Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 4: Ánh xạ tuyến tính - Lê Văn Luyện

150 trang hapham 1930

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 4: Ánh xạ tuyến tính - Lê Văn Luyện", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_dai_so_tuyen_tinh_chuong_4_anh_xa_tuyen_tinh_le_va.pdf

Nội dung text: Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 4: Ánh xạ tuyến tính - Lê Văn Luyện

Nội dung chương 4 Bài giảng môn học Đại số tuyến tính Chương 4 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Lê Văn Luyện lvluyen@yahoo.com Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 1 / 86
Nội dung chương 4 Nội dung Chương 4. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 1. Định nghĩa 2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính 3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 2 / 86
1. Định nghĩa 1. Định nghĩa 1.1 Ánh xạ 1.2 Ánh xạ tuyến tính Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 3 / 86
Ta viết f : X −→ Y x 7−→ y = f(x) Nghĩa là ∀x ∈ X, ∃!y ∈ Y, y = f(x). Ví dụ. 2 • f : R → R xác định bởi f(x) = x + 2x − 1 là ánh xạ. 3 2 • g : R → R xác định bởi g(x, y, z) = (2x + y, x − 3y + z) là ánh xạ. m • h : → xác định bởi h( ) = m không là ánh xạ. Q Z n 1. Định nghĩa 1.1 Ánh xạ Định nghĩa. Cho X và Y là hai tập hợp khác rỗng. Ánh xạ giữa hai tập X và Y là một qui tắc sao cho mỗi x thuộc X tồn tại duy nhất một y thuộc Y để y = f(x). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 4 / 86
Nghĩa là ∀x ∈ X, ∃!y ∈ Y, y = f(x). Ví dụ. 2 • f : R → R xác định bởi f(x) = x + 2x − 1 là ánh xạ. 3 2 • g : R → R xác định bởi g(x, y, z) = (2x + y, x − 3y + z) là ánh xạ. m • h : → xác định bởi h( ) = m không là ánh xạ. Q Z n 1. Định nghĩa 1.1 Ánh xạ Định nghĩa. Cho X và Y là hai tập hợp khác rỗng. Ánh xạ giữa hai tập X và Y là một qui tắc sao cho mỗi x thuộc X tồn tại duy nhất một y thuộc Y để y = f(x). Ta viết f : X −→ Y x 7−→ y = f(x) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 4 / 86
Ví dụ. 2 • f : R → R xác định bởi f(x) = x + 2x − 1 là ánh xạ. 3 2 • g : R → R xác định bởi g(x, y, z) = (2x + y, x − 3y + z) là ánh xạ. m • h : → xác định bởi h( ) = m không là ánh xạ. Q Z n 1. Định nghĩa 1.1 Ánh xạ Định nghĩa. Cho X và Y là hai tập hợp khác rỗng. Ánh xạ giữa hai tập X và Y là một qui tắc sao cho mỗi x thuộc X tồn tại duy nhất một y thuộc Y để y = f(x). Ta viết f : X −→ Y x 7−→ y = f(x) Nghĩa là ∀x ∈ X, ∃!y ∈ Y, y = f(x). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 4 / 86
3 2 • g : R → R xác định bởi g(x, y, z) = (2x + y, x − 3y + z) là ánh xạ. m • h : → xác định bởi h( ) = m không là ánh xạ. Q Z n 1. Định nghĩa 1.1 Ánh xạ Định nghĩa. Cho X và Y là hai tập hợp khác rỗng. Ánh xạ giữa hai tập X và Y là một qui tắc sao cho mỗi x thuộc X tồn tại duy nhất một y thuộc Y để y = f(x). Ta viết f : X −→ Y x 7−→ y = f(x) Nghĩa là ∀x ∈ X, ∃!y ∈ Y, y = f(x). Ví dụ. 2 • f : R → R xác định bởi f(x) = x + 2x − 1 là ánh xạ. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 4 / 86
m • h : → xác định bởi h( ) = m không là ánh xạ. Q Z n 1. Định nghĩa 1.1 Ánh xạ Định nghĩa. Cho X và Y là hai tập hợp khác rỗng. Ánh xạ giữa hai tập X và Y là một qui tắc sao cho mỗi x thuộc X tồn tại duy nhất một y thuộc Y để y = f(x). Ta viết f : X −→ Y x 7−→ y = f(x) Nghĩa là ∀x ∈ X, ∃!y ∈ Y, y = f(x). Ví dụ. 2 • f : R → R xác định bởi f(x) = x + 2x − 1 là ánh xạ. 3 2 • g : R → R xác định bởi g(x, y, z) = (2x + y, x − 3y + z) là ánh xạ. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 4 / 86
1. Định nghĩa 1.1 Ánh xạ Định nghĩa. Cho X và Y là hai tập hợp khác rỗng. Ánh xạ giữa hai tập X và Y là một qui tắc sao cho mỗi x thuộc X tồn tại duy nhất một y thuộc Y để y = f(x). Ta viết f : X −→ Y x 7−→ y = f(x) Nghĩa là ∀x ∈ X, ∃!y ∈ Y, y = f(x). Ví dụ. 2 • f : R → R xác định bởi f(x) = x + 2x − 1 là ánh xạ. 3 2 • g : R → R xác định bởi g(x, y, z) = (2x + y, x − 3y + z) là ánh xạ. m • h : → xác định bởi h( ) = m không là ánh xạ. Q Z n Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 4 / 86
2 Ví dụ. Xét ánh xạ f(x) = (x − 1)(x + 1) và g(x) = x − 1 từ R → R. Ta có f = g. Định nghĩa. Cho hai ánh xạ f : X → Y và g : Y 0 → Z trong đó Y ⊂ Y 0. Ánh xạ tích h của f và g là ánh xạ từ X vào Z xác định bởi: h : X −→ Z x 7−→ h(x) = g(f(x)) Ta viết: h = gof. 2 Ví dụ. Cho f, g : R → R xác định bởi f(x) = 2x + 1 và g(x) = x + 2. Khi đó 2 2 2 fog(x) = f(g(x)) = f(x + 2) = 2(x + 2) + 1 = 2x + 5. 2 2 gof(x) = g(f(x) = g(2x + 1) = (2x + 1) + 2 = 4x + 4x + 3. 1. Định nghĩa Định nghĩa. Hai ánh xạ f và g từ X vào Y được gọi là bằng nhau nếu ∀x ∈ X, f(x) = g(x). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 5 / 86
Định nghĩa. Cho hai ánh xạ f : X → Y và g : Y 0 → Z trong đó Y ⊂ Y 0. Ánh xạ tích h của f và g là ánh xạ từ X vào Z xác định bởi: h : X −→ Z x 7−→ h(x) = g(f(x)) Ta viết: h = gof. 2 Ví dụ. Cho f, g : R → R xác định bởi f(x) = 2x + 1 và g(x) = x + 2. Khi đó 2 2 2 fog(x) = f(g(x)) = f(x + 2) = 2(x + 2) + 1 = 2x + 5. 2 2 gof(x) = g(f(x) = g(2x + 1) = (2x + 1) + 2 = 4x + 4x + 3. 1. Định nghĩa Định nghĩa. Hai ánh xạ f và g từ X vào Y được gọi là bằng nhau nếu ∀x ∈ X, f(x) = g(x). 2 Ví dụ. Xét ánh xạ f(x) = (x − 1)(x + 1) và g(x) = x − 1 từ R → R. Ta có f = g. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 5 / 86
2 Ví dụ. Cho f, g : R → R xác định bởi f(x) = 2x + 1 và g(x) = x + 2. Khi đó 2 2 2 fog(x) = f(g(x)) = f(x + 2) = 2(x + 2) + 1 = 2x + 5. 2 2 gof(x) = g(f(x) = g(2x + 1) = (2x + 1) + 2 = 4x + 4x + 3. 1. Định nghĩa Định nghĩa. Hai ánh xạ f và g từ X vào Y được gọi là bằng nhau nếu ∀x ∈ X, f(x) = g(x). 2 Ví dụ. Xét ánh xạ f(x) = (x − 1)(x + 1) và g(x) = x − 1 từ R → R. Ta có f = g. Định nghĩa. Cho hai ánh xạ f : X → Y và g : Y 0 → Z trong đó Y ⊂ Y 0. Ánh xạ tích h của f và g là ánh xạ từ X vào Z xác định bởi: h : X −→ Z x 7−→ h(x) = g(f(x)) Ta viết: h = gof. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 5 / 86
2 2 2 fog(x) = f(g(x)) = f(x + 2) = 2(x + 2) + 1 = 2x + 5. 2 2 gof(x) = g(f(x) = g(2x + 1) = (2x + 1) + 2 = 4x + 4x + 3. 1. Định nghĩa Định nghĩa. Hai ánh xạ f và g từ X vào Y được gọi là bằng nhau nếu ∀x ∈ X, f(x) = g(x). 2 Ví dụ. Xét ánh xạ f(x) = (x − 1)(x + 1) và g(x) = x − 1 từ R → R. Ta có f = g. Định nghĩa. Cho hai ánh xạ f : X → Y và g : Y 0 → Z trong đó Y ⊂ Y 0. Ánh xạ tích h của f và g là ánh xạ từ X vào Z xác định bởi: h : X −→ Z x 7−→ h(x) = g(f(x)) Ta viết: h = gof. 2 Ví dụ. Cho f, g : R → R xác định bởi f(x) = 2x + 1 và g(x) = x + 2. Khi đó Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 5 / 86
= f(x2 + 2) = 2(x2 + 2) + 1 = 2x2 + 5. 2 2 gof(x) = g(f(x) = g(2x + 1) = (2x + 1) + 2 = 4x + 4x + 3. 1. Định nghĩa Định nghĩa. Hai ánh xạ f và g từ X vào Y được gọi là bằng nhau nếu ∀x ∈ X, f(x) = g(x). 2 Ví dụ. Xét ánh xạ f(x) = (x − 1)(x + 1) và g(x) = x − 1 từ R → R. Ta có f = g. Định nghĩa. Cho hai ánh xạ f : X → Y và g : Y 0 → Z trong đó Y ⊂ Y 0. Ánh xạ tích h của f và g là ánh xạ từ X vào Z xác định bởi: h : X −→ Z x 7−→ h(x) = g(f(x)) Ta viết: h = gof. 2 Ví dụ. Cho f, g : R → R xác định bởi f(x) = 2x + 1 và g(x) = x + 2. Khi đó fog(x) = f(g(x)) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 5 / 86
= 2(x2 + 2) + 1 = 2x2 + 5. 2 2 gof(x) = g(f(x) = g(2x + 1) = (2x + 1) + 2 = 4x + 4x + 3. 1. Định nghĩa Định nghĩa. Hai ánh xạ f và g từ X vào Y được gọi là bằng nhau nếu ∀x ∈ X, f(x) = g(x). 2 Ví dụ. Xét ánh xạ f(x) = (x − 1)(x + 1) và g(x) = x − 1 từ R → R. Ta có f = g. Định nghĩa. Cho hai ánh xạ f : X → Y và g : Y 0 → Z trong đó Y ⊂ Y 0. Ánh xạ tích h của f và g là ánh xạ từ X vào Z xác định bởi: h : X −→ Z x 7−→ h(x) = g(f(x)) Ta viết: h = gof. 2 Ví dụ. Cho f, g : R → R xác định bởi f(x) = 2x + 1 và g(x) = x + 2. Khi đó 2 fog(x) = f(g(x)) = f(x + 2) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 5 / 86
2 2 gof(x) = g(f(x) = g(2x + 1) = (2x + 1) + 2 = 4x + 4x + 3. 1. Định nghĩa Định nghĩa. Hai ánh xạ f và g từ X vào Y được gọi là bằng nhau nếu ∀x ∈ X, f(x) = g(x). 2 Ví dụ. Xét ánh xạ f(x) = (x − 1)(x + 1) và g(x) = x − 1 từ R → R. Ta có f = g. Định nghĩa. Cho hai ánh xạ f : X → Y và g : Y 0 → Z trong đó Y ⊂ Y 0. Ánh xạ tích h của f và g là ánh xạ từ X vào Z xác định bởi: h : X −→ Z x 7−→ h(x) = g(f(x)) Ta viết: h = gof. 2 Ví dụ. Cho f, g : R → R xác định bởi f(x) = 2x + 1 và g(x) = x + 2. Khi đó 2 2 2 fog(x) = f(g(x)) = f(x + 2) = 2(x + 2) + 1 = 2x + 5. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 5 / 86
= g(2x + 1) = (2x + 1)2 + 2 = 4x2 + 4x + 3. 1. Định nghĩa Định nghĩa. Hai ánh xạ f và g từ X vào Y được gọi là bằng nhau nếu ∀x ∈ X, f(x) = g(x). 2 Ví dụ. Xét ánh xạ f(x) = (x − 1)(x + 1) và g(x) = x − 1 từ R → R. Ta có f = g. Định nghĩa. Cho hai ánh xạ f : X → Y và g : Y 0 → Z trong đó Y ⊂ Y 0. Ánh xạ tích h của f và g là ánh xạ từ X vào Z xác định bởi: h : X −→ Z x 7−→ h(x) = g(f(x)) Ta viết: h = gof. 2 Ví dụ. Cho f, g : R → R xác định bởi f(x) = 2x + 1 và g(x) = x + 2. Khi đó 2 2 2 fog(x) = f(g(x)) = f(x + 2) = 2(x + 2) + 1 = 2x + 5. gof(x) = g(f(x) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 5 / 86
= (2x + 1)2 + 2 = 4x2 + 4x + 3. 1. Định nghĩa Định nghĩa. Hai ánh xạ f và g từ X vào Y được gọi là bằng nhau nếu ∀x ∈ X, f(x) = g(x). 2 Ví dụ. Xét ánh xạ f(x) = (x − 1)(x + 1) và g(x) = x − 1 từ R → R. Ta có f = g. Định nghĩa. Cho hai ánh xạ f : X → Y và g : Y 0 → Z trong đó Y ⊂ Y 0. Ánh xạ tích h của f và g là ánh xạ từ X vào Z xác định bởi: h : X −→ Z x 7−→ h(x) = g(f(x)) Ta viết: h = gof. 2 Ví dụ. Cho f, g : R → R xác định bởi f(x) = 2x + 1 và g(x) = x + 2. Khi đó 2 2 2 fog(x) = f(g(x)) = f(x + 2) = 2(x + 2) + 1 = 2x + 5. gof(x) = g(f(x) = g(2x + 1) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 5 / 86
1. Định nghĩa Định nghĩa. Hai ánh xạ f và g từ X vào Y được gọi là bằng nhau nếu ∀x ∈ X, f(x) = g(x). 2 Ví dụ. Xét ánh xạ f(x) = (x − 1)(x + 1) và g(x) = x − 1 từ R → R. Ta có f = g. Định nghĩa. Cho hai ánh xạ f : X → Y và g : Y 0 → Z trong đó Y ⊂ Y 0. Ánh xạ tích h của f và g là ánh xạ từ X vào Z xác định bởi: h : X −→ Z x 7−→ h(x) = g(f(x)) Ta viết: h = gof. 2 Ví dụ. Cho f, g : R → R xác định bởi f(x) = 2x + 1 và g(x) = x + 2. Khi đó 2 2 2 fog(x) = f(g(x)) = f(x + 2) = 2(x + 2) + 1 = 2x + 5. 2 2 gof(x) = g(f(x) = g(2x + 1) = (2x + 1) + 2 = 4x + 4x + 3. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 5 / 86
