›
›

Bài giảng Đại số, giải tích ứng dụng - Chương I: Ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính - Nguyễn Thị Nhung

pdf 23 trang hapham 1370
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Đại số, giải tích ứng dụng - Chương I: Ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính - Nguyễn Thị Nhung", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_dai_so_giai_tich_ung_dung_chuong_i_ma_tran_dinh_th.pdf

Nội dung text: Bài giảng Đại số, giải tích ứng dụng - Chương I: Ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính - Nguyễn Thị Nhung

  1. Ghi chú Ôi số, giÊi tẵch v ựng dửng Nguyạn Thà Nhung Bở mổn ToĂn - Ôi hồc Thông Long Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 1 / 67 Ghi chú Chữỡng I Ma trên, ành thực v hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 2 / 67 Ghi chú ành thực KhĂi niằm vã ành thực KhĂi niằm vã ành thực Cho A  paij qn l mởt ma trên vuổng cĐp n. ành thực cừa ma trên A, kẵ hiằu l detpAq ho°c |A|. Ta s³ ành nghắa ành thực cừa A theo cĐp n cừa A. ành thực cĐp 1: Cho ma trên cĐp mởt A  pa11q. Khi õ ành thực cừa A: detpAq  |A|  a11. ành thực cĐp 2: Cho ma trên cĐp hai A  paij q2. Khi õ ành thực cừa A: a11 a12 detpAq  |A|   a11a22 Ă a12a21. a21 a22 Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 3 / 67
  2. Ghi chú ành thực KhĂi niằm vã ành thực KhĂi niằm ành thực ành nghắa Cho A  paij qn l ma trên vuổng cĐp n. Gồi Mij l ma trên cĐp pn Ă 1q nhên ữủc tứ A bơng cĂch bọ dỏng i v cởt j, Mij ữủc gồi l ma trên con ựng vợi phƯn tỷ aij . Khi õ ành thực con ựng vợi phƯn tỷ aij l detpMij q; PhƯn bũ Ôi số cừa aij , kẵ hiằu l Aij l mởt số ữủc ành nghắa bði: i j Aij  pĂ1q detpMij q. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 4 / 67 Ghi chú ành thực KhĂi niằm vã ành thực Vẵ dử Cho ma trên sau: Ô 1 2 Ă3 A  Ơ4 Ă2 5 0 1 Ă2 a. Tẳm M23. b. Tẵnh A23. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 5 / 67 Ghi chú ành thực KhĂi niằm vã ành thực Mởt số khĂi niằm liản quan ành nghắa Cho A  paij qn l ma trên vuổng cĐp n, kẵ hiằu Aij l phƯn bũ Ôi số cừa phƯn tỷ aij . Khi õ: 1 Vợi mội 1 Ô i Ô n ành thực khai triºn theo dỏng i cừa A ữủc xĂc ành bði: detpAq  ai1Ai1 ai2Ai2 ainAin. 2 Vợi mội 1 Ô j Ô n ành thực khai triºn theo cởt j cừa A ữủc xĂc ành bði: detpAq  a1j A1j a2j A2j anj Anj . Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 6 / 67
  3. Ghi chú ành thực KhĂi niằm vã ành thực Mởt số khĂi niằm liản quan ành nghắa CĂc ành thực khai triºn theo dỏng i ãu bơng nhau, bơng cĂc ành thực khai triºn theo cởt j v ữủc gồi l ành thực cừa ma trên A. Nhữ vêy ành thực cừa ma trên A l biºu thực khai triºn theo dỏng i ho°c cởt j bĐt kẳ cừa A. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 7 / 67 Ghi chú ành thực KhĂi niằm vã ành thực Vẵ dử Tẵnh cĂc ành thực cĐp 3 sau v rút ra nhên x²t. 2 1 Ă3 a. |A|  1 5 0 1 8 2 a11 a12 a13 b. |B|  a21 a22 a23 a31 a32 a33 Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 8 / 67 Ghi chú ành thực KhĂi niằm vã ành thực Lới giÊi cho vẵ dử Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 9 / 67
