›
›

Giáo trình Giải tích hàm nhiều biến - Chương 2: Tích phân bội - Bài 2: Tích phân bội ba - Định nghĩa và cách tính

ppt 48 trang hapham 2240
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Giải tích hàm nhiều biến - Chương 2: Tích phân bội - Bài 2: Tích phân bội ba - Định nghĩa và cách tính", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pptgiao_trinh_giai_tich_ham_nhieu_bien_chuong_2_tich_phan_boi_b.ppt

Nội dung text: Giáo trình Giải tích hàm nhiều biến - Chương 2: Tích phân bội - Bài 2: Tích phân bội ba - Định nghĩa và cách tính

  1. §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính Định nghĩa: Cho hàm f(x,y,z) xác định trên miền đóng và bị chặn Ω trong không gian Oxyz. Chia Ω thành n phần không dẫm lên nhau  12 ,  , ,  n có thể tích tương ứng là VVV12, , , n Trong mỗi miền Ωk lấy 1 điểm bất kỳ Mk(xk,yk,zk) n Lập tổng tích phân Sn=  f(,,) x k y k z k V k k=1 Cho max d ( → k ) 0 , nếu tổng trên tiến tới giá trị hữu hạn S không phụ thuộc vào cách chia miền Ω và cách lấy điểm Mk thì giới hạn hữu hạn S được gọi là tích phân bội ba của hàm f(x,y,z) trên miền Ω
  2. §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính Vậy: n fxyzdV(,,)= lim fxyzV (,,)k k k k  maxd (→k ) 0 k=1 Chú ý : Vì tích phân không phụ thuộc vào cách chia miền Ω nên ta có thể chia Ω bởi các mặt phẳng song song với các mặt tọa độ . Khi ấy mỗi miền nhỏ là hình hộp chữ nhật nên ta có ΔV = Δx Δy Δz = dxdydz Vì vậy ta thường dùng kí hiệu : f(,,)(,,) x y z dV= f x y z dxdydz 
  3. §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính Tính chất: Các hàm f, g khả tích trên Ω 1. dxdydz= V()  2. C.(,,)(,,) f x y z dxdydz= C f x y z dxdydz  3. ((,,)f x y z+ g (,,)) x y z dxdydz = f (,,) x y z dxdydz + g (,,) x y z dxdydz    4. Nếu g ≥ f trên Ω thì f(,,)(,,) x y z dxdydz g x y z dxdydz  Nếu Ω được chia thành 2 miền không dẫm lên nhau Ω1, Ω2 5. f(,,)(,,)(,,) x y z dxdydz=+ f x y z dxdydz f x y z dxdydz  12 
  4. §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính 6. Định lý giá trị trung bình: Nếu hàm f(x,y,z) liên tục trong miền đóng, giới nội, liên thông Ω thì trong Ω tồn tại ít nhất 1 điểm M0(x0,y0,z0) sao cho : f(,,)(,,)() x y z dxdydz= f x0 y 0 z 0 V  Ta gọi giá trị trung bình của hàm f trên Ω là đại lượng 1 f(,,) x y z dxdydz V() 
  5. §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính Cách tính Nếu miền Ω có hình chiếu xuống mặt phẳng Oxy là miền D và giới hạn trên bởi mặt z = φ(x,y), giới hạn dưới bởi mặt z = ψ(x,y) thì (,)xy f(,,)(,,) x y z dxdydz= f x y z dz dxdy  D  (,) x y (,)xy Ta còn viết tích phân trên ở dạng dxdy f(,,) x y z dz D (,) x y Như vậy, để tính tích phân bội ba ta cần xác định hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng tọa độ, sau đó đi xác định mặt giới hạn trên, dưới của Ω
