›
›

Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Chương 1: Biến cố ngẫu nhiên và xác suất

pdf 140 trang hapham 3740
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Chương 1: Biến cố ngẫu nhiên và xác suất", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_ly_thuyet_xac_suat_va_thong_ke_toan_chuong_1_bien.pdf

Nội dung text: Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Chương 1: Biến cố ngẫu nhiên và xác suất

  1. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế 01-2011 Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  2. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN Phân bổ thời gian: Lý thuyết: 43 Bài tập: 17 Tiêu chuẩn đánh giá sinh viên: Trên lớp: 10% Kiểm tra: 20% Thi cuối học phần: 70% Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  3. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN 1 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG BIẾN NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU LUẬT SỐ LỚN 2 THỐNG KÊ TOÁN Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  4. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN Contents 1 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG BIẾN NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU LUẬT SỐ LỚN 2 THỐNG KÊ TOÁN Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  5. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Chương 1: BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN VỀ XÁC SUẤT ĐỊNH NGHĨA THỐNG KÊ VỀ XÁC SUẤT NGUYÊN LÝ XÁC SUẤT LỚN VÀ NGUYÊN LÝ XÁC SUẤT NHỎ MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ CÁC ĐỊNH LÝ CỘNG VÀ NHÂN XÁC SUẤT CÁC CÔNG THỨC XÁC SUẤT Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  6. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Phép thử Phép thử ngẫu nhiên Biến cố Biến cố chắc chắn Biến cố không thể có Biến cố ngẫu nhiên Xác suất của biến cố Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  7. Ví dụ 1, Tung một đồng xu → xem kết quả là sấp hay ngửa. 2, Gieo một xúc xắc → xem kết quả mặt mấy chấm xuất hiện. 3, Quan sát quá trình sản xuất ra 1 sản phẩm → xem sản phẩm là tốt hay xấu. 4, Thả 1 chiếc cốc thuỷ tinh từ tầng 5 xuống sân bê tông → xem cốc có vỡ hay không. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Phép thử Định nghĩa Là việc tiến hành một nhóm các điều kiện cơ bản nào đó nhằm quan sát một hiện tượng có xảy ra hay không. Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  8. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Phép thử Định nghĩa Là việc tiến hành một nhóm các điều kiện cơ bản nào đó nhằm quan sát một hiện tượng có xảy ra hay không. Ví dụ 1, Tung một đồng xu → xem kết quả là sấp hay ngửa. 2, Gieo một xúc xắc → xem kết quả mặt mấy chấm xuất hiện. 3, Quan sát quá trình sản xuất ra 1 sản phẩm → xem sản phẩm là tốt hay xấu. 4, Thả 1 chiếc cốc thuỷ tinh từ tầng 5 xuống sân bê tông → xem cốc có vỡ hay không. Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  9. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Phép thử ngẫu nhiên Định nghĩa Là phép thử mà khi ta thực hiện nó thì ta không thể đoán biết trước kết quả nào trong số các kết quả có thể có của nó sẽ xảy ra. Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  10. Ví dụ Với các phép thử ở vd trên, ta có các biến cố tương ứng: 1, S: "xuất hiện mặt xấp"; N: "xuất hiện mặt ngửa" 2, Ai : ”xuất hiện mặt i chấm”; C: ”xuất hiện mặt chẵn chấm”; 3, T: "sản phẩm sản xuất ra là chính phẩm" LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Biến cố Định nghĩa Là hiện tượng xảy ra trong kết quả của phép thử. Ký hiệu: A, B, C. . . Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  11. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Biến cố Định nghĩa Là hiện tượng xảy ra trong kết quả của phép thử. Ký hiệu: A, B, C. . . Ví dụ Với các phép thử ở vd trên, ta có các biến cố tương ứng: 1, S: "xuất hiện mặt xấp"; N: "xuất hiện mặt ngửa" 2, Ai : ”xuất hiện mặt i chấm”; C: ”xuất hiện mặt chẵn chấm”; 3, T: "sản phẩm sản xuất ra là chính phẩm" Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  12. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Phân loại biến cố Biến cố chắc chắn: Là biến cố nhất định xảy ra khi thực hiện một phép thử, ký hiệu U. Biến cố không thể có: Là biến cố nhất định không xảy ra khi thực hiện một phép thử, kí hiệu V. Biến cố ngẫu nhiên: Là biến cố có thể xảy ra hay không xảy ra khi thực hiện 1 phép thử. Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  13. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Xác suất của biến cố Định nghĩa Là con số đặc trưng khả năng khách quan xuất hiện biến cố đó khi thực hiện một phép thử. Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  14. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN VỀ XÁC SUẤT Định nghĩa cổ điển về xác suất Các tính chất của xác suất Các phương pháp tính xác suất bằng định nghĩa cổ điển Phương pháp suy luận trực tiếp Phương pháp sơ đồ Venn Phương pháp dùng các công thức giải tích tổ hợp Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  15. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Định nghĩa cổ điển về xác suất Ví dụ Gieo một xúc xắc cân đối và đồng chất. Ta thấy chỉ có 6 trường hợp có thể xảy ra: xuất hiện mặt 1,2,. . . ,6 chấm. Những trường hợp này đều thỏa mãn 2 tính chất: - Duy nhất: chỉ xảy ra 1 và chỉ 1 trong 6 trường hợp. - Đồng khả năng: Cả 6 trường hợp đều có khả năng xảy ra như nhau. Ta nói có 6 kết cục duy nhất đồng khả năng khi gieo 1 xúc xắc. Biến cố C : "Xuất hiện mặt chẵn chấm" xảy ra nếu xảy ra 1 trong 3 trường hợp: mặt 2, 4, 6 chấm xuất hiện. Do đó có 3 kết cục thuận lợi cho biến cố C. Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  16. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Định nghĩa cổ điển về xác suất Định nghĩa Xác suất xuất hiện biến cố A trong một phép thử là tỷ số giữa số kết cục thuận lợi cho A và tổng số kết cục duy nhất đồng khả năng có thể xảy ra khi thực hiện phép thử: m P(A) = n trong đó, m là số kết cục thuận lợi cho biến cố A; n là số kết cục duy nhất đồng khả năng của phép thử. Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  17. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Định nghĩa cổ điển về xác suất Ví dụ Tiếp ví dụ trên: C : "Xuất hiện mặt chẵn chấm", n = 6; m(C) = 3 3 1 =⇒ P(C) = = 6 2 Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  18. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Các tính chất của xác suất Tính chất Xác suất của biến cố ngẫu nhiên là một số dương thuộc khoảng (0; 1): 0 < P(A) < 1. Xác suất của biến cố chắc chắn bằng 1: P(U) = 1 Xác suất của biến cố không thể có bằng 0: P(V) = 0 Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  19. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Các phương pháp tính xác suất bằng định nghĩa cổ điển Phương pháp suy luận trực tiếp: Trong trường hợp số các kết cục là nhỏ và suy đoán đơn giản. Phương pháp sơ đồ Venn: Là việc liệt kê các kết cục của phép thử dưới dạng sơ đồ, gồm 3 loại: Sơ đồ hình cây Sơ đồ dạng bảng Sơ đồ dạng tập hợp Phương pháp dùng các công thức giải tích tổ hợp Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  20. Giải A: Biến cố "Lấy được bi đỏ". n = 5 + 3 = 8 3 =⇒ P(A) = 8 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Phương pháp suy luận trực tiếp Ví dụ Trong hộp có 5 bi trắng, 3 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi. Tìm xác suất để lấy được bi đỏ. Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  21. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Phương pháp suy luận trực tiếp Ví dụ Trong hộp có 5 bi trắng, 3 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi. Tìm xác suất để lấy được bi đỏ. Giải A: Biến cố "Lấy được bi đỏ". n = 5 + 3 = 8 3 =⇒ P(A) = 8 Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  22. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Phương pháp sơ đồ Venn: Sơ đồ hình cây Ví dụ Tung 2 đồng xu cân đối và đồng chất, tìm xác suất để được ít nhất một mắt sấp. Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  23. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Phương pháp sơ đồ Venn: Sơ đồ hình cây Ví dụ Tung 2 đồng xu cân đối và đồng chất, tìm xác suất để được ít nhất một mắt sấp. Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  24. −→ số kết cục duy nhất đồng khả năng được mô tả dưới dạng bảng: 1 2 3 4 5 6 1 11 12 13 14 15 16 2 21 25 26 3 31 34 36 4 41 43 46 5 51 52 56 6 61 62 63 64 65 66 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Phương pháp sơ đồ Venn: Sơ đồ dạng bảng Ví dụ Gieo hai con xúc xắc đều đặn và đồng chất. Tìm xác suất để được một mặt 6 chấm, ít nhất một mặt 6 chấm, tổng số chấm bằng 7. Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  25. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Phương pháp sơ đồ Venn: Sơ đồ dạng bảng Ví dụ Gieo hai con xúc xắc đều đặn và đồng chất. Tìm xác suất để được một mặt 6 chấm, ít nhất một mặt 6 chấm, tổng số chấm bằng 7. −→ số kết cục duy nhất đồng khả năng được mô tả dưới dạng bảng: 1 2 3 4 5 6 1 11 12 13 14 15 16 2 21 25 26 3 31 34 36 4 41 43 46 5 51 52 56 6 61 62 63 64 65 66 Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  26. 10 11 6 1 =⇒ P(A) = ; P(B) = ; P(C) = = 36 36 36 6 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Phương pháp sơ đồ Venn: Sơ đồ dạng bảng Ví dụ A: "Một mặt 6 chấm", B: "Ít nhất một mặt 6 chấm", C: "Tổng số chấm bằng 7" Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  27. 11 6 1 P(B) = ; P(C) = = 36 36 6 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Phương pháp sơ đồ Venn: Sơ đồ dạng bảng Ví dụ A: "Một mặt 6 chấm", B: "Ít nhất một mặt 6 chấm", C: "Tổng số chấm bằng 7" 10 =⇒ P(A) = ; 36 Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  28. 6 1 P(C) = = 36 6 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Phương pháp sơ đồ Venn: Sơ đồ dạng bảng Ví dụ A: "Một mặt 6 chấm", B: "Ít nhất một mặt 6 chấm", C: "Tổng số chấm bằng 7" 10 11 =⇒ P(A) = ; P(B) = ; 36 36 Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  29. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Phương pháp sơ đồ Venn: Sơ đồ dạng bảng Ví dụ A: "Một mặt 6 chấm", B: "Ít nhất một mặt 6 chấm", C: "Tổng số chấm bằng 7" 10 11 6 1 =⇒ P(A) = ; P(B) = ; P(C) = = 36 36 36 6 Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  30. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Phương pháp sơ đồ Venn: Sơ đồ dạng tập hợp Ví dụ Một lớp 30 học sinh thì 15 em học Tiếng Anh, 13 em học tiếng Pháp, 7 em học tiếng Nhật, 8 em học Anh–Pháp, 2 em học Pháp-Nhật, 3 em học Nhật-Anh và 1 em học cả 3 ngoại ngữ kể trên. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh. Tìm xác suất để em đó: a. Học ít nhất 1 ngoại ngữ kể trên b. Chỉ học tiếng Anh c. Học tiếng Anh biết rằng em đó học tiếng Pháp. d. Chỉ học thêm tiếng Anh biết rằng em đó học tiếng Pháp. Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  31. 23 13 8 7 =⇒ P(A) = ; P(B) = ; P(C) = ; P(D) = 30 30 13 13 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Phương pháp sơ đồ Venn: Sơ đồ dạng tập hợp Ví dụ Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  32. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Phương pháp sơ đồ Venn: Sơ đồ dạng tập hợp Ví dụ 23 13 8 7 =⇒ P(A) = ; P(B) = ; P(C) = ; P(D) = 30 30 13 13 Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  33. Số chỉnh hợp chập k từ n phần tử - số cách sắp xếp có thứ tự k phần tử khác nhau từ n phần tử n! Ak = = n (n − 1) (n − k + 1) , k ≤ n n (n − k)! Số chỉnh hợp lặp chập k từ n phần tử - số cách sắp xếp có ¯k k thứ tự k phần tử từ n phần tử: An = n Số hoán vị của n phần tử: Pn = n! Số tổ hợp chập k của n phần tử: số các tập hợp con k phần tử của tập hợp n phần tử n! C k = , k ≤ n n k!(n − k)! LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Phương pháp dùng các công thức giải tích tổ hợp Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  34. n! Ak = = n (n − 1) (n − k + 1) , k ≤ n n (n − k)! Số chỉnh hợp lặp chập k từ n phần tử - số cách sắp xếp có ¯k k thứ tự k phần tử từ n phần tử: An = n Số hoán vị của n phần tử: Pn = n! Số tổ hợp chập k của n phần tử: số các tập hợp con k phần tử của tập hợp n phần tử n! C k = , k ≤ n n k!(n − k)! LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Phương pháp dùng các công thức giải tích tổ hợp Số chỉnh hợp chập k từ n phần tử - số cách sắp xếp có thứ tự k phần tử khác nhau từ n phần tử Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  35. Số chỉnh hợp lặp chập k từ n phần tử - số cách sắp xếp có ¯k k thứ tự k phần tử từ n phần tử: An = n Số hoán vị của n phần tử: Pn = n! Số tổ hợp chập k của n phần tử: số các tập hợp con k phần tử của tập hợp n phần tử n! C k = , k ≤ n n k!(n − k)! LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Phương pháp dùng các công thức giải tích tổ hợp Số chỉnh hợp chập k từ n phần tử - số cách sắp xếp có thứ tự k phần tử khác nhau từ n phần tử n! Ak = = n (n − 1) (n − k + 1) , k ≤ n n (n − k)! Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  36. ¯k k An = n Số hoán vị của n phần tử: Pn = n! Số tổ hợp chập k của n phần tử: số các tập hợp con k phần tử của tập hợp n phần tử n! C k = , k ≤ n n k!(n − k)! LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Phương pháp dùng các công thức giải tích tổ hợp Số chỉnh hợp chập k từ n phần tử - số cách sắp xếp có thứ tự k phần tử khác nhau từ n phần tử n! Ak = = n (n − 1) (n − k + 1) , k ≤ n n (n − k)! Số chỉnh hợp lặp chập k từ n phần tử - số cách sắp xếp có thứ tự k phần tử từ n phần tử: Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  37. Số hoán vị của n phần tử: Pn = n! Số tổ hợp chập k của n phần tử: số các tập hợp con k phần tử của tập hợp n phần tử n! C k = , k ≤ n n k!(n − k)! LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Phương pháp dùng các công thức giải tích tổ hợp Số chỉnh hợp chập k từ n phần tử - số cách sắp xếp có thứ tự k phần tử khác nhau từ n phần tử n! Ak = = n (n − 1) (n − k + 1) , k ≤ n n (n − k)! Số chỉnh hợp lặp chập k từ n phần tử - số cách sắp xếp có ¯k k thứ tự k phần tử từ n phần tử: An = n Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  38. Pn = n! Số tổ hợp chập k của n phần tử: số các tập hợp con k phần tử của tập hợp n phần tử n! C k = , k ≤ n n k!(n − k)! LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Phương pháp dùng các công thức giải tích tổ hợp Số chỉnh hợp chập k từ n phần tử - số cách sắp xếp có thứ tự k phần tử khác nhau từ n phần tử n! Ak = = n (n − 1) (n − k + 1) , k ≤ n n (n − k)! Số chỉnh hợp lặp chập k từ n phần tử - số cách sắp xếp có ¯k k thứ tự k phần tử từ n phần tử: An = n Số hoán vị của n phần tử: Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  39. Số tổ hợp chập k của n phần tử: số các tập hợp con k phần tử của tập hợp n phần tử n! C k = , k ≤ n n k!