Bài giảng Địa số, giải tích và ứng dụng - Giá trị riêng và dạng toàn phương - Nguyễn Thị Nhung

Nội dung text: Bài giảng Địa số, giải tích và ứng dụng - Giá trị riêng và dạng toàn phương - Nguyễn Thị Nhung

1. Ghi chó ¤i sè, gi£i t½ch v ùng döng Nguy¹n Thà Nhung Bë mæn To¡n - ¤i håc Th«ng Long Ng y 17 th¡ng 12 n«m 2011 Nguy¹n Thà Nhung (H TH‹NG LONG) ¤i Sè v Gi£i t½ch Ng y 17 th¡ng 12 n«m 2011 1 / 21 Ghi chó Ch÷ìng III Gi¡ trà ri¶ng v d¤ng to n ph÷ìng Nguy¹n Thà Nhung (H TH‹NG LONG) ¤i Sè v Gi£i t½ch Ng y 17 th¡ng 12 n«m 2011 2 / 21 Ghi chó Gi¡ trà ri¶ng cõa ma trªn ành ngh¾a gi¡ trà ri¶ng cõa ma trªn ành ngh¾a gi¡ trà ri¶ng cõa ma trªn ành ngh¾a Cho A l ma trªn vuæng c§p n, x l v²c tì cët n ¢ 1. Sè λ ÷ñc gåi l gi¡ trà ri¶ng cõa A n¸u ph÷ìng tr¼nh Ax  λx, câ nghi»m x  0. V²c tì x  0 tr¶n ÷ñc gåi l v²c tì ri¶ng ùng vîi gi¡ trà ri¶ng λ. ành ngh¾a Cho A l ma trªn vuæng c§p n. a thùc °c tr÷ng cõa A, k½ hi»u l PApλq ÷ñc x¡c ành bði PApλq  detpA ¡ λInq. Nguy¹n Thà Nhung (H TH‹NG LONG) ¤i Sè v Gi£i t½ch Ng y 17 th¡ng 12 n«m 2011 3 / 21
2. Ghi chó Gi¡ trà ri¶ng cõa ma trªn ành ngh¾a gi¡ trà ri¶ng cõa ma trªn a thùc °c tr÷ng cõa ma trªn C¡c gi¡ trà ri¶ng cõa ma trªn A ch½nh l c¡c nghi»m cõa a thùc °c tr÷ng PApλq cõa nâ, tùc l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh sau: a11 ¡ λ a12 a1n a21 a22 ¡ λ . . . a2n detpA ¡ I q  . . . .  0 λ n . . . . . . . . . an1 an2 ann ¡ λ a thùc °c tr÷ng cõa ma trªn vuæng c§p n l mët a thùc bªc n theo λ, tùc l n n¡1 PApλq  anλ an¡1λ a1λ a0, trong â ai , i  1, n l h» sè phö thuëc v o c¡c ph¦n tû cõa ma trªn A. Hìn núa, ta câ thº t½nh ngay ÷ñc mët sè h» sè cõa a thùc, ch¯ng h¤n n an  p¡1q , an¡1  a11 a22 ann, a0  detpAq. Nguy¹n Thà Nhung (H TH‹NG LONG) ¤i Sè v Gi£i t½ch Ng y 17 th¡ng 12 n«m 2011 4 / 21 Ghi chó Gi¡ trà ri¶ng cõa ma trªn ành ngh¾a gi¡ trà ri¶ng cõa ma trªn V½ dö T¼m c¡c gi¡ trà ri¶ng cõa c¡c ma trªn sau: ¢ 1 4 a. A  4 2 ¤ 0 0 3 b. B  ¥0 ¡2 0 3 0 ¡6 Nguy¹n Thà Nhung (H TH‹NG LONG) ¤i Sè v Gi£i t½ch Ng y 17 th¡ng 12 n«m 2011 5 / 21 Ghi chó Gi¡ trà ri¶ng cõa ma trªn Mët sè t½nh ch§t cõa gi¡ trà ri¶ng Chùng minh ành l½ ành l½ Ma trªn A kh£ nghàch khi v ch¿ khi t§t c£ c¡c gi¡ trà ri¶ng cõa A ·u kh¡c 0. ành l½ N¸u A  paij qn l ma trªn tam gi¡c tr¶n, ma trªn tam gi¡c d÷îi hay ma trªn ch²o th¼ gi¡ trà ri¶ng cõa A l c¡c ph¦n tû tr¶n ÷íng ch²o ch½nh cõa A. ành l½ Ma trªn èi xùng c§p n luæn câ n gi¡ trà ri¶ng thüc. Nguy¹n Thà Nhung (H TH‹NG LONG) ¤i Sè v Gi£i t½ch Ng y 17 th¡ng 12 n«m 2011 6 / 21
