Giáo trình Không gian Mêtric - Nguyễn Hoàng (Phần 1)

Nội dung text: Giáo trình Không gian Mêtric - Nguyễn Hoàng (Phần 1)

1. ĐẠI HỌC HUẾ TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỪ XA TS. NGUYỄN HOÀNG GIÁO TRÌNH KHÔNG GIAN MÊTRIC (CƠ SỞ GIẢI TÍCH) Huế - 2007 1
2. MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU 3 A. KIẾN THỨC BỔ SUNG 5 § 1 TẬP HỢP SỐ THỰC 5 §2. LỰC LƯỢNG CỦA CÁC TẬP HỢP 10 B. KHÔNG GIAN MÊTRIC 16 §1. KHÁI NIỆM MÊTRIC. 16 BÀI TẬP 21 §2.TẬP MỞ VÀ TẬP ĐÓNG 23 BÀI TẬP 30 §3. ÁNH XẠ LIÊN TỤC 32 BÀI TẬP 37 $4 KHÔNG GIAN MÊTRIC ĐẦY ĐỦ 38 BÀI TẬP 50 §5 KHÔNG GIAN COMPACT 52 BÀI TẬP 67 §6. KHÔNG GIAN LIÊN THÔNG 69 BÀI TẬP 71 C. LỜI GIẢI VÀ HƯỚNG DẪN 72 PHẦN A 72 PHẦN B 73 TÀI LIỆU THAM KHẢO 87 2
3. LỜI NÓI ĐẦU Giáo trình này được viết dựa trên bài giảng cho sinh viên khoa Toán trường ĐHSP Huế trong những năm vừa qua. Học phần này có mục đích trang bị những kiến thức căn bản về giải tích hiện đại mà bất cứ sinh viên Toán nào cũng phải nắm được. Khác với giải tích cổ điển, trong đó người ta làm việc chủ yếu trên tập IRk các bộ k số thực, ở đây các khái niệm cơ bản của giải thích như lân cận, giới hạn liên tục được xét trong không gian tổng quát hơn mà phần tử của nó có thể là các đối tượng tuỳ ý miễn sao có thể xác định được khoảng cách giữa hai phần tử đó. Ngoài một cách bản chất và sâu sắc những kiến thức về giải thích cổ điển đã học trong những năm trước, cũng như chuẩn bị để học tốt các học phần tiếp theo như lý thuyết độ đo, tích phân, giải tích hàm Các khá nhiều sách viết về không gian mêtric, tuy nhiên người ta thường chỉ trình bày những kiến thức đủ dùng cho mục đích của cuốn sách đó nên chưa có một giáo trình tương đối hoàn chỉnh riêng cho phần lý thuyết này. Ở đây, bạn đọc sẽ thấy nhiều bài tập được đưa vào với tư cách rèn luyện tư duy và đồng thời cũng có thể xem như bài bổ sung lý thuyết. Phần lớn các bài tập đều có lời giản tóm tắt hoặc chi tiết. Điều này có lẽ sẽ mang lại lợi ích thiết thực rất hạn chế và cũng có ít sách giải bài tập để giúp cho sinh viên trong lúc học tập. Để học tốt học phần này, về nguyên tắc sinh viên chỉ cần nắm được những kiến thức sơ cấp về lý thuyết tập hợp và ánh xạ, phép qui nạp và các suy luận logic toán học. Cần phải biết diễn tả một mệnh đề bằng nhiều mệnh đề tương đương với nó cũng như hiểu và vận dụng cách chứng minh hay xây dựng các đối tượng bằng qui nạp hữu hạn. Tuy nhiên để có thể hiểu sâu sắc và nhất là làm được các bài tập. Ở đây, ngôn ngữ hình học được dùng để diễn tả các khái niệm không gian mêtric, nhưng đôi lúc có những vấn đề vượt ra khỏi trực giác và suy luận chủ quan thông thường. Do đó với từng khái niệm, người học nhất thiết phải hiểu thấu được định nghĩa, tự mình tìm được những ví dụ minh họa cho các định nghĩa đó. Như Dieudonne đã nói: trực quan hình học, cùng với sự đề phòng thích đáng là một người hướng dẫn rất đáng tin tưởng trong hoàn cảnh tổng quát Cuốn sách được chia làm hai phần. Phần kiến thức bổ sung nêu lại một cách có hệ thống các tính chất của tập số thực IR. Sinh viên tăng cường chú ý đến khái niệm infimum và suptemum của một tập số thực và cần sử dụng một cách thành 3
4. thạo, biên soạn. Về khái niệm lực lượng tập hợp, cần nắm được trong trường hợp nào thì một tập là đếm được, Phần thứ hai là phần chính của chương trình. Có nhiều con đường để trình bày các khái niệm. Ở đây chúng tôi chọn cách tiếp cận với ngôn ngữ thường dùng, một mặt để người học dễ nhớ, mặt khác phần nào giải thích lý do đưa ra tên gọi như vậy. Tuy nhiên, nhất thiết phải được hiểu theo đúng định nghĩa. Các khái niệm quan trọng phải kể đến là hội tụ, mở, đóng, liên tục, đầy đủ, compact Đặc trưng phần này là nặng về suy luận hơn tính toán, hơn nữa nhiều thuật ngữ chồng chất lên nhau làm người mới học thấy lúng túng. Vì thế sinh viên nên tìm thêm ví dụ và hình ảnh trực quan để dễ nhớ. Sau khi nắm được lý thuyết, các bạn tự mình giải các bài tập cẩn thận trước khi xem lời giải. Các bài tập khó hơn có đánh dấu * dành cho sinh viên khá, và phải có thời gian nghiền ngẫm nhiều hơn. Tác giả xin cám ơn các bạn trong tổ Giải tích khoa Toán trường ĐHSP Huế đã động viên góp ý khi viết cuốn sách này. Mong được nhận được những phê bình của các đồng nghiệp gần xa. Tác giả 4
5. A. KIẾN THỨC BỔ SUNG § 1 TẬP HỢP SỐ THỰC Chúng ta đã tiếp xúc nhiều với tập hợp số thực từ chương trình toán ở bậc phổ thông. Có nhiều cách xây dựng tập hợp số thực, chẳng hạn dùng nhát cắt Dedekind, các dãy cơ bản . của tập hợp số hữu tỉ Q. Ở đây với mục đích là hệ thống lại những kiến thức cần thiết cho giải tích, chúng tôi sẽ chọn một số mệnh đề cơ bản làm tiền đề để định nghĩa tập hợp số thực. Các tính chất còn lại được suy từ các tiên đề này. 1.1. Định nghĩa: Tập hợp số thực, ký hiệu IR là một tập cùng với các phép toán cọng + và nhân . xác định trên đó, thoả mãn các tiên đề sau: I. (IR, +) là một nhóm cọng Abel, tức là với mọi x, y, z thuộc IR ta có: x + y = y + x x + (y + z) = (x + y) + z (∃ 0 ∈ IR ) (∀ x ∈ IR ): x + 0 = 0 + x= x (∀ x ∈ IR)(∃ (-x)∈ IR): x + (-x) = 0 II. (IR*,.) là một nhóm phân Abel, trong đó IR* = IR \{0}, nghĩa là với mọi x, y, z thuộc IR*, ta có: xy = yx x( yz) = (xy) z (( ∃ 1 Є IR*) : x1= 1x = x (∀x ∈ IR*)(∃ x-1∈ IR*): xx -1 = x-1x = 1 (Ở đây để cho gọn, ta viết xy thay cho x.y) III. Phép nhân có tính chất phân phối đối với phép cọng: Với mọi x,y thuộc IR ta có: x(y + z) = xy+ xz Như thế IR cùng với các phép toán cọng và nhân lập thành một trường IV. IR là một trường được sắp thứ tự, nghĩa là trong IR có xác định một quan hệ thứ tự ‘≤’ thoả: 5
6. 1. x ≤ y và y ≤ z kéo theo x ≤ z 2. x ≤ y và y ≤ z tương đương x = y 3.Với hai phần tử tuỳ ý x,y Є IR thì hoặc x ≤ y hoặc y ≤ x 4. x ≤ y kéo theo x + z ≤ y + z với mọi z ∈ IR 5. 0 ≤ x và 0 ≤ y kéo theo 0 ≤ xy Nếu x ≤ y và x ≠ y thì ta viết x x . V. Ta gọi một nhát cắt trong IR là một cặp (A,B) các tập con của IR sao cho A, B khác trống, A ∩ B = Ø, IR = A ∪ B và với mọi a ∈ A, b ∈ B thì a x ( t.ư x1 β) (∃ x ∈ M) : x < β’ Nguyên lý supremum: Mọi tập con khác trống của IR có cận trên thì phải có supremum. Cũng vậy, mọi tập con khác trống của IR có cận dưới thì phải có infimum. Chứng minh: Giả sử M ≠ Ø và c là một cận trên của M. Ta hãy xét các tập hợp sau: 6
