›
›

Tài liệu Các kỹ thuật phổ biến nhất giải phương trình lượng giác - Nguyễn Hữu Biến

pdf 75 trang hapham 160
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tài liệu Các kỹ thuật phổ biến nhất giải phương trình lượng giác - Nguyễn Hữu Biến", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdftai_lieu_cac_ky_thuat_pho_bien_nhat_giai_phuong_trinh_luong.pdf

Nội dung text: Tài liệu Các kỹ thuật phổ biến nhất giải phương trình lượng giác - Nguyễn Hữu Biến

  1. CẨM NANG CHO M ÙA THI CÁC K Ỹ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC (LỚP 11 & ÔN THI THPT QUỐC GIA) NGUY ỄN HỮU BIỂN Email: ng.huubien@gmail.com
  2. LỜI GIỚI THIỆU Các em học sinh thân mến, bài tập giải phương trình lượng giác là một trong nhưng nội dung thường xuyên xuất hiện trong đề thi đại học, kiến thức về giải phương trình lượng giác các em được học trong chương trình giải tích lớp 11 kết hợp với các công thức và kiến thức nền tảng của lớp 10. Để giải phương trình lượng giác, điều đầu tiên các em cần là phải biết cách học thuộc các công thức biến đổi lượng giác cơ bản, tiếp theo các em cần học tập siêng năng, chuyên cần để đúc rút kinh nghiệm cho bản thân, từ đó biết phân chia các dạng toán và kỹ thuật giải tương ứng để “đối phó” tốt với mọi loại bài về giải phương trình lượng giác trong đề thi. Cuốn tài liệu CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC được chắt lọc, đánh máy công phu, trình bày đẹp. Nội dung rất hữu ích cho học sinh lớp 11, học sinh ôn thi đại học môn Toán và quý thầy cô giáo dạy Toán THPT. Tài liệu được biên soạn tỉ mỉ, phân chia dạng toán rõ ràng, công thức đầy đủ, mỗi phần đều có ví dụ minh họa và hướng dẫn. Học sinh bị mất gốc kiến thức về lượng giác cũng có thể học lại từ đầu không mấy khó khăn. Hy vọng rằng với cuốn tài liệu hữu ích này, các em học sinh sẽ có một “cẩm nang” để chinh phục phương trình lượng giác trong thi cử. Tài liệu rất có thể vẫn còn một vài khiếm khuyết, rất mong nhận được ý kiến từ các em học sinh và độc giả. Liên hệ tác giả: NGUYỄN HỮU BIỂN Fb: Email: ng.huubien@gmail.com ÔN THI ĐẠI HỌC TRỰC TUYẾN:
  3. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Phần 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1. Hàm s ố y = sinx + TX Đ: D = R ( Vì l ấy b ất k ỳ giá tr ị nào c ủa x, thay vào hàm s ố ta đề u tính được y ) + Tập giá tr ị: [ -1 ; 1 ] (Vì các giá tr ị tính được c ủa y ch ỉ n ằm trong đoạn [ -1 ; 1 ], ngh ĩa là −1 ≤ sinx ≤ 1 ) + Hàm y = sinx là hàm s ố l ẻ (Vì ∀xD ∈ ⇒ − xD ∈ và sin(-x) = - sinx: đồ th ị đố i x ứng qua g ốc t ọa độ O). + Chu k ỳ T = 2π ( Vì sin(x+ 2 π ) = sinx - C ứ m ỗi khi bi ến s ố c ộng thêm 2π thì giá tr ị hàm số tr ở v ề nh ư c ũ - đồ th ị hàm s ố l ặp l ại sau m ỗi chu k ỳ 2π - tính ch ất này giúp v ẽ đồ th ị được thu ận ti ện) + Bảng bi ến thiên trên đoạn [0; π] ( trên nửa chu k ỳ) π x 0 2 π y = sinx 1 0 0 + Đồ th ị hàm s ố Hàm s ố y = sinx là hàm s ố l ẻ trên R, tu ần hoàn v ới chu k ỳ 2π. Do đó mu ốn kh ảo sát s ự bi ến thiên và v ẽ đồ th ị c ủa hàm s ố y = sinx trên R, ra ch ỉ c ần kh ảo sát và v ẽ đồ th ị hàm s ố trên đoạn [0; π] (n ửa chu k ỳ) sau đó l ấy đố i x ứng qua g ốc t ọa độ O ta được đồ th ị trên đoạn [−π; π ] (1 chu k ỳ), cu ối cùng t ịnh ti ến đồ th ị v ừa thu được sang trái, sang ph ải theo tr ục hoành nh ững đoạn có độ dài 2π ;4 π ;6 π ; *Nh ận xét: Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 1
  4. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC π π  + Hàm s ố y = sinx đồng bi ến trên m ỗi kho ảng −+k.2 π ; + k.2 π  2 2  π3 π  + Hàm s ố y = sinx ngh ịch bi ến trên m ỗi kho ảng +k.2; π + k.2 π  , k ∈ Z 2 2  2. Hàm s ố y = cosx + TX Đ: D = R ( Vì l ấy b ất k ỳ giá tr ị nào c ủa x, thay vào hàm s ố ta đề u tính được y ) + Tập giá tr ị: [ -1 ; 1 ] ( Vì các giá tr ị tính được c ủa y ch ỉ n ằm trong đoạn [ -1 ; 1 ], ngh ĩa là −1 ≤ cosx ≤ 1 ) + Hàm y = cosx là hàm s ố ch ẵn (Vì ∀xD ∈ ⇒ − xD ∈ và cos(-x) = cosx: đồ th ị đố i x ứng qua tr ục tung Oy ). + Chu k ỳ T = 2π ( Vì cos(x+ 2 π ) = cosx - C ứ m ỗi khi bi ến s ố c ộng thêm 2π thì giá tr ị hàm s ố tr ở v ề nh ư c ũ - đồ th ị hàm s ố l ặp l ại sau m ỗi chu k ỳ 2π - tính ch ất này giúp v ẽ đồ th ị được thu ận ti ện: ) + Bảng bi ến thiên trên đoạn [0; π] ( trên nửa chu k ỳ) π x 0 2 π y = cosx 1 -1 + Đồ th ị hàm s ố Hàm s ố y = cosx là hàm s ố ch ẵn trên R, tu ần hoàn v ới chu k ỳ 2π. Do đó, mu ốn kh ảo sát s ự bi ến thiên và v ẽ đồ th ị hàm s ố y = cosx trên R ta ch ỉ c ần kh ảo sát và v ẽ đồ th ị hàm s ố trên đoạn [0; π] (n ửa chu k ỳ), sau đó l ấy đố i x ứng đồ th ị qua tr ục Oy ta được đồ th ị trên đoạn [−π; π ] (1 chu k ỳ), cu ối cùng t ịnh ti ến đồ th ị v ừa thu được sang trái, sang ph ải theo tr ục hoành những đoạn có độ dài 2π ;4 π ;6 π ; Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 2
  5. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 3. Hàm s ố y = tanx π  + TX Đ: D= R\ +π∈ k/k Z  (Vì cosx≠ 0 ). 2  + Tập giá tr ị: R + Hàm y = tanx là hàm s ố l ẻ (Vì ∀xD ∈ ⇒ − xD ∈ và tan(-x) = - tanx: đồ th ị đố i x ứng qua gốc t ọa độ O). + Chu k ỳ T = π ( Vì tan(x+ π ) = tanx - C ứ m ỗi khi bi ến s ố c ộng thêm π thì giá tr ị hàm s ố tr ở v ề nh ư c ũ - đồ th ị hàm s ố l ặp l ại sau m ỗi chu k ỳ π ) π  + Bảng bi ến thiên trên đoạn 0;  (nửa chu k ỳ) 2  π x 0 2 y = tanx 10 +∞ + Đồ th ị hàm s ố π  Hàm s ố y = tanx là hàm s ố l ẻ trên R\+ k/k π ∈ Z  , tu ần hoàn v ới chu k ỳ π. 2  Do đó, mu ốn kh ảo sát s ự bi ến thiên và v ẽ đồ th ị hàm s ố y = tanx trên R ta ch ỉ c ần kh ảo π  sát và v ẽ đồ th ị hàm s ố trên đoạn 0;  (n ửa chu k ỳ), sau đó l ấy đố i x ứng đồ th ị qua g ốc 2  π π  tọa độ O ta được đồ th ị trên đoạn − ;  (1 chu k ỳ), cu ối cùng t ịnh ti ến đồ th ị v ừa thu 2 2  được sang trái, sang ph ải theo tr ục hoành nh ững đoạn có độ dài π;2 π ;3 π ; y = tanx Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 3
  6. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC *Nh ận xét: π π  + Hàm s ố y = tanx đồng bi ến trên m ỗi kho ảng −+πk.; +π k.  , k ∈ Z 2 2  + Hàm s ố không có kho ảng ngh ịch bi ến. π  + M ỗi đường th ẳng vuông góc v ới tr ục hoành, đi qua điểm +k. π ;0  g ọi là 1 đường 2  π ti ệm c ận c ủa đồ th ị hàm s ố y = tanx ( Đồ th ị hàm s ố nh ận m ỗi đường th ẳng x= + k. π 2 làm 1 đường ti ệm c ận) 4. Hàm s ố y = cotx + TX Đ: D= R\{ k π /k ∈ Z } (Vì sinx≠ 0 ) . + Tập giá tr ị: R + Hàm y = cotx là hàm s ố l ẻ (Vì ∀xD ∈ ⇒ − xD ∈ và cot(-x) = - cotx: đồ th ị đố i x ứng qua gốc t ọa độ O). + Chu k ỳ T = π ( Vì cot(x+ π ) = cotx - C ứ m ỗi khi bi ến s ố c ộng thêm π thì giá tr ị hàm s ố tr ở v ề nh ư c ũ - đồ th ị hàm s ố l ặp l ại sau m ỗi chu k ỳ π ) π  + Bảng bi ến thiên trên đoạn 0;  (n ửa chu k ỳ) 2  π x 0 2 y = cotx +∞ 0 + Đồ th ị hàm s ố Hàm s ố y = tanx là hàm s ố l ẻ trên R\{ kπ /k ∈ Z }, tu ần hoàn v ới chu k ỳ π. Do đó, mu ốn kh ảo sát s ự bi ến thiên và v ẽ đồ th ị hàm s ố y = tanx trên R ta ch ỉ c ần kh ảo sát và v ẽ π  đồ th ị hàm s ố trên đoạn 0;  (n ửa chu k ỳ), sau đó l ấy đố i x ứng đồ th ị qua g ốc t ọa độ O 2  π π  ta được đồ th ị trên đoạn − ;  (1 chu k ỳ), cu ối cùng t ịnh ti ến đồ th ị v ừa thu được sang 2 2  trái, sang ph ải theo tr ục hoành nh ững đoạn có độ dài π;2 π ;3 π ; Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 4
  7. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC y = cotx *Nh ận xét: + Hàm s ố y = tanx ngh ịch bi ến trên m ỗi kho ảng (k.ππ+ ; k. π ) k ∈ Z + Hàm s ố không có kho ảng đồ ng bi ến bi ến. + Đồ th ị hàm s ố nh ận m ỗi đường th ẳng x= k. π làm 1 đường ti ệm c ận II. BÀI TẬP ÁP DỤNG Dạng 1: TÌM T ẬP XÁC ĐỊ NH C ỦA HÀM S Ố L ƯỢNG GIÁC Lý thuy ết v ận d ụng: + Hàm s ố y = sinx có TX Đ: D = R + Hàm s ố y = cosx có TX Đ: D = R π  + Hàm s ố y = tanx có TX Đ: D= R\ +π∈ k/k Z  (Vì cosx≠ 0 ) 2  + Hàm s ố y = cotx có TX Đ: D= R\{ k π /k ∈ Z } (Vì sinx≠ 0 ) BÀI T ẬP: Tìm t ập xác đị nh c ủa các hàm s ố sau 5cos2 x− sinx + 7 2cosx− sinx + 2 1). y= 2). y= 1− sinx cosx 1+ sinx 1− cosx 3). y = 4). y = 1− cosx cos2 x x+ 3 2x 2x 5). y= 2 + sin3x + 3cos 6). y= sin − 5cos x− 2 x3+ 2x1 − π 7). y= tanx + cotx 8). y= tan(2x + ) 4 1+ cos x 9). y = 10). y=2 + sin x + cos x x.sin x Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 5
  8. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 3 + tgx π  11). y = 12) y=2 tgx + 3cot g 2 x −  1+ sin x 3  HƯỚNG D ẪN 5cos2 x− sinx + 7 π 1). Hàm s ố y= xác định khi 1− sinx ≠⇔ 0 sinx ≠⇔≠+ 1 x k.2 π∈ (k Z) 1− sinx 2 π  Vậy TX Đ: D= R\ +π∈ k.2,k Z  2  2cosx− sinx + 2 π 2) Hàm s ố y= xác định khi cosx≠⇔≠ 0 x +π k. (k ∈ Z) cosx 2 π  Vậy TX Đ: D= R\ +π∈ k.,k Z  2  1+ sinx 3). Vì 1+ sinx ≥ 0 và 1− cosx ≥ 0 v ới m ọi x nên ≥ 0 v ới m ọi x th ỏa mãn điều ki ện 1− cosx 1+ sinx 1− cosx ≠ 0 . V ậy hàm s ố y = xác định khi 1− cosx ≠ 0 hay cosx≠⇔ 1 x ≠ k.2 π . 1− cosx Vậy TX Đ: D= R \{ k.2 π ,k ∈ Z } 1− cosx 4). Vì 1− cosx ≥ 0 và cos2 x≥ 0 v ới m ọi x nên ≥ 0 v ới x th ỏa mãn điều ki ện cos2 x π π  cosx≠ 0 ⇔ x ≠ + k. π . V ậy TX Đ: D= R\ +π∈ k.,k Z  2 2  x+ 3 5). Hàm s ố y= 2 + sin3x + 3cos xác định ⇔x20 − ≠ ⇔ x2 ≠ . x− 2 Vậy TX Đ: D= R\{ 2 } x≠ − 3 2x 2x x+ 3 ≠ 0  6). Hàm s ố y= sin − 5cos xác định ⇔ ⇔  1 . x3+ 2x1 − 2x− 1 ≠ 0 x ≠  2 1  Vậy TX Đ: D= R \ − 3;  2  π 7). tanx xác định khi và ch ỉ khi x≠ + k.,k π ∈ Z , cotx xác định khi và ch ỉ khi 2 x≠ k.,k π ∈ Z . Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 6
  9. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  π x≠ + k. π k. π Vậy y= tanx + cotx xác định khi và ch ỉ khi  2 (k∈ Z) hay x ≠ (k ∈ Z) . 2 x≠ k. π k. π  TX Đ: D= R\ ,k ∈ Z  2  π  ππ ππk. 8). y= tan 2x +  xác định khi và ch ỉ khi 2x+≠+π k. hay x ≠+ (k ∈ Z) . 4  42 82 πk. π  Vậy TX Đ: DR\= + ,kZ ∈  8 2  1+ cos x 9). Bi ểu th ức y = có ngh ĩa khi và ch ỉ khi: x.sinx≠ 0 ⇔ x ≠ k π x.sin x Vậy t ập xác đị nh c ủa hàm s ố là: D= R\{ k π /k ∈ Z } 2+ sinxx + cos =+ 1 sin x ++ 1 cos x > 0 10). Do ( ) ( ) Do đó hàm s ố y=2 + sin x + cos x được xác đị nh v ới m ọi x. V ậy t ập xác định c ủa hàm s ố là: D = R 3 + tgx 11). Bi ểu th ức y = có ngh ĩa khi và ch ỉ khi: 1+ sin x  π  π x≠ + k π x≠ + k π  2 π 2 ⇔  ⇔≠+x k π π 2 sinx ≠ − 1  x≠ − + k 2π  2 π  Vậy t ập xác đị nh c ủa hàm s ố là: DR=\ + kkπ / ∈ ℕ  2  π  12). Bi ểu th ức y=2 tgx + 3cot g 2 x −  có ngh ĩa khi và ch ỉ khi : 3  π  π x≠+ kπ  x ≠+ k π 2  2 ⇔  π π π 2x−≠ kπ  x ≠+ k 3  6 2 Vậy t ập xác đị nh c ủa hàm s ố là: π  π π  D= DA\ ∪ B v ới A= xx/ ≠ + k π  và B= xx/ ≠ + k  . 2  6 2  Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 7
