›
›

Giáo trình Cấu trúc dữ liệu và thuật toán - Chương 1: Các khái niệm cơ bản

pdf 75 trang hapham 2120
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Cấu trúc dữ liệu và thuật toán - Chương 1: Các khái niệm cơ bản", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfgiao_trinh_cau_truc_du_lieu_va_thuat_toan_chuong_1_cac_khai.pdf

Nội dung text: Giáo trình Cấu trúc dữ liệu và thuật toán - Chương 1: Các khái niệm cơ bản

  1. CẤU TRÚC DỮ LIỆU VÀ THUẬT TOÁN CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
  2. NỘI DUNG 1.1. Ví dụ mở đầu 1.2. Thuật toán và độ phức tạp 1.3. Ký hiệu tiệm cận 1.4. Giả ngôn ngữ 1.5. Một số kĩ thuật phân tích thuật toán Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  3. Ví dụ mở đầu • Bài toán tìm dãy con lớn nhất: Cho dãy số a1, a2, , an Dãy số ai, ai+1 , , aj với 1 ≤ i ≤ j ≤ n được gọi là dãy con của dãy j đã cho và ∑ k=i ak được gọi là trọng lượng của dãy con này Bài toán đặt ra là: Hãy tìm trọng lượng lớn nhất của các dãy con, tức j là tìm cực đại giá trị ∑ k=i ak. Để đơn giản ta gọi dãy con có trọng lượng lớn nhất là dãy con lớn nhất. • Ví dụ: Nếu dãy đã cho là -2, 11, -4, 13, -5, 2 thì cần đưa ra câu trả lời là 20 (là trọng lượng của dãy con 11, -4, 13) Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  4. Thuật toán trực tiếp • Thuật toán đơn giản đầu tiên có thể nghĩ để giải bài toán đặt ra là: Duyệt tất cả các dãy con có thể ai, ai+1 , , aj với 1 ≤ i ≤ j ≤ n và tính tổng của mỗi dãy con để tìm ra trọng lượng lớn nhất. • Trước hết nhận thấy rằng, tổng số các dãy con có thể của dãy đã cho là C(n,2) + n = n2/2 + n/2 . Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  5. Thuật toán trực tiếp • Thuật toán này có thể cài đặt trong đoạn chương trình sau: int maxSum = 0; for (int i=0; i maxSum maxSum = sum; } } Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  6. Thuật toán trực tiếp • Phân tích thuật toán: Ta sẽ tính số lượng phép cộng mà thuật toán phải thực hiện, tức là đếm xem dòng lệnh Sum += a[k] phải thực hiện bao nhiêu lần. Số lượng phép cộng sẽ là n 1 n 1 n 1 n 1 (n i)(n i 1) ( j i 1) (1 2 (n i))  i 0 j i i 0 i 0 2 n n n 1 1 2 1 n(n 1)(2n 1) n(n 1)  k(k 1) k k 2 k 1 2 k 1 k 1 2 6 2 n3 n2 n 6 2 3 Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  7. Thuật toán nhanh hơn • Để ý rằng tổng các số hạng từ i đến j có thể thu được từ tổng của các số hạng từ i đến j-1 bởi 1 phép cộng, cụ thể là ta có: j j 1  a[k] a[ j] a[k] k i k i • Nhận xét này cho phép rút bớt vòng lặp for trong cùng. Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  8. Thuật toán nhanh hơn • Ta có thể cài đặt như sau int maxSum = a[0]; for (int i=0; i maxSum maxSum = sum; } } Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  9. Thuật toán nhanh hơn • Phân tích thuật toán. Ta lại tính số lần thực hiện phép cộng và thu được kết quả sau: n 1 n2 n (n i) n (n 1) 1 i 0 2 2 • Để ý rằng số này là đúng bằng số lượng dãy con. Dường như thuật toán thu được là rất tốt, vì ta phải xét mỗi dãy con đúng 1 lần. Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  10. Thuật toán đệ qui • Ta còn có thể xây dựng thuật toán tốt hơn nữa! Ta sẽ sử dụng kỹ thuật chia để trị. Kỹ thuật này bao gồm các bước sau: – Chia bài toán cần giải ra thành các bài toán con cùng dạng – Giải mỗi bài toán con một cách đệ qui – Tổ hợp lời giải của các bài toán con để thu được lời giải của bài toán xuất phát. • Áp dụng kỹ thuật này đối với bài toán tìm trọng lượng lớn nhất của các dãy con: Ta chia dãy đã cho ra thành 2 dãy sử dụng phần tử ở chính giữa và thu được 2 dãy số (gọi tắt là dãy bên trái và dãy bên phải) với độ dài giảm đi một nửa. Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  11. Thuật toán đệ qui • Để tổ hợp lời giải, nhận thấy rằng chỉ có thể xảy ra một trong 3 trường hợp: – Dãy con lớn nhất nằm ở dãy con bên trái (nửa trái) – Dãy con lớn nhất nằm ở dãy con bên phải (nửa phải) – Dãy con lớn nhất bắt đầu ở nửa trái và kết thúc ở nửa phải (giữa). • Do đó, nếu ký hiệu trọng lượng của dãy con lớn nhất ở nửa trái là wL, ở nửa phải là wR và ở giữa là wM thì trọng lượng cần tìm sẽ là max(wL, wR, wM). Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  12. Thuật toán đệ qui • Việc tìm trọng lượng của dãy con lớn nhất ở nửa trái (wL) và nửa phải (wR) có thể thực hiện một cách đệ qui • Để tìm trọng lượng wM của dãy con lớn nhất bắt đầu ở nửa trái và kết thúc ở nửa phải ta thực hiện như sau: – Tính trọng lượng của dãy con lớn nhất trong nửa trái kết thúc ở điểm chia (wML) và – Tính trọng lượng của dãy con lớn nhất trong nửa phải bắt đầu ở điểm chia (wMR). – Khi đó wM = wML + wMR. Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  13. Thuật toán đệ qui • m – điểm chia của dãy trái, m+1 là điểm chia của dãy phải a1, a2, ,am, am+1, am+2, ,an Tính WML của dãy con Tính WMR của dãy con lớn nhất trong nửa trái lớn nhất trong nửa phải kết thúc tại am bắt đầu từ am+1 Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  14. Thuật toán đệ qui • Để tính trọng lượng của dãy con lớn nhất ở nửa trái (từ a[i] đến a[j]) kết thúc ở a[j] ta dùng thuật toán sau: MaxLeft(a, i, j); { maxSum = - ; sum = 0; for (int k=j; k>=i; k ) { sum = sum+a[k]; maxSum = max(sum, maxSum); } return maxSum; } Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  15. Thuật toán đệ qui • Để tính trọng lượng của dãy con lớn nhất ở nửa phải (từ a[i] đến a[j]) bắt đầu từ a[i] ta dùng thuật toán sau: MaxRight(a, i, j); { maxSum = - ; sum = 0; for (int k=i; k<=j; k++){ sum = sum+a[k]; maxSum = max(sum, maxSum); } return maxSum; } Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  16. Thuật toán đệ qui Sơ đồ của thuật toán đệ qui có thể mô tả như sau: MaxSub(a, i, j); { if (i = j) return a[i] else { m = (i+j)/2; wL = MaxSub(a, i, m); wR = MaxSub(a, m+1, j); wM = MaxLeft(a, i, m)+ MaxRight(a, m+1, j); return max(wL, wR, wM); } } Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  17. Thuật toán đệ qui • Phân tích thuật toán: Ta cần tính xem lệnh gọi MaxSub(a,1,n) để thực hiện thuật toán đòi hỏi bao nhiêu phép cộng? • Truớc hết nhận thấy MaxLeft và MaxRight đòi hỏi n/2 + n/2 = n phép cộng • Vì vậy, nếu gọi T(n) là số phép cộng cần tìm, ta có công thức đệ qui sau: 0 n 1 T (n) n n n T ( ) T ( ) n 2T ( ) n n 1 2 2 2 Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  18. Thuật toán đệ qui • Ta khẳng định rằng T(2k) = k.2k. Ta chứng minh bằng qui nạp • Cơ sở qui nạp: Nếu k=0 thì T(20) = T(1) = 0 = 0.20. • Chuyển qui nạp: Nếu k>0, giả sử rằng T(2k-1) = (k-1)2k-1 là đúng. Khi đó T(2k) = 2T(2k-1)+2k = 2(k-1).2k-1 + 2k = k.2k. • Quay lại với ký hiệu n, ta có T(n) = n log n . • Kết quả thu được là tốt hơn thuật toán thứ hai ! Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  19. So sánh các thuật toán • Cùng một bài toán ta đã đề xuất 3 thuật toán đòi hỏi số lượng phép toán khác nhau và vì thế sẽ đòi hỏi thời gian tính khác nhau. Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  20. Thuật toán Quy hoạch động Việc phát triển thuật toán dựa trên DP bao gồm 3 giai đoạn: 1. Phân rã: Chia bài toán cần giải thành những bài toán con nhỏ hơn có cùng dạng với bài toán ban đầu. 2. Ghi nhận lời giải: Lưu trữ lời giải của các bài toán con vào một bảng. 3. Tổng hợp lời giải: Lần lượt từ lời giải của các bài toán con kích thước nhỏ hơn tìm cách xây dựng lời giải của bài toán kích thước lớn hơn, cho đến khi thu được lời giải của bài toán xuất phát (là bài toán con có kích thước lớn nhất). Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  21. Thuật toán QHĐ • Phân r·. Gäi si lµ trọng lượng cña d·y con lín nhÊt trong d·y a1, a2, , ai , i = 1, 2, , n. Râ rµng sn lµ gi¸ trÞ cÇn t×m. • Tæng hîp lêi gi¶i. – Tr­íc hÕt, ta cã s1 = a1. – Gi¶ sö i > 1 vµ sk lµ ®· biÕt víi k = 1, 2, , i-1. Ta cÇn tÝnh si lµ trọng lượng của d·y con lín nhÊt cña d·y a1, a2, , ai-1, ai . Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  22. Thuật toán QHĐ • Do dãy con lớn nhất của dãy này hoặc là có chứa phần tử ai hoặc là không chứa phần tử ai, nên nó chỉ có thể là một trong hai dãy: – Dãy con lớn nhất của dãy a1, a2, , ai-1 – Dãy con lớn nhất của dãy a1, a2, , ai kết thúc tại ai. • Từ đó suy ra si = max {si-1, ei}, i = 2, , n. trong đó ei là trọng lượng của dãy con lớn nhất của dãy a1, a2, , ai kết thúc tại ai. • Để tính ei, ta cũng có thể sử dụng công thức đệ qui sau: – e1 = a1; – ei = max {ai, ei-1 + ai}, i = 2, , n. Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  23. Thuật toán QHĐ MaxSub(a); { smax = a[1]; (* smax – trọng lượng cña d·y con lín nhÊt *) maxendhere = a[1]; (* maxendhere – trọng lượng của dãy con lớn nhất kết thúc tại a[i] *) imax = 1; (* imax - vÞ trÝ kÕt thóc cña d·y con lín nhÊt *) for i = 2 to n { u = maxendhere + a[i]; v = a[i]; if (u > v) maxendhere = u else maxendhere = v; if (maxendhere > smax)then { smax := maxendhere; imax := i; } } } Phân tích thuật toán: Dễ thấy số phép toán cộng phải thực hiện trong thuật toán (số lần thực hiện câu lệnh u = maxendhere + a[i];) là n. Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  24. NỘI DUNG 1.1. Ví dụ mở đầu 1.2. Thuật toán và độ phức tạp 1.3. Ký hiệu tiệm cận 1.4. Giả ngôn ngữ 1.5. Một số kĩ thuật phân tích thuật toán Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  25. Khái niệm bài toán tính toán • §Þnh nghÜa. Bµi to¸n tÝnh to¸n F lµ ¸nh x¹ tõ tËp c¸c x©u nhÞ ph©n ®é dµi h÷u h¹n vµo tËp c¸c x©u nhÞ ph©n ®é dµi h÷u h¹n: F : {0, 1}* {0, 1}*. • VÝ dô: – Mçi sè nguyªn x ®Òu cã thÓ biÓu diÔn d­íi d¹ng x©u nhÞ ph©n lµ c¸ch viÕt trong hÖ ®Õm nhÞ ph©n cña nã. – HÖ ph­¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh Ax = b cã thÓ biÓu diÔn d­íi d¹ng x©u lµ ghÐp nèi cña c¸c x©u biÓu diÔn nhÞ ph©n cña c¸c thµnh phÇn cña ma trËn A vµ vect¬ b. n – §a thøc mét biÕn P(x) = a0 + a1 x + + an x hoµn toµn x¸c ®Þnh bëi d·y sè n, a0, a1, , an, mµ ®Ó biÓu diÔn d·y sè nµy chóng ta cã thÓ sö dông x©u nhÞ ph©n. Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  26. Khái niệm thuật toán • §Þnh nghÜa. Ta hiÓu thuËt to¸n gi¶i bµi to¸n ®Æt ra lµ mét thñ tôc x¸c ®Þnh bao gåm mét d·y h÷u h¹n c¸c b­íc cÇn thùc hiÖn ®Ó thu ®­îc ®Çu ra cho mét ®Çu vµo cho tr­íc cña bµi to¸n. • ThuËt to¸n cã c¸c ®Æc tr­ng sau ®©y: – §Çu vµo (Input): ThuËt to¸n nhËn d÷ liÖu vµo tõ mét tËp nµo ®ã. – §Çu ra (Output): Víi mçi tËp c¸c d÷ liÖu ®Çu vµo, thuËt to¸n ®­a ra c¸c d÷ liÖu t­¬ng øng víi lêi gi¶i cña bµi to¸n. – ChÝnh x¸c (Precision): C¸c b­íc cña thuËt to¸n ®­îc m« t¶ chÝnh x¸c. – H÷u h¹n (Finiteness): ThuËt to¸n cÇn ph¶i ®­a ®­îc ®Çu ra sau mét sè h÷u h¹n (cã thÓ rÊt lín) b­íc víi mäi ®Çu vµo. – §¬n trÞ (Uniqueness): C¸c kÕt qu¶ trung gian cña tõng b­íc thùc hiÖn thuËt to¸n ®­îc x¸c ®Þnh mét c¸ch ®¬n trÞ vµ chØ phô thuéc vµo ®Çu vµo vµ c¸c kÕt qu¶ cña c¸c b­íc tr­íc. – Tæng qu¸t (Generality): ThuËt to¸n cã thÓ ¸p dông ®Ó gi¶i mäi bµi to¸n cã d¹ng ®· cho. Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  27. Giải bài toán là gì? What is Problem Solving? • Problem solving – Là quá trình đặt bài toán và phát triển chương trình máy tính để giải bài toán đặt ra • Lời giải bài toán bao gồm: – Thuật toán (Algorithms) • Algorithm: là dãy các bước cần thực hiện để từ dữ liệu vào (input) đưa ra kết quả đầu ra (output) của bài toán trong thời gian hữu hạn. – Cấu trúc dữ liệu: • Cách tổ chức lưu trữ dữ liệu vào - ra Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  28. Độ phức tạp của thuật toán • Đánh giá độ phức tạp tính toán của thuật toán là đánh giá lượng tài nguyên các loại mà thuật toán đòi hỏi sử dụng. Có hai loại tài nguyên quan trọng đó là thời gian và bộ nhớ. Trong giáo trình này ta đặc biệt quan tâm đến đánh giá thời gian cần thiết để thực hiện thuật toán mà ta sẽ gọi là thời gian tính của thuật toán. • Thời gian tính phụ thuộc vào dữ liệu vào. • §Þnh nghÜa. Ta gäi kÝch th­íc d÷ liÖu ®Çu vµo (hay độ dài dữ liệu vào) lµ sè bÝt cÇn thiÕt ®Ó biÓu diÔn nã. • Ta sẽ tìm cách đánh giá thời gian tính của thuật toán bởi một hàm của độ dài dữ liệu vào. Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  29. Phép toán cơ bản • Đo thời gian tính bằng đơn vị đo nào? • §Þnh nghÜa. Ta gäi phÐp to¸n c¬ b¶n lµ phÐp to¸n cã thÓ thùc hiÖn víi thêi gian bÞ chÆn bëi mét h»ng sè kh«ng phô thuéc vµo kÝch th­íc d÷ liÖu. • §Ó tÝnh to¸n thêi gian tÝnh cña thuËt to¸n ta sÏ ®Õm sè phÐp to¸n c¬ b¶n mµ nã ph¶i thùc hiÖn. Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  30. Các loại thời gian tính Chóng ta sÏ quan t©m ®Õn – Thêi gian tèi thiÓu cÇn thiÕt ®Ó thùc hiÖn thuËt to¸n víi mäi bé d÷ liÖu ®Çu vµo kÝch th­íc n. Thêi gian nh­ vËy sÏ ®­îc gäi lµ thêi gian tÝnh tèt nhÊt cña thuËt to¸n víi ®Çu vµo kÝch th­íc n. – Thêi gian nhiÒu nhÊt cÇn thiÕt ®Ó thùc hiÖn thuËt to¸n víi mäi bé d÷ liÖu ®Çu vµo kÝch th­íc n. Thêi gian nh­ vËy sÏ ®­îc gäi lµ thêi gian tÝnh tåi nhÊt cña thuËt to¸n víi ®Çu vµo kÝch th­íc n. – Thêi gian trung b×nh cÇn thiÕt ®Ó thùc hiÖn thuËt to¸n trªn tËp h÷u h¹n c¸c ®Çu vµo kÝch th­íc n. Thêi gian nh­ vËy sÏ ®­îc gäi lµ thêi gian tÝnh trung b×nh cña thuËt to¸n. Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  31. NỘI DUNG 1.1. Ví dụ mở đầu 1.2. Giải bài toán và công nghệ phần mềm 1.3. Thuật toán và độ phức tạp 1.4. Ký hiệu tiệm cận 1.5. Giả ngôn ngữ 1.6. Một số kĩ thuật phân tích thuật toán Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  32. Ký hiệu tiệm cận Asymptotic Notation , O • Được sử dụng để mô tả thời gian tính của thuật toán • Thay vì nói chính xác thời gian tính, ta nói (n2) • Được xác định đối với các hàm nhận giá trị nguyên không âm • Dùng để so sánh tốc độ tăng của hai hàm Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  33. Ký hiệu  Đối với hàm g(n), ta ký hiệu (g(n)) là tập các hàm (g(n)) = {f(n): tồn tại các hằng số c1, c2 và n0 sao cho 0 c1g(n) f(n) c2g(n), với mọi n n0 } Ta nói rằng g(n) là đánh giá tiệm cận đúng cho f(n) Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  34. Ví dụ 10n2 - 3n = (n2) ? • Với giá trị nào của các hằng số n0, c1, và c2 thì bất đẳng thức trong định nghĩa là đúng? • Lấy c1 bé hơn hệ số của số hạng với số mũ cao nhất, còn c2 lấy lớn hơn, ta có n2 ≤ 10n2 – 3n ≤ 11n2, với mọi n ≥ 1. • Đối với hàm đa thức: Để so sánh tốc độ tăng cần nhìn vào số hạng với số mũ cao nhất Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  35. Ký hiệu O (đọc là ô lớn - big O) Đối với hàm g(n) cho trước, ta ký hiệu O(g(n)) là tập các hàm O(g(n)) = {f(n): tồn tại các hằng số dương c và n0 sao cho: f(n) cg(n) với mọi n n0 } Ta nói g(n) là cận trên tiệm cận