• f(A)= {f(x)|x ∈ A} = {y ∈ Y | ∃x ∈ A, y = f(x)} được gọi là ảnh của A. • f −1(B)= {x ∈ X | f(x) ∈ B} được gọi là ảnh ngược của B. • f(X) được gọi là ảnh của ánh xạ f, ký hiệu Imf. 2 Ví dụ. Cho f : R → R được xác định f(x) = x + 1. Khi đó: f([1, 3]) = [2, 10] f([−2, −1]) = [2, 5] f([−1, 3]) = [1, 10] f((1, 5)) = (2, 26) f −1(1) = {0} f −1(2) = {−1, 1} f −1(−5) = ∅ f −1([2, 5]) = [−2, −1] ∪ [1, 2] 1. Định nghĩa Ảnh và ảnh ngược của ánh xạ Định nghĩa. Cho f : X → Y là ánh xạ, A ⊂ X, B ⊂ Y . Khi đó: Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 6 / 86
• f −1(B)= {x ∈ X | f(x) ∈ B} được gọi là ảnh ngược của B. • f(X) được gọi là ảnh của ánh xạ f, ký hiệu Imf. 2 Ví dụ. Cho f : R → R được xác định f(x) = x + 1. Khi đó: f([1, 3]) = [2, 10] f([−2, −1]) = [2, 5] f([−1, 3]) = [1, 10] f((1, 5)) = (2, 26) f −1(1) = {0} f −1(2) = {−1, 1} f −1(−5) = ∅ f −1([2, 5]) = [−2, −1] ∪ [1, 2] 1. Định nghĩa Ảnh và ảnh ngược của ánh xạ Định nghĩa. Cho f : X → Y là ánh xạ, A ⊂ X, B ⊂ Y . Khi đó: • f(A)= {f(x)|x ∈ A} = {y ∈ Y | ∃x ∈ A, y = f(x)} được gọi là ảnh của A. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 6 / 86
• f(X) được gọi là ảnh của ánh xạ f, ký hiệu Imf. 2 Ví dụ. Cho f : R → R được xác định f(x) = x + 1. Khi đó: f([1, 3]) = [2, 10] f([−2, −1]) = [2, 5] f([−1, 3]) = [1, 10] f((1, 5)) = (2, 26) f −1(1) = {0} f −1(2) = {−1, 1} f −1(−5) = ∅ f −1([2, 5]) = [−2, −1] ∪ [1, 2] 1. Định nghĩa Ảnh và ảnh ngược của ánh xạ Định nghĩa. Cho f : X → Y là ánh xạ, A ⊂ X, B ⊂ Y . Khi đó: • f(A)= {f(x)|x ∈ A} = {y ∈ Y | ∃x ∈ A, y = f(x)} được gọi là ảnh của A. • f −1(B)= {x ∈ X | f(x) ∈ B} được gọi là ảnh ngược của B. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 6 / 86
2 Ví dụ. Cho f : R → R được xác định f(x) = x + 1. Khi đó: f([1, 3]) = [2, 10] f([−2, −1]) = [2, 5] f([−1, 3]) = [1, 10] f((1, 5)) = (2, 26) f −1(1) = {0} f −1(2) = {−1, 1} f −1(−5) = ∅ f −1([2, 5]) = [−2, −1] ∪ [1, 2] 1. Định nghĩa Ảnh và ảnh ngược của ánh xạ Định nghĩa. Cho f : X → Y là ánh xạ, A ⊂ X, B ⊂ Y . Khi đó: • f(A)= {f(x)|x ∈ A} = {y ∈ Y | ∃x ∈ A, y = f(x)} được gọi là ảnh của A. • f −1(B)= {x ∈ X | f(x) ∈ B} được gọi là ảnh ngược của B. • f(X) được gọi là ảnh của ánh xạ f, ký hiệu Imf. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 6 / 86
f([1, 3]) = [2, 10] f([−2, −1]) = [2, 5] f([−1, 3]) = [1, 10] f((1, 5)) = (2, 26) f −1(1) = {0} f −1(2) = {−1, 1} f −1(−5) = ∅ f −1([2, 5]) = [−2, −1] ∪ [1, 2] 1. Định nghĩa Ảnh và ảnh ngược của ánh xạ Định nghĩa. Cho f : X → Y là ánh xạ, A ⊂ X, B ⊂ Y . Khi đó: • f(A)= {f(x)|x ∈ A} = {y ∈ Y | ∃x ∈ A, y = f(x)} được gọi là ảnh của A. • f −1(B)= {x ∈ X | f(x) ∈ B} được gọi là ảnh ngược của B. • f(X) được gọi là ảnh của ánh xạ f, ký hiệu Imf. 2 Ví dụ. Cho f : R → R được xác định f(x) = x + 1. Khi đó: Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 6 / 86
1. Định nghĩa Ảnh và ảnh ngược của ánh xạ Định nghĩa. Cho f : X → Y là ánh xạ, A ⊂ X, B ⊂ Y . Khi đó: • f(A)= {f(x)|x ∈ A} = {y ∈ Y | ∃x ∈ A, y = f(x)} được gọi là ảnh của A. • f −1(B)= {x ∈ X | f(x) ∈ B} được gọi là ảnh ngược của B. • f(X) được gọi là ảnh của ánh xạ f, ký hiệu Imf. 2 Ví dụ. Cho f : R → R được xác định f(x) = x + 1. Khi đó: f([1, 3]) = [2, 10] f([−2, −1]) = [2, 5] f([−1, 3]) = [1, 10] f((1, 5)) = (2, 26) f −1(1) = {0} f −1(2) = {−1, 1} f −1(−5) = ∅ f −1([2, 5]) = [−2, −1] ∪ [1, 2] Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 6 / 86
Nghĩa là: ∀x1, x2 ∈ X, x1 6= x2 ⇒ f(x1) 6= f(x2). Ví dụ. 2 • f : N → R được xác định f(x) = x + 1 (là đơn ánh) 2 • g : R → R được xác định g(x) = x + 1 (không đơn ánh) b) Toàn ánh. Ta nói f : X → Y là một toàn ánh nếu f(X) = Y. Nghĩa là: ∀y ∈ Y, ∃x ∈ X, f(x) = y. Ví dụ. 3 • f : R → R được xác định f(x) = x + 1 (là toàn ánh) 2 • g : R → R được xác định g(x) = x + 1 (không toàn ánh) 1. Định nghĩa Phân loại ánh xạ a) Đơn ánh. Ta nói f : X → Y là một đơn ánh nếu hai phần tử khác nhau bất kỳ của X đều có ảnh khác nhau. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 7 / 86
Ví dụ. 2 • f : N → R được xác định f(x) = x + 1 (là đơn ánh) 2 • g : R → R được xác định g(x) = x + 1 (không đơn ánh) b) Toàn ánh. Ta nói f : X → Y là một toàn ánh nếu f(X) = Y. Nghĩa là: ∀y ∈ Y, ∃x ∈ X, f(x) = y. Ví dụ. 3 • f : R → R được xác định f(x) = x + 1 (là toàn ánh) 2 • g : R → R được xác định g(x) = x + 1 (không toàn ánh) 1. Định nghĩa Phân loại ánh xạ a) Đơn ánh. Ta nói f : X → Y là một đơn ánh nếu hai phần tử khác nhau bất kỳ của X đều có ảnh khác nhau. Nghĩa là: ∀x1, x2 ∈ X, x1 6= x2 ⇒ f(x1) 6= f(x2). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 7 / 86
2 • g : R → R được xác định g(x) = x + 1 (không đơn ánh) b) Toàn ánh. Ta nói f : X → Y là một toàn ánh nếu f(X) = Y. Nghĩa là: ∀y ∈ Y, ∃x ∈ X, f(x) = y. Ví dụ. 3 • f : R → R được xác định f(x) = x + 1 (là toàn ánh) 2 • g : R → R được xác định g(x) = x + 1 (không toàn ánh) 1. Định nghĩa Phân loại ánh xạ a) Đơn ánh. Ta nói f : X → Y là một đơn ánh nếu hai phần tử khác nhau bất kỳ của X đều có ảnh khác nhau. Nghĩa là: ∀x1, x2 ∈ X, x1 6= x2 ⇒ f(x1) 6= f(x2). Ví dụ. 2 • f : N → R được xác định f(x) = x + 1 (là đơn ánh) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 7 / 86
b) Toàn ánh. Ta nói f : X → Y là một toàn ánh nếu f(X) = Y. Nghĩa là: ∀y ∈ Y, ∃x ∈ X, f(x) = y. Ví dụ. 3 • f : R → R được xác định f(x) = x + 1 (là toàn ánh) 2 • g : R → R được xác định g(x) = x + 1 (không toàn ánh) 1. Định nghĩa Phân loại ánh xạ a) Đơn ánh. Ta nói f : X → Y là một đơn ánh nếu hai phần tử khác nhau bất kỳ của X đều có ảnh khác nhau. Nghĩa là: ∀x1, x2 ∈ X, x1 6= x2 ⇒ f(x1) 6= f(x2). Ví dụ. 2 • f : N → R được xác định f(x) = x + 1 (là đơn ánh) 2 • g : R → R được xác định g(x) = x + 1 (không đơn ánh) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 7 / 86
Nghĩa là: ∀y ∈ Y, ∃x ∈ X, f(x) = y. Ví dụ. 3 • f : R → R được xác định f(x) = x + 1 (là toàn ánh) 2 • g : R → R được xác định g(x) = x + 1 (không toàn ánh) 1. Định nghĩa Phân loại ánh xạ a) Đơn ánh. Ta nói f : X → Y là một đơn ánh nếu hai phần tử khác nhau bất kỳ của X đều có ảnh khác nhau. Nghĩa là: ∀x1, x2 ∈ X, x1 6= x2 ⇒ f(x1) 6= f(x2). Ví dụ. 2 • f : N → R được xác định f(x) = x + 1 (là đơn ánh) 2 • g : R → R được xác định g(x) = x + 1 (không đơn ánh) b) Toàn ánh. Ta nói f : X → Y là một toàn ánh nếu f(X) = Y. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 7 / 86
Ví dụ. 3 • f : R → R được xác định f(x) = x + 1 (là toàn ánh) 2 • g : R → R được xác định g(x) = x + 1 (không toàn ánh) 1. Định nghĩa Phân loại ánh xạ a) Đơn ánh. Ta nói f : X → Y là một đơn ánh nếu hai phần tử khác nhau bất kỳ của X đều có ảnh khác nhau. Nghĩa là: ∀x1, x2 ∈ X, x1 6= x2 ⇒ f(x1) 6= f(x2). Ví dụ. 2 • f : N → R được xác định f(x) = x + 1 (là đơn ánh) 2 • g : R → R được xác định g(x) = x + 1 (không đơn ánh) b) Toàn ánh. Ta nói f : X → Y là một toàn ánh nếu f(X) = Y. Nghĩa là: ∀y ∈ Y, ∃x ∈ X, f(x) = y. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 7 / 86
2 • g : R → R được xác định g(x) = x + 1 (không toàn ánh) 1. Định nghĩa Phân loại ánh xạ a) Đơn ánh. Ta nói f : X → Y là một đơn ánh nếu hai phần tử khác nhau bất kỳ của X đều có ảnh khác nhau. Nghĩa là: ∀x1, x2 ∈ X, x1 6= x2 ⇒ f(x1) 6= f(x2). Ví dụ. 2 • f : N → R được xác định f(x) = x + 1 (là đơn ánh) 2 • g : R → R được xác định g(x) = x + 1 (không đơn ánh) b) Toàn ánh. Ta nói f : X → Y là một toàn ánh nếu f(X) = Y. Nghĩa là: ∀y ∈ Y, ∃x ∈ X, f(x) = y. Ví dụ. 3 • f : R → R được xác định f(x) = x + 1 (là toàn ánh) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 7 / 86
1. Định nghĩa Phân loại ánh xạ a) Đơn ánh. Ta nói f : X → Y là một đơn ánh nếu hai phần tử khác nhau bất kỳ của X đều có ảnh khác nhau. Nghĩa là: ∀x1, x2 ∈ X, x1 6= x2 ⇒ f(x1) 6= f(x2). Ví dụ. 2 • f : N → R được xác định f(x) = x + 1 (là đơn ánh) 2 • g : R → R được xác định g(x) = x + 1 (không đơn ánh) b) Toàn ánh. Ta nói f : X → Y là một toàn ánh nếu f(X) = Y. Nghĩa là: ∀y ∈ Y, ∃x ∈ X, f(x) = y. Ví dụ. 3 • f : R → R được xác định f(x) = x + 1 (là toàn ánh) 2 • g : R → R được xác định g(x) = x + 1 (không toàn ánh) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 7 / 86
Ví dụ. • f : R → R được xác định f(x) = 2x + 1 (là song ánh) 2 • g : R → R được xác định g(x) = x + 1 (không song ánh) Ánh xạ ngược Xét f : X → Y là một song ánh. Khi đó, với mọi y ∈ Y , tồn tại duy nhất một phần tử x ∈ X thỏa f(x) = y. Do đó tương ứng y 7−→ x là một ánh xạ từ Y vào X. Ta gọi đây là ánh xạ ngược của f và ký hiệu f ˘1. Như vậy: f −1 : Y −→ X y 7−→ f −1(y) = x sao cho f(x) = y y − 1 Ví dụ. Cho f : → với f(x) = 2x + 1. Khi đó f −1(y) = . R R 2 1. Định nghĩa c) Song ánh. Ta nói f : X → Y là một song ánh nếu f là đơn ánh và toàn ánh. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 8 / 86
2 • g : R → R được xác định g(x) = x + 1 (không song ánh) Ánh xạ ngược Xét f : X → Y là một song ánh. Khi đó, với mọi y ∈ Y , tồn tại duy nhất một phần tử x ∈ X thỏa f(x) = y. Do đó tương ứng y 7−→ x là một ánh xạ từ Y vào X. Ta gọi đây là ánh xạ ngược của f và ký hiệu f ˘1. Như vậy: f −1 : Y −→ X y 7−→ f −1(y) = x sao cho f(x) = y y − 1 Ví dụ. Cho f : → với f(x) = 2x + 1. Khi đó f −1(y) = . R R 2 1. Định nghĩa c) Song ánh. Ta nói f : X → Y là một song ánh nếu f là đơn ánh và toàn ánh. Ví dụ. • f : R → R được xác định f(x) = 2x + 1 (là song ánh) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 8 / 86
Ánh xạ ngược Xét f : X → Y là một song ánh. Khi đó, với mọi y ∈ Y , tồn tại duy nhất một phần tử x ∈ X thỏa f(x) = y. Do đó tương ứng y 7−→ x là một ánh xạ từ Y vào X. Ta gọi đây là ánh xạ ngược của f và ký hiệu f ˘1. Như vậy: f −1 : Y −→ X y 7−→ f −1(y) = x sao cho f(x) = y y − 1 Ví dụ. Cho f : → với f(x) = 2x + 1. Khi đó f −1(y) = . R R 2 1. Định nghĩa c) Song ánh. Ta nói f : X → Y là một song ánh nếu f là đơn ánh và toàn ánh. Ví dụ. • f : R → R được xác định f(x) = 2x + 1 (là song ánh) 2 • g : R → R được xác định g(x) = x + 1 (không song ánh) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 8 / 86
