›
›

Bài giảng Xác suất thống kê

pdf 61 trang hapham 370
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Xác suất thống kê", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_xac_suat_thong_ke.pdf

Nội dung text: Bài giảng Xác suất thống kê

  1. Xác suất thống kê 3 Giáo trình và tài liệu tham khảo: 1. Lý thuyết xác suất và thống kê toán NXB GD 2004 (ĐH KTQD 2010). Chủ biên: TS Nguyễn Cao Văn 2. Bài tập Xác suất và thống kê toán NXB GD 2004 (ĐH KTQD 2010). Chủ biên: TS Nguyễn Cao Văn 3. Hướng dẫn giải bài tập Xác suất và thống kê toán NXB Thống kê 2002 (ĐH KTQD 2010) . Chủ biên: Trần Thái Ninh 4. Xác suất thống kê và ứng dụng NXB Giáo dục 2009. Chủ biên: Lê Sĩ Đồng 5. Bài tập Xác suất thống kê và ứng dụng NXB Giáo dục 2009 . Chủ biên: Lê Sĩ Đồng Probability and statistics
  2. Xác suất thống kê 6 Phần 1: Lý thuyết xác suất • Chương I: Biến cố ngẫu nhiên và xác suất. • Chương II: Biến ngẫu nhiên. • Chương III: Một số quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên. • Chương IV: Biến ngẫu nhiên nhiều chiều. • Chương V: Luật số lớn - Các định lý giới hạn. Probability and statistics
  3. Xác suất thống kê 7 Phần 2: Thống kê toán • Chương VI: Cơ sở lý thuyết mẫu • Chương VII: Ước lượng tham số • Chương VIII: Kiểm định giả thuyết thống kê Probability and statistics
  4. Xác suất thống kê 10 2. Giải tích tổ hợp: * Quy tắc cộng và quy tắc nhân a) Quy tắc cộng: Quy tắc cộng cho 2 phương án: Công việc A được thực hiện theo 2 phương án: + Phương án 1 có m cách thực hiện. + Phương án 2 có n cách thực hiện. ⇒ có m + n cách thực hiện công việc A. Probability and statistics
  5. Xác suất thống kê 11 b) Quy tắc nhân: Quy tắc nhân cho 2 giai đoạn: Công việc A được thực hiện qua 2 giai đoạn: + Giai đoạn 1 có m cách thực hiện. + Giai đoạn 2 có n cách thực hiện. ⇒ có m.n cách thực hiện công việc A. Probability and statistics
  6. Xác suất thống kê 12 Các công thức giải tích tổ hợp: a) Hoán vị: + Số các hoán vị của n phần tử: Pn = n! = 1.2.3 (n − 1).n Probability and statistics
  7. Xác suất thống kê 13 b) Chỉnh hợp: + Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử: n! Ak = n (n − k)! c) Tổ hợp: + Số các tổ hợp chập k của n phần tử: Ak n! Ck = n = n k! k!(n − k)! Probability and statistics
  8. Xác suất thống kê 14 3. Tích phân và tích phân suy rộng. + Công thức Newton-Leibnitz: Z b b f(x)dx = F (x) = F (b) − F (a) a a + Tích phân suy rộng với miền lấy tích phân vô hạn: Z +∞ Z t f(x)dx = lim f(x)dx a t−→+∞ a Probability and statistics
  9. Xác suất thống kê 15 Phần 1: Lý thuyết xác suất Probability and statistics
  10. Xác suất thống kê 16 Chương I: Biến cố ngẫu nhiên và xác suất Probability and statistics
  11. Xác suất thống kê 17 Đ1 Biến cố ngẫu nhiên • 1.1 Phép thử và biến cố Việc thực hiện một nhóm các điều kiện cơ bản để quan sát một hiện tượng nào đó có xảy ra hay không được gọi là thực hiện một phép thử (experiment), còn hiện tượng có thể xảy ra trong kết quả của phép thử đó được gọi là biến cố (event). Một biến cố chỉ có thể xảy ra khi một phép thử gắn liền với nó được thực hiện. Probability and statistics