của f(n) Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  36. Ký hiệu  Đối với hàm g(n) cho trước, ta ký hiệu (g(n)) là tập các hàm (g(n)) = {f(n): tồn tại các hằng số dương c và n0 sao cho: cg(n) f(n) với mọi n n0 } Ta nói g(n) là cận dưới tiệm cận cho f(n) Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  37. Liên hệ giữa , , O Đối với hai hàm bất kỳ g(n) và f(n), f(n) = (g(n)) khi và chỉ khi f(n) = O(g(n)) và f(n) = (g(n)) tức là (g(n)) = O(g(n))  (g(n)) Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  38. Cách nói về thời gian tính • Nói “Thời gian tính là O(f(n))” hiểu là: Đánh giá trong tình huống tồi nhất (worst case) là O(f(n)). Thường nói: “Đánh giá thời gian tính trong tình huống tồi nhất là O(f(n))” • Nghĩa là thời gian tính trong tình huống tồi nhất được xác định bởi một hàm nào đó g(n) (f(n)) • “Thời gian tính là (f(n))” hiểu là: Đánh giá trong tình huống tốt nhất (best case) là (f(n)). Thường nói: “Đánh giá thời gian tính trong tình huống tốt nhất là (f(n))” – Nghĩa là thời gian tính trong tình huống tốt nhất được xác định bởi một hàm nào đó g(n) (f(n)) Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  39. Ví dụ • Sắp xếp chèn (Insertion sort) đòi hỏi thời gian (n2) trong tình huống tồi nhất, vì thế bài toán sắp xếp có thời gian là O(n2). • Mọi thuật toán sắp xếp đều đòi hỏi duyệt qua tất cả các phần tử, vì thế bài toán sắp xếp có thời gian (n) trong tình huống tốt nhất. • Trên thực tế, sử dụng (chẳng hạn) sắp xếp trộn (merge sort), bài toán sắp xếp có thời gian (n log n) trong tình huống tồi nhất. Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  40. Ký hiệu tiệm cận trong các đẳng thức • Được sử dụng để thay thế các biểu thức chứa các toán hạng với tốc độ tăng chậm • Ví dụ, 4n3 + 3n2 + 2n + 1 = 4n3 + 3n2 + (n) = 4n3 + (n2) = (n3) • Trong các đẳng thức, (f(n)) thay thế cho một hàm nào đó g(n) (f(n)) – Trong ví dụ trên, (n2) thay thế cho 3n2 + 2n + 1 Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  41. Sự tương tự giữa so sánh các hàm số và so sánh các số f  g a  b f (n) = O(g(n)) a b f (n) = (g(n)) a b f (n) = (g(n)) a = b Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  42. Liên hệ với khái niệm giới hạn • lim [f(n) / g(n)] = 0 f(n) (g(n)) n • lim [f(n) / g(n)] < f(n) (g(n)) n • 0 < lim [f(n) / g(n)] < f(n) (g(n)) n • 0 < lim [f(n) / g(n)] f(n) (g(n)) n • lim [f(n) / g(n)] = f(n) (g(n)) n • lim [f(n) / g(n)] không xác định không thể nói gì n Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  43. Các tính chất • Truyền ứng (Transitivity) f(n) = (g(n)) & g(n) = (h(n)) f(n) = (h(n)) f(n) = O(g(n)) & g(n) = O(h(n)) f(n) = O(h(n)) f(n) = (g(n)) & g(n) = (h(n)) f(n) = (h(n)) • Đối xứng (Symmetry) f(n) = (g(n)) khi và chỉ khi g(n) = (f(n)) • Đối xứng chuyển vị (Transpose Symmetry) f(n) = O(g(n)) khi và chỉ khi g(n) = (f(n)) Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  44. Ví dụ A B • 5n2 + 100n 3n2 + 2 2 3 • log3(n ) log2(n ) Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  45. Ví dụ A B • 5n2 + 100n 3n2 + 2 A (B) A (n2), n2 (B) A (B) 2 3 • log3(n ) log2(n ) Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  46. Ví dụ A B • 5n2 + 100n 3n2 + 2 A (B) A (n2), n2 (B) A (B) 2 3 • log3(n ) log2(n ) A (B) logba = logca / logcb; A = 2lgn / lg3, B = 3lgn, A/B =2/(3lg3) Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  47. Ví dụ A B • 5n2 + 100n 3n2 + 2 A (B) A (n2), n2 (B) A (B) 2 3 • log3(n ) log2(n ) A (B) logba = logca / logcb; A = 2lgn / lg3, B = 3lgn, A/B =2/(3lg3) Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  48. Ví dụ • Với mỗi cặp hàm sau đây, hoặc