Giáo trình Giải tích hàm nhiều biến - Chương 3: Tích phân đường (Phần 2)

Nội dung text: Giáo trình Giải tích hàm nhiều biến - Chương 3: Tích phân đường (Phần 2)

1. Đ2: Tớch phõn đường loại 2- Cỏch tớnh Định nghĩa: Cho hàm P(x,y), Q(x,y) xỏc định trờn cung AB trong mp Oxy Chia cung AB thành n phần tựy ý bởi cỏc điểm chia A=A0, A1, A2, An=B, Ak(xk,yk) Trờn mỗi cung nhỏ AkAk+1 lấy 1 điểm Mk bất kỳ, đặt Δxk=xk+1-xk, Δyk=yk+1-yk , Δlk là độ dài cung n Lập tổng Sn=ồ [ P()() M k D x k + Q M k D y k ] k= 0 An B Mk Δyk A1 Ak Ak+1 A 0A Δxk
2. Đ2: Tớch phõn đường loại 2- Cỏch tớnh Cho max Δlk → 0, nếu Sn cú giới hạn hữu hạn khụng phụ thuộc cỏch chia cung AB và cỏch lấy điểm Mk thỡ giới hạn đú được gọi là tp đường loại 2 của cỏc hàm P(x,y) và Q(x,y) dọc cung AB và kớ hiệu là Pxydx( , )+= Qxydy ( , ) lim S ũũ n maxDđlk 0 AB Điều kiện tồn tại: Nếu cỏc hàm P, Q liờn tục trong miền mở chứa cung AB trơn từng khỳc thỡ tồn tại tớch phõn đường loại 2 của P, Q dọc cung AB
3. Đ2: Tớch phõn đường loại 2 – Cỏch tớnh Tớnh chất : Tớch phõn đường loại 2 đổi dấu nếu hướng đi trờn cung AB thay đổi ũũPdx+ Qdy = - Pdx + Qdy AB BA Trường hợp đường lấy tp là đường cong kớn C, ta quy ước hướng dương trờn C là hướng mà khi đi dọc C thỡ miền giới hạn bởi C nằm về bờn trỏi. Hướng õm là hướng ngược với hướng dương
4. Đ2: Tớch phõn đường loại 2– Cỏch tớnh Cỏch tớnh tớch phõn đường loại 2 Nếu cung AB cú phương trỡnh y=y(x), đi từ A(x1,y(x1)) đến B(x2,y(x2)) thỡ x2 ũũPdx+ Qdy =( P(,()) x y x + Q (,())() x y x y x) dx AB x2 Nếu cung AB cú phương trỡnh tham số x=x(t), y=y(t) đi từ A(x(t1), y(t1)) đến B(x(t2), y(t2)) thỡ t2 ũũPdx+ Qdy =( P((),()) x t y t x () t + Q ((),()) x t y t y () t) dt AB t1 Nếu AB là đường cong khụng gian, ta cú cỏch tớnh tương tự khi cú pt tham số của đường cong
5. Đ2: Tớch phõn đường loại 2 – Cỏch tớnh Vớ dụ 1: Tớnh tớch phõn I1 đi từ A(0,0) đến B(1,1) của 2 hàm P=x2 và Q=xy theo cỏc đường 1.Đường thẳng 2.Parabol y=x2 3.Đường trũn x2+y2=2x 1. AB là đoạn thẳng y=x, x từ 0 đến 1 1 1 I= x2 dx + xydy =() x 2 + x 2 dx 1 ũũ AB 0 1