  12. Xác suất thống kê 18 • 1.2 Phân loại Trong thực tế có thể xảy ra các loại biến cố sau đây: + Biến cố chắc chắn (kí hiệu: Ω) + Biến cố không thể (kí hiệu: ∅) + Biến cố ngẫu nhiên (Random variable ): biến cố có thể xảy ra hoặc không xảy ra khi thực hiện một phép thử (kí hiệu: A, B, C, ). Probability and statistics
  13. Xác suất thống kê 19 Đ2 Xác suất của biến cố Xác suất (probability) của một biến cố là một con số đặc trưng khả năng khách quan xuất hiện biến cố đó khi thực hiện phép thử. 2.1 Định nghĩa cổ điển về xác suất Xác suất xuất hiện biến cố A : m P (A) = n trong đó: m: số kết quả thuận lợi cho A; n: tổng số các kết quả có thể xảy ra khi thực hiện phép thử . Probability and statistics
  14. Xác suất thống kê 20 * Tính chất (i) 0 ≤ P (A) ≤ 1 (ii) P (Ω) = 1 (iii) P (∅) = 0 Mệnh đề đảo của (ii) và (iii) không đúng! ?? Probability and statistics
  15. Xác suất thống kê 21 Các phương pháp tính xác suất bằng định nghĩa cổ điển 1. Phương pháp suy luận trực tiếp và sử dụng các công thức giải tích tổ hợp 2. Phương pháp dùng sơ đồ Venn: Sơ đồ dạng tập hợp, dạng bảng, sơ đồ hình cây Probability and statistics
  16. Xác suất thống kê 24 Ví dụ 3: Theo thống kê có 80% số sinh viên HVNH dùng thẻ ATM của NHNN, 30% số sinh viên HVNH dùng thẻ ATM của một NH khác, trong đó 25% số sinh viên dùng 2 loại thẻ ATM. Tỷ lệ sinh viên có sử dụng thẻ ATM của HVNH là bao nhiêu? (Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên HVNH thì khả năng sinh viên này có dùng thẻ ATM là bao nhiêu?) Probability and statistics
  17. Xác suất thống kê 25 Ví dụ 4: Trong 1 hộp có 6 quả xanh, 4 quả đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 quả. a) Tính xác suất để lấy được 2 quả xanh, 1 quả đỏ. b) Xác suất để lấy được cả 3 quả xanh trong 2 trường hợp sau có như nhau hay không? TH1: Lấy cùng lúc. TH2: Lấy lần lượt từng quả. Probability and statistics
  18. Xác suất thống kê 26 Ưu điểm và hạn chế của định nghĩa cổ điển về xác suất + Ưu điểm: để tìm xác suất không cần phải tiến hành phép thử. + Hạn chế: - Tổng số kết quả có thể xảy ra trong phép thử (n) phải là hữu hạn. - Trong thực tế có thể không biểu diễn được kết quả của phép thử dưới dạng tập hợp các kết cục duy nhất và đồng khả năng. Probability and statistics
  19. Xác suất thống kê 27 2.2 Định nghĩa thống kê về xác suất * Các định nghĩa a) Tần suất (frequency) Tần suất xuất hiện biến cố trong n phép thử là tỷ số giữa số phép thử trong đó biến cố xuất hiện và tổng số phép thử được thực hiện. Kí hiệu: k f (A) = n n Probability and statistics