f −1 : Y −→ X y 7−→ f −1(y) = x sao cho f(x) = y y − 1 Ví dụ. Cho f : → với f(x) = 2x + 1. Khi đó f −1(y) = . R R 2 1. Định nghĩa c) Song ánh. Ta nói f : X → Y là một song ánh nếu f là đơn ánh và toàn ánh. Ví dụ. • f : R → R được xác định f(x) = 2x + 1 (là song ánh) 2 • g : R → R được xác định g(x) = x + 1 (không song ánh) Ánh xạ ngược Xét f : X → Y là một song ánh. Khi đó, với mọi y ∈ Y , tồn tại duy nhất một phần tử x ∈ X thỏa f(x) = y. Do đó tương ứng y 7−→ x là một ánh xạ từ Y vào X. Ta gọi đây là ánh xạ ngược của f và ký hiệu f ˘1. Như vậy: Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 8 / 86
y − 1 Ví dụ. Cho f : → với f(x) = 2x + 1. Khi đó f −1(y) = . R R 2 1. Định nghĩa c) Song ánh. Ta nói f : X → Y là một song ánh nếu f là đơn ánh và toàn ánh. Ví dụ. • f : R → R được xác định f(x) = 2x + 1 (là song ánh) 2 • g : R → R được xác định g(x) = x + 1 (không song ánh) Ánh xạ ngược Xét f : X → Y là một song ánh. Khi đó, với mọi y ∈ Y , tồn tại duy nhất một phần tử x ∈ X thỏa f(x) = y. Do đó tương ứng y 7−→ x là một ánh xạ từ Y vào X. Ta gọi đây là ánh xạ ngược của f và ký hiệu f ˘1. Như vậy: f −1 : Y −→ X y 7−→ f −1(y) = x sao cho f(x) = y Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 8 / 86
1. Định nghĩa c) Song ánh. Ta nói f : X → Y là một song ánh nếu f là đơn ánh và toàn ánh. Ví dụ. • f : R → R được xác định f(x) = 2x + 1 (là song ánh) 2 • g : R → R được xác định g(x) = x + 1 (không song ánh) Ánh xạ ngược Xét f : X → Y là một song ánh. Khi đó, với mọi y ∈ Y , tồn tại duy nhất một phần tử x ∈ X thỏa f(x) = y. Do đó tương ứng y 7−→ x là một ánh xạ từ Y vào X. Ta gọi đây là ánh xạ ngược của f và ký hiệu f ˘1. Như vậy: f −1 : Y −→ X y 7−→ f −1(y) = x sao cho f(x) = y y − 1 Ví dụ. Cho f : → với f(x) = 2x + 1. Khi đó f −1(y) = . R R 2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 8 / 86
i) f(u + v) = f(u) + f(v), ∀u, v ∈ V , ii) f(αu) = αf(u), ∀α ∈ R, ∀u ∈ V. Nhận xét. Điều kiện i) và ii) trong định nghĩa có thể được thay thế bằng một điều kiện : f(αu + v) = αf(u) + f(v), ∀α ∈ R, ∀u, v ∈ V. Ký hiệu. • L(V, W ) là tập hợp các ánh xạ tuyến tính từ V → W . • Nếu f ∈ L(V, V ) thì f được gọi là một toán tử tuyến tính trên V. Viết tắt f ∈ L(V ). 1. Định nghĩa 1.2 Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa. Cho V và W là hai không gian vectơ trên R. Ta nói f : V −→ W là một ánh xạ tuyến tính nếu nó thỏa hai điều kiện dưới đây: Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 9 / 86
ii) f(αu) = αf(u), ∀α ∈ R, ∀u ∈ V. Nhận xét. Điều kiện i) và ii) trong định nghĩa có thể được thay thế bằng một điều kiện : f(αu + v) = αf(u) + f(v), ∀α ∈ R, ∀u, v ∈ V. Ký hiệu. • L(V, W ) là tập hợp các ánh xạ tuyến tính từ V → W . • Nếu f ∈ L(V, V ) thì f được gọi là một toán tử tuyến tính trên V. Viết tắt f ∈ L(V ). 1. Định nghĩa 1.2 Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa. Cho V và W là hai không gian vectơ trên R. Ta nói f : V −→ W là một ánh xạ tuyến tính nếu nó thỏa hai điều kiện dưới đây: i) f(u + v) = f(u) + f(v), ∀u, v ∈ V , Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 9 / 86
Nhận xét. Điều kiện i) và ii) trong định nghĩa có thể được thay thế bằng một điều kiện : f(αu + v) = αf(u) + f(v), ∀α ∈ R, ∀u, v ∈ V. Ký hiệu. • L(V, W ) là tập hợp các ánh xạ tuyến tính từ V → W . • Nếu f ∈ L(V, V ) thì f được gọi là một toán tử tuyến tính trên V. Viết tắt f ∈ L(V ). 1. Định nghĩa 1.2 Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa. Cho V và W là hai không gian vectơ trên R. Ta nói f : V −→ W là một ánh xạ tuyến tính nếu nó thỏa hai điều kiện dưới đây: i) f(u + v) = f(u) + f(v), ∀u, v ∈ V , ii) f(αu) = αf(u), ∀α ∈ R, ∀u ∈ V. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 9 / 86
Ký hiệu. • L(V, W ) là tập hợp các ánh xạ tuyến tính từ V → W . • Nếu f ∈ L(V, V ) thì f được gọi là một toán tử tuyến tính trên V. Viết tắt f ∈ L(V ). 1. Định nghĩa 1.2 Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa. Cho V và W là hai không gian vectơ trên R. Ta nói f : V −→ W là một ánh xạ tuyến tính nếu nó thỏa hai điều kiện dưới đây: i) f(u + v) = f(u) + f(v), ∀u, v ∈ V , ii) f(αu) = αf(u), ∀α ∈ R, ∀u ∈ V. Nhận xét. Điều kiện i) và ii) trong định nghĩa có thể được thay thế bằng một điều kiện : f(αu + v) = αf(u) + f(v), ∀α ∈ R, ∀u, v ∈ V. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 9 / 86
• Nếu f ∈ L(V, V ) thì f được gọi là một toán tử tuyến tính trên V. Viết tắt f ∈ L(V ). 1. Định nghĩa 1.2 Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa. Cho V và W là hai không gian vectơ trên R. Ta nói f : V −→ W là một ánh xạ tuyến tính nếu nó thỏa hai điều kiện dưới đây: i) f(u + v) = f(u) + f(v), ∀u, v ∈ V , ii) f(αu) = αf(u), ∀α ∈ R, ∀u ∈ V. Nhận xét. Điều kiện i) và ii) trong định nghĩa có thể được thay thế bằng một điều kiện : f(αu + v) = αf(u) + f(v), ∀α ∈ R, ∀u, v ∈ V. Ký hiệu. • L(V, W ) là tập hợp các ánh xạ tuyến tính từ V → W . Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 9 / 86
1. Định nghĩa 1.2 Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa. Cho V và W là hai không gian vectơ trên R. Ta nói f : V −→ W là một ánh xạ tuyến tính nếu nó thỏa hai điều kiện dưới đây: i) f(u + v) = f(u) + f(v), ∀u, v ∈ V , ii) f(αu) = αf(u), ∀α ∈ R, ∀u ∈ V. Nhận xét. Điều kiện i) và ii) trong định nghĩa có thể được thay thế bằng một điều kiện : f(αu + v) = αf(u) + f(v), ∀α ∈ R, ∀u, v ∈ V. Ký hiệu. • L(V, W ) là tập hợp các ánh xạ tuyến tính từ V → W . • Nếu f ∈ L(V, V ) thì f được gọi là một toán tử tuyến tính trên V. Viết tắt f ∈ L(V ). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 9 / 86
• f(−u) = −f(u), ∀u ∈ V. 3 2 Ví dụ. Cho ánh xạ f : R −→ R xác định bởi f(x, y, z) = (x + 2y − 3z, 2x + z). Chứng tỏ f là ánh xạ tuyến tính. 3 Giải. ∀u = (x1, y1, z1), v = (x2, y2, z2) ∈ R . Ta có f(u + v) = f(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = (x1 + x2 + 2y1 + 2y2 − 3z1 − 3z2, 2x1 + 2x2 + z1 + z2) = (x1 + 2y1 − 3z1, 2x1 + z1) + (x2 + 2y2 − 3z2, 2x2 + z2) = f(u) + f(v). Tính chất ∀α ∈ R, f(αu) = αf(u) kiểm tra tương tự. 1. Định nghĩa Nhận xét. Nếu f ∈ L(V, W ) thì • f(0) = 0; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 10 / 86
3 2 Ví dụ. Cho ánh xạ f : R −→ R xác định bởi f(x, y, z) = (x + 2y − 3z, 2x + z). Chứng tỏ f là ánh xạ tuyến tính. 3 Giải. ∀u = (x1, y1, z1), v = (x2, y2, z2) ∈ R . Ta có f(u + v) = f(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = (x1 + x2 + 2y1 + 2y2 − 3z1 − 3z2, 2x1 + 2x2 + z1 + z2) = (x1 + 2y1 − 3z1, 2x1 + z1) + (x2 + 2y2 − 3z2, 2x2 + z2) = f(u) + f(v). Tính chất ∀α ∈ R, f(αu) = αf(u) kiểm tra tương tự. 1. Định nghĩa Nhận xét. Nếu f ∈ L(V, W ) thì • f(0) = 0; • f(−u) = −f(u), ∀u ∈ V. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 10 / 86
3 Giải. ∀u = (x1, y1, z1), v = (x2, y2, z2) ∈ R . Ta có f(u + v) = f(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = (x1 + x2 + 2y1 + 2y2 − 3z1 − 3z2, 2x1 + 2x2 + z1 + z2) = (x1 + 2y1 − 3z1, 2x1 + z1) + (x2 + 2y2 − 3z2, 2x2 + z2) = f(u) + f(v). Tính chất ∀α ∈ R, f(αu) = αf(u) kiểm tra tương tự. 1. Định nghĩa Nhận xét. Nếu f ∈ L(V, W ) thì • f(0) = 0; • f(−u) = −f(u), ∀u ∈ V. 3 2 Ví dụ. Cho ánh xạ f : R −→ R xác định bởi f(x, y, z) = (x + 2y − 3z, 2x + z). Chứng tỏ f là ánh xạ tuyến tính. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 10 / 86
f(u + v) = f(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = (x1 + x2 + 2y1 + 2y2 − 3z1 − 3z2, 2x1 + 2x2 + z1 + z2) = (x1 + 2y1 − 3z1, 2x1 + z1) + (x2 + 2y2 − 3z2, 2x2 + z2) = f(u) + f(v). Tính chất ∀α ∈ R, f(αu) = αf(u) kiểm tra tương tự. 1. Định nghĩa Nhận xét. Nếu f ∈ L(V, W ) thì • f(0) = 0; • f(−u) = −f(u), ∀u ∈ V. 3 2 Ví dụ. Cho ánh xạ f : R −→ R xác định bởi f(x, y, z) = (x + 2y − 3z, 2x + z). Chứng tỏ f là ánh xạ tuyến tính. 3 Giải. ∀u = (x1, y1, z1), v = (x2, y2, z2) ∈ R . Ta có Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 10 / 86
Tính chất ∀α ∈ R, f(αu) = αf(u) kiểm tra tương tự. 1. Định nghĩa Nhận xét. Nếu f ∈ L(V, W ) thì • f(0) = 0; • f(−u) = −f(u), ∀u ∈ V. 3 2 Ví dụ. Cho ánh xạ f : R −→ R xác định bởi f(x, y, z) = (x + 2y − 3z, 2x + z). Chứng tỏ f là ánh xạ tuyến tính. 3 Giải. ∀u = (x1, y1, z1), v = (x2, y2, z2) ∈ R . Ta có f(u + v) = f(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = (x1 + x2 + 2y1 + 2y2 − 3z1 − 3z2, 2x1 + 2x2 + z1 + z2) = (x1 + 2y1 − 3z1, 2x1 + z1) + (x2 + 2y2 − 3z2, 2x2 + z2) = f(u) + f(v). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 10 / 86
1. Định nghĩa Nhận xét. Nếu f ∈ L(V, W ) thì • f(0) = 0; • f(−u) = −f(u), ∀u ∈ V. 3 2 Ví dụ. Cho ánh xạ f : R −→ R xác định bởi f(x, y, z) = (x + 2y − 3z, 2x + z). Chứng tỏ f là ánh xạ tuyến tính. 3 Giải. ∀u = (x1, y1, z1), v = (x2, y2, z2) ∈ R . Ta có f(u + v) = f(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = (x1 + x2 + 2y1 + 2y2 − 3z1 − 3z2, 2x1 + 2x2 + z1 + z2) = (x1 + 2y1 − 3z1, 2x1 + z1) + (x2 + 2y2 − 3z2, 2x2 + z2) = f(u) + f(v). Tính chất ∀α ∈ R, f(αu) = αf(u) kiểm tra tương tự. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 10 / 86
  α1  α2  Hơn nữa, nếu [u] =   thì B  .   .  αn f(u) = α1f(u1) + α2f(u2) + + αnf(un). 3 Ví dụ. Trong không gian R cho các vectơ: u1 = (1, −1, 1); u2 = (1, 0, 1); u3 = (2, −1, 3). 3 i) Chứng tỏ B = (u1, u2, u3) là một cơ sở của R . 3 3 ii) Tìm ánh xạ tuyến tính f : R −→ R thỏa: f(u1) = (2, 1, −2); f(u2) = (1, 2, −2); f(u3) = (3, 5, −7). 1. Định nghĩa Định lý. Cho V và W là hai không gian vectơ, B = {u1, u2, . . . , un} là cơ sở của V . Khi đó, nếu S = {v1, v2, . . . , vn} là một tập hợp của W thì tồn tại duy nhất một f ∈ L(V, W ) sao cho f(u1) = v1, f(u2) = v2, . . . , f(un) = vn. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 11 / 86
3 Ví dụ. Trong không gian R cho các vectơ: u1 = (1, −1, 1); u2 = (1, 0, 1); u3 = (2, −1, 3). 3 i) Chứng tỏ B = (u1, u2, u3) là một cơ sở của R . 3 3 ii) Tìm ánh xạ tuyến tính f : R −→ R thỏa: f(u1) = (2, 1, −2); f(u2) = (1, 2, −2); f(u3) = (3, 5, −7). 1. Định nghĩa Định lý. Cho V và W là hai không gian vectơ, B = {u1, u2, . . . , un} là cơ sở của V . Khi đó, nếu S = {v1, v2, . . . , vn} là một tập hợp của W thì tồn tại duy nhất một f ∈ L(V, W ) sao cho f(u1) = v1, f(u2) = v2, . . . , f(un) = vn.   α1  α2  Hơn nữa, nếu [u] =   thì B  .   .  αn f(u) = α1f(u1) + α2f(u2) + + αnf(un). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 11 / 86