7. A ={x Є IR : (∃ a ∈ M) x ≤ a}; B ={y Є IR : (∀aЄ M) a c thì c’Є B. Với mọi z Є IR thì hoặc z Є A hoặc z Є B nên IR = A ∪ B. Nếu z Є A∩B thì có a ∈ M sao cho z ≤ a 0 là số dương, a 0)(∃n0)(∀n ≥ n0): ⎟ x – a⎟ 0 cho trước, theo điều kiện ii) có số nguyên n0 sao cho α – ε < xn0. Mặt khác, theo tính đơn điệu tăng của dãy (xn), ta có α – ε < xn0 ≤ xn < α + ε với mọi n ≥ n0. Khi đó:⎟ xn – α⎥ < ε với mọi n ≥ n0. Như vậy dãy (xn) hội tụ về α. Trường hợp (xn) là dãy đơn điệu giảm, bị chặn dưới cũng được chứng minh tương tự. 1.2.3. Các phần tử của tập IR: 0, 1, 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1 và -1, -2, -3 gọi là các số nguyên, ký hiệu tập các số nguyên là Z. Tập Z không có cận trên và cận dưới. Thật vậy, nếu Z có cận trên α thì dãy đơn điệu tăng 1, 2, 3 phải có giới hạn α; lúc đó α – 1 < p với một p nào đó của Z và thành ra α < p + 1 trái với α là -1 a cận trên. Ký hiệu Q = { ab = b , a, b Є Z, b ≠ 0} và gọi nó là tập hợp các số hữu tỉ, còn N là tập số nguyên dương (số tự nhiên) ta có bao hàm thức sau: 7
8. N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ IR Nguyên lý Archimède: Cho hai số thực a, b bất kỳ với a > 0. Khi đó tồn tại n Є N sao cho b < na. Thực vậy, do N không bị chặn trên (tức là không có cận trên) nên với số b b thực sẽ có n ∈ N để < n hay b < na a a 1.2.4. Các tập (a, b) = {x ∈ IR : a < x < b } và [a,b] = {x ∈ IR : a ≤ x ≤ b} lần lượt gọi là khoảng (hay khoảng mở) và đoạn (hay khoảng đóng). Một dãy đoạn {[an, bn]} gọi là thắt lại nếu [an+1,bn+1] ⊂ [an,bn] và lim (bn − a n ) = 0 n→∞ Nguyên lý Cantor: Mỗi dãy đoạn thắt lại có một phần tử duy nhất chung cho tất cả các đoạn ấy. Chứng minh: Giả sử ([an, bn])n là dãy đoạn thắt lại. Ta có: a1 ≤ a2 ≤ an+1 ≤ ≤ bn+1 ≤ bn ≤ ≤ b1 với mọi n Є N. Theo nguyên lý Weierstrass, dãy (an)n tăng, bị chặn trên (bởi b1 chẳng hạn) nên hội tụ về số ξ = sup {an}. Như thế an ≤ ξ với mọi n. Nếu ξ ∉ [ano, bno] với một n0 nào đó thì ắt hẳn bno < ξ. Đặt ε = ξ - bno. Khi đó với n đủ lớn thì ξ - a n < ξ - bno tức là bno < an! vô lý. Vậy ξ Є [an,bn] với mọi n. Mặt khác, nếu có ’ ’ ξ Є[an,bn] với mọi n thì⎥ ξ-ξ ⎥ ≤ bn – an. Do đó ’ 0 ≤⎥ ξ-ξ ⎥ ≤ lim(bn − an ) = 0 n→∞ hay⎥ ξ-ξ’⎥ = 0 nghĩa là ξ = ξ’ 1.2.5. Dãy (xn) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới. Điều này tương đương với: (∃a ∈ IR) (∀ n ∈ N):⎟ xn⎟ ≤ a Nguyên lý Bolzano –Weierstrass: Mọi dãy số thực bị chặn (xn)n đều có một dãy con hội tụ. Chứng minh: Theo giả thiết, tồn tại số a sao cho với mọi n Є N ta có – a ≤ xn ≤ a. Trong hai giai đoạn [-a,0] và [0,a] phải có một đoạn chứa vô số các phần tử xn (nếu không, hoá ra (xn)n chỉ có hữu hạn các số hạng). Ta gọi đoạn này là a1+ b1 [a1,b1].Chia hai đoạn này bằng điểm giữa c1= 2 . Trong hai đoạn [a1,c1] và [c1,b1] cũng có một đoạn chứa vô số các xn, ký hiệu đoạn này là [a2,b2] và lại a2 + b2 chia đôi đoạn này bởi điểm giữa c2 = v.v Tiếp tục quá trình đó ta thu 2 8
9. được một dãy đoạn thắt lại [ak, bk] (vì hiển nhiên [ak+1, bk+1] ⊂ [ak, bk] và bk – ak a = → 0 khi k → ∞). Theo nguyên lý Cantor, dãy đoạn này có duy nhất phần tử 2k ∞ chung ξ Є [ak ,bk ]. Vì mỗi đoạn [ak, bk] chứa vô số các phần tử xn nên ta kI=1 hãy lấy phần tử xn1 ∈ [a1, b1] rồi xn2 ∈ [a2, b2] với n2 > n1, xn3 ∈ [a3, b3], n3 > n2 khi đó (xnk)k là dãy con của dãy (xn)n và⎟xnk – ξ⎪ ≤ bk - ak → 0 (k → ∞), nghĩa là dãy (xnk) hội tụ về ξ. 1.2.6 Dãy số thực (xn)n được gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu: (∀ε > 0)(∃ n0)(∀ n ≥ n0)(∀ m ≥ n0) : ⎪xn –xm⎪ 0 cho trước sẽ có n0 sao cho với m, n ≥ n0 thì⎪xn – xm⎪ n0 thì ⎪x – ξ ⎪ ≤ ⎪x – x ⎪ +⎪ x – ξ ⎪ 1 b-a hay b - a > 1/n. Tương tự, có số nguyên p để p ≥ nb. Gọi q là số nguyên bé q-1 q-1 nhất thoả mãn q ≥ n, do đó q-1 1/n trở lên. Vậy ta q-1 tìm được số hữu tỉ r = n ∈ (a,b) Sự kiện phát biểu bởi định lý trên được gọi là tập số hữu tỉ Q trù mật trong tập số thực IR. Cũng từ định lý này, ta suy ra trong khoảng (a,b) có chứa vô số số hữu tỉ. 9
10. §2. LỰC LƯỢNG CỦA CÁC TẬP HỢP Cho một tập hợp A, có các phần tử là những đối tượng nào đó. Ta chưa quan tâm đến bản chất các đối tượng này. Trước hết hãy thử để ý đến “số lượng” các phần tử của tập hợp A. Có thể xảy ra một trong hai khả năng: - Nếu đếm hết được các phần tử của tập hợp A thì A được gọi là tập hữu hạn và số nguyên cuối cùng đếm tới chính là số lượng các phần tử của tập hợp A. - Nếu việc đếm các phần tử của tập hợp A không thể nào kết thúc được thì tập hợp A được gọi là tập hợp vô hạn. - Bây giờ chúng ta muốn so sánh “số lượng” các phần tử của hai tập A, B. Nếu trong hai tập này có ít nhất một tập hữu hạn thì việc so sánh trở nên dễ dàng nhờ việc đếm các phần tử. Trường hợp cả A lẫn B đề vô hạn thì cách đếm không thể thực hiện nên chưa so sánh được. Ta xét ví dụ sau. Ký hiệu B là tập hợp các số tự nhiên chẵn: B = {2,4,6, , 2n, } Hiển nhiên B là tập con thực sự của tập số tự nhiên N = {1, 2,3, }. Tuy nhiên chúng ta không thể quả quyết rằng “số lượng” các phần tử của N nhiều gấp đôi “số lượng” các phần tử của B. Mặt khác, thực chất của việc đếm là thực hiện một đơn ánh từ tập ta đếm vào tập số tự nhiên N và muốn biết hai tập hợp có cùng số lượng hay không, ta chỉ cần xem có thể thiết lập một song ánh giữa hai tập này ( tức là có thể cho tương ứng mỗi phần tử của tập này với một và chỉ một phần tử của tập kia) hay không. Bằng phương pháp này, việc so sánh “số lượng” phần tử của tập hữu hạn hay vô hạn vẫn còn hiệu lực. 2.1. Tập hợp tương đương: 2.1.1. Định nghĩa: Ta nói hai tập hợp A, B là tương đương với nhau nếu tồn tại một song ánh từ A lên B. 2.1.2. Ví dụ: 1. Hai tập hợp hữu hạn có cùng một số lượng các phần tử thì tương đương với nhau. 2. Ở ví dụ trong phần mở đầu, hai tập B = {2,4, ,2n, } và N tương đương với nhau vì ta có một song ánh từ N lên B xác định bởi n → 2n, n ∈ N. Nhận xét: Tập B có được từ N sau khi bỏ đi tất cả các số nguyên lẻ nhưng B vẫn tương đương với N. Điều này không thể xảy ra đối với các tập hữu hạn. 10
