi i: Trên 0;1, ta có: x4 1 x 2 1 2 x 2 x 2 x 2 1 x 2 x 2 1 K x2 1 Ax B Cx D x 0;1 ; x4 1 x22 x2 1 x x 2 1 ACx 32 A2 BC 2 Dx AB 2 CD 2 xBD = x4 1 2 A 2 AC 0 1 B ABCD2 2 1 2 ABCD 2 2 0 2 C BD 1 2 1 D 2 c: 2 1x 1 2 1 2 x 2 1 2 x 2 dx dx dx 04 022 0 x 14 x x2 1 x x 2 1 22 2 11d x x2 1 d x x 2 1 = 4 00x22 x2 1 x x 2 1 2 1 = lnx22 x 2 1 ln x x 2 1 4 0 1 2xx2 2 1 2 = ln ln 3 2 2 2 4 xx 2 1 4 0 4 I= 4 x2 dx 0 Lời gi i: t x 2sin t , t ; . 22 Khi x = 0 thì t = 0. Khi x 2 thì t . 2 T xt 2sin dx 2cos tdt 4 22 2 2 2 . 4 x dx 4 4sin t .2cos tdt 4 cos tdt 0 0 0 t x tan t , t ; . 22 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 50 -
  52. Toán Cao Cấp A1 Chương 3: Phép Tính Tích Phân Của Hàm 1 Biến Khi x 0 thì t 0, khi x 1 thì t . 4 dt Ta có: x tan t dx . cos2 t 1 44 dx1 dt dt t 4 1 x2 1 tan 2 t cos 2 t 4 0 0 0 0 Chú ý: Trong thực t chúng ta có th g p dạng tích phân trên dạng t 2 2 2 2 N u hàm s i d u tích phân có chứ ă ạng a x, a x và xa22 (trong ng s ô i sang các hàm s ng giác làm m ă ức, c th là: 22 V i ax t x asin t , t ; 22 ho c x acos t , t  0; . 22 V i ax t x atan t , t ; 22 ho c x acott, t 0; . 22 a V i xa t xt , ; \ 0 sint 2 2 a  ho c x ; t 0;  \ . cost 2 C T C P G K ự : Gi i chi tiết: Áp dụng cách tính tích phân bằng nh ngh c : dx Đ / N B dx lim 1 x B 1 x nh 1 1 B B dx B 1 B x 2 B x 1/ 2 dx 2 x 2 B 2 x 1 1 1 1 1 1 2 V y ta có: ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 51 -
  53. Toán Cao Cấp A1 Chương 3: Phép Tính Tích Phân Của Hàm 1 Biến dx B I lim 2 B 2 x B 1 1 V phân k . ự : Gi i chi tiết: Ta có: 1 Đ / N B dx dx 3 lim 3 1 x B 1 x 0 0 nh: B dx K 3 1 1 x t: t = 1 + x suy ra: dt = dx i c n: x 0 t 1 x B t B 1 V y ta có: 2 B 1 dx B 1 t 3 1 B 1 1 1 1 K t 3dx t 3 3 1 1 2 B 1 12 1 1 V y t qu : 2 B dx 1 1 1 1 I 1 0 1 lim 3 lim B 1 x B 2 B 1 2 2 0 (Hữu hạn ) . V y tích phân suy r ng h i t và giá tr I = 1/2. 2 dx Câu 4. D x 2 4x 3 0  ờ g : ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 52 -
  54. Toán Cao Cấp A1 Chương 3: Phép Tính Tích Phân Của Hàm 1 Biến x 1 Ta có : x3 4x 3 0 x 3 1 Xét lim f x x 1 0 x 3 1 3 m k d N 3 ô c mi n l y tích phân [0;2] 1 dx 2 dx D D D x 2 4x 3 x 2 4x 3 1 2 0 0 1 dx D ( C n trên k d ) 1 2 0 x 4x 3 1  dx lim 2  0 0 x 4x 3  0 1  dx 1 1  1 1 1 1  D dx ln x 3 ln x 1 1 2 0 x 4x 3 2 0 x 3 x 1 2 0 1 x 3 1  1  2 1 ln ln ln 3 2 x 1 0 2  2 1  2 1 D ln ln 3 1 lim  0 2  2 Tích phân D1 Phân k 2 dx D ( C i k d ) 2 2 1 x 4x 3 2 dx 1 x 3 2 1 1  2 ln ln 1 ln lim 2 lim lim  0 1  x 4x 3  0 2 x 1 1   0 2 2 2  0 Tích phân D2 Phân k KẾT LUẬN: D = D1 + D2 , Chư c ết luận tích phân D là hộ tụ hay phân kỳ  ờ g ch ết: 2 dx ( C i k d ) 1 x ln x 0 2 2  dx d ln x 2 lim lim lim ln ln x lim ln ln 2 ln ln 1  xln x xln x 1   0 1   0 1   0  0 ln ln 2 V . ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 53 -
  55. Toán Cao Cấp A1 Chương 3: Phép Tính Tích Phân Của Hàm 1 Biến L ạ ô ô  ờ g ch ết: 1 arctan x 0 dx 0 x 0 Nghi x = 0 k d c i arctan x 0 Xét lim f x lim x 0 x 0 x 0 1 L' 2 lim 1 x 1 x 0 1 ' ~ x lim 1 x 0 x Suy ra x = 0 c i không k d V c h i t . ) L ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 54 -
  56. Toán Cao Cấp A1 Chương 3: Phép Tính Tích Phân Của Hàm 1 Biến : ự 1 ô ( Khi C T C P C Đ Câu 1. Tính n ích h nh ph ng g h n : Câu a y x(x 1)x 2) và trục Ox Lời gi i: x 0 m x(x 1)x 2) 0 x 1 x 2 2 2 2 V y di n tích c n tìm là : S y x y x dx x(x 1) x 2 0dx x(x 1) x 2 dx 1 2 0 0 0 Ti n hành l p b ng xét d kh giá tr tuy i ta có: x - 0 1 2 + X(x-1)x-2) - 0 + 0 - 2 + Xét x trong kho ng (0;2) ta có: 2 2 1 1 1 S x(x 1) x 2 dx x(x 1) x 2 dx đvdt 0 0 4 4 2 Câu b. m y3 8 y 0 2 2 V y di n tích c n tìm là : S y 3 8dy y 3 8 dy K 1 1 2 4 3 y 2 17 17 V i : K y 8 dy 8y S K đvdt 1 4 1 4 4 Câu c. y x2 ; y 3 2x m x2 3 2x x2 3 2x 0 x 1 x 3 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 55 -
  57. Toán Cao Cấp A1 Chương 3: Phép Tính Tích Phân Của Hàm 1 Biến 1 1 3 2 2 x 2 1 101 V y di n tích c n tìm là : S x 3 2x x 3 2x dx 3x x đvdt 3 3 3 3 6 Câu 3. Tính th ích kh i tròn xoay khi cho miền D g h n : y x 2 và y 4 Câu a Quay quanh Oy Lời gi i: m x2 4 x 2 c n 2 x 2 Do quay quanh Oy nên c n l y trên tr c Oy y y x 2 x y 4 4 2 V y 0 2 dy y dy; Do y 0 y y Oy 0 0 4 y 2 V ydy 8 đvtt Oy 0 2 0 Câu 5. Tính ộ c ng x c nh b i 1 Câu a y 3 x x 1 x 3 3 Th y PT dạng y = f(x) (y theo x) 3 ADCT ta có: l 1 y x 2 dx V i 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 y x x1/ 2 x3/ 2 x 1 y x  1 x x 3 2 x 2 4x 2 4 2 4x 4 2 3 1 1 1 3 1 x 3 1 x 3 1 x l xdx dx dx dx 2 4x 4 2 2 2 1 1 2 x 1 2 x 1 2 x 0 Do x 1 1 3 1 3 1 x1/ 2 3 1 x3/ 2 3 x 1/ 2 dx x1/ 2 dx 2 1 2 1 2 1/ 2 1 2 3/ 2 1 3 1 3 1 27 4 3 x x 3 1 27 1 3 đvđd 1 3 1 3 3 3 1 1 Câu b y x 2 ln x 1 x e 4 2 e e 2 2 1 1 ADCT ta có: l 1 y x  dx l 1 x dx 4 x 1 1 Câu 6. Tính ộ ường cong y 2 x3 từ góc t ộ (0 ;0 ến m (4 ;8) y 2 x3 x 3 y 2 y 2 / 3 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 56 -