1. Định nghĩa Định lý. Cho V và W là hai không gian vectơ, B = {u1, u2, . . . , un} là cơ sở của V . Khi đó, nếu S = {v1, v2, . . . , vn} là một tập hợp của W thì tồn tại duy nhất một f ∈ L(V, W ) sao cho f(u1) = v1, f(u2) = v2, . . . , f(un) = vn.   α1  α2  Hơn nữa, nếu [u] =   thì B  .   .  αn f(u) = α1f(u1) + α2f(u2) + + αnf(un). 3 Ví dụ. Trong không gian R cho các vectơ: u1 = (1, −1, 1); u2 = (1, 0, 1); u3 = (2, −1, 3). 3 i) Chứng tỏ B = (u1, u2, u3) là một cơ sở của R . 3 3 ii) Tìm ánh xạ tuyến tính f : R −→ R thỏa: f(u1) = (2, 1, −2); f(u2) = (1, 2, −2); f(u3) = (3, 5, −7). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 11 / 86
    u1 1 −1 1 Lập A =  u2  =  1 0 1  .Ta có |A| = 1, suy ra B độc lập u3 2 −1 3 3 tuyến tính. Vì dimR = 3 bằng số vectơ của B nên B là một cơ sở của 3 R . 3 3 b) Tìm ánh xạ tuyến tính f : R −→ R thỏa: f(u1) = (2, 1, −2); f(u2) = (1, 2, −2); f(u3) = (3, 5, −7). 3 Cho u = (x, y, z) ∈ R . Tìm [u]B. Lập  1 1 2 x   1 0 0 x − y − z  > > > > (u1 u2 u3 |u ) =  −1 0 −1 y  →  0 1 0 2x + y − z  . 1 1 3 z 0 0 1 −x + z 1. Định nghĩa Giải. 3 a) Chứng tỏ B = (u1, u2, u3) là một cơ sở của R . Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 12 / 86
Ta có |A| = 1, suy ra B độc lập 3 tuyến tính. Vì dimR = 3 bằng số vectơ của B nên B là một cơ sở của 3 R . 3 3 b) Tìm ánh xạ tuyến tính f : R −→ R thỏa: f(u1) = (2, 1, −2); f(u2) = (1, 2, −2); f(u3) = (3, 5, −7). 3 Cho u = (x, y, z) ∈ R . Tìm [u]B. Lập  1 1 2 x   1 0 0 x − y − z  > > > > (u1 u2 u3 |u ) =  −1 0 −1 y  →  0 1 0 2x + y − z  . 1 1 3 z 0 0 1 −x + z 1. Định nghĩa Giải. 3 a) Chứng tỏ B = (u1, u2, u3) là một cơ sở của R .     u1 1 −1 1 Lập A =  u2  =  1 0 1  . u3 2 −1 3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 12 / 86
3 Vì dimR = 3 bằng số vectơ của B nên B là một cơ sở của 3 R . 3 3 b) Tìm ánh xạ tuyến tính f : R −→ R thỏa: f(u1) = (2, 1, −2); f(u2) = (1, 2, −2); f(u3) = (3, 5, −7). 3 Cho u = (x, y, z) ∈ R . Tìm [u]B. Lập  1 1 2 x   1 0 0 x − y − z  > > > > (u1 u2 u3 |u ) =  −1 0 −1 y  →  0 1 0 2x + y − z  . 1 1 3 z 0 0 1 −x + z 1. Định nghĩa Giải. 3 a) Chứng tỏ B = (u1, u2, u3) là một cơ sở của R .     u1 1 −1 1 Lập A =  u2  =  1 0 1  .Ta có |A| = 1, suy ra B độc lập u3 2 −1 3 tuyến tính. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 12 / 86
3 3 b) Tìm ánh xạ tuyến tính f : R −→ R thỏa: f(u1) = (2, 1, −2); f(u2) = (1, 2, −2); f(u3) = (3, 5, −7). 3 Cho u = (x, y, z) ∈ R . Tìm [u]B. Lập  1 1 2 x   1 0 0 x − y − z  > > > > (u1 u2 u3 |u ) =  −1 0 −1 y  →  0 1 0 2x + y − z  . 1 1 3 z 0 0 1 −x + z 1. Định nghĩa Giải. 3 a) Chứng tỏ B = (u1, u2, u3) là một cơ sở của R .     u1 1 −1 1 Lập A =  u2  =  1 0 1  .Ta có |A| = 1, suy ra B độc lập u3 2 −1 3 3 tuyến tính. Vì dimR = 3 bằng số vectơ của B nên B là một cơ sở của 3 R . Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 12 / 86
3 Cho u = (x, y, z) ∈ R . Tìm [u]B. Lập  1 1 2 x   1 0 0 x − y − z  > > > > (u1 u2 u3 |u ) =  −1 0 −1 y  →  0 1 0 2x + y − z  . 1 1 3 z 0 0 1 −x + z 1. Định nghĩa Giải. 3 a) Chứng tỏ B = (u1, u2, u3) là một cơ sở của R .     u1 1 −1 1 Lập A =  u2  =  1 0 1  .Ta có |A| = 1, suy ra B độc lập u3 2 −1 3 3 tuyến tính. Vì dimR = 3 bằng số vectơ của B nên B là một cơ sở của 3 R . 3 3 b) Tìm ánh xạ tuyến tính f : R −→ R thỏa: f(u1) = (2, 1, −2); f(u2) = (1, 2, −2); f(u3) = (3, 5, −7). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 12 / 86
Lập  1 1 2 x   1 0 0 x − y − z  > > > > (u1 u2 u3 |u ) =  −1 0 −1 y  →  0 1 0 2x + y − z  . 1 1 3 z 0 0 1 −x + z 1. Định nghĩa Giải. 3 a) Chứng tỏ B = (u1, u2, u3) là một cơ sở của R .     u1 1 −1 1 Lập A =  u2  =  1 0 1  .Ta có |A| = 1, suy ra B độc lập u3 2 −1 3 3 tuyến tính. Vì dimR = 3 bằng số vectơ của B nên B là một cơ sở của 3 R . 3 3 b) Tìm ánh xạ tuyến tính f : R −→ R thỏa: f(u1) = (2, 1, −2); f(u2) = (1, 2, −2); f(u3) = (3, 5, −7). 3 Cho u = (x, y, z) ∈ R . Tìm [u]B. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 12 / 86
 1 0 0 x − y − z  →  0 1 0 2x + y − z  . 0 0 1 −x + z 1. Định nghĩa Giải. 3 a) Chứng tỏ B = (u1, u2, u3) là một cơ sở của R .     u1 1 −1 1 Lập A =  u2  =  1 0 1  .Ta có |A| = 1, suy ra B độc lập u3 2 −1 3 3 tuyến tính. Vì dimR = 3 bằng số vectơ của B nên B là một cơ sở của 3 R . 3 3 b) Tìm ánh xạ tuyến tính f : R −→ R thỏa: f(u1) = (2, 1, −2); f(u2) = (1, 2, −2); f(u3) = (3, 5, −7). 3 Cho u = (x, y, z) ∈ R . Tìm [u]B. Lập  1 1 2 x  > > > > (u1 u2 u3 |u ) =  −1 0 −1 y  1 1 3 z Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 12 / 86
1. Định nghĩa Giải. 3 a) Chứng tỏ B = (u1, u2, u3) là một cơ sở của R .     u1 1 −1 1 Lập A =  u2  =  1 0 1  .Ta có |A| = 1, suy ra B độc lập u3 2 −1 3 3 tuyến tính. Vì dimR = 3 bằng số vectơ của B nên B là một cơ sở của 3 R . 3 3 b) Tìm ánh xạ tuyến tính f : R −→ R thỏa: f(u1) = (2, 1, −2); f(u2) = (1, 2, −2); f(u3) = (3, 5, −7). 3 Cho u = (x, y, z) ∈ R . Tìm [u]B. Lập  1 1 2 x   1 0 0 x − y − z  > > > > (u1 u2 u3 |u ) =  −1 0 −1 y  →  0 1 0 2x + y − z  . 1 1 3 z 0 0 1 −x + z Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 12 / 86
Suy ra u = (x − y − z)u1 + (2x + y − z)u2 + (−x + z)u3. Vậy, ta có f(u) = (x − y − z)f(u1) + (2x + y − z)f(u2) + (−x + z)f(u3) = (x − y − z)(2, 1, −2) + (2x + y − z)(1, 2, −2) + (−x + z)(3, 5, −7) = (x − y, y + 2z, x − 3z). 1. Định nghĩa  x − y − z  Vậy [u]B =  2x + y − z  . −x + z Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 13 / 86
Vậy, ta có f(u) = (x − y − z)f(u1) + (2x + y − z)f(u2) + (−x + z)f(u3) = (x − y − z)(2, 1, −2) + (2x + y − z)(1, 2, −2) + (−x + z)(3, 5, −7) = (x − y, y + 2z, x − 3z). 1. Định nghĩa  x − y − z  Vậy [u]B =  2x + y − z  . −x + z Suy ra u = (x − y − z)u1 + (2x + y − z)u2 + (−x + z)u3. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 13 / 86
1. Định nghĩa  x − y − z  Vậy [u]B =  2x + y − z  . −x + z Suy ra u = (x − y − z)u1 + (2x + y − z)u2 + (−x + z)u3. Vậy, ta có f(u) = (x − y − z)f(u1) + (2x + y − z)f(u2) + (−x + z)f(u3) = (x − y − z)(2, 1, −2) + (2x + y − z)(1, 2, −2) + (−x + z)(3, 5, −7) = (x − y, y + 2z, x − 3z). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 13 / 86
2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính 2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính 1.1 Không gian nhân 1.2 Không gian ảnh Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 14 / 86
Khi đó Kerf là không gian con của V , ta gọi Kerf là không gian nhân của f. Nhận xét. Dựa vào Định nghĩa, ta được u ∈ Kerf ⇔ f(u) =0 . 2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính 2.1 Không gian nhân Định nghĩa. Cho f : V → W là một ánh xạ tuyến tính. Ta đặt Kerf = {u ∈ V | f(u) =0 } Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 15 / 86
Nhận xét. Dựa vào Định nghĩa, ta được u ∈ Kerf ⇔ f(u) =0 . 2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính 2.1 Không gian nhân Định nghĩa. Cho f : V → W là một ánh xạ tuyến tính. Ta đặt Kerf = {u ∈ V | f(u) =0 } Khi đó Kerf là không gian con của V , ta gọi Kerf là không gian nhân của f. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 15 / 86
2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính 2.1 Không gian nhân Định nghĩa. Cho f : V → W là một ánh xạ tuyến tính. Ta đặt Kerf = {u ∈ V | f(u) =0 } Khi đó Kerf là không gian con của V , ta gọi Kerf là không gian nhân của f. Nhận xét. Dựa vào Định nghĩa, ta được u ∈ Kerf ⇔ f(u) =0 . Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 15 / 86
3 Giải. Gọi u = (x, y, z) ∈ R . u ∈ Kerf ⇔ f(u) =0   x + y − z = 0 ⇔ 2x + 3y − z = 0  3x + 5y − z = 0  1 1 −1   1 0 −2  Ma trận hóa, A˜ =  2 3 −1  →  0 1 1  . 3 5 −1 0 0 0 Hệ phương trình có nghiệm (x, y, z) = (2t, −t, t) với t ∈ R. Nghiệm cơ bản của hệ là u1 = (2, −1, 1). Vậy, Kerf có cơ sở là {u1 = (2, −1, 1)}. 2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính 3 3 Ví dụ. Cho f : R → R được xác định bởi: f(x, y, z) = (x + y − z, 2x + 3y − z, 3x + 5y − z) Tìm một cơ sở của Kerf. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 16 / 86
  x + y − z = 0 ⇔ 2x + 3y − z = 0  3x + 5y − z = 0  1 1 −1   1 0 −2  Ma trận hóa, A˜ =  2 3 −1  →  0 1 1  . 3 5 −1 0 0 0 Hệ phương trình có nghiệm (x, y, z) = (2t, −t, t) với t ∈ R. Nghiệm cơ bản của hệ là u1 = (2, −1, 1). Vậy, Kerf có cơ sở là {u1 = (2, −1, 1)}. 2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính 3 3 Ví dụ. Cho f : R → R được xác định bởi: f(x, y, z) = (x + y − z, 2x + 3y − z, 3x + 5y − z) Tìm một cơ sở của Kerf. 3 Giải. Gọi u = (x, y, z) ∈ R . u ∈ Kerf ⇔ f(u) =0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 16 / 86
 1 1 −1   1 0 −2  Ma trận hóa, A˜ =  2 3 −1  →  0 1 1  . 3 5 −1 0 0 0 Hệ phương trình có nghiệm (x, y, z) = (2t, −t, t) với t ∈ R. Nghiệm cơ bản của hệ là u1 = (2, −1, 1). Vậy, Kerf có cơ sở là {u1 = (2, −1, 1)}. 2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính 3 3 Ví dụ. Cho f : R → R được xác định bởi: f(x, y, z) = (x + y − z, 2x + 3y − z, 3x + 5y − z) Tìm một cơ sở của Kerf. 3 Giải. Gọi u = (x, y, z) ∈ R . u ∈ Kerf ⇔ f(u) =0   x + y − z = 0 ⇔ 2x + 3y − z = 0  3x + 5y − z = 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 16 / 86
 1 0 −2  →  0 1 1  . 0 0 0 Hệ phương trình có nghiệm (x, y, z) = (2t, −t, t) với t ∈ R. Nghiệm cơ bản của hệ là u1 = (2, −1, 1). Vậy, Kerf có cơ sở là {u1 = (2, −1, 1)}. 2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính 3 3 Ví dụ. Cho f : R → R được xác định bởi: f(x, y, z) = (x + y − z, 2x + 3y − z, 3x + 5y − z) Tìm một cơ sở của Kerf. 3 Giải. Gọi u = (x, y, z) ∈ R . u ∈ Kerf ⇔ f(u) =0   x + y − z = 0 ⇔ 2x + 3y − z = 0  3x + 5y − z = 0  1 1 −1  Ma trận hóa, A˜ =  2 3 −1  3 5 −1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 16 / 86
Hệ phương trình có nghiệm (x, y, z) = (2t, −t, t) với t ∈ R. Nghiệm cơ bản của hệ là u1 = (2, −1, 1). Vậy, Kerf có cơ sở là {u1 = (2, −1, 1)}. 2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính 3 3 Ví dụ. Cho f : R → R được xác định bởi: f(x, y, z) = (x + y − z, 2x + 3y − z, 3x + 5y − z) Tìm một cơ sở của Kerf. 3 Giải. Gọi u = (x, y, z) ∈ R . u ∈ Kerf ⇔ f(u) =0   x + y − z = 0 ⇔ 2x + 3y − z = 0  3x + 5y − z = 0  1 1 −1   1 0 −2  Ma trận hóa, A˜ =  2 3 −1  →  0 1 1  . 3 5 −1 0 0 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 16 / 86
