Bài giảng Đại số C - Chương 3: Không gian vectơ

Nội dung text: Bài giảng Đại số C - Chương 3: Không gian vectơ

1. CHƯƠNG 3 KHễNG GIAN VECTƠ 1
2. 
   
   Chương 3. Khụng gian vectơ Nội dung 1. Khụng gian vectơ 2. Khụng gian con của khụng gian vectơ 3. Phụ thuộc tuyến tớnh, ủộc lập tuyến tớnh 4. Cơ sở, số chiều và tọa ủộ của KGVT 5. Hệ thức biến ủổi tọa ủộ của vectơ khi cơ sở thay ủổi. Ma trận chuyển cơ sở. 6. Khụng gian nghiệm. 7. Khụng gian dũng của ma trận. 2
3. 
   
   Chương 3. Khụng gian vectơ 1. Khụng gian vectơ: Định nghĩa 1: Cho V là một tập khỏc rỗng, trong đú xỏc định 2 phộp toỏn: u v V i. Phộp toỏn cộng (ký hiệu +) u , v∈ V + ∈ (Phộp hợp thành trong) ii. Phộp nhõn vụ hướng: u ∈ V,, k ∈R ku ∈ V (Phộp hợp thành ngoài) Cỏc phần tử của V được gọi là cỏc vectơ. V được gọi là khụng gian vectơ (KGVT) trờn trường số thực R nếu thỏa món cỏc tớnh chất sau đối với phộp cộng và nhõn vụ hướng: 3
4. 
   
   Chương 3. Khụng gian vectơ i. Tớnh giao hoỏn của phộp cộng ∀u,, v ∈ V u + v = v + u ii. Tớnh kết hợp của phộp cộng: ∀u,,, v w ∈ V( u + v) + w = u +( v + w) iii. Tồn tại một phần tử khụng, ký hiệu 0, thỏa món: ∀u ∈ V, u + 0 = u iv. ∀ u ∈ V tồn tại một phần tử đối, ký hiệu là − u , thỏa món: u+( − u) = 0 v. ∀uvVk,,, ∈ ∀ ∈R kuv( +) = kukv + vi. ∀uVkh ∈,,, ∀ ∈R ( hku +) = huku + vii. ∀u ∈ V,,, ∀ k h ∈R h( ku) = ( hk) u viii. ∀u ∈ V,1. u = u 4
5. 
   
   Chương 3. Khụng gian vectơ Phộp trừ trong KGVT được định nghĩa như sau: u− v = u +( − v) Tớnh chất: i. Phần tử 0 trong (iii) và phần tử -u trong (iv) là duy nhất. ii. ∀ u ∈ V , 0. u = 0 (0 ở vế trỏi và vế phải khỏc nhau) iii. ∀ k ∈ R , 0 ∈ V k . 0 = 0 (0 ở hai vế giống nhau) iv. Nếu ku = 0 thỡ hoặc k = 0 hoặc u = 0 v. −u =( −1) u 5
6. 
   
   Chương 3. Khụng gian vectơ • Vớ dụ: 1. Khụng gian vectơ Rn: RRn k∈;, uv ∈ , uuu =[ 1 ,, , 2 uvvvn] , = [ 1 ,, , 2 v n ] trong đú cỏc ui và vi là cỏc số thực và được gọi là cỏc thành phần của vec tơ u và v. u+ v =[ u1 + v 1, u 2 + v 2 , , un + v n ] ku= [ ku1, ku 2 , , kun ] 0 = [0,0, ,0] phần tử khụng. 6
7. 
   
   Chương 3. Khụng gian vectơ 2. Cho X là tập khỏc rỗng, tập hợp cỏc hàm số từ X và R ký hiệu: F={ f: X → R} Cỏc phộp toỏn cộng và nhõn vụ hướng được định nghĩa như sau: ∀f,: g ∈ F( f + g)( x) = f( x) + g( x) ∀x ∈ X ∀f ∈ F;: k ∈R ()()() kf x = kf x Phần tử khụng là cỏc hàm đồng nhất khụng, tức là bằng khụng với mọi x ∈ X ≤ −1 3. Pn là tập tất cả cỏc đa thức hệ số thực cấp n Phộp cộng: cộng đa thức Phộp nhõn vụ hướng: nhõn số với đa thức Pn là một KGVT trờn trường số thực 7
8. 
   
