Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 3: Hệ phương trình tuyến tính

130 trang hapham 2130

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 3: Hệ phương trình tuyến tính", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_dai_so_tuyen_tinh_chuong_3_he_phuong_trinh_tuyen_t.pdf

Nội dung text: Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 3: Hệ phương trình tuyến tính

CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TS. Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng TP. HCM — 2011. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 1 / 29
 a x + a x + + a x + + a x = b  11 1 12 2 1j j 1n n 1   ai1x1 + ai2x2 + + aij xj + + ainxn = bi (1)    am1x1 + am2x2 + + amj xj + + amnxn = bm với aij ∈ K, bi ∈ K, i = 1, 2, , m; j = 1, 2, , n; x1, x2, , xn là các biến. Khái niệm tổng quát Định nghĩa 1 Định nghĩa 1 Định nghĩa Hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình và n ẩn là hệ có dạng: TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 2 / 29
Khái niệm tổng quát Định nghĩa 1 Định nghĩa 1 Định nghĩa Hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình và n ẩn là hệ có dạng:  a x + a x + + a x + + a x = b  11 1 12 2 1j j 1n n 1   ai1x1 + ai2x2 + + aij xj + + ainxn = bi (1)    am1x1 + am2x2 + + amj xj + + amnxn = bm với aij ∈ K, bi ∈ K, i = 1, 2, , m; j = 1, 2, , n; x1, x2, , xn là các biến. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 2 / 29
Định nghĩa Ma trận A = (aij ) ∈ Mm×n(K) được gọi là ma trận của hệ (1). Ma trận   a11 a12 a1j a1n b1     AB =  ai1 ai2 aij ain bi      a a a a b m1 m2 mj mn m m×(n+1) được gọi là ma trận mở rộng của hệ (1).     x1 b1  x2   b2  Nếu đặt X =   và B =   thì hệ (1) được viết dưới dạng  .   .   .   .  xn bm ma trận Am×nXn×1 = Bm×1. Hệ (1) được gọi là hệ thuần nhất nếu B = 0 và được gọi là hệ không thuần nhất nếu B 6= 0. Hệ thuần nhất luôn có nghiệm 0 0 0 T và gọi là nghiệm tầm thường. Khái niệm tổng quát Định nghĩa 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 3 / 29
    x1 b1  x2   b2  Nếu đặt X =   và B =   thì hệ (1) được viết dưới dạng  .   .   .   .  xn bm ma trận Am×nXn×1 = Bm×1. Hệ (1) được gọi là hệ thuần nhất nếu B = 0 và được gọi là hệ không thuần nhất nếu B 6= 0. Hệ thuần nhất luôn có nghiệm 0 0 0 T và gọi là nghiệm tầm thường. Khái niệm tổng quát Định nghĩa 1 Định nghĩa Ma trận A = (aij ) ∈ Mm×n(K) được gọi là ma trận của hệ (1). Ma trận   a11 a12 a1j a1n b1     AB =  ai1 ai2 aij ain bi      a a a a b m1 m2 mj mn m m×(n+1) được gọi là ma trận mở rộng của hệ (1). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 3 / 29
Hệ (1) được gọi là hệ thuần nhất nếu B = 0 và được gọi là hệ không thuần nhất nếu B 6= 0. Hệ thuần nhất luôn có nghiệm 0 0 0 T và gọi là nghiệm tầm thường. Khái niệm tổng quát Định nghĩa 1 Định nghĩa Ma trận A = (aij ) ∈ Mm×n(K) được gọi là ma trận của hệ (1). Ma trận   a11 a12 a1j a1n b1     AB =  ai1 ai2 aij ain bi      a a a a b m1 m2 mj mn m m×(n+1) được gọi là ma trận mở rộng của hệ (1).     x1 b1  x2   b2  Nếu đặt X =   và B =   thì hệ (1) được viết dưới dạng  .   .   .   .  xn bm ma trận Am×nXn×1 = Bm×1. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 3 / 29
và được gọi là hệ không thuần nhất nếu B 6= 0. Hệ thuần nhất luôn có nghiệm 0 0 0 T và gọi là nghiệm tầm thường. Khái niệm tổng quát Định nghĩa 1 Định nghĩa Ma trận A = (aij ) ∈ Mm×n(K) được gọi là ma trận của hệ (1). Ma trận   a11 a12 a1j a1n b1     AB =  ai1 ai2 aij ain bi      a a a a b m1 m2 mj mn m m×(n+1) được gọi là ma trận mở rộng của hệ (1).     x1 b1  x2   b2  Nếu đặt X =   và B =   thì hệ (1) được viết dưới dạng  .   .   .   .  xn bm ma trận Am×nXn×1 = Bm×1. Hệ (1) được gọi là hệ thuần nhất nếu B = 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 3 / 29
Hệ thuần nhất luôn có nghiệm 0 0 0 T và gọi là nghiệm tầm thường. Khái niệm tổng quát Định nghĩa 1 Định nghĩa Ma trận A = (aij ) ∈ Mm×n(K) được gọi là ma trận của hệ (1). Ma trận   a11 a12 a1j a1n b1     AB =  ai1 ai2 aij ain bi      a a a a b m1 m2 mj mn m m×(n+1) được gọi là ma trận mở rộng của hệ (1).     x1 b1  x2   b2  Nếu đặt X =   và B =   thì hệ (1) được viết dưới dạng  .   .   .   .  xn bm ma trận Am×nXn×1 = Bm×1. Hệ (1) được gọi là hệ thuần nhất nếu B = 0 và được gọi là hệ không thuần nhất nếu B 6= 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 3 / 29
Khái niệm tổng quát Định nghĩa 1 Định nghĩa Ma trận A = (aij ) ∈ Mm×n(K) được gọi là ma trận của hệ (1). Ma trận   a11 a12 a1j a1n b1     AB =  ai1 ai2 aij ain bi      a a a a b m1 m2 mj mn m m×(n+1) được gọi là ma trận mở rộng của hệ (1).     x1 b1  x2   b2  Nếu đặt X =   và B =   thì hệ (1) được viết dưới dạng  .   .   .   .  xn bm ma trận Am×nXn×1 = Bm×1. Hệ (1) được gọi là hệ thuần nhất nếu B = 0 và được gọi là hệ không thuần nhất nếu B 6= 0. Hệ thuần nhất luôn có nghiệm 0 0 0 T và gọi là nghiệm tầm thường. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 3 / 29
Định nghĩa   α1  α2  Véc-tơ α =  , α ∈ K, i = 1, 2, , n được gọi là 1 nghiệm của hệ  .  i  .  αn (1) nếu Aα = B. Định nghĩa Hệ (1) được gọi là hệ tương thích nếu nó có ít nhất 1 nghiệm và được gọi là hệ không tương thích nếu nó không có nghiệm. Định nghĩa Hệ (1) tương thích và chỉ có 1 nghiệm được gọi là hệ xác định, còn nếu nó có nhiều hơn 1 nghiệm gọi là hệ không xác định Khái niệm tổng quát Định nghĩa 2 Định nghĩa 2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 4 / 29
Định nghĩa Hệ (1) được gọi là hệ tương thích nếu nó có ít nhất 1 nghiệm và được gọi là hệ không tương thích nếu nó không có nghiệm. Định nghĩa Hệ (1) tương thích và chỉ có 1 nghiệm được gọi là hệ xác định, còn nếu nó có nhiều hơn 1 nghiệm gọi là hệ không xác định Khái niệm tổng quát Định nghĩa 2 Định nghĩa 2 Định nghĩa   α1  α2  Véc-tơ α =  , α ∈ K, i = 1, 2, , n được gọi là 1 nghiệm của hệ  .  i  .  αn (1) nếu Aα = B. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 4 / 29
Định nghĩa Hệ (1) tương thích và chỉ có 1 nghiệm được gọi là hệ xác định, còn nếu nó có nhiều hơn 1 nghiệm gọi là hệ không xác định Khái niệm tổng quát Định nghĩa 2 Định nghĩa 2 Định nghĩa   α1  α2  Véc-tơ α =  , α ∈ K, i = 1, 2, , n được gọi là 1 nghiệm của hệ  .  i  .  αn (1) nếu Aα = B. Định nghĩa Hệ (1) được gọi là hệ tương thích nếu nó có ít nhất 1 nghiệm và được gọi là hệ không tương thích nếu nó không có nghiệm. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 4 / 29
Khái niệm tổng quát Định nghĩa 2 Định nghĩa 2 Định nghĩa   α1  α2  Véc-tơ α =  , α ∈ K, i = 1, 2, , n được gọi là 1 nghiệm của hệ  .  i  .  αn (1) nếu Aα = B. Định nghĩa Hệ (1) được gọi là hệ tương thích nếu nó có ít nhất 1 nghiệm và được gọi là hệ không tương thích nếu nó không có nghiệm. Định nghĩa Hệ (1) tương thích và chỉ có 1 nghiệm được gọi là hệ xác định, còn nếu nó có nhiều hơn 1 nghiệm gọi là hệ không xác định TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 4 / 29
Định nghĩa Hệ phương trình Cramer là hệ phương trình tuyến tính có số ẩn, số phương trình bằng nhau và ma trận của hệ là không suy biến. Tức là hệ có dạng  a x + a x + + a x + + a x = b  11 1 12 2 1i i 1n n 1   ai1x1 + ai2x2 + + aii xi + + ainxn = bi (2)    an1x1 + an2x2 + + ani xi + + annxn = bn trong đó A = (aij ) ∈ Mn(K) và detA 6= 0. Hệ phương trình Cramer Định nghĩa TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 5 / 29
 a x + a x + + a x + + a x = b  11 1 12 2 1i i 1n n 1   ai1x1 + ai2x2 + + aii xi + + ainxn = bi (2)    an1x1 + an2x2 + + ani xi + + annxn = bn trong đó A = (aij ) ∈ Mn(K) và detA 6= 0. Hệ phương trình Cramer Định nghĩa Định nghĩa Hệ phương trình Cramer là hệ phương trình tuyến tính có số ẩn, số phương trình bằng nhau và ma trận của hệ là không suy biến. Tức là hệ có dạng TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 5 / 29
Hệ phương trình Cramer Định nghĩa Định nghĩa Hệ phương trình Cramer là hệ phương trình tuyến tính có số ẩn, số phương trình bằng nhau và ma trận của hệ là không suy biến. Tức là hệ có dạng  a x + a x + + a x + + a x = b  11 1 12 2 1i i 1n n 1   ai1x1 + ai2x2 + + aii xi + + ainxn = bi (2)    an1x1 + an2x2 + + ani xi + + annxn = bn trong đó A = (aij ) ∈ Mn(K) và detA 6= 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 5 / 29
Định lý |A | Hệ Cramer (2) có nghiệm duy nhất x = i , i = 1, 2, , n trong đó định i |A| thức |Ai | nhận được từ |A| bằng cách thay cột thứ i bởi cột hệ số tự do T B = b1 b2 bn a11 a12 a1i a1n a11 a12 b1 a1n |A| = ai1 ai2 aii ain ⇒ |Ai | = ai1 ai2 bi ain an1 an2 ani ann an1 an2 bn ann Hệ phương trình Cramer Định lý Cramer Định lý Cramer TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 6 / 29
a11 a12 a1i a1n a11 a12 b1 a1n |A| = ai1 ai2 aii ain ⇒ |Ai | = ai1 ai2 bi ain an1 an2 ani ann an1 an2 bn ann Hệ phương trình Cramer Định lý Cramer Định lý Cramer Định lý |A | Hệ Cramer (2) có nghiệm duy nhất x = i , i = 1, 2, , n trong đó định i |A| thức |Ai | nhận được từ |A| bằng cách thay cột thứ i bởi cột hệ số tự do T B = b1 b2 bn TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 6 / 29