  10. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BÀI T ẬP T Ự LUY ỆN 1+ cos x Bài 1. Tìm t ập xác đị nh c ủa hàm s ố y = . sin x Hướng d ẫn: Hàm s ố xác đị nh ⇔sinx ≠⇔≠ 0 xkkπ , ∈ ℤ . . Tập xác đị nh là D=ℝ\{ kπ , k ∈ ℤ }. sin x Bài 2. Tìm t ập xác đị nh c ủa hàm s ố y = . cos ()x −π Hướng d ẫn: Hàm s ố xác đị nh π3 π ⇔cos()x −≠⇔−≠+⇔≠π 0 x ππ kx + kk π , ∈ ℤ . 2 2 3π  Tập xác đị nh là D=ℝ\ + kπ , k ∈ ℤ  . 2  2π  Bài 3. Tìm t ập xác đị nh c ủa hàm s ố y=tan 5 x +  . 3  Hướng d ẫn: Hàm s ố xác đị nh 2π  2 ππ ππ ⇔cos 5x +  ≠⇔+≠+⇔≠−+ 0 5 x kxπ kk , ∈ ℤ . 3  3 2 30 5 π π  Tập xác đị nh là D=ℝ\ −+ k , k ∈ ℤ  . 30 5  2+ cos x Bài 4. Tìm t ập xác đị nh c ủa hàm s ố y = . 1− sin x π Hướng d ẫn: Hàm s ố xác đị nh ⇔sinx ≠⇔≠+ 1 x kk 2π , ∈ ℤ . 2 π  Tập xác đị nh là D=ℝ\ + k 2π , k ∈ ℤ  . 2  2+ cos x Bài 5. Tìm t ập xác đị nh c ủa hàm s ố y = . 2− sin x Hướng d ẫn: Hàm s ố xác đị nh ⇔sinx ≠ 2 (luôn tho ả v ới m ọi x). Tập xác đị nh là D = ℝ . 2+ sin x Bài 6. Tìm t ập xác đị nh c ủa hàm s ố y = . cosx + 1 Hướng d ẫn: Ta có −1 ≤ sinx ≤ 1 và −1 ≤ cosx ≤ 1 nên 2+ sinx > 0 và cosx + 1 ≥ 0 . 2+ sin x  ≥ 0()luoân thoaû Hàm s ố xác đị nh ⇔cosx + 1 ⇔≠−⇔≠+∈cosx 1 xπ kk π , ℤ . cosx + 1 ≠ 0 Tập xác định là D=ℝ\{π + k π , k ∈ ℤ } . Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 8
  11. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 5− 3cos2 x Bài 7. Tìm t ập xác đị nh c ủa hàm s ố y = . π  1+ sin 2 x −  2  Hướng d ẫn: Ta có −1 ≤ cos2x ≤ 1 nên 5− 3cos2x > 0 . π  Mặt khác 1+ sin 2x −  ≥ 0 . 2  Hàm s ố xác đị nh  5− 3cos2 x ≥ 0()luoân thoaû  π  1+ sin 2 x −  π  π π ⇔ 2  ⇔sin 2x −≠−⇔−≠−+⇔≠∈  1 2 x kxkk 2π π , ℤ. 2  2 2  π  1+ sin 2x −  ≠ 0  2  Tập xác đị nh là D=ℝ\{ kπ , k ∈ ℤ }. π  1+ cot  + x  3  Bài 8. Tìm t ập xác đị nh c ủa hàm s ố y = . π  tan2  3 x −  4  Hướng d ẫn:  π  π  π sin+x  ≠ 0 +≠xkπ x ≠−+ k π 3     3  3  π   ππ  ππ Hàm s ố xác đị nh ⇔cos3x −≠⇔−≠+⇔≠+  03  x kxkkπ  , ∈ ℤ . 4   42  43 π  π  π π tan2  3x −  ≠ 0 3x− ≠ k π  x≠ + k  4  4  12 3 π π ππ π  Tập xác đị nh là D=−+ℝ\ kkπ , + , + kk , ∈ ℤ  . 3 4 3 12 3  1− tan 4 x Bài 9. Tìm t ập xác đị nh c ủa hàm s ố y = . 2sinx − 2 Hướng d ẫn:  π  π π 4x≠ + k π x≠ + k cos4x ≠ 0  2  8 4  π  π Hàm s ố xác đị nh ⇔2 ⇔≠+ x k2π ⇔≠+  x kk 2 π , ∈ ℤ . sin x ≠ 4  4  2 3π  3 π x≠+ k2π  x ≠+ k 2 π  4 4 π ππ3 π  Tập xác đị nh là D=ℝ\ + k , + k 2,π + kk 2, π ∈ ℤ  8 44 4  Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 9
  12. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC πππ  1+++ cos x Bài 10. Tìm t ập xác đị nh c ủa hàm s ố y=cot  x +  + . 6  1−−− cos x 1+++ cos x Hướng d ẫn: Vì −1 ≤ cosx ≤ 1 nên 1+ cosx ≥ 0 và 1− cosx ≥ 0⇒⇒⇒ ≥≥≥ 0 . 1−−− cos x  πππ  π  π sinx +  ≠ 0 x+≠ kπ  x ≠−+ k π Hàm s ố xác đị nh ⇔6  ⇔⇔ 6  6 ,k ∈ ℤ.    1− cosx ≠ 0 xk≠2π  xk ≠ 2 π π  Tập xác đị nh là D=ℝ\ −+ kkkπ ,2, π ∈ ℤ  . 6  1 Bài 11. Tìm t ập xác đị nh c ủa hàm s ố y=2 + sin x − . tan2 x −−− 1 Hướng d ẫn: Vì −1 ≤ sinx ≤ 1 nên 2+ sinx ≥ 0 . Hàm s ố xác đị nh 2+ sinx ≥ 0 (((luoân thoaû)))  πππ  x≠ ± + k πππ 2 tanx ≠≠±±≠ ± 1  4 ⇔−≠tanx 1 0 ⇔  ⇔  ,k , m ∈ ℤ .  cosx ≠≠≠ 0  πππ cosx ≠≠≠ 0 x≠ + k πππ   2 π π  Tập xác đị nh là D=ℝ\ ±+ kπ , + kk π , ∈ ℤ  . 4 2  πππ  1+ tan + 2 x  3  Bài 12. Tìm t ập xác đị nh c ủa hàm s ố y === . cot2 x +++ 1 Hướng d ẫn: Hàm s ố xác đị nh cot2 x + 1 ≠ 0 (((luoân thoaû)))  π π  π π πππ  +2x ≠ + k πππ  x≠ + k ⇔+≠⇔cos 2x  0 3 2 ⇔  12 2 , k ∈ ℤ . 3   x≠≠≠ k πππ x≠≠≠ k πππ    sinx ≠≠≠ 0 π π  Tập xác đị nh là D=ℝ\ + kkk ,π , ∈ ℤ  . 12 2  Dạng 2: TÌM CHU K Ỳ C ỦA HÀM S Ố L ƯỢNG GIÁC Lý thuy ết v ận d ụng: + Hàm s ố y = sinx và y = cosx tu ần hoàn v ới chu k ỳ T= 2 π 2πππ Mở r ộng: Hàm s ố y = sin(ax + b) và y = cos(ax + b) tu ần hoàn v ới chu k ỳ: T === a + Hàm s ố y = tanx và y = cotx tu ần hoàn v ới chu k ỳ T ==ππ= π Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 10
  13. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC πππ Mở r ộng: Hàm s ố y = tan(ax + b) và y = cot(ax + b) tu ần hoàn v ới chu k ỳ T === a + N ếu hàm s ố f(x) có chu k ỳ T1 , hàm s ố g(x) có chu k ỳ T2 thì hàm s ố y= f(x) + g(x) có chu k ỳ T= k.BCNN(T;T1 2 ) Bài 1: Ch ứng minh hàm s ố y = f(x) = sin2x tu ần hoàn v ới chu k ỳ T ==ππ= π , t ức là: f(x+π= ) f(x), ∀ x (*) và T ==ππ= π là s ố d ươ ng nh ỏ nh ất th ỏa mãn điều ki ện (*) Hướng d ẫn HS y = f(x) = sin2x có TX Đ: D = R. ∀x ∈ D , ta có: f(x+π= ) sin2(x +π= ) sin(2x +π= 2 ) sin2x = f(x) . Gi ả s ử có s ố T0 sao cho: 0< T 0 < π và f(x+ T)0 = f(x), ∀ x . πππ π ππ π Cho x === , ta được: sin2(+ T) = sin2.⇒⇒⇒ sin(+ 2T) = sin = 1 4 40 420 2 π π ⇒⇒⇒ +2T =+ k.2 π∈ (k Z)⇒⇒⇒ T= k. π (k ∈ Z) . Điều này trái v ới gi ả thi ết 0< T < π 20 2 0 0 Ngh ĩa là T ==ππ= π là s ố d ươ ng nh ỏ nh ất th ỏa mãn điều ki ện f(x+ T) = f(x), ∀ x . Vậy y = sin2x là hàm s ố tu ần hoàn v ới chu k ỳ T ==ππ= π . Bài 2: Tìm chu k ỳ c ủa các hàm s ố sau πππ 1). y=== 2sin2 3x 2). y= 4cos(5x2 + ) 3). y= tan(3x − 2) 6 πππ π  x 2 tan 4x 4). y= cot( − 5x + ) 5). y= sin − x + tan 6). y =    1− cos 8x 4 3   3 1− 1+ cos 8x Hướng d ẫn 2π π 1). y= 2sin2 3x = 1 − cos6x . V ậy hàm s ố đã cho tu ần hoàn v ới chu k ỳ T = = 6 3 π π 2). y= 4cos(5x2 +=+ ) 2 2cos(10x + ) . V ậy hàm s ố đã cho tu ần hoàn v ới chu k ỳ 6 3 2π π T = = 10 5 πππ 3). y= tan(3x − 2) là hàm s ố tu ần hoàn v ới chu k ỳ T === 3 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 11
  14. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC πππ π π 4). y= cot( − 5x + ) là hàm s ố tu ần hoàn v ới chu k ỳ T = = 4 −−−5 5 π  x  5). Ta th ấy hàm s ố f(x)= sin − x  có chu k ỳ T= 2 π . Hàm s ố g(x)= tan   có chu k ỳ 3  1 3  T2 = 3 π . V ậy hàm s ố y co chu k ỳ T= 6 π 6). Ta có : sin 4x .2cos2 4x 2 tan 4x tan4x() 1+ cos 8x 2sin4x.cos 4x sin8x y = = =cos 4x === tan 8x 1+ cos 8x − 1 + c os 8x c8xos c8x os c8x os c8x os 1+ cos 8x π Vậy hàm s ố y có chu k ỳ T = 8 Dạng 3: XÉT TÍNH CH ẴN - L Ẻ C ỦA HÀM S Ố L ƯỢNG GIÁC Lý thuy ết v ận d ụng: + Cho hàm s ố y = f(x) v ới t ập xác đị nh D. Hàm s ố f g ọi là hàm s ố ch ẵn n ếu v ới m ọi x thu ộc D, ta có x c ũng thu ộc D (D là t ập đố i x ứng) và f(-x) = f(x) + Cho hàm s ố y = f(x) v ới t ập xác đị nh D. Hàm s ố f g ọi là hàm s ố l ẻ n ếu v ới m ọi x thu ộc D, ta có x c ũng thu ộc D (D là t ập đố i x ứng) và f(-x) = -f(x) BÀI T ẬP: Xét tính ch ẵn - l ẻ c ủa các hàm s ố sau 1). y= x + cos5x 2). y= 3cosx + sin2 x c otx 3). y=== sin2 x.sin2x 4). y === 1+++ cos2 x 5). f(x)= 3sinx − 2 6). f(x)= sinx − cosx 7). f(x)= sinx .c os2 x + t anx 8). f(x)= sin2x − cos 3x Hướng d ẫn 1) Hàm s ố y= f(x) = x + cos5x có TX Đ: D = R. Ta có xD∈∈∈ ⇒⇒⇒ − xD ∈ . ∀∈x D,f( −=−+ x) x cos( − 5x) =+ x cos5x = f(x) . V ậy f(x) là hàm s ố ch ẵn. 2) Hàm s ố y= f(x) = 3cosx + sin2 x có TX Đ: D = R. Ta có xD∈∈∈ ⇒⇒⇒ − xD ∈ . ∀∈−=x D,f( x) 3cos( −+ x) sin(2 −= x) 3cosx +− ( sinx)2 = 3cosx + sin 2 x = f(x) . Vậy f(x) là hàm s ố ch ẵn. 3) Hàm s ố y=== sin2 x.sin2x có TX Đ: D = R. Ta có xD∈∈∈ ⇒⇒⇒ − xD ∈ . Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 12
  15. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ∀∈x D,f( −= x) sin2 ( − x).sin( −=− 2x) sin 2 x.sin2x =− f(x) . V ậy y= f(x) = sin2 x.sin2x là hàm s ố l ẻ. c otx 4) Hàm s ố y= f(x) = có TX Đ: D= R\{{{ k. π /k ∈ Z }}} . Ta có xD∈∈∈ ⇒⇒⇒ − xD ∈ . 1+++ cos2 x cot(−−− x) c otx ∀∈−=xD,f(x) =− =− f(x) . V ậy f(x) là hàm s ố l ẻ. 1+ cos(2 − x) 1 + cosx 2 f(− x) ≠ f(x) 5). TX Đ: D = R. Ta có xD∈∈∈ ⇒⇒⇒ − xD ∈ . Xét f(− x) =− 3sinx − 2 ⇒  . f(− x) ≠ − f(x) Vậy f(x) không là hàm ch ẵn c ũng không là hàm l ẻ. f(− x) ≠ f(x) 6). TX Đ: D = R. Ta có xD∈∈∈ ⇒⇒⇒ − xD ∈ . Xét f(x)− =− sinx − cosx ⇒  f(− x) ≠ − f(x) Vậy f(x) không là hàm ch ẵn c ũng không là hàm l ẻ. 7). TX Đ: D = R. Ta có xD∈∈∈ ⇒⇒⇒ − xD ∈ . Xét f(x)−=− sinxos .c2 xt − anx =−( s inxos .c 2 xt + anx ) =− f(x) Vậy f(x) là hàm s ố l ẻ. 8). Vậy f(x) không là hàm ch ẵn c ũng không là hàm l ẻ. Dạng 4: TÌM MIN - MAX C ỦA HÀM S Ố L ƯỢNG GIÁC Lý thuy ết v ận d ụng: Ta có: −≤1 sin(ax +≤∀∈−≤ b) 1, x R, 1 cos(ax +≤∀∈ b) 1, x R BÀI T ẬP: Tìm giá tr ị l ớn nh ất và giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa các hàm s ố πππ 1). y= 2cos(x + ) + 3 2). y=== 4sin x 3 1 3). y= 3 + sinxcosx 4). y= 1 + sinx − 3 4 5). y=1sin −( x 2 ) − 1 6). f(x) = 9 − sin 2 2x 7). f(x) = 2cos 2x – cosx + 1 8). f(x) = sin 2x – 4sinx – 2 Hướng d ẫn πππ  1). ∀∀∀x , ta có: −≤1 cos x +  ≤ 1 nên 3  π  π −≤22cosx +≤⇔≤ 2 12cosx  ++≤⇔≤≤ 35 1y5 3  3 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 13
  16. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC π  π ⇒ y=⇔ 1cxos +=− 1,y =⇔ 5cx os  += 1 min 3m ax  3 2). ∀x ≥ 0 , ta có: −≤1 sinx ≤⇔−≤ 1 4 4sinx ≤⇔−≤≤ 4 4 y 4 . ⇒ ymin=−⇔ 4 sinx =− 1,y m ax =⇔ 5 sinx1 = 1 1 3). Ta có: y=+ 3 sinxcosx =+ 3 sin2x . ∀∀∀x , ta có: −1 ≤ sin2x ≤ 1 nên: 4 8 11 1 1 1 123 25 −≤sin2x ≤⇔−≤+ 3 3 sin2x3 ≤+⇔≤≤ y . 88 8 88 88 8 25 Vậy giá tr ị l ớn nh ất c ủa y là đạt được khi: sin2x = 1 8 23 Vậy giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa y là đạt được khi: sin2x = -1 8 4). ∀∀∀x , ta có: −≤1sinx ≤⇔≤+ 1 01sinx ≤⇔≤+ 2 0 1sinx ≤ 2 ⇔−≤+ 3 1sinx −≤ 3 2 − 3 ⇔−≤3y ≤ 23 − Vậy giá tr ị l ớn nh ất c ủa y là 2−−− 3 đạt được khi: sinx = 1 Vậy giá tr ị nh ỏ nh ất c ủa y là -3 đạt được khi: sinx = -1 5). Hàm s ố: y=1sin −( x 2 ) − 1 có t ập xác đị nh là D= R Với m ọi x∈ R ta luôn có: −≤−1 1sin( x2 ) −≤ 1 21 − ⇔−≤1y ≤ 2 − 1 . 2 2 *)ymax = 2 − 1 ⇔ sinx( ) = − 1 ; *)ymin = − 1 x ảy ra khi: sin( x) = 1 6). Do 0 ≤ sin 22x ≤1 ⇒ 9 – sin 22x > 0, ∀∀∀ x ∈∈∈ ℝ Vậy hàm s ố f(x) = 9 − sin 2 2x xác định v ới ∀∀∀ x ∈∈∈ ℝ . Ta có 0 ≤ sin 22x ≤1 ⇒ 8 < 9 – sin 22x ≤ 9, ∀∀∀ x ∈∈∈ ℝ ⇒ 2 2 ymin=⇔ 8 sinx1,y = m ax =⇔ 3 sinx = 0 7). Hàm s ố f(x) = 2cos 2x – cosx + 1 xác định v ới ∀∀∀ x ∈∈∈ ℝ . Đặ t t = cosx, khi đó -1 ≤ t ≤ 1 Xé t hà m s ố F(t) = 2t 2 – t + 1 và có bả ng bi ến thiên sau: Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 14
  17. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1 t -∞ -1 4 1 +∞ F(t) 4 2 7 8 7 1 Từ đó ta có: ⇒ y=⇔ 4 cosx =− 1,y =⇔ cosx = max min 8 4 8). Hàm s ố f(x) = sin 2x – 4sinx – 2 xác định v ới ∀∀∀ x ∈∈∈ ℝ . Đặt t =sinx, khi đó –1≤ t ≤ 1 . Ta có: F(t) = t 2 – 4t – 2 t -∞ -1 1 2 +∞ F(t) 3 -5 ⇒ y=⇔ 3 sinx =− 1,y =−⇔ 5 sinx = 1 max min Dạng 5: ĐỒ TH Ị C ỦA HÀM S Ố L ƯỢNG GIÁC Bài 1: D ựa vào đồ th ị hàm s ố y = sinx, v ẽ đồ th ị c ủa hàm s ố y=== sinx Hướng d ẫn 1 x -2 π -π O π 2π sinx nÕu sinx≥≥≥ 0 Theo định ngh ĩa giá tr ị tuy ệt đố i, ta có: sinx= (y0) ≥ −sinx nÕu sinx < 0 Nh ư v ậy, đồ th ị hàm s ố y=== sinx trên tr ục s ố được suy ra b ằng cách nh ư sau: + Ph ần đồ th ị v ới sinx≥≥≥ 0 thì l ấy b ằng chính nó (gi ữ nguyên) (Vì sinx= sinx nÕu sinx ≥ 0 ) + Ph ần đồ th ị v ới sinx<<< 0 thì l ấy đố i x ứng qua tr ục hoành (Vì sinx= − sinx nÕu sinx < 0 ) Bài 2: Vẽ đồ th ị hàm s ố y = sin2x. + Suy ra đồ th ị hàm s ố y= sin2x . Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 15
  18. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC + Tìm các kho ảng đồ ng biên - ngh ịch bi ến c ủa hàm s ố y = sin2x. + Tìm các kho ảng để hàm s ố y = sin2x nh ận giá tr ị d ươ ng - giá tr ị âm. Hướng d ẫn * Ý 1: V ẽ đồ th ị hàm s ố y = sin2x + TX Đ: R 2π + Chu k ỳ T = = π 2 + Hàm s ố y = sin2x là hàm l ẻ, đồ th ị hàm s ố đố i x ứng nhau qua g ốc t ọa độ π  + Xét BBT c ủa hàm s ố y = sin2x trên n ửa chu k ỳ 0;  2  π π x 0 4 2 y = sin2x 0 1 0 π  (Hàm s ố y = sin2x trên n ửa chu k ỳ 0;  là hàm s ố y = sinx trên n ửa chu k ỳ [0; π] ) 2  + Đồ th ị hàm s ố 1 π π - x 4 2 π -π π O π - 2 4 -1 * Ý 2: Suy ra đồ th ị hàm s ố y= sin2x + Vì y= sin2x ≥ 0 nên đồ th ị hàm s ố y= sin2x được suy ra t ừ đồ th ị hàm s ố y= sin2x bằng cách: - Gi ữ nguyên ph ần đồ th ị hàm s ố y= sin2x v ới y≥ 0 - Lây đối x ứng ph ần còn l ại qua tr ục Ox Ta có đồ th ị nh ư hình bên d ưới: Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 16
