›
›

Giáo trình Sử dụng máy tính trong dạy học toán - Nguyễn Thị Tân An (Phần 1)

pdf 43 trang hapham 1660
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Sử dụng máy tính trong dạy học toán - Nguyễn Thị Tân An (Phần 1)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfgiao_trinh_su_dung_may_tinh_trong_day_hoc_toan_nguyen_thi_ta.pdf

Nội dung text: Giáo trình Sử dụng máy tính trong dạy học toán - Nguyễn Thị Tân An (Phần 1)

  1. ĐẠI H ỌC HU Ế TRUNG TÂM ĐÀO T ẠO T Ừ XA NGUY ỄN TH Ị TÂN AN GIÁO TRÌNH SỬ DỤNG MÁY TÍNH TRONG DẠY HỌC TOÁN HU Ế - 2012 1
  2. Chươ ng I CÁC MÔ HÌNH TOÁN H ỌC TÍCH C ỰC NH ẰM H Ỗ TR Ợ DẠY - HỌC TOÁN Các mô hình toán tích c ực được thi ết k ế b ằng nh ững ph ươ ng ti ện công ngh ệ nh ư máy tính b ỏ túi, máy tính điện t ử là nh ững công c ụ thi ết y ếu để d ạy, h ọc và làm toán. Đặc bi ệt, nh ững mô hình toán tích c ực được thi ết k ế b ằng ph ần m ềm độ ng trên máy tính cung c ấp nh ững hình ảnh tr ực quan v ề các ý t ưởng toán h ọc, thúc đẩ y vi ệc s ắp x ếp, phân tích các d ữ li ệu và tính toán m ột cách hi ệu qu ả, chính xác. Chúng có th ể h ỗ tr ợ nh ững kh ảo sát toán c ủa h ọc sinh trong m ọi l ĩnh v ực toán h ọc, bao g ồm hình h ọc, đạ i s ố, gi ải tích, th ống kê, đo đạc và s ố h ọc. V ới nh ững công c ụ công ngh ệ phù h ợp, h ọc sinh có th ể tập trung vào vi ệc đưa ra quy ết đị nh, ph ản ánh, suy lu ận và gi ải quy ết v ấn đề . Học sinh có th ể h ọc toán được nhi ều h ơn, sâu h ơn v ới vi ệc s ử d ụng mô hình toán tích c ực. Chúng ta không nên d ừng l ại ở m ức độ s ử d ụng mô hình toán tích c ực để minh họa cho h ọc sinh hi ểu và hình thành nh ững tr ực giác c ơ b ản mà nên dùng các mô hình đó để nâng cao vi ệc hi ểu và kh ắc sâu các tr ực giác có được. Trong nh ững ch ươ ng trình d ạy toán, mô hình toán tích c ực nên được s ử d ụng r ộng rãi v ới m ục đích làm phong phú vi ệc học toán c ủa h ọc sinh. Sự t ồn t ại, tính linh ho ạt và ti ềm n ăng c ủa mô hình toán tích c ực làm cho chúng ta th ấy c ần thi ết ph ải xem l ại nh ững ki ến th ức toán nào h ọc sinh nên h ọc b ằng phươ ng ti ện công ngh ệ hi ện đạ i, c ũng nh ư làm th ế nào để các em h ọc nh ững ki ến th ức toán đó m ột cách t ốt nh ất. 1. Mô hình toán tích c ực nâng cao ch ất l ượng h ọc toán Mô hình toán tích c ực có th ể giúp h ọc sinh h ọc toán. Ví d ụ, v ới máy tính b ỏ túi và máy tính điện t ử, h ọc sinh có th ể xem xét nhi ều ví d ụ hay nh ững d ạng bi ểu di ễn h ơn là thao tác trên gi ấy bút, vì th ế các em có th ể đặ t và khám phá các gi ả thuy ết m ột cách d ễ dàng h ơn. Kh ả n ăng đồ h ọa c ủa nh ững mô hình toán tích c ực cho phép h ọc sinh d ễ dàng ti ếp c ận các mô hình có tính tr ực quan t ốt. Kh ả n ăng tính toán c ủa các mô hình toán tích cực giúp học sinh có th ể m ở rộng ph ạm vi bài toán d ễ dàng, ti ến hành các phép tính quen thu ộc nhanh và chính xác, nh ư th ế các em có nhi ều th ời gian h ơn để hình thành các khái ni ệm m ới và mô hình hóa toán h ọc. Mô hình toán tích c ực có th ể nuôi d ưỡng và thúc đẩy h ọc sinh tham gia và làm ch ủ các ý t ưởng toán h ọc tr ừu t ượng. Mô hình toán tích c ực làm phong phú ph ạm vi và ch ất lượng kh ảo sát toán b ằng cách cung c ấp m ột ph ươ ng ti ện để nhìn th ấy được các ý t ưởng toán h ọc t ừ nhi ều khía c ạnh khác nhau. Vi ệc h ọc c ủa h ọc sinh được tr ợ giúp b ởi nh ững ph ản ánh mà mô hình toán tích c ực có th ể cung c ấp nh ư: kéo rê m ột điểm trong môi tr ường hình h ọc độ ng, khi đó hình dáng c ủa hình s ẽ thay đổ i; thay đổi công th ức trong các b ảng tính ta s ẽ th ấy ngay các y ếu t ố ph ụ thu ộc s ẽ thay đổ i theo. Mô hình toán tích cực c ũng cung c ấp m ột tiêu điểm khi các h ọc sinh th ảo lu ận v ới nhau và với giáo viên v ề 2
  3. các đối t ượng toán trên màn hình và ảnh h ưởng c ủa nh ững phép bi ến đổ i mà mô hình toán tích c ực cho phép. Mô hình toán tích c ực t ạo cho giáo viên nh ững c ơ h ội để điều ch ỉnh vi ệc d ạy phù hợp v ới nhu c ầu đặ c bi ệt c ủa h ọc sinh. Nh ững h ọc sinh hay xao lãng v ới vi ệc h ọc toán có th ể t ập trung h ơn v ới nh ững v ấn đề toán trên máy tính. Đối v ới nh ững h ọc sinh hay g ặp khó kh ăn trong h ọc toán, các em có th ể thu được k ết qu ả t ừ nh ững sai l ầm mà các em gây nên trong môi tr ường máy tính. Nh ững h ọc sinh hay g ặp ph ải r ắc r ối v ới nh ững quy tắc toán c ơ b ản có th ể phát tri ển và trình bày nh ững hi ểu bi ết c ủa mình v ề toán b ằng m ột cách khác, mà nh ững điều đó s ẽ giúp các em hi ểu được các quy t ắc. Khả n ăng thu hút học sinh b ằng nh ững thách th ức có tính c ụ th ể hóa trong toán t ăng lên đáng k ể khi s ử dụng nh ững mô hình tích c ực được thi ết k ế m ột cách chuyên d ụng. 2. Mô hình toán tích c ực h ỗ tr ợ vi ệc d ạy toán hi ệu qu ả Vi ệc s ử d ụng có hi ệu qu ả mô hình toán tích c ực trong l ớp h ọc ph ụ thu ộc vào giáo viên. Mô hình toán tích c ực không ph ải là ph ươ ng thu ốc bách b ệnh. C ũng gi ống nh ư m ọi ph ươ ng ti ện dạy h ọc khác, nó có th ể được s ử d ụng t ốt hay t ồi. Giáo viên nên s ử d ụng mô hình toán tích c ực để nâng cao nh ững c ơ h ội h ọc t ập c ủa h ọc sinh. Giáo viên ch ọn và sáng t ạo các nhi ệm v ụ toán nh ằm t ận d ụng được các th ế m ạnh c ủa mô hình toán tích c ực nh ư v ẽ đồ th ị và tính toán. Giáo viên có th ể dùng các mô ph ỏng để h ọc sinh th ực hành với nh ững tình hu ống có v ấn đề mà khó có th ể th ực hi ện được n ếu không có mô hình toán tích c ực. Giáo viên c ũng có th ể s ử d ụng các s ố li ệu và tài li ệu trên m ạng internet để thi ết k ế các nhi ệm v ụ toán cho h ọc sinh. Nh ững b ảng tính toán, ph ần m ềm hình h ọc động và máy tính là nh ững công c ụ h ữu ích để đặ t ra các bài toán có giá tr ị v ề m ặt giáo dục. Mô hình toán tích c ực không bao gi ờ có th ể thay th ế được v ị trí c ủa ng ười giáo viên. Khi h ọc sinh đang s ử d ụng các ph ươ ng ti ện v ới mô hình toán tích c ực, các em th ường dành th ời gian làm vi ệc theo nh ững cách mà m ới tho ạt nhìn là độc l ập v ới giáo viên, nh ưng ấn t ượng đó là không đúng. Giáo viên đóng vai trò quan tr ọng trong l ớp học khi áp d ụng mô hình toán tích c ực, đưa ra nh ững quy ết đị nh tác độ ng đế n vi ệc h ọc của h ọc sinh theo nh ững cách mang l ại hi ệu qu ả h ọc t ập t ốt nh ất. Kh ởi đầ u, giáo viên ph ải quy ết đị nh, li ệu nên dùng, khi nào dùng và dùng mô hình toán tích c ực nh ư th ế nào? Khi h ọc sinh s ử d ụng máy tính b ỏ túi và máy tính, giáo viên có c ơ h ội để quan sát học sinh và chú tr ọng vào t ư duy c ủa các em. Khi các em làm vi ệc v ới mô hình toán tích c ực, các em có th ể b ộc l ộ nh ững ph ươ ng pháp t ư duy toán mà th ường là khó có th ể quan sát được. Nh ư v ậy, nh ững tr ợ giúp c ủa công ngh ệ trong đánh giá cho phép giáo viên xem xét nh ững quá trình t ư duy toán được s ử d ụng b ởi h ọc sinh trong khi thao tác trên máy tính. Nh ững thông tin ph ản h ồi nh ư v ậy cho phép giáo viên đư a ra các quy ết định giáo d ục ti ếp theo m ột cách phù h ợp. 3. Mô hình toán tích c ực tác độ ng và chi ph ối n ội dung toán nào được d ạy v ới máy tính Mô hình toán tích c ực không ch ỉ tác độ ng đế n vi ệc toán h ọc được d ạy và h ọc nh ư th ế nào mà còn gây ảnh h ưởng đế n vi ệc d ạy cái gì và d ạy khi nào v ới s ự h ỗ tr ợ c ủa máy 3
  4. tính đối v ới m ột ch ủ đề trong khung ch ươ ng trình. Với mô hình toán tích c ực trong tay, học sinh có th ể khám phá và gi ải các bài toán liên quan đến các s ố l ớn, hay có th ể kh ảo sát các đặc tr ưng c ủa các hình b ằng cách dùng các ph ần m ềm hình h ọc độ ng. H ọc sinh trung h ọc ph ổ thông có th ể dùng các mô hình mô ph ỏng để nghiên c ứu các phân b ố m ẫu hay có th ể làm vi ệc v ới nh ững h ệ th ống đạ i s ố mà máy tính th ể hi ện m ột cách có hi ệu qu ả h ầu h ết các tính toán b ằng ch ữ, các ch ươ ng trình này đặt tr ọng tâm vào các ch ủ đề của toán h ọc truy ền th ống ở tr ường trung h ọc ph ổ thông. Vi ệc h ọc đạ i s ố không ch ỉ còn gi ới h ạn trong nh ững tình hu ống đơn gi ản mà h ọc sinh ch ỉ c ần s ử d ụng tr ực ti ếp các tính toán b ằng ch ữ. S ử d ụng công c ụ c ủa mô hình toán tích c ực, h ọc sinh có th ể lập lu ận v ề các v ấn đề t ổng quát h ơn, nh ư thay đổi tham s ố, l ập mô hình và gi ải các bài toán ph ức tạp mà tr ước đây khó có th ể ti ếp c ận được. Mô hình toán tích c ực c ũng làm xu ất hi ện l ờ mờ nh ững tách bi ệt gi ả t ạo gi ữa các ch ủ đề trong đạ i s ố, hình h ọc và phân tích d ữ li ệu bằng cách cho phép h ọc sinh dùng các ý t ưởng t ừ m ột l ĩnh v ực toán này để hi ểu t ốt h ơn một l ĩnh v ực toán khác. Mô hình toán tích c ực có th ể giúp giáo viên liên h ệ s ự phát tri ển các k ỹ n ăng và quy t ắc toán v ới s ự phát tri ển t ổng quát h ơn c ủa vi ệc hi ểu toán. Ch ẳng h ạn nh ư, m ột vài kĩ n ăng được xem là chính y ếu khi ch ưa có mô hình toán tích c ực l ại là ít c ần thi ết h ơn khi dùng các công c ụ công ngh ệ, h ọc sinh có th ể được yêu c ầu làm vi ệc ở nh ững m ức độ cao h ơn v ề t ổng quát hóa và tr ừu t ượng hóa. Làm vi ệc v ới nh ững đồ dùng thao tác được (các mô ph ỏng trên máy tính hay đồ dùng d ạy h ọc th ực) hay v ới m ột s ố ph ần m ềm cho phép h ọc sinh m ở r ộng các kinh nghi ệm th ực ti ễn và hình thành hi ểu bi ết b ước đầ u v ề các ý t ưởng có ý ngh ĩa nh ư vi ệc s ử d ụng các thu ật toán. Ph ần m ềm hình h ọc c ơ ho ạt có th ể cho phép các th ực nghi ệm đố i v ới nh ững h ọ các đố i t ượng hình h ọc v ới tr ọng tâm là các phép bi ến đổ i hình h ọc. M ột cách t ươ ng t ự, nh ững ch ức n ăng v ẽ đồ th ị thúc đẩ y vi ệc khám phá nh ững đặ c tr ưng c ủa các l ớp hàm c ụ th ể trong ch ươ ng trình nh ư hàm b ậc hai, bậc ba, hàm m ũ, hàm logarit. 4. Mô hình toán tích c ực - chi ếc c ầu n ối gi ữa d ạy và h ọc Mối quan h ệ gi ữa công ngh ệ thông tin v ới d ạy - học toán đã và đang được nhi ều nhà giáo d ục toán quan tâm nghiên c ứu. Ngay c ả nh ững giáo viên có kinh nghi ệm d ạy học nh ất, đôi khi cũng ph ải m ất nhi ều th ời gian h ơn m ột l ần để gi ải thích m ột cách rõ ràng giúp h ọc sinh n ắm b ắt và hi ểu được khái ni ệm toán nào đó. Để h ọc sinh n ắm b ắt và đư a ra được m ối quan h ệ gi ữa các khái ni ệm, giáo viên không ch ỉ đơn gi ản nói cho các em bi ết các quan h ệ đó. Con đường hình thành khái ni ệm c ủa m ột h ọc sinh ở giai đoạn đầu th ường khác v ới con đường mà th ầy giáo d ự đị nh, ho ặc không theo m ột th ứ t ự được bi ết c ủa toán h ọc. Gi ải quy ết v ấn đề , nh ững công vi ệc th ực tế phù h ợp, th ảo lu ận, kh ảo sát là nh ững khía c ạnh c ần thi ết c ủa môi tr ường h ọc toán ở m ọi c ấp h ọc. Công ngh ệ thông tin trong d ạy và h ọc toán có th ể được xem nh ư là s ự h ỗ tr ợ đặ c tính tươ ng tác gi ữa h ọc sinh và giáo viên b ởi các đồ dùng d ạy h ọc phù h ợp. Nh ững ph ươ ng ti ện d ạy h ọc thông tin điện t ử đem l ại nh ững kh ả n ăng có tính độ ng c ơ, kích thích s ự thích thú, lôi cu ốn h ọc sinh vào vi ệc h ọc và hi ểu toán. 4