Nghiệm cơ bản của hệ là u1 = (2, −1, 1). Vậy, Kerf có cơ sở là {u1 = (2, −1, 1)}. 2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính 3 3 Ví dụ. Cho f : R → R được xác định bởi: f(x, y, z) = (x + y − z, 2x + 3y − z, 3x + 5y − z) Tìm một cơ sở của Kerf. 3 Giải. Gọi u = (x, y, z) ∈ R . u ∈ Kerf ⇔ f(u) =0   x + y − z = 0 ⇔ 2x + 3y − z = 0  3x + 5y − z = 0  1 1 −1   1 0 −2  Ma trận hóa, A˜ =  2 3 −1  →  0 1 1  . 3 5 −1 0 0 0 Hệ phương trình có nghiệm (x, y, z) = (2t, −t, t) với t ∈ R. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 16 / 86
Vậy, Kerf có cơ sở là {u1 = (2, −1, 1)}. 2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính 3 3 Ví dụ. Cho f : R → R được xác định bởi: f(x, y, z) = (x + y − z, 2x + 3y − z, 3x + 5y − z) Tìm một cơ sở của Kerf. 3 Giải. Gọi u = (x, y, z) ∈ R . u ∈ Kerf ⇔ f(u) =0   x + y − z = 0 ⇔ 2x + 3y − z = 0  3x + 5y − z = 0  1 1 −1   1 0 −2  Ma trận hóa, A˜ =  2 3 −1  →  0 1 1  . 3 5 −1 0 0 0 Hệ phương trình có nghiệm (x, y, z) = (2t, −t, t) với t ∈ R. Nghiệm cơ bản của hệ là u1 = (2, −1, 1). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 16 / 86
2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính 3 3 Ví dụ. Cho f : R → R được xác định bởi: f(x, y, z) = (x + y − z, 2x + 3y − z, 3x + 5y − z) Tìm một cơ sở của Kerf. 3 Giải. Gọi u = (x, y, z) ∈ R . u ∈ Kerf ⇔ f(u) =0   x + y − z = 0 ⇔ 2x + 3y − z = 0  3x + 5y − z = 0  1 1 −1   1 0 −2  Ma trận hóa, A˜ =  2 3 −1  →  0 1 1  . 3 5 −1 0 0 0 Hệ phương trình có nghiệm (x, y, z) = (2t, −t, t) với t ∈ R. Nghiệm cơ bản của hệ là u1 = (2, −1, 1). Vậy, Kerf có cơ sở là {u1 = (2, −1, 1)}. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 16 / 86
Khi đó Imf là không gian con của W , ta gọi Imf là không gian ảnh của f. Định lý. Cho f : V → W là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó, nếu S = {u1, u2, . . . , um} là tập sinh của V thì f(S) = {f(u1), f(u2), . . . , f(um)} là tập sinh của Imf. 2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính 2.1 Không gian ảnh Định nghĩa. Cho f : V → W là một ánh xạ tuyến tính. Ta đặt Imf = {f(u) | u ∈ V } Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 17 / 86
Định lý. Cho f : V → W là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó, nếu S = {u1, u2, . . . , um} là tập sinh của V thì f(S) = {f(u1), f(u2), . . . , f(um)} là tập sinh của Imf. 2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính 2.1 Không gian ảnh Định nghĩa. Cho f : V → W là một ánh xạ tuyến tính. Ta đặt Imf = {f(u) | u ∈ V } Khi đó Imf là không gian con của W , ta gọi Imf là không gian ảnh của f. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 17 / 86
2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính 2.1 Không gian ảnh Định nghĩa. Cho f : V → W là một ánh xạ tuyến tính. Ta đặt Imf = {f(u) | u ∈ V } Khi đó Imf là không gian con của W , ta gọi Imf là không gian ảnh của f. Định lý. Cho f : V → W là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó, nếu S = {u1, u2, . . . , um} là tập sinh của V thì f(S) = {f(u1), f(u2), . . . , f(um)} là tập sinh của Imf. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 17 / 86
3 3 Ví dụ. Cho f : R → R được xác định bởi: f(x, y, z) = (x + y − z, 2x + 3y − z, 3x + 5y − z). Tìm một cơ sở của Imf. 3 Giải. Gọi B0 = {e1, e2, e3} là cơ sở chính tắc của R . Ta có f(e1) = f(1, 0, 0) = (1, 2, 3), f(e2) = f(0, 1, 0) = (1, 3, 5), f(e3) = f(0, 0, 1) = (−1, −1, −1). Ta có Imf sinh bởi {f(e1), f(e2), f(e3)}. 2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Nhận xét. Dựa vào định lý trên, để tìm cơ sở Imf, ta chọn một tập sinh S của V (để đơn giản ta có thể chọn cơ sở chính tắc). Khi đó Imf sinh bởi tập ảnh của S. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 18 / 86
3 Giải. Gọi B0 = {e1, e2, e3} là cơ sở chính tắc của R . Ta có f(e1) = f(1, 0, 0) = (1, 2, 3), f(e2) = f(0, 1, 0) = (1, 3, 5), f(e3) = f(0, 0, 1) = (−1, −1, −1). Ta có Imf sinh bởi {f(e1), f(e2), f(e3)}. 2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Nhận xét. Dựa vào định lý trên, để tìm cơ sở Imf, ta chọn một tập sinh S của V (để đơn giản ta có thể chọn cơ sở chính tắc). Khi đó Imf sinh bởi tập ảnh của S. 3 3 Ví dụ. Cho f : R → R được xác định bởi: f(x, y, z) = (x + y − z, 2x + 3y − z, 3x + 5y − z). Tìm một cơ sở của Imf. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 18 / 86
Ta có f(e1) = f(1, 0, 0) = (1, 2, 3), f(e2) = f(0, 1, 0) = (1, 3, 5), f(e3) = f(0, 0, 1) = (−1, −1, −1). Ta có Imf sinh bởi {f(e1), f(e2), f(e3)}. 2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Nhận xét. Dựa vào định lý trên, để tìm cơ sở Imf, ta chọn một tập sinh S của V (để đơn giản ta có thể chọn cơ sở chính tắc). Khi đó Imf sinh bởi tập ảnh của S. 3 3 Ví dụ. Cho f : R → R được xác định bởi: f(x, y, z) = (x + y − z, 2x + 3y − z, 3x + 5y − z). Tìm một cơ sở của Imf. 3 Giải. Gọi B0 = {e1, e2, e3} là cơ sở chính tắc của R . Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 18 / 86
f(e2) = f(0, 1, 0) = (1, 3, 5), f(e3) = f(0, 0, 1) = (−1, −1, −1). Ta có Imf sinh bởi {f(e1), f(e2), f(e3)}. 2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Nhận xét. Dựa vào định lý trên, để tìm cơ sở Imf, ta chọn một tập sinh S của V (để đơn giản ta có thể chọn cơ sở chính tắc). Khi đó Imf sinh bởi tập ảnh của S. 3 3 Ví dụ. Cho f : R → R được xác định bởi: f(x, y, z) = (x + y − z, 2x + 3y − z, 3x + 5y − z). Tìm một cơ sở của Imf. 3 Giải. Gọi B0 = {e1, e2, e3} là cơ sở chính tắc của R . Ta có f(e1) = f(1, 0, 0) = (1, 2, 3), Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 18 / 86
f(e3) = f(0, 0, 1) = (−1, −1, −1). Ta có Imf sinh bởi {f(e1), f(e2), f(e3)}. 2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Nhận xét. Dựa vào định lý trên, để tìm cơ sở Imf, ta chọn một tập sinh S của V (để đơn giản ta có thể chọn cơ sở chính tắc). Khi đó Imf sinh bởi tập ảnh của S. 3 3 Ví dụ. Cho f : R → R được xác định bởi: f(x, y, z) = (x + y − z, 2x + 3y − z, 3x + 5y − z). Tìm một cơ sở của Imf. 3 Giải. Gọi B0 = {e1, e2, e3} là cơ sở chính tắc của R . Ta có f(e1) = f(1, 0, 0) = (1, 2, 3), f(e2) = f(0, 1, 0) = (1, 3, 5), Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 18 / 86
Ta có Imf sinh bởi {f(e1), f(e2), f(e3)}. 2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Nhận xét. Dựa vào định lý trên, để tìm cơ sở Imf, ta chọn một tập sinh S của V (để đơn giản ta có thể chọn cơ sở chính tắc). Khi đó Imf sinh bởi tập ảnh của S. 3 3 Ví dụ. Cho f : R → R được xác định bởi: f(x, y, z) = (x + y − z, 2x + 3y − z, 3x + 5y − z). Tìm một cơ sở của Imf. 3 Giải. Gọi B0 = {e1, e2, e3} là cơ sở chính tắc của R . Ta có f(e1) = f(1, 0, 0) = (1, 2, 3), f(e2) = f(0, 1, 0) = (1, 3, 5), f(e3) = f(0, 0, 1) = (−1, −1, −1). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 18 / 86
2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Nhận xét. Dựa vào định lý trên, để tìm cơ sở Imf, ta chọn một tập sinh S của V (để đơn giản ta có thể chọn cơ sở chính tắc). Khi đó Imf sinh bởi tập ảnh của S. 3 3 Ví dụ. Cho f : R → R được xác định bởi: f(x, y, z) = (x + y − z, 2x + 3y − z, 3x + 5y − z). Tìm một cơ sở của Imf. 3 Giải. Gọi B0 = {e1, e2, e3} là cơ sở chính tắc của R . Ta có f(e1) = f(1, 0, 0) = (1, 2, 3), f(e2) = f(0, 1, 0) = (1, 3, 5), f(e3) = f(0, 0, 1) = (−1, −1, −1). Ta có Imf sinh bởi {f(e1), f(e2), f(e3)}. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 18 / 86
 1 2 3   0 1 2  . 0 0 0 Do đó Imf có cơ sở là {v1 = (1, 2, 3), v2 = (0, 1, 2)}. Định lý. Cho f : V → W là ánh xạ tuyến tính và V hữu hạn chiều. Khi đó dimImf + dimKerf = dimV. Mệnh đề. Cho f : V → W là ánh xạ tuyến tính. Khi đó i) f là đơn cấu khi và chỉ khi Kerf = {0}. ii) f là toàn cấu khi và chỉ khi Imf = W . 2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Lập ma trận     f(e1) 1 2 3 A =  f(e2)  =  1 3 5  → f(e3) −1 −1 −1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 19 / 86
Do đó Imf có cơ sở là {v1 = (1, 2, 3), v2 = (0, 1, 2)}. Định lý. Cho f : V → W là ánh xạ tuyến tính và V hữu hạn chiều. Khi đó dimImf + dimKerf = dimV. Mệnh đề. Cho f : V → W là ánh xạ tuyến tính. Khi đó i) f là đơn cấu khi và chỉ khi Kerf = {0}. ii) f là toàn cấu khi và chỉ khi Imf = W . 2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Lập ma trận       f(e1) 1 2 3 1 2 3 A =  f(e2)  =  1 3 5  →  0 1 2  . f(e3) −1 −1 −1 0 0 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 19 / 86
Định lý. Cho f : V → W là ánh xạ tuyến tính và V hữu hạn chiều. Khi đó dimImf + dimKerf = dimV. Mệnh đề. Cho f : V → W là ánh xạ tuyến tính. Khi đó i) f là đơn cấu khi và chỉ khi Kerf = {0}. ii) f là toàn cấu khi và chỉ khi Imf = W . 2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Lập ma trận       f(e1) 1 2 3 1 2 3 A =  f(e2)  =  1 3 5  →  0 1 2  . f(e3) −1 −1 −1 0 0 0 Do đó Imf có cơ sở là {v1 = (1, 2, 3), v2 = (0, 1, 2)}. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 19 / 86
i) f là đơn cấu khi và chỉ khi Kerf = {0}. ii) f là toàn cấu khi và chỉ khi Imf = W . 2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Lập ma trận       f(e1) 1 2 3 1 2 3 A =  f(e2)  =  1 3 5  →  0 1 2  . f(e3) −1 −1 −1 0 0 0 Do đó Imf có cơ sở là {v1 = (1, 2, 3), v2 = (0, 1, 2)}. Định lý. Cho f : V → W là ánh xạ tuyến tính và V hữu hạn chiều. Khi đó dimImf + dimKerf = dimV. Mệnh đề. Cho f : V → W là ánh xạ tuyến tính. Khi đó Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 19 / 86
ii) f là toàn cấu khi và chỉ khi Imf = W . 2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Lập ma trận       f(e1) 1 2 3 1 2 3 A =  f(e2)  =  1 3 5  →  0 1 2  . f(e3) −1 −1 −1 0 0 0 Do đó Imf có cơ sở là {v1 = (1, 2, 3), v2 = (0, 1, 2)}. Định lý. Cho f : V → W là ánh xạ tuyến tính và V hữu hạn chiều. Khi đó dimImf + dimKerf = dimV. Mệnh đề. Cho f : V → W là ánh xạ tuyến tính. Khi đó i) f là đơn cấu khi và chỉ khi Kerf = {0}. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 19 / 86
2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Lập ma trận       f(e1) 1 2 3 1 2 3 A =  f(e2)  =  1 3 5  →  0 1 2  . f(e3) −1 −1 −1 0 0 0 Do đó Imf có cơ sở là {v1 = (1, 2, 3), v2 = (0, 1, 2)}. Định lý. Cho f : V → W là ánh xạ tuyến tính và V hữu hạn chiều. Khi đó dimImf + dimKerf = dimV. Mệnh đề. Cho f : V → W là ánh xạ tuyến tính. Khi đó i) f là đơn cấu khi và chỉ khi Kerf = {0}. ii) f là toàn cấu khi và chỉ khi Imf = W . Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 19 / 86
