Giáo trình Toán tài chính (Phần 1)

Nội dung text: Giáo trình Toán tài chính (Phần 1)

1. Lời nói đầu Toán Tài chính là một môn toán ứng dụng, sử dụng công cụ toán học nhằm giải quyết những vấn đề của tài chính và ngân hàng. Toán Tài chính xây dựng một cách có hệ thống các công thức, phương trình để xử lý chính xác các bài toán liên quan đến tài chính: tính tiền lãi, hiện tại hóa, tư bản hóa một nguồn vốn, chiết khấu thương phiếu, Toán tài chính cũng còn được áp dụng trong các lĩnh vực của quản lý: thẩm định dự án đầu tư, đánh giá tình hình tài chính của một công ty, và vào việc thanh t oán các khoản nợ thông thường, nợ trái phiếu, đặc biệt được áp dụng trên thị trường chứng khoán. Toán Tài chính rất có ích lợi cho sinh viên các ngành Tài chính, Ngân hàng, Quản trị kinh doanh . Cuốn sách này bước đầu cung cấp một cơ sở lý thuyết về Toán tài chính. Có một số vấn đề nêu trong cuốn sách hiện nay còn chưa được áp dụng trong các ngân hàng ở Việt Nam, nhưng trong tương lai không xa, sẽ được dùng phổ biến theo tập quán của các ngân hàng trên thế giới. Những vần đề liên quan đến cổ phiếu và thị t rường chứng khoán chưa được đề cập đến. Tuy nhiên, cuốn sách này đã trang bị một cơ sở kiến thức cơ bản về Toán tài chính, đủ giúp cho sinh viên thực hiện những nghiên cứu sâu hơn của mình sau này. Cuốn sách này được dùng làm tài liệu giảng dạy và học tập cho các giảng viên và sinh viên trường Đại học Kinh doanh và Công nghệ Hà Nội. Hy vọng cuốn sách đáp ứng được yêu cầu đào tạo của Nhà trường. Sử dụng kèm theo cuốn sách là Bảng tài chính. Đó là các bảng cho sẵn các giá trị với 6 hoặc 7 chữ số thập phân của 5 hàm số thường dùng trong Toán tài chính, giúp cho việc tính toán dễ dàng hơn. Khi biên soạn, cuốn sách không tránh khỏi thiếu sót. Rất mong nhận được sự đóng góp quý báu của tất cảc các bạn đọc. Người biên soạn 3
2. Mục lục Chương I. Lãi đơn 9 Đ1. Đại cương 9 1. Định nghĩa 9 2. Lãi đơn 9 3. Giá trị thu được 10 4. Lãi suất trung bình 10 5. Lãi suất hiệu dụng 11 Đ2. Phương pháp thực hành tính lãi đơn 11 1. Phương pháp số và ước số cố định 11 2. Trường hợp năm dân sự 12 Chương II. Chiết khấu theo lãi đơn 14 Đ1. Chiết khấu 14 1. Thương phiếu 14 2. Chiết khấu 14 3. Chiết khấu thương mại theo lãi đơn 14 4. Chiết khấu hợp lý theo lãi đơn 15 5. Các mối quan hệ giữa chiết khấu thương mại và chiết khấu hợp lý 16 Đ2. Thực hành chiết khấu 17 1. Chi phí chiết khấu (agio) 17 2. Giá trị ròng của thương phiếu 18 3. Lãi suất thực tế chiết khấu và lãi suất giá thành chiết khấu 18 Đ3. Sự tương đương của các thương phiếu theo lãi đơ n 20 1. Các định nghĩa 20 2. Định lý về sự tương đương 21 4
3. Đ4. Một số bài toán ứng dụng 23 1. Bài toán về thời hạn trả chung 23 2. Bài toán về thời hạn trả trung bình 23 Chương III. Lãi gộp 25 Đ1. Đại cương 25 Đ2. Công thức tính lãi gộp 25 1. Giá trị thu được 25 2. áp dụng 25 3. Trường hợp khoảng thời gian không phải là một số nguyên 26 4. Lãi suất tỉ lệ và lãi suất tương đương 29 Đ3. Hiện tại hoá và chiết khấu theo lãi gộp 30 1. Hiện tại hoá 30 2. Tính giá trị của một khoản vốn tại một thời kỳ tuỳ ý 30 3. Chiết khấu theo lãi gộp 31 Đ4. Sự tương đương của các thương phiếu theo lãi gộp 32 1. Định nghĩa 32 2. Định lý cơ bản về sự tương đương của các thương phiếu 33 3. Thời hạn trả chung và thời hạn trả trung bình 34 4. Các ví dụ áp dụng 34 Đ5. So sánh các loại chiết khấu 37 1. Các công thức đã có về chiết khấu theo lã i đơn và lãi gộp 37 2. So sánh Ec và Er 37 3. So sánh Ec và e 37 4. So sánh Er và e 38 5. Tóm tắt 38 5
4. Đ 6. Tư bản hoá và hiện tại hoá liên tục 38 1. Tư bản hoá liên tục 38 2. Hiện tại hoá liên tục 39 Chương IV. Dãy niên kim 40 Đ1. Đại cương 40 1. Định nghĩa 40 2. Các loại dãy niên kim 40 Đ2. Dãy niên kim cố định cuối kỳ 40 1. Số tiền thu được của dãy niên kim cố định cuối kỳ 40 2. Các ví dụ áp dụng 41 3. Giá trị hiện tại của dãy niên kim cố định cuối kỳ 44 Đ3. Dãy niên kim cố định đầu kỳ 45 1. Số tiền thu được 45 2. Giá trị hiện tại 45 Đ4. Giá trị của một dãy niên kim tại một thời điểm bất kỳ 46 1. Giá trị của dãy niên kim tại thời điểm p 46 2. Thời hạn trả trung bình 47 3. Sự tương đương của các dãy niên kim 48 Đ5. Dãy niên kim bất kỳ 48 1. Tổng quát 48 2. Dãy niên kim lập thành một cấp số cộng 49 3. Dãy niên kim lập thành một cấp số nhân 49 Đ6. áp dụng của dãy niên kim: thẩm định dự án đầu tư 51 1. Một số tiêu chuẩn thẩm định dự án đầu tư: NPV và IRR 51 2. Ví dụ 53 6
5. Chương V. Thanh toán nợ thông thường 55 Đ1. Đại cương 55 1. Phương thức vay vốn 55 2. Phương thức và công thức thanh toán nợ thông thường 55 3. Bảng thanh toán nợ 56 Đ2. Thanh toán nợ thông thường 56 1. Quan hệ giữa niên kim và phần thanh toán nợ gốc 56 2. Các quy tắc cơ bản 58 3. Ví dụ 60 4. Thanh toán nợ bằng các niên kim cố định (a k = a = const) 61 5. Thanh toán nợ với các khoản thanh toán nợ gốc cố định (m k = m = const) 63 Đ3. Một vài phương thức thanh toán đặc biệt 64 1. Vay nợ với tiền lãi trả trước 64 2. Thanh toán nợ gốc một lần 66 Chương VI . Thanh toán nợ trái phiếu 67 Đ1. Đại cương 67 Đ2. Lý thuyết chung về thanh toán nợ trái phiếu 67 1. Cơ sở dữ liệu 67 2. Các công thức 68 3. Một số trường hợp thanh toán đặc biệt 70 4. Bảng thanh toán nợ 71 5. Tình hình thanh toán trái phiếu 73 Đ3. Một số đặc trưng về thời hạn của trái phiếu 74 1. Median của trái phiếu 74 2. Thời hạn trung bình của trái phiếu 75 7
6. Đ4. Lãi suất đầu tư và lãi suất giá thành 76 1. Khái niệm 76 2. Trường hợp niên kim cố định 77 3. Trường hợp số trái phiếu thanh toán cố định 77 4. Ví dụ 78 5. Lãi suất đầu tư của người mua trái phiếu 79 Chương VII. Định giá các khoản nợ 81 Đ1. Định giá khoản nợ thông thường 81 1. Định giá 81 2. Quyền thu lợi toàn phần và quyền sở hữu danh nghĩa toàn phần 81 3. Quyền thu lợi đơn vị và quyền sở hữu danh nghĩa đơn vị 82 4. Quan hệ của quyền thu lợi đơn vị và định giá đối với quyền sở hữu danh nghĩa đơn vị 82 5. Quyền sở hữu danh nghĩa đơn vị trong một số trường hợp đặc biệt 84 Đ2. Định giá khoản nợ trái phiếu 87 1. Trái phiếu với giá thanh toán ngang mệnh giá 87 2. Trái phiếu với giá thanh toán cao hơn mệnh giá 89 3. Các ví dụ 89 Bài tập 92 8
7. Chương I Lãi đơn Đ1. Đại cương 1. Định nghĩa Tiền lãi là số tiền mà người đi vay phải trả thêm cho người cho vay, sau một khoảng thời gian nào đó, ngoài số tiền đã vay ban đầu. Đó chính là số tiền thuê khoản vốn ban đầu. Lãi suất theo một đơn vị thời gian (đ.v.t.g.) là tỉ số giữa số tiền lãi phải trả trong đ.v.t.g. đang xét và số tiền đi vay. Về mặt giá trị, lãi suất bằng số tiền lãi phải trả trong một đ.v.t.g cho một đơn vị vốn vay. Lãi suất không có đơn vị đo (thứ nguyên) và thường được tính bằng %. Giá trị gốc của một khoản vốn là giá trị được xác định tại thời điểm 0, thời điểm gốc bắt đầu tính lãi. Giá trị thu được (Số tiền thu được) của một khoản vốn tại một thời điểm nào đó bằng giá trị gốc cộng với tiền lãi phát sinh trong khoảng thời gian từ thời điểm 0 đến thời điểm đang xét (thời hạn cho vay). 2. Lãi đơn Lãi đơn là tiền lãi được tính trên số vốn vay ban đầu trong suốt thời gian vay với lãi suất cố định. Lãi đơn tỉ lệ thuận với số vốn ban đầu, lãi suất và thời hạn cho vay. Gọi I là lãi đơn, C - số vốn ban đầu, a - khoảng thời gian cho vay tính theo năm, i - lãi suất một năm. Khi đó I = C.i.a Thông thường, đặt t là lãi suất cho 100 đơn vị tiền tệ (chẳng hạn i = 9% = 0,09 thì t = 9). Khi đó C.t.a I (1) 100 Nếu m là khoảng thời gian tính theo tháng, ta có C.t.m I (2) 1200 Nếu n là khoảng thời gian tính theo ngày, ta có C.t.n I (3) 36000 9