  4. Ghi chú ành thực KhĂi niằm vã ành thực Vẵ dử Tẵnh ành thực sau: 0 1 0 3 1 2 2 1 A  1 3 0 Ă1 0 1 0 2 Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 10 / 67 Ghi chú ành thực KhĂi niằm vã ành thực Lới giÊi cho vẵ dử Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 11 / 67 Ghi chú ành thực Mởt số tẵnh chĐt cừa ành thực Tẵnh chĐt cừa ành thực Tẵnh chĐt 1: ành thực cừa ma trên A v ma trên chuyºn và At bơng nhau, tực l detpAq  detpAt q. Nhên x²t: Tẵnh chĐt trản cho ta thĐy mởt tẵnh chĐt vã ành thực náu  úng khi phĂt biºu vã dỏng thẳ nõ văn cỏn úng khi trong cĂc phĂt biºu ta thay h ng bơng cởt. Do õ trong cĂc tẵnh chĐt ữủc trẳnh b y dữợi Ơy song song vợi phĂt biºu vã dỏng ta s³ nảu luổn cĂc phĂt biºu vã cởt. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 12 / 67
  5. Ghi chú ành thực Mởt số tẵnh chĐt cừa ành thực Tẵnh chĐt cừa ành thực Tẵnh chĐt 2: ời chộ hai dỏng (hai cởt) cừa mởt ành thực thẳ ữủc ành thực mợi bơng ành thực cụ ời dĐu. a11 a12 a1n a11 a12 a1n ai1 ai2 ain aj1 aj2 ajn  Ă . aj1 aj2 ajn ai1 ai2 ain an1 an2 ann an1 an2 ann Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 13 / 67 Ghi chú ành thực Mởt số tẵnh chĐt cừa ành thực Tẵnh chĐt cừa ành thực Tẵnh chĐt 3: ành thực cõ hai dỏng (hai cởt) nhữ nhau thẳ ành thực bơng 0. a11 a12 a1n ai1 ai2 ain  0. ai1 ai2 ain an1 an2 ann Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 14 / 67 Ghi chú ành thực Mởt số tẵnh chĐt cừa ành thực Tẵnh chĐt cừa ành thực Tẵnh chĐt 4: ành thực cõ mởt dỏng (mởt cởt) bơng khổng thẳ ành thực bơng 0. a11 a12 a1n 0 0 0  0. an1 an2 ann Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 15 / 67
  6. Ghi chú ành thực Mởt số tẵnh chĐt cừa ành thực Tẵnh chĐt cừa ành thực Tẵnh chĐt 5: Khi nhƠn cĂc phƯn tỷ cừa mởt h ng (mởt cởt) vợi mởt số k thẳ ữủc mởt ành thực mợi bơng ành thực cụ nhƠn vợi k. a11 a12 a1n a11 a12 a1n kai1 kai2 kain  k ai1 ai2 ain an1 an2 ann an1 an2 ann Nhên x²t: Tẵnh chĐt 5 cho ta thĐy khi cĂc phƯn tỷ cừa mởt h ng (mởt cởt) cõ thứa số chung ta cõ thº ữa thứa số chung õ ra ngo i dĐu ành thực. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 16 / 67 Ghi chú ành thực Mởt số tẵnh chĐt cừa ành thực Tẵnh chĐt cừa ành thực Tẵnh chĐt 6: Mởt ành thực cõ hai h ng (hai cởt) t¿ lằ thẳ bơng 0. a11 a12 a1n ai1 ai2 ain  0. kai1 kai2 kain an1 an2 ann Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 17 / 67 Ghi chú ành thực Mởt số tẵnh chĐt cừa ành thực Tẵnh chĐt cừa ành thực Tẵnh chĐt 7: Khi tĐt cÊ cĂc phƯn tỷ cừa mởt h ng (mởt cởt) cõ dÔng tờng cừa hai số hÔng thẳ ành thực cõ thº phƠn tẵch th nh tờng cừa hai ành thực, cử thº l a11 a12 a1n a11 a12 a1n ai1 bi1 ai2 bi2 ain bin  ai1 ai2 ain an1 an2 ann an1 an2 ann a11 a12 a1n bi1 bi2 bin . an1 an2 ann Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 18 / 67
  7. Ghi chú ành thực Mởt số tẵnh chĐt cừa ành thực Tẵnh chĐt cừa ành thực Tẵnh chĐt 8: Khi ta cởng bởi k cừa mởt h ng v o mởt h ng khĂc thẳ ữủc mởt ành thực mợi bơng ành thực cụ. a11 a12 a1n a11 a12 a1n ai1 ai2 ain ai1 ai2 ain  . aj1 aj2 ajn aj1 kai1 aj2 kai2 ajn kain an1 an2 ann an1 an2 ann Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 19 / 67 Ghi chú ành thực Mởt số tẵnh chĐt cừa ành thực Tẵnh chĐt cừa ành thực Tẵnh chĐt 9: ành thực cừa ma trên tam giĂc bơng tẵch cĂc phƯn tỷ trản ữớng ch²o chẵnh: a11 a12 a1n 0 a22 a2n . . .  a a a . . . 11 22 nn. . . . . 0 0 ann a11 0 0 a21 a22 0 . . .  a a a . . . 11 22 nn. . . . . an1 an2 ann Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 20 / 67 Ghi chú ành thực Mởt số tẵnh chĐt cừa ành thực Tẵnh chĐt cừa ành thực Tẵnh chĐt 10: ành thực cừa tẵch hai ma trên vuổng cũng cĐp bơng tẵch cĂc ành thực, tực l detpABq  detpAq detpBq, A, B P Mn. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 21 / 67
