Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 5: Ánh xạ tuyến tính

86 trang hapham 1920

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 5: Ánh xạ tuyến tính", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_dai_so_tuyen_tinh_chuong_5_anh_xa_tuyen_tinh.pdf

Nội dung text: Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 5: Ánh xạ tuyến tính

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TS. Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng TP. HCM — 2011. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 1 / 57
Định nghĩa Ánh xạ f được gọi là đơn ánh nếu từ x1 =6 x2 ⇒ f (x1) =6 f (x2). Ánh xạ f được gọi là toàn ánh nếu ∀y ∈ Y , ∃x ∈ X : y = f (x). Ánh xạ f được gọi là song ánh nếu f là đơn ánh và toàn ánh. Khái niệm tổng quát Ánh xạ Định nghĩa Cho 2 tập hợp tùy ý X , Y =6 ∅. Ánh xạ f giữa 2 tập X , Y là 1 quy tắc sao cho với mỗi x ∈ X tồn tại duy nhất y ∈ Y sao cho y = f (x). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 2 / 57
Khái niệm tổng quát Ánh xạ Định nghĩa Cho 2 tập hợp tùy ý X , Y =6 ∅. Ánh xạ f giữa 2 tập X , Y là 1 quy tắc sao cho với mỗi x ∈ X tồn tại duy nhất y ∈ Y sao cho y = f (x). Định nghĩa Ánh xạ f được gọi là đơn ánh nếu từ x1 =6 x2 ⇒ f (x1) =6 f (x2). Ánh xạ f được gọi là toàn ánh nếu ∀y ∈ Y , ∃x ∈ X : y = f (x). Ánh xạ f được gọi là song ánh nếu f là đơn ánh và toàn ánh. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 2 / 57
Khái niệm tổng quát Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Cho E và F là 2 K-kgv. Một ánh xạ f : E → F được gọi là tuyến tính (hay một đồng cấu) nếu và chỉ nếu f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ E f (λx) = λf (x), ∀λ ∈ K, ∀x ∈ E. Ta ký hiệu tập hợp các ánh xạ tuyến tính từ E vào F là L(E, F ). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 3 / 57
∀x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ R2, f(x+y) = (3(x1 + y1) − (x2 + y2), x1 + y1, (x1 + y1) + (x2 + y2)) = (3x1 − x2, x1, x1 + x2) + (3y1 − y2, y1, y1 + y2) = f(x)+f(y). Khái niệm tổng quát Ví dụ Ví dụ Ánh xạ f : R2 → R3 cho bởi ∀x = (x1, x2), f (x) = (3x1 − x2, x1, x1 + x2) là ánh xạ tuyến tính. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 4 / 57
Khái niệm tổng quát Ví dụ Ví dụ Ánh xạ f : R2 → R3 cho bởi ∀x = (x1, x2), f (x) = (3x1 − x2, x1, x1 + x2) là ánh xạ tuyến tính. ∀x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ R2, f(x+y) = (3(x1 + y1) − (x2 + y2), x1 + y1, (x1 + y1) + (x2 + y2)) = (3x1 − x2, x1, x1 + x2) + (3y1 − y2, y1, y1 + y2) = f(x)+f(y). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 4 / 57
Ví dụ Ánh xạ f : R2 → R2 cho bởi ∀x = (x1, x2), 2 f (x) = (2x1 − x2, x2) không là ánh xạ tuyến tính. 2 Thật vậy, f (λx) = (2(λx1) − λx2, λx2) = 2 2 2 (2λ x1 − λx2, λx2) =6 λ(2x1 − x2, x2), nếu λ =6 1 Khái niệm tổng quát Ví dụ ∀λ ∈ K, ∀x ∈ R2, f (λx) = (3λx1 − λx2, λx1, λx1 + λx2) = λ(3x1 − x2, x1, x1 + x2) = λf (x) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 5 / 57
2 Thật vậy, f (λx) = (2(λx1) − λx2, λx2) = 2 2 2 (2λ x1 − λx2, λx2) =6 λ(2x1 − x2, x2), nếu λ =6 1 Khái niệm tổng quát Ví dụ ∀λ ∈ K, ∀x ∈ R2, f (λx) = (3λx1 − λx2, λx1, λx1 + λx2) = λ(3x1 − x2, x1, x1 + x2) = λf (x) Ví dụ Ánh xạ f : R2 → R2 cho bởi ∀x = (x1, x2), 2 f (x) = (2x1 − x2, x2) không là ánh xạ tuyến tính. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 5 / 57
Khái niệm tổng quát Ví dụ ∀λ ∈ K, ∀x ∈ R2, f (λx) = (3λx1 − λx2, λx1, λx1 + λx2) = λ(3x1 − x2, x1, x1 + x2) = λf (x) Ví dụ Ánh xạ f : R2 → R2 cho bởi ∀x = (x1, x2), 2 f (x) = (2x1 − x2, x2) không là ánh xạ tuyến tính. 2 Thật vậy, f (λx) = (2(λx1) − λx2, λx2) = 2 2 2 (2λ x1 − λx2, λx2) =6 λ(2x1 − x2, x2), nếu λ =6 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 5 / 57
Khái niệm tổng quát Ví dụ Định nghĩa Cho E là một K-kgv. Một ánh xạ f : E → E được gọi là tự đồng cấu của E nếu và chỉ nếu f là ánh xạ tuyến tính. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 6 / 57
