Giáo trình Hình học vi phân - Đỗ Ngọc Diệp

88 trang hapham 160

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Hình học vi phân - Đỗ Ngọc Diệp", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

tai_lieu_hinh_hoc_vi_phan_do_ngoc_diep.pdf

Nội dung text: Giáo trình Hình học vi phân - Đỗ Ngọc Diệp

MATHEDUCARE.COM HÌNH HỌC VI PHÂN Đỗ Ngọc Diệp và Nông Quốc Chinh
MATHEDUCARE.COM Mục lục 1 Đường và mặt bậc hai 6 1.1 Siêu phẳng afin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Thuật khử Gauss-Jordan giải hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Đa tạp tuyến tính và phương pháp toạ độ . . . . . . . 6 1.1.3 Các phép biến đổi (tuyến tính) trong hình học . . . . . 8 1.2 Đường bậc hai với phương trình chính tắc . . . . . . . . . . . 8 1.2.1 Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2 Hyperbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.3 Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Đưa phương trình đường bậc hai trong mặt phẳng về dạng chính tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Phân loại siêu mặt bậc 2 trong không gian 3 chiều . . . . . . . 10 1.5 Đưa phương trình mặt bậc hai tổng quát về dạng chính tắc . . 14 1.6 Phân loại dời hình các đường bậc hai trong mặt phẳng Euclid 16 1.7 Phân loại dời hình các mặt bậc hai trong không gian Euclid 3 chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.8 Phương pháp toạ độ cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.8.1 Các đường bậc 2 tham số hoá . . . . . . . . . . . . . . 18 1.8.2 Các mặt bậc hai tham số hoá . . . . . . . . . . . . . . 18 1.9 Bài tập củng cố lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 Lý thuyết đường cong trong Rn 20 2.1 Cung tham số hoá và cung chính quy . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 Độ dài đường cong trong Rn. Đường trắc địa . . . . . . . . . . 21 2.3 Mục tiêu trực chuẩn. Mục tiêu Frénet. Độ cong. Độ xoắn. . . 24 2.4 Định lí cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.5 Bài tập củng cố lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 2 3 Đại số tensơ, đại số ngoài, tensơ đối xứng 30 3.1 Tích tensơ các không gian véctơ . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.2 Tích ngoài và tích tensơ đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.3 Đại số tensơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.4 Đại số ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4 Lý thuyết mặt cong trong R3 34 4.1 Mảnh tham số hoá chính quy và mặt tham số hoá . . . . . . . 34 4.2 Mục tiêu Darboux của đường cong trên mặt dìm . . . . . . . . 34 4.3 Dạng toàn phương cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.4 Đạo hàm Weingarten và ký hiệu Christoffel . . . . . . . . . . 40 4.5 Đạo hàm thuận biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.6 Độ cong Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.7 Các định lí cơ bản của lí thuyết mặt dìm . . . . . . . . . . . . 46 5 Đường cong trên mặt cong 49 5.1 Đường cong trên mặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.2 Độ cong pháp dạng và độ cong trắc địa của đường cong trên mặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 5.3 Phương chính và độ cong Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.4 Một số tính chất đặc trưng của đường trên mặt cong . . . . . 52 5.5 Định lí Gauss -Bonnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5.6 Bài tập củng cố lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 6 Định lý ánh xạ ngược và Định lý ánh xạ ẩn 60 6.1 Định nghĩa đạo ánh và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . 60 6.2 Đạo hàm riêng và vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 6.3 Định lí hàm (ánh xạ) ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 6.4 Định lí hàm (ánh xạ) ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 6.5 Bó các hàm trơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 6.6 Bài tập củng cố lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 7 Đa tạp khả vi 74 7.1 Định nghĩa. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 7.2 Ánh xạ trơn giữa các đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 7.3 Phân thớ tiếp xúc, đối tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 7.3.1 Không gian tiếp xúc. Phân thớ tiếp xúc . . . . . . . . 77 7.3.2 Không gian đối tiếp xúc. Phân thớ đối tiếp xúc . . . . 78 7.4 Đa tạp con. Đa tạp thương. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 7.4.1 Điều kiện dìm và điều kiện ngập . . . . . . . . . . . . . 79 7.4.2 Cấu trúc vi phân cảm sinh . . . . . . . . . . . . . . . . 81
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 3 7.4.3 Định lí Godeman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 7.4.4 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 7.5 Tôpô các đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 7.6 Bài tập củng cố lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 7.7 Sơ lược về hình học Riemann tổng quát . . . . . . . . . . . . . 84 7.8 Sơ lược về hình học symplectic tổng quát . . . . . . . . . . . . 84
MATHEDUCARE.COM Giới thiệu Ở trường phổ thông, hình học được dạy và học theo quan điểm hình học Euclid. Các vật thể hình học được cấu thành từ các mảnh phẳng và mảnh cầu. Quan hệ so sánh giữa các vật thể hình học được thực hiện bởi các phép dời hình; hai vật thể hình học được xem là bằng nhau nếu chúng có thể được chồng khít lên nhau qua những phép dời hình. Đại số tuyến tính và hình học giải tích xét các vật thể hình học được cấu thành từ các mảnh phẳng và các mảnh bậc 2 tổng quát. Các quan hệ so sánh được xét như các phép biến đổi tuyến tính hoặc afin. Các đường bậc hai được đưa về 9 dạng chính tắc, các mặt bậc hai trong không gian 3-chiều được đưa về 17 dạng chính tắc. Trong hình học đại số bằng phương pháp phân loại có thể nghiên cúu các đường và mặt hoặc siêu mặt bậc 3 hay, tổng quát hơn, bậc bất kì. Phép biến đổi cho phép là các phép biến đổi đa thức hoặc song hữu tỉ. Quan điểm nói trên được phát triển trong cùng một ngữ cảnh củahình học vi phân khi mà các vật thể được cấu tạo từ các mảnh tham số hoá bằng các toạ độ địa phương,mà nói chung các hàm toạ độ địa phương là các hàm trơn bất kì. Các phép biến đổi là các phép vi phôi. Do vậy các vật thể hình học trong hình học vi phân đa dạng hơn, nhiều chiều hơn và theo một nghĩa nhất định là trơn chu hơn các vật thể hình học trong các môn hình học trên. Phương pháp nghiên cứu của hình học vi phân tương đối đa dạng. Trước hết hình học vi phân sử dụng các phép tính vi phân và tích phân trong không gian Euclid Rn để xây dựng các phép tính vi phân và tích phân tương ứng trên các vật thể hình học. Đồng thời nó cũng vận dụng các phương pháp tôpô, tôpô đại số, phương pháp tổ hợp, phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêng, để tìm ra các tính chất của các đối tượng hình học. Giáo trình này được biên soạn trong khuôn khổ chương trình cho sinh viên các năm cuối đại học. Các tác giả đã dạy chương trình này cho các lớp của Đại học Huế,Đại học Thái nguyên, Đại học Quy Nhơn. Thực tế giảng dạy đã gợi ý cho các các tác giả chọn lọc các nội dung này, sao cho vừa phải, không quá nhiều và cũng không quá nghèo nàn. 4
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 5 Giáo trình gồm có các chương chính sau: Chương 1 đuợc dành cho việc nhìn lại lý thuyết đuờng và mặt bậc 1 và 2. Mục đích của chương này là tạo ra một khởi điểm hình học cho việc học tiếp tục. Chương 2 được dành cho việc nghiên cứu các đường cong trong không gian Euclid n-chiềụ. Chương 3 được dành cho việc xây dựng lại khái niệm về tensơ và đại số tensơ. Chương 4 là chương trọng tâm, dành cho lý thuyết mặt cong trong không gian Euclid R3. Trong chương 5 chúng tôi trình bày phép toán vi phân nhiều chiều cho các ánh xạ trơn, đồng thời nhấn mạnh các định lí ánh xạ ẩn và định lí ánh xạ ngược. Hai định lí này đóng vai trò trung tâm trong việc nghiên cứu các đa tạp con trong Rn được xác định bởi hệ phương trình hàm. Trong chương 6 chúng tôi trình bày lý thuyết tổng quát các đa tạp khả vi. Đó chính là các đối tượng trung tâm của hình học vi phân. Cuối mỗi chương có một số bài tập bổ sung cho phần lí thuyết. Các bài tập luyện tập cơ bản, cần đuợc giảng viên chọn từ các nguồn khác. Giáo trình được biên soạn lần đầu không tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp cho việc biên sọan, nội dung và hình thức của giáo trình. Các tác giả
MATHEDUCARE.COM Chương 1 Đường và mặt bậc hai Trong chương này chúng ta sẽ hệ thống hoá lại những khái niệm và kết quả nghiên cứu đường và mặt trong Đại số tuyến tính và Hình học giải tích dưới một cách nhìn thống nhất là tham số hoá và toạ độ hoá. Cách nhìn thống nhất này sẽ cho một hình dung sơ bộ về phương pháp nghiên cứu của hình học vi phân cổ điển. 1.1 Siêu phẳng afin Trong Đại số tuyến tính, các siêu phảng afin đóng vai trò cơ bản, các m-phẳng được xem như giao của hệ các siêu phẳng afin. Trong hình học afin, siêu mặt afin là đối tượng cơ bản. Các giao của các siêu mặt bậc 2 cho ta các đối tương kiểu các nhát cắt cầu, nhát cắt ellipsoid, v.v 1.1.1 Thuật khử Gauss-Jordan giải hệ phương trình tuyến tính Để giải hệ phương trình tuyến tính ta có thể sử dụng thuật khử Gauss-Jordan là thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên ma trân của hệ phương trình đã cho. Chúng tôi cho rằng học viên đã biết kĩ về những vấn đề liên quan. 1.1.2 Đa tạp tuyến tính và phương pháp toạ độ Ta xét bài toán nghiên cứu tập nghiệm (hạt nhân) của phương trình véctơ ϕ(x) = b, trong đó ϕ : V → W là một ánh xạ tuyến tính. Không gian nghiệm là một m-phẳng afin dạng x0 + L với L là một mặt phẳng qua gốc toạ độ, là không gian nghiệm (hạt nhân) của ánh xạ tuyến tính ϕ(x) = 0. 6
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 7 Toạ độ hoá các không gian véctơ V và W bằng cách chọn trong mỗi không gian một cơ sở tuyến tính, ta quy bài toán về giải hệ phương trình tuyến tính. Xét hệ phương trình tuyến tính tổng quát với n biến và m phương     x1 b1  x2   b2  trình Ax = b, với x =   và cột vế phải b =  . Theo Định     xn bm lý Kronecker-Kapelli, hệ phương trình là có nghiệm khi và chỉ khi rank[A] = rank[A|b]. Nghiệm của hệ là một không gian afin con. Nếu ta chọn toạ độ hoá bằng cách chọn một cơ sở của không gian nghiệm rồi bổ sung thành một cơ sở của toàn bộ Rn thì ta có thể nói rằng: Có thể tách biến x = (x, y) với x = (x1, . . . , xn−r), y = (y1, . . . , yr) sao cho r = rank[A] và ma trận con   a1,n−r+1 . . . a1,n   ar,n−r+1 . . . ar,n là khả nghịch. Các biến x1, . . . , xn−r là biến tự do. Các biến y1, . . . , yr là các biến phụ thuộc, là các hàm tuyến tính theo x1, . . . , xn−r theo quy tắc Cramer cho hệ Pn−r a1,n−r+1y1 + + a1,nyr = b1 − i=1 a1,ixi Pn−r ar,n−r+1y1 + + ar,nyr = br − i=1 ar,ixi Như vậy ta có thể tìm một cơ sở trong không gian nghiệm mà trong đó các véctơ nghiệm tương ứng với x = (x1, . . . , xn−r) của x0 + L. Nói một cách n−r khác, ta có một đẳng cấu afin giữa R và không gian con afin x0 + L. Nếu xem không gian con afin như là vật thể hình học độc lập thì các phép biến đổi hình học cho phép chính là các phép biến đổi afin. Việc chọn cách tách biến như trên cho phép "tọa độ hoá" không gian (đa tạp) afin đó. Một ví dụ khác là các hình thu được nhờ compa. Theo quan điểm trừu tượng compa là công cụ có tác dụng duy nhất là vẽ các đường tròn hoặc là các cung của nó. Một lý thuyết tổng quát các mặt bậc 2 được nghiên cứu trong phần cuối của một giáo trình đại số tuyến tính. Trong trường hợp này các phép biến đổi cho phép là các phép biến đổi bảo toàn các dạng bậc 2, tức là các phép biến đổi afin trực giao. Ví dụ với mặt cầu phép biến đổi cho phép là các phép biến đổi trong không gian Euclid (các phép quay, các phép phản xạ, tịnh tiến). Bài toán quy về việc nghiên cứu hệ một hay nhiều phương trình, bất phương trình bậc 2, ví dụ dạng toàn phương. Lại một lần nữa, câu hỏi tự nhiên được đặt ra là: có thể chăng nghiên cứu các mặt tổng quát hơn là mặt bậc 2?
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 8 Bài toán cơ bản là các việc làm nói trên có thể thực hiện hay không khi hệ phương trình phi tuyến (không là tuyến tính hoặc các phương trình có bậc lớn hơn 2). Trả lời câu hỏi này, hình học vi phân dùng toàn bộ công cụ vi tích phân của giải tích. Đó cũng chính là nội dung của hình học các đa tạp khả vi. Tuy nhiên để có được điều đó ta phải huy động toàn bộ phép tính vi tích phân trong Rn ở dạng tổng quát nhất. 1.1.3 Các phép biến đổi (tuyến tính) trong hình học Trong một không gian, điều quan trọng hơn cả là chúng ta chấp nhận các phép biến đổi nào. Nếu chấp nhận đủ nhiều các phép biến đổi được coi là biến đổi tương đương thì có đủ nhiều các vật thể hình học được đồng nhất với nhau. Nếu hạn chế chỉ xét các phép biến đổi hình học là tuyến tính thì chúng n ta có nhóm biến đổi là nhóm tuyến tính tổng quát G = GL(R ) = GLn(R) của không gian, gồm tất cả các phép biến đổi tuyến tính khả nghịch. Chúng ta thu được hình học afin [aphin]. Nếu chúng ta hạn chế hẹp hơn, chỉ chấp nhận các phép biến đổi là bảo toàn khoảng cách, hoặc tích vô hướng, chúng ta có nhóm O(n) các biến đổi trực giao và hình học chính là hình học Euclid. 1.2 Đường bậc hai với phương trình chính tắc 1.2.1 Ellipse Trong hình học giải tích, ellipse được định nghĩa như quỹ tích các điểm M mà tổng khoảng cách đến hai điểm F1 và F2 cho trước là một đại lượng không đổi 2a. Các điểm F1 và F2 đó được gọi là các tiêu điểm. Gọi khoảng cách giữa hai điểm F1 và F2 là 2d. Chọn trung điểm của đoạn ~ F1F2 là gốc O của hệ toạ độ Descartes, chọn véctơ e1 sao cho OF 2 = de1. Bổ sung thêm một véctơ e2 để có một cơ sở trực chuẩn thuận hướng và do vậy có hệ toạ độ Descartes O, e1, e2 . Trong hệ toạ độ này điểm M có các toạ độ là (x, y) và ta có phương trình đường ellipse x2 y2 √ + = 1, với b = a2 − d2 a2 b2 1.2.2 Hyperbola Trong hình học giải tích, hyperbola được định nghĩa như quỹ tích các điểm M mà trị tuyệt đối của hiệu khoảng cách đến hai điểm F1 và F2 cho trước là một đại lượng không đổi.
