›
›

Giáo trinh Sức bền vật liệu - Tập 1 - Hoàng Thắng Lợi

pdf 61 trang hapham 1720
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trinh Sức bền vật liệu - Tập 1 - Hoàng Thắng Lợi", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfgiao_trinh_suc_ben_vat_lieu_tap_1_hoang_thang_loi.pdf

Nội dung text: Giáo trinh Sức bền vật liệu - Tập 1 - Hoàng Thắng Lợi

  1. Hoàng Thắng Lợi SỨC BỀN VẬT LIỆU Tập I
  2. Chương 1 MỞ ĐẦU §1 NHIỆM VỤ VÀ ĐỐI TƯỢNG CỦA MÔN SỨC BỀN VẬT LIỆU I. Nhiệm vụ môn học. Để giữ nguyên hình dạng và kích thước ban đầu, mọi vật thể rắn đều bao gồm hai thuộc tính cơ bản là tính hèn và tính cứng. Nhờ hai tính chất đó, khi ngoại lực tác dụng vào vật còn chưa vượt quá một trị số xác định, vật đó vẫn chưa bị phá huỷ và không bị thay đổi một cách đáng kể kích thước hình học ban đầu. "Sức bền vật liệu là khoa học nghiên cứu về độ bền, độ cứng và sự ổn định của công trình hay chi tiết máy dưới tác dụng của ngoại lực". + Độ bền của công trình hay chi tiết máy là khả năng làm việc lâu dài mà không bị nứt vỡ, không bị phá huỷ khi ngoại lực tác dụng chưa vượt quá trị số quy định của người thiết kế. + Độ cứng của công trình gọi là được bảo đảm nếu các biến dạng của chúng không lớn đến mức làm ảnh hưởng đến sự làm việc bình thường của công trình. Ở đây biến dạng chính tà sự thay đổi hình dạng và kích thước lan đầu + Sự ổn định của công trình hay chi tiết máy được bảo đảm nếu chúng không chí những dịch chuyển hình học với tổng thể kết cấu, không có những dao động riêng có thể cộng hưởng với dao động bên ngoài. Nhằm thực hiện từ yêu cầu đó sức bật vật liệu sẽ xoay quanh ba bài toán cơ bản: a) Kiểm tra sự làm việc của công trình dưới tác dụng của ngoại lực (kiểm tra điều kiện bền và cứng) b) Xác định kích thước công trình hay chi tiết máy. c) Xác định trị số lực lớn nhất có thể đặt lên công trình II. Đối tượng nghiên cứu của môn học 1. Vật rắn thức và tính đàn hồi. Sức bền vặt liệu nghiên cứu các vật thể rắn lực là những vật thể bị biến dạng dưới tác dụng của ngại lực. Khác với cơ học lý thuyết nghiên cứu chuyển động của các vật rắn nên đã coi các vật thể là rắn tuyệt đối. Chính vì vậy khi trượt lực trên đường tác dụng của chúng, ý nghĩa của bài toán vẫn không thay đổi. Cơ lý thuyết xem hai bài toán mô tả trên hình 1.a và 1.b là như nhau nghĩa là vật thể đều ở trạng thái cân bằng. 1
  3. Khi chú ý đến biến dạng của vật thể, trường hợp a) khoảng cách giữa các chất điểm theo phương của lực P sẽ giảm đi, còn trường hợp b) khoảng cách đó sẽ tăng lên, ý nghĩa của hai bài toán là khác nhau. Một tính chất khác, ngược lại với tính biến dạng là tính đàn hồi, đó là khả năng khôi phục lại hình dạng và kích thước ban đầu sau khi đã bỏ ngoại lực tác dụng đi. Những vật thể có tính đàn hồi được gọi là vật thể đàn hồi. Những vật thể nào sau khi bỏ ngoại lực đi, khôi phục lại được hoàn toàn hình dạng và kích thước ban đầu được gọi là vật thể có tính đàn hồi tuyệt đối, còn nếu không khôi phục lại được hoàn toàn hình dạng và kích thước ban đầu. Ta nói vật thể có tính đàn hồi không tuyệt đối. Phần biến dạng còn lại được gọi là biến dạng dư hay bia dạng dẻo. Rõ rằng với cách phân loại như vậy, tính đàn hồi của một loại vật thể nào đó sẽ phụ thuộc vào bản chất của vật liệu, trị số của ngoại lực tác dụng và hình dạng vật thể. Với đa số kim loại khi ngoại lực còn nhỏ thì tính đàn hồi là tuyệt đối nhưng khi ngoại lực đã vượt quá một trị số giới hạn nào đó thì tính đàn hồi lại là không tuyệt đối. Mặt khác với cùng một ngoại lực, tính luân hồi của một lò xo và một viên bị làm bằng cùng một loại vật liệu sẽ khác nhau. Giai đoạn mà tính đàn hồi của vật thể là đàn hồi tuyệt đối được gọi là giai đoạn đàn hồi, những biến dạng phát sinh trong giai đoạn này được gọi là biến dạng đàn hồi. 2- Hình dạng vật thể nghiên cứu: Mặc dù các công trình hay chi tiết máy mà sức bền nghiên cứu có hình dạng rất khác nhau song đều có thể sắp xếp chúng vào một trong ba loại sau đây: a) Khối. là những vật thể có kích thước theo ba phương trong hệ toạ độ để các tương đương như nhau. Ví dụ: các viên bi trụ, viên bi cầu trong ồ bi, đe thợ rèn b) Tấm- Vỏ: là những vật thể có kích thước theo một phương nào đó nhỏ hơn nhiều so với hai phương còn lại. Ví dụ như cánh cửa, cánh quạt máy, tuốc bin, thùng đựng xăng, toa xe lửa 2
  4. c) Thanh: Là những vật thể có kích thước theo một phương lớn hơn nhiều so với hai phương còn lại. Đây là vật thể chủ yếu mà sức bền nghiên cứu cho nên ta sẽ đưa ra những định nghĩa cụ thể cho một thanh như sau: + Cho một đường cong trong không gian, ba chiều z = f (x,y) và một diện tích F có trọng tâm là 0. Di chuyển diện tích F trong không gian sao cho trung tâm 0 luôn luôn nằm trên đường cong z và F luôn vuông góc với z. Hình khối mà diện tích F tạo nên khi di chuyển được gọi là thanh (hình 2). + Đường cong z được gọi là trục thanh và F được gọi là mặt cắt ngang của thanh. Nếu khi di chuyển diện tích F không thay đổi ta có thanh mặt cắt ngang không đổi. Còn nếu F thay đổi ta có thanh mặt cắt ngang thay đổi (hình 3) + Nếu đường cong z là hàm của một biến x hoặc y, nghĩa là một đường cong phẳng thì ta có thanh cong phẳng. Đặc biệt nếu z là hàm bậc nhất của x hoặc y ta có thanh thẳng. §2- PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU MÔN SỨC BỀN VẬT LIỆU. - Sức bền vật liệu nghiên cứu các vật thể rắn thực dưới tác dụng của ngoại lực vì vậy nó luôn luôn phải sử dụng những kiến thức của các môn học có liên quan như vật lý chất rắn, cơ học lý thuyết, v.v Muốn một công trình hay chi tiết máy bảo đảm điều kiện bền thì giữa ngoại lực tác dụng và những lực phát sinh bên trong công trình phải cân bằng với nhau, đó chính là lý do cho phép sử dụng các phương trình cân bằng tĩnh học của cơ học lý thuyết. Mặt khác việc tính toán luôn luôn đòi hỏi phải sử dụng các kiến thức của toán học cao cấp. Đặc biệt là các khái niệm vi phân, tích phân, đạo hàm riêng, v.v Song song với việc tính toán lý thuyết, sức bền còn là một khoa học thực nghiệm, nhiều trường hợp thực nghiệm chỉ ra phương hướng xây dựng các công thức lý thuyết. Đồng thời nó cũng kiểm tra sự đúng đắn của lý thuyết trước khi áp dụng trong thực tế. 3
  5. I. Sơ đồ tính sức bền vật liệu. Sự làm việc bình thường của một công trình hay chi tiết máy phụ thuộc đồng thời vào nhiều yếu tố như tính chất của vật liệu, ngoại lực tác dụng nhiệt độ hình dạng chi tiết, v.v Khi giải một bài toán sức bền không thể cùng một lúc chú ý đến các yếu tố đó, vì vậy người ta phải giải bài toán thực tế thông qua sơ đồ tính sức bền. Định nghĩa: "Sơ đồ tính sức bền vật liệu là mô hình của một bài toán thực tế sau khi đã bỏ bớt đi những yếu tố không cơ bản và có thể giải bài toán đó bằng các phương pháp của sức bền". - Cùng một bài toán thực tế, có thể sẽ đưa về được nhiều sơ đổ tính khác nhau tuỳ theo quan điểm của người tính toán và ngược lại một sơ đồ tính có thể sẽ tương ứng với nhiều bài toán thực ít khác nhau. Trách nhiệm của người thiết kế là phải chọn sơ đồ tính sao cho phù hợp nhất với bài toán thực tế nhưng tính toán lại đơn giản nhất. Sơ đồ tính bao gồm nhiều bước khác nhau gọi là sơ đồ hoá. Dưới đây là một số phép sơ đồ hoá cơ bản: 1. Sơ đồ hoá tính chất vật liệu: "Vật liệu được xem là liên tục, đồng chất và đẳng hướng". + Coi vật liệu có tính liên tục tức là coi rằng mật độ vật liệu là dày đặc trong toàn bộ thể tích khoảng cách giữa các nguyên tử là bằng không. Thực ra khi khảo sát cấu trúc tế vi của vật liệu thì không thể xem là vật liệu phân bố liên tục, nhưng sức bền thường khảo sát sự cân bằng của một phần vật thể hoặc một phân tố hình hộp tách ra từ vật thể. Trong trường hợp này khoảng cách giữa các nguyên tử là không đáng kể và có thể bỏ qua. Giả thuyết này cho phép ta sử dụng được các phép tính đạo hàm, tích phân của toán học cao cấp + Tính đồng chất ở đây được hiểu là tính chất cơ lý của vật liệu tại mọi điểm bên trong thể tích là như nhau. Tính chất này khá phù hợp với các kim loại là loại vật liệu có cấu trúc mạng tinh thể. Tuy nhiên nếu khoảng cách giữa các nút mạng thay đồi thì tính đồng chất sẽ không phù hợp nữa. Tính chất này cho phép khảo sát vật thể thông qua việc khảo sát một vài điểm đặc biệt bên trong vật thể đó, bài toán nhờ vậy sẽ đơn giản đi rất nhiều. + Giả thiết vật liệu có tính đẳng hướng tức là xem rằng khả năng chịu lực của vật liệu theo mọi phương là như nhau. Đối với một số vật liệu tự nhiên như gỗ, tre, khả năng chịu lực theo dọc thớ và ngang thứ là khác nhau do đó chúng không có tính đẳng hướng. Với từng tinh thể riêng rẽ cũng vậy, chúng không có tính đẳng hướng song khi chúng sắp xếp hỗn loạn trong một vật thể thì sẽ có sự bù trừ cho nhau và làm cho vật liệu có tính đẳng hướng. 2- Sơ đồ hoá liên kết. Trong không gian ba chiều một vật thể sẽ có sáu khả năng dịch chuyển: ba 4