   Chương 3. Khụng gian vectơ M 4. Tập tất cả cỏc ma trận cấp mxn: mì n Phộp cộng: cộng ma trận Phộp nhõn vụ hướng: nhõn vụ hướng với một ma trận M mì n là một KGVT trờn trường số thực. 5. Trường số thực R là KGVT trờn chớnh nú. 8
9. 
   
   Chương 3. Khụng gian vectơ 1. Khụng gian vectơ 2. Khụng gian con của khụng gian vectơ 3. Phụ thuộc tuyến tớnh, ủộc lập tuyến tớnh 4. Cơ sở, số chiều và tọa ủộ của KGVT 5. Hệ thức biến ủổi tọa ủộ của vectơ khi cơ sở thay ủổi. Ma trận chuyển cơ sở. 6. Khụng gian nghiệm. 7. Khụng gian dũng của ma trận. 9
10. 
    
    Chương 3. Khụng gian vectơ 2. Khụng gian con của KGVT: Định nghĩa 2: Khụng gian con của KGVT V trờn trường số thực R (gọi tắt là khụng gian con) là một tập hợp W khỏc rỗng của V thỏa 2 tớch chất sau: i. ∀u,, v ∈ W u + v ∈ W ii. ∀u ∈ W,, ∀ k ∈R ku ∈ W Nhận xột: Hai tớnh chất trờn cú thể được thay bằng tớnh chất sau: ∀u,,, v ∈ W ∀ k ∈R ku + v ∈ W 10
11. 
    
    Chương 3. Khụng gian vectơ Định lý: Phần giao của một số bất kỳ cỏc khụng gian con của KGVT V là khụng gian con của KGVT V. Định lý: Tập hợp nghiệm của hệ phương trỡnh thuần nhất trờn R: AX = 0 A ∈ M X ∈ M trong đú m ì n và nì1 là khụng gian con của KGVT Rn. ∈M k ∈ R Chứng minh: X, Y nì1; với X và Y là nghiệm của AX = 0 XYk cần cm + ∈ Mnì1 cũng là nghiệm của hệ AX = 0 A( X+k Y) = AX
    + k
    AY = 0 0 0 Suy ra điều phải chứng minh. 11
12. 
    
    Chương 3. Khụng gian vectơ 1. Khụng gian vectơ 2. Khụng gian con của khụng gian vectơ 3. Phụ thuộc tuyến tớnh, ủộc lập tuyến tớnh 4. Cơ sở, số chiều và tọa ủộ của KGVT 5. Hệ thức biến ủổi tọa ủộ của vectơ khi cơ sở thay ủổi. Ma trận chuyển cơ sở. 6. Khụng gian nghiệm. 7. Khụng gian dũng của ma trận. 12
13. 
    
    Chương 3. Khụng gian vectơ 3. Phụ thuộc tuyến tớnh, độc lập tuyến tớnh: Định nghĩa 3: v v v V V là KGVT trờn R. Cho 1 , 2 , , m ∈ . Vectơ u ∈ V cú dạng u=α1 v 1 + α 2 v 2 + + αm v m trong ú α ∈ R , i = 1, m , c g i là t h p tuy n tớnh c a đ vi v v đượ ọ ổ ợ ế ủ cỏc vectơ 1 , 2 , , m Định nghĩa 4: H cỏc vect v , v , ,v c a KGVT V c g i là ph thu c ệ ơ 1 2 m ủ đượ ọ αụ αộ α tuyến tớnh, nếu tồn tại cỏc vụ hướng (cỏc số thực), 1, 2 , , m khụng đồng thời bằng khụng, sao cho: α1v 1+ α 2 v 2 + + αm v m = 0 Họ vectơ khụng phụ thuộc tuyến tớnh được gọi là độc lập tuyến tớnh. 13
14. 
    