6. Đ2: Tớch phõn đường loại 2 – Cỏch tớnh 2. AB là phần parabol y=x2 với x 1 từ 0 đến 1, y’=2x 1 I=+( x22 x . x .2 x ) dx 1 ũ 0 1 3. AB là phần đường trũn x2+y2=2x Ta viết pt tham số của AB bằng cỏch viết lại pt (x-1)2+y2=1 và đặt x=1+cost thỡ y=sint với t đi từ π π đến /2 p 2 I=ộự(1 + cos t )2 ( - sin t ) + (1 + cos t )(sin t )cos t dt 1 ũ ởỷ p
7. Đ2: Tớch phõn đường loại 2 – Cỏch tớnh Vớ dụ 2: Tớnh tp đường loại 2 của 2 hàm P=x2+2y và Q=y2 trờn đường cong C : y=1-|1-x| với x đi từ 0 đến 2 ùỡ xx,1Ê Ta viết lại pt đường cong C: y = ớ ợù 2-<xx ,1 1 Vậy : I=+ Pdx Qdy 2 ũ 1 2 C 12 I=ộ( x2 + 2) x + x 2 ự dx + ộ ( x 2 + 2(2 - x ))(2 + - x )(1) 2 - ự dx 2 ũũở ỷ ở ỷ 01
8. Đ2: Tớch phõn đường loại 2 – Cỏch tớnh Vớ dụ 3: Tớnh I= xdx + zdy + ydz với C là giao tuyến 3 ũ C của 2 mặt y=x2 và x=z đi từ O(0,0,0) đến A(1,1,1) Ta viết pt tham số của C bằng cỏch đặt x=t thỡ ta được : y=t2, z=t, t đi từ 0 đến 1 1 I= t + t.2 t + t2 dt Vậy : 3 ũ( ) 0
9. Đ2: Tớch phõn đường loại 2 – CT Green CễNG THỨC GREEN: Mối liờn hệ giữa tớch phõn kộp và tớch phõn đường loại 2 Định lý Green : Cho D là miền đúng, bị chặn trong mp Oxy với biờn C trơn từng khỳc. Cỏc hàm P(x,y) và Q(x,y) liờn tục trong miền mở chứa D. Khi ấy ta cú cụng thức Green Pdx+ Qdy = ±() QÂÂ - P dxdy ũẹ ũũ xy CD Trong đú, tp kộp lấy dấu “+” nếu hướng đi trờn đường cong kớn C là hướng dương và dấu “-” nếu ngược lại
10. Đ2: Tớch phõn đường loại 2 – CT Green Chu tuyến kớn C cú thể bao gồm nhiều chu tuyến C1, C2, Miền D được gọi là miền đơn liờn nếu mỗi chu tuyến kớn đú cú thể co vào 1 điểm thuộc D, khi đú trong D khụng cú “lỗ thủng” .P1 C3 C1 .P2 D C2
11. Đ2: Tớch phõn đường loại 2 – CT Green Vớ dụ 4: Cho I=(4 x - 2 y ) dx - (2 x + 3 y ) dy 4 ũ C Với C chu tuyến dương của hỡnh trũn (x-1)2+(y+1)2=4. Tớnh tp trờn bằng 2 cỏch: trực tiếp và dựng cụng thức Green 1.Tớnh trực tiếp: Ta tớnh bằng cỏch viết pt tham số đường trũn đi ngược chiều kim đồng hồ x=1+2cost, y=-1+2sint, t đi từ 0 đến 2π Suy ra :
12. Đ2: Tớch phõn đường loại 2 – CT Green 2p [(4(1+ 2cost ) - 2( - 1 + 2sin t)] ( - 2sin tdt ) I = 4 ũ 0 -[(2(1 + 2cost ) + 3( - 1 + 2sin t)] 2 co s tdt 2p I=-8sin22 t 8cos t dt =0 4 ũ( ) 0 2. Dựng CT Green với C là biờn dương của miền D: (x-1)2+(y+1)2≤4 và P=4x-2y, Q=-(2x+3y) tức là Q’x-P’y = -2-(-2) = 0 Vậy: I= +() QÂÂ - P dxdy 4 ũũ xy =0 D