  6. chuyển động thẳng theo các phương x, y, z và ba chuyển động quay quanh các trục x, y, z đó. Ta nói vật thể có sáu bậc tự do. Trong không gian hai chiều tức là trong mặt phẳng, vật thể chỉ còn lại ba bậc tự do. Liên kết đó là một bộ phận của công trình có tác dụng hạn chế bớt số bậc tự đo của vật thể hoặc của hệ. Liên kết giữa các công trình với nhau hoặc giữa công trình với mặt đất được gọi là liên kết ngoại, còn liên kết giữa các bộ phận trong một công trình được gọi là liên kết nội. Dưới đây sẽ đưa ra ba loại liên kết cơ bản là ngàm, gối cố định và gối di động. + Ngàm: Là loại liên kết hạn chế hoàn toàn sáu bậc tự do của hệ. Ví dụ liên kết giữa chân cột và mặt đất, liên kết giữa các dầm đỡ hành lang với tường nhà, v.v ký hiệu ngàm chỉ ra trên hình 4. + Gối cố định: Là loại liên kết hạn chế hai dịch chuyển thẳng (trong không gian hai chiều) và 3 dịch chuyển thẳng (trong không gian ba chiều). Ví dụ: như các ụ con lăn cố định dưới các nhịp cầu, các ổ bi đỡ chặn trong máy công cụ, v.v Ký hiệu gối cố định chỉ ra trên hình 5. + Gối di động: Đây là một loại liên kết đơn, trong mặt phẳng nó chỉ hạn chế một dịch chuyển thẳng. Các liên kết thực tế như ổ bi đỡ lòng cầu, ụ con lăn di động, v.v Khi sơ đồ hoá đều đưa về dạng gối này (hình 6). 5
  7. 3 - Sơ đồ hoá kích thước hình học: Đây là quế trình chuyển đổi các vật thể từ thực tế về một trong ba dạng đã biết là khối, tấm, vỏ, thanh. Đối với các dầm đệm như xà nhà, vì kèo, Hoặc dầm ghép như nhịp cầu, khi sơ đồ hoá về dạng thanh người ta thường biểu diễn bằng đường trục của nó. Với các trục bậc trong máy công cụ, người ta thường sơ đồ hoá nó thành một thanh có độ cứng thay đổi; các bánh răng được biểu diễn dưới dạng một (ra tròn, v.v Trong trường hợp sau khi sơ đồ hoá ta nhận được các vật thể có dạng tấm hoặc vỏ thì bài toán giải quyết sẽ thuộc về một môn học khác đó là lý thuyết về tám mỏng và vỏ mỏng. Tuy vậy cũng cần phải chú ý rằng không phải trường hợp nào cũng có thể sơ đồ hoá về dạng thanh là dạng chủ yếu mà sức bền nghiên cứu nhưng không vì thế mà bài toán sức bền sẽ mất đi tính tổng quát của nó. 4- Sơ đồ hoá ngoại lực: Trong tất cả mọi trường hợp, ngoại lực tác dụng lên công trình hay tiết máy đều là những lực đặt lên một phần hoặc toàn bộ diện tích bề mặt, hoặc tác dụng trong toàn bộ thể tích. Tuy nhiên nếu diện tích đặt lực là quá nhỏ so với toàn bộ bề mặt công trình thì người ta có thể xem như lực đặt tại một điểm, đó là lực tập trung. Trên hình 7, trọng lượng của vật nâng tác dụng lên cần trục có thể xem là một lực tác dụng vì diện tích đặt lực là rất nhỏ. Khi khảo sát áp lực của chất lỏng tác dụng lên bình chứa. Ngoại lực (tức là áp lực chất lỏng sẽ được sơ đồ hoá thành một hệ lực phân bố như trên hình 8. 6
  8. Sơ đồ hoá ngoại lực không phải là bước phân loại ngoại lực mà là bước thay thế tác dụng tương hỗ giữa các phần vật thể với nhau bằng các lực mà không làm thay đổi tình trạng làm việc của chúng. II. Các giả thuyết. 1- Giả thuyết 1: "Tính đàn hồi của vật liệu được xem là đàn hồi tuyệt đối và vật liệu làm việc trong giai đoạn đàn hồi". Giả thuyết này chỉ rõ sức bền vật liệu chỉ nghiên cứu bài toán trong giai đoạn đàn hồi. Ngoài miền đàn hồi bài toán sẽ được nghiên cứu trong một môn học khác là lý thuyết dẻo. 2- Giả thuyết 2: Biến dạng của vật thể do ngoại lực gây nên được xem là bé (so với kích thước vật thể). Với giả thuyết này ta có thể xem như điểm đặt của lực là không thay đổi đồng thời có thể áp dụng nguyên tắc gạt bỏ vô cùng bé bậc cao đối với biến dạng. III. Các nguyên lý. 1. Nguyên lý cộng tác dụng Nếu một hệ chịu tác dụng đồng thời của nhiều yếu tố thì có thể khảo sát hệ đó dưới tác dụng của từng yếu tố riêng rẽ rồi cộng các kết quả lại (hình 9). Nếu vật liệu làm việc ngoài miền đàn hồi thì nguyên lý trên không được áp dụng vì sai số âm. Các yếu tố tác dụng lên hề có thể bao gồm cả ngoại lực lẫn các tác nhân khác như nhiệt độ, áp suất, v.v 7
  9. 2- Các nguyên lý khác: Ngoài nguyên lý cộng tác dụng sức bền còn sử dụng các nguyên lý bảo toàn công, bảo toàn năng lượng, của vật lý; nguyên lý Đa lăm be (lý thuyết, nội dung các nguyên lý này đã được trình bày trong các giáo trình, ở đây không nhắc lại nữa). §3- NGOẠI LỰC VÀ NỘI LỰC I. Ngoại lực. Định nghĩa: "Ngoại lực là những lực từ bên ngoài hay từ vật thể khác tác dụng lên vật thể ta đang khảo sát". Ngoại lực bao gồm hai loại là tải trọng và phản lực liên kết. Trong đó tải trọng là lực tác dụng lên vật thể mà trị số, điểm đặt, phương chiều và tính chất đã biết trước. Phản lực liên kết là những lực phát sinh ra tại các vị trí liên kết và ta mới chỉ biết điểm đặt của nó. 1. Phân loại ngoại lực: Ngoại lực được phân bố thành ba loại là lực tập trung, lực phân bố bề mặt và lực phân bố thể tích. + Lực tập chung. là lực tác dụng trên một diện tích rất nhỏ và có thể thay thế bằng hợp lực của chúng. lực này có thứ nguyên là [lực] và đơn vị là N, + Lực phân bố bề mặt. là lực tác dụng trên một phần hoặc toàn bộ bề mặt vật thể khảo sát. Trường hợp đặc biệt khi bề mặt có đặt lực biến thành một đường thì lực tác dụng gọi là lực phân bố theo chiều dài. + Lực phân bố thể tích. là những lực tác dụng trên một phần hoặc toàn bộ thể tích vật thể khảo sát. + Cường độ của lực phân bố. là giá trị của lực phân bố trên một đơn vị thể tích Lực 2 hoặc diện tích. Thứ nguyên của cường độ lực bề mặt là: (Chiều dài) thứ nguyên của Lực 3 cường độ lực phân bố thể tích là (Chiều dài) và của lực phân bố chiều dài ℓ à Lực (Chiều dài) 2- Phân loại tải trong. Tải trọng được phân thành tải trọng tĩnh và tải trọng động. + Tải trọng tĩnh là tải trọng mà giá trị của nó tăng dần từ không đến một trị số xác định trong quá trình đó gia tốc chuyển động của các chất điểm là không đáng kể và có thể bỏ qua. 8
  10. + Tải trọng động là tải trọng tác dụng lên hệ làm cho các chất điểm của hệ chuyển động có gia tốc hoặc có xuất hiện lực quán tính. - Tải trọng động mà trị số thay đổi rất nhanh trong một khoảng thời gian nhỏ được gọi là tải trọng va chạm. - Tải trọng mà phương chiều, độ lớn đã biết còn điểm đặt. Thay đổi được gọi là tải trọng di động. Ví dụ: Trọng lượng mô khi chạy tác dụng lên cầu. - Tải trọng biến thiên tuần hoàn theo thời gian là tải trọng gậy nên dao động. II. Nội lực phương pháp mặt cắt. 1. Định nghĩa nội lực Để giữ cho vật thể có hình dạng và kích thước nhất định giữa các phần tử vật chất có các lực liên kết. Các lực này như đã biết là các lực liên kết phân tử v.v Khi vật thể chịu tác dụng của ngoại lực các lực này sẽ tăng lên để cân bằng với ngoại lực. Nếu sự cân bằng này bị phá vỡ thì vật thể sẽ bị phá huỷ. Ta có định nghĩa tổng quát về nội lực như sau: "Nội lực là phần lực liên kết tăng thêm khi vật thể chịu tác dụng của ngoại lực". Sức bền vật liệu chỉ nghiên cứu phần tăng thêm này mà không chú ý đến các lực liên kết ban đầu. Nếu ngoại lực bằng không thì nội lực cũng bằng không. 2- Phương pháp mặt cắt xác định nội lực: Cho vật thể A chịu tác dụng của hệ lực P1, P2, Pn,. Để xác định nội lực ta dùng phương pháp mặt cắt.Tưởng tượng cắt đôi vật thể bằng một mặt cắt và giữ lại khảo sát phần bên trái. Giả sử hệ lực P1, P2, Pn là hệ lực cân bằng (trường hợp không cân bằng cần áp dụng nguyên lý Đa lăm be và sẽ xét trong chương tải trọng động. Để phần bên trái làm việc giống như khi vật thể còn nguyên vẹn ta phải thay thế tác dụng của phần bên phải lên phán bên trái bằng một hệ lực p phân bố trên toàn bộ mặt cắt. Theo nguyên lý tưởng hỗ nếu ta khảo sát phần bên phải thì phải đặt vào mặt cắt của phần này hệ lực (- P ). Hệ nội lực P cùng với các lực còn lại ở phần bên trái sẽ tạo thành một hệ lực cân bằng: 9
  11. ( Pi ) trái + ( P ) = 0 Tại trọng tâm 0 của mặt cắt lập một hệ trục toạ độ oxyz trong đó trục z vuông góc với mặt cắt còn trục x và y nằm trong mặt cắt. Thu gọn hệ nội lực P về từng tâm 0 ta được vectơ chính R và vectơ mômen chính M ta chiếu R và M lên các trục toạ độ ta được sáu thành phần: ba lực và ba mômen. Các thành phần này gọi là các thành phần nội lực trên mặt cắt ngang (hình 11). Tên gọi và quy ước dấu các thành phần nội lực như sau: - Nz: gọi là lực dọc Nz coi là dương nếu nó hướng ra ngoài mặt cắt và ngược lại. - Qx, Qy gọi là lực cắt. Chúng được coi là dưỡng khi quay pháp tuyến ngoài của mặt cắt theo chiều kim đồng hồ (tức là trục z) một góc 90o thì chiều của pháp tuyến và chiều của lực cắt là trùng nhau với chú ý là người quan sát nhìn là chiều dương của các trục x và y. Trên hình vẽ ta có: Nz > 0 ; Qx > 0 ; Qy < 0 - Mx, My gọi là mômen uốn. nó được xem là dương nếu làm căng các thớ thuộc về chiều dương của các trục toạ độ. - Mz là mômen xoắn, nó được coi là dương khi dựng từ ngoài mặt cắt nhìn vào thấy Mz quay thuận chiều kim đồng hồ. Lập sáu phương trình cân bằng: ba phương trình hình chiếu lên các truc x y z và ba phương trình mômen với các trục x, y, z đó ta có đủ số phương trình để xác định các thành phần nội lực, bài toán khi đó được gọi là tĩnh định. Trường hợp toàn bộ ngoại lực nằm trong mặt phẳng. Ví dụ mặt phẳng yoz thì nội lực chỉ còn lại ba thành phần là Nz, Qy và Mx, đây là bài toán phẳng của sức bền vật liệu. Nếu số ẩn cần tìm nhiều hơn số phương trình lập được thì bài toán gọi là siêu tĩnh. 10
  12. §4- ỨNG SUẤT CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG. 1- Ứng suất: Tại một điểm c bất kỳ trên mặt cắt ngang ta lấy bao quanh nó một diện tích vô cùng bé F. (Hình 12) gọi hợp lực của các thành phần nội lực P trên diện tích F là p và đặt: ptb gọi là ứng suất trung bình tại điểm c. Cho F tiến tới không mà vẫn bao quanh C, ta c o: P được gọi là ứng suất thực tại điểm C. Có thể thấy ngay rằng ứng suất thực tại một điểm nào đó chính là cường độ nội lực tại điểm đó. Chiếu véctơ P lên phương vuông góc với mặt cắt và phương nằm trong mặt cắt ta được hai thành phần tương ứng là ứng suất pháp  và ứng suất tiếp . Thành phần  thường lại được phân theo hai phương còn lại trong mặt cắt, như vậy tại một điểm bất kỳ trong trường hợp tổng quát sẽ có ba thành phần ứng suất. Các ứng suất pháp có chỉ số ở ẩn cạnh đó chỉ pháp tuyến của mặt cắt tức là chỉ phương của ứng suất. Các ứng suất tiếp có hai chỉ số, chỉ số đầu chỉ pháp tuyến của mặt chứa ứng suất đó, chỉ số sau chỉ phương của ứng suất đó (xem hình 12). Chúng ta dễ dàng thấy rằng các thành phần nội lực trên mặt cắt chính là tổng hợp của các thành phần ứng suất tương ứng. Giả sử gọi toạ độ của điểm C là x và y Từ hình 11 và hình 12 ta suy ra: 2- Chuyển vị và biến dạng: Chuyển vị là sự dịch chuyển vị trí của điểm khảo sát trong hệ toạ độ đã chọn. 11