a11 a12 b1 a1n ⇒ |Ai | = ai1 ai2 bi ain an1 an2 bn ann Hệ phương trình Cramer Định lý Cramer Định lý Cramer Định lý |A | Hệ Cramer (2) có nghiệm duy nhất x = i , i = 1, 2, , n trong đó định i |A| thức |Ai | nhận được từ |A| bằng cách thay cột thứ i bởi cột hệ số tự do T B = b1 b2 bn a11 a12 a1i a1n |A| = ai1 ai2 aii ain an1 an2 ani ann TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 6 / 29
Hệ phương trình Cramer Định lý Cramer Định lý Cramer Định lý |A | Hệ Cramer (2) có nghiệm duy nhất x = i , i = 1, 2, , n trong đó định i |A| thức |Ai | nhận được từ |A| bằng cách thay cột thứ i bởi cột hệ số tự do T B = b1 b2 bn a11 a12 a1i a1n a11 a12 b1 a1n |A| = ai1 ai2 aii ain ⇒ |Ai | = ai1 ai2 bi ain an1 an2 ani ann an1 an2 bn ann TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 6 / 29
Chú ý. Nếu B = 0, detA 6= 0 thì hệ (2) có nghiệm duy nhất X = 0. Nếu B = 0, detA = 0 thì hệ (2) có vô số nghiệm.   A11 A21 Ai1 An1   b1    b2  PA 1   X = .B =  A1i A2i Aii Ani   .  hay |A| |A|    .      bn A1n A2n Ain Ann a11 a12 b1 a1n n 1 P 1 |Ai | xi = Aki bk = ai1 ai2 bi ain = |A| |A| |A| k=1 an1 an2 bn ann với i = 1, 2, , n Hệ phương trình Cramer Định lý Cramer Chứng minh. Hệ (2) ⇔ AX = B ⇔ X = A−1B hay TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 7 / 29
Chú ý. Nếu B = 0, detA 6= 0 thì hệ (2) có nghiệm duy nhất X = 0. Nếu B = 0, detA = 0 thì hệ (2) có vô số nghiệm. Hệ phương trình Cramer Định lý Cramer Chứng minh. Hệ (2) ⇔ AX = B ⇔ X = A−1B hay   A11 A21 Ai1 An1   b1    b2  PA 1   X = .B =  A1i A2i Aii Ani   .  hay |A| |A|    .      bn A1n A2n Ain Ann a11 a12 b1 a1n n 1 P 1 |Ai | xi = Aki bk = ai1 ai2 bi ain = |A| |A| |A| k=1 an1 an2 bn ann với i = 1, 2, , n TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 7 / 29
Chú ý. Nếu B = 0, detA 6= 0 thì hệ (2) có nghiệm duy nhất X = 0. Nếu B = 0, detA = 0 thì hệ (2) có vô số nghiệm. Hệ phương trình Cramer Định lý Cramer Chứng minh. Hệ (2) ⇔ AX = B ⇔ X = A−1B hay   A11 A21 Ai1 An1   b1    b2  PA 1   X = .B =  A1i A2i Aii Ani   .  |A| |A|    .      bn A1n A2n Ain Ann hay a11 a12 b1 a1n n 1 P 1 |Ai | xi = Aki bk = ai1 ai2 bi ain = |A| |A| |A| k=1 an1 an2 bn ann với i = 1, 2, , n TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 7 / 29
Hệ phương trình Cramer Định lý Cramer Chứng minh. Hệ (2) ⇔ AX = B ⇔ X = A−1B hay   A11 A21 Ai1 An1   b1    b2  PA 1   X = .B =  A1i A2i Aii Ani   .  hay |A| |A|    .      bn A1n A2n Ain Ann a11 a12 b1 a1n n 1 P 1 |Ai | xi = Aki bk = ai1 ai2 bi ain = |A| |A| |A| k=1 an1 an2 bn ann với i = 1, 2, , n Chú ý. Nếu B = 0, detA 6= 0 thì hệ (2) có nghiệm duy nhất X = 0. Nếu B = 0, detA = 0 thì hệ (2) có vô số nghiệm. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 7 / 29
Giải hệ phương trình   2x − 2y − z = −1 y + z = 1  −x + y + z = −1 Giải. Ta có 2 −2 −1 −1 −2 −1 |A| = 0 1 1 = 1; |A1| = 1 1 1 = 2; −1 1 1 −1 1 1 2 −1 −1 2 −2 −1 |A2| = 0 1 1 = 4; |A3| = 0 1 1 = −3; −1 −1 1 −1 1 −1 |A | |A | |A | Vậy x = 1 = 2, y = 2 = 4, z = 3 = −3 |A| |A| |A| Hệ phương trình Cramer Định lý Cramer Ví dụ TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 8 / 29
Giải. Ta có 2 −2 −1 −1 −2 −1 |A| = 0 1 1 = 1; |A1| = 1 1 1 = 2; −1 1 1 −1 1 1 2 −1 −1 2 −2 −1 |A2| = 0 1 1 = 4; |A3| = 0 1 1 = −3; −1 −1 1 −1 1 −1 |A | |A | |A | Vậy x = 1 = 2, y = 2 = 4, z = 3 = −3 |A| |A| |A| Hệ phương trình Cramer Định lý Cramer Ví dụ Giải hệ phương trình   2x − 2y − z = −1 y + z = 1  −x + y + z = −1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 8 / 29
|A | |A | |A | Vậy x = 1 = 2, y = 2 = 4, z = 3 = −3 |A| |A| |A| Hệ phương trình Cramer Định lý Cramer Ví dụ Giải hệ phương trình   2x − 2y − z = −1 y + z = 1  −x + y + z = −1 Giải. Ta có 2 −2 −1 −1 −2 −1 |A| = 0 1 1 = 1; |A1| = 1 1 1 = 2; −1 1 1 −1 1 1 2 −1 −1 2 −2 −1 |A2| = 0 1 1 = 4; |A3| = 0 1 1 = −3; −1 −1 1 −1 1 −1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 8 / 29
Hệ phương trình Cramer Định lý Cramer Ví dụ Giải hệ phương trình   2x − 2y − z = −1 y + z = 1  −x + y + z = −1 Giải. Ta có 2 −2 −1 −1 −2 −1 |A| = 0 1 1 = 1; |A1| = 1 1 1 = 2; −1 1 1 −1 1 1 2 −1 −1 2 −2 −1 |A2| = 0 1 1 = 4; |A3| = 0 1 1 = −3; −1 −1 1 −1 1 −1 |A | |A | |A | Vậy x = 1 = 2, y = 2 = 4, z = 3 = −3 |A| |A| |A| TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 8 / 29
Xét hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình và n ẩn  a x + a x + + a x + + a x = b  11 1 12 2 1j j 1n n 1   ai1x1 + ai2x2 + + aij xj + + ainxn = bi    am1x1 + am2x2 + + amj xj + + amnxn = bm Nếu thực hiện các phép biến đổi sơ cấp sau trên hệ (1): 1 Đổi chỗ các phương trình của hệ (hi ↔ hj ) hay ci ↔ cj có đánh số lại các ẩn. 2 Nhân vào một phương trình của hệ một số λ 6= 0(hi → λhi ). 3 Cộng vào một phương trình của hệ một phương trình khác đã được nhân với một số (hi → hi + λhj ) thì ta sẽ được một hệ phương trình mới tương đương với hệ (1). Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Hệ phương trình tương đương Sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên hàng để giải hệ TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 9 / 29
Nếu thực hiện các phép biến đổi sơ cấp sau trên hệ (1): 1 Đổi chỗ các phương trình của hệ (hi ↔ hj ) hay ci ↔ cj có đánh số lại các ẩn. 2 Nhân vào một phương trình của hệ một số λ 6= 0(hi → λhi ). 3 Cộng vào một phương trình của hệ một phương trình khác đã được nhân với một số (hi → hi + λhj ) thì ta sẽ được một hệ phương trình mới tương đương với hệ (1). Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Hệ phương trình tương đương Sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên hàng để giải hệ Xét hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình và n ẩn  a x + a x + + a x + + a x = b  11 1 12 2 1j j 1n n 1   ai1x1 + ai2x2 + + aij xj + + ainxn = bi    am1x1 + am2x2 + + amj xj + + amnxn = bm TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 9 / 29
2 Nhân vào một phương trình của hệ một số λ 6= 0(hi → λhi ). 3 Cộng vào một phương trình của hệ một phương trình khác đã được nhân với một số (hi → hi + λhj ) thì ta sẽ được một hệ phương trình mới tương đương với hệ (1). Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Hệ phương trình tương đương Sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên hàng để giải hệ Xét hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình và n ẩn  a x + a x + + a x + + a x = b  11 1 12 2 1j j 1n n 1   ai1x1 + ai2x2 + + aij xj + + ainxn = bi    am1x1 + am2x2 + + amj xj + + amnxn = bm Nếu thực hiện các phép biến đổi sơ cấp sau trên hệ (1): 1 Đổi chỗ các phương trình của hệ (hi ↔ hj ) hay ci ↔ cj có đánh số lại các ẩn. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 9 / 29
3 Cộng vào một phương trình của hệ một phương trình khác đã được nhân với một số (hi → hi + λhj ) thì ta sẽ được một hệ phương trình mới tương đương với hệ (1). Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Hệ phương trình tương đương Sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên hàng để giải hệ Xét hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình và n ẩn  a x + a x + + a x + + a x = b  11 1 12 2 1j j 1n n 1   ai1x1 + ai2x2 + + aij xj + + ainxn = bi    am1x1 + am2x2 + + amj xj + + amnxn = bm Nếu thực hiện các phép biến đổi sơ cấp sau trên hệ (1): 1 Đổi chỗ các phương trình của hệ (hi ↔ hj ) hay ci ↔ cj có đánh số lại các ẩn. 2 Nhân vào một phương trình của hệ một số λ 6= 0(hi → λhi ). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 9 / 29
thì ta sẽ được một hệ phương trình mới tương đương với hệ (1). Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Hệ phương trình tương đương Sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên hàng để giải hệ Xét hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình và n ẩn  a x + a x + + a x + + a x = b  11 1 12 2 1j j 1n n 1   ai1x1 + ai2x2 + + aij xj + + ainxn = bi    am1x1 + am2x2 + + amj xj + + amnxn = bm Nếu thực hiện các phép biến đổi sơ cấp sau trên hệ (1): 1 Đổi chỗ các phương trình của hệ (hi ↔ hj ) hay ci ↔ cj có đánh số lại các ẩn. 2 Nhân vào một phương trình của hệ một số λ 6= 0(hi → λhi ). 3 Cộng vào một phương trình của hệ một phương trình khác đã được nhân với một số (hi → hi + λhj ) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 9 / 29
Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Hệ phương trình tương đương Sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên hàng để giải hệ Xét hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình và n ẩn  a x + a x + + a x + + a x = b  11 1 12 2 1j j 1n n 1   ai1x1 + ai2x2 + + aij xj + + ainxn = bi    am1x1 + am2x2 + + amj xj + + amnxn = bm Nếu thực hiện các phép biến đổi sơ cấp sau trên hệ (1): 1 Đổi chỗ các phương trình của hệ (hi ↔ hj ) hay ci ↔ cj có đánh số lại các ẩn. 2 Nhân vào một phương trình của hệ một số λ 6= 0(hi → λhi ). 3 Cộng vào một phương trình của hệ một phương trình khác đã được nhân với một số (hi → hi + λhj ) thì ta sẽ được một hệ phương trình mới tương đương với hệ (1). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 9 / 29