  58. Toán Cao Cấp A1 Chương 3: Phép Tính Tích Phân Của Hàm 1 Biến 8 8 2 4 1 l  1 y x  dy 1 dy OA 3 2 y 0 y 0 9 y y 0 t 0 t t 3 y y t 3 dy 3t 2dt; Khi y 8 t 2 2 2 2 4 1 2 9t 4 2 l  1 2 .3t dt .3t dt OA 0 9 t 0 3t V i t 0 t t 1 2 2 1 1 1 1 9t 2 4 2 1 1 125 125 2 2 2 2 l  9t 4.t.dt 9t 4 .d 9t 4 . OA 18 18 1 0 18 3/ 2 216 0 0 1 2 Câu 8. Tính di n tích mặ òn x ư c t o nên khi quay cung : a). 3y x3 0 x a quay quanh trục Ox. Lời gi i: 1 Đổi về phương nh d ng y f x x3 3 3 ADCT: S 2 f x 1 f x 2 dx V i f x y x2 Ox   0 1 f x 2 1 x4 3 1 1 S 2 x3 1 x 4 Do 0 x 3 nên suy ra x3 0 V y ta có: Ox 0 3 3 2 3 S x3 1 x 4 , Ox 3 0 t t 1 x4 t 2 1 x4 2tdt 4x3dx ; x 0 t 1 i c n: Khi x 3 t 82 82 82 82 2 1 2 2 3 SOx t. tdt t .dt t 82 82 .1 82 82 1 đvdt 3 2 3 9 9 9 9 1 1 1 b). Tính di n tích mặt tròn xoay khi cho cung 9y 2 x 3 x 2 0 x 3 quay quanh trục Ox. Lời gi i: Do quay quanh Ox ph ổ phương nh ề d ng y theo x 1 2 x 3 x ; y 0 trên Ox 9y 2 x 3 x 2 y 3 1 x 3 x 2 ; y 0 duoi Ox 3 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 57 -
  59. Toán Cao Cấp A1 Chương 3: Phép Tính Tích Phân Của Hàm 1 Biến Do 9y 2 x 3 x 2 Khi thay y b i y ô i, V n v i bi n y , nên 1 th nh n Ox làm tr i xứng. V y chỉ c n nhánh y x 3 x 2 O n 3 tích c n tìm: 3 ADCT: S 2 f x 1 f x 2 dx Ox   0 2 2 1 2 1 1 9 12x 3x x 4x 3 V i f x x 3 x  9x 6x 2 x3  3 3 3 2 3 2 3 2 9x 6x x 2 9x 6x x 2 2 2 x 4x 3 1 f x  1 4 x3 6x 2 9x 3 2 2 1 2 x 4x 3 S 2 x 3 x 1 dx Ox 3  4 x3 6x 2 9x 0 0 2 3 1 4 x3 6x 2 9x x 2 4x 3 2 x3 6x 2 9x dx 3 2 0 3 2 x 6x 9x 3 3 2 4 x3 6x 2 9x x 2 4x 3 dx 4x x 3 2 x 1 2 x 3 2 dx 3 0 3 0 3 3 x 3 2 4x x 1 2 dx x 3 2 4x x 2 2x 1 dx 3 0 3 0 3 3 x 3 x 2 2x 1dx x 3 x 1dx 3 0 3 0 x 3 0 x 3 x 3 Do c n 0 x 3 x 1 0 x 1 x 11 3 3 3 2 x 2 3  x 3 x 1 dx x 2x 3 dx x 3x 3 đvdt 3 0 3 0 3 3 0 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 58 -
  60. Toán Cao Cấp A1 Chương 4: Chuỗi Số Chương 4: CHUỖI SỐ Câu 4.1 Tính tổng của các chuỗi số 1 a).  2 n 3 n 4  g n 1 n 1 k 2 k 2 1 n 1 1 Xét S n  2   k 3 k 4 k 3 4 k 2 k 2 4 k 3 k 2 k 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 5 2 6 3 7 4 8 5 9 n 4 n n n 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 2 3 4 n 1 n n 1 n 2 25 Vậy tổng chuỗi cần tìm là S S lim n n 48 1 b). ,  n 2 3n 2 n 1  g Xét tổng chuỗi riêng thứ n của chuỗi 1 S u u u u n 1 2 n  k  2 n 1 k 1 k 3k 2 Rút gọn S , tính S n lim n n 1 1 k 2 k 1 1 1 Ta có: k 2 3k 2 k 1 k 2 k 1 k 2 k 1 k 2 Cho k chạy từ 1 n 1 1 * Với k 1;u 1 2 3 1 1 * Với k 2;u 1 3 4 1 1 * Với k n;u 1 n 1 n 2 1 1 Cộng vế theo vế ta có: Vế trái S n 2 n 2 1 1 1 S (Hữu hạn ) lim n lim n n 2 n 2 2 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 59 -