Khi đó ma trận P được gọi là ma trận biểu diễn của ánh xạ f 0 B0 theo cặp cơ sở B, B , ký hiệu P =[ f]B,B0 (hoặc [f]B ). Nếu f ∈ L(V ) thì ma trận [f]B,B được gọi là ma trận biểu diễn toán tử tuyến tính f, ký hiệu [f]B 3 2 Ví dụ. Xét ánh xạ tuyến tính f : R → R xác định bởi f(x, y, z) = (x − y, 2x + y + z) và cặp cơ sở B = (u1 = (1, 1, 0), u2 = (0, 1, 2), u3 = (1, 1, 1)), C = (v1 = (1, 3), v2 = (2, 5)). Tìm [f]B,C. 3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính Định nghĩa. Cho V có cơ sở B = (u1, u2, . . . , un), W có cơ sở 0 B = (v1, v2, . . . , vm) và f ∈ L(V, W ). Đặt P = ([f(u1)]B0 [f(u2)]B0 [f(un)]B0 ) . Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 20 / 86
Nếu f ∈ L(V ) thì ma trận [f]B,B được gọi là ma trận biểu diễn toán tử tuyến tính f, ký hiệu [f]B 3 2 Ví dụ. Xét ánh xạ tuyến tính f : R → R xác định bởi f(x, y, z) = (x − y, 2x + y + z) và cặp cơ sở B = (u1 = (1, 1, 0), u2 = (0, 1, 2), u3 = (1, 1, 1)), C = (v1 = (1, 3), v2 = (2, 5)). Tìm [f]B,C. 3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính Định nghĩa. Cho V có cơ sở B = (u1, u2, . . . , un), W có cơ sở 0 B = (v1, v2, . . . , vm) và f ∈ L(V, W ). Đặt P = ([f(u1)]B0 [f(u2)]B0 [f(un)]B0 ) . Khi đó ma trận P được gọi là ma trận biểu diễn của ánh xạ f 0 B0 theo cặp cơ sở B, B , ký hiệu P =[ f]B,B0 (hoặc [f]B ). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 20 / 86
3 2 Ví dụ. Xét ánh xạ tuyến tính f : R → R xác định bởi f(x, y, z) = (x − y, 2x + y + z) và cặp cơ sở B = (u1 = (1, 1, 0), u2 = (0, 1, 2), u3 = (1, 1, 1)), C = (v1 = (1, 3), v2 = (2, 5)). Tìm [f]B,C. 3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính Định nghĩa. Cho V có cơ sở B = (u1, u2, . . . , un), W có cơ sở 0 B = (v1, v2, . . . , vm) và f ∈ L(V, W ). Đặt P = ([f(u1)]B0 [f(u2)]B0 [f(un)]B0 ) . Khi đó ma trận P được gọi là ma trận biểu diễn của ánh xạ f 0 B0 theo cặp cơ sở B, B , ký hiệu P =[ f]B,B0 (hoặc [f]B ). Nếu f ∈ L(V ) thì ma trận [f]B,B được gọi là ma trận biểu diễn toán tử tuyến tính f, ký hiệu [f]B Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 20 / 86
3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính Định nghĩa. Cho V có cơ sở B = (u1, u2, . . . , un), W có cơ sở 0 B = (v1, v2, . . . , vm) và f ∈ L(V, W ). Đặt P = ([f(u1)]B0 [f(u2)]B0 [f(un)]B0 ) . Khi đó ma trận P được gọi là ma trận biểu diễn của ánh xạ f 0 B0 theo cặp cơ sở B, B , ký hiệu P =[ f]B,B0 (hoặc [f]B ). Nếu f ∈ L(V ) thì ma trận [f]B,B được gọi là ma trận biểu diễn toán tử tuyến tính f, ký hiệu [f]B 3 2 Ví dụ. Xét ánh xạ tuyến tính f : R → R xác định bởi f(x, y, z) = (x − y, 2x + y + z) và cặp cơ sở B = (u1 = (1, 1, 0), u2 = (0, 1, 2), u3 = (1, 1, 1)), C = (v1 = (1, 3), v2 = (2, 5)). Tìm [f]B,C. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 20 / 86
2 Với v = (a, b) ∈ R , tìm [v]C. 1 2 a 1 0 −5a + 2b Lập (v> v>|v>) → → . 1 2 3 5 b 0 1 3a − b −5a + 2b Suy ra [v] = . C 3a − b Lần lượt thay f(u1), f(u2), f(u3) ta có 6 11 8 [f(u )] = , [f(u )] = , [f(u )] = . 1 C −3 2 C −6 3 C −4 Vậy 6 11 8 [f] = . B,C −3 −6 −4 3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính Ta có f(u1) = (0, 3), f(u2) = (−1, 3), f(u3) = (0, 4). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 21 / 86
1 2 a 1 0 −5a + 2b Lập (v> v>|v>) → → . 1 2 3 5 b 0 1 3a − b −5a + 2b Suy ra [v] = . C 3a − b Lần lượt thay f(u1), f(u2), f(u3) ta có 6 11 8 [f(u )] = , [f(u )] = , [f(u )] = . 1 C −3 2 C −6 3 C −4 Vậy 6 11 8 [f] = . B,C −3 −6 −4 3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính Ta có f(u1) = (0, 3), f(u2) = (−1, 3), f(u3) = (0, 4). 2 Với v = (a, b) ∈ R , tìm [v]C. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 21 / 86
1 0 −5a + 2b . 0 1 3a − b −5a + 2b Suy ra [v] = . C 3a − b Lần lượt thay f(u1), f(u2), f(u3) ta có 6 11 8 [f(u )] = , [f(u )] = , [f(u )] = . 1 C −3 2 C −6 3 C −4 Vậy 6 11 8 [f] = . B,C −3 −6 −4 3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính Ta có f(u1) = (0, 3), f(u2) = (−1, 3), f(u3) = (0, 4). 2 Với v = (a, b) ∈ R , tìm [v]C. 1 2 a Lập (v> v>|v>) → → 1 2 3 5 b Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 21 / 86
−5a + 2b Suy ra [v] = . C 3a − b Lần lượt thay f(u1), f(u2), f(u3) ta có 6 11 8 [f(u )] = , [f(u )] = , [f(u )] = . 1 C −3 2 C −6 3 C −4 Vậy 6 11 8 [f] = . B,C −3 −6 −4 3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính Ta có f(u1) = (0, 3), f(u2) = (−1, 3), f(u3) = (0, 4). 2 Với v = (a, b) ∈ R , tìm [v]C. 1 2 a 1 0 −5a + 2b Lập (v> v>|v>) → → . 1 2 3 5 b 0 1 3a − b Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 21 / 86
Lần lượt thay f(u1), f(u2), f(u3) ta có 6 11 8 [f(u )] = , [f(u )] = , [f(u )] = . 1 C −3 2 C −6 3 C −4 Vậy 6 11 8 [f] = . B,C −3 −6 −4 3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính Ta có f(u1) = (0, 3), f(u2) = (−1, 3), f(u3) = (0, 4). 2 Với v = (a, b) ∈ R , tìm [v]C. 1 2 a 1 0 −5a + 2b Lập (v> v>|v>) → → . 1 2 3 5 b 0 1 3a − b −5a + 2b Suy ra [v] = . C 3a − b Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 21 / 86
Vậy 6 11 8 [f] = . B,C −3 −6 −4 3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính Ta có f(u1) = (0, 3), f(u2) = (−1, 3), f(u3) = (0, 4). 2 Với v = (a, b) ∈ R , tìm [v]C. 1 2 a 1 0 −5a + 2b Lập (v> v>|v>) → → . 1 2 3 5 b 0 1 3a − b −5a + 2b Suy ra [v] = . C 3a − b Lần lượt thay f(u1), f(u2), f(u3) ta có 6 11 8 [f(u )] = , [f(u )] = , [f(u )] = . 1 C −3 2 C −6 3 C −4 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 21 / 86
3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính Ta có f(u1) = (0, 3), f(u2) = (−1, 3), f(u3) = (0, 4). 2 Với v = (a, b) ∈ R , tìm [v]C. 1 2 a 1 0 −5a + 2b Lập (v> v>|v>) → → . 1 2 3 5 b 0 1 3a − b −5a + 2b Suy ra [v] = . C 3a − b Lần lượt thay f(u1), f(u2), f(u3) ta có 6 11 8 [f(u )] = , [f(u )] = , [f(u )] = . 1 C −3 2 C −6 3 C −4 Vậy 6 11 8 [f] = . B,C −3 −6 −4 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 21 / 86
Giải.  1 −2 1 −1  [f] 0 = 1 2 1 1 B0,B0   2 0 2 0 2 Ví dụ. Cho f ∈ L(R ) xác định bởi f(x, y) = (2x + y, x − 4y). Khi đó ma trận biểu diễn f theo cơ sở chính tắc B0 là: 2 1 [f] = . B0 1 −4 3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính 4 3 Ví dụ. Cho ánh xạ tuyến tính f : R → R định bởi f(x, y, z, t) = (x − 2y + z − t, x + 2y + z + t, 2x + 2z). Tìm ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính f theo cặp cơ sở chính tắc. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 22 / 86
2 Ví dụ. Cho f ∈ L(R ) xác định bởi f(x, y) = (2x + y, x − 4y). Khi đó ma trận biểu diễn f theo cơ sở chính tắc B0 là: 2 1 [f] = . B0 1 −4 3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính 4 3 Ví dụ. Cho ánh xạ tuyến tính f : R → R định bởi f(x, y, z, t) = (x − 2y + z − t, x + 2y + z + t, 2x + 2z). Tìm ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính f theo cặp cơ sở chính tắc. Giải.  1 −2 1 −1  [f] 0 = 1 2 1 1 B0,B0   2 0 2 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 22 / 86
2 1 [f] = . B0 1 −4 3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính 4 3 Ví dụ. Cho ánh xạ tuyến tính f : R → R định bởi f(x, y, z, t) = (x − 2y + z − t, x + 2y + z + t, 2x + 2z). Tìm ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính f theo cặp cơ sở chính tắc. Giải.  1 −2 1 −1  [f] 0 = 1 2 1 1 B0,B0   2 0 2 0 2 Ví dụ. Cho f ∈ L(R ) xác định bởi f(x, y) = (2x + y, x − 4y). Khi đó ma trận biểu diễn f theo cơ sở chính tắc B0 là: Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 22 / 86
3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính 4 3 Ví dụ. Cho ánh xạ tuyến tính f : R → R định bởi f(x, y, z, t) = (x − 2y + z − t, x + 2y + z + t, 2x + 2z). Tìm ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính f theo cặp cơ sở chính tắc. Giải.  1 −2 1 −1  [f] 0 = 1 2 1 1 B0,B0   2 0 2 0 2 Ví dụ. Cho f ∈ L(R ) xác định bởi f(x, y) = (2x + y, x − 4y). Khi đó ma trận biểu diễn f theo cơ sở chính tắc B0 là: 2 1 [f] = . B0 1 −4 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 22 / 86
i) ∀u ∈ V, [f(u)]C = [f]B,C[u]B. 0 −1 0 ii)[ f]B0,C0 = (C → C ) [f]B,C(B → B ). Hệ quả. Cho B và B0 là hai cơ sở của không gian hữu hạn chiều V . Khi đó đối với mọi toán tử tuyến tính f ∈ L(V ) ta có i) ∀u ∈ V, [f(u)]B = [f]B[u]B. 0 −1 0 ii)[ f]B0 = (B → B ) [f]B(B → B ). 3 Ví dụ. Trong không gian R cho cơ sở B = (u1 = (1, 1, 0); u2 = (0, 2, 1); u3 = (2, 3, 1)) 3 3 và ánh xạ tuyến tính f : R → R định bởi: f(x, y, z) = (2x + y − z, x + 2y − z, 2x − y + 3z). Tìm [f]B. 3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính Định lý. Cho V và W là các không gian vectơ hữu hạn chiều; B, B0 và C, C0 tương ứng là các cặp cơ sở trong V và W . Khi đó, với mọi ánh xạ tuyến tính f : V → W ta có Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 23 / 86
0 −1 0 ii)[ f]B0,C0 = (C → C ) [f]B,C(B → B ). Hệ quả. Cho B và B0 là hai cơ sở của không gian hữu hạn chiều V . Khi đó đối với mọi toán tử tuyến tính f ∈ L(V ) ta có i) ∀u ∈ V, [f(u)]B = [f]B[u]B. 0 −1 0 ii)[ f]B0 = (B → B ) [f]B(B → B ). 3 Ví dụ. Trong không gian R cho cơ sở B = (u1 = (1, 1, 0); u2 = (0, 2, 1); u3 = (2, 3, 1)) 3 3 và ánh xạ tuyến tính f : R → R định bởi: f(x, y, z) = (2x + y − z, x + 2y − z, 2x − y + 3z). Tìm [f]B. 3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính Định lý. Cho V và W là các không gian vectơ hữu hạn chiều; B, B0 và C, C0 tương ứng là các cặp cơ sở trong V và W . Khi đó, với mọi ánh xạ tuyến tính f : V → W ta có i) ∀u ∈ V, [f(u)]C = [f]B,C[u]B. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 23 / 86
Hệ quả. Cho B và B0 là hai cơ sở của không gian hữu hạn chiều V . Khi đó đối với mọi toán tử tuyến tính f ∈ L(V ) ta có i) ∀u ∈ V, [f(u)]B = [f]B[u]B. 0 −1 0 ii)[ f]B0 = (B → B ) [f]B(B → B ). 3 Ví dụ. Trong không gian R cho cơ sở B = (u1 = (1, 1, 0); u2 = (0, 2, 1); u3 = (2, 3, 1)) 3 3 và ánh xạ tuyến tính f : R → R định bởi: f(x, y, z) = (2x + y − z, x + 2y − z, 2x − y + 3z). Tìm [f]B. 3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính Định lý. Cho V và W là các không gian vectơ hữu hạn chiều; B, B0 và C, C0 tương ứng là các cặp cơ sở trong V và W . Khi đó, với mọi ánh xạ tuyến tính f : V → W ta có i) ∀u ∈ V, [f(u)]C = [f]B,C[u]B. 0 −1 0 ii)[ f]B0,C0 = (C → C ) [f]B,C(B → B ). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 23 / 86
