Giáo trình Toán lượng giác

169 trang hapham 2060

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Toán lượng giác", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_toan_luong_giac.pdf

Nội dung text: Giáo trình Toán lượng giác

MATHVN.COM CHƯƠNG 1: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC I. Định nghĩa Trên mặt phẳng Oxy cho đường tròn lượng giác tâm O bán kính R=1 và điểm M trên đường tròn lượng giác mà sđ AM = β với 02≤ β≤ π Đặt α=β+k2 π ,k ∈ Z Ta định nghĩa: sinα= OK cosα= OH sinα tgα= với cosα≠ 0 cosα cosα cot gα= với sinα≠ 0 sinα II. Bảng giá trị lượng giác của một số cung (hay góc) đặc biệt o Góc α 00 π o π o π o π o () ()30 ()45 ()60 ()90 Giá trị 6 4 3 2 sinα 0 1 2 3 1 2 2 2 cosα 1 3 2 1 0 2 2 2 tgα 0 3 1 3 || 3 cot gα || 3 1 3 0 3 III. Hệ thức cơ bản sin22α+ cos α= 1 1 π 1tg+α=2 với α≠ +kkZ π() ∈ cos2 α 2 1 tcotg+=2 với α≠kkZ π( ∈ ) sin2 α IV. Cung liên kết (Cách nhớ: cos đối, sin bù, tang sai π ; phụ chéo) a. Đối nhau: α và −α sin(−α) = − sin α cos(−α) = cos α tg(−α) = − tg( α) cot g(−α) = − cot g( α) www.MATHVN.com
MATHVN.COM b. Bù nhau: α và π−α sin(π−α) = sin α cos()π−α =− cos α tg()π−α =− tg α cot g()π−α =− cot g α c. Sai nhau π : α và π+α sin(π+α) =− sin α cos()π+α =− cos α tg()π+α = t g α cot g()π+α = cot g α π d. Phụ nhau: α và −α 2 ⎛⎞π sin⎜⎟−α = cos α ⎝⎠2 ⎛⎞π cos⎜⎟−α = sin α ⎝⎠2 ⎛⎞π tg⎜⎟−α = cot g α ⎝⎠2 ⎛⎞π cot g⎜⎟−α = tg α ⎝⎠2 π π e.Sai nhau : α và +α 2 2 ⎛⎞π sin⎜⎟+α = cos α ⎝⎠2 ⎛⎞π cos⎜⎟+α =−sin α ⎝⎠2 ⎛⎞π tg⎜⎟+α =−cot g α ⎝⎠2 ⎛⎞π cot g⎜⎟+α =− tg α ⎝⎠2 www.MATHVN.com
MATHVN.COM f. sin()() x+π=− k 1k sin x,k ∈ Z cos()() x+π=− k 1k cosx,k ∈ Z tg() x+π= k tgx,k ∈ Z cot g() x+π= k cot gx V. Công thức cộng sin( a±= b) sinacosb ± sin bcosa cos() a±= b cosacosb∓ sinasin b tga± tgb tg() a±= b 1tgatgb∓ VI. Công thức nhân đôi sin2a= 2sinacosa cos2a=−=−= cos22 a sin a 1 2sin 2 a 2cos 2 a− 1 2tga tg2a = 1tga− 2 cot g2 a− 1 cot g2a = 2cot ga VII. Công thức nhân ba: sin3a=− 3sina 4sin3 a cos3a=− 4 cos3 a 3cosa VIII. Công thức hạ bậc: 1 sin2 a=−() 1 cos2a 2 1 cos2 a=+() 1 cos2a 2 1− cos2a tg2 a = 1+ cos2a IX. Công thức chia đôi a Đặt ttg= (với ak2≠π+ π) 2 www.MATHVN.com
MATHVN.COM 2t sina = 1t+ 2 1t− 2 cosa = 1t+ 2 2t tga = 1t− 2 X. Công thức biến đổi tổng thành tích ab+− ab cosa+= cosb 2cos cos 22 ab+− ab cosa−=− cosb 2sin sin 22 ab+− ab sina+= sin b 2cos sin 22 ab+− ab sina−= sin b 2cos sin 22 sin() a± b tga±= tgb cosacosb sin() b± a cot ga±= cot gb sina.sin b XI. Công thức biển đổi tích thành tổng 1 cosa.cosb= ⎡++− cos() a b cos () a b ⎤ 2 ⎣⎦ −1 sina.sin b= ⎡+−− cos() a b cos ( a b)⎤ 2 ⎣⎦ 1 sina.cosb= ⎡++−⎤ sin()() a b sin a b 2 ⎣⎦ sin44 a+− cos a 1 2 Bài 1: Chứng minh = sin66 a+− cos a 1 3 Ta có: 2 sin44 a+−=+ cos a 1( sin 22 a cos a) − 2sin 22 acos a −=− 1 2sin 2 acos2 a Và: sin66 a+−=+ cos a 1( sin 224224 a cos a)( sin a − sin acos a + cos a) − 1 =+sin4422 a cos a − sin acos a − 1 =−()1 2sinacosa22 − sinacosa 22 − 1 =−3sin22 acos a www.MATHVN.com
MATHVN.COM sin44 a+−− cos a 1 2sin 22 acos a 2 Do đó: = = sin66 a+−− cos a 1 3sin 22 acos a 3 2 1cosx+ ⎡ ()1cosx− ⎤ Bài 2: Rút gọn biểu thức A1==+⎢ 2 ⎥ sin x⎣⎢ sin x ⎦⎥ 1 π Tính giá trị A nếu cosx =− và 0 2 3 Vậy sin x = 2 2443 Do đó A === sin x3 3 Bài 3: Chứng minh các biểu thức sau đây không phụ thuộc x: a. A =−2cos4422 x sin x+ sin x cos x + 3sin2 x 2cotgx+1 b. B =+ tgx1cotgx1−− a. Ta có: A=−+ 2cos4422 x sin x sin x cos x + 3sin2 x 2 ⇔=A 2cos42 x −−( 1 cos x) +−( 1 cos 222 x) cos x + 3( 1 − cos x) ⇔=A 2cos42424 x −−() 1 2cos x + cos x + cos x − cos x +− 3 3cos2 x ⇔=A2 (không phụ thuộc x) b. Với điều kiện sinx.cosx≠ 0,tgx≠ 1 2cotgx+1 Ta có: B =+ tgx1cotgx1−− www.MATHVN.com
MATHVN.COM 1 +1 22tgx 1+ tgx ⇔=B + = + 1 tgx1−−−1 tgx11tgx− tgx 21tgx−−( ) 1tgx− ⇔=B1 = =− (không phụ thuộc vào x) tgx−− 1 tgx 1 Bài 4: Chứng minh ⎡⎤2 22 1cosa+−()1cosa− cosbsinc 22 ⎢⎥1− 22+−=2cot g bcot g c cot ga− 1 2sina⎣⎦⎢⎥ sin a sin bsin c Ta có: cos22 b− sin c * − cot g22 b.cot g c sin22 b.sin c cotg2 b 1 =−−cot g22 bcot g c sin22 c sin b =+−+−cot g22 b( 1 cot g c) ( 1 cot g 222 b) cot g bcot g c=− 1 (1) 2 1cosa+ ⎡ ()1cosa− ⎤ * ⎢1− ⎥ 2sina sin2 a ⎣⎢ ⎦⎥ 2 1cosa+ ⎡ ()1cosa− ⎤ =−⎢1 ⎥ − 2 2sina⎣⎢ 1 cos a ⎦⎥ 1cosa+−⎡ 1cosa⎤ =−⎢1 ⎥ 2sina⎣ 1+ cosa⎦ 1cosa2cosa+ ==.cotga (2) 2sina 1+ cosa Lấy (1) + (2) ta được điều phải chứng minh xong. Bài 5: Cho ΔABC tùy ý với ba góc đều là nhọn. Tìm giá trị nhỏ nhất của P= tgA.tgB.tgC Ta có: AB+=π− C Nên: tg( A+=− B) tgC tgA+ tgB ⇔=−tgC 1− tgA.tgB ⇔+=−+tgA tgB tgC tgA.tgB.tgC Vậy: P==+ tgA.tgB.tgC tgA tgB+ tgC www.MATHVN.com
MATHVN.COM Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương tgA,tgB,tgC ta được tgA++≥ tgB tgC 33 tgA.tgB.tgC ⇔≥P3P3 ⇔≥32P3 ⇔≥P33 ⎧tgA== tgB tgC ⎪ π Dấu “=” xảy ra ⇔⇔⎨ π ABC=== 0A,B,C y'=−() 1 − t + 4t3 2 Ta có : y'= 0 Ù ()1t−=3 8t3 ⇔ 1t−=2t 1 ⇔ t = 3 ⎛⎞11 Ta có y(1) = 1; y(-1) = 3; y ⎜⎟= ⎝⎠327 1 Do đó : Max y3= và Miny = x∈ x ∈ 27 b/ Do điều kiện : sin x≥ 0 và cos x≥ 0 nên miền xác định ⎡⎤π Dk2,k2=π+π với k ∈ ⎣⎦⎢⎥2 Đặt tcos= x với 0t1≤≤ thì tcosx1sin42==− 2x Nên sin x=− 1 t4 Vậy y1t=−−8 4 t trên D'= [ 0,1] −t3 Thì y'=−1< 0 ∀∈t0;1) 7 [ 2.8 () 1− t4 Nên y giảm trên [ 0, 1 ]. Vậy : max y= y( 0) = 1, min y= y( 1) =− 1 xD∈ xD∈ www.MATHVN.com
MATHVN.COM Bài 7: Cho hàm số ysinxcosx2msinxcos=+−44 x Tìm giá trị m để y xác định với mọi x Xét f (x)=+− sin44 x cos x 2m sin x cos x 2 fx()=+() sinx22 cosx − msin2x2sinxcosx −22 1 f() x=− 1 sin2 2x − msin 2x 2 Đặt : tsin2x= với t1,∈−[ 1] y xác định ∀x ⇔ fx()≥∀∈ 0x R 1 ⇔ 1t−−≥2 mt0 ∀∈t1,1[− ] 2 ⇔ gt()=+ t2 2mt2 −≤ 0 ∀∈t1,[− 1] 2 Do Δ='m + 20 > ∀m nên g(t) có 2 nghiệm phân biệt t1, t2 Lúc đó t t1 t2 g(t) + 0 - 0 Do đó : yêu cầu bài toán ⇔ t1112≤ −< ≤t ⎪⎧1g()−≤ 1 0 ⎧−−≤2m 1 0 ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⎩⎪1g() 1≤ 0 ⎩2m−≤ 1 0 ⎧ −1 m ≥ ⎪ 2 11 ⇔ ⎨ ⇔ −≤m ≤ 1 22 ⎪m ≤ ⎩⎪ 2 Cách khác : gt()=+t2 2mt2 −≤ 0 ∀∈−t1,[ 1] ⇔≤maxgt ( )0110⇔−≤ max{ g ( ), g ( )} t∈−[,]11 ⎧ −1 m ≥ ⎪ 2 ⇔−−−+≤max{ 21210mm ), )} ⇔ ⎨ 1 ⎪m ≤ ⎩⎪ 2 11 ⇔− ≤m ≤ 22 π357 πππ3 Bài 8 : Chứng minh A=+++ sin4444 sin sin sin = 16 16 16 16 2 7ππππ⎛⎞ Ta có : sin =−=sin ⎜⎟cos 16⎝⎠ 2 16 16 55πππ⎛⎞3π sin=−= cos⎜⎟cos 16⎝⎠ 2 16 16 www.MATHVN.com
MATHVN.COM 2 Mặt khác : sin44α+ cos α=( sin 22 α+ cos α) − 2sin 2 α cos2 α = 12sincos−α22α 1 = 1sin2−α2 2 π73 πππ5 Do đó : A=+++ sin4444 sin sin sin 16 16 16 16 ⎛⎞44ππ⎛ 4433 ππ⎞ =+++⎜⎟sin cos⎜ sin cos ⎟ ⎝⎠16 16⎝ 16 16 ⎠ ⎛⎞⎛1122π 3π ⎞ =−⎜⎟⎜1 sin +− 1 sin ⎟ ⎝⎠⎝28 2 8⎠ 13⎛⎞22π π =−2sinsin⎜⎟ + 28⎝⎠ 8 1 ⎛⎞22π π ⎛⎞3π π =−2sincos⎜⎟ + ⎜⎟do sin= cos 28⎝⎠8⎝⎠88 13 = 2 −= 22 Bài 9 : Chứng minh :16 sin10oooo .sin 30 .sin 50 .sin 70= 1 Acos10o 1 Ta có : A ==(16sin10ocos10o)sin30o.sin50o.sin70o cos10o cos10o 11oo⎛⎞ o ⇔ A = o ()8sin20⎜⎟ cos40.cos20 cos10 ⎝⎠2 1 ⇔ A = ()4 sin 200o cos 20 .cos 40o cos10o 1 ⇔ A = ()2sin40oo cos40 cos10o 1cos10o ⇔ A ==sin 80o =1 cos10oocos10 A BBCCA Bài 10 : Cho ΔABC . Chứng minh : tg tg+ tg tg+= tg tg 1 22 22 22 A +πBC Ta có : =− 222 A + BC Vậy : tg= cot g 22 A B tg+ tg 1 ⇔ 22= A BC 1tg.tg− tg 22 2 ⎡⎤A BC AB ⇔ tg+=− tg tg 1 tg tg ⎣⎦⎢⎥222 22 www.MATHVN.com
MATHVN.COM A CBCAB ⇔ tg tg++ tg tg tg tg= 1 22 22 22 πππ π Bài 11 : Chứng minh : 84tg2tg++ += tg cotg*() 8163232 ππ π π Ta có : (*) ⇔ 8cotg=−−− tg 2tg 4tg 32 32 16 8 cos a sin a cos22 a− sin a Mà : cot ga−=−= tga sin a cos a sin a cos a cos 2a ==2cotg2a 1 sin 2a 2 Do đó : ⎡⎤ππ π π (*) ⇔ cot g−−− tg 2tg 4tg= 8 ⎣⎦⎢⎥32 32 16 8 ⎡⎤ππ π ⇔ 2cotg−− 2tg 4tg= 8 ⎣⎦⎢⎥16 16 8 ππ ⇔ 4cotg−= 4tg 8 88 π ⇔ 8cotg= 8 (hiển nhiên đúng) 4 Bài :12 : Chứng minh : 22⎛⎞⎛⎞22ππ2 3 a/ cos x+ cos⎜⎟⎜⎟++ x cos −= x ⎝⎠⎝⎠332 111 1 b/ +++ =−cot gx cot g16x sin 2x sin 4x sin 8x sin16x 22⎛⎞⎛22ππ2 ⎞ a/ Ta có : cos x+++− cos⎜⎟⎜ x cos x⎟ ⎝⎠⎝33⎠ 11⎡ ⎛⎞ 414π⎤ ⎡ ⎛ π⎞ ⎤ =+()1cos2x ++⎢ 1cos2x⎜⎟ +⎥⎢ ++ 1cos ⎜ − 2x⎟⎥ 22⎣ ⎝⎠ 323⎦⎣ ⎝⎠⎦ 31⎡π⎛⎞⎛4 4π⎞⎤ =+⎢⎥cos 2x + cos⎜⎟⎜ 2x + + cos − 2x⎟ 22⎣⎦⎝⎠⎝3 3 ⎠ 31⎡⎤4π =+cos 2x + 2cos 2x cos 22⎣⎦⎢⎥3 31⎡⎤⎛⎞1 =+⎢⎥cos2x + 2cos2x⎜⎟ − 22⎣⎦⎝⎠2 3 = 2 cos a cos b sin b cos a− sin a cos b b/ Ta có : cot ga−=−= cot gb sin a sin b sin a sin b www.MATHVN.com
MATHVN.COM sin( b− a) = sin a sin b sin( 2x− x) 1 Do đó : cot gx−= cot g2x =()1 sin x sin 2x sin 2x sin( 4x− 2x) 1 cot g2x−= cot g4x =()2 sin2xsin4x sin4x sin( 8x− 4x) 1 cot g4x−= cot g8x =()3 sin4xsin8x sin8x sin( 16x− 8x) 1 cot g8x−= cot g16x =()4 sin16x sin 8x sin16x Lấy (1) + (2) + (3) + (4) ta được 111 1 cot gx−=+++ cot g16x sin 2x sin 4x sin 8x sin16x Bài 13 : Chứng minh : 8sin30 18+ 8sin 20 18= 1 Ta có: sin180 = cos720 ⇔ sin180 = 2cos2360 - 1 ⇔ sin180 = 2(1 – 2sin2180)2 – 1 ⇔ sin180 = 2(1 – 4sin2180+4sin4180)-1 ⇔ 8sin4180 – 8sin2180 – sin180 + 1 = 0 (1 ) ⇔ (sin180 – 1)(8sin3180 + 8sin2180 – 1) = 0 ⇔ 8sin3180 + 8sin2180 – 1 = 0 (do 0 < sin180 < 1) Cách khác : Chia 2 vế của (1) cho ( sin180 – 1 ) ta có ( 1 ) ⇔ 8sin2180 ( sin180 + 1 ) – 1 = 0 Bài 14 : Chứng minh : 1 a/ sin44 x+=+ cos x() 3 cos 4x 4 1 b/ sin 6x+=+ cos 6x() 5 3cos 4x 8 1 c/ sin88 x+= cos x() 35 + 28cos 4x + cos 8x 64 2 a/ Ta có: sin44 x+= cos x( sin 22 x + cos x) − 2sin 2 x cos2 x 2 =−1sin22 x 4 1 =−11cos4() − x 4 31 =+cos 4x 44 b/ Ta có : sin6x + cos6x =+()sin224224 x cos x( sin x − sin x cos x + cos x) www.MATHVN.com
MATHVN.COM 1 =+−()sin44 x cos x sin 2 2x 4 ⎛⎞31 1 =+⎜⎟cos 4x −( 1 − cos 4x) ( do kết quả câu a ) ⎝⎠44 8 35 =+cos4x 88 2 c/ Ta có : sin88 x+= cos x( sin 44 x + cos x) − 2sin 4 x cos4 x 122 =+()3cos4x − sin2x4 16 16 2 11⎡1⎤ =+()9 6cos4x + cos2 4x −() 1 − cos4x 16 8⎣⎢ 2 ⎦⎥ 93 1 1 =+cos4x +() 1 + cos8x −() 1 − 2cos4x + cos2 4x 16 8 32 32 93 1 1 1 =+cos4x + cos8x + cos4x −() 1 + cos8x 16 8 32 16 64 35 7 1 =+cos 4x + cos 8x 64 16 64 Bài 15 : Chứng minh : sin 3x.sin33 x+= cos3x.cos x cos3 2x Cách 1: Ta có : sin 3x.sin33 x+= cos3x.cos x cos3 2x =−()3sinx4sinxsinx33 +( 4cosx 3 − 3cosxcosx) 3 =−+−3sin466 x 4sin x 4cos x 3cos4 x =−−−3sinx()44 cosx 4sinx( 66 cosx) =−3() sin2222 x cos x( sin x + cos x) −−4() sin224224 x cos x( sin x + sin x cos x + cos x) 22 =−3cos2x + 4 cos2x⎣⎡ 1 − sin x cos x⎦⎤ ⎛⎞1 2 =−3cos2x + 4 cos2x⎜⎟ 1 − sin 2x ⎝⎠4 ⎡⎤⎛⎞1 2 =−+−cos 2x⎢⎥ 3 4⎜⎟ 1 sin 2x ⎣⎦⎝⎠4 =−cos 2x( 1 sin2 2x) = cos3 2x Cách 2 : Ta có : sin 3x.sin33 x+ cos 3x.cos x ⎛⎞⎛3sin x−+ sin 3x 3cos x cos 3x ⎞ =+sin 3x ⎜⎟⎜cos 3x ⎟ ⎝⎠⎝44⎠ 31 =++−()sin 3x sin x cos 3x cos x() cos22 3x sin 3x 44 www.MATHVN.com
MATHVN.COM 31 =−+cos() 3x x cos 6x 44 1 =+()3cos2x cos3.2x 4 1 =+−()3cos2x 4 cos3 2x 3cos2x ( bỏ dòng này cũng được) 4 = cos3 2x 31+ Bài 16 : Chứng minh : cos12oo+− cos18 4 cos15 ooo .cos 21 cos 24 =− 2 Ta có : cos12oo+− cos18 4 cos15 oo( cos 21 cos24o) =−2cos15oo cos3 2cos15 o( cos 45 o + cos 3o) =−2cos15oo cos3 2cos15 o cos45 o − 2cos15 oo cos3 =−2cos15oo cos45 =−()cos 60oo + cos 30 31+ =− 2 Bài 17 : Tính Psin50sin70cos50cos70=+−2o 2 o o 111 Ta có : P=−() 1 cos100ooo +−() 1 cos140 −() cos120 + cos 20o 222 11oo⎛⎞1o P=− 1() cos100 + cos140 −⎜⎟ −+cos 20 22⎝⎠2 11 P=− 1() cos120oo cos 20+ − cos20o 42 51 1 5 Pcos20cos20=+oo − = 42 2 4 83 Bài 18 : Chứng minh : tg30oooo+++= tg40 tg50 tg60 cos 20o 3 sin( a+ b) Áp dụng : tga+= tgb cos a cos b Ta có : ()tg50oo+++ tg40( tg30 oo tg60 ) sin 90oo sin 90 =+ cos50oo cos 40 cos 30 o cos 60o 11 =+ oo1 sin 40 cos 40 cos 30o 2 22 =+ sin 80oo cos 30 ⎛⎞11 =+2⎜⎟oo ⎝⎠cos10 cos 30 www.MATHVN.com
MATHVN.COM ⎛⎞cos30oo+ cos10 = 2⎜⎟oo ⎝⎠cos10 cos30 cos 20po cos10 = 4 cos10oo cos 30 83 = cos 20o 3 Bài 19 : Cho ΔABC , Chứng minh : A BC a/ sin A++= sin B sin C 4 cos cos cos 222 A BC b/ socA++=+ cos B cosC 1 4 sin sin sin 222 c/ sin 2A+ sin 2B+= sin 2C 4 sin A sin B sin C d/ cos222 A++=− cos B cos C 2cos A cosBcosC e/ tgA ++=tgB tgC tgA.tgB.tgC f/ cot gA.cot gB++ cot gB.cot gC cot gC.cot gA= 1 A BC ABC g/ cotg++= cotg cotg cotg .cotg .cotg 222222 A + BAB− a/ Ta có : sin A++= sin B sin C 2sin cos+ sin() A + B 22 A +−BABAB⎛⎞ + =+2sin⎜⎟ cos cos 22⎝⎠ 2 CAB⎛⎞ AB+π C ==4 cos cos cos⎜⎟ do − 222⎝⎠ 2 22 A + BAB− b/ Ta có : cos A++= cosB cosC 2cos cos− cos() A + B 22 A +−BAB⎛⎞2 AB + =−2cos cos⎜⎟ 2cos− 1 22⎝⎠ 2 A +−BABAB⎡⎤ + =−2cos cos cos+ 1 22⎣⎦⎢⎥ 2 A + BA⎛⎞ B =−4cos sin sin⎜⎟− + 1 22⎝⎠ 2 CAB =+4sin sin sin 1 222 c/ sin 2A sin 2B+= sin 2C 2sin( A + B) cos( A −+ B) 2sin C cosC =−+2sin C cos(A B) 2sin C cosC =−−2sinC[cos(A B) cos(A+ B)] =−4 sin Csin A sin(− B) = 4 sin C sin A sin B d/ cos22 A++ cos B cos2 C 1 =+1() cos2A + cos2B + cos2 C 2 www.MATHVN.com
