Giáo trình Giải tích hàm nhiều biến - Chương 5: Chuỗi - Bài 2: Chuỗi lũy thừa và miền hội tụ

Nội dung text: Giáo trình Giải tích hàm nhiều biến - Chương 5: Chuỗi - Bài 2: Chuỗi lũy thừa và miền hội tụ

1. §2. Chuỗi lũy thừa – Miền hội tụ Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng ¥¥nn ååann( x- x0 ) hay a x a0, a1, a2, là hằng số nn==00 n Số hạng tổng quát un(x)=an(x-x0) (1) hoặc n un(x)=anx (2) phụ thuộc vào n và biến x, là 1 hàm lũy thừa theo x hoặc (x-x0). Ta có thể đặt X=x-x0 và đưa dạng (1) về thành dạng (2) nên ta chỉ viết các kết quả sau đây với số hạng tổng quát dạng (2)
2. §2. Chuỗi lũy thừa – Miền hội tụ ¥ n Miền HT của chuỗi lũy thừa å axn là tập D nếu n= 1 ¥ n "x = x0 Î D chuỗi số å axn 0 HT n= 1 ¥ n Ví dụ: Chuỗi å x n= 0 Là chuỗi cấp số nhân nên HT khi và chỉ khi |x|<1 Suy ra MHT của chuỗi là (-1,1)
3. §2. Chuỗi lũy thừa – Miền hội tụ ¥ 1 å Ví dụ: Tìm MHT của chuỗi 2n n=11+ x 1 uxn()= xác định với mọi x 1+ x2n Khi |x| 1: Cho un ==2nn: 2ç 2 ÷ 1+ x ( x )èøç | x | ÷ Chuỗi HT vì |x|>1 Vậy MHT là (-∞,-1)U(1,+ ∞)
4. §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT ¥ n Tổng quát: giả sử chuỗi lũy thừa å axn HT tại x=x , n= 1 0 ¥ n tức là chuỗi số å axn 0 HT. Theo đkccsht ta được n= 1 n n limaxn 0 = 0 Þ $M >0 : an x0 < M , " n n®¥ Biến đổi số hạng tổng quát của chuỗi: æ ön æ ö n æ ö n n nçx÷ n ç x ÷ ç x ÷ a x= a x÷ = a x ÷ < M ÷ ="vnn, n n00ç÷ n ç ÷ ç ÷ èx0 ø è x 0 ø è x 0 ø ¥ Nếu |x|<|x | thì chuỗi å v n HT 0 n= 1 Suy ra chuỗi ban đầu HTTĐ theo t/c so sánh. Vậy ta chứng minh xong định lý Abel sau đây.
5. §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT Định lý Abel : ¥ n Nếu chuỗi lũy thừa å axn HT tại x ¹ 0 thì nó HTTĐ tại n= 1 0 mọi điểm xÎ-( | x00 |,| x |) ¥ n Hệ quả: Nếu chuỗi å axn PK tại x thì nó PK với mọi x n= 1 1 thỏa |x|>|x1| Bán kính hội tụ (BKHT): ¥ n Số R>0 sao cho chuỗi å axn HT với mọi x: |x| R được gọi là BKHT của chuỗi
6. §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT Cách tìm BKHT của chuỗi lũy thừa élimn |a | ên®¥ n 1 ê Thì BKHT là R = Đặt: r = ê ||a lim n+ 1 r ên®¥ ëê ||an Cách tìm MHT của chuỗi lũy thừa Sau khi tìm xong BKHT, ta chỉ còn xét sự HT của chuỗi tại 2 điểm x=R và x=-R nữa là có kết luận
7. §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT Ví dụ: Tìm BKHT, MHT của các chuỗin sau ¥¥n x 1.åå (nx ) 2. n 2 nn==112.n n 1. Với chuỗi lũy thừa này, ta đang có an=n : n r =lim||ann = lim = + ¥ Þ=R 0 nn® ¥ ® ¥ BKHT R=0 tức là MHT chỉ gồm 1 điểm duy nhất {0} 1 11 n n 2. an = n 2 Þlim||an = lim n 2 = Þ=R 2 2.n nn® ¥ ® ¥ 2.n 2 ¥ Khi x=2: 1 å 2 là chuỗi số dương HT n= 1n ¥ (- 1)n Khi x=-2: å 2 là chuỗi HTTĐ n= 1 n Vậy MHT [-2,2]