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 9 Gọi khoảng cách giữa hai điểm F1 và F2 là 2d. Chọn trung điểm của đoạn ~ F1F2 là gốc O của hệ toạ độ Descartes, chọn véctơ e1 sao cho OF 2 = de1. Bổ sung thêm một véctơ e2 để có một cơ sở trực chuẩn thuận hướng và do vậy có hệ toạ độ Descartes O, e1, e2 . Trong hệ toạ độ này điểm M có các toạ độ là (x, y) và ta có phương trình đường ellipse x2 y2 √ − = 1, với b = d2 − a2 a2 b2 1.2.3 Parabola Trong hình học giải tích, parabola được định nghĩa như quỹ tích các điểm M mà khoảng cách đến một điểm F và một đường thẳng ` trong mặt phẳng cho trước là bằng nhau. Qua điểm F , ta hạ đường vuông góc với đường thẳng ` tại điểm P . Gọi trung điểm đoạn PF là gốc toạ độ O. Chọn các véctơ trực ~ chuẩn e1 và e2 sao cho OF = pe2. Gọi (x, y) là các toạ độ điểm M trong hệ toạ độ O, e1, e2. Khi đó ta có phương trình đường parabola là x2 = 4py. 1.3 Đưa phương trình đường bậc hai trong mặt phẳng về dạng chính tắc Định lí 1.3.1 (Định lí phân loại) Bằng phép biến đổi toạ độ thích hợp, mỗi đường bậc hai tổng quát trong mặt phẳng Euclid afin 2-chiều đều được đưa về một trong số 9 đường chính tắc sau: 1. Đường ellipse x2 y2 + = 1. a2 b2 2. Đường ellipse ảo: x2 y2 + = −1. a2 b2 3. Đường hyperbola x2 y2 − = 1. a2 b2 4. Đường parabola x2 = 2y, p > 0. p
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 10 5. Cặp hai đường thẳng song song x2 = 1. a2 6. Cặp hai đường thẳng ảo song song: x2 = −1. a2 7. Cặp hai đường thẳng ảo cắt nhau: x2 y2 + = 0. a2 b2 8. Cặp hai đường thẳng cắt nhau: x2 y2 − = 0. a2 b2 9. Cặp hai đường thẳng trùng nhau: x2 = 0. 1.4 Phân loại siêu mặt bậc 2 trong không gian 3 chiều Định lí 1.4.1 (Định lí phân loại) Bằng phép biến đổi toạ độ thích hợp, mỗi mặt bậc hai tổng quát trong không gian Euclid ba chiều đều được đưa về một trong số 17 mặt chính tắc sau: 1. Mặt ellipsoid: x2 y2 z2 + + = 1. a2 b2 c2 2. Mặt ellipsoid ảo: x2 y2 z2 + + = −1. a2 b2 c2 3. Mặt nón ảo: x2 y2 z2 + + = 0. a2 b2 c2
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 11 4. Mặt elliptic hyperboloid một tầng x2 y2 z2 + − = 1. a2 b2 c2 5. Mặt elliptic hyperboloid hai tầng x2 y2 z2 + − = −1. a2 b2 c2 6. Mặt nón bậc hai: x2 y2 z2 + − = 0. a2 b2 c2 7. Mặt elliptic paraboloid x2 y2 + = 2z, p > 0, q > 0. p q 8. Mặt trụ elliptic x2 y2 + = 1. a2 b2 9. Mặt trụ elliptic ảo: x2 y2 + = −1. a2 b2 10. Cặp mặt phẳng ảo cắt nhau: x2 y2 + = 0. a2 b2 11. Mặt hyperbolic paraboloid: x2 y2 − = ±2z, p > 0, q > 0. p q 12. Mặt trụ hyperbolic: x2 y2 − = ±1. a2 b2 13. Cặp hai mặt phẳng cắt nhau: x2 y2 − = 0. a2 b2
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 12 14. Mặt trụ parabolic x2 = 2pz, p > 0. 15. Cặp hai mặt phẳng song song: x2 = k2, hay x = ±k, k 6= 0. 16. Cặp hai mặt phẳng ảo song song: x2 = −k2, hay x = ±ik, k 6= 0. 17. Cặp hai mặt phẳng trùng nhau: x2 = 0. Chứng minh. Định lí được chứng minh bằng cách chọn phép đổi toạ độ thích hợp làm biến mất phần tuyến tính. Dạng toàn phương và hệ số tự do quyết định đạng của mặt cong. Trường hợp 1: Dạng toàn phương có ba giá trị riêng khác 0: λ1, λ2, λ3: Phương trình được đưa về dạng 2 2 2 λ1x + λ2y + λ3z = c 1a. Các giá trị λ1, λ2, λ3 cùng dấu, quy về λ1 > 0, λ2 > 0, λ3 > 0 1. Nếu c > 0 ta có thể đặt a2 = c , b2 = c , c2 = c . λ1 λ2 λ3 2. Nếu c 0, λ2 > 0, λ3 0 ta có thể đặt a2 = c , b2 = c , c2 = c . λ1 λ2 −λ3 5. Nếu c 0, λ2 > 0, λ3 = 0. Khi có một giá trị riêng λ3 = 0 thì hệ số tự do lại có thể làm triệt tiêu. Nếu hệ số bậc nhất theo z khác 0 ta có thể đặt là ±2p, p > 0. Ta có
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 13 7. Nếu hệ số bậc nhất theo z triệt tiêu, ta có phương trình dạng 2 2 λ1x + λ2y = c. Ta có ba trường hợp: 8. Nếu c > 0 ta có thể đặt a2 = c , b2 = c , c2 = c . λ1 λ2 −λ3 9. Nếu c 0, λ2 0 ta có thể đặt a2 = c , b2 = c . λ1 −λ2 12. Nếu c < 0, ta có thể đặt a2 = −c , b2 = −c . λ1 −λ2 13. Nếu c = 0 ta có thể đặt a2 = 1 , b2 = 1 . λ1 −λ2 Trường hợp 3: Có đúng một giá trị riêng khác 0, ví dụ λ1 6= 0, λ2 = λ3 = 0. Khi đó phương trình tổng quát có dạng 2 λ1x + 2a1x + 2a2y + 2a3z + a0 = 0. p 2 2 Nếu D = a2 + a3 6= 0 ta thực hiện phép đổi toạ độ trực giao:  0  x = x a3 0 a2 0 y = D y + D z  a2 0 a3 0 z = − D y + D z Trong hệ toạ độ mới này, phương trình có dạng 02 0 0 0 λ1x + 2a1x + 2Dz + a0 = 0 Thực hiện phép tịnh tiến toạ độ  x0 = − a1 + x  λ1 y0 = y 0  0 a0 z = − D + z ta có các trường hợp
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 14 14. Nếu D = 0 thì phương trình tổng quát có dạng 02 0 0 λ1x + 2a1x + a0 = 0 Thực hiện phép tịnh tiến toạ độ theo trục x ta nhận được phương trình mới dạng: 2 0 λ1x + a0 = 0. có ba trường hợp: 0 0 2 −a0 15. λ1 > 0, a 0, a > 0, ta đặt k = . 0 λ1 0 17. λ1 > 0, a0 = 0, chia hai vế cho λ1. 1.5 Đưa phương trình mặt bậc hai tổng quát về dạng chính tắc ˜ Giả sử (O, e1, , en) và (O, e˜1, , e˜n) là hai hệ toạ độ Descartes với [e˜1, , e˜n] = [e1, , en]A, n ˜ X i OO = b ei i=1 là phép chuyển toạ độ x = (x1, . . . , xn) 7→ x˜ = (˜x1, , x˜n) với x = Ax˜ + b, tức là n i X i j j x = Ajx˜ + b . j=1 Nói cách khác qua phép biến đổi tọa độ, n ~ ~˜ ˜~ X j OM = OO + OM = b + x˜ e˜j. j=1
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 15 Siêu mặt bậc 2 là quĩ tích các điểm M trong không gian Euclid afin AV thoả mãn phương trình 0-điểm của một hàm bậc 2 q(M) = ϕ(OM,~ OM~ ) + 2f(OM~ ) + c = 0, trong đó phần bậc 2 ϕ là không đồng nhất bằng 0. Nếu trên siêu mặt bậc 2 có điểm tâm đối xứng O˜, tức là −OM˜~ thoả mãn phương trình q(M) = 0 nếu OM˜~ thoả mãn, thì viết trong gốc tọa độ tại O˜ phần bậc nhất triệt tiêu f˜(OM˜ ) =ϕ ˜(O~O,˜ OM˜ ) + f(OM˜ ) = 0. Giả sử M là một điểm trên siêu mặt đang xét. Đường thẳng D có phương e qua M gồm các điểm có dạng OM~ + te . Cho nên giao của nó với siêu mặt bậc 2 cho bởi S : q(M) = 0 gồm các điểm mà t thoả mãn phương trình At2 + 2Bt + C = 0, với A = ϕ(e, e), B = f(e)+ϕ(OM, e), C = q(M). Phương e là phương không tiệm cận nếu ϕ(e, e) 6= 0. Nếu véctơ e không thuộc hạt nhân của ϕ, tức là ϕ(e, e) 6= 0 thì siêu phẳng kính liên hợp với phương e được cho bởi ϕ(OM, e) + f(e) = 0. Hai véctơ u, v trong không gian afin AV là liên hợp với nhau qua hàm (bậc 2) ϕ , nếu ϕ(u, v) = 0. Véctơ tự do e được gọi là phương chính của hàm bậc hai q(M) nếu nó liên hợp với tất cả các véctơ vuông góc với nó, tức là ϕ(e, u) = 0, với mọi u ⊥ e. Kết qủa cơ bản của hình học giải tích phân loại các siêu mặt bậc hai được thể hiện ở định lý sau: Định lí 1.5.1 Mỗi siêu mặt bậc hai S : q(M) = ϕ(OM, OM) + 2f(OM) + c = 0 trong không gian Euclid afin AV , bằng các phép biến đổi afin đẳng cự, đều được đưa về dạng chính tắc trong hệ toạ độ chính tắc (O, e1, , en) với ei là các phương chính của q(M): 1 2 r 2 1. Trường hợp có tâm đối xứng: q(M) = λ1(x ) + + λr(x ) + c với r ≤ n, λi 6= 0, λ1 ≥ ≥ λr, điểm gốc O ở tâm đối xứng. 1 2 r 2 2. Trường hợp không có tâm đối xứng: q(M) = λ1(x ) + + λr(x ) − r+1 2px , trong đó 0 0
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 16 Nhận xét 1.5.2 Nếu trong trường hợp λ1 ≥ ≥ λr > 0 ta thêm các phép biến đổi siêu việt đưa tọa độ Descartes về toạ độ cực  1  x = r cos(θ1) cos(θn−1)  2  x = r cos(θ1) sin(θn−1) n−1  x = r cos(θ1) sin(θ2)  n  x = r sin(θ1) n−2 π π với r ∈ (0, ∞), (θ1, . . . , θn−1) ∈ [0, 2π) × (− 2 , 2 ), thì siêu mặt ellipsoid 2 có dạng r + c = 0. Tương tự trong trường hợp có λi với dấu âm, ta xét các hàm lượng giác hyperbolic, cũng có kết quả tương tự. Như vậy việc mở rộng nhóm biến đổi cho phép mô tả cấu trúc các siêu mặt bậc hai. 1.6 Phân loại dời hình các đường bậc hai trong mặt phẳng Euclid Chúng ta xét nhóm các phép biến đổi afin đẳng cấu đẳng cự trong mặt phẳng. Dễ dàng nhận thấy rằng " Hai dường bậc 2 trong mặt phẳng là tương đương dời hình với nhau nếu và chỉ nếu chúng thu được từ nhau bằng phép biến đổi afin đẳng cấu đẳng cự". Ta có mệnh đề sau. Mệnh đề 1.6.1 Gọi T là nhóm các phép tịnh tiến trong mặt phẳng, O(2) là nhóm các biến đổi trực giao (quay và phản xạ). Khi đó nhóm các phép biến đổi dời hình đẳng cấu với tích nửa trực tiếp O(2) n R2. 1.7 Phân loại dời hình các mặt bậc hai trong không gian Euclid 3 chiều Tương tự như trên, chúng ta xét nhóm các phép biến đổi afin đẳng cấu đẳng cự trong không gian Euclid afin 3-chiều. Dễ dàng nhận thấy rằng " Hai mặt bậc 2 trong không gian Euclid 3-chiều là tương đương dời hình với nhau nếu và chỉ nếu chúng thu được từ nhau bằng phép biến đổi afin đẳng cấu đẳng cự". Ta có mệnh đề sau. Mệnh đề 1.7.1 Gọi T là nhóm các phép tịnh tiến trong không gian Euclid 3-chiều, O(3) là nhóm các biến đổi trực giao (quay và phản xạ). Khi đó nhóm các phép biến đổi dời hình đẳng cấu với tích nửa trực tiếp O(3) n R3.
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 17 1.8 Phương pháp toạ độ cong Chúng ta nhắc lại một số phép biến đổi toạ độ quen biết: • Toạ độ cực trong mặt phẳng ( p x = r cos ϕ, r = x2 + y2, ϕ = arccos √ x , y = r sin ϕ, x2+y2 với 0 < r < ∞, 0 ≤ ϕ < 2π. • Toạ độ cực hyperbolic trong mặt phẳng x = r cosh ϕ, y = r sinh ϕ. • Toạ độ cầu trong không gian 3-chiều   r = px2 + y2 + z2, x = r cos θ cos ϕ,    ϕ = arccos √ x , y = r cos θ sin ϕ, x2+y2  z = r sin θ.  θ = arcsin √ z ,  x2+y2+z2 π θ với 0 < r < ∞, 0 ≤ ϕ < 2π, − 2 ≤ θ < 2 . • Toạ độ trụ trong không gian 3-chiều   x = r cos ϕ, y = r sin ϕ,  z = z. • Toạ độ cầu trong không gian n-chiều  1 x = r cos θ1 cos θn−1,  2  x = r cos θ1 sin θn−1,  n  x = r sin θ1.
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 18 1.8.1 Các đường bậc 2 tham số hoá Trong các hệ toạ độ thích hợp các đường bậc 2 có dạng rất đơn giản. Ví dụ trong hệ toạ độ elliptic  q 2 2 x x y  r = 2 + 2 , a = r cos ϕ, a b y x = r sin ϕ, ϕ = arccos q 2 2 b  a x + y a2 b2 phương trình đường ellipse trở thành r = 1, 0 ≤ ϕ < 2π. Hệ qủa 1.8.1 Qua phép biến đổi toạ độ elliptic nói trên, đường ellipse được biến thành đoạn đóng-mở. Các phép biến đổi toạ độ tương tự được áp dụng cho các đường cong bậc 2 khác. 1.8.2 Các mặt bậc hai tham số hoá Trong các hệ toạ độ thích hợp các đường bậc 2 có dạng rất đơn giản. Ví dụ trong hệ toạ độ cầu elliptic  q r = x2 + y2 + z2 ,  x  a2 b2 c2 a = r cos θ cos ϕ,   y  x ϕ = arccos q 2 2 , b = r cos θ sin ϕ, a x + y a2 b2  z = r sin θ.  z c  θ = arcsin q 2 2 2 ,  c x + y + z a2 b2 c2 π θ với 0 < r < ∞, 0 ≤ ϕ < 2π, − 2 < θ < 2 . phương trình mặt ellipsoid trở π π thành r = 1, 0 ≤ ϕ < 2π, 2 ≤ θ < 2 . Hệ qủa 1.8.2 Qua phép biến đổi toạ độ cầu elliptic nói trên, mặt ellipsoid được biến thành hình vuông đóng-mở. Các phép biến đổi toạ độ tương tự được áp dụng cho các mặt cong bậc 2 khác. Nhận xét 1.8.3 Bằng cách chấp nhận thêm các phép biến đổi siêu việt (kiểu các phép đổi toạ độ phi tuyến nói trên) các đường và mặt bậc 2 trở thành các hình hình học hết sức đơn giản. Những phép biến đổi như thế chính là các phép biến đổi vi phôi (các ánh xạ khả vi, khả nghịch và nghịch đảo cũng là khả vi tại mọi điểm). Phân loại các vật thể hình học với độ chính xác đến vi phôi chính là phương pháp của hình học vi phân.
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 19 1.9 Bài tập củng cố lý thuyết 1. Dùng các hệ toạ độ thích hợp, hãy tham số hoá các đường bậc 2. 2. Dùng các hệ toạ độ thích hợp, hãy tham số hoá các mặt bậc 2. 3. Dùng các hệ toạ độ thích hợp, hãy tham số hoá các đường conic. 4. Xây dựng vi phôi đĩa mở với không gian Euclid chứa nó. 5. Qua phép đổi toạ độ thích hợp, hãy tham số hoá đường bậc 2 và mặt bậc 2 bất kì.
MATHEDUCARE.COM Chương 2 Lý thuyết đường cong trong Rn Hình học Riemann và symplectic tổng quát sẽ được giới thiệu sơ bộ trong chương này. Để làm rõ bản chất của hình học chúng tôi chỉ chú trọng vào các đường cong và mặt cong. Hình học các đa tạp nhiều chiều là chuyên ngành về lý thuyết đa tạp có metric. 2.1 Cung tham số hoá và cung chính quy Trước hết chúng ta nhận xét rằng tồn tại các phép vi phôi giữa khoảng mở (a, b) bất kì với toàn bộ R, ví dụ có thể chọn hàm π π a + b π π tan( x + ):(a, b) → (− , ) → R. b − a 2 a − b 2 2 Hàm này có đạo hàm liên tục và khả nghịch, hàm ngược chính là hàm b − a a + b π π arctan x + : R → (− , ) → (a, b) π 2 2 2 cũng có đạo hàm liên tục. Định nghĩa 2.1.1 Cung tham số hoá trong Rn là ảnh của một song ánh liên tục ϕ từ một khoảng mở (a, b) ∼= R vào Rn. Ví dụ. Cung tham số hoá xác định bởi các hàm toạ độ Descartes   x(t) = a cos t, ϕ : y(t) = a sin t,  z(t) = bt, với t ∈ R. 20
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 21 Định nghĩa 2.1.2 Hai tham số hoá ϕ :(a, b) → Rn và ψ :(c, d) → Rn được gọi là tương thích với nhau, nếu chúng sai khác nhau một vi phôi, tức là tồn tại một ánh xạ khả vi liên tục, khả nghịch và ánh xạ ngược là khả vi liên tục α :(a, b) → (c, d) sao cho ψ ◦ α = ϕ. Định nghĩa 2.1.3 Đường cong liên tục là ảnh của một ánh xạ liên tục từ một khoảng mở (a, b) vào Rn. Đường cong tham số hoá là hợp của một họ các cung tham số hoá. Nói cách khác ta có thể chia đường cong thành hợp các cung tham số hoá. Ví dụ. Đường tròn S1 có thể chia thành hợp của hai cung tham số hoá, mỗi 1 1 cung là S trừ đi một điểm khác nhau, ví dụ, S = U1 ∪ U2 với các cung 1 1 U1 = S \{N},U2 = S \{S}, trong đó N là điểm cực bắc và S là điểm cực nam trên vòng tròn. Định nghĩa 2.1.4 (Cung tham số hoá chính quy) Điểm P cho bởi r(t) trên cung tham số hoá ~r :(a, b) → Rn được gọi là điểm chính quy , nếu đạo hàm ~r0(t) của tham số hóa là khác 0. Cung tham số hoá được gọi là cung chính quy, nếu mọi điểm của nó là chính quy. Đường cong được gọi là đường cong chính quy, nếu nó là hợp của các cung tham số hoá chính quy. Nhận xét rằng nếu một điểm là chính quy trong một tham số hoá thì, theo quy tắc đạo hàm của hàm hợp, nó cũng là chính quy trong mọi tham số hoá tương thích khác. Bởi thế khái niệm chính quy không phụ thuộc việc chọn tham số hoá. Định nghĩa 2.1.5 (tham số hoá đường cong) Mỗi hệ toạ độ Descartes trong không gian Euclid En ≈ Rn cho ta một tham số hoá địa phương các khoảng mở của đường cong bằng các hàm thành phần: t ∈ R ≈ (−1, 1) 7→ ~r(t) ∈ En ↔ x(t) ∈ Rn. Khi đó x(t) = (x1(t), . . . , xn(t)), với xi(t) là các hàm trơn. Véctơ tiếp xúc với đường cong tại một điểm x = x(t), với t cố định là (x ˙ 1(t), , x˙ n(t)) trong toạ độ Descartes của Rn. . 2.2 Độ dài đường cong trong Rn. Đường trắc địa Khái niệm đường cong chính quy trùng với khái niệm đa tạp con một chiều.