MATHVN.COM =+1cosABcosAB()() + − + cosC2 =−1 cosC⎣⎡ cos() A− B − cosC⎦⎤ do (cos( A+=− B) cosC) =−1 cosC⎣⎡ cos() A− B + cos( A + B)⎦⎤ =−12cosC.cosA.cosB e/ Do ab+=π− C nên ta có tg() A+=− B tgC tgA+ tgB ⇔ =−tgC 1tgAtgB− ⇔ tgA+=−+ tgB tgC tgAtgBtgC ⇔ tgA++= tgB tgC tgAtgBtgC f/ Ta có : cotg(A+B) = - cotgC 1tgAtgB− ⇔ =−cot gC tgA+ tgB cot gA cot gB− 1 ⇔ =−cot gC (nhân tử và mẫu cho cotgA.cotgB) cot gB+ cot gA ⇔ cot gA cot gB−=− 1 cot gCcot gB− cot gA cot gC ⇔ cot gA cot gB++ cot gBcot gC cot gA cot gC= 1 A + BC g/ Ta có : tg= cot g 22 A B tg+ tg C ⇔ 22= cot g AB 1tgtg− 2 22 A B cot g+ cot g C A B ⇔ 22= cot g (nhân tử và mẫu cho cotg .cotg ) AB 2 cot g .cot g− 1 2 2 22 A BABCC ⇔ cot g+= cot g cot g cot g cot g− cot g 222222 A BC ABC ⇔ cotg++= cotg cotg cotg .cotg .cotg 222222 Bài 20 : Cho ΔABC . Chứng minh : cos2A + cos2B + cos 2C + 4cosAcosBcosC + 1 = 0 Ta có : (cos2A + cos2B) + (cos2C + 1) = 2 cos (A + B)cos(A - B) + 2cos2C = - 2cosCcos(A - B) + 2cos2C = - 2cosC[cos(A – B) + cos(A + B)] = - 4cosAcosBcosC Do đó : cos2A + cos2B + cos2C + 1 + 4cosAcosBcosC = 0 www.MATHVN.com
MATHVN.COM Bài 21 : Cho ΔABC . Chứng minh : 3A 3B 3C cos3A + cos3B + cos3C = 1 - 4 sin sin sin 222 Ta có : (cos3A + cos3B) + cos3C 33 3C =+2cos (A B)cos (A −+− B) 1 2sin2 22 2 333C Mà : A +=π−BC nên ()AB+=π− 222 33⎛⎞π 3C => cos() A+= B cos⎜⎟ − 22⎝⎠2 ⎛⎞π 3C =−cos⎜⎟ − ⎝⎠22 3C =−sin 2 Do đó : cos3A + cos3B + cos3C 3C 3A( − B) 3C =−2sin cos −2sin2 + 1 22 2 3C ⎡⎤3A( − B) 3C =−2sin⎢⎥ cos +sin + 1 22⎣⎦ 2 3C ⎡⎤3A( − B) 3 =−2sin⎢⎥ cos −cos() A + B + 1 222⎣⎦ 3C 3A− 3B =+4sin sin sin( ) 1 22 2 3C 3A 3B =−4sin sin sin+ 1 222 Bài 22 : A, B, C là ba góc của một tam giác. Chứng minh : sin A+− sin B sin C A B C = tg tg cot g cos A+−+ cos B cosC 1 2 2 2 A + BAB− CC 2sin cos− 2sin cos sin A+− sin B sin C Ta có : = 22 22 AB+− AB C cos A+−+ cos B cosC 1 2cos cos+ 2sin2 22 2 CABC⎡⎤− A − BA+ B 2cos cos− sin cos− cos 22⎢⎥ 2 C ==⎣⎦cot g . 22 CABC⎡⎤− 2 A − BA+ B 2sin cos+ sin cos+ cos 22⎣⎦⎢⎥ 2 22 A ⎛⎞B −−2sin .sin ⎜⎟ C 22 = cot g . ⎝⎠ AB 2 2cos .cos 22 www.MATHVN.com
MATHVN.COM CAB = cot g .tg .tg 222 Bài 23 : Cho ΔABC . Chứng minh : A BC BCA CAB sin cos cos++ sin cos cos sin cos cos 222 222 222 A BC AB BC AC =+++sin sin sin tg tg tg tg tg tg() * 222222222 A + BCπ ⎛⎞A BC Ta có : =− vậy tg ⎜⎟+=cot g 222 ⎝⎠22 2 A B tg+ tg 1 ⇔ 22= A BC 1tgtg− tg 22 2 ⎡⎤A BC AB ⇔ tg+=− tg tg 1 tg tg ⎣⎦⎢⎥222 22 A CBCAB ⇔ tg tg++ tg tg tg tg = 1() 1 22 22 22 A BC BCA CAB Do đó : (*) Ù sin cos cos++ sin cos cos sin cos cos 222 222 222 A BC =+sin sin sin 1 (do (1)) 222 A ⎡⎤BC BC A⎡ BC CB⎤ ⇔ sin cos cos−+ sin sin cos sin cos + sin cos= 1 2⎣⎦⎢⎥ 22 22 2⎣⎢ 22 22⎦⎥ A BC++ A BC ⇔ sin cos+= cos sin 1 22 22 A ++BC π ⇔ sin = 1 ⇔sin= 1 ( hiển nhiên đúng) 2 2 A B C 3+ cos A++ cosB cosC Bài 24 : Chứng minh : tg++= tg tg ()* 2 2 2 sin A++ sin B sin C Ta có : A +−BAB⎡⎤ C cos A+++= cos B cosC 3 2cos cos+− 1 2sin2 + 3 22⎣⎦⎢⎥ 2 CAB− C =+2sin cos 4− 2sin2 22 2 CABC⎡⎤− = 2sin cos−+ sin 4 22⎣⎦⎢⎥ 2 CABAB⎡⎤−+ = 2sin cos−+ cos 4 22⎣⎦⎢⎥ 2 CA B = 4sin sin .sin+ 4 (1) 22 2 www.MATHVN.com
MATHVN.COM A + BAB− sin A++= sin B sin C 2sin cos+ sin C 22 CAB− CC =+2cos cos 2sin cos 22 22 CABAB⎡ −+⎤ =+2cos cos cos 22⎣⎢ 2⎦⎥ CAB = 4 cos cos cos (2) 222 Từ (1) và (2) ta có : A BC ABC sin sin sin sin sin sin+ 1 (*) ⇔ 222222++= A BC ABC cos cos cos cos cos cos 222 222 A ⎡⎤⎡⎤⎡BC B AC C AB⎤ ⇔ sin cos cos++ sin cos cos sin cos cos 222⎣⎦⎣⎦⎣⎢⎥⎢⎥⎢ 222 222⎦⎥ A BC = sin sin sin+ 1 222 A ⎡⎤BC BC A⎡ BC CB⎤ ⇔ sin cos cos−+ sin sin cos sin cos + sin cos= 1 22222⎣⎦⎢⎥ 22222⎣⎢⎦⎥ A BC++ A BC ⇔ sin .cos+= cos sin 1 22 22 ⎡⎤A ++BC ⇔sin = 1 ⎣⎦⎢⎥2 π ⇔ sin= 1 ( hiển nhiên đúng) 2 A BC sin sin sin Bài 25 : Cho ΔABC . Chứng minh: 222+ +=2 BC CA AB cos cos cos cos cos cos 22 22 22 Cách 1 : A BAABB sin sin sin cos+ sin cos Ta có : 222222+= BC CA ABC cos cos cos cos cos cos cos 22 22 222 A + BA− B sin cos 1 sin A+ sin B ==22 A BC ABC 2 cos cos cos cos cos cos 222 222 CAB− ⎛⎞A − B cos .cos cos⎜⎟ 2 ==22 ⎝⎠ A BC AB cos .cos .cos cos cos 222 22 www.MATHVN.com
MATHVN.COM ⎛⎞A − B CABA− + B cos⎜⎟sin cos+ cos 2 Do đó : Vế trái =+=⎝⎠ 222 AB AB AB cos cos cos cos cos cos 22 22 22 A B 2cos cos ==222 AB cos cos 22 Cách 2 : BC+++ AC AB cos cos cos Ta có vế trái =++222 BC CA AB cos cos cos cos cos cos 22 22 22 BC BC AC AC cos cos−− sin sin cos cos sin sin =+22 22 22 22 BC CA cos cos cos cos 22 22 A BAB cos cos− sin sin + 22 22 AB cos cos 22 ⎡⎤BC AC AB =−3tgtgtgtgtgtg + + ⎣⎦⎢⎥22 22 22 A BBCAB Mà : tg tg++ tg tg tg tg= 1 22 22 22 (đã chứng minh tại bài 10 ) Do đó : Vế trái = 3 – 1 = 2 A BC Bài 26 : Cho ΔABC . Có cot g ,cot g ,cot g theo tứ tự tạo cấp số cộng. 222 A C Chứng minh cot g .cot g= 3 22 A BC Ta có : cot g ,cot g ,cot g là cấp số cộng 222 A CB ⇔ cot g+= cot g 2cot g 22 2 A + CB sin 2 cos ⇔ 22= A CB sin sin sin 22 2 www.MATHVN.com
MATHVN.COM BB cos 2cos ⇔ 22= A CB sin sin sin 22 2 12 B ⇔ = (do 0 0 ) A CA+ C sin sin cos 2 22 2 A CAC − cos cos sin sin A C ⇔ 22 22= 2 ⇔ cot g cot g= 3 AC sin .sin 22 22 Bài 27 : Cho ΔABC . Chứng minh : 1111ABCA⎡⎤ B C ++=tg +++ tg tg cot g + cot g + cot g sin A sin B sin C 2⎣⎦⎢⎥ 2 2 2 2 2 2 A BC ABC Ta có : cotg++= cotg cotg cotg .cotg .cotg 222222 (Xem chứng minh bài 19g ) sinα cosα 2 Mặt khác : tgα+ cot g α= + = cosα sinαα sin 2 1A⎡⎤ B C A B C Do đó : tg+++ tg tg cotg + cotg + cotg 22⎣⎦⎢⎥ 2 2 2 2 2 1A⎡ B C1⎤⎡ A B C⎤ =+++++tg tg tg cotg cotg cotg 22⎣⎢ 2 22⎦⎣⎥⎢ 2 2 2⎦⎥ 1A⎡ A1B⎤⎡ B1C ⎤⎡ C⎤ =+tg cot g ++++ tg cot g tg cot g 22⎣⎢ 222⎦⎣⎥⎢ 222 ⎦⎣⎥⎢ 2⎦⎥ 111 =++ sin A sin B sin C BÀI TẬP 1. Chứng minh : ππ21 a/ cos−= cos 552 cos15oo+ sin15 b/ = 3 cos15oo− sin15 246πππ1 c/ cos++= cos cos − 7772 d/ sin33 2x sin 6x+= cos 2x.cos 6x cos3 4x e/ tg20oooo .tg40 .tg60 .tg80= 3 ππππ25 83π f/ tg+++= tg tg tg cos 6918339 πππππππ2345671 g/ cos .cos .cos .cos .cos .cos .cos = 15 15 15 15 15 15 15 27 www.MATHVN.com
MATHVN.COM ⎡⎤⎡⎤ππ h/ tgx.tg−+= x .tg x tg3x ⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥33 k/ tg20oo++ tg40 3tg20 oo .tg40 = 3 3 e/ sin20.sin40.sin80ooo= 8 m/ tg5oooo .tg55 .tg65 .tg75= 1 ⎧sin x=+ 2sin( x y) ⎪ 2. Chứng minh rằng nếu ⎨ π ⎪xy+≠() 2k1 +() kz ∈ ⎩ 2 sin y thì tg() x+= y cos y − 2 3. Cho ΔABC có 3 góc đều nhọn và A ≥≥BC a/ Chứng minh : tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC b/ Đặt tgA.tgB = p; tgA.tgC = q Chứng minh (p-1)(q-1) ≥ 4 4. Chứng minh các biểu thức không phụ thuộc x : a/ A =++++sin424222 x() 1 sin x cos x( 1 cos x) 5sin x cos x+ 1 b/ B=−+−+ 3() sin88 x cos x 4( cos 6 x 2sin 6 x) 6sin4 x c/ C=−+−−−−− cos22( x a) sin( x b) 2 cos( x a) sin( x b)( sin a b) 5. Cho ΔABC , chứng minh : cosC cos B a/ cot gB +=+cot gC sin B cos A sin C cos A A BC 3A3B3C b/ sin333 A++= sin B sin C 3cos cos cos+ cos cos cos 222 2 2 2 A BC− B AC− c/ sin A++= sin B sin C cos .cos + cos .cos 22 22 CA− B + cos .cos 22 d/ cotgAcotgB + cotgBcotgC + cotgCcotgA = 1 e/ cos222 A++=− cos B cos C 1 2cos A cosBcosC f/ sin3Asin(B- C)+ sin3Bsin(C- A)+ sin3Csin(A- B) = 0 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của : 11 π a/ y =+ với 0x< < sin x cos x 2 9π b/ y4x=++ sinx với 0x< <∞ x c/ y2sinx4sinxcosx5=+2 + 7. Tìm giá trị lớn nhất của : a/ y=+ sin x cos x cos x sin x b/ y = sinx + 3sin2x c/ ycosx2cosx=+−2 www.MATHVN.com
MATHVN.COM Chương 2 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN ⎡uvk2=+ π sin u=⇔ sin v ⎢ ⎣uvk=π− +2 π cos u=⇔=±+ cos v u v k2π ⎧ π ⎪uk≠+π tgu=⇔ tgv ⎨ 2 (k,k '∈ Z) ⎩⎪uvk'=+ π ⎧uk≠π cot gu=⇔ cot gv ⎨ ⎩uvk'=+ π π Đặc biệt : sin u=⇔=π 0 u k cos u= 0⇔=+π u k 2 π sin u=⇔= 1 u + k2 π( k ∈ Z) cos u= 1⇔= u k2 π ()kZ∈ 2 π sin u=− 1 ⇔ u =− + k2 π cosu= −⇔ 1 u =π+π k2 2 Chú ý : sin u≠⇔ 0 cos u ≠± 1 cosu≠⇔ 0 sin u ≠± 1 Bài 28 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D, năm 2002) Tìm x0,14∈ [ ] nghiệm đúng phương trình cos 3x−+−= 4 cos 2x 3cos x 4 0( *) Ta có (*) : ⇔ ()4 cos32 x− 3cos x−−+− 4( 2 cos x 1) 3cos x 4= 0 ⇔ 4cos32 x− 8cos x= 0 ⇔ 4cos2 x( cosx− 2) = 0 ⇔ cosx== 0hay cosx 2( loại vìcosx≤ 1) π ⇔ xkk=+π∈()Z 2 π Ta có : x0,140∈⇔≤+π≤[] k 14 2 ππ 1141 ⇔ −≤π≤−k14 ⇔ −=−≤≤−≈0, 5 k 3, 9 22 22π ⎧π 357πππ⎫ Mà kZ∈ nên k∈ { 0,1,2,3} . Do đó : x∈ ⎨ ,,,⎬ ⎩⎭2222 Bài 29 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D, năm 2004) Giải phương trình : ()()2cos x−+=− 1 2sin x cos x sin 2x sin x( *) Ta có (*) ⇔ ()2cos x−+= 1( 2sin x cos x) sin x( 2cos x− 1) www.MATHVN.com
MATHVN.COM ⇔ ()()2cos x− 1⎣⎦⎡⎤ 2sin x+− cos x sin x= 0 ⇔ ()(2cosx− 1 sinx+= cosx) 0 1 ⇔ cos x=∨ sin x =− cos x 2 ππ⎛⎞ ⇔ cos x=∨=−=− cos tgx 1 tg ⎜⎟ 34⎝⎠ ππ ⇔ xk2xk,k=± + π∨ =− + π() ∈Z 34 Bài 30 : Giải phương trình cos x+ cos 2x++= cos 3x cos 4x 0(*) Ta có (*) ⇔ ()cos x+++ cos 4x( cos 2x cos 3x) = 0 5x 3x 5x x ⇔ 2cos .cos+= 2cos .cos 0 22 22 5x⎛⎞ 3x x ⇔ 2cos⎜⎟ cos+= cos 0 22⎝⎠ 2 5x x ⇔ 4 cos cos x cos= 0 22 5x x ⇔ cos= 0∨=∨= cos x 0 cos 0 22 5x ππx π ⇔ =+π∨=+π∨=+πkx k k 22 2 22 ππ2k π ⇔ xxkx2=+ ∨=+π∨=π+π,()kZ ∈ 55 2 Bài 31: Giải phương trình sin22 x+=+ sin 3x cos 2 2x cos 2 4x( *) 1111 Ta có (*) ⇔ ()1−+−=+++ cos2x() 1 cos6x() 1 cos4x() 1 cos8x 2222 ⇔ −+()cos2x cos6x =+ cos4x cos8x ⇔ −=2cos4x cos2x 2cos6x cos2x ⇔ 2cos2x( cos6x+= cos4x) 0 ⇔ 4 cos2x cos5x cos x= 0 ⇔ cos2x= 0∨=∨ cos5x 0 cos x= 0 ππ π ⇔ 2x=+π∨ k 5x +π∨=+π∈ k x k ,k ] 22 2 ππkk π π π ⇔ xx=+ ∨= + ∨=+π xk ,k∈ ] 42 105 2 Bài 32 : Cho phương trình 22⎛⎞π x7 sin x.cos 4x−= sin 2x 4 sin ⎜⎟ −−()* ⎝⎠42 2 Tìm các nghiệm của phương trình thỏa: x1− < 3 www.MATHVN.com
MATHVN.COM 17⎡π⎤⎛⎞ Ta có : (*)⇔ sin x.cos4x− () 1−=−− cos4x 2⎢⎥ 1 cos⎜⎟ x − 22⎣⎦⎝⎠2 11 3 ⇔ sin x cos 4x−+ cos 4x =−− 2sin x 22 2 1 ⇔ sin x cos 4x+++ cos 4x 1 2sin x= 0 2 ⎛⎞⎛⎞11 ⇔ cos 4x⎜⎟⎜⎟ sin x++ 2 sin x += 0 ⎝⎠⎝⎠22 ⎛⎞1 ⇔ ()cos 4x+ 2⎜⎟ sin x+= 0 ⎝⎠2 ⎡ π ⎡cos4x=− 2() loại xk= −+2 π ⎢ ⎢ 6 ⇔ ⎢ 1 ⎛π ⎞ ⇔ ⎢ sin x=− = sin ⎜⎟ − ⎢ 7π ⎢ 26 x2= +πh ⎣ ⎝⎠ ⎣⎢ 6 Ta có : x1− < 3 ⇔ −<3x13 − < ⇔ −2x4<< π Vậy : −<−+2k2 π<4 6 ππ11 21 ⇔ −<22k4 π<+ ⇔ −<<+k 6612 ππ12 π Do k∈ Z nên k = 0. Vậy x = − 6 7π −<2h2 + π<4 6 77172π π 7 ⇔ −−2h24 < π<− ⇔−− <h < − 661ππ212 7π −ππ7 ⇒ h = 0 ⇒ x = .Tóm lại xhayx== 6 66 1 −π Cách khác : sin x=− ⇔ x = ( − 1)k + k π , k ∈] 26 −π −21 − 4 Vậy : −<−2(1)kk +π<⇔ k 4 <− (1) + k < 66π π −ππ7 ⇔ k=0 và k = 1. Tương ứng với xhayx== 66 Bài 33 : Giải phương trình sin33 x cos 3x+= cos x sin 3x sin 3 4x( *) Ta có : (*)⇔ sin33 x() 4 cos x−+ 3cos x cos3 x( 3sin x − 4 sin3 x) = sin 3 4x ⇔ 4 sin33 x cos x−+− 3sin 3 x cos x 3sin x cos3 x 4 sin 33 x cos x = sin 3 4x ⇔ 3sin x cos x() cos22 x−= sin x sin 3 4x 3 ⇔ sin 2x cos 2x= sin3 4x 2 www.MATHVN.com
MATHVN.COM 3 ⇔ sin 4x= sin3 4x 4 ⇔ 3sin 4x− 4 sin3 4x= 0 ⇔ sin12x = 0 kπ ⇔ 12x=π k ⇔ xk=∈()Z 12 Bài 34 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B, năm 2002) Giải phương trình : sin22 3x−=− cos 4x sin 22 5x cos 6a( *) Ta có : (*)⇔ 11 1 1 ()1−−+=−−+ cos6x() 1 cos8x() 1 cos10x() 1 cos12x 22 2 2 ⇔ cos6x+= cos8x cos10x + cos12x ⇔ 2cos7xcosx= 2cos11xcosx ⇔ 2cos x( cos7x−= cos11x) 0 ⇔ cos x=∨ 0 cos7x = cos11x π ⇔ xk7x11xk=+π∨=±+2 π 2 πππkk ⇔ xkx=+π∨=−∨= x,k ∈] 229 Bài 35 : Giải phương trình ()()sin x++=++ sin 3x sin 2x cos x cos 3x cos 2x ⇔ 2sin 2x cos x+= sin 2x 2cos2x cos x + cos2x ⇔ sin 2x() 2 cos x+= 1 cos 2x( 2 cos x+ 1) ⇔ ()()2cos x+ 1 sin 2x−= cos 2x 0 12π ⇔ cos x=− = cos ∨ sin 2x = cos 2x 23 2π π ⇔ xk2tg2x1=± + π∨ = =tg 34 2π ππ ⇔ xk2xk,k=± + π∨ = +() ∈Z 382 Bài 36: Giải phương trình cos10x++ 2 cos23 4x 6 cos 3x.cos x =+ cos x 8 cos x.cos 3x( *) Ta có : (*)⇔ cos10x++( 1 cos8x) = cos x + 2cos x( 4 cos3 3x− 3cos3x) ⇔ ()cos10x++=+ cos 8x 1 cos x 2 cos x.cos 9x ⇔ 2cos9x cos x+= 1 cos x + 2cos x.cos9x ⇔ cos x= 1 ⇔ xk2kZ=π∈( ) Bài 37 : Giải phương trình www.MATHVN.com