  13. Biến dạng, như đã nói, là sự thay đổi hình dạng và kích thước hình học của vật thể. Trên hình 13 mô tả một dầm công xôn chịu tác dụng của lực P. Đường nét đứt biểu diễn vị trí dầm sau khi chịu lực. Các điểm C, D, A di chuyển đến vị trí mới là: C', D', A'. Đoạn AA' gọi là chuyển vị tuyệt đối của điểm A. Hình chiếu của AA' lên hai phương thẳng đứng và nằm ngang là AA'' và A'A'' trong đó AA' là chuyển vị thẳng đứng còn A'A'' là chuyển vị ngang của A. Giả sử chiều dài của đoạn CD là S của đoạn C'D' là S + S. Tỷ số giữa S và S được gọi là biến dạng dài trung bình của đoạn CD và ký hiệu là tb Nếu độ dài S chọn là một đơn vị chiều dài thì biến dạng tb được gọi là biến dạng dài tỷ đối. - Gọi  là góc tạo bởi pháp tuyến của mặt cắt tại A với phương nằm ngang.  được gọi là chuyển vị góc (hay góc xoay) của mặt cắt tại A. - Khi làm việc trong giai đoạn đàn hồi, giữa chuyển vị và lực tác dụng (hay giữa biến dạng và ứng suất) có sự liên hệ tuân theo định luật Húc. Định luật này phát biểu như sau: Trong giai đoạn đàn hồi tương quan giữa lực tác dụng và chuyển vị (hay giữa biến dạng và ứng suất là tương quan bậc nhất). AA' = k. P (1.3) Trong công thức (1.3) k là hệ số tỷ lệ. Trị số của nó phụ thuộc vào tính chất của vật liệu và các đặc trưng hình học của hệ. Cụ thể là phụ thuộc vào khoảng cách tương đối giữa điểm tính chuyển vị và điểm đặt của lực. Biến dạng và chuyển vị là hai khái niệm độc lập. Biến dạng liên quan đến toàn bộ vật thể hoặc một phần vật thể, chuyển vị gắn liền với điểm khảo sát. Thứ nguyên của chúng là hoàn toàn khác nhau. 12
  14. Chương 2 KÉO NÉN THANH THẲNG §1- ĐỊNH NGHĨA - BIỂU ĐỒ NỘI LỰC. 1- Định nghĩa: "Một thanh gọi là chịu kéo (nén) đúng tâm khi trên mọi mặt cắt ngang của nó chỉ có một thành phần nội lực là lực dọc Nz" Trong chương này các công thức xây dựng chỉ áp dụng cho các thanh thẳng. Ngay đối với thanh thẳng có những phần bị giảm yếu cục bộ (có lỗ khoét rãnh khía, ) thì các công thức cũng không được áp dụng cho các phần đó. Từ định nghĩa trên ta thấy rằng việc kết luận một thanh chịu kéo (nén) đúng tâm không phụ thuộc vào cách đặt ngoại lực mà phụ thuộc vào sự xuất hiện thành phần nội lực nào trên mặt cách ngang. 2- Biểu đồ nội lực: Định nghĩa: Biểu đồ nội lực là đường biểu diễn sự thay đổi về giá trị của nội lực dọc theo trục thanh. Định nghĩa trên đây cũng áp dụng cho các bài toán khác của sức bền như bài toán uốn, xoắn, v.v Nội lực trong bài toán kéo nén là lực dọc Nz nên biểu đồ còn mang tên là biểu đồ lực dọc. Ta sẽ xét biểu đồ lực dọc qua một ví dụ cụ thể sau: Thanh AD chịu tác dụng của các lực là P, 2P, 5P. Để vẽ biểu đồ lực dọc ta dùng phương pháp mặt cắt (hình 14). * Bằng mặt cắt 1 - 1 ta khảo sát phần bơi phải. Nội lực trên mặt cắt là Nz1 Bằng phương trình hình chiếu lên phương z (phương của trục thanh). Ta có: P - Nz1 = 0. Hay Nz1 = P 13
  15. Giá trị của Nz1 không thay đổi khi di chuyển mặt cắt từ điểm D đến sát điểm C. Nói khác đi trên đoạn CD, Nz1 là một hằng số và mang dấu dương vì nó mang ra ngoài mặt cắt. * Bằng mặt cắt 2-2 ta khảo sát phần bên phải. Giả sử Nó có chiều từ trái qua phải. Phương trình cân bằng hình chiếu: Nz2 + 2P + P = 0 Nz2 = - 3P Dấu (-) chứng tỏ chiều của Nz2, như giả thiết là không đúng mà phải đổi chiều lại nghĩa là Nz2 mang dấu dương và là hằng số từ C đến B. * Bằng mặt cắt 3-3 ta khảo sát phần bên phải. Giá sử Nz3 có chiều từ trái qua phải. Phương trình cân bằng: Nz3 - 5P + 2P + P = 0 Nz3 = 2P Nz3 tính ra không có dấu (-) chứng tỏ chiều chọn là đúng, nghĩa là Nz3 âm (hướng vào mặt cắt) và là hằng số từ B đến A. biểu đồ Nz trình bày trên hình l4b. §2- ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG. 1- Ứng suất trên mặt cắt ngang. Để lập công thức tính ứng suất trên mặt cắt ngang ta xét một thí nghiệm dưới đây: Trên thanh chịu kéo ta vạch các đường thẳng song song với trục thay thế cho các thớ dọc và các đường vuông góc với trục thay thế cho mặt cắt ngang. Sau khi mẩu chịu kéo, các ô vuông biến thành hình chữ nhật còn góc vuông vẫn không thay đổi. Điều đó chứng tỏ các mặt cắt phẳng đã bị dịch chuyển tịnh tiến (hình 15) và thanh chỉ có biến dạng dài chứ không có biến dạng góc lực cắt do nguyên nhân gây nên biến dạng góc sẽ bằng 0 do đó từ hệ phương trình (1.2) ta thấy ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang bằng không. 14
  16. Tưởng tượng mỗi thanh được cấu tạo nên bởi vô số các thớ dọc xếp khít bên nhau và đầu mỗi thớ dọc chính là một điểm trên mặt cắt ngang. Vậy mỗi thớ dọc sẽ chịu kéo bởi một lực chính bằng ứng suất tại điểm đó. V các mặt cắt phẳng dịch chuyển tịnh tiến nên độ đãn dài của các thớ dọc là như nhau. Từ đó suy ra ứng suất tại mọi điểm là như nhau. Vì z là hằng số nên từ phương trình đầu của hệ phương trình (1.2) suy ra: Trong công thức (2.1), F là diện tích mặt cắt ngang, Nz là nội lực trên mặt cắt cần tính ứng suất. Thứ nguyên của ứng suất là . 2- Biến dạng khi kéo nén. Kích thước của một thanh chịu kéo (nén) sẽ thay đổi tuỳ thuộc vào giá trị của ngoại lực. Giả sử trước khi chịu lực thanh có chiều dài ℓ à ℓ và sau khi chịu lực nó có chiều dài ℓ à ℓ + ℓ. Trị số ℓ được gọi là biến dạng dài tuyệt đối của thanh (hình 16). Bằng hai mặt cắt 1.1 và 2.2 xét một đoạn thanh có chiều dài vô cùng nhỏ dz. Sau biến dạng nên bị dài thêm một đoạn dz. Khi đó tỷ số dz và dz gọi là biến dạng dài tương đối và ký hiệu là  Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng trong giới hạn đàn hồi tuân theo định luật Húc. Áp dụng công thức (1.3) ta có: z = E. z (2.3) Đại lượng E trong công thức (2.3) được gọi là môđyn đàn hồi khi kéo hay là môđyn đàn hồi loại một. Trị số của nó phụ thuộc vào bản chất của vật liệu và được tìm bằng thực nghiệm. Vì z không có thứ nguyên nên thứ nguyên của E giống như thứ nguyên của z Dưới đây là trị số E đối với một số vật liệu. 15
  17. Thép: E = (2  2,1) 107 N/cm2 Đồng: E = 1,2.107 N/cm2 Nhôm: E = (0,7  0,8).107 N/cm2 Gỗ (dọc thớ): E = (0,08  0,12).107 N/cm2 Mang (2.1) và (2.2) vào công thức (2.3) và biến đổi đi ta có: Nếu trên suốt chiều dài thanh Nz, EiF là các hằng số thì: (2.5) là công thức tính biến dạng dài tuyệt đối của thanh, ℓ sẽ có dấu phụ thuộc vào dấu của lực dọc Nz Nếu trên chiều dài thanh các thông số Nz, E, F thay đổi thì phải phân nhỏ tích phân (2.4) thành các đoạn mà trên đó cả ba thông số đều không thay đổi. Công thức (2.5), lúc này sẽ có dạng: Đối với những thanh chịu kéo nén, biến dạng dọc trục là z thì theo hai phương vuông góc với phương z cũng tồn tại các biến dạng x và y, giữa chúng có mối liên hệ: Trong công thức (2.5)  là hệ số tỷ lệ, còn được gọi là hệ số pótxông. Trị số của  luôn luôn nằm trong khoảng. 0 <  0,5 Dấu (-) chứng tỏ rằng nếu theo phương z biến dạng là kéo thì theo phương x và y biến dạng là nén và ngược lại. Đối với kim loại trị số ít này khá nhỏ, chỉ với những vật liệu đặc biệt như cao su, Thì  mới đạt đến bằng 0,5 nghĩa là biến dạng ngang có trị số bằng một nửa biến dạng dài. 3- Ứng suất trên mặt cắt nghiêng: Để xác định được mặt cắt có ứng suất lớn nhất nhằm đánh giá độ bền của công trình ta phải khảo sát toàn bộ ứng suất trên các mặt cắt khác nhau cùng đi qua một điểm. Nói khác đi ta phải khảo sát trạng thái ứng suất tại điểm đó. Giả sử cần xét ứng 16
  18. suất trên mặt cắt nghiêng đi qua điểm K, pháp tuyến của mặt cắt tạo với trục thanh một góc . Tách ra khỏi thanh xung quanh điểm K một phân tố lăng trụ vô cùng bé (hình 17). Mặt AB trùng với mặt cắt ngang, mặt BC trùng với mặt cắt nghiêng còn mặt AC trùng gốc với trụ. Chọn hệ thức uv như trên hình 17b, vì các mặt của phân tố là vô cùng nhỏ nên ứng suất được coi là phân hố đều. Ký hiệu diện tích mặt AB là F và và mặt BC là F Ta có: Lần hai phương trình cân bằng hình chiếu cho phân tố hình 17b. Ta có: Kết hợp (a) và (b) ta có: Từ công thức (2.7) ta có một vài nhận xét sau đây: (a) khi = 0; từ (2.7) có  = z và  = 0. Mặt cắt ngang là mặt cắt có ứng suất pháp cực đại. o (b) Khi = 90 ;  = 0  = 0 tức là trên các mặt cắt dọc trục nội lực không có các thớ dọc không ép lên nhau và cũng không đẩy nhau. Việc kéo thanh có thể xem là kéo trên từng thớ riêng rẽ. o (c) Ứng suất tiếp  đạt cực đại khi sin2 = 1 tức là = 45 . (d) Xét mặt cải tạo với trục thanh góc  90o. 17