  19. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1 x -π π π O π π π - - 4 2 4 2 * Ý 3: π π  + Hàm s ố đồ ng bi ến trên các kho ảng − +πk; +π k  ,k ∈ Z 4 4  π3 π  + Hàm s ố ngh ịch bi ến trên các kho ảng +πk; +π k  ,k ∈ Z 4 4  * Ý 4: π  + y≥ 0 trên các kho ảng k;π +π k  ,k ∈ Z 2  π  + y≤ 0 trên các kho ảng − +ππk;k  ,k ∈ Z 2  Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 17
  20. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Phần 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I. NH ẮC L ẠI CÁC CÔNG TH ỨC L ƯỢNG GIÁC C ẦN NH Ớ t cotα 1. Cách nh ớ các tr ục l ượng giác cot + cosin là tr ục n ằm ngang M ớ tan + song song v i nó có chàng cot sin α } α + còn sin thì đứng th ẳng b ăng {α cos + đối di ện v ới nó có tan đứ ng ch ờ cos α tan sin •−≤1 sinα ≤∀ 1, α •−≤1 cosα ≤∀ 1, α •sin(α +k 2 π ) = sin α , k ∈ ℤ •cos(α +k 2 π ) = cos α , k ∈ ℤ •tan(α +=k π ) tan α , k ∈ ℤ •cot(α +=k π ) cot α , k ∈ ℤ 2. Sáu công th ức c ơ b ản 2 1 (1) sin2α+ cos 2 α= 1 (4) 1+ tan α = cos 2 α sin α 2 1 (2) tan α = (5) 1+ cot α = cos α sin 2 α cos α (3) cot α = (6) tanα .cot α = 1 sin α 3. Công th ức c ộng - tr ừ: cos thì cos cos sin sin sin thì sin cos cos sin rõ ràng cos thì đổi d ấu h ỡi chàng sin thì gi ữ d ấu xin nàng nh ớ cho tan t ổng thì l ấy t ổng tan, chia m ột tr ừ tích v ới tan - d ễ mà (1) cos( a+ b) = cos a.cos b − sin a.sin b tan a+ tan b (2) cos( a− b) = cos a.cos b + sin a.sin b (5) tan() a+ b = 1− tan a.tan b (3) sin a+ b = sin a.cos b + sin b.cos a ( ) tan a− tan b (6) tan() a− b = (4) sin( a− b) = sin a.cos b − sin b.cos a 1+ tan a.tan b Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 18
  21. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 4. Công th ức bi ến đổ i t ổng thành tích: cos + cos = 2cos.cos cos - cos = -2sinsin sin + sin = 2sin.cos sin - sin = 2cos.sin ab+ ab − (1) cos a+ cos b = 2 cos .cos 2 2 ab+ ab − (2) cosa− cosb = − 2sin .sin 2 2 ab+ ab − (3) sin a+ sin b = 2 sin .cos 2 2 ab+ ab − (4) sin a− sin b = 2 cos .sin 2 2 Tình mình c ộng v ới tình ta, sinh ra hai đứa con mình con ta Tình mình hi ệu v ới tình ta, sinh ra hi ệu chúng, con ta con mình sin( a+ b ) (5) tan a+ tan b = cos a.cos b sin( a− b ) (6) tan a− tan b = cos a.cos b 5. Công th ức bi ến đổ i tích thành t ổng: Suy ra t ừ công th ức t ổng thành tích “cos cos n ửa cos-cộng, c ộng cos-tr ừ sin sin n ửa cos-tr ừ, tr ừ cos-cộng sin cos n ửa sin-cộng, c ộng sin-tr ừ”. 1 (1) cos a.cos b= cos a ++ b cos a − b  2 ()()  1 (2) sin a.sin b=− cos a +− b cos a − b  2 ()()  1 (3) sin a.cos b= sin a ++ b sin a − b  2 ()()  1 (4) cosa.sin b= sin a +− b sin a − b  2 ()()  (có công th ức (3), có th ể không c ần công th ức (4) ho ặc ng ược l ại) 6. Công th ức góc nhân đôi: (1) sin 2a= 2 sin a.cos a (2) cos 2a= cos22 a − sin a = 2 cos 2 a −=− 1 1 2 sin 2 a Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 19
  22. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 7. Công th ức h ạ b ậc hai: Suy ra t ừ công th ức góc nhân đôi 2 1− cos 2a 2 1+ cos 2a (1) sin a = (2) cos a = 2 2 8. Công th ức góc nhân ba: Nhân ba m ột góc b ất k ỳ sin thì ba b ốn, cos thì b ốn ba dấu tr ừ đặ t gi ữa hai ta, l ập ph ươ ng ch ỗ b ốn, th ế là ok. (1) sin 3a= 3 sin a − 4 sin3 a (2) cos3a= 4 cos3 a − 3 cos a 9. Công th ức h ạ b ậc ba: Suy ra t ừ công th ức góc nhân ba. 1 1 (1) sin3 a= 3sina − sin3a (2) cos3 a= 3 cos a + cos 3a 4 () 4 () x  10. Công th ức bi ểu di ễn sin x, cos x, tan x qua t= tan   : 2  sin, cos m ẫu gi ống nhau ch ả khác ai c ũng là m ột c ộng bình tê ( 1+++ t 2 ) sin thì t ử có hai tê (2t), cos thì t ử có 1 tr ừ bình tê ( 1−−− t 2 ). 2t 2t sin x tan x (1) = 2 (3) = 1+ t 1− t 2 1− t 2 1− t 2 (2) cos x = (4) cot x = 1+ t 2 2t Nếu đặ t t= tan x 2t 2t sin 2x tan 2x (1) = 2 (3) = 1+ t 1− t 2 1− t 2 1− t 2 (2) cos 2x = (4) cot2x = 1+ t 2 2t 11. Công th ức liên h ệ c ủa các góc (cung) liên quan đặc bi ệt: cos đối , sin bù, ph ụ chéo, khác π tan (thì b ằng nhau - còn l ại đố i nhau) cos−α = cos α sinπ−α = sin α  ( )  ( ) sin()−α = − sin α cos()π−α =− cos α (1) Góc đối:  (2) Góc bù:  tan()−α = − tan α tan()π−α =− tan α   cot−α = − cot α cotπ−α =− cot α  ( )  ( ) Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 20
  23. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC    sinπ  cos   −α= α  2       tanπ+α= tan α cosπ  sin  ( )   −α= α   2  sin()π+α =− sin α (3) Góc ph ụ:  (4) Góc sai kém π :     cos cos tanπ  cot  ()π+α =− α   −α= α   2   cotπ+α = cot α   ( )  π  cot −α= tan α  2     π Hai góc h ơn kém nhau 2 (sin chéo - cos b ằng, còn l ại chéo đố i) π  π  •sinα +  = cos α •tanα +  =− cot α 2  2  π  π  •cosα +  =− sin α •cotα +  =− tan α 2  2  12. Công th ức b ổ sung:   sin cos 2 sinπ 2 cos  π  (1) α+ α= α+ =  α−  4  4    sin cos 2 sinπ 2 cos  π  (2) α− α= α− =  α+  4  4    cos sin 2 cosπ 2 sin  π  (3) α−α= α+=  −α  4  4  13. B ảng giá tr ị c ủa hàm s ố l ượng giác c ủa các góc cung đặ c bi ệt: α 0o 30 o 45 o 60 o 90 o 120 o 135 o 150 o 180 o 270 o 360 o π π π π 2π 3π 5π 3π 0 π 2π HS 6 4 3 2 3 4 6 2 1 2 3 3 2 1 sin α 0 1 0 −1 0 2 2 2 2 2 2 3 2 1 1 2 3 cos α 1 0 − − − −1 0 1 2 2 2 2 2 2 3 3 tan α 0 1 3 || − 3 −1 − 0 || 0 3 3 3 3 cot α || 3 1 0 − −1 − 3 || 0 || 3 3 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 21
  24. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 0o 30 o 45 o 60 o 90 o π π π π 0 6 4 3 2 sin 0 1 2 3 4 Quy t ắc 5 ngón tay cos 4 3 2 1 0 2 0o 30 o 45 o 60 o 90 o π π π π 0 6 4 3 2 tan 0 3 9 27  Đầu voi - đuôi chu ột Ở gi ữa g ấp ba cot 27 9 3 0 3 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 22
  25. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC II. CÁC K Ỹ THU ẬT GI ẢI PH ƯƠ NG TRÌNH L ƯỢNG GIÁC A. PH ƯƠ NG TRÌNH L ƯỢNG GIÁC C Ơ B ẢN 1. Ph ươ ng trình sinx = a. a) N ếu a>>> 1 : Ph ươ ng trình vô nghi ệm x=α+ k.2 π b) N ếu a≤≤≤ 1 : Đư a ph ươ ng trình v ề d ạng: sinx = sin ααα ⇔ (k ∈ Z) x=π−α+ k.2 π * Các tr ường h ợp đặ c bi ệt: + sinx = 0 ⇔x = k. π (k ∈ Z) πππ + sinx = 1 ⇔=x + k.2(k π∈ Z) 2 πππ + sinx = -1 ⇔x =− + k.2(k π ∈ Z) 2 Ví d ụ: Gi ải các ph ươ ng trình sau x+ π  1 1). sin   = − 5  2 x+ππ  11 π =−+πk2  x =− + k10 π x+ π 1  π 5 6 6 + Ta có sin= − = sin  − ⇔ ⇔  (k∈ Z) 526x  +ππ  29 π =π++πk2 x = + k10 π 5 6  6 2). sin2x= 1 − 3 2x=α+π k2  x = + Ta th ấy −≤−11 3 ≤ 1 , đặt 1− 3 = sin α ⇒ ⇔  2x=π−α+ k2 π  x = π   π  3). sin2x−  = sin  + x  5   5   π π  2π 2x− = ++ xk2 π x= + k2 π π   π  5 5 5 + sin2x−  = sin  + x  ⇒  ⇔  5   5   π π   π2 π 2x− =π− + xk2  + π x= + k  5 5   3 3 3 4). sin() x+ 20 0 = 2 3 x+=+ 20000 60 k.360  x =+ 40 00 k.360 + sin() x+ 20 0 = ⇔ ⇔  2 x+=−+ 20000 180 60 k.360 0  x =+ 100 0 k.360 0 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 23
  26. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 2. Ph ươ ng trình cosx = a a) N ếu a>>> 1 : Ph ươ ng trình vô nghi ệm x=α+ k.2 π b) N ếu a≤≤≤ 1 : Đư a ph ươ ng trình v ề d ạng: cosx = sin ααα ⇔ (k ∈ Z) x=−α+ k.2 π * Các tr ường h ợp đặ c bi ệt: πππ + cosx = 0 ⇔x = + k.(k π ∈ Z) 2 + cosx = 1 ⇔x = k.2 π (k ∈ Z) + cosx = -1 ⇔x =π+ k.2(k π ∈ Z) Ví d ụ: Gi ải các ph ươ ng trình sau x 1). cos= cos 2 2 x x + cos= cos 2⇒ =± 2k2 + π⇔=± x 22k4 + π 2 2 π  2 2). cos  x +  = 18  5 2 2 π π + Ta th ấy −1 ≤ ≤ 1 , đặt =cos α ⇒ x+ =±α+ k2x π⇔ =±α− + k2 π 5 5 18 18 3 3). cos () x− 5 = 2 3 π π π + cx5os()− = = c os ⇒ x5−=± + k2 π⇔ x5 =± + k2 π 26 6 6 2 4). cos () x+ 60 0 = 2 2 x= − 150 + k.360 0 + cos () x60+0 = ⇒ x60+ 000 = ± 45 + k.360 ⇔  2 x= − 1050 + k.360 0 1 5). cos2 x = 2 1 1c2x+os 1 πππ + cosx2 =⇔ =⇔ c2x02xos = ⇒ = +π⇔ k x = + k 222 2 42 3 6). sin2 x = 2 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 24
  27. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 3 1c2x− os 3 + sinx2 = ⇔ = ⇔ c2x13os =−∈−[] 1;1 ⇔=±α+π 2x k2 , với cos α = 1 − 3 2 2 2 πππ 3. Ph ươ ng trình tanx = a. Điều ki ện x≠ + k.(k π ∈ Z) 2 + Đư a ph ươ ng trình v ề d ạng: tanx= tan α⇔ x =α+ k.(k π ∈ Z) * Các tr ường h ợp đặ c bi ệt: + tanx = 0 ⇔x = k. π (k ∈ Z) πππ + tanx = 1 ⇔x = +π k(k ∈ Z) 4 πππ + tanx = -1 ⇔x =− +π k(kZ) ∈ 4 Ví d ụ: Gi ải các ph ươ ng trình sau 3π 1). tan 3x= tan 5 3π 3 π ππ + ĐK: cos3x≠ 0 , tan3xtan= ⇒ 3x= +π⇔ k x = + k 5 5 53 2). tan(x− 150 ) = 5 3). tan2x( − 1) = 3 π1 π π + ĐS: tan2x1()− = 3tan = ⇒ x= + + k 3 26 6 4). sinx= cosx π + sinx= cosx⇒ tanx = 1⇒ x= + k π 4 5). sinx + cosx = 0 π + sinx + cosx = 0 ⇒ tanx = − 1x⇒ =− + k π 4 4. Ph ươ ng trình cotx = a. Điều ki ện x≠ k. π (k ∈ Z) + Đư a ph ươ ng trình v ề d ạng: cotx= cot α⇔ x =α+ k.(k π ∈ Z) * Các tr ường h ợp đặ c bi ệt: πππ + cotx = 0 ⇔x = +π k(k ∈ Z) 2 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 25
  28. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC πππ + cotx = 1 ⇔x = +π k(k ∈ Z) 4 πππ + cotx = -1 ⇔x =− +π k(kZ) ∈ 4 Ví d ụ: Gi ải các ph ươ ng trình sau 1). cot 3x= 1 + ĐK: cos3x≠ 0 π π π + cot3x1= ⇒ 3x= +π⇔ k x = + k 4 123 2π 2). cot 4x= cot 7 + ĐK: cos 4x≠ 0 2π 2 π ππ + cot4xcot= ⇒ 4x= +π⇔ k x = + k 7 7 144 3). cot 3x= − 2 + ĐK: cos3x≠ 0 α π + cot3x= − 2⇒ 3x=α+ k π⇔ x = + k , v ới cotα = − 2 3 3 1 4) cot() 2x− 10 0 = 3 + ĐK: cos ( 2x− 100 ) ≠ 0 1 + cot2x()− 100 = ⇒ 2x−=+ 10 000 60 k.180 ⇔=+ x 35 00 k.90 3 B. PH ƯƠ NG TRÌNH L ƯỢNG GIÁC C Ơ S Ở 1. Ph ươ ng trình c ổ điển (ph ươ ng trình b ậc nh ất đố i v ới sin và cos) asinx + bcosx = c (*) (a, b, c ∈∈∈ R vµ a2+ b 2 ≠ 0 ) + §iÒu kiÖn ®Ó ph−¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm l: a2+ b 2 ≥ c 2 . + C¸ch gi¶i trong tr−êng hîp tæng qu¸t: Chia 2 vÕ cña ph−¬ng tr×nh (*) cho a2+++ b 2 - Bi ến đổ i để áp d ụng công th ức c ộng cos( a± b) = cos a.cos b∓ sin a.sin b ; sin( a± b) = sin a.cos b ± sin b.cos a Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 26
  29. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Ví d ụ minh h ọa: Gi ải các ph ươ ng trình sau: x x  2 VD1: KD-07: sin+ cos  + 3cosx = 2 2 2  Hướng d ẫn: x x x x 1 3 1 ⇔++sin2 cos 2 2.sin.c os + 3cosx =⇔+ 2 s inx 3cosx1 =⇔+ s inx cosx = 2 2 2 2 2 2 2 π ππ ππ  ⇔cos .s inx + cosx.sin =⇔+= sin sinx  sin 3 36 36   π π  πππ x+ = + k.2 π x=− + k.2 π 3 6  6 ⇔ ⇔ ;k ∈ Z π π  πππ x+ =π− + k.2 π x= + k.2 π  3 6  2 VD2: 3.sin7x− cos 7x = 2 Hướng dẫn: 312ππ 2  ππ  ⇔sin7x − c7xos =⇔ c os sin7xsin − c7x os =⇔−= sin7x  sin 2226 62 64  ππ  5 ππ 2 7x−=+π k.2  x =+ k 64 847 ⇔ ⇔  ;k ∈ Z ππ  11 ππ 2 7x−=π−+ k.2 π x = + k 64  847 VD3: 2 2cosx((( + sinx))) cosx = 3 + c os 2x Hướng d ẫn: 2 1+++ cos 2x  ⇔22cos x22s + inx cosx =+⇔ 3c2x os 22  + 2sin2x =+ 3c2xos 2  ⇔2sin2x +−((( 2 1c))) os 2x =− 3 2 2 2 2 + Ta th ấy ((( 2))) +((( 21 −))) <−((( 32 ))) nên ph ươ ng trình vô nghi ệm VD4: 4sin3 xcos3x+ 4cos 3 xsin3x + 3 3cos 4x = 3 Hướng d ẫn: 3sinx− sin3x 3cosx + cos 3x ⇔4. c3x4.os + sin3x33c4x3 += os 4 4 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 27