8. 3. Giá trị thu được Gọi C’ là giá trị (số tiền) thu được của khoản vốn ban đầu C C.t.n  sau n ngày, ta có C' C I C (4a) 36000 C.t.m  sau m tháng, ta có C’ = C + I = C + (4b) 1200 C.t.a  sau a năm, ta có C’ = C + I = C + (4c) 100 Ví dụ: Một khoản vốn 100.000.000 đồng cho vay hôm 1/10. Tính số tiền thu được vào ngày 31/12, biết lãi suất là 9% năm. Giải: Từ 1/10 đến 31/12 có 91 ngày. Số tiền thu được tính theo công thức (4a) là 100.000.000x9x91 C' 100.000.000 102.275.000 đ 36000 4. Lãi suất trung bình Lãi suất trung bình của nhiều khoản vốn có lãi suất và khoảng thời gian cho vay khác nhau là lãi suất khi nó thay thế các lãi suất khác nhau sẽ cho tổng số lãi không đổi. Giả sử có p khoản vốn Ci cho vay với là lãi suất t i và thời hạn cho vay n i tương ứng. Gọi T là lãi suất trung bình, ta có: p C .T.n p C .t .n  i i  i i i i 1 36000 i 1 36000 Từ đó, ta tìm được p  Ci t in i i 1 (5) T p  Cin i i 1 Ví dụ: Một người cho vay 3 khoản vốn như sau Vốn Lãi suất Thời hạn cho vay 3800 USD 7,5% Từ 25/5 đến 15/7 6420USD 8,2% Từ 25/5 đến 31/7 780 USD 8,5% Từ 25/5 đến 31/8 Tính lãi suất trung bình. 10
9. Giải: Tương ứng với 3 khoản vốn trên, thời hạn cho vay là 51, 67, 98 ngày. Lãi s uất trung bình tính theo công thức (5) là (3800x7,5x51) (6420x8,2x67) (780x8,5x98) T 8,04 (3800x51) (6420x67) (780x98) Lãi suất trung bình là 8,04% 5. Lãi suất hiệu dụng Trường hợp người cho vay được trả lãi trước, ngay tại thời điểm 0, thì lãi suất hiệu dụng sẽ cao hơn lãi suất quy định t đã thoả thuận. Với số vốn C sau n ngày, người cho vay thu được một khoản lãi I. Do I được trả trước, nên thực tế vào thời điểm 0, người đó chỉ cho vay khoản tiền là (C -I). Số vốn (C-I) ban đầu đã tạo nên số tiền lãi I. Gọi t’ là lãi suất hiệu dụng, khi đó: (C I).t'.n C.t.n I 36000 36000 C Từ đó suy ra t' t (6) C I Ta thấy ngay t’> t. Ví dụ: Một người cho vay 20.000 USD trả lãi trước với lãi suất thoả thuận 9%. Thời hạn cho vay là 20 tháng. Tính lãi suất hiệu dụng. Giải: Số tiền lãi thu được C.t.m 20000x9x20 I = 3000 (USD) 1200 1200 Vậy lãi suất hiệu dụng là: 20000 t' x 9 10,58 20000 3000 Lãi suất hiệu dụng xấp xỉ 10,58% Đ2. Phương pháp thực hành tính lãi đơn 1. Phương pháp số và ước số cố định Trong công thức Ctn I = 36000 11
10. ta chia cả tử và mẫu cho t và được Cn I = 36000 t 36000 Kí hiệu N = Cn và D = , ta sẽ có t N I = (7) D Đại lượng N được gọi là số. Đại lượng D được gọi là ước số cố định. Giá trị D sẽ ổn định khi lãi suất chưa thay đổi và được dùng chung cho các trường hợp vốn và thời hạn khác nhau. Phương pháp tính I qua công thức (7) gọi là phương pháp số và ước số cố định Ví dụ: Sử dụng phương pháp số và ước số cố định, tìm tổng lãi do đầu tư các nguồn vốn sau với lãi suất 9%: 5500 euro từ 1/3 đến 31/7 2625 euro từ 1/3 đến 31/8 870 euro từ 1/3 đến 30/9 Giải: Thời hạn đầu tư từng nguồn vốn lần lượt là n 1 = 152, n2 = 183, n3 = 213 (ngày) 36000 Ước số cố định D = 4000 9 Tổng lãi thu được: 1 1 I I I I (N N N ) (C n C n C n ) 1 2 3 D 1 2 3 D 1 1 2 2 3 3 1 (5500x52 2625x183 5500x213) 621,97 euro 4000 2. Trường hợp năm dân sự Một năm dân sự có 365 ngày. Do đó khi sử dụng công thức tính lãi thương mại (một năm có 360 ngày) để tính lãi trong trường hợp năm dân sự ta phải điều chỉnh như sau: 36500 N Đặt D’ = thì số tiền lãi dân sự là I’ = t D' Ví dụ: Sự chênh lệch giữa lãi thương mại và lãi dân sự của một nguồn vốn C đầu tư với lãi suất 9,5% trong thời hạn 72 ngày là 1,14 triệu đồng. Tìm nguồn vốn C. 12
11. Giải: Cx9,5x72 Cx9,5x72 Từ 1,14 36000 36500 ta có Cx9,5x72x(36500 36000) 1,14 36000x36500 và tìm được nguồn vốn 36000x36500x1,14 C= 4.380 triệu đồng 9,5x72x500 13
12. Chương II Chiết khấu theo lãi đơn Đ1. Chiết khấu 1. Thương phiếu Thương phiếu là chứng từ biểu thị một quan hệ tín dụng, một nghĩa vụ trả tiền, được lập ra trên cơ sở các giao dịch thương mại. Thông thường, thương phiếu có hối phiếu, lệnh phiếu. Hối phiếu là một tờ lệnh trả tiền vô điều kiện của một người (người ký phát) gửi cho một người khác (người bị ký phát) để yêu cầu người này phải trả, vào một ngày xác định, số tiền ghi trên hối phiếu cho chính người ký phát hoặc cho một người xác định (người được hưởng) Lệnh phiếu là một giấy cam kết vô điều kiện do một người lập và ký tên, gửi cho một người khác, cam kết mình sẽ trả, vào một ngày xác định, một khoản ti ền cho người đó hoặc cho người được hưởng. Số tiền ghi trên thương phiếu được gọi là mệnh giá của thương phiếu. Ngày mà người bị ký phát phải trả tiền được gọi là ngày đáo hạn của thương phiếu. Một thương phiếu có thể được chuyển nhượng dễ dàng. 2. Chiết khấu Khi chưa đến ngày đáo hạn, người được hưởng đem thương phiếu đến ngân hàng yêu cầu chiết khấu. Chiết khấu thương phiếu là một nghiệp vụ tài chính thực hiện bằng việc bán lại thương phiếu chưa đến hạn cho ngân hàng: ngân hàng trả một số tiền ghi trên thương phiếu sau khi đã trừ bớt một khoản tiền. Khoản tiền bị trừ bớt được gọi là tiền chiết khấu. Giá trị hiện tại của thương phiếu chính bằng mệnh giá trừ đi tiền chiết khấu. Ký hiệu mệnh giá là C, tiền chiết khấu là E, giá trị hiện tại là V, ta có V = C - E (1) 3. Chiết khấu thương mại theo lãi đơn Số tiền chiết khấu thương mại là số tiền lãi tính trên mệnh giá C của thương phiếu, thường được kí hiệu là E c. 14
13. Ngày mà ngân hàng làm chiết khấu được gọi là ngày thỏa thuận. Gọi t là lãi suất chiết khấu thỏa thuận, n là số ngày tính từ ngày thoả thuận đến ngày đáo hạn. Số tiền chiết khấu thương mại E c được tính như công thức lãi đơn: Ctn Cn E (2) c 36000 D Khi đó giá trị hiện tại thương mại sẽ là Vc = C - Ec. Vậy Ctn C(36000 tn) V C (3) c 36000 36000 hay Cn C(D n) V C (3’) c D D Ví dụ: Giá trị hiện tại thương mại vào ngày 25/8 của một thương phiếu chiết khấu với lãi suất 9% là 7.868 USD. Nếu thương phiếu này được chiết khấu 30 ngày trước ngày đáo hạn, thì số tiền chiết khấu sẽ ít hơn 72 USD so với tiền chiết khấu vào ngày 25/8. Tìm mệnh giá và ngày đáo hạn của thương phiếu. Giải: Khi chiết khấu 30 ngày trước ngày đáo hạn, số tiền chiết khấu ít hơn 72 USD hay giá trị hiện tại sẽ lớn hơn 72 USD so với giá trị hiện tại vào ngày 25/8. Vậy giá trị hiện tại vào ngày đó là 7.868 + 72 = 7.940 (USD) Theo công thức (3) ta có: C(36000 9x30) 7940 36000 suy ra C = 8.000 (USD) Gọi n là số ngày tính từ 25/8 đến ngày đáo hạn, theo công thức (2), ta có 8000x9xn 8000 7868 hay n = 66 (ngày) 36000 Ngày đáo hạn là 66 ngày sau 25/8. Đó là ngày 30/10 4. Chiết khấu hợp lý theo lãi đơn Số tiền chiết khấu hợp lý là số tiền lãi tính trên giá trị hiện tại (hợp lý) của thương phiếu, thường được ký hiệu là E r. Giá trị hiện tại (hợp lý) được ký hiệu V r 15