MATHVN.COM 4 sin33 x+−− 3cos x 3sin x sin2 x cos x = 0( *) Ta có : (*) ⇔ sin x() 4 sin22 x− 3−− cos x( sin x 3cos2 x) = 0 22⎡⎤2 ⇔ sin x() 4 sin x−− 3 cos x⎣⎦ sin x − 3( 1 − sin x) = 0 ⇔ ()4sin2 x−− 3() sinx cosx= 0 ⇔ ⎣⎦⎡⎤2()() 1−− cos 2x 3 sin x − cos x= 0 ⎡ 12π cos 2x=− = cos ⇔ ⎢ 23 ⎢ ⎣sin x= cos x ⎡ π ⎡ 2π xk= ±+π 2x=± + k2 π ⎢ 3 ⇔ ⎢ 3 ⇔ ⎢ (kZ∈ ) ⎢ ⎢ π ⎣tgx= 1 xk= +π ⎣⎢ 4 Bài 38 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2005) Giải phương trình : sin x++++ cos x 1 sin 2x cos 2x = 0( *) Ta có : (*) ⇔ sin x++ cos x 2sin x cos x + 2cos2 x = 0 ⇔ sin x++ cos x 2cos x( sin x + cos x) = 0 ⇔ ()sin x++ cos x( 1 2cos x)= 0 ⎡sin x=− cos x ⇔ ⎢ 12π ⎢cos 2x=− = cos ⎣ 23 ⎡tgx=− 1 ⇔ ⎢ 2π ⎢xk=± +2 π ⎣ 3 ⎡ π xk=− + π ⎢ 4 ⇔ ⎢ ()kZ∈ 2π ⎢xk=± +2 π ⎣⎢ 3 Bài 39 : Giải phương trình ()(2sinx++−+= 1 3cos4x 2sinx 4 ) 4cos2 x 3( *) Ta có : (*) ⇔ ()2sinx++−+−− 1( 3cos4x 2sinx 4) 4( 1 sin2 x) 3= 0 ⇔ ()(2sinx+ 1 3cos4x+−++− 2sinx 4 )( 1 2sinx)( 1 2sinx) = 0 ⇔ ()2sinx+ 1⎣⎦⎡⎤ 3cos4x+−+− 2sinx 4( 1 2sinx) = 0 ⇔ 3cos4x()()−+ 1 2sinx 1= 0 1 ⎛⎞π ⇔ cos 4x=∨ 1 sin x =−= sin ⎜⎟ − 26⎝⎠ www.MATHVN.com
MATHVN.COM ππ7 ⇔ 4x=π∨=−+π∨=+ k2 x k2 x k2π 66 k7ππ π ⇔ xxk2xk2,k= ∨=−+π∨=+π() ∈Z 26 6 Bài 40: Giải phương trình sin66 x+= cos x 2() sin 88 x + cos x( *) Ta có : (*) ⇔ sin6868 x−+− 2sin x cos x 2cos x= 0 ⇔ sin6262 x() 1−− 2sin x cos x( 2cos x − 1) = 0 ⇔ sin66 x cos 2x−= cos x.cos 2x 0 ⇔ cos 2x() sin66 x−= cos x 0 ⇔ cos 2x=∨ 0 sin66 x = cos x ⇔ cos2x= 0∨= tg6 x 1 π ⇔ 2x=+∨=±() 2k 1 tgx 1 2 ππ ⇔ x2k1=+∨=±+() x kπ 44 ππk ⇔ x =+ ,k ∈] 42 Bài 41 : Giải phương trình 1 cosx.cos2x.cos4x.cos8x= () * 16 Ta thấy xk= π không là nghiệm của (*) vì lúc đó cos x=± 1,cos2x = cos4x = cos8x = 1 1 (*) thành : ±=1 vô nghiệm 16 Nhân 2 vế của (*) cho 16sin x≠ 0 ta được (*)⇔ ()16sinxcosx cos2x.cos4x.cos8x= sinx và sin x≠ 0 ⇔ ()8sin 2x cos 2x cos 4x.cos 8x= sin x và sin x≠ 0 ⇔ ()4sin4xcos4x cos8x= sinx và sin x≠ 0 ⇔ 2sin8xcos8x= sinx và sin x≠ 0 ⇔ sin16x= sin x và sin x≠ 0 k2πππk ⇔ xx=∨=+ ,k() ∈Z 15 17 17 Do : xh=π không là nghiệm nên k≠ 15m và 2k+≠ 1 17n() n, m ∈ Z 3 ⎛⎞π Bài 42: Giải phương trình 8cos⎜⎟ x+= cos 3x() * ⎝⎠3 ππ Đặt tx=+ ⇔=− xt 33 www.MATHVN.com
MATHVN.COM Thì cos 3x=−π=π−=− cos() 3t cos( 3t) cos 3t Vậy (*) thành 8cos3 t=− cos3t ⇔ 8cos33 t=− 4cos t + 3cost ⇔12 cos3 t− 3 cos t= 0 ⇔ 3cost() 4cos2 t−= 1 0 ⇔ 3 cos t⎣⎦⎡⎤ 2() 1+− cos 2t 1= 0 ⇔ cos t() 2 cos 2t+= 1 0 12π ⇔ cos t=∨ 0 cos 2t =−= cos 23 ππ2 ⇔ t2k1=+∨=±+() 2t k2π 23 ππ ⇔ tkt=+π∨=±+πk 23 π Mà xt=− 3 ππ2 Vậy (*)⇔ xk2xkxk,vớik=+ π∨=π∨= +π() ∈Z 63 Ghi chú : Khi giải các phương trình lượng giác có chứa tgu, cotgu, có ẩn ở mẫu, hay chứa căn bậc chẵn ta phải đặt điều kiện để phương trình xác định. Ta sẽ dùng các cách sau đây để kiểm tra điều kiện xem có nhận nghiệm hay không. + Thay các giá trị x tìm được vào điều kiện thử lại xem có thỏa Hoặc + Biểu diễn các ngọn cung điều kiện và các ngọn cung tìm được trên cùng một đường tròn lượng giác. Ta sẽ loại bỏ ngọn cung của nghiệm khi có trùng với ngọn cung của điều kiện. Hoặc + So vơi các điều kiện trong quá trình giải phương trình. Bài 43 : Giải phương trình tg2 x−= tgx.tg3x 2( *) ⎧cos x≠ 0 ππh ⇔≠⇔≠+cos3x 0 x Điều kiện ⎨ 3 ⎩cos 3x=− 4 cos x 3 cos x≠ 0 63 Lúc đó ta có (*) ⇔ tgx() tgx− tg3x= 2 sin x⎛⎞ sin x sin 3x ⇔ ⎜⎟−=2 cos x⎝⎠ cos x cos 3x ⇔ sin x() sin x cos 3x−= cos x sin 3x 2 cos2 x cos 3x ⇔ sin x sin(−= 2x) 2 cos2 x.cos 3x ⇔ −=2sin22 xcosx 2cos xcos3x ⇔ −=sin2 x cos x cos 3x (do cos x≠ 0 ) 11 ⇔ −−()1cos2x =() cos4xcos2x + 22 ⇔ cos 4x= −⇔ 1 4x =π+ k2 π www.MATHVN.com
MATHVN.COM ππk ⇔ xk=+() ∈Z 42 so với điều kiện ππk ⎛⎞33kππ 2 Cách 1 : Khi x =+ thì cos 3x=+=±≠ cos ⎜⎟ 0() nhận 42 ⎝⎠42 2 Cách 2 : Biểu diễn các ngọn cung điều kiện và ngọn cung nghiệm ta thấy không có ngọn cung nào trùng nhau. Do đó : π kπ (*) ⇔ x =+ 42 Lưu ý cách 2 rất mất thời gian Cách 3 : 33kπ ππ Nếu 3x =+ =+hπ 422 Thì 36k24h+=+ ⇔14=−h6k 1 ⇔ =−2h 3k (vô lý vì k, h∈ Z) 2 Bài 44: Giải phương trình 11 tg222 x++ cot g x cot g 2x =() * 3 ⎧cos x≠ 0 ⎪ Điều kiện ⎨sin x≠⇔ 0 sin 2x ≠ 0 ⎪ ⎩sin 2x≠ 0 Do đó : ⎛⎞⎛⎞⎛⎞11 111 (*)⇔ ⎜⎟⎜⎟⎜⎟222−+11 −+ −= 1 ⎝⎠⎝⎠⎝⎠cos x sin x sin 2x 3 11 1 20 ⇔ ++ = cos22 x sin x 4 sin 22 x cos x 3 4sin22 x++ 4cos x 1 20 ⇔ = 4sin22 xcos x 3 520 ⇔ = sin2 2x 3 3 ⇔ sin2 2x = (nhận do sin2x ≠ 0 ) 4 13 ⇔ ()1cos4x−= 24 12π ⇔ cos 4x=− = cos 23 2π ⇔ 4x=± + k2 π 3 ππk ⇔ xk=± +() ∈Z 62 www.MATHVN.com
MATHVN.COM 2 Chú ý : Có thể dễ dàng chứng minh : tgx+= cot gx sin 2x 2 ⎛⎞111 Vậy (*)⇔ ()tgx+−+−= cot gx 2 ⎜⎟2 1 ⎝⎠sin x 3 520 ⇔ = sin2 2x 3 Bài 45 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D, năm 2003) Giải phương trình 222⎛⎞xxπ sin⎜⎟−−= tg x cos 0() * ⎝⎠24 2 Điều kiện : cos x≠⇔ 0 sin x ≠± 1 lúc đó : 1s⎡π⎤⎛⎞in2 x1 ⇔ − −−+= (*) ⎢⎥1cosx⎜⎟2 []1cosx0 22c⎣⎦⎝⎠osx2 ()1sinx1cosx−−()2 ⇔ − ()1cosx0+= 1sinx− 2 1cosx− 2 ⇔ −+()1cosx0 = 1sinx+ ⎡⎤1cosx− ⇔ ()1cosx+− 1= 0 ⎣⎦⎢⎥1sinx+ ⇔ ()()1+−− cos x cos x sin x= 0 ⎡cosx=− 1() nhậndocosx≠ 0 ⇔ ⎢ ⎣tgx=− 1 ⎡xk2=π+ π ⇔ ⎢ π ⎢xk=− + π ⎣ 4 Bài 46 : Giải phương trình sin 2x() cot gx+= tg2x 4 cos2 x( *) ⎧cos x≠± 1 ⎧sin x≠ 0 ⎧sin x≠ 0 ⎪ ⇔ ⇔ Điều kiện : ⎨ ⎨ 2 ⎨ 2 ⎩cos 2x≠ 0 ⎩2cos x− 1≠ 0 ⎪cos x ≠± ⎩ 2 cos x sin 2x Ta có : cot gx+= tg2x + sin x cos 2x cos2x cos x+ sin 2x sin x = sin x cos 2x cos x = sin x cos 2x ⎛⎞cos x 2 Lúc đó : (*) ⇔=2sinxcosx⎜⎟4cos x ⎝⎠sin x cos 2x www.MATHVN.com
MATHVN.COM 2cos2 x ⇔ = 4cos2 x (Do sin x≠ 0) cos 2x ⎡ ⎛⎞2 ⎡cos x= 0 ⎢cosx= 0⎜⎟ Nhậndocosx≠≠± và 1 ⎜⎟2 ⇔ ⎢ 1 ⇔ ⎢ ⎝⎠ ⎢ = 2 ⎢ 1 π ⎣cos2x ⎢cos 2x== cos ,() nhận do sin x≠ 0 ⎣ 23 ⎡ π xk=+π ⎢ 2 ⇔ ⎢ ()kZ∈ π ⎢xk=± + π ⎣⎢ 6 Bài 47 : Giải phương trình: cot g22 x− tg x =+16() 1 cos 4x cos 2x cos22 x sin x Ta có : cot g22 x−= tg x − sin22 x cos x cos44 x− sin x 4 cos2x == sin22 x cos x sin 2 2x ⎧sin 2x≠ 0 Điều kiện : ⎨ ⇔ sin 4x≠ 0 ⎩cos 2x≠ 0 4 Lúc đó (*) ⇔=+16() 1 cos 4x sin2 2x ⇔=141cos4xsin2x() + 2 ⇔=1 2()() 1 + cos 4x 1 − cos 4x ⇔=121cos4x2sin4x() −22 = 1 ⇔ sin2 4x=≠() nhận do sin 4x 0 2 11 ⇔−()1cos8x = 22 ππk ⇔=⇔=+∈cos 8x 0 x , k ] 16 8 447 ⎛⎞⎛⎞ππ Bài 48: Giải phương trình: sin x+= cos x cot g⎜⎟⎜⎟ x + cot g − x() * 836⎝⎠⎝⎠ ⎧⎧⎛⎞ππ ⎛⎞ ⎪⎪sin⎜⎟ x+≠ 0 sin ⎜⎟ x +≠ 0 ⎪⎝33 ⎠ ⎪⎝ ⎠ ⎛⎞2π Điều kiện ⎨⎨⇔⇔+sin⎜⎟ 2x≠ 0 ⎪⎪⎛⎞ππ ⎛⎞ ⎝⎠3 sin⎜⎟−≠ x 0 cos ⎜⎟ x + ≠ 0 ⎩⎩⎪⎪⎝⎠63 ⎝⎠ www.MATHVN.com
MATHVN.COM 13 ⇔−sin 2x + cos 2x ≠ 0 22 ⇔≠tg2x 3 2 1 Ta có: sin44 x+= cos x() sin 22 x + cos x − 2sin 22 x.cos x =− 1 sin 2 2x 2 ⎛⎞ππ ⎛⎞ ⎛⎞⎛⎞ ππ Và: cot g⎜⎟ x+−=++ .cot g ⎜⎟ x cot g ⎜⎟⎜⎟ x .tg x= 1 ⎝⎠36 ⎝⎠ ⎝⎠⎝⎠ 33 17 Lúc đó: (*) ⇔−1sin2x2 = 28 11 ⇔−()1cos4x − =− 48 1 ⇔=cos 4x 2 ππkπ ⇔=±+π⇔=±+4x k2 x 3122 3 (nhận do tg2x =± ≠ 3 ) 3 1 Bài 49: Giải phương trình 2tgx+=+ cot g2x 2sin 2x() * sin 2x ⎧cos2x≠ 0 Điều kiện: ⎨ ⇔ sin 2x≠⇔ 0 cos 2x ≠± 1 ⎩sin 2x≠ 0 2sinx cos2x 1 Lúc đó: (*) ⇔+=2sin2x + cos x sin 2x sin 2x ⇔+=+4 sin22 x cos 2x 2 sin 2x 1 ⇔+−=4sin222 x() 1 2sin x 8sin xcos2 x + 1 ⇔−=2sin22 x() 1 4cos x 0 2 ⇔−+=2sin x⎣⎦⎡⎤ 1 2() 1 cos2x 0 ⎡sin x=≠ 0() loại do sin 2x 0⇒ sin x≠ 0 ⎢ ⇔ 12π ⎢cos2x= −= cos() nhậndocos2x≠± 1 ⎣⎢ 23 2π ⇔=±+π∈2x k2() k Z 3 π ⇔=±+π∈xk,k] 3 3sinx()+ tgx Bài 51: Giải phương trình: −+21() cosx = 0*() tgx− sin x www.MATHVN.com
MATHVN.COM sin x Điều kiện : tgx−≠ sin x 0 ⇔ − sin x≠ 0 cos x ⎧sin x≠ 0 sin x() 1− cos x ⎪ ⇔ ≠ 0 ⇔ ⎨cos x≠ 0⇔≠ sin 2x 0 cos x ⎪ ⎩cos x≠ 1 3sinx()+ tgx.cotgx Lúc đó (*)⇔ − 21()+= cosx 0 ()tgx− sin x .cot gx 3cosx()+ 1 ⇔ −+21() cosx = 0 ()1cosx− 3 ⇔ −=2 0() do sin x ≠ 0 nên cos x +≠ 1 0 1cosx− ⇔ 12cosx0+= 1 ⇔ cos x =− (nhận so với điều kiện) 2 2π ⇔ xk2,k=± + π ∈] 3 Bài 52 : Giải phương trình 22 ()()1cosx−++ 1cosx 1 −=++tg22 x sin x()() 1 sin x tg x * 41()− sinx 2 ⎧cos x≠ 0 Điều kiện : ⎨ ⇔ cos x≠ 0 ⎩sin x≠ 1 2 21()+ cosx sin32 x 1 sin x Lúc đó (*)⇔ −=++()1sinx 41sinx1sinx2()−−22 1sinx− ⇔ ()1++−=+−+ cos23 x() 1 sin x 2sin x( 1 sin x)( 1 sin 2 x) 2sin2 x ⇔ ()1sinx1cosx++=++()22( 1sinxcosx2sinx1sinx) 2( +) ⎡1sinx0+= ⇔ ⎢ 22 2 ⎣1+=+ cos x cos x 2sin x ⎡sin x=− 1 ( loại do cos x≠ 0 ) ⇔ ⎢ ⇔ cos2x = 0 ⎣11cos2x=− π ⇔ 2x=+π k 2 ππ ⇔ xk=+ (nhận do cosx ≠ 0) 42 Bài 53 : Giải phương trình cos 3x.tg5x= sin 7x( *) Điều kiện cos5x≠ 0 sin 5x Lúc đó : (*) ⇔ cos3x.= sin7x cos5x www.MATHVN.com
MATHVN.COM ⇔ sin 5x.cos 3x= sin7x.cos5x 11 ⇔ []sin 8x+= sin 2x[] sin12x + sin 2x 22 ⇔ sin 8x= sin12x ⇔ 12x=+π∨=π−+ 8x k2 12x 8x k2π kkπππ ⇔ xx=∨=+ 22010 So lại với điều kiện k5ππkkπ x=== thì cos5x cos cos (loại nếu k lẻ) 222 ππkk⎛⎞ππ xt=+hìcos5xc =os⎜⎟ + ≠ 0nhận 20 10 ⎝⎠4 2 π kπ Do đó : (*)⇔ xh=π∨= x + , với k, h ∈] 20 10 Bài 54 : Giải phương trình sin44 x+ cos x 1 =+()tgx cot g2x( *) sin 2x 2 Điều kiện : sin 2x≠ 0 2 Ta có : sin44 x+= cos x( sin 22 x + cos x) − 2sin 2 x cos2 x 1 =−1sin22 x 2 sin x cos 2x tgx+=+ cot g2x cos x sin 2x sin 2x sin x+ cos x cos2x = cos x sin 2x cos() 2x− x 1 == cos x sin 2x sin 2x 1 1sin2x− 2 1 Do đó : (*) ⇔=2 sin 2x 2 sin 2x 11 ⇔−1sin2x2 = 22 2 ⇔=sin 2x 1() nhận do sin 2x≠ 0 ⇔=cos2 2x 0 π ⇔=+π∈2x k , k ] 2 ππk ⇔=x,k + ∈] 42 Bài 55 : Giải phương trình tg22 x.cot g 2x.cot g3x=− tg2 x cot g 2 2x + cot g3x() * Điều kiện : cosx0sin2x0sin3x0≠∧ ≠∧ ≠ www.MATHVN.com
MATHVN.COM ⇔≠∧sin2x 0 sin3x≠ 0 Lúc đó (*)⇔− cotg3x() tg22 x cot g 2x 1= tg 2 x− cot g 2 2x ⎡−⎛⎞⎛⎞1 cos 2x 1 + cos 4x ⎤ 1 − cos 2x 1 + cos 4x ⇔−cot g3x ⎢⎥⎜⎟⎜⎟1 =− ⎣⎦⎝⎠⎝⎠1+− cos 2x 1 cos 4x 1 +− cos 2x 1 cos 4x ⇔−+−+−cot g3x⎣⎡() 1 cos2x( 1 cos4x) ( 1 cos2x)( 1 cos4x)⎦⎤ =−()()()()1 cos2x 1 − cos4x −+ 1 cos4x 1 + cos2x ⇔−=cot g3x[] 2cos4x 2cos2x−+ 2() cos4x cos2x cos 3x ⇔−[]4 sin 3x sin x =− 4 cos 3x cos x sin 3x ⇔=cos3x sin x cos3x cos x() do sin 3x≠ 0 ⇔=∨=cos3x 0 sin x cos x π ⇔=+π∨=3x k tgx 1 2 ππk π ⇔=+xxlk ∨=+π(),lZ ∈ 63 4 So với điều kiện: sin 2x.sin 3x≠ 0 π kπ ⎛⎞⎛⎞ππ2k π * Khi x =+ thì sin⎜⎟⎜⎟+ .sin+π≠ k 0 63 ⎝⎠⎝⎠33 2 ⎛⎞12k+ ⇔πsin ⎜⎟≠0 ⎝⎠3 Luôn đúng ∀+≠kthỏa2k 1 3mm( ∈ Z) π ⎛⎞⎛⎞ππ32 * Khi xl=+π thì sin⎜⎟⎜⎟+ 2lπ+π=± sin 3l ≠0 4 ⎝⎠⎝⎠242 luôn đúng ⎡ ππk x,kZ2k3m1(m=+ ∈∧ ≠ − ∈] ) ⎢ 63 Do đó: (*) ⇔ ⎢ π ⎢xl,l=+π∈] ⎣⎢ 4 Cách khác: (*)⇔− cotg3xtgxcotg2x()22 1= tgx 2− cotg2x 2 tg22 x− cot g 2x tg22 2x.tg x− 1 ⇔=cot g3x 22 = 22 tg x cot g 2x−− 1 tg x tg 2x (1+− tg2x.tgx ) (1 tg2x.tgx ) ⇔=cot g3x (tg2x−+ tgx) ( tg2x tgx) ⇔=cot g3x cot gx.cotg3x ⇔=∨= cos 3x 0 sin x cos x BÀI TẬP www.MATHVN.com
MATHVN.COM ⎛π ⎞ 1. Tìm các nghiệm trên ⎜,3π⎟ của phương trình: ⎝⎠3 ⎛⎞⎛⎞57ππ sin⎜⎟⎜⎟ 2x+− 3cos x −=+ 1 2sin x ⎝⎠⎝⎠22 ⎛π ⎞ 2. Tìm các nghiệm x trên ⎜0, ⎟ của phương trình ⎝⎠2 sin22 4x−= cos 6x sin() 10,5 π+ 10x 3. Giải các phương trình sau: a/ sin33 x+= cos x 2() sin 55 x + cos x sin x++ sin 2x sin 3x b/ = 3 cos x++ cos 2x cos 3x 1cosx+ c/ tg2 x = 1sinx− d/ tg2x−−= tg3x tg5x tg2x.tg3x.tg5x 4 e/ cos x= cos2 x 3 ⎛⎞π 11 f/ 22sinx⎜⎟+= + ⎝⎠4sinxcosx 2 i/ 2tgx+=+ cot g2x 3 sin 2x 2 h/ 3tg3x+=+ cot g2x 2tgx sin 4x k/ sin22 x++ sin 2x sin 2 3x= 2 sin 2x l/ + 2cosx= 0 1sinx+ m/ 25−π+π 4x2 () 3sin 2 x 8sin x= 0 sin x.cot g5x n/ = 1 cos 9x 2 o/ 3tg6x −=−2tg2x cotg4x sin 8x p/ 2sin3x() 1−= 4sin2 x 1 1cosx+ q/ tg2 x = 1sinx− 2 r/ cos33 x cos 3x+= sin x sin 3x 4 44⎛⎞xx ⎛⎞ 5 s/ sin⎜⎟+ cos ⎜⎟= ⎝⎠33 ⎝⎠ 8 t/ cos33 x−− 4 sin x 3cos x sin 2 x + sin x= 0 xx u/ sin44+=− cos 1 2sin x 22 www.MATHVN.com
MATHVN.COM ⎛⎞π ⎛π ⎞ v/ sin⎜⎟ 3x−= sin 2x.sin ⎜ x +⎟ ⎝⎠44 ⎝⎠ ()2− sin2 x sin 3x w/ tg4 x+= 1 cos4 x 2 ⎛⎞x y/ tgx+− cos x cos x = sin x⎜⎟ 1 + tg tgx ⎝⎠2 4. Cho phương trình: ()2sinx−++=− 1( 2cos2x 2sinx m)( 3 4cos2 x 1) a/ Giải phương trình khi m = 1 b/ Tìm m để (1) có đúng 2 nghiệm trên [0, π] ( ĐS: m0m= ∨ 1m3 ) 5. Cho phương trình: 4cos552 xsinx−= 4sin x.cosx sin 4x+ m( 1) Biết rằng x = π là một nghiệm của (1). Hãy giải phương trình trong trường hợp đó. www.MATHVN.com
MATHVN.COM CHƯƠNG III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC asin2 u++=≠ bsinu c 0( a 0) acos2 u++=≠ bcosu c 0() a 0 atg2 u+== btgu c 0 ()a ≠ 0 a cot g2 u++= b cot gu c 0() a≠ 0 Cách giải: Đặt : tsinu= hay tcosu= với t1≤ π ttgu= (điều kiện uk≠ +π) 2 tcotgu= (điều kiện uk≠ π ) Các phương trình trên thành: at2 + bt+= c 0 Giải phương trình tìm được t, so với điều kiện để nhận nghiệm t. Từ đó giải phương trình lượng giác cơ bản tìm được u. Bài 56: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A, năm 2002) Tìm các nghiệm trên (0, 2π) của phương trình ⎛⎞cos 3x+ sin 3x 5sinx⎜⎟+=3+ cos2x*() ⎝⎠12sin2x+ 1 Điều kiện: sin 2x ≠− 2 Ta có: sin 3x+= cos 3x( 3sin x − 4 sin33 x) +( 4 cos x − 3cos x) =−3cosx() − sinx + 4cosx()33 − sinx =−cos x sin x⎡⎤ −++ 3 4 cos22 x cos x sin x + sin x ()⎣⎦() =−()cos x sin x() 1 + 2sin 2x 2 Lúc đó: (*) ⇔+−=+5⎣⎦⎡⎤ sin x( cos x sin x) 3( 2cos x− 1) ⎛⎞1 ⎜⎟do sin 2x ≠− ⎝⎠2 ⇔−+2cos2 x 5cosx 2= 0 ⎡ 1 cos x = ⇔ ⎢ 2 ⎢ ⎣⎢cos x= 2() loại π 31 ⇔=±+xk2 π (nhận do sin 2x = ±≠−) 3 22 www.MATHVN.com