  30. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ⇔3sinx.cos 3x − sin3xcos3x + 3cosxsin3x + c os 3xsin3x += 3 3c os 4x 3 ⇔3sin((( x cos3x + cosxsin3x))) + 3 3c os 4x =⇔+ 3 3sin4x 3 3c os 4x =⇔+ 3 sin4 x 3c os 4x = 1  π π x= + k 1 3 1 π  π ππ  8 2 ⇔sin4x + c4xos =⇔ c4x os −=  c os ⇔−=±+π⇔ 4x k2 ;kZ ∈ 2 2 2 6363   π π x= − + k  24 2 VD5: 4sin3 x− 1 = 3sinx − 3cos 3x Hướng d ẫn: ⇔3cos 3x −((( 3sinx − 4sinx3 ))) =⇔ 1 3c os 3x −= sin3x 1 311π π 1 ⇔cos 3x −=⇔ sin3x c osos c 3x − sin sin3x = 2 226 62  π2 π x= + k π  π ππ  18 3 ⇔c3xos +=  c os ⇔+=±+π⇔ 3x k2 ;kZ ∈ 6363   π 2 π x= + k  6 3 VD6: Tìm m để ph ươ ng trình sau có nghi ệm, gi ải ph ươ ng trình trong tr ường h ợp đó 3 2m((()( cos x+ sinx))) = 2m2 + cos x − s inx + 2 3 Hướng d ẫn: ⇔+((()(2m 1)))( sinx +−((() 2m 1))) cos x =+ 2m 2 2 Ph ươ ng trình có nghi ệm 2 2 2 3  2 1 ⇔((()(2m ++ 1)))(((() 2m −≥ 1)))  2m2 +  ⇔((()( 4m 2 −≤⇔ 1))) 0 4m 2 −=⇔=± 1 0 m 2  2 1 πππ TH1: m=== ⇒⇒⇒ sinx =⇔= 1x + k2,kZ π ∈ ; 2 2 1 TH2: m==−−= − ⇒⇒⇒ cosx =−⇔ 1x =π+ k2,kZ π ∈ 2 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 28
  31. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 2. Ph ươ ng trình ch ứa t ổng (hi ệu) và tích c ủa sin-cos (Ph ươ ng trình đối x ứng) (1): a(sinx + cosx) + b.sinxcosx + c = 0 Ph ươ ng pháp: Đặt t = sinx + cosx; đk: −2 ≤ t ≤ 2 t2 −−− 1 ⇒⇒⇒ t2 = 1 + 2sinxcosx⇒⇒⇒ sinxcosx === 2 (2): a(sinx - cosx) + b.sinxcosx + c = 0 1−−− t 2 Ph ươ ng pháp: Đặt t = sinx - cosx; đk: −2 ≤ t ≤ 2 ⇒⇒⇒ sin x cos x === 2 * Chú ý:   sin x cos x 2 sin xπ 2 cos  x π  + += +=  −  4  4    sin x cos x 2 sin xπ 2 cos  x π  + − = −=−  +  4  4  + V ới ph ươ ng trình d ạng asinx± cosx + bsinx.cosx += c 0 , ta đặt t= sinx ± cosx,(0 ≤≤ t 2) Ví d ụ minh h ọa: Gi ải các ph ươ ng trình sau VD1: 2cos 2x+ sin2 xcos x + cos 2 xsin x =+ 2((( s inx cos x ))) Hướng d ẫn: ⇔+2cos2x sinx cosx(s inx +=+ cosx) 2(s inx cosx) ⇔−2(cos x sinx )(cos x ++ s inx ) sin x cos x(s inx +=+ cos x) 2(s inx cos x) (Do cos 2x=−=− c os2 x sinx 2 (cosx s inx )(cosx + s inx )) ⇔+((()(sinx cosx)))( 2cosx((() −+ s inx))) sin x cosx −= 2  0 πππ TH1: sinxcosx0+ =⇔ sinx =− cosx ⇔ t anx =−⇔=−+π∈ 1 x k,kZ 4 TH2: 2(cosx−+ sinx ) sin x cosx −=⇔ 2 0 2(s inx − cosx) − sin x cosx += 2 0 1−−− t 2 + Đặt t= sinx − cosx; −≤≤ 2 t 2⇒⇒⇒ sin x cosx === thay vào ph ươ ng trình ta có: 2 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 29
  32. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  π  π 1 t1s==−−= − ⇒⇒⇒ inx− cosx1 =−⇔− 2cx os + =−⇔ 1cx os  + = (1) t2 + 4t + 3 = 0 ⇔  4  4 2    t=− 3 ∉ − 2;2  x= k2 π π  π ππ  Từ (1) ⇔cxos +=  c os ⇔+=±+π⇔ x k2πππ ;kZ ∈ 4  4 44 x=− + k2 π  2 VD2: cos3 x+ sin 3 x = sin2x + sinx + cosx Hướng d ẫn: 3 ⇔+−(((sinx cosx))) 3sinxcosxs((( inx += cosx))) 2sinxcosx ++ s inx cosx t2 −−− 1 + Đặt t= sinx + cosx; −≤≤ 2 t 2⇒⇒⇒ sin x cosx === thay vào ph ươ ng trình ta có: 2 t=− 2 ∉ − 2;2  t3+ 2t 2 − t20 − = ⇔((()( t2t +)))((()( 2 − 1))) = 0 ⇔    t==±±= ± 1 π   π 1 2cos x−= 1  c os  x −= sinx + cos x = 1 4   4 2 ⇔ ⇔ ⇔ sinx + cos x = − 1 π   π 1 2sinx+=− 1  sinx  +=− 4   4 2  π π  πππ x− =± + k2 π x= + k2 π  2  4 4   π π x= k2 π ⇔−=−+π⇔x k2 ;kZ ∈  4 4  πππ  x=− + k2 π π π 2 x− =π+ + k2 π   4 4 x=π+ k2 π VD3: 2sinx+++ c otx=2sin2x+1 Hướng d ẫn: + ĐK: sinx≠≠≠ 0 cos x ⇔+=2sinx (2sinxcosx).2 +⇔+= 1 2sin2 x cosx 4sin 2 xcosx + s inx s inx ⇔2sin2 x −+− sinx cosx 4sin 2 xcosx =⇔ 0 s inx (2sinx −+− 1) cosx(1 4sin2 x ) = 0 ⇔−(2sinx 1)(sinx −− cosx 2sinxcosx) = 0 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 30
  33. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  πππ x= + k2 π 1 πππ 6 TH1: sinx==⇔ sin ;kZ ∈ 2 6 5 πππ x= + k2 π  6 TH2: sinx− cosx − 2sinxcosx = 0 t1=+ 2 ∉− 2;2  2   + Đặt ts=inx − cosx; −≤≤ 2 x 2⇒⇒⇒ t− 2t10 − = ⇔     t= 1 − 2 π  π1 − 2 ⇒⇒⇒ sinx− cosx1 =−⇔ 2 2c os x +=−⇔ 1 2 c os  x += 4  4 2 π−12  12 −π ⇔+=±x arccos +π⇔=± k2 x arccos  −+π∈ k2 ;k Z 4 2  2 4 3 VD4: (((sinx+ cosx))) − 2sin2x1((( +++−=))) s inx cosx 2 0 Hướng d ẫn: 3 ⇔+((()(sinx cosx))) − 22sinxcosx((()( +++−= 1))) s inx cosx 2 0 3 2 ⇔+((()(sinx cosx))) − 2s((()( inx + cosx))) ++−= s inx cosx 2 0 + Đặt : ts=inx + cosx; −≤≤ 2t 2⇒⇒⇒ t3− 2.t 2 +− t 20 =⇔− (t 2)(t2 +=⇔= 1)0 t 2 π  π ππ π ⇒⇒⇒ sinx + cosx = 2sinx +=⇔ 2 sinx  +=⇔+=+π⇔=+π∈ 1 x k2 x k2;kZ 4  4 42 4 III. VẬN D ỤNG GI ẢI CÁC D ẠNG PH ƯƠ NG TRÌNH L ƯỢNG GIÁC PH Ổ BI ẾN DẠNG 1: GI ẢI PH ƯƠ NG TRÌNH B ẰNG CÁCH S Ử D ỤNG TR ỰC TI ẾP PH ƯƠ NG TRÌNH C Ơ S Ở Gi ải các ph ươ ng trình sau (1) . cos 7x− sin5x = 3((( c os 5x − sin7x ))) Hướng d ẫn: 1 3 1 3 ⇔+cos 7x 3sin7x =+ sin5x 3c osos 5x ⇔+ c 7x sin7x =+ sin5x c os 5x 2 2 2 2 ππππ π   π  ⇔cosos c 7x + sin sin7x = sin sin5x + c osos c 5x ⇔−=− c os 7x  c os  5x  3366 3   6  Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 31
  34. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  πππ x= + k π π π  12 ⇔−=±−+π⇔7x 5x  k2 ;kZ ∈ 3 6   πk π x = +  24 6 2 x2  3 πππ  (2) 4sin− 3cos 2x =+ 1 2cos x −  2 4  Hướng d ẫn: 1cosx−  3 π   3 π ⇔4 − 3c2x11cos =++ os  2x −⇔−−  22cosx 3c2x2c os =+ os  − 2x 2  2   2 π  π ⇔−2cosx − 3cosos 2x = c 2 π−−= 2x  c os 2x +⇔− 2cosx − 3c os 2x =− sin(2x) 2  2 ⇔+cosx 3cos 2x =⇔− sin2x sin2x 3c os 2x = 2cosx 1 3 π π ⇔sin2x − c os2x=⇔ cosx sin sin2x − c osos c 2x = cosx 2 2 6 6 π π π  ⇔cosos c2xsin − sin2x =−⇔ cosx c os 2x +=−=π−  cosx c os ((()( x ))) 6 6 6   5π 2 π x= + k 18 3 ⇔ ;k ∈ Z  7π 2 π x= − + k  16 3 π  2 cos 2x − 1 (4) tan+ x  − 3tan x = 2  cos 2 x Hướng d ẫn: cos x≠≠≠ 0  cos x≠≠≠ 0 + ĐK: πππ  ⇔  cos + x  ≠ 0 sinx ≠≠≠ 0  2  2 2−−−2sinx 2 1 23 ⇔−cotx3tanx − =2 =− 2tanx ⇔− − tanx0 =⇔ tanx =− 1 cos x t anx πππ ⇔tanx =−⇔=− 1x +π k;kZ ∈ 4 (((1−−− 2sinx))) cosx (5) KA-09: === 3 ((()(1+ 2sinx)))(((() 1 − s inx ))) Hướng d ẫn: Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 32
  35. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  1 s inx ≠≠−−≠ − + ĐK:  2 sinx ≠≠≠ 1 ⇔−(((1 2sinxcosx))) =+ 3((( 1 2sinx)))((( 1 − s inx ))) ⇔−cosx 2sinxcosx =− 3 3sinx + 23s inx − 23s inx2 1−−− cos 2x  ⇔−cosx sin2x =+ 3 3sinx − 23   2  ⇔−cosx sin2x = 3sinx + 3c os 2x ⇔−cosx 3sinx = sin2x + 3c os 2x 1 31 3 ⇔cosx − sinx = sin2x + c2x os 2 2 2 2 π π π π ⇔cos cosx − sin s inx = sin sin2x+++ cos c os 2x 3 3 6 6  πππ x= + k2 π π   π   2 ⇔+=cxos  c2x os  −⇔   ;kZ ∈ 3   6   πππ x=− + k2 π  18 (6) KD-09: 3cos 5x− 2sin3xcos2x − s inx = 0 Hướng d ẫn: 1 (sina.cosb= sin((()( a ++ b)))( sin((() a − b )))  ) 2 1 ⇔3cos 5x − 2.((()( sin5x +−=⇔ s inx))) s inx 0 3c os 5x −= sin5x 2sinx 2 π  πk π −=+π5xxk2  x =+ πππ  3 183 ⇔−=⇔sin 5x  s inx  ⇔  ;k ∈ Z 3  π  πk π −5x =π−+ xk2 π x =−− 3  6 2 (7) KB-09: sinx+ cosx.sin2x + 3c os 3x = 2(c os 4x + sin3 x) Hướng d ẫn: ⇔−+sinx (1 2sin2 x) cosx.sin2x +=⇔ 3cos3x 2cos4x sinx .c os 2x + cosx .sin2x += 3c os 3x 2cos4x 1 3 πππ  ⇔+sin3x 3cos 3x = 2cos4x ⇔ sin3x + c os 3x =⇔−= cos4x c os 3x  c os 4x 2 2 6  Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 33
  36. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  πππ x=− + k2 π πππ  6 ⇔−=±+π⇔3x 4x k2 ;k ∈ Z 6  π2 π x= + k  42 7 x (8) KB-06: cotx+ sinx (1 + t anx .tan ) = 4 2 Hướng d ẫn:  sinx ≠≠≠ 0  + ĐK: cos x≠≠≠ 0   x cos ≠≠≠ 0  2 x  x x  sin cos .cosxs+++ inx .sin cos x sinx cos x   ⇔++s1.4sinx2 =⇔+ inx  2 2  = 4 sinx cos xx s inx x cos  cos x.c os  2  2  x cosxcos cosxsinx cxsinxos 2+++ 2 ⇔+s.inx 2 =⇔+=⇔ 4 4 = 4 sinxx sc inxosx s.cosx inx cos x.c os 2  πππ x= + k π 1 1 1 πππ 12 ⇔ =4 ⇔ cosx.s inx =⇔sin2x ==⇔ sin ;kZ ∈ sinx .cos x 4 26 5 πππ x= + k π  12 (9). sinx+ cosx.sin2x + 3c os 3x = 2(c os 4x + sin3 x) Hướng d ẫn ⇔−sinx( 1 2sin2 x) + cosx.sin2x + 3c os 3x = 2cos4x ⇔sinxos .c 2x + cosx.sin2x += 3c os 3x 2cos4x ⇔sin3x + 3cos 3x = 2cos4x  π x=− + k2 π π  6 ⇔cos − 3x  = c4x os ⇔  6   π2 π x= + k  42 7 x (10). cotx+ sinx (1 + t anx .tan ) = 4 2 Hướng d ẫn Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 34
  37. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC x ĐK: sinx ,cosx,c os ≠ 0 2 x  sin cos x s inx  ⇔++s1inx  .2  = 4 x sinx  cos x cos  2  x x  cos x.cos+ s inx.sin cos x   ⇔ +sinx 2 2  = 4 x sinx cos x.c os  2  x  cos cos x   ⇔ +sinx 2  = 4 x sinx cos x.c os  2  cos x s inx ⇔ + = 4 sinx cos x 1 1 ⇔ =⇔4 sin2x = sincosxx 2  π  π 2x= + k2 π x= + k π 6 12 ⇔  ⇔   π5 π 2x = π −+πk2 x = +π k  6 12 (11) sinx+ cosx = 2cos 9x Hướng d ẫn:  π π x= − + k π  π 32 4 ⇔2cxos −= 2c9xcx os ⇔−=⇔ os  c9x os  ;kZ ∈ 4  4  π π x= + k  40 5 (12) 2sin4x= sinx + 3cosx Hướng d ẫn:  π2 π x= + k 1 3 πππ  9 3 ⇔=+sin4x sinx cosx ⇔=+⇔ sin4xsinx   ;kZ ∈ 22 342   π π x= + k  15 5 3 1 (13) + = 8cos x sinx cos x Hướng dẫn: Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 35
  38. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC sinx ≠≠≠ 0 + ĐK:  cos x≠≠≠ 0 ⇔3cosx += sinx 8cosx.s2 inx ⇔ 3cosx +=− s inx 81((( sinx.s2 ))) inx ⇔3cosx +=− sinx 8s inx 8sinx3 ⇔ 3cosx −=− s inx 6sinx 8sinx3 ⇔3cosx −= sinx 23sinx((()( − 4sinx3 ))) ⇔ 3cosx −= s inx 2.sin3x  π π x= + k 3 1 πππ  12 2 ⇔cosx − sinx = sin3x ⇔ sin − x  = sin3x ⇔  ;k∈∈∈ Z 2 2 3   πππ x= + k π  3 cos 2x−−− cosx (14) === 3 sin2x+++ s inx Hướng d ẫn: sinx ≠≠≠ 0  + ĐK: sin2x+ sinx = s inx ((()( 2cosx + 1))) ≠ 0 ⇔  1 cos x ≠≠−−≠ −  2 ⇔−=cos 2x cosx 3sin2x((( +⇔− s inx))) c os 2x 3s inx =+ cosx 3s inx  2πππ x=− + k2 π π   π  3 ⇔c2xos +=−⇔  cx os    ;kZ ∈ 3   3   2 πππ x=== k  3 2+++ 3 2 (15) cos3x.cos 3 x− sin3x.sin 3 x = 8 Hướng d ẫn: 3cosx+ cos 3x 3sinx − sin3x 2 + 3 2 ⇔c3x.os − sin3x. = 4 4 8 cos2 3x+ sin 2 3x + 3((()( c os 3x.cosx − sin3x.s inx ))) 2+++ 3 2 ⇔ = 5 8 3 2 2 π π π ⇔cos2 3xsin3x3.c4x1 + 2 + os =+ ⇔ c4x os == c os ⇔=±+ x k;kZ ∈ 2 2 4 162 x πππ  2− 3 cosx − 2sin 2  −  ((()( ))) 2 4  (16) === 1 2cos x−−− 1 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 36
  39. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Hướng d ẫn: 1 + ĐK: cos x ≠≠≠ 2 πππ  1− cos  x −  2  πππ  ⇔−()(2 3cosx) − 2. =−⇔− 2cosx1 2cosx 3cosx1c −+−=−os  x  2cosx1 (( )) 2 2  ⇔2cosx − 3cosx −+= 1 sinx 2cosx −⇔− 1 s inx 3cosx = 0 1 3  π  π ⇔2. sinx − cosx  =⇔ 0 2sinx −=⇔=+π  0 x k 22   33  4πππ Kết h ợp ĐK ta có: x= + k2;k π∈ Z 3 2cos4x (17) cot x= t anx + sin 2x Hướng d ẫn: + ĐK: sin2x≠≠≠ 0 x= k π (ktm) cosx sinx 2cos4x 2 2  ⇔−= ⇔−=⇔=⇔cos xsinxc4x os c2xc4x os os πππ ;kZ ∈ sinx cosx 2sinxcosx x=k  3 2 x2  3 πππ  (18). 4sin− 3cos 2x =+ 1 2cos x −  2 4  Hướng d ẫn 1− cos x  3 π  ⇔4 − 3c2x11cos =++ os  2x −  2  2  3π  3 π  ⇔−22cosx − 3c2x2cos =+ os 2x −=  c os − 2x  2  2  π  π ⇔−2cosx − 3c2xos = c os 2 π−−= 2x  c os 2x + 2  2 ⇔−2cosx − 3cos 2x =− sin() 2x ⇔2cosx + 3cos 2x = sin2x ⇔sin2x − 3cos 2x = 2c os x Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 37
  40. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ⇔sin2x − 3cos 2x = 2cosx 1 3 ⇔sin2x − cos 2x = cosx 2 2 π π ⇔sin sin2x − cos c os 2x = cosx 6 6 π π ⇔cos c os 2x − sin sin2x =− cosx 6 6 π  ⇔c2xos +=  c os () π− x 6  π  5 π 2 π 2x+=π−+π xk2  x = + k ⇔6 ⇔  183 π  7 π 2x+=−π−() xk2 + π x =− + k2 π 6  6 π  2 cos 2x − 1 (19). tan+ x  − 3tan x = 2  cos 2 x Hướng d ẫn cos x≠ 0  cos x≠ 0 ĐK: π  ⇔  cos + x  ≠ 0 sinx ≠ 0  2  2 2−2sin x 2 ⇔−cotx − 3tanx =2 =− 2tanx cos x 1 π ⇔− −tanx02 =⇔ tanx 3 =−⇔ 1 tanx =−⇔=−+π 1 x k t anx 4 (20). (((1+ 3s))) inx +−((( 1 3cosx))) = 2 Hướng d ẫn ⇔+sinx 3s inx +− cosx 3cosx = 2 1 3 1 3 ⇔+sinx s inx + cosx − cosx1 = 2 2 2 2 π π π π ⇔−sinsinx c os c osx+sin s inx += c os cosx1 6 6 3 3 π    π  ⇔−cos ++ xc   os  −= x1  6    3  π   π  ⇔cos −− xc  os  +=− x1  3   6  Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 38