  8. Ghi chú ành thực Tẵnh ành thực bơng cĂch ữa vã dÔng tam giĂc ành thực v cĂc ph²p bián ời sỡ cĐp Ph²p bián ời sỡ cĐp Thay ời cừa ành thực 1. ời chộ hai dỏng (hai cởt) ành thực ời dĐu 2. NhƠn mởt dỏng (mởt cởt) vợi mởt số k  0 ành thực nhƠn vợi k 3. NhƠn mởt dỏng (mởt cởt) vợi mởt số ành thực khổng ời rỗi cởng v o mởt dỏng (mởt cởt) khĂc Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 22 / 67 Ghi chú ành thực Tẵnh ành thực bơng cĂch ữa vã dÔng tam giĂc Vẵ dử Tẵnh ành thực sau: 2 Ă1 3 1 1 Ă1 2 0 D  . 3 4 2 1 0 2 4 3 Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 23 / 67 Ghi chú ành thực Tẵnh ành thực bơng cĂch ữa vã dÔng tam giĂc Lới giÊi cho vẵ dử Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 24 / 67
  9. Ghi chú ành thực Tẵnh ành thực bơng cĂch ữa vã dÔng tam giĂc Lới giÊi cho vẵ dử Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 25 / 67 Ghi chú ành thực Tẵnh ành thực bơng cĂch ữa vã dÔng tam giĂc Vẵ dử Tẵnh ành thực sau: 5 2 2 2 2 5 2 2 A  2 2 5 2 2 2 2 5 Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 26 / 67 Ghi chú ành thực Tẵnh ành thực bơng cĂch ữa vã dÔng tam giĂc Lới giÊi cho vẵ dử Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 27 / 67
  10. Ghi chú ành thực Tẵnh ành thực bơng cĂch ữa vã dÔng tam giĂc Vẵ dử Tẵnh ành thực sau: 1 2 3 1 4 Ă3 10 2 D  . 2 7 6 1 3 2 7 4 Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 28 / 67 Ghi chú ành thực Tẵnh ành thực bơng cĂch ữa vã dÔng tam giĂc Lới giÊi cho vẵ dử Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 29 / 67 Ghi chú ành thực Tẵnh ành thực bơng cĂch ữa vã dÔng tam giĂc Lới giÊi cho vẵ dử Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 30 / 67
  11. Ghi chú Ma trên nghàch Êo KhĂi niằm ma trên nghàch Êo ành nghắa ma trên nghàch Êo ành nghắa Cho A l ma trên vuổng cĐp n. Ma trên vuổng B cũng cĐp ữủc gồi l ma trên nghàch Êo cừa A náu AB  BA  In. Ma trên nghàch Êo cừa A ữủc kẵ hiằu l AĂ1. Náu A cõ ma trên nghàch Êo thẳ A ữủc gồi l ma trên khÊ nghàch ho°c khổng suy bián. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 31 / 67 Ghi chú Ma trên nghàch Êo KhĂi niằm ma trên nghàch Êo Vẵ dử Tẳm nghàch Êo cừa cĂc ma trên sau:  1 0 I  2 0 1  Ă2 0 B  0 5  0 0 0  0 0  1 2 C  0 3 Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 32 / 67 Ghi chú Ma trên nghàch Êo iãu kiằn tỗn tÔi ma trên nghàch Êo iãu kiằn tỗn tÔi ma trên nghàch Êo ành lẵ Ma trên nghàch Êo AĂ1 cừa ma trên A náu cõ l duy nhĐt. ành lẵ iãu kiằn cƯn v ừ º ma trên vuổng A cõ nghàch Êo l detpAq  0. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 33 / 67
  12. Ghi chú Ma trên nghàch Êo iãu kiằn tỗn tÔi ma trên nghàch Êo Chựng minh ành lẵ iãu kiằn cƯn: GiÊ sỷ ma trên vuổng A cĐp n khÊ nghàch, tực l tỗn tÔi B º AB  BA  In. Theo tẵnh chĐt thự 10 cừa ành thực ta cõ 1  detpInq  detpABq  detpAq. detpBq. Do õ detpAq  0. iãu kiằn ừ: GiÊ sỷ detpAq  0 ta x²t ma trên B sau: Ô A11 A21 An1 Ư  1 ƯA12 A22 An2 B  Ư . . .  detpAq Ơ . . . A1n A2n Ann trong õ Aij l phƯn bũ Ôi số ựng vợi phƯn tỷ aij . Khi õ ta cõ thº chựng minh ữủc AB  BA  In. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 34 / 67 Ghi chú Ma trên nghàch Êo iãu kiằn tỗn tÔi ma trên nghàch Êo Cổng thực tẵnh ma trên nghàch Êo Cho A  paij qn. Khi õ Náu detpAq  0 thẳ A khổng cõ ma trên nghàch Êo. Náu detpAq  0 thẳ A cõ ma trên nghàch Êo ữủc tẵnh theo cổng thực: Ô A11 A21 An1 Ư  1 ƯA12 A22 An2 AĂ1  Ư . . .  detpAq Ơ . . . A1n A2n Ann trong õ Aij l phƯn bũ Ôi số ựng vợi phƯn tỷ aij . Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 35 / 67 Ghi chú Ma trên nghàch Êo iãu kiằn tỗn tÔi ma trên nghàch Êo Lới giÊi cho vẵ dử Tẳm nghàch Êo cừa ma trên sau: Ô 1 2 3 A  Ơ3 0 1 . 2 1 0 Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 36 / 67
  13. Ghi chú Ma trên nghàch Êo iãu kiằn tỗn tÔi ma trên nghàch Êo Lới giÊi cho vẵ dử Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 37 / 67 Ghi chú Ma trên nghàch Êo Mởt số tẵnh chĐt cừa ma trên nghàch Êo Vẵ dử ành lẵ Cho A, B l nhỳng ma trên vuổng khÊ nghàch v cõ ma trên nghàch Êo tữỡng ựng l AĂ1, BĂ1. Khi õ detpAq detpAĂ1q  1. AĂ1 cụng l ma trên khÊ nghàch v pAĂ1qĂ1  A. Am, m P N cụng l ma trên khÊ nghàch v pAmqĂ1  pAĂ1qm. 1 kA k  0 cụng l ma trên khÊ nghàch v pkAqĂ1  AĂ1. , k AB l ma trên khÊ nghàch v pABqĂ1  BĂ1AĂ1. Náu AX  B thẳ X  AĂ1B. Náu XA  B thẳ X  BAĂ1. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 38 / 67 Ghi chú Hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh KhĂi niằm hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh KhĂi niằm hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh tờng quĂt ành nghắa Mởt hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh tờng quĂt gỗm m phữỡng trẳnh n ân x1, x2, xn l mởt hằ phữỡng trẳnh cõ dÔng sau: $ ' a11x1 a12x2 a1nxn  b1 &' a x a x a x  b 21 1 22 2 2n n 2 (1) ' %' am1x1 am2x2 amnxn  bm trong õ cĂc aij , bi l cĂc hơng số thỹc. CĂc số aij ữủc gồi l cĂc hằ số cừa ân v cĂc số bi ữủc gồi l cĂc hằ số tỹ do. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 39 / 67
  14. Ghi chú Hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh KhĂi niằm hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh KhĂi niằm hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh tờng quĂt Vợi mội hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh dÔng (1): Ta °t Ô a11 a12 a1n Ư  Ưa21 a22 a2n  A  Ư . . .  Ơ . . . am1 am2 amn v gồi A l ma trên hằ số cừa hằ phữỡng trẳnh (1). Ta °t Ô a11 a12 a1n b1 Ư  Ưa21 a22 a2n b2  A  bs Ư . . . .  Ơ . . . . am1 am2 amn bm v gồi Abs l ma trên bờ sung cừa hằ phữỡng trẳnh (1). Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 40 / 67 Ghi chú Hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh KhĂi niằm hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh KhĂi niằm hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh tờng quĂt Ta °t Ô Ô x1 b1 Ư  Ư  Ưx2 Ưb2  X  Ư .  v B  Ư .  Ơ . Ơ . xn bm v gồi X l v²c tỡ cởt cừa cĂc ân, B l v²c tỡ cởt hằ số tỹ do. Mội hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh (1) cõ thº viát dữợi dÔng ma trên nhữ sau: Ô Ô Ô a11 a12 a1n x1 b1 Ư  Ư  Ư  Ưa21 a22 a2n  Ưx2 Ưb2   Ư . . .  Ư .  Ư .  Ơ . . . Ơ . Ơ . am1 am2 amn xn bm v vợi cĂch °t nhữ trản ta cõ thº viát hằ (1) dữợi dÔng ỡn giÊn: AX  B. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 41 / 67 Ghi chú Hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh KhĂi niằm hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh Vẵ dử X²t xem hằ n o sau l hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh: " 2x Ă x x  1 a. 1 2 3 x1 x2 x3  2 " x2 y z  1 b. xy 2y Ă z  Ă2 " ? ex y  3 c. Ăx 2 ln y  1 Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 42 / 67