14. Vậy Vr n Er = D V n V (D n) Từ C V E V r r , ta tìm được r r r D D D Vr = C (4) D n Mặt khác CD Cn Er = C - Vr = C - D n D n ta có Cn N E (5) r D n D n Ví dụ: Một thương phiếu có mệnh giá 1.260 euro được chiết khấu 45 n gày trước ngày đáo hạn (thường gọi: có thời hạn 45 ngày). Giả sử lãi suất chiết khấu là 6%, tìm số tiền chiết khấu thương mại và hợp lý, giá trị hiện tại thương mại và hợp lý của thương phiếu. Giải: 36000 Ước số cố định D = 6000 6 Cn 1260x45 Chiết khấu thương mại: Ec = 9,45 (euro) D 6000 Cn 1260 x 45 Chiết khấu hợp lý: Er = 9,38 (euro) D n 6000 45 Giá trị hiện tại thương mại: Vc = C - Ec = 1.260 - 9,45 = 1.250,55 (euro) Giá trị hiện tại hợp lý: Vr = C - Er = 1.260 - 9,38 = 1.250,62 (euro) 5. Các mối quan hệ giữa chiết khấu thương mại và chiết khấu hợp lý a) So sánh: N N Từ Ec = và E , ta có Ec Er D r D n Chiết khấu thương mại luôn luôn lớn hơn chiết khấu hợp lý. 16
15. Chú thích: Khi tính theo lãi đơn, đại bộ phận các Ngân h àng sử dụng chiết khấu thương mại, vì điều đó có lợi cho Ngân hàng. b) Chênh lệch: Ta tính Ec - Er N N Nn E - E c r D D n D(D n) N n D n E r n Vậy Ec - Er = (6) D D N n D E c n hay Ec - Er = (7) D n D n Sự chênh lệch giữa chiết khấu thương m ại và chiết khấu hợp lý bằng chiết khấu thương mại của chiết khấu hợp lý, hoặc bằng chiết khấu hợp lý của chiết khấu thương mại c) Tỉ số N E D n Ta tính c D (8) E r N D D n d) Quan hệ giữa C, E c và Er 1 1 D n D n n Ta xét E r E c N N N Cn 1 1 1 Vậy (9) E r E c C Đ2. Thực hành chiết khấu 1. Chi phí chiết khấu (agio) Khi một thương phiếu được đem chiết khấu, Ngân hàng giữ lại chẳng những tiền chiết khấu, mà còn các khoản tiền khác, như các loại tiền hoa hồng, tiền thuế đánh vào các hoạt động tài chính. Tất cả các khoản tiền đó được gọi là tiền chi phí chiết khấu (agio). Như vậy chi phí chiết khấu gồm các khoản tiền sau: Tiền chiết khấu Các loại hoa hồng 17
16. Thuế đánh vào các hoạt động tài chính Có rất nhiều các loại khoản tiền hoa hồng. Chúng được phân thành các loại sau: Tiền hoa hồng được tính tỉ lệ thuận theo thời hạn. Công thức tính các loại hoa hồng này (chẳng hạn hoa hồng chuyển nhượng) tương tự như tính chiết khấu nhưng với lãi suất khác, Tiền hoa hồng được tính không phụ thuộc vào thời hạn, Tiền hoa hồng cố định. Đó là các lệ phí tính theo từng thương phiếu như lệ phí phục vụ, lệ phí chuyển tiền khác địa điểm, lệ phí báo có, lệ phí chấp thuận chiết khấu, 2. Giá trị ròng của thương phiếu Giá trị ròng của thương phiếu là số tiền mà người được hưởng thực sự nhận được sau khi đã khấu trừ agio. Vậy: Giá trị ròng = Mệnh giá - agio Giá trị hiện tại = Mệnh giá - Tiền chiết khấu 3. Lãi suất thực tế chiết khấu và lãi suất giá thành chiết khấu Các khoản tiền hoa hồng và thuế đã làm tă ng lãi suất mà người được hưởng phải gánh chịu. Lãi suất chiết khấu t thoả thuận được rút ra từ công thức: Ctn Ec = . 36000 Vậy E . 36000 t = c Cn Trên thực tế, ngân hàng đã khấu trừ agio (chứ không phải E c), vì vậy lãi suất thực tế chiết khấu T sẽ được tính bởi công thức: agio . 36000 T = (10) Cn Khi thay mệnh giá bởi giá trị ròng, ta thu được công thức tính lãi suất giá thành chiết khấu T’ agio . 36000 T’ = (11) (Giỏ tri rũng) . n Chú thích: t < T < T’ 1 1 n (12) T T' 36000 18
17. Chứng minh các hệ thức trên dễ dàng. Ví dụ 1: Một thương phiếu 1.000 euro có ngày đáo hạn 30/11 được đem chiết khấu ngày 1/10. Người được hưởng chấp nhận các điều kiện sau: Lãi suất chiết khấu: 8,60% Lãi suất hoa hồng chuyển nhượng: 0,40% (tỉ lệ thuận theo thời hạn) Lệ phí phục vụ: 1 euro/1 thương phiếu Lệ phí báo có: 2,5 euro/1 thương phiếu Thuế đánh vào các hoạt động tài chính : 17,60% Tính agio, giá trị ròng, lãi suất thực tế chiết khấu , lãi suất giá thành chiết khấu. Giải: a) Tính agio Từ 1/10 đến 30/11 có 60 ngày. 1000 x 8,60 x 60 Tiền chiết khấu E c: 14,333 36000 1000 x 0,40 x 60 Hoa hồng chuyển nhượng: 0,666 36000 Hoa hồng cố định: 1+2,5 = 3,500 Thuế 17,60% của 3,5 = 3,5 x 17,60% = 0,616 Vậy agio: 19,12 (euro) b) Giá trị ròng: 1000 - 19,12 = 980,88 (euro) c) Lãi suất chiết khấu thực tế: 19,12 x 36000 T = 11,47 (%) 1000 x 60 d) Lãi suất giá thành: 19,12 x 36000 T’ = 11,71(%) 980,88 x 60 Ví dụ 2: Ngày 1/10 một doanh nghiệp đưa đến Ngân hàng một thương phiếu để chiết khấu. Ngày đáo hạn của thương phiếu là 31/12. Biết lãi suất thực tế chiết khấu là 9,60%, tìm lãi suất giá thành chiết khấu. Giải: Từ 1/10 đến 31/12 có 91 ngày. 1 1 n Từ công thức , ta có T T' 3600 1 1 n 36.000 T.n T' T 36.000 36000.T 19
18. Vậy 36000.T 36000 x 9,6 T’ = 9,84 ( % ) 36000 - T.n 36000 9,6 x 91 Đ3. Sự tương đương của các thương phiếu theo lãi đơn 1. Các định nghĩa a) Sự tương đương của hai thương phiếu Hai thương phiếu được gọi là tương đương tại một ngày nào đó, nếu cả hai thương phiếu đều có giá trị hiện tại bằng nhau vào ngày đó, khi chúng được chiết khấu cùng lãi suất và cùng phương thức. Ngày mà hai thương phiếu tương đương được gọi là thời điểm tương đương. Thời điểm này phải xẩy ra trước ngày đáo hạn của hai thương phiếu. Gọi C1, C2 là mệnh giá của hai thương phiếu, V 1, V2 là giá trị hiện tại của hai thương phiếu. Tại thời điểm tương đương, ta có V1 = V2 C1 - E1 = C2 - E2 Thông thường trong tính toán tương đương của các thương phiếu, ta dùng chiết khấu thương mại. Gọi n1 và n2 là thời hạn của hai thương phiếu. Ta có sơ đồ sau: Thời điểm tương đương n1 n2 V1 = V2 C1 C2 Tại thời điểm tương đương: C n C n C 1 1 C 2 2 (13) 1 D 2 D hay C (D n ) C (D - n ) 1 1 2 2 D D Vậy C D n 1 2 (14) C2 D n1 20
19. Chú thích: n1 0 thì thời điểm thứ 2 xảy ra sau thời điểm thứ nhất, nếu p < 0 thì thời điểm thứ 2 xảy ra trước thời điểm thứ nhất. 21
20. Chú ý rằng các thời điểm này (nếu có) đều xẩy ra trước ngày đáo hạn của cả hai thương phiếu. Tại thời điểm tương đương thứ 2, gọi n’ 1 và n’2 là thời hạn của hai thương phiếu. Khi đó n’1 = n1 - p , n’2 = n2 - p và C D n' D - (n - p) 1 2 2 ( ) C 2 D n'1 D (n1 p) So sánh (*) và ( ): D n 2 (D - n 2 ) p (D - n 2 )p (D - n1 )p (n1-n2) p = 0 D n1 (D n1 ) p Vì hai thương phiếu khác nhau nên n1 n2 , vậy p = 0 . Đó là điều phải chứng minh. Định lý 2 Thời điểm tương đương của một thương phiếu với một nhóm c ác thương phiếu khác là duy nhất, trừ trường hợp mệnh giá của thương phiếu đó bằng tổng các mệnh giá của các thương phiếu trong nhóm. Trong trường hợp này, nếu sự tương đương đã xẩy ra tại một thời điểm nào đó thì sự tương đương luôn luôn xẩy ra tại mọi thời điểm (trước tất cả các ngày đáo hạn của mọi thương phiếu). Chứng minh: Vào thời điểm tương đương, ta có p Cn C k .n k C = (C k ) (*) D k 1 D Nếu có một thời điểm tương đương thứ 2 cách thời điểm tương đương ban đầu s ngày, thì tại thời điểm tương đương này, ta có: C(n s) p C (n s) k k C  C k D k 1 D p p Cn Cs C k n k Ck s C -  C k +  D D k 1 D k 1 D Cs s p p C k Cs sC k D D k 1 k 1 p C - Ck .s 0 ( ) k 1 p Nếu C  Ck thì s = 0, hay thời điểm tương đương là duy nhất. k=1 p Nếu C  Ck thì ( ) được thoả mãn với mọi s. k=1 Đó là điều phải chứng minh. 22