11. Do vậy, ta có định nghĩa khác (tương đương với định nghĩa trước) về tập hữu hạn và vô hạn như sau: Tập A được gọi là vô hạn nếu A tương đương với một tập con thực sự của nó. Tập A được gọi là hữu hạn nếu A không phải là tập vô hạn. 3. Tập (0,1) tương đương với tập (a,b) với a, b bất kỳ thuộc IR , a B . Người ta chứng minh được rằng, cho hai tập A, B bất kỳ bao giờ cũng xảy ra một và chỉ một trong ba trường hợp. 1. Xảy A = B (tức là A, B tương đương với nhau) 2 Xảy A B 2.2. Tập hợp đếm được: 2.2.1. Định nghĩa: Tập hợp A được gọi là tập hợp đếm được nếu A tương đương với tập số tự nhiên N. Nói cách khác, A đếm được nếu và chỉ nếu tồn tại một song ánh từ N lên A. Khi đó ta cũng nói A có lực lượng đếm được. Gọi a: N→ A là song ánh nói trên, ta có: N Э n → a (n) = an Є A Như vậy có thể nói tập hợp đếm được là một tập mà các phân tử của nó có thể đánh số thành một dãy vô hạn. a1, a2, a3, ,an, 11
12. 2.2.2. Ví dụ: 1. Tập hợp các số tự nhiên chẵn, các số tự nhiên lẻ đều là các tập đếm được. Thật vậy, theo mục trước, card {2,4,6 } = cardN, còn E = { 1,3,5, ,2n +1, } tương đương với N nhờ song ánh. N Э n → 2n + 1 Є E 2. Tập Z có số nguyên là đếm được. Để chứng tỏ điều đó, ta xét ánh xạ f : N→Z cho bởi : n 2 nếu n chẵn n → f(n) = ‘ 1- n 2 nếu n lẻ Dễ dàng kiểm tra f là song ánh ta có được kết luận 3. Tập các số hữu tỉ Q là đếm được. Thật vậy, một số hữu tỉ có thể viết p được duy nhất thành một phân số tối giản , q > 0. Ta hãy tạm gọi tổng |p| + q q p là “hạng” của số hữu tỉ . Rõ ràng tập hợp tập hợp các phân số có hạng cho q 0 1 −1 trước là hữu hạn, ví dụ: phân số có hạng 1 là = 0, hạng 2 là và , hạng 3 1 1 1 2 1 − 2 −1 là , , , , Hơn nữa mỗi số hữu tỉ đều có hạng xác định nên ta có thể 1 2 1 2 đánh số hữu tỉ thành dãy theo thứ tự tăng dần của hạng, tức là bắt đầu đánh số các số hạng 1 rồi tiếp theo các số hạng 2, hạng 3, Vậy các phần tử của Q có thể sắp xếp thành dãy Q đếm được. Tiếp theo, chúng ta thiết lập các định lý cơ bản của tập đếm được. 2.2.3. Định lý: Mọi tập vô hạn luôn luôn có chứa một tập con đếm được. Chứng minh: Giả sử M là tập vô hạn. Lấy ra một phần tử bất kỳ a1 Є M. Khi đó M \ {a1} vô hạn nên lấy tiếp phần tử a2 Є M\ {a1} rồi a3 Є M {a1,a2} v.v Quá trình này được tiếp tục mãi và ta thu được tập đếm được A = {a1, a2, } ⊂ M 2.2.4 Định lý: Mọi tập con của một tập đếm được thì phải là tập hữu hạn hoặc đếm được. Chứng minh: Giả sử A = {a1, a2, } là tập đếm được và B là một tập con của A. Gọi an1, an2, Là các phần tử của A thuộc tập hợp B theo thứ tự tăng dần trong A. Nếu trong các số n1, n2, có số lớn nhất thì B là hữu hạn. Trường hợp 12
13. trái lại, các phần tử của B được sắp thành dãy vô hạn an1, an2, nên B đếm được. 2.2.5. Định lý: Hợp một họ hữu hạn hay đếm được các tập đếm được là một tập đếm được. Chứng minh: Cho A1, A2, là dãy các tập đếm được. Ta có thể giả thiết các tập này không giao nhau vì nếu khác đi, ta đặt B1 = A1, B2 = A2\ A1, B3 = A3\ (A1 U A2), Các tập Bi này hữu hạn hoặc đếm được, không giao nhau và ∞ ∞ Ai = Bi . Bây giờ ta sắp xếp các phần tử của A1,A2, thành một bảng vô hạn Ui=1 Ui=1 như sau: A1 : a11 a12 a13 A2 : a21 a22 a23 A3 : a31 a32 a33 . . . . Ta hãy đánh số tất cả các phần tử này theo “đường chéo” từ trái lên phía trên. Do mỗi đường chéo có hữu hạn phần tử nên có thể đánh số thứ tự trên đường chéo thứ nhất rồi đường chéo thứ hai, thứ ba, như sau: a11, a21, a12, a31, a22, a13, ∞ Vậy tất cả các phần tử của tập A =U Ai được đánh số thành một dãy nên i=1 tập A đếm được. Nhận xét: Trong cách chứng minh ta thấy nếu một số hữu hạn hay đếm được các tập Ai (không phải tất cả) được thay bằng các tập hữu hạn thì kết luận của định lý không thay đổi. 2.2.6. Định lý: Khi thêm một tập hợp hữu hạn hay đếm được vào một tập vô hạn M thì lực lượng của nó không thay đổi. Chứng minh: Giả sử A là tập hữu hạn hay đếm được. Ký hiệu N = M ∪ A. Theo định lý 2.2.3, tồn tại một tập đếm được B ⊂ M. Đặt M’= M\B, ta có M = M’ ∪ B nên N = M’ ∪ B ∪ A. Theo định lý 2.2.5, B ∪ A là tập đếm được nên tồn tại song ánh f giữa B và B ∪ A. Ta đặt: g : M = M’ ∪ B → N = M’∪ (B ∪ A) x nếu x Є M’ g (x) = f(x) nếu x Є B Như thế g là song ánh từ M lên N nên card M = Card N. 13
14. Theo định lý này ta thấy khoảng (a,b) tương đương với đoạn [a,b]. Hơn nữa (a,b) tương đương với IR nên [a,b] cũng tương đương với IR. Nhận xét: Từ các định lý 2.2.3 và 2.2.6 ta thấy lực lượng đếm được là lực lượng “bé nhất” trong các lực lượng của tập vô hạn. 2.2.7. Định lý: Tập hợp tất cả các dãy hữu hạn có thể thành lập được với tất cả các phần tử của một tập hợp đếm được là tập đếm được. Chứng minh: Giả sử A = {a1,a2, } là một tập đếm được. Ký hiệu Sm là tập ∞ các dãy có đúng m phần tử của A dạng (ai1, ai2, aim). Đặt S =U Sm . Ta chứng minh m=1 S đếm được. Trước hết S1 = A đếm được. Bằng qui nạp, giả sử Sm đếm được, k hãy lấy ak Є A và ký hiệu S m+1 là tập hợp tất cả các dãy có dạng (ai1, ai2, ,aim, k ak). Giữa S m+1 và Sm có một song ánh cho bởi (ai1, ai2, ,aim,ak) → ∞ k k (ai1,ai2, ,aim). nên S m+1 đếm được. Mặt khác vì Sm+1 = S m+1 nên Sm+1 đếm kU=1 được theo định lý 2.2.5. Cũng từ định lý này, S là một tập đếm được. n 2.2.8. Hệ quả: Tập hợp tất cả các đa thức P(x) = a0 +a1x + anx (n bất kỳ) lấy giá trị trong IR v ới các hệ số hữu tỉ a0,a1, , an là đếm được. Chứng minh: Mỗi đa thức tương ứng với một và chỉ một dãy hữu hạn các hệ số hữu tỉ của nó. Vì tập Q đếm được nên theo định lý 2.2.7, tập tất cả các dãy hữu hạn các số hữu tỉ là đếm được nên tập các đa thức này đếm được. 2.3. Lực lượng continum: Ta đã xét các ví dụ và thiết lập các định lý về các tập hợp đếm được. Vậy có tập hợp vô hạn nào không phải là tập đếm được hay không? Định lý sau đây cho ta câu trả lời khẳng định. 2.3.1. Định lý. Tập hợp các số thực IR là tập vô hạn không đếm được. Chứng minh: Trong ví dụ ở Định lý 2.2.6 ta thấy IR tương đương với đoạn [0,1]. Do đó chỉ cần chứng minh [0,1] không đếm được. Giả sử trái lại [0,1] là đếm được. Khi đó các phần tử của nó được đánh số thành dãy x1,x2, xn, Chia cho [0,1] thành 3 đoạn bằng nhau và gọi đoạn không chứa x1 là ∆1. Lại chia tiếp ∆1 thành 3 đoạn bằng nhau nữa và gọi ∆2 là đoạn không chứa x2, Tiếp tục quá 1 trình này ta thu được dãy đoạn ∆1 ⊃∆2 ⊃ với ∆n có độ dài là |∆n| = 3n sao cho xn ∉ ∆n. Đây là dãy đoạn thắt lại nên theo nguyên lý Cantor, tồn tại ξ ∞ Є ∆ n ⊂ [0,1]. Do đó ξ phải trùng với một xno nào đó. Vì ξ Є ∆n với mọi n nên nI=1 xno Є ∆no. Điều này mâu thuẫn với cách xây dựng các đoạn ∆n. Vậy đoạn [0,1] không phải là tập đếm được. 14