13. Đ2: Tớch phõn đường loại 2 – CT Green I=2( x2 + y 2 ) dx + ( x + y ) 2 dy Vớ dụ 6: Tớnh 5 ũ C Với C là chu tuyến ΔABC, A(2,1), B(6,1), C(4,3) ngược chiều kim đồng hồ bằng 2 cỏch : Trực tiếp và dựng CT Green 1. Tớnh trực tiếp bằng cỏch viết pt tham sốuuur 3 cạnh Pt AB đi qua A(2,1) và vecto chỉ phương AB = (4,0) C x=2+4t, y=1, t từ 0 đến 1 pt BC: x=6-2t, y=1+2t, t từ 0 đến 1 pt CA: x=4-2t, y=3-2t, t từ 0 đến 1 A B
14. Đ2: Tớch phõn đường loại 2 – CT Green Vậy: 1 ộự2 (2+ 4t )2 + 1 4 dt ) + ởỷờỳ( ) I=ộự2(6 - 2) t2 + (1 + 2) t 2 (2 - dt ) + 7.2 2 dt + 5 ởỷờỳ( ) ũ ộự2(4( - 2)t2 + (3 - 2)(2 t 2) - dt ) + (7 - 4)(2 t 2 - dt ) 0 ởỷờỳ 152 I = 5 3
15. Đ2: Tớch phõn đường loại 2 – CT Green 2. Dựng CT Green: Miền lấy tp kộp D: ΔABC, dấu tp kộp: +, hàm dưới dấu tp kộp : Q’x-P’y=2x-2y Vậy: 3 7- y I5 =-ũũ dy(2 x 2 y ) dx 11+ y 152 C I = 5 3 A B
16. Đ2: Tớch phõn đường loại 2 – CT Green Vớ dụ 6: Tớnh yy I6 =ũ( esin x - 3 x + 2 y) dy +( e cos x + 4 y) dx C Với C là phần đường trũn x2+y2=2y, x≥0, đi từ (0,2) đến (0,0) Khụng thể tớch trực tiếp tớch phõn này. Ta sẽ tớnh bằng cỏch ỏp dụng CT Green. Tuy nhiờn C là đường cong khụng kớn, nờn ta phải “bự” thờm đường cong đi từ (0,0) đến (2,0) để được đường cong kớn.
17. Đ2: Tớch phõn đường loại 2 – CT Green Đường cong bự thờm cũn phải được chọn sao cho việc tớnh tp đường loại 2 của 2 hàm đó cho trờn đú là dễ nhất tức là ta sẽ chọn đt song song với cỏc trục tọa độ Với vớ dụ này, ta chọn C1 là phần đt x=0 từ (0,0) đến (2,0) Như vậy, đường cong kớn CUC1 là biờn õm của miền D: x2+y2≤2y, x≥0 Áp dụng CT Green, ta được : ũPdx+ Qdy = - ũũ () QxyÂÂ - P dxdy CCDẩ 1
18. Đ2: Tớch phõn đường loại 2 – CT Green ũPdx+ Qdy = - ũũ () QxyÂÂ - P dxdy CCDẩ 1 ÛũPdx + Qdy + ũ Pdx + Qdy = - ũũ - 7 dxdy CCD1 1 Pdx Qdy2 ydy 7 S ( D ) 7p Ûũũ + = - + ÛI6 = -4 + C 0 2
19. Đ2: Tớch phõn đường loại 2 – CT Green - yx Vớ dụ 7: Cho 2 hàm P( x , y )== , Q ( x , y ) x2++ y 2 x 2 y 2 Tớnh I7 =+ũ Pdx Qdy với C là chu tuyến kớn, dương C 1.Của hỡnh vuụng |x|+|y|=1 2.Của hỡnh trũn x2+y2=1 3.Khụng bao quanh gốc tọa độ Nhận xột : Ta cú Q’x=P’y và 2 hàm P, Q đều khụng xỏc định tại gốc tạo độ O(0,0) tức là nếu đường cong C bất kỳ bao kớn miền D chứa O thỡ ta sẽ khụng ỏp dụng được CT Green