  20. Xác suất thống kê 28 Thực nghiệm gieo đồng tiền kim loại, A là biến cố "xuất hiện mặt ngửa": 2048 C. Buffon gieo 4040 lần có 2048 lần xuất hiện A:f(A) = ≈ 0, 50693 4040 6019 K. Pearson gieo 12000 lần có 6019 lần xuất hiện A: f(A) = ≈ 0, 50158 12000 12012 K. Pearson gieo 24000 lần có 12012 lần xuất hiện A: f(A) = ≈ 0, 5005 24000 −→ Khi số lần gieo càng nhiều thì tần suất càng gần 0,5. Probability and statistics
  21. Xác suất thống kê 29 b) Định nghĩa xác suất theo thống kê P (A) = lim fn(A) n→+∞ Probability and statistics
  22. Xác suất thống kê 30 Ưu điểm và hạn chế của định nghĩa thống kê về xác suất + Ưu điểm: không đòi hỏi điều kiện áp dụng và có hữu hạn tổng số kết quả như đối với định nghĩa cổ điển, tính xác suất dựa trên quan sát thực tế nên được ứng dụng rộng rãi. + Hạn chế: - Chỉ áp dụng đối với các hiện tượng ngẫu nhiên mà tần suất của nó có tính ổn định. - Xác suất được tính khi phép thử đã thực hiện do đó trong thực tế có thể không tiến hành số phép thử đủ lớn để tính xác suất của một biến cố. Probability and statistics
  23. Xác suất thống kê 32 2.3 Một số định nghĩa khác về xác suất * Định nghĩa hình học về xác suất độ đo miền biểu diễn các kết quả thuận lợi P (A) = độ đo miền biểu diễn các kết quả có thể Định nghĩa xác suất theo tiên đề (Kolmogorov -1933) Probability and statistics
  24. Xác suất thống kê 33 2.4 Các nguyên lý xác suất Nguyên lý xác suất nhỏ: Nếu một biến cố có xác suất rất nhỏ thì thực tế có thể cho rằng trong một phép thử biến cố đó sẽ không xảy ra. Nguyên lý xác suất lớn Nếu một biến cố có xác suất gần bằng 1 thì thực tế có thể cho rằng biến cố đó sẽ xảy ra trong một phép thử. Probability and statistics
  25. Xác suất thống kê 34 Đ3 Quan hệ giữa các biến cố Định nghĩa 1 Biến cố A gọi là tổng của n biến cố A1,A2, , An nếu A xảy ra khi có ít nhất 1 trong n biến cố đó xảy ra. Kí hiệu: n X A = Ai . i=1 Probability and statistics
  26. Xác suất thống kê 35 Định nghĩa 2 Biến cố A gọi là tích của n biến cố A1,A2, , An nếu A xảy ra khi và chỉ khi cả n biến cố đó đồng thời xảy ra. Kí hiệu: n Y A = Ai i=1 Probability and statistics
  27. Xác suất thống kê 36 Ví dụ: Gieo 2 con xúc xắc một lần: A = "Con xúc xắc thứ nhất xuất hiện 6 chấm" B = "Con xúc xắc thứ hai xuất hiện 6 chấm" D = A+B; D = "Có ít nhất một mặt 6 chấm xuất hiện". C = A.B; C = "Tổng số chấm xuất hiện là 12". Probability and statistics
  28. Xác suất thống kê 37 Định nghĩa 3 Hai biến cố A và B gọi là xung khắc với nhau nếu chúng không thể đồng thời xảy ra trong một phép thử. A.B = ∅ Ngược lại nếu 2 biến cố có thể cùng xảy ra trong 1 phép thử thì được gọi là không xung khắc. Probability and statistics
  29. Xác suất thống kê 38 Định nghĩa 4 Nhóm n biến cố A1,A2, , An được gọi là xung khắc từng đôi nếu hai biến cố bất kì trong nhóm này cũng xung khắc với nhau. Ai.Aj = ∅, ∀i 6= j Probability and statistics
  30. Xác suất thống kê 39 Định nghĩa 5 Biến cố đối lập của biến cố A, kí hiệu A. A + A = Ω A.A = ∅ Probability and statistics
  31. Xác suất thống kê 40 *Các tính chất: A + B = A.B A.B = A + B A = AB + A.B B = AB + A.B A + B = AB + A.B + A.B Probability and statistics
