Bài giảng Hàm phức và biến đổi Laplace - Chương 3: Ứng dụng biến đổi Laplace

Nội dung text: Bài giảng Hàm phức và biến đổi Laplace - Chương 3: Ứng dụng biến đổi Laplace

1. Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng Hàm phức và biến đổi Laplace Chương 3: Ứng dụng biến đổi Laplace • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2007) 1
2. Nội dung 0.1 – Giải phương trình và hệ phương trình vi phân. 0.2 – Ứng dụng vào giải tích mạch điện. 2
3. 0.1 Giải phương trình hoặc hệ phương trình vi phân. Để giải phương trình hoặc hệ phương trình vi phân với hàm cần tìm là y(t) cùng với các điều kiện ban đầu: 1. Lấy biến đổi Laplace hai vế của phương trình đã cho thu được phương trình theo Y(s). 2. Giải phương trình tìm Y(s). 3. Lấy biến đổi Laplace ngược tìm y(t). L{ y ( t )}= Y ( s ) L{ y' ( t )}=− sY ( s ) y (0) '' 2 ' L{ y ()} t= s Y () s − sy (0) − y (0) 3
4. 0.1 Giải phương trình hoặc hệ phương trình vi phân. Ví dụ Giải phương trình vi phân y'( t )+= 2 y ( t ) 1 với điều kiện ban đầu y (0)= 4. L{ y' ( t )+= 2 y ( t )} L {1} 1 sY( s )− y (0) + 2 Y ( s ) = s 41s + 17 Ys()= Ys()=+ ss(+ 2) 2ss 2(+ 2) 17 y() t=+ e −2t 22 4
5. 0.1 Giải phương trình hoặc hệ phương trình vi phân. Ví dụ Giải phương trình vi phân y''( t )+= 4 y ( t ) 9 t với điều kiện ban đầu yy(0)== 0;' (0) 7. L{ y'' ( t )+= 4 y ( t )} 9 L { t } 9 s2' Y( s )− sy (0) − y (0) + 4 Y ( s ) = s 2 9 s2 Y( s )− 7 + 4 Y ( s ) = s 2 2 79s + 9/ 4 19/ 4 Ys()= 22 Ys()=+ ss(+ 4) ss22+ 4 9 19 y( t )=+ t sin2 t 48 5
6. 0.1 Giải phương trình hoặc hệ phương trình vi phân. Ví dụ Giải phương trình vi phân y''()3 t− y ' ()2() t + y t = 4 t + 12 e −t với điều kiện ban đầu yy(0)= 6;' (0) = − 1. 4 12 sYssy2'( )− (0) − y (0) − 3 sYs ( ) + 3 y (0) + 2 Ys ( ) = + s 2 s +1 3 2 2 3 2 Ys()= + + + − ss 2 s+1 s − 1 s − 2 y( t )= 3 + 2 t + 2 e−t + 3 e t − 2 e 2 t 6
7. 0.1 Giải phương trình hoặc hệ phương trình vi phân. Ví dụ Giải hệ phương trình vi phân x'( t )− 2 x ( t ) + 3 y ( t ) = 0 y'( t )+ 2 x ( t ) − y ( t ) = 0 với điều kiện ban đầu xy(0)== 8; (0) 3. 7
8. 0.1 Giải phương trình hoặc hệ phương trình vi phân. L{() x' t− 2() x t + 3()} y t = 0 ' L{ y ( t )+ 2 x ( t ) − y ( t )} = 0 sX( s )− x (0) − 2 X ( s ) + 3 Y ( s ) = 0 sY( s )− y (0) + 2 X ( s ) − Y ( s ) = 0 8s − 17 Xs()= 53 2 Xs()=+ ss−−34 ss+−14 3s − 22 52 Ys()= Ys()=− ss2 −−34 ss+−14 −tt x( t )=+ 5 e 3 e 4 −tt4 y( t )=− 5 e 2 e 8
9. 0.1 Giải phương trình hoặc hệ phương trình vi phân. Ví dụ Giải hệ phương trình vi phân x'( t )−= 2 y ( t ) 1 y'( t )+= 2 x ( t ) t với điều kiện ban đầu xy(0)== 0; (0) 0. 9
10. 0.1 Giải phương trình hoặc hệ phương trình vi phân. 1 ' sXsYs()2()−= L{ x ( t )−= 2 y ( t )} L {1} s L y' t+= x t L 1 { ( ) 2 ( )} {1} sYsXs()2()+= s 2 1/ 2 1/ 2 ttsin2 Xs()=+ xt()=+ ss22+ 4 24 −1/ 4 1/ 4s −1c os2t Ys()=+ yt()=+ s s 2 + 4 44 10
11. 0.1 Giải phương trình hoặc hệ phương trình vi phân. Ví dụ Giải hệ phương trình vi phân y'( t )+= x' ( t ) t −t y''( t )−= x ( t ) e với điều kiện ban đầu x(0)= 0; y (0) = 3, y ' (0) = − 2. 11