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 22 Đường cong trong đa tạp M = Rn được gọi là đường cong dìm trong M = Rn, nếu nó là đa tạp con một chiều trong mỗi bản đồ tọa độ điạ phương, tức là được xác định bởi hệ phương trình với hạng của ma trận Jacobi là n − 1. Ví dụ 1 2 1. γ = {(x, sin( x )); 0 ≤ x ≤ 1} là đường cong dìm trong R . Nhưng γ ∪ {(0, y), −1 ≤ y ≤ 1} thì không thể là đa tạp con dìm trong mặt phẳng R2. Các điểm (0, y) không là điểm chính quy, vì chúng không có đạo hàm liên tục. 2. Ảnh của đường thẳng y = θx, với hệ số góc θ vô tỉ không thể là đường dìm trong xuyến T2 = R2/Z2. Định lí 2.2.1 (Bài toán Cauchy cho đường cong) Nếu trường véctơ ξ(x) là trường véctơ trơn trên cung tham số hoá thì bài toán Cauchy x˙(t) = ξ(x(t)) x(0) = x có nghiệm duy nhất và nghiệm đó gọi là đường cong qua điểm x. Độ dài của một véctơ tiếp xúc ξ(x(t)) =x ˙(t) là qX ||x˙(t)|| = (x ˙ i)2. Định nghĩa 2.2.2 Độ dài của cung nối hai điểm x0 = x(t0) và x = x(t) là Z t Z t q X i 2 s(t0, t) = ||x˙(t)||dt = (x ˙ (t)) dt. t0 t0 Chúng ta không thể nói tới đường thẳng trong đa tạp M. Nhưng chúng ta có thể xét tới những đường có tính chất của đường thẳng. n Định nghĩa 2.2.3 (Đường trắc địa) Đường cong trong R nối 2 điểm x0 và x có độ dài ngắn nhất được gọi là đường trắc địa nối hai điểm đó. Định lí 2.2.4 (Bài toán biến phân cho đường trắc địa) Đường trắc địa là nghiệm của bài toán biến phân Z t1 L(x, x˙) = ||x˙(t)||dt −→ min t0
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 23 và thoả mãn phương trình vi phân tương ứng với bài toán biến phân đó x¨(t) = 0. n Tức là đường đi ngắn nhất nối hai điểm x0 và x1 trong R là đường thẳng đi qua hai điểm đó. Thật vậy, theo nguyên lí Fermat, đường cong có độ dài ngắn nhất khi đạo hàm biến phân triệt tiêu, lấy đạo hàm biến phân của phiếm hàm ta có phương trình Z t δ ||x˙(t)||2dt = 0. t0 Đạo hàm biến phân giao hoán với tích phân ta có Z t (δx˙(t), x˙(t))dt = 0. t0 Đạo hàm biến phân và đạo hàm theo t giao hoán với nhau cho nên ta có thể đổi chỗ Z t d ( δx(t), x˙(t)) = 0. t0 dt Lấy tích phân từng phần theo t ta có Z t (¨x(t), δx(t))dt = 0, ∀δx(t). t0 Cho nên ta có x¨(t) = 0. Suy ra x(t) = a + L.t tức là đường thẳng. Vì với t = t0 có x = x0 và với t = t1 có x = x1, suy ra x(t) = x0 + (x1 − x0)t. Nếu đường cong là chính quy thì s˙(t) 6= 0. Theo định lí hàm ngược, tồn tại hàm ngược t = t(s). Khi đó ta có thể chọn chính s là một tham số của đường cong. Định nghĩa 2.2.5 Tham số hoá đường cong theo tham số độ dài của nó từ một điểm cố định x0 = x(t0) đến một điểm x = x(t) bất kì được gọi là tham số hoá tự nhiên x =x ˜(s) = x(t(s)), s ∈ R.
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 24 Mệnh đề 2.2.6 Trong hệ tham số hoá tự nhiên của đường cong, véctơ tiếp xúc luôn có độ dài là 1, n X d x˜i(s) = ||x˜0|| = 1. ds i=1 Chứng minh. Thật vậy, trong tham số hoá tự nhiên, x˜i = xi(t(s)), cho nên theo định lí hàm ngược, d dt x˙(t)) x˙(t) x˜0(s) = x˜(s) =x ˙(t) = = . ds ds pPn i 2 ||x˙(t)|| i=1(x ˙ (t)) Vì vậy ta có, ||x˜0(s)|| = 1. 2.3 Mục tiêu trực chuẩn. Mục tiêu Frénet. Độ cong. Độ xoắn. Giả sử chúng ta có đường cong x(t) := (x1(t), . . . , x3(t), t ∈ (−1, 1), x(0) = x = (x1, . . . , x3). Mệnh đề 2.3.1 Trong hệ tham số hoá tự nhiên của đường cong, đạo hàm véctơ tiếp xúc τ(s) theo biến tham số độ dài s là một véctơ τ 0(s) vuông góc với véctơ tiếp xúc τ(s). Chứng minh. Thật vậy, chúng ta đã biết rằng (τ(s), τ(s)) = ||τ(s)||2 ≡ 1. Do vậy, d (τ(s), τ(s)) = 2(τ 0(s), τ(s)) ≡ 0. ds 0 Tức là τ (s) ⊥ τ(s), ∀s.
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 25 ~τ 0(s) Định nghĩa 2.3.2 Véctơ chuẩn hoá ~n(s) = ||~τ 0(s)|| được gọi là véctơ pháp tuyến của đường cong tại ~x(s). Định nghĩa 2.3.3 Đại lượng k(s) := ||τ 0(s)|| gọi là độ cong tại điểm x(s). Nhận xét 2.3.4 (Ý nghĩa hình học của độ cong) Độ cong k(s) của đường 1 cong chính quy tại x(s) là R , với R là bán kính của đường tròn tiếp xúc với đường cong, tâm ở điểm cuối của véctơ τ 0(s). Thật vậy, chúng ta có công thức khai triển Taylor bậc nhất ~τ(s + ∆s) − ~τ(s) = τ 0(˜s)∆s + ε, với ε = o(∆s) và s˜ là một điểm trung gian giữa s và s + ∆s. Do vậy ta có 1 k(s) = lim |~τ(s + ∆s) − ~τ(s)| ∆s ∆s→0 Theo hệ thức trong tam giác của hình học sơ cấp, θ ||τ 0(s)|| = k(s) = lim ∆s→0 ∆s [trong đó θ là góc giữa véctơ τ(s) và véctơ τ(s + ∆s).] θ 2 sin θ θ 2 sin θ 1 = lim | 2 . 2 | = lim | 2 . 2 | = . ∆s→0 θ ∆s ∆s→0 θ θ R sin 2 sin 2 R.s sin 2 Định nghĩa 2.3.5 (Hệ quy chiếu Frénet) Véctơ ~τ(s) là véctơ tiếp xúc. τ 0(s) ~ Véctơ ~n(s) = ||τ 0(s)|| được gọi là véctơ pháp tuyến. Véctơ b(s) = ~τ(s) × ~n(s) được gọi là véctơ trùng pháp tuyến. Hệ quy chiếu τ(s), ~n(s),~b(s) được gọi là hệ quy chiếu Frénet . Mặt phẳng sinh bởi hai véctơ đơn vị ~τ(s) và ~n(s) được gọi là mặt mật tiếp. Mặt phẳng sinh bởi ~n(s) và ~b(s) được gọi là mặt pháp diện . Mặt phẳng sinh bởi hai véctơ ~τ(s) và ~b(s) được gọi là mặt trực đạc . Theo định nghĩa ta có ~b(s) = ~τ(s) × ~n(s), d ~ cho nên theo quy tắc đạo hàm, ds b(s) cùng phương (nhưng có thể không d ~ ~ cùng hướng) với ~n(s), tức là ds b(s) ⊥ b(s), ~n(s). Đặt κ(s) là hệ số tỉ lệ sao cho d ~b(s) = −κ(s)~n(s). ds
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 26 Định nghĩa 2.3.6 Hệ số κ(s) được gọi là độ xoắn của đường cong tại x(s). Nhận xét 2.3.7 Trong mặt mật tiếp ta có thể nhìn thấy hình ảnh của đường cong như đường cong phẳng chính quy tiếp xúc với trục ~τ, nằm về phía ~n. Trong mặt trực đạc ta cũng nhìn thấy đường cong là đường cong phẳng tiếp xúc với trục τ nhưng có thể nằm về hai phiá. Trong mặt pháp diện ta nhìn thấy hai nhánh đường cong theo hình gấp nếp. Định lí 2.3.8 (Công thức Frénet) d ds~τ(s) = k(s).~n(s) d ~ ds~n(s) = −k(s).~τ(s) + κ(s)b(s) d ~ ds b(s) = −κ(s).~n(s) hay là  ~τ(s)   0 k(s) 0   ~τ(s)  d ~n(s) == −k(s) 0 κ(s) . ~n(s) . ds       ~b(s) 0 −κ(s) 0 ~b(s) Chứng minh. Trước hết theo định nghĩa, d ~τ(s) = −k(s)~n(s). ds Theo định nghĩa ~b(s) = ~τ(s) × ~n(s). Cho nên d d d ~b(s) = ~τ(s) × ~n(s) + ~τ(s) × ~n(s) = ds ds ds d d = −k(s).~n(s) × ~n(s) + ~τ(s) × ~n(s) = ~τ(s) × ~n(s). ds ds d~n(s) d~n(s) Vì lẽ (~n(s), ~n(s)) ≡ 1 nên ( ds , ~n(s)) ≡ 0. Tức là ds là tổ hợp tuyến tính của hai véctơ còn lại. Nhưng (~τ(s), ~n(s)) ≡ 0 suy ra d~n(s) d~τ (~τ(s), ) = −( , ~n) = −k(s). ds ds Từ (~n,~b) = 0 suy ra d~n d~b ( ,~b) = −(~n, ) = κ. ds ds Cho nên d~n = −k(s).~τ(s) + κ(s).~b(s). ds
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 27 Nhận xét 2.3.9 Trong lân cận điểm x(s), ảnh của đường cong lên mặt mật tiếp và mặt trực đạc là các đường cong tiếp xúc với ~τ(s). Hình chiếu trực giao của đường cong lên mặt pháp diện là hai nhánh cùng đi từ gốc tọa độ tiếp xúc với phương ~n(s) có kì dị hình nếp gấp. Do vậy cơ sở Frénet cho một nghiên cứu định tính đường cong tại lân cận mỗi điểm. Từ đó suy ra rằng hình ảnh của đường cong trong hệ toạ độ Frénet là tiếp xúc với phương ~τ(s) và là giải kì dị với phương ~n(s). 2.4 Định lí cơ bản Nhận xét 2.4.1 Các khái niệm độ dài đường cong, độ cong của cung chính quy là những khái niệm bất biến qua đẳng cấu affine trực giao còn khái niệm độ xoắn của cung song chính quy định hướng bất biến qua các phép biến đổi affine trực giao, bảo toàn định hướng. Trên thực tế độ cong và độ xoắn xác định chính đường cong. Chúng ta phát biểu kết quả cơ bản của lí thuyết đường cong bỏ qua chứng minh. Định lí 2.4.2 (Định lí cơ bản) Cho hai hàm số k(s) ≥ 0 và κ(s) khả vi lớp Cl, l ≥ 0 trên khoảng mở J ⊆ R. 1. Tồn tại cung chính quy định hướng với tham số hoá tự nhiên J → R3, s 7→ r(s), khả vi lớp Cl+2, nhận k(s) và κ(s) là độ cong và độ xoắn tương ứng. 2. Nếu tồn tại hai cung chính quy r và ρ với tính chất trên, thì tồn tại một phép dời hình (tức là một đẳng cấu affine trực giao bảo toàn định hướng biến chúng sang nhau, r = f ◦ ρ. Sẽ rất thuận tiện khi chúng ta có thể dẫn ra công thức tính độ cong và độ xoắn trong tham số hoá bất kì. Mệnh đề 2.4.3 Giả sử t 7→ ~r(t) là một tham số hoá bất kì của một cung cong. Khi đó ||~r˙(t) × ~r¨(t)|| k(t) = , ||~r˙(t)||3 ˙ (~r˙(t) × ~r¨(t)).~r¨(t) κ(t) = . ||~r˙(t) × ~r¨(t)||2
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 28 Chứng minh. Thật vậy, ~r˙(t) = ||~r˙(t)||~τ(t), z }|˙ { ~r¨(t) = ||~r˙(t)||~τ˙ (t) + ||~r˙(t)||~τ˙ (t), ~r˙(t) × ~r¨(t) = ||~r˙(t)||2~τ(t) × ~τ˙ (t), ~r˙(t) × ~r¨(t) ~τ(t) = × ~τ(˙t) = k(t)~b(t). ||~r˙(t)||3 ||~r˙(t)|| Cho nên, ||~r˙(t) × ~r¨(t)|| k(t) = . ||~r˙(t)||3 Chúng ta lại có ~r˙(t) × ~r¨(t) = ~τ(t) × k(t)~n(t) = k(t)~b(t). ||~r˙(t)||3 Cho nên, ˙ (~r˙(t) × ~r¨(t)).~r¨ = ||~r˙(t)||3k(t)~b. ˙ Chúng ta chỉ cần quan tâm đến thành phần chứa ~b trong ~r¨(t), z }|˙ { ~r¨(t) = ||~r˙(t)||~τ + ||~r˙(t)||~τ˙ =s ¨(t)~τ +s ˙2k~n, ˙ ~r¨(t) = +s ˙2kn0(s).s˙ = +s ˙3k(s(t))κ(s(t))~b(s(t)). ˙ (~r˙ × ~r¨).~r¨(t) =s ˙6k2κ. Cho nên ta có ˙ (~r˙(t) × ~r¨(t)).~r¨(t) κ(t) = . ||~r˙(t) × ~r¨(t)||2 Ví dụ. Cho đường cong tham số hoá là t 7→ ~r(t) = a~ε(t) + b~e3, với ε(t) = cos t~e1 + sin t~e2. Khi đó, π ~r˙(t) = a~ε(t + ) + b~e 2 3 ~r¨(t) = a~ε(t + π = −aε(t).
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 29 ˙ π ~r¨(t) = −a~ε(t + ). 2 √ ||~r˙|| = a2 + b2. √ ||~r˙ × ~r¨|| = a a2 + b2. ˙ ||(~r˙ × ~r¨)~r¨|| = a2b. Cho nên, a k(t) = . a2 + b2 b κ(t) = . a2 + b2 2.5 Bài tập củng cố lý thuyết 1. Cho đường cong tham số hoá là đường xoắn ốc   x(t) = r cos t, y(t) = r sin t,  z(t) = t. Hãy tính độ cong và độ xoắn tại điểm bất kì. 2. Tính độ cong và độ xoắn của đường ellipse tại một điểm bất kì. 3. Tính độ cong và độ xoắn của đường hyperbola tại một điểm bất kì. 4. Tính độ cong và độ xoắn của đường parabola tại một điểm bất kì. 5. Cho đường cong bậc 2 tổng quát 2 2 q(x, y, z) = a11x + a22y + 2a12xy + 2b1x + 2b2y + c = 0. Hãy tính độ cong và độ xoắn tại một điểm bất kì.
MATHEDUCARE.COM Chương 3 Đại số tensơ, đại số ngoài, tensơ đối xứng 3.1 Tích tensơ các không gian véctơ Định nghĩa 3.1.1 Giả sử V và W là hai không gian véctơ trên trường k. Kí hiệu V W là không gian véctơ tự do sinh bởi V × W . Phần tử tổng quát trong V W có dạng tổ hợp tuyến tính hình thức X λv,w(v, w), v∈V,w∈W trong đó tổng được hiểu theo nghĩa đại số, tức là chỉ có một số hữu hạn các hệ số λv,w ∈ k là khác 0. Xét không gian véctơ con L, sinh bởi tất cả các phần tử có dạng (v1 + v2, w) − (v1, w) − (v2, w), (v, w1 + w2) − (v, w1) − (v, w2), (λw, w) − (v, λw). Khi đó không gian thương V W/L được gọi là tích tensơ của hai không gian véctơ V và W và được kí hiệu là V ⊗k W . Các phần tử trong không gian thương được kí hiệu là v ⊗ w := (v, w) + L. Hệ qủa 3.1.2 Trong tích tensơ ta luôn có các hệ thức thể hiện tính song tuyến (v1 + v2) ⊗ w = v1 ⊗ w + v2 ⊗ w, v ⊗ (w1 + w2) = v ⊗ w1 + v ⊗ w2, (λv) ⊗ w = v ⊗ (λw). 30
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 31 Hệ qủa 3.1.3 Nếu e1, , en là một cơ sở của không gian véctơ V và f1, , fm là một cơ sở của không gian véctơ W . Thì các véctơ ei ⊗ fj, i = 1, n, j = 1, m sinh ra tích tensơ V ⊗k W Ngược lại ta có thể dùng chính các phần tử sinh này để định nghĩa tích tensơ. Định nghĩa 3.1.4 (Định nghĩa II) Giả sử không gian véctơ V có một cơ sở là ei, i = 1, n và không gian véctơ W có một cơ sở là fj, j = 1, m. Kí hiệu hình thức (ei ⊗ fj = (ei, fj) là cặp các véctơ cơ sở. Khi đó bao tuyến tính hình thức ( n m ) X X V ⊗k W := hei ⊗ fj, i = 1, n, j = 1, mi = λijei ⊗ fj i=1 j=1 được gọi là tích tensơ của hai không gian véctơ với cơ sở. Hệ qủa 3.1.5 (Tính chất phổ dụng) Tồn tại ánh xạ song tuyến tính tự nhiên ı : V × W → V ⊗ W . Nếu B : V × W → F là một ánh xạ song tuyến tính, thì tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính ϕB : V ⊗ W → F từ tích tensơ V ⊗ W vào F sao cho B = ϕB ◦ ı. Ngược lại ta có thể dùng tính chất phổ dụng làm định nghĩa tích tensơ. Định nghĩa 3.1.6 (Định nghĩa III) Tích tensơ của hai không gian véctơ V và W là một cặp gồm một không gian véctơ, kí hiệu là V ⊗ W và một ánh xạ song tuyến tính ı : V × W → V ⊗ W sao cho với mọi cặp gồm một không gian véctơ F và một ánh xạ song tuyến tính B : V × W → F , tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính ϕB : V ⊗ W → F sao cho B = ϕ ◦ ı. Mệnh đề 3.1.7 Ba định nghĩa I-III là tương đương nhau. Chứng minh. Dễ thấy ngay Định nghĩa I suy ra Định nghĩa II và Định nghĩa II suy ra Định nghĩa III. Ngược lại, từ Định nghĩa III suy ra Định nghĩa II vì do Định nghĩa II có tính phổ dụng. Từ Định nghĩa II suy ra Định nghĩa I do lí luận theo số chiều. 3.2 Tích ngoài và tích tensơ đối xứng Định nghĩa 3.2.1 Giả sử V1, ,Vn là các không gian véctơ trên trường cơ sở k. Ta có thể tạo ra tổng trực tiếp của các tích tensơ các không gian véctơ xếp thứ tự ⊕ X Vi1 ⊗ ⊗ Vin . 0 1, . . . , n 1 σ=@ A∈Sn i1, . . . , in
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 32 Không gian véctơ con sinh bởi các phần tử dạng 1 X v ∧ ∧ v := sgn(σ)v ⊗ ⊗ v 1 n n! σ(1) σ(n) σ∈Sn được gọi là tích ngoài và được kí hiệu là V1 ∧ ∧ Vn. Không gian véctơ con sinh bởi các phần tử dạng 1 X v ⊗ ⊗ v := v ⊗ ⊗ v 1 s s n n! σ(1) σ(n) σ∈Sn được gọi là tích đối xứng và được kí hiệu là V1 ⊗s ⊗s Vn. Dễ thấy các tính chất hiển nhiên sau của tích ngoài và tích đối xứng Mệnh đề 3.2.2 1. Tích ngoài có tính chất phản xứng vσ(1) ∧ ∧ vσ(n) = sgn(σ)v1 ∧ ∧ vn, 2. Tích đối xứng có tính chất đối xứng vσ(1) ⊗s ⊗s vσ(n) = v1 ⊗s ⊗s vn. 3.3 Đại số tensơ Định nghĩa 3.3.1 Tensơ p-thuận biến và q-phản biến, hay còn gọi là tensơ kiểu (p, q) là các phần tử của tích tensơ T p,q(V ) := V ∗ ⊗ ⊗ V ∗ ⊗ V ⊗ ⊗ V | {z } | {z } p-lần q-lần Ta qui ước T 0,0(V ) = k. Định nghĩa 3.3.2 Cùng với phép nhân là tích tensơ, không gian véctơ ∞ ∞ M M T (V ) := T p,q(V ) := V ∗ ⊗ ⊗ V ∗ ⊗ V ⊗ ⊗ V p+q=0 p+q=0 | {z } | {z } p-lần q-lần trở thành đại số kết hợp, được gọi là đại số tensơ. ∗ ∗ Hệ qủa 3.3.3 Nếu e1, , en là một cơ sở của V , f1 = e1, , fn = en là cơ ∗ i1 ip sở đối ngẫu của V tương ứng thì f ⊗ ⊗ f ⊗ ej1 ⊗ ⊗ ejq là cơ sở của T p,q. Mỗi tensơ trong cơ sở này có dạng X j , ,j t = t 1 q f i1 ⊗ ⊗ f ip ⊗ e ⊗ ⊗ e . i1, ,ip j1 jq 1≤i1, ,ip,j1, ,jq≤n dim T p,q(V ) = np.nq.