  61. Toán Cao Cấp A1 Chương 4: Chuỗi Số 1 1 Chuỗi số hội tụ có tổng S  2 2 n 1 n 3n 2 n 2 1 n 2 1 1 1 3 3 15 c). 2. 2.  3n  3n  3 1 1 2 4 4 n 0 n 0 n 0 1 1 3 3  g cách 2: 1 Hoi _ tu Khi q 1;Tông S q 0 . Dựa vào chuỗi số: q n 1 q n 0 Phan _ Ky Khi q 1 n n 1 1 Viết lại chuỗi: 2  n 0 3 3 n n 1 1 1 * Xét chuỗi: 2 2 , Có q 1 n 0 3 n 0 3 3 0 1 1 1 Chuỗi số hội tụ có tổng S 2.q 0 . 2. . 3 1 1 q 3 1 1 3 n 1 1 1 * Xét chuỗi:  , Thấy q 1 n 0 3 3 3 0 1 1 3 Chuỗi số hội tụ có tổng S2 . 3 1 4 1 3 3 15 Chuỗi số hội tụ có tổng S S S 3 1 2 4 4 1 d). arctan  2 n 0 n n 1  g cách 1: Đ ặt n tana, n 1 tanb , Ta có: 1 tanb tana U n arctan arctan arctan tan b a b a arctan n 1 arctan n n2 n 1 1 tanb.tana k k Sk U n  arctan n 1 arctan n n 0 n 0 arctan k 1 arctan k arctan k arctan k 1 arctan 1 arctan k 0 Vậy tổng chuỗi cần tìm là S S lim k k 2  g cách 2: Ta có các công thức: tana tanb tan a b * 1 tana.tanb q b arctan a arctan b arctan 1 ab ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 60 -
  62. Toán Cao Cấp A1 Chương 4: Chuỗi Số q b arctan a arctan b arctan 1 ab Công thức: Câu 4.2 Xét sự hội tụ của các chuỗi số (Hội tụ hay phân kỳ) 2n 1 a).  n 1 3n 2  g 2n 1 2 Ta có U 0. Vậy chuỗi đã cho phân kỳ lim n lim n n 3n 2 3 1 b). n tan n 1 n  g : 1 tan 1 n Ta có U n tan 1 0. Vậy chuỗi đã cho phân kỳ lim n lim lim n n n n 1 n 1 1 c). n e n e n2  n 1  g 1 2 1 1 1 e n 1 1 1 n n2 n 2 e e e 1 1 Ta có U n e n e n . lim n lim lim 1 lim 1 1 n n n n n 2 n n n 1 lim 1 1 0 n n 1 1 Chuỗi n e n e n2 đã cho phân kỳ  n 1 1 n e3n e2n d).  n 1 n  g Xét n chẵn, n . e3n e2n e2n e2n U en 1 , Do , Và en 1 lim n lim lim n n n n n n Xét n lẽ, . e3n e2n e2n U en 1 lim n lim lim n n n n n Vậy U không tồn tại, Nên chuỗi đã cho phân kỳ lim n n Câu 4.3 Xét sự hội tụ của các chuỗi số (Hội tụ hay phân kỳ) ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 61 -