12. 0.1 Giải phương trình hoặc hệ phương trình vi phân. 1 sY( s )− y (0) + sX ( s ) − x (0) = s 2 1 s2' Y( s )− sy (0) − y (0) − X ( s ) = s +1 1 1 1/ 2 1s − 3 Xs()= + + + ssss32+12 +1 1 1/ 2 1s − 3 Ys()= − − ss+12s 2 +1 1−t 1 3 x( t )= 1 − e − cos t + sin t 2 2 2 t 2 1 1 3 y( t )= 2 + + e−t + cos t - sin t 2 2 2 2 12
13. 0.2 Ứng dụng trong giải tích mạch điện. Quan hệ dòng – áp trong miền t: Trở: VRR().() t= R i t d( i ( t )) Cuộn cảm: V() t= L L L dt d( V ( t )) Tụ: i() t= C C C dt 13
14. 0.2 Ứng dụng trong giải tích mạch điện. Trong trường hợp tổng quát: quan hệ dòng – áp là quan hệ vi – tích phân. Việc giải phương trình sẽ gặp nhiều khó khăn. Cách giải quyết: dùng biến đổi Laplace đưa về biểu thức đại số. 14
15. Mạch với trở : L 15
16. Mạch với cuộn cảm : L V (s) = (LsR ) I(s) −i(0) L 16
17. Mạch với tụ : L 17
18. Thiết lập mối quan hệ giữa dòng-áp trong miền s (qua định luật Kirchoff) 18
19. 0.2 Ứng dụng vào giải tích mạch điện Ví dụ: Tìm tổng trở tương đương Z(s) 2H 1H 1 1 F F 4 2 19
20. 0.2 Ứng dụng vào giải tích mạch điện Giải: Chuyển qua miền s. 2s 1s 4 2 s s 42 ()s + 4 Zs=+2 ss=24s + − s 42 2 ++()s s + 6 ss 20
21. 0.2 Ứng dụng vào giải tích mạch điện Ví dụ: Tìm tổng trở tương đương Z(s) 1 2H 1F 1 F 4H 2 1H 1 21
22. 0.2 Ứng dụng vào giải tích mạch điện Giải: Chuyển từ miền t sang miền s: 1 1 2s s 2 1 4s s s s 1 22  2 4s 1 4ss+ 5 Z() s=12 + s +ss + s + =12 +s + + 22 ss41+ + 41s + ss 22
23. 0.2 Ứng dụng vào giải tích mạch điện. Ví dụ. Tìm tổng dẫn tương đương Y(s) 2H 4H 1 1 F F 10 5 1 23
24. 0.2 Ứng dụng vào giải tích mạch điện. Giải. Chuyển sang miền s 2s 4s 10 5 s s 1 1 1 1 ss Ys()= = + + + Z() s4 s 2 s + 1 10 5 24
25. 0.2 Ứng dụng vào giải tích mạch điện. Ví dụ. Tìm i(t), biết i(0) = 2A, Vc(0) = 4V it() Vtc () 1H 4 6ut 1 () F 13 25
26. 0.2 Ứng dụng vào giải tích mạch điện. Giải. Chuyển sang miền s is() Vsc () s 4 2 13 6 s s 4 s 6 4 2+ 2s 13ss2 ++ 4 13 Vs()= +2 − = Z() s= s +4 + = sss ss V() s22+ s is()== Zs() ss2 ++4 13 1 i( t ) = L−12 { i ( s )} = 2 e- t (cos 3 t - sin 3 t ) 3 26
27. 0.2 Ứng dụng vào giải tích mạch điện. Ví dụ. Tìm V0(s) 3 1F + 2ut() 1H 2 Vt0() 6ut() − 27
28. 0.2 Ứng dụng vào giải tích mạch điện. Giải. Chuyển sang miền s 1 3 i2 s + i1 2 s s 2 Vs0() 6 s − 2 =+ii s 12 V()() s= 2 i s 61 02 +i s = i () + 2 ss12 43()s + =Vs0() ()s +1 2 28
29. 0.2 Ứng dụng vào giải tích mạch điện. Vs0() Ví dụ. Tìm tỉ số với u( t )=1 , t 0 ; c = 8 F . Vsi () 1H 1 + Vi ()() t= u t 1 Vt0() − 29
30. 0.2 Ứng dụng vào giải tích mạch điện. Giải. Chuyển sang miền s 1 1s i1 i2 + i3 1 Vsi () 1 8s Vs0() − i1=+ i 2 i 3 1 Vs() 1 Vi () s=+ i13 i 0 V02() s= i =2 1 8s Vsi () 2() 8ss++ 4 1 i s+= i i 2 28s 3 30
31. 0.2 Ứng dụng vào giải tích mạch điện. Ví dụ. Tìm dòng I(s), biết i(0) = 0. 10 20e−100t u() t 02, H 31
32. 0.2 Ứng dụng vào giải tích mạch điện. Giải. Chuyển sang miền s. 10 Vs() Is()= Zs() s 20 20 5 Vs()= s +100 s +100 s Zs()=+10 5 100 Is()= (ss++50 )( 100 ) I( t )= L−1 { I ( s )} =2 ( e − 50tt − e − 100 ) 32
33. Miền t Miền s (Laplace) 33
34. V V 1 I1 3 I3 I2 V 2 V4 34