15. Nhận xét: 1 1. Đặt a = {n : n Є N). Rõ ràng A là tập đếm được và chứa trong đoạn [0,1]. Do đó lực lượng đoạn [0,1] (hay IR) lớn hơn lực lượng đếm được. Người ta gọi lực lượng này là lực lượng continum hay lực lượng c. 2. Tập hợp số thực bằng hợp của số hữu tỉ và số vô tỉ. Do tập số hữu tỉ đếm được nên tập số vô tỉ không đếm được và cũng có lực lượng là c. BÀI TẬP 1.Hãy thiết lập một song ánh giữa hai tập (0,1) và [0,1] 2.Chứng minh tập các điểm gián đoạn của một hàm số đơn điệu xác định trên [a,b] là hữu hạn hoặc đếm được. 3. Giả sử E là một tập con của tập số thực IR có tính chất |x-y| > 1 với mọi x, y Є E. Chứng minh E là một tập hữu hạn hoặc đếm được. 4. Giả sử E là một tập vô hạn. D là một tập con hữu hạn hay đếm được của E sao cho E\D vô hạn. Chứng minh E\D có cùng lực lượng với E. 5. Cho A và B là các tập đếm được. Chứng minh A × B là tập đếm được. * 6 . Ký hiệu E là tập hợp tất cả các dãy số (xn) trong đó xn = 0 hoặc xn = 1. Chứng minh E là tập hợp không đếm được. (Thực ra E có lực lượng c) 15
16. B. KHÔNG GIAN MÊTRIC §1. KHÁI NIỆM MÊTRIC. Phép toán đặc trưng của môn giải tích là phép toán lấy giới hạn. Để diễn tả khái niệm này ta phải tìm cách xác định mức độ “ xa”, “gần’’ giữa các đối tượng. Các mứcs độ “xa”, “gần” đó có thể đưa vào một cách khá tự nhiên thông qua kháis niệm khoảng cách hay mêtric được chính xác hoá bởi các định nghĩa sau đây. 1.1. Định nghĩa: Giả sử X là một tập tuỳ ý khác trống cho trước, một mêtric ( hay khoảng cách) trên X là một hàm số d: X × X→ IR t h o ả mãn 3 tiên đề sau đây: 1) d(x, y) ≥ 0, với mọi x, y Є X: d (x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y. 2) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y Є X, (tính đối xứng). 3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z),với mọi x, y, z Є X (bất đẳng thức tam giác). Khi đó tập X với mêtric d đã cho gọi là một không gian mêtric và ký hiệu là (X,d). Đôi khi để đơn giản và nếu mêtric d được xác định rõ ràng, ta chỉ ký hiệu X. Bằng ngôn ngữ hình học, phần tử x ∈ X gọi là điểm của không gian X, số thực dương (hay bằng 0) d(x,y) gọi là khoảng cách giữa 2 điểm x và y. 1.2. Các ví dụ: 1.2.1. Giả sử M là tập hợp con khác trống của tập số thực IR. Ta hãy đặt d(x,y) = | x-y | với x,y ∈ M. Khi đó nhờ các tính chất quen thuộc của giá trị tuyệt đối, ta kiểm tra dễ dàng (M, d) là một không gian mêtric. 1.2.2. Ký hiệu IRk = {(x1, xk) : xi Є IR, i = 1,k } là tập hợp các bộ k số thực. Với x = (x1, ,xk), y = (y1, ,yk) thuộc IRk, ta đặt: k d(x,y) = ∑(xi - yi)2 i =1 Khi đó các tiên đề 1)-2) rõ ràng, ta chỉ cần kiểm tra tiên đề 3) tức là chứng minh: k k k ∑( xi − zi )2 ≤ ∑( xi − yi )2 + ∑( yi − zi )2 i=1 i=1 i=1 i i i i i i Đặt ai = x – y , bi = y – z khi đó ai+ bi = x - z Ta lại có : 16
17. k k k k 2 2 2 2 d (x,z) = ∑(ai+bi) = ∑ai = ∑bi + 2 ∑ai bi i =1 i =1 i =1 i =1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schawrz cho số hạng sau cùng ta được: k k k k 2 2 2 2 2 d (x,z) ≤ ∑ai + ∑bi + 2 ∑a i ∑b i i =1 i =1 i =1 i =1 k k 2 2 2 ≤ ( ∑a i + ∑b i ) i =1 i =1 Từ đó lấy căn hai vế và trở lại với ký hiệu cũ, ta có: d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z). Vậy (IRk,d) là một không gian mêtric và gọi mêtric này là mêtric thông thường trên IRk. Chú ý: 1. Khi k = 1 ta trở về ví dụ 1.2.1 với M = IR 2. Khi xét IRk mà không nói rõ mêtric nào thì ta qui ước là xét IRk với mêtric thông thường. 1.2.3. Giả sử X là một tập tuỳ ý khác trống. Ta đặt 0, nếu x = y d(x,y) = 1, nếu x ≠ y với mọi x, y Є X. Ta hãy kiểm tra d là một mêtric trên X. Tiên đề 1) và 2) được nghiệm đúng. Tiên đề 3 có dạng: d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) i. Nếu x ≠ z thì d(x,z) = 1 còn vế sau ≥ 1 ii) x = z thì d(x,z) = 0 còn vế sau ≥ 0 Vậy tiên đề 3) cũng thoả mãn nên (X,d) trở thành một không gian mêtric. Mêtric d này gọi là mêtric tầm thường trên X. 1.2.4. Ký hiệu tập hợp các hàm liên tục f : [a,b] → IR là C[a,b] với hàm f,g thuộc C[a,b]ta hãy đặt d(f,g) = max f ( x ) − g( x ) []a,b Vì f,g là các hàm liên tục trên [a,b] nên hàm⎪f - g⎪cũng vậy. Do đó giá trị lớn nhất của hàm ⎪f - g⎪ đạt được trên khoảng đóng [a,b] nên d(f,g) xác định. Các tiên đề 1)-2) hiển nhiên. Tiên đề 3) suy ra từ ∀x ∈ [a,b] : ⎪f(x)-h(x)⎪≤ ⎪f(x)-g(x)⎪+⎪g(x)+h(x)⎪ 17
18. ≤ max f ( x ) − g( x ) + max g( x ) − h( x ) []a,b []a,b nên max f ( x ) − h( x ) ≤ max f ( x ) − g( x ) + max g( x ) − h( x ) []a,b []a,b []a,b hay d(f,h) ≤ d(f,g) + d(g,h) với mọi f,g,h∈C[a,b]. Không gian mêtric này thường được ký hiệu gọn là C[]a,b . 1.2.5 Cũng trên tập hợp C[a,b] ta đặt b d(f,g) = ∫ f ( x ) − g( x )dx a Các tiên đề 2)-3) dễ dàng kiểm tra. Ta có d(f,g) ≥ 0. Nếu d(f,g) = 0 tức là b ∫ f ( x ) − g( x )dx = 0. Giả sử f ≠ g khi ấy có x0 ∈[a,b] để ⎪f(x)-g(x)⎪≥ ε > 0 với a mọi x ∈[α,β] nào đó chứa trong [a,b]. Như vậy b β β ∫ f (x) − g(x) dx ≥ ∫ f (x) − g(x) dx ≥ ∫εdx = ε (α − β ) > 0. a α α Điều này mâu thuẫn. Vậy f = g L Không gian metric này được ký hiệu là C[a,b]. Nhận xét: Qua các ví dụ trên, ta thấy có thể cho nhiều mêtric khác nhau trên cùng một tập X (tất nhiên sẽ nhận được các không gian mêtric khác nhau). Tùy mục đích nghiên cứu, người ta sẽ chọn mêtric nào phù hợp với yêu cầu. 1.3. Một số tính chất đơn giản Giả sử (X,d) là một không gian metric, ta có: 1.3.1 Cho x1, ,xn là các điểm của X. Khi đó ta có bất đẳng thức tam giác mở rộng: d(x1,xn) ≤ d(x1,x2) + +d(xn-1,xn) Tính chất này được suy từ tiên đề 3 và lập luận qui nạp. 1.3.2. Với mọi x,y,u,v thuộc X ta có bất đẳng thức tứ giác: ⎪d(x,y) – d(u,v)⎪≤ d(x,u) + d(y,v) Thực vậy ta áp dung 1.3.1 ta có d(x,y) ≤ d(x,u) + d(u,v) + d(v,y) hay d(x,y) - d(u,v) ≤ d(x,u) + d(y,v) Thay đổi vai trò của x,y cho u,v ta lại được d(u,v) - d(x,y) ≤ d(x,u) + d(y,v) 18