MATHVN.COM π 5π Do x0,2∈π( ) nên xx=∨= 33 Bài 57: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A, năm 2005) Giải phương trình: cos22 3x.cos 2x−= cos x 0( *) 1cos6x++ 1cos2x Ta có: (*) ⇔ .cos2x −=0 22 ⇔−cos6x.cos2x 1= 0 ( ) Cách 1: ( ) ⇔−()4 cos3 2x 3cos 2x cos 2x − 1= 0 ⇔−−4 cos42 2x 3cos 2x 1= 0 ⎡cos2 2x= 1 ⎢ ⇔ 1 ⎢cos2 2x=− () vô nghiệm ⎣⎢ 4 ⇔=sin 2x 0 kπ ⇔=π⇔=2x k x() k ∈ Z 2 1 Cách 2: ( ) ⇔+−()cos 8x cos 4x 1= 0 2 ⇔+−=cos 8x cos 4x 2 0 ⇔+−2cos2 4x cos4x 3= 0 ⎡cos 4x= 1 ⇔ ⎢ 3 ⎢cos 4x=− () loại ⎣ 2 kπ ⇔=π⇔=4x k2 x() k ∈ Z 2 Cách 3: phương trình lượng giác không mẫu mực: ⎡cos 6x== cos 2x 1 ( ) ⇔ ⎢ ⎣cos 6x==− cos 2x 1 Cách 4: cos 8x+−=⇔+ cos 4x 2 0 cos 8x cos 4x= 2 ⇔ cos 8x== cos 4x 1 ⇔ cos 4x= 1 Bài 58: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D, năm 2005) 44 ⎛⎞⎛⎞ππ3 Giải phương trình: cos x++− sin x cos⎜⎟⎜⎟ x sin 3x −−=0 ⎝⎠⎝⎠442 Ta có: (*) 222 2213⎡⎤⎛⎞π ⇔+()sin x cos x − 2sin x cos x +⎢⎥ sin⎜⎟ 4x −+− sin 2x= 0 22⎣⎦⎝⎠ 2 www.MATHVN.com
MATHVN.COM 11 3 ⇔−1 sin2 2x +[] − cos 4x + sin 2x − = 0 22 2 11 11 ⇔−sin22 2x − 1 − 2sin 2x + sin 2x − = 0 22() 22 ⇔+−sin2 2x sin 2x 2= 0 ⎡sin 2x= 1 ⇔ ⎢ ⎣sin 2x=− 2() loại π ⇔=+π∈2x k2 , k ] 2 π ⇔=+π∈xk,k] 4 Bài 59: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B, năm 2004) Giải phương trình: 5sinx−= 2 3( 1 − sinx)( tg2 x *) Điều kiện: cos x≠⇔ 0 sin x ≠± 1 sin2 x Khi đó: (*) ⇔−=−5sinx 2 3() 1 sinx cos2 x sin2 x ⇔−=−5sinx 2 3() 1 sinx 1sinx− 2 3sin2 x ⇔−=5sinx 2 1sinx+ ⇔+−2sin2 x 3sinx 2= 0 ⎡ 1 sin x=≠() nhận do sin x± 1 ⇔ ⎢ 2 ⎢ ⎣⎢sin x=− 2() vô nghiệm ππ5 ⇔=+xk2xk2k π∨= + π() ∈Z 66 11 Bài 60: Giải phương trình: 2sin 3x−= 2cos 3x +() * sin x cos x Điều kiện: sin 2x≠ 0 11 Lúc đó: (*) ⇔−=+2sin3x() cos3x sin x cos x 11 ⇔+−+=+2⎡⎤ 3() sin x cos x 4 sin33 x cos x ⎣⎦( ) sin x cos x sin x+ cos x ⇔+2() sin x cos x⎡⎤ 3 − 4 sin22 x − sin x cos x + cos x = ⎣⎦( ) sin x cos x ⎡⎤1 ⇔+()sinx cosx −+ 2 8sinxcosx − =0 ⎣⎦⎢⎥sin x cos x www.MATHVN.com
MATHVN.COM ⎡⎤2 ⇔+()sin x cos x 4 sin 2x − − 2= 0 ⎣⎦⎢⎥sin 2x tgx=− 1 ⎡sin x+= cos x 0 ⎡ ⇔⇔⎢ ⎢ −1 ()nhận so vớiđiều kiện 4sin2 2x−−= 2sin2x 2 0 ⎢sin 2x=∨ 1 sin 2x = ⎣ ⎣ 2 ππ π7 π ⇔x =− + k π∨ 2x = + k2 π∨ 2x =− + k2 π∨ 2x = + k2 π ,k ∈] 42 6 6 π ππ7 ⇔xkxkxk,k =± +π∨=− +π∨= +π ∈] 41212 cos x( 2 sin x+− 3 2) 2 cos2 x − 1 Bài 61: Giải phương trình: = 1*() 1sin2x+ π Điều kiện: sin 2x≠− 1 ⇔ x ≠− + m π 4 Lúc đó: (*) ⇔2sinxcosx + 3 2cosx − 2cos2 x −=+ 1 1 sin2x ⇔−2cos2 x 3 2cosx + 2= 0 2 ⇔=cos x hay cos x = 2() vô nghiệm 2 ⎡ π xk2=+ π ⎢ 4 ⇔ ⎢ π ⎢xk'2loạidođiềuki=− + π()ện ⎣⎢ 4 π ⇔=+xk2 π 4 Bài 62: Giải phương trình: x3x x3x1 cosx.cos .cos−= sinxsin sin() * 22 222 111 Ta có: (*) ⇔ cos x() cos 2x++ cos x sin x() cos 2x −= cos x 222 ⇔++−cos x.cos 2x cos2 x sin x cos 2x sin x cos x= 1 ⇔+=−+cos 2x() cos x sin x 1 cos2 x sin x cos x ⇔+=+cos 2x() cos x sin x sin x( sin x cos x) ⇔+()cos x sin x() cos 2x −= sin x 0( * *) ⇔+()cos x sin x() 1 − 2sin2 x − sin x= 0 ⎡cos x=− sin x ⇔ ⎢ 2 ⎣2sin x+−= sinx 1 0 www.MATHVN.com
MATHVN.COM ⎡ π ⎡ xk=− + π ⎢ 4 ⎢tgx=− 1 ⎢ ⎢ ⎢ π ⇔=⎢sin x− 1 ⇔=−+πxk2k()∈Z ⎢ 2 ⎢ 1 ⎢ ⎢sin x = ππ5 ⎣ 2 ⎢xk2xk2=+ π∨= + π ⎣⎢ 66 ⎛⎞π Cách khác: ( ) ⇔=−∨=tgx 1 cos 2x sin x = cos⎜⎟ − x ⎝⎠2 Bài 63: Giải phương trình: 4 cos3 x+= 3 2 sin 2x 8cos x( *) Ta có: (*) ⇔ 4 cos3 x+− 6 2 sin x cos x 8cos x= 0 ⇔+−cos x() 2cos2 x 3 2 sin x 4= 0 ⇔−+−cos x⎡⎤ 2 1 sin2 x 3 2 sin x 4= 0 ⎣⎦( ) ⇔=∨−cos x 0 2sin2 x 3 2 sin x += 2 0 ⎡cos x= 0 ⎢ 2 ⇔=⎢sin x ⎢ 2 ⎢ ⎣⎢sin x= 2() vô nghiệm ππ2 ⇔=+π∨x k sin x = = sin 224 ππ3 π ⇔=+π∨=+π∨=+π∈xkxk2xk2k()Z 24 4 Bài 64: Giải phương trình: ⎛⎞⎛⎞ππ cos⎜⎟⎜⎟ 2x++ cos 2x −+ 4 sin x =+ 2 2() 1 − sin x() * ⎝⎠⎝⎠44 π (*) ⇔+=2cos2x.cos 4 sin x 2+− 2() 1 sin x 4 ⇔−21( 2sinx2 ) ++( 4 2sinx) −−= 2 2 0 ⇔−++=2 2 sin2 x() 4 2 sin x 2 0 ⎡sin x= 2() loại 2 ⎢ ⇔−++2sin x() 2 2 1 sinx 2= 0 ⇔ 1 ⎢sin x = ⎣⎢ 2 ππ5 ⇔=+xk2hayxk2,k π = + π∈] 66 www.MATHVN.com
MATHVN.COM Bài 65: Giải phương trình : 3 cot g22 x+=+ 2 2 sin x( 2 3 2) cos x() * Điều kiện: sin x≠⇔ 0 cos x ≠± 1 Chia hai vế (*) cho sin2 x ta được: cos2 x cos x ⇔+=+ ≠ (*) 32223242() và sin x 0 sin x sin x cos x Đặt t = ta được phương trình: sin2 x 3t2 −+() 2 3 2 t + 2 2 = 0 2 ⇔=t2t ∨= 3 2 cos x 2 * Với t = ta có: = 3 sin2 x 3 ⇔=−3cos x 2() 1 cos2 x ⇔+−=2cos2 x 3cosx 2 0 ⎡cos x=− 2() loại ⎢ ⇔ 1 ⎢cos x=≠() nhận do cos x± 1 ⎣⎢ 2 π ⇔=±+xk2k π() ∈Z 3 cos x * Với t= 2 ta có: = 2 sin2 x ⇔=−cos x 2() 1 cos2 x ⇔+−=2 cos2 x cos x 2 0 ⎡cos x=− 2() loại ⎢ ⇔ ⎢ 2 ⎢cos x= () nhận do cos x≠± 1 ⎣ 2 π ⇔=±+xk2,k π∈] 4 4sin22 2x+−− 6sin x 9 3cos2x Bài 66: Giải phương trình: = 0*() cos x Điều kiện: cos x≠ 0 Lúc đó: (*) ⇔+−−4 sin22 2x 6sin x 9 3cos 2x= 0 www.MATHVN.com
MATHVN.COM ⇔−4() 1 cos2 2x +− 3() 1 cos 2x −− 9 3cos 2x = 0 ⇔++=4cos2 2x 6cos2x 2 0 1 ⇔=−∨=−cos2x 1 cos2x 2 1 ⇔2cos22 x − 1 =− 1 ∨ 2cos x − 1 =− 2 ⎡cos x= 0() loại dođiều kiện ⎢ ⇔ ⎢ 1 cos x=± () nhận do cos x≠ 0 ⎣⎢ 2 ππ2 ⇔=±+xk2xk2k π∨=±+ π() ∈Z 33 12 Bài 67: Cho f() x=+ sin x sin 3x + sin 5x 35 Giải phương trình: f'() x= 0 Ta có: f'() x= 0 ⇔+cos x cos 3x + 2cos5x = 0 ⇔+++=()cos x cos5x() cos 3x cos5x 0 ⇔+=2cos3xcos2x 2cos4xcosx 0 ⇔−()()4 cos32 x 3cos x cos 2x + 2cos 2x − 1 cos x= 0 ⇔−+−⎡⎤4 cos22 x 3 cos 2x 2 cos 2x 1 cos x= 0 ⎣⎦() ⎡⎡⎤2() 1+− cos 2x 3 cos 2x + 2 cos2 2x −= 1 0 ⇔ ⎢⎣⎦ ⎣⎢cos x= 0 ⎡4cos2 2x−−= cos2x 1 0 ⇔ ⎢ ⎣cos x= 0 117± ⇔=cos 2x ∨=cos x 0 8 117+−117 ⇔=cos2x =α∨=cos cos2x =β∨cos cosx= 0 88 αβπ ⇔=±+π∨=±+π∨=+π∈xkxkxkkZ() 222 17 Bài 68: Giải phương trình: sin88 x+= cos x cos 2 2x() * 16 Ta có: www.MATHVN.com
MATHVN.COM 2 sin88 x+= cos x() sin 44 x + cos x − 2sin 44 x cos x 2 2 ⎡⎤22 221 4 =+−sin x cos x 2sin x cos x − sin 2x ⎣⎦⎢⎥() 8 2 ⎛⎞1124 =−⎜⎟1sin2xsin2x − ⎝⎠28 1 =−1sin2xsin2x24 + 8 Do đó: ⎛⎞241 2 ()*⇔− 16⎜⎟ 1 sin 2x + sin 2x =− 17() 1 sin 2x ⎝⎠8 ⇔+−=2sin42 2x sin 2x 1 0 2 ⎡sin 2x=− 1() loại ⎢ 11 ⇔⇔1 ()1cos4x−= ⎢sin2 2x = 22 ⎣⎢ 2 π ⇔=⇔=+∈cos 4x 0 x() 2k 1 ,() k Z 8 5x x Bài 69: Giải phương trình: sin= 5cos3 x.sin() * 22 x Nhận xét thấy: cos=⇔=π+π⇔ 0 x k2 cos x =− 1 2 Thay vào (*) ta được: ⎛⎞5π ⎛π⎞ sin⎜⎟+π=− 5k 5.sin ⎜ +π k ⎟, không thỏa ∀k ⎝⎠22 ⎝⎠ x Do cos không là nghiệm của (*) nên: 2 5x x x x x ()*⇔= sin .cos 5 cos2 x.sin cos và cos≠ 0 22 22 2 15 x ⇔+=()sin 3x sin 2x cos3 x.sin x và cos≠ 0 22 2 x ⇔−3sin x 4 sin33 x + 2sin x cos x = 5cos x.sin x và cos≠ 0 2 ⎧ x ⎪cos≠ 0 ⇔ ⎨ 2 ⎪ 23 ⎩34sinx2cosx5cosxsinx0−+=∨= ⎧ x cos≠ 0 ⎪ 2 ⇔ ⎨ x ⎪5cos32 x−−+=∨ 4cos x 2cosx 1 0 sin= 0 ⎩⎪ 2 www.MATHVN.com
MATHVN.COM ⎧cos x≠− 1 ⎪ ⇔ ⎨ x ()cos x− 1 5cos2 x+−=∨= cos x 1 0 sin 0 ⎩⎪ ()2 ⎧cos x≠− 1 ⎪ ⎪⎡ ⎪⎢cos x= 1 ⎪⎢ ⇔ ⎨⎢ −+121 cos x = =αcos ⎪⎢ 10 ⎪⎢ ⎪⎢ −−121 ⎪ cos x = =βcos ⎩⎣⎢ 10 ⇔=xk2hayx π =±α+π k2hayx =±β+π k2,kZ( ∈) Bài 70: Giải phương trình: sin 2x( cot gx+= tg2x) 4 cos2 x( *) Điều kiện: cos2x≠ 0 và sin x≠ 0⇔≠∧ cos 2x 0 cos 2x≠ 1 cos x sin 2x Ta có: cot gx+= tg2x + sin x cos 2x cos2x cos x+ sin 2x sin x = sin x cos 2x cos x = sin x cos 2x ⎛⎞cos x 2 Lúc đó: (*) ⇔=2sinx.cosx⎜⎟4cos x ⎝⎠sin x cos 2x cos2 x ⇔=2cos2 x cos 2x ⇔+=()cos2x 1 2cos2x () cos2x + 1 ⇔+==()cos 2x 1 0 hay 1 2 cos 2x 1 ⇔=−∨=cos 2x 1 cos 2x() nhận do cos 2x≠ 0 và cos 2x ≠ 1 2 π ⇔=π+π∨=±+π∈2x k2 2x k2 , k ] 3 ππ ⇔=+π∨=±+π∈xkxk,k] 26 6x 8x Bài 71: Giải phương trình: 2cos2 += 1 3cos() * 55 ⎛⎞⎛12x 2 4x ⎞ Ta có : (*) ⇔ ⎜⎟⎜1++= cos 1 3 2cos− 1⎟ ⎝⎠⎝55⎠ 324x 4x⎛⎞ 4x ⇔ 2+−= 4cos 3cos 3⎜⎟ 2cos− 1 55⎝⎠ 5 www.MATHVN.com
MATHVN.COM 4 Đặt t=≤ cos x() điều kiện t 1 5 Ta có phương trình : 4t32−+= 3t 2 6t − 3 ⇔−−+=4t32 6t 3t 5 0 ⇔−()t 1() 4t2 −−= 2t 5 0 121121−+ ⇔=∨=t1t ∨= t() lọai 44 Vậy 4x 4x •=⇔=πcos 1 2k 55 5kπ ⇔=xk() ∈Z 2 4x 1− 21 •=cos =α<α<cos() với 0 2π 54 4x ⇔=±α+πA2 5 55απA ⇔=±+x,Z()A ∈ 42 3 ⎛⎞π Bài 72 : Giải phương trình tg⎜⎟ x−=− tgx 1() * ⎝⎠4 π π Đặt tx=− ⇔= x + t 44 3 ⎛⎞π+1tgt (*) thành : tg t=+−=− tg⎜⎟ t 1 1 với cos t ≠∧≠ 0 tgt 1 ⎝⎠41tgt− 2tgt ⇔=tg3 t 1tgt− ⇔−=tg34 t tg t 2tgt ⇔−+=tgt() tg32 t tg t 2 0 ⇔+−+=tgt() tgt 1() tg2 t 2tgt 2 0 ⇔=∨=−tgt 0 tgt 1() nhận so điều kiện π ⇔=π∨=−+π∈tk t k,k] 4 Vậy (*) π ⇔=+πxkhayxk,k =π∈] 4 www.MATHVN.com
MATHVN.COM sin44 2x+ cos 2x Bài 73 : Giải phương trình = cos4 4x (*) ⎛⎞⎛⎞ππ tg⎜⎟⎜⎟−+ x tg x ⎝⎠⎝⎠44 Điều kiện ⎧⎧⎛⎞⎛⎞ππ ⎛ π ⎞ ⎪⎪sin⎜⎟⎜⎟−−≠− x cos x 0 sin ⎜ 2x ⎟≠ 0 ⎪⎝44 ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎝ 2 ⎠ ⎨⎨⇔ ⎪⎪⎛⎞⎛⎞ππ ⎛ π ⎞ sin⎜⎟⎜⎟++≠+ x cos x 0 sin ⎜ 2x ⎟≠ 0 ⎩⎩⎪⎪⎝⎠⎝⎠44 ⎝ 2 ⎠ ⇔≠⇔≠cos2x 0 sin 2x± 1 Do : ⎛⎞⎛⎞ππ−+1 tgx 1 tgx tg⎜⎟⎜⎟−+= x tg x .= 1 ⎝⎠⎝⎠4 4 1+− tgx 1 tgx Khi cos2x≠ 0 thì : ()*⇔+ sin44 2x cos 2x = cos 4 4x ⇔−12sin2xcos2xcos4x22= 4 1 ⇔−1sin4xcos4x24 = 2 1 ⇔−11cos4xcos4x() −24 = 2 ⇔−−=2cos42 4x cos 4x 1 0 ⎡cos2 4x= 1 ⎢ 2 ⇔⇔1 1sin4x1−= ⎢cos2 4x=− () vô nghiệm ⎣⎢ 2 ⇔=sin 4x 0 ⇔=2sin2xcos2x 0 ⇔=sin 2x 0() do cos2x ≠ 0 π ⇔=π∈⇔=2x k ,k] x k ,k∈] 2 12 Bài 74 :Giải phương trình: 48−−()1 + cot g2x cot gx = 0( *) cos42 x sin x Điều kiện : sin 2x≠ 0 Ta có : cos2x cos x 1+= cot g2x cot gx 1+ . sin 2x sin x sin 2xsin x+ cos2x cosx = sin xsin 2x cos x 1 ==()do cos x≠ 0 2sin22 xcosx 2sin x 11 Lúc đó (*) ⇔ 48 −−=0 cos44 x sin x www.MATHVN.com
MATHVN.COM 11sinxcos44+ x ⇔=48 + = cos44 x sin x sin 44 x cos x ⇔=+48sinxcosx44 sinxcosx 4 4 ⇔=−3sin42 2x 1 2sin xcos2 x 1 ⇔+−=3sin42 2x sin 2x 1 0 2 ⎡ 2 sin2 x=− () lọai ⎢ 3 ⇔ ⎢ 1 ⎢sin2 x=≠() nhận do 0 ⎣⎢ 2 11 ⇔−()1cos4x = 22 ⇔=cos 4x 0 π ⇔=+π4x k 2 ππk ⇔=+xk() ∈Z 84 Bài 75 : Giải phương trình 5 sin8 x+= cos8 x 2() sin10 x + cos10 x + cos2x() * 4 Ta có : (*) 5 ⇔−()sin81 x 2sin0 x +−() cos 8 x 2 cos 10 x = cos2x 4 5 ⇔−−−+=sin8282 x()() 1 2sin x cos x 1 2 cos x cos2x 4 5 ⇔−=sin88 x.cos2x cos x cos2x cos2x 4 ⇔−=4cos2x() sin88 x cos x 5cos2x ⇔=cos2x 0 hay 4() sin88 x − cos x = 5 ⇔=cos2x 0 hay 4() sin4444 x − cos x( sin x + cos x)= 5 ⎛⎞1 2 ⇔=cos2x0hay41⎜⎟ − sin2x = 5 ⎝⎠2 ⇔=−cos2x 0 hay 2sin2 2x = 1(Vô nghiệm ) π ⇔=+π∈2x k ,k ] 2 ππk ⇔=+x,k ∈] 42 Cách khác: Ta có 4sinx( 88− cosx) = 5 vô nghiệm www.MATHVN.com
MATHVN.COM Vì ()sin88 x− cos x≤∀ 1, x nên 4sinx( 88− cosx) ≤<∀ 4 5,x Ghi chú : Khi gặp phương trình lượng giác dạng R(tgx, cotgx, sin2x, cos2x, tg2x) với R hàm hữu tỷ thì đặt t = tgx 2t 2t 1− t2 Lúc đó tg2x=== ,sin 2x ,cos2x 1t− 22 1t++ 1t2 Bài 76 : (Để thi tuyển sinh Đại học khối A, năm 2003) Giải phương trình cos 2x 1 cot gx−= 1 +sin2 x − sin 2x() * 1tgx+ 2 Điều kiện : sin 2x≠≠ 0 và tgx− 1 Đặt t = tgx thì (*) thành : 1t− 2 2 1111t+ 2 ⎡⎤− t12t −=11. +⎢⎥ −22 − t1t21t21++⎣⎦+t 1t−− 1t 12t2 t ⇔= +.d −()ot ≠−1 t 1t+++222 21t 1t 2 1t−−+ t2 2t1 ()1t− ⇔=22 = t1t1t++ ⇔−()1t1t() +2 =−() 1tt2 ⎡1t−= 0 ⎡t=≠ 1() nhận do t− 1 ⇔⇔ ⎢ 2 ⎢ 2 ⎣1t+=−() 1tt ⎣⎢2t−+= t 1 0() vô nghiệm π Vậy (*) ⇔ tgx=⇔ 1 x = +π k() nhận do sin 2x=≠ 1 0 4 Bài 77 : Giải phương trình: sin 2x+= 2tgx 3( *) Điều kiện : cos x≠ 0 Đặt t = tgx thì (*) thành : 2t +=2t 3 1t+ 2 ⇔+2t() 2t − 3() 1 + t2 = 0 ⇔−+−=2t32 3t 4t 3 0 ⇔−()t12tt3()2 −+= 0 ⎡t1= ⇔ ⎢ 2 ⎣2t−+ t 3 = 0() vô nghiệm π Vậy (*) ⇔=⇔=+π∈ tgx 1 x k() k Z 4 www.MATHVN.com
MATHVN.COM Bài 78 : Giải phương trình 2 cot gx−+ tgx 4 sin 2x = () * sin 2x Điều kiện : sin 2x≠ 0 2t Đặt ttgxthì:sin2x== dosin2x0nênt0 ≠≠ 1t+ 2 18t1t1+ 2 (*) thành : −+tt = = + t1ttt+ 2 8t ⇔=2t 1t+ 2 4 ⇔=1dot0() ≠ 1t+ 2 ⇔ t2 =⇔=± 3 t 3() nhận do t≠ 0 ⎛⎞π Vậy (*) ⇔=± tgx tg ⎜⎟ ⎝⎠3 π ⇔=±+π∈xk,k] 3 Bài 79 : Giải phương trình ()1tgx1sin2x1tgx*−+( ) =+( ) Điều kiện : cos x≠ 0 Đặt = tgx thì (*) thành : ⎛⎞2t ()1t1−+⎜⎟2 =+ 1t ⎝⎠1t+ ()t1+ 2 ⇔−()1t =+ 1t 1t+ 2 ⎡t1=− ⎡t1=− ⇔⇔⎢ ()()1t1t−+ ⎢ 22 ⎢ = 1 ⎣1t− =+ 1t ⎣⎢ 1t+ 2 ⇔=−∨=t1t0 ⎡tgx=− 1 π Do đó (*) ⇔ ⎢ ⇔=−+πx k hay x =π∈ k , k ] ⎣tgx= 0 4 Bài 80 : Cho phương trình cos 2x−+( 2m 1) cos x ++= m 1 0( *) 3 a/ Giải phương trình khi m = 2 ⎛⎞π 3π b/ Tìm m để (*) có nghiệm trên ⎜⎟, ⎝⎠22 Ta có (*) 2cos2 x−+() 2m 1 cosx += m 0 www.MATHVN.com
MATHVN.COM ⎪⎧tcosxt=≤()[ ] 1 ⇔ ⎨ 2 ⎩⎪2t−++=() 2m 1 t m 0 ⎧tcosxt=≤()[ ] 1 ⎪ ⇔ ⎨ 1 ⎪ttm=∨= ⎩ 2 3 a/ Khi m= , phương trình thành 2 13 cosx=∨ cosx =() loại 22 π ⇔=±+xk2kZ π() ∈ 3 ⎛⎞ππ3 b/ Khi x∈=⎜⎟ , thì cos x t∈ [− 1, 0) ⎝⎠22 1 Do t=∉−[] 1, 0 nên 2 ⎛⎞ππ3 ()* có nghiệm trên⎜⎟ ,⇔∈− m⎣⎡ 1, 0) ⎝⎠22 Bài 81 : Cho phương trình ()cos x+−= 1( cos 2x m cos x) m sin2 x( *) a/ Giải (*) khi m= -2 ⎡ 2π⎤ b/ Tìm m sao cho (*) có đúng hai nghiệm trên 0, ⎣⎢ 3 ⎦⎥ Ta có (*)⇔+( cos x 1)( 2cos22 x −−=− 1 m cos x) m( 1 cos x) 2 ⇔ ()cos x+−−−− 1⎡⎤⎣⎦ 2cos x 1 m cos x m() 1 cos x= 0 ⇔+()cos x 1() 2cos2 x −−= 1 m 0 a/ Khi m = -2 thì (*) thành : ()cos x++= 1( 2 cos2 x 1) 0 ⇔ cosx = -1 ⇔=π+πxk2kZ() ∈ ⎡⎤21π ⎡ ⎤ b/ Khix∈= 0, thìcosx t∈− ,1 ⎣⎦⎢⎥32 ⎣⎢ ⎦⎥ ⎡ 1 ⎤ Nhận xét rằng với mỗi t trên − ,1 ta chỉ tìm được duy nhất một x trên ⎣⎢ 2 ⎦⎥ ⎡⎤2π 0, ⎣⎦⎢⎥3 ⎡⎤1 Yêu cầu bài toán ⇔−−=2t2 1 m 0 có đúng hai nghiệm trên − ,1 ⎣⎦⎢⎥2 www.MATHVN.com