21. Chú thích: p Trong chứng minh trên, giả thiết (*) đã dẫn đến hệ thức ( ). Vậy nếu chỉ có C Ck k 1 thì không phải lúc nào cũng có (*). Điều đó có nghĩa là phải giả thiết sự tương đương đã từng xẩy ra tại một thời điểm nào đó rồi. Đ4. Một số bài toán ứng dụng 1. Bài toán về thời hạn trả chung Khi một người muốn thay thế một nhóm các thương phiếu bằng một thương phiếu duy nhất, người ta gọi đó là bài toán về thời hạn trả chung. Giả sử thương phiếu duy nhất có mênh giá C và thời hạn n ngày, ta sẽ có 2 loại bài toán sau: Biết C tìm n (n thường được gọi là thời hạn trả chung) Biết n tìm C Việc tính toán trên thương phiếu cũng được áp dụng cho trường hợp thanh toán các khoản nợ theo lãi suất đơn Ví dụ: Ngày hôm nay, một người đi vay muốn thay thế 3 khoản nợ: 10.000 euro, 20.000 euro, 30.000 euro với thời hạn trả nợ tương ứng 30 ngày, 60 ngày, 90 ngày bằng m ột khoản nợ trả sau 40 ngày. Tìm số tiền của khoản nợ đó, biết lãi suất là 6%. Giải: 36000 Ước số chung D 6000 . Gọi số tiền của khoản nợ thay thế là C. 6 Phương trình tương đương là 40 30 60 90 C 1 = 10000 1 20000 1 30000 1 6000 6000 6000 6000 Từ đó tính được C = 59697,98 euro 2. Bài toán về thời hạn trả trung bình Trường hợp thay thế một nhóm các thương phiếu bằng một thương phiếu duy nhất có mệnh giá C bằng tổng các mệnh giá của nhóm thương phiếu được gọi là bài toán về thời hạn trả trung bình. 23
22. Thời hạn n của thương phiếu thay thế được gọi là thời hạn trả trung bình. Vào ngày thay thế, phương trình tương đương là p p p Cn C k n k Cn 1 C  C k C C k C k n k D k 1 D D k 1 D k 1 p p Vì C = C k , nên Cn = Ck n k k 1 k 1 p  C k n k Vậy n = k 1 (16) p  C k k 1 Chú ý: Trong công thức (16), ta không cần sử dụng đến lãi suất. Ví dụ: Để thanh toán một khoản nợ 33.150 USD, người đi vay thoả thuận sẽ trả cho chủ nợ theo cách sau: Trả ngay: 20% khoản nợ, Phần còn lại: trả hàng tháng một kh oản tiền bằng nhau trong 18 tháng liên tiếp, lần trả đầu tiên sẽ sau ngày thoả thuận 1 tháng, Giả sử lãi suất 10%, tính: Số tiền trả hàng tháng Thời hạn trả trung bình Giải: a) Gọi khoản tiền trả hàng tháng là V (V = C k, k = 1, ,18) Vào ngày thoả thuận, số nợ chỉ còn 33150 x 80% = 26520 USD Phương trình tương đương: Vx10x1 Vx10x2 Vx10x18 26520 V V V 1200 1200 1200 10V 26520 = 18V - 1 2 18 1200 57 26520 = 18V - V 40 Ta tìm được V = 1600 USD b) Thời hạn trả trung bình tính bằng tháng, kể từ ngày đã thỏ a thuận (1600 x 1) (1600 x 2) (1600 x 18) n 9,5 tháng 1600 x 18 24
23. Chương III Lãi gộp Đ1. Đại cương Một khoản vốn được gọi là gửi theo lãi gộp, nếu sau mỗi thời kỳ tính theo lãi đơn, số tiền lãi thu được sẽ được gộp vào khoản vốn ở đầu thời kỳ để hình thành một khoản vốn mới và khoản vốn mới đó lại tạo ra tiền lãi ở thời kỳ tiếp theo, và tiếp tục như vậy cho đến hết thời kỳ cuối cùng. Quá trình tính giá trị tương lai của một khoản vốn theo phương thức tính lãi gộp được gọi là quá trình lãi được vốn hóa hay tư bản hoá. Đ2. Công thức tính lãi gộp 1. Giá trị thu được Gọi Co là số tiền ban đầu, n là số thời kỳ, i là lãi suất trong một thời kỳ, C k là giá trị thu được sau k thời kỳ. Ta tính lần lượt C1 = Co + Coi = Co(1+i) 2 C2 = C1 + C1i = C1(1+i) = Co(1+i) 3 C3 = C2 + C2i = C2(1+i) = Co(1+i) Bằng quy nạp, ta có công thức tính giá trị (số tiền) thu được sau n thời kỳ: n Cn = Co(1+i) (1) Chú thích: Dãy các giá trị thu được C n  tạo thành một cấp số nhân với công bội q = (1+i) Tiền lãi In thu được sau n thời kỳ là sự chênh lệch giữa C n và C0 hay In = Cn - Co. Vậy n In = Co[(1+i) -1] (2) 2. áp dụng Công thức (1) có 4 đại lượng Co ,C n ,i, n. Các bài toán áp dụng yêu cầu tìm đại lượng thứ 4, khi đã cho biết 3 đại lượng. 25
24. Trong tính toán thực hành, thường dùng Bảng tài chính. Đó là bảng cho sẵn các giá trị của 5 hàm số sau: Bảng I II III IV V (1+i)n - 1 1 - (1+i)-n i n -n Hàm số -n (1+i) (1+i) i i 1 - (1+i) Khi sử dụng các bảng tài chính, ta đối chiếu để tra tìm các số liệu. Vì các dữ liệu ban đầu nêu trong bảng là rời rạc, nên đối với các dữ liệu không có trong bảng thường dùng phương pháp nội suy. Hiện nay trong các Ngân hàng, song song với tra bảng, người ta còn sử dụng m áy tính. Ví dụ 1: Tính số tiền thu được của một khoản vốn 100.000.000 đồng sau 10 năm với lãi suất 6 tháng là 3%, biết quá trình tư bản hoá 6 tháng. Giải: Ta có Co = 100.000.000, n = 2x10 = 20, i = 0,03 20 Vậy C20 = 100.000.000 (1+0,03) Dùng bảng I, đối chiếu cột 3% và dòng n = 20, ta có 1,806111. Đó chính là giá trị của (1+0,03) 20. Từ đó Co = 180.611.100 đồng. Ví dụ 2: Giá trị thu được của một khoản vốn 100.000 USD cho vay trong 8 năm là 202.941,8 USD. Tìm lãi suất hàng năm. Giải: 8 Ta có C8 = C0(1+i) 202 941,8 = 100 000(1+i) 8 (1+i)8 = 2,029418 Dùng bảng I, đối chiếu ở dòng 8, tìm số 2,029418. Số đó ở cột 9,25. Vậy lãi suất hàng năm là 9,25%. 3. Trường hợp khoảng thời gian không phải là một số nguyên u u Xét trường hợp n = k+ , trong đó k  và 0 < < 1 v v Có 2 cách tính Cn : a) Phương pháp thương mại Để tính giá trị thu được C n ta vẫn sử dụng công thức (1) với 26
25. u n = k+ . v Ta gọi đó là giá trị thu được thương mại, ký hiệu Cnc . Vậy u k v Cnc = C0(1+i) (3) Vì n không nguyên, nên khi tính (3), ta không thể dùng bảng để trực tiếp tìm (1+i) n được, mà phải sử dụng phương pháp nội suy. Ví dụ: Tìm (1+i) 12,6 với i = 10(%) Với n = 12 và i = 10, tra bảng ta có: 3,138428 Với n = 13 và i = 10, tra bảng ta có: 3,452271 Phương pháp nội suy tuyến tính dựa trên giả thiết giá trị của hàm số (1+i) n biến thiên trong khoảng 12 ≤ n ≤ 13 như là một hàm bậc nhất và có đồ thị là một đoạn thẳng. 3,452271 B C 3,138428 A M N 12 12,6 13 n Ta có CM AM BN x AM = CM = BN AN AN Vậy (3,452271 - 3,138428)x 0,6 CM = = 0,1883058 1 Từ đó (1+i) 12,6 3,138428 + 0,1883058 = 3,3267338 Chú thích: Khi sử dụng máy tính thì (1+i) 12,6 3,32313384 Do đó việc dùng phương pháp nào cần được chỉ định trong các bài toán áp dụng. b) Phương pháp hợp lý u u Tách n = k + thành 2 phần: k và . v v k Sau k thời kỳ (k nguyên), số tiền th u được theo lãi gộp sẽ là C k = C0(1+i) . 27
26. u u Trong phần thời kỳ tiếp theo, số tiền C k sẽ tạo thêm một khoản lãi (đơn) là: C k . i. v v Tổng hai số tiền trên được gọi là số tiền (giá trị) thu được hợp lý (kí hiệu Cnr ): u u Cnr = Ck + Cki = Ck(1+i ) v v Vậy k u Cnr = C0(1+i) (1+ i) (4) v c) So sánh Cnc và Cnr Ta đã tìm được u k v Cnc = C0(1+i) (1+i) k u Cnr = C0(1+i) (1+i ) v u v u So sánh Cnc và Cnr đưa về so sánh hai đại lượng (1+i) và (1+i ) v Kí hiệu f(x) = (1+i) x và g(x) = 1+ix với i > 0. f(x) là một hàm mũ dạng y = a x với a = 1+i > 1 g(x) là một hàm bậc nhất y = ix + 1 với hệ số góc i dương Ta có f(0) = g(0) = 1 và f(1) = g(1) = 1 + i với x > 1 : f(x) > g(x) x = 1 : f(x) = g(x) 0 < x < 1 : f(x) < g(x) f(x) g(x) 1 x 0 1 u u u u u Vì 0 < < 1 nên f( ) < g( ) hay (1+i ) v < 1+i . v v v v 28