f(n) = O(g(n)), f(n) = Ω(g(n)), hoặc f(n) = Θ(g(n)). Hãy xác định quan hệ nào là đúng. – f(n) = log n2; g(n) = log n + 5 f(n) =  (g(n)) – f(n) = n; g(n) = log n2 f(n) = (g(n)) – f(n) = log log n; g(n) = log n f(n) = O(g(n)) – f(n) = n; g(n) = log2 n f(n) = (g(n)) – f(n) = n log n + n; g(n) = log n f(n) = (g(n)) – f(n) = 10; g(n) = log 10 f(n) = (g(n)) – f(n) = 2n; g(n) = 10n2 f(n) = (g(n)) – f(n) = 2n; g(n) = 3n f(n) = O(g(n)) Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  49. Cận trên và cận dưới Upper Bound and Lower Bound • Định nghĩa (Upper Bound). Cho bài toán P, ta nói cận trên cho thời gian tính của P là O(g(n)) nếu để giải P tồn tại thuật toán giải với thời gian tính là O(g(n)) . • Định nghĩa (Lower Bound). Cho bài toán P, ta nói cận dưới cho thời gian tính của P là (g(n)) nếu mọi thuật toán giải P đều có thời gian tính là (g(n)) . • Định nghĩa. Cho bài toán P, ta nói thời gian tính của P là (g(n)) nếu P có cận trên là O(g(n)) và cận dưới là (g(n)) . Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  50. Một số lớp thuật toán • Một số lớp thuật toán đặc biệt: – O(1): hằng số (constant) – O(log n): logarithmic – O(n): tuyến tính (linear) – O(n log n): trên tuyến tính (superlinear) – O(n2): bình phương (quadratic) – O(n3): bậc ba (cubic) – O(an): hàm mũ (exponential ) (a > 1) – O(nk): đa thức (polynomial) (k ≥ 1) Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  51. NỘI DUNG 1.1. Ví dụ mở đầu 1.2. Thuật toán và độ phức tạp 1.3. Ký hiệu tiệm cận 1.4. Giả ngôn ngữ 1.5. Một số kĩ thuật phân tích thuật toán Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  52. Mô tả thuật toán: giả ngôn ngữ • Để mô tả thuật toán có thể sử dụng một ngôn ngữ lập trình nào đó. Tuy nhiên điều đó có thể làm cho việc mô tả thuật toán trở nên phức tạp đồng thời rất khó nắm bắt. • Vì thế, để mô tả thuật toán người ta thường sử dụng giả ngôn ngữ (pseudo language), trong đó cho phép vừa mô tả thuật toán bằng ngôn ngữ đời thường vừa sử dụng những cấu trúc lệnh tương tự như của ngôn ngữ lập trình. • Dưới đây ta liệt kê một số câu lệnh chính được sử dụng trong giáo trình để mô tả thuật toán. Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  53. Mô tả thuật toán: phỏng ngôn ngữ • Khai báo biến integer x,y; real u, v; boolean a, b; char c, d; datatype x; • Câu lệnh gán x = expression; hoặc x ← expression; Ví dụ: x ← 1+4; y=a*y+2; Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  54. Mô tả thuật toán: giả ngôn ngữ • Cấu trúc điều khiển if condition then dãy câu lệnh else dãy câu lệnh endif; while condition do dãy câu lệnh endwhile; Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  55. Mô tả thuật toán: phỏng ngôn ngữ repeat Câu lệnh case: dãy câu lệnh; until condition; Case cond1: stat1; for i=n1 to n2 [step d] cond2: stat2; dãy câu lệnh; . . endfor; . condn: stat n; • Vào-Ra endcase; read(X); /* X là biến đơn hoặc mảng */ print(data) hoặc print(thông báo) Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  56. Mô tả thuật toán: giả ngôn ngữ • Hàm và thủ tục (Function and procedure) Function name(các tham số) begin mô tả biến; Truyền tham số: các câu lệnh trong thân của hàm; • Tham trị return (giá trị) end; • Tham biến • Biến cục bộ Procedure name(các tham số) begin • Biến toàn cục mô tả biến; các câu lệnh trong thân của hàm; end; Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  57. Mô tả thuật toán: phỏng ngôn ngữ • Ví dụ: Thuật toán tìm phần tử lớn nhất trong mảng A(1:n) Function max(A(1:n)) begin datatype x; /* để giữ giá trị lớn nhất tìm được */ integer i; x=A[1]; for i=2 to n do if x < A[i] then x=A[i]; endif endfor ; return (x); end max; Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  58. Mô tả thuật toán: giả ngôn ngữ • Ví dụ: Thuật toán hoán đổi nội dung hai biến Procedure swap(x, y) begin temp=x; x = y; y = temp; end swap; Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  59. NỘI DUNG 1.1. Ví dụ mở đầu 1.2. Thuật toán và độ phức tạp 1.3. Ký hiệu tiệm cận 1.4. Giả ngôn ngữ 1.5. Một số kĩ thuật phân tích thuật toán Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  60. Các kỹ thuật cơ bản phân tích độ phức tạp của thuật toán • Cấu trúc tuần tự. Gi¶ sö P vµ Q lµ hai ®o¹n cña thuËt to¸n, cã thÓ lµ mét c©u lÖnh nh­ng còng cã thÓ lµ mét thuËt to¸n con. Gäi Time(P), Time(Q) lµ thêi gian tÝnh cña P vµ Q t­¬ng øng. Khi ®ã ta cã Quy t¾c tuÇn tù: Thêi gian tÝnh ®ßi hái bëi “P; Q”, nghÜa lµ P thùc hiÖn tr­íc, tiÕp ®Õn lµ Q, sÏ lµ Time(P; Q) = Time(P) + Time(Q) , hoÆc trong ký hiÖu Theta: Time(P; Q) = (max(Time(P), Time(Q)). Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  61. Vòng lặp for for i =1 to m do P(i); • Giả sử thời gian thực hiện P(i) là t(i) • Khi đó thời gian thực hiện vòng lặp for sẽ là m t(i) i 1 Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  62. Ví dụ: Tính số Fibonaci • Nếu coi các phép toán số học đòi hỏi thời function Fibiter(n) gian là hằng số c, và không tính đến chi phí begin tổ chức vòng lặp for thì thời gian tính của i=0; j=1; hàm trên là (n). for k=2 to n do • Do (công thức Muavre) k k begin 1 1 5 1 5 f k 5 2 2 j= j+i; i= j-i; suy ra số bit biểu diễn fk là (k). Do đó thời end; gian tính của một lần lặp là (k). Vậy thời gian tính của Fibiter là: Fibiter= j; n n end; n(n 1) 2 c.k ck c (n ) k 1 k 1 2 Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  63. Phân tích vòng lặp While và Repeat • Cần xác định một hàm của các biến trong vòng lặp sao cho hàm này có giá trị giảm dần trong quá trình lặp. Khi đó – Để chứng minh tính kết thúc của vòng lặp ta chỉ cần chỉ ra giá trị của hàm là số nguyên dương. – Còn để xác định số lần lặp ta cần phải khảo sát xem giá trị của hàm giảm như thế nào. • Việc phân tích vòng lặp Repeat được tiến hành tương tự như phân tích vòng lặp While. Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  64. Ví dụ: Tìm kiếm nhị phân (Binary Search) Input: Mảng T[1 n] và số x Giả thiết là x có Output: Giá trị i: 1 i n sao cho T[i] = x. mặt trong mảng T function Binary-Search(T[1 n], x); begin i:=1; j:=n; while i T[k]: i:=k+1; end case endwhile end; Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  65. Phân tích Binary-Search • Gọi d= j-i+1. d – số phần tử của mảng cần tiếp tục khảo sát • Ký hiệu i, j, i*, j* theo thứ tự là giá trị của i, j trước và sau khi thực hiện lần lặp. Khi đó – Nếu x T[k], thì j*=j, i*=(i+j) div 2 + 1, vì thế d*=j*- i*+1 = j - (i+j) div 2 j -(i+j-1)/2 - i = (j - i + 1)/2 = d/2. – Nếu x = T[k], thì d* = 1 còn d 2 Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  66. Binary-Search (tiếp) • Vậy luôn có: d* d/2 • Do vòng lặp kết thúc khi d 1, nên từ đó suy ra thuật toán phải kết thúc. • Gọi dp là giá trị của j - i + 1 ở lần lặp thứ p 1 và d0 = n. Khi đó dp dp-1/2, p 1. • Thuật toán kết thúc tại bước p nếu dp 1, điều đó xảy ra khi p = log n . • Vậy thời gian tính của thuật toán là O(log n) Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  67. Các mô tả khác của thuật toán Binary Search Function mid=bsearch1(L,p,q,key) Function mid=bsearch2(L,p,q,key) while q>p while q>p mid=floor((p+q)/2); mid=floor((p+q)/2); if key<=L(mid) if key==L(mid) q=mid; p=mid;break break else p=mid+1; elseif key<L(mid) end q=mid-1; end else p=mid+1; if key==L(p) end mid=p; end