Định lý Cho 2 K-kgv E và F , f ∈ L(E, F ), khi đó 1 Im(f ) là không gian véctơ con của F 2 Ker(f ) là không gian véctơ con của E Khái niệm tổng quát Hạt nhân và ảnh Định nghĩa Cho 2 K-kgv E và F , f ∈ L(E, F ), khi đó −1 1 Ker(f ) = {x ∈ E\f (x) = 0} = f (0) là hạt nhân của ánh xạ f . 2 Im(f ) = {y ∈ F \∃x ∈ E, y = f (x)} = f (E) là ảnh của ánh xạ f . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 7 / 57
Khái niệm tổng quát Hạt nhân và ảnh Định nghĩa Cho 2 K-kgv E và F , f ∈ L(E, F ), khi đó −1 1 Ker(f ) = {x ∈ E\f (x) = 0} = f (0) là hạt nhân của ánh xạ f . 2 Im(f ) = {y ∈ F \∃x ∈ E, y = f (x)} = f (E) là ảnh của ánh xạ f . Định lý Cho 2 K-kgv E và F , f ∈ L(E, F ), khi đó 1 Im(f ) là không gian véctơ con của F 2 Ker(f ) là không gian véctơ con của E TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 7 / 57
Khái niệm tổng quát Hạt nhân và ảnh Định nghĩa Ta gọi dim(Im(f )) là hạng của ánh xạ f , ký hiệu rank(f ) và dim(Ker(f )) là số khuyết của f . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 8 / 57
Khái niệm tổng quát Ví dụ Ví dụ Cho f : P2(x) → R xác định bởi 1 f (p(x)) = R p(x)dx. 0 1 Tìm Ker(f ) 2 Tìm dim(Ker(f )) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 9 / 57
2 Ta có 2 a b 2 1 1 ax + bx + (−3 − 2) = a(x − 3) + b(x − 2) 2 1 1 và x − 3, x − 2 ĐLTT nên chúng là cơ sở của Ker(f ) ⇒ dim(Ker(f )) = 2. Khái niệm tổng quát Ví dụ 2 1 p(x) = ax + bx + c ∈ P2(x) 1 ⇒ f (p(x)) = R (ax2 + bx + c)dx 0 a b a b = 3 + 2 + c = 0 ⇒ c = −3 − 2. Vậy 2 a b Ker(f ) = {ax + bx + (−3 − 2): ∀a, b ∈ R} TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 10 / 57
Khái niệm tổng quát Ví dụ 2 1 p(x) = ax + bx + c ∈ P2(x) 1 ⇒ f (p(x)) = R (ax2 + bx + c)dx 0 a b a b = 3 + 2 + c = 0 ⇒ c = −3 − 2. Vậy 2 a b Ker(f ) = {ax + bx + (−3 − 2): ∀a, b ∈ R} 2 Ta có 2 a b 2 1 1 ax + bx + (−3 − 2) = a(x − 3) + b(x − 2) 2 1 1 và x − 3, x − 2 ĐLTT nên chúng là cơ sở của Ker(f ) ⇒ dim(Ker(f )) = 2. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 10 / 57
Ker(f ) = {(x1, x2, x3, x4): x1 − x2 = 0, x2 + x3 = 0, x1 + x3 + 2x4 = 0}. Giải hệ phương trình này ta được x4 = 0, x1 = α, x2 = α, x3 = −α, ∀α ∈ R. Vậy Ker(f ) = {α(1, 1, −1, 0) : ∀α ∈ R}. Cơ sở của Ker(f ) là (1, 1, −1, 0). Dim(Ker(f )) = 1. Khái niệm tổng quát Ví dụ Ví dụ Cho f : R4 → R3 xác định bởi f (x1, x2, x3, x4) = (x1 − x2, x2 + x3, x1 + x3 + 2x4) 1 Tìm Ker(f ), cơ sở và số chiều của nó 2 Tìm Im(f ), cơ sở và số chiều của nó TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 11 / 57
Khái niệm tổng quát Ví dụ Ví dụ Cho f : R4 → R3 xác định bởi f (x1, x2, x3, x4) = (x1 − x2, x2 + x3, x1 + x3 + 2x4) 1 Tìm Ker(f ), cơ sở và số chiều của nó 2 Tìm Im(f ), cơ sở và số chiều của nó Ker(f ) = {(x1, x2, x3, x4): x1 − x2 = 0, x2 + x3 = 0, x1 + x3 + 2x4 = 0}. Giải hệ phương trình này ta được x4 = 0, x1 = α, x2 = α, x3 = −α, ∀α ∈ R. Vậy Ker(f ) = {α(1, 1, −1, 0) : ∀α ∈ R}. Cơ sở của Ker(f ) là (1, 1, −1, 0). Dim(Ker(f )) = 1. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 11 / 57
Khái niệm tổng quát Ví dụ Bước 1. Chọn cơ sở của E = R4 là e1 = (1, 0, 0, 0), e2 = (0, 1, 0, 0), e3 = (0, 0, 1, 0), e4 = (0, 0, 0, 1). Bước 2. Tính f (e1) = (1, 0, 1), f (e2) = (−1, 1, 0), f (e3) = (0, 1, 1), f (e4) = (0, 0, 2) Bước 3. Rõ ràng lúc này ta có f (x1, x2, x3, x4) = f (x1e1 + x2e2 + x3e3 + x4e4) = x1f (e1) + x2f (e2) + x3f (e3) + x4f (e4) ⇒ Im(f ) = TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 12 / 57
Khái niệm tổng quát Ví dụ  1 −1 0 0   1 −1 0 0   0 1 1 0  →  0 1 1 0  1 0 1 2 0 0 0 2 Vậy (1, 0, 0), (−1, 1, 0), (0, 0, 2) là cơ sở của Im(f ) và dim(Im(f )) = 3 ⇒ Im(f ) = F . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 13 / 57
1. Chứng minh f ( ) ⊂ . Với mọi y ∈ f ( ) ⇒ ∃x ∈ : y = f (x). Do đó n P ∃λ1, λ2, . . . , λn ∈ K : x = λi xi . Khi đó y = i=1 n n P P f (x) = f ( λi xi ) = λi f (xi ) ∈ . i=1 i=1 Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính Định lý Cho 2 K-kgv E và F , ∀f ∈ L(E, F ), M là một họ véctơ gồm hữu hạn phần tử của E. Khi đó f ( ) = , M = {x1, x2, , xn} ⊂ E TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 14 / 57
Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính Định lý Cho 2 K-kgv E và F , ∀f ∈ L(E, F ), M là một họ véctơ gồm hữu hạn phần tử của E. Khi đó f ( ) = , M = {x1, x2, , xn} ⊂ E 1. Chứng minh f ( ) ⊂ . Với mọi y ∈ f ( ) ⇒ ∃x ∈ : y = f (x). Do đó n P ∃λ1, λ2, . . . , λn ∈ K : x = λi xi . Khi đó y = i=1 n n P P f (x) = f ( λi xi ) = λi f (xi ) ∈ . i=1 i=1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 14 / 57
Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính 2. Chứng minh ⊂ f ( ). Với mọi y ∈ ⇒ ∃λ1, λ2, . . . , λn ∈ K : n n P P y = λi f (xi ) = f ( λi xi ) ∈ f ( ). i=1 i=1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 15 / 57
Thật vậy, do f là toàn ánh nên F = f (E) = f ( ) = . Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính Hệ quả Nếu f ∈ L(E, F ) là toàn ánh và nếu M sinh ra E thì f (M) sinh ra F . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 16 / 57
Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính Hệ quả Nếu f ∈ L(E, F ) là toàn ánh và nếu M sinh ra E thì f (M) sinh ra F . Thật vậy, do f là toàn ánh nên F = f (E) = f ( ) = . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 16 / 57
Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính Định lý Cho 2 K-kgv E và F , ∀f ∈ L(E, F ), M = {x1, x2, , xn} là một họ véctơ gồm hữu hạn phần tử của E. Khi đó 1 Nếu M phụ thuộc tuyến tính thì f (M) phụ thuộc tuyến tính 2 Nếu f (M) độc lập tuyến tính thì M độc lập tuyến tính. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 17 / 57
2. Chứng minh rằng, nếu f (M) độc lập tuyến tính thì M độc lập tuyến tính. Giả sử M PTTT thì f (M) PTTT trái với giả thiết f (M) ĐLTT. Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính Chứng minh. 1. Nếu M PTTT thì ∃(λ1, λ2, . . . , λn) =6 (0, 0, , 0) sao cho n n n P P P λi xi = 0. Khi đó f ( λi xi ) = λi f (xi ) = 0 i=1 i=1 i=1 ⇒ f (M) PTTT. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 18 / 57
Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính Chứng minh. 1. Nếu M PTTT thì ∃(λ1, λ2, . . . , λn) =6 (0, 0, , 0) sao cho n n n P P P λi xi = 0. Khi đó f ( λi xi ) = λi f (xi ) = 0 i=1 i=1 i=1 ⇒ f (M) PTTT. 2. Chứng minh rằng, nếu f (M) độc lập tuyến tính thì M độc lập tuyến tính. Giả sử M PTTT thì f (M) PTTT trái với giả thiết f (M) ĐLTT. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 18 / 57
n P Chứng minh. Giả sử λi f (xi ) = 0 i=1 n P ⇒ f ( λi xi ) = 0 = f (0). Do f là đơn ánh nên i=1 n P λi xi = 0 mà M ĐLTT nên λi = 0, i = 1 n. i=1 Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính Định lý Cho 2 K-kgv E và F , ∀f ∈ L(E, F ), M = {x1, x2, , xn} là một họ véctơ gồm hữu hạn phần tử của E. Nếu f là đơn ánh và M độc lập tuyến tính thì f (M) độc lập tuyến tính. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 19 / 57
Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính Định lý Cho 2 K-kgv E và F , ∀f ∈ L(E, F ), M = {x1, x2, , xn} là một họ véctơ gồm hữu hạn phần tử của E. Nếu f là đơn ánh và M độc lập tuyến tính thì f (M) độc lập tuyến tính. n P Chứng minh. Giả sử λi f (xi ) = 0 i=1 n P ⇒ f ( λi xi ) = 0 = f (0). Do f là đơn ánh nên i=1 n P λi xi = 0 mà M ĐLTT nên λi = 0, i = 1 n. i=1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 19 / 57
Chứng minh. Chứng minh rằng, nếu f là song ánh và B là 1 cơ sở của E thì f (B) là cơ sở của F . Vì f là toàn ánh, B sinh ra E nên f (B) là tập sinh của F . Vì f là đơn ánh, B ĐLTT nên f (B) ĐLTT. Vậy f (B) là cơ sở của F . Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính Định lý Cho 2 K-kgv hữu hạn chiều E và F , ∀f ∈ L(E, F ). Khi đó nếu f là song ánh thì với mọi cơ sở B của E ta có f (B) cũng là cơ sở của F . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 20 / 57
Vì f là đơn ánh, B ĐLTT nên f (B) ĐLTT. Vậy f (B) là cơ sở của F . Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính Định lý Cho 2 K-kgv hữu hạn chiều E và F , ∀f ∈ L(E, F ). Khi đó nếu f là song ánh thì với mọi cơ sở B của E ta có f (B) cũng là cơ sở của F . Chứng minh. Chứng minh rằng, nếu f là song ánh và B là 1 cơ sở của E thì f (B) là cơ sở của F . Vì f là toàn ánh, B sinh ra E nên f (B) là tập sinh của F . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 20 / 57
Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính Định lý Cho 2 K-kgv hữu hạn chiều E và F , ∀f ∈ L(E, F ). Khi đó nếu f là song ánh thì với mọi cơ sở B của E ta có f (B) cũng là cơ sở của F . Chứng minh. Chứng minh rằng, nếu f là song ánh và B là 1 cơ sở của E thì f (B) là cơ sở của F . Vì f là toàn ánh, B sinh ra E nên f (B) là tập sinh của F . Vì f là đơn ánh, B ĐLTT nên f (B) ĐLTT. Vậy f (B) là cơ sở của F . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 20 / 57
Ba véctơ (1, 0, 0), (−1, 1, 0), (0, −1, 1) là cơ sở của R3 nên (x1, x2, x3) = α(1, 0, 0) + β(−1, 1, 0) + γ(0, −1, 1) Khái niệm tổng quát Ví dụ Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 xác định bởi f (1, 0, 0) = (1, 1, 1), f (−1, 1, 0) = (−2, −1, 0), f (0, −1, 1) = (2, 1, 3). Xác định f (x1, x2, x3). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 21 / 57
Khái niệm tổng quát Ví dụ Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 xác định bởi f (1, 0, 0) = (1, 1, 1), f (−1, 1, 0) = (−2, −1, 0), f (0, −1, 1) = (2, 1, 3). Xác định f (x1, x2, x3). Ba véctơ (1, 0, 0), (−1, 1, 0), (0, −1, 1) là cơ sở của R3 nên (x1, x2, x3) = α(1, 0, 0) + β(−1, 1, 0) + γ(0, −1, 1) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 21 / 57
Khái niệm tổng quát Ví dụ  α −β = x  α = x + x + x  1  1 2 3 ⇔ β −γ = x2 ⇔ β = x2 + x3  γ = x3  γ = x3 Vậy f (x1, x2, x3) = αf (1, 0, 0) + βf (−1, 1, 0) + γf (0, −1, 1) = (x1 + x2 + x3)(1, 1, 1) + (x2 + x3)(−2, −1, 0) + x3(2, 1, 3) = (x1 − x2 + x3, x1 + x3, x1 + x2 + 4x3) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 22 / 57
∀x ∈ Ker(f ) ⇔ f (x) = 0  x − x + x = 0  1 2 3 ⇔ x1 + x3 = 0 ⇔ x1 = x2 = x3 = 0  x1 + x2 + 4x3 = 0 Ker(f ) = {0}. Dim(Ker(f )) = 0. @ cơ sở Ker(f ). Khái niệm tổng quát Ví dụ Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 xác định bởi f (1, 0, 0) = (1, 1, 1), f (−1, 1, 0) = (−2, −1, 0), f (0, −1, 1) = (2, 1, 3). Tìm cơ sở và số chiều của Ker(f ). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 23 / 57
Khái niệm tổng quát Ví dụ Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 xác định bởi f (1, 0, 0) = (1, 1, 1), f (−1, 1, 0) = (−2, −1, 0), f (0, −1, 1) = (2, 1, 3). Tìm cơ sở và số chiều của Ker(f ). ∀x ∈ Ker(f ) ⇔ f (x) = 0  x − x + x = 0  1 2 3 ⇔ x1 + x3 = 0 ⇔ x1 = x2 = x3 = 0  x1 + x2 + 4x3 = 0 Ker(f ) = {0}. Dim(Ker(f )) = 0. @ cơ sở Ker(f ). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 23 / 57
Chọn cơ sở của R3 là (1, 0, 0), (−1, 1, 0), (0, −1, 1). Im(f ) = = Khái niệm tổng quát Ví dụ Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 xác định bởi f (1, 0, 0) = (1, 1, 1), f (−1, 1, 0) = (−2, −1, 0), f (0, −1, 1) = (2, 1, 3). Tìm cơ sở và số chiều của Im(f ). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 24 / 57
Khái niệm tổng quát Ví dụ Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 xác định bởi f (1, 0, 0) = (1, 1, 1), f (−1, 1, 0) = (−2, −1, 0), f (0, −1, 1) = (2, 1, 3). Tìm cơ sở và số chiều của Im(f ). Chọn cơ sở của R3 là (1, 0, 0), (−1, 1, 0), (0, −1, 1). Im(f ) = = TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 24 / 57
Khái niệm tổng quát Ví dụ  1 −2 2   1 −2 2   1 −1 1  →  0 1 −1  1 0 3 0 0 −1 Vậy cơ sở của Im(f ) là (1, 0, 0), (−2, 1, 0), (2, −1, −1). Dim(Im(f )) = 3. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 25 / 57
Khái niệm tổng quát Định lý về số chiều của nhân và ảnh Định lý Cho 2 K−kgv E và F , f : E → F là 1 ánh xạ tuyến tính. Khi đó ta có rank(f ) + dim(ker(f )) = dim(E) hay dim(Im(f )) + dim(ker(f )) = dim(E) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 26 / 57
Chứng minh. ∀x ∈ E ta có x = x1e1 + x2e2 + + xnen, xi ∈ K. Lập ánh xạ f : E → F , f (x) = x1v1 + x2v2 + + xnvn. Ma trận của ánh xạ tuyến tính Xác định ánh xạ tuyến tính Định lý Giả sử E và F là 2 K-kgv, B = {e1, e2, , en} là 1 cơ sở của E và v1, v2, , vn là n véctơ tùy ý của F . Khi đó có một và chỉ một ánh xạ tuyến tính f ∈ L(E, F ) thỏa f (ei ) = vi , i = 1, 2, , n. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 27 / 57
