Giáo trình Đại số tuyến tính và hình học giải tích

136 trang hapham 1250

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Đại số tuyến tính và hình học giải tích", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_dai_so_tuyen_tinh_va_hinh_hoc_giai_tich.pdf

Nội dung text: Giáo trình Đại số tuyến tính và hình học giải tích

HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN HY ĐỨC MẠNH Bài giảng: Đại số tuyến tính và Hình học giải tích Tài liệu học tập cho sinh viên tại Học viện KTQS Lưu hành nội bộ Hà Nội — 2013
Mục lục Chương 2 Lời nói đầu 7 Những kí hiệu 9 1 Ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính 11 1.1 Logic, tập hợp, ánh xạ và cấu trúc đại số . . . . . . . . . . . 11 1.1.1 Logic mệnh đề và vị từ . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.2 Tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1.3 Ánh xạ. Lực lượng của tập hợp. . . . . . . . . . . . . 19 1.1.4 Sơ lược về cấu trúc đại số . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.1.5 Số phức: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.2 Đại số ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.2.1 Ma trận - Các phép toán trên ma trận . . . . . . . . 29 1.2.2 Phép chuyển vị, ma trận khả nghịch, vài loại ma trận thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.3 Định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.3.1 Nghịch thế: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.3.2 Định thức: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.3.3 Tính chất của định thức: . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.3.4 Cách tính định thức: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.3.5 Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo . . . . . . . . . 40 1.4 Hạng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.4.1 Hạng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.4.2 Tìm ma trận nghịch đảo bằng biến đổi sơ cấp . . . . 43 1.4.3 Phân tích LU và LUP . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1.5 Hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 1.5.1 Các định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3
1.5.2 Hệ Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 1.5.3 Điều kiện cần và đủ để hệ tổng quát có nghiệm . . . 50 1.6 Thực hành tính toán trên Maple . . . . . . . . . . . . . . . . 52 1.6.1 Các phép toán và ký hiệu đặc biệt . . . . . . . . . . 52 1.6.2 Tính toán với các biểu thức đại số . . . . . . . . . . . 52 1.6.3 Tính toán trên ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2 Không gian vector và ánh xạ tuyến tính 57 2.1 Không gian vector và không gian vector con . . . . . . . . . 57 2.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.1.2 Hạng hệ hữu hạn vector. Cơ sở và chiều . . . . . . . 60 2.1.3 Tọa độ của vector trong cơ sở. Đổi cơ sở . . . . . . . 64 2.1.4 Định lý về hạng ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.1.5 Không gian tổng và không gian giao. Tổng trực tiếp . 67 2.2 Ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.2.1 Khái niệm ánh xạ tuyến tính và toán tử tuyến tính . 69 2.2.2 Ảnh và nhân của ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . 71 2.2.3 Ánh xạ tuyến tính ngược . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.2.4 Ma trận và biểu thức tọa độ ánh xạ tuyến tính . . . 75 2.2.5 Không gian nghiệm hệ phương trình thuần nhất . . . 78 2.2.6 Ma trận của ánh xạ tuyến tính khi đổi cơ sở . . . . . 80 2.3 Trị riêng và vector riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 2.3.1 Trị riêng và vector riêng của toán tử tuyến tính . . . 82 2.3.2 Chéo hóa ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2.4 Thực hành tính toán trên Maple . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3 Hình học trong không gian Euclide 93 3.1 Dạng toàn phương trong không gian vector . . . . . . . . . . 93 3.1.1 Dạng song tuyến tính đối xứng và dạng toàn phương 93 3.1.2 Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc . . . . . . . 97 3.1.3 Luật quán tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 3.1.4 Dạng toàn phương xác định dấu . . . . . . . . . . . . 103 3.2 Không gian Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3.2.1 Tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3.2.2 Bất đẳng thức tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . 107 4
3.2.3 Cơ sở trực chuẩn, quá trình trực chuẩn hóa Gram- Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 3.2.4 Phân tích QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 3.3 Không gian con trực giao và hình chiếu . . . . . . . . . . . . 113 3.4 Chéo hóa trực giao ma trận đối xứng . . . . . . . . . . . . . 114 3.4.1 Toán tử tự liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 3.4.2 Phổ của toán tử tự liên hợp . . . . . . . . . . . . . . 119 3.5 Phân loại các đường cong và mặt cong bậc hai . . . . . . . . 121 3.5.1 Phương trình siêu mặt bậc hai . . . . . . . . . . . . . 121 3.5.2 Phân loại các đường cong và mặt cong bậc hai . . . . 124 3.6 Thực hành tính toán trên Maple . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Tài liệu tham khảo 133 5
Lời nói đầu Bài giảng "Đại số tuyến tính và hình học giải tích" được viết theo đề cương chương trình của Bộ môn Toán - Khoa Công nghệ Thông tin - Học viện Kỹ thuật Quân sự. Tài liệu biên soạn dựa trên các giáo trình của Học viện kỹ thuật quân sự và một số giáo trình dành cho sinh viên các trường đại học kỹ thuật trong và ngoài nước. Đây là tài liệu cá nhân biên soạn giảng dạy cho các lớp của chương trình tiên tiến Việt-Nga (75 tiết), cũng như các lớp học viên quân sự và dân sự (60 tiết) tại Học viện. Vì thời lượng học môn này đối với các đối tượng học viên (trừ các lớp chương trình TTVN) đã giảm so với những năm trước đây (chỉ còn 60 tiết) nên hầu hết các kết quả cơ bản chỉ được đưa ra mà không có chứng minh, để hiểu sâu sắc vấn đề sinh viên cần tự đọc chứng minh trong các sách giáo khoa cho môn học này. Đặc biệt nhấn mạnh rằng khi học viên đọc bài giảng này cần kèm theo hai tài liệu bắt buộc là "đề cương chi tiết môn học" và "đề cương chi tiết bài giảng" đã được các cấp phê duyệt và công bố trên trang web của Khoa Công nghệ Thông tin ( Đối với những mục (phần) không có trong hai đề cương trên xem là phần đọc thêm của học viên. Phần bài tập sau mỗi bài sinh viên làm theo yêu cầu và hướng dẫn của "đề cương chi tiết" bài giảng (bài tập trong [4]). Vì bài giảng biên soạn bằng Latex theo cấu trúc định sẵn gần giống với sách giáo khoa nhưng không phải là sách giáo khoa. Để học tập đạt kết quả tốt sinh viên cần có các tài liệu bắt buộc là [3], [4]. Trong tài liệu những tính chất sẽ thường được viết dưới dạng các mệnh đề, các kết quả quan trọng được phát biểu trong các định lý. Bên cạnh các vấn đề cơ bản của môn học, trong bài giảng chúng tôi có đưa thêm các kiến thức bổ trợ khác (ví dụ như thực hành tính toán số trên phần mềm Maple). Cuối cùng, trong quá trình biên soạn khó tránh khỏi có sai sót chúng tôi
hoan nghênh sự phát hiện của học viên để kịp thời sửa chữa. Tháng 7 năm 2013 8
Những kí hiệu K trường nào đó N tập hợp số tự nhiên Z tập hợp số nguyên Q tập hợp số hữu tỉ R tập hợp số thực C tập hợp số phức ∅ tập hợp rỗng deg bậc của đa thức Mm×n(K) tập các ma trận cỡ m × n trên K Mn(K) tập các ma vuông cấp n trên K GLn(K) tập các ma vuông cấp n khả nghịch AT ma trận chuyển vị của ma trận A det(A) định thức ma trận A T race(A) vết của ma trận A rank(A) hạng của ma trận A ∼ tương đương hoặc đồng dạng giữa hai ma trận span bao tuyến tính dim(V ) chiều của không gian V Im(f) không gian ảnh của ánh xạ f Ker(f) không gian nhân (hạch) của ánh xạ f ⟨., .⟩ tích vô hướng En không gian Euclide thực n chiều ⊥ trực giao ||.|| chuẩn (độ dài) 9
Chương 1 Ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính 1.1 Logic, tập hợp, ánh xạ và cấu trúc đại số 1.1.1 Logic mệnh đề và vị từ Định nghĩa Định nghĩa 1. Mệnh đề là các khẳng định mà ta có thể biết nó đúng hoặc sai. Ta thường ký hiệu mệnh đề bởi các chữ cái in hoa A, B, C, Ví dụ 1. – "Hà nội là thủ đô Việt nam" - mệnh đề đúng. – Trên tập R xét quan hệ "nhỏ hơn", khi đó mệnh đề "1<0" là mệnh đề sai. Khi mệnh đề A đúng là nói mệnh đề nhận giá trị đúng và viết là "A-true" (A-t) hoặc "A-đúng" (A-đ), ngược lại ta nói A nhận giá trị sai và viết là "A-false" (A-f) hay "A-sai" (A-s). Mệnh đề chỉ nhận hai giá trị đúng hoặc sai và không có khả năng thứ ba. Các phép toán a) Phép tuyển ∨ (hoặc, hoặc là): Giả sử A, B - 2 mệnh đề. A∨B (đọc là A hoặc B, A tuyển B) cũng là một mệnh đề, nó chỉ nhận giá trị sai khi cả A và B đều sai còn đúng trong các trường hợp còn lại. b) Phép hội ∧ (và): Giả sử A, B - 2 mệnh đề. A∧B (đọc là A và B, A hội B) cũng là một mệnh đề, nó chỉ nhận giá trị đúng khi cả A và B đều đúng còn sai trong các trường hợp còn lại. 11
A B A∨B t t t t f t f t t f f f Bảng 1.1: Bảng giá trị logic phép tuyển A B A∧B t t t t f f f t f f f f Bảng 1.2: Bảng giá trị logic phép hội c) Phép kéo theo →: Giả sử A, B - 2 mệnh đề. A→B (đọc là A kéo theo B, A suy ra B) cũng là một mệnh đề, nó chỉ nhận giá trị sai khi A đúng kéo theo B sai. A còn gọi là giả thiết, B gọi là kết luận. A B A→B t t t t f f f t t f f t Bảng 1.3: Bảng giá trị logic phép kéo theo d) Phép tương đương ⇔: Giả sử A, B - 2 mệnh đề. A⇔B (đọc là A tương đương B) cũng là một mệnh đề, nó chỉ nhận giá trị đúng khi A và B cùng đúng hoặc cùng sai. A B A⇔B t t t t f f f t f f f t Bảng 1.4: Bảng giá trị logic phép kéo theo d) Phép phủ định ⌉: Giả sử A là mệnh đề. ⌉A (đọc là phủ định A) cũng là một mệnh đề và nó nhận giá trị ngược lại với giá trị A. 12
A ⌉A t f f t Bảng 1.5: Bảng giá trị logic phép phủ định Công thức và định lý Từ các mệnh đề ban đầu người ta xây dựng các mệnh đề mới thông qua sử dụng 5 phép toán trên. Các mệnh đề ban đầu gọi là sơ cấp, còn các mệnh đề nhận được gọi là công thức. Các công thức luôn nhận giá trị đúng gọi là công thức hằng đúng, chúng ta chỉ quan tâm các công thức này, các công thức hằng đúng còn gọi là "Định lý" hay "Định luật". Ví dụ 2. (A → B) → C - là một công thức (A → B) ⇔ (⌉B →⌉A) - là một công thức hằng đúng (định lý). Dưới đây là một số công thức hằng đúng quan trọng: a) Giao hoán: A ∨ B ⇔ B ∨ A A ∧ B ⇔ B ∧ A b) Kết hợp: (A ∨ B) ∨ C ⇔ A ∨ (B ∨ C) (A ∧ B) ∧ C ⇔ A ∧ (B ∧ C) c) Phân phối A ∧ (B ∨ C) ⇔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) A ∨ (B ∧ C) ⇔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) d) Lũy đẳng: A ∨ A ⇔ A A ∧ A ⇔ A e) Hấp thụ: (A ∨ B) ∧ A ⇔ A (A ∧ B) ∨ A ⇔ A f) Công thức De Morgan: ⌉(A ∧ B) ⇔ (⌉A) ∨ (⌉B) 13
⌉(A ∨ B) ⇔ (⌉A) ∧ (⌉B) g) Công thức chứng minh phản chứng: ⌉(A → B) ⇔ A ∧ (⌉B) Để chứng minh các công thức là hằng đúng ta thay tất cả các giá trị có thể của các mệnh đề sơ cấp, lập bảng giá trị logic từ đó đưa đến kết luận. Mệnh đề lượng từ a) Tập hợp , phần tử: Tập hợp là một khái niệm không định nghĩa được mà chỉ có thể mô tả nó. Ví dụ 3. Tập hợp các sinh viên lớp K48-A. Ký hiệu tập hợp bởi các chữ cái in hoa A, B, C, các phần tử của tập hợp ký hiệu bởi chữ cái thường a,b, c, Ta viết a ∈ A để chỉ a là phần tử của tập hợp A. b) Hàm mệnh đề: Ta nói f(x1, , xn) là một mệnh đề n-ngôi xác định trên tập A nếu với mọi (∀) a1, , an ∈ A thì f(a1, , an) là một mệnh đề. Ví dụ 4. A = R, khi đó với x, y ∈ R thì "x ≥ y" là hàm mệnh đề hai ngôi xác định trên A. c) Lượng từ i) Lượng từ tồn tại (riêng): Giả sử f(x) là một hàm mệnh đề xác định trên A, mệnh đề "∃xf(x)" - đọc là "tồn tại x để f(x)" - nó nhận giá trị đúng khi có a ∈ A để f(a) là đúng. ii) Lượng từ phổ biến (chung): Giả sử f(x) là một hàm mệnh đề xác định trên A, mệnh đề "∀xf(x)" - đọc là "với mọi x để f(x)" - nó nhận giá trị đúng khi với mỗi a ∈ A bất kỳ thì f(a) là đúng. Người ta có thể xây dựng mệnh đề có chứa nhiều lượng từ. Định lý 1.1.1. Phủ định của mệnh đề có chứa lượng từ là mệnh đề nhận được bằng cách thay các lượng từ chung thành các lượng từ riêng và hàm mệnh đề thay bằng phủ định của nó. Ví dụ 5. ⌉(∀xf(x)) ⇔ ∃x⌉f(x) 14