  32. Xác suất thống kê 41 Ví dụ: 3 người cùng bắn 1 con nai. Gọi Ai là biến cố "người thứ i bắn trúng", i= 1,2,3. Viết bằng kí hiệu các biến cố sau: a) Chỉ có người thứ nhất bắn trúng. b) Chỉ có 1 người bắn trúng. c) Có ít nhất 2 người bắn trúng. d) Có người bắn trúng. Probability and statistics
  33. Xác suất thống kê 42 Đ4 Các công thức tính xác suất • 4.1 Công thức cộng xác suất P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB) Probability and statistics
  34. Xác suất thống kê 43 Ví dụ: Ngân hàng Z phát hành 2 loại thẻ ATM là M và N. Giả sử có 25% khách hàng của ngân hàng sử dụng thẻ M, 1/3 khách hàng sử dụng thẻ N và 1/6 khách hàng sử dụng cả 2 loại thẻ này. Tính tỷ lệ khách hàng của ngân hàng Z có sử dụng thẻ ATM. Probability and statistics
  35. Xác suất thống kê 44 Hệ quả 1 Nếu A và B là 2 biến cố xung khắc với nhau thì: P (A + B) = P (A) + P (B). P (A) = 1 − P (A) Nếu các biến cố A1,A2, , An xung khắc từng đôi thì n n X X P ( Ai) = P (Ai) i=1 i=1 Probability and statistics
  36. Xác suất thống kê 45 Hệ quả 2 P (A+B +C) = P (A)+P (B)+P (C)−P (AB)−P (BC)−P (AC)+P (ABC) n X X X X P ( Ai) = P (Ai) − P (AiAj) + P (AiAjAk) − i=1 i i<j i<j<k n−1 +(−1) P (A1A2 An) Probability and statistics
  37. Xác suất thống kê 46 • 4.2 Xác suất có điều kiện và công thức nhân xác suất a. Xác suất có điều kiện: Định nghĩa 1 Xác suất của biến cố A được tính sau khi biến cố B đã xảy ra gọi là xác suất có điều kiện (Conditional probability) của A với điều kiện B, kí hiệu là P (A/B). Tính chất: P (A/B) = 1 − P (A/B) (Không tồn tại kí hiệu biến cố A/B) Probability and statistics
  38. Xác suất thống kê 47 Định nghĩa 2 Hai biến cố A và B gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm thay đổi xác suất xảy ra của biến cố kia và ngựơc lại. Khi đó: P (A/B) = P (A); P (B/A) = P (B) Tính chất độc lập của các biến cố có tính tương hỗ: nếu A và B độc lập với nhau thì A và B, A và B, A và B cũng độc lập với nhau. Probability and statistics
  39. Xác suất thống kê 48 Các biến cố A1,A2, , An gọi là độc lập từng đôi với nhau nếu mỗi cặp 2 trong n biến cố đó độc lập với nhau. Các biến cố A1,A2, , An gọi là độc lập toàn phần với nhau nếu mỗi biến cố độc lập với 1 tổ hợp bất kì của các biến cố còn lại. Probability and statistics
  40. Xác suất thống kê 49 b. Công thức nhân xác suất: P (AB) = P (A).P (B/A) = P (B).P (A/B) Probability and statistics
  41. Xác suất thống kê 50 Hệ quả 1 Nếu P(B)> 0 thì: P (AB) P (A/B) = P (B) Nếu P(A)> 0 thì: P (AB) P (B/A) = P (A) . Probability and statistics
  42. Xác suất thống kê 51 Hệ quả 2 Nếu A và B độc lập thì: P(A.B) = P(A).P(B) Nếu A1,A2, , An là các biến cố độc lập toàn phần: n n Y Y P ( Ai) = P (Ai) i=1 i=1 Xác suất của tổng n biến cố không xung khắc và độc lập toàn phần: n n X Y P ( Ai) = 1 − P (Ai) i=1 i=1 Probability and statistics