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Xác định ánh xạ tuyến tính Định lý Giả sử E và F là 2 K-kgv, B = {e1, e2, , en} là 1 cơ sở của E và v1, v2, , vn là n véctơ tùy ý của F . Khi đó có một và chỉ một ánh xạ tuyến tính f ∈ L(E, F ) thỏa f (ei ) = vi , i = 1, 2, , n. Chứng minh. ∀x ∈ E ta có x = x1e1 + x2e2 + + xnen, xi ∈ K. Lập ánh xạ f : E → F , f (x) = x1v1 + x2v2 + + xnvn. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 27 / 57
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Xác định ánh xạ tuyến tính Rõ ràng lúc này ta có f (e1) = 1.v1 + 0.v2 + + 0.vn = v1, f (e2) = v2, f (en) = vn. Vậy luôn tồn tại ánh xạ f thỏa f (ei ) = vi , i = 1, 2, , n. Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính. Với x = x1e1 + x2e2 + + xnen, y = y1e1 + y2e2 + + ynen, ta có x +y = (x1 +y1)e1 +(x2 +y2)e2 + +(xn +yn)en và λx = λx1e1 + λx2e2 + + λxnen. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 28 / 57
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Xác định ánh xạ tuyến tính Do đó f (x+y) = (x1+y1)v1+(x2+y2)v2+ +(xn+yn)vn = (x1v1+x2v2+ +xnvn)+(y1v1+y2v2+ +ynvn) = f (x) + f (y). f (λx) = (λx1v1 + λx2v2 + + λxnvn) = λ(x1v1 + x2v2 + + xnvn) = λf (x). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 29 / 57
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Xác định ánh xạ tuyến tính Chứng minh f là duy nhất. Giả sử còn có g : E → F thỏa g(ei ) = vi , i = 1, 2, , n. Khi đó ∀x ∈ E, ta có g(x) = x1g(e1) + x2g(e2) + + xng(en) = x1v1 + x2v2 + + xnvn = f (x). Vậy g = f . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 30 / 57
Ánh xạ tuyến tính f hoàn toàn được xác định bởi các véctơ f (e1), f (e2), , f (en). Giả sử m P f (ei ) = aki fk = a1i f1 + a2i f2 + + ami fm k=1 (i = 1, 2, , n). Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính Giả sử E, F là 2 K-kgv, dimE = n, dimF = m, f ∈ L(E, F ). Giả sử B = {e1, e2, , en} là 1 cơ sở của E, C = {f1, f2, , fm} là 1 cơ sở của F . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 31 / 57
Giả sử m P f (ei ) = aki fk = a1i f1 + a2i f2 + + ami fm k=1 (i = 1, 2, , n). Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính Giả sử E, F là 2 K-kgv, dimE = n, dimF = m, f ∈ L(E, F ). Giả sử B = {e1, e2, , en} là 1 cơ sở của E, C = {f1, f2, , fm} là 1 cơ sở của F . Ánh xạ tuyến tính f hoàn toàn được xác định bởi các véctơ f (e1), f (e2), , f (en). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 31 / 57
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính Giả sử E, F là 2 K-kgv, dimE = n, dimF = m, f ∈ L(E, F ). Giả sử B = {e1, e2, , en} là 1 cơ sở của E, C = {f1, f2, , fm} là 1 cơ sở của F . Ánh xạ tuyến tính f hoàn toàn được xác định bởi các véctơ f (e1), f (e2), , f (en). Giả sử m P f (ei ) = aki fk = a1i f1 + a2i f2 + + ami fm k=1 (i = 1, 2, , n). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 31 / 57
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính Khi đó ma trận   a11 a1j a1n  . . .      A =  ai1 aij ain   . . .   . . . . .  am1 amj amn được gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cặp cơ sở BC. Ký hiệu A = MatBC(f ) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 32 / 57
Giả sử T y = f (x) và X = [x]B = (x1, x2, , xn) hay n P T x = xi ei ; Y = [y]C = (y1, y2, , ym) hay i=1 m P y = ykfk và A = MatBC(f ). k=1 Ma trận của ánh xạ tuyến tính Liên hệ tọa độ của véctơ qua ánh xạ tuyến tính Cho E, F là 2 K-kgv, ∀f ∈ L(E, F ). B = {e1, e2, , en} là 1 cơ sở của E, C = {f1, f2, , fm} là 1 cơ sở của F . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 33 / 57
T Y = [y]C = (y1, y2, , ym) hay m P y = ykfk và A = MatBC(f ). k=1 Ma trận của ánh xạ tuyến tính Liên hệ tọa độ của véctơ qua ánh xạ tuyến tính Cho E, F là 2 K-kgv, ∀f ∈ L(E, F ). B = {e1, e2, , en} là 1 cơ sở của E, C = {f1, f2, , fm} là 1 cơ sở của F . Giả sử T y = f (x) và X = [x]B = (x1, x2, , xn) hay n P x = xi ei ; i=1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 33 / 57
và A = MatBC(f ). Ma trận của ánh xạ tuyến tính Liên hệ tọa độ của véctơ qua ánh xạ tuyến tính Cho E, F là 2 K-kgv, ∀f ∈ L(E, F ). B = {e1, e2, , en} là 1 cơ sở của E, C = {f1, f2, , fm} là 1 cơ sở của F . Giả sử T y = f (x) và X = [x]B = (x1, x2, , xn) hay n P T x = xi ei ; Y = [y]C = (y1, y2, , ym) hay i=1 m P y = ykfk k=1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 33 / 57
