Giáo trình Giải tích hàm nhiều biến - Chương 1: Đạo hàm và vi phân (Phần 1)

Nội dung text: Giáo trình Giải tích hàm nhiều biến - Chương 1: Đạo hàm và vi phân (Phần 1)

1. GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾN • CHƯƠNG I: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN • CHƯƠNG II : TÍCH PHÂN BỘI • CHƯƠNG III: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG • CHƯƠNG IV: TÍCH PHÂN MẶT • CHƯƠNG V: CHUỖI SỐ - CHUỖI LŨY THỪA
2. CHƯƠNG I: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN • Đ1: Cỏc khỏi niệm cơ bản – Giới hạn và liờn tục • Đ2: Đạo hàm riờng • Đ3: Khả vi và Vi phõn • Đ4: Đạo hàm riờng và vi phõn hàm hợp • Đ5: Đạo hàm riờng và vi phõn hàm ẩn • Đ6: Cụng thức Taylor – Maclaurint • Đ7: Cực trị hàm nhiều biến : Cực trị tự do, cực trị cú điều kiện, GTLN-GTNN trong miền đúng
3. Đ1 : Cỏc khỏi niệm cơ bản – Giới hạn và liờn tục Định nghĩa hàm 2 biến : Cho D là tập con của R2 Hàm 2 biến f(x,y) là ỏnh xạ f : D → R (,)(,)x ya f x y= z Miền xỏc định của hàm là tất cả cỏc giỏ trị của (x,y) làm biểu thức của hàm cú nghĩa Miền giỏ trị của hàm là tập cỏc giỏ trị mà hàm cú thể nhận được
4. Đ1 : Cỏc khỏi niệm cơ bản – Giới hạn và liờn tục Vớ dụ : Tỡm MXĐ, MGT của hàm f( x , y )= 9 - x22 - y MXĐ là hỡnh trũn D={( x , y ) ẻ R2 : x 2 + y 2 Ê 9} MGT là đoạn [0,3] MXĐ 3 f(x,y) 3 0 3 (x,y) MGT
5. Đ1 : Cỏc khỏi niệm cơ bản – Giới hạn và liờn tục xy++1 Vớ dụ: Cho hàm f(,) x y = x - 1 Tớnh f(2,1) và tỡm MXĐ của f Giải : a. f(2,1) = 2 b. MXĐ : Ta lấy nửa mặt phẳng phớa trờn đường thẳng x+y+1 = 0 và bỏ đi toàn bộ đường x = 1
6. Đ1 : Cỏc khỏi niệm cơ bản – Giới hạn và liờn tục Cho f(x, y) là hàm 2 biến với MXĐ là D. Đồ thị của f là tập tất cả cỏc điểm M(x, y, z) R3, với (x, y) D, z = f(x, y) ❖ Đồ thị hàm z = f(x, y) là phần mặt S, khỏc với đồ thị hàm 1 biến y = f(x) là phần đường cong.
7. Đ1 : Cỏc khỏi niệm cơ bản – Giới hạn và liờn tục Hỡnh trũn mở tõm M0(x0,y0), bỏn kớnh r – kớ hiệu B(M0,r) là tập 2 B(,):(,) M00 r={ M ẻ R d M M < r } 2 2 2 {(,):()()x yẻ R x - x00 + y - y < r} Hỡnh trũn mở này cũn được gọi là một r - lõn cận của điểm M
8. Đ1 : Cỏc khỏi niệm cơ bản – Giới hạn và liờn tục Cho tập D và 1 điểm M thuộc R2. Ta định nghĩa 3 loại điểm như sau : Điểm trong : M gọi là điểm trong của D nếu tồn tại ớt nhất r>0 sao cho r- lõn cận của M là B(M,r) nằm hoàn toàn trong D. Điểm biờn : M gọi là điểm biờn của D nếu với mọi r>0, hỡnh cầu mở B(M,r) chứa những điểm thuộc D và những điểm khụng thuộc D. Điểm tụ : Điểm M gọi là điểm tụ của D nếu với mọi r>0, hỡnh cầu mở B(M,r) đều chứa ớt nhất 1 điểm N thuộc D, khỏc M
9. Đ1 : Cỏc khỏi niệm cơ bản – Giới hạn và liờn tục Định lý : Điểm M là điểm tụ của tập D khi và chỉ khi tồn tại dóy điểm Mn (Mn≠M) tiến về M, tức là khi n→∞ thỡ d(Mn,M) →0 • Chỳ ý : 1.Như vậy điểm trong của D chắc chắn thuộc A, cũn điểm biờn của D thỡ cú thể khụng thuộc D. 2.Điểm biờn chắc chắn là điểm tụ, nhưng điểm tụ thỡ cú thể khụng là điểm biờn
10. Đ1 : Cỏc khỏi niệm cơ bản – Giới hạn và liờn tục Tập D được gọi là tập đúng nếu D chứa mọi điểm biờn của nú. Tập cỏc điểm biờn của D gọi là biờn của D Tập D được gọi là tập mở nếu R2\D là tập đúng, khi đú, mọi điểm thuộc D đều là điểm trong, D khụng chứa bất kỳ điểm biờn nào Tập D được gọi là tập bị chặn nếu nú được chứa trong một hỡnh cầu nào đú, tức là $ẻr:(,) D B O r Như vậy, cú những tập chỉ chứa 1 phần biờn mà khụng chứa toàn bộ biờn nờn sẽ là tập khụng mở, khụng đúng.