else % Chú ý: p có thể có giá trị sai ở đây mid=0; if key==L(p) end mid=p; else Hãy thử với: mid=0; L = 1 , 2, 3 Tìm thấy rồi thì dừng?! end key = 1, 2, 3 Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  68. Hàm trên C boolean binary_search_1(int* a, int n, int x) { /* Test xem x có mặt trong mảng a[] kích thước n. */ int i; while (n > 0) { i = n / 2; if (a[i] == x) return true; if (a[i] < x) { /* Tiếp tục tìm ở nửa trái */ a = &a[i + 1]; n = n - i - 1; } else /* Tiếp tục tìm ở nửa phải */ n = i; } return false; } Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  69. Câu lệnh đặc trưng • Định nghĩa. Câu lệnh đặc trưng là câu lệnh được thực hiện thường xuyên ít nhất là cũng như bất kỳ câu lệnh nào trong thuật toán. • Nếu giả thiết thời gian thực hiện mỗi câu lệnh là bị chặn bởi hằng số thì thời gian tính của thuật toán sẽ cùng cỡ với số lần thực hiện câu lệnh đặc trưng • => Để đánh giá thời gian tính có thể đếm số lần thực hiện câu lệnh đặc trưng Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  70. Ví dụ: FibIter function Fibiter(n) begin i:=0; j:=1; Câu lệnh đặc for k:=1 to n do trưng begin • Số lần thực hiện câu lệnh j:= j+i; đặc trưng là n. i:= j-i; • Vậy thời gian tính của thuật end; toán là O(n) Fibiter:= j; end; Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  71. Ví dụ: Thuật toán 1 ví dụ mở đầu int maxSum =0; for (int i=0; i maxSum maxSum = sum; } } Chọn câu lệnh đặc trưng là sum+=a[k]. => Đánh giá thời gian tính của thuật toán là O(n3) Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  72. Ví dụ: Sắp xếp • Nhận xét: Khi thuật toán đòi hỏi thực hiện nhiều vòng lặp lồng nhau, thì có thể lấy câu lệnh nằm trong vòng lặp trong cùng làm câu lệnh đặc trưng. • Tuy vậy, cũng cần hết sức thận trọng khi sử dụng cách lựa chọn này. • Ví dụ. Sắp xếp kiểu nhốt chim vào chuồng (Pigeonhole Sorting). Sắp xếp n số nguyên dương có giá trị nằm trong khoảng 1 s. Đầu vào: T[1 n]: mảng chứa dãy cần sắp xếp. Đầu ra: T[1 n]: mảng chứa dãy được sắp xếp không giảm. Thuật toán bao gồm 2 thao tác: – Đếm chim: Xây dựng mảng U[1 s], trong đó phần tử U[k] đếm số lượng số có giá trị là k trong mảng T. – Nhốt chim: Lần lượt nhốt U[1] con chim loại 1 vào U[1] lồng đầu tiên, U[2] con chim loại 2 vào U[2] lồng tiếp theo, Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  73. Sắp xếp kiểu nhốt chim procedure Pigeonhole-Sorting; begin (* đếm chim *) for i:=1 to n do inc(U[T[i]]); (* Nhốt chim *) i:=0; for k:=1 to s do while U[k]<>0 do begin i:=i+1; T[i]:=k; U[k]:=U[k]-1; end; end; Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  74. Sắp xếp kiểu nhốt chim • Nếu chọn câu lệnh bất kỳ trong vòng lặp while làm câu lệnh đặc trưng, thì rõ ràng với mỗi k, câu lệnh này phải thực hiện U[k] lần. Do đó số lần thực hiện câu lệnh đặc trưng là s U[k] n k 1 (do có tất cả n số cần sắp xếp). Từ đó ta có thời gian tính là (n). • Ví dụ sau đây cho thấy đánh giá đó chưa chính xác. Giả sử T[i] = i2, i = 1, , n. Ta có Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa
  75. Sắp xếp kiểu nhốt chim 1, nÕu k lµ sè chÝnh ph­¬ng U[k] 0, nÕu tr¸i l¹i, Khi đó s = n2. Rõ ràng thời gian tính của thuật toán không phải là O(n), mà phải là O(n2). • Lỗi ở đây là do ta xác định câu lệnh đặc trưng chưa đúng, các câu lệnh trong thân vòng lặp while không thể dùng làm câu lệnh đặc trưng trong trường hợp này, do có rất nhiều vòng lặp rỗng (khi U[k] = 0). • Nếu ta chọn câu lệnh kiểm tra U[k] <> 0 làm câu lệnh đặc trưng thì rõ ràng số lần thực hiện nó sẽ là n + s. Vậy thuật toán có thời gian tính O(n+s) = O(n2). Tham khảo tài liệu của PGS. TS. Nguyễn Đức Nghĩa