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Liên hệ tọa độ của véctơ qua ánh xạ tuyến tính Cho E, F là 2 K-kgv, ∀f ∈ L(E, F ). B = {e1, e2, , en} là 1 cơ sở của E, C = {f1, f2, , fm} là 1 cơ sở của F . Giả sử T y = f (x) và X = [x]B = (x1, x2, , xn) hay n P T x = xi ei ; Y = [y]C = (y1, y2, , ym) hay i=1 m P y = ykfk và A = MatBC(f ). k=1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 33 / 57
Hay  y = a x + a x + + a x  1 11 1 12 2 1n n  y = a x + a x + + a x 2 21 1 22 2 2n n hoặc ở  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   ym = am1x1 + am2x2 + + amnxn dạng ma trận Ym×1 = Am×nXn×1. Ma trận của ánh xạ tuyến tính Liên hệ tọa độ của véctơ qua ánh xạ tuyến tính m n P P Ta có y = f (x) = ykfk = f ( xi ei ) = k=1 i=1 n n m m n P P P P P xi f (ei ) = xi ( aki fk) = ( aki xi )fk i=1 i=1 k=1 k=1 i=1 n P ⇒ yk = aki xi , k = 1, 2, , m. i=1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 34 / 57
hoặc ở dạng ma trận Ym×1 = Am×nXn×1. Ma trận của ánh xạ tuyến tính Liên hệ tọa độ của véctơ qua ánh xạ tuyến tính m n P P Ta có y = f (x) = ykfk = f ( xi ei ) = k=1 i=1 n n m m n P P P P P xi f (ei ) = xi ( aki fk) = ( aki xi )fk i=1 i=1 k=1 k=1 i=1 n P ⇒ yk = aki xi , k = 1, 2, , m. Hay  i=1  y1 = a11x1 + a12x2 + + a1nxn   y2 = a21x1 + a22x2 + + a2nxn  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   ym = am1x1 + am2x2 + + amnxn TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 34 / 57
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Liên hệ tọa độ của véctơ qua ánh xạ tuyến tính m n P P Ta có y = f (x) = ykfk = f ( xi ei ) = k=1 i=1 n n m m n P P P P P xi f (ei ) = xi ( aki fk) = ( aki xi )fk i=1 i=1 k=1 k=1 i=1 n P ⇒ yk = aki xi , k = 1, 2, , m. Hay  i=1 y = a x + a x + + a x  1 11 1 12 2 1n n  y = a x + a x + + a x 2 21 1 22 2 2n n hoặc ở  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   ym = am1x1 + am2x2 + + amnxn dạng ma trận Ym×1 = Am×nXn×1. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 34 / 57
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : P2(x) → P1(x) xác định bởi f (p(x)) = p0(x) + 3p00(x). Cho 2 E = {1, x, x } là cơ sở của P2(x) và F = {1, x} là cơ sở của P1(x). 1 Tìm ma trận A của ánh xạ tuyến tính trong cặp cơ sở E, F . 2 2 Tính f (3x + 5x − 2) trực tiếp và thông qua A. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 35 / 57
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ 1. Ma trận A của AXTT trong cặp cơ sở E, F . 0 Ta có f (1) = 0 + 3.0 = 0 ⇒ [f (1)] = F 0 1 f (x) = 1 + 3.0 = 1 ⇒ [f (x)] = F 0 6 f (x2) = 2x + 3.2 = 6 + 2x ⇒ [f (x2)] = . F 2 0 1 6 Vậy A = 0 0 2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 36 / 57
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ 2. Tính trực tiếp f (3x2 + 5x − 2) = (6x + 5) + 3(6) = 23 + 6x. Tính thông qua A  −2  2 p(x) = 3x + 5x − 2 ⇒ [p(x)]E =  5  3  −2  0 1 6 [f (p(x))] = A[p(x)] = 5 = F E 0 0 2   3 23 . Vậy f (3x2 + 5x − 2) = 23 + 6x. 6 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 37 / 57
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R2 → R3 xác định bởi  1 −3  f (x) = Ax, với A =  0 2  . Tìm ma trận 4 3 của ánh xạ f trong cặp cơ sở E = {(1, 1), (1, 2)} và F = {(1, 0, 1), (1, 1, 1), (1, 0, 0)} TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 38 / 57
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ  1 −3   −2  1 Ta có f (1, 1) = 0 2 = 2 .   1   4 3 7 Ta cần khai triển véctơ f (1, 1) trong cơ sở F  −2   1   1   1   2  = α  0  + β  1  + γ  0  . 7 1 1 0 Từ đó ta được α = 5, β = 2, γ = −9. T Vậy [f (1, 1)]F = (5, 2, −9) . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 39 / 57
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ Tương tự ta cũng tính được  6  [f (1, 2)]F =  4  . −15 Vậy ma trận của ánh xạ f trong cặp cơ sở E, F là  5 6   2 4  . −9 −15 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 40 / 57