1.1.2 Tập hợp Tập hợp và phép toán trên tập hợp a) Khái niệm: Như trên đã nói, tập hợp là khái niệm không được định nghĩa, người ta ta chỉ mô tả tập hợp. Ký hiệu a ∈ A để chỉ phần tử a thuộc tập A. Tập không có phần tử nào gọi là tập rỗng và ký hiệu là ∅. Hai tập A và B gọi là bằng nhau nếu chúng có chứa các phần tử giống nhau. Tập A gọi là con của tập B (hay là B chứa A) nếu mọi phần tử của A đều thuộc tập B, ký hiệu là A ⊆ B, vậy: A = B ⇔ (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A) Quy ước tập ∅ là con của mọi tập hợp. b) Các phép toán trên tập hợp: Giả sử A và B là các tập hợp i) Phép hợp: A ∪ B đọc là A hợp B là tập các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp đó (Hình 1.1a)) A ∪ B = {x|(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)} ii) Phép giao: A ∩ B đọc là A giao B là tập các phần tử thuộc cả A và B(Hình 1.1b)) A ∩ B = {x|(x ∈ A) ∧ (x ∈ B)} Hình 1.1: Biểu đồ Venn: Hợp, giao và hiệu của hai tập hợp iii) Hiệu của hai tập hợp: A \ B đọc là A trừ B là tập các phần tử thuộc cả A và không thuộc B (Hình 1.1c)) A \ B = {x :(x ∈ A) ∧ (x∈ / B)} iv) Hiệu đối xứng của hai tập hợp: A △ B là tập hợp được xác định như sau: A △ B = (A \ B) ∪ (B \ A) (Hình 3.1a)). 15
Hình 1.2: Biểu đồ Venn: Hiệu đối xứng và phần bù v) Phần bù: Giả sử X là một tập hợp và A là tập con của X. Phần bù của A trong X ký hiệu là A (hay CXA) và xác định bởi A = X \ A (Hình 3.1b)). c) Các tính chất: i) Giao hoán: A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A ii) Kết hợp: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) iii) Phân phối: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) iv) Lũy đẳng: A ∪ A = A ∩ A = A v) Hấp thụ: (A ∪ B) ∩ A = A (A ∩ B) ∪ A = A vi) Công thức De Morgan A ∪ B = A ∩ B A ∩ B = A ∪ B ∪ ∩ ∩ ∪ Tổng quát: Ai = Ai và Ai = Ai. i∈I i∈I i∈I i∈I Chứng minh các tính chất trên có thể dựa vào các luật tương ứng của logic mệnh đề. 16
Quan hệ thứ tự bộ phận. Quy nạp toán học a) Tích Descartes và quan hệ thứ tự bộ phận Định nghĩa 2. Giả sử A, B là các tập hợp. Tích Descartes của A và B ký hiệu là A × B là tập hợp gồm các phần tử có dạng (a, b) ở đó a ∈ A và b ∈ B. Ta có thể mở rộng định nghĩa cho trường hợp tổng quát tích Descartes của n tập hợp : A1 × A2 × × An. Khi A1 = A2 = = An = A ta viết là An. Định nghĩa 3. Giả sử X là một tập hợp. Một quan hệ hai ngôi (hay quan hệ) trên X là một tập con R của X2. Nếu (x, y) ∈ R ta nói x quan hệ R với y và viết là xRy, vậy xRy ⇔ (x, y) ∈ R. Ví dụ 6. Quan hệ "x chia hết cho y" là quan hệ hai ngôi trên N . R = {(x, y) ∈ N2 : x.y} Các tính chất thường gặp: i) Phản xạ: R gọi là phản xạ nếu ∀x ∈ X xRx tức là (x, x) ∈ R. ii) Đối xứng: R - đối xứng nếu (∀x)(∀y)(xRy → yRx) iii) Bắc cầu: R - bắc cầu nếu (∀x)(∀y)(∀z)[(xRy) ∧ (yRz) → xRz] iv) Phản đối xứng: R - phản đối xứng nếu (∀x)(∀y)[(xRy) ∧ (yRx) → x = y]. Một quan hệ R gọi là tương đương nếu quan hệ đó có các tính chất i), ii) và iii). Nếu R là quan hệ tương đương trên X và phần tử x ∈ X, tập con của X gồm tất cả các phần tử có quan hệ R với x gọi là lớp tương đương của phần tử x, ký hiệu là [x]R hay đơn giản là [x]. Rõ ràng, phần tử x luôn thuộc lớp tương đương của chính nó và hai lớp tương đương hoặc trùng nhau hoặc không giao nhau. Ta nói rằng tập các lớp tương đương tạo thành một phân hoạch của X. Ví dụ 7. Giả sử có một số nguyên dương n, ta định nghĩa một quan hệ hai ngôi R trên Z như sau: . ∀x, y ∈ Z, xRy ⇔ x − y . n 17
Quan hệ này được gọi là quan hệ đồng dư modulo n. Nếu xRy ta viết là x ≡ y (mod n). Dễ dàng kiểm tra quan hệ đồng dư modulo n có các tính chất i), ii) và iii), do đó nó là quan hệ tương đương. Có thể chứng minh được tập Z với quan hệ đồng dư modulo n phân hoạch thành n lớp tương đương {[0], [1], , [n − 1]} (bài tập), ta ký hiệu Zn = {[0] , [1] , , [n − 1]} Quan hệ R gọi là thứ tự bộ phận (hay từng phần) nếu có các tính chất i), iii) và iv). Khi đó ta nói tập X với quan hệ thứ tự này là được sắp một phần. Quan hệ thứ tự bộ phận trong X gọi là thứ tự hoàn toàn (hay toàn phần) nếu với mọi a, b trong X ta có aRb hoặc bRa, khi đó tập X là được sắp hoàn toàn. Ví dụ 8. Tập số thực R với quan hệ ≤ là tập được sắp hoàn toàn. Giả sử R là quan hệ thứ tự bộ phận trong X, tập hợp A ⊆ X. Phần tử a0 gọi là bé nhất trong A nếu ∀a ∈ A ta có a0Ra tức là (a0, a) ∈ R. Một tập được sắp hoàn toàn sẽ được gọi là được sắp tốt khi và chỉ khi mọi tập con khác rỗng của nó đều có phần tử bé nhất. Ví dụ 9. Tập hợp N với quan hệ ≤ là tập được sắp tốt, còn tập Z cũng với quan hệ này không phải được sắp tốt do Z không có phần tử bé nhất. b) Nguyên lý quy nạp toán học trên tập số tự nhiên N Định lý 1.1.2. Mệnh đề f(n) phụ thuộc n ∈ N sẽ đúng cho mọi n nếu thỏa mãn hai điều kiện: i) f(1) - đúng ii) Từ f(k) - đúng kéo theo f(k + 1) - đúng với mọi k ∈ N. Chứng minh: Ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử tồn tại m để f(m) sai. Do tập N với quan hệ 6 là được sắp tốt nên nếu gọi M ⊆ N là tập hợp {m : f(m) − sai} thì M có phần tử bé nhất, ký hiệu m0, hiển nhiên do giả thiết i) nên m0 ≠ 1, m0 ≥ 2. Vì f(m0) - sai và m0 bé nhất nên f(m0 − 1) - đúng. Tuy nhiên theo ii) từ đây lại có f(m0 − 1 + 1) = f(m0) - đúng. Điều đó dẫn đến mâu thuẫn. Mâu thuẫn này chứng tỏ giả thiết phản chứng là sai, tức là ta có điều phải chứng minh. I 18
1.1.3 Ánh xạ. Lực lượng của tập hợp. a) Các định nghĩa: Giả sử X, Y là các tập hợp. Định nghĩa 4. Ánh xạ f từ X vào Y ký hiệu là f : X → Y là một quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử x ∈ X với một và chỉ một phần tử y ∈ Y . Khi đó ta nói y là ảnh của x và viết là y = f(x). X - gọi là tập xác định của ánh xạ f hay tập nguồn, Y - gọi là tập đích. Hình 1.3: Ánh xạ Xét hai ánh xạ f : X → Y và g : X → Y . f và g gọi là bằng nhau và viết là f = g nếu f(x) = g(x), ∀x ∈ X. Định nghĩa 5. Giả sử f : X → Y , A ⊂ X, B ⊂ Y . Tập hợp f(A) := {y ∈ Y : ∃x ∈ A, y = f(x)} gọi là tập ảnh của A. Tập hợp f −1(B) = {x ∈ X : f(x) ∈ B gọi là nghịch ảnh của B bởi f. Quy ước f(∅) = ∅. Ví dụ 10. Các hàm số đã học ở phổ thông là những ánh xạ, ví dụ sin : R → [−1, 1] với x 7→ sin(x). Tính chất: i) A ⊂ f −1(f(A)), f(f −1(B)) ⊂ B ii) f(A1 ∪ A2) = f(A1) ∪ f(A2), f(A1 ∩ A2) ⊂ f(A1) ∩ f(A2) −1 −1 −1 −1 −1 −1 iii) f (B1 ∪B2) = f (B1)∪f (B2), f (B1 ∩B2) = f (B1)∩f (B2) Định nghĩa 6. Ta nói i) f - toàn ánh (lên, tràn ánh) nếu f(X) = Y , tức là ∀y ∈ Y ∃x ∈ X : y = f(x) hay nói cách khác f −1(y) có không ít hơn một phần tử. ii) f - đơn ánh nếu ∀x, x′ ∈ X từ x ≠ x′ → f(x) ≠ f(x′). Vậy f - đơn ánh khi và chỉ khi với y ∈ Y tập f −1(y) có không quá một phần tử. iii) f - song ánh nếu nó vừa đơn ánh vừa toàn ánh, tức là ∀x ∈ X∃!y ∈ Y : y = f(x). Một song ánh X → X còn gọi là một phép thế trên X. 19
Ví dụ 11. f(x) = sin x là toàn ánh vì với mọi α ∈ [−1, 1] tồn tại x = arcsin α + 2kπ, k ∈ Z để f(x) = α. Ví dụ 12. f : A → f(A) ⊂ Y mà đơn ánh sẽ là song ánh. Định nghĩa 7. Giả sử A, B là hai tập hợp, các phần tử của chúng thuộc một loại nào đó. Nếu có một song ánh (tương ứng 1-1) giữa các phần tử của A và B thì ta nói rằng A tương đương B ký hiệu là A ∼ B. Dễ thấy rằng quan hệ tương đương này thực sự là quan hệ tương đương theo định nghĩa ở trên. Ví dụ 13. Xét tập N = {1, 2, , n, } và tập M = {2, 4, , 2n, }. Phép tương ứng n ⇔ 2n là tương ứng 1-1. Ví dụ 14. Khoảng (0; 1) tương đương với trục số thực R. Có nhiều cách chứng minh điều này, có thể xét phép tương ứng 1 − 1 như trong Hình 1.4. Hình 1.4: Tương ứng 1 − 1 giữa (0; 1) và R Định nghĩa 8. Lực lượng của tập hợp A bất kỳ là "cái chung" có trong tất cả các tập hợp tương đương với A. Nếu A hữu hạn thì lực lượng A chính là số phần tử (không trùng nhau) trong A. Lực lượng của A ký hiệu là |A|. Theo định nghĩa A ∼ B nếu |A| = |B|. Tập hợp tương đương với tập N gọi là tập đếm được. Ví dụ Z, Q là đếm được (bài tập). b) Ánh xạ ngược: Định nghĩa 9. Cho hai ánh xạ f : X → Y và g : Y → Z, ánh xạ từ X vào Z xác định bởi x 7→ g(f(x)) gọi là hợp thành (tích) của g và f ký hiệu là g ◦ f (hay gf). Chú ý rằng g ◦ f chỉ xác định khi tập đích của f trùng với tập nguồn của g. Tính chất: 20
i) h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f ii) (g ◦ f)(A) = g(f(A)) iii) (g ◦ f)−1(B) = f −1(g−1(B)), ∀B ⊂ Z iv) g ◦ f - đơn ánh thì f - đơn ánh v) g ◦ f - toàn ánh thì g - toàn ánh. Định nghĩa 10. i) Ánh xạ IdX : X → X sao cho IdX(x) = x, ∀x ∈ X gọi là ánh xạ đồng nhất trên X. ii) Giả sử f : X → Y là một ánh xạ. f gọi là khả ngịch nếu tồn tại ánh xạ g : Y → X sao cho g ◦ f = IdX và f ◦ g = IdY . Khi đó g gọi là ánh xạ ngược hay nghịch đảo của f và ký hiệu là f −1. Ví dụ 15. Các hàm ngược đã biết ở phổ thông cho ta các ví dụ về ánh xạ ngược. Định lý 1.1.3. (Tồn tại ánh xạ ngược) Ánh xạ f : X → Y có f −1 khi và chỉ khi f là song ánh. 1.1.4 Sơ lược về cấu trúc đại số Nhóm, vành, trường: a) Phép toán hai ngôi (phép toán trong): Định nghĩa 11. Giả sử X tập hợp khác rỗng. Một phép toán hai ngôi trên X là một ánh xạ ◦ : X × X → X :(x, y) 7→ x ◦ y. Phép toán ◦ gọi là hợp thành của x và y. Ví dụ 16. Phép cộng + : R × R → R :(x, y) 7→ x + y Các tính chất thường gặp: i) Kết hợp: ∀x, y, z ∈ X ta có x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ y) ◦ z ii) Giao hoán: ∀x, y ∈ X : x ◦ y = y ◦ x iii) Phân phối: Giả sử có hai phép toán hai ngôi ∗ và ◦ trên X. Phép toán ∗ gọi là có phân phối bên trái với phép toán ◦ nếu ∀x, y, z ∈ X : x∗(y ◦z) = (x ∗ y) ◦ (x ∗ z). Tương tự ta có tính chất phân phối bên phải. Nếu không nói gì ta hiểu phép toán có tính chất phân phối cả hai phía. Định nghĩa 12. Phần tử e ∈ X gọi là phần tử trung hòa của phép toán ◦ nếu ∀x ∈ X : x ◦ e = e ◦ x = x . Nếu ký hiệu ◦ theo lối cộng (+) thì phần tử 21
trung hòa ký hiệu là 0 (không), còn theo lối nhân (·) thì phần tử trung hòa ký hiệu là 1 (một). Định nghĩa 13. Giả sử X có phần tử trung hòa e. Ta nói x là phần tử khả đối xứng nếu tồn tại x′ ∈ X : x ◦ x′ = x′ ◦ x = e. Phần tử x′ gọi là phần tử đối xứng của x. Khi ◦ viết theo lối cộng ta ký hiệu x′ là −x và gọi là phần tử đối, còn lối nhân ta ký hiệu là x−1 và gọi là phần tử nghịch đảo. Dễ thấy phần tử trung hòa là duy nhất. Nếu X với phép toán ◦ có tính chất kết hợp và phần tử trung hòa e thì phần tử đối xứng cũng là duy nhất. b) Nhóm: Định nghĩa 14. Giả sử tập hợp X ≠ ∅ với phép toán hai ngôi ◦ đã cho. Ký hiệu (X, ◦) gọi là một nhóm nếu phép toán là kết hợp, có phần tử trung hòa e và mọi phần tử đều khả đối xứng (khả nghịch). Ngoài ra nếu ◦ có tính chất giao hoán thì nhóm được gọi là nhóm giao hoán (hay Abel). Ta thường ký hiệu (X, ◦, e) để chỉ một nhóm với phần tử trung hòa e. Ví dụ 17. (R, +, 0) và (Q \{0}, ·, 1) là các nhóm Abel. c) Vành: Xét hai phép toán trên tập X ≠ ∅ là + : X × X → X :(x, y) 7→ x + y và · : X × X → X :(x, y) 7→ x · y Định nghĩa 15. Ta nói tập X với hai phép toán trên lập thành một vành (X, +, ·) nếu: i) (X, +, 0) là nhóm Abel ii) Phép nhân (·) có tính chất kết hợp và phân phối với phép cộng (+). Ngoài ra nếu phép nhân có đơn vị 1 thì ta nói vành có đơn vị, phép nhân có tính chất giao hoán thì gọi là vành giao hoán. Ví dụ 18. (Z, +, ·) và (R, +, ·) là các vành giao hoán, có đơn vị. d) Trường: Định nghĩa 16. Trường là một vành giao hoán có đơn vị 1 ≠ 0 và mọi phần tử khác 0 đều khả nghịch (đối với phép nhân). Ví dụ 19. Q, R, Zp (với p nguyên tố) là các trường (bài tập). 22
1.1.5 Số phức: a) Định nghĩa: Trên R2 trang bị hai phép toán như sau: - Phép cộng (+): (a1, b1) + (a2, b2) = (a1 + a2, b1 + b2) - Phép nhân( ·: (a1, b1)) · (a2, b2) = (a1 · a2 − b1 · b2, a1 · b2 + a2 · b1) ở đó − − 1 a1 b1 ̸ (a1, b1) = 2 2 , 2 2 với (a1, b1) = (0, 0). a1+b1 a1+b1 Dễ thấy phần tử (0, 0) là phần tử trung hòa của phép cộng, (1, 0) là phần tử đơn vị của phép nhân. Khi đó có thể kiểm tra được (R2, +, ·) là một trường và gọi là trường số phức, ký hiệu là C. Vậy mỗi số phức z ∈ C là z = (a, b) ∈ R2. Vì mỗi số thực x ∈ R ta có thể đồng nhất với (x, 0) ∈ C, khi đó có thể coi R ⊂ C. b) Đơn vị ảo, dạng đại số của số phức: Ta gọi số phức (0, 1) là i và gọi là đơn vị ảo. Như vậy (0, 1) ≡ i nên (0, b) = ib. Khi đó i2 = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0), ta đồng nhất nó với −1 theo lập luận trên, từ đó i2 = −1. Vậy với z ∈ C thì z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a + ib và được gọi là dạng đại số của số phức. Ký hiệu Rez = a, Imz = b gọi là phần thực và phần ảo tương ứng. Với việc cho tương ứng số phức z = (a, b) ∈ R2, đặt điểm M = (a, b) trên mặt phẳng, ta có thể biểu diễn số phức trên mặt phẳng tọa độ Descartes −−→ như là z = OM. Trục hoành Ox được gọi là trục thực, trục tung Oy gọi là trục ảo, mặt phẳng biểu diễn số phức gọi là mặt phẳng phức (Hình 1.5). Hình 1.5: Biểu diễn số phức trên mặt phẳng Định nghĩa 17. Cho số phức z = a + ib, khi đó a − ib gọi là liên hợp của z ký hiệu là z. 2 Dễ thấy rằng: z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 = z1 · z2 và z · z = |z| ở đây |z|2 = a2 + b2. c) Dạng lượng giác của số phức: Cho số phức z = a + ib ≠ 0, có thể viết lại z như sau: √ ( ) a b z = a2 + b2 √ + √ i a2 + b2 a2 + b2 23