8. §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT Ví dụ: Tìm BKHT, MHT của các chuỗi: n n ¥¥xnæö+ 1 2n 1.åå 2.ç ÷ (x - 1) nn ç ÷ nn==1135+ èøç21n - ¥¥(n- 1)! xn n ! 3.åån 4. n n nn==115 nx 1. Chuỗi lũy thừa với BKHT R=5, MHT là (-5,5) 1 11 n n an = nnÞlim||an = lim nn = → R=5 35+ nn® ¥ ® ¥ 35+ 5 ¥ (± 5)n Khi x=± 5: å nnLà 2 chuỗi PK theo đkccsht n=135+ Chú ý: Khi chuỗi số dương PK theo đkccsht thì chuỗi đan dấu tương ứng cũng PK theo đkccsht
9. §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT æön n + 1 ÷ 2 2. Chuỗi lũy thừa với an =ç ÷ , X = ( x - 1) ³ 0 èøç21n - ÷ æön + 11n n n ç ÷ lim |an |== lim ç ÷ → R=2 nn® ¥ ® ¥ èøç2n - 1÷ 2 n ¥ æö n + 1 ÷ n Ta chỉ xét X=2: å ç ÷ 2 Chuỗi PK theo đkccsht vì n= 1èøç21n - ÷ 3 21n- n n æö21n- æ2n + 2 öç æ 3 ö 3 ÷ 3 çç÷÷ç ÷ 2 un =çç÷÷ =ç 1 +÷ nuuuuuur ® ¥ e ¹ 0 èçç2nn 1 ø÷÷ç è 2 1 ø ÷ èøç ÷ Suy ra, chuỗi đã cho HT khi 0£<«£-X 20(1)212 x2 <«- <<+ x 12 Vậy BKHT R=2, MHT: (1-√2, 1+√2)
10. §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT (n - 1)! 3. Chuỗi lũy thừa với a = n 5n ||a n n+ 1 nn!5 → R=0 Þlim = limn+ 1 . = lim = + ¥ n® ¥|ann | n ® ¥5 (- 1)! n ® ¥ 5 Vậy BKHT R=0, MHT là {0}
11. §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT n!1 4. Chuỗi lũy thừa với aX==, n nn x ||a (n+ 1)! nn æö n n 1 limn+ 1 = lim . = lim ç ÷ = n+ ! ç ÷ n® ¥|an | n ® ¥(n + 1) n ! n ® ¥ èø n+ 1 e → R=e ¥ Khi X=e: n! n å n e n= 1n nn+ 1 un+ 1 (n+ 1)! e n e ÞDnn = =n+ 1 . n = n uuuuuur ® ¥ 1 un (n+ 1) n ! e 1+ 1 ( n) æ11 önn æ ö + 1 Tuy nhiên, vì çç1+÷÷ <en < 1 + , " èççnn ø÷÷ è ø Nên Dn<1. Vậy chuỗi PK theo t/c d’Alembert
12. §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT n!1 4. Chuỗi lũy thừa với aX==, , R=e n nn x ¥¥ Khi X=-e: nn!!n n n åånn(-ee ) = ( - 1) nn==11nn Chuỗi trị tuyệt đối PK theo tiêu chuẩn d’A nên nó cũng PK Suy ra, chuỗi đã cho HT khi éx > 1 11ê e X< e « < e « < x « ê xe êx <- 1 ëê e -1 1 Vậy BKHT R=e, MHT (-∞, /e)U( /e,+ ∞)
13. §2. Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi ¥ n Tính chất của chuỗi lũy thừa: å axn (1) n= 1 Cho chuỗi (1) với BKHT là R, MHT là D và trong D có tổng là S(x) Ta có các kết luận sau: 1. Hàm S(x) liên tục trong MHT D 2.Trong MHT D, ta có thể lấy đạo hàm từng số hạng của chuỗi và được chuỗi lũy thừa cũng có BKHT là R æö¥¢ ¥ ¥ ¢¢n÷ n n- 1 S()(),(,) x=ç å an x÷ = å a n x = å a n nx " x Î - R R èøn=1 n = 1 n = 1 3.Trong MHT D, ta có thể lấy tích phân từng số hạng của chuỗi và được chuỗi lũy thừa cũng có BKHT là R x x x n+ 1 ¥nn ¥ ¥ x òStdt(),(,)= òå atdtn = å atdt n ò = å a n " x Î - RR 0 0n=1 n = 1 0 n = 1 n + 1