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cùng 1 không gian Khi f ∈ L(E). Khi đó f hoàn toàn được xác định bởi các véctơ f (e1), f (e2), , f (en) với B = {e1, e2, , en} là 1 cơ sở của E. n P Nếu f (ei ) = aki ek thì ma trận k=1   a11 a1j a1n  . . .      A = MatB(f ) =  ai1 aij ain  chính  . . .   . . . . .  an1 anj ann là ma trận biểu diễn ánh xạ f trong cơ sở B của E. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 41 / 57
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cùng 1 không gian T Nếu X = (x1, x2, , xn) = [x]B, Y = T (y1, y2, , yn) = [y]B, thì ta có Yn×1 = An×nXn×1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 42 / 57
e1 = (1, 1) ⇒ f (e1) = (3, 0); e2 = (1, 0) ⇒ f (e2) = (2, 1); f (e1) = a11e1 + a21e2 f (e2) = a12e1 + a22e2 Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R2 → R2, biết f (x1, x2) = (2x1 + x2, x1 − x2). Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở E = {(1, 1), (1, 0)}. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 43 / 57
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R2 → R2, biết f (x1, x2) = (2x1 + x2, x1 − x2). Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở E = {(1, 1), (1, 0)}. e1 = (1, 1) ⇒ f (e1) = (3, 0); e2 = (1, 0) ⇒ f (e2) = (2, 1); f (e1) = a11e1 + a21e2 f (e2) = a12e1 + a22e2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 43 / 57
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ   a .1 + a .1 = 3 a = 0  11 21  11  a .1 + a .0 = 0  a = 3 ⇔ 11 21 ⇔ 21  a12.1 + a22.1 = 2  a12 = 1    a12.1 + a22.0 = 1  a22 = 1. Vậy ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở E = {(1, 1), (1, 0)} là 0 1 A = Mat (f ) = E 3 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 44 / 57
Trong cơ sở chính tắc e1 = (1, 0) ⇒ f (e1) = (1, 2). e2 = (0, 1) = α(1, 1) + β(1, 0) ⇒ α = 1, β = −1 ⇒ f (e2) = f (1, 1) − f (1, 0) = (−1, 1) − (1, 2) = (−2, −1). Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R2 → R2, biết f (1, 1) = (−1, 1), f (1, 0) = (1, 2). Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở chính tắc. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 45 / 57
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R2 → R2, biết f (1, 1) = (−1, 1), f (1, 0) = (1, 2). Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở chính tắc. Trong cơ sở chính tắc e1 = (1, 0) ⇒ f (e1) = (1, 2). e2 = (0, 1) = α(1, 1) + β(1, 0) ⇒ α = 1, β = −1 ⇒ f (e2) = f (1, 1) − f (1, 0) = (−1, 1) − (1, 2) = (−2, −1). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 45 / 57
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ f (e1) = a11e1 + a21e2 f (e2) = a12e1 + a22e2   a .1 + a .0 = 1 a = 1  11 21  11  a .0 + a .1 = 2  a = 2 ⇔ 11 21 ⇔ 21  a12.1 + a22.0 = −2  a12 = −2    a12.0 + a22.1 = −1  a22 = −1. Vậy ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở chính tắc là 1 −2 A = Mat (f ) = E 2 −1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 46 / 57
Ta có x = (−1, 5) = α(1, 1) + β(−1, 1) T ⇒ α = 2, β = 3 ⇒ [x]E = (2, 3) . Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R2 → R2, biết ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở 1 −1 E = {(1, 1), (−1, 1)} là A = . Tìm 0 2 f (−1, 5). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 47 / 57
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R2 → R2, biết ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở 1 −1 E = {(1, 1), (−1, 1)} là A = . Tìm 0 2 f (−1, 5). Ta có x = (−1, 5) = α(1, 1) + β(−1, 1) T ⇒ α = 2, β = 3 ⇒ [x]E = (2, 3) . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 47 / 57
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ Từ đó ta có [f (−1, 5)]E = A.[x]E = 1 −1 2 −1 = . 0 2 3 6 Vậy f (−1, 5) = −1(1, 1) + 6(−1, 1) = (−7, 5) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 48 / 57
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong các cơ sở khác nhau Xét trường hợp f : E → E, f ∈ L(E) với E là 1 K-kgv. Giả sử 0 0 0 0 B = {e1, e2, , en}, B = {e1, e2, , en} là 2 cơ 0 sở nào đó của E và A = MatB(f ), A = MatB0(f ). Giả sử S = Pass(B, B0) là ma trận chuyển cơ sở từ B sang B0   s11 s1j s1n  . . .      S =  si1 sij sin   . . .   . . . . .  sn1 snj snn TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 49 / 57