27. Từ đó Cnc 1+i 4 b) Lãi suất tương đương Hai lãi suất được gọi là tương đương, nếu trong cùng một thời gian tính theo lãi gộp, ta đều có cùng một giá trị thu được. Giả sử i là lãi suất năm, trong một năm chia làm k thời kỳ tư bản hóa và i k là lãi suất một thời kỳ. Giả sử hai lãi suất đó tương đương. Với một đơn vị tiền tệ, theo hai lãi suất trên, sau một năm thu được 1 k (1+i) và (1+ik) . k Do hai lãi suất là tương đương nên (1+i k) = 1+i Vậy 1 k ik = (1+i) -1 (6) 29
28. c) So sánh lãi suất tỉ lệ và lãi suất tương đương áp dụng công thức khai triển Newton k k j j (1+x) =  C k x j 0 k k(k 1) 2 k ta có: 1+i = (1+ik) = 1 + kik + ik + .+ ik 2! 1+i > 1 + kik i Vậy i > kik hay j = i . k k j và i là hai lãi suất tỉ lệ, i k và i là hai lãi suất tương đương. Do đó trong lãi gộp, lãi suất tỉ lệ luôn luôn cao hơn lãi suất tương đương. Đ3. Hiện tại hoá và chiết khấu theo lãi gộp 1. Hiện tại hoá Hiện tại hoá là một nghiệp vụ tài chính tính giá trị hiện tại của một số tiền được trả trong tương lai. Giá trị hiện tại đó bằng số tiền trả trong tương lai trừ đi phần lãi gộp phát sinh. Như thế, hiện tại hoá là nghiệp vụ đảo của nghiệp vụ tư bản hóa. Từ công thức n Cn = C0 (1 i) (1) ta có công thức tính giá trị hiện tại C 0 của một số tiền C n được trả sau n thời kỳ: n C0 C n (1 i) (7) 0 n | | C0 Cn n n C 0 C n (1 i) Cn = C0 (1 i) Chú thích: Các giá trị của hàm số (1 i) n được cho trong Bảng tài chính II. 2. Tính giá trị của một khoản vốn tại một thời kỳ tuỳ ý Giả sử Co là giá trị của một khoản vốn tại thời điểm gốc, ta cần tính các giá trị của khoản vốn đó vào các thời điểm (-m) và n -m 0 n C m C0 Cn 30
29. Khi sử dụng công thức (1), ta có n m Cn C0 (1 i) và C0= C-m (1 i) Như thế m n C n C m (1 i) Ví dụ: Một người mua một mặt hàng trả tiền sau có 2 phương án thanh toán: Phương án 1: Sau 1 năm trả 165.000.000 đồng, Phương án 2: Sau 3 năm trả 100.000.000 đồng và sau 4 năm trả tiếp 100.000.000 đồng. Tính phương án nào có lợi cho người mua hàng, giả sử lãi suất 8%/năm. Giải: So sánh các giá trị hiện tại của số tiền phải trả theo 2 phương án vào thời điểm 0 (thời điểm mua hàng): * Phương án 1: PA1 = 165.000.000 x (1+0,08)-1 = 152.777.778 đồng * Phương án 2: PA2 =100.000.000 x (1+0,08)-3 +100.000.000 x (1+0,8) -4 = 152.886.209 đồng. Như vậy phương án 1 có lợi cho người mua hàng theo lãi suất giả định 8% năm. 3. Chiết khấu theo lãi gộp Gọi C là mênh giá của một thương phiếu, V’ là giá trị hiện tại ở ngày thoả thuận chiết khấu, n là thời hạn của thương phiếu. Theo công thức tính lãi gộp thì V’ = C(1+i)-n (8) Vậy số tiền chiết khấu theo lãi gộp là e = C - V’ = C[1 - (1+i)-n] (9) Ta xem cách chiết khấu như trên được thực hiện theo phương thức nào. Trong lãi đơn với phương thức chiết khấu thương mại, người sở hữu thương phiếu nhận D - n được một số tiền Vc = C . Sau n thời kỳ, số tiền V c sản sinh tiền lãi đơn D n I V . c c D Vậy tới ngày đáo hạn thì tổng số tiền sẽ là n D n D n D n D 2 n 2 V V V C C C c c D c D D D D 2 31
30. Với phương thức chiết khấu hợp lý, người sở hữu thương phiếu nhận được một số tiền D n Vr= C . Số tiền Vr sẽ phát sinh tiền lãi đơn I r = V . D n r D Sau n thời kỳ thì tổng số tiền là n D n D D N V V V C . C r r D r D D n D Trở lại chiết khấu theo lãi gộp, người sở hữu thương phiếu nhận được số tiền là V’. Sau n thời kỳ, số tiền V’ sản sinh tiền lãi I = V’(1+i)n - V’ Vậy vào ngày đáo hạn, số tiền sẽ là V’ + I = V’+ V’(1+i)n - V’= V’(1+i)n = C(1+i)-n (1+i)n = C Do đó cách chiết khấu theo lãi gộp như trên chính là phương thức hợp lý. Chú thích: Trong nghiệp vụ tài chính dài hạn, vì thời gian khá lớn và tính theo lãi gộp, nên các ngân hàng đều dùng duy nhất phương thức này nhằm bảo đảm quyền lợi của khách hàng. Ví dụ: Một thương phiếu có mệnh giá 20.000 euro, thời hạn 4 năm, được đem chiết khấu theo lãi gộp. Số tiền chiết khấu là 4.742,10 euro. Tính lãi suất chiết khấu hàng năm. Giải: Số tiền chiết khấu e = 20.000[1 - (1+i)-4] = 4.742,10 (1+i)-4 = 0,762895 Tra bảng II, dòng 4, số liệu 0,762895 cho i = 7% Đ4. Sự tương đương của các thương phiếu theo lãi gộp 1. Định nghĩa a) Hai thương phiếu được gọi là tương đương tại một ngày nào đó, nếu cả hai thương phiếu đều có cùng giá trị hiện tại vào ngày đó, khi chúng được chiết khấu theo lãi gộp với cùng lãi suất. Giả sử 2 thương phiếu có mệnh giá C và D và thời hạn tương ứng là n và m thời kỳ. Vào thời điểm tương đương, ký hiệu thời điểm 0, các giá trị hiện tại là ' n ' m V1 C(1 i) ; V2 D(1 i) Vậy ta có phương trình tương đương C(1+i)-n = D(1+i)-m (10) b) Hai nhóm thương phiếu được gọi là tương đương vào một ngày nào đó, nếu tổng các giá trị hiện tại của hai nhóm thương phiếu vào ngày đó đều bằng nhau, khi chúng được chiết khấu theo lãi gộp với cùng lãi suất. 32
31. Xét 2 nhóm thương phiếu {Ck, nk, k = 1, , s} và {Bj, mj, j = 1, , q} Vào thời điểm tương đương, ta có phương trình s q nk m j Ck (1 i)  B j (1 i) (11) k 1 j 1 Chú thích: Ngày chiếu khấu tương đương bao giờ cũng xẩy ra trước tất cả những ngày đáo hạn của mọi thương phiếu. 2. Định lý cơ bản về sự tương đương của các thương phiếu Định lý Với lãi gộp, nếu sự tương đương đã xẩy ra vào một ngày nào đó, thì sự tương đương xẩy ra tại mọi thời điểm bất kỳ (trước ngày đáo hạn của các thương phiếu đang xét) Chứng minh: a) Trường hợp 2 thương phiếu tương đương Vào thời điểm tương đương, thời điểm 0, ta có C(1+i)-n = D(1+i)-m (*) Nhân hai vế của (*) với (1+i) p C(1+i)-n(1+i)p = D(1+i)-m(1+i)p hay C(1+i)-(n-p) = D(1+i)-(m-p) ( ) 0 p n m | | | | C D Vế trái ( ) là giá trị của C tính tại thời điểm p, về phải ( ) là giá trị của D tính tại thời điểm p. Phương trình ( ) chính là phương trình tương đương tại thời điểm p bất kỳ. b)Trường hợp 2 nhóm thương phiếu tương đương Vào thời điểm 0, ta có phương trình tương đương s q nk m j Ck (1 i)  B j (1 i) k 1 j 1 Nhân 2 vế với (1+i)p: s q (nk p) (mj p) Ck (1 i)  B j (1 i) k 1 j 1 Đó chính là phương trình tương đương tại thời điểm p. 33
32. Chú thích 1: Khác với trường hợp lãi đơn (sự tương đương chỉ xẩy ra vào một thời điểm duy nhất), khi tính sự tương đương của các thương phiếu theo lãi gộp, ta có thể lựa chọn thời điểm tương đương thuận lợi trong các tính toán Chú thích 2: Các bài toán về sự tương đương của các thương phiế u cũng được áp dụng cho các bài toán về sự thay thế tương đương các khoản nợ. 3. Thời hạn trả chung và thời hạn trả trung bình Tương tự như trong trường hợp lãi đơn, việc thay thế một nhóm các thương phiếu bằng một thương phiếu duy nhất cho ta bài toán về thời hạn trả chung. Nếu mệnh giá của thương phiếu thay thế duy nhất bằng tổng các mênh giá của các thương phiếu trong nhóm, ta sẽ có bài toán về thời hạn trả trung bình 4. Các ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Một người đi vay muốn thay thế 4 khoản nợ sau: 24.000 USD trả sau 1 năm, 16.000 USD trả sau 1 năm 6 tháng, 30.000 USD trả sau 2 năm 6 tháng, 40.000 USD trả sau 4 năm, bằng một khoản nợ duy nhất trả sau 5 năm. Giả sử lãi suất là 6% năm, tính số tiền thay thế phải trả. Giải: Gọi mỗi thời kỳ là 6 tháng và lãi suất tương đương một thời kỳ là j thì: (1+j)2 = 1+i = 1,06 (i = 0,06) Ta có sơ đồ sau, khi đặt thời điểm thay thế là thời điểm 0: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 | | | | | | | | | | | 24.000 16.000 30.000 40.000 C | >| |. >| | >| | >| Vào thời điểm thứ 10, phương trình tương đương là C = 24.000(1+j)8 + 16.000(1+j)7+ 30.000(1+j)5 + 40.000(1+j)2 = 24.000x(1,06)4+16.000x(1,06)3,5+ 30.000x(1,06)2,5 + 40.000x(1,06) = 127.023,57 USD 34