Định lý Hệ phương trình tuyến tính tổng quát m phương trình, n ẩn (1) có nghiệm ⇔ r(A) = r(AB ).   a11 a12 a1r a1n b1     biến đổi sơ cấp trên hàng  ar1 ar2 arr ain br  −−−−−−−−−−−−−−−−−−−→     am1 anm2 amr amn bm   c11 c12 c1r c1n d1  0 c22 c2r c2n d2         0 0 crr crn dr  với cii 6= 0, i = 1, 2, , r.    0 0 0 0 dr+1      0 0 0 0 0 Nếu dr+1 6= 0 thì hệ (1) vô nghiệm và r(AB ) = r + 1 6= r(A) = r. Nếu dr+1 = 0 thì hệ (1) có nghiệm và r(AB ) = r(A) = r Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Định lý Kronecker-Capelli Định lý Kronecker-Capelli TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 10 / 29
  a11 a12 a1r a1n b1     biến đổi sơ cấp trên hàng  ar1 ar2 arr ain br  −−−−−−−−−−−−−−−−−−−→     am1 anm2 amr amn bm   c11 c12 c1r c1n d1  0 c22 c2r c2n d2         0 0 crr crn dr  với cii 6= 0, i = 1, 2, , r.    0 0 0 0 dr+1      0 0 0 0 0 Nếu dr+1 6= 0 thì hệ (1) vô nghiệm và r(AB ) = r + 1 6= r(A) = r. Nếu dr+1 = 0 thì hệ (1) có nghiệm và r(AB ) = r(A) = r Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Định lý Kronecker-Capelli Định lý Kronecker-Capelli Định lý Hệ phương trình tuyến tính tổng quát m phương trình, n ẩn (1) có nghiệm ⇔ r(A) = r(AB ). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 10 / 29
Nếu dr+1 6= 0 thì hệ (1) vô nghiệm và r(AB ) = r + 1 6= r(A) = r. Nếu dr+1 = 0 thì hệ (1) có nghiệm và r(AB ) = r(A) = r Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Định lý Kronecker-Capelli Định lý Kronecker-Capelli Định lý Hệ phương trình tuyến tính tổng quát m phương trình, n ẩn (1) có nghiệm ⇔ r(A) = r(AB ).   a11 a12 a1r a1n b1     biến đổi sơ cấp trên hàng  ar1 ar2 arr ain br  −−−−−−−−−−−−−−−−−−−→     am1 anm2 amr amn bm   c11 c12 c1r c1n d1  0 c22 c2r c2n d2         0 0 crr crn dr  với cii 6= 0, i = 1, 2, , r.    0 0 0 0 dr+1      0 0 0 0 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 10 / 29
Nếu dr+1 = 0 thì hệ (1) có nghiệm và r(AB ) = r(A) = r Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Định lý Kronecker-Capelli Định lý Kronecker-Capelli Định lý Hệ phương trình tuyến tính tổng quát m phương trình, n ẩn (1) có nghiệm ⇔ r(A) = r(AB ).   a11 a12 a1r a1n b1     biến đổi sơ cấp trên hàng  ar1 ar2 arr ain br  −−−−−−−−−−−−−−−−−−−→     am1 anm2 amr amn bm   c11 c12 c1r c1n d1  0 c22 c2r c2n d2         0 0 crr crn dr  với cii 6= 0, i = 1, 2, , r.    0 0 0 0 dr+1      0 0 0 0 0 Nếu dr+1 6= 0 thì hệ (1) vô nghiệm và r(AB ) = r + 1 6= r(A) = r. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 10 / 29
Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Định lý Kronecker-Capelli Định lý Kronecker-Capelli Định lý Hệ phương trình tuyến tính tổng quát m phương trình, n ẩn (1) có nghiệm ⇔ r(A) = r(AB ).   a11 a12 a1r a1n b1     biến đổi sơ cấp trên hàng  ar1 ar2 arr ain br  −−−−−−−−−−−−−−−−−−−→     am1 anm2 amr amn bm   c11 c12 c1r c1n d1  0 c22 c2r c2n d2         0 0 crr crn dr  với cii 6= 0, i = 1, 2, , r.    0 0 0 0 dr+1      0 0 0 0 0 Nếu dr+1 6= 0 thì hệ (1) vô nghiệm và r(AB ) = r + 1 6= r(A) = r. Nếu dr+1 = 0 thì hệ (1) có nghiệm và r(AB ) = r(A) = r TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 10 / 29
1 Viết ma trận mở rộng AB = (A|B) của hệ (1). 2 Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng biến đổi ma trận mở rộng về ma trận bậc thang. 3 Viết hệ phương trình tương ứng với ma trận bậc thang. 4 Nếu r(AB ) > r(A) thì hệ (1) vô nghiệm. 5 Nếu r(AB ) = r(A) = r thì hệ có nghiệm. Nếu r = n (số biến) thì ta giải hệ phương trình ngược từ dưới lên, tìm biến xn sau đó xn−1, , x1 ta được 1 nghiệm duy nhất. Nếu r < n thì ta xác định r biến cơ sở - là các biến ứng với các cột chứa r phần tử cơ sở của ma trận bậc thang. Cho (n − r) biến tự do còn lại những giá trị bất kỳ và chuyển chúng sang vế phải. Giải hệ tìm các biến cơ sở. Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 11 / 29
2 Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng biến đổi ma trận mở rộng về ma trận bậc thang. 3 Viết hệ phương trình tương ứng với ma trận bậc thang. 4 Nếu r(AB ) > r(A) thì hệ (1) vô nghiệm. 5 Nếu r(AB ) = r(A) = r thì hệ có nghiệm. Nếu r = n (số biến) thì ta giải hệ phương trình ngược từ dưới lên, tìm biến xn sau đó xn−1, , x1 ta được 1 nghiệm duy nhất. Nếu r < n thì ta xác định r biến cơ sở - là các biến ứng với các cột chứa r phần tử cơ sở của ma trận bậc thang. Cho (n − r) biến tự do còn lại những giá trị bất kỳ và chuyển chúng sang vế phải. Giải hệ tìm các biến cơ sở. Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss 1 Viết ma trận mở rộng AB = (A|B) của hệ (1). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 11 / 29
3 Viết hệ phương trình tương ứng với ma trận bậc thang. 4 Nếu r(AB ) > r(A) thì hệ (1) vô nghiệm. 5 Nếu r(AB ) = r(A) = r thì hệ có nghiệm. Nếu r = n (số biến) thì ta giải hệ phương trình ngược từ dưới lên, tìm biến xn sau đó xn−1, , x1 ta được 1 nghiệm duy nhất. Nếu r < n thì ta xác định r biến cơ sở - là các biến ứng với các cột chứa r phần tử cơ sở của ma trận bậc thang. Cho (n − r) biến tự do còn lại những giá trị bất kỳ và chuyển chúng sang vế phải. Giải hệ tìm các biến cơ sở. Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss 1 Viết ma trận mở rộng AB = (A|B) của hệ (1). 2 Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng biến đổi ma trận mở rộng về ma trận bậc thang. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 11 / 29
4 Nếu r(AB ) > r(A) thì hệ (1) vô nghiệm. 5 Nếu r(AB ) = r(A) = r thì hệ có nghiệm. Nếu r = n (số biến) thì ta giải hệ phương trình ngược từ dưới lên, tìm biến xn sau đó xn−1, , x1 ta được 1 nghiệm duy nhất. Nếu r < n thì ta xác định r biến cơ sở - là các biến ứng với các cột chứa r phần tử cơ sở của ma trận bậc thang. Cho (n − r) biến tự do còn lại những giá trị bất kỳ và chuyển chúng sang vế phải. Giải hệ tìm các biến cơ sở. Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss 1 Viết ma trận mở rộng AB = (A|B) của hệ (1). 2 Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng biến đổi ma trận mở rộng về ma trận bậc thang. 3 Viết hệ phương trình tương ứng với ma trận bậc thang. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 11 / 29
5 Nếu r(AB ) = r(A) = r thì hệ có nghiệm. Nếu r = n (số biến) thì ta giải hệ phương trình ngược từ dưới lên, tìm biến xn sau đó xn−1, , x1 ta được 1 nghiệm duy nhất. Nếu r r(A) thì hệ (1) vô nghiệm. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 11 / 29
Nếu r = n (số biến) thì ta giải hệ phương trình ngược từ dưới lên, tìm biến xn sau đó xn−1, , x1 ta được 1 nghiệm duy nhất. Nếu r r(A) thì hệ (1) vô nghiệm. 5 Nếu r(AB ) = r(A) = r thì hệ có nghiệm. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 11 / 29
Nếu r r(A) thì hệ (1) vô nghiệm. 5 Nếu r(AB ) = r(A) = r thì hệ có nghiệm. Nếu r = n (số biến) thì ta giải hệ phương trình ngược từ dưới lên, tìm biến xn sau đó xn−1, , x1 ta được 1 nghiệm duy nhất. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 11 / 29
Cho (n − r) biến tự do còn lại những giá trị bất kỳ và chuyển chúng sang vế phải. Giải hệ tìm các biến cơ sở. Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss 1 Viết ma trận mở rộng AB = (A|B) của hệ (1). 2 Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng biến đổi ma trận mở rộng về ma trận bậc thang. 3 Viết hệ phương trình tương ứng với ma trận bậc thang. 4 Nếu r(AB ) > r(A) thì hệ (1) vô nghiệm. 5 Nếu r(AB ) = r(A) = r thì hệ có nghiệm. Nếu r = n (số biến) thì ta giải hệ phương trình ngược từ dưới lên, tìm biến xn sau đó xn−1, , x1 ta được 1 nghiệm duy nhất. Nếu r < n thì ta xác định r biến cơ sở - là các biến ứng với các cột chứa r phần tử cơ sở của ma trận bậc thang. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 11 / 29
Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss 1 Viết ma trận mở rộng AB = (A|B) của hệ (1). 2 Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng biến đổi ma trận mở rộng về ma trận bậc thang. 3 Viết hệ phương trình tương ứng với ma trận bậc thang. 4 Nếu r(AB ) > r(A) thì hệ (1) vô nghiệm. 5 Nếu r(AB ) = r(A) = r thì hệ có nghiệm. Nếu r = n (số biến) thì ta giải hệ phương trình ngược từ dưới lên, tìm biến xn sau đó xn−1, , x1 ta được 1 nghiệm duy nhất. Nếu r < n thì ta xác định r biến cơ sở - là các biến ứng với các cột chứa r phần tử cơ sở của ma trận bậc thang. Cho (n − r) biến tự do còn lại những giá trị bất kỳ và chuyển chúng sang vế phải. Giải hệ tìm các biến cơ sở. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 11 / 29
Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss Phương pháp Gauss 1 Viết ma trận mở rộng AB = (A|B) của hệ (1). 2 Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng biến đổi ma trận mở rộng về ma trận bậc thang. 3 Viết hệ phương trình tương ứng với ma trận bậc thang. 4 Nếu r(AB ) > r(A) thì hệ (1) vô nghiệm. 5 Nếu r(AB ) = r(A) = r thì hệ có nghiệm. Nếu r = n (số biến) thì ta giải hệ phương trình ngược từ dưới lên, tìm biến xn sau đó xn−1, , x1 ta được 1 nghiệm duy nhất. Nếu r < n thì ta xác định r biến cơ sở - là các biến ứng với các cột chứa r phần tử cơ sở của ma trận bậc thang. Cho (n − r) biến tự do còn lại những giá trị bất kỳ và chuyển chúng sang vế phải. Giải hệ tìm các biến cơ sở. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 11 / 29
Giải hệ phương trình  x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 7   2x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 6 3x1 + 2x2 + x3 + 2x4 = 7   4x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 18 Giải.     1 2 3 4 7 h2→h2−2h1 1 2 3 4 7 h3→h3−3h1  2 1 2 3 6  h4→h4−4h1  0 −3 −4 −5 −8    −−−−−−−→    3 2 1 2 7   0 −4 −8 −10 −14  4 3 2 1 18 0 −5 −10 −15 10   1 2 3 4 7 h3→h3+4h2 h2→h2−h3  0 1 4 5 6  h4→h4+5h2 −−−−−−→   −−−−−−−→  0 −4 −8 −10 −14  0 −5 −10 −15 10 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss Ví dụ TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 12 / 29
Giải.     1 2 3 4 7 h2→h2−2h1 1 2 3 4 7 h3→h3−3h1  2 1 2 3 6  h4→h4−4h1  0 −3 −4 −5 −8    −−−−−−−→    3 2 1 2 7   0 −4 −8 −10 −14  4 3 2 1 18 0 −5 −10 −15 10   1 2 3 4 7 h3→h3+4h2 h2→h2−h3  0 1 4 5 6  h4→h4+5h2 −−−−−−→   −−−−−−−→  0 −4 −8 −10 −14  0 −5 −10 −15 10 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss Ví dụ Giải hệ phương trình  x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 7   2x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 6 3x1 + 2x2 + x3 + 2x4 = 7   4x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 18 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 12 / 29
  1 2 3 4 7  0 −3 −4 −5 −8     0 −4 −8 −10 −14  0 −5 −10 −15 10   1 2 3 4 7 h3→h3+4h2 h2→h2−h3  0 1 4 5 6  h4→h4+5h2 −−−−−−→   −−−−−−−→  0 −4 −8 −10 −14  0 −5 −10 −15 10 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss Ví dụ Giải hệ phương trình  x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 7   2x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 6 3x1 + 2x2 + x3 + 2x4 = 7   4x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 18 Giải.   1 2 3 4 7 h2→h2−2h1 h3→h3−3h1  2 1 2 3 6  h4→h4−4h1   −−−−−−−→  3 2 1 2 7  4 3 2 1 18 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 12 / 29
  1 2 3 4 7 h3→h3+4h2 h2→h2−h3  0 1 4 5 6  h4→h4+5h2 −−−−−−→   −−−−−−−→  0 −4 −8 −10 −14  0 −5 −10 −15 10 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss Ví dụ Giải hệ phương trình  x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 7   2x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 6 3x1 + 2x2 + x3 + 2x4 = 7   4x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 18 Giải.     1 2 3 4 7 h2→h2−2h1 1 2 3 4 7 h3→h3−3h1  2 1 2 3 6  h4→h4−4h1  0 −3 −4 −5 −8    −−−−−−−→    3 2 1 2 7   0 −4 −8 −10 −14  4 3 2 1 18 0 −5 −10 −15 10 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 12 / 29
Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss Ví dụ Giải hệ phương trình  x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 7   2x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 6 3x1 + 2x2 + x3 + 2x4 = 7   4x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 18 Giải.     1 2 3 4 7 h2→h2−2h1 1 2 3 4 7 h3→h3−3h1  2 1 2 3 6  h4→h4−4h1  0 −3 −4 −5 −8    −−−−−−−→    3 2 1 2 7   0 −4 −8 −10 −14  4 3 2 1 18 0 −5 −10 −15 10   1 2 3 4 7 h3→h3+4h2 h2→h2−h3  0 1 4 5 6  h4→h4+5h2 −−−−−−→   −−−−−−−→  0 −4 −8 −10 −14  0 −5 −10 −15 10 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 12 / 29
    1 2 3 4 7 h3↔h4 1 2 3 4 7 h → 1 h  0 1 4 5 6  3 10 3  0 1 4 5 6  h4→h4−8h3   −−−−−→   −−−−−−−→  0 0 8 10 10   0 0 1 1 2  0 0 10 20 20 0 0 8 10 10   1 2 3 4 7  0 1 4 5 6    .  0 0 1 1 2  0 0 0 2 −6 Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau  x + 2x + 3x + 4x = 7  x = 2  1 2 3 4  1  x + 4x + 5x = 6  x = 1 2 3 4 ⇔ 2 x3 + x4 = 2 x3 = 5    2x4 = −6  x4 = −3 Suy ra hệ đã cho có 1 nghiệm duy nhất (x1, x2, x3, x4) = (2, 1, 5, −3) Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 13 / 29
  1 2 3 4 7  0 1 4 5 6  h4→h4−8h3   −−−−−−−→  0 0 1 1 2  0 0 8 10 10   1 2 3 4 7  0 1 4 5 6    .  0 0 1 1 2  0 0 0 2 −6 Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau  x + 2x + 3x + 4x = 7  x = 2  1 2 3 4  1  x + 4x + 5x = 6  x = 1 2 3 4 ⇔ 2 x3 + x4 = 2 x3 = 5    2x4 = −6  x4 = −3 Suy ra hệ đã cho có 1 nghiệm duy nhất (x1, x2, x3, x4) = (2, 1, 5, −3) Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss   1 2 3 4 7 h3↔h4 h → 1 h  0 1 4 5 6  3 10 3   −−−−−→  0 0 8 10 10  0 0 10 20 20 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 13 / 29
  1 2 3 4 7  0 1 4 5 6    .  0 0 1 1 2  0 0 0 2 −6 Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau  x + 2x + 3x + 4x = 7  x = 2  1 2 3 4  1  x + 4x + 5x = 6  x = 1 2 3 4 ⇔ 2 x3 + x4 = 2 x3 = 5    2x4 = −6  x4 = −3 Suy ra hệ đã cho có 1 nghiệm duy nhất (x1, x2, x3, x4) = (2, 1, 5, −3) Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss     1 2 3 4 7 h3↔h4 1 2 3 4 7 h → 1 h  0 1 4 5 6  3 10 3  0 1 4 5 6  h4→h4−8h3   −−−−−→   −−−−−−−→  0 0 8 10 10   0 0 1 1 2  0 0 10 20 20 0 0 8 10 10 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 13 / 29
Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau  x + 2x + 3x + 4x = 7  x = 2  1 2 3 4  1  x + 4x + 5x = 6  x = 1 2 3 4 ⇔ 2 x3 + x4 = 2 x3 = 5    2x4 = −6  x4 = −3 Suy ra hệ đã cho có 1 nghiệm duy nhất (x1, x2, x3, x4) = (2, 1, 5, −3) Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss     1 2 3 4 7 h3↔h4 1 2 3 4 7 h → 1 h  0 1 4 5 6  3 10 3  0 1 4 5 6  h4→h4−8h3   −−−−−→   −−−−−−−→  0 0 8 10 10   0 0 1 1 2  0 0 10 20 20 0 0 8 10 10   1 2 3 4 7  0 1 4 5 6    .  0 0 1 1 2  0 0 0 2 −6 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 13 / 29
 x = 2  1  x = 1 ⇔ 2 x3 = 5   x4 = −3 Suy ra hệ đã cho có 1 nghiệm duy nhất (x1, x2, x3, x4) = (2, 1, 5, −3) Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss     1 2 3 4 7 h3↔h4 1 2 3 4 7 h → 1 h  0 1 4 5 6  3 10 3  0 1 4 5 6  h4→h4−8h3   −−−−−→   −−−−−−−→  0 0 8 10 10   0 0 1 1 2  0 0 10 20 20 0 0 8 10 10   1 2 3 4 7  0 1 4 5 6    .  0 0 1 1 2  0 0 0 2 −6 Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau  x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 7   x2 + 4x3 + 5x4 = 6 x3 + x4 = 2   2x4 = −6 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 13 / 29
Suy ra hệ đã cho có 1 nghiệm duy nhất (x1, x2, x3, x4) = (2, 1, 5, −3) Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss     1 2 3 4 7 h3↔h4 1 2 3 4 7 h → 1 h  0 1 4 5 6  3 10 3  0 1 4 5 6  h4→h4−8h3   −−−−−→   −−−−−−−→  0 0 8 10 10   0 0 1 1 2  0 0 10 20 20 0 0 8 10 10   1 2 3 4 7  0 1 4 5 6    .  0 0 1 1 2  0 0 0 2 −6 Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau  x + 2x + 3x + 4x = 7  x = 2  1 2 3 4  1  x + 4x + 5x = 6  x = 1 2 3 4 ⇔ 2 x3 + x4 = 2 x3 = 5    2x4 = −6  x4 = −3 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 13 / 29
Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss     1 2 3 4 7 h3↔h4 1 2 3 4 7 h → 1 h  0 1 4 5 6  3 10 3  0 1 4 5 6  h4→h4−8h3   −−−−−→   −−−−−−−→  0 0 8 10 10   0 0 1 1 2  0 0 10 20 20 0 0 8 10 10   1 2 3 4 7  0 1 4 5 6    .  0 0 1 1 2  0 0 0 2 −6 Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau  x + 2x + 3x + 4x = 7  x = 2  1 2 3 4  1  x + 4x + 5x = 6  x = 1 2 3 4 ⇔ 2 x3 + x4 = 2 x3 = 5    2x4 = −6  x4 = −3 Suy ra hệ đã cho có 1 nghiệm duy nhất (x1, x2, x3, x4) = (2, 1, 5, −3) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 13 / 29
Giải hệ phương trình  x1 + 2x2 − 3x3 + 5x4 = 1   x1 + 3x2 − 13x3 + 22x4 = −1 3x1 + 5x2 + x3 − 2x4 = 5   2x1 + 3x2 + 4x3 − 7x4 = 4 Giải.     1 2 −3 5 1 h2→h2−h1 1 2 −3 5 1 h3→h3−3h1  1 3 −13 22 −1  h4→h4−2h1  0 1 −10 17 −2    −−−−−−−→    3 5 1 −2 5   0 −1 10 −17 2  2 3 4 −7 6 0 −1 10 −17 2   1 2 −3 5 1 h3→h3+h2 h4→h4+h2  0 1 −10 17 −2  −−−−−−→    0 0 0 0 0  0 0 0 0 0 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss Ví dụ TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 14 / 29
Giải.     1 2 −3 5 1 h2→h2−h1 1 2 −3 5 1 h3→h3−3h1  1 3 −13 22 −1  h4→h4−2h1  0 1 −10 17 −2    −−−−−−−→    3 5 1 −2 5   0 −1 10 −17 2  2 3 4 −7 6 0 −1 10 −17 2   1 2 −3 5 1 h3→h3+h2 h4→h4+h2  0 1 −10 17 −2  −−−−−−→    0 0 0 0 0  0 0 0 0 0 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss Ví dụ Giải hệ phương trình  x1 + 2x2 − 3x3 + 5x4 = 1   x1 + 3x2 − 13x3 + 22x4 = −1 3x1 + 5x2 + x3 − 2x4 = 5   2x1 + 3x2 + 4x3 − 7x4 = 4 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 14 / 29