    Chương 3. Khụng gian vectơ Định lý: v v v V Cỏc vectơ 1 , 2 , , m ∈ phụ thuộc tuyến tớnh khi và chỉ khi cú ớt nhất một vectơ là tổ hợp tuyến tớnh của cỏc vectơ cũn lại. Chỳ ý: v v v V i. Cỏc vectơ 1 , 2 , , m ∈ độc lập tuyến tớnh nếu và chỉ nếu m α αR αv α i m 1, ,m∈ ,∑ i i = 0 ⇒ i = 0, ∀ = 1, i=1 ii. Mọi hệ hữu hạn cỏc vectơ, trong đú cú vectơ 0 đều phụ thuộc tuyến tớnh. ∀v ∈ V iii. , một họ vectơ gồm 1 vectơ, ký hiệu { v } độc lập tuyến tớnh khi và chỉ khi v ≠ 0 . 14
15. 
    
    Chương 3. Khụng gian vectơ Phương phỏp kiểm tra hệ cỏc vectơ ĐLTT hay PTTT: Bước 1: Lập hệ phương trỡnh tuyến tớnh thuần nhất: AX= 0 trong đú A là ma trận cú cỏc cột là cỏc vectơ v1, v2, ,vm. A = v v⋯ v  1 2 m  T v=  v v⋯ v  i1 i 2 i ni  v v⋯ v  11 12 1m  v v⋯ v  21 22 2m  A =   ⋮ ⋮ ⋱ ⋮    v⋯ ⋯ v  n1 nm  15
16. 
    
    Chương 3. Khụng gian vectơ và vectơ X cú dạng: X = α α⋯ α  1 2 m  Bước 2: Giải hệ phương trỡnh tuyến tớnh thuần nhất trờn ta được: i. Hệ cú nghiệm tầm thường suy ra hệ cỏc vectơ ĐLTT ii. Hệ cú vụ số nghiệm (cú nghiệm khụng tầm thường) suy ra hệ cỏc vectơ PTTT 16
17. 
    
    Chương 3. Khụng gian vectơ Vớ dụ: 27/156 u=1 − 3 t + 2 t2 − 3 t 3 , v = − 3 + 9 t − 6 t 2 + 9 t 3 Xỏc định cỏc đa thức u và v cú ĐLTT? au bv 0 Xột phương trỡnh: + = trong đú a và b là vụ hướng. i. Hệ cú nghiệm tầm thường suy ra hệ cỏc vectơ ĐLTT ii. Hệ cú vụ số nghiệm (cú nghiệm khụng tầm thường) suy ra hệ cỏc vectơ PTTT X = α α⋯ α  1 2 m  17
18. 
    
    Chương 3. Khụng gian vectơ 1. Khụng gian vectơ 2. Khụng gian con của khụng gian vectơ 3. Phụ thuộc tuyến tớnh, ủộc lập tuyến tớnh 4. Cơ sở, số chiều và tọa ủộ của KGVT 5. Hệ thức biến ủổi tọa ủộ của vectơ khi cơ sở thay ủổi. Ma trận chuyển cơ sở. 6. Khụng gian nghiệm. 7. Khụng gian dũng của ma trận. 18
19. 
    
    Chương 3. Khụng gian vectơ 4. Cơ sở, số chiều và tọa độ của KGVT Rn: B = n Tập gồm m vectơ {f1, f 2 , , fm } của KGVT R lập thành một hệ cỏc phần tử sinh của Rn, nếu với mọi vectơ v bất kỳ trong Rn là một tổ hợp tuyến tớnh của cỏc vectơ f1, f 2 , , fm , tức là cú thể biểu diễn v dưới dạng: α α α v=1 f 1 + 2 f 2 + + m f m α α α trong đú 1 , 2 , , m là cỏc vụ hướng. 19
20. 
    