  6. §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính Ví dụ 1 : Tính tích phân I1 = 2 zdxdydz  Trong đó Ω giới hạn bởi 0 x ,0 y , x22 + y z 4 Hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy là phần hình tròn D : x2+y2≤4, 0≤x, 0≤y Còn z giới hạn bởi x2+y2≤z ≤4, nên 4 = ()z24 dxdy I1 = dxdy 2 zdz xy22+ D xy22+ D 2 2 2 2 2 4 = (16 − (x + y ) ) dxdy =− d r(16 r ) dr D 00
  7. §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính y=0 z=4 z=x2+y2 D x=0
  8. §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính Ví dụ 2 : Tính tích phân I2 =+ () x y dxdydz  Trong đó Ω giới hạn bởi y=x2, y+z=1, z=0 Mặt trụ parabolic song song với trục Oz và tựa lên đường parabol y=x2 là mặt trụ không kín, ta cần thêm giao tuyến của mặt phẳng z + y = 1 với mặt phẳng Oxy là đường thẳng y = 1 để có được hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy là miền đóng D Trong miền D, ta có y≤1 1 tức là 0 ≤ 1 - y nên trong D Ω mặt phẳng z = 1 – y nằm trên mặt phẳng z = 0 -1 1
  9. §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính y+z=1 Vì vậy: 1−y I2 =+ dxdy () x y dz D 0 1−y =+ (x y)()z0 dxdy D z=0 11 y=x2 I2 = dx( x + y )(1 − y ) dy −1 x2
  10. §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính Ví dụ 3: Tính tích phân bội ba hàm f(x,y,z)=x trên miền Ω giới hạn bởi x=0, y=0, z=0, x+y=1, x+y=z Hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng z=0 là miền D giới hạn bởi x=0, y=0, x+y=1 Miền D ứng với x+y≥0 nên ta được 0≤z ≤x+y. Vậy : I= f(,,) x y z dxdydz 3 òòò W xy+ I= dxdy xdz 3 òò ò D 0 11- x I= xdx dy 3 òò 00
  11. §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính x+y=z y=0 x+y=1 x=0
  12. §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ Xét điểm M(x,y,z) trong không gian, N(x,y,0) là hình chiếu của M xuống mặt phẳng xy. Gọi (r,φ) là tọa độ của N trong tọa độ cực thì : x = rcos φ, y = rsin φ Vậy điểm M được xác định bởi bộ ba số (r, φ, z), z chúng được gọi là tọa độ M(x,y,z) trụ của điểm M. Công z thức liên hệ giữa tọa độ trụ và tọa độ Descartes là r y x φ xr= cos N(r,φ) yr= sin zz=
  13. §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ Ta có công thức tính tích phân trong tọa độ trụ f(,,) x y z dxdydz= r .(cos,sin,) f r r z drd dz  Chú ý : Ta thường đổi tích phân bội ba sang tọa độ trụ nếu hình chiếu của miền lấy tích phân xuống 1 trong 3 mặt tọa độ là 1 phần hình tròn hoặc 1 phần ellipse.