  1 2 −3 5 1  0 1 −10 17 −2     0 −1 10 −17 2  0 −1 10 −17 2   1 2 −3 5 1 h3→h3+h2 h4→h4+h2  0 1 −10 17 −2  −−−−−−→    0 0 0 0 0  0 0 0 0 0 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss Ví dụ Giải hệ phương trình  x1 + 2x2 − 3x3 + 5x4 = 1   x1 + 3x2 − 13x3 + 22x4 = −1 3x1 + 5x2 + x3 − 2x4 = 5   2x1 + 3x2 + 4x3 − 7x4 = 4 Giải.   1 2 −3 5 1 h2→h2−h1 h3→h3−3h1  1 3 −13 22 −1  h4→h4−2h1   −−−−−−−→  3 5 1 −2 5  2 3 4 −7 6 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 14 / 29
  1 2 −3 5 1 h3→h3+h2 h4→h4+h2  0 1 −10 17 −2  −−−−−−→    0 0 0 0 0  0 0 0 0 0 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss Ví dụ Giải hệ phương trình  x1 + 2x2 − 3x3 + 5x4 = 1   x1 + 3x2 − 13x3 + 22x4 = −1 3x1 + 5x2 + x3 − 2x4 = 5   2x1 + 3x2 + 4x3 − 7x4 = 4 Giải.     1 2 −3 5 1 h2→h2−h1 1 2 −3 5 1 h3→h3−3h1  1 3 −13 22 −1  h4→h4−2h1  0 1 −10 17 −2    −−−−−−−→    3 5 1 −2 5   0 −1 10 −17 2  2 3 4 −7 6 0 −1 10 −17 2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 14 / 29
Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss Ví dụ Giải hệ phương trình  x1 + 2x2 − 3x3 + 5x4 = 1   x1 + 3x2 − 13x3 + 22x4 = −1 3x1 + 5x2 + x3 − 2x4 = 5   2x1 + 3x2 + 4x3 − 7x4 = 4 Giải.     1 2 −3 5 1 h2→h2−h1 1 2 −3 5 1 h3→h3−3h1  1 3 −13 22 −1  h4→h4−2h1  0 1 −10 17 −2    −−−−−−−→    3 5 1 −2 5   0 −1 10 −17 2  2 3 4 −7 6 0 −1 10 −17 2   1 2 −3 5 1 h3→h3+h2 h4→h4+h2  0 1 −10 17 −2  −−−−−−→    0 0 0 0 0  0 0 0 0 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 14 / 29
Chọn x3 = α, x4 = β, ta tính được x2 = −2 + 10x3 − 17x4 = −2 + 10α − 17β x1 = 1 − 2x2 + 3x3 − 5x4 = 5 − 17α + 29β Vậy hệ đã cho có vô số nghiệm với 2 biến tự do (x1, x2, x3, x4) = (5 − 17α + 29β, −2 + 10α − 17β, α, β) với α, β ∈ R tùy ý. Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau x1 + 2x2 − 3x3 + 5x4 = 1 x2 − 10x3 + 17x4 = −2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 15 / 29
Vậy hệ đã cho có vô số nghiệm với 2 biến tự do (x1, x2, x3, x4) = (5 − 17α + 29β, −2 + 10α − 17β, α, β) với α, β ∈ R tùy ý. Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau x1 + 2x2 − 3x3 + 5x4 = 1 x2 − 10x3 + 17x4 = −2 Chọn x3 = α, x4 = β, ta tính được x2 = −2 + 10x3 − 17x4 = −2 + 10α − 17β x1 = 1 − 2x2 + 3x3 − 5x4 = 5 − 17α + 29β TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 15 / 29
Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau x1 + 2x2 − 3x3 + 5x4 = 1 x2 − 10x3 + 17x4 = −2 Chọn x3 = α, x4 = β, ta tính được x2 = −2 + 10x3 − 17x4 = −2 + 10α − 17β x1 = 1 − 2x2 + 3x3 − 5x4 = 5 − 17α + 29β Vậy hệ đã cho có vô số nghiệm với 2 biến tự do (x1, x2, x3, x4) = (5 − 17α + 29β, −2 + 10α − 17β, α, β) với α, β ∈ R tùy ý. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 15 / 29
Giải hệ phương trình  x1 −2x2 +3x3 −4x4 = 2   3x1 +3x2 −5x3 +x4 = −3 −2x1 +x2 +2x3 −3x4 = 5   3x1 +3x3 −10x4 = 8 Giải.   1 −2 3 −4 2 h2→h2−3h1 h3→h3+2h1  3 3 −5 1 −3  h4→h4−3h1   −−−−−−−→  −2 1 2 −3 5  3 0 3 −10 8   1 −2 3 −4 2  0 9 −14 13 −9  h2↔h3   −−−−→  0 −3 8 −11 9  0 6 −6 2 2 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss Ví dụ TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 16 / 29
Giải.   1 −2 3 −4 2 h2→h2−3h1 h3→h3+2h1  3 3 −5 1 −3  h4→h4−3h1   −−−−−−−→  −2 1 2 −3 5  3 0 3 −10 8   1 −2 3 −4 2  0 9 −14 13 −9  h2↔h3   −−−−→  0 −3 8 −11 9  0 6 −6 2 2 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss Ví dụ Giải hệ phương trình  x1 −2x2 +3x3 −4x4 = 2   3x1 +3x2 −5x3 +x4 = −3 −2x1 +x2 +2x3 −3x4 = 5   3x1 +3x3 −10x4 = 8 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 16 / 29
  1 −2 3 −4 2  0 9 −14 13 −9  h2↔h3   −−−−→  0 −3 8 −11 9  0 6 −6 2 2 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss Ví dụ Giải hệ phương trình  x1 −2x2 +3x3 −4x4 = 2   3x1 +3x2 −5x3 +x4 = −3 −2x1 +x2 +2x3 −3x4 = 5   3x1 +3x3 −10x4 = 8 Giải.   1 −2 3 −4 2 h2→h2−3h1 h3→h3+2h1  3 3 −5 1 −3  h4→h4−3h1   −−−−−−−→  −2 1 2 −3 5  3 0 3 −10 8 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 16 / 29
Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss Ví dụ Giải hệ phương trình  x1 −2x2 +3x3 −4x4 = 2   3x1 +3x2 −5x3 +x4 = −3 −2x1 +x2 +2x3 −3x4 = 5   3x1 +3x3 −10x4 = 8 Giải.   1 −2 3 −4 2 h2→h2−3h1 h3→h3+2h1  3 3 −5 1 −3  h4→h4−3h1   −−−−−−−→  −2 1 2 −3 5  3 0 3 −10 8   1 −2 3 −4 2  0 9 −14 13 −9  h2↔h3   −−−−→  0 −3 8 −11 9  0 6 −6 2 2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 16 / 29
    1 −2 3 4 2 1 −2 3 4 2 h3→h3+3h2  0 −3 8 11 9  h4→h4+2h2  0 −3 8 11 9    −−−−−−−→    0 9 −14 13 −9   0 0 10 −20 18  0 6 −6 2 2 0 0 0 0 2 Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau  x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4 = 2   −3x2 + 8x3 − 11x4 = 9 10x3 − 20x4 = 18   0 = 2 Hệ này vô nghiệm nên hệ đã cho cũng vô nghiệm. Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 17 / 29
  1 −2 3 4 2  0 −3 8 11 9     0 0 10 −20 18  0 0 0 0 2 Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau  x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4 = 2   −3x2 + 8x3 − 11x4 = 9 10x3 − 20x4 = 18   0 = 2 Hệ này vô nghiệm nên hệ đã cho cũng vô nghiệm. Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss   1 −2 3 4 2 h3→h3+3h2  0 −3 8 11 9  h4→h4+2h2   −−−−−−−→  0 9 −14 13 −9  0 6 −6 2 2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 17 / 29
Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau  x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4 = 2   −3x2 + 8x3 − 11x4 = 9 10x3 − 20x4 = 18   0 = 2 Hệ này vô nghiệm nên hệ đã cho cũng vô nghiệm. Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss     1 −2 3 4 2 1 −2 3 4 2 h3→h3+3h2  0 −3 8 11 9  h4→h4+2h2  0 −3 8 11 9    −−−−−−−→    0 9 −14 13 −9   0 0 10 −20 18  0 6 −6 2 2 0 0 0 0 2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 17 / 29
Hệ này vô nghiệm nên hệ đã cho cũng vô nghiệm. Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss     1 −2 3 4 2 1 −2 3 4 2 h3→h3+3h2  0 −3 8 11 9  h4→h4+2h2  0 −3 8 11 9    −−−−−−−→    0 9 −14 13 −9   0 0 10 −20 18  0 6 −6 2 2 0 0 0 0 2 Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau  x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4 = 2   −3x2 + 8x3 − 11x4 = 9 10x3 − 20x4 = 18   0 = 2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 17 / 29
Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss     1 −2 3 4 2 1 −2 3 4 2 h3→h3+3h2  0 −3 8 11 9  h4→h4+2h2  0 −3 8 11 9    −−−−−−−→    0 9 −14 13 −9   0 0 10 −20 18  0 6 −6 2 2 0 0 0 0 2 Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau  x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4 = 2   −3x2 + 8x3 − 11x4 = 9 10x3 − 20x4 = 18   0 = 2 Hệ này vô nghiệm nên hệ đã cho cũng vô nghiệm. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 17 / 29
Ví dụ Giải và biện luận hệ phương trình  x1 + x2 − x3 + 2x4 = 1   x1 + 2x2 − 3x3 + 4x4 = 2  x1 − x2 + 4x3 − x4 = m  2  4x1 + 3x2 − x3 + mx4 = m − 6m + 4 Giải.   1 1 −1 2 1 h2→h2−h1 h3→h3−h1  1 2 −3 4 2  h4→h4−4h1   −−−−−−−→  1 −1 4 −1 m  4 3 −1 m m2 − 6m + 4   1 1 −1 2 1 h3→h3+2h2  0 1 −2 2 1  h4→h4+h2   −−−−−−−→  0 −2 5 −3 m − 1  0 −1 3 m − 8 m2 − 6m Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 18 / 29
Giải.   1 1 −1 2 1 h2→h2−h1 h3→h3−h1  1 2 −3 4 2  h4→h4−4h1   −−−−−−−→  1 −1 4 −1 m  4 3 −1 m m2 − 6m + 4   1 1 −1 2 1 h3→h3+2h2  0 1 −2 2 1  h4→h4+h2   −−−−−−−→  0 −2 5 −3 m − 1  0 −1 3 m − 8 m2 − 6m Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss Ví dụ Giải và biện luận hệ phương trình  x1 + x2 − x3 + 2x4 = 1   x1 + 2x2 − 3x3 + 4x4 = 2  x1 − x2 + 4x3 − x4 = m  2  4x1 + 3x2 − x3 + mx4 = m − 6m + 4 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 18 / 29
  1 1 −1 2 1 h3→h3+2h2  0 1 −2 2 1  h4→h4+h2   −−−−−−−→  0 −2 5 −3 m − 1  0 −1 3 m − 8 m2 − 6m Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss Ví dụ Giải và biện luận hệ phương trình  x1 + x2 − x3 + 2x4 = 1   x1 + 2x2 − 3x3 + 4x4 = 2  x1 − x2 + 4x3 − x4 = m  2  4x1 + 3x2 − x3 + mx4 = m − 6m + 4 Giải.   1 1 −1 2 1 h2→h2−h1 h3→h3−h1  1 2 −3 4 2  h4→h4−4h1   −−−−−−−→  1 −1 4 −1 m  4 3 −1 m m2 − 6m + 4 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 18 / 29
Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss Ví dụ Giải và biện luận hệ phương trình  x1 + x2 − x3 + 2x4 = 1   x1 + 2x2 − 3x3 + 4x4 = 2  x1 − x2 + 4x3 − x4 = m  2  4x1 + 3x2 − x3 + mx4 = m − 6m + 4 Giải.   1 1 −1 2 1 h2→h2−h1 h3→h3−h1  1 2 −3 4 2  h4→h4−4h1   −−−−−−−→  1 −1 4 −1 m  4 3 −1 m m2 − 6m + 4   1 1 −1 2 1 h3→h3+2h2  0 1 −2 2 1  h4→h4+h2   −−−−−−−→  0 −2 5 −3 m − 1  0 −1 3 m − 8 m2 − 6m TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 18 / 29
  1 1 −1 2 1  0 1 −2 2 1  h4→h4−h3   −−−−−−→  0 0 1 1 m + 1  0 0 1 m − 6 m2 − 6m + 1   1 1 −1 2 1  0 1 −2 2 1     0 0 1 1 m + 1  0 0 0 m − 7 m2 − 7m Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau  x1 + x2 − x3 + 2x4 = 1   x2 − 2x3 + 2x4 = 1  x3 + x4 = m + 1  2  (m − 7)x4 = m − 7m Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 19 / 29