20. Đ2: Tớch phõn đường loại 2 – CT Green 1. Hỡnh vuụng |x|+|y|=1 chứa O. Để ỏp dụng CT Green, ta sẽ “khoột” đi phần chứa O. Cụ thể, ta gọi C1 là đường trũn x2+y2=r2, với r đủ nhỏ lấy cựng chiều kim đồng hồ Áp dụng CT Green trờn CUC1 là biờn dương của miền D: |x|+|y|≤1, x2+y2≥r2, ta được ũPdx+ Qdy = + ũũ () QxyÂÂ - P dxdy CCDẩ 1
21. Đ2: Tớch phõn đường loại 2 – CT Green ũPdx+ Qdy = + ũũ () QxyÂÂ - P dxdy CCDẩ 1 ÛũũPdx + Qdy = - Pdx + Qdy CC1 xdy- ydx Đặt x=rcost, y=rsint ta được ÛI7 = - ũ r 2 C1 0 1 I7 = -ũ 2 ( rcos t . r cos tdt - r sin t .( - r sin tdt )) 2p r I7 = 2π
22. Đ2: Tớch phõn đường loại 2 – CT Green 2. C là chu tuyến dương của đường trũn x2+y2=1 nờn ta thay vào 2 hàm P, Q để được I7 =-ũ xdy ydx C Ta ỏp dụng được CT Green để được I7 = 2π
23. Đ2: Tớch phõn đường loại 2 – CT Green Chỳ ý: Cỏch làm ở cõu 1. khụng chỉ đỳng cho khi C là chu tuyến dương của hỡnh vuụng mà cũn được làm tương tự khi C là đường cong bất kỳ bao gốc tọa độ. Tức là với mọi chu tuyến dương bao kớn miền D chứa gốc tọa độ ta luụn cú I7 = 2π 3. Do C khụng bao quanh gốc tọa độ nờn ta ỏp dụng được CT Green. Vỡ Q’x=P’y nờn ta cú I7=0
24. Đ2: Tớch phõn đường loại 2 khụng phụ thuộc đường đi TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2 KHễNG PHỤ THUỘC ĐƯỜNG ĐI Cho cỏc hàm P(x,y), Q(x,y) và cỏc đạo hàm riờng liờn tục trong miền mở, đơn liờn D. 4 mệnh đề sau tương đương 1.Q’x = P’y 2. ũ Pdx+ Qdy khụng phụ thuộc đường cong trơn AB từng khỳc nối từ A đến B trong D 3. ũẹPdx+= Qdy 0 Với mọi chu tuyến C kớn, trơn C từng khỳc trong D 4. Tồn tại hàm U(x,y) sao cho dU=Pdx+Qdy
25. Đ2: Tớch phõn đường loại 2 khụng phụ thuộc đường đi Cỏch làm: 1. Thụng thường, ta sẽ kiểm tra điều kiện 1. hoặc 4. (nếu là hàm đó cho sẵn) 2. Nếu điều kiện 4. thỏa, ta sẽ cú cỏch 1 để tớnh tp: Tỡm hàm U(x,y) sao cho dU=Pdx+Qdy tức là ta đi giải hệ U’x=P, U’y=Q và thay vào tớch phõn (A là điểm đầu, B là điểm cuối) ũũPdx+ Qdy = dU = U()() B - U A AB AB
26. Đ2: Tớch phõn đường loại 2 khụng phụ thuộc đường đi Cỏch 2: Kiểm tra điều kiện 1. đỳng thỡ ta sẽ chọn đường nối từ A đến B nằm hoàn toàn trong D là đường gấp khỳc theo cỏc đt song song với cỏc trục tọa độ yxBB Khi đú : ũPdx+ Qdy = ũ Q(,)(,) xAB y dy + ũ P x y dx AB yAA x Hoặc xy B BB =+ũũP(,)(,) x yAB dx Q x y dy xyAA A