11. Đ1 : Cỏc khỏi niệm cơ bản – Giới hạn và liờn tục Vớ dụ : Cho D là phần hỡnh cầu D={( x , y , z ) ẻ R3 : x 2 + y 2 + z 2 < 4} Biờn của D là toàn bộ mặt cầu x2 + y2 + z2 = 4, do đú D khụng chứa bất kỳ điểm biờn nào tức là mọi điểm thuộc D đều là điểm trong. Vậy D là tập mở Vớ dụ : Cho hỡnh vành khăn D={( x , y ) ẻ R2 :1 Ê x 2 + y 2 Ê 4} Biờn của D là 2 đường trũn x2 + y2=1 và x2+y2 = 4 nằm hoàn toàn trong D nờn D là tập đúng
12. Đ1 : Cỏc khỏi niệm cơ bản – Giới hạn và liờn tục Vớ dụ : Trong R2 cho miền D D={( x , y ) ẻ R2 : x + y < 3, x ³ 0, y ³ 0} Biờn của D là 3 đoạn OA, OB, AB. Miền D khụng chứa đoạn AB tức là D B B khụng chứa mọi điểm biờn nờn D khụng là tập đúng. O A Tuy nhiờn, D khụng là tập mở vỡ D chứa cỏc điểm biờn thuộc đoạn OA, OB Tập D là tập bị chặn vỡ ta cú thể lấy đường trũn ngoại tiếp D chứa D (đường trũn tõm I là trung điểm AB, bỏn kớnh r = 1/2AB) tức là D nằm hoàn toàn trong 1 hỡnh cầu mở
13. Đ1 : Cỏc khỏi niệm cơ bản – Giới hạn và liờn tục Định nghĩa giới hạn hàm 2 biến : Cho hàm f(x,y) cú miền xỏc định là D và M0(x0,y0) là 1 điểm tụ của D. Số a được gọi là giới hạn của hàm f khi x→x0, y→y0 (hay M →M0) nếu "ed >0, $ > 0:(,) "x y ạ (, x00 y ),(,) x y ẻ D , 22 ()()(,)x- x00 - y - y <de ị f x y - a < Khi ấy, ta viết limf ( M )== a hay lim f ( x , y ) a MMđ 0 xxđ 0 yyđ 0 Lưu ý: Định nghĩa trờn tương tự như giới hạn của hàm f(x), khi M dần đến M0 (khụng trựng M0), nếu f(M) dần về a thỡ ta cũng núi giới hạn của f(M) bằng a
14. Đ1 : Cỏc khỏi niệm cơ bản – Giới hạn và liờn tục Một cỏch đơn giản hơn, ta định nghĩa giới hạn hàm cho riờng hàm 2 biến x, y theo đường cong như sau Khi điểm M dần đến M0 theo mọi đường cong L, mà hàm f(M) luụn dần về 1 giỏ trị a thỡ ta cũng cú limf ( M )== a hay lim f ( x , y ) a MMđ 0 xxđ 0 yyđ 0 Như vậy: Nếu M dần đến M0 theo 2 đường cong L1,L2 khỏc nhau và f(M) dần đến 2 giỏ trị a1≠a2 thỡ ta núi khụng tồn tại giới hạn của hàm f(M) khi M→M0
15. Đ1 : Cỏc khỏi niệm cơ bản – Giới hạn và liờn tục Chỳ ý : Cỏch tỡm giới hạn hàm 2 biến: Đưa về giới hạn hàm 1 biến hoặc dựng định lý kẹp xy 2 Vớ dụ : Tớnh lim (xy , )đ (0,0) xy22+ Giải : xy 2 02ÊÊ22 y Ta dựng định lý kẹp như khi xy+ tớnh giới hạn hàm 1 biến: Suy ra giới hạn cần tỡm bằng 0 0
