Giáo trình Giải tích hàm nhiều biến - Chương 3: Tích phân đường (Phần 1)

Nội dung text: Giáo trình Giải tích hàm nhiều biến - Chương 3: Tích phân đường (Phần 1)

1. CHƯƠNG III: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG §1: THAM SỐ HÓA ĐƯỜNG CONG §2: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1 §3: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2
2. §1: Tham số hóa đường cong 1. Đường cong trong mặt phẳng: thường được cho bằng 2 cách ïì x= x() t a. Cho bởi pt tham số íï îï y= y() t b. Cho bởi pt y=y(x): Ta thường đặt x=t thì pt tham số sẽ là ïì xt= íï îï y= f() t Trường hợp đặc biệt: Có 2 trường hợp a. Viết phương trình tham số của đường tròn (x-a)2+(y-b)2=R2 ta sẽ đặt ïì x=+ a Rcos t íï îï y=+ b Rsin t
3. §1: Tham số hóa đường cong b. Viết phương trình tham số của đường ellipse xy22 +=1 ab22 ïì x= ar cosj Ta sẽ đặt : íï îï y= br sinj 2. Đường cong trong không gian: thường được cho bằng 2 cách a. Được cho sẵn bởi phương trình tham số ïì x= x() t ï í y= y() t ï îï z= z() t
4. §1: Tham số hóa đường cong ïì f( x , y , z )= 0 b. Cho là giao tuyến của 2 mặt cong: íï îï g( x , y , z )= 0 Khi đó, thông thường ta sẽ đặt 1 trong 3 biến bằng t, thay vào 2 phương trình trên để được hpt với 2 pt và 2 ẩn là 2 biến còn lại. Giải hpt đó theo tham số t, ta sẽ ra 2 biến còn lại cũng tính theo t
5. §1: Tham số hóa đường cong Ví dụ 1: Viết phương trình tham số đường cong C là giao tuyến của x2+y2=z2 và ax=y2 (z≥0) ïì 1 2 Ta đặt y=t thì ì 2 2 2 ï xt= ï x+= y z ï a ï ï ííïïax= y2 Û y = t ïï ïïz ³ 012 2 2 îï ï z=+ t() t a îï a Ví dụ 2: Viết phương trình tham số đường cong C là giao tuyến của x2=y và x=z (x≥0) Ta đặt x=t thì ïì xt= ïì yx= 2 ï ííïïÛ=yt2 îïïïxz= ï îï zt=
6. §1: Tham số hóa đường cong Tuy nhiên, trong một số trường hợp thông thường hay gặp, ta sẽ có cách tham số hóa từng đường cong cụ thể tùy vào những điểm đặc biệt của chúng Ví dụ 3: Viết pt tham số của 2 đường cong C1, C2 là giao tuyến của x2+y2+z2=2, z2=x2+y2 Ta có: ïì x2+ y 2 + z 2 = 2 ïì xy22+=1 ïïÛ íí2 2 2 îïïïz=+ x y îï z =±1 Tức là C1, C2 vừa là giao tuyến của mặt cầu và mặt nón vừa là giao tuyến của mặt trụ với 2 mặt phẳng. Nói cách khác: C1, C2 là 2 đường tròn đơn vị nằm trên 2 mp đối xứng nhau qua mp z=0.