  5. Nếu vi ệc d ạy toán được xem nh ư là m ột quá trình truy ền th ụ thì công ngh ệ thông tin được s ử d ụng để trình bày, gi ải thích và làm sáng t ỏ các ý t ưởng toán h ọc mà giáo viên tìm cách để thuy ết ph ục h ọc sinh. Còn n ếu vi ệc d ạy toán được xem nh ư là m ột quá trình ki ến t ạo, thì công ngh ệ thông tin được s ử d ụng g ắn li ền v ới ng ười h ọc, nó khuy ến khích tính độ c l ập suy ngh ĩ, tinh th ần dám đặ t câu h ỏi và ph ản ánh c ủa h ọc sinh. Nh ư v ậy, nh ững điều đó đang thay đổ i môi tr ường s ư ph ạm, nó cho phép giáo viên s ử d ụng công ngh ệ thông tin m ột cách phù hợp và có ý th ức trong d ạy h ọc toán nh ằm giúp các em t ự ki ến t ạo tri th ức. 5. Thi ết k ế nhi ệm v ụ h ọc t ập trong môi tr ường máy tính Một trong nh ững m ục đích nghiên c ứu c ủa giáo d ục toán là kh ảo sát m ối quan h ệ gi ữa d ạy và h ọc toán. Ng ười ta th ường quan sát và rút ra k ết lu ận h ọc sinh không h ọc được nh ững gì mà th ầy cô giáo mong đợ i các em ph ải đạ t được. Các em có th ể h ọc được một điều gì khác mà nó không n ằm trong n ội dung c ần d ạy, và đôi khi l ại h ọc được m ột điều gì đó không đúng. Nhi ều nghiên c ứu đã ch ỉ ra r ằng, l ắng nghe bài gi ảng c ủa th ầy giáo, xem một bài trình bày toán m ạch l ạc, ch ưa đảm b ảo là vi ệc h ọc s ẽ x ảy ra nh ư mong đợi. Theo nh ững quan điểm c ủa lý thuy ết ki ến t ạo được nhi ều nhà giáo d ục toán chia s ẻ một cách r ộng rãi thì ki ến th ức được xây d ựng m ột cách tích c ực b ởi ch ủ th ể nh ận th ức khi đang t ươ ng tác v ới nh ững môi tr ường học t ập toán. Khái ni ệm v ề môi tr ường h ọc t ập toán nên được hi ểu theo m ột ngh ĩa r ộng, môi tr ường là m ột tr ạng thái mang tính v ật ch ất và c ũng là m ột tr ạng thái mang tính trí tu ệ. Các bài toán là m ột ph ần c ủa nh ững môi tr ường nh ư v ậy, chúng có th ể đóng m ột vai trò quan tr ọng trong vi ệc hình thành các ki ến th ức toán b ởi ng ười h ọc. Trong môi tr ường này, ng ười h ọc t ạo ra được c ơ h ội dùng các ý t ưởng c ủa chính mình để ki ểm ch ứng tính hi ệu qu ả và tính giá tr ị khi n ỗ l ực tìm l ời gi ải. Brousseau (1986) đã xem xét quá trình phân tích l ời gi ải b ởi ng ười h ọc, khi s ự tươ ng tác gi ữa ng ười h ọc v ới “hoàn c ảnh” cho phép ng ười h ọc th ể hi ện m ột s ố hành động đã có s ẵn để gi ải quy ết v ấn đề và đư a ra ph ản ánh v ề nh ững hành động c ủa mình. Thu ật ng ữ “hoàn c ảnh” ở đây được hi ểu là một h ệ th ống mà h ọc sinh giao ti ếp tr ực ti ếp với nó. M ột ví d ụ điển hình về “hoàn c ảnh” được đưa ra trong tình hu ống ghép hình. Học sinh c ần ph ải phóng to m ột trò ch ơi ghép hình trí u ẩn trong m ột hình vuông, g ồm các hình đa giác (tam giác, hình vuông, hình ch ữ nh ật, hình thang, hình bình hành ) sao cho hình ghép g ốc có chi ều r ộng 4 cm tr ở thành hình ghép m ới có chi ều r ộng 7 cm. Cách gi ải đầ u tiên th ường g ặp là h ọc sinh c ộng thêm 3 cm cho m ỗi cạnh mà l ại gi ữ nguyên bản ch ất c ủa các hình. Nh ưng khi các em ghép chúng l ại v ới nhau thì có m ột hình không khít. Hoàn c ảnh đó t ạo ra m ột c ơ h ội để h ọc sinh ph ản ánh l ại ki ến th ức mà các em đã có về m ột hình ghép là các m ảnh ph ải khít v ới nhau. Máy tính là môi tr ường giúp gi ải quy ết v ấn đề x ảy ra ở trên. Hi ện nay, nh ững kh ả năng v ề tính toán và đồ h ọa của m ột s ố ph ần m ềm cho phép t ạo “v ật c ụ th ể hoá” mà ta hay g ọi là mô hình toán tích c ực v ề các khái ni ệm tr ừu t ượng, và nói riêng là các đối tượng toán h ọc, mà khi ta thao tác trên các đối t ượng đó s ẽ thu được nhi ều thông tin ph ản h ồi. Khi máy tính t ạo c ơ h ội cho ng ười h ọc thao tác trên nh ững đố i t ượng này, thì 5
  6. sẽ thay đổ i chính đố i t ượng. S ự ph ản ánh c ủa đố i t ượng được xem xét c ũng có th ể có b ản ch ất khác. Có th ể d ễ hi ểu h ơn khi ta so sánh tình hu ống gi ấy bút v ới tình hu ống máy tính. Vi ệc thi ết k ế m ột tình hu ống có v ấn đề trong môi tr ường d ựa trên máy tính đòi h ỏi một cách phân tích m ới các đố i t ượng toán, các phép toán, phép bi ến đổ i và s ự ph ản ánh sư ph ạm liên quan trong tình hu ống này. Điều đó gi ải thích t ại sao đôi khi giáo viên ng ại dùng máy tính trong l ớp h ọc c ủa mình, m ặc dù m ột phân tích v ề nh ững tác d ụng đem l ại bởi máy tính được trình bày trong nhi ều bài nghiên c ứu nh ưng nó không ph ải c ủa giáo viên th ực s ự đứ ng l ớp. 6. Một m ối liên h ệ khác c ủa các đố i t ượng hình h ọc thông qua máy tính Ng ười ta th ường cho r ằng b ản ch ất c ủa hình h ọc là có tính đối ng ẫu: nh ững bài toán hình h ọc có th ể mang b ản ch ất th ực hành c ũng nh ư lý thuy ết. T ừ kh ởi ngu ồn c ủa vi ệc đo đạc các đồ ng lúa b ị ng ập l ụt ở sông Nile - Ai C ập, môn hình học b ắt đầu được hình thành nh ư là m ột cách để điều khi ển các m ối quan h ệ v ới không gian v ật lý. Nh ưng r ồi hình h ọc đã được phát tri ển nh ư m ột l ĩnh v ực lý thuy ết g ắn li ền v ới các đố i t ượng tr ừu tượng. Điều này đã tr ở nên rõ ràng h ơn khi hình h ọc phi Euclide xu ất hi ện nh ư là m ột lý thuy ết kh ả d ĩ để mô hình hóa th ế gi ới th ực ti ễn. Thông th ường, để làm vi ệc v ới các đố i t ượng tr ừu t ượng trong hình h ọc, ng ười ta dựa trên các bi ểu di ễn t ượng hình mà ta g ọi là các hình. M ối liên h ệ gi ữa các nhà toán học v ới các bi ểu di ễn t ượng hình này là ph ức t ạp và nó ph ản ánh b ản ch ất đố i ng ẫu c ủa hình h ọc. Nh ững ng ười làm toán v ẽ các hình, làm vi ệc trên các hình đó nh ư nh ững đố i tượng v ật ch ất (theo ngh ĩa là m ột lo ại th ực nghi ệm) nh ưng suy lu ận c ủa h ọ l ại th ực s ự không g ắn ch ặt v ới các hình mà là với các đối t ượng lý thuy ết. Ta th ấy c ũng cùng m ột hình nh ưng suy lu ận trong hình h ọc Euclide và trong hình h ọc x ạ ảnh l ại hoàn toàn khác nhau. Nh ững ph ần m ềm hình h ọc cho phép v ẽ các hình trên màn hình máy tính giúp ta hi ểu t ốt h ơn s ự phân biệt này. Từ vi ệc v ẽ đế n hình Nh ư là m ột th ực th ể v ật ch ất thì m ột hình v ẽ là không hoàn h ảo, ch ẳng h ạn nh ững đường th ẳng là không th ực s ự th ẳng. Nh ưng các nhà toán h ọc đã b ỏ qua nh ững cái không hoàn h ảo đó và làm vi ệc trên m ột “hình v ẽ lý t ưởng”. Nh ững câu hỏi sau đây, mà cho đến bây gi ờ v ẫn ch ưa được nghiên c ứu và tr ả l ời m ột cách th ỏa đáng, đang tr ở nên đáng l ưu ý cho nh ững ng ười thi ết k ế các hình bi ểu di ễn đồ họa trên màn hình máy tính. - Đến giai đoạn nào thì s ự không hoàn h ảo c ủa m ột hình v ẽ s ẽ làm cho người sử dụng có ý ki ến và không ng ăn c ản ng ười s ử d ụng xâm nh ập vào hình v ẽ lí t ưởng? - Đến giai đoạn nào thì m ột dãy g ồm nh ững đoạn nh ỏ được th ừa nh ận nh ư là đại di ện c ủa m ột đường th ẳng? Gi ữa nh ững gi ới h ạn nào thì độ m ịn c ủa đường trên máy tính cho ta hình ảnh tr ực quan c ủa m ột đường th ẳng? - Gi ới h ạn trên c ủa độ dài m ột đoạn th ẳng, m ột đường tròn và nh ững đường th ẳng ti ếp xúc c ủa chúng là bao nhiêu? Máy tính th ực s ự b ộc l ộ m ột hi ện t ượng quan tr ọng đố i v ới h ọc sinh quen v ới các tình hu ống trên gi ấy bút. Đố i với các h ọc sinh làm vi ệc trên gi ấy bút thì nh ững s ự không 6
  7. hoàn h ảo c ủa m ột hình v ẽ là không ảnh h ưởng l ớn đế n vi ệc làm toán, vì nó th ực s ự đòi hỏi các ki ến th ức toán h ọc. Một hình v ẽ lý t ưởng có th ể đưa đến nhi ều hình v ẽ ph ụ thu ộc vào các khía c ạnh phù h ợp v ới bài toán c ần được gi ải. Đố i t ượng toán h ọc g ắn li ền v ới m ột hình v ẽ không th ể được suy ra ch ỉ t ừ hình v ẽ mà còn t ừ m ột đoạn v ăn theo m ột cách không rành m ạch. Có hai lý do để gi ải thích điều này: i/ Tính không phù h ợp c ủa m ột vài tính ch ất c ủa hình vẽ Một s ố quan h ệ rõ ràng trên hình v ẽ có th ể không ph ản ánh tính ch ất c ủa hình hình học. - Vị trí c ủa hình v ẽ trên gi ấy th ường là không quan tr ọng đố i v ới m ột bài toán hình học. M ột hình v ẽ là mô hình c ủa m ột hình, và c ũng gi ống nh ư m ọi mô hình, t ất c ả các mối quan h ệ được th ể hi ện trong hình v ẽ không th ể gi ải thích được h ết các m ối quan h ệ c ủa hình. Vi ệc gi ải thích hình v ẽ có ý ngh ĩa nh ư th ế nào được xác đị nh b ởi lý thuy ết mà ng ười dùng hình v ẽ s ử d ụng. - Trong hình h ọc x ạ ảnh, tính song song trên hình v ẽ là không phù h ợp vì m ọi đường th ẳng đề u c ắt nhau. Trong hình v ẽ ph ối c ảnh c ủa các hình ba chi ều, giao c ủa hai đường th ẳng không được xem là giao điểm c ủa các đường th ẳng t ươ ng ứng trong không gian. ii/ Tính ch ất thay đổ i được c ủa các ph ần t ử c ủa m ột hình Một khía c ạnh quan tr ọng c ủa nh ững hình hình h ọc là nó liên quan đến nh ững ph ần tử thay đổ i trong các t ập con c ủa m ặt ph ẳng (xem nh ư là m ột t ập các điểm). M ột hình v ẽ không th ể miêu t ả tính ch ất thay đổ i c ủa các ph ần t ử c ủa nó. - Một điểm c ủa m ột đoạn th ẳng trên hình v ẽ là thu ộc vào đoạn th ẳng hay đường th ẳng ch ứa đoạn th ẳng đó? - Nh ững cát tuy ến c ủa đường tròn trên hình v ẽ có nh ất thi ết ph ải được xem là cát tuy ến c ủa bài toán? Vi ệc mô t ả m ột hình theo ngôn ng ữ t ự nhiên hay theo m ột ngôn ng ữ hình t ượng nào đó đều c ần đế n vi ệc gi ải thích b ởi m ột hình v ẽ. Nh ững hình hình h ọc phía sau màn hình Máy tính đã và đang được s ử d ụng để thi ết k ế các ch ươ ng trình cho phép có vô s ố hình v ẽ g ắn li ền v ới m ột hình hình h ọc đã cho, và chúng ta có th ể thao tác trên các hình vẽ đó. Ng ười ta có th ể làm điều đó b ằng nhi ều ph ươ ng ti ện nh ư ngôn ng ữ lập trình hay lặp l ại các ph ươ ng trình có s ẵn. S ự ti ến b ộ c ủa các ph ươ ng ti ện công ngh ệ đã cho phép nh ững thao tác tr ực ti ếp và hình v ẽ trên màn hình có th ể được thay đổ i b ằng cách kích chu ột và kéo rê các hình v ẽ trong khi các tính ch ất hình h ọc được s ử d ụng để d ựng hình vẽ đó được b ảo toàn. M ột tính ch ất chung c ủa nh ững ph ần m ềm độ ng là cách s ử d ụng chúng để mô t ả t ường minh các hình: m ột hình v ẽ t ạo được trên màn hình là k ết qu ả c ủa một quá trình th ể hi ện b ởi ng ười h ọc, các em đã làm t ường minh đị nh ngh ĩa c ủa đố i tượng. Nh ững ph ần m ềm độ ng nh ư v ậy khác v ới các ch ươ ng trình v ẽ hình mà quá trình 7