  41. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC π π  ⇔−2sin .sin −= x  1 4 12  2π 1  π 1 ⇔sin −=−⇔ x sin  −= x 2 12 2  12 2  π x= + k2 π ⇔  6  5π x= + k2 π  6 DẠNG 2: NHÓM TH ỪA S Ố CHUNG Gi ải các ph ươ ng trình l ượng giác sau Bài 1: KB-2008: sin3 x− 3cos 3 x = sinx.cos 2 x − 3sin 2 xcosx Hướng d ẫn ⇔sinx(cos22 x −+ sin x) 3cosx(cos 22 x −= sin x) 0 ⇔sinxcos2x + 3cosxcos2x = 0 ⇔cos2x(sinx + 3cosx) = 0 π π π TH1: cos2x = 0 ⇔ 2x = + kπ ⇔ x = + k (k ∈ Z) 2 4 2 TH2: sin x + 3 cos x = 0 ⇔ sin x = − 3 cos x π ⇔ tan x = − 3 = tan( − ) 3 π ⇔ x = − + kπ (k ∈ Z) 3 Bài 2: 2( cos x −1)(2sin x + cos x) = sin 2x − sin x H ướng d ẫn: sin2x= 2sinxcosx ⇔ 2( cos x −1)(2sin x + cos x) = sin x 2( cos x − )1 ⇔ 2( cos x −1)(sin x + cos x) = 0  π  1 π x=± + k2 π cos x= = cos 3 ⇔ 2 3 ⇔ (k ∈ Z)   π tan x= − 1 x=− + k π  4 sin 2x + 2cos x − sin x −1 Bài 3: KD-2011: = 0 tan x + 3 Hướng d ẫn tan x≠ − 3 * ĐK:  cos x≠ 0 * sin 2x + 2cos x − sin x −1 = 0 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 39
  42. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ⇔ 2sin x cos x + 2cos x − sin x −1 = 0 ⇔ 2cos x(sin x + )1 − (sin x + )1 = 0 ⇔ (sin x +1)(2cos x − )1 = 0  π sin x = −1 ⇔ x = − + k2π  2 1 π π cos x = = cos ⇔ x = ± + k2π  2 3 3 π ( (x = − + k2π lo ại ) 3 Bài 4: KB-2005: 1+ sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = 0 Hướng d ẫn ⇔ 1+ sin x + cos x + 2sin x cos x + 2cos 2 x −1 = 0 ⇔ sin x + cos x + 2cos x(sin x + cos x) = 0 ⇔ (sin x + cos x)( 1+ 2cos x) = 0  π tan x = −1 x = − + kπ sin x + cos x = 0  4  ⇔ 1 2π ⇔  (k ∈ Z) 2cos x = −1 cos x = − = cos  2π  2 3 x = ± + k2π  3 Bài 5: KB -2010: (sin 2x + cos 2x)cos x + 2cos 2x − sin x = 0 Hướng d ẫn ⇔ sin 2x cos x + cos 2xcos x + 2cos 2x − sin x = 0 ⇔ 2sin x cos 2 x + cos 2x(cos x + )2 − sin x = 0 ⇔ sin x 2( cos 2 x − )1 + cos 2x(cos x + )2 = 0 ⇔ sin x cos 2x + cos 2x(cos x + )2 = 0 ⇔ cos 2x(sin x + cos x + )2 = 0 π π π TH1: cos2x=0 ⇔ 2x = + kπ ⇔ x = + k (k ∈ Z) 2 4 2 TH2: sinx + cosx + 2 = 0 ⇔ ph ươ ng trình vô nghi ệm vì 12 +12 < (− )2 2 Bài 6: KD - 2008: 2sinx(1+co2x) +sin2x = 1 + 2cosx Hướng d ẫn ⇔2 sinx . 2 cos2 x + 2sinxcosx =+ 1 2cosx ⇔2sinxcosx(2cosx +=+ 1) 2cosx 1 ⇔(2cosx + 1)(2sinxcosx −= 1) 0  2π  1 2 π x=± + k2 π cos x= − = cos 3 ⇔2 3 ⇔π (k ∈ Z)   π sin2x= 1 x= + k π  4 Bài 7: KB-2011: sin2xcosx + sinxcosx = cos2x + sinx + cosx Hướng d ẫn Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 40
  43. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ⇔2sinx.cos2 x + sinxcosx −−−= cos2x sinx cosx 0 ⇔sinx(2cos2 x +−− cosx 1) (cos 2x += cosx) 0 ⇔sinx(cos 2x +−+= cosx) (c os 2x cosx) 0 ⇔−(sinx 1)(c os 2x + cos x) = 0  π sinx=⇔ 1 x = + k2,k π ∈ Z  2  cos x= − 1 x=π+ k2 π 2   cos2x+ cosx = 0 ⇔ 2cos x − 1 + cosx = 0 ⇔ 1 π ⇔π (k ∈ Z)  cos x= = cos  x=± + k2 π   2 3  3 Bài 8: KA-2007: 1( + sin 2 x)cos x + 1( + cos 2 x)sin x = 1+ sin 2x Hướng d ẫn ⇔ cos x + sin 2 xcos x + sin x + cos 2 xsin x = 1+ sin 2x ⇔ cos x + sin x + sin x cos x(sin x + cos x) = (sin x + cos x) 2 ⇔ (sin x + cos x)( 1+ sin xcos x − sin x − cos x) = 0 π TH1: sinx + cosx = 0 ⇔ tan x = −1 ⇔ x = − + kπ (k ∈ Z) 4 TH2: 1 + sinxcosx - (sinx + cosx) = 0 ⇔ 1− sin x + cos x(sin x − )1 = 0 ⇔ 1( − sin x)( 1− cos x) = 0  π sin x = 1 ⇒ x = + k2π  (k ∈ Z)  2 cos x = 1 ⇒ x = k2π Bài 9: sin 2 3x − cos 2 4x = sin 2 5x − cos 2 6x Hướng d ẫn 1− cos 6x 1+ cos 8x 1− cos 10 x 1+ cos 12 x ⇔ − = − 2 2 2 2 ⇔ cos 12 x − cos 6x + cos 10 x − cos 8x = 0 ⇔ −2sin 9xsin 3x − 2sin 9xsin x = 0 ⇔ sin 9x(sin 3x + sin x) = 0 kπ TH1: sin9x = 0 ⇔ 9x = kπ ⇔ x = 9  kπ x = 3x = −x + k2π 2 TH2: sin3x = -sinx = sin (-x) ⇔  ⇔  , k ∈ Z 3x = π + x + k2π π x = + kπ  2 Bài 10: ĐHKB-2007 : 2sin 2 2x + sin 7x −1 = sin x Hướng d ẫn Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 41
  44. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ⇔ sin 7x − sin x = 1− 2sin 2 2x ⇔ 2cos 4xsin 3x = cos 4x ⇔ cos 4x 2( sin 3x − )1 = 0 π π π TH1: cos4x = 0 ⇔ 4x = kπ + ⇔ x = + k 2 8 4  π  π 2π 3x = + k2π x = + k 1 π 6 18 3 TH2: sin 3x = = sin ⇔  ⇔  .( k ∈ Z) 2 6  5π  5π 2π 3x = + k2π x = + k  6  18 3 π (1+ sinx + cos2x)sin(x + ) 1 Bài 11: KA-2010: 4 = cos x 1+ tan x 2 Hướng d ẫn cos x ≠ 0 * ĐK:  tan x ≠ −1 * Phươ ng trình 2 2 ⇔++(1 sinx cos2x). (sinx += cosx) cosx(1 + tanx) 2 2 ⇔++(1 sinx cos2x)(sinx + cosx) =+ (cosx sinx) ⇔(sinx + cosx)(1 ++ sinx cos2x −= 1) 0 TH1: sinx + cosx = 0 ⇔ tan x = −1 (lo ại) TH2: sin x + cos2x = 0 ⇔ sin x +1− 2sin 2 x = 0 sin x = (1 loai )vì cos x = 0    π x = − + k2π ⇔  1 π 6 sin x = − = sin( − ) ⇔  2 6  π  x = π + + k2π   6 1+ sin2x + cos2x Bài 12: KA-2011: = 2 sin xsin 2x 1+ cot2 x Hướng d ẫn * KĐ: sinx ≠ 0 1+ sin 2x + cos 2x * = 2 sin x 2. sin x cos x cos 2 x 1+ sin 2 x ⇔sin2 x(1 + sin2x + cos2x) = 2sin2 x.2cosx ⇔+1 sin2x + cos2x = 2 2cosx ⇔+1 sin2x + 2cos2 x −= 1 2 2cosx ⇔2sinxcosx + 2cos2 x = 2 2cosx ⇔cosx(sinx +−= cosx 2) 0 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 42
  45. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC π TH1: cosx = 0 ⇔ x = + kπ , k ∈ Z 2 TH2: sinx + cosx = 2 π ππ π ⇔2cos(x −= ) 2 ⇔ cos(x −=⇔−=π⇔=+π∈ )1 x k2 x k2,k Z 4 44 4 1 1 7π Bài 13: KA - 08 : + = 4sin( − x) sin x 3π 4 sin( x − ) 2 Hướng d ẫn * KĐ: * Ta có: 3π 3π 3π sin( x − ) = sin x cos − cos x.sin = cos x 2 2 2 7π 7π 7π sin( − x) = sin .cos x − cos .sin x 4 4 4 2 2 = − cos x − sin x 2 2 2 = − (cos x + sin x) 2 1 1 Vậy ph ươ ng trình: ⇔ + = −2 2(cos x + sin x) sin x cos x ⇔ sin x + cos x = −2 2(sin x + cos x). sin x.cos x ⇔ (sin x + cos x)( 1+ 2 sin 2x) = 0 π TH1: sin x + cosx = 0 ⇔ tan x = −1 ⇔ x = − + kπ 4  π  π 2x=− + k2 π x=− + k π 2 π 4 8 TH2: sin2x=−=−⇔ sin() ⇔ ,kZ ∈ 2 4 π 5 π 2x=π++ k2 π x = +π k  4 8 x π x Bài 14: KB-2003: sin 2 ( − ). tan 2 x − cos 2 = 0 2 4 2 Hướng d ẫn * K Đ: cosx ≠ 0 π 1− cos( x − ) x π 1− sin x * sin 2 ( − ) = 2 = 2 4 2 2 1− sin x sin 2 x 1+ cos x Phươ ng trình: ⇔ . − = 0 2 cos 2 x 2 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 43
  46. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1( − sin x). sin 2 x ⇔ − 1( + cos x) = 0 1( − sin x)( 1+ sin x) ⇔ sin 2 x − 1( + cos x)( 1+ sin x) = 0 ⇔ 1( − cos x)( 1+ cos x) − 1( + cos x)( 1+ sin x) = 0 ⇔ 1( + cos x)( 1− cos x −1− sin x) = 0 ⇔ 1( + cos x).(sin x + cos x) = 0 TH1: cosx = -1 ⇔ x = π + k2π π TH2: sinx + cosx = 0 ⇔ tan x = −1 ⇔ x = − + kπ , k ∈ Z 4 cos 2x 1 Bài 15: KA- 03: cotx−= 1 + sinx2 − sin2x 1+ tan x 2 Hướng d ẫn sin x ≠ 0  * ĐK: cos x ≠ 0  tan x ≠ −1 * Ph ươ ng trình đã cho: cos x cos 2x 1 ⇔ −1 = + sin 2 x − sin 2x sin x sin x 2 1+ cos x cos x − sin x cos x(cos x − sin x)(cos x + sin x) ⇔ = + sin 2 x − sin x.cos x sin x cos x + sin x cos x − sin x ⇔ = cos x(cos x − sin x) + sin x(sin x − cos x) sin x 1 ⇔ (cos x − sin x)( − cos x + sin x) = 0 sin x π TH1: sin x = cosx ⇔ x = + kπ 4 TH2: 1-sinxcosx + sin 2 x = 0 1 cos x ⇔ − +=⇔+1 0 1 cotx2 − cotx += 1 0 (vô nghi ệm) sin2 x sinx Bài 16: KD-10: sin2x - cos2x + 3sinx - cosx - 1 = 0 Hướng d ẫn ⇔2sinxcosx −− (1 2sin2 x) + 3sinx −−= cosx 1 0 ⇔(2sinx − 1)cosx + 2sin2 x + 3sinx −= 2 0 ⇔(2sinx − 1)cosx ++ (sinx 2)(2sinx −= 1) 0 ⇔(2sinx − 1)(cosx ++= sinx 2) 0 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 44
  47. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC   π  x= + k2 π 1 π 6 sinx= ⇔ sinx = sin ⇔  ⇔  2 6  5π x= + k2 π   6  sinx+ cosx =− 2(vônghiem)vì1 2 +<− 1 2 ( 2) 2 Bài 17: sin2x + 2 cos2x + 4cosx - sinx-1 = 0 Hướng d ẫn ⇔ 2sin x cos x − sin x + 2(2 cos 2 x − )1 + 4cos x −1 = 0 ⇔ sin x 2( cos x − )1 + 4cos 2 x + 4cos x − 3 = 0 ⇔ sin x 2( cos x − )1 + 2( cos −1)(2cos x + )3 = 0 ⇔ 2( cos x −1)(sin x + 2cos x + )3 = 0 TH1: sinx + 2cosx = -3 (vô nghi ệm) vì 12 +12 < (− )3 2 1 π π TH2: cosx = = cos ⇔ x = ± + k2π.( k ∈ Z) 2 3 3 Bài 18: 2sin2x -cos2x = 7sinx + 2 cosx - 4 Hướng d ẫn ⇔ 4sin x cos x − 1( − 2sin 2 x) − 7sin x − 2cos x + 4 = 0 ⇔ 4sin x cos x + 2sin 2 x − 7sin x − 2cos x + 3 = 0 ⇔ 2cos x 2( sin x − )1 + 2( sin 2 x − 7sin x + )3 = 0 ⇔ 2cos x 2( sin x − )1 + 2( sin x −1)(sin − )3 = 0 ⇔ 2( sin x −1)(2cos x + sin x − )3 = 0  π x = + k2π 1 π 6 ⇔ sin x = = ⇔  , k ∈ Z 2 6  5π x = + k2π  6 2( − sin 2 2x). sin 3x Bài 19: tan 4 x +1 = cos 4 x Hướng d ẫn * ĐK: cosx ≠ 0 * PT sin4 x (2− sin 2 2x).sin3x ⇔ +1 = cos4 x cos 4 x ⇔sin4 x + cos 4 x =− (2 sin 2 2x).sin3x 1 ⇔−1 sin2 2x =− (2 sin 2 2x).sin3x 2 ⇔−2 sin2 2x = 2(2 − sin 2 2x).sin3x Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 45
  48. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  π2 π x= + k 2 π π 18 3 ⇔−(2 sin2x)(2sin3x −=⇔==⇔ 1) 0 sin3x sin ,k ∈ Z 2 6  5π 2 π x= + k  18 3 Bài 20: 3 - tan x (tanx + 2sinx) + 6cosx = 0 Hướng d ẫn * K Đ: Cosx ≠ 0 sin x sin x + 2sin x cos x * PT ⇔ 3 − ( ) + 6cos x = 0 cos x cos x ⇔ 3cos 2 x − sin 2 x − 2sin 2 x cos x + 6cos 3 x = 0 ⇔ 3cos 2 x 1( + 2cos x) − sin 2 x 1( + 2cos x) = 0 ⇔ 1( + 2cos x)( 3cos 2 x − si 2 x) = 0 TH1: 1 + 2cosx = 0 ⇔ TH2: 3cos 2 x.( 1− cos 2 x) = 0 (Ph ươ ng trình bậc 2 ẩn là cosx ) 1(3 + sin x) π x Bài 21: 3tan 3 x − tan x + = 8cos 2 ( − ) cos 2 x 4 2 Hướng d ẫn * ĐK: cos x ≠ 0 ⇔ sin x ≠ ±1 * PT 2 2  π  ⇔ tan x 3( tan x − )1 + 1(3 + sin x).( 1+ tan x) = 41+ cos( − x) = 1(4 + sin x)  2  ⇔ tan x 3( tan 2 x − )1 + 1( + sin x []3() tan 2 x − )1 − 4 − 1(4 + sin x) = 0 ⇔ tan x 3( tan 2 x − )1 + 1( + sin x)[]3tan 2 x −1+ 4 − 4 = 0 ⇔ tan x 3( tan 2 x − )1 + 1( + sin x)( 3tan 2 x − )1 = 0 ⇔ 3( tan 2 x −1)(tan x +1+ sin x) = 0 3 π TH1: 3tan 2 x −1 = 0 ⇔ tan x = ± ⇔ x = ± + kπ 3 6 TH2: tanx +1 + sinx = 0 sin x ⇔ +1+ sin x = 0 ⇔ sin x + cos x + sin xcos x = 0 cos x π - Đặt t = sinx + cosx = 2 sin( x + ); − 2 ≤ t ≤ .2 4 t=−− 1 2 ∉− 2;2  2   π2 − 1 + t ≠ ±1 ⇒ t2t10+ − = ⇔  ⇒ sin(x+= ) =α sin  4 t= − 1 + 2 2  π  π x + = α + k2π x = α − + k2π 4 4 ⇔  ⇔  , k ∈ Z π 3π x + = π −α + k2π x = −α + k2π  4  4 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 46
  49. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bài 22: 2sin 3 x − sin x = 2cos 3 x − cos x + cos 2x Hướng d ẫn ⇔ 2(sin 3 x − cos 3 x) − (sin x − cos x) = (cos x − sin x)(cos x + sin x) ⇔ 2(sin x − cos x)(sin 2 x + cos 2 x + sin x cos x) − (sin x − cos x) + (sin x − cos x)(sin x + cos x) = 0 ⇔ (sin x − cos x)( 2 + sin 2x −1+ sin x + cos x) = 0 ⇔ (sin x − cos x)(sin x + cos x + 2sin x cos x + )1 = 0 π (chú ý: sinx − cosx0 =⇔=+π x k ) 4  3π x = + kπ 4 π t = 0  - Đặt t = sinx + cosx = 2 cos( x − ) ⇒  ĐS: ⇔ x = π + k2π 4 t = −1  π x = − + k2π  2 Bài 23: sin x + sin 2 x + sin 3 x + sin 4 x = cos x + cos 2 x + cos 3 x + cos 4 x Hướng d ẫn ⇔ (sin x − cos x) + (sin 2 x − cos 2 x) + (sin 3 x − cos 3x) + (sin 4 x − cos 4 x) = 0  π sin x − cos x = 0 ⇔ tan x = 1 ⇔ x = + kπ , k ∈ Z ⇔   4 1+ sin x + cos x +1+ sin x cos x + sin x + cos x = )2(0 π Xét (2): đặt t = sin x + cos x = 2 cos( x − ) , − 2 ≤ t ≤ 2 4 t = −1 ⇒ t 2 + 4t + 3 = 0 ⇔  t = − (3 loai ) x = π + k2π π 1 3π  + v ới t = -1 ⇔ cos( x − ) = − = cos ⇔ π ,k ∈ Z 4 2 4 x = − + k2π  2 Bài 24: 2sinx(1+cos2x) + sin2x = 1 + 2 cosx Hướng d ẫn ⇔ 2sin x 2( cos 2 x) + 2sin x cos x = 1+ 2cos x ⇔ 2sin x cos x 2( cos x + )1 − 1( + 2cos x) = 0 ⇔ 2( cos x +1)(2sin x cos x − )1 = 0 1 2π TH1: cos x = − ⇔ x = ± + k2π 2 3 1 π TH2: 2sinxcosx -1 = 0 ⇔ sin 2x = ⇔ x = − + kπ 2 4 x π x Bài 25: sin 2 ( − ). tan 2 x − cos 2 = 0 2 4 2 Hướng d ẫn * ĐK: cos x ≠ 0 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 47