√ −−→ Đặt r := |z| = a2 + b2 gọi là modul của z, góc φ giữa OM với trục thực gọi là argument của z ký hiệu φ := arg(z). Dễ thấy: { a = rcosφ b = r sin φ khi đó z = r(cosφ + i sin φ) gọi là dạng lượng giác của số phức. Với mỗi số thực φ ta đặt eiφ := cosφ + i sin φ thì z = reiφ gọi là dạng mũ của số phức. Dễ thấy modul và argumen của số phức có các tính chất đơn giản sau: n n i) |z| = |z| ; |z1z2| = |z1| |z2| ; |z | = |z| ( ) z1 ii) arg (z1 + z2) = arg (z1) + arg (z2) ; arg = arg (z1) − z2 n arg (z2) ; arg (z ) = n arg (z) Công thức Moivre: Giả sử z = r(cosφ + i sin φ), khi đó zn = r(cosnφ + i sin nφ) Dễ dàng chứng minh công thức này bằng quy nạp theo n. d) Căn bậc n của số phức: Giả sử ta có số phức dạng lượng giác z = r(cosφ + i sin φ). Ta gọi căn bậc n của số phức z là tập hợp √ n C n z = {w ∈ C : w = z} Để hiểu rõ ta viết tập hợp này một cách tường minh hơn. Đặt: w = ρ(cosθ + i sin θ) Theo công thức Moivre ta có: wn = ρn(cos nθ + i sin nθ) do vậy { ρncosnθ = rcosφ ρnsinnθ = rsinφ từ đó ta có { √ ρ = n r φ+k2π ∈ Z θ = n , k Khi đó căn bậc n của z viết lại là { ( ) } √ √ n φ + k2π φ + k2π C n = r cos + i sin , k = 0; 1; ; n − 1 z n n Vậy căn bậc n của z ≠ 0 có đúng n giá trị khác nhau. 24
Vành đa thức: Giả sử K là trường, một đa thức (một biến) trên K là biểu thức dạng 2 n p(x) = a0 + a1x + a2x + + anx + ở đó x là biến, ai ∈ K với i = 1, n là các hệ số, n ∈ Z . Nếu tất cả các hệ số ai bằng 0 ta có đa thức hằng không và viết là p(x) = 0. Nếu a0 ≠ 0 = a1 = = an thì p(x) gọi là đa thức hằng. Nếu an ≠ 0 thì p(x) gọi là đa thức bậc n, ký hiệu bậc của đa thức là deg(p) = n. Với cách hiểu như vậy thì đa thức hằng là các đa thức bậc 0, đa thức hằng 0 không có bậc (đôi khi người ta coi nó có bậc −∞). Nếu p(x) có dạng axn, a ∈ K thì gọi là đơn thức. Hai đa thức p(x) và q(x) gọi là bằng nhau, viết là p(x) = q(x), nếu các hệ số tương ứng của chúng bằng nhau. Giả sử ta có hai đa thức 2 n p(x) = a0 + a1x + a2x + + anx và 2 m q(x) = b0 + b1x + b2x + + bmx khi đó tổng và tích của hai đa thức định nghĩa như sau: { (a + b ) + + (a + b )xn + b xn+1 + + b xm, m ≥ n p(x)+q(x) = 0 0 n n n+1 m m m+1 n (a0 + b0) + + (am + bm)x + bm+1x + + bnx , m < n và m+n p(x)q(x) = c0 + c1x + + cm+nx ∑k ở đó ck = aibk−i, k = 0, m + n. Dễ thấy i=0 i) deg(p(x) + q(x)) ≤ max {deg(p(x)), deg(q(x))} ii) deg(p(x)q(x)) = deg(p(x)) + deg(q(x)) Ký hiệu K[x] là tập tất cả các đa thức (một biến) trên trường K, khi đó có thể chứng minh K[x] với hai phép toán trên lập thành một vành giao hoán có đơn vị (đơn vị ở đây là đa thức hằng bằng 1) (bài tập). Định lý 1.1.4. (Phép chia Euclide) Giả sử K là một trường, và p(x), q(x) ∈ K[x], q(x) ≠ 0. Khi đó tồn tại duy nhất các đa thức h(x) và r(x) sao cho p(x) = h(x)q(x) + r(x) với deg(r) < deg(q). 25
Các đa thức h(x) và r(x) lần lượt gọi là thương và phần dư trong phép chia p(x) cho q(x). Trong tính toán ta có thể thực hiện phép chia đa thức như sắp đặt chia số nguyên. Ví dụ 20. Để chia đa thức 2x3 − x2 + x − 1 cho đa thức x2 + 1, ta thực hiện như trong Hình 1.6. Hình 1.6: Chia đa thức Cho hai đa thức p(x), q(x) ∈ K[x], ở đó K là trường và q(x) ≠ 0. Nếu tồn tại đa thức h(x) ∈ K[x] sao cho p(x) = h(x)q(x) thì ta nói p(x) chia hết cho q(x) (hay q(x) là ước của p(x) trong K[x]). Một đa thức d(x) là ước của cả p(x) và q(x) gọi là ước chung của p(x) và q(x). Nếu d(x) là ước chung của p(x) và q(x) đồng thời nó chia hết cho mọi ước chung khác của p(x) và q(x) thì gọi là ước chung lớn nhất của chúng, viết tắt là UCLN, ký hiệu là d(x) = (p(x), q(x)). Để đảm bảo tính duy nhất của UCLN người ta quy ước hệ số bậc cao nhất của UCLN là 1. Để tìm UCLN ta dùng thuật chia Euclide bằng cách thực hiện một số hữu hạn các phép chia liên tiếp sau đây: p(x) = q(x)h(x) + r(x), deg(r) < deg(q) q(x) = r(x)h1(x) + r1(x), deg(r1) < deg(r) ··· rk−2(x) = rk−1(x)hk(x) + rk(x), deg(rk) < deg(rk−1) rk−1(x) = rk(x)hk+1(x) đa thức cuối cùng khác 0 trong dãy phép chia trên là rk(x) và sau khi lấy rk(x) chia cho hệ số bậc cao nhất của nó ta được UCLN của p(x) và q(x). Từ thuật toán Euclide ta thấy rằng, nếu d(x) = (p(x), q(x)) thì có thể tìm được các đa thức u(x), v(x) ∈ K[x] sao cho p(x)u(x) + q(x)v(x) = d(x) Một nghiệm trên K của p(x) là phần tử α ∈ K sao cho khi thay vào p(x) ta được biểu thức đồng nhất bằng 0. 26
Định lý 1.1.5. (Bezout) Phần tử α ∈ K là nghiệm của p(x) ∈ K[x] khi và chỉ khi p(x) chia hết cho x − α. Như vậy nếu α là nghiệm p(x) thì tồn tại đa thức h(x) sao cho p(x) = (x − α)h(x) Nếu có một đa thức r(x) sao cho p(x) = (x − α)kr(x)(k ∈ N) nhưng không thể biểu diễn p(x) dưới dạng p(x) = (x − α)k+1s(x) với s(x) ∈ K[x] thì k gọi là bội của nghiệm α, và α gọi là nghiệm bội k của p(x). Khi K = C ta có kết quả sau đây và thường gọi là Định lý cơ bản của đại số học. Định lý 1.1.6. (Định lý cơ bản của đại số học) Mọi đa thức hệ số phức bậc n ≥ 1 có ít nhất một nghiệm phức. Nói cách khác, một đa thức cấp n sẽ có đủ n nghiệm phức kể cả bội. 2 n Cho p(x) = a0 + a1x + a2x + + anx ∈ K[x] và α ∈ K. Ta có thể dùng 2 n−1 sơ đồ Horner (xem Hình (1.7) ) để tìm h(x) = b0 +b1x+b2x + +bn−1x và r = p(α) trong thuật chia Euclide p(x) = (x − α)h(x) + r Hình 1.7: Sơ đồ Horner Ví dụ 21. Cho đa thức p(x) = x4 + x3 − 2x2 + 1 trên Q[x] và α = 2 ∈ Q, sử dụng sơ đồ trên ta có: Hình 1.8: Áp dụng sơ đồ Horner Vậy p(x) = (x − 2)h(x) + r, trong đó h(x) = x3 + 3x2 + 4x + 8 còn r = p(2) = 17 Khai triển Taylor của đa thức: Cho p(x) ∈ K[x] và deg(p) = n. Với mỗi α ∈ K đa thức trên có thể khai triển duy nhất dưới dạng: ∑n k p(x) = ck (x − α) . k=0 27
Không khó để chứng minh điều này dựa trên định lý về phép chia Euclide. Nhờ lược đồ Horner có thể thu được các hệ số ck từ bảng sau Hình 1.9: Sơ đồ Horner cho khai triển Taylor Ví dụ 22. Phân tích đa thức p(x) = x4 + x3 − 2x2 + 1 theo các lũy thừa của x − 2. Ta lập sơ đồ Horner (xem Hình 1.10). Hình 1.10: Sử dụng sơ đồ Horner khai triển Taylor đa thức Từ đó ta có p(x) = (x − 2)4 + 9(x − 2)3 + 28(x − 2)2 + 36(x − 2) + 17. Chú ý 1. Với K là các trường thông thường (Q, R, C), từ lý thuyết giải tích có thể thấy các hệ số ck chính là đạo hàm cấp k của p(x) tại α, tức là p(k)(α) c = k k! 2 n Công thức Viet. Cho đa thức p(x) = a0 + a1x + a2x + + anx ∈ K[x], an ≠ 0. Giả sử p(x) có n nghiệm (kể cả bội) là α1, , αn ∈ K. Khi đó ta có p(x) = an(x − α1) (x − αn) Khai triển vế phải và so sánh các lũy thừa cùng bậc ta được công thức Viet 28
biểu thị các hệ số theo các nghiệm của nó:   ∑n  an−1  = − αi  an  i=1  ∑n  an−2  = − αiαj  an  1≤i<j≤n . .  ∑n  an−k − k  a = ( 1) αi1 αi2 αik  n ≤ ≤  1 i1< <ik n  .  .   a0 n = (−1) α1α2 αn an Rõ ràng việc hoán vị các nghiệm đa thức không làm công thức Viet thay đổi. 1.2 Đại số ma trận 1.2.1 Ma trận - Các phép toán trên ma trận Giả sử K là một trường (thực hoặc phức), m, n là các số tự nhiên. Định nghĩa 18. Ma trận cấp m × n trên trường K là một mảng chữ nhật gồm m hàng, n cột với m × n phần tử aij, i = 1; m, j = 1; n dạng   a11 ··· a1n  . . .  A =  . . .  am1 ··· amn và viết đơn giản ở dạng A = (aij)m×n. m × n gọi là kích thước (cấp, cỡ) ma trận (theo thói quen ta người ta thường dùng từ "cấp" cho ma trận vuông), tên các ma trận thường được đặt bởi các chữ cái in hoa A, B, Tập các ma trận cỡ m × n ký hiệu bởi Mm×n(K). Khi m = n ta nói ma trận vuông cấp n, tập các ma trận vuông cấp n ký hiệu Mn(K). Hai ma trận gọi là "bằng nhau" nếu các phần tử tương ứng của chúng bằng nhau. Ma trận O là ma trận gồm các phần tử bằng 0, tức là aij = 0∀i, j. Ma trận đơn vị cấp n là ma trận vuông trên K với các phần tử trên đường chéo chính bằng 1, các phần tử còn lại bằng 0, ký hiệu là En = 29
diag(1, 1, , 1) hoặc đơn giản là E khi đã biết cấp của nó (một số tài liệu ký hiệu In) dạng   1 ··· 0  . .  E =  . .  0 ··· 1 Nếu dùng ký hiệu Kronecker { 0, i ≠ j δij = 1, i = j thì E = (δij)n. Khi m = 1 hoặc n = 1 ta được các ma trận một hàng hoặc một cột (hay gọi là các vector hàng (cột)). Định nghĩa 19. Giả sử có hai ma trận cỡ m × n     a11 ··· a1n b11 ··· b1n  . . .   . . .  A =  . . .  ,B =  . . .  am1 ··· amn bm1 ··· bmn khi đó ta viết   a11 + b11 ··· a1n + b1n  . . .  A + B =  . . .  am1 + bm1 ··· amn + bmn và gọi là tổng của hai ma trận A và B. Mệnh đề 1.2.1. Giả sử A, B, C là các ma trận cỡ m × n, O là ma trận các phần tử đều là 0, khi đó: i) A + B = B + A ii) A + (B + C) = (A + B) + C iii) A + O = A và iv) Tồn tại ma trận A′ sao cho: A + A′ = O, khi đó ký hiệu A′ là −A. Như vậy tập các ma trận với phép toán cộng lập thành một nhóm Abel. Định nghĩa 20. Giả sử có ma trận cấp m × n   a11 ··· a1n  . . .  A =  . . .  am1 ··· amn 30
và hằng số c ∈ K. Chúng ta viết   ca11 ··· ca1n  . . .  cA =  . . .  cam1 ··· camn và gọi là tích của ma trận A với hằng số c. Mệnh đề 1.2.2. Giả sử A, B là các ma trận cỡ m × n, và c, d ∈ K, khi đó: i) c(A + B) = cA + cB ii) (c + d)A = (cA + dA) iii) 0A = O và iv) c(dA) = (cd)A. Đặc biệt với c = −1 ∈ K, thay vì viết (−1)A ta viết là −A. Dễ thấy các tính chất trên suy ra từ tính chất phép toán trên trường K Định nghĩa 21. Giả sử có hai ma trận cỡ m × n và n × p tương ứng là     a11 ··· a1n b11 ··· b1p  . . .   . . .  A =  . . .  ,B =  . . .  am1 ··· amn bn1 ··· bnp khi đó tích của hai ma trận A và B là ma trận cỡ m × p được cho dưới dạng   q11 ··· q1p  . . .  AB =  . . .  qm1 ··· qmp trong đó phần tử qij của ma trận tích được xác định bởi ∑n qij = aikbkj, i = 1; m, j = 1; p k=1 Chú ý 2. Để thực hiện được phép nhân hai ma trận thì số cột ma trận đầu tiên phải bằng số hàng ma trận thứ hai. 2 n Khi A ∈ Mn(K) thì A.A viết là A , quy ước A = A.A A (n ma trận A nhân với nhau, ở đó A0 = E). Nếu xét đa thức ∑m k pm (x) = akx k=0 31
thì khi thay biến x bởi ma trận A ∈ Mn(K) ta được ∑m k pm (A) = akA . k=0 Rõ ràng pm (A) ∈ Mn(K). Các tính chất của phép nhân hai ma trận cho dưới trong mệnh đề sau đây: Mệnh đề 1.2.3. i) (Luật kết hợp) Giả sử A, B, C là các ma trận cỡ m × n, n × p và p × r tương ứng, khi đó: A(BC) = A(BC) ii) (Luật phân phối phải) Giả sử A là ma trận cỡ m × n, B, C là các ma trận cỡ n × p, khi đó ta có A(B + C) = AB + AC, tương tự ta cũng có luật phân phối bên trái. iii) Giả sử A là ma trận cỡ m × n, B là ma trận cỡ n × p và c ∈ K, khi đó c(AB) = (cA)B = A(cB). Dễ thấy phép nhân ma trận nói chung không giao hoán. Từ các tính chất trên có thể thấy tập các ma trận vuông cấp n với phép cộng và nhân ma trận lập thành một vành. Ví dụ 23. Một công ty Z có ba cửa hàng I, II, III cùng bán 4 loại mặt hàng: Tivi, điều hòa, tủ lạnh, lò vi sóng với giá bán (triệu đồng/chiếc) lần lượt cho bởi ma trận cột A, lượng hàng bán được trong ngày của các cửa hàng lần lượt được cho bởi các hàng của ma trận B   5       2 1 0 3  9    A =   ,B =  1 2 1 2   8  3 2 0 1 3 khi đó tích     5     2 1 0 3   28    9    BA =  1 2 1 2    =  37   8  3 2 0 1 36 3 cho số tiền các cửa hàng I, II, III bán được trong ngày. 32
1.2.2 Phép chuyển vị, ma trận khả nghịch, vài loại ma trận thường gặp a) Ma trận chuyển vị: Giả sử A = (aij)m×n ∈ Mm×n(K). Chuyển vị của ma trận A ký hiệu là AT thu được bằng cách viết lại các hàng thành các cột:     a11 ··· a1n a11 ··· am1  . . .   . . .  A =  . . .  ,AT =  . . .  am1 ··· amn a1n ··· amn T T T Mệnh đề 1.2.4. i) (A + B) = A + B , ∀A, B ∈ Mm×n(K) T T ii) (cA) = cA , ∀A ∈ Mm×n(K), c ∈ K T T T iii) (AB) = B A , ∀A ∈ Mm×n(K),B ∈ Mn×p(K) T T iv) (A ) = A, ∀A ∈ Mm×n(K). Dễ dàng chứng minh các mệnh đề này từ định nghĩa của phép chuyển vị. b) Ma trận khả nghịch (không suy biến): Giả sử A = (aij)n×n ∈ Mn(K), E là ma trận đơn vị cấp n. Nếu tồn tại ma trận B ∈ Mn(K) sao cho AB = BA = E thì ma trận A gọi là khả nghịch. Ma trận B xác định như trên là duy nhất vì nếu tồn tại Bi ∈ Mn(K) sao cho AB1 = B1A = E thì B = BE = B(AB1) = (BA)B1 = EB1 = B1 Ma trận B được gọi là ma trận nghịch đảo của A và ký hiệu là A−1. Ký hiệu GLn(K) là tập các ma trận vuông cấp n khả nghịch, dễ dàng kiểm tra tập này với phép nhân ma trận lập thành một nhóm và gọi là nhóm tuyến tính tổng quát cấp n. c) Vài loại ma trận: Giả sử A ∈ Mn(K). i) Ma trận đối xứng và phản đối xứng: Ma trận A gọi là đối xứng nếu AT = A và phản đối xứng nếu AT = −A. ii) Ma trận tam giác trên (dưới): Ma trận A gọi là tam giác trên (dưới) nếu các phần tử phía dưới (phía trên) đường chéo chính bằng 0. Viết theo ký hiệu toán học, ma trận tam giác trên là ma trận A = (aij)n×n : aij = 0, ∀i > j Đặc biệt nếu các phần tử ngoài đường chéo chính đều bằng 0 thì ta có ma trận đường chéo, ma trận E là trường hợp đặc biệt của loại này. iii) Ma trận trực giao: Ma trận A gọi là trực giao nếu A−1 = AT . 33