  14. §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ Ví dụ 4: Tính tích phân I3 = zdxdydz  Trong đó Ω là miền giới hạn bởi z= x2 + y 2, z = x 2 + y 2 Miền Ω giới hạn bởi 2 mặt cong nên ta sẽ khử biến z từ 2 phương trình để tìm hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng z = 0 z= x2 + y 2 = x 2 + y 2 (x2 + y 2 ) 2 − x 2 + y 2 = 0 z= x22 + y = 0 (loại) 22 z= x + y = 1 Suy ra, hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy là hình tròn xy 22 + 1 , tương ứng ta có
  15. §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ Vì x2+y2≤1 nên x2+ y 2 x 2 + y 2 xy22+ Vậy: I3 = dxdy zdz x2+ y 2 1 x 2 + y 2 Hình chiếu của miền lấy tích phân là hình tròn nên ta sẽ đổi tích phân trên sang tọa độ trụ bằng cách đặt : xr= cos 21 r yr= sin và ta có I= d rdr zdz 3 zz= 00r 2 r 112 z 24 I=2 . rdr .( ) = . r ( r − r ) dr = 3 2 12 00r 2
  16. §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ Miền D
  17. §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ z Ví dụ 5: Tính tích phân I5 = dxdydz  xy22+ Trong đó Ω giới hạn bởi x22+ y =1, z = 0, x + y + z = 2 Mặt trụ kín x2+y2=1 song song với trục Oz nên chiếu Ω xuống mặt phẳng Oxy ta được hình tròn : x2+y2≤1 Với 2 mặt còn lại, ta phải so sánh giữa z=0 và z= √2 - x - y để có cận đối với dz Ta vẽ thêm đường thẳng √2 -x-y =0 trong mp z=0 để so sánh Rõ ràng, trong hình tròn ta có √2 -x-y ≥0
  18. §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ 2−−xy z Vậy : I= dxdy dz 5 22 xy22+ 1 0 xy+ Hình chiếu của Ω là hình tròn nên ta sẽ đổi tích phân trên tọa độ trụ bằng cách đặt xr= cos yr= sin zz= 2 rr cosjj sin 21p z I= dj rdr dz 5 ò ò ò r 0 0 0 21p æö2 2 rr cosjj sin çz ÷ I5 = dj ç ÷ dr òòç 2 ÷ 00èø0
  19. §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ 2p æö 1 1÷ 7p Id5 =ç2 - 2(cosj + sin j ) + (1 + sin2 j )÷ j = 2ò èøç 3÷ 3 0 x+y+z=√2 Ta sẽ tính bằng cách thứ 2 Miền D x2+y2=1
  20. §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ 2−−xy 1 z2 I5 = dxdy 22 222 xy+ 1 xy+ 0 2+x22 + y − 2 2 x − 2 2 y + 2 xy = dxdy 22 xy22+ 1 xy+ Ta đang có tích phân kép trên cả hình tròn nên ta sẽ đổi tích phân kép trên sang tọa độ cực thông thường và được 21 2+r22 − 2 2 r (cos + sin ) + 2 r sin cos I5 = d r dr 00 r
  21. §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ Như vậy, thực chất việc ta tính tích phân bội ba trong tọa độ trụ chính là việc tính tích phân đó bình thường theo dz, sau đó đổi tích phân kép trên hình chiếu sang tọa độ cực.
  22. §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ Ví dụ 6: Tích tích phân bội ba hàm f(x,y,z) = y2+z2 trên miền Ω giới hạn bởi y2+z2=1, y2+z2=4, x=2π, x=4π Trong 4 mặt tạo nên Ω có 2 mặt trụ cùng song song với Ox nên ta sẽ chiếu Ω xuống mặt phẳng x=0, và được miền D : 1≤ y2+z2≤4 2 mặt còn lại cho ta cận tích phân theo dx: 2π≤x ≤4π 4p I=+ dydz() y22 z dx =+(y22 z ).2p dydz 6 òò ò òò D 2p 14£yz22 + £ 22p I==2p d j r . r22 dr 15 p 6 òò 01