  8. của nó ch ỉ liên quan đến nh ững gì xu ất hi ện trên màn hình ch ứ không có m ối liên h ệ gi ữa các ph ần t ử. Học sinh h ọc trong môi tr ường ph ần m ềm độ ng Bản ch ất đố i ng ẫu c ủa hình h ọc đã d ược nh ấn m ạnh ở trên. Nó là m ột b ộ ph ận lý thuy ết c ủa hi ện t ượng có tính đồ h ọa và không gian thông qua các mô hình tri th ức, nh ưng nó c ũng phát tri ển trong chính nó. Chúng ta bi ết r ằng, cách d ạy hình h ọc truy ền th ống th ường chú tr ọng vào vai trò của nh ững ki ến th ức lý thuy ết mà b ỏ qua ho ặc đánh giá th ấp nh ững m ối liên h ệ gi ữa v ẽ hình và lý thuy ết hình h ọc. Hình h ọc không được trình bày nh ư là ki ến th ức cho phép s ự lý gi ải các hi ện t ượng tr ực quan hay ngay c ả để điều khi ển và d ự đoán chúng. Vai trò c ủa nh ững hình v ẽ ch ỉ được th ừa nh ận nh ư là m ột minh h ọa cho các khái ni ệm hình h ọc. H ọc sinh không được d ạy cách làm th ế nào để lý gi ải m ột hình v ẽ theo nh ững thu ật ng ữ hình h ọc, làm th ế nào để phân bi ệt nh ững tính ch ất không gian là thích đáng, không theo m ột quan điểm hình h ọc mà g ắn li ền v ới hình v ẽ. Đó là lý do t ại sao đôi khi xu ất hi ện m ột s ố hi ểu nh ầm gi ữa giáo viên và h ọc sinh. Khi giao cho h ọc sinh m ột bài toán d ựng hình, ng ười giáo viên th ường tin r ằng nhi ệm v ụ đó liên quan đến vi ệc s ử d ụng hình h ọc trong khi h ọc sinh l ại hi ểu là v ẽ hình. Ví d ụ, khi học sinh được yêu c ầu v ẽ đường th ẳng ti ếp xúc v ới m ột đường tròn và đi qua điểm P cho tr ước, h ọc sinh th ường quay đường th ẳng qua P sao cho nó ch ạm vào đường tròn. Hành động này không d ựa trên hình h ọc mà d ựa trên s ự th ừa nh ận. Nhi ệm v ụ đó theo d ự ki ến của giáo viên là không ph ải để cho h ọc sinh v ẽ hình mà là m ột bài toán hình h ọc. V ới cùng lý do nh ư v ậy, khi h ọc sinh được yêu c ầu ch ứng minh m ột tính ch ất hình h ọc không gian, có th ể các em s ẽ th ấy khó hi ểu t ại sao không được phép suy ra các tính ch ất tr ực ti ếp t ừ hình v ẽ. Gi ả thuy ết được đưa ra ở đây là: b ằng cách thi ết k ế các nhi ệm v ụ toán c ụ th ể trong một môi tr ường có ph ần m ềm độ ng thì có th ể thúc đẩ y các ki ến th ức toán nh ư là m ột công c ụ để lý gi ải nh ững hi ện t ượng th ấy được, gi ải thích, t ạo nên và d ự đoán chúng. Nh ững bài toán m ới được n ảy sinh t ừ môi tr ường máy tính Nh ững hình v ẽ c ơ ho ạt c ủa các ph ần m ềm độ ng cho phép vi ệc phát sinh ra nh ững ph ạm trù m ới v ề các bài toán trong chính b ản thân toán h ọc. M ặt khác, trong môi tr ường máy tính, thông qua các kh ả n ăng đặ c thù c ủa nó, cho phép chúng ta đặ t ra các bài toán mà không d ễ gì đặt ra cho h ọc sinh trong môi tr ường gi ấy bút. 7. Nh ững dạng bài toán m ới trong hình h ọc a. Nh ững phép d ựng hình c ơ b ản Một s ố phép d ựng hình ph ụ thu ộc vào v ị trí t ươ ng đối trong không gian c ủa các ph ần t ử c ủa hình mà ta có th ể thay đổ i b ằng cách kéo rê chu ột. Ví d ụ, vi ệc d ựng các đường th ẳng ti ếp xúc t ừ m ột điểm ngoài đường tròn là khác c ơ b ản v ới t ừ m ột điểm ở trên đường tròn. Vì th ế khi kéo rê điểm P cho đến khi nó n ằm trên đường tròn thì quá trình d ựng hình không cho ta đường ti ếp tuy ến n ữa b ởi vì điểm cùng v ới P để d ựng ti ếp tuy ến không xác đị nh được. 8
  9. Một ví d ụ khác, khi d ựng điểm ngh ịch đả o c ủa m ột điểm P đối v ới đường tròn (C) tâm O, quy trình thông th ường đố i v ới m ột điểm ngoài đường tròn d ựa trên vi ệc d ựng hai đường ti ếp xúc, t ức là dùng hai giao điểm c ủa đường tròn (C) với đường tròn đường kính OP . Trong khi quy trình thông th ường cho điểm ở trong đường tròn là d ựa trên giao điểm c ủa đường tròn (C) với đường th ẳng qua P vuông góc v ới OP . (C) (C) O P O Th ực ra thì còn có nh ững l ời gi ải (C) chung nh ư hình bên: O P' P b. Nh ững v ấn đề m ới đặ t ra cho h ọc sinh Trong m ối quan h ệ gi ữa hình v ẽ và hình h ọc, chúng ta có th ể phân bi ệt nh ững lo ại vấn đề sau đây: i/ Chuy ển t ừ mô t ả b ằng l ời m ột hình hình học sang hình v ẽ; trong môi tr ường gi ấy bút đó có th ể là nh ững nhi ệm v ụ d ựng hình c ổ điển mà h ọc sinh ph ải đưa ra các phép dựng cho các đối t ượng hình h ọc được mô t ả b ằng l ời. ii/ Gi ải thích s ự tuân th ủ của các hình v ẽ theo ph ươ ng ti ện hình h ọc t ươ ng ứng v ới vi ệc chuy ển t ừ hình v ẽ sang mô t ả b ằng l ời và gi ải thích. Lý gi ải các hình v ẽ theo ngôn ng ữ hình h ọc, điều này x ảy ra trong các bài toán mà học sinh ph ải ch ứng minh t ại sao m ột tính ch ất hình h ọc đưa đến các minh ch ứng tr ực giác l ại được ki ểm ch ứng b ởi m ột hình v ẽ. Dự đoán m ột hi ện t ượng tr ực quan nh ư trong các bài toán liên quan đến qu ỹ tích. iii/ Tái t ạo l ại m ột hình v ẽ hay bi ến đổ i m ột hình v ẽ b ằng cách dùng hình h ọc. Ba lo ại nhi ệm v ụ này tr ở nên khác nhau trong môi tr ường máy tính có ph ần m ềm động b ởi vì nh ững đặ c thù c ủa vi ệc v ẽ hình b ằng ph ần m ềm độ ng. Nh ững nhi ệm v ụ (i) Vi ệc t ạo ra m ột hình v ẽ c ơ ho ạt tho ả mãn nh ững tính ch ất không gian khi nó được kéo rê đòi h ỏi ph ải dùng đến các tính ch ất hình h ọc v ề d ựng hình và không ch ấp nh ận nh ững quá trình th ử và sai ph ạm d ựa trên c ảm nh ận b ằng m ắt. Quá trình d ựng ti ếp tuy ến ở trên đư a ra m ột hình v ẽ c ơ ho ạt không th ỏa mãn điều ki ện d ựng hình khi m ột điểm c ơ 9
  10. bản b ị kéo rê. Vi ệc s ử d ụng hình h ọc được đòi h ỏi b ởi chính bài toán ch ứ không ph ải nh ư trên gi ấy bút là b ởi th ầy giáo. Chúng ta đã bi ết r ằng trong môi tr ường gi ấy bút, n ếu ta thay đổ i công c ụ d ựng hình có th ể làm thay đổi công c ụ khái ni ệm (tức là nh ững tính ch ất hình h ọc) được s ử d ụng để th ể hi ện phép d ựng. Trong môi tr ường ph ần m ềm, có th ể không ch ỉ mô ph ỏng nh ững ki ến th ức c ơ b ản cho h ọc sinh mà còn t ạo nên nh ững ki ến th ức m ới trong khi sáng t ạo nên các đối t ượng m ới. Ví d ụ. Dùng các phép bi ến đổ i nh ư là công c ụ để thu được các tính ch ất hình h ọc Kh ả n ăng sáng t ạo nên m ột phép d ựng nào đó, t ức là m ột hàm hình h ọc th ực s ự cho phép t ạo ra m ột đố i t ượng hình h ọc khi các đố i t ượng đầ u vào được cho. Điều đó cho phép giáo viên sáng t ạo ra nh ững công c ụ m ới và yêu c ầu h ọc sinh d ựng các hình hình học bằng các công c ụ được quy ết đị nh b ởi giáo viên. Ví d ụ, h ọc sinh được yêu c ầu d ựng đường th ẳng qua m ột điểm và song song v ới đường th ẳng đã cho b ằng cách dùng các ki ến th ức sau: góc, phân giác, đố i x ứng tr ục, đố i x ứng qua điểm. Hai l ời gi ải được cho nh ư sau: P'' P P P'' A d d A A' P' P' Kết h ợp đố i x ứng tr ục và đối x ứng tâm Dùng đường vuông góc chung Cái m ới ở đây là vi ệc dùng m ột dãy các phép bi ến đổ i để thu được m ột tính ch ất một cách tr ực quan. M ặc dù, có th ể phép đố i xứng tr ục là m ột cách để thu được đường th ẳng vuông góc v ới m ột ph ươ ng đã cho, nh ưng th ường h ọc sinh không bi ết đế n b ởi vì nó không được dùng trong môi tr ường gi ấy bút. Khi h ọc sinh làm vi ệc trong môi tr ường ph ần m ềm c ơ ho ạt các em s ẽ ng ạc nhiên khi phát hi ện ra r ằng, đường th ẳng n ối m ột điểm v ới ảnh c ủa nó qua phép đố i x ứng tr ục là vuông góc v ới tr ục đố i x ứng. Các em s ẽ tự h ỏi: “Có ph ải là do may m ắn nên ta có được đường th ẳng vuông góc?”. Vi ệc s ử d ụng kết h ợp các phép đố i x ứng tâm th ường là k ết qu ả c ủa m ột đị nh lý, nó có th ể được dùng trong m ột ch ứng minh nh ưng nó không ph ải là m ột công c ụ để t ạo nên hình v ẽ c ủa m ột hình. Vi ệc s ử d ụng k ết h ợp các phép bi ến đổ i trong m ột ch ứng minh là ở m ức độ cao c ủa tư duy, trong tr ường h ợp này có th ể là quá trình ph ức t ạp đố i v ới h ọc sinh ở đầ u c ấp THPT khi so sánh v ới đị nh lý v ề đường trung bình c ủa m ột tam giác. Trong tr ường h ợp này, ta th ấy máy tính đã cho h ọc sinh c ơ h ội: 10