  19. Từ (2.7) và (2.8) suy ra: Tổng các ứng suất pháp trên hai mặt cắt vuông góc với nhau là một hàng số. Đó là bất biến thứ nhất của trạng thái ứng suất. Phương trình thứ hai của (2.8) cho thấy rằng ứng suất tiếp trên hai mặt cắt vuông góc với nhau có trị số bằng nhau và dấu ngược nhau. Đó là luật đối ứng ứng suất tiếp. Từ quy ước về dấu của ứng suất tiếp trong chương I có thể thấy rằng các ứng suất tiếp trên hai mặt cắt vuông góc với nhau hoặc là cùng hướng vào giao tuyến của hai mặt cắt hoặc là cùng hướng ra khỏi giao tuyến §3- CÁC ĐẶC TRƯNG CƠ HỌC CỦA VẬT LIỆU. Để xác định được các đặc trưng cơ học của vật liệu, người ta phải tiến hành hàng loạt thí nghiệm khác nhau. Trong cuốn "Hướng dẫn thí nghiệm sức bền vật liệu" của bộ môn biên soạn năm 1996 đã trình bày tỷ mỹ một số bài thí nghiệm cơ bản, trong đó cũng sẽ giới thiệu kích thước mẫu thí nghiệm và cấu trúc, nguyên lý làm việc của máy thí nghiệm. Ở đây không trình bày những vấn đề đó mà chỉ giới thiệu việc khảo sát quá trình phá huỷ mẫu thí nghiệm. 1- Thí nghiệm kéo vật liệu: a) Biểu đồ kéo vật liệu dẻo: Kéo mẫu cho đến khi mẫu bị phá huỷ ta vẽ được đồ thị tương quan giữa lực kéo (p) và biến dạng dài của mẫu ( ℓ) (hình 18). Có thể chia đường cong này thành một số vùng như sau: * Vùng OA được coi là vùng đàn hồi vật liệu ở giai đoạn này tuân theo định luật Húc, nghĩa là tương quan giữa P và ℓ là tương quan bậc nhất. Biến dạng của mẫu trong giai đoạn này như nhau. * Giai đoạn AB trên biểu đồ tương ứng với giai đoạn chảy tổng thể của vật liệu. Sở dĩ có tên gọi như vậy là vì lực tác dụng trong giai đoạn này tuy không tăng song biến dạng vẫn tiếp tục tăng. Toàn bộ mẫu có sự thay đổi kích thước. Với những vật liệu có tính dẻo cao như nhôm, đồng, v.v Thì giai đoạn này gần như chiếm toàn bộ đồ thị. 18
  20. * Đoạn BC tương ứng giai đoạn củng cố, quan hệ lực P và biến dạng l không phải là bậc nhất cho đến điểm c trên mẫu xuất hiện vết thắt. Quá trình tiếp theo biến dạng và lực kép sẽ có tương quan gần như trái ngược. * Đoạn CD: Trên đồ thị đoạn CD ứng với giai đoạn chảy cục bộ. Biến dạng l chỗ thắt tăng lên rất nhanh, diện tích mặt cắt ngang giảm đi đột ngột làm mẫu bị phá huỷ. Do sự suy giảm nhanh chóng mặt cắt ngang, nên ứng suất trên mặt cắt vẫn tăng, mặc dù lực kéo trong giai đoạn này giảm xuống. Gọi tiết diện mặt cắt ngang và chiều dài mẫu trước khi thí nghiệm là Fo và lo Từ đồ thị kéo hình 18 ta có thể suy ra đồ thị tương quan giữa ứng suất () và biến dạng tương đối () bằng cách chia các trị số P cho Fo và chia ℓ cho ℓo. Dạng của đồ thị này (hình 20) giống như dạng đồ thị tương quan P và ℓ và gọi là đồ thị ứng suất quy ước. Sở dĩ gọi là đồ thị quy ước vì ta đã không xét đến sự thay đổi biến dạng mặt cắt ngang trong toàn bộ quá trình thí nghiệm. Nên chú ý đến sự thay đổi diện tích mặt cắt ngang thì đồ thị sẽ được theo đường OCD'. Tại D' ứng với lực bị phá huỷ. Gọi F* là diện tích mặt cắt ngang tại chỗ đứt Và * là biến dạng tương đối mẫu đứt và xác định đi công thức: Đoạn thẳng CD là tiếp tuytìn của đường cong tại C. Các giai đoạn tiền đồ thị  -  cũng có tên gọi như các giai đoạn trên đồ thị P- ℓ. Trị số ứng suất tương ứng với các điểm A, B, C được gọi là: giới hạn tỷ lệ giới hạn chảy và giới hạn bền và ký hiệu. Cả ba trị số tc ; ch; B được gọi chung là đặc trưng cơ học về tính bền của vật liệu. Gọi chiều dài mẫu sau khi bị đứt là ℓđ và tiết diện tại chỗ đứt là F1 ta có hai giá trị 19
  21. đặc trưng cho tính dẻo là: các trị số  và  được gọi tương ứng là độ đãn tỷ đối và độ thắt tỷ đối tính theo phần trăm. Đó là các đặc trưng cơ học về tính dẻo của vật liệu. b) Biểu đồ kéo vật liều dòn. Trên hình 21 cho ta tương quan giữa P và l khi kéo vật liệu dòn. Trị số lực kéo ứng với lúc mẫu bị phá huỷ (điểm A) gọi là PB các loại vật liệu dòn bị phá huỷ đột ngột biến dạng còn rất nhỏ, chứng tỏ khả năng chịu kéo của vật liệu đòn là rất kém. Dạng của đường cong tuỳ thuộc vào bản chất của vật liệu thí nghiệm. Những loại vật liệu dòn như gang xám, thép có tỷ lệ các bon cao, đá, thuỷ tinh, v.v khi bị phá huỷ biến dạng của chúng thường không vượt quá 2.5%, trong trường hợp đó biểu đồ thường được thay bằng đường thẳng (đường nét đứt trên hình 21). PB Tỷ số σB được gọi là giới hạn bền đồ thị tương quan giữa ứng suất  và Fo biến dạng  cũng giống như đồ thị tương quan P và ℓ. Hệ số góc của đường thẳng OA (tg ) gọi là môđyn đàn hồi quy ước của vật liệu đòn. 2- Thí nghiệm nén vật liệu: a) Thí nghiệm nén vật liệu dẻo: Vật liệu dẻo khi chịu nén diện tích mặt cắt ngang tăng lên, do vậy không thể nén mẫu cho đến khi phá huỷ. Đồ thị P - ℓ chỉ ra trên hình 22. Cũng như thí nghiệm kéo, đồ thị gồm có các vùng đàn hồi (OA), vùng chảy tổng thể (AB) và vùng củng cố. Đoạn nét đứt trên đồ thị chứng tỏ rằng nếu lực tiếp tục tăng thì biến dạng cũng tập tục tăng do vậy thí nghiệm nén vật liệu dẻo không thể xác định được giới hạn bền. Màu thí nghiệm trong quá trình chịu nén sẽ có dạng tang trong (hình 23) sở dĩ như vậy là vì do có ma sát giữa bề mặt tiếp xúc của mẫu và bàn nên làm cho sự dịch chuyển ngang bị hạn chế. 20
  22. Nếu khử bỏ được ma sát tiếp xúc này thì mẫu thí nghiệm sẽ vẫn có dạng hình trụ nghĩa là biến dạng ngang tại mọi mặt cắt của mẫu là như nhau. Các trị số E, tl, ch khi nén cũng bằng hoàn toàn khi kéo. b) Thí nghiệm nén vật liệu dòn: Biểu đồ nén vật liệu dòn cũng giống như biểu đồ kéo (xem hình 21), giới hạn bền của vật liệu dòn (Bn) khi nén cũng được xác định như khi kéo. Qua thí nghiệm, người ta thấy rằng tỷ số giữa giới hạn bền kéo (Bk) và giới hạn bền nến thường khá nhỏ. σ σ Với gang Bk = 0,2  0,4 ; với sứ Bk = 0,1  0,2 σBn σBn Điều đó chứng tỏ rằng vật liệu dòn chịu nén tốt hơn nhiều so với chịu kéo. Chính vì lý do này, người ta thấy rằng các mẫu thí nghiệm thường bị phá huỷ theo các phương tạo với phương của lực tác dụng một góc , ít khi nó bị vỡ theo phương của lực tác dụng. Thông thường khi thí nghiệm, người ta chỉ cho đến giới hạn chảy và giới hạn bền, đó là các đặc trưng quan trọng để kiểm tra bên cho công trình. Ở đây cũng cần phải lưu ý rằng, trị số giới hạn bền kéo hoặc nén không phải là trị số làm cho mẫu bị phá huỷ vì ta đã lấy là số lực PB chia cho diện tích ban đầu của mẫu (Fo) Nếu ta chú ý đến sự thay đổi diện tích mặt cắt ngang của mẫu theo thời gian thì sẽ thấy rằng ứng suất lúc mẫu bị phá huỷ lớn hơn giới hạn bền khá nhiều. (k) (n) Trị số giới hạn chảy khi kéo ( σch ) và khi nén (σch ) trị số giới hạn bền và môđuyn đàn hồi của một vài loại vật liệu thông dụng được cho trong bảng sau. Qua bảng này ta thấy rằng đối với vật liệu dẻo giới hạn chảy kéo và nén là xấp xỉ như nhau. (k) (n) σch σch 21
  23. Bảng 1: Đơn vị sử dụng N/cm2 (k) (n) (k) (n) Vật liệu σch σch σB σB E Thép ít các bon 15000 25000 33000 - 2.107 Thép 30 chưa tôi 33000 33000 33000 - 2.107 Thép 30 đã tôi 103000 30000 44000 - 2.107 Thép 45 chưa tôi 137000 37000 62000 - 2.107 Thép 45 đã tôi 104000 37000 103000 - 2.107 Thép 48 chưa tôi 25000 43000 63000 - 2.107 Thép 48 đã tôi 70000 70000 110000 - 2.107 7 Thép 30 ДCA đã tôi 140000 140000 162000 - 2.10 Thép 40 XHB đã tôi 172000 210000 205000 - 2.107 Gang xám CЧ28 14000 31000 15000 34000 7.106 Than kỹ thuật 52000 52000 60000 - 1,1.107 Đồng đã nung 5500 5500 22000 - 1,1.107 Đồng thỏi 25000 25000 32000 - 1,1.107 Đồng thau 33000 33000 45000 - 1,2.107 Đồng thanh 11000 11000 13300 - 1,2.107 Nhôm 5000 5000 8400 - 7.106 Đuy ra 37000 34000 54000 7 7,5.107 Tecto-lit (nhựa) 7500 10500 12.700 16800 3.105 3- Biến dạng khi kéo nén: Nếu tiến hành kéo mẫu không phải đợi lúc phá huỷ mà đến một giai đoạn nào đó  điểm k trên đồ thị, ta ngừng tăng lực và sau đố từ từ giảm lực đi Trong quá trình bỏ lực đồ thị tương quan giữa P và ℓ sẽ đi theo đường KI (hình 24). Thí nghiệm chứng tỏ rằng đường KI song song với đường OA. Nếu điểm K nằm ở qua điểm A (nghĩa là thuộc vùng chảy hoặc vùng củng cố, thì điểm I không trùng với gốc)? Khi lực giảm về đến 0 biến dạng sẽ giảm được một đoạn là JI. Như vậy lúc này mẫu vẫn còn một lượng biến dạng là OI, đó là biến dạng dẻo hay biến dạng dư. Lượng biến dạng mất đi sau khi giảm lực (đoạn IJ) được gọi là biến dạng đàn hồi. Tiếp tục thí nghiệm với mẫu cũ, ta lại tăng lực kéo thì đồ thị tương quan P- ℓ sẽ đi theo đường IK CD. Giai đoạn chảy tổng thể đã biến mất, đồ thị chỉ còn giai đoạn đàn hồi và giai đoạn 22
  24. củng cố. Giới hạn đàn hồi trong trường hợp này (điểm kì đã được nâng cao hơn so với lúc đầu (điểm A). Hiện tượng nâng cao được tính đàn hồi của vật liệu bằng cách làm cho vật liệu xuất hiện biến dạng dư được gọi là hiện tượng biến cứng nguội. Tính dẻo của vật liệu sau khi biến cứng nguội đã bị giảm. Người ta sử dụng hiện tượng trên trong kỹ thuật để nâng cao khả năng làm việc của chi tiết máy. Ví dụ các trục máy sau khi biến cứng nguội sẽ khử bỏ được biến dạng dư do đó không xuất hiện các ứng suất phụ tại chỗ lắp nối, v.v §4- ĐIỀU KIỆN BỀN VÀ CỨNG, KHI KÉO NÉN. Từ thí nghiệm ta đã xác định được các đặc trưng cơ học của vật liệu. Dựa vào các số liệu này, ta sẽ đưa ra phương pháp tính bền và tính cứng cho công trình chế tạo bằng các loại vật liệu đó. Khả năng làm việc bình thường của công trình hoặc chi tiết máy sẽ không bảo đảm được nếu ứng suất lớn nhất max trong chúng đạt đến bằng ch đối với vật liệu dẻo hoặc bằng B với vật liệu dòn. Trị số ứng suất nhỏ nhất trong các giá trị khiến cho công trình hay chi tiết máy không còn khả năng làm việc bình thường được gọi là ứng suất nguy hiểm và ký hiệu là o. Như vậy trị số o sẽ phụ thuộc vào bản chất của vật liệu, đối với vật liệu dẻo người ta quy ước o = ch, còn vật liệu dòn o = B. Sở dĩ chọn o = ch với vật liệu dẻo là vì tuy rằng trị số ch chưa làm phá huỷ vật liệu, song nó đã làm cho vật liệu có biến dạng dư khá lớn, biến dạng này sẽ làm cho công trình mất khả năng làm việc bình thường. Để đảm bảo an toàn, trị số ứng suất lớn nhất max phải nhỏ hơn ứng suất nguy hiểm, nói khác đi ứng suất lớn nhất do ngoại lực gây ra phải thoả mãn bất đẳng thức sau: Trong đó. n là một số trường và lớn hơn một. n được gọi là hệ số an toàn. Ta đặt: σ o  σ  (2.10) gọi là ứng suất cho phép. n Khi đó: max [  ] (2.10') Việc lựa chọn hệ số an toàn cho mỗi công trình phụ thuộc vào nhiều yếu tố: chất lượng của vật liệu, trình độ tính toán, ý nghĩa sử dụng của công trình, v.v Hệ số an toàn chọn càng lớn thì công trình càng bảo đảm điều kiện bên song lại không kinh tế vì 23