33. Ví dụ 2: Hãy xác định thời hạn trả của khoản nợ duy nhất thay thế cho 3 khoản nợ sau: 10.000 USD trả sau 6 tháng, 18.000 USD trả sau 18 tháng, 20.000 USD trả sau 30 tháng. Biết lãi suất 6 tháng là 2,5%, và khoản nợ duy nhất là 50.000 USD. Giải: Mỗi thời kỳ có độ dài 6 tháng. ta viết phương trình tương đương vào thời điểm 0 và gọi x là thời hạn của khoản nợ 50.000USD tha y thế. Ta có sơ đồ sau: 0 1 2 3 4 5 x 10.000 18.000 20.000 50.000 Vào thời điểm 0, phương trình tương đương là: 50.000 x 1,025-x = 10.000 x 1,025-1 +18.000 x 1,025-3 +20.000 x 1,025-5 50.000 x 1,025-x = 44,147972 1,025-x = 0,882959 Sử dụng logarit giải phương trình trên, ta được ln0,882959 x = - 5,04 5 thời kỳ 7 ngày = 30 tháng 7 ngày ln1,025 Ví dụ 3: Ngày1/7/1990, một người gửi vào ngân hàng một số tiền 4.000 USD. Ngày 1/7/1994, người đó rút 3.000 USD. Ngày 1/7/1998 số dư trong tài khoản là 2.110,87 USD. Vào ngày 1/7 hàng năm, ngân hàng đều thực hiện tư bản hoá. Hỏi: a) lãi suất hàng năm b) lãi suất 6 tháng tỉ lệ, lãi suất 6 tháng tương đương 35
34. Giải: Trong tính toán, ta coi khi người đó rút 3.00 0USD như người đó gửi (- 3000) USD. Do đó ta có sơ đồ sau: 1/7/1990 1/7/1994 1/7/1998 4000 -3000 2110,87 a) Vào ngày 1/7/1998, phương trình tương đương là: 4000(1 + i)8 - 3000(1+i)4 = 2110,87 Đặt x = (1+i)4, ta có phương trình bậc 2: 4x2 - 3x - 2,11087 = 0 Phương trình có hai nghiêm: x 1 = 1,192522; x2 = -0,4425 Vậy (1+i)4 = 1,192522 từ đó tìm được lãi suất hàng năm là i = 1,1925221/4 - 1 = 4,5% b) Lãi suất 6 tháng tỉ lệ j: j = i/2 = 2,25% Lãi suất 6 tháng tương đương k: (1+k)2 = 1+i = 1,045 k = 1,045 - 1 = 2,225% Ví dụ 4: Một xí nghiệp dự tính mua một cỗ máy có thời hạn sử dụng 3 năm. Sau 3 năm, cỗ máy đã được khấu hao hết. Khi đưa vào sử dụng, riêng cỗ máy này đem lại các khoản thu sau: 30.000.000 đồng vào cuối năm thứ 1, 24.000.000 đồng vào cuối năm thứ 2 và 20.000.000 đồng vào cuối năm thứ 3. Ngay vào đầu năm thứ 1, xí nghiệp phải trả ngay tiền mua cỗ máy đó. Giả sử lãi suất đầu tư là 10% năm, tính số tiền tối đa cần thiết mà xí nghiệp chấp nhận được để mua máy. Giải: Ta có sơ đồ sau: 0 1 2 3 30.000.000 24.000.000 20.000.000 36
35. Ta tính tổng các giá trị hiện tại các khoản thu được vào thời điểm 0 (thời điểm trả tiền mua máy): C = 30.000.000x(1,1) -1 + 24.000.000x(1,1)-2 + 20.000.000x(1,1)-3 = 62.133.734 Vậy số tiền tối đa mà xí nghiệp chấp nhận được để mua máy là 62.133.734 đồng với lãi suất đầu tư giả định là 10%0 Đ5. So sánh các loại chiết khấu 1. Các công thức đã có về chiết khấu theo lãi đơn và lãi gộp Gọi: C : mệnh giá của thương phiếu, n : thời hạn của thương phiếu, i : lãi suất chiết khấu, Ec : số tiền chiết khấu thương mại theo lãi đơn, Er : số tiền chiết khấu hợp lý theo lãi đơn , e : số tiền chiết khấu (hợp lý) theo lãi gộp , Vc : giá trị hiện tại thương mại theo lãi đơn , Vr : giá trị hiện tại hợp lý theo lãi đơn , V’ : giá trị hiện tại chiết khấu theo lãi gộp. Ta có các công thức sau: Ec = Cin; Vc = C(1-in) in C Er = C Vr = 1 in 1 in e = C[1 - (1+i)-n] V’ = C(1+i)-n 2. So sánh Ec và Er Từ 1 Er 3. So sánh Ec và e -n Để so sánh Vc và V’ ta so sánh hai đại lượng (1-in) và (1+i) Khi đặt f(x) = (1+i)x và g(x) = 1 + ix thì (1+i) -n = f(-n) và 1-in = g(-n) Vì f(x) > g(x) với x g(-n) hay (1+i)-n > (1-in) Do đó Vc e 37
36. 4. So sánh Er và e 1 -n 1 Tương tự ta so sánh V r và V’ hay so sánh và (1+i) = 1 in (1 i) n n Với n > 1 : ( 1 + i) > 1 + in, nên V’ Er n Với n = 1 : ( 1 + i) = 1 + in, nên V’ = V r hay e = Er n Với 0 V r hay e 1 : Er < e < Ec Đ6. Tư bản hoá và hiện tại hoá liên tục 1. Tư bản hoá liên tục Khi nghiên cứu các bài toán kinh tế, vấn đề tư bản hoá liên tục tương ứng với tình huống lý tưởng là số vốn hoạt động liên tục: số tiền lãi sinh ra được nhập ngay tức khắc để tạo thành nguồn vốn mới và nguồn vốn mới này lại tiếp tục sinh ra tiền lãi, Giả sử i là lãi i suất năm và trong một năm có k lần tư bản hoá. Khi đó lãi suất tỉ lệ là . Gọi Cn là số k tiền thu được sau n năm, ta có: i kn Cn = C0(1 + ) k Cho k + , ta có tình huống tư bản hoá liên tục. Vậy: k ( ).in i kn i 1 in Cn, lt = lim Cn = lim C0 1 = C0 lim 1 = C0 e k k k k k ( ) i Ta tìm được công thức tính giá trị thu được của số tiền C 0 sau n năm khi tư bản hóa liên tục: in Cn, lt = C0 e (12) Ví dụ: Một người gửi 1 đơn vị tiền tệ với lãi suấ t 10 % năm. Quá trình tư bản hoá liên tục. Tìm số tiền mà người đó có được sau 1 ngày ( Một năm có 365 ngày). 38
37. Giải: 1 0,1 x Sau một ngày, một đơn vị tiền tệ trở thành e 365 = 1,000274 đơn vị 2. Hiện tại hoá liên tục Từ công thức (12) nếu gọi C là giá trị của 1 khoản tiền trả sau n năm, và V lt là giá trị hiện tại (liên tục) thì in C = Vlt e Do đó, giá trị hiện tại liên tục của C là -in Vlt = Ce (13) Ví dụ: Tính giá trị hiện tại của một khoản tiền 10.000 euro được trả sau 4 năm với lãi suất 5% năm trong 2 trường hợp: Tư bản hoá hàng năm Tư bản hoá liên tục Hãy so sánh các kết quả nhận được và nêu nhận xét về lãi suất. Giải: Giá trị hiện tại của khoản tiền 10.000 euro khi tư bản hoá hàng năm: -n -4 V1 = C(1 + i) = 10.000x1,05 = 8227,02 euro Giá trị hiện tại của khoản tiền 10.000 euro khi tư bản hoá liên tục: -in -0,05x4 V2 = Ce = 10.000 x e = 8187,31 euro Gọi j là lãi suất hàng năm sao cho trong quá trình tư bản hoá hàng năm, số tiền C có giá trị hiện tại là V2: 1 4 4 4 C C C = V2(1 + j) (1+j) = j = - 1 = 5,127% V2 V2 Lãi suất 5% khi tư bản hoá liên tục tương đương với lãi suất 5,127% khi tư bản hoá hàng năm. 39
38. Chương IV Dãy niên kim Đ1. Đại cương 1. Định nghĩa Niên kim là khoản tiền bỏ ra với quãng thời gian bằng nhau. Quãng thời gian được gọi là thời kỳ. Một thời kỳ có thể là một năm, 6 tháng, một quý, một tháng. Các niên kim tạo thành một dãy niên kim nhằm các mục đích: Hình thành một khoản vốn Thanh toán một khoản nợ 2. Các loại dãy niên kim Người ta phân loại các dãy niên kim theo các tiêu chí sau: Các niên kim được đóng vào đầu hay vào cuối kỳ Các niên kim bằng nhau (niên kim cố định) hay khác nhau Số lượng các niên kim là hữu hạn hay vô hạn. Trường hợp số niên kim hữu hạn, có thể số lượng niên kim đã được xác định từ trước, hay chưa rõ (chẳng hạn số lượng niên kim phụ thuộc vào tuổi thọ của một người). Đ2. Dãy niên kim cố định cuối kỳ Xét một dãy có n niên kim, mỗi niên kim đều được trả vào cuối kỳ. Người ta quy định thời điểm gốc (thời điểm 0) của dãy niên kim này là thời điểm xẩy ra đúng một thời kỳ trước niên kim đầu tiên được thực hiện. Cần chú ý xác định đúng thời điểm gốc trong các phép tính về dãy niên kim. 1. Số tiền thu được của dãy niên kim cố định cuối kỳ Số tiền (giá trị) thu được của dãy niên kim cố định cuối kỳ, ký hiệu V n, là tổng các số tiền thu được của các niên kim tính ở thời điểm thứ n. Gọi a là niên kim cố định. 40