  50. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC * PT π 1− cos(x − ) 2 1− cos 1 + cos x ⇔2 . − = 0 2 cos2 x 2 1− sinx (1 − cosx)(1 + cosx) 1 + cosx ⇔. − = 0 2 cos2 x 2 ⇔−(1 sin x)(1 − cos x)(1 +− cos x) cos2 x(1 + cos x) = 0 2 ⇔+(1 cosx) (1 − sinx)(1 −− cosx) cos x  = 0 2 ⇔+(1 cosx) (1 − sinx)(1 − cosx) −− (1 sin x)  = 0 ⇔(1 + co sx)(1− sinx)(1 − cosx −− 1 sinx) = 0 ⇔+(1 cosx)(1 − sinx)(cosx += sinx) 0  π x= + k2 π sinx= 1 2   ⇒ cosx=−⇔ 1 x =π+ k2 π ,k ∈ Z tanx = − 1  π  x=− + k2 π  4 π + Kết h ợp đk: ⇒ x = − + kπ ; x = π + k2π ,k ∈ Z 4 Bài 26: 3cot2 x+ 2 2sin 2 x = (2 + 3 3)cosx Hướng d ẫn * ĐK: sin x ≠ 0 cos 2 x * 3 + 2 2 sin 2 x = 2( + 3 )2 cos x sin 2 x ⇔ 3cos 2 x + 2 2 sin 4x = 2cos x.sin 2 x + 3 2 cos x.sin 2 x ⇔ 3cos x(cos x − 2 sin 2 x) + 2sin 2 x( 2 sin 2 x − cos x) = 0 ⇔ (cos x − 2 sin 2 x)( 3cos x − 2sin 2 x) = 0  −1+ 3   2 cos x = = cos α x = ±α + k2π cos x − 1(2 − cos x) = 0 2  ⇔  ⇔  ⇔ π 2  3cos x − 1(2 − cos x) = 0  1 x = ± + k2π cos x =  3  2 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 48
  51. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC DẠNG 3: BI ẾN ĐỔ I V Ề PH ƯƠ NG TRÌNH B ẬC 2, B ẬC 3, TRÙNG PH ƯƠ NG 2(cos 6 x + sin 6 x) − sin xcos x Bài 1: KA-06: = 0 2 − 2sin x Hướng d ẫn 2 * ĐK: sin x ≠ 2 * 2(cos 6 x + sin s x) − sin xcos x = 0 3 sin2x ⇔−2(1 sin2x)2 − = 0 4 2 ⇔3sin2 2x + sin2x −= 4 0  π sin2x=⇔ 1 x = +π k,k ∈ Z ⇔  4 4 sin2x= − (loai)  3 5π + Kết h ợp đk: ⇒ x = + k2π ,k ∈ Z 4 π π 3 Bài 2: KD-05: cos 4 x + sin 4 x + cos( x − ). sin( 3x − ) − = 0 4 4 2 Hướng d ẫn 1π π 3 ⇔−1 sin2 2x + sin(3x − ).cos(x −−= ) 0 2 4 42 12 1π  3 ⇔−1 sin2x + sin2x + sin(4x −−=  0 2 2 22  ⇔−2 sin2 2x + sin2x − cos4x −= 3 0 ⇔−2 sin2 2x + sin2x −− (1 2sin 2 2x) −= 3 0 sin2x= − 2(vôlý) 2  ⇔sin 2x + sin2x − 2 = 0 ⇔ π sin2x=⇔ 1 x = +π k,k ∈ Z  4 Bài 3: KA-05: cos 2 3x.cos 2x − cos 2 x = 0 Hướng d ẫn 1+ cos 6x 1+ cos 2x ⇔ .cos 2x − = 0 ⇔ cos 6x.cos 2x −1 = 0 2 2 ⇔ 4( cos 3 2x − 3cos 2x). cos 2x −1 = 0  1 cos 2 2x = − (loai ) ⇔ 4 − 2 − = ⇔  4cos 2x 3cos 2x 1 0  4 cos 2 2x = 1 ⇔ cos 2x = ±1 kπ (Ho ặc sin2x = 0 ⇔ x = ,k ∈ Z ) 2 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 49
  52. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 2 Bài 4: KB-03 : cotx− tanx + 4sin2x = sin 2x Hướng d ẫn sin x ≠ 0 * ĐK:  cos x ≠ 0 cos x sin x 2 * − + 4sin 2x = sin x cos x sin 2x 2(cos 2 x − sin 2 x) 2 ⇔ + 4sin 2x = sin 2x sin 2x ⇔ cos 2x + 2sin 2 2x = 1 ⇔ cos 2x + 1(2 − cos 2 2x) −1 = 0  1 2π π cos 2x = − = cos ⇔ x = ± + kπ ,k ∈ Z ⇔   2 3 6 cos 2x = (1 loai ) π Kết h ợp đk: ⇒ x = ± + kπ 6 Bài 5: KB-04: 5sin x − 2 = 3tan 2 x 1( − sin x) Hướng d ẫn * Đk: cos x ≠ 0 sin 2 x * 5sinx - 2 = 3 .( 1− sin x) 1( − sin 2 x) sin 2 x ⇔ 5sin x − 2 = 3 1+ sin x ⇔ 5( sin x − 2)(1+ sin x) = 3sin 2 x 2 ⇔ 2sin x + 3sin x − 2 = 0  π sin x = − (2 vônghiem ) x = + k2π  6 ⇔ 1 π ⇔  sin x = = sin  5π  2 6 x = + k2π  6 cos 3x + sin 3x Bài 6:KA-02: 5(sin x + ) = cos 2x + 3 1+ 2sin 2x Hướng d ẫn 1 * ĐK: sin 2x ≠ − 2 4cos 3x − 3cos x + 3sin x − 4sin 3 x * 5(sinx + ) = cos 2x + 3 1+ 2sin 2x  (cos x − sin x)( 1+ 2sin 2x) ⇔ 5sin x +  = cos 2x + 3  1+ 2sin 2x  Chú ý: Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 50
  53. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC (4(cos3 x−−−=− sin 3 x) 3(cosx sinx) 4(cosx sinx)(cos2 x ++ s in 2 x sinxcosx) −− 3(cosx sinx) =−(cosx sinx)(4 + 4sinxcosx −= 3) ) Bài này nên bi ến đổ i: cos3x + sin 3x tr ước r ồi thay vào) ⇔ 5(sin x + cos x − sin x) = cos 2x + 3 cos x = (2 loai ) 2  ⇔ 5cos x = 2( cos x − )1 + 3 ⇔ 1 π π cos x = = cos ⇔ x = ± + k2π , k ∈ Z  2 3 3 Bài 7: 2cos 2 2x + cos 2x = 4cos 2 x.sin 2 2x Hướng d ẫn ⇔ 2cos 3 2x + 4cos 2 2x − cos 2x − 2 = 0 ⇔ (cos 2x + 2)(2cos 2 2x − )1 = 0 1 1+ cos 4x 1 π π π ⇔ cos 2 2x = ⇔ = ⇔ cos 4x = 0 ⇔ 4x = + kπ ⇔ x = + k . 2 2 2 2 8 2 1 (n ếu làm: cos 2x = ± s ẽ có 4 h ọ nghi ệm) 2 Bài 8: KD-06 : cos3x - cos2x - cosx - 1 = 0 Hướng d ẫn ⇔ 4cos 3 x − 3cos x + 2cos 2 x −1− cos x −1 = 0 ⇔ 4cos 3 x + 2cos 2 x − 4cos x − 2 = 0 ⇔ 2cos 2 x 2( cos x + )1 − 2(2 cos x + )1 = 0 ⇔ 2( cos x +1)(cos 2 x − )1 = 0  1  2π cos x = − x = ± + k2π ⇔  ⇔  ,k ∈ Z  2  3 cos 2 x = 1 x = kπ Bài 9: KD-02: cos3x - 4cos2x + 3cosx - 4 = 0; x ∈[0;14] Hướng d ẫn ⇔ 4cos 3 x − 3cos x − 2(4 cos 2 x − )1 + 3cos x − 4 = 0 ⇔ 4cos 3 x − 8cos 2 x = 0 ⇔ 4cos 2 x(cos x − )2 = 0 π ⇔ cos x = 0 ⇔ x = + kπ ,k ∈ Z 2 π π 3π 5π 7π Do x ∈[]0;14 ⇒ 0 ≤ + kπ ≤ 14 ⇔ k = 3;2;1;0 ⇒ x = ; ; ; 2 2 2 2 2 5x 3x Bài 10: 4cos .cos + 8(2 sin x −1).cos x = 5 2 2 Hướng d ẫn Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 51
  54. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1 5x 3x 5x 3x  ⇔4. cos( ++−+ ) cos( )  16sinxcosx −= 8cosx 5 2 22 22  ⇔2[] cos4x ++ cosx 8sin2x − 8cosx = 5 ⇔2cos4x + 8sin2x = 5 2 ⇔−2(1 2sin 2x) + 8sin2x −= 5 0 ⇔−4sin2 2x + 8sin2x −= 3 0  3  π  π sin2x= (loai) 2x = +k2 π x= + k π 2 2 6 12 ⇔4sin 2x − 8sin2x + 3 = 0 ⇔ ⇔  ⇔ ,k ∈ Z  1 π  5π 5 π sin2x= = sin 2x= +π k2 x = +π k  2 6  6 12 1 Bài 11: 2cos 2x − 8cos x + 7 = cos x Hướng d ẫn * ĐK: cos x ≠ 0 * 2(2 cos 2 x −1).cos x − 8cos 2 x + 7cos x = 1 cos x= 1 x= k2 π 3 2   ⇔4cos x − 8cos x − 5cosx − 1 = 0 ⇔1 ⇔ π cos x = x=± + k2 π  2  3 Bài 12: sin 2 x + sin 2 3x − 3cos 2 2x = 0 Hướng d ẫn 1− cos 2x 1− cos 6x ⇔ + − 3cos 2 2x = 0 2 2 ⇔ 2 − cos 2x − 4( cos 3 2x − 3cos 2x) − 6cos 2 2x = 0 ⇔ 2cos 3 2x + 3cos 2 2x − cos 2x −1 = 0  1  π cos 2x = − x = ± + kπ 2 3 ⇔  ⇔  , k ∈ Z  5 −1  α cos 2x = = cos α x = ± + kπ  2  2 1 2 Bài 13: 48−− .(1 + cot2x.cotx) = 0 cos4 x sin 2 x Hướng d ẫn sin x ≠ 0 * ĐK:  cos x ≠ 0 * PT Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 52
  55. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1 2 cos2xcosx ⇔−−48 .(1 + . )0 = cos4 x sin 2 x sin2x sinx 1 2 sin2x.sinx+ cos2x.cosx ⇔−−48 .( )0 = cos4 x sin 2 x sin2x.sinx 1 2 cos x ⇔−−48 . = 0 cos4 x sin 2 x sin2x.sinx 1 2 cos x ⇔−−48 . = 0 cos4 x sin 3 x 2sinx.cosx 1 1 ⇔−48 − = 0 cos4 x sin 4 x ⇔48cos4 x.sin 4 x − (s in4 x+ cos 4 x) = 0 1 ⇔3sin4 2x −− (1 sin 2 2x) = 0 2 ⇔6sin4 2x + sin 2 2x −= 2 0  2  1 π sin2 2x= − (loai) sin2x= = sin  2 4 ⇔ 3 ⇔   2 1  1 π sin 2x = sin2x=− = sin( − )  2  2 4 π3 π π 5 π ⇔=+πx k;x = +π k;x =−+π k;x = +π∈ k,kZ 8 8 8 8 x  x Bài 14: (sinx+ 3).sin4 −+ (s inx 3).sin 2  += 1 0 2  2 Hướng d ẫn 4x 2  x  ⇔+()sinx 3sin − sin   += 10 2  2  2x 2  x  ⇔+()sinx 3.sin sin  −+= 1  10 2  2  2x 2  x  ⇔+()sinx 3.sin 1c − os  −+= 110  2  2  x  x ⇔−+()sinx 3.sin2 c os 2  += 10 2  2 1 ⇔−()sinx + 3. sinx2 += 1 0 4  π =⇔ = + π ∈ 3 2 sinx 1 x k2,kZ ⇔sin x + 3sin x− 4 = 0 ⇔  2 sinx =− 2 ∉[] − 1;1 sinxc4+ os 4 x1 1 Bài 15: = cot2x ( ĐK: ) 5sin2x 2 8sin2x Hướng d ẫn Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 53
  56. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1 1− sin2 2x 1cos 2x 1 ⇔2 =. − 5sin2x 2 sin2x 8sin2x ⇔4cos2 2x − 20cos2x += 9 0 (sin2 2x =− 1 c os 2 2x)  9 cos 2x= ∉[] − 1;1 ⇔  4 1 π c2xos = ⇔ x =± +π k,kZ ∈  2 6 Bài 16: cos2x+ cos ( 2tan2 x + 1) = 2 Hướng d ẫn: ĐK cos x≠ 0 sin2 x  ⇔+cos 2x cosx2. += 1  2 cos 2 x  sin2 x ⇔cos 2x + 2. + cosx −= 2 0 cos x ⇔()()2cosx2 − 1cosx +− 21 cos 2 x +− c os 2 x 2cosx = 0 ⇔2cosx3 − cos 2 x − 3cosx += 2 0 cos x= 2 ∉[] − 1;1 ⇔  cosx= 1 ⇔ Bài 17: 3cos4x− 8cos6 x + 2cos 2 x += 3 0 Hướng d ẫn ⇔3c( os 4x +− 1) 2cosx4cosx2( 4 −= 1) 0 ⇔3.2cos2 2x − 2cos 22 x()() 2cos x − 1 2cos 2 x += 1 0 ⇔−6cos2 2x 2cos 2 x.cos 2x() 2cos 2 x += 1 0 2 2  ⇔cos 2x3cos2x − c os x2cosx() += 1  0 2 4 2  ⇔cos 2x32cosx() −−−= 1 2c os x c os x  0 ⇔cos 2x() 2cos4 x − 5cos 2 x += 3 0  cos 2x= 0 x=π+ k2 π   = 2 cos 2x 0  ⇔cos x = 1 ⇔ ⇔ π sinx = 0 x=± + k2 π  3  3 cos 2x= > 1  2 Bài 18: sinx .c os 2x+ c os 2 xtanx( 2 −+ 1) 2sinx 3 = 0 Hướng d ẫn Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 54
  57. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ⇔sinxos( c 2x + 2sinx2) + c os 2 xtanx( 2 −= 1) 0 sin2 x ⇔sinxos() c2x1c2x +−+ os c os2 x. −= c os 2 x0 cos 2 x ⇔sinx + sinxc2 − os 2 x = 0 ⇔sinx + sinx2 −−() 1sinx 2 = 0 ⇔2sinx2 + sinx −= 1 0  π x=− + k2 π 2 sinx = − 1    π ⇔1 ⇔=+πx k2 s inx =  6   2 5π x= + k2 π  6 DẠNG 4: PH ƯƠ NG TRÌNH L ƯỢNG GIÁC ĐẲ NG C ẤP Khi g ặp ph ươ ng trình l ượng giác đẳ ng c ấp b ậc n (m ọi h ạng t ử trong ph ươ ng trình đều có bậc n) ho ặc có d ạng t ươ ng t ự nh ư đẳng c ấp thì ta chia 2 v ế c ủa ph ươ ng trình cho cosn x Bài 1: 3cos4 x− 4cos 22 x.sin x + sin 4 x = 0 Hướng d ẫn + Ta th ấy cosx=⇔ 0 sinx =± 1 không là nghi ệm c ủa ph ươ ng trình ⇒ cos x≠ 0 + Chia 2 v ế c ủa ph ươ ng trình cho cos4 x≠ 0 ta được: tan2 x= 1 34tanxtanx0−2 + 4 = ⇔ ⇔ tan2 x= 3 Bài 2: cos3 x− 4sin 3 x − 3cosx.sin 2 x += sinx 0 Hướng d ẫn + Ta th ấy cosx=⇔ 0 sinx =± 1 không là nghi ệm c ủa ph ươ ng trình ⇒ cos x≠ 0 + Chia 2 v ế c ủa ph ươ ng trình cho cos3 x≠ 0 ta được: sinx 1 14tanx−3 − 3tanx 2 +=⇔− 0 14tanx3 − 3tanx 2 + tanx = 0 cos3 x cos2 x ⇔−1 4tan32 x − 3tan x + tanx1() + tan 2 x =⇔ 0 3tan 32 x + 3tan x-tanx −= 1 0  3 tan x =  3  3 ⇔tanx = − ⇔  3 tan x= − 1   Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 55
  58. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bài 3: sin2 x( tanx+= 1) 3sinx( cosx − sinx) + 3 Hướng d ẫn + ĐK: cos x≠ 0 + Chia 2 v ế c ủa ph ươ ng trình cho cos2 x≠ 0 ta được: tan2 x( tanx+= 1) 3tanx − 3tan2 x ++ 31( tan 2 x ) ⇔tan3 x + tan 2 x − 3tanx −= 3 0 ⇔()tanx + 1() tan2 x −= 3 0 tan x= − 1 ⇔ ⇔ tan x= ± 3 π  Bài 4: 8cos3  x+  = cos3x 3  Hướng d ẫn 3 π   3 ⇔2cos x +=   4cosx − 3cosx 3   3 π π   3 ⇔2 cosx.cos − sinx.sin   =− 4cos x 3cosx 3 3   3    1 3 3 ⇔2 cosx − sinx   =− 4cosx 3cosx 2 2   ⇔−cos32 x 3 3cos xsinx + 9sin 2 xcosx − 3 3sin 33 x =− 4cos x 3cosx ⇔−3cos3 x − 3 3sin 3 x − 3 3co s2 xsinx+ 9sin 2 xcosx + 3cosx = 0 ⇔−−3 3 3tan3 x − 3 3tanx + 9tan 2 x ++ 31() tan 2 x = 0 ⇔−3 3tan3 x + 12tan 2 x − 3 3tanx = 0  tan x= 3  ⇔tanx = 0 ⇔  1 tan x =  3 Bài 5: 2cos3 x= 6sinx − 5sin2x.cosx Hướng d ẫn ⇔2cos3 x = 6sinx − 10sinx.cos 2 x ⇔=2 6tanx() 1 + tan2 x − 10tanx 3 ⇔6tan x − 4tanx −= 2 0 π ⇔tanx =⇔=+π∈ 1 x k,kZ 4 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 56
  59. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bài 6: sinx + cosx − 4cos3 x Hướng d ẫn Chia 2 v ế c ủa ph ươ ng trình cho cos3 x≠ 0 ta có ⇔tanx ( 1 + tanx2) ++ 1 tanx 2 −= 4 0 ⇔tanx3 + tanx 2 + tanx −= 3 0 π ⇔tanx =⇔=+π∈ 1 x k,kZ 4 Bài 7 (KB-09) sinx3− 3cos 3 x = s inx .c os 2 x − 3sinx.cosx 2 Hướng d ẫn Chia 2 v ế c ủa ph ươ ng trình cho cos3 x≠ 0 ta có ⇔tanx3 −= 3 tanx − 3tanx 2 ⇔tanx3 + 3tanx −−= t anx 30  =  π π tanx 1 x= + k  4 2 ⇔tanx = − 1 ⇔  π  x=− + k π tanx = − 3  3 Bài 8: sinxt2 ( anx+= 1) 3sinxcosx( −+ s inx ) 3 Hướng d ẫn: ĐK cos x≠ 0 sin x  ⇔sinx2  += 1  3sinxcosx() −+ sinx 3 cos x  ⇔+sin32 x sin xcosx = 3sinxcos 22 x − 3sin xcosx + 3cosx Chia 2 v ế c ủa ph ươ ng trình cho cos x≠ 0 ta có ⇔tan32 x + tan x = 3tanx − 3tan 2 x ++ 31( tan 2 x )  π x=− + k π 2 4 ⇔()tanx + 1tanx3() − = 0 ⇔  π x=± + k π  3 Bài 9: Cho ph ươ ng trình sinx2 +− 2m( 1sin) x cosx −+( m 1c) os 2 x = m Tìm m để ph ươ ng trình đã cho có nghi ệm Hướng d ẫn * V ới cosx= 0⇒ sinx2 = m⇒ m= 1 thì ph ươ ng trình có nghi ệm. * V ới m≠ 1⇒ cosx≠ 0 , chia 2 v ế c ủa ph ươ ng trình cho cos2 x≠ 0 ta có ⇔−(m 1tanx) 2 −− 2m( 1t) anx ++ 2m 1 = 0(1) + Đặt tt= anx⇒ ( m1t−) 2 − 2m1t2m10( −+) += (2) + Ph ươ ng trình (1) có nghi ệm khi (2) có nghi ệm ⇔∆≥0 ⇔− 2m1 ≤ < KL: giá tr ị m c ần tìm th ỏa mãn y ếu c ầu bài toán là −2 ≤ m ≤ 1 Bài 10: sinx3+ cos 3 x = 2sinx( 5 + c os 5 x ) Hướng d ẫn Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 57