  11. - Không ch ỉ làm vi ệc trên l ĩnh v ực các đố i t ượng lý thuy ết nh ư là m ột ho ạt độ ng ch ứng minh mà còn liên h ệ nh ững khái ni ệm lý thuy ết v ới nh ững ảnh h ưởng tr ực quan. - Liên k ết các khía c ạnh tr ực quan và lý thuy ết v ới nhau v ề khái ni ệm h ợp các phép bi ến đổ i, không ph ải b ằng m ột con đường th ụ độ ng (nh ư phim ảnh) mà theo con đường v ận hành (nh ững đố i t ượng lý thuy ết được dùng nh ư nh ững công c ụ tìm l ời gi ải c ủa bài toán đã cho). Bởi vì hình v ẽ được v ẽ trong ph ần m ềm có tính ch ất c ơ ho ạt nên vi ệc tho ả mãn m ột số điều ki ện v ề s ự thay đổ i c ủa nó được đòi h ỏi theo nhi ệm v ụ bài toán. Ví d ụ, v ẽ m ột tam giác đều b ằng cách quay quanh tâm c ủa nó. Để đáp ứng lo ại điều ki ện này đòi h ỏi s ự phân tích các hình v ẽ độ ng theo các m ức t ự do khác v ới nhi ệm v ụ d ựng hình truy ền th ống. Nh ững điều ki ện v ề các điểm c ố đị nh và chuy ển độ ng c ũng có th ể đòi h ỏi m ột phép d ựng v ới m ột th ứ t ự khác và do đó đư a ra vi ệc s ử d ụng các tính ch ất hình h ọc khác. Đó là m ột tr ường h ợp trong khi d ựng m ột tam giác đề u thì ng ười ta ít khi b ắt đầ u t ừ tâm của tam giác. Các nhi ệm v ụ (ii ) Nh ững hình v ẽ c ơ ho ạt cung c ấp m ột hình ảnh tr ực quan m ạnh h ơn m ột hình vẽ tĩnh duy nh ất. M ột tính ch ất hình h ọc có th ể hi ện ra nh ư là m ột b ất bi ến trong khi chuy ển động mà điều đó khó có th ể th ấy được trong hình v ẽ t ĩnh. Trong tr ường h ợp sau, nó có th ể không được quan sát, ví d ụ, m ột đường th ẳng luôn đi qua m ột điểm đã cho. Chúng ta gi ả s ử r ằng trong các nhi ệm v ụ (ii) môi tr ường ph ần m ềm nh ấn m ạnh t ầm quan tr ọng đế n quan sát tr ực quan và do đó có th ể thúc ép h ọc sinh gi ải thích t ại sao các em l ại thu được nh ững hi ện t ượng đáng chú ý và tr ực quan nh ư v ậy. Môi tr ường ph ần m ềm có th ể thúc đẩy tính phù h ợp c ủa s ự gi ải thích hay ch ứng minh bài toán b ởi h ọc sinh. Theo thu ật ng ữ của Brousseau (1986) thì nó thúc đẩy quá trình chuy ển giao c ủa bài toán; ng ười h ọc sinh thu được “quy ền s ở h ữu” bài toán theo cách c ủa mình trong khi ở môi tr ường truy ền th ống m ột nhi ệm v ụ ch ứng minh có th ể được xem nh ư là vi ệc h ọc t ập ở nhà tr ường mà không có m ối liên h ệ nào v ới các hi ện t ượng tr ực quan. Nh ững nhi ệm v ụ nh ư v ậy được sử d ụng trong môi tr ường ph ần m ềm độ ng. Nh ững nhi ệm v ụ (iii ) Nh ững nhi ệm v ụ (iii) trong môi tr ường ph ần m ềm độ ng liên quan đến c ả hai khía cạnh, vi ệc gi ải thích các hình v ẽ độ ng theo thu ật ng ữ hình h ọc và vi ệc d ựng hình l ại bằng ph ươ ng ti ện các đố i t ượng hình h ọc c ơ b ản c ủa ph ần m ềm. Chúng ta g ọi đó là nh ững nhi ệm v ụ “h ộp đen”. M ột hình v ẽ độ ng được t ạo nên b ởi ph ần m ềm độ ng, khi đư a cho h ọc sinh, các em s ẽ không bi ết là nó được d ựng nh ư th ế nào và nh ững ch ỉ d ẫn dựng hình được lo ại b ỏ. Nhi ệm v ụ c ủa h ọc sinh là d ựng l ại các hình đó, t ức là m ột hình vẽ độ ng mà khi ta kéo rê nó có nh ững thay đổi nh ư là hình v ẽ đã cho. Nh ững tình hu ống hộp đen này không th ể cho trong môi tr ường gi ấy bút, b ởi vì ch ỉ m ột hình v ẽ thì không th ể chuy ển đạ t thông tin v ề m ối quan h ệ c ủa các b ộ ph ận c ủa nó m ột cách t ươ ng ứng. Một mô t ả không c ần ph ải hoàn ch ỉnh v ề hình hình h ọc nên được cho kèm theo hình v ẽ. 11
  12. Tóm l ại, các nhi ệm v ụ (i) và (ii) nên đòi h ỏi vi ệc s ử d ụng b ước đầ u ki ến th ức hình học và các nhi ệm v ụ (iii) là để kích thích nhu c ầu c ần ch ứng minh. Kết lu ận Ph ần m ềm độ ng cung c ấp nh ững môi tr ường phong phú cho vi ệc t ạo mô hình và th ể hi ện các đố i t ượng toán h ọc. Vi ệc nghiên c ứu các ph ần m ềm độ ng trong hình h ọc và đại s ố đã nh ấn m ạnh s ự c ần thi ết c ủa vi ệc phân tích m ối liên h ệ m ới v ới ki ến th ức được ki ến t ạo nên b ởi h ọc sinh thông qua ph ần m ềm. S ự phân tích này ph ải g ắn li ền v ới các bài toán được s ử d ụng b ởi giáo viên để thúc đẩ y vi ệc h ọc. Nh ững bài toán m ới là có th ể dùng được, nhưng ý ngh ĩa c ủa chúng là gì đối v ới h ọc sinh? Có v ẻ nh ư là m ột môi tr ường ph ần m ềm đưa ra thông tin ph ản h ồi có th ể thúc đẩ y các th ử nghi ệm có tính kinh nghi ệm nh ằm thu được nh ững l ời gi ải được d ự ki ến tr ước do may m ắn. Nh ững nhi ệm v ụ được thi ết k ế ph ải tránh được nh ững kh ả n ăng th ử nghi ệm để thu được l ời gi ải nh ư v ậy. Sự ph ản ánh tr ực quan d ựa trên hình h ọc đóng m ột vai trò quan tr ọng trong s ự phát tri ển của h ọc sinh, trên c ả hai ph ươ ng di ện, ch ỉ ra ph ươ ng pháp c ủa h ọc sinh là không tho ả đáng và nh ững minh ch ứng v ề m ột s ố hi ện t ượng tr ực quan. H ơn n ữa c ũng có th ể xu ất hi ện hi ện t ượng h ọc sinh s ử d ụng r ộng rãi s ự liên k ết gi ữa tr ạng thái kéo rê và nh ững tính ch ất c ơ b ản c ủa hình h ọc để nh ận được nh ững thông tin ph ản h ồi ph ức t ạp h ơn. Điều đó ch ỉ đường cho chúng ta nh ấn m ạnh vào m ối quan h ệ gi ữa các hi ện t ượng hình h ọc và tr ực quan v ới s ự t ồn t ại c ủa nh ững kh ả n ăng giao di ện m ới. 12
  13. Chươ ng II SỬ D ỤNG PH ẦN M ỀM GSP TRONG DẠY H ỌC TOÁN I. Gi ới thi ệu s ơ l ược ph ần m ềm The GEOMETER’S SKETCHPAD 5.00 1. M ột s ố đặ c điểm c ủa ph ần m ềm GSP Ph ần m ềm The Geometer’s Sketchpad (GSP) được vi ết b ởi Nicholas Jackiw là m ột ph ần m ềm h ỗ tr ợ vi ệc d ạy và h ọc trên máy tính. Phiên b ản đầ u tiên ra đời vào n ăm 1991. So v ới các phiên b ản đầ u tiên, phiên b ản 5.00 đã có nhi ều c ải ti ến quan tr ọng giúp ch ươ ng trình d ễ s ử d ụng và linh ho ạt h ơn. GSP là m ột ph ần m ềm h ỗ tr ợ sáng t ạo, khám phá và phân tích m ột l ớp r ộng các ki ến th ức toán. S ử d ụng ph ần m ềm hình h ọc độ ng GSP, ta có th ể xây d ựng nh ững mô hình toán t ươ ng tác t ừ nh ững kh ảo sát đơn gi ản v ề hình d ạng đế n nh ững minh h ọa độ ng ph ức t ạp. Đối v ới h ọc sinh, ph ần m ềm GSP với tính n ăng ho ạt hình, nhanh chóng t ạo ra vô s ố hình vẽ m ới t ừ hình v ẽ ban đầ u, ch ỉ b ằng cách kéo rê chu ột, mà nh ững tính ch ất hình h ọc vẫn được gi ữ nguyên, cho phép các em khám phá các quan h ệ toán h ọc thông qua xây dựng và kh ảo sát các mô hình. Ph ần m ềm c ũng tạo điều ki ện thu ận l ợi cho các em đặ t và ki ểm chứng các gi ả thuy ết toán, tr ợ giúp tìm đường l ối ch ứng minh nh ờ tính n ăng tr ực quan và c ơ ho ạt của mình. Đối v ới giáo viên, Sketchpad cung c ấp m ột môi tr ường h ấp d ẫn để trình bày các khái ni ệm toán, mô hình hóa các câu h ỏi, tạo ra các hình v ẽ mà v ới s ự quan sát b ằng m ắt rất d ễ dàng nh ận ra các tính ch ất, nh ững liên h ệ c ủa các y ếu t ố c ủa hình khuy ến khích các d ự đoán c ủa h ọc sinh. Đối v ới các nhà nghiên c ứu giáo d ục, nh ững ng ười yêu thích toán, h ọ có th ể s ử dụng GSP để th ăm dò các tính ch ất c ủa phép d ựng, khám phá ra các k ết qu ả m ới c ũng nh ư t ạo ra các minh h ọa toán h ọc để s ử d ụng trong các ho ạt độ ng, nhi ệm v ụ nghiên c ứu, các báo cáo ho ặc ấn b ản 2. H ệ th ống l ệnh và các công c ụ làm vi ệc chính c ủa ph ần m ềm GSP Màn hình làm vi ệc c ủa ph ần m ềm Geometer’s Sketchpad (GSP) 5.00: Thanh menu Hộp công c ụ Thanh v ăn b ản 13
  14. 2.1. Hộp công c ụ - Toolbox - Công c ụ mũi tên ch ọn (Selection Arrow Tool) dùng để ch ọn các l ệnh, các đối t ượng; dùng để di chuy ển t ịnh ti ến m ột đố i t ượng. - Công c ụ mũi tên quay (Rotation Arrow Tool) dùng để quay m ột đố i t ượng quanh tâm được ch ọn tr ước - Công c ụ mũi tên v ị t ự (Dilation Arrow Tool) - Công c ụ điểm (Point Tool) dùng để d ựng điểm tùy ý ho ặc giao điểm c ủa các đường th ẳng, đoạn th ẳng, đường tròn, cung tròn - Công c ụ đường tròn (Compass Tool) dùng để d ựng đường tròn khi bi ết tâm và m ột điểm thu ộc đường tròn. - Công c ụ th ước th ẳng (Segment Straightedge Tool) dùng để d ựng đoạn th ẳng. - Công c ụ tia (Ray Straightedge Tool) dùng để d ựng tia. - Công c ụ đường th ẳng (Line Straightedge Tool) để d ựng đường th ẳng qua hai điểm. - Công c ụ đa giác (Polygon Tool) dùng để d ựng mi ền trong c ủa đa giác. - Công c ụ đa giác và biên (Polygon and Edges Tool) dùng để d ựng biên và mi ền trong c ủa đa giác. - Công c ụ biên đa giác (Polygon Edges Tool) dùng để d ựng biên c ủa đa giác - Công c ụ văn b ản (Text Tool) dùng để đặ t tên, đổi tên cho m ột đố i t ượng; t ạo ra các khung chú thích, các v ăn b ản, các công th ức toán - Công c ụ đánh d ấu (Marker Tool) dùng để đánh d ấu góc, đánh d ấu đoạn th ẳng ho ặc phác th ảo nh ững nét v ẽ tay. - Công c ụ thông tin (Information Tool) dùng để kh ảo sát cách d ựng c ủa m ột hình v ẽ c ũng nh ư m ối liên h ệ gi ữa các đố i t ượng trong hình v ẽ đó. 14
  15. - Công c ụ th ường dùng (Custom Tool) cho phép ng ười s ử d ụng t ự t ạo các công c ụ h ỗ tr ợ cho vi ệc d ựng hình, các công c ụ này ch ỉ c ần thi ết k ế m ột l ần và sau đó được s ử d ụng khi c ần thi ết. 2.2. Các l ệnh c ơ b ản trên thanh menu 2.2.1. Menu File New Sketch Tạo m ột File GSP m ới. Open Mở các File GSP đã l ưu. Save Lưu File. Document Options Các l ựa ch ọn trên tài li ệu: t ạo thêm trang m ới, xóa trang, copy m ột trang, thay đổi th ứ t ự các trang. Print In. Quit Thoát kh ỏi ch ươ ng trình GSP. 2.2.2. Menu Edit Paste Dán các hình ảnh có đị nh d ạng tùy ý vào m ột, hai ho ặc ba điểm trong GSP để có th ể thay đổ i kích th ước ho ặc v ị trí c ủa hình. 15
  16. Action Button Tạo các nút kích ho ạt sau đây: Hide/Show Tạo nút l ệnh ẩn/hi ện các đố i t ượng được ch ọn; Animation Tạo nút l ệnh điều khi ển m ột ho ặc nhi ều đố i t ượng chuy ển độ ng trên đường d ẫn c ủa nó; Movement Tạo nút l ệnh cho phép di chuy ển v ị trí m ột điểm t ới một vị trí khác; Presentation Tạo nút l ệnh trình di ễn cho phép k ết h ợp nhi ều nút lệnh theo m ột th ứ t ự đị nh tr ước; Link Tạo nút l ệnh liên k ết. Select Parents Ch ọn các đố i t ượng c ơ b ản trên màn hình. Select Children Ch ọn các đố i t ượng ph ụ thu ộc trên màn hình. Crop Picture to Polygon Tạo ra m ột hình m ới là ph ần giao c ủa m ột hình ảnh với m ột đa giác đã được ch ọn. Split/Merge Tách/nh ập các đố i t ượng (điểm, v ăn b ản ). Edit Definition Thay đổi đị nh ngh ĩa c ủa các phép toán, hàm s ố, (Calculation, Function, tham s ố, điểm đã d ựng. Parameter, Plotted Point ) Properties Xem thu ộc tính c ủa đố i t ượng được ch ọn. Preferences Đặt các ki ểu hi ển th ị (đơ n v ị, màu s ắc ). 2.2.3. Menu Display 16
  17. Line Style Thay đổi nét v ẽ cho đố i t ượng (đứt khúc, li ền m ảnh, li ền đậ m). Color Thay đổi màu s ắc cho đố i t ượng. Text Thay đổi ki ểu ch ữ và kích c ỡ cho v ăn b ản. Hide Objects Gi ấu các đố i t ượng được ch ọn. Show All Hidden Hi ện t ất c ả các đố i t ượng đã được ẩn tr ước đó. Show Label Hi ện nhãn (tên) của m ột đố i t ượng. Label Đặt tên cho m ột đố i t ượng. Trace Tạo v ết cho đối t ượng. Erase Traces Xóa h ết v ết trên trang hình. Animate Kích ho ạt chuy ển độ ng m ột đố i t ượng. Increase/Decrease Tăng/gi ảm t ốc độ chuy ển độ ng. Speed Stop Animation Dừng chuy ển độ ng. Hide/Show Text Ẩn/Hi ện thanh v ăn b ản. Palette Hide/Show Motion Ẩn/Hi ện h ộp điều khi ển chuy ển độ ng. Controller Hide/Show Toolbox Ẩn/Hi ện h ộp công c ụ. 2.2.4. Menu Construct Point On Object Dựng điểm trên đối t ượng. Midpoint Dựng trung điểm c ủa đoạn th ẳng. Intersection Dựng giao điểm c ủa hai đố i t ượng. Segment Dựng đoạn th ẳng qua hai điểm. Ray Dựng tia có điểm đầ u làm g ốc và điểm th ứ hai thu ộc tia. 17