  43. Xác suất thống kê 52 Hệ quả 3 P (ABC) = P (A).P (B/A).P (C/AB) P (A1A2 An) = P (A1)P (A2/A1) P (An/A1 An−1) Probability and statistics
  44. Xác suất thống kê 53 Hệ quả 4 n Y X X X P ( Ai) = P (Ai) − P (Ai + Aj) + P (Ai + Aj + Ak) − i=1 i i<j i<j<k n−1 +(−1) P (A1 + A2 + + An) Probability and statistics
  45. Xác suất thống kê 54 Ví dụ 1: Hai công ty A và B cùng kinh doanh 1 loại sản phẩm. Xác suất công ty A thua lỗ là 0,2; xác suất công ty B thua lỗ là 0,4. Trên thực tế, khả năng cả 2 công ty cùng thua lỗ là 10%. Tính các xác suất: a) Chỉ có 1 công ty thua lỗ. b) Có ít nhất 1 công ty không thua lỗ. Probability and statistics
  46. Xác suất thống kê 55 Ví dụ 2: Một nhân viên quảng cáo nghiên cứu sở thích xem TV của những người có gia đình có kết luận: 60% các ông chồng thích xem TV, khi chồng thích xem TV có 40% các bà vợ cũng thích xem TV, khi chồng không thích xem TV có 30% các bà vợ thích xem TV. a) Tính tỷ lệ các bà vợ thích xem TV. b) Tính xác suất nếu vợ thích xem TV thì chồng cũng thích xem TV. Probability and statistics
  47. Xác suất thống kê 56 Ví dụ 3: Cho P (A) = 0, 23; P (A + B) = 0, 52. Tính P (A.B); P (B/A); P (AB/B). Probability and statistics
  48. Xác suất thống kê 57 • 4.3 Công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes a. Nhóm đầy đủ các biến cố: Định nghĩa Các biến cố A1,A2, , An được gọi là một nhóm đầy đủ các biến cố nếu trong kết quả của 1 phép thử sẽ xảy ra một và chỉ một trong các biến cố đó. Các biến cố A1,A2, , An sẽ tạo thành 1 nhóm đầy đủ các biến cố nếu: + A1 + A2 + + An = Ω + Ai.Aj = ∅, (∀i 6= j) Ví dụ: A và A là một nhóm đầy đủ. Probability and statistics
  49. Xác suất thống kê 58 b. Công thức xác suất đầy đủ: Giả sử trong 1 phép thử có biến cố A và một nhóm đầy đủ các biến cố A1,A2, , An xảy ra thì: n X P (A) = P (Ai).P (A/Ai) i=1 Probability and statistics
  50. Xác suất thống kê 59 Ví dụ: Tỷ lệ SV Hà Nội của HVNH là 15% còn lại của các tỉnh khác. Tỷ lệ SV Hà Nội bị cận thị của HVNH là 35% còn của các tỉnh là 25%. a) Tính tỷ lệ SV bị cận thị của HVNH. b) Gặp 1SV bị cận thị, tính XS để SV đó ở HN? c) Gặp SV thứ 2 bị cận, tính XS để SV đó cũng ở HN?. Probability and statistics
  51. Xác suất thống kê 60 c. Công thức Bayes: P (A ).P (A/A ) P (A /A) = i i i P (A) Công thức Bayes cho biết xác suất của các biến cố trong nhóm đầy đủ thay đổi như thế nào khi một biến cố đã xảy ra (đánh giá xác suất hậu nghiệm P (Ai/A)). Probability and statistics
  52. Xác suất thống kê 61 Ví dụ: Một công ty bảo hiểm chia dân cư vùng A làm 3 loại: ít rủi ro (40%), rủi ro trung bình (50%); rủi ro cao (10%). Kinh nghiệm cho thấy tỷ lệ người dân vùng A gặp rủi ro trong năm tương ứng với các loại trên là: 5%; 15%; 30%. a) Tìm tỷ lệ dân cư vùng A gặp rủi ro trong 1 năm. b) Nếu trong năm 2010 một người vùng A không gặp rủi ro thì xác suất người đó thuộc loại ít rủi ro là bao nhiêu ? Probability and statistics