14. §2. Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi Ví dụ: Tìm BKHT và tính tổng các chuỗi sau n ¥¥x n 1.åå 2. nx nn==11n n ¥¥nn21- x 3.åå (- 1) 2nx 4. 2 nn==11nn+ 1 1. Chuỗi có a = Dễ dàng suy ra R=1. n n ¥ xn Ta tính tổng với x trong khoảng (-1,1). Đặt Sx()= å n= 1 n æön ¢ ¥¥çx ÷ n- 1 1 ÞS¢( x ) =ååç ÷ = x = , " x Î ( - 1,1) nn==11èøç nx÷ 1- x 1 Vậy: S( x )=ò dt = - ln(1 - x ), " x Î ( - 1,1) 0 1- t
15. §2. Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi 2. Dễ dàng thấy R=1, "Î-x ( 1,1) ta đặt ¥¥nn- 1 S() x==åå nx x nx nn==11 æö¥ n ¢ æö1 ¢ S() x= xç å x ÷ ç ÷ (1 xx ) ( 1) ç ÷ = xxç ÷= x èøn= 1 èø1- x (1- x )2 x S( x )= , " x Î ( - 1,1) (1- x )2
16. §2. Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi 3. Dễ dàng thấy R=1, "Î-x ( 1,1) ta đặt ¥ æö¥ ¢ nn21- nn2 ÷ S( x )=-å ( 1) 2 nx =-ç å ( 1) x ÷ n= 1 èøn= 1 æö¥ ¢ 2 n ÷ =-ç å ()x ÷ èøn= 1 æö¢ 2 1 ÷ =-ç()x ÷ èøç 1 (x )2 ÷ -2x (1 + x22 ) + x .2 x = (1+ x22 ) 2x Vậy: S( x )= - , " x Î ( - 1,1) (1+ x22 )
17. §2. Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi 4. Dễ dàng thấy R=1, "Î-x ( 1,1) ta đặt n n n ¥x ¥n æö11 ¥ x ¥ x S() x=å = å x ç -÷ = å - å 2 ç ÷ n=1nn+ n = 1èøçn n++11 n = 1 n n = 1 n ¥¥xxnn1 + 1 Sx()=-åå nn==11n x n + 1 nnæö ¥¥x1ç x x÷ Sx()=åå -ç - ÷ Sử dụng kết quả câu 1. nn==11n xèøç n 1÷ 1 S( x )= - ln(1 - x ) -( - ln(1 - x ) - x) x æö1 Vậy : S( x )= ln(1 - x )ç - 1÷ + 1, " x Î ( - 1,1) èøçx ÷
18. §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint Cho hàm f(x) khả vi vô hạn lần trong lân cận của x0 Ta gọi chuỗi Taylor của f(x) là chuỗi ¥ ()n fx()0 n å ()xx- 0 n= 0 n! Khi x0=0, ta được chuỗi Maclaurint của hàm ()n ¥ f (0) n å x n= 0 n! Tuy nhiên, các chuỗi trên chưa chắc đã HT với mọi x, tức là chưa chắc chúng đã có tổng để tổng có thể bằng f(x).
19. §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint Định lý: (Điều kiện để hàm f(x) có thể khai triển thành chuỗi Taylor) Giả sử trong lân cận (x0-R,x0+R), hàm f(x) thỏa 1. f(x) khả vi vô hạn lần 2. Tồn tại hằng số C>0: |f(n)(x)|≤Cn, với mọi n ¥ ()n thì fx()0 n f()(),(,) x=å x - x0 " x Î x 0 - R x 0 + R n= 0 n! Chú ý: Trong khi làm bài, ta sẽ không kiểm tra 2 điều kiện trên để có chuỗi Taylor của hàm f(x) mà ta sẽ sử dụng các kết quả sau đây để chỉ ra MHT của chuỗi Taylor - Maclaurint
20. §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint Một số chuỗi Maclaurint cơ bản xn 1/ex =  , MHT: DR= n=0 n! 1 n 1 2 /= x , =−( 1)nnx , D =−( 1,1) 1− x   n=0 1+ x n=0 ( − 1) ( −n + 1) 3 /( 1+xx) = 1 +  n n=1 n! RN, − 1,1 , 0 D = (−1,1 , − 1 0 (−1,1) , − 1