  15. Ghi chú Hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh KhĂi niằm hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh KhĂi niằm vã hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh ành nghắa i. Mởt bở gỗm n số pc1, c2, , cnq ữủc gồi l mởt nghiằm cừa hằ (1) náu khi thay cĂc ân xi bði ci thẳ cĂc phữỡng trẳnh trong hằ trð th nh nhỳng ¯ng thực úng. ii. Têp hủp tĐt cÊ cĂc nghiằm cừa hằ (1) ữủc gồi têp hủp nghiằm hay têp nghiằm cừa hằ. iii. GiÊi mởt hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh l ta i tẳm têp nghiằm cừa hằ õ. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 43 / 67 Ghi chú Hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh GiÊi hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh tờng quĂt CƠu họi tẳnh huống GiÊi hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh sau: $ & 2x y z  1 x y z  2 % Ăx y 2z  3 Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 44 / 67 Ghi chú Hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh GiÊi hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh tờng quĂt CĂc ph²p bián ời tữỡng ữỡng CĂc ph²p bián ời tữỡng ữỡng sau khổng l m thay ời têp nghiằm cừa mởt hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh: ời chộ hai phữỡng trẳnh cừa hằ cho nhau; NhƠn hai vá cừa mởt phữỡng trẳnh cừa hằ vợi mởt số k  0; NhƠn hai vá cừa mởt phữỡng trẳnh cừa hằ vợi mởt số k rỗi cởng tữỡng ựng v o hai vá cừa mởt phữỡng trẳnh khĂc cừa hằ. Thỹc hiằn cĂc ph²p bián ời tữỡng ữỡng ối vợi hằ PTTT chẵnh l thỹc hiằn cĂc ph²p bián ời sỡ cĐp trản ma trên Abs cừa hằ. CĂc ph²p bián ời tữỡng ữỡng trản hằ ữa hằ PTTT cụ vã hằ PTTT mợi ỡn giÊn hỡn v hằ ỡn giÊn nhĐt tữỡng ựng vợi Abs cõ dÔng hẳnh thang. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 45 / 67
  16. Ghi chú Hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh GiÊi hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh tờng quĂt CƠu họi tẳnh huống X²t xem hằ phữỡng trẳnh n o sau Ơy cõ nghiằm? $ & x 2y z  1 y 2z  3 % z  4 $ & x 2y z  1 y 2z  3 % 0.z  4 " x 2y z  1 y 3z  5 Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 46 / 67 Ghi chú Hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh GiÊi hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh tờng quĂt iãu kiằn cõ nghiằm cừa hằ PTTT ành lẵ Hằ PTTT tờng quĂt AX  B cõ nghiằm khi v ch¿ khi rankpAq  rankpAbs q. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 47 / 67 Ghi chú Hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh GiÊi hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh tờng quĂt Phữỡng phĂp Gauss º giÊi hằ PTTT Qui trẳnh giÊi hằ PTTT theo phữỡng phĂp Gauss: Bữợc 1: Viát ma trên Abs ; Bữợc 2: Thỹc hiằn cĂc ph²p bián ời sỡ cĐp ữa ma trên Abs vã dÔng hẳnh thang; Bữợc 3: Kát luên: Náu rankpAq  rankpAbs q thẳ hằ vổ nghiằm; Náu rankpAq  rankpAbs q  r  n thẳ hằ cõ nghiằm duy nhĐt; Náu rankpAq  rankpAbs q  r n thẳ hằ cõ vổ số nghiằm. Trong trữớng hủp n y º giÊi nghiằm ta chồn biºu diạn r ân thổng qua n Ă r ân cỏn lÔi. Nhên x²t: Hằ PTTT AX  B ho°c vổ nghiằm ho°c cõ nghiằm duy nhĐt ho°c cõ vổ số nghiằm. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 48 / 67