Chú ý 3. Bằng cách chia ma trận thành các khối thích hợp, ta có thể lập một ma trận gồm các khối, trên đó ta cũng có thể trang bị các phép toán cộng và nhân như các ma trận bình thường. Ma trận kiểu như vậy gọi là ma trận khối. Khi xét hai ma trận cùng cỡ, đôi lúc chúng ta quan tâm tới các tính chất "tương tự" giữa chúng. d) Ma trận tương đương, ma trận đồng dạng: i) Ma trận tương đương: Hai ma trận A, B ∈ Mm×n(K) gọi là tương đương, viết là A ∼ B nếu tồn tại các ma trận vuông P ∈ Mm(K) và Q ∈ Mn(K) khả nghịch để B = P AQ. Dễ thấy quan hệ này thỏa mãn định nghĩa về quan hệ tương đương nói ở phần trên. ii) Ma trận đồng dạng: Hai ma trận vuông A, B ∈ Mn(K) gọi là đồng dạng, viết là A ∼ B nếu tồn tại ma trận vuông P ∈ Mn(K) khả nghịch để B = P −1AP . Dễ thấy quan hệ đồng dạng cũng là quan hệ tương đương nhưng mạnh hơn quan hệ tương đương. 1.3 Định thức 1.3.1 Nghịch thế: Xét tập hợp gồm n phần tử {1, 2, , n}, tập này có n! hoán vị. Giả sử (j1, j2, , jn) là hoán vị của n phần tử, jk ∈ {1, 2, , n}, k = 1; n. Ta nói (jk, js) là một nghịch thế trong hoán vị nếu jk > js. Số các nghịch thế trong hoán vị (j1, j2, , jn) ký hiệu là N(j1, j2, , jn) = N. Hoán vị là chẵn (lẻ) nếu số nghịch thế là chẵn (lẻ). Bổ đề 1.3.1. Đổi chỗ hai vị trí bất kỳ trong hoán vị thì tính chẵn lẻ của hoán vị thay đổi. Chứng minh: Ta xét hai trường hợp: Đổi chỗ hai vị trí liền nhau và đổi chỗ hai vị trí bất kỳ. i) Đổi chỗ hai vị trí jk, jk+1: Hiển nhiên tính chẵn lẻ của hoán vị thay đổi vì N(j1, j2, , jk−1, jk, jk+1, , jn) = N(j1, j2, , jk−1, jk+1, jk, jk+2, , jn) ± 1 ii) Đổi chỗ hai vị trí bất kỳ js, jk trong hoán vị (j1, j2, , js, , jk, , jn), ở đó s < k. Giữa jk và js có k − s − 1 vị trí. Đầu tiên ta đổi chỗ liên tiếp 34
k − s − 1 vị trí của jk cho các phần tử ngay trước nó để được hoán vị (j1, j2, , js, jk, js+1, , jk−1, jk+1, , jn) sau đó đổi chỗ k − s lần vị trí của js với các phần tử ngay sau nó để được (j1, j2, , js−1, jk, js+1, , jk−1, js, jk+1, , jn) như vậy có tất cả k − s − 1 + k − s = 2(k − s) + 1 lần đổi chỗ các vị trí liền nhau, vì 2(k − s) + 1 là một số lẻ nên tính chẵn lẻ của hoán vị thay đổi. I 1.3.2 Định thức: Định nghĩa 22. Giả sử có ma trận vuông A ∈ Mn(K). Định thức của ma trận A, ký hiệu là det(A) (hay |A|), là ảnh của A qua ánh xạ det : Mn(K) → K xác định như sau: ∑ − N(j1,j2, ,jn) det A = ( 1) a1j1 a2j2 anjn (j1,j2, ,jn) trong đó tổng được lấy theo n! hoán vị của tập {1, 2, , n} Chú ý 4. Vì có n! hoán vị nên sẽ có một nửa các hoán vị là chẵn, một nửa lẻ, do đó trong tổng sẽ có một nửa các số hạng mang dấu + và một nửa mang dấu −. Mỗi số hạng trong tổng là tích các phần tử nằm khác hàng khác cột nhau. Một ma trận vuông gọi là không suy biến nếu định thức của nó khác 0, ngược lại gọi là suy biến. Hệ quả sau đây thu được trực tiếp từ định nghĩa định thức: Hệ quả 1.3.1. i) Nếu một hàng (cột) của định thức gồm toàn các phần tử bằng 0 thì định thức bằng 0. ii) Với ma trận A bất kỳ và hằng số α ∈ K thì a11 ··· a1n a11 ··· a1n ········· ········· αak1 ··· αakn = α ak1 ··· akn ········· ········· an1 ··· ann an1 ··· ann 35
Từ đây ta dễ dàng có được det(αA) = αn det(A). iii) Định thức ma trận tam giác (trên hoặc dưới) bằng tích các phần tử trên đường chéo chính. Ví dụ 24. Định thức ma trận cấp 1: A = (a11) thì det(A) = a11 Ví dụ 25. Định thức ma trận cấp 2: ( ) a11 a12 N(1,2) N(2,1) det = (−1) a11a22 + (−1) a12a21 = a11a22 − a12a21 a21 a22 Tương tự ta có thể tính định thức cấp ba. Ví dụ 26. Giả sử ta có ma trận vuông cấp 3   a a a  11 12 13  A =  a21 a22 a23  a31 a32 a33 khi đó det A = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a31 Có thể khái quát cách tính định thức của ma trận vuông cấp 3 bởi sơ đồ như Hình 1.11. Hình 1.11: Sơ đồ tính định thức cấp 3 1.3.3 Tính chất của định thức: Mệnh đề 1.3.1. Đổi chỗ 2 hàng của định thức làm định thức đổi dấu. Chứng minh: Giả sử có hai ma trận vuông cấp n : A = (aij)n×n và B = (bij)n×n, trong đó ma trận B nhận được từ A bằng cách đổi hàng thứ k cho hàng thứ s (giả thiết k < s), tức là { bij = aij, i ≠ k, i ≠ s bsj = akj , bkj = asj 36
hay       a ··· a b ··· b a ··· a  11 1n   11 1n   11 1n   ·········   ·········   ·········               ak1 ··· akn   bk1 ··· bkn   as1 ··· asn         ·········   ·········   ·········  A =   ,B =   =          as1 ··· asn   bs1 ··· bsn   ak1 ··· akn         ·········   ·········   ·········  an1 ··· ann bn1 ··· bnn an1 ··· ann Ta có ∑ − N(j1, jk, js, ,jn) det(B) = ( 1) b1j1 b2j2 bkjk bsjs bnjn (j1, ,jn) hay là ∑ − N(j1, jk, js, ,jn) det(B) = ( 1) a1j1 a2j2 asjs akjk anjn (j1, ,jn) Đổi chỗ asjs và akjk , sắp xếp theo đúng thứ tự tăng dần của chỉ số hàng, nhưng khi đó đồng thời phải thay đổi hoán vị js và jk, tức là ∑ − N(j1, ,js, ,jk, ,jn) det (B) = ( 1) a1j1 a2j2 akjk asjs anjn (j1, ,jn) mặt khác ∑ − N(j1, jk, js, ,jn) det(A) = ( 1) a1j1 a2j2 akjk asjs anjn (j1, ,jn) So sánh giữa det(A) và det(B), rõ ràng các phần tử giống nhau chỉ sai khác nhau 2(s − k) + 1 nghịch thế nên dấu chúng ngược nhau. I Hệ quả 1.3.2. Định thức có hai hàng bằng nhau (hoặc tỉ lệ nhau) thì định thức bằng 0. Mệnh đề 1.3.2. Đối với một ma trận vuông A bất kỳ thì a11 ··· a1n a11 ··· a1n a11 ··· a1n ········· ········· ········· αak1 + βbk1 ··· αakn + βbkn = αak1 ··· αakn + βbk1 ··· βbkn ········· ········· ········· an1 ··· ann an1 ··· ann an1 ··· ann Tính chất này cũng đúng cho cột. 37
Dễ dàng chứng minh tính chất này từ định nghĩa định thức. Hệ quả 1.3.3. Lấy một hàng của định thức nhân với một số α ≠ 0 rồi cộng vào một hàng (cột) khác thì định thức không đổi. Mệnh đề 1.3.3. Đối với một ma trận vuông A bất kỳ thì det(AT ) = det(A) T Chứng minh: Giả sử A = (aij)n×n, như vậy B = A = (bij)n×n = (aji)n×n. Theo định nghĩa ∑ T − N(j1, ,jn) det(B) = det(A ) = ( 1) b1j1 bnjn (j1, ,jn) hay là ∑ T − N(j1, ,jn) det(A ) = ( 1) aj11 ajnn (j1, ,jn) Các số hạng trong hai biểu thức như nhau (n! số hạng), rõ ràng (jk, js), (k < s) là nghịch thế khi và chỉ khi (s, k) tạo thành nghịch thế nên ta sắp xếp lại tích aj11 ajnn tăng dần theo chỉ số thứ nhất a1θ1 anθn mà N(θ1, , θn) = N(j1, , jn). Khi đó − N(j1, ,jn) − N(θ1, ,θn) ( 1) aj11 ajnn = ( 1) a1θ1 anθn hay det(AT ) = det(A). I Từ mệnh đề trên ta nhận thấy rằng tất cả các tính chất của định thức đúng với hàng thì cũng đúng với cột. Chú ý 5. Các phép biến đổi dạng: 1) Nhân một hàng (cột) của định thức với hằng số khác không, 2) Nhân một hàng (cột) của định thức với hằng số khác không rồi cộng vào hàng (cột khác) 3) Đổi chỗ hai hàng (cột) gọi là các phép biến đổi sơ cấp. Có thể sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức bằng định nghĩa của ma trận dạng tam giác. Ví dụ 27. Biến đổi sơ cấp hàng tính định thức 1 0 1 1 0 1 0 1 = −1 1 1 1 1 1 1 0 1 38
1.3.4 Cách tính định thức: j − Ký hiệu Ai là ma trận vuông cấp n 1 nhận được từ ma trận( )A = (aij)n×n cấp n bằng cách bỏ đi hàng i cột j, đặt A = (−1)i+j det Aj gọi là phần ij ( )i j phụ đại số (còn gọi là cofactor) của aij, định thức con det Ai gọi là minor ứng với aij. ∑n Định lý 1.3.1. i) det(A) = aikAik, ∀i = 1; n k=1 ∑n ii) aikAjk = 0, ∀i ≠ j k=1 Định lý trên cho phép tính định thức bằng cách khai triển theo hàng i bất kỳ. Trong trường hợp tổng quát ta có định lý sau đây mang tên nhà toán học Laplace. Trước hết, ký hiệu Aj1j2 jk là ma trận nhận được bằng i1i2 ik cách gạch bỏ các hàng có thứ tự i1, i2, , ik và các cột j1, j2, , jk. Còn ma trận Aj1j2 jk là ma trận mà các phần tử của nó nằm trên giao của các hàng i1i2 ik ( ) i , i , , i và các cột j , j , , j . Khi đó (−1)i1+ +ik+j1+ +jk det Aj1j2 jk 1 2 k 1 2 k i1i2 ik gọi là phần phụ đại số của Aj1j2 jk . i1i2 ik Định lý 1.3.2. (Laplace) ∑ ( ) ( ) det(A) = (−1)i1+ +ik+j1+ +jk det Aj1j2 jk det Aj1j2 jk i1i2 ik i1i2 ik 1≤j1< <jk≤n ở đó tổng được lấy theo tất cả các (j1, , jk) sao cho 1 ≤ j1 < < jk ≤ n. Cả hai định lý trên được chứng minh trong [3]. Ví dụ 28. Tính định thức của   1 2 3   A =  −2 1 3  4 2 1 Khai triển theo hàng 1 và 2, ta có 1 2 1 3 1 3 |A12| = , |A13| = , |A23| = 12 −1 1 12 −2 3 12 −2 3 như vậy − 1+2+1+2 | 12| − 1+2+1+3 | 13| − 1+2+2+3 | 23| − det(A) = ( 1) .1. A12 +( 1) .2. A12 +( 1) .4. A12 = 1 Hệ quả 1.3.4. det(AB) = det(A) det(B) 39
1.3.5 Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo Định lý 1.3.3. Giả sử A ∈ Mn(K). A khả nghịch khi và chỉ khi det(A) ≠ 0. Chứng minh: Điều kiện cần: Giả sử A khả nghịch, khi đó tồn tại ma trận B ∈ Mn(K) sao cho AB = BA = E. Từ đây det(AB) = 1 hay det(A) det(B) = 1, do đó det(A) ≠ 0. Điều kiện đủ: Giả sử det(A) = d ≠ 0. Xét   A11 ··· An1 d d  . . .  B =  . . .  A1n ··· Ann d d ở đó Aik là các phần phụ đại số của aik trong ma trận A. Khi đó tích AB = (cij)n×n, ở đó { { 1 ∑n 1 det(A), i = j 1, i = j c = a A = = ij d ik jk d ̸ ̸ k=1 0, i = j 0, i = j tức là AB = E hay A khả nghịch. I −1 1 T T Chú ý 6. Từ chứng minh trên suy ra rằng A = dA , trong đó A là ma trận các phần phụ đại số của A. Và cũng dễ dàng nhận được det(A−1) = 1 det(A). Có thể chứng minh được các tính chất sau đây của ma trận khả nghịch: Mệnh đề 1.3.4. i) Nếu A, B là các ma trận vuông cấp n khả nghịch thì (AB)−1 = B−1A−1. ii) Nếu A là ma trận khả nghịch thì (A−1)−1 = A. Mệnh đề 1.3.5. (Đọc thêm) i) Nếu A ∈ Mn(K) là ma trận không suy biến và c, d là các ma trận cỡ n×1 (ma trận cột) sao cho 1 + dT A−1c ≠ 0 thì tổng A + cdT không suy biến và −1 T −1 ( )−1 A cd A A + cdT = A−1 − 1 + dT A−1c ii) Tổng quát ta có Công thức Sherman-Morrison, nếu C, D là các ma trận cỡ n × k sao cho (1 + DT A−1C)−1 tồn tại thì ( )−1 ( )−1 A + CDT = A−1 − A−1C E + DT A−1C DT A−1 40
Giả sử A = (aij)n×n ∈ Mn(K), ma trận (A − λE) gọi là ma trận đặc trưng của A còn det(A − λE) là một đa thức bậc n của λ trên K gọi là đa thức đặc trưng: n n n−1 n−1 Pn(λ) = (−1) λ + (−1) αn−1λ + − α1λ + α0 ∑n Không khó để thấy α0 = det(A) còn αn−1 = aii gọi là vết của ma trận A i=1 ký hiệu là T race(A). Định lý 1.3.4. (Định lý Hamilton-Cayley) Mọi ma trận vuông A đều là nghiệm của đa thức đặc trưng của nó, tức là Pn(A) = O. Chứng minh của định lý có thể tìm thấy trong [3], [12] (Đọc thêm). 1.4 Hạng của ma trận 1.4.1 Hạng của ma trận Giả sử ma trận A ∈ Mm×n(K). Định nghĩa 23. Nếu tồn tại số r sao cho 0 ≤ r ≤ min{m, n} mà i) Tồn tại định thức con cấp r ≠ 0 (định thức của ma trận lập từ các phần tử nằm trên giao của r hàng r cột nào đó của A) ii) Mọi định thức con cấp r + 1 (nếu có) bằng 0, số r (duy nhất!) như thế gọi là hạng của ma trận A và ký hiệu là rank(A). Chú ý 7. Rõ ràng r = 0 khi và chỉ khi aij = 0, và tất nhiên r lớn nhất là bằng min{m, n}. Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của ma trận vì chúng không làm thay đổi tính chất bằng 0 hay khác 0 của định thức. Ví dụ 29. Trong lý thuyết điều khiển toán học, hệ phương trình vi phân x˙(t) = Ax(t) + Bu(t) mô tả một hệ thống điều khiển nào đó, ở đây x(t) = (x1(t), , xn(t)) ∈ Rn là vector trạng thái (x˙(t) là chỉ đạo hàm của vector x(t)), u(t) = m (u1(t), , um(t)) ∈ R gọi là vector điều khiển, A, B là các ma trận hằng cỡ n × n và n × m tương ứng (hệ tuyến tính dừng). Cặp trạng thái (x0, x1) 41
gọi là điều khiển được sau thời gian t1 > 0 nếu tồn tại điều khiển u(t) sao cho nghiệm x(t, x0, u) của hệ thỏa mãn 0 0 0 1 x(0, x , u) = x , x(t1, x , u) = x và gọi là điều khiển hoàn toàn nếu bất kỳ hai trạng thái x0, x1 sẽ tìm được 0 1 thời gian t1 > 0 sao cho cặp (x , x ) điều khiển được sau thời gian t1. Kalman chứng minh được rằng hệ điều khiển trên là điều khiển hoàn toàn khi và chỉ khi ( ) rank B, AB, , An−1B = n điều kiện này gọi là tiêu chuẩn hạng Kalman cho tính điều khiển được của hệ tuyến tính dừng. Ví dụ, xét tính điều khiển được của hệ { x˙ 1 = x2 + u x˙ 2 = x1 + 2x2 + 2u Ta có ( ) ( ) 0 1 1 A = ,B = 1 2 2 Dễ thấy rằng ( ) 1 2 rank (B, AB) = rank = 2 = n 2 5 nên hệ đã cho là điều khiển được hoàn toàn. Định nghĩa 24. Ma trận A ∈ Mm×n(K) gọi là hình thang nếu i) Các hàng khác 0 (tức là hàng ít nhất một phần tử khác 0 ) nằm trên các hàng bằng 0 ii) Với hai hàng khác 0 phần tử khác 0 đầu tiên của hàng dưới luôn nằm bên phải cột chứa phần tử khác 0 đầu tiên ở hàng trên. Ví dụ 30.     1 −1 3 2 5   1 2 3 4 5      0 0 2 3 5  A =  0 0 1 3 5  ,B =    0 0 0 0 1  0 0 0 2 4 0 0 0 0 0 Đối với một ma trận hình thang việc tìm hạng của ma trận rõ ràng đơn giản hơn (hạng chính là số hàng khác 0), ví dụ ở trên có thể thấy 42