  60. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Chia 2 v ế c ủa ph ươ ng trình cho cos5 x≠ 0 ta có 1 1 ⇔tanx.3 += 2tanx1()5 + cos2 x c os 2 x ⇔tanx.13()()() + tan 2 x ++ 1 tan 2 x = 2tan 5 x + 1 ⇔tan5 x − tan 3 x − tan 2 x += 1 0 ⇔tanxtanx3()() 2 −− 1 tan 2 x −= 1 0 ⇔()()tan2 x − 1 tanx 3 −= 1 0 π π ⇔tanx =±⇔=+ 1x k,kZ ∈ 4 2 Bài 11: cos2 x− 3sin2x = 1 + sin 2 x Hướng d ẫn ⇔−cos2 x 2 3sin x cosx =+ 1 sin2 x Chia 2 v ế c ủa ph ươ ng trình cho cos x≠ 0 ta có ⇔−1 23tanx =+( 1 tanx2) + tanx 2 tanx = 0 ⇔ xk =π  ⇔ π tanx =− 3x ⇔ =− +π k  3 Bài 12: sin2x+ 2tanx = 3 Hướng d ẫn: ĐK cos x≠ 0 sinx ⇔2sinxcosx + 2 = 3 cos x Chia 2 v ế c ủa ph ươ ng trình cho cos2 x≠ 0 ta có sinx s inx 1 3 ⇔2. + 2. . = cosx cosxcos2 x c os 2 x ⇔2tanx + 2tanx.1()() + tan2 x =+ 31 tan 2 x ⇔2tan3 x − 3tan 2 x + 4tanx −= 3 0 π ⇔tanx =⇔=+π∈ 1 x k,kZ 4 Bài 13: sinx.sin2x+ sin3x = 6cos3 x Hướng d ẫn ⇔2sin2 xcosx +−= 3sinx 4sin 3 x 6cos 3 x + Ta th ấy khi cosx= 0⇒ sinx = ± 1 ph ươ ng trình vô nghi ệm, chia 2 v ế c ủa ph ươ ng trình cho cos3 x≠ 0 ta được Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 58
  61. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC sinx2 3sinx 1 sinx3 ⇔+2 . −= 4. 6 cos2 x cosxc os 2 x c os 3 x ⇔2tan2 x + 3tanx1() +− tan 2 x 4tan 3 x = 6 ⇔tan3 x − 2tan 2 x − 3tanx −= 6 0 ⇔()tanx − 2tanx3()2 −= 0 tanx = 2tan = α⇔ x =α+π k  ⇔ π tanx =± 3x ⇔ =± +π k  3 5sin 4x.cos x Bài 14: 6sinx− 2cos3 x = 2cos 2x Hướng d ẫn: ĐK cos2x≠⇔ 0 cos2 xsinx − 2 ≠⇔ 0 t anx ≠± 1 10sin 2xcos2xcosx ⇔6sinx − 2cos3 x = 2cos 2x ⇔6sinx − 2cos3 x = 5sin2xcosx ⇔6sinx − 2cos3 x = 10sinxcos 2 x + Chia 2 v ế c ủa ph ươ ng trình cho cos3 x≠ 0 ta được ⇔6tanx( 1 + tan2 x) −= 2 10tanx ⇔3tan3 x − 2tanx −= 1 0 ⇔()tanx − 1() 3tanx2 + 3tanx += 1 0 Ph ươ ng trình vô nghi ệm Bài 15: sinx− 4sin3 x + cosx = 0 Hướng d ẫn + Chia 2 v ế c ủa ph ươ ng trình cho cos3 x≠ 0 ta được ⇔tanx ( 1 + tanx2) − 4tanx 3 ++ 1 tanx 2 = 0 ⇔3tanx3 − tanx 2 − tanx −= 1 0 ⇔()tanx − 1() 3tanx2 + 2tanx += 1 0 π ⇔tanx =⇔=+π 1x k 4 Bài 16: tanx .sin2 x− 2sin 2 x = 3c( os 2x + sin x cosx ) Hướng d ẫn + Chia 2 v ế c ủa ph ươ ng trình cho cos2 x≠ 0 ta được 3c( os2 x− sin 2 x + sin x cosx ) ⇔−=tanx2tanx3 2 ⇔−=−+ tanx2tanx31tanxt3 2() 2 anx cos 2 x ⇔tanx3 + tanx 2 − 3tanx −=⇔ 3 0() tanx + 1() tanx2 −= 3 0 π π ⇔tanx =−⇔=−+π 1x k;t anx =± 3x ⇔=±+π k 4 3 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 59
  62. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC DẠNG 5: PH ƯƠ NG TRÌNH L ƯỢNG GIÁC KHÔNG M ẪU M ỰC (s ưu t ầm) Một s ố bài toán v ề ph ươ ng trình l ượng giác mà cách gi ải tu ỳ theo đặ c thù c ủa ph ươ ng trình, ch ứ không n ằm ở trong ph ươ ng pháp đã nêu ở h ầu h ết các sách giáo khoa. Một s ố ph ươ ng trình l ượng giác th ể hi ện tính không m ẫu m ực ở ngay d ạng c ủa chúng, nh ưng c ũng có nh ững ph ươ ng trình ta th ấy d ạng r ất bình th ường nh ưng cách gi ải lại không m ẫu m ực. Sau đây là nh ững ph ươ ng trình l ượng giác có cách gi ải không m ẫu m ực th ường g ặp. I. PH ƯƠ NG PHÁP T ỔNG BÌNH PH ƯƠ NG Ph ươ ng pháp này nh ằm bi ến đổ i ph ươ ng trình l ượng giác v ề d ạng m ột v ế là t ổng bình ph ươ ng các s ố h ạng (hay t ổng các s ố h ạng không âm) và v ế còn l ại b ằng không và áp d ụng tính ch ất: A = 0 A2 + B 2 = 0 ⇔  B = 0 Bài 1. Gi ải ph ươ ng trình: 3tan 2 x + 4sin 2 x − 2 3 tan x − 4sin x + 2 = 0 Hướng d ẫn 3tan2 x+ 4sin 2 x − 2 3tanx − 4sinx += 2 0 ⇔3tan2 x − 2 3tanx ++ 1 4sin 2 x − 4sinx += 1 0 ⇔( 3tanx −+ 1)2 (2sinx −= 1) 2 0  3  π tan x = x= + m π 3tanx− 1 = 0   6 ⇔ ⇔⇔ 3  ()m,n ∈ Z 2sin x− 1 = 0 1  π sin x = x= + 2n π  2  6 π ĐS x = + 2kπ (k ∈ Z) 6 II. PH ƯƠ NG PHÁP ĐỐI L ẬP Ph ươ ng pháp này được xây d ựng trên tính ch ất: Để gi ải ph ươ ng trình f (x) = g(x) , ta có th ể ngh ĩ đế n vi ệc ch ứng minh t ồn t ại A → R: f (x) ≥ A,∀x ∈ (a,b) và g(x) ≤ A,∀x ∈ (a,b) thì khi đó:  f (x) = A f (x) = g(x) ⇔  g(x) = A Nếu ta ch ỉ có f (x) > A và g(x) ,0 ∀x ∈[][]− 1,1 ⇒ −cos 5 x 0 và − cos 5 x < 0 nên ph ươ ng trình vô nghi ệm. Vậy ph ươ ng trình đã cho vô nghi ệm. Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 60
  63. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bài 3. Gi ải ph ươ ng trình: sin 1996 x + cos 1996 x = 1 (1) Hướng d ẫn (1) ⇔ sin 1996 x + cos 1996 x = sin 2 x + cos 2 x ⇔ sin 2 x(sin 1994 x − )1 = cos 2 x 1( − cos 1994 x) (2) sin 2 x ≥ 0 Ta th ấy  ⇒ sin 2 x(sin 1994 x − )1 ≤ ,0 ∀x sin 1994 x ≤ 1 cos 2 x ≥ 0 Mà  ⇒ cos 2 x 1( − cos 1994 x) ≥ ,0 ∀x 1− cos 1994 x ≥ 0 x = mπ  sin x = 0 π  x = + mπ sin 2 x(sin 1994 x − )1 = 0 sin x = ±1  2 Do đó (2) ⇔  ⇔  ⇔  (m,n ∈ Z) cos 2 x 1( − cos 1994 x) = 0 cos x = 0  π  x = + nπ  cos x = ±1  2   x = nπ π Vậy nghi ệm c ủa ph ươ ng trình là: x = k (k ∈ Z ) 2 π ĐS x = k (k ∈ Z ) 2 Áp d ụng ph ươ ng pháp đối l ập, ta có th ể suy ra cách gi ải nhanh chóng nh ững ph ươ ng trình l ượng giác ở các d ạng đặ c bi ệt d ưới đây: sin ax = 1 sin ax = 1   sin bx = 1 sin bx = −1 (1). sin ax .sin bx = 1 ⇔ (2). sin ax .sin bx = −1 ⇔ sin ax = −1 sin ax = −1   sin bx = −1 sin bx = 1 Cách gi ải t ươ ng t ự cho các ph ươ ng trình thu ộc d ạng: cos ax .cos bx = 1 cos ax .cos bx = −1 sin ax .cos bx = 1 sin ax .cos bx = −1 III. PH ƯƠ NG PHÁP ĐOÁN NH ẬN NGHI ỆM VÀ CH ỨNG MINH TÍNH DUY NH ẤT CỦA NGHI ỆM Tu ỳ theo d ạng và điều ki ện c ủa ph ươ ng trình, ta tính nh ẩm m ột nghi ệm c ủa ph ươ ng trình, sau đó ch ứng t ỏ nghi ệm này là duy nh ất b ằng m ột trong nh ững cách thông sụng sau: + Dùng tính ch ất đạ i s ố + Áp d ụng tính đơn điệu c ủa hàm s ố Ph ươ ng trình f (x) = 0 có 1 nghi ệm x = α ∈ (a,b) và hàm f đơ n điệu trong (a,b) thì f (x) = 0 có nghi ệm duy nh ất là x = α . Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 61
  64. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Ph ươ ng trình f (x) = g(x) có 1 nghi ệm x = α ∈ (a,b) , f (x) t ăng (gi ảm) trong (a,b) , g(x) gi ảm (t ăng) trong (a,b) thì ph ươ ng trình f (x) = g(x) có nghi ệm x = α là duy nh ất. x 2 Bài 4. Gi ải ph ươ ng trình: cos x = 1− v ới x > 0 2 Hướng d ẫn Ta th ấy ngay ph ươ ng trình có 1 nghi ệm x = 0. x 2 Đặt f (x) = cos x + −1 là bi ểu th ức c ủa hàm s ố có đạ o hàm f (' x) = −sin x + x > ,0 ∀x > 0 2 (vì x > sin x ,∀x ) ⇒ Hàm f luôn đơ n điệu t ăng trong ( ,0 +∞ ) ⇒ f (x) = 0 có 1 nghi ệm duy nh ất trong ( ,0 +∞ ) Vậy ph ươ ng trình đã cho có 1 nghi ệm duy nh ất x = 0. CÁC BÀI TOÁN VẬN D ỤNG Bài 1: Gi ải ph ươ ng trình: x 2 − 2x cos x − 2sin x + 2 = 0 (1) Hướng d ẫn Ta có (1) ⇔ x 2 − 2x cos x + cos 2 x + sin 2 x − 2sin x +1 = 0 ⇔−(x cosx)2 + (sinx −= 1) 2 0 x− cosx = 0  cosx = x ⇔ ⇔  sinx− 1 = 0  sinx = 1 Ph ươ ng trình vô nghi ệm. Bài 2: Gi ải ph ươ ng trình: sin 4 x + cos 15 x = 1 Hướng d ẫn Ta có: sin 4 x + cos 15 x = 1 ⇔ sin 4 x + cos 15 x = sin 2 x + cos 2 x ⇔ sin 2 x(sin 2 x − )1 = cos 2 x 1( − cos 13 x) (1) Vì sin 2 x(sin 2 x − )1 ≤ ,0 ∀x Và cos 2 x 1( − cos 13 x) ≥ ,0 ∀x x = mπ  sin x = 0 π  x = + mπ sin 2 x(sin 2 x − )1 = 0 sin x = ±1  2 Do đó (1) ⇔  ⇔  ⇔  (m, n ∈ Z) cos 2 x 1( − cos 13 x) = 0 cos x = 0  π  x = + nπ  cos x = 1  2   x = 2nπ π ĐS x = + kπ hay x = 2kπ , (k ∈ Z ) 2 Bài 3: Gi ải các ph ươ ng trình: π 1 1 1). sin 4 x + cos 4 (x + ) = (1) 2). (tan x + cot x) n = cos n x + sin n x(n = 4,3,2 , ) 4 4 4 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 62
  65. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Hướng d ẫn 1). Ta có:  π  2 + + 2 1 cos( 2x ) 1( − cos 2x)  2  1 (1) ⇔ + = 4 4 4 ⇔ 1( − cos 2x) 2 + 1( − sin 2x) 2 = 1 ⇔ cos 2x + sin 2x = 1 π 2 ⇔ cos( 2x − ) = 4 2 x = kπ  ⇔ π (k ∈ Z) x = + kπ  4 π 2). Với điều ki ện x ≠ k ta có tan x và cot x luôn cùng d ấu nên: 2 1 1 1 1 n tan x + cot x = tan x + cot x ≥ 2 tan x ⋅ cot x = 1 ⇒ tan x + cot x ≥ 1 4 4 4 4 1 1 1 Dấu "=" x ảy ra ⇔ tan x = cot x ⇔ tan 2 x = ⇔ tan x = ± 4 4 2  1  2 + Với n = 2 : ph ươ ng trình  tan x + cot x = 1 có nghi ệm cho b ởi:  4  1 1 tan x = ± ⇔ x = ± arctan + kπ (k ∈ Z ) 2 2 + Với n ∈ Z, n > 2 thì: cos n x + sin n x ≤ cos 2 x + sin 2 x = 1  π x = k khi n = 2m 2 Dấu b ằng x ảy ra ⇔  (k,m ∈ Z ) π x = 2kπ hay x = + 2kπ khi n = 2m +1  2 π (đều không tho ả mãn điều ki ện x ≠ k c ủa ph ươ ng trình) 2 Vậy v ới n > ,2 n ∈ Z thì ph ươ ng trình vô nghi ệm. 1 ĐS x = ± arctan + kπ (k ∈ Z) 2 1 1 Bài 4: Gi ải ph ươ ng trình: cos x −1 + cos 3x −1 = 1 (1) cos x cos 3x Hướng d ẫn cos x > 0 Điều ki ện:  cos 3x > 0 Khi đó (1) ⇔ cos x − cos 2 x + cos 3x − cos 2 3x = 1 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 63
  66. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1 1 1 Vì a 2 − a + = (a − ) 2 ≥ 0 ⇒ a − a 2 ≤ 4 2 4 1 1 Do đó cos x − cos 2 x ≤ và cos 3x − cos 2 3x ≤ 4 4 1 1 ⇒ cos x − cos 2 x ≤ và cos 3x − cos 2 3x ≤ 2 2  2 1  1 cos x − cos x = cos x =  4  2 Dấu b ằng x ảy ra ⇔  ⇔  ⇔ x ∈ ∅ 1 1 cos 3x − cos 2 3x = cos 3x =  4  2 Vậy ph ươ ng trình (1) vô nghi ệm. Bài 5: Gi ải ph ươ ng trình: sin 3 x + cos 3 x = 2 − sin 4 x Hướng d ẫn sin 3 x ≤ sin 2 x ,∀x cos 3 x ≤ cos 2 x ,∀x ⇒ sin 3 x + cos 3 x ≤ ,1 ∀x 2 − sin 4 x ≥ ,1 ∀x sin 3 x + cos 3 x = 1 π Vậy ph ươ ng trình t ươ ng đươ ng:  . ĐS x = + 2kπ (k ∈ Z) 2 − sin 4 x = 1 2 π Bài 6: Gi ải ph ươ ng trình: sin x + tan x − 2x = 0 v ới 0 ≤ x ≤ 2 Hướng d ẫn Dễ thấy ph ươ ng trình có 1 nghi ệm x = 0  π  Đặt f (x) = sin x + tan x − 2x liên t ục trên  ;0   2  (cos x −1)(cos 2 x − cos x − )1  π  = ≥ ∀ ∈  Có đạo hàm: f (' x) 2 ,0 x  ;0 do cos x  2  1− 5 1+ 5 < 0 ≤ cos x ≤ 1 < ⇒ cos 2 x − cos x −1 < 0 2 2  π  ⇒ f đơ n điệu t ăng trên  ;0   2  Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 64