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 33 ˜ ˜ T Giả sử [e˜1, , e˜n] = [e1, en]C là phép chuyển cơ sở. Khi đó [f1, , fn] = T T ∗ i ˜j0 C [e1, en] là phép chuyển cơ sở trong V Tức là nếu e˜ = C ei thì f = j0 j −1 Dj f , với D = C Mệnh đề 3.3.4 0 0 0 0 j1, ,jq i1 ip j1 jq j1, ,jq t˜ 0 0 = D 0 D 0 C C t . i1, ,ip i1 ip j1 jq i1, ,ip 3.4 Đại số ngoài Chúng ta qui ước ∧0,0(V ) = k. Định nghĩa 3.4.1 Cùng với phép nhân là tích ngoài, không gian véctơ ∞ ∞ M M ∧(V ) := ∧p,q(V ) := V ∗ ∧ ∧ V ∗ ∧ V ∧ ∧ V | {z } | {z } p+q=0 p+q=0 p-lần q-lần trở thành đại số kết hợp, được gọi là đại số ngoài, hay đại số Grassman. ∗ ∗ Hệ qủa 3.4.2 Nếu e1, , en là một cơ sở của V , f1 = e1, , fn = en là cơ ∗ i1 ip sở đối ngẫu của V tương ứng thì f ∧ ∧ f ∧ ej1 ∧ ∧ ejq là cơ sở của ∧p,q(V ). Mỗi tensơ trong cơ sở này có dạng X j , ,j t = t 1 q f i1 ∧ ∧ f ip ∧ e ∧ ∧ e . i1, ,ip j1 jq 1≤i1< <ip,j1< <jq≤n p,q p q dim ∧ (V ) = CnCn.
MATHEDUCARE.COM Chương 4 Lý thuyết mặt cong trong R3 4.1 Mảnh tham số hoá chính quy và mặt tham số hoá Định nghĩa 4.1.1 Mảnh tham số hoá S là một ánh xạ từ một đĩa mở U trong R2 vào R3 cho bởi ánh xạ r : U → R3, (u, v) ∈ r(u, v) ∈ S ⊆ Rn. n Nếu r(u0, v0) là một điểm cố định thì các đường cong r(., v0): U ∩ R → R n và r(u0,.): U ∩ R → R là hai đường toạ độ tham số hoá mặt cong. Định nghĩa 4.1.2 Hai tham số hoá ϕ : U → R3 và ψ : V → R3 được gọi là tương thích nếu có vi phôi α : U → V sao cho ϕ = ψα Định nghĩa 4.1.3 Mặt cong tham số hoá là hợp của một họ nào đó các mảnh tham số hóa đôi một tương thích lẫn nhau. Định nghĩa 4.1.4 Điểm r(u0, v0) được gọi là điểm chính quy , nếu các 0 0 đường toạ độ là chính quy tại điểm này, tức là hai véctơ ru(u, v0) và rv(u0, v) là độc lập tuyến tính trong không gian tiếp xúc Tr(u,v)S. Điểm không chính quy còn được gọi là điểm kì dị của mảnh tham số hoá. 4.2 Mục tiêu Darboux của đường cong trên mặt dìm Nhắc lại khái niệm mặt dìm trong R3. Trong một bản đồ toạ độ địa phương, mỗi điểm của đa tạp được đánh số bởi bộ các số. Nếu đa tạp là 2-chiều trong không gian R3. Thì nó còn được gọi đơn giản là mảnh tham số hoá. 34
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 35 Tại điểm chính quy của mảnh tham số hoá đi qua điểm r(u, v) mặt phẳng 0 0 tiếp xúc Tr(u,v)S được sinh ta bởi hai véctơ tiếp xúc ru(u, v) và rv(u, v) của các đường toạ độ nói trên. Định nghĩa 4.2.1 Đường thẳng vuông góc với mặt tiếp xúc Tr(u,v)S gọi là pháp tuyến của mảnh tham số hoá tại điểm r(u, v). Véctơ 0 0 ~ru(u, v) ∧ ~rv(u, v) ~n(u, v) := 0 0 ||~ru(u, v) ∧ ~rv(u, v)|| được gọi là véctơ pháp tuyến tại r(u, v). Định lí 4.2.2 (phương trình mặt tiếp xúc) Nếu mặt tham số hoá S được cho bởi các toạ độ ~r(u, v) = (x1(u, v), . . . , x3(u, v)) ~ 1 n và ξ = (X , ,X ) là các toạ độ của điểm trong mặt tiếp xúc tại r(u0, v0), thì phương trình của mặt tiếp xúc được cho bởi ~ 0 (ξ − r(u0, v0), ru(u0, v0) ∧ rv(u0, v0)) = 0 Trong trường hợp n = 3, các tọa độ tuyến tính của không gian tiếp xúc là (X1, . . . , x3) = (X, Y, Z) phương trình viết thành dạng X − x(u0, v0) Y − y(u0, v0) Z − z(u0, v0) 0 0 0 xu(u0, v0) yu(u0, v0) zu(u0, v0) = 0 0 0 0 xv(u0, v0) yv(u0, v0) zv(u0, v0) Hơn thế nữa, vì hệ toạ độ Descartes trong R3 là vuông góc chính tắc cho nên phương trình của mặt tiếp xúc cũng được cho bởi 0 u(u0, v0) zu(u0, v0) (X − x(u0, v0)). 0 + v(u0, v0) zv(u0, v0) 0 0 zu(u0, v0) xu(u0, v0) +(Y − y(u0, v0)). 0 0 + zv(u0, v0) xv(u0, v0) 0 xu(u0, v0) u(u0, v0) +(Z − z(u0, v0)). 0 = 0. xv(u0, v0) v(u0, v0) Định nghĩa 4.2.3 Mặt dìm trong R3 là một tập con trong R3 sao cho mỗi điểm có một lân cận là mảnh tham số hoá chính quy.
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 36 4.3 Dạng toàn phương cơ bản Trong mục này và các mục còn lại, ta chỉ xét trường hợp không gian ba chiều R3, n = 3. Trường hợp n bất kỳ cũng có thể xét tương tự. Tuy nhiên một số khái niệm cần được cải tiến một cách thích hợp. Giả sử S là một mặt dìm trong R3 và ~n = ~n(u, v) là véctơ pháp tuyến tại điểm r(u, v) ∈ S. Với mỗi véctơ tiếp xúc ξ ∈ TpS với mặt tại điểm p = r(u, v) chúng ta có đạo hàm thuận biến Dξ, tác động trên các hàm hay nhát cắt theo công thức d D f(p) := | f(x(t)), ξ dt t=0 trong đó x(t) là đường cong trên mặt S đi qua điểm p, nhận ξ là véctơ tiếp xúc, tức là thoả bài toán Cauchy: x˙(t) = ξ(x(t)) x(0) = p Theo tính chất của phép đạo hàm, vì ~n là véctơ đơn vị nên 2(Dξ~n(u, v), ~n(u, v) = Dξ(~n(u, v), ~n(u, v)) = Dξ1 = 0. Nghĩa là Dξ~n ∈ TpS. Định nghĩa 4.3.1 Ánh xạ hp : TpS → TpS, cho bởi công thức ξ 7→ hp(ξ) := −Dξ~n ∈ TpS, được gọi là ánh xạ Weingarten . Khi p thay đổi, ta kí hiệu ánh xạ đó là h. Các tính chất cơ bản của ánh xạ Weingarten: Mệnh đề 4.3.2 Với mọi điểm p ∈ S, hp là ánh xạ tuyến tính đối xứng từ TpS vào chính nó, tức là (hp(ξ), η) = (ξ, hp(η)). Chứng minh. Thật vậy, với mọi hệ tham số hoá (u, v) 7→ ~r(u, v) ∈ S, ta có ~ (hp(ξ), ~η) = −(Dξ~η, ~η).
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 37 Chúng ta nhận xét rằng chỉ cần chứng minh mệnh đề cho các trường véctơ ~ 0 0 cơ sở ξ = ~ru(u, v), và ~η = ~rv(u, v). Với các trường véctơ này dễ thấy ngay là 0 ∂ h (~r ) = −D 0 ~n = − (~n ◦ r)(u, v) p u ~ru ∂u và tương tự 0 ∂ h (~r ) = −D 0 ~n = − (~n ◦ r)(u, v). p v ~rv ∂v Mặt khác, chúng ta thấy là 0 (~n ◦ r(u, v), ~ru) = 0, nên ta cũng có ∂ ∂ ( ~n ◦ r(u, v), ~r0 ) + (~n ◦ r(u, v), ~r0 ) = 0. ∂u v ∂u v Cho nên ∂ (h (~r0 ), ~r0 ) = (~n ◦ r, ~r0 ). p u v ∂u v Tương tự ta cũng có ∂ (h (~r0 ), ~r0 ) = (~n ◦ r, ~r0 ). p v u ∂v u Vì các đạo hàm riêng cấp 2 là đối xứng ∂ ∂2 ∂2 ∂ ~r0 = ~r = ~r = ~r0 , ∂u v ∂u∂v ∂v∂u ∂v u nên 0 0 0 0 (hp(~ru), ~rv) = (hp(~rv), ~ru). Định nghĩa 4.3.3 Mỗi giá trị riêng của hp được gọi là độ cong chính tại p của mặt S. Mỗi véctơ riêng của hp xác định một phương gọi là phương chính tại p của S. Định thức của tự đồng cấu hp gọi là độ cong Gauss tại S. Một 1 nửa giá trị vết của hp, tức là 2 trace(hp) được gọi là độ cong trung bình tại p của S. Nhận xét 4.3.4 Từ các tính chất của tự đồng cấu tuyến tính đối xứng suy ra rằng chỉ có thể xảy ra các trường hợp sau đây:
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 38 1. Ánh xạ Weingarten có hai gía trị riêng thực phân biệt. Gọi k1 6= k2 là hai giá trị riêng đó. Khi đó hai phương chính tại p được hoàn toàn xác ~ ~ định, vuông góc với nhau và là hai trục của đường ellipse (hp(ξ), ξ). Hai phương chính ~e1,~e2 lập thành cơ sở trực chuẩn. Độ cong Gauss là K(p) = k1.k2. Độ cong trung bình là 1 H(p) = (k + k ). 2 1 2 2. Ánh xạ Weingarten có một giá trị riêng thực kép, k = k1 = k2 Khi đó mọi phương là phương chính. Mỗi cơ sở trực chuẩn ~e1,~e2 là cơ sở trực chuẩn gồm các véctơ riêng. Độ cong Gauss là K(p) = −k(p)2 ≤ 0. Độ cong trung bình là H(p) = k(p). Định nghĩa 4.3.5 Những điểm p như thế được gọi là điểm rốn của mặt S. a Nếu k = k1 = k2 = 0 thì điểm p được gọi là điểm dẹt. b Nếu k = k1 = k2 6= 0 thì điểm p được gọi là điểm cầu . Nói chung, điểm p của S được gọi là điểm elliptic, hyperbolic, hay parabolic tuỳ thuộc độ cong Gauss là âm, dương hay bằng 0. Nhận xét 4.3.6 Khi đổi định hướng của S bằng cách xét −~n thay cho ~n thì ánh xạ Weingarten hp được thay bởi −hp. Nên độ cong trung bình đổi dấu còn độ cong Gauss không đổi dấu. Do đó định nghĩa độ cong Gauss có nghĩa cả cho các mặt không định hướng. Định nghĩa 4.3.7 Dạng song tuyến tính Ip : TpS × TpS → R, (ξ,~ ~η) → (ξ,~ ~η) được gọi là dạng cơ bản I tại p của mặt S và dạng song tuyến tính IIp : TpS × TpS → R, ~ ~ ξ, ~η) → (hp(ξ), ~η) được gọi là dạng cơ bản II tại p của S.