  1 1 −1 2 1  0 1 −2 2 1     0 0 1 1 m + 1  0 0 0 m − 7 m2 − 7m Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau  x1 + x2 − x3 + 2x4 = 1   x2 − 2x3 + 2x4 = 1  x3 + x4 = m + 1  2  (m − 7)x4 = m − 7m Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss   1 1 −1 2 1  0 1 −2 2 1  h4→h4−h3   −−−−−−→  0 0 1 1 m + 1  0 0 1 m − 6 m2 − 6m + 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 19 / 29
Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau  x1 + x2 − x3 + 2x4 = 1   x2 − 2x3 + 2x4 = 1  x3 + x4 = m + 1  2  (m − 7)x4 = m − 7m Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss   1 1 −1 2 1  0 1 −2 2 1  h4→h4−h3   −−−−−−→  0 0 1 1 m + 1  0 0 1 m − 6 m2 − 6m + 1   1 1 −1 2 1  0 1 −2 2 1     0 0 1 1 m + 1  0 0 0 m − 7 m2 − 7m TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 19 / 29
Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss   1 1 −1 2 1  0 1 −2 2 1  h4→h4−h3   −−−−−−→  0 0 1 1 m + 1  0 0 1 m − 6 m2 − 6m + 1   1 1 −1 2 1  0 1 −2 2 1     0 0 1 1 m + 1  0 0 0 m − 7 m2 − 7m Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau  x1 + x2 − x3 + 2x4 = 1   x2 − 2x3 + 2x4 = 1  x3 + x4 = m + 1  2  (m − 7)x4 = m − 7m TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 19 / 29
1 Nếu m − 7 6= 0 thì hệ đã cho có nghiệm  x4 = m   x3 = m + 1 − x4 = 1 x2 = 1 + 2x3 − 2x4 = 3 − 2m   x1 = 1 − x2 + x3 − 2x4 = −1 2 Nếu m = 7 thì hệ đã cho tương đương với hệ   x1 + x2 − x3 + 2x4 = 1 x2 − 2x3 + 2x4 = 1  x3 + x4 = 8 Chọn x4 = t ta được  x4 = t   x3 = 8 − x4 = 8 − t x2 = 1 + 2x3 − 2x4 = 17 − 4t   x1 = 1 − x2 + x3 − 2x4 = −8 + t Vậy khi m = 7 hệ đã cho có vô số nghiệm. Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 20 / 29
2 Nếu m = 7 thì hệ đã cho tương đương với hệ   x1 + x2 − x3 + 2x4 = 1 x2 − 2x3 + 2x4 = 1  x3 + x4 = 8 Chọn x4 = t ta được  x4 = t   x3 = 8 − x4 = 8 − t x2 = 1 + 2x3 − 2x4 = 17 − 4t   x1 = 1 − x2 + x3 − 2x4 = −8 + t Vậy khi m = 7 hệ đã cho có vô số nghiệm. Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss 1 Nếu m − 7 6= 0 thì hệ đã cho có nghiệm  x4 = m   x3 = m + 1 − x4 = 1 x2 = 1 + 2x3 − 2x4 = 3 − 2m   x1 = 1 − x2 + x3 − 2x4 = −1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 20 / 29
Chọn x4 = t ta được  x4 = t   x3 = 8 − x4 = 8 − t x2 = 1 + 2x3 − 2x4 = 17 − 4t   x1 = 1 − x2 + x3 − 2x4 = −8 + t Vậy khi m = 7 hệ đã cho có vô số nghiệm. Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss 1 Nếu m − 7 6= 0 thì hệ đã cho có nghiệm  x4 = m   x3 = m + 1 − x4 = 1 x2 = 1 + 2x3 − 2x4 = 3 − 2m   x1 = 1 − x2 + x3 − 2x4 = −1 2 Nếu m = 7 thì hệ đã cho tương đương với hệ   x1 + x2 − x3 + 2x4 = 1 x2 − 2x3 + 2x4 = 1  x3 + x4 = 8 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 20 / 29
Vậy khi m = 7 hệ đã cho có vô số nghiệm. Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss 1 Nếu m − 7 6= 0 thì hệ đã cho có nghiệm  x4 = m   x3 = m + 1 − x4 = 1 x2 = 1 + 2x3 − 2x4 = 3 − 2m   x1 = 1 − x2 + x3 − 2x4 = −1 2 Nếu m = 7 thì hệ đã cho tương đương với hệ   x1 + x2 − x3 + 2x4 = 1 x2 − 2x3 + 2x4 = 1  x3 + x4 = 8 Chọn x4 = t ta được  x4 = t   x3 = 8 − x4 = 8 − t x2 = 1 + 2x3 − 2x4 = 17 − 4t   x1 = 1 − x2 + x3 − 2x4 = −8 + t TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 20 / 29
Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Phương pháp Gauss 1 Nếu m − 7 6= 0 thì hệ đã cho có nghiệm  x4 = m   x3 = m + 1 − x4 = 1 x2 = 1 + 2x3 − 2x4 = 3 − 2m   x1 = 1 − x2 + x3 − 2x4 = −1 2 Nếu m = 7 thì hệ đã cho tương đương với hệ   x1 + x2 − x3 + 2x4 = 1 x2 − 2x3 + 2x4 = 1  x3 + x4 = 8 Chọn x4 = t ta được  x4 = t   x3 = 8 − x4 = 8 − t x2 = 1 + 2x3 − 2x4 = 17 − 4t   x1 = 1 − x2 + x3 − 2x4 = −8 + t Vậy khi m = 7 hệ đã cho có vô số nghiệm. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 20 / 29
Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất  a x + a x + + a x + + a x = 0  11 1 12 2 1j j 1n n   ai1x1 + ai2x2 + + aij xj + + ainxn = 0 (3)    am1x1 + am2x2 + + amj xj + + amnxn = 0 Hệ thuần nhất (3) luôn có nghiệm tầm thường X = 0 0 0 T Định lý Hệ (3) có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi r(A) < n, n− số biến. Thật vậy, nếu r(A) = n thì hệ chỉ có 1 nghiệm duy nhất là X = 0. Nếu r(A) < n thì hệ (3) có vô số nghiệm, đương nhiên trong đó có nghiệm không tầm thường. Hệ quả Nếu hệ (3) có số phương trình bằng số biến (m = n) thì hệ (3) có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi detA = 0. Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 21 / 29
Hệ thuần nhất (3) luôn có nghiệm tầm thường X = 0 0 0 T Định lý Hệ (3) có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi r(A) < n, n− số biến. Thật vậy, nếu r(A) = n thì hệ chỉ có 1 nghiệm duy nhất là X = 0. Nếu r(A) < n thì hệ (3) có vô số nghiệm, đương nhiên trong đó có nghiệm không tầm thường. Hệ quả Nếu hệ (3) có số phương trình bằng số biến (m = n) thì hệ (3) có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi detA = 0. Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất  a x + a x + + a x + + a x = 0  11 1 12 2 1j j 1n n   ai1x1 + ai2x2 + + aij xj + + ainxn = 0 (3)    am1x1 + am2x2 + + amj xj + + amnxn = 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 21 / 29
Định lý Hệ (3) có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi r(A) < n, n− số biến. Thật vậy, nếu r(A) = n thì hệ chỉ có 1 nghiệm duy nhất là X = 0. Nếu r(A) < n thì hệ (3) có vô số nghiệm, đương nhiên trong đó có nghiệm không tầm thường. Hệ quả Nếu hệ (3) có số phương trình bằng số biến (m = n) thì hệ (3) có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi detA = 0. Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất  a x + a x + + a x + + a x = 0  11 1 12 2 1j j 1n n   ai1x1 + ai2x2 + + aij xj + + ainxn = 0 (3)    am1x1 + am2x2 + + amj xj + + amnxn = 0 Hệ thuần nhất (3) luôn có nghiệm tầm thường X = 0 0 0 T TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 21 / 29
Thật vậy, nếu r(A) = n thì hệ chỉ có 1 nghiệm duy nhất là X = 0. Nếu r(A) < n thì hệ (3) có vô số nghiệm, đương nhiên trong đó có nghiệm không tầm thường. Hệ quả Nếu hệ (3) có số phương trình bằng số biến (m = n) thì hệ (3) có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi detA = 0. Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất  a x + a x + + a x + + a x = 0  11 1 12 2 1j j 1n n   ai1x1 + ai2x2 + + aij xj + + ainxn = 0 (3)    am1x1 + am2x2 + + amj xj + + amnxn = 0 Hệ thuần nhất (3) luôn có nghiệm tầm thường X = 0 0 0 T Định lý Hệ (3) có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi r(A) < n, n− số biến. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 21 / 29
Hệ quả Nếu hệ (3) có số phương trình bằng số biến (m = n) thì hệ (3) có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi detA = 0. Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất  a x + a x + + a x + + a x = 0  11 1 12 2 1j j 1n n   ai1x1 + ai2x2 + + aij xj + + ainxn = 0 (3)    am1x1 + am2x2 + + amj xj + + amnxn = 0 Hệ thuần nhất (3) luôn có nghiệm tầm thường X = 0 0 0 T Định lý Hệ (3) có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi r(A) < n, n− số biến. Thật vậy, nếu r(A) = n thì hệ chỉ có 1 nghiệm duy nhất là X = 0. Nếu r(A) < n thì hệ (3) có vô số nghiệm, đương nhiên trong đó có nghiệm không tầm thường. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 21 / 29
Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất  a x + a x + + a x + + a x = 0  11 1 12 2 1j j 1n n   ai1x1 + ai2x2 + + aij xj + + ainxn = 0 (3)    am1x1 + am2x2 + + amj xj + + amnxn = 0 Hệ thuần nhất (3) luôn có nghiệm tầm thường X = 0 0 0 T Định lý Hệ (3) có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi r(A) < n, n− số biến. Thật vậy, nếu r(A) = n thì hệ chỉ có 1 nghiệm duy nhất là X = 0. Nếu r(A) < n thì hệ (3) có vô số nghiệm, đương nhiên trong đó có nghiệm không tầm thường. Hệ quả Nếu hệ (3) có số phương trình bằng số biến (m = n) thì hệ (3) có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi detA = 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 21 / 29
Nếu r(A) = r < n thì hệ (3) có nghiệm tổng quát là  x = ϕ (t , t , , t )  1 1 1 2 n−r  x = ϕ (t , t , , t )  2 2 1 2 n−r   xr = ϕr (t1, t2, , tn−r ) (4)   xr+1 = t1    xn = tn−r với t1, , tn−r tùy ý. Trong (4) cho giá trị lần lượt t1 = 1, t2 = 0, , tn−r = 0 → X1, t1 = 0, t2 = 1, , tn−r = 0 → X2, t1 = 0, t2 = 0, , tn−r = 1 → Xn−r . n − r nghiệm X1, X2, , Xn−r được gọi là hệ nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất. n−r P Khi đó nghiệm tổng quát của hệ (3) là X = tk Xk , tk là hằng số tùy ý. k=1 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Hệ nghiệm cơ bản TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 22 / 29