i) ∀u ∈ V, [f(u)]B = [f]B[u]B. 0 −1 0 ii)[ f]B0 = (B → B ) [f]B(B → B ). 3 Ví dụ. Trong không gian R cho cơ sở B = (u1 = (1, 1, 0); u2 = (0, 2, 1); u3 = (2, 3, 1)) 3 3 và ánh xạ tuyến tính f : R → R định bởi: f(x, y, z) = (2x + y − z, x + 2y − z, 2x − y + 3z). Tìm [f]B. 3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính Định lý. Cho V và W là các không gian vectơ hữu hạn chiều; B, B0 và C, C0 tương ứng là các cặp cơ sở trong V và W . Khi đó, với mọi ánh xạ tuyến tính f : V → W ta có i) ∀u ∈ V, [f(u)]C = [f]B,C[u]B. 0 −1 0 ii)[ f]B0,C0 = (C → C ) [f]B,C(B → B ). Hệ quả. Cho B và B0 là hai cơ sở của không gian hữu hạn chiều V . Khi đó đối với mọi toán tử tuyến tính f ∈ L(V ) ta có Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 23 / 86
0 −1 0 ii)[ f]B0 = (B → B ) [f]B(B → B ). 3 Ví dụ. Trong không gian R cho cơ sở B = (u1 = (1, 1, 0); u2 = (0, 2, 1); u3 = (2, 3, 1)) 3 3 và ánh xạ tuyến tính f : R → R định bởi: f(x, y, z) = (2x + y − z, x + 2y − z, 2x − y + 3z). Tìm [f]B. 3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính Định lý. Cho V và W là các không gian vectơ hữu hạn chiều; B, B0 và C, C0 tương ứng là các cặp cơ sở trong V và W . Khi đó, với mọi ánh xạ tuyến tính f : V → W ta có i) ∀u ∈ V, [f(u)]C = [f]B,C[u]B. 0 −1 0 ii)[ f]B0,C0 = (C → C ) [f]B,C(B → B ). Hệ quả. Cho B và B0 là hai cơ sở của không gian hữu hạn chiều V . Khi đó đối với mọi toán tử tuyến tính f ∈ L(V ) ta có i) ∀u ∈ V, [f(u)]B = [f]B[u]B. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 23 / 86
3 Ví dụ. Trong không gian R cho cơ sở B = (u1 = (1, 1, 0); u2 = (0, 2, 1); u3 = (2, 3, 1)) 3 3 và ánh xạ tuyến tính f : R → R định bởi: f(x, y, z) = (2x + y − z, x + 2y − z, 2x − y + 3z). Tìm [f]B. 3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính Định lý. Cho V và W là các không gian vectơ hữu hạn chiều; B, B0 và C, C0 tương ứng là các cặp cơ sở trong V và W . Khi đó, với mọi ánh xạ tuyến tính f : V → W ta có i) ∀u ∈ V, [f(u)]C = [f]B,C[u]B. 0 −1 0 ii)[ f]B0,C0 = (C → C ) [f]B,C(B → B ). Hệ quả. Cho B và B0 là hai cơ sở của không gian hữu hạn chiều V . Khi đó đối với mọi toán tử tuyến tính f ∈ L(V ) ta có i) ∀u ∈ V, [f(u)]B = [f]B[u]B. 0 −1 0 ii)[ f]B0 = (B → B ) [f]B(B → B ). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 23 / 86
3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính Định lý. Cho V và W là các không gian vectơ hữu hạn chiều; B, B0 và C, C0 tương ứng là các cặp cơ sở trong V và W . Khi đó, với mọi ánh xạ tuyến tính f : V → W ta có i) ∀u ∈ V, [f(u)]C = [f]B,C[u]B. 0 −1 0 ii)[ f]B0,C0 = (C → C ) [f]B,C(B → B ). Hệ quả. Cho B và B0 là hai cơ sở của không gian hữu hạn chiều V . Khi đó đối với mọi toán tử tuyến tính f ∈ L(V ) ta có i) ∀u ∈ V, [f(u)]B = [f]B[u]B. 0 −1 0 ii)[ f]B0 = (B → B ) [f]B(B → B ). 3 Ví dụ. Trong không gian R cho cơ sở B = (u1 = (1, 1, 0); u2 = (0, 2, 1); u3 = (2, 3, 1)) 3 3 và ánh xạ tuyến tính f : R → R định bởi: f(x, y, z) = (2x + y − z, x + 2y − z, 2x − y + 3z). Tìm [f]B. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 23 / 86
Áp dụng hệ quả, ta có −1 [f]B = (B0 → B) [f]B0 (B0 → B),  1 0 2  > > > trong đó (B0 → B) = (u1 u2 u3 ) =  1 2 3 , do đó 0 1 1 −1 2 −4 −1 (B0 → B) = −1 1 −1 . 1 −1 2 3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính 3 Giải. Gọi B0 là cơ sở chính tắc của R , ta có  2 1 −1  [f]B0 =  1 2 −1  . 2 −1 3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 24 / 86
 1 0 2  > > > trong đó (B0 → B) = (u1 u2 u3 ) =  1 2 3 , do đó 0 1 1 −1 2 −4 −1 (B0 → B) = −1 1 −1 . 1 −1 2 3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính 3 Giải. Gọi B0 là cơ sở chính tắc của R , ta có  2 1 −1  [f]B0 =  1 2 −1  . 2 −1 3 Áp dụng hệ quả, ta có −1 [f]B = (B0 → B) [f]B0 (B0 → B), Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 24 / 86
−1 2 −4 −1 (B0 → B) = −1 1 −1 . 1 −1 2 3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính 3 Giải. Gọi B0 là cơ sở chính tắc của R , ta có  2 1 −1  [f]B0 =  1 2 −1  . 2 −1 3 Áp dụng hệ quả, ta có −1 [f]B = (B0 → B) [f]B0 (B0 → B),  1 0 2  > > > trong đó (B0 → B) = (u1 u2 u3 ) =  1 2 3 , do đó 0 1 1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 24 / 86
−1 2 −4 −1 1 −1 . 1 −1 2 3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính 3 Giải. Gọi B0 là cơ sở chính tắc của R , ta có  2 1 −1  [f]B0 =  1 2 −1  . 2 −1 3 Áp dụng hệ quả, ta có −1 [f]B = (B0 → B) [f]B0 (B0 → B),  1 0 2  > > > trong đó (B0 → B) = (u1 u2 u3 ) =  1 2 3 , do đó 0 1 1 −1 (B0 → B) = Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 24 / 86
3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính 3 Giải. Gọi B0 là cơ sở chính tắc của R , ta có  2 1 −1  [f]B0 =  1 2 −1  . 2 −1 3 Áp dụng hệ quả, ta có −1 [f]B = (B0 → B) [f]B0 (B0 → B),  1 0 2  > > > trong đó (B0 → B) = (u1 u2 u3 ) =  1 2 3 , do đó 0 1 1 −1 2 −4 −1 (B0 → B) = −1 1 −1 . 1 −1 2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 24 / 86
3 2 Ví dụ. Cho ánh xạ tuyến tính f : R → R , biết ma trận biểu diễn của f trong cặp cơ sở B = (u1 = (1, 1, 1); u2 = (1, 0, 1); u3 = (1, 1, 0)) và C = (v1 = (1, 1); v2 = (2, 1)) là 2 1 −3 [f] = . B,C 0 3 4 Tìm công thức của f. Giải. 3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính Suy ra −1 2 −42 1 −1 1 0 2  [f]B = −1 1 −11 2 −1 1 2 3  1 −1 2 2 −1 3 0 1 1 −8 7 −131 0 2 −1 1 −8 = −3 2 −31 2 3=−1 1 −3 . 5 −3 6 0 1 1 2 0 7 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 25 / 86
3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính Suy ra −1 2 −42 1 −1 1 0 2  [f]B = −1 1 −11 2 −1 1 2 3  1 −1 2 2 −1 3 0 1 1 −8 7 −131 0 2 −1 1 −8 = −3 2 −31 2 3=−1 1 −3 . 5 −3 6 0 1 1 2 0 7 3 2 Ví dụ. Cho ánh xạ tuyến tính f : R → R , biết ma trận biểu diễn của f trong cặp cơ sở B = (u1 = (1, 1, 1); u2 = (1, 0, 1); u3 = (1, 1, 0)) và C = (v1 = (1, 1); v2 = (2, 1)) là 2 1 −3 [f] = . B,C 0 3 4 Tìm công thức của f. Giải. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 25 / 86
Ta có 2 • [f(u )] = . Suy ra f(u ) = 2v + 0v = (2, 2). 1 C 0 1 1 2 1 • [f(u )] = . Suy ra f(u ) = v + 3v = (7, 4). 2 C 3 2 1 2 −3 • [f(u )] = . Suy ra f(u ) = −3v + 4v = (5, 1). 3 C 4 3 1 2 3 Cho u = (x, y, z) ∈ R . Tìm [u]B.  1 1 1 x   1 0 0 x − y − z  > > > > Lập (u1 u2 u3 |u ) =  1 0 1 y  →  0 1 0 2x + y − z  . 1 1 0 z 0 0 1 −x + z  −x + y + z  Vậy [u]B =  x − y  . x − z 3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính 2 1 −3 Cách 1. Do [f] = . B,C 0 3 4 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 26 / 86
1 • [f(u )] = . Suy ra f(u ) = v + 3v = (7, 4). 2 C 3 2 1 2 −3 • [f(u )] = . Suy ra f(u ) = −3v + 4v = (5, 1). 3 C 4 3 1 2 3 Cho u = (x, y, z) ∈ R . Tìm [u]B.  1 1 1 x   1 0 0 x − y − z  > > > > Lập (u1 u2 u3 |u ) =  1 0 1 y  →  0 1 0 2x + y − z  . 1 1 0 z 0 0 1 −x + z  −x + y + z  Vậy [u]B =  x − y  . x − z 3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính 2 1 −3 Cách 1. Do [f] = . B,C 0 3 4 Ta có 2 • [f(u )] = . Suy ra f(u ) = 2v + 0v = (2, 2). 1 C 0 1 1 2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 26 / 86
−3 • [f(u )] = . Suy ra f(u ) = −3v + 4v = (5, 1). 3 C 4 3 1 2 3 Cho u = (x, y, z) ∈ R . Tìm [u]B.  1 1 1 x   1 0 0 x − y − z  > > > > Lập (u1 u2 u3 |u ) =  1 0 1 y  →  0 1 0 2x + y − z  . 1 1 0 z 0 0 1 −x + z  −x + y + z  Vậy [u]B =  x − y  . x − z 3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính 2 1 −3 Cách 1. Do [f] = . B,C 0 3 4 Ta có 2 • [f(u )] = . Suy ra f(u ) = 2v + 0v = (2, 2). 1 C 0 1 1 2 1 • [f(u )] = . Suy ra f(u ) = v + 3v = (7, 4). 2 C 3 2 1 2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 26 / 86
3 Cho u = (x, y, z) ∈ R . Tìm [u]B.  1 1 1 x   1 0 0 x − y − z  > > > > Lập (u1 u2 u3 |u ) =  1 0 1 y  →  0 1 0 2x + y − z  . 1 1 0 z 0 0 1 −x + z  −x + y + z  Vậy [u]B =  x − y  . x − z 3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính 2 1 −3 Cách 1. Do [f] = . B,C 0 3 4 Ta có 2 • [f(u )] = . Suy ra f(u ) = 2v + 0v = (2, 2). 1 C 0 1 1 2 1 • [f(u )] = . Suy ra f(u ) = v + 3v = (7, 4). 2 C 3 2 1 2 −3 • [f(u )] = . Suy ra f(u ) = −3v + 4v = (5, 1). 3 C 4 3 1 2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 26 / 86
 1 1 1 x   1 0 0 x − y − z  > > > > Lập (u1 u2 u3 |u ) =  1 0 1 y  →  0 1 0 2x + y − z  . 1 1 0 z 0 0 1 −x + z  −x + y + z  Vậy [u]B =  x − y  . x − z 3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính 2 1 −3 Cách 1. Do [f] = . B,C 0 3 4 Ta có 2 • [f(u )] = . Suy ra f(u ) = 2v + 0v = (2, 2). 1 C 0 1 1 2 1 • [f(u )] = . Suy ra f(u ) = v + 3v = (7, 4). 2 C 3 2 1 2 −3 • [f(u )] = . Suy ra f(u ) = −3v + 4v = (5, 1). 3 C 4 3 1 2 3 Cho u = (x, y, z) ∈ R . Tìm [u]B. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 26 / 86
 1 0 0 x − y − z  →  0 1 0 2x + y − z  . 0 0 1 −x + z  −x + y + z  Vậy [u]B =  x − y  . x − z 3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính 2 1 −3 Cách 1. Do [f] = . B,C 0 3 4 Ta có 2 • [f(u )] = . Suy ra f(u ) = 2v + 0v = (2, 2). 1 C 0 1 1 2 1 • [f(u )] = . Suy ra f(u ) = v + 3v = (7, 4). 2 C 3 2 1 2 −3 • [f(u )] = . Suy ra f(u ) = −3v + 4v = (5, 1). 3 C 4 3 1 2 3 Cho u = (x, y, z) ∈ R . Tìm [u]B.  1 1 1 x  > > > > Lập (u1 u2 u3 |u ) =  1 0 1 y  1 1 0 z Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 26 / 86
 −x + y + z  Vậy [u]B =  x − y  . x − z 3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính 2 1 −3 Cách 1. Do [f] = . B,C 0 3 4 Ta có 2 • [f(u )] = . Suy ra f(u ) = 2v + 0v = (2, 2). 1 C 0 1 1 2 1 • [f(u )] = . Suy ra f(u ) = v + 3v = (7, 4). 2 C 3 2 1 2 −3 • [f(u )] = . Suy ra f(u ) = −3v + 4v = (5, 1). 3 C 4 3 1 2 3 Cho u = (x, y, z) ∈ R . Tìm [u]B.  1 1 1 x   1 0 0 x − y − z  > > > > Lập (u1 u2 u3 |u ) =  1 0 1 y  →  0 1 0 2x + y − z  . 1 1 0 z 0 0 1 −x + z Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 26 / 86