  23. §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Trong không gian cho điểm M(x,y,z), N là hình chiếu của M xuống mặt phẳng xy. Ta đặt: M φ là góc giữa Ox và tia ON θ θ là góc giữa Oz và tia OM ρ ρ là độ dài đoạn OM φ N Như vậy 0 ≤ ρ ˂ +∞, - 2π ≤ φ ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤ π Nếu M nằm trên Oz thì góc φ không xác định, còn khi M trùng với gốc tọa độ thì cả θ cũng không xác định. Còn tất cả các điểm khác đều có thể xác định φ, θ, ρ và ta gọi đó là tọa độ cầu của điểm M
  24. §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Khi đó, ta dễ dàng tính được x = sin  cos y = sin  sin z = cos Ngược lại, ta có công thức chuyển từ tọa độ cầu sang tọa độ Descartes như sau =x2 + y 2 + z 2 y tan = x xy22+ tan = z
  25. §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Từ đó, ta có công thức đổi biến tích phân bội 3 sang tọa độ cầu: f(,,) x y z dxdydz  2 = sin  f ( sin cos  , sin sin , cos   ) d d d  Thông thường, nếu miền lấy tích phân là 1 phần hình cầu hoặc 1 phần ellipsoid thì ta sẽ đổi tích phân bội ba sang tọa độ cầu. Cận của φ được xác định dựa vào hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy, còn đối với θ, ρ thì dựa vào phần cắt dọc Ω bởi 1 mặt phẳng chứa trục Oz
  26. §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Ví dụ 7 : Tính tích phân I6 = 2 yzdxdydz  Trong đó Ω giới hạn bởi x2+ y 2 + z 2 1, x 0, y 0, z 0 Ta đổi sang tọa độ cầu bằng cách đặt x = ρsinθcosφ, y= ρsinθsinφ, z = ρcosθ ρ ≤ 1 Hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy là ¼ hình tròn D: x2+y2≤1 ,0≤x, 0≤y nên ta được 0 ≤ φ ≤ π/2 Cắt dọc Ω bởi 1 mặt phẳng chứa trục Oz bởi mặt x = y ta được ½ hình tròn với z ≥ 0 (D1) nên 0 ≤ θ ≤ π/2 Trong miền D1, đi theo chiều mũi tên từ gốc tọa độ ra ta chỉ gặp 1 đường cong tức là đi trong Ω ta chỉ gặp mặt cầu với phương trình r =x2 + y 2 + z 2 £ 1
  27. §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu 221 Vậy : 2 I5 = d d  sin  .2 sin  sin . cos  d 0 0 0 22 1 24 I5 = sin d sin  cos  d  2 d 0 0 0 1 2 2 1235 I5 =−( cos )0 sin  2 2 2 35 00 x +y +z =1 z 0≤θ ≤π/2
  28. §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Ví dụ 8: Tính tích phân bội ba hàm f(x,y,z)=x+y xy22 trên miền Ω giới hạn bởi + +z2 1, x 0, y 0, z 0 49 Miền lấy tích phân là 1 phần ellipsoid nên ta sẽ đổi tích phân sang tọa độ cầu mở rộng bằng cách đặt : x = sin  cos 2 x = 2 sin  cos y = sin  sin y = 3 sin  sin 3 z = cos z = cos thì định thức Jacobi J ==2.3. 2 sin 6 2 sin xy22 và + +z2 1 1 4 9
  29. §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Điều kiện x ≤ 0, y ≥ 0 nên hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy là ¼ hình tròn đơn vị nằm trong góc phần tư thứ 2 nên ta có π/2 ≤ φ ≤ π Cắt dọc Ω bởi 1 mặt phẳng chứa trục Oz là mặt x = y ta 2 y 2 được D1 : + z 1 , z ≤ 0, y ≥ 0 (¼ ellipse ) nên 9 π/2 ≤ θ ≤ π và đi theo chiều mũi tên từ gốc tọa độ ta chỉ gặp 1 mặt ellipsoid với phương trình ρ = 1 nên ta có ρ≤1 1 Vậy : 2 I8 =+ d  d 6 sin   ( sin cos  sin sin ) d 0 22 1 23 I8 =+ (sin cos ) d sin  d  6 d 0 22