19. Như vậy có được điều phải chứng minh 1.3.3. Cho A,B là hai tập con khác trống trong không gian mêtric X. Đặt d(A,B) = inf d(x, y) x∈A,y∈B và gọi số thực d(A,B) này là khoảng cách giữa hai tập A và B. Nếu A = {a} ta viết d(A,B) = d(a,B) và gọi là khoảng cách từ điểm a đến tập B. Để ý rằng nếu A ∩ B ≠∅ thì d(A,B) = 0 nhưng điều ngược lại nói chung không đúng. Cho x,y ∈X, với mọi z ∈ A ta có ⎪d(x,A)-d(y,B)⎪≤ d(x,y) Thực vậy với x,y ∈X ta có d(x,A) ≤ d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z), ∀z ∈A. Do đó d(x,A) ≤ d(x,y) +inf d(y, z) z∈A hay d(x,A) - d(y,A) ≤ d(x,y) Tương tự d(y,A) - d(x,A) ≤ d(x,y). Từ đó kết quả được chứng minh. 1.4. Không gian metric con và không gian metric tích. 1.4.1. Định nghĩa. Giả sử (X,d) là một không gian metric và Y là một tập con khác trống của X. Nếu xét hàm thu hẹp d’ của hàm d lên tập Y x Y : d\Y x Y thì hiển nhiên d’ là một metric trên Y. Ta gọi d’ là mêtric cảm sinh bởi d lên Y. Với mêtric cảm sinh này, (Y,d’’) được gọi là không gian mêtric con của không mêtric (X, d). 1.4.2 Định nghĩa: Giả sử (X,dx) và (Y,dy) là hai không gian mêtric tuỳ ý. Trên tích Descartes X × Y = {(x,y) : x Є X, y ∈ Y} ta đặt d((x1, y1),(x2, y2)) = dX(x1, x2) + dY(y1, y2) Dễ dàng kiểm tra để thấy rằng d là một mêtric trên tập X × Y. Khi đó không gian ( X × Y,d) được gọi là tích của các không gian mêtric X và Y. 1.5. Sự hội tụ trong không gian mêtric: Các khái niệm hội và giới hạn trong không gian mêtric X bất kỳ được định nghĩa một cách tương tự trong tập IR v ới việc thay |x-y| bằng khoảng cách giữa hai phần tử d(x,y). Một dãy trong không gian mêtric (X, d) là một ánh xạ. Ta cũng dùng kí hiệu quen thuộc là dãy (xn)nЄ N. Giả sử nk là một dãy tăng thực sự các số nguyên dương. Khi đó dãy (xnk)k được gọi là một dãy con của dãy (xn). 1.5.1. Định nghĩa: Giả sử X là một không gian mêtric và (xn)n là một dãy trong X. Ta nói dãy (xn)n hội tụ đến x∈X nếu khoảng cách giữa xn và x dần đến 0 khi n → ∞. Lúc đó x được gọi là giới hạn của dãy xn và ta sẽ ký hiệu lim xn = x n→∞ hay xn→ x, n → ∞. Diễn tả lại, ta có 19
20. (lim xn = x ) ⇔ (limd(xn , x) = 0) n→∞ n→∞ ⇔ (∀ε > 0 ∃ n0 ∀ n ≥ n0 : d(xn, x) 0 tồn tại số nguyên n0 sao cho d(xn, x) < ε khi n ≥ n0. Từ đó với mọi nk ≥ nk0 ≥ n0 nên d(xnk, x) < ε nghĩa là dãy con xnk→ x, k → ∞ ’ b. Giả sử xn→ x và xn→ x . Khi đó từ bất đẳng thức tam giác ta có: ’ d(x, x ) ≤ d(xn, x) + d(xn, x’) Cho n → ∞ thì 0 ≤ d(x, x’) ≤ lim d(xn , x) + lim d(xn , x') = 0 n→∞ n→∞ Vậy d(x, x’) = 0 hay x = x’. c. Theo bất đẳng thức tứ giác (1.3.2.) ta có: |d(xn,yn) – d(x, y)| ≤ d(xn,x) + d(yn,y). Qua giới khi n→ ∞ ta nhận được kết quả. 1.5.3. Các ví dụ: a. Hội tụ trong IRk. Trong IRk với mêtric thông thường, ta xét dãy sau: 1 k (xn)n : xn =(xn , , xn ) . 1 k Theo định nghĩa dãy (xn)n hội tụ về điểm x0 = (xn , , xn ) khi và chỉ khi d(xn, x0) → 0 (n→ ∞) hay k 1/ 2 ⎡ i i 2 ⎤ i i 2 ⎢∑(xn − x0 ) ⎥ → 0 ⇔ (xn − x0 ) → 0 với mọi i = 1, ,k ⎣1=1 ⎦ i i ⇔ |xn – xo | → 0, với mọi i = 1, ,k i i ⇔ xn – xo với mọi i = 1, ,k Vậy sự hội tụ của một dãy trong IRk chính là sự hội tụ theo toạ độ (thành phần) của dãy. Đặc biệt, với k = 1 thì đây chính là sự hội tụ cuả một dãy số thực thông thường. b. Hội tụ trong C[a,b]. Giả sử (xn)n là một dãy (dãy hàm) trong C[a,b] hội tụ về x ∈ C[a,b]. Theo định nghĩa, ta có: 20
21. d(xn, x) = max xn (t) − x(t) → 0(n → ∞) t∈[]a,b Diễn tả lại, ta có : (∀ε > 0)(∃ n0)(∀ n ≥ n0)(∀t ∈[a,b]) : |(xn(t) – x(t)| < ε Vậy sự hội tụ trong C[a,b] chính là sự hội tụ đều của một dãy hàm trên tập [a,b] trong giải tích cổ điển. L c. Trong C [a,b] sự hội tụ của dãy (xn)n đến x có nghĩa là: b d(xn,x) = ∫ xn (t) − x(t) dt → 0 (n → ∞) a Sự hội tụ này gọi là sự hội tụ “trung bình” của dãy hàm (xn) Nhận xét: Theo định lý qua giới hạn dưới dấu tích phân của một dãy hàm liên tục, ta thấy rằng nếu xn(t) hội tụ đều đến x(t) thì xn(t) hội tụ trung bình đến x(t) nhưng điều ngược lại nói chung không đúng. Có thể coi sự “gần nhau” giữa b các điểm trong tập C[a,b] theo mêtric “max” chặt chẽ hơn mêtric “ ∫ ” a BÀI TẬP 1.1. Kiểm tra các tập và các hàm sau đây lập thành không gian mêtric. a. X = IRk, d(x,y) = max xi − yi i=1, ,k k k i i b. X = IR , d(x,y) = ∑ x − y i=1 trong đó x = (x1, ,xk), y = (y1, ,yk) ∈ IRk c. X = M[a,b] ={ f : [a,b] → IR, f l à h à m b ị chặn trong [a,b]}, d(f,g) = sup f (x) − g(x) x∈[]a,b d. X = C[a,b]: tập các hàm liên tục trên [a,b] với mọi f,g ∈ X, d(f,g) = b 2 (∫ f (x) − g(x) dx)1/ 2 a e. X= C[a,b] = tập các hàm số khả vi liên tục trên [a,b] d(f,g) = max f '(x) − g'(x) + f (a) − g(a) x∈[]a,b 1.2. Ký hiệu c là tập hợp tất cả các dãy số thực hội tụ.Với x = (xn)n, y = (yn)n thuộc c, ta đặt: sup xn − yn x∈[]a,b Chứng minh d là một mêtric trên c. 1.3. Giả sử d(x,y) là một mêtric trên tập X. Chứng minh các hàm sau đây cũng là những mêtric trên X. 21
22. d(x, y) a. d1(x,y) = 1+ d(x, y) b. d2(x,y) = min(1, d(x,y)) 1.4. Cho X là một không gian mêtric và (xn)n là một dãy trong X. Chứng minh xn→ x0 khi và chỉ khi mọi lân cận x0 đều chứa tất cả các xn ngoại trừ một số hữu hạn xn. (Khái niệm lân cận xem ở 2.1.1) 1.5. Giả sử (un)n là một dãy số thực, un ≥ 0 và un → 0. Chứng minh rằng tồn tại vô số n sao cho với mọi m ≥ n thì un ≥ um * 1.6 Cho (xn) là một dãy trong không gian mêtric X. Chứng minh rằng nếu ba dãy con (x2n), (x2n+1) và (x3n) đều hội tụ dãy thì (xn) cũng hội tụ. 1.7. Trong không gian C[0,1] khảo sát sự hội tụ của các dãy sau: n a. xn(t) = t sin nt b. xn(t) = n 1.8. Cho X × Y là tích của hai không gian mêtric (x, dX), (Y, dY). Chứng minh dãy (xn,yn)n trong X × Y hội tụ đến (x,y) ∈ X × Y khi và chỉ khi xn→ x trong X và yn→ y trong Y. 22