MATHVN.COM Xét y2t1Pvàymd=−2 () =( ) Ta có y’ = 4t ⎡ 2π⎤ Vậy (*) có đúng hai nghiệm trên 0, ⎣⎢ 3 ⎦⎥ ⎡ 1 ⎤ ⇔ (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt trên − ,1 ⎣⎢ 2 ⎦⎥ 1 ⇔ −<1m ≤ 2 2 Bài 82 : Cho phương trình ()1atgx−−++=2 13a01() cos x 1 a/ Giải (1) khi a = 2 ⎛⎞π b/ Tìm a để (1) có nhiều hơn một nghiệm trên ⎜⎟0, ⎝⎠2 π Điều kiện : cos x≠⇔≠ 0 x +π k 2 ()11asinx2cosx13acosx0⇔− ( ) 22 − ++( ) = ⇔−()1a1cosx2cosx13acosx0() −22 − ++() = ⇔−+−=4a cos2 x 2cos x 1 a 0 ⇔−−−=a4cosx()2 1() 2cosx1 0 ⇔−()()2cosx 1⎣⎦⎡⎤ a 2cosx +−= 1 1 0 1 ⎛⎞1 a/ Khi a = thì (1) thành : ()2cosx− 1⎜⎟ cosx−= 0 2 ⎝⎠2 1 π ⇔==cos x cos() nhận do cos x≠ 0 23 π ⇔=±+xk2kZ π() ∈ 3 ⎛π ⎞ b/ Khi x0,∈ ⎜⎟ thì cos x=∈ t( 0,1) ⎝⎠2 www.MATHVN.com
MATHVN.COM ⎡ 1 cos x== t ∈() 0,1 Ta có : (1) ⇔ ⎢ 2 ⎢ ⎣⎢2a cos x=− 1 a() 2 ⎧ ⎪a0≠ ⎪ ⎧⎫11a⎪ − Yêu cầu bài toán ⇔ (2) có nghiệm trên ()0,1 \⎨⎬⇔ ⎨ 0 0 ⎪ ⇔ 13a− 3 1 ⎪⎪⎪< 0 a ≠ ⎪⎪2a 1 ⎩⎪ 2 ⎪⎪a ≠ ⎩21()−≠ a 2a ⎩ 2 1 Cách khác : dặt u = , điều kiện u ≥1; pt thành cos x ()1a(u1)2u13a0−−−++=⇔−−+22( 1au) 2u4a0= ⇔−(u 2)[(1 − a)u − 2a] = 0 Bài 83 : Cho phương trình : cos4x+= 6sin x cos x m( 1) a/ Giải (1) khi m = 1 ⎡ π⎤ b/ Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt trên 0, ⎣⎢ 4⎦⎥ Ta có : (1) ⇔ 1−+ 2 sin2 2x 3sin 2x= m ⎪⎧tsin2xt1=≤( ) ⇔ ⎨ 2 ⎩⎪2t−+−= 3t m 1 0() 2 a/ Khi m = 1 thì (1) thành ⎧tsin2xt1=≤( ) ⎧⎪⎪tsin2xt1=≤() ⎨⎨⇔ 2 3 ⎩⎪2t−= 3t 0 ⎪t0t=∨=() loại ⎩ 2 kπ ⇔=⇔=sin 2x 0 x 2 ⎡⎤π b/ Khi x0,thìsin2xt0,1∈=∈[] ⎣⎦⎢⎥4 Nhận thấy rằng mỗi t tìm được trên [0,1] ta chỉ tìm được duy nhất một ⎡⎤π x0,∈ ⎣⎦⎢⎥4 Ta có : (2) ⇔ −++=2t2 3t 1 m Xét y2t3t1trên0,1=−2 + + [ ] www.MATHVN.com
MATHVN.COM Thì y'=− 4t + 3 Yêu cầu bài toán ⇔ (d) y = m cắt tại hai điểm phân biệt trên [0,1] 17 ⇔≤2m 0, nên ta có ⎧Δ=17 − 8m > 0 ⎪ fm()01= −≥0 ⎪ 17 Yêu cầu bài toán ⇔ ⎨ fm()12= −≥0⇔≤2m < ⎪ 8 S 3 ⎪ 01≤=≤ ⎩⎪ 24 Bài 84 : Cho phương trình 4 cos552 x.sin x−=+ 4 sin x cos x sin 4x m( 1) a/ Biết rằng x =π là nghiệm của (1). Hãy giải (1) trong trường hợp đó. π b/ Cho biết x =− là một nghiệm của (1). Hãy tìm tất cả nghiệm của (1) thỏa 8 x3x242−+<0 (1)⇔− 4 sin x cos x() cos44 x sin x= sin 2 4x+ m ⇔−+=2sin 2x cos2222 x sin x cos x sin x sin 2 4x+ m ()() ⇔=+2sin 2x.cos2x sin2 4x m ⇔−+=sin2 4x sin 4x m 0 ()1 a/ x =π là nghiệm của (1) ⇒π−π+sin2 4 sin 4 m = 0 ⇒=m0 Lúc đó (1) ⇔ sin 4x() 1−= sin 4x 0 ⇔=∨=sin 4x 0 sin 4x 1 π ⇔=π∨=+π4x k 4x k2 2 kkπππ ⇔=xx ∨= +() k ∈Z 482 ⎧⎪tx=≥2 0 ⎧tx= 2 ≥ 0 b/ x3x2042−+<⇔ ⇔ ⎨⎨2 ⎪⎩t3t20−+< ⎩1t2<< www.MATHVN.com
MATHVN.COM ⇔<1x2 < 2 ⇔ 1 < x < 2 ⇔−<<−∨<<2x 11x 2*() ππ⎛⎞ xthìsin4xsin=− =⎜⎟ − =−1 82⎝⎠ π x=− là nghiệm của() 1⇒ 1 + 1 + m = 0 8 ⇒=−m2 Lúc đó (1) thành : sin2 4x− sin 4x−= 2 0 ⎪⎧tsin4xvớit1=≤() ⇔ ⎨ 2 ⎩⎪tt20−− = ⎪⎧tsin4xvớit1=≤() ⇔ ⎨ ⎩⎪t1t2loại=− ∨ = () ⇔=−sin 4x 1 π ⇔=−+4x k2π 2 ππk ⇔=−+x 82 Kết hợp với điều kiện (*) suy ra k = 1 π π3π Vậy (1) có nghiệm x =− + = thỏa x3x242− +<0 82 8 Bài 85 : Tìm a để hai phương trình sau tương đương 2cos x.cos2x=+ 1 cos 2x + cos 3x ()1 4 cos2 x−= cos3x a cos x +−+()()( 4 a 1 cos2x 2) Ta có : (1) ⇔+=++ cos 3x cos x 1 cos 2x cos 3x ⇔=+−cos x 1() 2cos2 x 1 ⇔−cos x() 1 2cos x = 0 1 ⇔=∨=cos x 0 cos x 2 Ta có : (2) ⇔− 4 cos23 x( 4 cos x −=+− 3 cos x) a cos x() 4 a 2 cos2 x ⇔+−−=4 cos32 x() 4 2a cos x () a 3 cos x 0 ⎡cos x= 0 ⇔ ⎢ 2 ⎣⎢4cosx22acosxa30+() − +−= ⎛⎞1 ⇔=cosx 0 hay⎜⎟ cosx −[] 2cosx +−= 3 a 0 ⎝⎠2 1a− 3 ⇔=∨=∨=cos x 0 cos x cos x 22 www.MATHVN.com
MATHVN.COM Vậy yêu cầu bài toán ⎡a3− = 0 ⎢ 2 ⎢ ⎡a3= a3− 1 ⇔=⎢ ⇔=⎢a4 ⎢ 22 ⎢ ⎢a1a5 ⎢a3−− a3 ⎣ ⎢ ⎣⎢ 22 Bài 86 : Cho phương trình : cos4x = cos23x + asin2x (*) a/ Giải phương trì nh khi a = 1 ⎛⎞π b/ Tìm a để (*) có nghiệm trên ⎜⎟0, ⎝⎠12 1a Ta có : ()*⇔=++− cos4x() 1 cos6x() 1 cos2x 22 ⇔−=+−+−2() 2cos23 2x 1 1 4 cos 2x 3cos 2x a() 1 cos 2x ⎧ ⎪tcos2x=≤() t1 ⇔ ⎨ 22t23−=+ 1 1 4t −+ 3ta1 − t ⎩⎪ () () ⎪⎧tcos2x=≤() t1 ⇔ ⎨ 32 ⎩⎪−+4t 4t +−=− 3t 3 a() 1 t ⎧ ⎪1cos2x=≤() t 1 ⇔ ⎨ t1−− 4t32 += a1t − ⎩⎪()()()() a/ Khi a = 1 thì (*) thành : ⎧ ⎪⎪tcos2xt1=≤() ⎧tcos2xt1= ()≤ ⎨⎨⇔ t1−−+= 4t42 0 t1=± ⎩⎪()()⎩⎪ ⇔=±⇔=cos 2x 1 cos2 2x 1 kπ ⇔=⇔=π⇔=∈sin 2x 0 2x k x ,() k Z 2 ⎛⎞ππ ⎛⎞ ⎛⎞3 b/ Ta có : x0,∈⇔∈⎜⎟ 2x0,.Vậycos2xt ⎜⎟ =∈⎜⎟ ,1 ⎝⎠12 ⎝⎠6 ⎝⎠2 Vậy ( )⇔−+=−() t-1() 4t2 3 a() 1 t ⇔−=4t2 3 a() do t ≠ 1 2 ⎛⎞3 Xét y4t3Ptrên,1=−() ⎜⎟ ⎝⎠2 ⎛⎞3 ⇒=>∀∈y' 8t 0 t⎜⎟ ,1 ⎝⎠2 www.MATHVN.com
MATHVN.COM ⎛⎞π ⎛⎞3 Do đó (*) có nghiệm trên ⎜⎟0,⇔=() d : y a cắt () P trên⎜⎟ ,1 ⎝⎠22⎝⎠ ⎛⎞3 ⇔<<yay⎜⎟ ()1 ⎝⎠2 ⇔<<0a1 BÀI TẬP 1. Giải các phương trình sau : a/ sin4x = tgx 44⎛⎞ππ4 ⎛⎞9 b/ sin x+++− sin x⎜⎟ x sin ⎜⎟ x = ⎝⎠44 ⎝⎠8 c/ tgx+= cot gx 4 sin x() 3 2−−− 2 cos x 2sin2 x 1 d/ = 1 1sin2x− e/ 4 cos4 x+= 3 2 sin 2x 8cos x 11 2 f/ += cos x sin 2x sin 4x ⎛⎞π g/ sin 2x+− 2 sin⎜⎟ x= 1 ⎝⎠4 ⎛⎞⎛⎞π π h/ 2()() 2sinx−= 1 4 sinx −− 1 cos⎜⎟⎜⎟ 2x + − sin 2x + ⎝⎠⎝⎠44 4x k/ cos= cos2 x 3 x l/ tg .cos x+= sin 2x 0 2 m/ 13+=tgx2sin2x n/ cot gx=+ tgx 2tg2x 3x 4x p/ 2cos2 += 1 3cos 55 q/ 3cos4x−= 2cos2 3x 1 3x r/ 2cos2 += 1 3cos2x 2 x s/ cos x+= tg 1 2 t/ 3tg2x−= 4tg3x tg2 3x.tg2x 3 u/ cos x.cos 4x++ cos2x.cos 3x cos2 4x = 2 3 v/ cos22 x+++ cos 2x cos 2 3x cos 2 4x = 2 w/ sin 4x= tgx www.MATHVN.com
MATHVN.COM 13 x/ cos66 x+= sin x cos 2 2x 8 ⎛⎞3x1ππ ⎛ 3x⎞ y/ sin ⎜⎟−=sin ⎜ +⎟ ⎝⎠10 2 2 ⎝ 10 2 ⎠ 2. sin66 x+= cos x a sin 2x ( 1 ) a/ Giải phương trình khi a = 1. 1 b/ Tìm a để (1) có nghiệm (ĐS : a ≥ ) 4 3. Cho phương trình cos66 x+ sin x = 2mtg2x() 1 cos22 x− sin x 1 a/ Giải phương trình khi m = 8 1 b/ Tìm m sao cho (1) có nghiệm (ĐS : m ≥ ) 8 4. Tìm m để phương trình sin 4x=≠ mtgx có nghiệm x kπ ⎛⎞1 ⎜⎟ĐS :−< m < 4 ⎝⎠2 5. Tìm m để phương trình : cos3x−+ cos2x m cos x − 1= 0 ⎛π ⎞ có đúng 7 nghiệm trên ⎜− ,2π⎟ (ĐS :1< m< 3) ⎝⎠2 6. Tìm m để phương trình : 4() sin44 x+ cos x−+− 4( sin 66 x cos x) sin 2 4x= m có nghiệm ⎛⎞1 ⎜⎟ĐS :− ≤≤ m 1 ⎝⎠8 7. Cho phương trình : 6sin22 x−= sin x m cos 2 2x (1) a/ Giải phương trình khi m = 3 b/ Tìm m để (1) có nghiệm (ĐS :m≥ 0) 8. Tìm m để phương trình : m (2m+ 1) sin42 x++ cos 4x sin 4x − sin x= 0 44 ⎛⎞π π có hai nghiệm phân biệt trên ⎜⎟, ⎝⎠42 ⎛⎞1 ⎜⎟ĐS :2 5−< 4 m < ⎝⎠2 9. Tìm m để phương trình : sin66 x+= cos x m() sin 44 x + cos x có nghiệm www.MATHVN.com
MATHVN.COM ⎛⎞1 ⎜⎟ĐS :≤≤ m 1 ⎝⎠2 10. Cho phương trình : cos 4x=+ cos22 3x a sin x ⎛⎞π Tìm a để phương trình có nghiệm x0,∈ ⎜⎟ ⎝⎠2 (ĐS :0< a< 1) www.MATHVN.com
MATHVN.COM CHƯƠNG IV PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SIN VÀ COSIN ( PHƯƠNG TRÌNH CỔ ĐIỂN ) asinu+= bcosu c() * .() a,b ∈ R\ 0 Cách 1 : Chia 2 vế phương trình cho ab22+ ≠ 0 ab Đặt cos α= và sin α= vớiα∈[] 0,2 π ab22++ab22 c Thì ()*⇔α+α= sin u cos cos u sin ab22+ c ⇔+α=sin() u ab22+ Cách 2 : Nếu u=π+k2 π là nghiệm của (*) thì : asinπ+ bcos π= c ⇔− b = c u Nếu u≠π+k2 π đặt ttg= thì (*) thành : 2 2t 1− t2 ab+=c 1t++22 1t ⇔+()b c t2 − 2at +−= c b 0( 1)( với b +≠ c 0) Phương trình có nghiệm ⇔ Δ='a2 −( cbcb +)( −) ≥ 0 ⇔≥−⇔+≥acb222 abc 222 u Giải phương trình (1) tìm được t. Từ ttg= ta tìm được u. 2 ⎛26ππ⎞ Bài 87 : Tìm x,∈ ⎜⎟ thỏa phương trình : cos7x−=− 3 sin7x 2() * ⎝⎠57 Chia hai vế của (*) cho 2 ta được : 13 2 ()*cos7xsin7x⇔− =− 22 2 ππ2 ⇔−sin cos7x+ cos sin7x = 662 ⎛⎞ππ ⇔−=sin⎜⎟ 7x sin ⎝⎠64 ππ π3 π ⇔−=+π7x k2 hay 7x −=+h2π, (k, h∈ Z) 64 6 4 5k2ππ 11h2 ππ ⇔=xh +ayx = + ,k,h ∈] 84 7 84 7 ⎛26π π ⎞ Do x,∈ ⎜⎟ nên ta phải có : ⎝⎠57 www.MATHVN.com
MATHVN.COM 25k26ππ ππ 211h26 π π ππ <+ <hay < + <( k, h ∈] ) 5847 7 5 847 7 25k26 211h26 ⇔< + <hay < + <( k, h ∈] ) 5847 7 5847 7 Suy ra k = 2, h1,2= 5π 4ππ 53 11 2π 35 Vậy x =+=π∨=+=x π 84 7 84 84 7 84 11ππ 4 59 ∨=x + = π 84 7 84 Bài 88 : Giải phương trình 3sin3x−=+ 3cos9x 1 4sin3 3x( *) Ta có : ()*⇔ () 3sin 3x−− 4 sin3 3x 3 cos 9x= 1 ⇔−sin 9x 3 cos 9x= 1 131 ⇔−sin 9x cos 9x = 22 2 ⎛⎞ππ1 ⇔−==sin⎜⎟ 9x sin ⎝⎠32 6 ππ π5 π ⇔9x −=+ k2 π hay 9x −= +k2 π , k ∈] 36 3 6 ππk2 7 ππ k2 ⇔=xh +ayx, = +k ∈] 18 9 54 9 Bài 89 : Giải phương trình ⎛⎞1 tgx−−+ sin 2x cos 2x 2⎜⎟ 2cos x − =0() * ⎝⎠cos x Điều kiện : cos x≠ 0 sin x 2 Lúc đó : ()* ⇔−sin 2x − cos 2x + 4 cos x −= 0 cos x cos x ⇔−sin x sin 2x cos x − cos x cos 2x + 4 cos2 x −= 2 0 ⇔−sin x() 1 2cos2 x − cos x cos 2x + 2cos2x= 0 ⇔−sin x cos2x − cos x cos2x+ 2cos2x = 0 ⇔=−−+cos2x 0 hay sinx cosx 2= 0 ⎡cos 2x== 0() nhận do cos 2x 2 cos2 x− 1= 0 thì cos x≠ 0 ⇔ ⎢ ⎢sin x+= cos x 2 vô nghiệm vì 122+< 1 2 2 ⎣⎢ () π ⇔=2x() 2k + 1 , k ∈] 2 ππk ⇔=+x,k ∈] 42 www.MATHVN.com
MATHVN.COM 31 Bài 90 : Giải phương trình 8sinx =+()* cos x sin x Điều kiện : sin 2x≠ 0 Lúc đó (*) ⇔=8sin2 xcosx 3sinx+ cosx ⇔−41() cos2xcosx = 3sinx + cosx ⇔−4 cos 2x cos x= 3 sin x − 3 cos x ⇔−2() cos 3x + cos x = 3 sin x − 3 cos x 31 ⇔=−+cos 3x sin x cosx 22 ⎛⎞π ⇔=+cos 3x cos⎜⎟ x ⎝⎠3 ππ ⇔=++π∨=−−+3x x k2 3x x k2π 33 πππk ⇔=+π∨=−+xkx ,k ∈] 6122 Nhận so vớiđiều kiện sin 2x≠ 0 Cách khác : (*) ⇔=+8sin2 xcosx 3sinx cosx ( hiển nhiên cosx = 0 hay sinx = 0 không là nghiệm của pt này ) ⇔−8(1 cos2 x)cosx = 3sinx + cosx ⇔−8 cos x 8 cos3 x = 3 sin x + cos x ⇔−6 cos x 8 cos3 x = 3 sin x − cos x 13 ⇔−=−4 cos3 x 3 cos x cos x sin x 22 ⎛⎞π ⇔=+cos 3x cos⎜⎟ x ⎝⎠3 ππ ⇔=++π∨=−−+3x x k2 3x x k2π 33 πππk ⇔=+π∨=−+xkx ,k ∈] 6122 Bài 91 : Giải phương trình 9sin x+− 6cos x 3sin 2x += cos 2x 8( *) Ta có : (*) ⇔ 9sinx+− 6cosx 6sinxcosx +−( 1 2sin2 x) = 8 ⇔−6 cos x 6 sin x cos x − 2 sin2 x +− 9 sin x 7= 0 ⎛⎞7 ⇔−−−−6 cos x()() 1 sin x 2 sin x 1⎜⎟ sin x= 0 ⎝⎠2 www.MATHVN.com
MATHVN.COM ⎛⎞7 ⇔−1 sin x = 0 hay 6 cos x+ 2⎜⎟ sin x − = 0 ⎝⎠2 ⎡sin x= 1 ⇔ ⎢ 6 cos x+= 2 sin x 7 vô nghiệm do 6222+< 2 7 ⎣⎢ () π ⇔=+xk2,k π ∈] 2 Bài 92 : Giải phương trình: sin 2x+=+− 2cos 2x 1 sin x 4 cos x() * Ta có : (*) ⇔+−=+−2sinxcosx 2( 2cos2 x 1) 1 sinx 4cosx ⇔−++−=2sinxcosx sinx 4cos2 x 4cosx 3 0 ⎛⎞⎛⎞⎛⎞113 ⇔−+−+=2 sin x⎜⎟⎜⎟⎜⎟ cos x 4 cos x cos x 0 ⎝⎠⎝⎠⎝⎠222 1 ⇔−=cos x 0 hay 2 sin x + 4 cos x += 6 0 vô nghiệm do 2222+< 4 6 2 () π ⇔=±+xk2 π 3 Bài 93 : Giải phương trình 2sin2x−=+− cos2x 7sinx 2cosx 4( *) Ta có : (*) ⇔ 4 sin x cos x−−( 1 2sin2 x) = 7sin x + 2cos x − 4 ⇔−2 cos x( 2 sin x 1) +−+ 2 sin2 x 7 sin x 3= 0 ⎛⎞1 ⇔−2 cos x() 2 sin x 1+−− 2⎜⎟ sin x() sin x 3 ⎝⎠2 ⇔−2 cos x()()() 2 sin x 1+−− 2 sin x 1 sin x 3= 0 ⇔−=2 sin x 1 0 hay 2 cos x +−= sin x 3 0() vô nghiệm vì 1222+< 2 3 ππ5 ⇔=+π∨=+πxk2xk2,k ∈] 66 Bài 94 : Giải phương trình sin 2x−=+− cos 2x 3sin x cos x 2( *) Ta có (*) ⇔ 2sinxcosx−−( 1 2sin2 x) = 3sinx + cosx − 2 ⇔−+−+cos x() 2 sin x 1 2 sin2 x 3sin x 1= 0 ⇔−+−−cos x()()( 2 sin x 1 sin x 1 2 sin x 1)= 0 ⇔−=+−=2sinx 1 0 hay cosx sinx 1 0 1 ⎛⎞π ⇔=sin x hay 2 cos x⎜⎟ x−= 1 24⎝⎠ www.MATHVN.com
MATHVN.COM ππ5 ππ ⇔=+x k2 π∨= x + k2 π hay x −=±+k2 π , k ∈] 66 44 ππ5 π ⇔=+π∨=+πx k2 x k2 hay x =+π∨=π∈ k2 x k2 , k ] 66 2 Bài 95 : Giải phương trình 2 ⎛⎞π ()sin 2x+−=− 3 cos 2x 5 cos⎜⎟ 2x() * ⎝⎠6 Đặt t=+ sin 2x 3 cos2x , Điều kiện −+=−≤≤=+ab2222 t ab22 ⎛⎞13 ⎛⎞π Thì t=+= 2⎜⎟ sin 2x cos2x 2cos⎜⎟ 2x − ⎝⎠22 ⎝⎠6 Vậy (*) thành: t5 t522−= ⇔ 2tt100t −− =⇔= (loại)t ∨=−2 22 ⎛⎞π Do đó ()* ⇔ cos⎜⎟ 2x−=− 1 ⎝⎠6 π 7π ⇔−=π+π⇔=+2x k2 x kπ 612 Bài 96 : Giải phương trình 2cos3 x++= cos2x sinx 0( *) Ta có (*) ⇔ 2cos32 x+−+ 2cos x 1 sinx= 0 ⇔+−2cos2 x( cosx 1) 1+= sin x 0 ⇔−2() 1 sin2 x()() 1 + cosx −− 1 sin x = 0 ⇔−1 sin x = 0 hay 2()() 1 + sin x 1 + cosx −= 1 0 ⇔−1 sin x = 0 hay 1 + 2sin x cosx + 2(sin x + cosx) = 0 ⇔−1sinx0hay(sinxcosx)2(sinxcosx)0 = +2 + + = ⇔=sin x 1 haysin x += cosx 0 hay sin x ++= cosx 2 0( vô nghiệm do: 122+< 1 2 2) π π ⇔=sin x 1 hay tgx =− 1 ⇔ xk2hayxk2,k=+ π =−+π ∈] 24 1cos2x− Bài 97 : Giải phương trình 1+= cot g2x ()* sin2 2x Điều kiện : sin 2x≠⇔ 0 cos2x ≠± 1 Ta có (*) 1cos2x− 1 ⇔+1 cot g2x = = 1cos2x− 2 1cos2x+ 1 ⇔=cot g2x −1 1cos2x+ cos2x− cos2x ⇔= sin 2x 1+ cos2x www.MATHVN.com