7. §1: Tham số hóa đường cong Khi đó, ta đặt x=cost thì suy ra y=sint. Vậy pt tham số của C là ïì xt= sin ï í yt= cos ï îï z =±1
8. §1: Tham số hóa đường cong Ví dụ 4: Viết phương trình tham số của đường cong C: x2+y2+z2=a2, x=y Thay x=y vào phương trình mặt cầu Ta được: 2x2+z2=a2 , là pt của đường ellipse. Tức là C là đường ellipse 2x2+z2=a2 trên mp x=y Đặt 2x2=a2cos2t thì suy ra z2=a2sin2t. Vậy ta được: ïì a ïïììx2+ y 2 + z 2 = a 22 x 2 + z 2 = a 2 ï x== ycos t íïÛÛ íï íï 2 îîïïïx== y ï x y ï îï z= asin t
9. §1: Tham số hóa đường cong Ví dụ 5: Viết phương trình tham số của đường cong C: x2+y2+z2=4 và x2+y2=2x lấy phần ứng với z dương Từ pt mặt trụ : x2+y2=2x ↔ (x-1)2+y2=1 Ta đặt x-1=cost, suy ra y=sint và thay vào pt mặt cầu ì 2 2 2 ï x+ y + z = 4 í 22 îï x+= y2 x ïì xt=+1 cos ï Û=íï ytsin ï îï zt=4 - 2(1 + cos )
10. §1: Tham số hóa đường cong Ví dụ 6: Viết phương trình tham số của đường cong C: x2+y2+z2=6z và z=3-x Ta viết lại pt mặt cầu : x2+y2+(3-z)2=9 Thay 3-z=x vào để được C là đường ellipse 2x2+y2=9 trên mp x=3-z Đặt 2x2=3cos2t, thì y2=3sin2t Vậy: ïì 3 ï xt= cos ïïììx2+ y 2 + z 2 =6 z 2 x 2 + y 2 = 9 ï 2 ïïï ííÛ Û=í yt3sin îîïïz=33 - x z = - x ï ï 3 ï zt=-3 cos îï 2
11. §1: Tham số hóa đường cong Ví dụ 7: Viết phương trình tham số của đường cong C: x2+y2+z2=2 và x+y+z=0 Thay z=-(x+y) từ pt mặt phẳng vào pt mặt cầu: 2 æö132 æö x2+y2+(x+y)2=2 ↔ x2+y2+xy=1 «çx + y÷ +ç y÷ = 1 ç ÷ ç ÷ Do đó, ta được èø22èøç ÷ ïì 1 ï x+= ycos t ì 2 2 ï 2 ï æö13æö ï ì 2 2 2 ï ÷ ç ÷ ï ïx+ y + z = 2 ïçx+ y÷ +ç y÷ = 1 ï 3 í« íèøç 22÷ èøç ÷ « í yt = sin ï x+ y + z = 0 ï ï 2 î ïï îïïz= -( x + y) z= -( x + y) ï Vậy pt tham số của C là îï x=cos t -1 sin t , y = 2 sin t , z = - cos t - 1 sin t 3 3 3
12. §2: Tích phân đường loại 1 Định nghĩa: Cho hàm f(x,y) xác định trên cung AB. Chia cung AB thành n phần tùy ý bởi các điểm chia A=A0, A1, A2, An=B Trên mỗi cung nhỏ AkAk+1 có độ dài là Δlk lấy 1 điểm Mk(xk,yk) bất kỳ n Cho max Δlk → 0, nếu Lập tổng S=D f(,) x y l nå k k k Sn có giới hạn hữu k= 0 hạn không phụ thuộc An B cách chia cung AB và Mk cách lấy điểm Mk thì yk A A A 1 k k+1 giới hạn đó được gọi A 0A là tp đường loại 1 của hàm f(x,y) dọc cung xk AB
13. §2: Tích phân đường loại 1 Và kí hiệu là f( x , y ) dl= lim S ò n maxD®l 0 AB k Khi đó, ta nói hàm f(x,y) khả tích trên cung AB Định nghĩa tương tự cho tp đường loại 1 của hàm 3 biến f(x,y,z) Từ định nghĩa, ta suy ra L= dl AB ò cách tính độ dài cung AB AB Điều kiện khả tích: Hàm f(x,y) liên tục dọc cung trơn từng khúc AB thì khả tích trên cung AB Cung AB có pt tham số x=x(t), y=y(t), a≤t≤b được gọi là trơn nếu các đạo hàm x’(t), y’(t) tồn tại, liên tục và không đồng thời bằng 0 trên đoạn [a,b] và gọi là trơn từng khúc nếu nó có thể chia thành 1 số hữu hạn các cung trơn