  67. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BÀI T ẬP T Ự LUY ỆN T ỔNG H ỢP Bài 1: Gi ải ph ươ ng trình: sin 2xcx− os2 = 2sin x − 1 . Bài 2: Gi ải ph ươ ng trình: sin2x− 2cos2 x = 3sin xx − cos . Bài 3: Gi ải ph ươ ng trình: 2cos 2x + 8sin x − 5 = 0 . 17 πx π Bài 4: Giả i ph ươ ng trình: sin(2x++= ) 16 23.sin x cos x + 20sin(2 + ) 2 212 3(2.cos2 xx+ cos −+− 2) (3 2cos xx ).sin Bài 5: Gi ải ph ươ ng trình: = 0 2cosx + 1 Bài 6: Gi ải ph ươ ng trình: 2(cosxx+ sin2 ) =+ 1 4sin x (1 + cos2 x ) Bài 7: Gi ải ph ươ ng trình: sin2x+ 1 = 6sin x + cos2 x . Bài 8: Gi ải ph ươ ng trình: 3sinxx− cos +− 2 cos2 x − sin 2 x = 0 Bài 9: Gi ải ph ươ ng trình : sin2x−( sinx +− cosx 1)( 2sinx −−= cosx 3) 0 2 2 Bài 10: Gi ải ph ươ ng trình l ượng giác: cosx+ 3 cos x + 3sin x − 3sin x = 0 Bài 11: Gi ải ph ươ ng trình : 3cos2( xx -sin) + cos x( 2sin x + 1) = 0 . π   π  1 Bài 12: Gi ải ph ươ ng trình sau: cos−−x  sin2  x +=  . 4   4  2 Bài 13: Gi ải ph ươ ng trình: (2sinx+ 1)( 3cos4 xx + 2sin −+ 4) 4cos2 x = 3 . Bài 14: Gi ải ph ươ ng trình: 253cosx .cos x+ sin x = cos 8 x Bài 15: Gi ải ph ươ ng trình sin2x+ 1 = 6sin x + cos2 x . Bài 16: Gi ải ph ươ ng trình: cos2x+ 2sinx −− 1 2sinxcos2x = 0 . 3sin 2x− 2cos2 x − 1 Bài 17: Gi ải ph ươ ng trình: = 0 2cosx − 1 Bài 18: Gi ải ph ươ ng trình: sin2x − 2 2(sinx + cosx) = 5 Bài 19: Gi ải ph ươ ng trình cos 2x + 1( + 2cos x)(sin x − cos x) = 0 Bài 20: Gi ải ph ươ ng trình: 2sin2 x+ 3sin2 x − 2 = 0 . π  Bài 21: Gi ải ph ươ ng trình: sin2x + cosx- 2 sin x −  -1= 0. 4  Bài 22: Gi ải ph ươ ng trình: cos 2x + 1( + 2cos x)(sin x − cos x) = 0 π  Bài 23: Gi ải phươ ng trình cosx+ cos3x =+ 1 2sin 2x +  . 4  Bài 24: Gi ải ph ươ ng trình: sin3x+ 3cos3 x − 2sin x = 0 . π  Bài 25: Gi ải ph ươ ng trình : 2sin2x−  = 2sin 2 x − tan x 4  Bài 26: Gi ải ph ươ ng trình: 2sin2 x+ 3sin2 x − 2 = 0 . 2 Bài 27: Gi ải ph ươ ng trình cosx+21 sinx() − cosx =+ 22 sinx . π  Bài 28: Gi ải ph ươ ng trình l ượng giác sau: 2cos2 −+ 2x  3cos4 x = 4cos2 x − 1 . 4  Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 65
  68. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC HƯỚNG D ẪN BÀI T ẬP T Ự LUY ỆN T ỔNG H ỢP Bài 1: Gi ải ph ươ ng trình: sin 2xcx− os2 = 2sin x − 1 . Hướng d ẫn BiÕn ®æi ph−¬ng tr×nh vÒ d¹ng : 2sinx(cosx− 1) + 2sin2 x = 0 sinx= 0 sinx(sinx+ cos x − 1) = 0 ⇔  sinx+ cos x − 1 = 0 + Với sinx= 0 ⇔x = k 2 π x= k 2π π 1  + Với sinx+ cos x − 1 = 0 ⇔ sin( x + ) = ⇔ π , k ∈Z 4 2 x= + k 2π  2 π Vậy ph ươ ng trình có 2 h ọ nghi ệm. xk=π, x = + k 2 π 2 Bài 2: Gi ải ph ươ ng trình: sin2x− 2cos2 x = 3sin xx − cos . Hướng d ẫn Ph ươ ng trình đã cho t ươ ng đươ ng 2sin2 x− 3sin x −+ 2 2sin xxx cos += cos 0 ⇔(2sinx + 1)( sin x +−= cos x 2) 0 + sinx+ cos x − 2 = 0 : Ph ươ ng trình vô nghi ệm  π x= − + k 2π 6 + 2sin10x+=⇔ ( k ∈ ℤ )  7π x= + k 2π  6 π7 π Vậy ph ươ ng trình đã cho có nghi ệm: x=−+ kx2π , =+ kk 2 π ( ∈ ℤ ). 6 6 Bài 3: Gi ải ph ươ ng trình: 2cos 2x + 8sin x − 5 = 0. Hướng d ẫn 2 cos2x + 8sin x − 5 = 0 ⇔ 1(2 − 2sin 2 x) + 8sin x − 5 = 0 ⇔ 4sin 2 x −8sin x + 3 = 0  3  π sin x = (lo¹i) x= + k 2π  6 ⇔  2 ⇔ (k ∈ Z ) 1  5π sin x = x= + k 2π  2  6 17 πx π Bài 4: Giả i ph ươ ng trình: sin(2x++= ) 16 23.sin x cos x + 20sin(2 + ) 2 212 Hướng d ẫn Bi ến đổ i ph ươ ng trình đã cho t ươ ng đươ ng v ới π cxos2− 3sin2 xcx + 10os( ++= ) 6 0 6 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 66
  69. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC π π ⇔cxos(2 ++ ) 5os( cx ++= ) 3 0 3 6 π π ⇔2os(cx2 ++ )5os( cx ++= )2 0 6 6 π 1 π Gi ải được cos( x + ) = − và cos( x + ) = − 2 (lo ại) 6 2 6 π 1 π 5π + Gi ải cos( x + ) = − được nghi ệm x= + k 2π và x= − + k 2π 6 2 2 6 3(2.cos2 xx+ cos −+− 2) (3 2cos xx ).sin Bài 5: Gi ải ph ươ ng trình: = 0 2cosx + 1 Hướng d ẫn ĐK: Pt đã cho t ươ ng đươ ng v ới pt: Vậy pt có 2 h ọ nghi ệm ho ặc Bài 6: Gi ải ph ươ ng trình: 2(cosxx+ sin2 ) =+ 1 4sin x (1 + cos2 x ) Hướng d ẫn Ph ươ ng trình đã cho t ươ ng đươ ng v ới: 2cosx+ 2sin 2 x = 1 + 4sin 2 xx .cos ⇔−(1 2cosx )(2sin 2 x −= 1) 0  π x= ± + k 2π  1 3 cos x =   π ⇔ 2 ⇔=+x k π ( k∈ Z )  1  12 sin 2 x =   5π 2 x= + k π  12 π π 5π Vậy pt có nghi ệm là: x= ± + k 2π ; x= + k π ; x= + k π ( k∈ Z ) 3 12 12 Bài 7: Gi ải ph ươ ng trình: sin2x+ 1 = 6sin x + cos2 x . Hướng d ẫn (sin 2x− 6sin x ) +− (1 cos 2 x ) = 0 ⇔ 2sinx( cos x− 3) + 2sin2 x = 0 ⇔ 2sinx( cos x− 3 + sin x ) = 0 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 67
  70. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC sinx = 0 ⇔  ⇔ x= k π . V ậy nghi ệm c ủa PT là x= kπ , k ∈ Z sinx+ cos x = 3( Vn ) Bài 8: Gi ải ph ươ ng trình: 3sinxx− cos +− 2 cos2 x − sin 2 x = 0 Hướng d ẫn sinx−++ cosx 1 2sinx + 2sin2 x − 2sinxcosx = 0 ⇔ (1+2sinx)(sinx - cosx +1) = 0  7π x= + k 2π 6  π − 2  sinx− cosx = − 1 sin(x− ) =  −π  4 2 x= + k 2π ⇔−1 ⇔  ⇔  6 sinx =  −1   2 sinx = 3π  x= + k 2π 2  2  x= k 2π ⇔ Bài 9: Gi ải ph ươ ng trình : sin2x−( sinx +− cosx 1)( 2sinx −−= cosx 3) 0 Hướng d ẫn PT⇔()()() sinx + cosx2 −= 1 sinx +− cosx 1 2sinx −− cosx 3 ⇔()()()()sinx +− cosx 1  sinx ++=+− cosx 1  sinx cosx 1 2sinx −− cosx 3 x= k2 π sinx+ cosx = 1  ⇔ ⇔ π sinx− 2cosx = 4(VN) x= + k2 π  2 2 2 Bài 10: Gi ải ph ươ ng trình l ượng giác: cosx+ 3 cos x + 3sin x − 3sin x = 0 Hướng d ẫn 2 2 3  3  cos2 x+ 3cosx + 3sinx − 3sin2 x = 0 ⇔cos x +  = − 3sin x  2 2     3 3 + = − cosx 3sinx  3sin x+ cos x = 0 (1) ⇔  2 2 ⇔   3 3  3sin x− cos x = 3 (2) cosx+ =− + 3sinx  2 2 1 π (1) ⇔tan x = − ⇔x =− + k π 3 6  π x= + k2 π π  π 2 (2) ⇔sinx −  = sin ⇔  6  3 5π x= + k2 π  6 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 68
  71. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC π π Vậy ph ươ ng trình có hai h ọ nghi ệm là x=− + k π hay x= + k2 π . 6 2 Bài 11: Gi ải ph ươ ng trình : 3cos2( xx -sin) + cos x( 2sin x + 1) = 0 . Hướng d ẫn ⇔+sin2x 3cos2 x = 3sin xx − cos 1 3 31 ⇔sin2x + cos2 x = sin xx − cos 2 2 22 π π π π ⇔sin2x cos + cos2 x sin = sin x cos − cos x sin 3 3 6 6  π π  π 2x+ = x − + k 2π x= − + k 2π π π 3 6 2 ⇔sin(2x += ) sin( x − ) ⇔ (k ∈ ℤ ) ⇔ (k ∈ ℤ ) 3 6  π π  5πk 2 π 2x+ =−π ()2 x − + k π x = +  3 6  18 3 π   π  1 Bài 12: Gi ải ph ươ ng trình sau: cos−−x  sin2  x +=  . 4   4  2 Hướng d ẫn π   π  1 π  π  Pt đã cho cos−−x  sin2  x +=  ⇔ 2cos−−x 2sin2  x +=  1 4   4  2 4  4  ⇔cosx +− sin x sin2 xcx − os2 = 1 ⇔ sinx (1− 2cos xx ) + cos (1 − 2cos x ) = 0. ⇔ (sinx+ cos x )(1 − 2cos x ) = 0.  π  tanx = − 1  x= − + k π cosx+ sin x = 0  4 ⇔  ⇔1 ⇔ (k ∈ ℤ ) 1− 2cosx = 0 cos x =  π  2 x= ± + k 2π  3 π π Vậy ph ươ ng trình đã cho có 3 h ọ nghi ệm: x=−+ kxπ, =±+ kk 2,( π ∈ ℤ ) . 4 3 Bài 13: Gi ải ph ươ ng trình: (2sinx+ 1)( 3cos4 xx + 2sin −+ 4) 4cos2 x = 3 . Hướng d ẫn (2sinx+ 1)( 3cos4 xx + 2sin −+ 4) 4cos2 x = 3 ⇔(2sinx + 1)( 3cos4 xx + 2sin −+− 4) 1 4sin 2 x ⇔(2sinx + 1)( 3cos4 x −= 3) 0 π7 π π ⇔=−+x k2π hayx =+ k 2 π hayxk = v ới k∈ Z . 6 6 2 Bài 14: Gi ải ph ươ ng trình: 253cosx .cos x+ sin x = cos 8 x Hướng d ẫn Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 69
  72. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC PT ⇔ cos2x + cos8x + sinx = cos8x ⇔ 1- 2sin 2x + sinx = 0 1 π π7 π ⇔ sinx = 1 ho ặc sin x = − ⇔ x=+ kx2;π =−+ kx 2; π =+ kkZ 2,( π ∈ ) 2 2 6 6 Bài 15: Gi ải ph ươ ng trình sin2x+ 1 = 6sin x + cos2 x . Hướng d ẫn sin 2x+ 1 = 6sin x + cos2 x ⇔ (sin 2x− 6sin x ) +− (1 cos 2 x ) = 0 ⇔ 2sinx( cos x− 3) + 2sin2 x = 0 ⇔ 2sinx( cos x− 3 + sin x ) = 0 sinx = 0 ⇔  ⇔ x= k π . V ậy nghi ệm c ủa PT là x= kπ , k ∈ Z sinx+ cos x = 3( Vn ) Bài 16: Gi ải ph ươ ng trình: cos2x+ 2sinx −− 1 2sinxcos2x = 0 . Hướng d ẫn +⇔PTcxos2( 1 − 2sin x) −−( 1 2sin x) =⇔ 0 ( cx os2 −− 11)( 2sin x ) = 0 + Khi cos2x = 1 ⇔ x= k π , k∈ Z 1 π 5π + Khi sinx = ⇔ x= + k 2π ho ặc x= + k 2π , k∈ Z 2 6 6 3sin 2x− 2cos2 x − 1 Bài 17: Gi ải ph ươ ng trình: = 0 2cosx − 1 Hướng d ẫn 1 dk: c osx ≠ 2 pt⇔3sin2 x − 2cos2 x −=⇔ 1 0 3sin2 xc − os2x=2 π π ⇔sin(2x- ) =⇔=+ 1 x k π 6 3 4π Đối chi ếu đk , pt có nghi ệm : x= + m.2π ( mZ ∈ ) 3 Bài 18: Gi ải ph ươ ng trình: sin2x − 2 2(sinx + cosx) = 5 Hướng d ẫn Đặt sinx + cosx = t ( t ≤ 2 ). ⇒ sin2x = t 2 - 1 ⇔ t2 −22 t − 6 = 0 ⇔ t = − 2 (t/m) π + Gi ải được ph ươ ng trình sinx + cosx = − 2 ⇔ cos( x − ) = − 1 4 + L ấy nghi ệm 5π K ết lu ận : x= + k 2π ( k ∈ Z ) 4 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 70
  73. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bài 19: Gi ải ph ươ ng trình cos 2x + 1( + 2cos x)(sin x − cos x) = 0 Hướng d ẫn cos 2x + 1( + 2cos x)(sin x − cos x) = 0 ⇔ (sin x − cos x)(cos x − sin x + )1 = 0   π   −  =  π  2 sin x 0 x = + kπ sin x − cos x = 0  4  4 ⇔  ⇔  ⇔  cos x − sin x +1 = 0   π   π  2 sin  x −  = 1 x = + k2π , x = π + k2π   4   2 π π Vậy ph ươ ng trình đã cho có nghi ệm: x=+ kxπ, =+ kx 2, πππ =+ kk 2 () ∈ Z 4 2 Bài 20: Gi ải ph ươ ng trình: 2sin2 x+ 3sin2 x − 2 = 0 . Hướng d ẫn 3 1 1 2sin2 xx+ 3sin2 −=⇔ 2 0 3sin2 xx − cos2 =⇔ 1 sin2 xx − cos2 = 2 2 2  π x= + k π π  π 6 ⇔sin2x −=⇔  sin  () k ∈ ℤ 6  6  π x= + k π  2 π  Bài 21: Gi ải ph ươ ng trình: sin2x + cosx- 2 sin x −  -1= 0. 4  Hướng d ẫn PT đã cho t ươ ng đươ ng: sin2xxxx+ cos − (sin − cos ) −=⇔ 1 0 2cos xx (sin +−−= 1) sin x 1 0 1 ⇔(sinx + 1)( 2cos x −= 1) 0 ⇔sinx = − 1 ho ặc cos x = 2 π + sinx=− 1 ⇔ x =− + k 2.π 2 1 π + cxos= ⇔ x =± + 2 k π . 2 3 π π Vậy, nghi ệm c ủa ph ươ ng trình đã cho là: x= − + k 2π ; x= ± + 2 k π ( k∈ Z ) 2 3 Bài 22: Gi ải ph ươ ng trình: cos 2x + 1( + 2cos x)(sin x − cos x) = 0 Hướng d ẫn PT cos 2x + 1( + 2cos x)(sin x − cos x) = 0 ⇔ (sin x − cos x)(cos x − sin x + )1 = 0   π   −  =  π  2 sin x 0 x = + kπ sin x − cos x = 0  4  4 ⇔  ⇔  ⇔  cos x − sin x +1 = 0   π   π  2 sin  x −  = 1 x = + k2π , x = π + k2π   4   2 π π VËy ph−¬ng tr×nh ® cho cã nghiÖm: x=+ kxπ, =+ kx 2, πππ =+ kk 2 () ∈ Z 4 2 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 71
  74. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC π  Bài 23: Gi ải ph ươ ng trình cosx+ cos3x =+ 1 2sin 2x +  . 4  Hướng d ẫn π  cos x+ cos3x =+ 1 2 sin 2x +  4  ⇔2cos x cos2x =+ 1 sin 2x + cos2x ⇔ 2cos2 x+ 2sin x cos x − 2cos x cos2x = 0 ⇔cos x( cos x + sinx)( 1 +−= sinx cosx) 0  π x= + k π  2 cos x= 0  π  x=− + k π ⇔cos x + sinx = 0 ⇔  4 (k ∈ℤ)   1+ sinx − cosx = 0 x= k2 π  3π x= + k2 π  2  π x= + k π  2  π Vậy, ph ươ ng trình có nghi ệm: x=− + k π (k ∈ℤ)  4  x= k2 π  Bài 24: Gi ải ph ươ ng trình: sin3x+ 3cos3 x − 2sin x = 0 . Hướng d ẫn 1 3 π  sin3x+ 3cos3x − 2sin x = 0 ⇔sin3x + cos3x = sin x ⇔sin 3x +  = sin x . 2 2 3  π π π Suy ra ph ươ ng trình có các nghi ệm: x= − + k π ; x= + k (v ới k ∈ℤ ) 6 6 2 π  Bài 25: Gi ải ph ươ ng trình : 2sin2x−  = 2sin 2 x − tan x 4  Hướng d ẫn π Đ/K cosx≠⇔≠ 0 x + llπ () ∈ Z (*) 2 π  Ph ươ ng trình ⇔−1 cos2x −=  2sin2 xx −⇔− tan 1 sin2 xxx = 2sin2 − tan 2  cosx+ sinx ⇔2sin.cosxx + 2sin2 xx −−=⇔ tan 1 0 2sin.cosx x () +− sinx = 0 cos x cosx+ sin x = 0  tan x =− 1 ⇔()()cosx + sin x sin2 x − 1 = 0 ⇔ ⇔  sin2x− 1 = 0  sin2 x = 1 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 72
  75. CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  π x= − + k π 4 π π ⇔ ⇔=+x k, k ∈ Z ( Tho ả mãn điều ki ện (*) ) π 4 2 x= + k π  4 Bài 26: Gi ải ph ươ ng trình: 2sin2 x+ 3sin2 x − 2 = 0 . Hướng d ẫn 3 1 1 2sin2 xx+ 3sin2 −=⇔ 2 0 3sin2 xx − cos2 =⇔ 1 sin2 xx − cos2 = 2 2 2  π x= + k π π  π 6 ⇔sin2x −=⇔  sin  () k ∈ ℤ 6  6  π x= + k π  2 2 Bài 27: Gi ải ph ươ ng trình cosx+21 sinx() − cosx =+ 22 sinx . Hướng d ẫn PT⇔+ cosx2 sinx( 1 + cosx2 − 2 cosx) −− 22 sinx =⇔ 0( cosx −+ 2)(1 sinx 2)0(*) = π Do cosx −2 ≠ 0 nên (*)⇔+ 1sinx 2 =⇔ 0 sinx 2 =−⇔=−+ 1 x k π . 4 π  Bài 28: Gi ải ph ươ ng trình l ượng giác sau: 2cos2 −+ 2x  3cos4 x = 4cos2 x − 1 . 4  Hướng d ẫn Ph ươ ng trình ban đầu t ươ ng đươ ng: π  1cos+ −+ 4x  3cos4 x = 4cos2 x − 1 2  ⇔+sin4x 3cos4 x = 4cos2 x − 2 1 3 ⇔sin4x + cos4 x = 2cos2 x − 1 2 2 π  ⇔cos 4x −  = cos 2 x 6   π x= + k π ⇔  12 πk π x = +  36 3 NGUY ỄN H ỮU BI ỂN - Tel: 0134.170.323 (ng.huubien@gmail.com) Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN 73