23. §2.TẬP MỞ VÀ TẬP ĐÓNG 2.1. Các định nghĩa. Giả sử X là một không gian mêtric 2.1.1. Lân cận. Cho a là một điểm của X. a. Ta gọi hình cầu mở tâm a bán kính r > 0 trong X và ký hiệu B(a,r) là tập {x Є X : d (x,a) 0 : B(a,r) ⊂ U) Theo định nghĩa, các r-lân cận của a cũng là lân cận của a. 2.2.1. Vị trí tương đối của một điểm đối với một tập: Cho A là một con của X và x là một điểm của X. Có ba vị trí tương đối của điểm x đối với A như sau: a. Có một lân cận của x chứa trong A. Khi đó x được gọi là điểm trong của A (hình 1). b. Có một lân cận của x nằm hoàn toàn ngoài A tức là tồn tại U ∈ U (x) sao cho U ∩ A = Ø. Lúc này x được gọi là điểm ngoài của A. (Rõ ràng U ⊂ Ac = X \ A nên x lại trở thành điểm trong của phần bù Ac của A). (hình 2) Hình vẽ trang 24 c. Bất cứ lân cận nào của x cũng có chứa những điểm của A và những điểm của Ac, tức là với mọi U ∈ N (x): U ∩ A = Ø và U ∩ Ac = Ø. Khi đó x gọi là điểm biên của A. Theo đĩnh nghĩa, lúc đó x cũng là điểm biên của tập Ac. (hình 3) 2.1.3. Tập mở và tập đóng: a. Tập mở: Tập A ⊂ X được gọi là tập mở nếu A không chứa điểm biên nào cả. Các mệnh đề sau đây tương đương với định nghĩa: i. (A mở) ↔(∀x ЄA: X là điểm trong của A) ii.(A mở) ↔(∀x Є A ∃ r >0 : B (x,r) ⊂ A) iii.(A mở) ↔(∀x Є A, ∃ U Є N(x) : U ⊂ A) 23
24. Nhận xét: 1. Theo mệnh đề i) ta có tập X và Ø là các tập mở 2. Ta thường dùng mệnh đề ii) để kiểm tra một tập là mở. b. Tập đóng: Tập A ⊂ X được gọi là tập đóng nếu A chứa tất cả các điểm biên của nó. Từ các định nghĩa trên ta suy ra được: a. (A đóng) ↔ (Ac = X\ A là mở) Thật vậy, vì tập các điểm của A và Ac trùng nhau nên nếu A chứa tất cả các điểm biên có nó thì Ac không chứa điểm biên nào và ngược lại. b. Các tập Ø và X cũng là các tập đóng. Thật vậy, vì theo a) các tập Xc =Ø và Øc = X là các tập mở. 2.1.4. Ví dụ. 1. Trong không gian mêtric tuỳ ý mọi hình cầu mở đều là tập mở. Chứng minh. Giả sử B (a,r) là hình cầu mở tâm a bán kính r trong X. Khi đó với mọi x ∈ B(a,r) ta có d(x,a) 0. Xét nhình cầu mở B(x,ε). Ta chứng minh B(x,ε) ⊂ B(a,r). Nếu y Є B(x,ε) thì d(x,y) < ε. Khi đó d( y,a) ≤ d(x,y) = d(x,a) < ε + d(x,a) = r Nên y ∈ B (a,r). Vậy B(a,r) là tập mở. 2. Ký hiệu B’(a,r) là tập hợp { xЄ X: d(x,a) ≤ r} với r là số dương kvà gọi nó là hìnhcầu đóng. Ta có B’(a,r) là tập đóng vì bằng lý luận tương tự ví dụ 1 ta thấy X\ B’(a,r) là tập mở. 3. Tập gồm một điểm trong bất kỳ không gian mêtric nào cũng là tập đóng vì luôn luôn chứa các điểm biên của nó. 4. Giả sử a, b là hai số thực. Các tập (a,b), (a,+ ∞) là mở: các tập [a,b], [a,+ ∞] là đóng trong IR. Lưu ý: Trong một không gian mêtric tuỳ ý X ta có: 1. (A mở) ↔ (Ac đóng) 2. Có thể có những tập không mở mà cũng không đóng. 3. Có những tập vừa mở, vừa đóng (chẳng hạn, các tập Ø, X) 2.2. Các tính chất của tập mở và tập đóng. 2.2.1. Định lý. Trong một không gian mêtric bất kỳ X ta có: a. Hợp một họ tuỳ ý các tập mở là tập mở. b. Giao một họ hữu hạn các tập mở là tập mở Chứng minh: 24
25. a. Giả sử ( Ai )i∈I là một họ các tập mở. Đặt A = U Ai . Nếu x ∈ A thì tồn tại i∈I i0 ∈ I để io ∈ Aio. Vì Aio mở nên có số dương r sao cho B(x,r) ⊂ Aio. Khi đó B(x,r) ⊂ U Ai .Vậy A là tập mở. i∈I n b. Nếu Ai, ,An là các tập mở ta đặt A = I Ai . Với x Є A ta có x Є Ai với i=1 mọi i = 1, ,n. Mỗi Ai là tập mở nên tồn tại các số dương ri sao cho B(x,ri) ⊂ Ai. Đặt r = min {r1, ,rn} > 0, khi đó B(x,r) ⊂ B(x,ri) ⊂ Ai với mọi i = 1, ,n. Do đó n B(x,r) ⊂ I Ai hay A là tập mở. i=1 2.2.2. Định lý: Trong một không gian mêtric bất kỳ ta có: a) Hợp một họ hữu hạn các tập đóng là tập đóng b) Giao một họ tuỳ ý các tập đóng là tập đóng Chứng minh c c a. Giả sử F1, F2, ,Fn là các tập đóng.Khi đó các tập F1 , , Fn là mở. Theo n n c c công thức De Morgan, ( Fi ) = I Fi . Áp dụng định lý 2.2.1 ta suy được Ui=1 i=1 n n n c c c ( Fi ) là tập mở nên Fi = (( Fi ) ) là tập đóng. Ui=1 Ui=1 Ui=1 b. Chứng minh tương tự a). Chú ý: Giao một họ vô hạn các tập mở nói chung chưa chắc là một tập mở. 1 1 Chẳng hạn, ta xét họ Gn= (- , ) các khoảng mở trong tập mở trong IR. Khi ấy n n ∞ I Gn ={0} lại là tập không mở. Tương tự, hợp một họ bất kỳ các tập đóng chưa i=1 c chắc là tập đóng. (Lấy ví dụ, chẳng hạn xét họ Fn= Gn = (- ∞ , -1/n] ∪[1/n; +∞ )) 2.3 Điểmtụ, Điểm dính. 2.3.1. Định nghĩa. Cho A là tập con của X. Ta gọi điểm x∈X là điểm tụ của tập A nếu bất kỳ lân cận nào của x đều có chứa vô số điểm của tập A. 2.3.2. Ví dụ. 1. Trong IR cho tập A = { 1, 1 , 1 , 1 , }. Khi ấy A có điểm tụ duy nhất là 2 3 n điểm 0. Mọi điểm thuộc A đều là điểm dính của nó nhưng không phải là điểm tụ của A. 2. Mọi điểm của tập B = (0,1] đều là điểm tụ của B. 25
26. 2.3.3.Định lý. Điểm x ∈ X là điểm tụ của tập hợp A khi và chỉ khi bất kỳ lân cận nào của x đều có chứa một điểm của A khác với x. Chứng minh. Điều kiện cần là hiển nhiên. Ta chứng minh đều kiện đủ. Giả sử bất kỳ lân cận của x đều có chứa một điểm khác với x. Cho U là một lân cận của x, ta chứng minh trong U có chứa vô số các phần tử của A. Theo định nghĩa của lân cận, tồn tại số dương r1 sao cho B(x,r1) ⊂ U. Gọi x1Є A ∩ B(x,r1), x1 ≠ x. Lấy số dương r2 0 : B(x,r) ⊂ U. Do xn → x nên với r > 0 ở trên tồn tại n0 để xn Є B(x,r) với mọi n ≥ n0 . Vì ’ n ≠ n thì xn ≠ xn’ nên trong U chứa vô số các điểm của A. Điều kiện cần: Lập luận như trong chứng minh điều kiện đủ của Định l ý 1 1 2.3.2 bằng cách chọn rn 0 để B(x,r) ∩ A = Ø. Do đó Ac mở tức là A đóng. Hệ quả sau đây được dùng thường xuyên để kiểm tra một tập hợp là đóng. 26
27. 2.3.7. Hệ quả. Tập A đóng khi và chỉ khi với mọi dãy (xn) ⊂ A mà xn→ x thì x phải thuộc A. Chứng minh. Suy trực tiếp từ định lý 2.3.6 và nhận xét 3,4 ở mục 2.3.5. 2.4. Phần trong và bao đóng của một tập. 2.4.1. Phần trong. Cho A là một tập con của X. Luôn luôn có một tập mở chứa trong A, chẳng hạn tập Ø. a) Định nghĩa. Hợp tất cả các tập mở chứa trong A được gọi là phần trong 0 của A; ký hiệu là A hay int A. 0 Hiển nhiên A ⊂ A 0 Như thế A là tập mở lớn nhất chứa trong A theo định nghĩa nếu G là tập 0 mở và G ⊂ A thì G ⊂ A Từ định nghĩa ta có ngay: 0 (A mở) ⇔ (A = A) 0 b. Định lý: Phần trong A của tập A là tập hợp của tất cả các điểm trong của A. 0 0 0 Chứng minh. Giả sử x Є A. Vì A mở nên A là một lân cận của x do đó x là điểm trong của A. Ngược lại nếu x là điểm trong của A thì có r < 0 để hình 0 0 cầu mở B(x,r) ⊂ A. Theo nhận xét sau định nghĩa thì B(x,r) ⊂ A. Vậy x Є A. 2.4.2. Bao đóng. Nếu A ⊂ X thì có ít nhất một tập đóng chứa A (Ví dụ X ⊃ A) a) Định nghĩa. Giao tất cả các tập đóng chứa A được gọi là bao đóng của tập A. Kí hiệu là A. Hiển nhiên A là tập đóng bé nhất chứa A. b) Định lý. Bao đóng của tập A bằng hợp của A và tập tất cả các điểm biên của A. Chứng minh: Kí hiệu ∂ A là tập tất cả các điểm biên của A A. Ta chứng minh A = A ∪ ∂A. Nhận xét rằng với mỗi tập đóng F ⊃ A thì tương ứng với mỗi tập mở G = Fc ⊂ Ac và ngược lại. Do đó: c c A = IUF = IG = ( G) F dong ⊃ A G mo ⊂ Ac G mo ⊂ Ac Vậy 27