27. Đ2: Tớch phõn đường loại 2 khụng phụ thuộc đường đi (4,2) Vớ dụ 8: Tớnh I8 =+ũ xdy ydx (2,1) Cỏch 1: Tỡm hàm U sao cho U’x=y, U’y=x Ta được U(x,y)=xy. Nờn I8 = 4.2-2.1 = 6 Cỏch 2: Kiểm tra điều kiện Q’x=P’y = 1, vỡ P=y, Q=x 42 I8 =ũũ dx +4 dy = 2 + 4.1 = 6 21
28. Đ2: Tớch phõn đường loại 2 khụng phụ thuộc đường đi Vớ dụ 9: Tớnh cỏc tớch phõn (1,2) xdy- ydx theo đường cong khụng cắt trục Oy I9 = ũ 2 (2,1) x (1,2,3) 22 I10 =ũ 2 xydx + ( x - z ) dy - 2 yzdz (0,0,0) - yx1 9. Tỡm hàm U sao cho : ÂÂ UUxy=22, = = y xxx Ta được U = x (1,2) 3 I9 =ũ dU = U(1,2) - U (2,1) = (2,1) 2
29. Đ2: Tớch phõn đường loại 2 khụng phụ thuộc đường đi 10. Ta tỡm hàm U(x,y,z) sao cho dU=Pdx+Qdy+Rdz 2 2 Suy ra U’x=2xy, U’y=x -z , U’z=-2yz Đạo hàm theo x của U là 2xy thỡ nguyờn hàm chắc chắn cú số hạng x2y Đạo hàm theo y của U cú x2-z2 thỡ chắc chắn nguyờn hàm cú số hạng x2y-yz2 Đạo hàm theo z của U là -2yz thỡ chắc chắn nguyờn hàm cú số hạng –yz2 Tổng hợp từ 3 kết quả trờn ta được hàm U(x,y,z)=x2y-yz2+C Vậy I10 = U(1,2,3)-U(0,0,0) = (1.2-2.9+C)-(C) = -16
30. Đ2: Tớch phõn đường loại 2 khụng phụ thuộc đường đi Vớ dụ 10: Tỡm hàm h(y) thỏa h(1)=1 sao cho tp B 2 I11 =ũ (2 xy + 3) h ( y ) dy - y h ( y ) dx A Là tp khụng phụ thuộc đường đi. Sau đú tớnh tp với A(1,1), B(3,2) Để I11 là tp khụng phụ thuộc đường đi ta phải cú 2 Q’x=P’y ↔ [(2xy+3).h(y)]’x=[-y .h(y)]’y ↔ 2y.h = - 2y.h – y2.h’ ↔ 4y.h = -y2.h’ Như vậy, ta được pt vi phõn cấp 1 với hàm là h, biến là y
31. Đ2: Tớch phõn đường loại 2 khụng phụ thuộc đường đi Ta sẽ viết lại pt trờn thành pt tỏch biến - 4dy dh dy dh = ô -4ũũ +C = ↔ -4lny+lnC=lnh yh yh C ô=hy() y 4 Thay điều kiện h(1)=1 vào, ta được C=1. Khi đú, ta cú tp khụng phụ thuộc đường đi (3,2) 11 I11 =ũ (2 xy + 3) 42 dy - dx (1,1) yy Tỡm hàm U(x,y) sao cho U’y=Q, U’x=P
32. Đ2: Tớch phõn đường loại 2 khụng phụ thuộc đường đi ùỡ 1 ù Ux =- ù y 2 ớù ù 23xy ù  ù Uy =+44 ợù yy x Từ đh của U theo x, suy ra U cú chứa - y 2 x 1 Thay vào pt dưới, ta suy ra U(,) x y = - - yy23 47 Vậy IUU=(2,3) - (1,1) = 11 27