16. Đ1 : Cỏc khỏi niệm cơ bản – Giới hạn và liờn tục sin(xy ) Vớ dụ : Tớnh lim (xy , )đ (0,0)11-+3 xy Giải: Đặt t = xy →0 thỡ sin(xy ) sin t t lim= lim = lim = - 3 (x , y )đ (0,0)1-3 1 +xy t đ 0 1 -3 1 + t t đ 0 - 1 t 3 xy Vớ dụ : Tớnh lim (xy , )đ (0,0) xy22+ Giải: Ta cho (x,y) →(0,0) theo 2 đường y = x và y = 2x 22 Ta được xx1 2 2 lim22== và lim (x , y )đ (0,0)/ y = x25xx25 ( x , y ) đ (0,0)/ y = 2 x Vậy giới hạn đó cho là khụng tồn tại
17. Đ1 : Cỏc khỏi niệm cơ bản – Giới hạn và liờn tục Cỏc tớnh chất giới hạn của tổng, tớch, thương Cho limf ( x , y )== a , lim g ( x , y ) b xđđ x00 x x yđđ y00 y y Ta cú cỏc kết quả sau khi x→x0, y→y0 1. lim(f(x,y)+g(x,y)=a+b 2. lim f(x,y).g(x,y) = a.b 3. lim C.f(x,y) = C.a f(x,y) a 4. lim=ạ ,b 0 g(x,y) b
18. Đ1 : Cỏc khỏi niệm cơ bản – Giới hạn và liờn tục Hàm liờn tục : Hàm f(x,y) được gọi là liờn tục tại (x0,y0) nếu f (x0,y0) xỏc định và limf ( x , y )= f ( x00 , y ) (,)(,)x yđ x00 y Hàm liờn tục trờn miền D nếu nú liờn tục tại mọi điểm thuộc miền D Tổng, tớch, thương của 2 hàm liờn tục là hàm liờn tục Hợp của 2 hàm liờn tục là một hàm liờn tục Cỏc hàm sơ cấp liờn tục tại mọi điểm thuộc MXĐ
19. Đ2 : Đạo hàm riờng Định nghĩa đạo hàm riờng: Cho hàm 2 biến f(x,y), đạo hàm theo biến x của hàm f tại điểm (x0,y0) là giới hạn (nếu cú) ả f f(,)(,)x00+D x y00- f x y fyxÂ(xx00 ,00 )== ( ,y ) lim ảDx Dđx 0 x Tương tự, ta cú định nghĩa đạo hàm riờng của hàm f theo biến y Quy tắc: Khi tớnh đạo hàm riờng của hàm f(x,y) theo biến x, ta coi y là hằng số
20. Đ2 : Đạo hàm riờng Vớ dụ: Tớnh đạo hàm riờng của cỏc hàm sau: a. f(x,y)= x22+ y x cos b. f(x,y)=e y c. f(x,y,z)=ln(x+ey ) + xyz Giải : ÂÂxy a. ffxy==, x2++ y 2 x 2 y 2 xx cosx1 cos x x b. fÂÂ= eyy( - s in ) , f = e ( - s in )( - ) xyy y y y 2 1 ey c. fÂ= + yz ,f  = + xz , f  = xy xx++ eyy y x e z
21. Đ2 : Đạo hàm riờng 3 33 Vớ dụ : Cho hàm f(,) x y=+ x y Tớnh f’x, f’y tại (0,0) Giải : Nếu tớnh bằng cỏch thụng thường, ta sẽ khụng tớnh được đhr tại điểm đặc biệt (0,0). Do đú, ta sẽ tớnh cỏc đhr trờn bằng định nghĩa f (Dx ,0)- f (0 ,0) 3 Dx3 - 0 fxÂ(0 ,0)= lim = lim= 1 Dđx 0 Dx Dđx 0 Dx Vỡ vai trũ của x, y như nhau trong hàm f nờn ta cũng cú f’y(0,0) = 1
22. Đ2 : Đạo hàm riờng y z Vớ dụ : Tớnh cỏc đhr của hàm f(x,y,z) = ( /x) Giải: Ta tớnh 3 đhr của hàm 3 biến Để tớnh đhr của f theo x hoặc y, ta viết lại f(x,y,z) = yz.x-z rồi tớnh đạo hàm bỡnh thường z z -z-1 Lấy đhr theo x: y , z là hằng số nờn: f’x = y .(-z)x z-1 -z Tương tự: f’y = zy x Cuối cựng, tớnh đhr theo z thỡ ta sẽ để nguyờn hàm y y z y ban đầu vỡ /x là hằng số nờn : f’z = ( /x) ln( /z)