  17. Ghi chú Hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh GiÊi hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh tờng quĂt Vẵ dử GiÊi hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh sau: $ & x1 2x2 Ă 3x3 4x4  1 2x Ă x Ă x 7x  2 % 1 2 3 4 3x1 x2 Ă 4x3 11x4  3 Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 49 / 67 Ghi chú Hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh GiÊi hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh tờng quĂt Lới giÊi cho vẵ dử Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 50 / 67 Ghi chú Hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh GiÊi hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh tờng quĂt Lới giÊi cho vẵ dử Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 51 / 67
  18. Ghi chú Hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh GiÊi hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh tờng quĂt Vẵ dử GiÊi v biằn luên hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh sau: $ & x Ă y z  1 Ăx 2y 2z  3 % 2x Ă 3y pa2 Ă 5qz  a. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 52 / 67 Ghi chú Hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh GiÊi hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh tờng quĂt Lới giÊi cho vẵ dử Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 53 / 67 Ghi chú Hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh GiÊi hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh tờng quĂt Lới giÊi cho vẵ dử Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 54 / 67
  19. Ghi chú Hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh Mởt số trữớng hủp °c biằt cừa hằ PTTT ành nghắa hằ Cramer ành nghắa Hằ PTTT AX  B ữủc gồi l hằ Cramer náu A l ma trên vuổng v detpAq  0. º giÊi hằ PTTT Cramer ta cõ thº dũng phữỡng phĂp Gauss ho°c dỹa trản cổng thực nghiằm Cramer qua kát quÊ cừa ành lẵ sau: Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 55 / 67 Ghi chú Hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh Mởt số trữớng hủp °c biằt cừa hằ PTTT ành lẵ Cramer ành lẵ (Quy tưc nghiằm Cramer) Hằ phữỡng trẳnh Cramer AX  B cõ nghiằm duy nhĐt px1, x2, , xnq ữủc xĂc ành theo cổng thực sau: |A | x  j j |A| trong õ |A| l ành thực cừa ma trên hằ số v a11 a1jĂ1 b1 a1j 1 a1n a21 a2jĂ1 b2 a2j 1 a2n |A |  . . . . @j  1 n j . . . . , , . . . . an1 anjĂ1 bn anj 1 ann Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 56 / 67 Ghi chú Hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh Mởt số trữớng hủp °c biằt cừa hằ PTTT Vẵ dử GiÊi hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh sau: $ & x Ă y z  1 Ăx 2y 2z  3 % 2x Ă 3y Ă 5z  0. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 57 / 67
  20. Ghi chú Hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh Mởt số trữớng hủp °c biằt cừa hằ PTTT Lới giÊi cho vẵ dử Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 58 / 67 Ghi chú Hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh Mởt số trữớng hủp °c biằt cừa hằ PTTT ành nghắa hằ PTTT thuƯn nhĐt ành nghắa Hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh AX  0 ữủc gồi l hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh thuƯn nhĐt. Nhên x²t: ối vợi hằ PTTT thuƯn nhĐt AX  0 thẳ rankpAq  rankpAbs q. Hằ PTTT thuƯn nhĐt AX  0 luổn cõ nghiằm X  0, nghiằm X  p0, 0, , 0q ữủc gồi l nghiằm tƯm thữớng cừa hằ. Hằ PTTT thuƯn nhĐt ho°c ch¿ cõ nghiằm tƯm thữớng ho°c cõ vổ số nghiằm. ành lẵ Hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh thuƯn nhĐt AX  0 vợi n phữỡng trẳnh n ân cõ nghiằm khổng tƯm thữớng khi v ch¿ khi detpAq  0. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 59 / 67 Ghi chú Hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh Mởt số trữớng hủp °c biằt cừa hằ PTTT Vẵ dử Tẳm a º hằ sau cõ nghiằm khổng tƯm thữớng: $ & ax y z  0 x ay z  0 % x y az  0 Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 60 / 67
