Giáo trình Giải tích hàm nhiều biến - Chương 2: Tích phân bội (Phần 1)

Nội dung text: Giáo trình Giải tích hàm nhiều biến - Chương 2: Tích phân bội (Phần 1)

1. CHƯƠNG II: TÍCH PHÂN BỘI §0: MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP §1: TÍCH PHÂN KÉP I. Định nghĩa và Cách tính II. Đổi biến trong tích phân kép III. Ứng dụng hình học của tích phân kép §2: TÍCH PHÂN BỘI BA I. Định nghĩa và Cách tính II. Đổi biến trong tích phân bội ba III. Ứng dụng hình học của tích phân bội ba
2. §0. Một số mặt bậc hai thường gặp I. Mặt Ellipsoid: x2 y 2 z 2 1. Phương trình: + + = 1 a2 b 2 c 2 2. Cách gọi tên mặt: Với phương trình trên, ta cho x = 0, y = 0, z = 0 ta đều nhận được giao tuyến của mặt với 3 mặt tọa độ làcác đường Ellipse. Tức là nếu cả 3 giao tuyến của mặt S với 3 mặt tọa độ hoặc các mặt song song với các mặt tọa độ đều là ellipse thì ta sẽ gọi mặt S là mặt Ellipsoid 3. Cách vẽ hình Vẽ 3 giao tuyến của S với 3 mặt tọa độ
3. §0. Một số mặt bậc hai thường gặp xy22 Vẽ đường +=1 trên mặt phẳng nằm 22 ellipse ab ngang z = 0
4. §0. Một số mặt bậc hai thường gặp yz22 Vẽ thêm đường ellipse +=1 trên mặt phẳng bc22 x = 0
5. §0. Một số mặt bậc hai thường gặp x2 y 2 z 2 Vẽ mặt ellipsoid + + = 1 a2 b 2 c 2
6. §0. Một số mặt bậc hai thường gặp x2+z2=1, y=0 y2+z2=1,x=0 x2+y2=1,z=0 xz22 Có thể vẽ thêm đường ellipse +=1 ac22 trên mặt phẳng y = 0
7. §0. Một số mặt bậc hai thường gặp II. Mặt Paraboloid Elliptic: xy22 1. Phương trình : +=z ab22 2. Cách gọi tên mặt: Với phương trình trên, ta cho x = 0, y = 0 thì được 2 giao tuyến với 2 mặt tọa độ là 2 đường Parabol và cho z=c, c>0 ta được đường còn lại là 1 đường Ellipse. Tức là nếu 2 trong 3 giao tuyến với các mặt tọa độ hoặc các mặt song song với các mặt tọa độ là 2 Parabol, giao tuyến còn lại là 1 Ellipse thì ta gọi mặt S là Paraboloid Elliptic 3. Vẽ hình
8. §0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP Vẽ đường parabol y2 = z trên mặt phẳng x = 0
9. §0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP Vẽ đường ellipse x2+y2 = 1 trên mặt phẳng z = 1
10. §0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP Vẽ mặt parabolid x2+y2 = z
11. §0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP z=x2, y=0 x2+y2=1,z=1 z=y2, x=0 Vẽ thêm đường parabol x2 = z trên mặt phẳng y = 0
12. §0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP III. Mặt Trụ bậc 2: Định nghĩa mặt trụ bậc 2: Mặt trụ bậc 2 là mặt tạo bởi các đường thẳng song song với 1 phương cố định và tựa lên 1 đường cong cố định. Các đường thẳng đó gọi là các đường sinh của mặt trụ, đường cong cố định gọi là đường chuẩn của mặt trụ.