rank(A) = 3, rank(B) = 3. Từ nhận xét phía trên ta có thể đưa ra cách tìm hạng ma trận bằng phép biến đổi sơ cấp. Trước hết ta nhắc lại các phép biến đổi sơ cấp (cho ma trận): a) Đổi chỗ hai hàng (cột) hi ↔ hj(ci ↔ cj). b) Nhân số α ≠ 0 với hàng (cột )i: αhi → hi(αci → ci). c) Nhân số α ≠ 0 với hàng (cột) i rồi cộng vào hàng (cột) j: αhi + hj → hj(αci + cj → cj). Như vậy ta có thể sử dụng các phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận về dạng hình thang rồi kết luận hạng của ma trận. Phương pháp này thường được gọi là phép khử Gauss. Ví dụ 31. Tìm hạng ma trận bằng biến đổi sơ cấp       1 2 1 1 −−−−−−−−−−→ 1 2 1 1 1 2 1 1   h1 − h2 → h2   −−−−→    1 1 2 1   0 1 1 0  c2 ↔ c3  0 1 0 1  h1 − h3 → h3 1 2 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 khi đó hạng ma trận bằng 3 (bước biến đổi sơ cấp cuối cùng thực ra không cần thiết). Không khó để chứng minh các tính chất sau của hạng ma trận. Mệnh đề 1.4.1. i)Giả sử tích AB xác định, khi đó rank(AB) ≤ min{rank(A), rank(B)} ii) Giả sử B là ma trận vuông và tích AB xác định. Nếu det(B) ≠ 0 thì rank(AB) = rank(A). 1.4.2 Tìm ma trận nghịch đảo bằng biến đổi sơ cấp Đối với ma trận vuông A bất kỳ, bằng phép biến đổi sơ cấp có thể đưa nó về ma trận dạng đường chéo. Bản chất của các phép biến đổi sơ cấp này là nhân ma trận A với một ma trận không suy biến. Ví dụ khi đổi chỗ hai hàng i và j của ma trận A thực chất là nhân bên trái ma trận A với C = (c ) × ở đó ij lh n n    cij = cji = 1 ̸ ̸  cii = cjj = 0, ckk = 1, k = i, k = j  clh = 0, l ≠ h, (l, h) ≠ (i, j), (l, h) ≠ (j, i) Dễ thấy det(Cij) = −1. Nếu đổi chỗ hai cột thì nhân ma trận này ở bên phải của A. 43
Phép biến đổi sơ cấp nhân hàng thứ i với λ ≠ 0 là nhân bên trái ma trận A với ma trận C = (c ) × ở đó ii lh n n    cii = λ ̸  ckk = 1, k = i  clh = 0, l ≠ h không khó để thấy det(Cii) = λ. Nếu nhân bên phải với ma trận này là nhân cột thứ i với λ. Tương tự phép biến đổi sơ cấp nhân hàng thứ i với λ rồi cộng vào hàng thứ j thực chất là nhân bên trái ma trận A với ma trận C = (c ) × ở đó  ij lh n n  ∀  ckk = 1, k  cji = λ  clh = 0, ∀l ≠ h, (l, h) ≠ (i, j) dễ thấy det(Cij) = 1. Nếu nhân bên phải với ma trận Cij này chính là nhân cột thứ j với λ rồi cộng vào cột thứ i. Đặc biệt, nếu A là ma trận khả nghịch thì chỉ bằng phép biến đổi sơ cấp hàng có thể đưa ma trận A về ma trận đơn vị E. Tức là tồn tại ma trận khả nghịch B sao cho BA = E, ở đó B là tích các ma trận có các dạng trên. Nhưng từ đó ta có ngay BE = A−1. Tức là các phép biến đổi sơ cấp hàng đưa A về E thì ngược lại đưa E thành A−1. Như vậy ta có thể sử dụng biến đổi sơ cấp hàng tìm ma trận nghịch đảo theo sơ đồ (thường được gọi là phép khử Gauss-Jordan) ( ) (A|E) → E|A−1 Tương tự chúng ta có thể sử dụng biến đổi sơ cấp cột tìm ma trận nghịch đảo theo sơ đồ sau ( ) ( ) A → E E A−1 Ví dụ 32.     −−−−−−−−−−−→ 1 2 1 1 0 0 1 2 1 1 0 0   −h + h → h   |   1 2 2  − −  (A E) = 1 1 2 0 1 0 0 1 1 1 1 0 −h1 + h3 → h3 1 2 0 0 0 1 0 0 −1 −1 0 1   −−−−−−−−−−→ 1 2 0 0 0 1 h + h → h   3 2 2  − −  0 1 0 2 1 1 h3 + h1 → h1 0 0 −1 −1 0 1 44
−−−−−−−−−−−→   2h2 + h1 → h1 1 0 0 −4 2 3   − →  − −  h2 h2 0 1 0 2 1 1 −h3 → h3 0 0 1 1 0 −1 từ đó ta có   −4 2 3 −   A 1 =  2 −1 −1  1 0 −1 1.4.3 Phân tích LU và LUP Ma trận càng đơn giản thì làm việc với nó càng dễ dàng. Ma trận tam giác dưới và trên là những ma trận đơn giản như vậy. Tiếp theo đây ta phân tích một ma trận khả nghịch A ∈ GLn(K) thành tích của hai ma trận tam giác dưới L và trên U, cả L, U đều khả nghịch. Người ta gọi phân tích đó là phân tích LU của A. Phân tích về các ma trận tam giác kiểu như vậy có ứng dụng lớn trong giải quyết các bài toán giải hệ phương trình cũng như tính định thức. Người ta chứng minh được mọi ma trận cấp n thỏa mãn phân tích LU khi và chỉ khi các định thức con chính khác 0, phân tích sẽ duy nhất nếu thêm điều kiện các phần tử trên đường chéo của ma trận L (hoặc U) bằng 1. Để tìm phân tích này ta làm như sau: Bước 1: Biến đổi sơ cấp hàng ma trận A thành ma trận tam giác trên U. Như đã biết, bản chất của quá trình này là nhân A với dãy ma trận không suy biến dạng tam giác dưới, giả sử dãy đó là C = C1C2 Ck, ta có U = C1C2 CkA = CA Bước 2: Do LU = A nên tìm được L bằng công thức −1 −1 −1 −1 L = Ck Ck−1 C1 = C Ví dụ 33. Phân tích LU ma trận   6 18 3   A =  2 12 1  4 15 3 45
Ta biến đổi sơ cấp A về U như sau     6 18 3 6 18 3   −   − A =  2 12 1  h1/ + h → h  0 6 0  2h1/ + h → h −−−−−−−−−−−→3 2 2 −−−−−−−−−−−−→3 3 3 4 15 3 4 15 3     6 18 3 6 18 3      0 6 0  −h2/ + h → h  0 6 0  = U −−−−−−−−−−−→2 3 3 0 3 1 0 0 1 Ma trận C là       1 0 0 1 0 0 1 0 0        −1      C = 3 1 0 0 1 0 0 1 0 −2 −1 0 0 1 3 0 1 0 2 1 Từ đó         1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0         −1      1   1  L = C = 0 1 0 0 1 0 3 1 0 = 3 1 0 1 2 2 1 0 2 1 3 0 1 0 0 1 3 2 1 Vậy     1 0 0 6 18 3      1    A = LU = 3 1 0 0 6 0 2 1 3 2 1 0 0 1 Tổng quát hơn với một ma trận vuông khả nghịch A ta có phân tích LUP , đó là phân tích dạng PA = LU ở đó L, U vẫn là các ma trận tam giác như trên, P là ma trận nhận được trong biến đổi sơ cấp hàng (ở đây là đổi chỗ các hàng, một số tài liệu gọi là ma trận hoán vị) của A. Ví dụ 34. Xét ma trận   0 1 2   A =  2 3 4  −1 −1 1 Đầu tiên ta đổi chỗ hàng đầu và hàng cuối của ma trận A cho nhau để được phần tử hàng đầu tiên, cột đầu tiên khác 0, tức là ta chọn ma trận P 46
với   0 0 1   P =  0 1 0  1 0 0 từ đó   −1 −1 2   PA =  2 3 4  0 1 2 Lập lại quy trình như trong ví dụ trên đối với ma trận PA ta có     1 0 0 1 0 0     C2 =  2 1 0  ,C1 =  0 1 0  0 0 1 0 −1 1 Và ta có phân tích PA = LU, ở đó     −1 −1 2 1 0 0     U =  0 1 8  ,L =  −2 1 0  0 0 −6 0 1 1 Một ma trận vuông A cấp n suy biến có rank(A) < n cũng có thể có phân tích LUP , tuy nhiên ta không xét ở đây. 1.5 Hệ phương trình tuyến tính 1.5.1 Các định nghĩa và ví dụ Định nghĩa 25. Ta gọi hệ phương trình tuyến tính tổng quát m phương trình, n ẩn trên trường K (m, n ∈ N) là hệ phương trình:    a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1  a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2  (1.1)   am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm trong đó aij, bi(i = 1; m, j = 1; n) cho trước trên K, xj là các ẩn cần tìm. n Định nghĩa 26. Nghiệm của hệ là bộ (λ1, , λn) ∈ K mà khi thay xj = λj(j = 1; n) ta được các đẳng thức trên K. Nếu hệ có nghiệm ta nói hệ tương thích, ngược lại ta nói hệ không tương thích. 47
Giải hệ phương trình là đi tìm tập hợp nghiệm của nó. Khi các số hạng ở vế phải bằng 0 ta gọi hệ là hệ phương trình thuần nhất. Đôi khi ta viết (1.1) gọn lại dưới dạng ∑n aijxj = bi, i = 1; m (1.2) j=1       a11 ··· a1n b1 x1  . . .   .   .  Nếu đặt A = (aij)m×n =  . . .  , b =  .  , x =  .  thì am1 ··· amn bm xn (1.1) có thể viết lại ở dạng Ax = b (1.3) và gọi là dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính. Ví dụ 35. Xét mạch điện mắc song song được cho trong Hình 1.12 Hình 1.12: Mạch điện song song Ta sẽ đi tính cường độ dòng điện qua mỗi điện trở. Theo định luật Kirchoff tổng các dòng chạy vào một nút bằng tổng các dòng chạy ra khỏi nút đó, mặt khác chú ý rằng cường độ dòng trên đoạn mạch mắc nối tiếp là như nhau. Giả sử các cường độ dòng điện được phân bố như trong Hình 1.13. theo định luật Ohm cho đoạn mạch mắc song song, hiệu điện thế đoạn Hình 1.13: Phân bố cường độ dòng điện mạch có điện trở bên trái bằng hiệu điện thế đoạn mạch mắc song song có ba điện trở còn lại và bằng 9V . Áp dụng luật Kirchoff ta có hệ sau đây để 48
xác định các cường độ dòng điện   − −  i0 i1 i2 = 0  i1 + i2 − i3 = 0   2i1 = 9  7i2 = 9 81 9 9 giải hệ này ta có ngay i0 = i3 = 14(A), i1 = 2(A), i2 = 7(A). 1.5.2 Hệ Cramer ̸ Khi m = n (1.1) được gọi là hệ Cramer nếu det(A) = 0. Ký hiệu Axj là ma trận A thay cột thứ j bởi cột hệ số tự do b. Định lý 1.5.1. (công thức Cramer) Hệ Cramer có nghiệm duy nhất được cho bởi công thức ( ) det A x = xj , j = 1; n j det(A) Chứng minh: Giả sử det(A) ≠ 0, hệ phương trình viết dưới dạng (1.5) là Ax = b. Vì det(A) ≠ 0 nên tồn tại ma trận A−1, nhân hai vế của hệ với A−1 ta được x = A−1b. Mặt khác ta có   A11 ··· An1 − 1 T 1  . . .  A 1 = A =  . . .  det(A) det(A) A1n ··· Ann trong đó A là ma trận các phần phụ đại số của ma trận A. Từ đây rút ra 1 1 ∑n x = (A b + A b + + A b ) = b A j det(A) 1j 1 2j 2 nj n det(A) k kj k=1 Xét định thức a11 a12 ··· a1j−1 b1 a1j+1 ··· a1 n ························ D = an1 an2 ··· anj−1 bn anj+1 ··· ann phân tích định thức này theo cột j ta có ngay ∑n ( ) D = bkAkj = det Axj k=1 49
từ đó ( ) det A x = xj , j = 1; n j det (A) ta có điều phải chứng minh. I Ví dụ 36. Xét hệ phương trình Ax = b, ở đó     1 −1 0 1     A =  0 1 2  , b =  2  2 0 3 3 Dễ thấy det(A) = −1, theo công thức Cramer     1 −1 0 1 1 0     det  2 1 2  det  0 2 2  3 0 3 2 3 3 x = = −3, x = = −4 1 det (A) 2 det (A)   1 −1 1   det  0 1 2  2 0 3 x = = 3 3 det (A) 1.5.3 Điều kiện cần và đủ để hệ tổng quát có nghiệm Xét hệ (1.1), ma trận A gắn thêm cột hệ số vào cột thứ n + 1 gọi là ma trận mở rộng của hệ   a11 ··· a1n b1 e  . . . .  A =  . . . .  am1 ··· amn bm Định lý 1.5.2. (Cronecker-Capelli) i) Hệ (1.1) có nghiệm khi và chỉ khi rank(A) = rank(Ae). ii) Nếu rank(A) = rank(Ae) = r thì hệ (1.1) tương đương với hệ r phương trình nằm trên r hàng có định thức con cấp r khác 0. Hệ quả 1.5.1. Hệ n phương trình tuyến tính thuần nhất n ẩn có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi định thức ma trận hệ bằng 0. Chứng minh định lý trên có thể xem trong [3]. Từ định lý này ta thấy nếu hệ (1.1) tương thích thì sẽ có r ẩn giải theo n − r ẩn còn lại, r ẩn đó 50
gọi là các ẩn phụ thuộc, n − r ẩn còn lại gọi là tự do. Nhờ phép khử Gauss ta đưa ra các bước giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát như sau: Bước 1: Viết ma trận mở rộng của hệ Ae = (A|b), sử dụng các biến đổi sơ cấp hàng đưa ma trận này về dạng hình thang (chú ý rằng có thể sử dụng đổi vị trí các cột nhưng phải đánh số lại các ẩn). Bước 2: Kiểm tra điều kiện rank(A) = rank(Ae) = r, nếu không thỏa mãn thì kết luận hệ vô nghiệm, bài toán dừng lại. Nếu điều kiện này thỏa mãn hệ có r ẩn phụ thuộc vào n − r ẩn tử do. Bước 3: Kết luận nghiệm (giải r ẩn theo n − r ẩn tự do hoặc vô nghiệm). Ví dụ 37. Xét hệ dạng (1.3) trong đó     1 2 −1 3 0 1          −1 −2 2 −2 −1   1  A =   ; b =    1 2 0 4 0   6  0 0 2 2 −1 7 Khi đó ma trận mở rộng của hệ là   1 2 −1 3 0 1     e  −1 −2 2 −2 −1 1  A =    1 2 0 4 0 6  0 0 2 2 −1 7 Sử dụng biến đổi sơ cấp hàng đưa ma trận về dạng   1 2 −1 3 0 1      0 0 1 1 −1 2  A =    0 0 0 0 1 3  0 0 0 0 0 0 Dễ thấy điều kiện hạng thỏa mãn (r = 3) số ẩn tự do là 2, ở đây là 2 ẩn x2, x4, ta chọn x2 = s, x4 = t thì nghiệm hệ có thể viết dưới dạng         x 6 −2 −4  1                 x2   0   1   0          x =  x3  =  5  + s  0  + t  −1           x4   0   0   1  x5 3 0 0 51
Nếu cho các ẩn tự do nhận các giá trị cụ thể (ví dụ bằng 0) ta thu được một nghiệm riêng của hệ. Về cấu trúc nghiệm của hệ tổng quát ta sẽ nghiên cứu kỹ hơn trong chương sau. Tuy nhiên từ ví dụ trên có thể thấy nếu cho cột hệ số tự do toàn bộ là 0 thì quá trình giải ta thu được nghiệm tổng quát hệ thuần nhất. Và không khó để rút ra nhận xét rằng, nghiệm tổng quát của hệ không thuần nhất bằng nghiệm tổng quát hệ thuần nhất cộng với một nghiệm riêng của hệ không thuần nhất. 1.6 Thực hành tính toán trên Maple Maple là phần mềm toán học phổ biến với giao diện và cấu trúc lệnh dễ sử dụng cho mọi đối tượng, nó cung cấp đầy đủ các công cụ để tính toán số cho nhiều chuyên ngành trong đó có đại số tuyến tính. Ở đây chúng tôi cung cấp một số lệnh cơ bản trong tính toán thực hành với các ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính (người học có thể tìm hiểu thêm qua các tài liệu hướng dẫn sử dụng và mục HELP trên trình duyệt). Hiện tại phiên bản mới nhất là Maple 17, tuy nhiên có thể cài các phiên bản trước đó để sử dụng vì không có nhiều thay đổi về cấu trúc lệnh. 1.6.1 Các phép toán và ký hiệu đặc biệt i) Các phép toán cộng trừ nhân chia: +, −, ∗,/, lũy thừa dùng dấu mũ. ii) Các hàm sơ cấp: sin(x), cos(x), tan(x), cotan(x), exp(x), ln(x), log[a](x), abs(x), max(x1, x2, ), min(x1, x2, ), sqrt(x), GAMMA(x), Beta(x, y) iii) Các hằng số: P i, I, infinity, true iv) Lệnh gán: A := biểu thức. 1.6.2 Tính toán với các biểu thức đại số Thông thường ta khởi động công việc bằng lệnh restart; - Khai triển biểu thức đại số: Dùng lệnh expand (biểu thức); - Phân tích đa thức thành nhân tử: Dùng lệnh factor (biểu thức); - Đơn giản biểu thức đại số: Dùng lệnh simplify (biểu thức); - Tối giản phân thức: Lệnh normal (phân thức); - Giải (bất) phương trình và hệ (bất) phương trình: Các lệnh solve(phương trình, {danh sách biến}); 52