MATHVN.COM ⎡cos2x=≠± 0() nhận do 1 ⎢ ⇔ 11− ⎢ = ⎣⎢sin 2x 1+ cos2x ⇔=∨+=−cos2x 0 1 cos2x sin2x ⇔=∨+=cos2x 0 sin2x cos2x− 1 ⎛⎞ππ1 ⎛⎞ ⇔=∨+=−=−cos2x 0 sin⎜⎟ 2x sin ⎜⎟ ⎝⎠442 ⎝⎠ πππππ5 ⇔=+π∨+=−+π∨+=+π∈2x k 2x k2 2x k2 ,k ] 24444 ππk π ⇔=+xxk2xk2loại, ∨==−+π∨=π+π()k ∈] 42 4 ππk ⇔=+x,k ∈] 42 Bài 98 : Giải phương trình 4sinx()44++ cosx 3sin4x = 2*( ) Ta có : (*) 2 ⇔+−4⎡⎤ sin22 x cos x 2sin 22 x cos x + 3 sin 4x= 2 ⎣⎦⎢⎥() ⎡⎤1 ⇔−4 1 sin2 2x + 3 sin 4x = 2 ⎣⎦⎢⎥2 ⇔+cos4x 3 sin 4x =− 1 131 ⇔+cos4x sin 4x =− 22 2 ⎛⎞ππ2 ⇔−=cos⎜⎟ 4x cos ⎝⎠33 ππ2 ⇔−=±+π4x k2 33 π ⇔=π+π4x k2 hay 4x =−+π∈ k2 ,k ] 3 ππ π π ⇔=+xkhayxk,k =−+ ∈] 42 122 Cách khác : (*) ⇔−2() 1 sin2 2x + 3 sin 4x = 0 ⇔+2cos2 2x 2 3 sin 2x cos2x = 0 ⇔=∨+cos2x0cos2x3sin2x0= ⇔=∨=−cos2x 0 cot g2x 3 ππ ⇔=+π∨=−+π∈2x k 2x k , k ] 26 ππkk π π ⇔=+xx ∨=−+ ,k ∈] 42 122 www.MATHVN.com
MATHVN.COM 1 Bài 99 : Giải phương trình 1++ sin33 2x cos 2x = sin4x() * 2 1 Ta có (*) ⇔+1() sin 2x + cos2x() 1 − sin2x cos2x = sin 4x 2 11⎛⎞ ⇔−1 sin4x +() sin2x + cos2x⎜⎟ 1 − sin4x = 0 22 ⎝⎠ 1 ⇔−1 sin 4x = 0 hay 1 + sin 2x + cos2x = 0 2 ⎡sin 4x= 2( loại) ⇔ ⎢ ⎣sin 2x+= cos2x− 1 π ⇔ 2sin(2x+=− ) 1 4 ⎛⎞ππ ⇔+=−sin⎜⎟ 2x sin( ) ⎝⎠44 ⎡ ππ 2x +=−+πk2 ⎢ 44 ⇔∈⎢ ()kZ ππ5 ⎢2x+= + k2 π ⎣⎢ 44 ππ ⇔ xkxk,k=− + π∨ = + π ∈] 42 Bài 100 : Giải phương trình tgx−=+ 3cot gx 4( sin x 3 cosx)( *) ⎧sin x≠ 0 Điều kiện ⎨ ⇔≠sin 2x 0 ⎩cosx≠ 0 sin x cosx Lúc đó : (*) ⇔−34sinx3cos = + x cos x sin x ( ) ⇔−sin22 x 3cos x = 4sin x cosx( sin x + 3 cosx) ⇔+()sin x 3 cosx() sin x − 3 cosx − 2sin 2x = 0 ⎡sin x=− 3 cosx ⎢ ⇔ ⎢13 sin x−= cosx sin 2x ⎣⎢22 ⎡π⎛⎞ ⎢tgx=− 3 = tg⎜⎟ − ⎝⎠3 ⇔ ⎢ ⎢ ⎛⎞π ⎢sin⎜⎟ x−= sin 2x ⎣ ⎝⎠3 ππ π ⇔=−+π∨−=xkx2xk2x2xk2,k + π∨−=π−+ π ∈Z 33 3 www.MATHVN.com
MATHVN.COM ππ4k2 ππ ⇔=−+π∨=−−xkxk2x,k π∨= + ∈] 3393 πππ4k2 ⇔=−+π∨=x k x + ()nhận do sin2x≠ 0 393 Bài 101 : Giải phương trình sin33 x+=− cos x sin x cosx( *) Ta có : (*) ⇔−++=sin33 x sin x cos x cosx 0 ⇔−++=sin x() sin23 x 1 cos x cosx 0 ⇔−sin x cos23 x + cos x + cosx = 0 ⇔=cosx 0 hay − sin x cosx + cos2 x += 1 0 ⎡cosx= 0 ⇔ ⎢ ⎣−+sin2x cos2x =− 3() vô nghiệm do 1 +< 1 9 π ⇔=x2k1,kZ() + ∈ 2 44⎛⎞π 1 Bài 102 : Giải phương trình cos x++= sin⎜⎟ x() * ⎝⎠44 2 112 ⎡π⎤⎛⎞1 Ta có : (*) ⇔ ()1++−+ cos2x⎢⎥ 1 cos⎜⎟ 2x = 442⎣⎦⎝⎠4 ⇔+()()1 cos2x22 ++ 1 sin2x = 1 ⇔+=−cos2x sin2x 1 ⎛⎞ππ13 ⇔−=−=cos⎜⎟ 2x cos ⎝⎠442 ππ3 ⇔−=±+π2x k2 44 ππ ⇔=+π∨=−+π∈xkxk,kZ 24 Bài 103 : Giải phương trình 4sin33 x.cos3x++ 4 cos x.sin3x 3 3 cos4x= 3() * Ta có : (*) ⇔−+−+4sin33 x( 4cos x 3cosx) 4cos3 x( 3sinx 4sin3 x) 3 3 cos4x= 3 ⇔−12sin33 x cosx+ 12sin x cos x+ 3 3 cos4x = 3 ⇔−++4sin x cosx() sin22 x cos x 3 cos4x= 1 ⇔+2sin2x.cos2x 3 cos4x= 1 π sin ⇔+sin 4x3 cos4x = 1 π cos 3 www.MATHVN.com
MATHVN.COM ππ π ⇔+=sin 4x.cos sin cos4x cos 33 3 ⎛⎞ππ ⇔+=sin⎜⎟ 4x sin ⎝⎠36 ππ π5 π ⇔+=+π∨+=+π∈4x k2 4x k2 , k ] 36 3 6 ππkk ππ ⇔=−+xx, ∨=+k ∈] 24 2 8 2 Bài 104 : Cho phương trình : 2sin22 x−−= sin x cosx cos x m() * a/ Tìm m sao cho phương trình có nghiệm b/ Giải phương trình khi m = -1 11 Ta có : (*) ⇔ ()1cos2x−− sin2x −+=() 1cos2xm 22 ⇔+sin 2x 3cos2x =− 2m+ 1 a/ (*) có nghiệm ⇔+≥abc222 2 ⇔+≥19() 12m − ⇔−−≤4m2 4m 9 0 110−+ 110 ⇔≤≤m 22 b/ Khi m = -1 ta được phương trình sin 2x+= 3cos2x 3() 1 π •=+Nếu x() 2k 1 thì sin2x = 0 và cos2x =− 1 nên phương trình (1) không 2 thỏa. π •≠+Nếux() 2k 1 thì cosx ≠ 0,đặt t = tgx 2 2 2t 31()− t (1) thành +=3 1t++22 1t ⇔+2t 3()( 1 − t22 = 3 t + 1) ⇔−=6t2 2t 0 ⇔=∨=t0t3 Vậy (1) ⇔ tgx=== 0 hay tgx 3 tgϕ ⇔=π x k hay x=ϕ+π k , k ∈] ⎛⎞3π 54sin+−⎜⎟ x 2 6tgα Bài 105 : Cho phương trình ⎝⎠= ()* sin x 1+α tg2 π a/ Giải phương trình khi α =− 4 b/ Tìm α để phương trình (*) có nghiệm www.MATHVN.com
MATHVN.COM ⎛⎞3ππ ⎛⎞ Ta có : sin⎜⎟−=− x sin ⎜⎟ −=− x cosx ⎝⎠22 ⎝⎠ 6tgαα 6sin =α=.cos2 3sin2αvới cosα ≠ 0 1tg+α2 cos α 54cosx− Vậy : ()* ⇔=α3sin2() điều kiện sin x ≠α 0 và cos≠ 0 sin x ⇔α+=3sin 2 sin x 4 cosx 5 π a/ Khi α=− ta được phương trình 4 −+3sinx 4cosx = 5() 1 ( Hiển nhiên sin x = 0 không là nghiệm của (1)) 34 ⇔−sin x + cosx = 1 55 34 Đặt cosϕ=− và sin ϕ= với 0 <ϕ< 2 π 55 Ta có pt (1) thành : sin()ϕ+ x = 1 π ⇔ϕ+xk2 = + π 2 π ⇔=−ϕ++xk2 π 2 2 b/ ( ) có nghiệm ⇔α+≥α()3sin2 16 25 và cos≠ 0 ⇔α≥α≠sin2 2 1 và cos 0 ⇔α=sin2 2 1 ⇔α=cos2 0 ππk ⇔α= +,k ∈] 42 BÀI TẬP 1. Giải các phương trình sau : a/ 2 2() sin x+=+ cosx cosx 3 cos2x b/ ()2cosx−+ 1( sinx cosx)= 1 c/ 2cos2x=− 6() cosx sin x d/ 3sinx=− 3 3cosx e/ 2cos3x++ 3 sin x cosx= 0 f/ cosx+=++ 3 sin x sin 2x cosx sin x 3 g/ cosx+= 3 sin x cos x++ 3 sin x 1 h/ sin x+= cosx cos2x k/ 4sin3 x−= 1 3sinx − 3cos3x 6 i / 3cosx++ 4sinx =6 3cosx++ 4sinx 1 www.MATHVN.com
MATHVN.COM j/ cos7xcos5x−=− 3sin2x 1 sin7xsin5x m/ 4cosx()44+ sinx+= 3sin4x2 p/ cos22 x−=+ 3 sin 2x 1 sin x q/ 4sin2x−= 3cos2x 3() 4sinx− 1 2 r/ tgx−− sin 2x cos2x =−+ 4 cosx cos x 2 ⎛⎞x π 23cosx2sin−−−⎜⎟ () 24 s/ ⎝⎠= 1 2cosx− 1 2. Cho phương trình cosx + msinx = 2 (1) a/ Giải phương trình m3= b/ Tìm các giá trị m để (1) có nghiệm (ĐS : m3≥ ) 3. Cho phương trình : msinx2mcosx2−− = ()1 m2cosxm2sinx−− a/ Giải phương trình (1) khi m = 1 b/ Khi m0vàm2≠≠ thì (1) có bao nhiêu nghiệm trên [20ππ ,30 ]? (ĐS : 10 nghiệm) 4. Cho phương trình 2sinx++ cosx 1 = a1() sin x−+ 2 cosx 3 1 a/ Giải (1)khi a = 3 b/ Tìm a để (1) có nghiệm www.MATHVN.com
MATHVN.COM CHƯƠNGV. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG THEO SINX, COSX asinx()++ cosx bsinxcosx = c( 1) Cách giải Đặt t =+sin x cos x với điều kiện t≤ 2 ⎛⎞ππ ⎛⎞ Thì t2sinx=+=−⎜⎟ 2cosx ⎜⎟ ⎝⎠44 ⎝⎠ Ta có : t2 =+ 1 2sin x cos x nên( 1) thành b at+−= t2 1 c 2 ( ) ⇔+−−=bt2 2at b 2c 0 Giải (2) tìm được t, rồi so với điều kiện t2≤ ⎛⎞π giải phương trình 2sin⎜⎟ x+ = t ta tìm được x ⎝⎠4 Bài 106 : Giải phương trình sin x++= sin23 x cos x 0( *) (*) ⇔++−sin x() 1 sin x cos x( 1 sin2 x) = 0 ⇔+()1sinx0haysinxcosx1sinx0 = +( −) = ⎡sin x=− 1 (1) ⇔ ⎢ ⎣⎢sin x+− cos x sin x cos x = 0() 2 π •⇔=−+π∈()1x k2kZ() 2 ⎛⎞π •=+=−Xét() 2 : đặt t sin x cos x 2 cos⎜⎟ x ⎝⎠4 điều kiện t≤=+ 2 thì t2 1 2sin x cos x t12 − Vậy (2) thành t0−= 2 ⇔−−=t2t102 ⎡t1=− 2 ⇔ ⎢ ⎣⎢t1=+ 2loại() ⎛⎞π Do đó ( 2 ) ⇔ 2cos⎜⎟ x−=− 1 2 ⎝⎠4 ⎛⎞π 2 ⇔−=−=cos⎜⎟ x 1 cosϕ với 0< ϕ <π 2 ⎝⎠42 π 2 ⇔−=±ϕ+π∈xh2,h,] vớicos ϕ=−1 42 π 2 ⇔=±ϕ+π∈xh2,h,vớicos] ϕ=−1 42 www.MATHVN.com
MATHVN.COM 3 Bài 107 : Giải phương trình −+1 sin33 x + cos x = sin 2x() * 2 3 ()*⇔− 1 + ( sin x + cos x )( 1 − sin x cos x)= sin 2x 2 ⎛⎞π Đặt tsinxcosx2sinx=+=⎜⎟ + ⎝⎠4 Với điều kiện t2≤ Thì t12sinxcos2 =+ x 2 ⎛⎞t1− 32 Vậy (*) thành : −+1t1⎜⎟ − =()t − 1 ⎝⎠22 ⇔−2t3t +()() −22 = 3t1 − ⇔+t3t3t1032 −−= ⇔−()t1t()2 ++= 4t1 0 ⇔=∨=−+t1t 2 3t ∨=−− 2 3loại() ⎛⎞ππ1 với t = 1 thì sin⎜⎟ x += =sin ⎝⎠442 ππ π3 π ⇔+xk2xk2,k = = π∨+ = + π∈] 44 4 4 π ⇔=xk2x π∨=+ k2,k π ∈] 2 ⎛⎞π−32 với t32thìsinx=−⎜⎟ += =sinϕ ⎝⎠4 2 ππ 32− ⇔+=ϕ+π∨+=π−ϕ+π∈xm2xm2,m,vớis] =inϕ 44 2 ππ33−2 ⇔=ϕ−+π∨=−ϕ+π∈xm2xm2,m,vớisin] = ϕ 44 2 Bài 108 :Giải phương trình 2sinx( +=+ cosx) tgxcotgx*( ) ⎧sin x≠ 0 Điều kiện ⎨ ⇔≠sin 2x 0 ⎩cos x≠ 0 sin x cos x Lúc đó (*) ⇔+=+2sinx() cosx cos x sin x sin22 x+ cos x 1 ⇔+=2sinx() cosx = sinxcosx sinxcosx ⎛⎞π Đặt tsinxcosx2sinx=+=⎜⎟ + ⎝⎠4 Thì t12sinxcosxvớit2vàt22=+ ≤ ≠1 2 (*) thành 2t = t12 − www.MATHVN.com
MATHVN.COM ⇔−−=2t3 2t 2 0 (Hiển nhiên t=±1 không là nghiệm) ⇔−()t22t2t20( 2 ++) = ⎡t2= ⇔ ⎢ 2 ⎣⎢t++= 2t 1 0() vô nghiệm ⎛⎞π Vậy ()* ⇔ 2sin⎜⎟ x+= 2 ⎝⎠4 ⎛⎞π ⇔+=sin⎜⎟ x 1 ⎝⎠4 ππ ⇔+=+xk2,k π∈] 42 π ⇔=+xk2,k π∈] 4 Bài 109 : Giải phương trình 3cotgx()−−−= cosx 5tgx( sinx)( 2*) Với điều kiện sin 2x≠ 0 , nhân 2 vế phương trình cho sinxcosx ≠ 0 thì : ()*⇔−−−= 3 cos22 x ( 1 sin x ) 5 sin x( 1 cos x) 2 sin x cos x ⇔−−−=−3cosx122( sinx) 5sinx1( cosx) 5sinxcosx 3sinxcosx ⇔−+−−+3 cos x⎣⎦⎡⎤ cos x() 1 sin x sin x 5 sin x⎣⎡ sin x() 1 cos x cos x⎦⎤= 0 ⇔−+−−+3cosx() cosx sinxcosx sinx 5sinx() sinx sinxcosx cosx= 0 ⎡sin x+− cos x sin x cos x = 0() 1 ⇔ ⎢ ⎣⎢3cosx−= 5sinx 0 ()2 ( Ghi chú: A.B + A.C = A.D ⇔ A = 0 hay B + C = D ) ⎛⎞π Giải (1) Đặt tsinxcosx2sinx=+=⎜⎟ + ⎝⎠4 Thì t12sinxcos2 =+ x với điều kiện : t≤ 2 và t≠± 1 t12 − (1) thành : t0t2t−=⇔−−2 10= 2 ⎡t1=+ 2loạidot()≤ 2 ⇔ ⎢ ⎢ ⎣t=− 1 2() nhận so với điều kiện ⎛⎞π−12 Vậy sin⎜⎟ x + ==α<α<sin() 0 2π ⎝⎠42 ⎡⎡ππ xk2xk2+=α+π =α−+ π ⎢⎢44 ⇔⇔⎢⎢ ππ3 ⎢⎢xk+ =π−α+2 π,kxk ∈]] = −α+2 π,k ∈ ⎣⎣⎢⎢44 www.MATHVN.com
MATHVN.COM 3 ()2⇔ tgx ==β⇔=β+π∈ tg x h , h] () với 0 <β<π 5 Bài 110 : Giải phương trình 3231( + sinx) ⎛⎞π x 3tg x−+ tgx 2 =8cos⎜⎟ −() * cos x ⎝⎠42 Điều kiện : cos x≠⇔ 0 sin x ≠± 1 22⎡ ⎛⎞π ⎤ Lúc đó : (*) ⇔−+++=+−tgx() 3tg x 1 3() 1 sin x() 1 tg x 4⎢ 1 cos⎜⎟ x ⎥ ⎣ ⎝⎠2 ⎦ =+41() sinx 22⎡⎤ ⇔−+++−tgx() 3tg x 1() 1 sin x⎣⎦ 3( 1 tg x) 4= 0 ⇔−++=()3tg2 x 1() tgx 1 sin x 0 ⇔−()3tg2 x 1() sin x ++ cosx sin x cosx = 0 ⎡3tg2 x= 1() 1 ⇔ ⎢ ⎣⎢sinx++ cosx sinxcosx = 0() 2 13π •⇔(1) tg2 x =⇔ tgx =±⇔=±+π x k 336 ⎛⎞π •=+=Giải() 2 đặt t sin x cosx 2 sin⎜⎟ x + ⎝⎠4 Với điều kiện t2vàt≤≠±1 Thì t12sinxcosx2 =+ t12 − (2) thành : t0t2t1+=⇔+−=2 0 2 ⎡t=− 1 − 2() loại dođiều kiện t≤ 2 ⇔ ⎢ ⎢ ⎣t=− 1 + 2() nhận so với điều kiện ⎛⎞π−21 Vậy sin⎜⎟ x + ==sin ϕ ⎝⎠4 2 ⎡⎡ππ xk2,kxk2,k+=ϕ+π∈]] =ϕ−+ π∈ ⎢⎢44 ⇔⇔⎢⎢ ππ3 ⎢⎢xk+ =π−ϕ+2 π,kxk ∈]] = −ϕ+2 π,k ∈ ⎣⎣⎢⎢44 Bài 111 : Giải phương trình 2sin33 x−= sinx 2cos x −+ cosx cos2x( *) ()*⇔−−−+− 2() sin33 x cos x( sin x cosx) sin22 x cos x= 0 www.MATHVN.com
MATHVN.COM ⇔−=sinx cosx 0 hay 2( 1 + sinxcosx) −++ 1( sinx cosx) = 0 ⎡sin x−= cosx 0() 1 ⇔ ⎢ ⎣⎢sin x++ cosx sin 2x += 1 0() 2 •⇔()1tgx1 = π ⇔=+π∈xk,k] 4 ⎛⎞π •=+=xét() 2 đặt t sin x cosx 2 cosx⎜⎟ x − ⎝⎠4 Với điều kiện : t2≤ t1sin22 =+ x Vậy2thànht() +−+=() t2 1 1 0 ⇔+=⇔=∨=−tt() 1 0 t 0 t 1 ⎛⎞π Khi t = 0 thì cos⎜⎟ x−= 0 ⎝⎠4 ππ ⇔−x2k1,k =() + ∈] 42 3π ⇔=xk,k +π∈] 4 ⎛⎞ππ13 Khi t=− 1 thì cos⎜⎟ x − =− =cos ⎝⎠442 ππ3 ⇔−xk =±+2 π∈,k] 44 π ⇔=π+πxk2hayxk2,k =−+ π∈] 2 Bài 112 : Giải phương trình sinx+++=++ sin234 x sin x sin x cosx cos2 x cos 3 x + cos 4 x( *) Ta có : (*) ⇔−+()sin x cosx() sin22 x − cos x +( sin 33 x − cos x) +( sin 44 x − cos x) = 0 ⇔−()sin x cosx = 0 hay 1 ++++ ()()() sin x cosx 1 sin x.cosx ++= sin x cosx 0 ⎡sin x−= cosx 0() 1 ⇔ ⎢ ⎣⎢2() sin x++ cosx sin x cosx += 2 0 () 2 Ta có : (1) ⇔ tgx= 1 π ⇔=+π∈xk,k] 4 ⎛⎞π Xét (2) : đặt tsinxcosx2cosx=+ =⎜⎟ − ⎝⎠4 Với điều kiện t2≤ www.MATHVN.com
MATHVN.COM Thì t12sinxcosx2 =+ t12 − (2) thành 2t++= 2 0 2 ⇔++=t4t302 ⇔=−∨=−t1t3loại() ⎛⎞ππ13 khi t = -1 thì cos⎜⎟ x −=−=cos ⎝⎠442 ⎡ ππ3 xk2,k−= + π∈] ⎢ 44 ⇔ ⎢ ππ3 ⎢xk−=−+2 π∈,k] ⎣⎢ 44 ⎡xk2,k=π+ π ∈] ⇔ ⎢ π ⎢xk2,k=− + π ∈] ⎣ 2 Bài 113 : Giải phương trình tg233 x( 1−+−= sin x) cos x 1 0( *) Điều kiện : cos x≠⇔ 0 sin x ≠± 1 2 sin x 33 Lúc đó (*) ⇔ 2 ()1sinx−+− cosx1= 0 cos x ⇔−()()1cosx1sinx23 − −−( 1cosx1sinx 32)( −) = 0 ⇔−()()1cosx1sinx0 − = hay() 1+++−+++ cosx() 1 sin x sin22 x() 1 cosx cos x() 1 sin x= 0 ⎡cosx= 1() nhận do điều kiện ⎢ ⇔=⎢sin x 1() loại do điều kiện ⎢ 22 2 2 ⎣⎢sin x+−−= sin x cosx cos x sin x cos x 0 ⎡cos x= 1 ⇔ ⎢ 22 ⎣sin x−+ cos x sin x cosx() sin x −= cosx 0 ⎡cosx= 1 ⇔ ⎢ ⎣sin x−= cosx 0 hay sin x ++ cosx sin x cosx = 0 ⎡cos x=∨ 1 tgx = 1 ⇔ ⎢ ⎣sinx++ cosx sinxcosx = 0 ⎡xk2,k=π∈] ⎢ π ⇔=+π∈⎢xk,k] ⎢ 4 ⎢ ⎣sin x++ cosx sin x cosx = 0 xét pt sinx+ cosx+= sinxcosx 0 www.MATHVN.com
MATHVN.COM đặt ⎛⎞π t=+ sin x cosx = 2 cosx⎜⎟ x −() điều kiện t≤ 2 và t ≠± 1 ⎝⎠4 ⇒=+t2 1 2sinxcosx t12 − Ta được phương trình t0t2t+ =⇔2 + −=10 2 ⎡t12loại=− − () ⇔ ⎢ ⎣⎢t=− 1 + 2() nhận so với đk ⎛⎞π−21 Vậy cos⎜⎟ x − ==ϕcos ⎝⎠4 2 ππ ⇔−xk2,kxk2, =±ϕ+π∈⇔=]] ±ϕ+π∈k 44 Bài 114 : Cho phương trình m(sin x++=+ cosx 1) 1 sin2x( *) ⎡ π⎤ Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn ⎢0, ⎥ ⎣ 2 ⎦ ⎛π ⎞ Đặt tsinxcosx2sinx=+ =⎜ −⎟, điều kiện t2≤ ⎝⎠4 Thì t1sin2x2 =+ Vậy (*) thành : mt()+= 1 t2 ππ ππ3 Nếu 0x≤≤thìx ≤+≤ 24 44 2 ⎛⎞π Do đó ≤ sin⎜⎟ x+≤ 1 24⎝⎠ ⇔≤≤1t 2 ta có mt()+= 1 t2 t2 ⇔=m (do t = -1 không là nghiệm của phương trình) t1+ t2 Xét ytrên1,= ⎡⎤2 t1+ ⎣⎦ 2 t2t+ ⎡ ⎤ Thì y'=>∀∈2 0 t 1, 2 ()t1+ ⎣ ⎦ ⎡⎤ Vậy y tăng trên ⎣⎦1, 2 ⎡⎤π Vậy (*) có nghiệm trên ⎢⎥1,⇔≤≤ y() 1 m y() 2 ⎣⎦2 1 ⇔≤m2 ≤ 21 − 2 () www.MATHVN.com
MATHVN.COM Bài 115 : Cho phương trình cos33 x+= sin x msinxcosx( *) a/ Giải phương trình khi m2= b/ Tìm m để (*) có nghiệm Ta có : (*) ⇔ (cosx+− sinx)( 1 sinxcosx) = msinxcosx ⎛⎞π Đặt tsinxcosx2cosxx=+ =⎜⎟ − ⎝⎠4 Với điều kiện ()t2≤ Thì t12sinxcosx2 =+ ⎛⎞⎛t122−− t1⎞ Vậy (*) thành t1⎜⎟⎜−= m ⎟ ⎝⎠⎝22⎠ ⇔−=t3( t22) mt( − 1) a/ Khi m= 2 ta có phương trình t3()−= t22 2()() t − 1 ⇔+t2t3t2032 −− = ⇔−()t2t22t10()2 + += ⇔=t 2 hay t =−+ 2 1 hay t =− 2 − 1(loại) ⎛⎞ππ π Vậy •−=⇔−=π∈⇔=+πcosx⎜⎟ x 1 x k2 ,k]] x k2 ,k ∈ ⎝⎠44 4 ⎛⎞π−12 •−==αcos⎜⎟ x cos ⎝⎠4 2 ππ ⇔−xk2,kxk2, =±α+π∈⇔=]] ±α+π∈k 44 b/ Xét phương trình t3()−= t22 kt( − 1)( ) Do t=±1 không là nghiệm của ( ) nên 3t− t3 () ⇔= m t12 − 3t− t3 Xét yCtrên2,2\=−() ⎡⎤{}±1 t12 − ⎣⎦ −−t34 Ta có y'=<∀2 0 t=± 1 ()t12 − suy ra y giảm trên(− 1,1 ) và limyy=+∞ , lim =−∞ xx→−11+−→ ⎡⎤ Do đó trên()−⊂− 1,1⎣⎦ 2, 2 \{} ± 1 ta có 3t− t3 (d) y = m cắt (C) y=∀ với m∈ R t12 − Vậy (*) có nghiệm ∀∈mR www.MATHVN.com