  18. Line Dựng đường th ẳng qua hai điểm. Perpendicular Line Dựng đường th ẳng qua m ột điểm và vuông góc v ới m ột đường th ẳng được ch ọn. Parallel Line Dựng đường th ẳng qua m ột điểm và song song v ới m ột đường th ẳng được ch ọn. Angle Bisector Dựng tia phân giác trong c ủa m ột góc khi bi ết đỉ nh c ủa góc và hai điểm thu ộc hai c ạnh c ủa góc (khác đỉnh). Circle By Center Dựng đường tròn có tâm là điểm đầ u và đi qua điểm And Point ch ọn th ứ hai. Circle By Center & Dựng đường tròn có tâm và độ dài bán kính xác định Radius bởi đoạn th ẳng ho ặc s ố đo kho ảng cách đã được ch ọn. Arc On Circle Dựng cung tròn qua hai điểm trên một đường tròn (ch ọn tâm đường tròn ch ứa cung tròn, xác định điểm đầ u v à điểm cu ối c ủa cung tròn theo chi ều d ươ ng l ượng giác). Arc Through Three Dựng cung tròn qua ba điểm b ất k ỳ. Points Interior Dựng mi ền trong c ủa m ột đa giác, c ủa m ột đường tr òn, của m ột hình qu ạt tròn (ch ọn l ần l ượt các đỉ nh c ủa đa giác ho ặc đường tròn, cung tròn). Locus Dựng qu ỹ tích c ủa m ột đố i t ượng (điểm, đoạn th ẳng, đường th ẳng ) khi đối t ượng đó di chuy ển theo m ột điểm di động cho tr ước. 2.2.5. Menu Transform Mark Center Đánh d ấu điểm làm tâm quay hay tâm v ị t ự. Mark Mirror Đánh d ấu đường th ẳng làm tr ục đố i x ứng. Mark Angle Đánh d ấu góc quay. Mark Ratio Đánh d ấu tỉ s ố c ủa hai đoạn th ẳng, c ủa ba điểm th ẳng hàng ho ặc m ột giá tr ị không có đơn v ị. Mark Vector Đánh d ấu vector để t ịnh ti ến. 18
  19. Mark Distance Đánh d ấu giá tr ị đạ i di ện cho kho ảng cách để s ử d ụng trong phép t ịnh ti ến (Polar / Rectangular). Translate Cho phép t ạo ảnh c ủa đố i t ượng được ch ọn qua phép t ịnh ti ến theo m ột vector đã xác định tr ước đó ho ặc theo m ột kho ảng và m ột h ướng xác đị nh, ho ặc theo t ọa độ ch ữ nh ật. Rotate Cho phép t ạo ảnh c ủa đố i t ượng được ch ọn qua phép quay có tâm quay và góc quay đã được xác đị nh tr ước đó. Dilate Cho phép t ạo ảnh c ủa đố i t ượng được ch ọn qua phép v ị t ự có tâm và t ỉ v ị t ự đã được xác đị nh tr ước đó. Reflect Cho phép t ạo ảnh c ủa đố i t ượng được ch ọn qua phép đối xứng tr ục có tr ục đố i x ứng đã được xác đị nh tr ước. Iterate Phép l ặp. Define Custom Tạo ra m ột phép bi ến hình th ường dùng (khác v ới các Transform phép bi ến hình đã có). Edit Custom Thay đổi tên, th ứ t ự ho ặc xóa m ột phép bi ến hình th ường Transform dùng đã được t ạo tr ước đó. 2.2.6. Menu Measure Length Đo độ dài c ủa m ột đoạn th ẳng. Distance Đo kho ảng cách gi ữa hai điểm, kho ảng cách t ừ m ột điểm đế n m ột đường th ẳng. Perimeter Đo chu vi c ủa m ột đa giác (bằng cách ch ọn mi ền trong của đa giác đó). Circumference Đo chu vi c ủa đường tròn. Angle Đo độ l ớn c ủa m ột góc. Area Đo di ện tích c ủa m ột hình. Arc Angle Đo s ố đo c ủa một cung. 19
  20. Arc Length Đo độ dài c ủa m ột cung. Radius Đo bán kính c ủa m ột đường tròn ho ặc m ột cung tròn Ratio Đo t ỉ s ố c ủa hai đoạn th ẳng ho ặc t ỉ s ố đạ i s ố c ủa ba điểm th ẳng hàng. Value of Point Đo v ị trí t ươ ng đối c ủa điểm đã ch ọn trên đường (đoạn th ẳng, đường th ẳng, tia, cung tròn, đường tròn ) mà nó được d ựng. Coordinates Đo t ọa độ c ủa điểm. Abscissa (x) Đo hoành độ c ủa điểm. Ordinate (y) Đo tung độ c ủa điểm. Coordinate Đo kho ảng cách gi ữa hai điểm d ựa trên h ệ tr ục t ọa độ Distance đã được xác đị nh. Slope Đo h ệ s ố góc c ủa m ỗi đường th ẳng được ch ọn đố i v ới một h ệ tr ục xác đị nh. Equation Cho ph ươ ng trình c ủa đường th ẳng, đường tròn trong một h ệ tr ục xác đị nh. 2.2.7. Menu Number New Parameter Tạo tham s ố m ới. Để thay đổ i giá tr ị c ủa m ột tham s ố ta có th ể ch ọn tham s ố và nh ấn phím + ho ặc -. Calculate Máy tính. Tabulate Tạo m ột b ảng tính các giá tr ị t ươ ng ứng t ại các giá tr ị khác nhau c ủa bi ến. Add Table Data Thêm m ột ho ặc nhi ều hàng d ữ li ệu vào b ảng giá tr ị. Remove Table Data Xóa m ột ho ặc t ất c ả các hàng d ữ li ệu c ủa b ảng giá tr ị. New Function Tạo ra m ột hàm s ố m ới b ằng máy tính. Define Derivative Tạo ra m ột hàm s ố mới là đạo hàm c ủa hàm s ố được Function ch ọn. Define Function Tạo ra m ột hàm s ố m ới t ừ hình v ẽ b ằng công c ụ maker from Drawing ho ặc b ức tranh trong m ột h ệ tr ục xác đị nh. 20
  21. 2.2.8. Menu Graph Define Coordinate Tạo m ột h ệ tr ục t ọa độ và đánh d ấu h ệ tr ục. System Mark Coordinate Đánh d ấu h ệ tr ục t ọa độ . System Grid Form Ch ọn d ạng l ưới cho h ệ tr ục t ọa độ (lưới t ọa độ c ực, lưới vuông ho ặc l ưới ch ữ nh ật). Show/Hide Grid Hi ện/ Ẩn l ưới. Dotted Grid Ch ọn/Thôi ch ế độ l ưới t ọa độ điểm. Snap Points Ch ọn/Thôi ch ế độ điểm t ự do có t ọa độ nguy ên khi dịch chuy ển. Plot Value on Axis Dựng điểm trên đường (đoạn th ẳng, đường th ẳng, (Circle/Segment/Ray ) tia, cung tròn, đường tròn ) bằng cách nh ập giá tr ị từ bàn phím ho ặc có s ẵn trên trang hình. Plot Points Dựng điểm b ằng cách nh ập t ọa độ tr ực ti ếp t ừ b àn phím. Plot Table Data Dựng các điểm t ừ bảng giá tr ị. Plot New Function Dựng đồ th ị c ủa hàm s ố được nh ập t ừ máy tính ho ặc có s ẵn trên trang hình. II. Thi ết k ế m ột s ố mô hình hình h ọc ph ẳng 1. Thi ết k ế mô hình h ỗ tr ợ gi ải bài toán qu ỹ tích Bài toán. Cho đường tròn đường kính AB . T ừ m ột điểm H thu ộc đoạn AB kẻ đường vuông góc v ới AB cắt đường tròn t ại các điểm C, D. M là m ột điểm trên cung nh ỏ BC , CD cắt AM tại I và đường tròn ngo ại ti ếp tam giác AID cắt MD tại điểm th ứ hai C’. Tìm qu ỹ tích điểm C’ khi M di chuy ển trên cung nh ỏ BC . - Mở trang m ới; - Sử d ụng công c ụ th ước th ẳng Segment Straightedge Tool dựng đoạn AB ; 21
  22. - Ch ọn đoạn AB vào Construct | Midpoint ta được trung điểm O của AB ; - Dựng đường tròn đường kính AB bằng cách dùng công c ụ đường tròn Compass Tool kích vào tâm O và điểm A; - Lấy điểm H thu ộc đoạn AB bằng công c ụ điểm Point Tool , ch ọn H và đoạn AB vào Construct | Perpendicular Line để d ựng đường th ẳng vuông góc v ới AB tại H; kích vào hai điểm giao c ủa đường th ẳng và đường tròn, đặt tên là C, D; - Ch ọn tâm O, điểm B, C theo th ứ t ự (cung nh ỏ) và Construct | Arc on Circle ta được cung nh ỏ BC ; l ấy điểm M trên cung nh ỏ v ừa d ựng (ki ểm tra điểm M ch ỉ ch ạy trên cung nh ỏ BC ); - Dựng các đoạn th ẳng AM , DM và giao điểm I của AM với CD ; dùng công c ụ đa giác Polygon Tool lần l ượt kích và 3 điểm A, I, D (kích 2 l ần vào điểm D để kết thúc dựng tam giác) ta được tam giác AID ; - Dựng đường tròn ngo ại ti ếp M chuyen dong C tam giác AID : Ch ọn 3 điểm A, I, M D áp d ụng Construct | Arc I through 3 Points để d ựng cung A H O B tròn qua ba điểm, t ươ ng t ự đố i với 3 điểm I, A, D; C' - Dựng giao điểm th ứ hai C’ c ủa D MD và đường tròn ngo ại ti ếp tam giác AID ; Hình 2.1 - Tạo v ết cho điểm C’ b ằng cách ch ọn C’ vào Display | Trace Intersection ; - Tạo nút l ệnh ho ạt hình cho điểm M: ch ọn M, Edit | Action Button | Animation ; đổi tên nút l ệnh b ằng cách ch ọn nút l ệnh, Edit | Properties | Label và đánh vào “ M chuyen dong”; Hình 2.2 - Kích vào nút l ệnh M chuyen dong để h ọc sinh quan sát qu ỹ tích c ủa điểm C’, kéo điểm M đến nh ững v ị trí đặ c bi ệt giúp h ọc sinh d ự đoán qu ỹ tích. Bài toán 2. Cho đường tròn (O), đường th ẳnguuuur d và uuur tam uuur giác uuuur ABC nội ti ếp đường tròn (O). M là điểm tu ỳ ý, d ựng điểm D sao cho MD= MA + MB + MC . Tìm qu ỹ tích c ủa D khi điểm M di d ộng trên đường th ẳng d, trên đường tròn (O). - Mở trang m ới; - Dựng đường tròn (O) bằng công c ụ đường tròn Compass Tool ; đường th ẳng d bằng công c ụ đường th ẳng Line Straightedge Tool và tam giác ABC bằng công c ụ đa giác Polygon Tool kích l ần l ượt vào 3 điểm trên đường tròn (O); d ựng điểm M 22
  23. tu ỳ ý b ằng công c ụ điểm Point Tool ; uuur- Dự uuurng đ uuuriểm E sao cho ME= MA + MB bằng cách dựng điểm E là ảnh c ủa điểm M qua phép quay tâm I góc A M 180 o, với I là trung điểm đoạn AB - ch ọn đoạn AB vào I Construct | Midpoint , góc O 0 B quay 180 (phép đối x ứng E tâm I) bằng cách kích đúp C điểm I để đánh d ấu tâm quay, ch ọn M vào Hình 2.3 Transform | Rotate | 180 0; uuuur uuur uuur uuuur uuur uuuur - Tươ ng t ự, d ựng điểm D sao cho MD= MA + MB + MC = ME + MC ; - Ch ọn các đố i t ượng điểm I, E, đoạn ME vào Display | Hide Objects để ẩn các đố i tượng này; - Tạo nút l ệnh chuy ển độ ng cho điểm M, t ạo v ết cho điểm D; - Ch ọn điểm M, đường tròn (O) áp d ụng Edit | Merge Point to Circle ; kích vào nút lệnh M chuy ển độ ng ta sẽ th ấy điểm M di chuy ển trên đường tròn (O); - Để giúp h ọc sinh d ự đoán M chuyen dong được qu ỹ tích c ủa điểm D ta t ạo vết cho đoạn MD (ch ọn MD vào M A Display | Trace Segment ), kéo điểm M đến m ột s ố v ị trí trên B O đường tròn để h ọc sinh quan sát C vết c ủa các đoạn MD luôn đi qua một điểm, d ự đoán điểm c ố D định này b ằng cách cho M trùng Hình 2.4 với các v ị trí đặ c bi ệt nh ư các đỉnh A, B, C của tam giác; - Để quan sát qu ỹ tích c ủa điểm D khi M chuy ển độ ng trên đường th ẳng d ta th ực hi ện nh ư sau: Xóa các v ết trên màn hình bằng cách vào Display | Eraser Trace , ch ọn điểm M và đường tròn áp d ụng Edit | Split Point from Circle tách điểm M kh ỏi đường tròn, ti ếp t ục ch ọn M và đường th ẳng vào Edit | Merge Point to Line , kích vào nút l ệnh M chuy ển độ ng để quan sát v ết c ủa điểm D khi M di chuyển trên đường th ẳng d. 23