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 39 Trong tham số hoá địa phương (u, v) ∈ U 7→ r(u, v) ∈ S chúng ta xét các hàm số 0 0 0 0 E(u, v) := I(~ru, ~ru) L(u, v) := II(~ru, ~ru) 0 0 0 0 F (u, v) := I(~ru, ~rv) M(u, v) := II(~ru, ~rv) 0 0 0 0 G(u, v) := I(~rv, ~rv) N(u, v) := II(~rv, ~rv) là các hệ số của ma trận Gram-Schmidt của các dạng đó. Nếu các véctơ tiếp ~ 0 0 xúc ξ, ~η có phân tích theo cơ sở ~ru, ~rv là ~ 1 0 2 0 1 0 2 0 ξ = ξ ~ru + ξ ~rv, ~η = η ~ru + η ~rv, thì ~ −1 1 1 −1 1 2 2 1 −1 2 2 Ip(ξ, ~η) = (E ◦ r )ξ η + (F ◦ r )(ξ η + ξ η ) + (G ◦ r )ξ η , ~ −1 1 1 −1 1 2 2 1 −1 2 2 IIp(ξ, ~η) = (L ◦ r )ξ η + (M ◦ r )(ξ η + ξ η ) + (N ◦ r )ξ η , Định lí 4.3.8 (Công thức tính độ cong Gauss và độ cong trung bình) LN − M 2 K(p) = (u, v), EG − F 2 EN + GL − 2FM 2H(p) = (u, v). EG − F 2 ~ 0 0 Chứng minh. Chúng ta xét cơ sở ξ = ~ru, ~η = ~rv. Nếu ~ ~ hp(ξ) = αξ + b~η, ~ hp(~η) = cξ + d~η, thì theo định nghĩa, 1 K(p) = ad − bc, H(p) = (a + d). 2 Do đó ta thấy ngay ~ ~ hp(ξ) × hp(~η) = K(p)ξ × ~η, ~ ~ ~ hp(ξ) × ~η + ξ × hp(~η) = 2H(p)ξ × ~η. Lấy tích vô hướng cả hai vế của cả hai đẳng thức trên với ξ~ × ~η và chú ý rằng với bốn véctơ tuỳ ý trong R3, ~ ~ ~α.~γ ~α.δ (~α × β).(~γ × δ) = ~ ~ ~ , β.~γ β.δ
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 40 ta có ~ ~ hp(ξ).~η hp(ξ).~η II(ξ,~ ξ~) II(ξ,~ ~η) ~ hp(~η).ξ hp(~η).~η II(~η) II(~η, ~η) K(p) = = , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ξ.ξ ξ.~η I(ξ, ξ) I(ξ, ~η) ~ ~ ~η.ξ ~η.~η I(~η, ξ) I(~η, ~η) ~ ~ ~ hp(ξ).~η hp(ξ).~η hp(~η).ξ hp(~η).~η) ~ ~ ~ ~η.ξ ~η.~η ~η.ξ ξ.~η 2H(p) = − , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ξ.ξ ξ.~η ξ.ξ ξ.~η ~ ~ ~η.ξ ~η.~η ~η.ξ ~η.~η 4.4 Đạo hàm Weingarten và ký hiệu Christof- fel 1 2 ∂ ∂ Kí hiệu (u , u ) = (u, v), e1 = ∂1 = ∂u1 , e2 = ∂2 = ∂u2 . Ta có: P2 k ∂iej = k=1 Γijek + bijn P2 k ∂in = k=1 ci ek Mệnh đề 4.4.1 k k ci = −bi , k P2 jk trong đó bI := j=1 bijgˆ . Thật vậy, do n là véctơ pháp tuyến của mặt, cho nên ||n|| = 1, n ⊥ ei. Ta có ∂e b = ( j , n). ij ∂ui Vì ∂ej ∂n ∂ ( i , n) + (ej, ) = i (ej, n) = 0 ∂u ∂ui ∂u và ∂n X (e , ) = ckg , j ∂ui i kj k nên X k bij = − ci gkj. k
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 41 Theo qui tắc nâng chỉ số, k X jk bi = bijgˆ , j với −1 ij gˆ = (gij) =g ˆ . k k Cho nên, suy ra ci = −bi . Hệ qủa 4.4.2 P2 k ∂iej = k=1 Γijek + bijn P2 k ∂in = − k=1 bi ek. LM b = ij MN là ma trận hệ số của ánh xạ Weingarten. k Định nghĩa 4.4.3 Các hệ số Γij trong công thức đạo hàm Weingarten được gọi là ký hiệu Christoffel. Giả sử chúng ta có một phép đổi toạ độ địa phương u˜1 =u ˜1(u1, u2), u˜2 =u ˜2(u1, u2), h ∂u˜i i −1 với ma trận Jacobi T = ∂uj và ma trận nghịch đảo là S = T . Các kí hiệu Christoffel và các hệ số dạng toàn phương loại II ứng với ánh xạ Weingarten sẽ thay đổi k ˜m ˜ {Γij, bij} → {Γpq, bpq} Định lí 4.4.4 ( ∂T m k P k j P P P k p q ˜m Γij = m Sm ∂ui + m p q SmTi Tj Γpq, P p q˜ bij = ± p,q Ti Tj bpq. Chứng minh. Ta có ∂e˜q X = Γ˜m e + ˜b n ∂u˜p pq m pq m và theo công thức đổi biến, X q ej = Tj e˜q
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 42 cho nên q q ∂ej X ∂(Tj e˜q) X ∂Tj X ∂e˜q = = e˜ + T q . ∂ui ∂ui ∂ui q j ∂ui q q q p ∂ej X X X ∂u˜ e˜q = T me˜ + (T q ) = ∂ui j m j ∂ui u˜p m q p X m X X X q p m X X q p˜ = Tj e˜m + (Tj Ti γpq)e˜m + (Tj Ti bpq)n˜ m q p m q p m X X ∂Tj X X X X = ( Sk )e + (T qT pγ˜mSk )e + ∂ui m k j i pq m k m k q p m k X X q p˜ + (Tj Ti bpq)n˜. q p Định lí 4.4.5 k k Γij = Γji, ∀j, k. Chứng minh. Theo định nghĩa, ∂r 0 e = = r j . j ∂uj u Cho nên, ∂2r X = Γk + b n. ∂ui∂uj ij ij k ∂2r Vì bij đối xứng theo i, j và đạo hàm cấp hai ∂ui∂uj cũng đối xứng theo i, j k nên Γij đối xứng theo i, j. 4.5 Đạo hàm thuận biến Giả sử Aj1, ,js là một tensơ kiểu (r, s). i1, ,ir Định nghĩa 4.5.1 Đạo hàm thuận biến cuả tensơ A kiểu (r, s) là một tensơ kiểu (r + 1, s) được cho bởi công thức j1, ,js s ∂Ai , ,i X X ∇ Aj1, ,js := 1 r + Γim Aj1, ,vm, ,js − i i1, ,ir ∂ui ivm i1, ,ir m=1 vm r X X − Γwn Aj1, ,js . iin i1, ,wn, ,ir n=1 wn
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 43 Ví dụ. 1. ∂Xk X ∇ Xk = + Γk Xv. i ∂ui iv v 2. ∂Al X ∇ A = − ΓwA . i l ∂ui il w w Định lí 4.5.2 Tensơ metric là hiệp biến theo nghĩa ∂gij X X ∇ g = − Γq g − Γq g ≡ 0. k ij ∂uk ki qj kj iq q q Chứng minh. Xuất phát từ công thức đạo hàm Weingarten ∂ei X = Γq e + b n, ∂uk ki q ki q ta có: ∂ei X ( , e ) = Γq g ∂uk j ki qj q và ∂ej X (e , ) = Γq g . i ∂uk kj iq q Mặt khác, ∂e ∂e ∂ ∂g ( i , e ) + (e , j ) = (e , e ) = ij . ∂uk j i ∂uk ∂uk i j ∂uk Suy ra, ∂gij ∂ei ∂ej X X = ( , e ) + (e , ) = Γq g + Γq g . ∂uk ∂uk j i ∂uk ki qj kj iq q q Định nghĩa 4.5.3 Giả sử X = {Xk} là một trường vectơ, A là một tensơ kiểu (r, s). Khi đó, đạo hàm thuận B = ∇X A theo trường véctơ X là một tensơ kiểu (r, s) cho bởi công thức X Bj1, ,js := Xk∇ Aj1, ,ja . i1, ,ir k i1, ,ir k
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 44 Định lí 4.5.4 Đạo hàm thuận biến theo trường véctơ có các tính chất cơ bản sau: 1. Tuyến tính: ∇X (A + B) = ∇X A + ∇X B. 2. Tuyến tính: ∇X+Y A = ∇X A + ∇Y B. 3. Thuần nhất: ∇fX A = f∇X A. 4. Quy tắc Leibniz: ∇X (A ⊗ B) = ∇X A ⊗ B + A ⊗ ∇X B. 5. ∇X C(A) = C(∇X A), trong đó C(A) là Định nghĩa 4.5.5 Độ xoắn được định nghĩa bởi T (X, Y ) := ∇X Y − ∇Y X − [X, Y ]. 4.6 Độ cong Riemann Chúng ta dễ dàng tính k ∂∇jX X X ∇ ∇ Xk = + +qΓk ∇ Xq − Γq ∇ Xk. i j ∂ui iq j ij q q k ∂∇iX X X ∇ ∇ Xk = + +qΓk ∇ Xq − Γq ∇ Xk. j i ∂uj jq i ji q q Từ đó ta có, k k X ∂Γjr ∂Γ X Y k = ∇ ∇ Xk − ∇ ∇ Xk = ( − ir − (Γk Γq − Γk Γq ))Xr. ij i j j i ∂ui ∂uj iq jr jq ir r q Định nghĩa 4.6.1 Tensơ kiểu (3, 1) k k ∂Γjr ∂Γ X Rk := − ir − (Γk Γq − Γk Γq ) rij ∂ui ∂uj iq jr jq ir q được gọi là tensơ độ cong Riemman. Bằng tính toán tương tự chúng ta cũng có
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 45 Mệnh đề 4.6.2 X r (∇i∇j − ∇j∇i)Xk = − RkijXr. r X X (∇ ∇ − ∇ ∇ )Xj1, ,js = Rim Xj1, ,vm, ,js − i j j i i1, ,ir vmij i1, ,ir m vm X X − Rwn Xj1, ,js . inij i1, ,wn, ,ir n wn Giả sử chúng ta có một phép đổi toạ độ địa phương u˜1 =u ˜1(u1, u2), u˜2 =u ˜2(u1, u2), h ∂u˜i i −1 với ma trận Jacobi T = ∂uj và ma trận nghịch đảo là S = T . Các thành phần của tensơ độ cong Riemman thay đổi k ˜n {Rrij} → {Rmpq} k Định lí 4.6.3 Các thành phần Rrij biến đổi theo qui tắc tensơ kiểu (3, 1) k X X X X k m p q ˜n Rrij = SnTr Ti Tj Rmpq. n m p q Định lí 4.6.4 Tensơ độ cong Riemann có các tính chất cơ bản sau: k k 1. Tính phản xứng theo cặp biến cuối: Rrji = −Rrij, ∀i, j, k, r. 2. Tính phản xứng theo cặp biến đầu: Rqrij = −Rrqij, P k trong đó Rqrij = k gqkRrij. 3. Tính đối xứng giữa hai cặp biến: Rqrij = Rijqr. k k k 4. Rrij + Rijr + Rjri = 0. q q q 5. Hệ thức Bianchi: ∇kRrij + ∇iRrjk + ∇jRrki = 0. Mệnh đề 4.6.5 R Rkr = (δkδr − δkδr), ij 2 i j j i R Rk = (δkg − δkg ), rij 2 i rj i ri trong đó 12 21 12 R := R12 + R21 = 2R12, kr X rl k Rij = gˆ Rlij.
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 46 R Định nghĩa 4.6.6 Tensơ Rij := 2 gij được gọi là tensơ Ricci. kr Nhận xét 4.6.7 Rij = 0 nếu k = r hoặc i = j. Hơn nữa 12 21 21 12 R12 = R21 = −R12 = −R21, 12 21 12 R = R12 + R21 = 2R12. 4.7 Các định lí cơ bản của lí thuyết mặt dìm Giả sử S là một mặt hai chiều, định hướng bởi trường véctơ pháp tuyến ~n. Giả sử ~u1, ~u2 là một trường mục tiêu tiếp xúc, trực chuẩn trên một tập mở V trong S. 1 2 Gọi θ và θ là trường mục tiêu đối ngẫu với trường mục tiêu u1, u2, tức là tại mọi điểm của V , θi(~uj) = δij, (i, j = 1, 2). Nếu ta kí hiệu ~n|V = ~u3, thì {~u1, ~u2, ~u3} là một trường mục tiêu trực chuẩn của R3 dọc theo V , tương thích với ~n. Dùng phân hoạch đơn vị cho mặt S suy ra rằng mỗi điểm p của V có một lân cận mở W trong R3 và một ˜ ˜ ˜ trường mục tiêu trực chuẩn {~u1, ~u2, ~u3} để khi thu hẹp lên V ∩ W ta được {~u1, ~u2, ~u3} thu hẹp lên V ∩ W . ˜ ˜ ˜ Gọi {θ1, θ2, θ3} là các trường mục tiêu đối ngẫu với {~u1, ~u2, ~u3}, i ˜ θ (~uj) = δij(i, j = 1, 2, 3). l Định nghĩa 4.7.1 Các dạng (ωk)(k, l = 1, 2, 3) cho bởi điều kiện 3 ˜ X l ˜ D~uk = ωk~ul(k = 1, 2, 3) l=1 gọi là các dạng liên kết của S trên V . Nhận xét 4.7.2 Các dạng liên kết có tính chất phản xứng i j ωj = −ωi . 2 3 3 Vậy nên về thực chất, chúng ta có ba dạng vi phân ω1, ω1, ω2 thoả mãn các phương trình xác định chúng là 2 3 Dξ~u1 = ω1~u2(p) + ω1~n(p),
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 47 1 3 Dξ~u2 = ω2~u1(p) + ω2~n(p), 1 2 Dξ~u3 = ω3~u1(p) + ω3~n(p), l k ωk = −ωl (k, l = 1, 2, 3). Nhận xét rằng các phương trình cấu trúc của R3 trong trường trực chuẩn ˜ ˜ ˜ {~u1, ~u2, ~u3} trên W là k X k k dθ = − ωl θ , l X l m dωk = − ωm ∧ ωk m với k, l, m = 1, 2, 3. Để ý rằng 3 dθ |V = d~n|V = 0, chúng ta suy ra các phương trình cơ bản của lý thuyết mặt dìm trong R3. ‘ 1 2 Định nghĩa 4.7.3 1. Phương trình dθ = −ω2 ∧ θ được gọi là phương trình cấu trúc. 2. Phương trình 2 2 1 3 1 3 2 dθ = −ω1 ∧ θ , ω1 ∧ θ + ω2 ∧ θ = 0 được gọi là phương trình đối xứng . 3. Phương trình 1 1 3 dω2 = −ω3 ∧ ω2 được gọi là phương trình Gauss . 4. Phương trình 1 1 2 2 1 1 dω3 = −ω2 ∧ ω3, dω3 = −ω2 ∧ ω3 được gọi là phương trình Peterson-Kodazi. ~ Hệ qủa 4.7.4 Do hp(ξ) = −Dξ~n, ta suy ra ~ 3 ~ 3 ~ hp(ξ) = ω1(ξ)~u1(p) + ω2(ξ)~u2(p). Hơn thế nữa, chúng ta có phương trình 1 1 2 dω2 = Kθ ∧ θ . Phương trình này cũng được gọi là phương trình Gauss.
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 48 Chứng minh. Thật vậy, chúng ta có 3 3 h(~u1) = ω1(~u1)~u1 + ω2(~u1)~u2, 3 3 h(~u2) = ω1(~u2)~u1 + ω2(~u2)~u2. Cho nên suy ra rằng 3 3 3 K = det(hp) = ω1(~u1)ω2(~u2) − ω(~u2)ω2(~u1). Phương trình Gauss 1 1 3 dω2 = −ω3 ∧ ω2 là tương đương với 1 1 3 dω2(~u1, ~u2) = (ω3 ∧ ω2)(~u1, ~u2). Từ đó suy ra phương trình 1 1 2 dω2 = Kθ ∧ θ . Chúng ta nghiên cứu hai ứng dụng hình học của các phương trình trên. Các kết qủa ứng dụng hết sức đẹp đẽ, tuy nhiên do khuôn khổ của chương trình, chúng ta bỏ qua các chứng minh của hai định lí sau. Định lí 4.7.5 Mặt liên thông trong R3 mà mọi điểm là điểm rốn có độ cong Gauss hằng (không âm). Định lí 4.7.6 (Định lí Liebmann) Mặt hai chiều compắc dìm trong R3 1 với độ cong Gauss hằng K = const là mặt cầu bán kính R = K .
MATHEDUCARE.COM Chương 5 Đường cong trên mặt cong 5.1 Đường cong trên mặt Chúng xét một mảnh của mặt tham số hoá r(u1, u2): D2 ∼= R2 → S với tọa độ địa phương là (u1, u2) ∈ D2. Một đường cong trên mặt S được cho bởi x(t) = (x1(u1(t), u2(t)), x2(u1(t), u2(t)), x3(u1(t), u2(t))). ∂x i Chúng ta có véctơ tiếp xúc x˙ (t) = ∂ui u˙ (t), với độ dài cho bởi s X i j ||x˙ (t)|| = giju˙ u˙ . i,j Do vậy tích phân độ dài có dạng sau. Mệnh đề 5.1.1 Độ dài cung trên mặt tham số hoá cho bởi công thức Z t Z t s X i j s = ||x˙ (τ)||dτ = giju˙ u˙ . 0 0 i,j Tức là 2 X i j ds = giju˙ (t)u ˙ (t). ij 49
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 50 5.2 Độ cong pháp dạng và độ cong trắc địa của đường cong trên mặt Nhận xét rằng nếu t = s là tham số hoá tự nhiên theo cung trên mặt cong thì s X i j giju˙ u˙ ≡ 1. i,j Trong trường hợp t = s là tham số hoá tự nhiên theo độ dài cung, theo công thức Frénet ta có X X ∂ei τ 0 = k.n = u¨ke + u˙ i u˙ j. curv k ∂uj k j Theo công thức đạo hàm Weingarten ta có ∂ei X = Γk e + b n. ∂ui ij k ij k Cho nên 0 X k X k i j X i j τ = kncurv = (¨u + γiju˙ u˙ )ek + ( biju˙ u˙ )n. ij ij Định nghĩa 5.2.1 Trong tham số hoá tự nhiên (t = s) X i j knorm = biju˙ u˙ ij được gọi là độ cong pháp dạng. X k X k i j kg := || (¨u + Γiju˙ u˙ )ek|| ≥ 0 k i,j được gọi là độ cong trắc địa. Nếu kg 6= 0, ta gọi véctơ đơn vị ninner để X k X k i j kgninner = (¨u + Γiju˙ u˙ )ek k i,j là véctơ pháp tuyến trong. Theo Định lí Pitagora, ta có hệ quả sau.
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 51 Hệ qủa 5.2.2 2 2 2 k = kg + knorm . Mệnh đề 5.2.3 Trong tham số hoá bất kì P i j biju˙ u˙ II(u, ˙ u˙) k orm(u ˙) = i,j = . n P i j i,j giju˙ u˙ I(u, ˙ u˙) Chứng minh. Suy trực tiếp từ công thức tính đạo hàm của hàm hợp. Mệnh đề 5.2.4 Giả sử k1, k2 là các độ cong chính với các phương chính tương ứng là e1, e2. Khi đó ta có knorm(ei) = ki Chứng minh. Thật vậy, II(ei) kiI(ei) knorm(ei) = = . I(ei) I(ei) ~ ˜ ~ Định nghĩa 5.2.5 Với mỗi véctơ tiếp xúc ξ ∈ TpS \{0}, đại lượng k(ξ) := II(ξ) không đổi khi ta nhân ξ~ với một số khác 0, gọi là độ cong pháp dạng I(ξ~) của S theo phương xác định bởi ξ~. Công thức Meusnier[Mơniê] : ~ ˜ 0 (k(s0)N(s0), ~n(ρ(s0))) = k(~ρ (s0))). Ví dụ: Với mỗi phương chính, ta có k˜ = k. Hệ qủa 5.2.6 1. Mọi cung song chính quy γ nằm trên mặt S, có cùng tiếp tuyến (tức là véctơ tiếp xúc của chúng tỉ lệ với nhau) tại s ∈ S và có cùng mặt mật tiếp (giả sử nó khác với mặt phẳng tiếp xúc TpS) thì có cùng độ cong tại p. 2. Nếu giao của S với mặt phẳng chứa pháp tuyến của S tại p là một cung song chính quy γ trong lân cận của điểm p thì độ cong của γ tại p bằng trị tuyệt đối của độ cong pháp dạng của S theo phương của tiếp tuyến của γ tại p.