28. c x Є A ⇔ x ∉ UG , Gmở ⊂ A ⇔ x không là điểm trong của Ac ⇔ x Є A hay x Є∂ A. Từ đó: A = A ∪ ∂ A Hệ quả. 1. ( A đóng)↔ (A = A ) 2. A là tập hợp tất cả các điểm dính của A. 3. (x Є A)↔(∃(xn) ⊂ A : xn → x) 2.4.3. Các ví dụ. 1. Giả sử a, b là hai số thực. Đặt A = (a,b] khi đó 0 0 A = (a,b), A = [a,b], A =(a,b). 2. Bao đóng tập các số hữu tỉ trong IR chính là tập IR. 3. Trong không gian mêtric bất kỳ ta đều có B (a,r) ⊂ B’(a,r). 2.5. Tập hợp trù mật – không gian khả ly. 2.5.1. Định nghĩa. Giả sử A,B là hai tập con trong không gian mêtric X. Nếu B⊂ A thì ta nói tập A trù mật trong tập B. 2.5.2. Nhật xét. 1. Từ định nghĩa, ta thấy (A trù mật trong B) ⇔ (Với mọi x Є B, x là điểm dính của A). Điều này tương đương với tồn tại dãy (xn) ⊂ A, xn→ x. 2. Nếu A ⊂ B thì A ⊂ B . Do đó, nếu A trù mật trong B; B trù mật trong C thì A trù mật trong C. Thật vậy, ta có C ⊂B và B ⊂ A nên C ⊂ B ⊂ A = A 3. Nếu A ⊂ X và A = X thì tập A được gọi là tập trù mật khắp nơi (trong X) Ví dụ: Trong IR, tập số hữu tỷ Q trù mật khắp nơi. 2.5.3. Định nghĩa. Một không gian mêtric X được gọi là khả ly nếu tồn tại một tập hợp hữu hạn hoặc đếm được trù mật khắp nơi. Có thể chứng tập Qk = Q × × Q (Q là tập số hữu tỉ) là đếm được và trù 1424 443 k lan mật trong IRk. Do đó IRk như là một ví dụ về không gian mêtric khả ly. 2.6. Tập mở và đóng trên đường thẳng thực. 2.6.1. Định lý. Mỗi tập mở trong IR bằng hợp một số hữu hạn hay đếm được các khoảng mở không giao nhau. 28
29. Chứng minh. Giả sử G là một tập mở trong IR . Với x Є G tồn tại r > 0: B(x,r) = (x- r, x+ r) ⊂ G. Ký hiệu ∆x là hợp tất cả các khoảng mở chứa trong G và có chứa x. Ta chứng minh ∆x là một khoảng mở. Thật vậy, đặt p = inf ∆x, q = sup ∆x (p,q có thể bằng (- ∞, + ∞). Với mọi y Є ∆x thì p 0 sao cho BY(x,rx) ⊂ Y. Đặt G = Bx (x,rx), tức là G bằng hợp của một họ các tập mở (trong X) nên nó UiA∈ là tập mở trong X. Hơn nữa, 29
30. ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ A = U BY ( x,rx ) = U BX ( x,rx ) ∩ Y = Y ∩ ⎜ U BX ( x,rx )⎟ = Y ∩ G Ngược lại, x∈A x∈A ⎝ x∈A ⎠ cho A = G ∩ Y với G là tập mở trong X. Nếu x∈G ∩ A thì do G mở nên tồn tại r > 0 sao cho BX(x,r) ⊂ G. Thành ra BY(x,r) = BX(x,r) ∩ Y ⊂ G ∩ Y = A hay A mở trong Y. 2.7.2. Định lý. Điều kiện cần và đủ để tập A đóng trong Y là tồn tại một tập đóng F trong X sao cho A = Y ∩ F. Chứng minh. Tập A đóng trong Y khi và chỉ khi Y \ A là mở trong Y. Theo định lý 2.7.1, tồn tại tập mở G trong X sao cho Y \ A= G ∩ A. Khi đó A= Y ∩ (X\G) = Y ∩ F với F = X\G là tập đóng Từ các định lý trên ta dễ dàng suy ra hệ quả sau. 2.7.3. Hệ quả. Để mọi tập con A ⊂ Y mở (t. ư., đóng) trong Y cũng là mở (t. ư., đóng) X, điều kiện cần và đủ là Y là tập mở (t. ư., đóng) trong X. BÀI TẬP 2.1. Giả sử X là không gian mêtric, A ⊂ X và x ∈ X. a) Chứng minh rằng x là đểm dính của A khi và chỉ khi d(x,A) = 0 Suy ra: (A đóng) ⇔ (d(x,A) = 0 ⇔ x ∈ A) b) Cho ε > 0 chứng minh {x ∈ X : d (x,a) <ε } là tập mở {x ∈ X : d (x,a) ≤ ε } là tập đóng 2.2. Cho F1, F2 là hai tập đóng trong không gian mêtric X sao cho F1 ∩ F2 =∅ a. Chứng minh tập G = {x ∈ X : d (x,F1) < d (x,F2)} là tập mở, đồng thời F1⊂ G, G ∩ F2 =∅ b. Từ a suy ra có các tập mở G1, G2 sao cho F1⊂ G1, F2 ⊂ G2 và G1 ∩ G2 = ∅ * 2.3 Một tập A trong không gian mêtric X được gọi là một tập kiểu Gδ và tập mở kiểu Fσ 2.4. Giả sử A, B là các tập con của không gian mêtric. Chứng minh: a. int(int A) = intA, A = A . 0 0 b. Nếu a ⊂ B thì A ⊂ B 30
31. 0 0 0 0 c. int (a ∩ B) = A ∩ B . Int (A∪B ) ⊃ A ∪ B d. A ∩ B = A ∪ B , A ∩ B ⊂ A ∩ B 2.5. Chứng minh rằng mọi không gian con của không gian mêtric khả ly là khả ly. 2.6. Ký hiệu c0 là tập hợp tất cả các dãy số thực hội tụ về 0. Ta xem c0 như là không gian con của không gian c (bài tập 1.2). Chứng minh c0 là không gian khả ly. 2.7. Giả sử X là không gian mêtric và Y là không gian con của X sao cho Y = U ∩ V với U, V là các tập mở, khác trống trong Y và U ∩ V =∅. Chứng minh tồn tại các tập mở A, B trong X, A ∩ B = ∅ và U = A ∩ Y, V = B ∩ Y. 31
32. §3. ÁNH XẠ LIÊN TỤC 3.1. Định nghĩa và các tính chất chung. Cho hai không gian mêtric (X,d1) và (Y,d2). Nếu không sợ nhầm lẫn, ta dùng kí hiệu d để chỉ cả d1 lẫn d2. Giả sử f là một ánh xạ từ X vào Y và x0 là một điểm của X. 3.1.1. Định nghĩa. 1. Ánh xạ f được gọi là liên tục tại x0 nếu mọi ε > 0 cho trước, tồn tại δ > 0 sao cho d(f(x), f(x0)) 0, vì f liên tục tại x0 nên có δ > 0 để. d(f(x),f(x0)) 0 ở trên, có n0 để d(xn, x0) 0 sao cho với mọi δ > 0 tồn tại x ∈ X : d(x,x0) < δ mà d((f(x),f(xo)) ≥ ε. Lấy δ lần lượt bằng 1, 1 1 1 , , , sẽ có x1, x2, ,xn thuộc X thoả mãn d(xn,x0) < nhưng 2 n n d((f(x),f(xo))≥ ε. Như thế có dãy (xn) ⊂ X, xn → x0 nhưng f(xn) → f(x0), mẫu thuẫn với giả thiết. Vậy định lý được chứng minh Một khái niệm liên quan chặt chẽ với khái niệm liên tục đó là giới hạn của hàm số được định nghĩa như sau: 3.1.3. Định nghĩa. Cho A là một tập con của không gian mêtric X và f là một ánh xạ từ A vào không gian mêtric Y, xo là một điểm dính của A. Ta nói f là 32
33. có giới hạn l ∈Y khi x dần đến x0, kí hiệu lim f ( x ) = l nếu ánh xạ F xác định x→x0 x∈A bởi: F: A ∪ {xo} → Y ⎧ f(x), x A\ {x0 } x a F( x ) = ⎨ ⎩l, x = x0 liên tục tại điểm x0 Diễn tả lại, ta có: ( lim f ( x ) = l ) ⇔ ( ∀ε > 0,∃δ > 0 : ∀x∈ A x→x0 x∈A 0 0 bất kỳ. Do B(f(x0),ε) mở trong Y nên f 1 - (B(f(x0),ε) là tập mở trong X chứa x0. Vì thế có số δ > 0 để B(x0,δ) ⊂ f 1 (B(f(x0),ε)). Điều này có nghĩa là nếu x ∈ X sao cho d(x,x0) < δ hay x ∈ B(x0,δ) nên f(x)∈ B(f(x0,δ) hay d(f(x), f(x0)) < ε tức là f liên tục tại x0 theo định nghĩa. Vậy định lý được chứng minh đầy đủ. 3.1.5. Định lý. Giả sử X, Y, Z là ba không gian mêtric, f : X→ Y liên tục tại x0, g : Y→ Z liên tục tại y0 = f(x0). Khi đó ánh xạ hợp h = g o f : X→ Z liên tục tại x0. 33