3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính 2 1 −3 Cách 1. Do [f] = . B,C 0 3 4 Ta có 2 • [f(u )] = . Suy ra f(u ) = 2v + 0v = (2, 2). 1 C 0 1 1 2 1 • [f(u )] = . Suy ra f(u ) = v + 3v = (7, 4). 2 C 3 2 1 2 −3 • [f(u )] = . Suy ra f(u ) = −3v + 4v = (5, 1). 3 C 4 3 1 2 3 Cho u = (x, y, z) ∈ R . Tìm [u]B.  1 1 1 x   1 0 0 x − y − z  > > > > Lập (u1 u2 u3 |u ) =  1 0 1 y  →  0 1 0 2x + y − z  . 1 1 0 z 0 0 1 −x + z  −x + y + z  Vậy [u]B =  x − y  . x − z Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 26 / 86
Vậy, ta có f(u) = (−x + y + z)f(u1) + (x − y)f(u2) + (x − z)f(u3) = (−x + y + z)(2, 2) + (x − y)(7, 4) + (x − z)(5, 1) = (10x − 5y − 3z, 3x − 2y + z). 3 2 Cách 2. Gọi B0 và C0 lần lượt là cơ sở chính tắc của R và R . Áp dụng công thức ta có −1 [f]B0,C0 = (C → C0) [f]B,C(B → B0). Ta có 1 2 • (C → C )−1 = (C → C) = (v> v>) = . 0 0 1 2 1 1  1 1 1  > > > • (B0 → B) = (u1 u2 u3 ) =  1 0 1  . 1 1 0 3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính Suy ra u = (−x + y + z)u1 + (x − y)u2 + (x − z)u3. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 27 / 86
3 2 Cách 2. Gọi B0 và C0 lần lượt là cơ sở chính tắc của R và R . Áp dụng công thức ta có −1 [f]B0,C0 = (C → C0) [f]B,C(B → B0). Ta có 1 2 • (C → C )−1 = (C → C) = (v> v>) = . 0 0 1 2 1 1  1 1 1  > > > • (B0 → B) = (u1 u2 u3 ) =  1 0 1  . 1 1 0 3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính Suy ra u = (−x + y + z)u1 + (x − y)u2 + (x − z)u3. Vậy, ta có f(u) = (−x + y + z)f(u1) + (x − y)f(u2) + (x − z)f(u3) = (−x + y + z)(2, 2) + (x − y)(7, 4) + (x − z)(5, 1) = (10x − 5y − 3z, 3x − 2y + z). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 27 / 86
Ta có 1 2 • (C → C )−1 = (C → C) = (v> v>) = . 0 0 1 2 1 1  1 1 1  > > > • (B0 → B) = (u1 u2 u3 ) =  1 0 1  . 1 1 0 3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính Suy ra u = (−x + y + z)u1 + (x − y)u2 + (x − z)u3. Vậy, ta có f(u) = (−x + y + z)f(u1) + (x − y)f(u2) + (x − z)f(u3) = (−x + y + z)(2, 2) + (x − y)(7, 4) + (x − z)(5, 1) = (10x − 5y − 3z, 3x − 2y + z). 3 2 Cách 2. Gọi B0 và C0 lần lượt là cơ sở chính tắc của R và R . Áp dụng công thức ta có −1 [f]B0,C0 = (C → C0) [f]B,C(B → B0). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 27 / 86
 1 1 1  > > > • (B0 → B) = (u1 u2 u3 ) =  1 0 1  . 1 1 0 3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính Suy ra u = (−x + y + z)u1 + (x − y)u2 + (x − z)u3. Vậy, ta có f(u) = (−x + y + z)f(u1) + (x − y)f(u2) + (x − z)f(u3) = (−x + y + z)(2, 2) + (x − y)(7, 4) + (x − z)(5, 1) = (10x − 5y − 3z, 3x − 2y + z). 3 2 Cách 2. Gọi B0 và C0 lần lượt là cơ sở chính tắc của R và R . Áp dụng công thức ta có −1 [f]B0,C0 = (C → C0) [f]B,C(B → B0). Ta có 1 2 • (C → C )−1 = (C → C) = (v> v>) = . 0 0 1 2 1 1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 27 / 86
3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính Suy ra u = (−x + y + z)u1 + (x − y)u2 + (x − z)u3. Vậy, ta có f(u) = (−x + y + z)f(u1) + (x − y)f(u2) + (x − z)f(u3) = (−x + y + z)(2, 2) + (x − y)(7, 4) + (x − z)(5, 1) = (10x − 5y − 3z, 3x − 2y + z). 3 2 Cách 2. Gọi B0 và C0 lần lượt là cơ sở chính tắc của R và R . Áp dụng công thức ta có −1 [f]B0,C0 = (C → C0) [f]B,C(B → B0). Ta có 1 2 • (C → C )−1 = (C → C) = (v> v>) = . 0 0 1 2 1 1  1 1 1  > > > • (B0 → B) = (u1 u2 u3 ) =  1 0 1  . 1 1 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 27 / 86
Vậy −1 [f]B0,C0 = (C → C0) [f]B,C(B → B0)  −1 1 1  1 2 2 1 −3 = 1 −1 0 1 1 0 3 4   1 0 −1  −1 1 1  2 7 5 = 1 −1 0 2 4 1   1 0 −1 10 −5 −3 = . 3 −2 1 Suy ra f(x, y, z) = (10x − 5y − 3z, 3x − 2y + z). 3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính  −1 1 1  −1 Suy ra (B → B0) = (B0 → B) =  1 −1 0  . 1 0 −1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 28 / 86
Suy ra f(x, y, z) = (10x − 5y − 3z, 3x − 2y + z). 3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính  −1 1 1  −1 Suy ra (B → B0) = (B0 → B) =  1 −1 0  . 1 0 −1 Vậy −1 [f]B0,C0 = (C → C0) [f]B,C(B → B0)  −1 1 1  1 2 2 1 −3 = 1 −1 0 1 1 0 3 4   1 0 −1  −1 1 1  2 7 5 = 1 −1 0 2 4 1   1 0 −1 10 −5 −3 = . 3 −2 1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 28 / 86
3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính  −1 1 1  −1 Suy ra (B → B0) = (B0 → B) =  1 −1 0  . 1 0 −1 Vậy −1 [f]B0,C0 = (C → C0) [f]B,C(B → B0)  −1 1 1  1 2 2 1 −3 = 1 −1 0 1 1 0 3 4   1 0 −1  −1 1 1  2 7 5 = 1 −1 0 2 4 1   1 0 −1 10 −5 −3 = . 3 −2 1 Suy ra f(x, y, z) = (10x − 5y − 3z, 3x − 2y + z). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 28 / 86
Hơn nữa, khi đó f −1 : W → V cũng là một ánh xạ tuyến tính và −1 −1 [f ]B,A = [f]A,B. Đặc biệt, nếu V = W và A = B thì −1 −1 [f ]B = [f]B . Ví dụ. Cho B = (u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 1, 2), u3 = (1, 2, 1)) là cơ sở 3 3 của R . Với f là toán tử tuyến tính trong R có  1 −1 2  [f]B =  1 0 2  . 1 2 1 Chứng minh f là song ánh và tìm f −1. 3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính Mệnh đề. Cho V, W là hai không gian vectơ n chiều và f ∈ L(V, W ). Khi đó f là song ánh khi và chỉ khi tồn tại các cơ sở A, B lần lượt của V và W sao cho [f]A,B khả nghịch. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 29 / 86
Đặc biệt, nếu V = W và A = B thì −1 −1 [f ]B = [f]B . Ví dụ. Cho B = (u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 1, 2), u3 = (1, 2, 1)) là cơ sở 3 3 của R . Với f là toán tử tuyến tính trong R có  1 −1 2  [f]B =  1 0 2  . 1 2 1 Chứng minh f là song ánh và tìm f −1. 3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính Mệnh đề. Cho V, W là hai không gian vectơ n chiều và f ∈ L(V, W ). Khi đó f là song ánh khi và chỉ khi tồn tại các cơ sở A, B lần lượt của V và W sao cho [f]A,B khả nghịch. Hơn nữa, khi đó f −1 : W → V cũng là một ánh xạ tuyến tính và −1 −1 [f ]B,A = [f]A,B. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 29 / 86
Ví dụ. Cho B = (u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 1, 2), u3 = (1, 2, 1)) là cơ sở 3 3 của R . Với f là toán tử tuyến tính trong R có  1 −1 2  [f]B =  1 0 2  . 1 2 1 Chứng minh f là song ánh và tìm f −1. 3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính Mệnh đề. Cho V, W là hai không gian vectơ n chiều và f ∈ L(V, W ). Khi đó f là song ánh khi và chỉ khi tồn tại các cơ sở A, B lần lượt của V và W sao cho [f]A,B khả nghịch. Hơn nữa, khi đó f −1 : W → V cũng là một ánh xạ tuyến tính và −1 −1 [f ]B,A = [f]A,B. Đặc biệt, nếu V = W và A = B thì −1 −1 [f ]B = [f]B . Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 29 / 86
3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính Mệnh đề. Cho V, W là hai không gian vectơ n chiều và f ∈ L(V, W ). Khi đó f là song ánh khi và chỉ khi tồn tại các cơ sở A, B lần lượt của V và W sao cho [f]A,B khả nghịch. Hơn nữa, khi đó f −1 : W → V cũng là một ánh xạ tuyến tính và −1 −1 [f ]B,A = [f]A,B. Đặc biệt, nếu V = W và A = B thì −1 −1 [f ]B = [f]B . Ví dụ. Cho B = (u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 1, 2), u3 = (1, 2, 1)) là cơ sở 3 3 của R . Với f là toán tử tuyến tính trong R có  1 −1 2  [f]B =  1 0 2  . 1 2 1 Chứng minh f là song ánh và tìm f −1. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 29 / 86
Gọi B0 là cơ sở chính tắc ta có −1 [f]B0 = (B → B0) [f]B(B → B0) −1 = (B0 → B)[f]B(B0 → B) .  1 1 1  > > > Ta có (B0 → B) = (u1 u2 u3 ) =  1 1 2  . 1 2 1  3 −1 −1  −1 Suy ra (B0 → B) =  −1 0 1  . −1 1 0 3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính 1 −1 2 Giải. Ta có |[f]B| = 1 0 2 = −1. Suy ra [f]B khả nghịch. Vậy f 1 2 1 là song ánh. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 30 / 86
−1 = (B0 → B)[f]B(B0 → B) .  1 1 1  > > > Ta có (B0 → B) = (u1 u2 u3 ) =  1 1 2  . 1 2 1  3 −1 −1  −1 Suy ra (B0 → B) =  −1 0 1  . −1 1 0 3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính 1 −1 2 Giải. Ta có |[f]B| = 1 0 2 = −1. Suy ra [f]B khả nghịch. Vậy f 1 2 1 là song ánh. Gọi B0 là cơ sở chính tắc ta có −1 [f]B0 = (B → B0) [f]B(B → B0) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 30 / 86
 1 1 1  > > > Ta có (B0 → B) = (u1 u2 u3 ) =  1 1 2  . 1 2 1  3 −1 −1  −1 Suy ra (B0 → B) =  −1 0 1  . −1 1 0 3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính 1 −1 2 Giải. Ta có |[f]B| = 1 0 2 = −1. Suy ra [f]B khả nghịch. Vậy f 1 2 1 là song ánh. Gọi B0 là cơ sở chính tắc ta có −1 [f]B0 = (B → B0) [f]B(B → B0) −1 = (B0 → B)[f]B(B0 → B) . Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 30 / 86
 3 −1 −1  −1 Suy ra (B0 → B) =  −1 0 1  . −1 1 0 3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính 1 −1 2 Giải. Ta có |[f]B| = 1 0 2 = −1. Suy ra [f]B khả nghịch. Vậy f 1 2 1 là song ánh. Gọi B0 là cơ sở chính tắc ta có −1 [f]B0 = (B → B0) [f]B(B → B0) −1 = (B0 → B)[f]B(B0 → B) .  1 1 1  > > > Ta có (B0 → B) = (u1 u2 u3 ) =  1 1 2  . 1 2 1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 30 / 86
3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính 1 −1 2 Giải. Ta có |[f]B| = 1 0 2 = −1. Suy ra [f]B khả nghịch. Vậy f 1 2 1 là song ánh. Gọi B0 là cơ sở chính tắc ta có −1 [f]B0 = (B → B0) [f]B(B → B0) −1 = (B0 → B)[f]B(B0 → B) .  1 1 1  > > > Ta có (B0 → B) = (u1 u2 u3 ) =  1 1 2  . 1 2 1  3 −1 −1  −1 Suy ra (B0 → B) =  −1 0 1  . −1 1 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 30 / 86
 3 0 −2  Suy ra [f −1] = [f]−1 = −5 1 3 . B0 B0   −1 1 0 Vậy f −1(x, y, z) = (3x − 2z, −5x + y + 3z, −x + y). 3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính Vậy  1 1 1   1 −1 2   3 −1 −1  [f]B0 =  1 1 2   1 0 2   −1 0 1  1 2 1 1 2 1 −1 1 0  3 1 5   3 −1 −1  =  4 3 6   −1 0 1  4 1 7 −1 1 0  3 2 −2  =  3 2 −1  . 4 3 −3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 31 / 86
Vậy f −1(x, y, z) = (3x − 2z, −5x + y + 3z, −x + y). 3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính Vậy  1 1 1   1 −1 2   3 −1 −1  [f]B0 =  1 1 2   1 0 2   −1 0 1  1 2 1 1 2 1 −1 1 0  3 1 5   3 −1 −1  =  4 3 6   −1 0 1  4 1 7 −1 1 0  3 2 −2  =  3 2 −1  . 4 3 −3  3 0 −2  Suy ra [f −1] = [f]−1 = −5 1 3 . B0 B0   −1 1 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 31 / 86
3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính Vậy  1 1 1   1 −1 2   3 −1 −1  [f]B0 =  1 1 2   1 0 2   −1 0 1  1 2 1 1 2 1 −1 1 0  3 1 5   3 −1 −1  =  4 3 6   −1 0 1  4 1 7 −1 1 0  3 2 −2  =  3 2 −1  . 4 3 −3  3 0 −2  Suy ra [f −1] = [f]−1 = −5 1 3 . B0 B0   −1 1 0 Vậy f −1(x, y, z) = (3x − 2z, −5x + y + 3z, −x + y). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 31 / 86