  24. D M chuyen dong A B O M C Hình 2.5 BÀI T ẬP 1. Thi ết k ế mô hình b ằng ph ần m ềm GSP h ỗ tr ợ h ọc sinh gi ải các bài toán qu ỹ tích sau: Bài 1 . Cho đường tròn tâm O, đường kính AB và m ột điểm S thu ộc đường th ẳng AB nh ưng ở ngoài đường tròn và điểm A nằm gi ữa hai điểm S, B. Qua S, k ẻ m ột cát tuy ến cắt đường tròn t ại hai điểm M và M’ (điểm M nằm gi ữa hai điểm S, M’) AM và BM ’ c ắt nhau t ại điểm P. Tìm qu ỹ tích điểm P khi đường th ẳng SMM ’ quay xung quanh S. Bài 2 . Cho hai điểm A, B cố đị nh. T ừ A vẽ các ti ếp tuy ến v ới các đường tròn tâm B có bán kính không l ớn h ơn AB . Tìm qu ỹ tích các ti ếp điểm. Bài 3 . Cho m ột đường th ẳng d và m ột điểm A không n ằm trên d cùng c ố đị nh. G ọi (O) là đường tròn di động đi qua A và ti ếp xúc v ới D tại B. Tìm t ập h ợp hình chi ếu M của tâm O xu ống AB . Bài 4 . Cho tam giác ABC vuông t ại A. V ẽ hai n ửa đường tròn đường kính AB và AC thu ộc mi ền ngoài c ủa tam giác. M ột cát tuy ến thay đổ i qua A cắt hai n ửa đường tròn trên l ần l ượt t ại D và E. Tìm t ập h ợp trung điểm F của đoạn DE. Bài 5 . Cho hai đường tròn (O), (O’) cắt nhau t ại A và B. M ột đường th ẳng thay đổ i đi qua A cắt (O) ở A và M, c ắt (O’) tại A và M’. G ọi P, P’ l ần l ượt là trung điểm c ủa AM và AM ’. Tìm qu ỹ tích trung điểm I của đoạn th ẳng PP ’ và qu ỹ tích trung điểm J của đoạn th ẳng MM ’. Bài 6 . Cho hai điểm A, B cố đị nh, đường tròn (O) và đường th ẳng d. C là m ột điểm tu ỳ ý trên m ặt ph ẳng, d ựng điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. Tìm qu ỹ tích c ủa điểm D khi C di động trên đường tròn (O), khi C di d ộng trên đường th ẳng d. 2. Thi ết k ế m ột s ố mô hình phép bi ến hình Ví d ụ 1. Phép t ịnh ti ến động - Mở trang m ới; - Dựng tam giác ABC bằng công c ụ đa giác Polygon Tool và hai điểm M, N tùy ý bằng công c ụ điểm Point Tool ; - Dựng vector u qua M, N bằng cách ch ọn Custom Tool | vector, kích vào điểm M, N; Dùng công c ụ Text Tool để ghi u , ch ọn đoạn MN , Construct | Midpoint để 24
  25. có trung điểm I, sau đó ch ọn điểm I vào Transform | Translate ch ọn các ô nh ư hình vẽ thì ta được điểm I’ là ảnh c ủa điểm I qua phép t ịnh ti ến lên trên 0.5cm; Ch ọn điểm I’, ch ữ u , Shift (đè phím phím Shift) Edit | Merge Text to Point , gi ấu các điểm I, I’ và gi ấu tên M, N (Edit | Hide Labels ), lúc này ta được u ; I' u M N I u Hình 2.6 - Tịnh ti ến điểm A theo vector u để được điểm I bằng cách ch ọn điểm g ốc, điểm ng ọn c ủa u vào Transform | Mark Vector đánh d ấu vector t ịnh ti ến, ch ọn điểm A áp d ụng Transform | Translate , đặt tên điểm m ới d ựng được là I; - Sử d ụng công c ụ th ước th ẳng Segment Straightedge Tool để d ựng đoạn AI , l ấy điểm A’ tùy ý trên AI ; uuur - Tịnh ti ến tam giác ABC theo vector AA ' ta được tam giác A’B’C’; - Tạo hình động b ằng cách: * Ch ọn A’, I vào Edit | Action Buttons | Movement | Move | Speed | medium , đặt lại tên cho nút l ệnh tinhtien ; * Ch ọn A’, A vào Edit | Action Buttons | Movement | Move | Speed | Instant , đổi tên cho nút l ệnh reset ; Hình 2.7 - Ch ọn đoạn AI , điểm I, áp d ụng Display | Hide Objects để gi ấu các đố i t ượng được ch ọn; - Dựng các đoạn AA ’, BB’, CC ’ và cho hi ển th ị các s ố đo của AA ’, BB ’, CC ’, | u | bằng cách ch ọn điểm đầ u, điểm cu ối, Measure | Distance . - Nh ấn l ần l ượt các nút l ệnh reset, tinhtien để quan sát, có th ể thay đổ i vector u ho ặc tam giác ABC . Hình 2.8 25
  26. Ví d ụ 2. Một ứng d ụng c ủa phép quay - Mở trang m ới; - Dựng tam giác đề u ABC bằng cách d ựng đoạn AB và quay đoạn th ẳng này quanh A một góc 60 o; - Ch ọn c ạnh AC áp d ụng Construct | Midpoint để d ựng trung điểm I của AC ; - Dựng phân giác trong c ủa góc ∠BAC bằng cách ch ọn ba điểm B, A, C và vào Construct | Angle Bisector ; - Kích đúp vào điểm I, ch ọn đoạn AC , áp d ụng Transform | Rotate | - 30 o ta được ảnh c ủa c ạnh AC qua phép quay tâm I góc quay -30 o cắt đường phân giác trên t ại điểm M, ti ếp t ục quay điểm M quanh I một góc 180 o ta được điểm M’; Hình 2.9 - Dựng đường g ấp khúc AMM ’C B bằng công c ụ Segment Straightedge Tool và l ần l ượt quay đường g ấp khúc trên quanh A một M góc 60 o và quanh C một góc -60 o; C A I - Ch ọn các đỉ nh c ủa đa giác m ới M' tạo thành b ởi các đường g ấp khúc, áp d ụng Construct | Polygon Hình 2.10 B Interior ; - Quay mi ền đa giác trên quanh A C một góc 60 o và th ực hi ện 5 l ần li ên A ti ếp phép quay (A; 60 o) đối v ới các ảnh được t ạo thành, đổi màu mi ền trong c ủa các đa giác (Display | Hình 2.11 Color ) để hai đa giác k ề nhau có màu c ủa miền trong là khác nhau. - Sử d ụng các phép quay thích h ợp để t ạo thành m ột hình trang trí đẹp. T ạo nút l ệnh để phép quay được th ực hi ện t ự độ ng t ừng thao tác. B B B C A C A A C Hình 2.12 26
  27. Ví d ụ 3. Bài toán phép bi ến hình Về phía ngoài tam giác ABC vẽ các hình vuông BCMN và ACPQ . Ch ứng minh r ằng khi c ố đị nh hai điểm A, B và cho điểm C thay đổi thì các đường th ẳng NQ luôn đi qua một điểm c ố đị nh. - Mở trang m ới; - Dùng công c ụ Polygon Tool kích vào ba điểm trong m ặt ph ẳng d ựng tam giác ABC ; - Sử d ụng các phép quay Transform | Rotate với góc quay 90 o dựng các hình vuông BCMN , ACPQ ; - Dựng đường th ẳng NQ bằng công c ụ Segment Straightedge Tool ; Ch ọn đường th ẳng, áp d ụng Display | Trace Line để t ạo v ết cho đường th ẳng; A Q B N C P M Hình 2.13 - Tạo nút l ệnh C chuy ển độ ng cho điểm C bằng cách ch ọn C, vào Edit | Action Buttons | Animation ; - Kích vào nút l ệnh C chuy ển A động và quan sát các đường th ẳng C NQ , d ự đoán điểm c ố đị nh. Q - Ch ọn đoạn AB , áp d ụng B P Construct | Midpoint ta có trung M C-trung điểm AB điểm J của AB ; Ch ọn điểm C, J và N Edit | Action Buttons | CAB vuông cân A Movement , đổi tên nút l ệnh C – Q trung điểm AB ; - Dựng điểm K sao cho tam C B P giác ABK vuông cân b ằng cách kích đúp điểm J, ch ọn B, ch ọn Transform | Rotate | 90 o; N M - Ch ọn điểm C, K, áp d ụng Edit Hình 2.14 | Action Buttons | Movement , đổi tên nút l ệnh CAB vuông cân ; - Kích vào các nút l ệnh C–trung điểm AB , CAB vuông cân và quan sát hai tr ường hợp đặ c bi ệt này để d ự đoán điểm c ố đị nh; Có th ể t ạo thêm nút l ệnh cho C đến trùng với A ho ặc B. 27
  28. - Thi ết k ế mô hình h ướng d ẫn h ọc sinh tìm h ướng gi ải bài toán: * D ựng đoạn NQ , ch ọn đoạn NQ vào Construct | Midpoint để có trung điểm K của đoạn th ẳng này; * Dựng tam giác NBK ; Ch ọn B, N, C, áp d ụng Construct | Arc on Circle ; * L ấy điểm N’ di động trên cung NC mới d ựng; * Ch ọn N, B, N’ vào Transform | Mark Angle đánh d ấu góc quay, kích đúp B để đánh d ấu tâm quay, ch ọn K áp d ụng Transform | Rotate ta được điểm K’ là ảnh của K qua phép quay tâm B góc quay ∠NBN '; * D ựng tam giác BN ’K’; * T ạo nút l ệnh chuy ểnđộ ng1 bằng cách ch ọn N’, C, Edit | Action Buttons | Movement ; t ươ ng t ự t ạo nút l ệnh reset1 bằng cách ch ọn N’, N; Gi ấu cung NC ; * Ch ọn tam giác BN ’K’ áp d ụng Edit | Action Buttons | Hide/Show tạo hai nút lệnh Hi ện BN ’K’ và Ẩn BN ’K’; * T ươ ng t ự, l ấy điểm N’’ di động trên cung CQ thu ộc đường tròn (A); * Quay B, K’ quanh A một góc ∠CAN '' ta được điểm B’, K”; D ựng tam giác N’’ B’K”; * T ạo nút l ệnh chuy ểnđộ ng2 cho phép N’’ chuy ển độ ng đế n Q và nút l ệnh reset2 cho phép N’’ chuy ển độ ng đế n C; hai nút l ệnh Hi ện B’N’’ K’’ và Ẩn B’N’’ K’’; Hình 2.15 * Ch ọn l ần l ượt các nút l ệnh chuy ểnđộ ng1 , Ẩn BN ’K’, Hi ện B’N’’ K’’, chuy ểnđộ ng2 , áp d ụng Edit | Action Buttons | Presentation , ch ọn Sequentially để tạo nút l ệnh hướngd ẫn; * Ch ọn các nút l ệnh reset1 , Hi ện BN ’K’, Ẩn B’N’’ K’’ , reset2 , áp d ụng Edit | Action Buttons | Presentation , ch ọn Simultaneously tạo nút l ệnh Reset ; * Kích vào các nút l ệnh để quan sát. BÀI T ẬP Bài 1 . S ử d ụng ph ần m ềm GSP thi ết k ế mô hình minh h ọa các tính ch ất sau: a. Hợp thành c ủa hai phép đố i x ứng tr ục có hai tr ục song song v ới nhau là một phép t ịnh ti ến; 28
  29. b. Hợp thành c ủa hai phép đố i x ứng tr ục có hai tr ục c ắt nhau là m ột phép quay; Bài 2 . Thi ết k ế mô hình GSP h ỗ tr ợ h ọc sinh tìm l ời gi ải cho bài toán sau: “Cho tam giác ABC , v ề phía ngoài c ủa tam giác d ựng các tam giác đề u ABC 1, BCA 1, ACB 1. Ch ứng minh AA 1 = BB 1 = CC 1 và các đường th ẳng AA 1, BB 1, CC 1 đồng quy.” Bài 3 . Cho bài toán: “Cho tam giác ABC , trên các c ạnh AB , AC dựng ở phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD , ACE , và hình bình hành ADFE . Ch ứng minh tam giác BFC là tam giác đều” Thi ết k ế mô hình GSP minh h ọa chouuur l ời gi ải sau c ủa bài toán: t ịnh ti ến tam giác BDF thành tam giác GEH theo vector DE rồi quay tam giác GEH quanh điểm E một góc -120 0 để tam giác GEH trùng khít lên tam giác FEC . Bài 4 . S ử d ụng ph ần m ềm GSP thi ết k ế mô hình để ki ểm tra v ị trí tâm v ị t ự c ủa hai đường tròn được xác đị nh nh ư ở SGK Hình h ọc 11 nâng cao (2006) – trang 26, 27: - Tr ường h ợp hai đường tròn (I;R) và (I’; R’) đồng tâm, R ≠ R’ thì có hai phép v ị t ự: V1 tâm I tỉ s ố R’/ R và V2 tâm I tỉ số -R’/ R; - Tr ường h ợp I không trùng I’ nh ưng R = R’ thì có phép v ị t ự tâm O – trung điểm I, I’ và t ỉ s ố -1; - Tr ường h ợp I không trùng I’ và R ≠ R’ có hai phép v ị t ự: V1 tâm O1 t ỉ s ố R’/ R và V2 tâm O2 t ỉ s ố -R’/ R; trong đó O1, O2 l ần l ượt là giao điểm c ủa II ’ và MM ’1, MM ’2 với M’1 M’2uuuur là m ột uuurđường kính c ủa (I’, R’) và IM là m ột bán kính c ủa (I, R) sao cho ′ ′ hai vector I M 1 và IM cùng h ướng. Bài 5 . Thi ết k ế mô hình GSP s ử d ụng phép bi ến hình phù h ợp để có th ể lát trên n ền ph ẳng nh ững viên g ạch hoa có hình d ạng d ưới đây b ằng cách s ắp chúng li ền k ề, không có k ẻ h ở và không ch ồng lên nhau. 3. Thi ết k ế mô hình các đường conic Ví d ụ 1. Tạo công c ụ d ựng elip x2 y 2 Chúng ta s ẽ t ạo m ột công c ụ d ựng elip (E) + = 1 trong h ệ tr ục t ọa độ cho a2 b2 tr ước, v ới a, b là các tham s ố d ươ ng. - Mở trang m ới; 29