  30. §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu D Hình chiếu z
  31. §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Ví dụ 9: Tính tích phân bội ba hàm f(x,y,z)=x+y trong miền Ω giới hạn bởi x2+y2+z2=2, z2=x2+y2, z≥0 Miền Ω giới hạn chỉ bởi 2 mặt nên ta tìm hình chiếu xuống mặt z=0 bằng cách khử z từ 2 phương trình 2 mặt và được hình chiếu là D: x2+y2≤1 Hình chiếu D là cả hình tròn tâm tại gốc tọa độ nên 0≤φ ≤2π Ta cũng cắt dọc miền Ω bởi mặt phẳng thẳng đứng x=0 để được -y≤z≤y, y2+z2 ≤2, 0≤z π Suy ra 0≤θ≤ /4, 0 ≤ρ≤√2
  32. §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu z 0≤θ≤π/20≤θ≤π/2 Miền D
  33. §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Vậy p 22p 4 I=+ dj d qr2 sin qrqjrqjr ( sin cos sin sin ) d 9 ò ò ò 0 0 0 p 22p 4 I=+(cosj sin j ) d j sin23 q d q r d r 9 ò ò ò 0 0 0 Thự ra đây là tích của 3 tích phân xác định nhân với nhau, mà tích phân thứ nhất bằng 0. Suy ra I9=0 Tuy nhiên, vì miền Ω có hình chiếu là hình tròn nên ta cũng có thể đổi tích phân trên sang tọa độ trụ thông thường
  34. §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu 2 xy22 I=+ dxdy() x y dz 9 òò ò 22 xy+£1 xy22+ I=( xy + )( 2 - xy2 - 2 - xydxdy 2 + 2 ) 9 òò xy22+£1 21p I= dj r( r cos j + r sin j )( 1 - r2 - r ) dr 9 òò 00 21p I=(cosj + s in j ) d j r22 ( 1 - r - r ) dr 9 òò 00 I9=0
  35. §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu 2 Ví dụ 10 : Đổi tích phân 2 1 4−r I= d dr r2 dz sau về tọa độ Descartes 10 0 0 0 Trước tiên, ta xem xét cận của tích phân theo dr, dφ để có hình chiếu D của miền lấy tích phân xuống mặt Oxy, 02 D : 1 01 r −11 x 22 −11 −x y − x -1 1 Suy ra D: x2+y2≤1
  36. §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu sau đó là cận của tích phân theo dz để có mặt giới hạn trên, giới hạn dưới với chú ý x2+y2=r2 : 0≤z≤4-x2-y2 và cuối cùng xem xét đến hàm dưới dấu tích phân để đổi về tọa độ Oxyz : f(,,) x y z= r = x22 + y Vậy: 1 x2+ y 24 − x 2 − y 2 22 I10 =+ dx dy x y dz −10−+xy22
  37. §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Ví dụ 11: Đổi tích 00ax22− phân sau sang I11 = dx dy xdz tọa độ cầu và tính −a −a2 − x 2 − a 2 − x 2 − y 2 Ta cũng bắt đầu từ cận tích phân theo dx, dy để có hình chiếu của miền lấy tích phân xuống mặt phẳng Oxy −ax 0 a D : 2 2 2 2 −a − x y a − x -a 3 0 22 -a
  38. §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Cận tích 2 2 2 2 2 2 2 x+ y + z a phân theo −a − x − y z 0 dz là z 0 cho ta ½ hình cầu nằm phía dưới mặt phẳng z = 0 Cắt dọc miền lấy tích phân bởi mặt phẳng chứa trục Oz là x = 0 ta được ½ hình tròn y2+z2≤a2, z≤0 Suy ra π/2 ≤ θ ≤ π và 0≤ ρ≤a -a z Cuối cùng thay x=ρsinθcosφ vào 3 2 a 2 I11 = d d  sin  . sin  cos d a 0 22 -a