14. §2: Tích phân đường loại 1 Các tính chất: Các hàm f, g khả tích trên cung AB Tính chất 1: TP đường loại 1 không phụ thuộc vào hướng của đường lấy tp, tức là òòf(,)(,) x y dl= f x y dl AB BA Tính chất 2: Với λ, μ là các hằng số thì λf+ μg cũng khả tích trên AB và ò()lf+ m g dl = l ò fdl + m ò gdl AB AB AB Tính chất 3: Cho C là điểm bất kỳ trên cung AB thì òfdl=+ ò fdl ò fdl AB AC CB
15. §2: Tích phân đường loại 1 Tính chất 4: Nếu f ≥0 trên cung AB thì ò fdl ³ 0 AB Tính chất 5: òòfdl£ f dl AB AB Tính chất 6: Tồn tại điểm M thuộc cung AB sao cho 1 fdl= f() M L ò AB AB Trong đó, LAB là độ dài cung AB. Ta gọi f(M) là giá trị trung bình của hàm f trên cung AB
16. §2: Tích phân đường loại 1 Ta chia thành 3 trường hợp nếu cung AB trong mp Oxy: TH1: Cung AB có pt y=y(x), x1≤x≤x2 thì x2 f( x , y ) dl=+ f ( x , y ( x )) 1 y¢2 dx òò x AB x1 TH2: Cung AB có pt x=x(t), y=y(t), t1≤t≤t2 thì t2 f( x , y ) dl=+ f ( x ( t ), y ( t )) x¢¢22 y dt òò tt AB t1 TH3: Cung AB có pt r=r(φ), φ1≤φ≤ φ2 thì : j 2 òòf( x , y ) dl=+ f ( r (j )cos j , r ( j )sin j ) r ( j )22 r¢ ( j ) d j AB j 1
17. §2: Tích phân đường loại 1 Nếu AB là cung trong không gian có pt tham số ïì x= x() t ï í y= y() t ï îï z= z( t ), t12 £ t £ t Thì t2 òòf(,,) x y z dl= f ((),(),()) x t y t z t x¢2 () t + y ¢ 2 () t + z ¢ 2 () t dt AB t1
18. §2: Tích phân đường loại 1 Ví dụ 1: Tính tích phân đường loại 1 trên biên của ΔABC với A(1,1), B(3,3), C(1,5) của hàm f(x,y)=x+y Biên của ΔABC gồm 3 đoạn AB: y=x, 1≤x ≤3, BC: y=6-x, 1≤x ≤3, CA: x=1, 1≤y≤5 I1=IAB+IBC+ICA Trên đoạn AB: thay y=x và 5 C 1+=yx¢2 ( ) 2 Ta được : 3 B 3 I=+( x x ) 2 dx AB ò = 82 1 1 A 1 5
19. §2: Tích phân đường loại 1 Tương tự, ta cũng có 3 I==6 2 dx 12 2 BC ò 1 5 I=(1 + y ) dy = 16 CA ò 1 Vậy I=( x + y ) dl = 20 2 + 16 1 ò C
20. §2: Tích phân đường loại 1 I=-() x22 y dl Ví dụ 2: Tính 2 ò Với C là phần đường C tròn x2+y2=4, x≥0, y≤0 Có 3 cách để tính tp I như sau 2 2 Cách 1: Tính y= -4 - x2 ,0 £ x £ 2 Suy ra 2 ¢2 1+=yx ( ) = 4 - x2 2 2 Vậy: I=( x22 - (4 - x )) dx -2 2 ò 2 0 4 - x p 2 I=-2 (8sin2 t 4) dt =0 2 { ò xt= 2sin 0
21. §2: Tích phân đường loại 1 Cách 2: Viết pt C trong tọa độ cực r =2,3p £jp £ 2 2 Suy ra: x= r(j )cos j = 2cos j , y = r ( j )sin j = 2sin j , r22 ( j ) + r ¢ ( j ) = 2 Vậy: 2p Id=-(4cos22j 4sin j ).2 j =0 2 ò 3p 2 Cách 3: Viết pt tham số của C bằng cách đặt x=2cost thì y=2sint Suy ra : x¢¢22( t )+= y ( t ) 2 Và ta được tích phân như đã tính trong Cách 2
22. §2: Tích phân đường loại 1 I= 2 xzdl Ví dụ 3: Tính 3 ò Với C là giao tuyến của C x2+y2+z2=4, x2+y2=1,z≥0 Đây là tp đường loại 1 trong không gian nên ta bắt buộc phải viết pt tham số của C Thay x2+y2=1 vào pt mặt cầu ta được z = 3 Nên ta đặt x=cost, để có y=sint Suy ra x¢2( t )+ y ¢ 2 ( t ) + z ¢ 2 ( t ) = 1 Vậy : 2p I= 2.cos t . 3.1 dt 3 ò =0 0
23. §2: Tích phân đường loại 1 Ví dụ 4: Tính độ dài phần đường parabol y=x2 với 0≤x≤2 Ta có 1+y¢22 ( x ) = 1 + 4 x 2 L= dl =14 + x2 dx Vậy : C òò C 0 1 L =+ln(4 17) C 2