  30. - Dựng h ệ tr ục t ọa độ vào Graph | Define Coordinate System , gi ấu l ưới và hai tr ục t ọa độ b ằng cách ch ọn chúng và áp d ụng Hide | Objects , ch ỉ để l ại g ốc t ọa độ O và điểm đơn v ị A trên tr ục hoành; - Sử d ụng máy tính trong Number | Calculate tạo các tham s ố a, b ; - Dựng đường tròn tâm O đi qua A và điểm M di động trên (O), d ựng cung AM bằng cách ch ọn O, A, M, áp d ụng Construct | Arc On Circle và đo góc c ủa cung, đổ i tên góc là α; a = 5.00 a.cos α = 1.12 b = 3.00 b.sin α = 2.92 a a = 0.00 M a2 b2 = 4.00 a2 b2 = –4.00 A b2 a2 = undefined F1 O F2 b2 a2 = undefined Hình 2.16 - Dùng máy tính tính các giá tr ị a.cos α, b.sin α, ch ọn l ần l ượt các giá tr ị a.cos α, b.sin α, áp d ụng Graph | Plot as (x,y) để d ựng điểm N; - Ch ọn M, N vào Construct | Locus ta được elip; - Dùng máy tính, tính a2 − b2 ; − a2 − b2 ; b2 − a2 ; − b2 − a2 ; a – a; - Sử d ụng Graph | Plot as (x,y ) để d ựng các điểm F 1( a2 − b2 ; a – a), 2 2 F2( − a − b ; a – a), F 1( a – 2 2 a; b − a ), F 2( a – a; − b2 − a2 ). Khi đặt tên tiêu điểm c ần đánh d ấu ki ểm vào ô Use Label in Custom Hình 2.17 Tools ; - Gi ấu các đố i t ượng không c ần thi ết, ch ỉ để l ại tâm O, các tham s ố a, b, các tiêu điểm và elip; - Ch ọn l ần l ượt các đố i t ượng: tâm O, a, b, F1, F2 và elip r ồi áp a = 3.63 dụng Custom Tool | Create b = 6.00 F1 New Tool để t ạo công c ụ m ới đặ t a thay đổ i tên là Elip(ab ); - Khi s ử d ụng, ch ọn Custom O Tool | Elip (ab ), kích vào m ột điểm tùy ý trên trang hình, kích lần l ượt vào các s ố a, b ta s ẽ F2 30
  31. được elip cùng v ới hai tiêu điểm Hình 2.18 F1, F2; - Thay đổi các tham s ố a, b để quan sát b ằng cách ch ọn tham s ố và s ử d ụng phím +, - ho ặc ch ọn a, áp d ụng Edit | Action Buttons | Animation , khi h ộp tho ại xu ất hi ện ch ọn Animate | Change Value đổi mi ền giá tr ị Domain : 0 to 10 để tạo nút l ệnh điều khi ển s ự thay đổ i c ủa tham s ố a chạy t ừ 0 → 10. Ví d ụ 2. Tính ch ất quang h ọc c ủa parabol Với parabol, tia sáng phát ra t ừ tiêu điểm (tia t ới) chi ếu đế n m ột điểm c ủa parabol sẽ b ị h ắt l ại (tia ph ản x ạ) theo m ột tia song song ho ặc trùng v ới tr ục c ủa parabol. Ng ười ta đã l ợi d ụng tính ch ất quang h ọc này c ủa parabol để ch ế t ạo đèn pha giúp ô tô có th ể chi ếu sáng trong đêm t ối. Mô hình sau đây được thi ết k ế để minh h ọa cho ho ạt độ ng c ủa đèn pha. - Dựng đoạn th ẳng MN và điểm C không n ằm trên đường th ẳng MN ; - Ch ọn Custom Tool | M Parabol (đường chu ẩn, điểm) kích vào đoạn th ẳng và điểm C ta được parabol có đường chu ẩn là đường th ẳng C MN , tiêu điểm C, điểm D di B động trên parabol ph ụ thu ộc D vào điểm B trên đoạn MN và N ti ếp tuy ến c ủa parabol t ại D; Thay đổi v ị trí điểm C để có Hình 2.19 được m ột parabol cân đố i; - Dùng công c ụ điểm Point Tool lấy điểm F ở bên trong ph ần lõm c ủa parabol, dựng đoạn FD ; - Dựng đường th ẳng k qua D vuông góc v ới ti ếp tuy ến t ại D bằng cách ch ọn điểm D, ti ếp tuy ến t ại D vào Construct | Perpendicular Line , kích đúp đường th ẳng k để ch ọn k làm tr ục đố i x ứng; - Ch ọn F, áp d ụng Transform | Reflect ta được điểm F’ đối x ứng v ới F qua k, dựng tia DF ’; - Gi ấu đường th ẳng k, ti ếp tuy ến t ại D và điểm F’; - Ch ọn đoạn DF , điểm B, Construct | Locus , sau đó vào Edit | Properties | Plot sửa l ại ở ô Number of Samples : 10 ta được chùm tia t ới; Th ực hi ện t ươ ng t ự cho tia DF ’để có chùm tia ph ản x ạ; - Tạo nút l ệnh song song b ằng cách ch ọn F, C, Edit | Action Buttons | Movement ; Gi ấu các điểm C, B, D và đoạn MN ; - Ch ọn các tia t ới, tia ph ản x ạ vào Display | Color đổi thành màu vàng; - Ch ọn F áp d ụng Display | Point Style | Large đổi tên điểm là đèn ; - Vào Edit | Preferences | Color | Background đổi màu n ền thành màu đen; 31
  32. - Thay đổi v ị trí c ủa đèn và quan sát các tia ph ản x ạ, kích vào nút song song để có vị trí đặ t đèn đúng. song song đèn Hình 2.20 BÀI T ẬP Bài 1 . Cho đường tròn tâm O bán kính R, F là m ột điểm c ố đị nh. Thi ết k ế mô hình bằng ph ần m ềm GSP hỗ tr ợ vi ệc d ự đoán qu ỹ tích tâm M của đường tròn đi qua F và ti ếp xúc v ới đường tròn (O) đã cho. Tạo nút l ệnh để th ấy được qu ỹ tích trong tr ường h ợp thay đường tròn (O) bởi đường th ẳng d. Bài 2 . Cho bài toán “Trên đường th ẳng d cho điểm B nằm gi ữa hai điểm A và C. Đường tròn (O) thay đổi luôn ti ếp xúc v ới D tại A. Hai ti ếp tuy ến c ủa đường tròn xu ất phát t ừ B và C cắt nhau t ại M. Tìm t ập h ợp điểm M.” Thi ết k ế mô hình bằng ph ần m ềm GSP hỗ tr ợ h ọc sinh gi ải bài toán trên. Bài 3. Sử d ụng ph ần m ềm GSP t ạo các công c ụ sau: - Dựng elip đi qua m ột điểm và nh ận hai điểm cho tr ước làm hai tiêu điểm; - Dựng hyperbol khi cho hai tiêu điểm và tâm sai; - Dựng parabol (P): y2 = 2px trên h ệ tr ục cho tr ước khi có p và m ột điểm thu ộc (P). Bài 4. S ử d ụng ph ần m ềm GSP thi ết k ế các mô hình minh h ọa cho các tính ch ất sau: a) Elip (E) với hai tiêu điểm F1, F2, M là m ột điểm n ằm trên (E) nh ưng không nằm trên đường th ẳng F1F2 và M là phân giác ngoài t ại đỉ nh M của tam giác MF 1F2. Khi đó M ch ỉ c ắt (E) tại điểm M duy nh ất (đường th ẳng M nh ư th ế được g ọi là ti ếp tuy ến c ủa (E) tại M) b) Hyperbol (H) với hai tiêu điểm F1, F2, M là m ột điểm n ằm trên (H) nh ưng không n ằm trên đường th ẳng F1F2 và M là phân giác trong t ại đỉ nh M của tam giác MF 1F2. Khi đó M ch ỉ c ắt (H) tại điểm M duy nh ất (đường th ẳng M nh ư th ế được g ọi là ti ếp tuy ến c ủa (H) tại M) c) Parabol (P) có tiêu điểm F và đường chu ẩn d, v ới điểm M trên (P) ta k ẻ MH⊥ d ( H ∈ d ) và g ọi M là phân giác c ủa góc FMH . Khi đó M ch ỉ c ắt (P) tại điểm M duy nh ất (đường th ẳng M nh ư th ế được g ọi là ti ếp tuy ến c ủa (P) tại M). 32
  33. Bài 5. Cho đường tròn (C) có ph ươ ng trình x2 + y2 = 1. Đường tròn (C) cắt Ox tại hai điểm A(-1;0) và B(1;0). Đường th ẳng (D) có ph ươ ng trình x = m (-1 < m < 1, M khác 0) cắt (C) tại M và N. Đường th ẳng AM cắt đường th ẳng BN tại K. Tìm t ập h ợp các điểm K khi m thay đổi. III. Thi ết k ế m ột s ố mô hình đại s ố và gi ải tích 1. Thi ết k ế mô hình đồ th ị 1 Để v ẽ đồ th ị c ủa parabol fx( ) = − xx2 + ta có th ể th ực hi ện theo các cách sau tùy 10 thu ộc vào ý đồ c ủa ng ười s ử d ụng. Cách 1. Sử d ụng ch ức n ăng d ựng đồ th ị c ủa ph ần m ềm - Mở trang m ới; - Dựng h ệ tr ục t ọa độ Oxy bằng cách ch ọn Graph | Define Coordinate System ; - Sau đó vào l ại Graph và ch ọn Plot New Function , nh ập hàm s ố f(x) vào h ộp tho ại New Function , nh ấn nút OK thì ta s ẽ có đồ th ị hàm s ố trên màn hình; Hình 2.21 Cách 2. Xây d ựng đồ th ị theo quan điểm qu ỹ tích - Mở trang m ới; - Dựng h ệ tr ục t ọa độ ; - Lấy m ột điểm M tùy ý di động trên tr ục Ox với công c ụ điểm, xác định hoành độ của M bằng cách áp d ụng Measure | Abscissa (x); 1 2 - Vào Number | Calculate tính giá tr ị fx( ) = − x + x với giá tr ị xM được nh ập M10 M M vào b ằng cách kích chu ột lên giá tr ị xM trên màn hình; - Ch ọn xM và f(xM) theo th ứ t ự và vào Graph | Plot as (x,y) để d ựng điểm M’(xM, f(xM)); - Dựng qu ỹ tích c ủa điểm M’ bằng cách ch ọn điểm M và M’ vào Construct | Locus ta được qu ỹ tích chính là đồ th ị c ủa parabol. 33
  34. Hình 2.22 Cách 3. Xây d ựng mô hình đồ th ị độ ng, đồ th ị hi ện d ần ra khi bi ến x ti ến t ừ trái sang ph ải trên tr ục hoành. - Mở trang m ới; 1 - Vẽ đồ th ị hàm s ố fx( ) = − x2 + x nh ư cách 1; M10 M M - Lấy hai điểm I(-5;0) và J(15;0) trên tr ục hoành b ằng ch ức năng Graph | Plot Points ; s ử d ụng công c ụ đoạn th ẳng Segment Straightedge Tool để n ối hai điểm trên; - Dùng công c ụ điểm Point Tool lấy m ột điểm M tùy ý trên đoạn th ẳng IJ vừa dựng; D ựng đoạn th ẳng IM và ti ếp t ục l ấy điểm N di động trên IM ; - Đo hoành độ c ủa điểm N (ch ọn N, vào Measure | Abscissa (x)); 1 - Tính fx( ) = − x2 + x bằng cách áp d ụng Number | Calculate và kích chu ột N10 N N lần l ượt vào hàm s ố f(x) và giá tr ị xN trên màn hình; - Ch ọn l ần l ượt xN và f(xN), s ử d ụng Graph | Plot As (x,y) để d ựng điểm N’(xN,f(xN)); - Ch ọn N, N’ vào Construct | Locus ta được qu ỹ tích là một ph ần đồ th ị c ủa parabol trong kho ảng t ừ I đến M; 1 f((()(x))) = ((()( )))·x2 + x N' 10 2 xN = 3.02 f((()( xN))) = 2.11 I J 5 N 5 M 10 15 2 4 6 Hình 2.23 - Để làm cho đồ th ị di độ ng: ch ọn M, J theo th ứ t ự, áp d ụng Edit | Action Buttons Movement vào Label đặt tên nút l ệnh chuy ển độ ng và nh ấn OK; - Để chuy ển độ ng l ại t ừ đầ u, ch ọn M, I theo th ứ t ự, áp d ụng Edit | Action Buttons Movement vào Label đặt tên nút l ệnh lặp l ại, ti ếp t ục vào Move | Speed | Instant 34
  35. (ngay l ập t ức) và nh ấn OK; - Sử d ụng ch ức n ăng Display | Hide Objects để gi ấu nh ững đố i t ượng không c ần thi ết c ủa mô hình. chuy ển độ ng 2 lặp l ại 5 5 M 10 2 4 6 Hình 2.24 Cách 4. Dùng file công c ụ.gsp để d ựng đồ th ị hàm s ố d ạng fx( ) = ax2 + x - Mở file congcu.gsp; - Mở trang m ới; - Ch ọn Custom Tool | congcu | 1HetrucOxy (gon ) dựng h ệ tr ục Oxy thu g ọn; - Dựng thanh tr ượt tham s ố a bằng cách vào Custom Tool | congcu | Slider (gon ) và kích chu ột vào g ốc t ọa độ O; - Áp d ụng Number | New Function để nh ập hàm s ố fx( ) = ax2 + x từ bàn phím trong đó giá tr ị a nh ập vào b ằng cách nh ấp chu ột lên giá tr ị thanh tr ượt; - Vào Custom Tool | congcu | y = f(x) (gon ) rồi l ần l ượt kích chu ột lên điểm trên trái, điểm d ưới ph ải, g ốc t ọa độ O của h ệ tr ục thu g ọn và hàm s ố f(x) ta s ẽ được đồ th ị của parabol fx( ) = ax2 + x với a là m ột h ệ s ố tùy ý có th ể thay đổ i b ằng cách kéo rê thanh tr ượt. y f((()(x))) = a·x2 + x x O a –0.37 Hình 2.25 2. Hệ bất ph ươ ng trình b ậc nh ất hai ẩn a. T ạo công c ụ d ựng n ửa m ặt ph ẳng chia b ởi m ột đường th ẳng - Mở trang m ới; 35