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 52 5.3 Phương chính và độ cong Gauss ˜ Với mỗi véctơ riêng ~e của hp, hp(~e) = k~e, ta có II(~e) k~e.~e˜ k˜(~e) = = = k˜(s). I(~e) ~e.~e Chọn cơ sở trực chuẩn {~e1,~e2} của TpS gồm các véctơ riêng của hp. Ta có định nghĩa sau Định nghĩa 5.3.1 ˜ ˜ ˜ ˜ k(~e1) = k1, k(~e2) = k2 được gọi là độ cong chính của S tại p. ~ Mệnh đề 5.3.2 (Công thức Euler) Nếu ξ = cos ϕ~e1 +sin ϕ~e2 thì độ cong pháp dạng theo phương ξ là ~ ˜ 2 ˜ 2 k(ξ) = k1 cos ϕ + k2 sin ϕ. Chứng minh. k˜(ξ~) = II(ξ~) ~ ~ = hp(ξ).ξ = hp(cos ϕ~e1 + sin ϕ~e2).(cos ϕ~e1 + sin ϕ~e2) ˜ ˜ = (k1 cos ϕ~e1 + k2 sin ϕ~e2).(cos ϕ~e1 + sin ϕ~e2). ˜ ˜ Hệ qủa 5.3.3 1. Các độ cong chính k1, k2 là các cực trị của độ cong ˜ ~ ~ pháp dạng k(ξ) khi ξ thay đổi trên TpS \{0}. ˜ ˜ ˜ ~ 2. Nếu các độ cong chính k1, k2 có cùng dấu thì độ cong pháp dạng k(ξ) cũng có cùng dấu đó. Nếu các độ cong chính khác dấu nhau thì luôn ~ ˜ ~ tồn tại phương ξ ∈ TpS \{0} để k(ξ) = 0. 5.4 Một số tính chất đặc trưng của đường trên mặt cong Định nghĩa 5.4.1 Véctơ tiếp xúc a ∈ TP S được gọi là phương tiệm cận, nếu X i j II(a, a) = bija a = 0. i,j Đường tiệm cận là đường mà tại mỗi điểm knorm = 0.
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 53 Hệ qủa 5.4.2 Nếu tại điểm P ∈ S, K(P ) ≤ 0 thì tồn tại phương tiệm cận tại P , nếu K(P ) > 0 thì không có phương tiệm cận tại P . Nếu mặt S có độ cong Gauss K(p) < 0 tại mọi nơi thì tại mọi điểm đều tồn tại phương tiệm cận. Định nghĩa 5.4.3 Các đường độ cong(curvature line) là các đường mà tại mỗi điểm các vectơ tiếp xúc là hai phương chính. Đường trắc địa(geodesic line) là đường mà tại mỗi điểm của nó, kg = 0. Hệ qủa 5.4.4 Dọc theo đường trắc địa, ta có dτ = k n. ds norm Phương trình đường trắc địa là k X k i j u¨ + Γiju˙ u˙ = 0. i,j Định lí 5.4.5 u(t) là đường trắc địa nối 2 điểm A và B, ứng với 2 tham số t1 và t2, chỉ khi Z t2 s X i j giju˙ (τ)u ˙ (τ)dτ → min . t1 i,j Chứng minh. Theo nguyên lý Fermat-Hugen Z t2 s X i j giju˙ (τ)u ˙ (τ)dτ → min . t1 i,j và do đó Z t2 X i j giju˙ (τ)u ˙ (τ)dτ → min t1 i,j thì đạo hàm biến phân là triệt tiêu Z t2 X i j δ giju˙ (τ)u ˙ (τ)dτ = 0 t1 i,j Đạo hàm biến phân và tích phân có thể đổi chỗ cho nhau, cho nên Z t2 X i j δ(giju˙ (τ)u ˙ (τ))dτ = 0 t1 i,j Từ đó suy ra phương trình đường trắc địa.
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 54 5.5 Định lí Gauss -Bonnet Trước hết chúng ta nhắc lại đôi điều về tích phân đường và tích phân mặt trong giải tích. Tích phân đường loại I của hàm f(x, y, z) dọc theo đường cong tham số hoá γ cho bởi tham số hoá r(t) được định nghĩa là tích phân Riemman Z Z t2 f(r(t))dt = f(r(t))dt. γ t1 Ví dụ tích phân độ dài đường cong là tích phân đường loại I. R H Tích phân đường loại II γ ω = γ ω của một biểu thức vi phân, còn được gọi là 1-dạng vi phân, 1 2 3 ω(x) = ω1(x)dx + ω2(x)dx + ω3(x)dx = P (x)dx1 + Q(x)dx2 + R(x)dx3, với P, Q, R là các hàm số trơn theo các biến x = (x1, x2, x3) là tích phân Riemman Z t2 (P (x) cos α(t) + Q(x) cos β(t) + R(x) cos γ(t))dt, t1 trong đó α(t), β(t), γ(t) lần lượt là các góc giữa dr(t) với ba trục toạ độ e1, e2, e3. RR 1 2 Tích phân mặt loại I Σ f(x(u , u ))dS của hàm f(x, y, z) dọc theo mặt cong tham số hoá Σ cho bởi tham số hoá r(u1, u2), (u1, u2) ∈ D được định nghĩa là tích phân Riemman ZZ ZZ f(r(u2, u2))dS = f(r(u2, u2))du1du2. D D Ví dụ tích phân diện tích mặt cong ZZ 0 0 1 2 ||ru1 × ru2 ||du du D là tích phân mặt loại I. R H Tích phân mặt loại II Σ ω = Σ ω của một biểu thức vi phân bậc 2, còn được gọi là 2-dạng vi phân, 2 3 3 1 1 2 ω(x) = ω1(x)dx ∧ dx + ω2(x)dx ∧ dx + ω3(x)dx ∧ dx
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 55 := P (x)dx2dx3 + Q(x)dx3dx1 + R(x)dx1dx2, với P, Q, R là các hàm số trơn theo các biến x = (x1, x2, x3) là tích phân Riemman ZZ (P (x)n1(u1, u2) + Q(x)n2(u1, u2) + R(x)n3(u1, u2))du1du2, D trong đó n(u1, u2) = (n1(u1, u2), n2(u1, u2), n3(u1, u2)) là ba thành phần của véctơ pháp tuyến ngoài với mặt định hướng thuận Σ. Giả sử ϕ : U ⊆ R2 → R3 là một tham số hoá địa phương của mặt M. Giả sử ∆A0B0C0 là một tam giác trong U. Ảnh của tam giác này qua ánh xạ ϕ là một tam giác cong, kí hiệu là (ABC) với các đỉnh A = ϕ(A0), B = ϕ(B0), C = r(C0) và các cạnh (cong) tương ứng là a = ϕ([B0,C0]), b = ϕ([A0,C0]), c = ϕ([A0,B0]). Chúng ta cũng kí hiệu (~b0,~c0) Aˇ := ~bd0,~c0 := ||~b0||.||~c0|| độ lớn đo bằng radian của góc ngoài tại đỉnh A trong mặt tiếp xúc TAM và tương tự cho Bˇ, Cˇ. Chúng ta kí hiệu K là độ cong Gauss của M và µ là phần tử diện tích chính tắc (với hướng đã chọn) trên mặt M, kg là độ cong trắc địa của cung tương ứng. Ta kí hiệu Z Z Z Z kgds := kgds + kgds + kgds. ∂(ABC) a b c Định lí 5.5.1 (Công thức Gauss-Bonnet) Z Z ˇ ˇ ˇ Kµ + kgds = 2π − (A + B + C). (ABC) ∂(ABC) Chứng minh. Chúng ta chọn một trường mục tiêu trực chuẩn định hướng 2 thuận e1, e2 trên V = ϕ(U) và gọi ω1 là dạng liên thông của M trong trường mục tiêu đó. Nếu ρ : I = [0, 1] → V là một cung định hướng, ||ρ0|| = 1 và 0 nếu ta viết ρ (a) = cos ϕ(s)e1(ρ(s)) + sin ϕ(s)e2(ρ(s)) thì X k 1 kg = || ωl (e1)ek|| = ω2e1. Khi đó độ cong pháp dạng knorm = 0, 0 ∂ρ(s) 1 0 ρ (s) = = D 0 e = ω (ρ (s))ds ∂s ρ (s) 1 2
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 56 và ta có R R s1 kgds = kg(s)ds I s0 R s1 1 0 = ϕ(s1) − ϕ(s0) − ω (ρ (s))ds s0 2 R 1 = ϕ(s1) − ϕ(s0) − ρ ω2, 0 trong đó ϕ(s0) = e1(ρ(s\0)), ρ (s0)) là độ lớn của góc định hướng tạo bởi 0 e1(ρ(s0)) và ρ (s0). Vậy nên ta có Z Z 0 0 1 kgds = e1(C\), a (C) − e1(B\), a (B) − ω2. a a R R Tương tự, ta cũng có công thức cho b kgds, và c kgds. Cuối cùng ta có R \0 \0 ∂(ABC) kgds = e1(A), b (A) − e1(A), c (A)) 0 0 +e1(B\), c (B) − e1(B\), a (B)) 0 0 +e1(C\), a (A) − e1(A\), b (A)) R 1 R 1 R 1 −( a ω2 + b ω2 + c ω2) ˇ ˇ ˇ R = −A − B − C + 2πl − (ABC) Kµ Theo công thức Stokes, ta có Z Z Z Z Z 1 1 1 1 ω2 + ω2 + ω2 = dω2 = Kµ. a b c (ABC) (ABC) Bây giờ ta chỉ cần chỉ ra là bội số l = 1. Thật vậy, chúng ta có công thức Z Z ˇ ˇ ˇ Kµ + kgds + (A + B + C) = 2πl. (ABC) ∂(ABC) Kí hiệu h., .i0 là cấu trúc Riemann trên V = r(U) đẳng cấu đẳng cự với 2 U ⊆ R . Khi đó với mỗi t ∈ [0, 1], công thức h., .it := (1 − t)h., .i0 + th., .i xác định cấu trúc Riemann trên V và công thức của ta có dạng Z Z ˇ ˇ ˇ Kµ + kgds + (A + B + C) = 2lπ (ABC) ∂(ABC) đúng với mọi t ∈ [0, 1] Hai tích phân ở vế trái phụ thuộc liên tục vào t. Suy ra l cũng phụ thuộc liên tục vào t. Nhưng l ∈ Z, nên l không phụ thuộc vào ˇ ˇ ˇ t. Khi t = 0 ta có K = 0, kg = 0, và A + B + C = 2π, theo hình học Euclid 2 trong R . Vậy suy ra l = 1.
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 57 Nhận xét 5.5.2 1. Chúng ta kí hiệu các góc trong của một tam giác là Aˆ = π − Aˇ, Bˆ = π − B,ˇ Cˆ = π − Cˇ. Công thức Gauss -Bonnet trở thành Z Z ˆ ˆ ˆ Kµ + kgds = A + B + C − π. (ABC) ∂(ABC) 2. Nếu a, b, c là những cung trắc địa thì công thức Gauss-Bonnet trở thành Z Kµ = Aˆ + Bˆ + Cˆ − π. (ABC) Vậy tổng các góc trong của một tam giác với các cạnh là các đường cong trắc địa lớn hơn π nếu độ cong Gauss K > 0, và bé hơn π nếu K < 0 và bằng π nếu độ cong Gauss K ≡ 0. 3. Độ cong trắc địa kg, dọc theo một cung định hướng trên mặt hai chiều định hướng đổi dấu khi đổi định hướng của cung đó cho nên tích phân R γ kgds thực ra là tích phân đường loại II, tức là tích phân của dạng vi phân Kgds dọc theo đường cong định hướng γ. Định lí 5.5.3 (Đặc trưng Euler) Giả sử M là một mặt định hướng, com- pắc và được chia ra bởi một lưới các điểm thành các tam giác cong (được gọi là tam giác phân hoá). Kí hiệu β1, β2, β3 lần lượt là số đỉnh, số cạnh và số mặt tam giác của tam giác phân hóa đó, X i Eul(M) := (−1) βi. i Khi đó 1 Z Kµ = Eul(M) = β0 − β1 + β2. 2π M Chứng minh. Kí hiệu σ là tam giác cong của tam giác phân hóa đó. Theo công thức Gauss-Bonnet cho tam giác ta có Z X Z X Kµ = kgds + (∆(σ) − π), M σ ∂σ σ trong đó ∆(σ) là tổng các góc trong của tam giác cong σ. Vì mỗi cạnh của tam giác phân là cạnh của đúng hai tam giác cong kề nhau trong tam giác phân hóa đó và cùng hướng với cạnh ấy khi coi nó là thuộc tam giác này và ngược hướng với cạnh ấy khi coi nó thuộc tam giác kia. Cho nên X Z kgds = 0. σ ∂σ
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 58 Tổng các góc trong của một tam giác cong tại mỗi đỉnh bằng 2π, nên X (∆(σ) − π) = β02π − β2π. σ Vậy nên ta có Z Kµ = π(2β0 − β2). M Mỗi cạnh của tam giác phân hóa thuộc đúng hai tam giác cong, mà mỗi tam giác cong có ba cạnh cho nên 2β1 = 3β2. Từ đó suy ra Z Kµ = π(2β0 − β2) = π(2β0 − 2β1 + 2β2) = 2π(Eul(M)). M Nhận xét rằng đặc trưng Euler tổng quát trong tôpô học cũng chính là χ(M) = Eul(M). 5.6 Bài tập củng cố lý thuyết 1. Tìm cung chính quy trong R3 xác định bởi tham số hoá t 7→ ρ(t), biết phương trình tiếp tuyến tại mỗi điểm t của nó trong toạ độ của không gian tiếp xúc cho bởi hệ phương trình a1(t)X + b1((t)Y + c1(t)Z + d1(t) = 0 a2(t)X + b2((t)Y + c2(t)Z + d2(t) = 0 Gợi ý: Dùng định lí tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân. 2. Tính độ dài của các cung trên đoạn t ∈ [t0, t1]: n a. Trong toạ độ Đề Các x(t) = t, y(t) = t , z(t) = c0(= const). b. Trong toạ độ trụ (r, ϕ, z), p 2 2 r = x(t) + y(t) , ϕ = ~ρ,~ed1. c. Trong toạ độ cầu (r, ϕ, θ): r = px(t)2 + y(t)2 + z(t)2, ϕ = (x(t)\, y(t),~e1), θ = (x(t), y\(t), z(t))~e3).
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 59 3. Cho cung đinh ốc tròn Γ xác định bởi t 7→ ρ(t) = (a cos(t), a sin(t), bt), (a > 0) trong R3. a. Hãy viết phương trình tiếp tuyến, pháp tuyến chính, trùng pháp tuyến, mặt phẳng mật tiếp, mặt pháp diện, mặt trực đạc của nó tại mỗi điểm. b. Chứng minh rằng các tiếp tuyến của nó nghiêng một góc không đổi so với mặt phẳng nằm ngang Oxy, còn các pháp tuyến chính luôn luôn cắt trục Oz. 4. Tính độ cong Gauss và độ cong trung bình của: a. Mặt đinh ốc dựng đứng. b. Mặt paraboloid. c. Mặt tiếp xúc. 5. Cho mặt S trong R3 xác định bởi phương trình x2 + y4 + z6 − 1 = 0. Chứng minh rằng S là một đa tạp compắc, định hướng. Gọi µ là dạng R diện tích chính tắc của S và K là độ cong Gauss của S. Hãy tính S Kµ.
MATHEDUCARE.COM Chương 6 Định lý ánh xạ ngược và Định lý ánh xạ ẩn Hình học vi phân cần đến các phép toán vi phân và tích phân khá tổng quát. Cho nên việc nghiên cứu được bắt đầu từ việc hệ thống hoá phép tính vi phân trong Rn. Trong chương này chúng ta sẽ tiếp cận khái niệm đa tạp khả vi từ khía cạnh giải tích, xem chúng như những tập nghiệm của một hệ phương trình hàm trong không gian Rn. Sau đó tư tưởng "bó hoá" dẫn dắt đến sự nghiên cứu đa tạp tổng quát. 6.1 Định nghĩa đạo ánh và các tính chất cơ bản Chúng ta kí hiệu R là tập tất cả các số thực, Rn là tích Descartes của n phiên bản tập các số thực Rn := {(x1, . . . , xn)|xi ∈ R, ∀i = 1, n}. Nói một cách khác, mỗi phần tử của Rn là một bộ n số thực x = (x1, . . . , xn), xi ∈ R. Chúng ta kí hiệu theo truyền thống kí hiệu tensơ trong hình học và do vậy viết các chỉ số ở trên. Để cho gọn, ta sẽ kí hiệu các phần tử đơn giản là x, y, và gọi chúng là các véctơ. Đôi khi để nhấn mạnh rằng chúng là các véctơ, ta sẽ kí hiệu thêm dấu mũi tên phía trên đầu ~x, ~y, hoặc viết bằng chữ đậm: x, y, Xét tập mathbfRn với các phép toán trên các véctơ như sau: Nếu x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) là các véctơ thuộc Rn và λ ∈ Rn, thì • Tổng các véctơ x và y là véctơ x + y: x + y := (x1 + y1, . . . , xn + yn), 60
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 61 • Tích véctơ với một vô hướng λ là véctơ λx: λx := (λx1, . . . , λxn). Mệnh đề 6.1.1 Cùng với các phép toán trên, Rn là một không gian véctơ. Chứng minh. Hiển nhiên là véctơ 0 := (0, , 0) sẽ là véctơ trung hoà cho phép cộng. Phần tử đối của véctơ x là véctơ −x = (−x1, , −xn). Để chứng minh mệnh đề, chúng ta chỉ cần kiểm tra các tiên đề của một cấu trúc không gian véctơ, bao gồm: • Luật kết hợp theo phép cộng: (x + y) + z = x + (y + z), ∀x, y, z ∈ Rn. • Sự tồn tại phần tử trung hoà 0. • Sự tồn tại phần tử đối: ∃ − x; x + (−x) = (−x) + x = 0. • Luật giao hoán của phép cộng x + y = y + x, ∀x, y ∈ Rn. • Luật phân phối của phép cộng và phép nhân: (λ + µ)x = λx + µx, ∀λ, µ ∈ R, x ∈ Rn. λ(x + y) = λx + λy, ∀λ ∈ R, x, y ∈ Rn. • Luật kết hợp của phép nhân (λµ)x = λ(µx), ∀λ, µ ∈ R, x ∈ Rn. • Tính chuẩn hoá: 1.x = x, ∀x ∈ Rn. Chúng tôi dành cho bạn đọc kiểm tra chi tiết các tính chất trên. Xét các véctơ đặc biệt: e1 = (1, 0, , 0),
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 62 ei = (0, , 1, 0, , 0), (số 1 duy nhất đứng ở vị trí thứ i) en = (0, , 0, 1). Nhận xét rằng các véctơ e1, , en là độc lập tuyến tính và chúng lập thành một cơ sở của Rn. Mỗi véctơ bất kì x = (x1, . . . , xn) đựợc phân tích duy nhất thành tổ hợp tuyến tính của các véctơ cơ sở n i X i x = x ei = x ei. i=1 Chú ý rằng trong công thức trên, theo truyền thống của hình học, viết một chỉ số trên và một chỉ số dưới bằng cùng một chữ cái có nghĩa là lấy tổng theo chỉ số đó. Nhưng đôi khi để cho đỡ nhầm lẫn, người ta cũng vẫn viết luôn cả dấu tổng, nếu thấy cần thiết nhấn mạnh. Chúng ta định nghĩa tích vô hướng của hai véctơ x = (x1, . . . , xn) và y = (y1, . . . , yn) theo công thức n X (x, y) = x.y := xiyi. i=1 Mệnh đề 6.1.2 Cùng với tích vô hướng tự nhiên trên, Rn trở thành không gian Euclid. Chứng minh. Chúng ta cần kiểm tra rằng tích vô hướng nói trên có các tính chất: • Tuyến tính: (λx + µy, z) = λ(x, z) + µ(y, z), ∀λ, µ ∈ R, x, y, z ∈ Rn. • Đối xứng: (x, y) = (y, x), ∀x, y ∈ Rn. • Xác định dương: (x, x) ≥ 0, ∀x ∈ Rn, (x, x) = 0 ⇐⇒ x = 0. Chúng tôi dành việc kiểm tra chi tiết các tính chất đó cho đọc giả. Nhận xét rằng cơ sở e1, , en nói trên là một cơ sở trực chuẩn, tức là (ei, ej) = δij, trong đó δij là kí hiệu Kronecker quen biết.