  63. Toán Cao Cấp A1 Chương 4: Chuỗi Số 1 b).  2 n 1 n n 1  g 1 1 Ta có U n lim lim 2 lim 3 n n n n 1 n n n 1 So sánh với lim 3/ 2 n n 1 1 , Cùng hội tụ hoặc phân kỳ  2  3/ 2 n 1 n n 1 n 1 n 1 Mà ta lại có: Hội tụ (Theo T/C tích phân, 3/ 2 1 Chuỗi hội tụ)  3/ 2 n 1 n 2 2n 3 c).  n 1 n n n 1  g 1 Ta có lim Phân kỳ n n 2 2n 3 n 2n 3 2 L 4 lim lim 2 n n n n 1 n n n n 1 Vậy chuỗi đã cho phân kỳ 2n 1 d).  n 1 n 1 n.2 2  g 2n 1 2n 1 n 2n 1 1 Ta có lim n 1 lim n 1 lim n n n.2 2 n n.2 2 n 2n.2 2 2 1/ n 1 Mà  Phân kỳ, Vậy Phân kỳ n n n e 1 e).  n 1 n  g n e 1 1 e n 1 1 Ta có n 1 Chuỗi đã cho cùng hội tụ với chuỗi lim 2 lim  2 n 1/ n n 1 n 1 n n ln n f).  n 2 n ln n ln n ln n  g  n  n  n n n 2 n 8 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 62 -
  64. Toán Cao Cấp A1 Chương 4: Chuỗi Số ln n ln n Xét  Và Vn n 8 n n ln n 1 Với n 8 thì n n 1 Mà  Phân kỳ và U n Vn n 8 n ln n Nên Phân kỳ , Do đó  phân kỳ n 2 n Câu 4.4 Xét sự hội tụ của các chuỗi số (Hội tụ hay phân kỳ) n3 a).  n n 1 2  g n3 n n3 1 Ta có n U n 1. Vậy Hội tụ lim n lim n lim n n 2 n 2 2 3n n! 2 b).  n 1 2n !  g Dùng T/C D’Alembert thì “!” bị triệt tiêu U 3n 1 n 1 !2 2n ! 3 n 1 2 n 1 n 2 U n 2n 2 !.3 n! 2n 1 2n U 3 n 1 2 3 lim n 1 lim 1 Hội tụ n U n n 2n 1 2n 4 Câu 4.5 Xét sự hội tụ của các chuỗi số (Hội tụ hay phân kỳ) n2 1 a). 4n 1 n 2 n  g n2 n 1 1 4 Ta có n U n 4n 1 4 1 1 Phân kỳ lim n lim lim n n n n n e n n b).  n 1 2n 1  g n n n 1 Ta có n U n 1 Hội tụ lim n lim lim n n 2n 1 n 2n 1 2 Câu c, d,e làm tương tự Câu 4.6 Xét sự hội tụ của các chuỗi số (Hội tụ hay phân kỳ) 1 a).  n 2 nln n  g ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 63 -
  65. Toán Cao Cấp A1 Chương 4: Chuỗi Số 1 Xét hàm số f x ; x 2;  xln x Vì hàm số dương và giảm, nên ta xét: dx d ln x ln ln x Chuỗi số đề cho cùng phân kỳ với tích phân suy rộng 2 xln x 2 ln x 2 1 b).  2 n 2 nln n  g 1 Xét hàm số f x ; x 2;  xln 2 x 1 Vì hàm số f x dương và giảm trên 2; , nên: f n và f x cùng hội tụ hoặc phân kỳ 2     xln x n 2 n 2 dx b d ln x 1 b 1 1 1 Xét: Hội tụ 2 lim 2 lim lim 2 xln x b 2 ln x b ln x 2 b ln 2 ln b ln 2 Câu 4.11 Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm nx n a).  1 n n 1 3n 2  g nx n a 1 a 1 n ; n 1 1  1 n lim 3n 2 n an  Khoảng hội tụ: 1;1 n n 1 Tại x = -1; Chuỗi đề cho trở thành ; U 0  lim n lim n 1 3n 2 n n 3n 2 3 Vậy chuỗi phân kỳ U 1/ 3 lim n n 1 n n n chan Tại x = 1; Chuỗi đề cho trở thành ; Ta thấy không tồn tại U , Do  lim n U 1/ 3 n 1 3n 2 n lim n n n le Vậy chuỗi phân kỳ Miền hội tụ (-1;1) n n 1 b).  x n n 1 n  g n 1 a 1 a ; n 1 1  1 n lim n n an  Khoảng hội tụ: n n 1 Tại x = -1; Chuỗi đề cho trở thành  n 1 n ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 64 -