  36. - Dựng đường th ẳng AB bằng công c ụ Line Straightedge Tool và l ấy m ột điểm M di động trên đường th ẳng đó; - Tịnh ti ến điểm M một đoạn 1cm và góc 90 o bằng cách ch ọn M, vào Transform | Translate | Translate ; Hình 2.26 - Dựng đường tròn tâm M và đi qua điểm ảnh c ủa M với công c ụ Compass Tool ; - Ch ọn M, đường th ẳng AB , áp d ụng Construct | Perpendicular Line để d ựng đường th ẳng qua M vuông góc v ới AB , xác định giao điểm N của đường th ẳng v ới đường tròn tâm M; - Dùng Ray Straightedge Tool dựng tia MN ; - Ch ọn M và tia MN vào Construct | Locus ; - Gi ấu đường th ẳng vuông góc, tia, đường tròn, điểm bán kính, điểm M, N; - Vào Edit | Select All để ch ọn t ất c ả, r ồi dùng công c ụ Custom Tool | Creat New Tool đặt tên cho công c ụ m ới là bptbn. Dịch chuy ển A, B để th ấy mi ền g ạch s ọc thay đổi theo đường th ẳng. B N M A Hình 2.27 b. Xác định mi ền nghi ệm c ủa b ất ph ươ ng trình b ậc nh ất hai ẩn x + 2y – 2 > 0. - Mở trang m ới; - Dựng h ệ tr ục t ọa độ ; x - Sử d ụng Graph | Plot New Function để v ẽ đồ th ị hàm s ố y = − + 1 2 36
  37. - Vào Custom Tool ch ọn công c ụ bptbn, kích l ần l ượt lên hai điểm b ất kì n ằm trên x đường th ẳng d: y = − + 1; 2 - Lấy điểm E tự do trên n ửa m ặt ph ẳng b ờ là đường th ẳng d, ph ần không g ạch chéo; - Xác định hoành độ và tung độ điểm E với ch ức n ăng Measure | Abscissa (x), Measure | Ordinate (y); - Vào Number | Calculate tính giá tr ị bi ểu th ức xM + 2yM – 2, quan sát giá tr ị này khi kéo rê điểm E ở n ửa m ặt ph ẳng không g ạch chéo. 4 xE + 2·yE 2 = 6.36 E xE = 2.01 2 yE = 3.17 5 10 2 x f((()(x))) = ((()( ))) + 1 2 4 Hình 2.28 - Ta có được mi ền nghi ệm c ủa b ất đẳ ng th ức đã cho là n ửa m ặt ph ẳng không g ạch chéo. c. Xác định mi ền nghi ệm c ủa h ệ b ất ph ươ ng trình b ậc nh ất hai ẩn Bài toán : M ột công ty c ần thuê xe v ận chuy ển 140 ng ười và 9 t ấn hàng hóa. N ơi cho thuê xe ch ỉ có 10 xe lo ại A và 9 xe lo ại B. M ột chi ếc xe lo ại A có th ể ch ở 20 ng ười và 0,6 t ấn hàng. M ột chi ếc xe lo ại B có th ể ch ở 10 ng ười và 1,5 t ấn hàng. Ti ền thuê m ột xe lo ại A là 4 tri ệu đồ ng, m ột xe lo ại B là 3 tri ệu đồ ng. H ỏi ph ải thuê bao nhiêu xe m ỗi lo ại để chi phí là th ấp nh ất. Nếu g ọi x, y lần l ượt là s ố xe A và s ố xe B mà công ty c ần thuê thì bài toán tr ở  0≤x ≤ 10   0≤y ≤ 9 thành bài toán đại s ố: tìm các s ố nguyên x, y th ỏa h ệ ph ươ ng trình  sao cho  2x+ y ≥ 14 2x+ 5 y ≥ 30 T(x;y) = 4x + 3y có giá tr ị nh ỏ nh ất. - Dựng 4 đường th ẳng x = 10, y = 9, 2x + y – 14 = 0, 2 x + 5y -30 = 0 và xác định mi ền nghi ệm 4 b ất trình c ủa h ệ; - Xác định các đỉ nh c ủa mi ền nghi ệm, ch ọn các đỉ nh theo th ứ t ự vào Construct | Quadrilateral Interior để d ựng đa giác ch ứa mi ền nghi ệm c ủa h ệ, có th ể đổ i màu của đa giác b ằng Display | Color . - Ti ếp t ục ch ọn mi ền trong c ủa đa giác, áp d ụng Construct | Point on Perimeter để d ựng điểm K trên biên c ủa đa giác; 37
  38. 10 K 8f((()(x))) = 2·x + 14 xK = 4.73 yK = 9.00 6 4·xK + 3·yK = 45.91 2 4 g((()(x))) = ((()( )))·x + 6 5 2 O 5 10 15 Hình 2.29 - Ch ọn K, Measure | Abscissa (x), Measure | Ordinate (y), r ồi tính giá tr ị c ủa bi ểu th ức 4 xK + 3yK. Kéo điểm K trên biên để quan sát giá tr ị đó thay đổ i nh ư th ế nào, t ừ đó có kết lu ận gì? d. Tìm giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa bi ểu th ức T(x;y) = 4x + 3y trên mi ền nghi ệm c ủa h ệ b ất ph ươ ng trình - Lấy điểm M trên tr ục tung và đo tung độ yM của điểm M; - Vẽ đường th ẳng d qua M có h ệ s ố góc -4/3 b ằng cách ch ọn Graph | Plot New 4 Function nh ập vào −x + y ; L ấy m ột điểm Q di động trên d, so sánh hai giá tr ị 3 M 4xQ+3 yQ và 3 yM khi Q chuy ển độ ng trên d, rút ra nh ận xét; - Qua các đỉnh c ủa đa giác nghi ệm, d ựng các đường th ẳng song song v ới d, kéo điểm M để đường th ẳng d lần l ượt đế n trùng các đường th ẳng trên, quan sát giá tr ị 4xQ+3 yQ và đư a ra nh ận xét. 12 10 D Animate Point C 4·x + 3·y = 20.00 8 Q Q M yM·3 = 20.00 6 4 Q A 2 B O 5 10 15 Hình 2.30 BÀI T ẬP Bài 1 . Sử d ụng ph ần m ềm GSP, v ẽ đồ th ị hàm s ố fx()= a sin( bxc + ) + d với a, b, c, d là các h ệ s ố th ực. Bài 2 . Thi ết k ế mô hình GSP giúp h ọc sinh th ấy được m ối liên h ệ gi ữa đồ th ị c ủa hai hàm s ố f( x ) = ax 2 và gx()= ax ( − p ) 2 + q . Bài 3 . Thi ết k ế mô hình GSP giúp minh h ọa hai ph ươ ng trình sau t ươ ng đươ ng: x3 −2 x += 1 x + 1 và xx3−21 ++ x 2 +=++ 11 x x 2 + 1 38
  39. Bài 4 . Thi ết k ế mô hình GSP để h ướng d ẫn h ọc sinh gi ải bài toán sau: “Một x ưởng s ản xu ất hai lo ại hàng. M ỗi s ản ph ẩm lo ại I cần 2kg nguyên li ệu và 30 gi ờ, đem l ại m ức l ời là 400000 đồng. M ỗi s ản ph ẩm lo ại II c ần 4kg nguyên li ệu và 15 gi ờ, đem l ại m ức l ời 300000 đồng. X ưởng có 200kg nguyên li ệu và 1200 gi ờ làm vi ệc. Hỏi ph ải s ản xu ất m ỗi lo ại hàng hóa bao nhiêu để có m ức l ời cao nh ất.” 3. Gi ới h ạn (− 1) n a. Thi ết k ế mô hình minh h ọa gi ới h ạn c ủa dãy s ố (un) với u = n n - Mở trang m ới; - Dựng h ệ tr ục t ọa độ Graph | Define Coordinate System ; - Kéo điểm đơn v ị 1 sao cho đoạn [-1;1] đủ l ớn để d ễ quan sát; D ựng đoạn th ẳng [- 1;1]; - Gi ấu h ệ tr ục t ọa độ : Graph | Hide Grid , ch ọn tr ục Ox , Oy vào Display | Hide Axes ; - Tạo thanh tr ượt s ố t ự nhiên n v ới giá tr ị n t ăng nhanh: * D ựng tia Ax với công c ụ Ray Straightedge Tool , l ấy hai điểm B, C trên tia Ax , l ần l ượt ch ọn theo th ứ t ự các điểm A, B, C vào Measure | Ratio để đo t ỉ s ố; * S ử d ụng Number | Calculate | Functions ch ọn hàm round , ch ọn t ỉ s ố và nh ấn OK; Ch ọn giá tr ị v ừa có được, kích chu ột ph ải vào Properties | Label đổi tên là n; * D ựng đoạn th ẳng AC ; AC = 3.00 AB n = 3.00 x A B C Hình 2.31 * Ch ọn điểm B, dùng phím m ũi tên để d ịch chuy ển B đến sát điểm A; * Ch ọn để gi ấu nh ững đố i t ượng không c ần thi ết; n = 12.00 n (− 1) n (− 1) n - Tính giá tr ị , sau đó vào Graph | Plot Points để d ựng điểm M( ;0) n n - Ch ọn M, áp d ụng Transform | Translate | Fixed Distance 0.5cm, Fixed Angle 90 degrees ; - Dựng đoạn th ẳng n ối M và điểm v ừa t ịnh ti ến. Kéo rê n càng l ớn, ta s ẽ th ấy các điểm M dịch chuy ển quanh điểm O. 39
  40. ( 1)n n = 25.00 = –0.04 n n -1 -0.5 M0 0.5 1 Hình 2.32 Chúng ta c ũng có th ể bi ểu di ễn các s ố h ạng c ủa dãy s ố trên m ột h ệ tr ục t ọa độ ch ữ (− 1) n nh ật để th ấy giá tr ị c ủa dãy u = ti ến v ề 0 khi n đủ l ớn. n n - Mở trang m ới; - Dựng h ệ tr ục t ọa độ ; Vào Graph | Grid Form | Rectangular Grid để có được h ệ tr ục t ọa độ ch ữ nh ật; - Ch ọn điểm đơn v ị trên tr ục hoành, dùng phím m ũi tên để đưa điểm này đến sát gốc t ọa độ O, ng ược l ại đưa điểm đơn v ị trên tr ục tung ra xa g ốc t ọa độ O; - Tạo thanh tr ượt s ố t ự nhiên n với giá tr ị n tăng nhanh; (− 1) n (− 1) n - Dùng máy tính tính giá tr ị , d ựng điểm M(n, ) lên h ệ tr ục t ọa độ b ằng n n ch ức n ăng Graph | Plot As (x,y); - Ch ọn điểm M, vào Display | Trace Plotted Point để t ạo v ết cho điểm M; - Tạo nút l ệnh để điều khi ển giá tr ị n t ăng d ần: ch ọn điểm n, ch ọn Edit | Action Buttons | Animation | Animate ch ọn trong ô Direction forward, Speed Slow, vào ô Label đổi tên nhãn. Hình 3.33 - Nh ấp chu ột vào nút l ệnh n tăng và quan sát các v ết. 0.5 n = 402 0.4 n n n t ăng ( 1) 0.3 = 0.00249 lặp l ại n 0.2 0.1 20 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 0.1 0.2 Hình 3.34 40
  41. b. D ự đoán gi ới h ạn c ủa dãy s ố th ực (un) xác định b ởi: u1 = 2 và un+1 = un / 2 + 3 v ới n ≥1 - Mở trang m ới; - Dựng h ệ tr ục t ọa độ ; x - Ch ọn Graph | Plot New Function để v ẽ hai đường th ẳng d1: y = + 3 và d2: y = 2 x; - Lấy điểm u1 tùy ý trên tr ục Ox , qua u1 vẽ đường th ẳng song song v ới Oy (ch ọn u1, Oy , Construct | Parallel Line ) cắt d1, d2 lần l ượt t ại A1, B1; - Ti ếp t ục d ựng B2 là giao điểm c ủa đường th ẳng qua A1 song song v ới tr ục hoành và đường th ẳng d2; u2 là giao điểm c ủa đường th ẳng qua B2 song song v ới tr ục tung và đường th ẳng Ox ; - Ch ọn các đường th ẳng song song, áp d ụng Display | Hide Parallel Line để gi ấu các đường th ẳng đó; - Sử d ụng công c ụ Segment Straightedge Tool , d ựng các đoạn A1u1, B2u2, A1B1, A1B2; - Ch ọn u1, n áp d ụng Transform | Shift | Iterate To Depth để th ực hi ện phép l ặp ứng v ới u1 tại u2; Hình 2.35 - Dựng thanh tr ượt s ố t ự nhiên n (xem cách d ựng ở gi ới h ạn dãy s ố); - Vào Graph | Plot Points để d ựng điểm (2;0) trên tr ục hoành; - Ch ọn u1, điểm (2;0), vào Edit | Action Buttons | Movement để t ạo nút l ệnh cho phép di chuy ển điểm u1 đến chính xác v ị trí (2;0); - Kéo rê n để th ấy dãy (un) ti ến d ần đế n gi ới h ạn nào. 6 5 A1 4 B2 d1 f(x ) = x 3 B1 2 1 d2 x g(x ) = + 3 2 u1 u2 2 4 6 n = 8.00 1 n Hình 2.36 41
  42. 1  c. Gi ới h ạn c ủa hàm s ố fx()= xc .os   khi x → 0 x  - Mở trang m ới; - Dựng h ệ tr ục tọa độ , kéo điểm đơn v ị đủ xa để d ễ quan sát đồ th ị; - Vào Edit | Preferences | Units | Angle đổi đơn v ị đo góc t ừ độ (degrees) sang radian; Hình 2.37 1  - Sử d ụng Graph | Plot New Function vẽ đồ th ị hàm s ố fx()= xc .os   ; x  - Dựng thanh tr ượt s ố nguyên n; 1 1  - Dùng Number | Calculate tính và f   ; n n  1 1  1 1  - Ch ọn các giá tr ị , f   vào Graph | Plot As (x,y) để v ẽ điểm M( ; f   ); n n  n n  - Kéo rê n sang ph ải, sang trái để quan sát điểm M. 0.5 n = 8.00 0.4 n 0.3 1 0.2 f()x = x·cos () x 0.1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 M = 0.13 0.1 n 1 0.2 f() = –0.02 n 0.3 Hình 2.38 BÀI T ẬP Bài 1 . Thi ết k ế mô hình GSP để minh h ọa cho t ổng 111 1 +++L + + L = 1 248 2 n Bài 2 . Sử d ụng đị nh ngh ĩa gi ới h ạn c ủa hàm s ố, thi ết k ế mô hình GSP minh h ọa x2 −3 x − 4 cho kết qu ả của lim là -5. x→− 1 x +1 42
  43. u = =n + ≥ Bài 3 . Cho dãy s ố (un) xác định b ởi u 10 và u + 3 với m ọi n 1. 1 n 1 5 Thi ết k ế mô hình GSP giúp h ọc sinh d ự đoán được gi ới h ạn c ủa dãy s ố trên. Bài 4 . Thi ết k ế mô hình GSP để minh h ọa đị nh lý: “N ếu | q|<1 thì lim qn = 0” 43