21. §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint xn 4 / ln(1+x ) = ( − 1)n−1 , D =−( 1,1 n=1 n x21n+ 5 / sinx =− ( 1)n n=0 (2n + 1)! x2n DR= cosx =− ( 1)n n=0 (2n )! x21n+ 6 / arctanx =  (− 1)n , D =−( 1,1) n=0 21n +
22. §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint Ví dụ: Tìm chuỗi Maclaurint các hàm: x 1. f ( x )= 2. f ( x ) = ln(2 - 3 x + x2 ) xx2 -+56 x æö11 1. ç ÷ f() x=2 = xç - ÷ xx-+56 èøçxx 32÷ æö ç ÷ nn ç ÷ æö¥¥æ ö æ ö ç 1 1 1 1 ÷ ç 11xx÷÷÷ =xç - + ÷=xç -ååçç÷÷ + ÷ ç 32xx÷ ç 3nn==00èçç 3 ø÷÷ 2 è 2 ø ÷ ç 11 ÷ èø èøç 32÷ ¥ æö11n+ 1 Vậy: f() x=-å ç ÷ x MHT: (-2,2) ç nn++11÷ n= 0èøç23 xx Chuỗi HT nếu -1 < < 1 và - 1 < < 1 ↔ -2<x<2 32
23. §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint 2. f(x)=ln(2-3x+x2) = ln((1-x)(2-x)) = ln(1-x) + ln(2-x) x f( x )= ln(1 + ( - x )) + ln2 + ln(1 + ( - )) 2 n ¥¥nn 11æö ( 1)n ( 1) x÷ f( x )= ln2 +åå ( - x ) +ç - ÷ nn==11nnèøç 2÷ ¥ 11æön f( x )= ln2 -å ç 1 + ÷ x ç n ÷ MHT: (-1,1) n= 1nèøç 2 ïì -11 < -x < ï Chuỗi HT nếu í - x Û -11 <x < ï -11 < < îï 2
24. §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint Ví dụ: Tìm chuỗi Maclaurint hàm: f( x )= ln( x + 1 + x2 ) x 1+ 1 2 1 − Ta tính fxx ()1 ===+ 1+ x ( 2 ) 2 xxx+++1122 Tìm chuỗi Maclaurint của hàm f’(x): −11 −−1 1 2422 f ( x )= 1 − x + x + 2 2! 1 1 1 − − −11 − −n + 2 2 2 2n ++ x n!
25. §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint 1.3.5 (2n − 1) f xnn x2 ( )= 1 + ( − 1) n n=1 2!n Hàm khai triển được nếu 0 xx2 1 − 1 1 x Suy ra: f( x )=+ f ( t ) dt f (0) 0 1.3.5 (2n − 1) lnx+ 1 + x2 = x + ( − 1)nn x 2+ 1 ( )  n n=1 2nn !(2+ 1) MHT : −11 x
26. §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint Ví dụ: Tìm chuỗi Taylor ở lân cận x0=3 của hàm 1 fx()= x - 1 Đặt X=x-3 n 1 1 2 13¥ n æöx - fx()===-å ( 1) ç ÷ x - 3 ç ÷ 2+- (x 3) 21+ 22n= 0 èø 2 n ¥ (- 1) n f( x )=-å n+ 1 ( x 3) n= 0 2 MHT: (1,5)
27. §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint Ngoài việc áp dụng khai triển các hàm cơ bản thành chuỗi Maclaurint vào việc tìm chuỗi Taylor , chuỗi Maclaurint các hàm bình thường. Ta còn có thể áp dụng để tính tổng các chuỗi lũy thừa, chuỗi số Ví dụ: Tính tổng của chuỗi lũy thừa ¥ ()- x n å , x Î- ( 1,1) n= 0 nn(+ 1) (- 1)n Chuỗi trên là chuỗi lũy thừa với a = n nn(+ 1) Nên dễ thấy BKHT R=1, tức là với -1<x<1 ta đặt ¥ ()- x n Sx()= å n= 0 nn(+ 1)
28. §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint ¥ æö nn11÷ S( x )=å ( - 1) x ç - ÷ n= 0 èøçnn+ 1÷ æönn- 1 ¥ ç( 1)nn 1 ( 1) + 1÷ =( - 1) å ç xx + ÷ n= 0èøç n x n + 1 ÷ nn- 1 ¥¥( 1)nn 1 ( 1) + 1 =( - 1) ååxx + nn==00n x n + 1 æön- 1 1ç ¥ ( 1) n ÷ =( - 1)ln(1 +xx ) +ç å - 1÷ xnèøçn= 0 ÷ 1 =( - 1)ln(1 +xx ) -( ln(1 + ) - 1) x ¥ n æö Vậy: (- x ) 1÷ 1 1 å =ç1 +÷ ln + , " x Î (-1,1) n= 0 n( n++ 1)èøç x÷ 1 x x