  25. tốn nhiều vật liệu. Ngược lại chọn hệ số an toàn nhỏ sẽ tiết kiệm được vật liệu nhưng tuổi thọ của công trình sẽ không cao. Để thoả mãn cả hai yêu cầu đó, người kỹ sư khi thiết kế phải nắm được các phương pháp tính toán hiện đại. Việc giải các bài toán tối ưu, việc tính toán theo trạng thái giới hạn, đặc biệt là việc sử dụng máy tính điện tử trong thiết kế đã cho phép sử dụng được tối đa khả năng làm việc của vật liệu, đạt hiệu quả kinh tế cao. Xuất phát từ các yêu cầu về độ bền và độ cứng đã nói trong chương 1. Ta có các công thức kiểm tra bền và cứng sau: Trong công thức (2.12) độ đãn dài tỷ đối cho phép [  ] cũng được xác định ε tương tự như [  ] nghĩa là [  ] = o n o là độ đãn dài tỷ đối nguy hiểm, với vật liệu dẻo trị số o thường lấy vào khoảng o = 0,2  0,5 % hoặc xác định từ thực nghiệm. Ví dụ l: Dầm AB tuyệt đối cứng được gắn bản lề tại A và treo bởi hai dây thép 30 có giới hạn k 2 chảy  ch = 33000 N/cm . Hệ số an toàn của hệ n = 2 2 2. Biết F1 = 3 cm ; F2 = 5cm ; a = 1 m. Hãy kiểm tra bền và cứng cho các dây treo, nếu P = 105N; [] = 0,2% Bài giải Áp dụng công thức (2.10) Ta có: [] = 16500 N/cm2 Để kiểm tra bền và cứng. Ta cắt ngang các dây (1) và (2) đặt vào các mặt cắt. Các nội lực tương ứng N1 và N2 (hình 26). Chiều N1 và N2 giả thiết như hình vẽ. Từ phương trình cân bằng mômen với A ta có: 24
  26. Suy ra: Chuyển vị ngang của điểm C khá nhỏ nên bỏ qua. Biến dạng của các dây thép gọi tương ứng là: Giải hệ phương trình a) và b) ta có: N1 = 19563 N và N2 = 65210N Ứng suất trong các dây: Vậy hệ bảo đảm điều kiện bền. Để kiểm tra điều kiện cứng ta chỉ cần kiểm cho dây số (2) vì nội lực N2 > N1. Tra bảng 1 với thép 30 có E = 2.107 N/cm2 Hệ bảo đảm điều kiện cứng. Khi giải bài toán cần lưu ý rằng nếu nội lực Nl và N2 tính ra có dấu (-) tức là chiều giả thiết ban đầu sai, cần phải đổi chiều lại. 25
  27. §5- THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI. Trong giai đoạn đàn hồi tương quan giữa lực tác dụng P và biến dạng dài l là tương quan bậc nhất. Sau khi bỏ ngoài lực tác dụng vật thể sẽ khôi phục lại hình dạng và kích thước ban đầu năng lượng để thực hiện quá trình đó là năng lượng đã tích luỹ bên trong vật thể khi vật thể chịu tác dụng của ngoại lực và được gọi là thế năng biến dạng đàn hồi. Xét thanh AB dài 1 chịu tác dụng lực P ở đầu tự do. Lực kéo đặt vào đầu tự do tăng từ 0 đến một giá trị P xác định biến dạng dài tương ứng tăng từ 0 đến ℓ. Giá trị khi lực P = P* tăng thêm một lượng dở thì biến dạng tăng thêm một lượng là do Vì là tải trọng ảnh do vậy công của PA + dP* trên chuyển vì d ℓ được tính như cơ lý thuyết. Biểu thức công dA biểu diễn một cách gần đúng diện tích của phần gạch dưới trên hình 27 như vậy toàn bộ công A do lực P thực hiện trên chuyển vị ℓ được biểu diễn với diện tích tam giác OCD. Công này chuyển thành thế năng biến dạng đàn hồi tích luỹ trong thanh. Gọi u là thế năng biến dạng đàn hồi tích luỹ trên đơn vị thể tích là thế năng biến dạng đàn hồi riêng. Nếu trên suốt chiều dài thanh giá trị Nz không phải là hằng số thì ta phải khảo sát từng đoạn thanh trên đó Nz là hằng số và cộng các giá trị lại. Giả sử trên đoạn thanh vô cùng bé dz thế năng biến dạng đàn hồi là dU. Thế năng trên toàn đoạn thanh thứ i nào đó sẽ là: 26
  28. Thế năng trên toàn thanh gồm có n đoạn mà trên đó các giá trị Nz, E, F là hằng số. §6- BÀI TOÁN SIÊU TĨNH. Những bài toán với số phương trình cân bằng tĩnh học không đủ để xác định được nội lực và ứng suất trên mặt cắt được gọi là bài toán siêu tĩnh. Muốn giải bài toán này cần phải lập thêm các phương trình biến dạng. Ta sẽ xét qua một ví dụ cụ thể: Ví dụ 2. Thanh AB được ghép bởi hai đoạn thép và đồng chịu tác dụng bởi lực P. Hãy vẽ biểu đồ lực dọc, biểu đồ ứng suất, ℓ Biết: 7 2 7 2 Eth = 2.10 N/cm ; Ecu = 1. 10 N/cm 2 2 Fth = 15 cm ; Fcu = 10 cm P = 12. 104N. Hai đầu A, B ngàm cứng. Giải: Dưới tác dụng của P đoạn AC sẽ đãn và đoạn CB bị co lại, phản lực tại 2 ngàm tương ứng là RA và RB chiều RA và RB giả sử như hình vẽ. Ta có phương trình cân bằng: RA + RB - P = 0 (a) Phương trình 2 ẩn số ta chưa giải được lực RA và RB ta phải lập thêm phương trình biến dạng. Điều kiện biến dạng ở đây là chuyển vị giữa hai mặt cắt qua A và B bằng không. Tưởng tượng bỏ ngàm B và thay vào đó là phản lực RB Chuyển vị của mặt cắt B do P gây ra là: Chuyển vị của mặt cắt B do RB gây ra: 27
  29. Biểu thức c) có dấu (-) vì lực RB gây nén thanh AC. Từ điều kiện biến dạng đã nêu ở trên ta có: 4 4 4 - Từ phương trình a) ta có: RA = 12.10 - 4.10 = 8.10 N Biểu đồ lực dọc và ứng suất được vẽ trên hình 29. 28
  30. Chương 3 TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT §1 - ĐỊNH NGHĨA VÀ PHÂN LOẠI TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT Dưới tác dụng của ngoại lực ứng suất trên các mặt cắt khác nhau di qua một điểm cố định sẽ loay đổi tuỳ thuộc vào sự định hướng của một cắt trang hệ quy chiếu đã chọn. Sự thay đổi đó tuân theo những quy luật phụ thuộc vào tính chất của tải trọng tác dụng ra các định nghĩa sau về trạng thái ứng suất. "Tập hợp tất cả ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên các mặt cắt đi qua một điểm cố định cho trước được gọi là trạng thái ứng suất tại điểm đó". Tách ra khỏi điểm A trong vật thể một phân tố hình lập phương các cạnh là dx = dy = dz (xem hình 30). Trong trường hợp tổng quát trên các mặt của phân tố sẽ cá ba thành phần ứng suất. Toàn bộ phân tố có mười tấm thành phần ứng suất. Vì dx, dy, dz là vô cùng bé nên ứng suất pháp trên các mặt song song với nhau ta coi là như nhau. Ứng suất pháp  có kèm theo chỉ số x, y, z ở bên cạnh để chỉ phương của ứng suất. Ứng suất tiếp  có kèm theo hai chỉ số. Chỉ số thứ nhất chỉ pháp tuyến của mặt chứa ứng suất tiếp đó, chỉ số thứ hai chỉ phương của ứng suất tiếp. Do luật đối ứng ứng suất trên ta thấy trong 18 thành phần ứng suất chỉ có 6 thành phần độc lập (3 ứng suất pháp và 3 ứng suất tiếp). Lý thuyết đàn hồi đã chứng minh được rằng trong số các phân tố tách ra khỏi A ta luôn luôn cỏ thể tìm được một phân tố duy nhất mà trên các mặt của phân tố không có ứng suất tiếp. Phân tố đó được gọi là phân tố chính. Các mặt của phân tố gọi là mặt chính, phương của ứng suất pháp được gọi là phương chính và các ứng suất pháp đó được gọi là ứng suất chính. Ta ký hiệu các ứng suất chính là 1, 2, 3 phù hợp với các 29
  31. phương chính là I, II, III (hình 31) theo thứ tự 1, > 2 > 3 Ở đây lưu ý rằng giá trị của ứng suất chính có kể cả đến dấu của chúng. Trạng thái ứng suất nào trên phân tố chính có đủ cá ba ứng suất pháp 1, 2, 3 được gọi là trạng thái ứng suất khối (không gian). Nếu một trong ba ứng suất chính bằng không ta có trạng thái ứng suất phẳng (ứng suất mặt). Nếu hai trong ba ứng suất chính bằng không ta có trạng thái ứng suất đơn (đường). Trạng thái này ta đã gặp khi xét vật thể chịu kéo nén đúng tâm. §2- TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT THẲNG 1. Ứng suất trên mặt cắt xiên. Luật đối ứng, ứng suất tiếp. Xét phân tố có các ứng suất trên hình 32. Trên hai mặt vuông góc với trục z không có ứng suất. Xoay phân tố di một góc quanh trục z ta sẽ có một phân tố mới mà các mặt còn lại chỉ có ứng suất pháp. Như vậy trạng thái ứng suất biểu diễn bởi hình vẽ là trạng thái ứng suất phẳng. Ta sẽ xét ứng suất trên một mặt cắt xiên có pháp tuyến tạo với trục x một góc (hình 33). Gọi  và  là ứng suất pháp và tiếp trên mặt cắt. Lập hệ trục tuy trang đã trục v vuông góc với mặt cắt xiên, trục u nằm trong mặt phẳng vuông góc và trục z. Lập các phương trình cân bằng hình chiếu lên phương u và v ta có 30
  32. Chú ý đến các liên hệ: Ta đưa hệ phương trình (a), (b) về dạng: Từ hệ phương trình (3-1) ta thấy ứng suất trên mặt cắt xiên phụ thuộc vào gốc nghiêng . Nếu phân tố khảo sát ban đầu là phân tố chính (phân tố về nét đứt trên hình 32), thì ứng suất trên mặt xiên có pháp tuyến tạo với phương 1 một góc sẽ là: Nếu khảo sát mặt cắt xiên thứ hai vuông góc với một cắt xiên ban đầu ta có: Biểu thức (3.3) chính là biểu thức của luật đối ứng ứng suất tiếp đã biết trong chương 2. 2- Phương chính và ứng suất chính: Phân tố đã cho có một phương chính là phương z vì ứng suất tiếp trên mặt cắt 31
  33. bằng không. Muốn tìm hai phương chính còn lại ta chỉ việc cho phương trình thứ hai của (3-1) bằng không ta sẽ tìm được góc = o mà ứng với nó.  = 0 Trong đẳng thức (3.5) K là một số nguyên dương. Các giá trị o sai khác nhau 90o. Nói khác đi từ biểu thức (3.5) ta luôn tìm được hai phương vuông góc với nhau, đó là hai phương chính cần tìm. Mang giá trị o theo (3.5) và phương trình đầu của (3.1) ta sẽ được giá trị các ứng suất chính. Đó là các cực trị của ứng suất pháp. Thật vậy: Biến đổi một số công thức: Đạo hàm bậc nhất bằng không hàm số có giá trị cực trị. Mang o xác định theo (3.5) vào (3.1) ta sẽ có các cực trị do: Tổng ứng suất pháp trên hai mặt cắt vuông góc với nhau luôn là một hằng số. Đó là bất biến thứ nhất của trạng thái ứng suất. 32