  39. §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Ví dụ 12: Tính tích phân trên miền V: x2+y2=1, z=0, x2+y2=z2 (z≥0) của hàm f(,,) x y z= x2 + y 2 + z 2 3 mặt giới hạn V không có mặt cầu nhưng vì hàm f(x,y,z) mà ta sẽ đổi tích phân sang tọa độ cầu Hình chiếu của V xuống mp z=0 là hình tròn D: x2+y2≤1 → 0≤φ≤2π Cắt dọc V bởi mp x=0 ta được D1: z=0, y=1, z=y π/4≤θ≤π/2 Đi từ gốc tọa độ ra, ta chỉ gặp duy nhất đường thẳng tương 1 ứng là mặt trụ trong không gian với pt x2+y2=1 ↔ ρsinθ=1 ↔ ρ =1/sinθ 1
  40. §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu p 1 p 2p 2p 1 2 sinq 2 æösinq 2 ç1 4 ÷ I12 = dj d q rsin q . r d r = ddjsin q qç r ÷ ò ò ò òò ç4 ÷ 00p 0 p èøç 0 ÷ 4 4 p p 112p 2 12p 2 - d cosq I= djq d = dj 12 4òò sin3 q 4òò (1- co s22q ) 0 p 0 p 4 4 p 1 2- 1 I =( - 2 - ln ) 12 2221+
  41. §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu D1
  42. §2. Tích phân bội ba – UD hình học Thể tích miền Ω được tính bởi V(= ) 1. dxdydz  Ví dụ 13: Tính thể tích vật thể Ω giới hạn bởi y= x, y = 2 x , x + z = 6, z = 0 Hai mặt trụ song song với trục Oz là y = √x, y = 2√x tựa lên 2 đường parabol, ta lấy thêm đường thẳng giao tuyến của mặt phẳng x + z =6 với mặt phẳng z = 0 để được miền đóng D là hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy. D: 0≤x≤6, √x≤y≤2√x
  43. §2. Tích phân bội ba – UD hình học Miền D nằm bên trái đường thẳng x = 6 tức là ứng với 0 ≤ 6 – x nên trong miền Ω ta có bất đẳng thức 6 2xx 6− 0 ≤ z ≤ 6 – x Vậy: V() = dxdydz = dx dy dz  00x 2√6 D √6 O 6
  44. §2. Tích phân bội ba – UD hình học Ví dụ 14: Tính thể tích vật thể Ω giới hạn bởi 1 x2 + y 2 + z 2 4, x y Ta sẽ tính thể tích bằng cách đổi tích phân bội ba V()= dxdydz sang tọa độ cầu bình thường  Hình chiếu của vật thể xuống mặt phẳng Oxy là nửa hình tròn D: x22+ y 4, x y D π/4 ≤ φ ≤ 5π/4 Cắt dọc Ω bằng mặt phẳng chứa trục Oz là y = x ta được miền D1 là hình vành khăn
  45. §2. Tích phân bội ba – UD hình học nên 0 ≤ θ ≤ π D1 Trong miền D1 ta đi theo chiều mũi tên từ gốc tọa độ ra ta gặp đường tròn nhỏ trước, đường tròn lớn sau nên 1 ≤ ρ ≤ 2 5 Vậy: 4 2 2 V()= d d  sin  d 01 4 2 51 3 V( ) = ( − )( − cos )0 4 4 3 1 14 V()= 3
  46. §2. Tích phân bội ba – UD hình học D D1
  47. §2. Tích phân bội ba – UD hình học Ví dụ 15: Tính thể tíchΩ giới hạn bởi x2+ y 2 + z 2 2, z z x 2 + y 2 Ta tìm hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy bằng cách khử z : thay z từ pt sau vào pt trước x2+ y 2 +( x 2 + y 2 ) = 2 x 2 + y 2 Û x 2 + y 2 = 1 Ta được hình chiếu D: x2+y2≤1 → 0≤φ≤ 2π Cắt dọc Ω bằng 1 mặt phẳng chứa trục Oz là mặt x = 0 ta được miền D1: -y ≤ z ≤y, y2+z2≤2z nên 0 ≤ θ ≤π/4 và đi theo chiều mũi tên từ trong gốc tọa độ ra ta chỉ gặp 1 mặt cầu với phương trình x2+ y 2 + z 2 2 z 2 2 cos 2cos
  48. §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu 2 4 2cos I14 = d d  sin  d 0 0 0 1 0 ≤ θ ≤π/4 1