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 63 Mệnh đề 6.1.3 Mọi không gian Euclid n-chiều đều đẳng cấu với không gian Rn. Chứng minh. Giả sử En là một không gian Euclid n chiều tuỳ ý, tức là một không gian véctơ với một tích vô hướng trừu tượng x, y ∈ En 7→ hx, yi ∈ R. Chọn một cơ sở trực chuẩn e˜1, , e˜n, với he˜i, e˜ji = δij. Phép tương ứng e˜i 7→ ei, i = 1, n xác định một đẳng cấu đẳng cự giữa n n (E , h., .i) và (R , (., .)). Như vậy việc nghiên cứu không gian Euclid n chiều với sai khác đẳng cấu hoàn toàn tương đương với việc nghiên cứu không gian cụ thể Rn. Trong không gian Rn ta đưa vào metric đo khoảng cách giữa các điểm như sau: Khoảng cách giữa hai véctơ x và y được đo bằng đại lượng d(x, y) = kx − yk := p(x − y, x − y). Mệnh đề 6.1.4 Rn là một không gian định chuẩn. Chứng minh. Chúng ta có thể kiểm tra rằng ánh xạ x 7→ ||x|| thoả mãn tất cả các tính chất của không gian định chuẩn: • Xác định dương ||x|| ≥ 0, ∀x ∈ Rn, ||x|| = 0 khi và chỉ khi x = 0. • Thuần nhất dương: ||λx|| = |λ|||x||, ∀λ ∈ R, ∀x ∈ Rn. • Bất đẳng thức tam giác: ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||, ∀x, y ∈ Rn. Chúng tôi dành phần kiểm tra chi tiết cho bạn đọc. Bây giờ chúng ta định nghĩa một số khái niệm hình cầu (đóng, mở), hình hộp (đóng, mở) và mặt cầu như sau.
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 64 Định nghĩa 6.1.5 Mặt cầu S(a, r) tâm a ∈ Rn bán kính r ≥ 0 là tập các véctơ x ∈ Rn thoả mãn n X ||x − a||2 = (x − a, x − a) = (xi − ai)2 = r2. i=1 Hình cầu đóng B(a, r) tâm a ∈ Rn bán kính r ≥ 0 là tập các véctơ x ∈ Rn thoả mãn n X ||x − a||2 = (x − a, x − a) = (xi − ai)2 ≤ r2. i=1 Hình cầu mở B(a, r) tâm a ∈ Rn bán kính r ≥ 0 là tập các véctơ x ∈ Rn thoả mãn n X ||x − a||2 = (x − a, x − a) = (xi − ai)2 < r2. i=1 Hình hộp đóng P (a1; b1, . . . , an; bn) là tập các véctơ x = (x1, . . . , xn) mà các thành phần xi của chúng thoả mãn các bất đẳng thức ai ≤ xi ≤ bi, ∀i = 1, n. Hình hộp mở P (a1; b1, . . . , an; bn) là tập các véctơ x = (x1, . . . , xn) mà các thành phần xi của chúng thoả mãn các bất đẳng thức ai < xi < bi, ∀i = 1, n. Hình hộp đóng-mở P (a1; b1, . . . , an; bn) là tập các véctơ x = (x1, . . . , xn) mà các thành phần xi của chúng thoả mãn một số bất đẳng thức hoặc đẳng thức ai ≤ xi ≤ bi, ∀i = 1, n, trong đó chỉ có một số nhất định các dấu bằng xảy ra. Mệnh đề 6.1.6 1. Các hình cầu đóng (tương ứng, mở) lập thành cơ sở các tập đóng (tương ứng, mở) của tôpô trong Rn. 2. Các hình hộp đóng (tương ứng, mở) lập thành cơ sở các tập đóng (tương ứng, mở) của tôpô trong Rn. 3. Tôpô trong hai khẳng định trên là cùng đồng phôi với tôpô chuẩn trong Rn Chứng minh. Để chứng minh một hệ X các tập con lập thành một tôpô, chúng ta cần kiểm tra các tiên đề cơ sở của một tôpô. Điều này đúng vì:
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 65 • ∅, Rn ∈ X . • Trong giao của hai hình cầu (hay hình hộp) mở có chứa một cầu (tương ứng, hộp) mở. Tương tự với các cầu hay các hộp đóng. Để chứng minh các tôpô tương ứng với cầu hay hộp đều tương đương nhau, chúng ta chỉ cần chỉ ra là trong mỗi cầu mở có chứa ít nhất một hộp mở và ngược lại. Chúng tôi dành phần kiểm tra chi tiết cho người đọc. Từ đó ta có hệ quả tự nhiên là Hệ qủa 6.1.7 Ánh xạ f = (f 1, . . . , f m): Rn → Rm là liên tục khi và chỉ khi các thành phần f i = f i(x1, . . . , xn) là hàm liên tục Chứng minh. Tất cả dễ dàng suy ra từ nhận xét rằng ||xk − x|| → 0 khi và pPn i i 2 chỉ khi i=1(xk − x ) → 0. Phép biến đổi (đồng phôi) biến các hình hình học tương đương vào nhau được gọi là phép biến hình. Tập các phép biến hình cùng với phép hợp ánh xạ lập thành một nhóm, gọi là nhóm biến đổi . Nếu các phép biến hình là đẳng cự thì coi chúng là tương đương nhau (đồng nhất với nhau). Tôpô đại cương nghiên cứu các hình hình học sai khác một đồng phôi (đẳng cự). Bài toán nghiên cứu truyền thống của hình học là phân loại các hình hình học và nghiên cứu các tính chất nội tại của từng hình hình học. 6.2 Đạo hàm riêng và vi phân Chúng ta đã xác định đối tượng của hình học Euclid là Rn và các vật thể hình học trong nó, được cấu tạo từ các mảnh cầu, hay mảnh phẳng. Nghiên cứu các đối tượng này được hiểu theo nghĩa thông thường là tìm các vị trí tương đối trong không gian và tìm các đặc trưng bằng số của chúng như khối lượng, thể tích, Bài toán trở nên phức tạp hơn nhiều nếu các hình đó không được ghép từ các mảnh cầu hay mảnh phẳng. Để giải quyết nhiều bài toán tương tự trong đó có cả các bài toán về vị trí tương đối, tiếp xúc, tiếp điểm, chúng ta cần tới công cụ mới hơn những công cụ thông thường như đã nói ở trên. Đó chính là lí do chúng ta cần đưa phép tính vi phân và tích phân vào trong hình học. Định nghĩa 6.2.1 Cho y = f(x), f : Rn → Rm. Chúng ta nói rằng ánh xạ n f là khả vi tại điểm x0 ∈ R , nếu tồn tại một ánh xạ tuyến tính n m λ = λ(x0): R → R
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 66 sao cho ||y − y0 − λ(x0)(x − x0)|| = o(||x − x0||), với y0 = f(x0), với mọi x trong lân cận đủ bé của x0. Ánh xạ tuyến tính λ(x0), nếu nó tồn tại, được gọi là đạo ánh của ánh xạ f tại điểm x0 và được 0 kí hiệu bằng một trong các kí hiệu cơ bản quen biết f (x0), f∗(x0), Df(x0), Df(x0) Dx , Dy/Dx|x0 . Nếu chúng ta cố định tất cả các biến trừ một biến xi, thì chúng ta có một hàm một biến, giá trị véctơ 1 i n n f(x0, . . . , x , . . . , x0 ): R → R , theo biến xi. Đạo ánh của ánh xạ này gọi là đạo hàm riêng của ánh xạ theo biến xi và được kí hiệu là ∂f(x ) Df(x ) 0 = 0 = D f(x ) = f 0(x ). ∂xi Dxi i 0 i 0 Giả sử `(x0) là một đường thẳng dạng x0 + tξ(x0) đi qua điểm x0. Khi đó ta có ánh xạ một biến n f ◦ ` = f(`(x0 + tξ(x0))) : R → R . Df◦`(x0+tξ(x0)) Định nghĩa 6.2.2 Đạo ánh Dt gọi là đạo hàm (đạo ánh) của f theo hướng ξ tại điểm x0 và được kí hiệu là (ξf)(x0). Chúng ta có công thức liên hệ nó với các đạo hàm riêng n X ∂f(x) (ξf)(x) = ξi(x). ∂xi i=1 Df(x) Nhận xét 6.2.3 Đạo ánh Dx , nếu nó tồn tại, là duy nhất. Thật vậy, giả sử λ1(x) và λ2(x) là hai đạo ánh của cùng một ánh xạ f tại cùng một điểm x. Khi đó, ||λ1(x)h − λ2(x)h|| ≤ ||λ1(x)h − f(x + h) + f(x)||+ n +||f(x + h) − f(x) − λ2(x)h|| = 2o(||h||), ∀h ∈ R . Bởi thế nên λ1(x) ≡ λ2(x), ∀x. Định lí 6.2.4 1. Nếu f là một ánh xạ hằng (nhận một giá trị véctơ cố định) thì Df(x) = 0, ∀x ∈ Rn
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 67 2. Nếu f : Rn → Rm là một ánh xạ tuyến tính thì Df(x) = f(x), ∀x ∈ Rn. 3. Ánh xạ f : Rn → Rm là khả vi tại a ∈ Rn khi và chỉ khi các hàm thành phần f i : Rn → R là khả vi tại a và ta có  Df 1(a)  Df(a) =   Df m(a) Nói cách khác Df(a) là một ma trận mà mỗi hàng thứ i của nó có các thành phần là đạo hàm riêng thứ j của thành phần f i. Ma trận đó còn được gọi là ma trận Jacobi cuả ánh xạ tại điểm a và kí hiệu là Df(a) Jacx(f)(a) = Dx Chứng minh. Những tính chất 1. và 2. kể trên giống như những tính chất quen biết của hàm số một biến. Để chứng minh tính chất 3. chỉ cần phân tích ánh xạ f theo các hàm thành phần n X i f = f ei. i=1 Chúng tôi dành cho bạn đọc kết thúc chứng minh chi tiết. Định lí 6.2.5 Nếu f : Rn → Rm là ánh xạ khả vi tại a ∈ Rn và g : Rm → Rp là ánh xạ khả vi tại f(a), thì hàm hợp g ◦ f : Rn → Rp là ánh xạ khả vi tại a và ta có D(g ◦ f)(a) = Dg(f(a))Df(a). Chứng minh. Chúng ta có công thức g(f(x)) − g(f(a)) − Dg(f(a))Df(a)(x − a) = = g(f(x)) − g(f(a)) − Dg(f(a))(f(x) − f(a) + o(||x − a||)) = = o(||f(x) − f(a)||) + Dg(f(a))(o(||x − a||)). Cả hai số hạng đều là o-nhỏ của đại lượng ||x = a|| nên tổng cũng là một đại lượng vô cùng bé o(||x − a||). ∂ Ta thấy rằng các đạo hàm riêng ∂xi , xem như các ánh xạ tuyến tính áp 1 n ∂f(x) lên hàm f = f(x , . . . , x ) theo qui tắc f 7→ ∂xi là độc lập tuyến tính với nhau trong không gian các ánh xạ tuyến tính từ Rn vào R. Chúng lập thành một cơ sở tuyến tính. Cơ sở tuyến tính đối ngẫu với nó được đồng nhất với các vi phân dx1, . . . , dxn.
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 68 Định nghĩa 6.2.6 Tổ hợp tuyến tính n X ∂f(x1, . . . , xn) df := dxi ∂xi i=1 được gọi là vi phân toàn phần của hàm f : Rn → R. Định lí 6.2.7 Giả sử ϕ : Rn → Rn là một phép đồng phôi, thực hiện việc đổi biến y = ϕ(x). Khi đó chúng ta có công thức đổi biến sau: n ∂f X ∂f ∂yk = , ∂xi ∂yk ∂xi i=1 n X ∂xi dxi = dyk, ∂yk i=1 n n X ∂f(x1, . . . , xn) X ∂f df = dxi = dyi. ∂xi ∂yi i=1 i=1 Nghĩa là vi phân toàn phần của một hàm số không phụ thuộc việc chọn biến địa phương. Chứng minh. Định lí được suy ra trực tiếp từ công thức đạo hàm của hàm hợp, cùng với nhận xét rằng n X ∂xi ∂yk = δ . ∂yk ∂xj ij k=1 6.3 Định lí hàm (ánh xạ) ngược Định lí 6.3.1 (Định lí ánh xạ ngược) Giả sử f : Rn → Rn khả vi liên tục trong lân cận mở của điểm a ∈ Rn và Df(a) là khả nghịch. Khi đó tồn tại một lân cận mở V chứa a và một lân cận mở W chứa f(a) sao cho ánh xạ f : V → W là khả nghịch, có ánh xạ ngược f −1 : W → V là khả vi đối với mọi y ∈ W và D(f −1) Df −1 = (f −1(y)) . Dy Dx
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 69  Dx1  Dy Chứng minh. Để cho tiện, ta sẽ kí hiệu Dx là véctơ cột   và Dx = Dxn Df(x) Dx là ma trận Jacobi của ánh xạ tại điểm x. Khi đó chúng ta có thể viết Df(x) Dy = Dx. Dx Df(x) Df(x) Từ đó suy ra là nếu Dx là khả nghịch, Dx liên tục trong lân cận của điểm a, thì tồn tại lân cận mở W của điểm f(a) để ma trận Jacobi luôn là khả nghịch trên đó. Điều này dễ thấy từ công thức tính ma trận nghịch đảo ∞ X n f −1(x) = f −1(a) I − f −1(a)f(x) . n=0 Tức là, nếu Df(a) khả nghịch thì trong lân cận đủ nhỏ W của điểm f(a) thì các ma trận Jacobi chuỗi là hội tụ tuyệt đối và Df(x) cũng là khả nghịch. Trong lân cận đó chúng ta có phương trình Df(x)−1 Dy = Dx. Dx Thay biểu thức x = f −1(y) ta có công thức cần chứng minh. Để chứng minh tính khả vi của hàm ngược, chúng ta cần dùng đến định lí về điểm trung bình: Với các gía trị x đủ gần với điểm x0, giá trị y = f(x) cũng đủ gần với điểm y0 = f(x0). Do giả thiết liên tục của đạo ánh tại lân cận của điểm x + 0, chúng ta có công thức giá trị trung bình Df(˜x) y − y = (x − x ), 0 Dx 0 Df(x) trong đó x˜ là một điểm trong lân cận đủ bé của x0. Do ánh xạ Dx là liên tục trong lân cận điểm x0 nên nó cũng khả nghịch trong lân cận đủ bé của điểm đó. Tức là chúng ta có Df(˜x)−1 (y − y ) = x − x . Dx 0 0 Chuyển qua giới hạn chúng ta được điều cần thiết. Chúng tôi dành cho độc giả tiếp tục thực hiện nốt các chi tiết chứng minh.
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 70 6.4 Định lí hàm (ánh xạ) ẩn Chúng ta kí hiệu các véctơ đạo hàm riêng ∂f(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym) ∂f(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym) , , ∂x1 ∂xn đơn giản là Dxf(x, y), tương tự, ∂f(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym) ∂f(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym) , , ∂y1 ∂ym đơn giản là Dyf(x, y). Định lí 6.4.1 (Định lí ánh xạ ẩn) Giả sử rằng ánh xạ F : Rn × Rm → Rm là khả vi liên tục trong một tập mở chứa (a, b) ∈ Rn ×Rm và F (a, b) = 0. Giả sử ma trận Jacobi có ma trận con khả nghịch DyF (a, b). Khi đó tồn tại một lân cận mở A ⊆ Rn, chưá a, và một tập mở B ⊆ Rm chứa b sao cho tồn tại duy nhất một ánh xạ khả vi f : A → B, gọi là ánh xạ ẩn nghiệm đúng phương trình F (x, f(x)) ≡ 0, ∀x ∈ A. Đạo hàm của ánh xạ ẩn f(x) được tính theo công thức DF (x, y)−1 D f(x) = − D F (x, y). x Dy x Chứng minh. Giả sử đã có tồn tại một ánh xạ ẩn như vậy. Chúng ta có ngay công thức tính đạo hàm toàn phần Df(x) D F (x, y) + D F (x, y) ≡ 0. x y Dx Từ đó suy ra ngay công thức tính đạo ánh của ánh xạ ẩn. Để chứng minh sự tồn tại ánh xạ ẩn f(x), chúng ta nhận xét rằng ánh xạ F˜(x, y) := (x, F (x, y)) sẽ là một đồng phôi từ Rn+m vào chính nó. Ma trận Jacobi của F˜  I 0  ˜ Jac(x,y)F (x, y) =   . DxF (x, y) DyF (x, y) là khả nghịch cho nên theo định lí ánh xạ ngược tồn tại ánh xạ ngược của F˜. Thành phần thứ nhất của F˜ là ánh xạ đồng nhất cho nên thành phần thứ hai của ánh xạ ngược F˜−1 xác định ánh xạ f cần tìm.