  53. Xác suất thống kê 62 • 4.4 Công thức Bernoulli a. Bài toán Bernoulli: Là bài toán với dãy n phép thử thỏa mãn các điều kiện sau: i) Các phép thử độc lập với nhau. ii) Trong mỗi phép thử chỉ có 2 biến cố A hoặc A xuất hiện. iii) Xác suất xuất hiện A trong mọi phép thử như nhau: P (A) = p Probability and statistics
  54. Xác suất thống kê 63 b. Công thức Bernoulli: Xác suất xuất hiện k lần biến cố A trong n phép thử được cho bởi công thức: k k n−k Pn(k) = Cn.p .(1 − p) Probability and statistics
  55. Xác suất thống kê 64 Ví dụ 1: 1 nhân viên bán hàng mỗi ngày tới 10 cửa hàng để bán hàng, xác suất bán được hàng ở mỗi cửa hàng là 0,4. Tính xác suất để trong ngày: a) nhân viên đó bán được hàng ở 4 cửa hàng. b) nhân viên đó bán được hàng. c) Probability and statistics
  56. Xác suất thống kê 65 Ví dụ 2: Mỗi câu hỏi thi trắc nghiệm cho học sinh có 4 phương án trả lời trong đó chỉ có 1 phương án đúng. a) Bài thi ĐH có 50 câu hỏi, tính xác suất để trả lời ngẫu nhiên được 10 câu đúng. b) Hỏi phải trả lời ít nhất bao nhiêu câu hỏi để với xác suất lớn hơn 0,99 có thể hy vong rằng đúng ít nhất 1 câu? Probability and statistics
  57. Xác suất thống kê 66 • Bài tập chương I Bài tập 1: Có 3 người thợ săn cùng bắn 1 con nai, mỗi người bắn 1 viên đạn. Xác suất bắn trúng của mỗi người lần lượt là: 0,4; 0,5 và 0,7. a) Tính xác suất để con nai trúng 1 viên đạn. b) Tính xác suất để con nai trúng đạn. c) Con nai trúng 1 viên đạn, vậy phải chia thịt nai cho 3 người thợ săn thế nào cho công bằng? Probability and statistics
  58. Xác suất thống kê 67 Bài tập 2 : Tỷ lệ người dân nghiện thuốc lá ở vùng D là 30%. Biết rằng tỷ lệ người bị bệnh phổi trong số người nghiện thuốc là 80%, trong số người không hút thuốc lá là 20%. a) Gặp ngẫu nhiên một người vùng D bị bệnh phổi, tính xác suất người đó nghiện thuốc lá. b) Nếu người đó không bị bệnh phổi thì xác suất người đó nghiện thuốc lá là bao nhiêu? Probability and statistics
  59. Xác suất thống kê 68 Bài tập 3 : Trong một bệnh viện, tỷ lệ bệnh nhân các tỉnh A, B, C tương ứng là 25%, 35%, 40%. Thống kê cho thấy tỷ lệ bệnh nhân là sinh viên của các tỉnh: tỉnh A: 3,5%, tỉnh B: 3%, tỉnh C: 2%. a) Tính tỷ lệ bệnh nhân là sinh viên trong bệnh viện. b) Gặp 1 bệnh nhân là sinh viên, khả năng bệnh nhân này của tỉnh nào là cao nhất? Probability and statistics
  60. Xác suất thống kê 69 Bài tập 4: Một người đi câu có 3 chỗ câu cá ưa thích như nhau, xác suất để câu được cá ở mỗi chỗ lần lượt là: 0,6; 0,7; 0,8. Trong 1 lần câu người đó thả câu 3 lần và được 1 con cá. Tính xác suất để cá được câu ở chỗ thứ nhất. Probability and statistics
  61. Xác suất thống kê 70 Bài tập 5: Theo thống kê của 1 cửa hàng bán dụng cụ thể thao tỷ lệ để một đôi giày thể thao có 0 hoặc 1 hoặc 2 chiếc bị hỏng tương ứng là 90%, 8% và 2%. Một khách hàng chọn ngẫu nhiên 1 đôi giày thể thao rồi kiểm tra ngẫu nhiên 1 chiếc thì thấy nó bị hỏng. Hỏi xác suất chiếc kia cũng bị hỏng là bao nhiêu? Probability and statistics