29. §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint ¥ n - 1 n+ 1 Ví dụ: Tính tổng của chuỗi å x n= 1(2n )!! nn ¥¥nn 11nn+ 1 ¥ n. x- x ååx= x. x = x å n nn==11(2nn )!! 2.4.6 (2 ) n= 1 2 .n ! nn æö¥¥næ x ö1 æ x ö ç çç÷÷÷ =-xç ååçç÷÷÷ èøçnn==11nn!è 2 ø ! è 2 ø ÷ nn1 æöx¥¥11æ x ö- æ x ö ç çç÷÷÷ =-xç ååçç÷÷÷ èøç2nn==11 (nn- 1)!è 2 ø ! è 2 ø ÷ nn x2 ¥¥11æ x öæö æ x ö çç÷÷ç ÷ =ååçç÷÷ -xç - 1÷ 2nn==00nn !è 2 øèøç ! è 2 ø ÷
30. §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint 2 xx ¥ n - 1 n+ 1 x å x =e22 - x( e - 1) n= 1(2n )!! 2 æö2 x çx ÷ 2 =ç -x÷ e + x, " x èøç 2 ÷
31. §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint Ví dụ: Sử dụng khai triển Maclaurint hàm dưới dấu tích phân bằng chuỗi, tính tích phân 1 æö1 ç ÷ I= ò lnç ÷ dx 0 èø1- x æö ¥ n Ta có: 1÷ n- 1 (- x ) lnç ÷= - ln(1 -x ) = -å ( - 1) èøç1- xn÷ n= 1 Thay vào tích phân trên 1 n n 1 ¥ n ()- x ¥ (- 1) n ¥ 11- I=-ò å ( 1) dx=-å ò ()x dx= å 0 n= 1 n n= 1 n 0 n= 1nn+ 1 Ta tính tổng của chuỗi số bằng định nghĩa Tổng riêng : Sn = u1+u2+ +un và tổng S
32. §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint éùæ1 1 ö æ 1 1 ö æ 1 1 ö æ 1 1 ö ç÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ Sn = -êúç -÷ + ç - ÷ + ç - ÷ + + ç - ÷ ëûêúèç1 2 ø èç 2 3 ø èç 3 4 ø èçnn+ 1 ø éù1 Snn = -êú1 -uuuuuur ® ¥ -1 ëûêún + 1 Vậy 1 æö1 ç ÷ I=ò lnç ÷ dx = - 1 0 èø1- x
33. §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint Ví dụ: Tính tổng các chuỗi số sau ¥¥n.5(nn 2) - 1. åå 3. n+ 1 nn==01n! nn(2)7+ ¥¥2(211nn+- 1).2.5.8 (34) n 2. åå 4. 31n- nn==11(2n )!! 2. ! n nn- 1 ¥¥n.5 5 ¥ n 1. 5 5 åå=+05 = 5 å = e nn==01nn! (- 1)! n= 0 n! 2nn+ 1 2 2n n 2. ¥¥2 2.2 ¥ 2.2 ¥ 2 åå= = å n = 2 å nn==11(2nn )!! 2.4.6 (2 ) n= 1 2!n n= 1 n! æön ç ¥ 2 ÷ 2 =-21ç å ÷=-2(e 1) èøçn= 0 n! ÷
34. §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint ¥¥( 2)n ( 1) n 2 n 1æö 1 1 3. åå=-ç ÷ nn+ 1 ç ÷ nn==11nn(+ 2).7 7.7 22èøçnn+ n ¥ æ ö æ ö 1n 2÷÷ 1 1 =å ( - 1) çç÷÷ - 14n= 1 èçç 7 ø÷÷ ènn+ 2 ø nn22 ¥¥nn-+11æ ö æ ö+ æ ö 1 (1) 2÷ 1 (1)(1) 2 ÷ 7 ÷ =-ååç÷ ç ÷ ç ÷ 14nn==11nnèç 7 ø÷ 14+ 2 èç 7 ø÷ èç 2 ø÷ n 2 1 2 149æö¥ (1)n- 1æ 2 ö 212 æ ö ç çç÷÷÷ =ln(1 + ) +ç å çç÷÷ - + ÷ 14 7 14 4èøçn= 1 n è 7 ø 7 2 è 7 ø ÷ ¥ (- 2)n 45 9 3 å n+ 1 =-ln n= 1nn(+ 2).7 56 7 14
35. §2. Chuỗi Taylor - Maclaurint n- 1 4. ¥ ( 1) .2.5.8 (3n 4) å 31n- n= 1 2 .n ! 1 1 1 1 .( 1)( 2) ( (n 1)).3n ¥ 3 3 3 3 = å - 13n n= 1 2 .2 .n ! 1 1 1 1 .( 1)( 2) ( (n 1)) n ¥ æö 3 3 3 3 3÷ = 2 å ç ÷ n= 1 n!8èøç ÷ æö1 çæö33 ÷ 11 ç ÷ ÷ 3 3 =2çç 1 +÷ - 1÷ = 2 - 2 = 11 - 2 çèøç 88÷ ÷ èøç ÷