34. Chứng minh: Giả sử (xn) ⊂ X và xn → x0. Do f liên tục tại x0 nên f(xn) →f(x0) = y0 và lúc ấy g liên tục tại y0 = f(x0) suy ra g(f(xn)→g(y0) = g(f(x0). Nói cách khác (g o f)(xn)→(g o f)(x0).Vậy h = g o f liên tục tại x0. 3.2. Ánh xạ đồng phôi. 3.2.1. Phép đồng phôi. Cho X, Y là hai không gian mêtric. Giả sử f : X→Y là một song ánh sao cho f và f -1 đều là các ánh xạ liên tục thì f được coi là một phép đồng phôi từ X lên Y. Hai không gian mêtric được gọi là đồng phôi với nhau nếu có phép đồng phôi từ không gian này lên không gian kia. Ví dụ. 1. Lấy X = (a,b), Y = (0,1) là hai tập con của tập số thực IR, khi đó X, Y đồng phôi với nhau nhờ phép đồng phôi. x a f(x) = − b − a b − a 2. Cho X = IR, Y = (0,1) cùng với mêtric thông thường thì chúng đồng phôi với nhau nhờ phép đồng phôi. F(x) = 1 actg x 1 . π 2 Nhận xét. 1.Theo định lý 3.1.4, một phép đồng phôi biến một tập mở (t.ư., đóng) trong không gian này thành tập mở (t.ư., đóng) trong không gian kia. 2. Có thể chứng minh dễ dàng rằng các định nghĩa về lân cận, điểm tụ, điểm chính, bao đóng, phần trong, tập trù mật, bất biến qua phép đồng phôi, nghĩa là các tập A ⊂ X các điểm x ∈ X có tính chất kể trên thì qua ánh xạ đồng phôi f, các tập f(A), các điểm f(x) cũng có tính chất đó. Còn những khái niệm về hình cầu, khoảng cách, bán kính, không phải bất biến qua phép đồng phôi. 3.2.2. Phép đẳng cự. Cho X, Y là hai không gian mêtric. Một song ánh f từ X lên Y gọi là một phép đẳng cự nếu với mọi x, x’∈ X ta có d(f(x), f(x’)) = d(x,x’). Hiển nhiên lúc đó f -1 : Y→X cũng là phép đẳng cự và ta gọi X, Y là hai không gian đẳng cự với nhau. Nhận xét. 1) Nếu f là phép đẳng cự từ X lên Y thì rõ ràng f là phép đồng phôi giữa X và Y. 2) Cho X là một không gian mêtric, Y là một tập bất kỳ. Giả sử có một song ánh f : Y→ X . Khi đó nếu đặt d*(y, y’) = d(f(x), f(y’) thì d* là một mêtric trên Y và hơn nữa X, Y là hai không gian mêtric đẳng cự. 34
35. 3) Theo quan niệm của không gian mêtric, nếu X và Y đẳng cự thì chúng được đồng nhất với nhau. 3.2.3. Mêtric tương đương. Cho d1,d2 là hai mêtric trên cùng một tập X. Khi đó ta có hai không gian mêtric khác nhau (X,d1) và X,d2) có chung “tập nền” X. Hai mêtric d1,d2 được gọi là tương đương tôpô nếu ánh xạ đồng nhất id: X → X x a x là một phép đồng phôi từ không gian (X,d1) lên (X,d2) Nếu tồn tại các số dương m, M sao cho md(x,y) ≤ d2(x,y) ≤ Md1(x,y) với mọi x, y ∈ Y thì d1,d2 được gọi là hai mêtric tương đương đều. Nhận xét. 1. Từ định nghĩa ta suy ra nếu d1, d2 tương đương thì chúng sẽ tương đương tôpô nhưng điều được ngược lại nói chung không đúng. 2. Hai mêtric tương đương tôpô thì các tập mở (t.ư.,đóng) trong hai không gian này trùng nhau. Tất nhiên các khái niệm khác dẫn xuất từ tập mở cũng trùng nhau. Hai mêtric tương đương đều thì thêm nữa là các tính chất định tính liên quan đến khoảng cách cũng sẽ bất biến. 3.3. Suy rộng các ánh xạ liên tục. Giả sử X, Y là các không gian mêtric và f là ánh xạ từ X vào Y. Nếu f liên tục với mọi A ⊂ X, thu hẹp của f lên A, kí hiệu f⎪A : A→Y f⎪A(x) = f(x) cũng là ánh xạ liên tục trên A. Ngược lại cho h : A→Y liên tục thì với điều kiện nào tồn tại ánh xạ. F : X →Y liên tục, duy nhất và f⎪A = h? Trước hết ta thiết lập các định lý để suy ra tính duy nhất của suy rộng. Định lý 3.3.1. Giả sử f, g là hai ánh xạ liên tục từ X vào Y. Khi đó tập hợp A = {x ∈ X : f(x) = g(x)} là tập đóng trong A Chứng minh: Giả sử x0 ∈ A . Khi đó tồn tại tại dãy (xn)⊂ A sao cho xn →x0. Theo tiêu chuẩn qua dãy ta có f(xn) → f(x0) và g(xn) → g(x0). Vì xn∈A nên f(xn) = g(xn) với mọi n ∈ N nên f(x0) = g(x0) do giới hạn của mỗi dãy hội tụ là duy nhất. Vậy xn ∈ A hay A = A , có nghĩa là A đóng 3.3.2.Hệ quả. Giả sử f, g là hai ánh xạ liên tục từ X vào Y. Nếu f(x) = g(x) với mọi x∈X Ta có X = A ⊂ D = D ⊂ A 35
36. Vậy D = X hay f(x) = g(x) với mọi x∈X 3.3.3. Định lý. cho X, Y là hai không gian mêtric, A là tập con trù mật trong X và f là ánh xạ liên tục từ A vào Y Điều kiện cần và đủ để tồn tại ánh xạ f : X→Y liên tục, thoả mãn f ⎪A = f là lim f ( z ) tồn tại với mọi x ∈ X . Khi đó ánh xạ f duy nhất z∈A Chứng minh. Trước hết ta diễn tả lại khái niệm giới hạn như đã định nghĩa ở 3.1.3, nhờ dãy, sau đây. ( lim f ( z ) = l) ⇔ (∀(zn) ⊂ A : (zn →a) ⇒ (f(zn) →l). z∈A Điều kiện cần. Giả sử tồn tại f liên tục và f ⎪A = f. Khi đó ∀x ∈ X và ∀(zn) ⊂ A sao cho zn → x thì f (zn) → f (x). Nhưng vì f(zn) = f (zn) nên f(zn) → l = f (x) tức là giới hạn lim f ( z )tồn tại với mọi x∈X. z∈A Điều kiện đủ. Với mọi x ∈ X đặt f (x) = lim f ( z ). Nếu x ∈ A hiển nhiên z∈A f (x) = f(x) tức là f ⎪A = f. Ta chứng minh f liên tục. Giả sử x ∈ X và (xn)n là một dãy trong X hội tụ đến x. Theo cách đặt, ta có f (xn) = lim f ( z ). Do đó, theo điều diễn tả lại nói trên, với mỗi n ∈ N tồn tại zn z∈A 1 1 ∈ A sao cho d(zn, xn) < và d( f ( x ), f ( z )) < . n n n n 1 Vì d(zn,x) ≤ d(zn,xn) + d(xn,x) < + d(xn,x) → 0 )( n→ ∞ ) n tức là zn → x, zn ∈ A nên f (x)= lim f(zn) x→∞ Suy ra: d( f (xn), f (x)) ≤ d( f (x), f (zn)) + d( f (zn), f (xn)) 1 < d( f (zn), f (x)) → 0 ( n → ∞ ) n Điều này có nghĩa là f liên tục tại x∈X vì x bất kỳ nên f liên tục trên X. Tính duy nhất của f được suy từ hệ quả 3.3.2. Nhận xét. Một số các hàm số liên tục trên IR có thể xem là các suy rộng của hàm sốliên tục xác định trên tập số hữu tỉ Q trù mật trong IR, chẳng hạn như là hàm số mũ là mở rộng của lũy thừa. 36
37. BÀI TẬP 3.1. Giả sử f là ánh xạ không gian mêtric X vào Y. Chứng minh các mệnh đề sau đây là tương đương. a. f liên tục tại x0∈X -1 b. Nếu V ∈ N(f(x0) thì f (V) ∈ N(x0) c.Với mọi V∈ N(f(x0) tồn tại U ∈ N(x0) : f(U ⊂ V) 3.2 Chứng minh các ánh xạ từ C[a,b] vào IR cho bởi các công thức sau đây là liên tục b a. x(t) → f(x) = ∫ x(t)dt a b. x → f(x) = x(a) 3. 3. Cho F1 và F2 là hai tập đóng trong không gian mêtric X. Đặt A = F1 ∪ F2 và f : A→ Y là một ánh xạ xác định trên A. Chứng minh rằng nếu f⎪F1, f⎪F2 là các ánh xạ liên tục thì f liên tục trên A. 3.4* Cho X, Y, Z là không gian mêtric, f : X → Y, g : Y→ X là các ánh xạ liên tục. Chứng minh rằng nếu f là một toàn ánh còn gof là phép đồng phôi của X lên Z thì các ánh xạ f, g lần lượt là các phép toán đồng phôi. 3.5. Trong tập IRk ta xét mêtric như sau: k ii2 d1(x,y) = ∑()x − y i=1 ii d2(x,y) = max x − y i= 1 k k ii d3(x,y) = ∑ x − y i=1 Với x = (x1, ,xk), y = (y1, ,yk) ∈ IRk Chứng minh ba mêtric này tương đương đều với nhau 37