solve({phương trình 1, phương trình 2, } , {danh sách biến}); Ví dụ 38. > factor(x4 − 10 ∗ x3 + 35 ∗ x2 − 50 ∗ x + 24); (x − 1) ∗ (x − 2) ∗ (x − 3) ∗ (x − 4) > bt := cos(x)5 + sin(x)4 + 2 ∗ cos(x)2 − 2 ∗ sin(x)2 − cos(2 ∗ x); cos(x)5 + sin(x)4 + 2 ∗ cos(x)2 − 2 ∗ sin(x)2 − cos(2 ∗ x) > simplify(bt); cos(x)4 ∗ (cos(x) + 1) > sys := {2 ∗ x + 5 ∗ y − 4 ∗ z = 9, 3 ∗ x + 5 ∗ y + 2 ∗ z = 12, 4 ∗ x − y+ 5 ∗ z = −3}; {2 ∗ x + 5 ∗ y − 4 ∗ z = 9, 3 ∗ x + 5 ∗ y + 2 ∗ z = 12, 4 ∗ x − y + 5 ∗ z = −3} > solve(sys, {x, y, z}); { } 33 99 24 x = − , y = , z = 37 37 37 1.6.3 Tính toán trên ma trận Để thực hiện tính toán trên ma trận ta sử dụng gói lệnh linalg. - Khai báo ma trận: có hai cách khai báo Cách 1: A:=matrix(m, n, [dãy (hàng) phần tử]); Cách 2: A:= array([[hàng 1],[hàng 2],. . . ,[hàng n]]); - Khai báo vector (dù máy tính cho dạng hàng nhưng ta ngầm hiểu là dạng cột): v:=vector([dãy (hàng phần tử)]); - Phép cộng và nhân ma trận với lệnh evalm, ngoài ra có thể dùng lệnh multiply để nhân ma trận. - Tính định thức với lệnh det - Ma trận chuyển vị lệnh transpose - Ma trận khả nghịch dùng lệnh inverse - So sánh hai ma trận A, B có bằng nhau không (giá trị logic là true hoặc false) lệnh equal(A, B) - Tính vết ma trận bằng lệnh trace 53
- Đưa ma trận A về dạng hình thang bằng biến đổi dòng (dạng Gauss- Jordan) bởi lệnh gaussjord(A); muốn biết thêm thông tin về hạng của ma trận dùng lệnh gaussjord(A,’r’); và để gọi hạng ma trận ra ta đánh lệnh r; - Đưa ma trận vuông A về dạng tam giác trên bằng biến đổi dòng bởi lệnh gausselim(A); muốn biết thêm thông tin về hạng của ma trận và định thức của A dùng lệnh gausselim(A,’r’,’d’); và để gọi hạng ma trận cùng định thức ra ta đánh thêm các lệnh r; d; - Giải phương trình ma trận Ax = b dùng lệnh linsolve (A, b); nếu máy không trả lời tức là hệ vô nghiệm. Ví dụ 39. > with(linalg); BlockDiagonal, GramSchmidt, JordanBlock, LUdecomp, QRdecomp, Wronskian, addcol, addrow, adj, adjoint, angle, augment, backsub, band, ba- sis, bezout, blockmatrix, charmat, charpoly, cholesky, col, coldim, colspace, colspan, companion, concat, cond, copyinto, crossprod, curl, definite, del- cols, delrows, det, diag, diverge, dotprod, eigenvals, eigenvalues, eigenvec- tors, eigenvects, entermatrix, equal, exponential, extend, ffgausselim, fi- bonacci, forwardsub, frobenius, gausselim, gaussjord, geneqns, genmatrix, grad, hadamard, hermite, hessian, hilbert, htranspose, ihermite, indexfunc, innerprod, intbasis, inverse, ismith, issimilar, iszero, jacobian, jordan, ker- nel, laplacian, leastsqrs, linsolve, matadd, matrix, minor, minpoly, mulcol, mulrow, multiply, norm, normalize, nullspace, orthog, permanent, pivot, potential, randmatrix, randvector, rank, ratform, row, rowdim, rowspace, rowspan, rref, scalarmul, singularvals, smith, stackmatrix, submatrix, sub- vector, sumbasis, swapcol, swaprow, sylvester, toeplitz, trace, transpose, van- dermonde, vecpotent, vectdim, vector, wronskian > A := array([[1, 2, 3], [1, 1, 2], [1, 1, 1]]);   1 2 3    1 1 2  1 1 1 > B := array([[3, 5, 4], [2, 3, 3], [2, 2, 2]]);   3 5 4    2 3 3  2 2 2 54
> evalm(A + B);   4 7 7    3 4 5  3 3 3 ∗ > evalm(A& B);   13 17 16    9 12 11  7 10 9 > multiply(A, B);   13 17 16    9 12 11  7 10 9 > det(A); 1 > inverse(A);   −1 1 1    1 −2 1  0 1 −1 > M := array([[1, 2, 3, 4], [2, 3, 5, 6], [−1, 3, 1, 4]]);   1 2 3 4    2 3 5 6  −1 3 1 4 ′ ′ > gaussjord(M, r )   1 0 0 −2    0 1 0 0  0 0 1 2 > r; 3 > gausselim(B,′ r′,′ d′)   3 5 4    −1 1  0 3 3 0 0 −2 55
> r; 3 > d; 2 > b := array([1, 2, 3]); b := [1 2 3] > linsolve(A, b); [4 0 − 1] Chú ý rằng nếu đánh ∗ mà máy báo lỗi thì đánh lại là &∗. Ngoài ra chúng ta có thể dùng gói lệnh LinearAlgebra với các cú pháp lệnh khá gần với cách viết thông thường được sử dụng trong các sách giáo khoa về đại số tuyến tính hiện nay. 56
Chương 2 Không gian vector và ánh xạ tuyến tính 2.1 Không gian vector và không gian vector con 2.1.1 Định nghĩa Giả sử K là một trường, V là tập khác rỗng, các phần tử của V gọi là vector và ký hiệu bởi a, b, , các phần tử của K gọi là vô hướng (scalar) ký hiệu bởi λ, θ, Trên V trang bị hai phép toán - Phép cộng: + : V × V → V (a, b) 7→ a + b - Phép nhân ngoài: · : K × V → V (λ, a) 7→ λa Ta nói V với hai phép toán trên lập thành một không gian vector (hay không gian tuyến tính) trên K (viết tắt là K - không gian vector) nếu tám tiên đề sau thỏa mãn: i) Với mọi vector a, b, c ∈ V ta có (a + b) + c = a + (b + c) ii) Tồn tại vector 0 ∈ V sao cho a + 0 = 0 + a = a, ∀a ∈ V iii) Với mọi vector a ∈ V tồn tại vector −a để a + (−a) = (−a) + a = 0 iv) Với mọi vector a, b ∈ V thì a + b = b + a v) Với mọi vô hướng λ, η ∈ K, vector a ∈ V đều có: (λ + η)a = λa + ηa vi) Với mọi vô hướng λ ∈ K, vector a, b ∈ V đều có: λ(a + b) = λa + λb vii) Với mọi vô hướng λ, η ∈ K, vector a ∈ V thì (λη)a = λ(ηa) viii) Với mọi vector a ∈ V thì 1a = a, ở đó 1 là đơn vị trường K. 57
Không khó để thấy bốn tiên đề đầu nói rằng V là một nhóm Abel với phép toán cộng vector, hai tiên đề tiếp theo nói rằng phép nhân vô hướng có tính chất phân phối với phép cộng vô hướng, phân phối với phép cộng vector, hai tiên đề cuối là tính kết hợp của phép nhân vô hướng và nhân vô hướng với đơn vị trường K. Nếu không có gì hiểu lầm ta hiểu ký hiệu 0 vừa là vector, vừa là ký hiệu vô hướng 0 ∈ K. Ví dụ 40. Trường K trên chính nó cũng là một không gian vector, khi đó mỗi phần tử vừa coi là vector vừa coi là vô hướng. n Ví dụ 41. Không gian K = {x = (x1, , xn): xi ∈ K} với các phép n toán định nghĩa như sau. Với mọi x, y ∈ K , x = (x1, , xn), y = (y1, , yn) và λ ∈ K thì: x + y = (x1 + y1, , xn + yn) λx = (λx1, , λxn) Dễ dàng kiểm tra Kn là K - không gian vector. Với K = R, và n = 2 (hoặc n = 3), chúng ta có liên hệ hình học trên mặt phẳng (hoặc không gian) đã được làm quen ở bậc học phổ thông. Ví dụ 42. Giả sử D ⊂ K là một tập nào đó. Xét tập hợp tất cả các hàm số nhận giá trị trong K là F (D) = {f : D → K} với phép toán cộng ánh xạ và nhân vô hướng xác định như sau: (f + g)(x) = f (x) + g (x) (λf)(x) = λf (x) Khi đó có thể thấy F (D) là K - không gian vector. Ví dụ 43. Xét hệ phương trình thuần nhất Ax = 0 T n ở đó A = (aij)m×n ∈ Mm×n(K) và x = (x1, , xn) ∈ K . Tập tất cả các nghiệm của hệ này lập thành một không gian vector, gọi là không gian nghiệm hệ thuần nhất. Ví dụ 44. Xét phương trình vi phân sau y′′ + ay′ + by = 0 trong đó a, b là các hằng số thực, phương trình này được gọi là phương trinh thuần nhất cấp hai. Lý thuyết phương trình vi phân chỉ ra rằng tập 58
hai nghiệm bất kỳ (hai hàm khả vi thỏa mãn phương trình) tạo thành một không gian vector. Khẳng định sau đây dễ dàng suy ra từ định nghĩa Mệnh đề 2.1.1. Trong không gian vector V , với mọi a, b, c ∈ V , λ ∈ K thì 1) Vector 0 và vector đối −a là duy nhất 2) Phương trình ẩn vector x + a = b có duy nhất nghiệm x = b − a 3) Nếu a + c = b + c thì có thể giản ước được, tức là khi đó có a = b 4) 0a = 0 = λ0, ở đây 0 là vô hướng trong phép nhân đầu tiên, là vector trong phép nhân thứ hai. 5) λa = 0 khi và chỉ khi hoặc λ = 0 hoặc a = 0 6) −(λa) = (−λ)a Định nghĩa 27. Giả sử V là K - không gian vector. Tập hợp W ⊆ V gọi là một không gian vector con của V nếu đối với phép toán cộng vector và nhân vô hướng cảm sinh trên W thì W cũng là không gian vector. Nói cách khác W đóng với phép cộng vector và nhân vô hướng, hay là a + b ∈ W, ∀a, b ∈ W λa ∈ W, ∀λ ∈ K, ∀a ∈ W cũng có thể viết ngắn gọn lại là λa + ηb ∈ W, ∀λ, η ∈ K, ∀a, b ∈ W Trong thực hành để xem một tập hợp con của V có là không gian con ta thường kiểm tra điều kiện cuối cùng này. Giả sử a1, , am là các vector của K - không gian vector V nào đó. Một ∑m tổ hợp tuyến tính của m vector này là vector λiai ∈ V , ở đó λi là các i=1 phần tử nào đó của trường K. Tập các tổ hợp tuyến tính của m vector này gọi là bao tuyến tính của chúng ký hiệu là span{a1, , am}, như vậy { } ∑m span {a1, , an} = a : a = λiai, λi ∈ K ⊆ V i=1 Ví dụ 45. Dễ dàng kiểm tra được các không gian con sau đây i) V và {0} (không gian chỉ có vector 0) là các không gian con tầm thường của V . 59
n ii)W = {x = (x1, 0, , 0) : x1 ∈ K} là không gian con của K . iii) Giả sử a1, , am là các vector của K - không gian vector V , khi đó span {a1, , am} là không gian vector con của V và gọi là không gian con sinh bởi a1, , am, đôi khi còn viết là ⟨a1, , am⟩. iv) Ký hiệu Pn[x] là tập các đa thức một biến x bậc không quá n trên trường K. Khi đó Pn[x] là không gian vector con của K[x] với phép toán cộng đa thức và phép nhân đa thức với phần tử trường K. v) Giả sử D = (a, b) ⊂ K, ký hiệu C(a, b) là tập tất cả các hàm liên tục trên (a, b), khi đó C(a, b) là không gian vector con của không gian F (a, b). Ký hiệu C1(a, b) là tập các hàm khả vi liên lục trên (a, b) (tập các hàm số khả vi và đạo hàm của chúng liên tục trên (a, b)) thì C1(a, b) lại là không gian con của C(a, b), tổng quát ta có dãy các không gian con "lồng nhau": Ck(a, b) là không gian con Ck−1(a, b). 2.1.2 Hạng hệ hữu hạn vector. Cơ sở và chiều a) Hệ độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính Định nghĩa 28. Hệ vector {a1, , an} trong K - không gian vector V gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại λ1, , λn ∈ K không đồng thời bằng 0 ∑m sao cho tổ hợp tuyến tính λiai = 0 i=1 Hệ vector không phụ thuộc tuyến tính gọi là độc lập tuyến tình, tức là ∑m từ tổ hợp tuyến tính λiai = 0 suy ra λ1 = = λn = 0. i=1 Quy ước rằng, hệ rỗng ∅ là độc lập tuyến tính. Vector 0 là tổ hợp tuyến tính tầm thường của hệ ∅ và 0 là vector duy nhất biểu thị qua hệ ∅. n Ví dụ 46. Hệ n vector a1, , an ∈ K là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi định thức ma trận tạo bởi các cột tọa độ của chúng bằng 0. Thật vậy, ∑n T giả sử ta có λiai = 0 trong đó aj = (a1j, , anj) , tức là i=1   λ1a11 + λ2a12 + + λna1n = 0 ···  λ1an1 + λ2an2 + + λnann = 0 Hệ độc lập tuyến tính tương đương với λi ≡ 0, ∀i = 1; n, nhưng theo lý thuyết hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, điều này có nghĩa là det(A) ≠ 0, ở đó A = (aij) là ma trận của hệ. 60
Hệ độc lập và phụ thuộc tuyến tính có tính chất sau: Mệnh đề 2.1.2. i) Hệ một vector a là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi a ≠ 0 ii) Hệ {a1, , an} độc lập tuyến tính thì ai ≠ 0, ∀i = 1; n iii) Hệ n vector {a1, , an} phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có một vector biểu diễn tuyến tính qua n − 1 vector còn lại iv) Giả sử ta có hệ {ai}i∈I, ở đó I là tập chỉ số nào đó và J ⊂ I. Nếu hệ {aj}j∈J phụ thuộc tuyến tính thì hệ {ai}i∈I phụ thuộc tuyến tính và nếu {ai}i∈I độc lập tuyến tính thì {aj}j∈J độc lập tuyến tính. Không khó để chứng minh một kết quả sau đây Định lý 2.1.1. Giả sử {a1, , am} và {b1, , bn} là hai hệ vector trong K - không gian vector V . Nếu hệ {a1, , am} độc lập tuyến tính và mỗi vector biểu thị tuyến tính qua hệ {b1, , bn} thì m ≤ n. Hai hệ vector tùy ý trong K - không gian vetcor V gọi là tương đương nếu chúng có thể biểu thị tuyến tính qua nhau. Dễ dàng suy ra hệ quả sau đây từ định lý trên Hệ quả 2.1.1. Hai hệ vector {a1, , am} và {b1, , bn} tương đương nhau và cả hai cùng độc lập tuyến tính thì m = n. Định nghĩa 29. Hệ {ai}i∈I trong K - không gian vetcor V , với I là tập chỉ số nào đó. Hệ {aj}j∈J⊂I gọi là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ ban đầu nếu thêm bất kỳ vector ai, i ∈ I\J nào thì hệ đều phụ thuộc tuyến tính. Định lý 2.1.2. Nếu hệ con {a1, , an} là độc lập tuyến tính tối đại của {ai}i∈I thì mọi vector ai, i ∈ I đều biểu thị tuyến tính duy nhất qua {a1, , an}. Chứng minh: Nếu i ∈ {1, 2, , n} thì dễ thấy có thể biểu thị tuyến tính duy nhất dưới dạng { ∑n 1, j = i a = λ a , λ = i j j j ̸ j=1 0, j = i Nếu i∈ / {1, 2, , n}, do {a1, , an} độc lập tuyến tính tối đại nên {a1, , an, ai} là phụ thuộc tuyến tính và ∑n ai = λjaj j=1 61