Trong (4) cho giá trị lần lượt t1 = 1, t2 = 0, , tn−r = 0 → X1, t1 = 0, t2 = 1, , tn−r = 0 → X2, t1 = 0, t2 = 0, , tn−r = 1 → Xn−r . n − r nghiệm X1, X2, , Xn−r được gọi là hệ nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất. n−r P Khi đó nghiệm tổng quát của hệ (3) là X = tk Xk , tk là hằng số tùy ý. k=1 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Hệ nghiệm cơ bản Nếu r(A) = r < n thì hệ (3) có nghiệm tổng quát là  x = ϕ (t , t , , t )  1 1 1 2 n−r  x = ϕ (t , t , , t )  2 2 1 2 n−r   xr = ϕr (t1, t2, , tn−r ) (4)   xr+1 = t1    xn = tn−r với t1, , tn−r tùy ý. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 22 / 29
n−r P Khi đó nghiệm tổng quát của hệ (3) là X = tk Xk , tk là hằng số tùy ý. k=1 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Hệ nghiệm cơ bản Nếu r(A) = r < n thì hệ (3) có nghiệm tổng quát là  x = ϕ (t , t , , t )  1 1 1 2 n−r  x = ϕ (t , t , , t )  2 2 1 2 n−r   xr = ϕr (t1, t2, , tn−r ) (4)   xr+1 = t1    xn = tn−r với t1, , tn−r tùy ý. Trong (4) cho giá trị lần lượt t1 = 1, t2 = 0, , tn−r = 0 → X1, t1 = 0, t2 = 1, , tn−r = 0 → X2, t1 = 0, t2 = 0, , tn−r = 1 → Xn−r . n − r nghiệm X1, X2, , Xn−r được gọi là hệ nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 22 / 29
Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Hệ nghiệm cơ bản Nếu r(A) = r < n thì hệ (3) có nghiệm tổng quát là  x = ϕ (t , t , , t )  1 1 1 2 n−r  x = ϕ (t , t , , t )  2 2 1 2 n−r   xr = ϕr (t1, t2, , tn−r ) (4)   xr+1 = t1    xn = tn−r với t1, , tn−r tùy ý. Trong (4) cho giá trị lần lượt t1 = 1, t2 = 0, , tn−r = 0 → X1, t1 = 0, t2 = 1, , tn−r = 0 → X2, t1 = 0, t2 = 0, , tn−r = 1 → Xn−r . n − r nghiệm X1, X2, , Xn−r được gọi là hệ nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất. n−r P Khi đó nghiệm tổng quát của hệ (3) là X = tk Xk , tk là hằng số tùy ý. k=1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 22 / 29
Giải hệ phương trình  x1 + 3x2 + 3x3 + 2x4 + 4x5 = 0   x1 + 4x2 + 5x3 + 3x4 + 7x5 = 0 2x1 + 5x2 + 4x3 + x4 + 5x5 = 0   x1 + 5x2 + 7x3 + 6x4 + 10x5 = 0     1 3 3 2 4 h2→h2−h1 1 3 3 2 4 h3→h3−2h1  1 4 5 3 7  h4→h4−h1  0 1 2 1 3  Giải.   −−−−−−−→    2 5 4 1 5   0 −1 −2 −3 −3  1 5 7 6 10 0 2 4 4 6  1 3 3 2 4   1 3 3 2 4  h3→h3+h2 h4→h4−2h2  0 1 2 1 3  h4→h4+h3  0 1 2 1 3  −−−−−−−→   −−−−−−→    0 0 0 −2 0   0 0 0 −2 0  0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Ví dụ TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 23 / 29
    1 3 3 2 4 h2→h2−h1 1 3 3 2 4 h3→h3−2h1  1 4 5 3 7  h4→h4−h1  0 1 2 1 3  Giải.   −−−−−−−→    2 5 4 1 5   0 −1 −2 −3 −3  1 5 7 6 10 0 2 4 4 6  1 3 3 2 4   1 3 3 2 4  h3→h3+h2 h4→h4−2h2  0 1 2 1 3  h4→h4+h3  0 1 2 1 3  −−−−−−−→   −−−−−−→    0 0 0 −2 0   0 0 0 −2 0  0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Ví dụ Giải hệ phương trình  x1 + 3x2 + 3x3 + 2x4 + 4x5 = 0   x1 + 4x2 + 5x3 + 3x4 + 7x5 = 0 2x1 + 5x2 + 4x3 + x4 + 5x5 = 0   x1 + 5x2 + 7x3 + 6x4 + 10x5 = 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 23 / 29
 1 3 3 2 4   0 1 2 1 3     0 −1 −2 −3 −3  0 2 4 4 6  1 3 3 2 4   1 3 3 2 4  h3→h3+h2 h4→h4−2h2  0 1 2 1 3  h4→h4+h3  0 1 2 1 3  −−−−−−−→   −−−−−−→    0 0 0 −2 0   0 0 0 −2 0  0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Ví dụ Giải hệ phương trình  x1 + 3x2 + 3x3 + 2x4 + 4x5 = 0   x1 + 4x2 + 5x3 + 3x4 + 7x5 = 0 2x1 + 5x2 + 4x3 + x4 + 5x5 = 0   x1 + 5x2 + 7x3 + 6x4 + 10x5 = 0   1 3 3 2 4 h2→h2−h1 h3→h3−2h1  1 4 5 3 7  h4→h4−h1 Giải.   −−−−−−−→  2 5 4 1 5  1 5 7 6 10 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 23 / 29
 1 3 3 2 4   1 3 3 2 4   0 1 2 1 3  h4→h4+h3  0 1 2 1 3    −−−−−−→    0 0 0 −2 0   0 0 0 −2 0  0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Ví dụ Giải hệ phương trình  x1 + 3x2 + 3x3 + 2x4 + 4x5 = 0   x1 + 4x2 + 5x3 + 3x4 + 7x5 = 0 2x1 + 5x2 + 4x3 + x4 + 5x5 = 0   x1 + 5x2 + 7x3 + 6x4 + 10x5 = 0     1 3 3 2 4 h2→h2−h1 1 3 3 2 4 h3→h3−2h1  1 4 5 3 7  h4→h4−h1  0 1 2 1 3  Giải.   −−−−−−−→    2 5 4 1 5   0 −1 −2 −3 −3  1 5 7 6 10 0 2 4 4 6 h3→h3+h2 h →h −2h −−−−−−−→4 4 2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 23 / 29
 1 3 3 2 4   0 1 2 1 3     0 0 0 −2 0  0 0 0 0 0 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Ví dụ Giải hệ phương trình  x1 + 3x2 + 3x3 + 2x4 + 4x5 = 0   x1 + 4x2 + 5x3 + 3x4 + 7x5 = 0 2x1 + 5x2 + 4x3 + x4 + 5x5 = 0   x1 + 5x2 + 7x3 + 6x4 + 10x5 = 0     1 3 3 2 4 h2→h2−h1 1 3 3 2 4 h3→h3−2h1  1 4 5 3 7  h4→h4−h1  0 1 2 1 3  Giải.   −−−−−−−→    2 5 4 1 5   0 −1 −2 −3 −3  1 5 7 6 10 0 2 4 4 6  1 3 3 2 4  h3→h3+h2 h4→h4−2h2  0 1 2 1 3  h4→h4+h3 −−−−−−−→   −−−−−−→  0 0 0 −2 0  0 0 0 2 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 23 / 29
Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Ví dụ Giải hệ phương trình  x1 + 3x2 + 3x3 + 2x4 + 4x5 = 0   x1 + 4x2 + 5x3 + 3x4 + 7x5 = 0 2x1 + 5x2 + 4x3 + x4 + 5x5 = 0   x1 + 5x2 + 7x3 + 6x4 + 10x5 = 0     1 3 3 2 4 h2→h2−h1 1 3 3 2 4 h3→h3−2h1  1 4 5 3 7  h4→h4−h1  0 1 2 1 3  Giải.   −−−−−−−→    2 5 4 1 5   0 −1 −2 −3 −3  1 5 7 6 10 0 2 4 4 6  1 3 3 2 4   1 3 3 2 4  h3→h3+h2 h4→h4−2h2  0 1 2 1 3  h4→h4+h3  0 1 2 1 3  −−−−−−−→   −−−−−−→    0 0 0 −2 0   0 0 0 −2 0  0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 23 / 29
Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau    x1 + 3x2 + 3x3 + 2x4 + 4x5 = 0  x2 = −2x3 − 3x5 x2 + 2x3 + x4 + 3x5 = 0 ⇔ x1 = 3x3 + 5x5  −2x4 = 0  x4 = 0 Vậy x1, x2, x4 là biến cơ sở, x3, x5 là biến tự do. Chọn x3 = t1, x5 = t2. Ta   3t1 + 5t2  −2t1 − 3t2    có nghiệm tổng quát X (t1, t2) =  t1     0  t2 Hệ nghiệm cơ bản của hệ  3   5   −2   −3      X1 = X (1, 0) =  1  , X2 = X (0, 1) =  0  . Nghiệm tổng quát      0   0  0 1 được biểu diễn qua các nghiệm cơ bản X (t1, t2) = t1X1 + t2X2, ∀t1, t2 ∈ R Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 24 / 29
  x2 = −2x3 − 3x5 ⇔ x1 = 3x3 + 5x5  x4 = 0 Vậy x1, x2, x4 là biến cơ sở, x3, x5 là biến tự do. Chọn x3 = t1, x5 = t2. Ta   3t1 + 5t2  −2t1 − 3t2    có nghiệm tổng quát X (t1, t2) =  t1     0  t2 Hệ nghiệm cơ bản của hệ  3   5   −2   −3      X1 = X (1, 0) =  1  , X2 = X (0, 1) =  0  . Nghiệm tổng quát      0   0  0 1 được biểu diễn qua các nghiệm cơ bản X (t1, t2) = t1X1 + t2X2, ∀t1, t2 ∈ R Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau   x1 + 3x2 + 3x3 + 2x4 + 4x5 = 0 x2 + 2x3 + x4 + 3x5 = 0  −2x4 = 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 24 / 29
Vậy x1, x2, x4 là biến cơ sở, x3, x5 là biến tự do. Chọn x3 = t1, x5 = t2. Ta   3t1 + 5t2  −2t1 − 3t2    có nghiệm tổng quát X (t1, t2) =  t1     0  t2 Hệ nghiệm cơ bản của hệ  3   5   −2   −3      X1 = X (1, 0) =  1  , X2 = X (0, 1) =  0  . Nghiệm tổng quát      0   0  0 1 được biểu diễn qua các nghiệm cơ bản X (t1, t2) = t1X1 + t2X2, ∀t1, t2 ∈ R Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau    x1 + 3x2 + 3x3 + 2x4 + 4x5 = 0  x2 = −2x3 − 3x5 x2 + 2x3 + x4 + 3x5 = 0 ⇔ x1 = 3x3 + 5x5  −2x4 = 0  x4 = 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 24 / 29
Chọn x3 = t1, x5 = t2. Ta   3t1 + 5t2  −2t1 − 3t2    có nghiệm tổng quát X (t1, t2) =  t1     0  t2 Hệ nghiệm cơ bản của hệ  3   5   −2   −3      X1 = X (1, 0) =  1  , X2 = X (0, 1) =  0  . Nghiệm tổng quát      0   0  0 1 được biểu diễn qua các nghiệm cơ bản X (t1, t2) = t1X1 + t2X2, ∀t1, t2 ∈ R Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau    x1 + 3x2 + 3x3 + 2x4 + 4x5 = 0  x2 = −2x3 − 3x5 x2 + 2x3 + x4 + 3x5 = 0 ⇔ x1 = 3x3 + 5x5  −2x4 = 0  x4 = 0 Vậy x1, x2, x4 là biến cơ sở, x3, x5 là biến tự do. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 24 / 29
Hệ nghiệm cơ bản của hệ  3   5   −2   −3      X1 = X (1, 0) =  1  , X2 = X (0, 1) =  0  . Nghiệm tổng quát      0   0  0 1 được biểu diễn qua các nghiệm cơ bản X (t1, t2) = t1X1 + t2X2, ∀t1, t2 ∈ R Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau    x1 + 3x2 + 3x3 + 2x4 + 4x5 = 0  x2 = −2x3 − 3x5 x2 + 2x3 + x4 + 3x5 = 0 ⇔ x1 = 3x3 + 5x5  −2x4 = 0  x4 = 0 Vậy x1, x2, x4 là biến cơ sở, x3, x5 là biến tự do. Chọn x3 = t1, x5 = t2. Ta   3t1 + 5t2  −2t1 − 3t2    có nghiệm tổng quát X (t1, t2) =  t1     0  t2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 24 / 29
Nghiệm tổng quát được biểu diễn qua các nghiệm cơ bản X (t1, t2) = t1X1 + t2X2, ∀t1, t2 ∈ R Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau    x1 + 3x2 + 3x3 + 2x4 + 4x5 = 0  x2 = −2x3 − 3x5 x2 + 2x3 + x4 + 3x5 = 0 ⇔ x1 = 3x3 + 5x5  −2x4 = 0  x4 = 0 Vậy x1, x2, x4 là biến cơ sở, x3, x5 là biến tự do. Chọn x3 = t1, x5 = t2. Ta   3t1 + 5t2  −2t1 − 3t2    có nghiệm tổng quát X (t1, t2) =  t1     0  t2 Hệ nghiệm cơ bản của hệ  3   5   −2   −3      X1 = X (1, 0) =  1  , X2 = X (0, 1) =  0  .      0   0  0 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 24 / 29
Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau    x1 + 3x2 + 3x3 + 2x4 + 4x5 = 0  x2 = −2x3 − 3x5 x2 + 2x3 + x4 + 3x5 = 0 ⇔ x1 = 3x3 + 5x5  −2x4 = 0  x4 = 0 Vậy x1, x2, x4 là biến cơ sở, x3, x5 là biến tự do. Chọn x3 = t1, x5 = t2. Ta   3t1 + 5t2  −2t1 − 3t2    có nghiệm tổng quát X (t1, t2) =  t1     0  t2 Hệ nghiệm cơ bản của hệ  3   5   −2   −3      X1 = X (1, 0) =  1  , X2 = X (0, 1) =  0  . Nghiệm tổng quát      0   0  0 1 được biểu diễn qua các nghiệm cơ bản X (t1, t2) = t1X1 + t2X2, ∀t1, t2 ∈ R TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 24 / 29