    Chương 3. Khụng gian vectơ Định nghĩa 5: (cơ sở của KGVT) B = n Cơ sở {f1, f 2 , , fn } của KGVT R là một hệ cỏc phần tử sinh độc lập tuyến tớnh, tức là B thỏa món hai tớnh chất sau: n i) v ∈ R được biểu diễn dưới dạng α α α v=1 f 1 + 2 f 2 + + n f n (cụng thức khai triển vectơ v thành cỏc thành phần) λ λ λ 0 ii) Phương trỡnh 1 f 1 + 2 f 2 + + n f n = chỉ thỏa món khi λ= λ = = λ = 1 2 n 0 20
21. 
    
    Chương 3. Khụng gian vectơ α α α Cỏc vụ hướng 1 , 2 , , n được gọi là cỏc tọa độ của vectơ v trong c s B = f, f , , f . ơ ở { 1 2 n } α   1  Ký hi u: α  ệ  2  v  =    B  ⋮    α   n  21
22. 
    
    Chương 3. Khụng gian vectơ Vớ dụ: 1) Trong KGVT R2: mọi vectơ đều cú thể biểu diễn thụng qua 2 vectơ khụng cựng phương. Và hai vectơ khụng cựng phương thỡ ĐLTT. Vậy cơ sở của R2 là một hệ gồm 2 vectơ khụng cựng phương. a=(1,2) ; b = ( 2,0) c=(4,4) ⇒ c = 2 a + b 2  vậy: c  =    B 1    2) Trong KGVT R3: mọi vectơ đều cú thể biểu diễn thụng qua 3 vectơ khụng đồng phẳng (khụng nằm trờn cựng mặt phẳng). Và 3 vectơ khụng đồng phẳng thỡ ĐLTT. Vậy cơ sở của R3 là một hệ gồm 3 vectơ khụng đồng phẳng. 22
23. 
    
    Chương 3. Khụng gian vectơ Chỳ ý: i) Mỗi vectơ v trong Rn được khai triển thành cỏc thành phần một cỏch duy nhất ii) Với mỗi cơ sở khỏc nhau, một vectơ được khai triển thành cỏc thành phần khỏc nhau (trừ vectơ 0) n B = e e e iii) Cơ sở chớnh tắc trong R : ký hiệu 0{ 1, 2 , ,n } . e =   1 1,0,0, ,0  , e =   2 0,1,0, ,0  , e =   3 0,0,1, ,0  , ⋮   e = 0,0,0, ,1  .   n   1  a a e e e     Vớ dụ: =1,2,3 ⇒ =1 + 2 2 + 3 3 c = 2 ( )  B   0   3    23
24. 
    
    Chương 3. Khụng gian vectơ Định nghĩa 6: (chiều của của KGVT) Nếu tồn tại số nguyờn dương n sao cho KGVTV cú một cơ sở gồm n vectơ, số nguyờn này là duy nhất và được gọi là số chiều của KGVT. Ký hiệu: n = dimV. Nhận xột: i) Số chiều của một KGVT chớnh là số vectơ của mọi cơ sở của V và cũng là số tối đại cỏc vectơ độc lập tuyến tớnh của KGVT V. ii) KGVT cú số chiều hữu hạn thỡ gọi là KGVT hữu hạn chiều. KGVT trong đú cú thể tỡm được vụ số vectơ độc lập tuyến tớnh được gọi là KGVT vụ hạn chiều. 24
25. 
    
    Chương 3. Khụng gian vectơ Định lý: Trong KGVT Rn, một hệ bất kỳ gồm n vectơ độc tuyến tớnh thỡ tạo thành một cơ sở Định lý: Hệ gồm n vectơ trong KGVT Rn độc lập tuyến tớnh khi và chỉ khi định thức của ma trận tạo bởi cỏc thành phần của vectơ đú khỏc khụng. 25
26. 
    