cần chứng minh biểu diễn này là duy nhất. Giả sử rằng ∑n ai = αjaj j=1 khi đó ta có ∑n ∑n λjaj = αjaj j=1 j=1 hay ∑n (λj − αj) aj = 0 j=1 do {a1, , an} độc lập tuyến tính nên từ đây ta có λj = αj, ∀j = 1; n. I Chú ý 8. i) Một hệ hữu hạn vector luôn có thể xây dựng một hệ con độc lập tuyến tính tối đại. ii) Hai hệ con độc lập tuyến tính tối đại của một hệ vector thì tương đương nhau. Những nhận xét trên rất hữu ích và coi như phần bài tập cho người đọc. b) Hạng của hệ hữu hạn vector. Định nghĩa 30. Xét hệ hữu hạn vector {ai}i∈I (I hữu hạn), mọi hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ này đều tương đương nhau và có cùng số vector, số đó gọi là hạng của hệ vector, ký hiệu là rank{ai}i∈I. Dễ thấy rằng i) Nếu rank{ai}i∈I = r thì 0 ≤ r ≤ |I|, hơn thế r = |I| khi và chỉ khi hệ {ai}i∈I độc lập tuyến tính, r = 0 khi và chỉ khi ai = 0, ∀i. ii) Hai hệ hữu hạn vetor tương đương nhau thì chúng có cùng hạng. iii) Nếu có hệ vector( {bj}j∈J biểu thị) tuyến tính được qua hệ {ai}i∈I thì { } { } ∪ { } rank ai i∈I = rank ai i∈I bj j∈J . c) Hệ sinh và cơ sở Định nghĩa 31. Giả sử V là K không gian vector. Một hệ vector trong V gọi là hệ sinh của V nếu mọi vector của V đều biểu thị tuyến tính qua hệ này. Định nghĩa 32. Một hệ sinh của V độc lập tuyến tính gọi là một cơ sở của V . 62
Như vậy, cơ sở là hệ sinh độc lập tuyến tính, hiển nhiên khi đó hệ độc lập tuyến tính tối đại. Vì vậy mọi vector trong V đều biểu thị tuyến tính duy nhất qua nó. Nếu V có một hệ sinh hữu hạn thì ta nói V là K - không gian vector hữu hạn sinh (chiều). Định nghĩa 33. Số vector cơ sở của K - không gian vector V được gọi là chiều của của không gian này, ký hiệu là dimKV , hay đơn giản là dimV nếu như đã xác định V trên trường K. Mỗi không gian vector hữu hạn chiều đều có nhiều cơ sở (là các hệ độc lập tuyến tính tối đại) nhưng mỗi cơ sở đều có cùng số vector. Tổng quát ta có nhận xét sau Chú ý 9. Trong không gian vector V n chiều ta có i) Mọi hệ có số vector lớn hơn n đều phụ thuộc tuyến tính. ii) Mọi cơ sở có đúng n vector, mọi hệ độc lập tuyến tính gồm n vector đều là cơ sở. iii) Mọi hệ độc lập tuyến tính đều có thể bổ sung để được cơ sở của V . iv) Mọi vector của V đều biểu thị tuyến tính duy nhất qua cơ sở cố định. Ví dụ 47. Kn là K - không gian vector hữu hạn chiều. Thật vậy, không { } khó để thấy hệ n vector ei i=1;n ở đó e1 = (1, 0, 0, , 0) , e2 = (0, 1, 0, , 0) , en = (0, , 0, 1) n n là một hệ sinh của K vì với mọi x = (x1, x2, , xn) ∈ K đều có biểu diễn ∑n x = xiei i=1 { } Kn Rõ ràng ei i=1;n là độc lập tuyến tính, do đó nó là cơ sở của (gọi là cơ sở chính tắc) và dimKn = n. Ví dụ 48. Ký hiệu K[x] là tập hợp tất cả các đa thức trên trường K, khi đó K[x] là không gian vector với phép cộng đa thức và nhân đa thức với phần tử trường K. Có thể chứng minh K[x] không hữu hạn chiều (bài tập). Ví dụ 49. Giả sử K = C và không gian vector của chúng ta là Cn. Chúng ta nhớ lại rằng C = R2, và như vậy Cn giống như là R2n. Thế thì chiều của Cn là n hay 2n? Ở đây chúng ta cần hiểu rằng Cn vừa là một không gian n vector trên C nhưng cũng là không gian vector trên R, và rằng dimCC = n 63
n n còn dimRC = 2n. Vì vậy khi chúng ta nói chiều của C , chúng ta cần phân biệt giữa chúng, chúng ta nói chiều phức (bằng n) hoặc chiều thực (bằng 2n). 2.1.3 Tọa độ của vector trong cơ sở. Đổi cơ sở Giả sử V là K - không gian vector n chiều. Trong V cho một cơ sở cố định (e) = (e1, e2, , en) (ký hiệu hình thức, (e) biểu diễn dưới dạng hàng, mỗi phần tử lại là một vector).Vì mọi vector x ∈ V biểu thị tuyến tính duy nhất qua (e) nên tồn tại duy nhất bộ (x1, , xn), xi ∈ K sao cho ∑n x = xiei i=1 như vậy ta có một song ánh từ V vào Kn. Bộ (x1, x2, , xn) gọi là tọa độ của x trong cơ sở (e) và viết là x(e) = T (x1, , xn) (tức là một ma trận cột). Từ nay để tránh nhầm lẫn, ta viết T x(e) = (x1, , xn) = [xi](e). n Ví dụ 50. Trong K xét cơ sở chính tắc (e) = (e1, , en), nếu xem (e) là một ma trận (cột i là tọa độ vector ei) thì đây chính là ma trận đơn vị E. Vì V có nhiều cơ sở nên mỗi vector trong cơ sở khác nhau sẽ biểu ′ diễn khác nhau. Giả sử V có cơ sở (e) = (e1, , en), bên cạnh đó (e ) = ′ ′ ′ (e1, e2, , en) cũng là cơ sở của V và [ ] ′ x = [x ] ; x ′ = x (e) i (e) (e ) j (e′) ′ Giả sử rằng mỗi vector ej trong cơ sở (e) có tọa độ là [cij](e) tức là ∑n ′ ej = cijei (2.1) i=1 ∈ K ′ Ma trận C = (cij)n×n Mn( ) gồm các cột tọa độ của ej trong (e) được gọi là ma trận chuyển cơ sở từ (e) sang (e′), và viết là C :(e) → (e′). Không khó để thấy rằng (e′) = (e)C (2.2) Ta có ( ) ( ) ∑n ∑n ∑n ∑n ∑n ∑n ′ ′ ′ ′ x = xiei = xjej = xj cijei = cijxj ei i=1 j=1 j=1 i=1 i=1 j=1 64
Do x biểu thị tuyến tính duy nhất qua (e) nên ∑n ′ xi = cijxj (2.3) j=1 hay viết dưới dạng ma trận là ′ [xi](e) = C[xj](e′) (2.4) Các công thức 2.3 và 2.4 gọi là các công thức đổi tọa độ. 3 Ví dụ 51. Trong R xét cơ sở chính tắc (e) = (e1, e2, e3), cho cơ sở thứ ′ ′ ′ ′ ′ hai (e ) = (e1, e2, e3) ở đó ma trận chuyển cơ sở (các cột là tọa độ của ej trong (e)) là   1 0 1   C =  1 1 0  0 1 1 T Trong cơ sở (e) vector x có tọa độ là x(e) = (1, 1, 1) . Ta đi tìm tọa độ của ′ ′ ′ ′ T x trong cơ sở (e ). Giả sử x(e′) = (x1, x2, x3) , theo công thức 2.4 ta có       ′ 1 1 0 1 x1      ′   1  =  1 1 0   x2  ′ 1 0 1 1 x3 ( ) T ′ 1 1 1 từ đây giải hệ phương trình ta được x(e ) = 2, 2, 2 . Chú ý 10. Nếu C là ma trận chuyển cơ sở từ (e) sang (e′) thì C−1 là ma trận chuyển cơ sở từ (e′) sang (e). 2.1.4 Định lý về hạng ma trận Giả sử A = (aij)m×n ∈ Mm×n(K), hàng thứ i của ma trận là ri = n (ai1, ai2, , ain) ∈ K , i = 1; m, còn cột thứ j của ma trận là cj = T m (a1j, a2j, , amj) ∈ K , j = 1; n. Như vậy có thể xem ma trận A cấu thành từ m vector hàng ri (i = 1; m) hoặc n cột cj (j = 1; n). Định lý dưới đây cho ta mối liên hệ giữa hạng của ma trận và hạng của hệ các vector hàng (cột) của ma trận. Định lý 2.1.3. Hạng của ma trận A bằng hạng của hệ vector hàng (cột) của nó, tức là rank (A) = rank (r1, , rm) = rank (c1, , cn) 65
Phần chứng minh có thể tìm thấy trong [3], [12]. Nhờ kết quả trên chúng ta đưa bài toán tìm hạng của hệ vector về bài toán tìm hạng ma trận đã biết ở chương trước. m Ví dụ 52. Giả sử trong không gian vector K xét n vector v1, , vn. Ma trận tạo bởi n vector cột là A = (v1, , vn) ∈ Mm×n(K). Hệ vector {v1, , vn} độc lập tuyến tính khi hệ phương trình Ax = 0, ở đó x = T (x1, , xn) , chỉ có nghiệm tầm thường, điều này có nghĩa là rank(A) = n ≤ m. Bài toán tìm cơ sở, chiều của không gian con sinh bởi một hệ vector {a1, a2, , an}, tức là không gian con span{a1, a2, , an}. Để giải quyết bài toán trên chúng ta làm như sau: Bước 1: Tìm hạng của hệ vector bằng cách viết ma trận tạo thành từ các hàng. Dùng biến đổi sơ cấp hàng đưa ma trận về dạng hình thang. Bước 2: Số hàng khác 0 trong ma trận hình thang chính là hạng của hệ vector hay chính là chiều của không gian con sinh bởi hệ này còn sở của không gian con sinh bởi hệ chính là các vector hàng khác 0 của ma trận hình thang. Ví dụ 53. Tìm cơ sở chiều của không gian con sinh bởi các vector hàng sau đây a1 = (1, 2, 0, 1) ; a2 = (1, 1, 2, 0) ; a3 = (1, 3, −2, 2) ; a4 = (−1, 1, −6, 2) Để giải quyết bài toán, ta viết ma trận tạo thành từ các hàng vector và biến đổi sơ cấp đưa về ma trận hình thang     1 2 0 1 − → 1 2 0 1   h1+h2 h2   −h1+h3→h3   →  − −   1 1 2 0  h1+h4 h4  0 1 2 1    −−−−−−−→    1 3 −2 2   0 1 −2 1  −1 1 −6 2 0 3 −6 3 ma trận cuối tương đương với ma trận   1 2 0 1      0 1 −2 1     0 0 0 0  0 0 0 0 nên ta có ngay chiều của không gian con sinh bởi các vector ban đầu là 2, 66
còn cơ sở của không gian con là {b1, b2}, trong đó b1 = (1, 2, 0, 1) ; b2 = (0, 1, −2, 1) . 2.1.5 Không gian tổng và không gian giao. Tổng trực tiếp Giả sử V là K - không gian vector, W1,W2 là các không gian con của V . Hiển nhiên rằng W1 ∩ W2 đóng đối với phép cộng vector và nhân vector với vô hướng, do đó W1 ∩ W2 cũng là không gian con của V và gọi là không gian giao của W1 và W2. Ký hiệu W1 + W2 = {x = a1 + a2 : a1 ∈ W1, a2 ∈ W2} khi đó W1 + W2 cũng là không gian vector con của V và gọi là không gian tổng của W1 và W2. Thật vậy, lấy hai vector bất kỳ a, b ∈ W1 + W2, theo định nghĩa tức là a = a1 + a2, b = b1 + b2 trong đó a1, b1 ∈ W1 còn a2, b2 ∈ W2. Với hai vô hướng bất kỳ α, β ∈ K ta có αa + βb = α (a1 + a2) + β (b1 + b2) = (αa1 + βb1) + (αa2 + βa2) ∈ W1 + W2 tức là W1 + W2 là không gian vector con của V . Định lý 2.1.4. Giả sử V là K - không gian vector hữu hạn chiều, W1,W2 là các không gian con của V , khi đó dim (W1 + W2) = dim (W1) + dim (W2) − dim (W1 ∩ W2) Chứng minh: Giả sử dimW1 = m, dimW2 = n, còn dim(W1 ∩ W2) = p và (e1, , ep) là cơ sở của W1 ∩ W2. Bổ sung thêm các vector để (e1, , ep, fp+1, , fm) trở thành cơ sở của W1 và (e1, , ep, gp+1, , gn) thành cơ sở của W2. Ta sẽ chứng minh rằng hệ các vector (e1, , ep, fp+1, , fm, gp+1, , gn) độc lập tuyến tình và là cơ sở của W1 + W2. Thật vậy, xét tổ hợp tuyến tính α1e1 + + αpep + βp+1fp+1 + + βmfm + γp+1gp+1 + + γngn = 0 trong đó các vô hướng thuộc trường K. Ta có α1e1 + + αpep + βp+1fp+1 + + βmfm = − (γp+1gp+1 + + γngn) 67
Hình 2.1: Không gian tổng và giao vì vế phải đẳng thức nằm trong W2, còn vế trái nằm trong W1 nên − (γp+1gp+1 + + γngn) ∈ W1 ∩ W2 Do đó tồn tại η1, , ηp ∈ K sao cho − (γp+1gp+1 + + γngn) = η1e1 + + ηpep hay là η1e1 + + ηpep + γp+1gp+1 + + γngn = 0 nhưng (e1, , ep, gp+1, , gn) là cơ sở W2 nên chúng độc lập tuyến tính, do đó η1 = = ηp = γp+1 = = γn = 0 Từ đây suy ra rằng α1e1 + + αpep + βp+1fp+1 + + βmfm = 0 và cũng với lý do tương tự như trên ta có α1 = = αp = βp+1 = = βm = 0 Tức là (e1, , ep, fp+1, , fm, gp+1, , gn) độc lập tuyến tính. Lấy vec- tor bất kỳ x ∈ W1 + W2, khi đó x = x1 + x2 với x1 ∈ W1, x2 ∈ W2. Rõ ràng x1 biểu thị tuyến tính qua (e1, , ep, fp+1, , fm), còn x2 biểu thị tuyến tính qua (e1, , ep, gp+1, , gn), do đó x biểu thị tuyến tính qua (e1, , ep, fp+1, , fm, gp+1, , gn). Nói cách khác (e1, , ep, fp+1, , fm, gp+1, , gn) là hệ sinh của W1 + W2. Một hệ sinh độc lập tuyến tính chính là một cơ sở, tức là chúng ta chứng minh được (e1, , ep, fp+1, , fm, gp+1, , gn) là cơ sở của W1 + W2. Hơn thế dim (W1+W2) = m + n − p = dim W1 + dim W2 − dim (W1 ∩ W2) 68
Ta có điều phải chứng minh. I Nếu W1 ∩ W2 = {0} thì W1 + W2 gọi là một tổng trực tiếp và ký hiệu là W1 ⊕ W2. Khi đó dim (W1 ⊕ W2) = dim W1 + dim W2 Bài toán tìm cơ sở chiều của các không gian con W1,W2, không gian tổng W1 + W2 và giao W1 ∩ W2. Để giải quyết ta tiến hành làm ba bài toán nhỏ như sau. Bài toán 1: Tìm cơ sở chiều các không gian con W1 và W2, giả sử cơ sở của chúng lần lượt là {a1, a2, , al} và {b1, b2, , bm}. Bài toán 2: Để tìm cơ sở chiều của không gian tổng W1 + W2 ta tìm cơ sở chiều của không gian con sinh bởi hệ vector {a1, a2, , al, b1, b2, , bm}. Bài toán 3: Để tìm cơ sở chiều của không gian giao W1 ∩ W2 ta tìm cơ sở chiều không gian nghiệm hệ thuần nhất với l + m ẩn là x1, , xl, y1, , ym sau x1a1 + x2a2 + + xlal = y1b1 + y2b2 + + ymbm Bài toán 1 và 2 được giải quyết dựa trên bài toàn tìm cơ sở chiều không gian con ở phía trên. Đối với bài toán 3, chúng ta sẽ giải quyết sau khi nghiên cứu kỹ cấu trúc không gian nghiệm hệ thuần nhất trong phần sau. 2.2 Ánh xạ tuyến tính 2.2.1 Khái niệm ánh xạ tuyến tính và toán tử tuyến tính Định nghĩa 34. Giả sử V, W là các K - không giac vector. Ánh xạ f từ V vào W gọi là một ánh xạ tuyến tính (đồng cấu tuyến tính) nếu nó bảo toàn các phép toán trên V , tức là i) f(x + y) = f(x) + f(y), ∀x, y ∈ V ii) f(λx) = λf(x), ∀λ ∈ K, x ∈ V. Một ánh xạ tuyến tính từ V vào chính nó được gọi là một tự đồng cấu tuyến tính hay toán tử tuyến tính trên V . Có thể viết lại hai điều kiện trong định nghĩa thành một điều kiện là f (λx + βy) = λf (x) + βf (y) , ∀λ, β ∈ K, x, y ∈ V. 69
Trong trường hợp tổng quát, ta có ( ) ∑n ∑n f λixi = λif (xi), ∀λi ∈ K, xi ∈ V. i=1 i=1 Không khó để thấy rằng nếu f là ánh xạ tuyến tính thì f(0) = 0 và f(−x) = −f(x), ∀x ∈ V. Giả sử K là một trường, V, W là các K - không gian vector, các ví dụ dưới đây là ánh xạ tuyến tính. Ví dụ 54. Ánh xạ hằng 0 được cho như sau 0 : V → W sao cho 0(x) = 0, ∀x ∈ V . Ví dụ 55. Ánh xạ đồng nhất Id : V → V sao cho Id(x) = x, ∀x ∈ V . Ví dụ 56. Ánh xạ f : Kn → K sao cho ∑n n f(x) = αixi, ∀x = (x1, , xn) ∈ K , αi ∈ K. i=1 n m Ví dụ 57. Giả sử A ∈ Mm×n(K), ánh xạ f : K → K sao cho f(x) = T n Ax, ∀x = (x1, , xn) ∈ K . Ví dụ 58. Ánh xạ đạo hàm các đa thức D : R[x] → R[x] sao cho D (p(x)) = p′ (x) , ∀p(x) ∈ R[x]. Ví dụ 59. Ánh xạ tích phân các hàm liên tục I : C [a, b] → R sao cho ∫b I (x) = x (t)dt, ∀x(.) ∈ C [a, b] a Ký hiệu Hom(V, W ) (Homomorphism) là tập tất cả ánh xạ tuyến tính từ V vào W . Trên Hom(V, W ) trang bị phép cộng xác định bởi (f + g)(x) = f(x) + g(x), ∀f, g ∈ Hom(V, W ) và phép nhân với phần tử của K xác định bởi (λf)(x) = λf(x), ∀λ ∈ K Ánh xạ 0 chính là phần tử trung hòa của phép cộng, phần tử đối của f là ánh xạ −f. Không khó để thấy tập Hom(V, W ) với hai phép toán trên lập thành một K - không gian vector. Khi W = K, ta nói Hom(V, K) là không gian liên hợp của V ký hiệu là V ∗. Cũng với các phép toán trên, tập các tự đồng cấu tuyến tính, ký hiệu là End(V ) (Endomorphism), cũng là không gian vector. Dưới đây chúng ta đưa ra định lý xác định một ánh xạ tuyến tính. 70