23. Đ2 : Đạo hàm riờng í nghĩa hỡnh học của đạo hàm riờng của hàm f(x,y) tại (a,b): Gọi S là mặt cong z=f(x,y) C1 là giao của S và mặt phẳng y = b thỡ đạo hàm fx’(a,b) là hệ số gúc của tiếp tuyến T1 hay là hệ số gúc của mặt S theo phương Ox tại P(a,b,c) Tương tự, hệ số gúc của tiếp tuyến T2 tức là hệ số gúc của mặt S theo phương Oy là f’y(a,b)
24. Đ2 : Đạo hàm riờng Đạo hàm cấp 2 của hàm f(x,y) là đạo hàm của đạo hàm cấp 1: ả 2f Đạo hàm cấp fÂÂ(,) x y== (,) x y f  ()(,) f  x y 2 theo x: xx0 0ả x2 0 0 x x 0 0 Đạo hàm cấp ả 2f fÂÂ(,) x y== (,) x y f  ()(,) f  x y 2 theo y: yy0 0ả y 2 0 0 y y 0 0 Đạo hàm cấp ả 2f fÂÂ(,) x y== (,) x y f  ()(,) f  x y 2 hỗn hợp: xy0 0ảảyx 0 0 x y 0 0
25. Đ2 : Đạo hàm riờng Định lý Schwartz : Nếu hàm f(x,y) và cỏc đạo hàm riờng f’x, f’y, f”xy, f”yx tồn tại và liờn tục trong miền mở chứa (x0,y0) thỡ f”xy(x0,y0) = f”yx(x0,y0) Ghi chỳ : 1.Đối với cỏc hàm sơ cấp thường gặp, định lý Schwartz đỳng tại cỏc điểm tồn tại đạo hàm 2.Định lý Schwartz cũn đỳng cho cỏc đạo hàm riờng từ cấp 3 trở lờn. Tức là cỏc đạo hàm riờng hỗn hợp bằng nhau khi số lần lấy đạo hàm theo mỗi biến bằng nhau, mà khụng phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm theo cỏc biến
26. Đ2 : Đạo hàm riờng Vớ dụ: Tớnh đạo hàm riờng đến cấp 2 của hàm f( x , y )=+ sin( exy e ) Giải : Hàm 2 biến nờn ta tớnh 2 đạo hàm riờng cấp 1 ÂÂx x y y x y fxy= ecos( e + e ), f = e cos( e + e ) và 4 đạo hàm riờng cấp 2 fÂÂ = exộựcos( e x + e y ) - e x sin( e x + e y ) , xx ởỷ fÂÂ = eyộựcos( e x + e y ) - e y sin( e x + e y ) , yy ởỷ fÂÂ= f ÂÂ = ex e yộự -sin( e x + e y ) xy yx ởỷ
27. Đ2 : Đạo hàm riờng Tương tự, ta cú cỏc đạo hàm riờng cấp (n+1) là đạo hàm của đạo hàm cấp n Vớ dụ: Tớnh đạo hàm riờng cấp 3 của hàm: f(x,y) = x2y – 3ex+y Giải: x++ y2 x y 2 đạo hàm riờng cấp 1 : fxyÂÂ=2 xy - 3 e , f = x - 3 e x++ y x y 4 đạo hàm riờng cấp 2 : fxxÂÂ=2 y - 3 e , f yy ÂÂ = - 3 e , xy+ fxyÂÂ= f yx ÂÂ =23 x - e ÂÂÂx++ y ÂÂÂ x y ÂÂÂ ÂÂÂ 8 đạo hàm riờng cấp 3: fxxx= -3 e , f xxy = 4 - 3 e = f yxx = f xyx , x++ y x y fyyyÂÂÂ= -3 e , f yyx ÂÂÂ = - 3 e = f yxy ÂÂÂ = f xyy ÂÂÂ