    Chương 3. Khụng gian vectơ Vớ dụ: (45/158) e e e 3 Chứng tỏ rằng 1 ,, 2 3 là một cơ sở của KGVT R : e=  e =   e =  −  11,1,1  , 2  1,2,3  , 3  2, 1,1  Giải: Để chứng tỏ một hệ n vectơ là một cơ sở trong KGVT Rn ta cần chứng minh hệ n vectơ này ĐLTT. α α α Xột phương trỡnh theo ẩn 1,, 2 3 αe α e α e 0 1 1+ 2 2 + 3 3 = 1 1 2  α   0    1          ⇒1 2 − 1  α  =  0  ⇒α = α = α = 0   2    1 2 3 1 3 1α 0 e e e   3    Suy ra hệ cỏc vecto ĐLTT. Vậy hệ 1,, 2 3       26 là một cơ sở của R3.
27. 
    
    Chương 3. Khụng gian vectơ 1. Khụng gian vectơ 2. Khụng gian con của khụng gian vectơ 3. Phụ thuộc tuyến tớnh, ủộc lập tuyến tớnh 4. Cơ sở, số chiều và tọa ủộ của KGVT 5. Hệ thức biến ủổi tọa ủộ của vectơ khi cơ sở thay ủổi. Ma trận chuyển cơ sở. 6. Khụng gian nghiệm. 7. Khụng gian dũng của ma trận. 27
28. 
    
    Chương 3. Khụng gian vectơ 5. Hệ thức biến đổi tọa độ của vectơ khi cơ sở thay đổi. Ma trận chuyển cơ sở. B = e e e B′ = { 1, 2 , , n } {f1, f 2 , , fn } là hai cơ sở khỏc nhau của KGVT Rn. Tọa độ của cỏc vectơ trong cơ sở mới được biểu diễn trong cơ sở cũ như sau: α α α f1= 11 e 1 + 12 e 2 + + 1n e n f=α e + α e + + α e 2 21 1 22 2 2n n (*) ⋮ α α α fn= n1 e 1 + n 2 e 2 + + nn e n 28
29. 
    
    Chương 3. Khụng gian vectơ Ma trận vuụng cấp n: α α α  11 21n 1  α α α  12 22n 2  P ′ =   BB→ ⋮ ⋮ ⋮    α α α 1n 2 n nn  được gọi là ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở cũ B sang cơ sở mới B’ (hoặc ma trận chuyển). Hệ (*) cú thể viết dưới dạng ma trận như sau: FPE= T BB→ ′ trong đú: T T = ⋯  E=  e e⋯ e  F f1,,, f 2 fn  1,,, 2 n  29
30. 
    
    Chương 3. Khụng gian vectơ Định lý: P BB→ ′ là ma trận chuyển từ cơ sở B={ei} sang cơ sở B’={fi} và Q BB ′ → là ma trận chuyển cơ sở từ B’ sang cơ sở B. Khi đú P BB→ ′ khả nghịch và = −1 QPBBBB′′→ → 30
31. 
    
    Chương 3. Khụng gian vectơ Định lý: P BB→ ′ là ma trận chuyển từ cơ sở B={ei} sang cơ sở B’={fi} trong KGVT V. Khi đú đối với vectơ bất kỳ v trong V:     i) v= P v  BBBB→ ′   ′  −1   ii) v= P v  BB′ BB→ ′   31
32. 
    
    Chương 3. Khụng gian vectơ Vớ dụ: 100-102/164 Cơ sở chớnh tắc: E={e1,e2,e3} và cơ sở S={w1=[1,1,1], w2=[1,1,0], w3=[1,0,0]}. i) Tỡm ma trận chuyển từ B sang S. ii) Tỡm tọa đụ của vectơ bất kỳ v=[a,b,c] trong cơ sở S. iii) Tỡm ma trận chuyển từ S sang B. Giải: P i) Tỡm ma trận chuyển từ B sang S: BS→ Cỏc vectơ trong cơ sở S được biểu diễn trong cơ sở B: wα e α e α e 1= 11 1 + 12 2 + 13 3 wα e α e α e 2= 21 1 + 22 2 + 23 3 wα e α e α e 3= 31 1 + 32 2 + 33 3 32
33. 
    