13. §0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP Thông thường, ta sẽ chỉ gặp các mặt trụ có đường sinh song song với 1 trong 3 trục tọa độ. Mặt trụ song song với trục nào thì phương trình mặt sẽ thiếu biến đó, còn phương trình chứa 2 biến còn lại là phương trình đường chuẩn của mặt trụ trong mặt tọa độ tương ứng và ta gọi tên mặt trụ theo tên của đường chuẩn
14. §0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP Ví dụ: Mặt x2+y2 = 1 Phương trình không chứa z nên nó biểu diễn mặt trụ đường sinh song song với trục Oz, đường chuẩn là đường tròn x2+y2=1 trong mặt phẳng z = 0 và ta gọi đây là mặt trụ tròn xoay theo tên của đường chuẩn Vẽ đường tròn x2+y2=1, trên mặt z=0 Mặt trụ tạo bởi các đường thẳng song song với Oz và tựa lên đường tròn trên
15. §0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP Ví dụ : Mặt z=x2 Phương trình không chứa y nên nó biểu diễn mặt trụ song song với trục Oy, đường chuẩn là parabol z=x2 trên mặt phẳng y=0 nên ta gọi đây là mặt trụ parabol Vẽ parabol z=x2 trong mặt phẳng y=0 Vẽ mặt trụ có đường sinh song song với trục Oy, tựa lên đường chuẩn là parabol z=x2 ở trên
16. §0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP IV. Mặt nón bậc 2 : Mặt nón bậc 2 là mặt tạo bởi các đường thẳng đi qua 1 điểm cố định và tựa lên 1 đường cong cố định. Các đường thẳng đó gọi là các đường sinh của mặt nón, đường cong cố định gọi là đường chuẩn của mặt nón và điểm cố định gọi là đỉnh của nón Ví dụ: Mặt nón x2+y2=z2 Cắt dọc mặt nón bởi các mặt x=0 hoặc y=0 ta được 2 đường thẳng cùng đi qua gốc tọa độ O, cắt ngang bởi mặt z = c và z = -c , c tùy ý, ta được giao tuyến là 2 đường tròn tâm tại (0,0,c) và (0,0,-c) bán kính bằng c
17. §0. MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP Vẽ giao tuyến x2+y2=1, z=1 Và giao tuyến x2=z2, y=0 Vẽ mặt nón x2+y2=z2, lấy phần z > 0
18. §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Dij Thể tích các hình hộp nhỏ với đáy dưới là Dij, trên là phần mặt z=f(x,y) sẽ được tính xấp xỉ với hình hộp chữ nhật đáy là Dij, chiều cao là f(xi,yj).
19. §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Khi đó, vật thể ban đầu có thể tích xấp xỉ với tổng thể tích các hình hộp chữ nhật nhỏ xếp liên tiếp nhau
20. §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Định nghĩa tích phân kép : Cho hàm f(x,y) xác định trong miền đóng, bị chặn D Chia miền D thành n phần không dẫm lên nhau là D1, D2, D3, (các phần không có phần chung) tương ứng có diện tích là ΔS1, ΔS2, ΔS3, Trên mỗi miền Dk ta lấy 1 điểm Mk(xk,yk) tùy ý. Lập tổng (gọi là tổng tích phân kép của hàm f(x,y)) n Sn=  f(,) x k y k S k k=1 Hiển nhiên tổng trên phụ thuộc vào cách chia miền D và cách lấy điểm Mk
21. §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Cho n→∞ sao cho max{d(D)} →0 (d(D) là kí hiệu đường kính của miền D tức là khoảng cách lớn nhất giữa 2 điểm bất kỳ thuộc D) Nếu khi ấy tổng Sn tiến đến giới hạn hữu hạn S không phụ thuộc vào cách chia miền D cũng như cách lấy điểm Mk thì giới hạn S được gọi là tích phân kép của hàm f(x,y) trên miền D và kí hiệu là f(,) x y ds D n Tức là f( x , y ) ds= lim f ( xk , y k ) S k D max(dD (k ))→ 0 k=1 Hàm f(x,y) được gọi là hàm dưới dấu tích phân, D là miền lấy tích phân, ds là yếu tố diện tích. Khi ấy, ta nói hàm f(x,y) khả tích trên miền D
22. §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Chú ý : Nếu f(x,y) khả tích trên D thì ta có thể chia D bởi các đường thẳng song song với các trục tọa độ. Lúc đó Dij sẽ là hình chữ nhật với các cạnh là Δxi, Δyj nên ΔSij = Δxi. Δyj và ds được thay bởi dxdy. Vì vậy, ta thường dùng kí hiệu f(,)(,) x y ds= f x y dxdy DD
23. §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Điều kiện khả tích : Định nghĩa đường cong trơn : Đường cong C có phương trình tham số y = y(t), x = x(t) được gọi là trơn nếu các đạo hàm x’(t), y’(t) liên tục và không đồng thời bằng 0. Đường cong C được gọi là trơn từng khúc nếu có thể chia nó thành hữu hạn các cung trơn. Định lý: Hàm liên tục trên 1 miền đóng, bị chặn và có biên trơn từng khúc thì khả tích trên miền đó. Tính chất : Cho f(x,y), g(x,y) là các hàm khả tích trên D 1. S() D= òò dxdy (S(D) là diện tích miền D) D 2. [(,)f x y+ g (,)] x y dxdy = f (,) x y dxdy + g (,) x y dxdy DDD
24. §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Tính chất 3. Cf(,)(,) x y dxdy= C f x y dxdy DD 4. Chia D thành 2 miền không dẫm lên nhau là E, F thì f(,)(,)(,) x y dxdy=+ f x y dxdy f x y dxdy DEF 5. Nếu f(x,y)≤g(x,y) trên D thì: f(,)(,) x y dxdy g x y dxdy DD 6. Trên D, hàm f(x,y) đạt fmax=M, fmin=m thì mS()(,)() D f x y dxdy MS D D
25. §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Định lý: (Về giá trị trung bình ) Cho hàm f(x,y) liên tục trong miền đóng, bị chặn, liên thông D. Khi ấy trong D có ít nhất 1 điểm (x0,y0) sao cho : fxydxdy(,)(,)()= fx00 y SD D 1 Đại lượng = f(,) x y dxdy được gọi là SD()D giá trị trung bình của hàm f(x,y) trên miền D Ý nghĩa hình học của tích phân kép : Với cách tính thể tích hình trụ cong ở trên ta có V= f(,) x y dxdy D
26. §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Ví dụ : Cho vật thể được giới hạn trên bởi mặt bậc hai f(x,y) = 16 – x2 – 2y2, giới hạn dưới bởi hình vuông D = [0,2]x[0,2] và giới hạn xung quanh bởi 4 mặt phẳng x=0, x=2, y=0, y=2. Ước lượng thể tích của vật thể trong các trường hợp sau : a)Chia D thành 4 phần bằng nhau; b)Chia D thành 16 phần bằng nhau; c)Chia D thành 64 phần bằng nhau; d)Chia D thành 256 phần bằng nhau; e)Tính thể tích vật thể
27. §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính 2 D2 D4 1 D1 D3 1 2 4 V V = f(M )×S n i Di i=1 S Dii =1,  = 1, ,4. V f(1,1) + f (1,2) + f (2,1) + f (2,2) V 13 + 7 + 10 + 4 = 34.