3. Ghi chó D¤ng to n ph÷ìng ành ngh¾a d¤ng to n ph÷ìng ành ngh¾a d¤ng to n ph÷ìng ành ngh¾a Mët d¤ng to n ph÷ìng n bi¸n x1, x2, , xn, k½ hi»u l qpx1, x2, , xnq l mët biºu thùc ÷ñc x¡c ành nh÷ sau: ¸n ¸n qpx1, x2, , xnq  aij xi xj , (1) i1 j1 trong â, aij  aji , @i  1, , n. Nguy¹n Thà Nhung (H TH‹NG LONG) ¤i Sè v Gi£i t½ch Ng y 17 th¡ng 12 n«m 2011 7 / 21 Ghi chó D¤ng to n ph÷ìng ành ngh¾a d¤ng to n ph÷ìng Kh¡i ni»m v· d¤ng to n ph÷ìng Nhªn x²t: 1. D¤ng to n ph÷ìng 1 cán câ thº vi¸t d÷îi d¤ng t½ch c¡c ma trªn sau: ¤ ¤ x a11 a12 a1n 1 ¨ ¦  ¦x  ¦a21 a22 a2n ¦ 2 qpx1, x2, , xnq  x1 x2 xn ¦ .  ¥ ¥ . a a a n1 n2 nn xn  xt Ax, ¤ x1 ¦  ¦x2 ð ¥y x  ¦ .  l ma trªn cët v A  paij qn l ma trªn èi xùng c§p ¥ . xn n. Nguy¹n Thà Nhung (H TH‹NG LONG) ¤i Sè v Gi£i t½ch Ng y 17 th¡ng 12 n«m 2011 8 / 21 Ghi chó D¤ng to n ph÷ìng ành ngh¾a d¤ng to n ph÷ìng Kh¡i ni»m v· d¤ng to n ph÷ìng Nhªn x²t: 2. Nhªn th§y méi d¤ng to n ph÷ìng °n °n qpx1, x2, , xnq  i1 j1 aij xi xj c§p n x¡c ành cho ta mët ma trªn èi xùng A  paij qn c§p n v cho mët ma trªn èi xùng A  paij qn c§p n ta công x¡c ành ÷ñc mët d¤ng to n ph÷ìng c§p n °n °n t÷ìng ùng qpx1, x2, , xnq  i1 j1 aij xi xj . Do â º cho gån ta t th÷íng cho d¤ng to n ph÷ìng d÷îi d¤ng qpx1, x2, , xnq  x Ax ho°c q  xt Ax. Nguy¹n Thà Nhung (H TH‹NG LONG) ¤i Sè v Gi£i t½ch Ng y 17 th¡ng 12 n«m 2011 9 / 21
4. Ghi chó D¤ng to n ph÷ìng ành ngh¾a d¤ng to n ph÷ìng V½ dö 2 2 a. H¢y biºu di¹n d¤ng to n ph÷ìng qpx1, x2q  2x1 ¡ 6x1x2 9x2 d÷îi d¤ng t½ch ma trªn. ¢ 2 4 b. T¼m d¤ng to n ph÷ìng t÷ìng ùng vîi ma trªn èi xùng sau: 4 6 Nguy¹n Thà Nhung (H TH‹NG LONG) ¤i Sè v Gi£i t½ch Ng y 17 th¡ng 12 n«m 2011 10 / 21 Ghi chó D¤ng to n ph÷ìng T½nh x¡c ành cõa d¤ng to n ph÷ìng ành ngh¾a t½nh x¡c ành cõa d¤ng to n ph÷ìng ành ngh¾a Cho q  xt Ax l mët d¤ng to n ph÷ìng n bi¸n. Khi â i. D¤ng to n ph÷ìng q (ma trªn A) ÷ñc gåi l x¡c ành d÷ìng n¸u xt Ax ¡ 0 vîi måi x  θ. ii. D¤ng to n ph÷ìng q (ma trªn A) ÷ñc gåi l nûa x¡c ành d÷ìng n¸u xt Ax ¥ 0 vîi måi x. iii. D¤ng to n ph÷ìng q (ma trªn A) ÷ñc gåi l x¡c ành ¥m n¸u xt Ax 0 vîi måi bë kh¡c khæng x. iv. D¤ng to n ph÷ìng