  34. Khi kết luận về một trạng thái ứng suất là đơn hay phẳng, hay khối chúng ta chỉ được phép đánh giá qua phân tố chính, tuy nhiên nếu trên một mặt nào đó không có ứng suất kéo theo mặt song song với nó cũng vậy thì ta có thể kết luận chắc chắn rằng đó không thể là trạng thái ứng suất khối. Đây chính là điều giải thích vì sao ta nói phân tố ở hình 32 là thuộc về trạng thái ứng suất phẳng. Các ứng suất tiếp sẽ có giá trị cực trị trên các mặt cắt tạo với các mặt chính một góc 45o. Điều này có thể suy ra được qua một phép khảo sát hàm số đơn giản. Các cực trị này là: 3 - Vòng tròn Mo ứng suất (nghiên cứu ứng suất bằng vòng tròn) a) Phương trình - cách vẽ: Như đã biết trong hình học giải thích: phương trình tham số của một vòng tròn trong hệ toạ độ đề các oxy là: Nếu chúng ta lập một hệ trục toạ độ  -  và chú ý đến nhận xét trên thì sẽ thấy ngay hệ phương trình (3.1) cũng chính là phương trình tham số của một vòng tròn, ta σ σ sẽ viết phương trình chính tắc của vòng tròn này bằng cách chuyển thừa số x y 2 trong phương trình đầu của (3.1) sang trái rồi bình phương cả hai về ta có: Khai triển vế phải rồi cộng từng vế hệ phương trình (c) ta được: Vòng tròn thể hiện bởi phương trình (3.2) có tâm nằm trên trục  cách gốc toạ độ một đoạn là c và có bán kính là R. Đó chính là vòng tròn Mo ứng suất Như vậy chúng ta thấy rằng ứng suất trên một mặt cắt xiên nào đó có thể tìm 33
  35. được qua hệ phương trình (3.1) nếu đã biết vị trí của mặt cắt. Nói khác đi hệ phương trình (3.1) là cách biểu dẫn giải tích trạng thái ứng suất tại một điểm. Rõ rằng là vòng tròn vẽ theo hệ phương trình (3-8) chính là cách biểu diễn hình học trạng thái ứng suất của điểm đó. Ta có thể chứng tỏ rằng mỗi điểm trên vòng tròn tương ứng với một mặt cắt nghiêng và toạ độ của điểm đó chính là giá trị của ứng suất trên mặt cắt nghiêng đó. Để về vòng Mo ta tiến hành như sau: * Lập hệ trục  -  trong đó trục  chọn song song với phương x. Trục  song song với phương y. * Trên trục  đặt một đoạn 0E = x và 0F = y * Dựng các đoạn E0 = xy và F0' = yx vuông gác với trục . * Nối D và D', đoạn DD' cắt trục  ở C. * Về vòng tròn lâm C bán kính CD đó chính là vòng Mo ứng suất. Thật vậy vòng tròn này có các thông số: b) Công cụ của vòng Mo Trong phần này ta sẽ dùng vòng Mo để giải quyết bài toán xác định ứng suất trên các mặt cắt xiên có pháp tuyến tạo với trục x một góc , xác định phương chính là ứng suất chính (hình 35). Trên vòng tròn to xác định một điểm P có toạ độ (y, xy) gọi là điểm cực của vòng Mo. 34
  36. Từ P kẻ tia song song với phương pháp tuyến của mặt cắt xiên. Tia này cắt vòng Mo tại điểm M. Ta sẽ chứng tỏ rằng toạ độ của điểm M chính là  và  . Thật vậy, trên hình vẽ ta có: Tương tự như trên: Vì phương pháp dùng vòng Mo là phương pháp hình học nên việc tính ứng suất trên mặt cắt có thể thực hiện bằng cách sử dụng các tương quan hình học phẳng hoặc đo theo tỷ lệ xích. Như đã nói, mỗi điểm trên vòng Mo tương ứng với một mặt cắt ta nó ta sẽ chú ý tới một số điểm đặc biệt. 35
  37. Hai điểm A và B có hoành độ (ứng suất pháp) lớn nhất và nhỏ nhất còn tung độ (ứng suất tiếp), bằng không. Như vậy hai điểm thường thể hiện hai mặt chính cần tìm. Nối các tia PA và PB ta có hai phương chính. Các ứng suất chính sẽ là: A = 2; B = 1 và 3 = 0 - Hai điểm I và J có tung độ lớn nhất và nhỏ nhất, nó thể hiện các mặt cắt có ứng suất tiếp cực đại và cực tiểu. Rõ rằng là các mặt này nghiêng so với mặt chính một góc 45o. Phân tố chính và ứng suất chính là duy nhất không phụ thuộc vào cách chọn hệ trục toạ độ nếu ta xoay hệ trục toạ độ đi một góc 90o tức là chọn trục  || y còn trục  || x thì cực P phải lấy toạ độ là (x, xy) Ví dụ: Phân tố có ứng suất như hình vẽ. Hãy xác định phương chính ứng suất 2 2 chính, ứng suất tiếp cực đại và cực tiểu nếu biết x = - 200 MN/m , y = - 400 MN/m . 2 xy = - 200 MN/m . Bài giải: Vòng Mo ứng suất vẽ được như hình (36b). Các ứng suất của phân tố âm nên vòng Mo nằm hoàn toàn ở bên trái trục . Điểm cực P (y, xy) nằm phía dước trục hoành. Bán kính vòng Mo: 36
  38. Ứng suất tại A và B mang dấu âm vì các điểm A và B nằm ở phía trái trục . Ứng suất chính là 2 và 3 vì trị số 1 = 0. Giá trị của ứng suất tiếp chính là bản kính của vòng Mo: Góc giữa phương chính thứ hai và trục x ký hiệu là 2. Trên hình vẽ ta có: Thấy ngay rằng góc giữa phương chính thứ ba và trục x sẽ là: 4- Sự trượt thuần tuý. Nếu trên mặt cắt của phân tố chỉ tồn tại các ứng suất tiếp còn ứng suất pháp bằng không thì ta nói trạng thái ứng suất thể hiện bởi phân tố là trạng thái trượt thuần tuý. Đó là một dạng đặc biệt của trạng thái ứng suất phẳng. Trạng thái này xuất hiện khi nghiên cứu bài toán xoắn thuần tuý hoặc bài toán uốn ngang phẳng các thanh thẳng. Vì: x = y = 0 nên vòng Mo ứng suất sẽ có tâm trùng với gốc toạ độ. Vị trí của điểm cực P tuỳ thuộc vào dấu của ứng suất tiếp xy trên hình (37b) thấy rằng các phương chính sẽ tạo với trục x các góc 45o và 135o. 37
  39. Hình 37 Các ứng suất chính sẽ có giá trị: 1 = |3| = xy Phân tố chính được biểu diễn trên hình (37a). §3- TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT KHỐI I. ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT XIÊN. Trong phần này, ta sẽ chỉ khảo sát những mặt cắt xiên có tính chất đặc biệt. Đó là các mặt cắt song song với một phương chính thứ ba. Ứng suất trên mặt cắt xiên này chỉ gồm có hai thành phần  và  trong đó thành phần  nằm trong mặt phẳng vuông góc với phương chính thứ ba. Ứng suất chính 3 chiếu lên phương của  và  sẽ triệt tiêu vì vậy dù vị trí của mặt cắt thế nào đi chăng nữa ta vẫn không cần chú ý đến 3. Điều này cho phép ta có thể sử dụng công thức (3-2) để tính các trị số  và  . 38
  40. o  sẽ đạt cực đại khi = 45 tức là khi mặt cắt xiên trùng với mặt chéo chính của phân tố. Ta ký hiệu trị số ứng suất tiếp cực đại là 12. Vòng Mo ứng suất trường hợp này sẽ đi qua các điểm có hoành độ là 1 và 2 (hình 3.9b). Với những mặt cắt song song với phương I ứng suất trên mặt cắt xiên vẫn áp dụng theo công thức (3.2) nhưng thay vào trị số 1 là trị số 3. Ứng suất tiếp cực đại trong trường hợp này. Vòng Mo ứng suất sẽ đi qua các điểm có toạ độ là 2 và 3 Việc khảo sát các mặt cắt xiên song song với phương chính thứ II cũng tiến hành tương tự, tương ứng với các mặt cắt xiên ta vẽ được ba vòng Mo ứng suất (hình 40a). Lý thuyết đàn hồi đã chứng minh được rằng toạ độ của một điểm nằm trong vùng giới hạn của ba vòng tròn đó sẽ cho ta giá trị ứng suất trên một mặt cắt xiên bất kỳ nghĩa là mặt cắt xiên không song song với một phương chính nào. 39
  41. Vì không thể lấy các điểm nằm ngoài phạm vi giới hạn của ba vòng trên tròn cho nên dễ dàng thấy rằng trị số ứng suất tiếp cực đại đối với một trạng thái sẽ là: II. LIÊN HỆ GIỮA ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG 1. Định luật Húc tổng quát. Trong chương 2 ta đã xây dựng công thức tính biến dạng tỷ đối trọng phạm vi giới hạn đàn hồi. Liên hệ giữa biến dạng dọc z và biến dạng ngang có x, y đã xây dựng: Ký hiệu biến dạng theo phương I do 1, 2, 3 gây ra tương ứng là 11, 12, 13. Áp dụng các công thức a vào b ta có: 40
  42. Áp dụng nguyên lý ứng tác dụng ta sẽ có biến dạng theo phương I do đồng thời tác dụng 1, 2, 3 gây ra: Tương tự ta có: - Các biểu thức liên hệ giữa ứng suất và biến dạng (3.12a. b. c) được gọi là biểu thức của định luật Húc tổng quát. Biểu thức trên vẫn đúng trong trường hợp ta khảo sát phân tố bất kỳ, nghĩa là: Các ứng suất tiếp không làm thay đổi dạng các công thức (2.12) vì chúng không ảnh hưởng đến biến dạng dài. 2- Định luật Húc trượt. Trong phạm vi giới hạn đàn hồi tương quan giữa góc trượt  và ứng suất tiếp  cũng là tương quan bậc nhất.  = G.  (2.14) Trong đó: G là hệ số tỷ lệ và được gọi là môdyn đàn hồi khi trượt. Trị số G được xác định từ thực nghiệm. Thứ nguyên của C cung giống như E. Với mỗi loại vật liệu các modun đàn hồi E, G, và hệ số poát xông  là hằng số. Ta sẽ tìm biểu thức liên hệ giữa ba đại lượng này. Dưới tác dụng của ứng suất  góc trượt của phân 41
  43. tố là . Từ C hạ đoạn CE vuông góc với đoạn AC Biến dạng dài tỷ đối theo phương AC. Trong phần trượt thuần tuý ta đã có ứng suất trích phương AC là 1 =  và theo phương BD là 3 = - . Còn ứng suất chính 2 = 0 Áp dụng định luật Húc tổng quát, chọn phương AC là phương I ta có: §4. THẾ NĂNG, BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI. Trong chương II, ta đã tính được thế năng biến dạng đàn hồi trong trạng thái ứng suất đơn. Đối với trạng thái ứng suất khối áp dụng nguyên lý cộng tác dụng ta có: 42