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 71 6.5 Bó các hàm trơn Từ Định lý ánh xạ ẩn ta suy ra: với mỗi điểm (x, y) là nghiệm của hệ F (x, y) = 0 luôn tồn tại một lân cận mở U của điểm x và một lân cận mở V của điểm y sao cho f : U → V là một ánh xạ trơn. Định nghĩa 6.5.1 Hàm ϕ :(x, y) 7→ ϕ(x.y) ∈ C trên tập nghiệm M của hệ phương trình F (x, y) = 0 thoả mãn điều kiện trong định lý hàm ẩn h ∂F i Jacy(F ) = ∂y là khả nghịch, được gọi là trơn nếu hợp của nó với f : U → V là một hàm trơn trên U. Kí hiệu C∞(U) là tập tất cả các hàm trơn trên lân cận U của điểm x trên tập nghiệm M. Mệnh đề 6.5.2 Hàm ϕ là trơn khi và chỉ khi ϕ ◦ ξ là trơn trong ξ(U) với mọi phép vi phôi ξ : U → U. Nói một cách khác khái niệm hàm trơn không phụ thuộc vào việc chọn hệ tọa độ địa phương x = (x1, . . . , xr). Định lí 6.5.3 Các tập mở U trong định lí ánh xạ ẩn lập thành một phủ mở của tập nghiệm. Các đại số C∞(U) có các tính chất bó sau đây: ∞ ∞ 1. Tồn tại ánh xạ hạn chế r : C (U) C (U1), nếu U1 là tập con trong U. 2. Nếu U = ∪Uα thì có dãy khớp ∞ Y ∞ Y ∞ 0 −→ C (U) −→ C (Uα) −→ C (Uα ∩ Uβ). α α,β Chứng minh. Mệnh đề thứ nhất là hệ quả trực tiếp của định lý hàm ẩn. Mệnh đề thứ hai cũng được suy ra từ đó vì khi điểm x thuộc giao của hai lân cận địa phương trong định lí hàm ẩn thì chúng phải là xác định duy nhất trên giao. Định nghĩa 6.5.4 Một hàm trên tập nghiệm M của hệ phương trình F (x, y) = h ∂F i 0 với Jacy(F ) = ∂y là khả nghịch, được gọi là trơn nếu hạn chế của nó lên các tập mở trong phủ nói trên là các hàm trơn và thoả mãn tính chất bó. Kí hiệu C∞(M) là bó các đại số các hàm trơn nói trên. Nó được gọi là bó cấu trúc của M. Định nghĩa 6.5.5 Nếu M là tập nghiệm của hệ phương trình F (x, y) = 0 thoả mãn điều kiện có ma trận Jacobi trên các điểm thuộc tập nghiệm, có hạng không đổi r = rank(Jac(F )(x, y) thì cặp (M, C∞(M)) được gọi là một đa tạp và C∞(M) được gọi là bó cấu trúc .
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 72 Ví dụ. 1 1. Vòng tròn đơn vị có thể xem là hợp của hai tập mở U1 = S \{N} 1 trong đó N là điểm cực bắc, U2 = S \{S} với S là điểm cực nam. ∞ ∼ ∞ ∼ ∞ C (U1) = C (U2) = C (R). Dễ viết một cách tường minh công thức đổi biến từ U1 sang U2 và ngược lại (!). Bó cấu trúc của S1 là các hàm trơn trên toàn bộ vòng tròn đơn vị. 2. Xuyến hai chiều T = S1 × S1 có thể chia thành hợp của các tập mở 2 1 1 1 đồng phôi với R : U11 = (S \{N})×(S \{N}),U12 = (S \{N})× 1 1 1 1 1 (S \{S}),U21 = (S \{S}) × (S \{N}),U22 = (S \{S}) × (S \{S}). ∞ ∼ ∞ 2 Mỗi C (Ui) = C (R ). Chúng được xếp lại với nhau một cách tự nhiên, sau này sẽ thấy là "định hướng". 3. Lá M¨obiuscó thể xem là hợp của hai bản đồ địa phương U1 = L \ (I × {0}),U2 = L \ ({0} × I). Chúng được xếp lại một cách "không định hướng”. Mặc dù các bó hàm trơn địa phương đều là C∞(R2). 4. Không gian xạ ảnh RPn là không gian các đường thẳng qua gốc tọa độ trong Rn+1. Bằng cách tọa độ hoá, RPn là tập các điểm trong Rn+1 với toạ độ thuần nhất (x0 : x1 : : xn) theo nghĩa, mỗi bộ toạ độ 0 0 0 đó là một lớp tương đương (x0, x1, . . . , xn) ∼ (x0, x1, . . . , xn) khi và chỉ 0 khi tồn tại một số k 6= 0 để xi = kxi, i = 1, n. Do vậy có phủ mở là không gian con các bộ toạ độ thuần nhất với số 1 ở một vị trí thứ i. n RP = ∪Ui,Ui = {(x0 : x1 : : xn), xi = 1}. n Đây là hệ phương trình trong toạ độ địa phương. Mỗi Ui ∼ R . Nên ∞ ∼ ∞ n bó cấu trúc có dạng C (Ui) = C (R ). 5. Tương tự, không gian xạ ảnh phức CPn là một đa tạp. 6. Chai Klein là hai lá M¨obius đồng nhất hai biên tương ứng với nhau. Mỗi bó hàm trơn địa phương cũng là C∞(R2) nhưng toàn cục chúng được sắp xếp rất không định hướng. Theo định lí ánh xạ ẩn, có tồn tại một hệ các hàm tọa độ cong trên mỗi tập mở trong không gian nghiệm, đồng phôi với Rn−r Định nghĩa 6.5.6 Nếu ϕ : Rn−r → U ⊆ M là một vi phôi xây dựng theo định lí hàm ẩn thì ảnh của hệ tọa độ tuyến tính trong U là các đường cong mà phương tiếp tuyến luôn lập thành cơ sở. Khi đó ta nói là ta có một bản đồ toạ độ địa phương (U, x1, . . . , xn−r).
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 73 Nhận xét 6.5.7 Nhận xét rằng hệ (x1, . . . , xn) là một hệ sinh của đại số hàm trơn C∞(U) theo nghĩa hàm, tức là mọi hàm khác đều là hợp của các hàm này với một hàm nào đó trên U. Nhận xét 6.5.8 Hệ các bản đồ toạ độ điạ phương lập thành một phủ mở của đa tạp nghiệm. Cấu trúc vi phân được xác định bởi tính chất của đại số các hàm trơn C∞(U) và các hàm chuyển tọa độ. Trên thực tế theo phương pháp đại số, bó các nhát cắt toàn cục, tức là các hàm trơn toàn cục xác định cấu trúc vi phân. 6.6 Bài tập củng cố lý thuyết 1. Tìm hàm số có mọi đạo hàm riêng liên tục nhưng không khả vi tại một điểm. 2. Tìm ví dụ hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm tại số đếm được các điểm. 3. Cho hàm số f : R2 → R, xác định bởi công thức ( (x2 + y2) sin √ 1 với (x, y) 6= (0, 0), f(x, y) = x2+y2 0 với (x, y) = (0, 0). Chứng minh rằng f khả vi tại điểm (0, 0) nhưng các đạo hàm riêng Dxf, Dyf gián đoạn tại (0, 0). 4. Dùng hàm số f : R → R, xác định bởi công thức x + x2 sin 1 nếu x 6= 0, f(x) = 2 x 0 nếu x = 0. Hãy chứng minh rằng giả thiết liên tục trong định lí ánh xạ ẩn là không thể bỏ đi được. 5. Giả sử rằng ánh xạ f : Rn → Rn là khả vi và có ánh xạ ngược f −1 cũng khả vị Chứng tỏ rằng (f −1)0(f(a)) = (f 0(a))−1; nói một cách khác, nếu ánh xạ cho bởi y = f(x), thì Dx Dy −1 = . Dy Dx
MATHEDUCARE.COM Chương 7 Đa tạp khả vi Với phép toán vi phân, chúng ta có thể nghiên cứu nhiều tính chất của đa tạp: trước hết chúng ta có thể định nghĩa một cách chính xác khái niệm đa tạp, đa tạp con, đa tạp thương, phân thớ tiếp xúc, phân thớ đối tiếp xúc, v.v Tôpô các đa tạp được nghiên cứu trong những năm gần đây. Trong chương này chúng ta sẽ chỉ giới thiệu một vài thành tựu đáng kể. 7.1 Định nghĩa. Ví dụ Trong phần cuối chương trước chúng ta đã đi đến một sự kiện là tập nghiệm của một hệ phương trình hàm có thể xem như là một đa tạp mà mỗi điểm đều có một lân cận mở vi phôi với Rn. Điều này dẫn đến một khái niệm tổng quát là đa tạp, đối tượng nghiên cứu của hình học vi phân. Định nghĩa 7.1.1 Giả sử M là một không gian tôpô Hausdorff khả ly Nếu trên M có tồn tại một phủ mở bởi các tập mở Uα, α ∈ I và với mỗi α ∈ I n tồn tại một vi phôi ϕα : R → Uα. Ta nói mỗi (Uα, ϕα) là một bản đồ toạ độ địa phương. Ảnh của một hệ toạ độ Descartes là một hệ các đường cong có tiếp tuyến trực giao, được gọi là hệ toạ độ điạ phương và kí hiệu đơn giản là (x1, . . . , xn). Giả sử các bản đồ điạ phương tương thích với nhau theo nghĩa sau: −1 Với mọi điểm trên phần giao Uα ∩ Uβ, mọi ánh xạ ϕβ ◦ ϕα : ϕ−1 −1 n ϕα β n ϕα (Uα ∩ Uβ) ⊆ R −−−→ Uα ∩ Uβ −−−→ ϕβ(Uα ∩ Uβ) ⊆ R là khả vi (trơn). 74
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 75 Khi đó ta nói rằng tập bản đồ lập thành một tập bản đồ khả vi (trơn). Hai tập bản đồ trơn được coi là tương đương nhau nếu hợp của chúng lại là một tập bản đồ trơn. Một lớp tương đương của một tập bản đồ trơn được gọi là một cấu trúc trơn. Một không gian tôpô M cùng với một cấu trúc trơn được gọi là một đa tạp khả vi (trơn). Nhận xét 7.1.2 Khái niệm về cấu trúc trơn cho ta một định nghĩa rất cấu trúc cho khái niệm đa tạp. Rất tiếc là khái niệm đã đưa đến những điều kịch tính không ngờ tới. Định lí 7.1.3 (Luận án Tiến sĩ của J. Milnor) 1 Trên mặt cầu S7 có đúng 28 cấu trúc trơn không tương đương nhau. Kịch tính hơn nữa ta có thể kể tới một định lí phân loại cấu trúc trơn trên R4. 2 Định lí 7.1.4 Trên Rn, n 6= 4 chỉ có duy nhất một cấu trúc trơn thông thường. Trên R4 có continuum các cấu trúc trơn không tương đương vi phôi với nhau. Lý do vì đâu có hiện tượng lạ kì đó? Toán học chưa có câu trả lời thật xác đáng! 7.2 Ánh xạ trơn giữa các đa tạp Định nghĩa 7.2.1 Giả sử ta có một ánh xạ f : M → N giữa hai đa tạp khả vi (M, {(Uα, ϕα)}α∈I ) và (N, {(Vβ, ψβ)}β∈J ). Ta nói rằng ánh xạ f là khả vi −1 (trơn), nếu với mọi α ∈ I và β ∈ J, ψβ ◦ f ◦ ϕα là các ánh xạ trơn. Nhận xét 7.2.2 Từ định nghĩa trên ta thấy, một ánh xạ là trơn khi và chỉ khi các hàm đổi tọa độ địa phương là các ánh xạ khả vi. Mệnh đề 7.2.3 Mỗi hệ toạ độ điạ phương xác định một ánh xạ khả vi từ Rn vào đa tạp M. 1J. Milnor là một nhà đại số rất lớn. Tuy nhiên ông ta đã bắt đầu sự nghiệp bằng luận án tuyệt vời về tôpô học. Kết qủa này thường được nhắc tới như một kì quan chiêm nghiệm toán học 2Một trong những người có đóng góp đáng kể và sáng giá nhất là Donaldson, làm được trong thời gian làm nghiên cứu sinh ở Oxford. Anh ta đã được giải thưởng Fields nhờ kết quả nàỵ
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 76 Chứng minh. Xem ánh xạ tọa độ như một ánh xạ giữa đa tạp Rn và M, khi đó mỗi hệ tọa độ điạ phương đều có hàm chuyển là ánh xạ trơn cho nên chúng liên hệ với nhau một cách trơn. ∂ Định nghĩa véctơ tiếp xúc với đa tạp tại x ∈ M là các véctơ ∂xi := (ϕα)∗ei, trong đó  0   .   .    ei =  1     0  Giả sử ϕ : X → Y là một ánh xạ trơn giữa hai đa tạp, x ∈ X, y = ϕ(x) ∈ Y . Nếu x(t) là một đường cong trong X đi qua điểm x, x(0) = x thì ϕ(x(t)) là đường cong trong Y , đi qua y. Do đó có véctơ tiếp xúc d T ϕ(ξ) := | ϕ(x(t)). x dt t=0 Tương ứng này xác định một đạo ánh Dϕ = Tx(ϕ): TxX → TyY. Đạo ánh là một ánh xạ tuyến tính, do vậy ánh xạ đối ngẫu ∗ ∗ ∗ Tx (ϕ): Ty Y → Tx X cũng là một ánh xạ tuyến tính. Định lí 7.2.4 (Vi phôi địa phương) Các mệnh đề sau đây là tương đương: 1. Ánh xạ ϕ : X → Y là một vi phôi địa phương. 2. Đạo ánh Tx(ϕ): Tx → TyY là một đẳng cấu. ∗ ∗ ∗ 3. Ánh xạ đối ngẫu Tx (ϕ): Ty Y → Tx X là một đẳng cấu. Chứng minh. Sử dụng Định lí ánh xạ ngược.
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 77 7.3 Phân thớ tiếp xúc, đối tiếp xúc 7.3.1 Không gian tiếp xúc. Phân thớ tiếp xúc Trong lân cận toạ độ của mỗi điểm x ∈ X trên đa tạp X, mọi không gian tiếp xúc TxX là đẳng cấu tuyến tính với nhau. Bởi thế nên ta có thể xây dựng một đồng phôi tự nhiên n (ϕ, Jac(ϕ)) : W × R → ∪x∈U TxU như là các tập mở trong R2n. Mệnh đề 7.3.1 Không gian [ TX := TxX x∈X có cấu trúc của một đa tạp trơn. Chứng minh. Giả sử {(Uα, ϕα)}α∈I là tập bản đồ địa phương, xác định cấu trúc đa tạp. Khi ta thay đổi toạ độ điạ phương từ bản đồ (Uα, ϕα) sang bản đồ (Uβ, ϕβ), trên miền giao Uα ∩ Uβ ta có phép biến đổi toạ độ trơn giữa các toạ độ theo công thức đạo ánh của ánh xạ hợp: (x, ξ(x)) 7→ (y, η(y)), với −1 y = ϕβ ◦ ϕα(x) và −1 η(y(x)) = Jacx(ϕβ ◦ ϕα)(x)ξ(x). Nhận xét 7.3.2 Phép chiếu tự nhiên từ TX lên X cho tương ứng mỗi véctơ tiếp xúc với điểm gốc của nó cho ta một ánh xạ trơn giữa các đa tạp p : TX → X Định nghĩa 7.3.3 Bộ ba (T X, p, X) được gọi là phân thớ tiếp xúc với đa tạp X. Mỗi ánh xạ trơn s : X → TX cho tương ứng với mỗi điểm x ∈ X một véctơ tiếp xúc ξ(x) ∈ TxX, tức là p ◦ s = IdX được gọi là một trường véctơ trơn trên đa tạp X. 1 n ∂ Ví dụ. Giả sử điểm x có toạ độ điạ phương là (x , . . . , x ) Ta kí hiệu ∂xi là ảnh cuả véctơ ei = (0, , 1 , , 0). |{z} ith Chúng ta có quy tắc đổi biến theo đạo hàm cuả hàm hợp: ∂ ∂yj ∂ = . ∂xi ∂xi ∂yj
MATHEDUCARE.COM Hình học vi phân 78 ∂ Nhận xét 7.3.4 Tại mỗi điểm cuả đa tạp, các trường véctơ ∂xi là ảnh đẳng cấu cuả cơ sở trực chuẩn ei, i = 1, n. Bởi vậy chúng độc lập tuyến tính, và một véctơ tiếp xúc bất kì được phân tích thành tổ hợp tuyến tính theo chúng. Dạng tổng quát của một trường véctơ viết trong toạ độ điạ phương là n X ∂ ξ(x) = ξi(x) . ∂xi i=1 Chúng ta kí hiệu không gian vétơ các trường véctơ trơn trên đa tạp X là V ect(X). 7.3.2 Không gian đối tiếp xúc. Phân thớ đối tiếp xúc Định nghĩa 7.3.5 Giả sử X là một đa tạp trơn, x ∈ X là một điểm tuỳ ý, ∗ TxX là không gian tiếp xúc với đa tạp tại điểm x. Chúng ta kí hiệu Tx X = HomR(TxX, R) là không gian đối ngẫu với không gian véctơ TxX và gọi là không gian đối tiếp xúc . Nhận xét 7.3.6 Khái niệm không gian tiếp xúc không phụ thuộc vào việc chọn hệ toạ độ địa phương, tức là một khái niệm hình học. Do vậy không gian đối tiếp xúc cũng là một khái niệm hình học. Nhận xét 7.3.7 Trong một lân cận toạ độ điạ phương của mỗi điểm x trên đa tạp, các không gian đối tiếp xúc là đẳng cấu với nhau và đẳng cấu tuyến tính với không gian Euclide n-chiều Rn. Bởi thế nên chúng ta có đồng phôi −1 ∗ n ≈ S ∗ (ϕ, Jacx(ϕ ) ): W × R −−−→ x∈U Tx U như là các tập mở vi phôi trong R2n. Mệnh đề 7.3.8 Không gian ∗ [ ∗ T X = Tx X x∈X có cấu trúc đa tạp trơn. Chứng minh. Giả sử {(Uα, ϕα)}α∈I là tập bản đồ điạ phương, xác định cấu trúc đa tạp. Khi ta thay đổi hệ toạ độ điạ phương từ bản đồ (Uα, ϕα) sang bản đồ (Uβ, ϕβ), thì trên phần giao của chúng, ta có phép biến đổi trơn giữa các toạ độ theo công thức vi phân của hàm hợp.