39. Ta có sơ đồ sau: 0 1 2 n-1 n a a a a a(1+i) a(1+i)n-2 a(1+i)n-1 Vậy 2 n-2 n-1 Vn = a + a(1+i) + a(1+i) + .+ a(1+i) + a(1+i) Đó là tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có số hạng đầu tiên u 1 = a và công bội q = 1+i. Ta có q n 1 (1 i) n 1 V u a n 1 q 1 (1 i) 1 Cuối cùng, ta có công thức tính số tiền thu được của dãy n niên kim cố định a: (1 i) n 1 V a (1) n i Chú thích 1: (1 i) n 1 Giá trị hàm số được cho trong Bảng tài chính III. i Chú thích 2: Trong công thức (1) có 4 đại lượng, các bài toán xoay quanh việc cho 3 đại lượng, cần tìm đại lượng thứ 4. Khi biết a, n, V n, cần tìm i, ta không thể dùng các cách tính khác ngoài việc sử dụng Bảng tra tài chính III. 2. Các ví dụ áp dụng Ví dụ 1: (Tính giá trị thu được V n ) Sử dụng Bảng tài chính III và phương pháp nội suy, tìm giá trị thu được của một dãy 10 niên kim cố định, mỗi niên kim là 100.000.000 đồng, với lãi suất 6,20% Giải: Tra bảng III với n = 10, i = 6,25% ta có giá trị 13,336572 i = 6,00% ta có giá trị 13,180795 41
40. Theo phương pháp nội suy, ta có: 13,336572 B C 13,180795 A M N 6,00 6,20 6,25 i CM AM BN.AM CM BN AN AN (13,336572 13,180795)x0,20 CM = = 0,1246216 0,25 (1 i)10 1 Với i = 6,20% thì 13,180795 0,1246216 13.3054166 i Cuối cùng V10 = 100.000.000 x 13,3054166 = 1.330.541.660 đồng Ví dụ 2: (Tính niên kim a) Một khoản vốn 242.149,2 euro vừa được hình thành nhờ một dãy 14 niên kim cố định cuối kỳ. Biết lãi suất một thời kỳ là 8%, tính số tiền của niên kim cố định. Giải: Ta có (1 i) n 1 V a 242149,2 14 i (1 i) n 1 Bảng tài chính III với n = 14, i = 8% cho ta giá trị 24,21492 i Vậy số tiền của niên kim là 242149,2 a = 10.000 euro 24,21492 Ví dụ 3: (Tính số niên kim n) Cần phải có một dãy bao nhiêu niên kim cố định a = 10.000 USD cuối kỳ để tạo thành một khoản vốn 1.000.000 USD? Giả sử lãi suất i = 7%. 42
41. Giải: Vn n ln( i 1) (1 i) 1 V Từ n ta có thể tìm thấy n = a i a ln(1 i) Tuy nhiên n phải là một số nguyên dương, vì vậy ta chỉ cần sử dụng bảng III sau đó điều chỉnh a thích hợp (mặc dù a đã cho) Với dữ liệu đã cho, ta có (1 i) n 1 1.000.000 100 i 10.000 Tra bảng III, cột 7% cho giá trị 94,460786 với n = 30 và giá trị 102,073041 với n = 31 Vậy n [30,31] cần điều chỉnh a theo 2 cách sau: V với n = 30 thì a = n 10.586,40 USD 94,460.786 V với n = 31 thì a = n 9796,910 USD 102,073.041 Ví dụ 4: (Tính lãi suất i) Biết số tiền thu được của một dãy 11 niên kim cố định cuối kỳ là 150.000 euro. Mỗi niên kim là 10.000 euro. Tìm lãi suất i Giải: Với dữ liệu đã cho, ta có (1 i)11 1 150.000 15 i 10.000 Bảng III dòng 11 cho giá trị 14,971.643 với i = 6% và giá trị 15,170.108 với i = 6,25% 15,170108 B 15 C 14,971643 A M N 0,06 i 0,0625 Theo phương pháp nội suy ta có: AM CM AN.CM AM AN BN BN 43
42. Từ đó ta có: (0,0625 0,06) x (15 -14,971643 AM = 0,0036 15,170108 -14,971643 Vậy lãi suất i cần tìm là: 0,06 + 0,0036 = 0,06036 hay i = 6,036 % 3. Giá trị hiện tại của dãy niên kim cố định cuối kỳ Giá trị hiện tại của dãy niên kim cố định cuối kỳ là tổng các giá trị hiện tại của các niên kim tính tại thời điểm gốc, thời điểm 0, ký hiệu là V 0. Ta lập sơ đồ sau: 0 1 2 n-1 n a a a a a(1+i)-1 a(1+i)-2 . a(1+i)-(n-1) a(1+i)-n Giá trị hiện tại của các niên kim tính tại thời điểm gốc là: -n -(n-1) -1 V0 = a(1+i) + a(1+i) + + a(1+i) -n Đó là tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân với u1 = a(1+i) và công bội q = 1+i. q n 1 (1 i) n 1 1 (1 i) n V u a (1+i)-n a o 1 q 1 i i Ta có công thức tìm giá trị hiện tại V 0 của dãy n niên kim cố định a 1 (1 i) n V0 = a (2) i Chú thích 1: 1 (1 i) n Giá trị hàm số được cho trong bảng tài chính IV i Chú thích 2: -n Ta coi V0 là giá trị hiện tại của V n. Khi đó V0 = Vn(1+i) . Thay Vn từ công thức (1) n n (1 i) 1 n 1 (1 i) V0 = a (1 i) a . i i Ta tìm lại công thức (2) 44
43. Chú thích 3: Trong công thức (2) có 4 đại lượng. Các bài toán áp d ụng đều đưa về tìm đại lượng thứ 4 khi cho biết 3 đại lượng. Chú thích 4: Thông thường, người ta ngầm định sử dụng các niên kim cuối kỳ. Đ3. Dãy niên kim cố định đầu kỳ Xét một dãy n niên kim cố định. Mỗi niên kim đều được thực hiện vào đầu kỳ. 1. Số tiền thu được Gọi V’n là số tiền thu được của dãy niên kim đang xét, tính ở thời điểm thứ n. Ta có sơ đồ sau: 0 1 . n-1 n a a a a(1+i) a(1+i)n-1 a(1+i)n Như vậy n 2 n (1 i) 1 V’n = a(1+i) + a(1+i) + +a(1+i) = a(1 i) (1 i) 1 Ta tìm được công thức tính giá trị thu được của dãy n niên kim cố định a thực hiện vào (1 i) n 1 đầu kỳ: V’n = a(1 i) (3) (1 i) 1 2. Giá trị hiện tại Gọi V’o là giá trị hiện tại của dãy niên kim đang xét tính tại thời điểm 0. Ta có n -n (1 i) 1 -n V’o = V’n(1+i) = a(1 i) (1+i) (1 i) 1 1 (1 i) n V’o = a(1 i) (4) i Cũng có thể tìm thấy (4) qua sơ đồ tương ứng tự như cách tìm công thức (2) 45
44. Đ4. Giá trị của một dãy niên kim tại một thời điểm bất kỳ 1. Giá trị của dãy niên kim tại thời điểm p Cho một dãy n niên kim cố định a cuối kỳ . Trong Đ3, ta tính được Vo và Vn Xét thời điểm p bất kỳ, p có thể có giá trị âm hay dương. Gọi V p là giá trị của dãy niên kim đó tính tại thời điểm p. Khi đó, giá trị của dãy niên kim tại thời điểm p sẽ là p -(n-p) Vp = Vo(1+i) = Vn(1+i) (5) Ví dụ 1: Một người mua lại một cửa hàng. Trong ngày bàn giao, người bán đề nghị 2 phương thức thanh toán: Trong 12 năm liên tiếp, vào cuối mỗi năm trả một số tiền 30.000 USD. Lần trả đầu tiên được thực hiện đúng 1 năm sau ngày bàn giao Đúng 4 năm sau ngày bàn giao trả một khoản tiền duy nhất Giả sử lãi suất là 4% năm, hãy tính khoản tiền cần trả duy nhất đó để cho 2 phương thức thanh toán tương đương nhau. Giải: Ngày bàn giao chính là thời điểm gốc của dãy 12 niên kim cố định. 1 1,04 12 Ta có: V 30.000 = 30.000 x 9,385074 = 281.552,22 o 0,04 Khoản tiền duy nhất trong phương án 2 chính là V 4 của dãy niên kim. 4 4 Vậy V4= Vo (1+i) = 281.552,22 x 1,04 = 329.376,4 USD Ví dụ 2: Cho một dãy 8 niên kim cố định. Thời kỳ là 1 năm. Biết a = 10.000 USD và i = 6%, hãy tìm giá trị của dãy niên kim đó tính tại các thời điểm sau: 1 năm trước ngày thực hiện niên kim thứ 1 18 tháng trước ngày thực hiện niên kim thứ 1 3 tháng trước ngày thực hiện niên kim thứ 1 46
45. Giải: 1 năm trước ngày thực hiện niên kim thứ 1 là thời điểm 0, 18 tháng trước ngày thực hiện niên kim thứ 1 là thời điểm (-1/2), 3 tháng trước ngày thực hiện niên kim thứ 1 là thời điểm 3/4. Ta cần tìm Vo, V 1 , V3 2 4 -1 -1/2 0 3/4 1 3 tháng 18 tháng Theo công thức (5), ta tìm được: 1-1,06 8 V0 = 10.000 62.097,94 USD 0,06 1 2 V 1 = V0 (1,06) 60.314,85 USD 2 3 4 V 3 = V0 (1,06) 64.871,80 USD 4 2. Thời hạn trả trung bình Khi thay thế một dãy niên kim bằng một khoản tiền trả vào một thời hạn nào đó, ta cần có sự tương đương các giá trị của chúng. Giả sử có một dãy n niên kim cố định a và số tiền thay thế C=na, khi đó thời hạn của khoản tiền thay thế được gọi là thời hạn trung bình. Thời hạn này tính trên trục thời gian với 0 là thời điểm gốc của dãy niên kim. Ký hiệu thời hạn trả trung bình là p. Tại thời điểm 0, phương trình tương đương cho: p V0 C(1 i) 1 (1 i) n i a na(1 i) p (1 i) p n (6) i 1 (1 i) n Từ hệ thức (6) ta tìm được p Chú thích: i Giá trị của biểu thức được cho trong bảng tài chính V 1 (1 i) n 47