  44. Mang biểu thức 1, 2, 3 theo (3.12) vào (3.16) ta có: Người ta thường tách thế năng U thành hai thành phần, một phần có tác dụng luôn thay đổi hình dạng vật thể gọi tắt là thế năng biến đổi hình dạng ký hiệu là Uhd. Một phần có tác dụng làm thay đổi thể tích vật thể gọi là thế năng biến đổi thể tích, ký hiệu là Utt. U = Uhd + Utt Ta có thể chứng minh được: §5. CÁC THUYẾT BỀN. I. Ý NGHIÃ CỦA VIỆC SỬ DỤNG CÁC THUYẾT BỀN. Trong các biểu thức kiểm tra bền đã biết, muốn xác định được ứng suất cho phép ta phải xác định ứng suất nguy hiểm từ thực nghiệm, thông thường là từ thí nghiệm kéo, nén đơn. Từ đó đưa ra công thức kiểm tra: Đối với trạng thái ứng suất khối hoặc phẳng việc lựa chọn trị số nào đưa vào công thức kiểm tra đều không có cơ sở. Ví dụ trên phân tố hình 43, vật liệu của chi tiết là vật liệu dòn. Trị số tuyệt đối của 1 có thể nhỏ hơn 3 nhưng vì vật liệu dòn chịu kéo kém nên mức độ nguy hiểm theo phương I có thể lại lớn hơn theo phương III. Do vậy chưa thể kết luận đưa 1 hay 3 và công thức kiểm tra. Mặt khác việc lựa chọn ứng suất nguy hiểm cho trạng thái ứng suất phẳng hoặc khối là không thể làm được vì sự phá huỷ vật liệu xẩy ra dưới tác dụng tổng cộng của ứng suất theo mọi phương chứ không phải chỉ dưới tác dụng của ứng suất lớn nhất. Ngay cả trường hợp giả sử vật liệu bị phá huỷ do ứng suất lớn nhất đó, thì việc tạo nên các thiết bị thí nghiệm kéo, nén theo ba phương đồng thời, gặp phải những khó khăn chưa khắc phục được. Vì những lý do đã nói, để kiểm tra bền cho trạng thái ứng suất phẳng hoặc khối 43
  45. chúng ta không thể dựa vào thực nghiệm mà phải đưa ra những giả thuyết làm cơ sở gọi là các thuyết án. Các giả thuyết này chỉ ra nguyên nhân cơ bản gây nên sự phá huỷ vật liệu và là có sở để xây dựng các công thức kiểm tra bền. Có nhiều thuyết bền khác nhau được đưa ra, mỗi thuyết chỉ áp dụng đúng cho một vài trường hợp thực tế và nói chung cho đến nay chưa có một lý thuyết tổng quát nào áp dụng đúng cho mọi bài toán. Nội dung chung của mọi thuyết bền đều là ở chỗ tìm cách khảo sát trạng thái ứng suất phức tạp (phẳng hoặc khối) thông qua việc khảo sát trạng thái ứng suất dòn ta có định nghĩa sau: "Hiai trạng thái ứng suất phức tạp và đơn gọi là tương đương nếu độ bền của vật liệu là như nhau không phụ thuộc vào tính chất tác dụng của ngoại lực". Dưới đây ta sẽ khảo sát một số thuyết bền cơ bản. II. THUYẾT BỀN ỨNG SUẤT TIẾP CỰC ĐẠI Theo thuyết này, nhân tố duy nhất ảnh hưởng đến độ bền của vật liệu là ứng suất tiếp. Nội dung của thuyết này tóm tắt như sau: "Hai trạng thái ứng suất phức tạp và đơn sẽ ảnh hưởng đến độ bền của vật liệu như nhau, nếu ứng suất tiếp lớn nhất của chúng là như nhau" Như vậy nếu ứng suất tiếp lớn nhất của trạng thái ứng suất phức tạp vẫn còn nhỏ hơn ứng suất tiếp nguy hiểm của trạng thái ứng suất đơn thì vật liệu vẫn thoả mãn điều kiện bền. Giả sử khi làm việc dưới tác dụng của ngoại lực ứng suất chính trong phân tố là 1, 2, 3. Gọi ứng suất chính trên phân số ở trạng thái nguy hiểm là '1, '2, '3 . Hệ số dự trữ hay cũng gọi là hệ số an toàn trong trường hợp này, ký hiệu là n với n > 1. Như đã biết trong §31, công thức (3.12), ứng suất tiếp nguy hiểm: Đối với trạng thái ứng suất đơn, ứng suất tiếp nguy hiểm đạt được trên các mặt cắt tạo với phương chính một góc 45o và có trị số. Điều kiện bền theo thuyết ứng suất tiếp cực đại sẽ là: 44
  46. Kết hợp a), b), c), suy ra điều kiện bền này: III. THUYẾT BỀN THẾ NĂNG BIẾN ĐỔI HÌNH DẠNG CỰC ĐẠI Thuyết này cho rằng vật liệu sẽ bị phá huỷ hết nếu thế năng biến đổi hình thành dạng lớn hất của phân tố ở trạng thái phức tạp đạt đến trị số bằng thế năng biến đổi hình dáng nguy hiểm của phân tố ở trạng thái ứng suất đơn. Sở dĩ người ta không chú ý đến thế năng biến đổi thể tích vì nhiều loại vật liệu đặc biệt là chất lỏng như nước, dầu, Áp lực tác dụng rất lớn nhưng thể tích của chúng hầu như không bị thay đổi. Các loại vậl liệu dòn cũng có đặc tính như vậy. Với các loại vật liệu dẻo thực nghiệm cho thấy rằng, khi hệ số poát xông càng lớn thì sự thay đổi thể tích càng nhỏ. Với thép hệ số  = 2.5 khi chịu túc dụng lực. Gọi Uhd là thế năng biến đổi hình dạng của trạng thái ứng suất phức tạp trong trường hợp nguy hiểm và gọi thế năng biến đổi hình dáng U'hd vật liệu bị phá huỷ ở trạng thái ứng suất đơn. Từ nội dung của thuyết bền ta có công thức kiểm tra: * Biểu thức của Uhd được tính theo (3.18), còn biểu thức U hd Được suy ra từ (3.18) trong đó thành phần ứng suất duy nhất là o và đóng vai trò là 1 nếu o là ứng suất kéo hoặc đóng vai trò 3 nếu o là ứng suất nén. Ta có thể viết theo công thức (3.21). Ta có suy ra: Để cho gọn ta đặt vế trái của (3.22) là tđ còn vế phải cũng như trong chương II 45
  47. đặt là [  ]. Ta lại đặt về được dạng (3.20') đã biết. IV. THUYẾT BỀN MO Thuyết bền này còn được gọi là thuyết bền về trạng thái ứng suất giới hạn, nó dựa vào việc khảo sát trạng thái ứng suất bền trong vật liệu, khi vật liệu làm việc ở trạng thái giới hạn. Để phân định rõ đâu là trạng thái làm việc, đâu là trạng thái giới hạn, người ta thường phải dựa vào trạng thái cơ học vật liệu. Đối với vật liệu dẻo trạng thái ứng suất giới hạn xuất hiện khi vật xuất hiện biến dạng dẻo. Còn với vật liệu dòn, trạng thái ứng suất giới hạn khi vật liệu bị phá huỷ. Để xây dựng biểu thức tđ theo thuyết Mo, chúng ta đưa vào các vòng Mo giới hạn. Như đã biết, với mỗi trạng thái ứng suất ta vẽ được ba vòng Mo. Khi vật thể làm việc trong trạng thái giới hạn, nghĩa là khi các ứng suất chính trên phân tố đạt đến trị số '1, '2, '3, thì các vòng Mo được gọi tương ứng là các vòng tròn giới hạn. Trong đó vòng Mo lớn nhất có bán kính là 13 được gọi là vòng tròn chính giới hạn, vòng tròn này đi qua các điểm '1 và '3 khi thay đổi tính chất tác động của ngoại lực, ta sẽ làm thay đổi các ứng suất chính giới hạn, do đó sẽ làm thay đổi vòng tròn chính giới hạn. Tiến hành vô số thí nghiệm với cùng một vật thể, ta sẽ có được vô số phân tố chính, tại cùng một điểm khảo sát và kèm theo ta sẽ có vô số vòng tròn chính. Hình bao của hệ vòng tròn chính này là một đường cong hở gọi là đường nội tại (hình 44). Đường nội tại chia mặt phẳng thành hai phần. Phần trong chứa gốc toạ độ và phần ngoài. Những trạng thái ứng suất nào có vòng tròn chính nằm ở phần trong đường nội tại thì vật liệu làm việc an toàn. Còn nếu vòng tròn chính tiếp xúc đường nội tại thì vật liệu ở trạng thái nguy hiểm. Trên hình 44 vẽ ba vòng tròn chính cho ba trường hợp điển hình là vòng số 1 và 3 ứng với các trường hợp kéo và nén phá hỏng vật liệu. Vòng số 2 ứng trường hợp xoắn thuần tuý. Để giảm bớt thí nghiệm ta chỉ cần xác địnnh vòng số 1 và 3 đồng thời thay đường nội tại bằng hai đường thẳng tiếp tuyến của hai vòng tròn đó. Để xây dựng biểu thức ứng suất tđ. Ta dựa vào sự liên hệ giữa ứng suất giới hạn về kéo và nén (ok và oH) với ứng suất giới hạn của trạng thái phức tạp bất kỳ. 46
  48. Hình 45 Giả sử khi làm việc bình thường vòng tròn chính của trạng thái ứng suất có tâm 02 (vòng tròn nét đứt) và vòng tròn chính giới hạn tương ứng có tâm 0 Từ hình vẽ ta có '1 = n1 và '3 = n3 (a) Trong đó n 1à hệ số tỷ 1ệ n > 1. Qua 01 kẻ đường song song đường giới hạn cắt bán kính 03K3 ở E cắ bán kính K404 ở G. Xét hai tam giác đồng dạng 01G04 và 0E03 Thay giá trị các đoạn thẳng vào ta có: 47
  49. V. ƯU NHƯỢC ĐIỂM VÀ PHẠM VI SỬ DỤNG CỦA CÁC THUYẾT BỀN Ngoài ba thuyết bền đã nêu trong tính toán đôi khi người ta còn sử dụng các thuyết khác như thuyết ứng suất pháp cực đại, thuyết biến dạng dài cực v.v Nhìn chung các thuyết này đều đưa ra một công thức tính phần đúng và những công thức ấy cũng chỉ sử dụng được cho một số trường hợp cụ thể. Việc bỏ thành hhần ứng suất chính 2. Trong thuyết ứng suất tiếp và thuyết Mo cũug như bỏ qua thế năng biến đổi thể tích trong thuyết thế năng là những ngược điểm chưa khắc phục được nó làm giảm độ tin cậy của các kết quả tính toán. Tuy nhiên cũng phải thấy rằng thực chất các thuyết bền đã đáp ứng được yêu cầu bức thiết cuả kỹ thuật, đòi hỏi phải khảo sát các trạng thái ứng suất phức tạp. So sánh giữa ba thuyết đã nêu ta thấy rằng ứng suất tiếp lớn nhất dùng phổ biến cho vật liệu dẻo vì vật liệu dẻo chịu kéo và nén tốt còn chịu cắt 1à kém nhất mà ứng suất tiếp cũng là nguyên nhân gây nên hiện tượng cắt vật liệu. Thuyết thế năng cũng được dùng phổ biến cho vật liệu dẻo sử dụng thuyết bền này ta không thể giải thích được tại sao mẫu chịu nén đều theo ba phương thì không bị phá huỷ. Trong trường hợp này các ứng suất chính có trị số như nhau, do đó thế năng biến đổi hình dáng tính theo (3.18) bằng không do vậy vật liệu không bị phá huỷ. 48
  50. Thuyết bền Mo tuy đã không chú ý đến 2, và xem đường nội tại là đường thẳng, song nó có ưu điểm là không cần phải dựa vào giả thuyết nguyên nhân phá huý vật liệu, quá trình lại mang tính logic chặt chẽ. Lý thuyết dùng phù hợp với những vật liệu dòn nó khá chính xác nếu vòng chính giới hạn của trạng thái ứng suất đang giữa khoảng hai vòng tròn giới hạn về kéo và nén. Để bảo đảm kết quả tính toán chính xác, phải nắm vững trạng thái cơ học của vật liệu khi làm việc. Từ đó áp dụng thuyết bền hoặc kết hợp các thuyết bền để tính toán kiểm nghiệm. Đối với những loại vật liệu mới đặc biệt là các vật liệu tổng hợp. Trạng thái ứng suất của chúng thường là trạng thái phức tạp đòi hỏi người thiết kế càng phải nắm vững các phương pháp tính toán cũng như cấu trúc vật liệu mới có thể tránh khỏi các thiếu sót đáng tiếc. §6 - ÁP DỤNG CÁC THUYẾT BỀN Để giúp cho việc tính toán trong các chương uốn ngang phẳng và xoắn thuần tuý, chúng ta sẽ sử dụng các thuyết bền lập công thức kiểm tra cho hai trạng thái ứng suất thường gặp là phẳng đặc biệt và trượt thuần tuý. 1- Phân tố ở trạng thái phẳng đặc biệt. Trên hình vẽ x =  và xy = : Hình 4-6 Bằng vòng Mo ta tìm được các ứng suất chính Mang (3-24) thay vào các biểu thức tđ của ba thuyết bền. Ta có: * Thuyết ứng suất tiếp: 49