  21. Ghi chú Hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh Mởt số trữớng hủp °c biằt cừa hằ PTTT Vẵ dử GiÊi hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh sau: $ & x 2y 2z  0 2x y z  0 % 3x y 2z  0. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 61 / 67 Ghi chú Hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh Mởt số trữớng hủp °c biằt cừa hằ PTTT Lới giÊi cho vẵ dử Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 62 / 67 Ghi chú Hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh Mởt số trữớng hủp °c biằt cừa hằ PTTT Mối liản hằ giỳa hÔng ma trên, ma trên nghàch Êo, ành thực v hằ PTTT ành lẵ Cho A l ma trên vuổng cĐp n. Khi õ cĂc phĂt biºu sau l tữỡng ữỡng: 1 Ma trên A khÊ nghàch; 2 Ma trên A cõ ành thực khĂc 0; 3 HÔng cừa A bơng n; 4 Hằ PTTT AX  B cõ nghiằm duy nhĐt; 5 Hằ PT thuƯn nhĐt AX  0 ch¿ cõ nghiằm tƯm thữớng. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 63 / 67
  22. Ghi chú Hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh Mởt số trữớng hủp °c biằt cừa hằ PTTT Mối liản hằ giỳa hÔng ma trên, ma trên nghàch Êo, ành thực v hằ PTTT ành lẵ Cho A l ma trên vuổng cĐp n. Khi õ cĂc phĂt biºu sau l tữỡng ữỡng: 1 Ma trên A khổng khÊ nghàch; 2 Ma trên A cõ ành thực bơng 0; 3 HÔng cừa A nhọ hỡn n; 4 Hằ PTTT AX  B vổ nghiằm ho°c cõ vổ số nghiằm; 5 Hằ PT thuƯn nhĐt AX  0 cõ vổ số nghiằm. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 64 / 67 Ghi chú Hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh Mởt số trữớng hủp °c biằt cừa hằ PTTT CƠu họi trưc nghiằm a. º tẳm hÔng cừa ma trên A, ta cõ thº thỹc hiằn cĂc ph²p bián ời sỡ cĐp trản dỏng ho°c cởt cừa A: a. úng b. Sai b. º tẵnh ành thực cừa ma trên vuổng A, ta cõ thº ta cõ thº thỹc hiằn cĂc ph²p bián ời sỡ cĐp trản dỏng ho°c cởt cừa A: a. úng b. Sai c. º giÊi hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh AX  B, ta cõ thº thỹc hiằn cĂc ph²p bián ời sỡ cĐp trản dỏng ho°c cởt cừa ma trên Abs : a. úng b. Sai Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 65 / 67 Ghi chú Hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh Mởt số trữớng hủp °c biằt cừa hằ PTTT CƠu họi trưc nghiằm Cho ma trên Ô 2 0 0 9 A  Ơ1 5 0 8 1 8 1 1 Khi i tẳm hÔng cừa A, ta ời chộ dỏng 1 v dỏng 2 cừa A cho nhau. HÂy x²t xem cĂch viát sau cõ hủp lẵ khổng? Ô Ô 2 0 0 9 1 5 0 8 A  Ơ1 5 0 8  Ă Ơ2 0 0 9 1 8 1 1 1 8 1 1 Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 66 / 67
  23. Ghi chú Hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh Mởt số trữớng hủp °c biằt cừa hằ PTTT CƠu họi trưc nghiằm Cho ành thực 2 0 9 10 2 5 8 0 A  6 8 1 1 8 0 2 1 Khi i tẵnh ành thực cừa ma trên A, ta lĐy dỏng 1 trứ cho dỏng 2, hÂy x²t xem ¯ng thực sau cõ úng khổng? 2 0 9 10 2 0 9 10 2 5 8 0 0 Ă5 Ă1 10  6 8 1 1 6 8 1 1 8 0 2 1 8 0 2 1 Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 67 / 67 Ghi chú Ghi chú