28. §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính b. Chia thành 16 phần, V≈ 41,5
29. §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính c. Chia thành 64 phần, V≈44,875
30. §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính d. Chia thành 256 phần, V≈46,46875
31. §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Định lý Fubini: (Cách tính tích phân kép) Cho hàm f(x,y) liên tục trên miền đóng và bị chặn D y=y2(x) y=y1(x) a b 1) Giả sử D xác định bởi: ab x b y2 (x) I= f(x,y)dxdy= dx f(x,y)dy y12()() x y y x D a y1 (x)
32. §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính d c x=x (y) 1 x=x2(y) 2) Giả sử D xác định bởi: cd y d x2 (y) I = f(x,y)dxdy= dy f(x,y)dx x12()() y x x y D c x1( y)
33. Giải câu e) 2 02 x 02 y 2 22 V= ( 16-x -2y) dxdy D 2 2 22 Tính thể tích của vật thể. = dx( 16-x -2y) dy 0 0 2 2 3 2 2 y 2 16 = (16-x )y -2 dx = 32-2x - dx =48 3 0 3 0 0
34. §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Ví dụ : Tính tích phân I = xydxdy trong đó D là D tam giác ABC với A(1,-1), B(1,3), C(4,0) Ta đi tích phân này bằng 2 cách B(1,3) y=4-x Cách 1 : Chiếu miền D xuống trục Ox ta được đoạn [1,4] Đi theo trục Oy từ dưới lên C(4,0) 1 x 4 A(1,-1) 1 (xx− 4) y - 4 y=1/ (x-4) 3 3 −+x 4 44−+x 4 2 4 y 4 2 I= dx xydy = ()x dx = x( x − 4) dx = 7 1 1 (x− 4) 1 2 1 (x− 4) 3 3 9 1
35. §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính x=1 Cách 2 : Chiếu miền D xuống trục Oy ta được đoạn [-1,3] x=-y+4 Đi theo trục Ox từ trái 3 B(1,3) sang thì không giống như trên, ta sẽ gặp 2 D1 đường BC và AC. Do C(4,0) đó, ta sẽ chia miền D D2 -1 thành 2 phần D1 và D2 A(1,-1) 033yy+ 4 − + 4 x=3y+4 I=+ dy xydx dy xydx −1 1 0 1 0322 xx34yy++− 4 =+ ()()y11 dy y dy −1 220
36. §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Ví dụ : Tính tích phân kép I=− () x y dxdy với D là miền D giới hạn bởi y= x;2 y = − x2 −21 x I=− ( x y) dxdy 2 D xx y 2 − 1 2−x2 =− dx( x y) dy −2 x 2−x2 1 y2 =− xy dx 2 −2 x 1 2 2 2 2 (2−−xx ) = x((2 − x ) − x ) − dx −2 2
37. §1: Tích phân kép – Định nghĩa và cách tính Ta còn có thể xác định cận của tích phân trên mà không cần vẽ hình như sau: Tìm giao điểm của 2 đường biên của miền D: y = x = 2-x2 x2+x-2 = 0 x = -2, x = 1 Vậy ta có -2 ≤ x ≤ 1, tức là ta lấy trong khoảng 2 nghiệm của tam thức f(x) = x2+x-2 nên ta có bất đẳng thức: x2+x-2 ≤ 0 x ≤ 2-x2 Tức là, với x nằm trong khoảng (-2,1) thì đường thẳng y=x nằm dưới đường parabol y = 2-x2. Vậy ta cũng được 1 2−x2 I=− dx( x y) dy −2 x