  51. * Thuyết thế năng * Thuyết Mo 2- Phân tố ở trạng thái trượt thuần tuý. Ta đã biệt các ứng suất chính 1 = ; 2 = 0; 3 = - Biểu thức tđ cho trường hợp trượt thuần tuý là: * Thuyết ứng suất tiếp: tđ = 2 max * Thuyết thế năng: tđ = 3 max * Thuyêt Mo: tđ =(1-K) max 50
  52. CHƯƠNG 4 ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG §1- KHÁI NIỆM Khi nghiên cứu sự chịu lực trong bài toán kéo nén đúng tâm. Xét các công thức: Ta thấy ứng suất và biến dạng của thanh chỉ phụ thuộc vào một đặc trưng hình học là diện tích F của mặt cắt ngang. Nhưng khi xét các bài toán uốn, xoắn, Thì sự chịu lực của thanh còn phụ thuộc vào hình dáng của diện tích và vị trí, phương tác dụng của lực đối với mặt cắt ngang. Thí dụ ta xét các trường hợp chịu lực trên hình 4-1. Bằng trực giác ta cũng dễ đàng thấy trường hợp (a), (c) sự chịu lực tốt hơn (b), (d). Chính điều này cho thấy ngoài diện tích F, ta còn cần có những đại lượng khác, đặc trưng cho hình dáng hình học của mặt cắt ngang. §2- MÔMEN TĨNH - CÁC MÔMEN QUÁN TÍNH. Giả sử có mặt cắt ngang F xác định trong hệ toạ độ oxy và gọi toạ độ của một điểm A nào đó trong diện tích F là x, y. Lấy xung quanh A một phân tố diện tích dF. 1 - Mômen tĩnh: Gọi mômen tĩnh của diện tích F đối với trục x hay y là các biểu thức tích phân sau: - Thứ nguyên của mômen tính là (chiều dài)3 - Vì x y có thể âm, dương nên mômenl tĩnh có thể 51
  53. có trị số âm hoặc dương (hình 4-3). - Khi mômen tĩnh của diện tích F đối với một trục nào đó bằng không, thì trục đó được gọi là trục trung tâm. Giao điểm của hai trục trung tâm được gọi là trung tâm mặt cắt. Từ định nghĩa này ta dễ dàng thiết lập được công thức xác định toạ độ trọng tâm của diện tích F với hệ trục xoy. Ta giả thiết có hai trục trung tâm cxo và cyo cắt nhau tại c và toạ thành hệ trục xoc. yo // xoy theo định nghĩa Sxo = Syo = 0 (a) Gọi toạ độ trọng tâm C trong hệ xoy là xo. yo, và toạ điểm A trong hệ xocyo là xo, yo. Ta lập được mối tương quan hình học là: Từ định nghĩa ta có: Đem (a) Vào (c) ta có công thức xác định vị trí trung tâm của diện tích F: Với hình phức tạp được ghép bởi nhiều hình đơn giản ta có thể áp dụng (4-2) bằng cách chọn cho hình phẳng một hệ trục bất kỳ và từ (4-2) ta có: 52
  54. Trong đó: 1 1 - xo , yo là toạ độ trong tâm toàn hình ghép, lấy với hệ trục ta chọn: - yxn, xcn là khoảng cách từ trọng tâm hình đơn giản thứ n đến hệ trục ta chọn. - Fn là phần diện tích hình đơn giàn thứ n. Từ (4-2) ta thấy bất cứ trục nào qua trong tâm cũng là trục trung tâm. 2- Mômen quán tính đối với một trục: (mômen quán tính). Ta gọi mômen quán tính của diện tích F với một trục x hay y là các biểu thức tích phân sau: Các mômen quán tính bao giờ cũng là một trị số dương chúng có thứ nguyên là (chiều dài)4. 3- Mômen quán tính độc cực: (mômen quán tính đối với một điểm). Ta gọi mômen quán tính độc cực của diện tích F đối với gốc toạ độ là biểu thức tích phân sau: Trong đó là khoảng cách từ điểm A (x, y) tới gốc toạ độ. Điều này chứng tỏ mômen quán tính độc cực bao giờ cũng có trị số dương. 4- Mômen quán tính ly tâm: Ta gọi mômen quán tính ly tâm của diện tích F với hệ trục xoy là biểu thức tích phân sau: Vì x, y có thể trái dấu nhau, thậm chí có thể bằng 0 do vậy mômen quán tính ly tâm có thế âm hoặc dương và khi mômen quán tính ly tâm của diện tích F với một hệ trục nào đó bằng không thì hệ trục đó được gọi là hệ trục quán tính chính. Từ định nghĩa trên ta có nhận xét sau: Tại bất cứ điểm nào trên mặt phẳng của diện tích F ta luôn tìm được vị trị của hệ trục quán 53
  55. tính chính; thật vậy xét (hình 4-4) giả sử lúc đầu diện tích F nằm trong góc phần tử thứ nhất toạ độ điểm A (x, y) là dương, do đó mômen quán tính ly tâm có giá trị dương. Bây giờ ta quay hệ trục góc 90o đến vị trị mới (trục vẽ nét đứt) để x  y còn y  chiều âm của trục x, lúc này hoành độ x của điểm A vẫn dương song tung độ của A lại âm. mômen quán tính ly tâm của diện tích F với xoy có giá trị âm. Như vậy khi thực hiện phép quay hệ trục góc 90o, mômen quán tính ly tâm đã biến đổi từ dương sang âm, vậy chắc chắn ta tìm được tại vị trí < 90o nào đó khi thực hiện phép quay hệ trục xoy đến vị trí uo, mômen quán tính ly tâm của F với hệ trục uo là bằng không. Hệ trục này là hệ trục quán tính chính. Hệ trục quán tính chính có gốc toạ độ tại trọng tâm c của mặt cắt được gọi là hệ trục quán tính chính trung tâm. Ta có tính chất sau đây. Nếu mặt cắt có một trục đối xứng thì bất cứ trục nào vuông góc với nó cũng lập thành một hệ trục quán tính chính thật vậy giả sử có mặt cắt ngang F với trục đối xứng y trên mặt cắt (hình 4-5) với một điểm A (x, y) ta luôn tìm thấy một điểm A'(x, y) vậy biểu thức tích phân: Chính là phép tổng của những cặp: xydF - xydF: = 0 Do đó Jxy phải bằng không. Mặt khác trọng tâm c của F lại nằm trên trục y, qua c vẽ đườơng vuông góc với trục y ta sẽ có hệ trục quán tính chính trung tâm. 5- Mômen quán tính của một số hình đơn giản: Để thuận tiện cho quá trình sử dụng ta sẽ đi tính mômen quán tính của một số hình đơn giản. a) Hình chữ nhật. Xét mặt cắt ngang, hình chữ nhật chiều rộng b và chiều cao h. Hệ trục xoy là hệ trục quán tính chính trung tâm. Tính các mômen quán tính đối với các trục của hệ trục đó (hình 4-6). Lấy một giải phân tố diện tích dF song song trục x và cách trục một khoảng y. Chiều dầy dải phân tố là dy. Ta tính được mômen quán tính của diện tích F hình chữ nhật với trục x là: 54
  56. Tương tự ta có: b) Hình tam giác: Xét mặt cắt ngang hình tam giác chiều rộng b và chiều cao h. Ta tính trị số mômen quan tính của diện tích tam giác, đối với trục x đi qua đáy (hình 4-7). Lấy một giải phân tố diện tích dF song song đáy, có chiều dày dy cách trục x khoảng y. Giải phân tố rất nhỏ có thể coi là một hình chữ nhật đáy by. Từ điều kiện đồng dạng của các tam giác ta có: Mômen quán tính diện tích tam giác đối với trục x là: c) Hình tròn: Do tính chất đối xứng ta có Jx = Jy do đó: Jp = Jx + Jy = 2Jx = 2Jy. Để tính Jx, Jy ta đi tính Jp, lấy phân tố diện tích dF bằng cách dùng hai mặt cắt tròn đồng tâm bán kính và + d và hai mặt cắt tạo với trục x góc và + d trong đó và + d là số vô cùng bé. Ta được phân tố dF được gạch chéo (hình 4-8) giá trị dF = d dp mômen quán tính độc cực của diện tích hình tròn với tâm là: Trong đó: R là bán kính của hình tròn 55
  57. Gọi đường kính của vòng tròn là D ta có thể đưa các công thức (4-8) và (4-9) về dạng: Đối với hình vành khăn, đường kính ngoài là D và đường kính trong d (hình 4-9). Ta có mômen quán tính độc cực với trong tâm 0 và mômen quán tính với các trục x, y. §4 - CÔNG THỨC CHUYỂN TRỤC SONG SONG CỦA MÔMEN QUÁN TÍNH Trong thực tế ta thường gặp các chi tiết, bộ phận công trình mà tiết diện mặt cắt ngang được ghép bởi nhiều tiết diện đơn giản, tạo khả năng chịu lực tốt nhất. Tiết kiệm nhất. Điều này yêu cầu chúng ta phải biệt cách tính các loại mômen quán tính khi biết mômen quán tính của những hình đơn giản. Giả sử ta biết mômen tĩnh và mômen quán tính của diện tích F đối với hệ trục xoy. Bây giờ phải tính các mômen quán tính của diện tích ấy với hệ trục OYX song song hệ oxy qua các giá trị mômen tĩnh và các mômen quán tính đã biết (hình 4- 10). Gọi toạ độ của điểm A trong hệ oxy là 56
  58. DXY// oxy là X, Y và toạ độ của gốc 0(oxy) trong hệ OXY là a, b. Ta có mối tương quan hình học Theo định nghĩa ta có: Đem (a) thay lần lượt vào các biểu thức của (b) ta có: Đặc biệt nếu hệ trục xoy là hệ trục trung tâm ta có: Sx = Sy = 0 Do đó hệ công thức (4- 13) có dạng: Điều này cho thấy các mômen quán tính với hệ trục trung tâm là nhỏ nhất. Ví dụ: Hãy xác định trọng tâm thép mặt cắt 1 (hình 4- 11) và tính mômen quán tính lấy với trục x đi qua trọng tâm của hình ghép vuông góc trục y. Kích thước cho theo hình vẽ. Để xác định trọng tâm hình ghép ta có nhận xét hình ghép nhận trục y là trục đối xứng do vậy trọng tâm chắc chắn phải nằm trên y. Ta chia hình thành hai hình nhỏ có trọng tâm là C1 và C2. Chọn và dựng một trục x bất kỳ vuông góc với trục y để đơn giản ta chọn trục x trùng cạnh đáy của hình 11. Áp dụng công thức xác định trọng tâm (4-3). 57
  59. Trọng tâm toàn hình cách trục x’ đoạn 2 qua C vẽ trục x vuông góc với trục y. Ta tính Jx của toàn hình. Áp dụng công thức chuyển trục song song cho trục x, từ các kết quả đã tính cho hình đơn giản ở phần trên ta được: §5- CÔNG THỨC XOAY TRỤC CỦA MÔMEN QUÁN TÍNH HỆ TRỤC QUÁN TÍNH CHÍNH Giả sử ta đã biết mômen quán tính của diện tích F đối với hệ trục xoy. Ta phải tính mômen quán tính của diện tích F với hệ trục ou là vị trí xoay đi của xoy ngược chiều kim đồng hồ góc α. Gọi u,  là toạ độ điểm A trong hệ trục ou từ phép quay ta có: 58
  60. Dùng các công thức lượng giác: Thay vào hệ trên và rút gọn ta có: Ta đem cộng hai phương trình đầu 4- 15 ta được: Cho thấy tổng các mômen quán tính với hai trục vuông góc là một hằng số, gọi là bất biến thứ nhất của mômen quán tính. Để tìm vị trí của hệ trục quán tính chính ta cho phương trình ba của hệ 4-15 bằng không. 59
  61. Thay giá trị tg2α từ (4- l6) vào hai phương trình đầu của 4-15 bằng biên đổì lượng giác. Ta được các giá trị mômen với trục quán tính chính là: dJ Các giá trị (4-l7) đạt cực trị vì ta có đạo hàm u = 0. da Xét vì phương diện toán học mối quan hệ Ju , Juv , Jxy , Jx , Jy giống hệt mối quan hệ α ,α , α , α , αy trong chương 3 ta cũng lập được một vòng tròn Mo quán tính cho chúng. 60