q (ma trªn A) ÷ñc gåi l nûa x¡c ành ¥m n¸u xt Ax ¤ 0 vîi måi bë x. v. D¤ng to n ph÷ìng q (ma trªn A) ÷ñc gåi l khæng x¡c ành n¸u xt Ax nhªn nhúng gi¡ trà tr¡i d§u nhau. Nhªn x²t: Nguy¹n Thà Nhung (H TH‹NG LONG) ¤i Sè v Gi£i t½ch Ng y 17 th¡ng 12 n«m 2011 11 / 21 Ghi chó D¤ng to n ph÷ìng T½nh x¡c ành cõa d¤ng to n ph÷ìng V½ dö Kiºm tra t½nh x¡c ành cõa c¡c d¤ng to n ph÷ìng (ma trªn) sau: 2 2 a. qpx1, x2q  ¡x 2x1x2 ¡ x . ¢ 1 2 2 ¡5 b. A  ¡5 13 2 2 c. qpx1, x2q  ¡x1 2x1x2 x2 . Nguy¹n Thà Nhung (H TH‹NG LONG) ¤i Sè v Gi£i t½ch Ng y 17 th¡ng 12 n«m 2011 12 / 21
5. Ghi chó D¤ng to n ph÷ìng T½nh x¡c ành cõa d¤ng to n ph÷ìng Líi gi£i cho v½ dö Nguy¹n Thà Nhung (H TH‹NG LONG) ¤i Sè v Gi£i t½ch Ng y 17 th¡ng 12 n«m 2011 13 / 21 Ghi chó D¤ng to n ph÷ìng T½nh x¡c ành cõa d¤ng to n ph÷ìng Mët sè t½nh ch§t cõa ma trªn x¡c ành M»nh · 1. N¸u ma trªn A  paij qn x¡c ành d÷ìng th¼ t§t c£ c¡c ph¦n tû tr¶n ÷íng ch²o ch½nh ·u d÷ìng, aii ¡ 0, @i  1, n. 2. N¸u ma trªn A  paij qn nûa x¡c ành d÷ìng th¼ t§t c£ c¡c ph¦n tû tr¶n ÷íng ch²o ch½nh ·u khæng ¥m, aii ¥ 0, @i  1, n. 3. N¸u ma trªn A  paij qn x¡c ành ¥m th¼ t§t c£ c¡c ph¦n tû tr¶n ÷íng ch²o ch½nh ·u ¥m, aii 0, @i  1, n. 4. N¸u ma trªn A  paij qn nûa x¡c ành ¥m th¼ t§t c£ c¡c ph¦n tû tr¶n ÷íng ch²o ch½nh ·u khæng d÷ìng, aii ¤ 0, @i  1, n. Nhªn x²t: Nguy¹n Thà Nhung (H TH‹NG LONG) ¤i Sè v Gi£i t½ch Ng y 17 th¡ng 12 n«m 2011 14 / 21 Ghi chó D¤ng to n ph÷ìng Kiºm tra t½nh x¡c ành cõa d¤ng to n ph÷ìng Kiºm tra t½nh x¡c ành cõa d¤ng to n ph÷ìng b¬ng d§u hi»u ành thùc ành l½ Cho d¤ng to n ph÷ìng n-bi¸n ¸n ¸n t qpx1, x2, , xnq  aij xi xj  x Ax. i1 j1 °t |Ai |, i  1, n l c¡c ành thùc con ch½nh c§p i cõa A: a11 a12 a1n a11 a12 a21 a22 a2n |A1|  a11, |A2|  , , |An|  . a21 a22 an1 an2 ann Nguy¹n Thà Nhung (H TH‹NG LONG) ¤i Sè v Gi£i t½ch Ng y 17 th¡ng 12 n«m 2011 15 / 21
6. Ghi chó D¤ng to n ph÷ìng Kiºm tra t½nh x¡c ành cõa d¤ng to n ph÷ìng Kiºm tra t½nh x¡c ành cõa d¤ng to n ph÷ìng b¬ng d§u hi»u ành thùc ành l½ Khi â i. i·u ki»n c¦n v õ º qpx1, x2, , xnq (ma trªn A) x¡c ành d÷ìng l c¡c ành thùc con ch½nh cõa A ·u nhªn gi¡ trà d÷ìng: |A1| ¡ 0, |A2| ¡ 0, , |An| ¡ 0. ii. i·u ki»n c¦n v õ º qpx1, x2, , xnq (ma trªn A) x¡c ành ¥m l c¡c ành thùc con ch½nh c§p l´ cõa A nhªn gi¡ trà ¥m v c¡c ành thùc con ch½nh c§p ch®n cõa A nhªn