28. Đ2 : Đạo hàm riờng Ghi nhớ: Đạo hàm riờng cấp cao hỗn hợp bằng nhau nếu số lần lấy đạo hàm theo cỏc biến bằng nhau (khụng kể đến thứ tự lấy đạo hàm theo từng biến) Vớ dụ: Cho hàm f(x,y,z) = xcosy – 2ysinz. Tớnh đạo hàm riờng cấp 2. 3 đạo hàm cấp 1: fxÂ=cos y , f y  = - x sin y - 2sin z , f z  = - 2 y cos z 9 đạo hàm cấp 2 fxxÂÂ=0, f xy  = - sin y = f yx  , f xz  = 0 = f zx  , fyyÂÂ= - xcos y , f yz  = - 2cos z = f zy  , f zz  = 2 y sin z
29. Đ3 : Khả vi và Vi phõn Hàm 2 biến f(x,y) được gọi là khả vi tại (x0,y0) nếu số gia Δf = f(x0+ Δx,y0+ Δy) – f(x0,y0) viết được dưới dạng Δf = A Δx + B Δy + αΔx + βΔy, trong đú A, B là hằng số, α, β →0 khi Δx, Δy →0 . Khi ấy, đại lương A Δx + B Δy được gọi là vi phõn của hàm f(x,y) tại (x0,y0) và kớ hiệu là df (x0,y0) = A Δx + B Δy Định lý 1: Hàm khả vi tại (x0,y0) thỡ liờn tục tại đú Định lý 2: (Điều kiện cần khả vi) Nếu hàm f(x,y) khải vi tại (x0,y0) thỡ nú cú cỏc đạo hàm riờng theo x, y tại (x0,y0) và tương ứng bằng A, B trong định nghĩa vi phõn.
30. Đ3 : Khả vi và Vi phõn Định lý 3: (Điều kiện đủ khả vi) Cho f(x,y) xỏc định trong miền mở chứa (x0,y0) và cỏc đạo hàm riờng liờn tục tại (x0,y0) thỡ hàm khả vi tại (x0,y0) Từ 2 định lý 2, 3 ta cú biểu thức của vi phõn dfxy(,)(,)(,)0 0=+ fxydxxyÂÂ 0 0 fxydy 0 0 Tương tự như hàm 1 biến, ta cú cỏc cụng thức d() f+ g = df + dg d(.) f g=+ g df f dg f g df- f dg d()= gg2
31. Đ3 : Khả vi và Vi phõn Vớ dụ: Cho hàm f(x,y) = 2x2y – 3xy2. Tớnh df(2,-1) Giải: Tớnh đạo hàm riờng 22 fxyÂÂ=4 xy - 3 y , f = 2 x - 6 xy Thay vào cụng thức vi phõn df(2,-1) = -11dx + 20dy Vớ dụ : Tớnh vi phõn hàm f(x,y) = (xy)z Tương tự như hàm 2 biến, ta cú vi phõn hàm 3 biến Nờn ta được df= fx dx + f y  dy + f z  dz df= zxz 11 y z dx + zx z y z dy + ( xy ) z ln( xy ) dz
32. Đ3 : Khả vi và Vi phõn Vi phõn cấp 2 là vi phõn của vi phõn cấp 1 2  df= ddf()() = dfdxxy + fdy =+d()() fxy dx d f dy =(()dfdxx + fddx x  ())(() + dfdy y  + fddy y  ()) 22 =fxx dx +2 f xy  dxdy + f yy  dy Hay ta viết dưới dạng ả2f ả 2 f ả 2 f d2 f= dx 2 +2 dxdy + dy 2 ảx22 ả x ả y ả y Vậy ta viết dưới dạng quy ước sau ổử2 ổửảả 2 ỗ ảảữ df=+ỗ dx dyữ f d f=+ỗ dx dyữ f ốứỗảảxyữ ốứỗảảxyữ
33. Đ3 : Khả vi và Vi phõn Tổng quỏt cụng thức trờn cho hàm 3 biến và cho vi phõn cấp 3 Vi phõn cấp 3 của hàm 2 biến f(x,y) 3 ổửảả d3 f=+ỗ dx dyữ f ốứỗảảxyữ 3 2 2 3 =fxxxÂÂÂ dx +33 f xxy ÂÂÂ dx dy + f xyy ÂÂÂ dxdy + f yyy ÂÂÂ dy Vi phõn cấp 2 của hàm 3 biến f(x,y,z) 2 ổửả ả ả dfxyz2 (,,) =ỗ dx + dy + dzfữ ốứỗảx ả y ả z ữ 2 2 2 =fxxÂÂ dx + f yy ÂÂ dy + f zz ÂÂ dz +2 f xy ÂÂ dxdy + 2 f yz ÂÂ dydz + 2 f zx ÂÂ dzdx