46. 3. Sự tương đương của các dãy niên kim Hai dãy niên kim được gọi là tương đương nhau nếu giá trị của chúng vào cùng thời điểm p bất kỳ đều bằng nhau. Ví dụ: So sánh dãy (A) gồm 8 niên kim, mỗi niên kim là 1.000.000 đồng, thời kỳ là 6 tháng, niên kim đầu tiên được thực hiện sau 6 tháng, với dãy niên kim (B) gồm 10 niên kim, mỗi niên kim là 900.000 đồng, thời kỳ là 6 tháng, niên kim đầu dược thực hiện sau 1 năm, lãi suất một thời kỳ là 6%. Giải: Chọn thời điểm so sánh là thời điểm gốc của dãy (A), đối với dãy (B) thời điểm này là (- 1). Ta tính (A) (B) V0 và V 1 1 1,06 8 V (A) = 1.000.000. 6.209.794 0 0,06 1 1,06 10 V (B) V (B) x1,06 1 900.000 1,06 1 -1 0 0,06 = 900.000 x 7,360087 x 0,943396 = 6.249.128,9 Vậy (A) (B) V0 < V-1 Đ5. Dãy niên kim bất kỳ 1. Tổng quát Cho một dãy n niên kim cuối kỳ, mỗi niên kim là a k. Ta có sơ đồ sau: 0 1 2 n-1 n | | | | | a 1 a2 an-1 an Khi đó: n k V0  a k (1 i) (7) k 1 n n k Vn  a k (1 i) (8) k 1 n và Vn V0 (1 i) (9) Thông thường việc cho các giá trị a k thường cho đặc biệt: chúng lập thành một cấp số cộng hoặc một cấp số nhân. 48
47. 2. Dãy niên kim lập thành một cấp số cộng Cho dãy n niên kim {a k} lập thành một cấp số cộng với công bội d. Khi đó ak = a1 + (k-1)d. Thay vào công thức (8): n n k Vn = [a1 (k 1)d] (1 i) k 1 n-1 n-2 1 = a1(1+i) + (a1+d)(1+i) + + (a1+(n-2)d)(1+i) + (a1+(n-1)d) n-1 n-2 1 n-2 n-3 1 = a1 [(1+i) + (1+i) + +(1+i) + 1] + d[(1+i) + 2(1+i) + +(n-2)(1+i) + (n-1)] (1 i) n 1 (1 i) n 1 = a1 + d S = a1 + d S (1 i) 1 i Tính: S = (1+i)n-2 + 2(1+i)n-3 + +(n-2)(1+i)1 + (n-1) S(1+i) = (1+i)n-1 + 2(1+i)n-2 + +(n-2)(1+i)2 + (n-1)(1+i) S(1+i)-S = Si = [ (1+i)n-1 + (1+i)n-2 + +(1+i)1 + 1 ] - n n = (1 i) 1 - n (1 i) 1 Vậy: 1 (1 i) n 1 S = n i i Cuối cùng: n (1 i) n 1 1 (1 i) 1 (1 i) n 1 d (1 i) n 1 dn Vn = a1 + d n = a1 + - i i i i i i i n (1 i) 1 d dn Vn = a - (10) i 1 i i -n Dễ dàng tìm được giá trị V0 theo công thức V0 = Vn(1+i) n 1 (1 i) d dn n V0 = a - (1 i) (10’) i 1 i i 3. Dãy niên kim lập thành một cấp số nhân Cho dãy n niên kim {a k} lập thành một cấp số nhân với công sai q. Khi đó k-1 ak =a q 49
48. Thay vào công thức (8), ta có k n n a 1 a n q k 1 n k k n = n (*) Vn aq (1 i)  q (1 i) k (1 i)  ( ) k 1 k 1 q (1 i) q k 1 1 i a Nếu q = 1+i thì V q n n naq n 1 n q Nếu q 1+i , ta nhận xét tổng trong (*) là tổng n số hạng của một cấp số nhân có q q u = và công bội . Từ đó: 1 1+i 1 i q n ( ) 1 n n n n a q q (1 i) 1 i q (1 i) V (1 i) n . 1 i a(1 i) n 1 . . a. n q 1 i q (1 i) n q (1 i) q (1 i) 1 1 i q n (1 i) n Vậy V a. (11) n q (1 i) -n Dễ dàng tìm được giá trị V 0 theo công thức V0 = Vn(1+i) n n n q (1 i) V0 = a. (1 i) . (11’) q (1 i) Ví dụ: Một người muốn lập một quỹ vốn theo cách sau: Trong 10 năm liên tiếp, cứ cuối mỗi năm gửi một khoản tiền. Khoản tiền đầu tiên là 10.000 USD, các khoản tiền năm sau tăng thêm 5% khoản tiền năm trước. Giả sử lãi suất là 6% năm. Hỏi số tiền của quỹ vốn lập được ngay sau khi gửi khoản tiền cuối cùng. Giải: Các khoản tiền gửi lập thành một cấp số nhân với công bội q = 1,05. áp dụng công thức vừa tìm được với a = 10.000, i = 0,06, số tiền quỹ vốn vừa hình thành là 1,0510 1,0610 1,0610 1,0510 V 10.000 10.000 10 1,05 1,06 0,01 1,790848 1,628895 10.000 161.953 USD 0,01 50
49. Đ6. áp dụng của dãy niên kim: thẩm định dự án đầu tư 1. Một số tiêu chuẩn thẩm định dự án đầu tư: NPV và IRR Xét một dự án đầu tư gồm có n thời kỳ. Dự án bắt đầu từ thời điểm thứ 0 và kết thúc sau thời điểm thứ n. Một thời kỳ là một quãng thời gian bằng nhau, thường được tính bằng năm. Đối với một dự án, có 2 luồng tiền: Luồng tiền đầu tư Dk , k=0, ,n Luồng tiền thu được Rk , k=0, ,n Thông thường vào các thời kỳ đầu dự án đầu dự án thì R k= 0 và vào các thời kỳ cuối dự án thì Dk = 0. Dự án được bắt đầu từ thời điểm 0, vì lúc đó đã phải đầu tư khoản tiền D 0. Đặt CFk = Rk - Dk (k = 0, ,n) Luồng tiền CFk , k=0, ,n là luồng tiền lãi tịnh (thuần) thu được đối với người đầu tư. Để thẩm định một dự án đầu tư, thường dùng hai tiêu chuẩn: NPV và IRR a) NPV (Giá trị hiện tại tịnh (thuần)) NPV là giá trị tính tại thời điểm 0 của dãy niên kim CFk . Ta có sơ đồ sau: 0 1 2 n D0 D1 D2 Dn R0 R1 R2 Rn CF0 CF1 CF2 CFn -1 CF1(1+i) -2 CF2(1+i) -n CFn(1+i) n k Với lãi suất đầu tư giả định là i trong một thời kỳ, thì NPV =  CFk (1 i) (12) k 0 n k Thông thường R0 = 0, nên NPV = -D0 +  CFk (1 i) k 1 Một dự án được gọi là khả thi (theo lãi suất i) nếu NPV > 0. 51
50. Biết NPV, nhà đầu tư có thể: Biết một dự án là khả thi hay không, Có sự lựa chọn đầu tư nếu có đồng thời nhiều dự án xem xét . Chú thích: Thời điểm tính NPV không phải thời điểm gốc của dãy niên kim {CFk} như đã nêu trong Đ2 Giá trị NPV hoàn toàn phụ thuộc vào lãi suất đầu tư giả định i và là một hàm giảm theo i. b) IRR (Tỉ suất hoàn vốn nội bộ) IRR là "lãi suất" làm cho NPV = 0 Ký hiệu IRR = r thì r là nghiệm của phương trình: n k CFk (1 r) 0 (13) k 0 Với lãi suất đầu tư bằng IRR, các khoản tiền đầu tư và lợi nhuận cân bằng. Do đó, nếu trên thị trường tài chính, lãi suất thực tại i i > IRR thì dự án không khả thi, i 0; y2 < 0) CN BN y 2 MC y1 y 1 MC (r2 r 1 ) MC CN y1 y 2 y 1 y 2 52
51. Khi đó ta sẽ tìm được r = MC + r 1 Chú thích: r1 r r 2 Ta có thể dùng thuật toán sau . Khi đó y1 0 y 2 r-r1 0-y 1 y 1 y 1 = r-r1 = (r 2 -r 1 ) r = r 1 + (r 2 -r 1 ) r2 -r 1 y 2 -y 1 y 1 -y 2 y 1 -y 2 2. Ví dụ Một dự án đầu tư gồm các khoản giải ngân như sau: 40.000 USD vào cuối năm 2010; 20.000 USD vào cuối năm 2011; 20.000 USD vào cuối năm 2012; 20.000 USD vào cuối năm 2013 Dự án sẽ kết thúc sau 7 năm. Bắt đầu vào cuối năm 2011 cho đến khi kết thúc, hàng năm sẽ thu được một khoản lãi 18.100 USD. Tính luồng tiền lãi tịnh, từ đó tính NPV với lãi suất đầu tư 10%. Nêu kết luận. Tìm IRR Giải: a) Ta có: D0 = 40.000 R0 = 0 D1 = 20.000 R1 = R2 = R7 =18.100 D2 = 20.000 D3 = 20.000 D4 = D5 = D6 = D7 = 0 Vậy: CF0 = - 40.000 CF1 = CF2 = CF3 = -1.900 CF4 = CF5 = CF6 = CF7 = 18.100 53
52. Khi đó: NPV = - 40.000 - 1.900x[1,1-1+ 1,1-2 + 1,1-3] + 18.100x[1,1-4 + 1,1-5 + 1,1-6 + 1,1-7] = -1.629,1 Dự án không khả thi với lãi suất đầu tư mong muốn là 10%. b) Đặt IRR = r, ta có phương trình: - 40.000 - 1.900[(1+r)-1+ (1+r)-2 + (1+r)-3] + +18.100[(1+r)-4 + (1+r)-5 + (1+r)-6 + (1+r)-7] = 0 Ta đã biết * Vế phải khi r = 10 và có giá trị là NPV(10) = y 2 = -1.629,1 * Với i = 8%, ta tính NPV(8) = 2.688,6 = y 1 Từ đó 2.688,6 r = 0,08 x (0,10 0,08) 0,08 0,0125 0,0925 2.688,6 1.629,1 Vậy tỉ suất hoàn vốn nội bộ là: IRR = 9,25% 54