Định lý 2.2.1. Giả sử V là K - không gian vector n chiều với cơ sở (e) = (e1, e2, , en) và một hệ n vector tùy ý {w1, w2, , wn} trong K - không gian vector W . Khi đó tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính f : V → W sao cho f(ei) = wi, ∀i = 1; n. Chứng minh: Giả sử x ∈ V , vì (e) = (e1, e2, , en) là cơ sở nên tồn tại duy nhất bộ (x1, , xn) sao cho ∑n x = xiei, xi ∈ K i=1 Xây dựng ánh xạ f từ V vào W thỏa mãn f(ei) = wi, i = 1; n. ∑n Đặt f (x) = xiwi, khi đó f là ánh xạ tuyến tính. Thật vậy ∀x, y ∈ V : i=1 ∑n ∑n x = xiei, y = yiei và ∀α, β ∈ K ta có i=1 i=1 ∑n f (αx + βy) = (αxi + βyi)wi = αf (x) + βf (y) i=1 Chúng ta cần chứng minh ánh xạ như vậy xác định duy nhất. Giả sử g là một ánh xạ tuyến tính từ V vào W cũng thỏa mãn g(ei) = wi, ∀i = 1; n. ∑n Khi đó ∀x = xiei ∈ V thì i=1 ∑n ∑n ∑n g (x) = xig (ei) = xiwi = xif (ei) = f (x) i=1 i=1 i=1 hay f ≡ g. I 2.2.2 Ảnh và nhân của ánh xạ tuyến tính Giả sử V, W là các K - không gian vector, f ∈ Hom(V, W ). Định nghĩa 35. Hạch (hay nhân) của ánh xạ tuyến tính f là tập hợp ký hiệu bởi Ker(f) và xác định bởi Kerf = {x ∈ V : f (x) = 0} Ảnh của ánh xạ tuyến tính f, ký hiệu là Imf, và xác định bởi Imf = {y ∈ W : y = f (x) , ∀x ∈ V } 71
Mệnh đề 2.2.1. Kerf và Imf là các không gian con của V và W tương ứng. Định lý 2.2.2. Giả sử Ω,U lần lượt là các không gian vector con của V, W tương ứng. Khi đó i) f(Ω) là K - không gian vector con của W . ii) f −1(U) là K - không gian vector con của V . iii) Ω là không gian vector con hữu hạn chiều của V thì f(Ω) cũng hữu hạn chiều và dimf(Ω) ≤ dimΩ . Chứng minh: Việc chứng minh i) và ii) không khó, chú ý là f(Ω) và f −1(U) không rỗng. Ta chứng minh iii). Giả sử dimΩ = m và (e) = ∑m (e1, , em) là cơ sở Ω, khi đó với mỗi y ∈ f(Ω) tồn tại x = xiei sao cho i=1 ∑m y = xif (ei) i=1 như vậy y biểu thị tuyến tính qua (f(e1), , f(em)) hay (f(e1), , f(em)) là một hệ sinh của f(Ω). Vì vậy f(Ω) cũng hữu hạn chiều và dimf(Ω) ≤ m = dimΩ. I Chú ý 11. i) Nếu f : V → W và Imf hữu hạn chiều thì dimImf ≤ n. → { } ii) Giả sử f : V W là ánh xạ tuyến tính và vi i=1;m là hệ bất kỳ, khi { } { } đó nếu vi i=1;m phụ thuộc tuyến tính thì f(vi) i=1;m là phụ thuộc tuyến { } { } tính. Ngược lại, nếu f(vi) i=1;m độc lập tuyến tính thì vi i=1;m độc lập tuyến tính. Hệ quả 2.2.1. Ánh xạ tuyến tính không làm tăng hạng của một hệ vector. Định nghĩa 36. Giả sử f : V → W là ánh xạ tuyến tính. Chiều của Imf gọi là hạng của ánh xạ f, ký hiệu rank(f), còn chiều của Kerf gọi là số khuyết của f, ký hiệu là def(f). Từ định nghĩa ta thấy ngay rằng 0 6 rank (f) 6 dim V 0 6 def (f) 6 dim V Định nghĩa 37. Giả sử f : V → W là ánh xạ tuyến tính. Ánh xạ f gọi là đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) nếu f là đơn ánh (toàn ánh, song ánh). 72
Định lý 2.2.3. Giả sử f : V → W là ánh xạ tuyến tính. i) f đơn cấu khi và chỉ khi Kerf = {0} ii) f toàn cấu khi và chỉ khi Imf = W Chứng minh: Rõ ràng ii) là hiển nhiên theo định nghĩa toàn ánh. Ta chứng minh i). Giả sử f đơn ánh, nếu f(x) = 0 = f(0) thì x = 0, do đó Kerf = {0}. Ngược lại, giả sử Kerf = {0}. Nếu f(x1) = f(x2) với x1, x2 ∈ V thì ta có f(x1 − x2) = 0, hay x1 = x2, tức là f đơn ánh. I Từ định lý trên ta thấy rằng, f đơn cấu khi và chỉ khi def(f) = 0, còn f toàn cấu khi và chỉ khi rank(f) = dimW . Không khó để chứng minh kết quả sau đây Định lý 2.2.4. Giả sử f : V → W là ánh xạ tuyến tính, V, W là các K - không gian vector hữu hạn chiều i) f đơn cấu khi và chỉ khi f biến một hệ độc lập tuyến tính bất kỳ thành một hệ độc lập tuyến tính ii) f toàn ánh khi và chỉ khi f biến một hệ sinh của V thành hệ sinh trong W iii) f đẳng cấu khi và chỉ khi f biến một cơ sở V thành cơ sở của W . Định lý 2.2.5. Giả sử f : V → W là ánh xạ tuyến tính, khi đó dim Im f + dim Kerf = n Chứng minh: Giả sử dimKerf = s và (e) = (e1, , es) là cơ sở của Kerf. Ta bổ sung (e1, , es, vs+1, , vn) để được cơ sở của V . Ta sẽ chứng minh rằng (f(vs+1), , f(vn)) là cơ sở của Imf. Thật vậy, với mọi x ∈ V ta có ∑s ∑n x = αiei + βjvj i=1 j=s+1 do đó ( ) ∑s ∑n ∑n f (x) = f αiei + βjvj = βjf (vj) i=1 j=s+1 j=s+1 { } tức là f (vj) j=s+1;n là hệ sinh của Imf. Ta chứng minh hệ sinh này độc lập tuyến tính. Xét tổ hợp tuyến tính bất kỳ ( ) ∑n ∑n βjf (vj) = 0 ⇒ f βjvj = 0 j=s+1 j=s+1 73
∑n do vậy βjvj ∈ Kerf, nhưng khi đó ta có j=s+1 ∑n ∑s βjvj = λiei j=s+1 i=1 hay là ∑n ∑s βjvj − λiei = 0 j=s+1 i=1 do (e1, , es, vs+1, , vn) là cơ sở của V nên βj = λi = 0, ∀i = 1; s, j = s + 1; n { } tức là f (vj) j=s+1;n độc lập tuyến tính, do đó là cơ sỏ của Imf. Từ đó dim Im f + dim Kerf = n − s + s = n Ta có ngay điều phải chứng minh. I 2.2.3 Ánh xạ tuyến tính ngược Định lý 2.2.6. Giả sử f : V → W là đẳng cấu tuyến tính, khi đó ánh xạ ngược của một ánh xạ tuyến tính cũng là ánh xạ tuyến tính. Chứng minh: Giả sử f : V → W là song ánh, ta chứng minh rằng f −1 là ánh xạ tuyến tính. Thật vậy ∀y1, y2 ∈ W và ∀α, β ∈ K ta có ( ) ( ) −1 −1 f f (αy1 + βy2) = f ◦ f (αy1 + βy2) = IdW (αy1 + βy2) ở đó IdW là ánh xạ đồng nhất trên W . Nhưng ánh xạ IdW cũng là tuyến tính nên ( ) ( ) −1 −1 IdW (αy1 + βy2) = αIdW (y1) + βIdW (y2) = αf f (y1) + βf f (y2) Do f đẳng cấu nên từ ( ) ( ) −1 −1 −1 f f (αy1 + βy2) = f αf (y1) + βf (y2) ta có ngay −1 −1 −1 f (αy1 + βy2) = αf (y1) + βf (y2) I 74
Hệ quả 2.2.2. Giả sử f : V → V là toán tử tuyến tính, khi đó các mệnh đề sau tương đương i) f đẳng cấu ii) Tồn tại toán tử tuyến tính ngược của f iii) f đơn cấu iv) f toàn cấu 2.2.4 Ma trận và biểu thức tọa độ ánh xạ tuyến tính Giả sử f : V → W là ánh xạ tuyến tính, dimV = n, dimW = m, (e) = (e1, , en) và (w) = (w1, , wm) lần lượt là cơ sở của V và W . Vì f(ej) ∈ W m, j = 1; n nên biểu diễn được qua (w) ∑m f (ej) = aijwi i=1 Ánh xạ f hoàn toàn xác định khi biết ảnh của cơ sở tức là nếu ta biết các phần tử aij, i = 1; m, j = 1; n thì sẽ hoàn toàn xác định được f. Ma trận A = (aij)m×n được gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cặp cơ sở ((e), (w)). Chúng ta có thể biểu diễn điều này như sau (f(e)) = (w)A (2.5) Như vậy, cột thứ j của ma trận A chính là tọa độ của vector f(ej) trong cơ sở (w). Khi không nói gì khác ta hiểu ma trận của ánh xạ tuyến tính là trong một cơ sở cố định nào đó. Nếu f là tự đồng cấu tuyến tính thì A sẽ là một ma trận vuông. Có thể chứng minh được có các song ánh giữa Hom(V, W ) với Mm×n(K) và End(V ) với Mn(K), các song ánh này bảo toàn phép toán tổng các ánh xạ tuyến tính và phép nhân phần tử trường K với ánh xạ tuyến tính. Giả sử A = (aij)m×n là ma trận của ánh xạ tuyến tính f : V → W trong cặp cơ sở ((e), (w)), với mỗi x ∈ V chúng ta muốn thiết lập liên hệ giữa các tọa độ x(e) và f(x)(w). Giả sử ∑n x = xjej j=1 75
hay là x(e) = [xj](e) và ∑m f (x) = yiwi i=1 hay là f(x)(w) = [yi](w). Khi đó ( ) ( ) ∑n ∑n ∑n ∑n ∑n ∑m yiwi = f (x) = xjf (ej) = xj aijwi = aijxj wi i=1 j=1 j=1 i=1 i=1 j=1 từ đây ta có ∑m yi = aijxj, i = 1; m (2.6) j=1 hay viết dưới dạng tọa độ cột là [yi](w) = A[xj](e) (2.7) hay [yi](w) = A[xj](e) (2.8) Nếu như ta đã ngầm hiểu ánh xạ tuyến tính trong cặp cơ sở cố định nào đó thì ta viết là f(x) = Ax (2.9) ở đó tọa độ các vecto luôn hiểu là cho dưới dạng cột. Các công thức từ 2.6 đến 2.9 gọi là biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính. Nếu chỉ cho ánh xạ tuyến tính mà không nói gì về cặp cơ sở ((e), (w)) ta ngầm hiểu rằng ánh xạ được cho trong cặp cơ sở chính tắc của V và W . Ma trận trong cặp cơ sở chính tắc gọi là ma trận chính tắc. Ví dụ 60. Tìm ma trận chính tắc của ánh xạ tuyến tính f : R4 → R3 cho bởi f (x1, x2, x3, x4) = (x1 − x2 + x3 − x4, x2 + x3, x1) Trong cơ sở chính tắc của R4 và R3, ta có f (1, 0, 0, 0) = (1, 0, 1)T , f (0, 1, 0, 0) = (−1, 1, 0)T , f (0, 0, 1, 0) = (1, 1, 0)T , f (0, 0, 0, 1) = (−1, 0, 0)T nên ma trận của f sẽ là   1 −1 1 −1   A =  0 1 1 0  1 0 0 0 76
Định lý 2.2.7. Giả sử M là ma trận ánh xạ tuyến tính f : V → W trong cặp cơ sở ((e), (w)), N là ma trận ánh xạ tuyến tính g : W m → Ωp trong cặp cơ sở ((w), (v)). Khi đó ma trận của ánh xạ g ◦ f là NM với cặp cơ sở là ((e), (v)). Chứng minh: Giả sử (e) = (e1, , en) , (w) = (w1, , wm) , (v) = (v1, , vp) lần lượt là cơ sở của V, W, Ω, còn M = (aij)m×n,N = (bki)p×m là các ma trận tương ứng của f và g trong các cặp cơ sở đã cho. Ta có ∑m ∑p f (ej) = aijwi, g (wi) = bkivk i=1 k=1 từ đó ( ) ∑m ∑m (g ◦ f)(ej) = g (f (ej)) = g aijwi = aijg (wi) i=1 i=1 hay ( ) ( ) ∑m ∑p ∑p ∑m (g ◦ f)(ej) = aij bkivk = bkiaij vk i=1 k=1 k=1 i=1 ∑m Đặt ckj = bkiaij, thì trong cặp cơ sở ((e), (v)) ma trận của g ◦ f là i=1 NM = (ckj)p×n. I Tương tự có thể chỉ ra nếu A, B là ma trận của các ánh xạ tuyến tính f, g ∈ Hom(V, W ) trong cặp cơ sở nào đó thì A + B chính là ma trận của ánh xạ f + g. Đặc biệt nếu f, g ∈ End(V ) là các toán tử tuyến tính với các ma trận A, B tương ứng trong cơ sở nào đó thì có thể chứng minh được f + g, λf, f ◦ g sẽ có ma trận tương ứng là A + B, λA, BA. Định lý 2.2.8. Giả sử f ∈ Hom(V, W ) có ma trận trong cặp cơ sở nào đó là A, khi đó rank(f) = rank(A). Chứng minh: Giả sử A là ma trận của f trong cặp cơ sở ((e), (w)) với (e) = (e1, , en), (w) = (w1, , wm). Theo định nghĩa rank (f) = dim Im f = rank (f (e1) , , f (en)) T tức là hạng của các vector cột f (ej) = (a1j, , amj) , j = 1; n. Nhưng đây chính là các cột của ma trận A, ta có ngay điều phải chứng minh. I 77
2.2.5 Không gian nghiệm hệ phương trình thuần nhất Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất m phương trình n ẩn: ∑n aijxj = 0, xi ∈ K, i = 1; m (2.10) j=1 Hệ này có thể viết dưới dạng ma trận là T Ax = 0,A = (aij)m×n, x = (x1, , xn) (2.11) Ký hiệu ℵ0 là tập tất cả các nghiệm của hệ này. Định lý 2.2.9. Xét hệ phương trình 2.10 (hoặc 2.11) n i) Tập ℵ0 tạo thành một không gian vector con của K . ii) Nếu rank(A) = r thì dimℵ0 = n − r. Chứng minh: Ta xem A là ma trận của f : Kn → Km trong cặp cơ sở ((e), (w)) nào đó, tức là trong cặp cơ sở này ta có f (x) = Ax = 0 Như vậy, tập các nghiệm của hệ 2.11 chính là những phần tử của không gian n Kerf, do đó ℵ0 = Kerf và là một không gian con của K . Nếu rank(A) = r thì từ Định lý 2.2.8 ta có rank(A) = dimImf = r, do đó n dimℵ0 = dimKerf = dimK − dimImf = n − r Ta có điều phải chứng minh. I Một tổ hợp tuyến tính tất cả các vector cơ sở của ℵ0 gọi là nghiệm tổng quát của hệ 2.11. Xét hệ tuyến tính tổng quát Ax = b (2.12) T T ở đó A = (aij)m×n, x = (x1, , xn) , b = (b1, , bm) . Theo ký hiệu chương trước ma trận mở rộng của hệ sẽ là Ae = (A|b). Định lý Cronecker-Capelli khẳng định rằng: hệ (2.12) có nghiệm khi và chỉ khi rank(A) = rank(Ae). Ta có thể chứng minh định lý một cách đơn giản như sau. Coi mỗi cột của A là một vector, ký hiệu chúng lần lượt là c1, c2, , cn. Như vậy hệ phương trình có thể viết lại như là x1c1 + x2c2 + + xncn = b 78
Hệ tương thích tương đương với vector b biểu diễn tuyến tính qua các vector cột c1, c2, , cn. Tức là hệ các vector {c1, c2, , cn, b} phụ thuộc tuyến tính. Điều này tương đương với e rank (A) = rank (c1, c2, , cn) = rank (c1, c2, , cn, b) = rank(A) Nếu gọi x là nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất 2.11, còn a là nghiệm riêng của 2.12 thì nghiệm tổng quát của hệ 2.12 bằng tổng của nghiệm tổng quát hệ thuần nhất 2.11 và nghiệm riêng 2.12, tức là x = x + a Tiếp theo chúng ta xét bài toán: Tìm cơ sở, chiều của Kerf và Imf khi biết ma trận của ánh xạ tuyến tính f. Để giải quyết bài toán này ta tiến hành như sau: Bước 1: Sử dụng biến đổi sơ cấp hàng đưa ma trận A về ma trận hình thang A′, giả sử rank(A) = rank(A′) = r, khi đó dimImf = r. Để tìm cơ sở của Imf ta chọn r vector của ma trận A độc lập tuyến tính. Bước 2: Giải hệ phương trình thuần nhất A′x = 0, cơ sở không gian nghiệm ℵ0 hệ này chính là cơ sở của Kerf. Ví dụ 61. Tìm cơ sở chiều của Kerf và Imf của ánh xạ tuyến tính f : R4 → R3 cho bởi f (x1, x2, x3, x4) = (x1 − x2 + x3 − x4, x2 + x3, x1) Ta có ma trận của ánh xạ tuyến tính f là   1 −1 1 −1   A =  0 1 1 0  1 0 0 0 Dễ thấy   1 −1 1   det  0 1 1  = −2 ≠ 0 1 0 0 nên rank(A) = 3, tức là dimImf = 3, chọn ba vector cột đầu tiên trong ma trận A độc lập tuyến tính làm cơ sở của Imf. Tuy nhiên có thể thấy rằng Imf = R3, vì vậy hoàn toàn có thể lấy cơ sở Imf chính là cơ sở chính tắc của R3, tức là ⟨ ⟩ Imf = (1, 0, 0)T ; (0, 1, 0)T ; (0, 0, 1)T 79