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong các cơ sở khác nhau n 0 P tức là ei = ski ek, i = 1, 2, , n. k=1 T Giả sử X = [x]B = (x1, x2, , xn) - tọa độ của véctơ x trong cơ sở B. 0 0 0 0 T X = [x]B0 = (x1, x2, , xn) - tọa độ của véctơ x 0 T trong cơ sở B . Y = [y]B = (y1, y2, , yn) - tọa độ của véctơ y trong cơ sở B. 0 0 0 0 T Y = [y]B0 = (y1, y2, , yn) - tọa độ của véctơ y trong cơ sở B0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 50 / 57
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong các cơ sở khác nhau Khi đó ta có X = SX 0, Y = SY 0, Y = AX = ASX 0, Y 0 = A0X 0 ⇒ Y = SY 0 = SA0X 0 ⇒ ASX 0 = SA0X 0 với X 0 tùy ý nên AS = SA0. Do S là ma trận chuyển cơ sở nên S không suy biến, từ đó suy ra A0 = S −1AS Định nghĩa Hai ma trận A và A0 được gọi là 2 ma trận đồng dạng nếu A0 = S −1AS. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 51 / 57
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong các cơ sở khác nhau Định lý Cho ánh xạ tuyến tính f : E → E. A là ma trận của ánh xạ tuyến tính f cơ sở B còn A0 là ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cơ sở B0. Khi đó A, A0 đồng dạng với nhau. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 52 / 57
Áp dụng công thức, ta có ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở F là A0 = S −1AS trong đó S là ma trận chuyển từ cơ sở E vào F . Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong các cơ sở khác nhau Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R2 → R2, biết ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở 1 −3 E = {(1, 0), (1, 1)} là A = . Tìm ma 1 4 trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở F = {(0, 1), (2, 1)}. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 53 / 57
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong các cơ sở khác nhau Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R2 → R2, biết ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở 1 −3 E = {(1, 0), (1, 1)} là A = . Tìm ma 1 4 trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở F = {(0, 1), (2, 1)}. Áp dụng công thức, ta có ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở F là A0 = S −1AS trong đó S là ma trận chuyển từ cơ sở E vào F . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 53 / 57
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong các cơ sở khác nhau Tìm S. (0, 1) = s (1, 0) + s (1, 1) 11 21 ⇒ (2, 1) = s21(1, 0) + s22(1, 1) s11 = −1; s21 = 1 s21 = 1; s22 = 1 1 1 −1 1 −1 −2 2 Vậy S = ⇒ S = 1 1 . 1 1 2 2 Từ đó A0 = S −1AS = 1 1 7 7 −2 2 1 −3 −1 1 2 2 1 1 . . = 1 3 . 2 2 1 4 1 1 −2 2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 54 / 57
Chứng minh. Giả sử B = {e1, e2, , en} là cơ sở của E, C = {f1, f2, , fm} là cơ sở của F . A = MatBC(f ). Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định lý về hạng của ma trận và ánh xạ tuyến tính Định lý Cho 2 K-kgv E và F , f : E → F là 1 ánh xạ tuyến tính. Giả sử A ∈ Mm×n(K) là ma trận của f trong cặp cơ sở B ⊂ E và C ⊂ F tức là A = MatBC(f ). Khi đó ta có rank(f ) = rank(A). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 55 / 57
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định lý về hạng của ma trận và ánh xạ tuyến tính Định lý Cho 2 K-kgv E và F , f : E → F là 1 ánh xạ tuyến tính. Giả sử A ∈ Mm×n(K) là ma trận của f trong cặp cơ sở B ⊂ E và C ⊂ F tức là A = MatBC(f ). Khi đó ta có rank(f ) = rank(A). Chứng minh. Giả sử B = {e1, e2, , en} là cơ sở của E, C = {f1, f2, , fm} là cơ sở của F . A = MatBC(f ). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 55 / 57
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định lý về hạng của ma trận và ánh xạ tuyến tính Vì Im(f ) = = ⇒ rank(f ) = dim(Im(f )) = = rank([f (e1)]F , [f (e2)]F , , [f (en)]F ) = rank(A∗1, A∗2, , A∗n) = rank(A). Vậy rank(f ) = dim(Im(f )) = rank(A). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 56 / 57
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định lý về hạng của ma trận và ánh xạ tuyến tính THANK YOU FOR ATTENTION TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2011. 57 / 57