Tìm tất cả m để hai hệ phương trình sau tương đương    x + 2y + 5z = 0  3x + 8y + 19z = 0 x + 3y + 7z = 0 (1) 2x + 5y + 12z = 0 (2)  x + 4y + 9z = 0  3x + 9y + mz = 0 Giải. Xét hệ (1)       1 2 5 h2→h2−h1 1 2 5 1 2 5 h3→h3−h1 h3→h3−2h2  1 3 7  −−−−−−→  0 1 2  −−−−−−−→  0 1 2  1 4 9 0 2 4 0 0 0 x + 2y + 5z = 0 Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau Đặt y + 2z = 0   x = −α z = α ⇒ y = −2α  z = α Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Ví dụ TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 25 / 29
Giải. Xét hệ (1)       1 2 5 h2→h2−h1 1 2 5 1 2 5 h3→h3−h1 h3→h3−2h2  1 3 7  −−−−−−→  0 1 2  −−−−−−−→  0 1 2  1 4 9 0 2 4 0 0 0 x + 2y + 5z = 0 Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau Đặt y + 2z = 0   x = −α z = α ⇒ y = −2α  z = α Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Ví dụ Tìm tất cả m để hai hệ phương trình sau tương đương    x + 2y + 5z = 0  3x + 8y + 19z = 0 x + 3y + 7z = 0 (1) 2x + 5y + 12z = 0 (2)  x + 4y + 9z = 0  3x + 9y + mz = 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 25 / 29
 1 2 5   1 2 5  h3→h3−2h2  0 1 2  −−−−−−−→  0 1 2  0 2 4 0 0 0 x + 2y + 5z = 0 Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau Đặt y + 2z = 0   x = −α z = α ⇒ y = −2α  z = α Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Ví dụ Tìm tất cả m để hai hệ phương trình sau tương đương    x + 2y + 5z = 0  3x + 8y + 19z = 0 x + 3y + 7z = 0 (1) 2x + 5y + 12z = 0 (2)  x + 4y + 9z = 0  3x + 9y + mz = 0 Giải. Xét hệ (1)   1 2 5 h2→h2−h1 h3→h3−h1  1 3 7  −−−−−−→ 1 4 9 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 25 / 29
 1 2 5   0 1 2  0 0 0 x + 2y + 5z = 0 Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau Đặt y + 2z = 0   x = −α z = α ⇒ y = −2α  z = α Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Ví dụ Tìm tất cả m để hai hệ phương trình sau tương đương    x + 2y + 5z = 0  3x + 8y + 19z = 0 x + 3y + 7z = 0 (1) 2x + 5y + 12z = 0 (2)  x + 4y + 9z = 0  3x + 9y + mz = 0 Giải. Xét hệ (1)     1 2 5 h2→h2−h1 1 2 5 h3→h3−h1 h3→h3−2h2  1 3 7  −−−−−−→  0 1 2  −−−−−−−→ 1 4 9 0 2 4 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 25 / 29
Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Ví dụ Tìm tất cả m để hai hệ phương trình sau tương đương    x + 2y + 5z = 0  3x + 8y + 19z = 0 x + 3y + 7z = 0 (1) 2x + 5y + 12z = 0 (2)  x + 4y + 9z = 0  3x + 9y + mz = 0 Giải. Xét hệ (1)       1 2 5 h2→h2−h1 1 2 5 1 2 5 h3→h3−h1 h3→h3−2h2  1 3 7  −−−−−−→  0 1 2  −−−−−−−→  0 1 2  1 4 9 0 2 4 0 0 0 x + 2y + 5z = 0 Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau Đặt y + 2z = 0   x = −α z = α ⇒ y = −2α  z = α TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 25 / 29
 1 3 7   0 −1 −2  0 0 m − 21   x + 3y + 7z = 0 Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau y + 2z = 0  (m − 21)z = 0 Nếu m − 21 6= 0 thì hệ (2) có nghiệm tầm thường (x, y, z) = (0, 0, 0). Mà hệ (1) có vô số nghiệm nên sẽ có nghiệm khác 0. Suy ra 2 hệ đã cho   x = −β không tương đương. Nếu m − 21 = 0 thì đặt z = β ⇒ y = −2β  z = β Do α, β là những số tùy ý nên ta thấy hệ (1) và hệ (2) có tập hợp nghiệm giống nhau và nghiệm của hệ (1) cũng chính là nghiệm của hệ (2) và ngược lại nên 2 hệ đã cho tương đương. Kết luận. m = 21. Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Xét hệ (2)     3 8 19 1 3 7 h2→h2−2h1 h1→h1−h2 h3→h3−3h1  2 5 12  −−−−−−→  2 5 12  −−−−−−−→ 3 9 m 3 9 m TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 26 / 29
  x = −β Nếu m − 21 = 0 thì đặt z = β ⇒ y = −2β  z = β Do α, β là những số tùy ý nên ta thấy hệ (1) và hệ (2) có tập hợp nghiệm giống nhau và nghiệm của hệ (1) cũng chính là nghiệm của hệ (2) và ngược lại nên 2 hệ đã cho tương đương. Kết luận. m = 21. Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Xét hệ (2)     3 8 19 1 3 7 h2→h2−2h1 h1→h1−h2 h3→h3−3h1  2 5 12  −−−−−−→  2 5 12  −−−−−−−→ 3 9 m 3 9 m  1 3 7   0 −1 −2  0 0 m − 21   x + 3y + 7z = 0 Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau y + 2z = 0  (m − 21)z = 0 Nếu m − 21 6= 0 thì hệ (2) có nghiệm tầm thường (x, y, z) = (0, 0, 0). Mà hệ (1) có vô số nghiệm nên sẽ có nghiệm khác 0. Suy ra 2 hệ đã cho không tương đương. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 26 / 29
Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Xét hệ (2)     3 8 19 1 3 7 h2→h2−2h1 h1→h1−h2 h3→h3−3h1  2 5 12  −−−−−−→  2 5 12  −−−−−−−→ 3 9 m 3 9 m  1 3 7   0 −1 −2  0 0 m − 21   x + 3y + 7z = 0 Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau y + 2z = 0  (m − 21)z = 0 Nếu m − 21 6= 0 thì hệ (2) có nghiệm tầm thường (x, y, z) = (0, 0, 0). Mà hệ (1) có vô số nghiệm nên sẽ có nghiệm khác 0. Suy ra 2 hệ đã cho   x = −β không tương đương. Nếu m − 21 = 0 thì đặt z = β ⇒ y = −2β  z = β Do α, β là những số tùy ý nên ta thấy hệ (1) và hệ (2) có tập hợp nghiệm giống nhau và nghiệm của hệ (1) cũng chính là nghiệm của hệ (2) và ngược lại nên 2 hệ đã cho tương đương. Kết luận. m = 21. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 26 / 29
Tìm tất cả m để hai hệ phương trình sau tương đương    x + 2y + 5z = 0  x + 4y + 9z = 0 x + 3y + 7z = 0 (1) x + 2y + 7z = 0 (2)  x + 4y + 9z = 0  3x + 10y + mz = 0 Giải. Xét hệ (1)       1 2 5 h2→h2−h1 1 2 5 1 2 5 h3→h3−h1 h3→h3−2h2  1 3 7  −−−−−−→  0 1 2  −−−−−−−→  0 1 2  1 4 9 0 2 4 0 0 0 x + 2y + 5z = 0 Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau Đặt y + 2z = 0   x = −α z = α ⇒ y = −2α  z = α Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Ví dụ TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 27 / 29
Giải. Xét hệ (1)       1 2 5 h2→h2−h1 1 2 5 1 2 5 h3→h3−h1 h3→h3−2h2  1 3 7  −−−−−−→  0 1 2  −−−−−−−→  0 1 2  1 4 9 0 2 4 0 0 0 x + 2y + 5z = 0 Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau Đặt y + 2z = 0   x = −α z = α ⇒ y = −2α  z = α Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Ví dụ Tìm tất cả m để hai hệ phương trình sau tương đương    x + 2y + 5z = 0  x + 4y + 9z = 0 x + 3y + 7z = 0 (1) x + 2y + 7z = 0 (2)  x + 4y + 9z = 0  3x + 10y + mz = 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 27 / 29
 1 2 5   1 2 5  h3→h3−2h2  0 1 2  −−−−−−−→  0 1 2  0 2 4 0 0 0 x + 2y + 5z = 0 Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau Đặt y + 2z = 0   x = −α z = α ⇒ y = −2α  z = α Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Ví dụ Tìm tất cả m để hai hệ phương trình sau tương đương    x + 2y + 5z = 0  x + 4y + 9z = 0 x + 3y + 7z = 0 (1) x + 2y + 7z = 0 (2)  x + 4y + 9z = 0  3x + 10y + mz = 0 Giải. Xét hệ (1)   1 2 5 h2→h2−h1 h3→h3−h1  1 3 7  −−−−−−→ 1 4 9 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 27 / 29
 1 2 5   0 1 2  0 0 0 x + 2y + 5z = 0 Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau Đặt y + 2z = 0   x = −α z = α ⇒ y = −2α  z = α Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Ví dụ Tìm tất cả m để hai hệ phương trình sau tương đương    x + 2y + 5z = 0  x + 4y + 9z = 0 x + 3y + 7z = 0 (1) x + 2y + 7z = 0 (2)  x + 4y + 9z = 0  3x + 10y + mz = 0 Giải. Xét hệ (1)     1 2 5 h2→h2−h1 1 2 5 h3→h3−h1 h3→h3−2h2  1 3 7  −−−−−−→  0 1 2  −−−−−−−→ 1 4 9 0 2 4 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 27 / 29
Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Ví dụ Tìm tất cả m để hai hệ phương trình sau tương đương    x + 2y + 5z = 0  x + 4y + 9z = 0 x + 3y + 7z = 0 (1) x + 2y + 7z = 0 (2)  x + 4y + 9z = 0  3x + 10y + mz = 0 Giải. Xét hệ (1)       1 2 5 h2→h2−h1 1 2 5 1 2 5 h3→h3−h1 h3→h3−2h2  1 3 7  −−−−−−→  0 1 2  −−−−−−−→  0 1 2  1 4 9 0 2 4 0 0 0 x + 2y + 5z = 0 Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau Đặt y + 2z = 0   x = −α z = α ⇒ y = −2α  z = α TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 27 / 29
Kết luận. Vậy không tồn tại m để 2 hệ đã cho không tương đương. Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Thay nghiệm của hệ (1) vào phương trình thứ 2 của hệ (2) ta thấy −α + 2(−2α) + 7α = 0 ⇔ 2α = 0. Vì α là số tùy ý nên chọn α 6= 0 thì ta thấy nghiệm của hệ (1) không là nghiệm của hệ (2) nên 2 hệ trên không tương đương. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 28 / 29
Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Thay nghiệm của hệ (1) vào phương trình thứ 2 của hệ (2) ta thấy −α + 2(−2α) + 7α = 0 ⇔ 2α = 0. Vì α là số tùy ý nên chọn α 6= 0 thì ta thấy nghiệm của hệ (1) không là nghiệm của hệ (2) nên 2 hệ trên không tương đương. Kết luận. Vậy không tồn tại m để 2 hệ đã cho không tương đương. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 28 / 29
Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất THANK YOU FOR ATTENTION TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 29 / 29