    Chương 3. Khụng gian vectơ α α α  11 21 31  ⇒P = α α α  BS→ 12 22 32  α α α  13 23 33  α Để tỡm cỏc ij ta cần giải cỏc hệ phương trỡnh: αe α e α e w i i1 1+ i 2 2 + i 3 3 = i = 1,3 1 0 0  α   1    11    i=1       ⇒α α α = →0 1 0  α  =  1  ( 11, 12 , 13 ) ( 1,1,1)   12    0 0 1α 1   13     α α α = ( 21, 22 , 23 ) ( 1,1,0) Tương tự:   α, α , α = 1,0,0 ( 31 32 33 ) ( ) 33
34. 
    
    Chương 3. Khụng gian vectơ   1 1 1    ⇒P = 1 1 0  BS→   1 0 0        T ii) Tỡm v bi t v= a,, b c  S ế  B   Ta cú: vα w α w α w =1 1 + 2 2 + 3 3 a  1 1 1  α      1        ⇒b  = 1 1 0  α      2  c 1 0 0 α     3   TT   ⇒α,,,, α α  = c b − c a − b  1 2 3    34
35. 
    
    Chương 3. Khụng gian vectơ iii) Tỡm QSB→ Cỏch 1: Cỏc vectơ trong cơ sở B được biểu diễn trong cơ sở S: e w w w 1=β 11 1 + β 12 2 + β 13 3 e w w w 2=β 21 1 + β 22 2 + β 23 3 e w w w 3=β 31 1 + β 32 2 + β 33 3   β11 β 21 β 31    ⇒Q = β β β  SB→ 12 22 32  β13 β 23 β 33  Để tỡm cỏc β ij ta cần giải cỏc hệ phương trỡnh: αe α e α e w i i1 1+ i 2 2 + i 3 3 = i = 1,3 35
36. 
    
    Chương 3. Khụng gian vectơ 1 1 1     1    β11    i=1       ⇒ = →1 1 0  β  =  0  (β11, β 12 , β 13 ) ( 0,0,1)   12    1 0 0 0   β13     Tương tự:  α, α , α = 0,1, − 1 ( 21 22 23 ) ( )  α α α = − ( 31, 32 , 33 ) ( 1, 1,0)   0 0 1    ⇒Q =0 1 − 1  SB→   1− 1 0   36
37. 
    
    Chương 3. Khụng gian vectơ Cỏch 2:   0 0 1  −1   QP= =0 1 − 1  SBBS→ →   1− 1 0   37
38. 
    
    Chương 3. Khụng gian vectơ 1. Khụng gian vectơ 2. Khụng gian con của khụng gian vectơ 3. Phụ thuộc tuyến tớnh, ủộc lập tuyến tớnh 4. Cơ sở, số chiều và tọa ủộ của KGVT 5. Hệ thức biến ủổi tọa ủộ của vectơ khi cơ sở thay ủổi. Ma trận chuyển cơ sở. 6. Khụng gian nghiệm. 7. Khụng gian dũng của ma trận. 38
39. 
    
    Chương 3. Khụng gian vectơ Định nghĩa:   Cho ma trận A = a  với mỗi dũng i= 1,2, , m ij mì n u=  a a⋯ a  W n đặt i i1,,, i 2 in  và A là KG con của R sinh bởi u u⋯ u cỏc vector 1,,, 2 m u u⋯ u Ta gọi 1,,, 2 m là cỏc vector dũng WA là KG dũng của ma trận A. Định lý: Cho hai ma trận AB, = i) A tương đương (dũng) với B thỡ WWAB dimW= r A ii) A ( ) 39
40. 
    
    Chương 3. Khụng gian vectơ Nhận xột: KG dũng của ma trận sẽ khụng thay đổi nếu ta ỏp dụng cỏc phộp biến đổi sơ cấp trờn dũng đối với ma trận. Hệ quả: Cho ma trận A và B là ma trận dạng bậc thang của A. Khi đú cú thể chọn cỏc vector dũng khỏc 0 của B làm một cơ sở cho KG dũng WA. 40