  66. Toán Cao Cấp A1 Chương 4: Chuỗi Số n 1 Ta thấy U 1 e 0 lim n lim n n n Vậy chuỗi phân kỳ n n n 1 Tại x = 1; Chuỗi đề cho trở thành  1 n 1 n U e lim n n n chan Ta thấy không tồn tại U , Do lim n U e n lim n n n le Vậy chuỗi phân kỳ Miền hội tụ (-1;1) n! 2 x n c).  n 1 2n !  g n! 2 a 1 1 a ; n 1  4 n lim 2n ! n an 4  Khoảng hội tụ: 4;4 n! 2 4n Tại x = - 4; Chuỗi đề cho trở thành  1 n 1 2n ! 4 n 1 2 4n D U 1 lim n lim n n 2n 1 2n 2 2 U n 1 4n 8n 4 Mà 2 1;n 1 U n 4n 6n 2 Vậy chuỗi phân kỳ theo D’Alembert n! 2 4 n Tại x = - 4; Chuỗi đề cho trở thành  2 n 1 2n ! n! 2 4 n  Chính là chuỗi (1) n 1 2n ! Kết quả trên cho ta chuỗi (2) phân kỳ Miền hội tụ (-4;4) 2n n x 3 d). 1  n n 1 2n 1 3  g n 2 1 Đặt x 3 X , Đặt a n 2n 1 3n 1 n 1 1 1 n n  an  3 lim lim n lim n n n 2n 1 3 n 3. 2n 1 3  Do X 0 nên khoảng hội tụ là thành 0;3 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 65 -
  67. Toán Cao Cấp A1 Chương 4: Chuỗi Số 1 Tại X = 3; Chuỗi đề cho trở thành  1 n (Dương giảm 0) n 1 2n 1 Chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz n Chuỗi đề cho hội tụ an X HT n 1 0 X 3 x 3 2 3 3 x 3 3 3 3 x 3 3 Miền hội tụ 3 3;3 3 x 1 Neu 1 x 0 Câu 4.21 Cho hàm y = f(x) tuần hoàn, Chu kỳ T = 2 và f x . Viết khai triển 1 x Neu 0 x 1 Fourier của hàm f(x).  g Ta thấy f x f x ,x  1;1 f chẵn trên  1;1. Do đó: bk 0,x  1 1 1 1 a f x dx 2 f x dx 2 1 x dx 1 0 1 1 0 0 1 1 1 cos x a f x .sin x dx 2 1 x .sin n x dx 2 1 x d n 1 0 0 n cos x 1 1 1 1 1 1 2 2 1 x cos n x dx 2 sin n x 2 2 n 0 n 0 n n 0 n x Neu 0 x 1 Câu 4.22 Cho f x . Viết khai triển 1 x Neu 1 x 2 Fourier trên đoạn [0;2] của hàm f(x).  g f x Neu x 0;2 Đặt g x Ta thấy g(x) là hàm tuần hoàn trên [-2;2] và f(x) trên [-2;2] f x Neu x  2;0 Nguồn: Sites.google.com/site/dethidhnl Lưu ý: Giữ nguyên nội dung và ghi rõ nguồn: Sites.google.com/site/dethidhnl khi đăng tải nội dung này ở nơi khác. Một sô kênh học tập và trao học tập đổi dành cho Sinh viên khác: ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 66 -
  68. Toán Cao Cấp A1 Chương 4: Chuỗi Số * Kênh Youtube: youtube.com/DeThiNongLam * Facebook cá nhân: facebook.com/dethinonglam * Nhóm học tập trên Facebook: facebook.com/groups/DeThiNongLam * Fanpage: facebook.com/NganHangDeThiDHNongLamHCM ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 67 -