MATHVN.COM Bài 116 : Cho phương trình 111⎛⎞ m() sin x++++++= cosx 1⎜⎟ tgx cot gx 0() * 2s⎝⎠inxcosx 1 a/ Giải phương trình khi m = 2 ⎛⎞π b/ Tìm m để (*) có nghiệm trên ⎜⎟0, ⎝⎠2 Với điều kiện sin 2x≠ 0 ta có 1sinxcosx⎛⎞ 1 1 (*) ⇔++++++msinxcosx() 1 ⎜⎟=0 2cosxsinxsinxcosx⎝⎠ ⇔+++++m sin 2x( sin x cosx) sin 2x( 1 cosx sin x) = 0 ⇔+++m sin 2x() sin x cosx sin 2x 1++= cosx sin x 0 2 ⇔+++++m sin 2x()() sin x cosx sin x cos x sin x cosx= 0 ⎡sin x+= cosx 0() 1 ⇔ ⎢ ⎣⎢msin2x++ sinx cosx += 1 0() 2 ⎛⎞π Xét (2) đặt tsinxcosx2cosx=+ =⎜⎟ − ⎝⎠4 Thì t1sin2x2 =+ Do sin 2x≠≤=± 0 nên t 2 và t 1 ⎡t0= Vậy (*) thành : ⎢ 2 ⎣⎢mt()−++= 1 t 1 0 ⎡t= 0() nhận so điều kiện ⇔ ⎢ ⎣⎢mt()−+= 1 1 0 (dot ≠− 1) 1 a/ Khi m = thì ta được : 2 ⎡t0= ⎢ ⎣⎢t=− 1() loại do điều kiện Vậy sinx + cosx = 0 ⇔=−tgx 1 π ⇔=−+π∈xk,k] 4 ππ ππ b/ Ta có : 0x<< ⇔−<−< x 24 44 Lúc đó 2 ⎛⎞π <cos⎜⎟ x − ≤⇒<≤ 1 1 t 2 24⎝⎠ ⎤ Do t0=∉(1,2⎦ www.MATHVN.com
MATHVN.COM Nên ta xét phương trình : mt( −+= 1) 1 0 ( ) () ⇔=− mt m 1 1 ⇔=−t1 (do m = 0 thì ( ) vô nghiệm) m 1 Do đó : yêu cầu bài toán ⇔ 0 ⎧m0< ⎪⎪⎪ m ⇔⇔⎨⎨1 ⎪⎪1 m2≤=−−1 12−≤ ⎩ 12− ⎩⎪ m ⇔≤−−m21 3 Bài 117 : Cho fx( ) =++− cos2x2sinxcosx2 ( ) 3sin2xm+ a/ Giải phương trình f(x) = 0 khi m = -3 b/ Tính theo m giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f(x) 2 Tìm m cho ⎣⎦⎡⎤fx() ≤∀∈ 36x R ⎛⎞π Đặt t=+ sin x cosx = 2 cos⎜⎟ x −() điều kiện t≤ 2 ⎝⎠4 Thì t1sin2x2 =+ 2 Và cos2224 2x=− 1 sin 2x =− 1( t − 1) =−+ t 2t2 Vậy fx() thànhgt ()=− t423 + 2t + 2t − 3t( 2 − 1) + m a/ Khi m = -3 thì g(t) = 0 ⇔−tt22 − 2t1 + = 0 () ⇔=∨=t0t1 vậy khi m = -3 thì f(x) = 0 ⎛⎞ππ ⎛⎞1 ⇔−=cosx⎜⎟ 0haycosx ⎜⎟ −= 44 ⎝⎠ ⎝⎠2 ππππ ⇔−x2k1hayxk2,k =() + − =±+ π∈] 4244 3π π ⇔=xk +π hay x= +π∨=π∈ k2 x k2 , k ] 4 2 b/ Ta có g't4t6t2t2t2t3t1( ) =−32 + − =−( 2 − + ) ⎧ ⎪g'() t= 0 1 Vậy ⎨ ⇔=∨=∨=t0t1t t2,2∈−⎡⎤ 2 ⎩⎪ ⎣⎦ ⎛⎞147 Ta có : g0()=+ 3 m = g1, () g⎜⎟= + m ⎝⎠216 g2()=−+ 423m,g2( ) =−− m342 www.MATHVN.com
MATHVN.COM Vậy : Maxf() x== Max g( t) m+ 3 ⎡⎤ x ∈ \ t2,2∈−⎣⎦ Minf( x) ==− Min g( t) m 3− 4 2 ⎡⎤ xR∈ t2,2∈−⎣⎦ 2 Do đó : ⎣⎦⎡⎤fx() ≤∀∈⇔−≤≤∀∈ 36,x R 6 fx() 6,x R ⎧Max f() x≤ 6 ⎪ R ⇔ ⎨ ⎪Min f() x≥− 6 ⎩ R ⎪⎧m36+≤ ⇔ ⎨ ⎩⎪m342−− ≥− 6 ⇔−≤≤42 3 m 3 22 2 Cách khác : Ta có gt()= −−+++=−−++ t( t 2t1) 3 m⎣⎦⎡⎤ tt() 1 3 m Đặt ut=−2 t ⎡⎤⎡⎤1 Khi t2,2thìu,22∈− ∈−⎢⎥ + =D ⎣⎦⎣⎦4 Vậy gt()==−++ hu ( ) u2 3 m Max f() x===+ Max g() t Max h( u) m 3 Ru⎡⎤ ∈ D t2,2∈−⎣⎦ Min f() x===− Min g() t Min h ( u ) m 3− 4 2 R ⎡⎤ t2,2∈−⎣⎦ uD∈ Chú ý 1 : Phương trình giả đối xứng asinx()()−+ cosx bsinxcosx = 0 đặt t = sinx – cosx ⎛⎞ππ ⎛⎞ thì t2sinx=−=−⎜⎟ 2cosx ⎜+⎟ ⎝⎠44 ⎝⎠ với điều kiện t2thìt12sinxcos≤=−2 x Bài 118 : Giải phương trình 2sinx+= cotgx 2sin2x + 1() * Điều kiện : sin x≠⇔ 0 cos x =± 1 cos x Lúc đó (*) ⇔ 2sinx+= 4sinxcosx+ 1 sin x ⇔+=2 sin22 x cos x 4 sin x cos x + sin x ⇔−−2 sin22 x sin x cos x() 4 sin x −= 1 0 ⇔−−−+sinx()()( 2sinx 1 cosx 2sinx 1 2sinx 1)= 0 ⇔−=−2sinx 1 0 hay sinx cosx() 2sinx += 1 0 ⎡2sinx−= 1 0 ()1 ⇔ ⎢ ⎣⎢sin x−− cos x sin 2x = 0() 2 www.MATHVN.com
MATHVN.COM 1 •⇔=Ta có() 1 sin x() nhận do sin x≠ 0 2 ππ5 ⇔=+xk2xk2,k π∨= + π∈] 66 ⎛⎞π •=−=Xét() 2 Đặt t sin x cos x 2 sin⎜⎟ x − ⎝⎠4 Với điều kiện t2vàt≤≠±1 Thì t1sin22 =− x Vậy (2) thành : t1t−−()2 =0 ⇔+−=tt12 0 −+15 −− 15 ⇔=tt ∨= ()loại 22 ⎛⎞π−+15 Do đó : 2 sin⎜⎟ x −= ()nhận do t≤ 2 và t ≠± 1 ⎝⎠42 ⎛⎞π−51 ⇔−==sin⎜⎟ x sin ϕ ⎝⎠4 22 ⎡ π xk2,k−=ϕ+π ∈] ⎢ 4 ⇔ ⎢ π ⎢xk− =π−ϕ+2 π,k ∈] ⎣⎢ 4 ⎡ π xk2,k=ϕ+ + π ∈] ⎢ 4 ⇔ ⎢ 5π ⎢xk=−ϕ+π∈2,k] ⎣⎢ 4 Bài 119 : Giải phương trình cos2x+= 5 2( 2 − cos x)( sin x − cos x)( *) Ta có : ()*⇔−+=−() cos22 x sin x 5 2()( 2 cos x sin x − cos x) ⇔−(sin x cos x) ⎣⎦⎡⎤ 2( 2 −++ cos x) ( sin x cos x) − 5= 0 ⇔−()sin x cos x[ sin x −+− cos x 4] 5= 0 ⎛⎞π Đặt tsinxcosx2sinx=−=⎜⎟ − ⎝⎠4 Với điều kiện t2≤ (*) thành : tt()+−= 4 5 0 ⇔+−=t4t502 ⇔=∨=−t1t 5loại() ⎛⎞ππ1 Vậy ()* ⇔ sin⎜⎟ x −= =sin ⎝⎠442 www.MATHVN.com
MATHVN.COM ππ π3 π ⇔−=+xk2xk2,k π∨−= + π ∈] 44 4 4 π ⇔=+xk2xk2,k π∨=π+π ∈] 2 Bài 120 : Giải phương trình cos33 x+= sin x cos 2x( *) Ta có (*) ⇔+()cos x sin x( 1 − sin x cos x) =− cos22 x sin x ⇔+=cos x sin x 0 hay 1 − sin x cos x =− cosx sin x ⎡sin x+= cos x 0 ()1 ⇔ ⎢ ⎣⎢sin x−− cos x sin x cos x += 1 0() 2 Ta có : ()1tgx⇔ =−1 π ⇔=−+π∈xk,k] 4 ⎛⎞π Xét (2) đặt tsinxcosx2sinx=−=⎜⎟ − ⎝⎠4 Với điều kiện t2≤ Thì t12sinxcos2 =− x 1t− 2 (2) thành t10t2t1− +=⇔2 + +=0 2 ⇔=−t1 ⎛⎞ππ1 ⎛⎞ vậy (2) ⇔ sin⎜⎟ x −=−=sin ⎜ −⎟ ⎝⎠442 ⎝⎠ ⎡ ππ xk−=−+2 π,k ∈] ⎡xk2,k=π∈] ⎢ 44 ⇔⇔⎢ ⎢ 3π ⎢ ππ5 ⎢xk2,k= +π∈] xk−= +2,k π ∈] ⎣ 2 ⎣⎢ 44 Bài 121 : Cho phương trình cos33 x−= sin x m( 1) a/ Giải phương trình (1) khi m = 1 bằng cách đặt ẩn phụ tcosxsinx=− ⎡ π π⎤ b/ Tìm m sao cho (1) có đúng hai nghiệm x,∈− ⎣⎢ 44⎦⎥ Ta có (1) ⇔ ()cos x−+ sin x( 1 sin x cos x) = m ⎛⎞π Đặt tcosxsinx2cosx=−=⎜⎟ + ⎝⎠4 Với điều kiện t2≤ Thì t12sinxcos2 =− x ⎛⎞1t− 2 Vậy (1) thành : t1⎜⎟+= m ⎝⎠2 ⇔−=t3() t2 2m() 2 www.MATHVN.com
MATHVN.COM a/ Khi m = 1 thì (2) thành t3t23 − +=0 ⇔−()t1t()2 +−= t2 0 ⇔=∨=−t1t 2loại() ⎛⎞πππ2 Vậy cos ⎜⎟x + =⇔+=±+π∈x k2 , k ] ⎝⎠42 44 π ⇔=xk2x π∨=−+ k2,k π∈] 2 ⎡ ππ⎤ π π b/ Nếu x,∈− thì 0x≤ +≤ ⎣⎢ 44⎦⎥ 42 ⎛⎞π nên 0cosx≤+⎜⎟≤ 1 ⎝⎠4 ⎛⎞π ⇔≤=0t 2cosx⎜⎟ + ≤ 2 ⎝⎠4 ⎡ ⎤ nhận xét rằng với mỗi t tìm được trên ⎣0, 2 ⎦ ⎡ π π⎤ ta tìm duy nhất một x,∈− ⎣⎢ 44⎦⎥ 3 ⎡ ⎤ xét f() t=− t + 3t trên⎣ 0, 2⎦ ⇒=−+f'() t 3t2 3 ⎡ π π⎤ vậy (1) có đúng hai nghiệm x,∈− ⎣⎢ 44⎦⎥ 3 ⎡ ⎤ ⇔=()d y 2m cắt() C y =−+ t 3t trên⎣ 0, 2⎦ tại 2 điểm phân biệt ⇔≤22m2 < 2 ⇔≤<m1 2 Bài 122 : Cho phương trình 2cos2x++=+ sin22 xcosx sinxcos x m( sinx cosx)( * ) a/ Giải phương trình khi m = 2 ⎡ π⎤ b/ Tìm m để phương trình (*) có ít nhất một nghiệm trên 0, ⎣⎢ 2⎦⎥ Ta có : ()*⇔−+ 2() cos22 x sin x sin x cos x( sin x +=+ cos x) m( sin x cos x) www.MATHVN.com
MATHVN.COM ⇔+=cos x sin x 0 (1) hay 2( cos x− sin x) + sin x cos x = m ( 2 ) ⎛π ⎞ Đặt tcosxsinx2cosx=−=⎜ +⎟ (điều kiện t2≤ ) ⎝⎠4 Thì t12sinxcos2 =− x Ta có : ()1sinxcos⇔=−x π ⇔=−⇔=−+π∈tgx 1 x k , k ] 4 1t− 2 Ta có : (2) thành 2t+= m 2 ⇔−t4t12m 2 + + = () a/ Khi m = 2 thì ( ) thành t4t32 − +=0 ⇔=∨=t1t3() loại ⎛⎞πππ2 vậy cos⎜⎟ x + =⇔+=±+π∈x k2 , k ] ⎝⎠42 44 π ⇔=xk2x π∨=−+π∈ k,k] 2 Do đó : ππ ()*x⇔=−+π∨= kxk2x π∨=−+ k2,k π ∈] 42 ⎡⎤πππ ⎡3π⎤ b/ Ta có x0,x∈⇔+∈ , ⎣⎦⎢⎥244 ⎣⎢4⎦⎥ 22⎛⎞π vậy −≤cos⎜⎟ x +≤ 24⎝⎠2 ⇒−1t1 ≤ ≤ ππ⎡⎤ Do nghiệm xk0,,k=− + π∉ ∀ ∈] 42⎣⎦⎢⎥ Nên yêu cầu bài toán ⇔ ( )có nghiệm trên [−1,1] Xét yt4t1thìy'2t40t1,1=−2 + + =− + > ∀ ∈[ − ] ⇒−ytăngtrên[ 1,1] Do đó : yêu cầu bài toán ⇔−4y1 =( −) ≤ 2my14 ≤( ) = ⇔−2m2 ≤ ≤ * Chú ý 2 : Phương trình lượng giác dạng atgxcotgx()±++ btgx()22 cotgx = 0 ta đặt ttgxcotgxthìttgxcotgx2=±22 = + 2 ± 2 khi ttgxcotgx=+ = thìt2dosin2x1 ≥() ≤ sin 2x Bài 123 : Giải phương trình 3tg22 x++ 4tgx 4 cot gx + 3cot g x += 2 0( *) www.MATHVN.com
MATHVN.COM 2 Đặt ttgxcotgx=+ = sin 2x Với điều kiện t2≥ Thì ttgxcotgx22=+ 2 +2 (*) thành : 3t()2 −++= 2 4t 2 0 ⇔+−=3t2 4t 4 0 ⎡ 2 t= () loại do điều kiện ⇔ ⎢ 3 ⎢ ⎣t2=− 2 Ta có : t2=− ⇔ =− 2sin2x ⇔ =−1 2sinx π ⇔=−+π∈2x k2 , k ] 2 π ⇔=−+π∈xk,k] 4 Bài 124 : Giải phương trình tgx+++ tg23 x tg x cotgx + cotg2 x + cotg 3 x = 6() * Ta có (*) ⇔ ()tgx+++++ cot gx( tg2233 x cot g x) ( tg x cot g x) = 6 ⇔+()()tgx cot gx ++ tgx cot gx2 −++ 2( tgx cot gx)( tg22 x + cot g x −= 1) 6 ⇔+tgx cot gx ++ tgx cot gx22 ++ tgx cot gx⎡⎤ tgx + cot gx −= 3 8 ()()()()⎣⎦ 2 Đặt ttgxcotgx=+ = () điềukiệnt2≥ sin 2x Vậy (*) thành : tt++22 tt3( −=) 8 ⇔+−−=tt2t8032 t2= 2 ⎡ ⇔−()t2t() ++ 3t4 =⇔ 0 ⎢ 2 ⎣t++= 3t 4 0() vô nghiệm ⇔=t2 2 Vậy =⇔2sin2x =1 sin 2x π ⇔=+π∈2x k2 , k ] 2 π ⇔=+π∈xk,k] 4 Bài 125 : Giải phương trình 2 +++2tg2 x 5tgx 5 cot gx += 4 0() * sin2 x Cách 1 : (*) ⇔+2() 1 cot g22 x + 2tg x + 5( tgx + cot gx) += 4 0 www.MATHVN.com
MATHVN.COM ⇔+2tgx()22 cotgx +++= 5tgxcotgx( ) 6 0 ⇔+2⎡⎤ tgx cotgx2 −+++ 2 5 tgx cotgx 6= 0 ⎣⎦()() 2 Đặt t=+ tgx cot gx = , với t ≥ 2 sin 2x Ta được phương trình : 2t2 + 5t+= 2 0 1 ⇔=−∨=−t2t() loại 2 2 Vậy()* ⇔ =−2sin2x ⇔ =−1 sin 2x π ⇔=−+π∈2x k2 , k ] 2 π ⇔=−+π∈xk,k] 4 Cách 2 : Đặt u = tgx (với điều kiện u0≠ ) 25 Vậy (*) thành : 22u5u4++2 +++=0 uu2 ⇔+22u5u5u6u043 + + + 2 = ⇔+()u 1() 2u32 + 3u ++= 3u 2 0 ⇔+()u12 () 2uu22 ++= 0 ⎡=−u1nhận() ⇔ ⎢ 2 ⎣⎢2u++= u 2 0() vô nghiệm Vậy (*) ⇔ tgx = -1 π ⇔=−+π∈xk,k] 4 Bài 126 : Cho phương trình 1 ++++=cot g2 x m() tgx cot gx 2 0() 1 cos2 x 5 a/ Giải phương trình khi m = 2 b/ Tìm m để phương trình có nghiệm Ta có : (1) ⇔ tg22 x++++ cot g x m( tgx cot gx) 3= 0 2 Đặt ttgxcotgx=+ = () điềukiệnt2≥ sin 2x ⇒=ttgxcotgx22 + 2 +2 Vậy (1) thành : tmt102 ++= (2) 5 a/ Khi m = ta được phương trình 2t2 + 5t+= 2 0 2 www.MATHVN.com
MATHVN.COM 1 ⇔=−∨=−t2t() loại 2 2 Do đó =−2sin2x ⇔ =−1 sin 2x π ⇔=−+π∈2x k2 , k ] 2 π ⇔=−+π∈xk,k] 4 b/ Cách 1 : Ta có : (2) ⇔ mt=− 1 − t2 1 ⇔=−−mt(do t = 0 không là nghiệm của (2)) t 1 Xét ytvớit=− − ≥2 t 11− t2 Thì y'=−= 1 tt22 Ta có : y'= 0⇔=± t 1 Do đó (1) có nghiệm ⇔−(d) cắt( C) trên( ∞ ,− 2] U[ 2, +∞) 55 ⇔≤−∨≥mm 22 5 ⇔≥m 2 Cách 2 : Yêu cầu bài toán ⇔=++ft() t2 mt1= 0 có nghiệm t thỏa t2≥ Nhận xét rằng do P = 1 nên nếu f(t) có hai nghiệm t,t12() vớit 1≤ t 2và ⎪⎪⎧≤t1t111 ⎧≥ có nghiệm thì ta có ⎨⎨∨ ⎩⎩⎪⎪t1t122≥≤ Do đó : Yêu cầu bài toán ⇔t2t22t211 ≤− 5 0 ⇔∨⇔⎨⎨ ⎨ ∨ ⎨ 1f 2>−> 0 1f 2 0 2m+> 5 0 2m +≤ 5 0 ⎩⎩⎪⎪() () ⎩⎩ 55 ⇔≥∨≤−mm 22 www.MATHVN.com
MATHVN.COM BÀI TẬP 1. Giải các phương trình : a/ 1cosxsinxsinx+−=33 b/ cos32 x++ cos x 2sin x − 2= 0 c/ cos 2x+= 5 2() 2 − cos x( sin x − cos x) d/ cotgx−= tgx sinx + cosx e/ sin33 x−=− cos x sin x cos x f/ 1t+=gxsinxcosx + ⎛⎞π g/ sin 2x+− 2 sin⎜⎟ x= 1 ⎝⎠4 k/ sin 2x−−+ 12() sin x cos x 12= 0 sin x+ cos x l/ = 1 sin 2x+ 1 1−− cos 2x 1 cos3 x m/ = 1cos2x1sinx+−3 n/ 5() sin x++ cos x sin 3x − cos 3x = 2 2( 2 + sin 2x) o/ 1 +++sin x cos x sin 2x + 2cos2x = 0 p/ sin22 x cos x−+= cos2x sin x cos x sin x + cos x r/ cos 2x+= 5 2() 2 − cos x( sin x − cos x) s/ cos23 x++ sin x cos x= 0 t/ 4sin3 x−= 1 3sinx − 3cos3x 2. Cho phương trình sin 2x( sin x+= cos x) m( 1) a/ Chứng minh nếu m> 2 thì (1) vô nghiệm b/ Giải phương trình khi m2= 3. Cho phương trình sin 2x+ 4( cos x−= sin x) m a/ Giải phương trình khi m = 4 b/ Tìm m để phương trình có nghiệm 4. Cho phương trình : sin x cos x− m( sin x++ cos x) 1= 0 a/ Giải phương trình khi m2= b/ Tìm m để phương trình có nghiệm (ĐS : m≥ 1) 3 5. Cho phương trình + 3tg2 x=+ m() tgx cot gx= 1 sin2 x Tìm m để phương trình có nghiệm (ĐS : m≥ 4) www.MATHVN.com
MATHVN.COM CHƯƠNG VI. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP asin22 u++= bsinucosu ccos u d Cách giải : π •=Tìm nghiệm u+ kπ==() lúc đó cos u 0 và sin u± 1 2 •≠Chia hai vế phương trình cho cos2 u 0 ta được phương trình : atg22 u++=+ btgu c d() 1 tg u Đặt tt= gu ta có phương trình : ()adtbtcd−++−=2 0 Giải phương trình tìm được t = tgu Bài 127 : Giải phương trình cos22 x−=+ 3 sin 2x 1 sin x( *) Vì cosx = 0 không là nghiệm nên Chia hai vế của (*) cho cos2 ≠ 0 ta được ()*⇔− 1 2 3tgx =() 1 + tg22 x + tg x Đặt t = tgx ta có phương trình : 2t2 += 2 3t 0 ⇔=∨=−t0t 3 π Vậy ()* ⇔=tgx 0 hay tgx =−⇔=π=−+π∈ 3 x k hay x k , k ] 3 Bài 128 : Giải phương trình cos33 x−− 4 sin x 3cos x sin 2 x += sin x 0( *) π • Khi xkthìcosx0vàsinx=+π = =±1 2 thì (*) vô nghiệm • Do cos x= 0 không là nghiệm nên chia hai vế của (*) cho cos3x ta có (*) ⇔ 1−−++= 4tg32 x 3tg x tgx( 1 tg2 x) 0 ⇔+−−=3tg32 x 3tg x tgx 1 0 ⇔+()tgx 1() 3tg2 x −= 1 0 3 ⇔=−∨=±tgx 1 tgx 3 ππ ⇔=−+π∨=±+π∈xkxk,k] 46 Bài 129 : Giải phương trình 3cos4224 x−+ 4sin xcos x sin x= 0( *) www.MATHVN.com
MATHVN.COM Do cosx = 0 không là nghiệm nên chia hai vế của (*) cho cos4 x≠ 0 Ta có : (*) ⇔ 34tgxtgx0−+=24 ⇔=∨=tg22 x 1 tg x 3 ⎛⎞ππ ⎛⎞ ⇔=±=±∨=±tgx 1 tg⎜⎟ tgx tg ⎜⎟ ⎝⎠43 ⎝⎠ ππ ⇔=±+π∨=±+π∈xkxk,k] 43 Bài 130 : Giải phương trình sin 2x+= 2tgx 3( *) Chia hai vế của (*) cho cos2 x≠ 0 ta được 2sinxcosx 2tgx 3 (*) ⇔+= cosx22 cosx cosx2 ⇔+2tgx 2tgx() 1 + tg22 x =+ 3( 1 tg x) ⎧ttgx= ⇔ ⎨ 32 ⎩2t−+−= 3t 4t 3 0 ⎪⎧ttgx= ⇔ ⎨ 2 ⎩⎪()t12tt3−−+()= 0 ⇔=tgx 1 π ⇔=+π∈xk,k] 4 Bài 131 : Giải phương trình sin x sin 2x+= sin 3x 6cos3 x( *) ()*⇔+−= 2sin23 x cos x 3sin x 4 sin x 6cos3 x •==±Khi cos x 0 ( sin x 1) thì( *) vô nghiệm • Chia hai vế phương trình (*) cho cos3 x≠ 0 ta được 2sin23 x 3sinx 1 sin x ()* ⇔ +−.4=6 cos22 x cos x cos x cos3 x ⇔+2tgx22 3tgx1() +−= tgx 4tgx3 6 ⇔−tg32 x 2tg x −+= 3tgx 6 0 ⇔−()tgx 2() tg2 x −= 3 0 ⇔==α∨=±tgx 2 tg tgx 3 π ⇔=α+π∨=±+π∈xkxk,k(vớitg] α=2) 3 www.MATHVN.com