gi¡ trà d÷ìng: n |A1| 0, |A2| ¡ 0, , p¡1q |An| ¡ 0. Nguy¹n Thà Nhung (H TH‹NG LONG) ¤i Sè v Gi£i t½ch Ng y 17 th¡ng 12 n«m 2011 16 / 21 Ghi chó D¤ng to n ph÷ìng Kiºm tra t½nh x¡c ành cõa d¤ng to n ph÷ìng Kiºm tra t½nh x¡c ành cõa d¤ng to n ph÷ìng b¬ng d§u hi»u ành thùc ành l½ iii. Cho ma trªn A. N¸u tçn t¤i sè nguy¶n d÷ìng k sao cho |A2k | ¥m ho°c |Ak ||Ak 2| ¥m th¼ ma trªn A khæng x¡c ành. Nguy¹n Thà Nhung (H TH‹NG LONG) ¤i Sè v Gi£i t½ch Ng y 17 th¡ng 12 n«m 2011 17 / 21 Ghi chó D¤ng to n ph÷ìng Kiºm tra t½nh x¡c ành cõa d¤ng to n ph÷ìng V½ dö Kiºm tra t½nh x¡c ành d÷ìng, ¥m cõa c¡c ma trªn sau: ¤ 2 1 1 a. A  ¥1 2 1 1 1 2 ¤ ¡2 1 1 b. B  ¥ 1 ¡2 1 1 1 ¡3 ¤ 2 5 1 c. C  ¥1 2 1 1 1 2 ¤ 0 0 3 d. A  ¥0 ¡2 0 3 0 ¡6 Nguy¹n Thà Nhung (H TH‹NG LONG) ¤i Sè v Gi£i t½ch Ng y 17 th¡ng 12 n«m 2011 18 / 21
7. Ghi chó D¤ng to n ph÷ìng Kiºm tra t½nh x¡c ành cõa d¤ng to n ph÷ìng Kiºm tra t½nh x¡c ành cõa d¤ng to n ph÷ìng b¬ng gi¡ trà ri¶ng ành l½ Cho d¤ng to n ph÷ìng n bi¸n q  xt Ax câ ma trªn x¡c ành l A. Gi£ sû A câ n l gi¡ trà ri¶ng l λ1, λ2, . . . , λn, khi â i. D¤ng to n ph÷ìng q (ma trªn A) x¡c ành d÷ìng khi v ch¿ khi c¡c gi¡ trà ri¶ng cõa A ·u d÷ìng: λ1 ¡ 0, λ2 ¡ 0, . . . , λn ¡ 0. ii. D¤ng to n ph÷ìng q (ma trªn A) nûa x¡c ành d÷ìng khi v ch¿ khi c¡c gi¡ trà ri¶ng cõa A ·u khæng ¥m: λ1 ¥ 0, λ2 ¥ 0, . . . , λn ¥ 0. Nguy¹n Thà Nhung (H TH‹NG LONG) ¤i Sè v Gi£i t½ch Ng y 17 th¡ng 12 n«m 2011 19 / 21 Ghi chó D¤ng to n ph÷ìng Kiºm tra t½nh x¡c ành cõa d¤ng to n ph÷ìng Kiºm tra t½nh x¡c ành cõa d¤ng to n ph÷ìng b¬ng gi¡ trà ri¶ng ành l½ iii. D¤ng to n ph÷ìng q (ma trªn A) x¡c ành ¥m khi v ch¿ khi c¡c gi¡ trà ri¶ng cõa A ·u ¥m: λ1 0, λ2 0, . . . , λn 0. iv. D¤ng to n ph÷ìng q (ma trªn A) nûa x¡c ành ¥m khi v ch¿ khi c¡c gi¡ trà ri¶ng cõa A ·u khæng d÷ìng: λ1 ¤ 0, λ2 ¤ 0, . . . , λn ¤ 0. iv. D¤ng to n ph÷ìng q (ma trªn A) khæng x¡c ành khi v ch¿ khi A câ c¡c gi¡ trà ri¶ng tr¡i d§u: Di  j  1, n : λ1 ¡ 0, λj 0. Nguy¹n Thà Nhung (H TH‹NG LONG) ¤i Sè v Gi£i t½ch Ng y 17 th¡ng 12 n«m 2011 20 / 21 Ghi chó D¤ng to n ph÷ìng Kiºm tra t½nh x¡c ành cõa d¤ng to n ph÷ìng V½ dö Kiºm tra t½nh x¡c ành d÷ìng, ¥m cõa c¡c ma trªn sau: ¤ 0 0 3 a. A  ¥0 ¡2 0 3 0 ¡6 ¢ ¡2 2 b. B  2 ¡2 ¢ 1 4 c. C  4 2 Nguy¹n Thà Nhung (H TH‹NG LONG) ¤i Sè v Gi£i t½ch Ng y 17 th¡ng 12 n«m 2011 21 / 21