MATHVN.COM Bài 132 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A, năm 2003) Giải phương trình cos 2x 1 cot gx−= 1 +sin2 x − sin 2x() * 1tgx+ 2 Điều kiện sin 2x≠≠ 0 và tgx− 1 22 cos 2x cos22 x− sin x cos x( cos x− sin x) Ta có : == sin x 1tgx++1 + cosxsinx cos x =−cosx() cosx sinx( dotgx =− 1 nên,sinx + cosx≠ 0) cos x 1 Do đó : ()* ⇔−=−1() cos22 x sin x cos x + sin x − sin 2x sin x 2 cos x− sin x ⇔=1sin2x− sin x ⇔−=()()cosx sinx sinx cosx − sinx 2 ⇔−=cos x sin x 0 hay 1 = sin x() cos x − sin x ( ) ⎡tgx=≠ 1() nhận so với tgx− 1 ⎢ ⇔ 1sinx ⎢ = −≠tg2 x() do cos x 0 ⎣⎢cos2 x cos x ⎡ π xk,k=+π∈] ⇔ ⎢ 4 ⎢ 2 ⎣⎢2tg x−+= tgx 1 0() vô nghiệm π ⇔=+π∈x k , k] () nhận do sin 2x≠ 0 4 Lưu ý : có thể làm cách khác 11 () ⇔− 1 sin2x +() 1 − cos2x =0 22 ⇔=3sin2xcos2x + ⎛⎞π ⇔=3 2 sin⎜⎟ 2x + : vô nghiệm ⎝⎠4 Bài 133 : Giải phương trình sin 3x++ cos 3x 2cos x = 0( *) ()*3sinx4sinx4cosx3cosx2cosx⇔−()33 +( −+) =0 ⇔−3sinx4sinx4cosxcosx033 + −= Vì cosx = 0 không là nghiệm nên chia hai vế phương trình cho cos3 x≠ 0 ta được ()*⇔+−+−+ 3tgx( 1 tg23 x) 4tg x 4( 1 tg 2 x) = 0 www.MATHVN.com
MATHVN.COM ⇔−tg32 x − tg x + 3tgx + 3 = 0 ⎧ttgx= ⇔ ⎨ 32 ⎩tt3t30+−−= ⎪⎧ttgx= ⇔ ⎨ 2 ⎩⎪()t1t+−=() 3 0 ⇔=−∨=±tgx 1 tgx 3 ππ ⇔=−+π∨=±+π∈xkxk,k] 43 5sin4x.cosx Bài 134 : Giải phương trình 6sinx−= 2cos3 x ()* 2cos2x Điều kiện : cos 2x≠⇔ 0 cos22 x − sin x ≠⇔ 0 tgx ≠± 1 ⎧ 10sin 2x cos 2x cos x ⎪6sinx−= 2cos3 x Ta có : (*) ⇔ ⎨ 2cos2x ⎩⎪cos 2x≠ 0 ⎧6sinx−= 2cos3 x 5sin2xcosx ⇔ ⎨ ⎩tgx≠± 1 ⎪⎧6sinx−= 2cos32 x 10sinxcos x( ) ⇔ ⎨ ⎩⎪tgx≠± 1 Do cosx = 0 không là nghiệm của ( ), chia hai vế phương trình ( ) cho cos3 x ta được ⎧ 6tgx ⎪ −=2 10tgx () ⇔ ⎨cos2 x ⎩⎪tgx≠± 1 ⎪⎧t=≠ tgx với t± 1 ⇔ ⎨ 2 ⎩⎪6t() 1+−= t 2 10t ⎧⎧t=≠±=≠± tgx với t 1 t tgx với t 1 ⇔⇔ ⎨⎨32 ⎩⎩3t−−= 2t 1 0 (t − 1) (3t ++= 3t 1) 0 ⎧t=≠± tgx với t 1 ⇔ ⎨ : vô nghiệm ⎩t1= Bài 135 : Giải phương trình sin x−+= 4 sin3 x cos x 0( *) • Vì cosx = 0 không là nghiệm nên chia hai vế phương trình cho cos3x thì ()*tgx1tgx4tgx1tgx⇔+−++( 23) 2=0 www.MATHVN.com
MATHVN.COM ⎧ttgx= ⇔ ⎨ 32 ⎩−+++=3t t t 1 0 ⎪⎧ttgx= ⇔ ⎨ 2 ⎩⎪()t13t2t1− ()++= 0 ⇔=tgx 1 π ⇔=+π∈xk,k] 4 Bài 136 : Giải phương trình tgx sin22 x−= 2sin x 3( cos 2x + sin x cos x)( * ) Chia hai vế của phương trình (*) cho cos2x 3( cos22 x−+ sin x sin x cos x) ()*tgx2tgx⇔−32 = cos2 x ⇔−tg32 x 2tg x =−+ 3() 1 tg 2 x tgx ⇔+−−=tg32 x tg x 3tgx 3 0 ⎧ttgx= ⇔ ⎨ 32 ⎩tt3t30+−−= ⎪⎧ttgx= ⇔ ⎨ 2 ⎩⎪()t1t+−=() 3 0 ⇔=−∨=±tgx 1 tgx 3 ππ ⇔=−+π∨=±+π∈xkxk,k] 43 Bài 137 : Cho phương trình ()46msinx32m1sinx2m2sinxcosx4m3cosx0*−+−+−−−=32 () ( ) ( ) ( ) a/ Giải phương trình khi m = 2 ⎡⎤π b/ Tìm m để phương trình (*) có duy nhất một nghiệm trên 0, ⎣⎦⎢⎥4 π Khi x=+πk thì cosx = 0 và sin x= ± 1 nên 2 (*) thành : ± ()46m32m1−±( −=) 0 ⇔ 10vônghiệm= chia hai về (*) cho cos3 x≠ 0 thì ()*⇔− ( 4 6mtgx )32 + 32m ( − 1tgx1 ) ( + tgx) + 2m( − 2tgx) 2 −( 4m − 31) () + tgx2 = 0 ⎪⎧ttgx= ⇔ ⎨ 32 ⎩⎪t2m1t32m1t4m30 −++()() −−+= () www.MATHVN.com
MATHVN.COM ⎪⎧ttgx= ⇔ ⎨ 2 ⎩⎪()t1t−−+−=() 2mt4m3 0 ⎪⎧ttgx= a/ Khi m = 2 thì (*) thành ⎨ 2 ⎩⎪()t1t− ()−+= 4t5 0 π ⇔=⇔=+π∈tgx 1 x k , k ] 4 ⎡π⎤ b/ Ta có : x0,∈ thì tgx=∈ t[ 0,1] ⎣⎦⎢4⎥ Xét phương trình : t2mt4m3022 −+−=( ) ⇔−=t32mt22 () − t32 − ⇔=2m (do t = 2 không là nghiệm) t2− t32 − Đặt yft==() () Cvà (d) y = 2m t2− t4t2 −+3 Ta có : y'== f() t ()t2− 2 Do ( ) luôn có nghiệm t = 1 ∈ [0,1] trên yêu cầu bài toán ⎡=()d y 2m không có điểm chung với( C) ⇔ ⎢ ⎣⎢()d cắt () C tại1điểm duy nhất t= 1 3 ⇔<∨≥2m 2m 2 2 3 ⇔<∨≥mm1 4 Cách khác : Y C B T ⇔ f(t) = t2mt4m3022 −+−=( ) vô nghiệm trên [01, ) . ⎧Δ≥0 ⎪af ()00≥ ⎪ Ta có (2) có nghiệm ∈⇔[]01,().()ff 0 1 ≤ 0 hay⎨af ()10≥ ⎪ S ⎪01≤ ≤ ⎩⎪ 2 www.MATHVN.com
MATHVN.COM ⎧mm2 − 43+≥0 ⎪ ⎪430m −> 3 ⇔−()()43220mm −≤ hay⎨ ⇔ ≤≤m 1 ⎪220m −> 4 ⎩⎪01≤≤m 3 Do đó (2) vô nghiệm trên [01,() ⇔ m<> hay m1 hay f 1)= 0 4 3 ⇔ mm<∨ ≥1 4 www.MATHVN.com
MATHVN.COM BÀI TẬP 1. Giải các phương trình sau : a/ cos32 x+− sin x 3sin x cos x = 0 b/ sin2 x() tgx+= 1 3sin x( cos x − sin x) + 3 c/ 2cos2 x+ cos2x+= sinx 0 1cosx− 3 d/ tg2 x = 1sinx− 3 e/ sin32 x−−+ 5sin x cos x 3sin x cos23 x 3cos x= 0 f/ cos32 x+− sin x 3sin x cos x = 0 g/ 1tgx22sinx+= h/ sin33 x+=− cos x sin x cos x k/ 3tg22 x++ 4tgx 4 cot gx + 3cot g x += 2 0 31(sin)+ x π x m/ 38tg22 x−+ tgx −cos ( −= ) 0 cos2 x 42 sin x+ cos x n/ = 1 sin 2x 2. Cho phương trình : sin22 x+− 2( m 1) sin x cos x −+( m 1) cos x = m a/ Tìm m để phương trình có nghiệm b/ Giải phương trình khi m = -2 (ĐS : m∈−[ 2,1]) www.MATHVN.com
MATHVN.COM CHƯƠNG VII PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA CĂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI A) PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA CĂN Cách giải : Áp dụng các công thức ⎧⎧A ≥≥0B0 AB=⇔⎨⎨ ⇔ ⎩⎩A = BA= B ⎧B0≥ =⇔ AB ⎨ 2 ⎩A = B Ghi chú : Do theo phương trình chỉnh lý đã bỏ phần bất phương trình lượng giác nên ta xử lý điều kiện B≥ 0 bằng phương pháp thử lại và chúng tôi bỏ các bài toán quá phức tạp. Bài 138 : Giải phương trình 5cos x−+= cos 2x 2sin x 0( *) ()*⇔−=− 5cos x cos 2x 2sin x ⎧sin x≤ 0 ⇔ ⎨ 2 ⎩5cos x−= cos 2x 4 sin x ⎪⎧sin x≤ 0 ⇔ ⎨ 22 ⎩⎪5cosx−−=−()( 2cos x 1 4 1 cos x) ⎧sin x≤ 0 ⇔ ⎨ 2 ⎩2cos x+− 5cosx 3= 0 ⎧sin x≤ 0 ⎪ ⇔ ⎨ 1 cosx=∨ cosx =− 3() loại ⎩⎪ 2 ⎧sin x≤ 0 ⎪ ⇔ ⎨ π xk2,k=± + π ∈] ⎩⎪ 3 π ⇔=−+xk2,k π∈] 3 Bài 139 : Giải phương trình sinxcosx333++ sinxcotgxcosxtgx + 3 = 2sin2x Điều kiện : www.MATHVN.com
MATHVN.COM ⎧cos x≠ 0 ⎪ ⎧sin 2x≠ 0 ⎨⎨sin x≠⇔ 0 ⇔sin 2x > 0 ⎪ ⎩sin 2x≥ 0 ⎩sin 2x≥ 0 Lúc đó : ()*⇔++ sinxcosxsinxcosxcosxsinx2sin2x332 + 2 = ⇔+++=sin22 x() sin x cos x cos x( cos x sin x) 2sin 2x ⇔+()sin x cos x() sin22 x + cos x = 2sin 2x ⎪⎧sin x+≥ cos x 0 ⇔ ⎨ 2 ⎩⎪()sin x+= cos x 2sin 2x ⎧π⎛⎞ ⎧π⎛⎞ ⎪⎪2sin⎜⎟ x+≥ 0 sin⎜⎟ x+≥ 0 ⇔⇔⎨⎨⎝⎠4 ⎝⎠4 ⎪⎪ ⎩1+= sin 2x 2sin 2x ⎩sin2x= 1() nhận dosin2x> 0 ⎧π⎛⎞ ⎧π ⎛⎞ ⎪⎪sin⎜⎟ x+≥ 0 sin ⎜⎟ x+≥ 0 ⎪⎪⎝⎠44 ⎝⎠ ⇔⇔⎨⎨ πππ5 ⎪⎪xk,kxm2xm2loại,m=+π∈]] =+ π∨= + π() ∈ ⎩⎩⎪⎪444 π ⇔=+xm2,m π ∈] 4 2 ⎛⎞π Bài 140 : Giải phương trình 1+= 8 sin 2x.cos 2x 2 sin⎜⎟ 3x+() * ⎝⎠4 ⎧π⎛⎞ ⎪sin⎜⎟ 3x+≥ 0 ⎪⎝4 ⎠ Ta có : (*) ⇔ ⎨ ⎪ 22⎛⎞π 18sin2xcos2x4sin3x+=⎜⎟+ ⎩⎪ ⎝⎠4 ⎧π⎛⎞ ⎪sin⎜⎟ 3x+≥ 0 ⎪⎝4 ⎠ ⇔ ⎨ ⎪ ⎡ π ⎤ 14sin2x1cos4x21cos(6x++=−+()⎢ )⎥ ⎩⎪ ⎣ 2 ⎦ ⎧π⎛⎞ ⎪sin⎜⎟ 3x+≥ 0 ⇔ ⎨ ⎝⎠4 ⎪ ⎩1++ 4 sin 2x 2()( sin 6x −=+ sin 2x 2 1 sin 6x) ⎧π⎧π⎛⎞ ⎛⎞ ⎪⎪sin⎜⎟ 3x+≥ 0 sin ⎜⎟ 3x +≥ 0 ⎪⎪⎝⎠44 ⎝⎠ ⇔⇔⎨⎨ 15ππ ⎪⎪sin 2x = x= +π∨= k x +π k , k ∈] ⎩⎩⎪⎪21212 ⎛⎞π So lại với điều kiện sin⎜⎟ 3x+ ≥ 0 ⎝⎠4 www.MATHVN.com
MATHVN.COM π •=+πKhi x k thì 12 ⎛⎞⎛ππ ⎞ sin⎜⎟⎜ 3x+= sin +π= 3k ⎟ cos kπ ⎝⎠⎝42 ⎠ ⎡1 ,() nếu k chẵn( nhận) = ⎢ ⎣⎢−1,() nếu k lẻ() loại 5π •=+πKhi x k thì 12 ⎛⎞⎛ππ3 ⎞⎛ π⎞ sin⎜⎟⎜ 3x+= sin +π=−+π 3k ⎟⎜ sin k ⎟ ⎝⎠⎝42 ⎠⎝ 2⎠ ⎡−1, nếu k chẵn( loại) = ⎢ ⎣⎢1, nếu k lẻ() nhận ππ5 Do đó ()*x⇔ =+π∨=+ m2x() 2m1,m +π∈] 12 12 1−++ sin 2x 1 sin 2x Bài 141 : Giải phương trình = 4cosx() * sin x Lúc đó : ()*⇔− 1 sin 2x ++ 1 sin 2x = 2sin 2x ( hiển nhiên sinx = 0 không là nghiệm , vì sinx =0 thì VT = 2, VP = 0 ) ⎪⎧2+− 2 1 sin22 2x = 4 sin 2x ⇔ ⎨ ⎩⎪sin 2x≥ 0 ⎪⎧ 1−= sin22 2x 2sin 2x− 1 ⇔ ⎨ ⎩⎪sin 2x≥ 0 ⎧1−= sin242 2x 4sin 2x − 4sin 2x+ 1 ⎪ ⎪ 1 ⇔≥⎨sin2 2x ⎪ 2 ⎩⎪sin 2x≥ 0 ⎧sin22 2x() 4 sin 2x−= 3 0 ⎪ ⇔ ⎨ 1 ⎪sin 2x ≥ ⎩ 2 ⎧ 33− ⎪sin 2x=∨ sin 2x = ⎪ 22 ⇔ ⎨ 2 ⎪sin 2x ≥ ⎩⎪ 2 3 ⇔=sin 2x 2 ππ2 ⇔2x =+π∨= k2 2x +π∈ k2 , k ] 33 www.MATHVN.com
MATHVN.COM ππ ⇔xkxk,k = +π∨= +π ∈] 63 Chú ý : Có thể đưa về phương trình chứa giá trị tuyệt đối ⎪⎧sin x≠ 0 ()* ⇔ ⎨ ⎩⎪ cosx−++= sinx cosx sinx 2sin2x ⇔−++=cos x sin x cos x sin x 2 sin 2x Bài 142 : Giải phương trình sin x+++= 3 cos x sin x 3 cos x 2() * π sin Đặt tsinx3cosxsinx=+ =+3 cosx π cos 3 1 ⎛⎞ππ ⎛⎞ ⇔=tsinx2sinx + = + π ⎜⎟ ⎜⎟ cos ⎝⎠33 ⎝⎠ 3 ()*thànht+= t 2 ⇔=−t2t ⎧⎧2t−≥ 0 t≤ 2 ⇔⇔ ⎨⎨22 ⎩⎩t44tt=− + t − 5t40 += ⎧t2≤ ⇔⇔⎨ t1= ⎩t1t4=∨= Do đó ()* ⎛⎞πππππ15 ⇔sin⎜⎟ x + =⇔+=+πx k2 hay x += +π∈k2 , k ] ⎝⎠32 36 36 ππ ⇔=−+xk2xk2,k π∨=+ π∈] 62 Bài 143 : Giải phương trình 3 tgx++=+ 1() sin x 2 cos x 5( sin x 3 cos x) ( *) Chia hai vế của (*) cho cos x≠ 0 ta được ()*⇔++=+ 3 tgx 1() tgx 2 5( tgx 3) Đặt utgx1vớiu=+ ≥0 Thì u1tg2 −= x (*) thành 3u() u22+= 1 5( u + 2) ⇔3u32 − 5u +−= 3u 10 0 ⇔−()u23uu5( 2 ++=) 0 ⇔=∨u 2 3u2 ++= u 5 0( vô nghiệm) Do đó ()* ⇔ tgx+= 1 2 www.MATHVN.com
MATHVN.COM ⇔+=tgx 1 4 ⎛⎞π π ⇔==α−<α<tgx 3 tg⎜⎟ với ⇔ xkk=+α π , ∈] ⎝⎠22 1 Bài 144 : Giải phương trình 1−+ cos x cos x cos2x = sin 4x() * ()2 ()*⇔−() 1 cosx + cosx cos2x = sin2xcos2x ⎧cos x≥ 0 ⇔−⎨ hay 1 cos x+ cos x= sin 2x ⎩cos 2x= 0 ⎧cos x≥ 0 ⎧cos x≥ 0 ⎪ ⎪ ⇔≥⎨⎨π hay sin 2x 0 2x=+π∈ k , k ] ⎪⎪ 2 ⎩ 2 ⎩12(1cosx)cosxsin2x+− = ⎧cos x≥ 0 ⎧cos x≥ 0 ⎪ ⎪ ⇔≥⎨⎨ππ hay sin 2x 0 xk,k=+ ∈] ⎪⎪ 2 ⎩ 42 ⎩12(1cosx)cosxsin2x(VT1VP)+− = ≥≥ ⎧cos x≥ 0 ⎧cos x≥ 0 ⎪ ⎪⎪sin 2x≥ 0 ⇔ ⎨⎨ππ5 hay xhhayxh,h=± + π =± + π ∈] sin2 2x= 1 ⎩⎪⎪44 ⎩⎪(1− cosx)cosx= 0 π ⇔=±+π∈xh,h] 4 ⎧⎧sin 2x== 1 sin 2x 1 hay ⎨⎨hay ⎩⎩cosx0(sin2x0)= ⇒= cosx1(sinx0sin2x0) =⇒=⇒= π ⇔=±+π∈xh,h] 4 Bài 145 : Giải phương trình sin33 x( 1++ cot gx) cos x( 1 += tgx) 2 sin x cos x( *) 33⎛⎞⎛⎞sinx++ cosx cosx sinx ()*sinx⇔+=⎜⎟⎜⎟cosx 2sinxcosx ⎝⎠⎝⎠sin x cos x ⇔+()sin x cos x() sin22 x + cos x = 2 sin x cos x ⎧sin x+≥ cos x 0 ⇔ ⎨ ⎩1+= sin 2x 2sin 2x ⎧π⎛⎞ ⎪sin⎜⎟ x+≥ 0 ⎧sin x+≥ cos x 0 ⎪ ⎝⎠4 ⇔⇔⎨⎨ ⎩sin 2x= 1 π ⎪xk,k= +π ∈] ⎩⎪ 4 www.MATHVN.com
MATHVN.COM ⎧π⎛⎞ ⎪sin⎜⎟ x+≥ 0 ⎪ ⎝⎠4 ⇔ ⎨ ππ ⎪xk,k+=+π∈] ⎩⎪ 42 ⎧π⎛⎞ ⎪sin⎜⎟ x+≥ 0 ⎪ ⎝⎠4 ⇔ ⎨ ππ π3 π ⎪xh2hayxh2,h+=+ π += + π∈] ⎩⎪ 42 4 2 π ⇔=+xh2,h π∈] 4 Bài 146 : Giải phương trình cos 2x++ 1 sin 2x = 2 sin x + cos x() * ⎛⎞π Điều kiện cos 2x≥+ 0 và sin⎜⎟ x≥ 0 ⎝⎠4 Lúc đó : ()*⇔−++=+ cos22 x sin x() cos x sin x2 2 cos x sin x ⇔−++cos22 x sin x() cos x sin x22 + 2 cos 2x() cos x + sin x =+4sinx() cosx ⇔+++=+cosx() cosx sinx( sinx cosx) cos2x 2( sinx cosx) ⎡sin x+= cos x 0 ⇔ ⎢ ⎣cos x+= cos 2x 2 ⎡tgx=− 1 ⇔ ⎢ ⎣⎢ cos2x=− 2 cos x() * * ⎡tgx=− 1 ⇔ ⎢ 2 ⎣cos 2x=− 4 4 cos x + cos x ⇔=−∨+tgx 1 cos2 x 4 cos x −= 5 0 ⇔=−∨=∨=−tgx1cosx1cosx5loại( ) π ⇔=−+π∨=xkxk2,k π∈] 4 ππ⎛⎞ Thử lại : •=−+πx k thì cos 2x = cos⎜⎟ − = 0() nhận 42⎝⎠ ⎛⎞π Và sin⎜⎟ x+= sin k π= 0() nhận ⎝⎠4 •=πx k2 thì cos 2x = 1( nhận) ⎛⎞ππ và cos⎜⎟ x+= cos > 0() nhận ⎝⎠44 π Do đó (*) ⇔ xkxk2,k=− + π∨ = π ∈] 4 Chú ý : Tại ( ) có thể dùng phương trình lượng giác không mực www.MATHVN.com
MATHVN.COM ⎪⎧cos x+= cos 2x 2 () ⇔ ⎨ ⎩⎪sin x+≥ cos x 0 ⎧cos x= 1 ⎪ 2 ⇔=−⎨cos 2x 2cos x 1= 1 ⎪ ⎩sin x+≥ cos x 0 ⎧cos x= 1 ⇔⇔⎨ x2k,k=π∈] ⎩sin x+≥ cos x 0 Cách khác ()*⇔−++=+ cos22 x sin x() cos x sin x2 2 cos x sin x ⇔+(cos x sin x).(cos x −+ sin x )() cos x += sin x2 2 cos x + sin x ⎪⎧cos x+> sin x 0 ⇔+=cos x sin x 0 hay ⎨ ⎩⎪ cos x− sin x++=() cos x sin x 2 ⎪⎧cos x+> sin x 0 ⇔=−tgx 1 hay ⎨ ⎩⎪2cosx2cos2x4+ = ⎪⎧cos x+> sin x 0 ⇔=−tgx 1 hay ⎨ ⎩⎪cos x+ cos 2x= 2 π ⎧cos x= 1 ⇔=−+π∈xk,khay] ⎨ 4 ⎩cos 2x= 1 π ⇔=−+πxkhayx2k,k=π∈] 4 ( nhận xét: khi cosx =1 thì sinx = 0 và sinx + cosx = 1 > 0 ) BÀI TẬP 1. Giải phương trình : a/ 1sinxcosx0++= 4x cos− cos2 x b/ 3 = 0 1tgx− 2 c/ sin x+=++ 3 cos x 2 cos 2x 3 sin 2x d/ sin2 x− 2sin x+= 2 2sin x − 1 3tgx e/ 23sinx=−3 2sinx− 1 sin24 2x+− cos 2x 1 f/ = 0 sin cos x g/ 8 cos 4x cos2 2x+− 1 cos 3x += 1 0 h/ sin x++ sin x sin2 x += cos x 1 www.MATHVN.com
MATHVN.COM k/ 5−−=− 3sin2 x 4 cos x 1 2cos x l/ cos 2x=+ cos2 x 1 tgx 2. Cho phương trình : 1sinx1sinxmcosx1++−= ( ) a/ Giải phương trình khi m = 2 b/ Giải và biện luận theo m phương trình (1) 3. Cho f(x) = 3cos62x + sin42x + cos4x – m a/ Giải phương trình f(x) = 0 khi m = 0 b/ Cho gx()= 2cos2x3cos2x122+. Tìm tất cả các giá trị m để phương trình f(x) = g(x) có nghiệm. ()ĐS : 1≤≤ m 0 4. Tìm m để phương trình sau có nghiệm 12cosx12sinxm+++= (ĐS : 1+≤≤+ 3 m 2 1 2 ) B) PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA CÁC TRỊ TUYỆT ĐỐI Cách giải : 1/ Mở giá trị tuyệt đối bằng định nghĩa 2/ Áp dụng •=⇔=±A BAB ⎧⎧B0≥≥⎧B0≥ A0⎧ A0< •=⇔ ⇔ ⇔ ∨ AB ⎨⎨22 ⎨⎨ ⎩⎩A = ±=BA⎩AB= B⎩A=−B Bài 147 : Giải phương trình cos 3x=− 1 3 sin 3x( *) ⎪⎧13sin3x0−≥ ()* ⇔ ⎨ 22 ⎩⎪cos 3x=− 1 2 3 sin 3x + 3sin 3x ⎧ 1 ⎪sin 3x ≤ ⇔ ⎨ 3 ⎪ 22 ⎩1−=−+ sin 3x 1 2 3 sin 3x 3sin 3x ⎧ 1 ⎪sin 3x ≤ ⇔ ⎨ 3 ⎪ 2 ⎩4sin 3x−= 2 3sin3x 0 ⎧ 1 ⎪sin 3x ≤ ⎪ 3 ⇔ ⎨ 3 ⎪sin 3x=∨ 0 sin 3x = ⎩⎪ 2 ⇔=sin 3x 0 kπ ⇔=x,k ∈] 3 www.MATHVN.com