(n − k)! LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Phương pháp dùng các công thức giải tích tổ hợp Số chỉnh hợp chập k từ n phần tử - số cách sắp xếp có thứ tự k phần tử khác nhau từ n phần tử n! Ak = = n (n − 1) (n − k + 1) , k ≤ n n (n − k)! Số chỉnh hợp lặp chập k từ n phần tử - số cách sắp xếp có ¯k k thứ tự k phần tử từ n phần tử: An = n Số hoán vị của n phần tử: Pn = n! Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  40. n! C k = , k ≤ n n k!(n − k)! LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Phương pháp dùng các công thức giải tích tổ hợp Số chỉnh hợp chập k từ n phần tử - số cách sắp xếp có thứ tự k phần tử khác nhau từ n phần tử n! Ak = = n (n − 1) (n − k + 1) , k ≤ n n (n − k)! Số chỉnh hợp lặp chập k từ n phần tử - số cách sắp xếp có ¯k k thứ tự k phần tử từ n phần tử: An = n Số hoán vị của n phần tử: Pn = n! Số tổ hợp chập k của n phần tử: số các tập hợp con k phần tử của tập hợp n phần tử Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  41. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Phương pháp dùng các công thức giải tích tổ hợp Số chỉnh hợp chập k từ n phần tử - số cách sắp xếp có thứ tự k phần tử khác nhau từ n phần tử n! Ak = = n (n − 1) (n − k + 1) , k ≤ n n (n − k)! Số chỉnh hợp lặp chập k từ n phần tử - số cách sắp xếp có ¯k k thứ tự k phần tử từ n phần tử: An = n Số hoán vị của n phần tử: Pn = n! Số tổ hợp chập k của n phần tử: số các tập hợp con k phần tử của tập hợp n phần tử n! C k = , k ≤ n n k!(n − k)! Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  42. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Phương pháp dùng các công thức giải tích tổ hợp Ví dụ Đăng ký ngẫu nhiên một biển số xe máy gồm 4 chữ số. Tìm xác suất để được biển số a. Gồm 4 chữ số khác nhau. b. Gồm 4 chữ số lẻ. c. Là một số chẵn có bốn chữ số. Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  43. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Phương pháp dùng các công thức giải tích tổ hợp Ví dụ ¯4 4 n = A10 = 10 = 10000 10! 5040 m = A4 = = 5040 ⇒ P (A) = = 0, 504 a 10 6! 10000 625 m = A¯4 = 54 = 625 ⇒ P (B) = = 0, 0625 b 5 10000 4500 m = 9.A¯2 .5 = 4500 ⇒ P (C) = = 0, 45 C 10 10000 Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  44. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Phương pháp dùng các công thức giải tích tổ hợp Ví dụ Có 6 học sinh, trong đó có 2 nữ, ngồi ngẫu nhiên vào một chiếc ghế dài. Tìm xác suất để: a. Hai học sinh nữ ngồi ở 2 đầu ghế. b. Hai học sinh nữ ngồi cạnh nhau. Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  45. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Phương pháp dùng các công thức giải tích tổ hợp Ví dụ n = P6 = 6! = 720 a) A: "Hai học sinh nữ ngồi ở 2 đầu ghế." 48 1 m = P .P = 4! 2! = 48 ⇒ P (A) = = a 4 2 720 15 b) B: "Hai học sinh nữ ngồi cạnh nhau" 240 1 m = P .P = 2! 5! = 240 ⇒ P (B) = = b 2 5 720 3 Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  46. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Phương pháp dùng các công thức giải tích tổ hợp Ví dụ Trong hộp có 4 bi đỏ và 6 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 viên bi. Tìm xác suất để. a. Lấy được toàn bi xanh. b. Lấy được 2 bi xanh, và 1 bi đỏ. Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  47. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Phương pháp dùng các công thức giải tích tổ hợp Ví dụ 3 n = C10 = 120 a) A: "Lấy được toàn bi xanh" 1 m = C 3 = 20 ⇒ P (B) = b 6 6 b) B: "Lấy được 2 bi xanh, và 1 bi đỏ" 1 m = C 2.C 1 = 60 ⇒ P (A) = a 6 4 2 Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  48. Thực hiện một phép thử −→A là biến cố nào đó; Thực hiện phép thử n lần −→ m(A) = số lần xuất hiện biến cố A −→ f (A) = m(A)/n gọi là tần suất xuất hiện biến cố A trong n phép thử LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT ĐỊNH NGHĨA THỐNG KÊ VỀ XÁC SUẤT Ví dụ Tung 1 đồng xu −→ A: “Xuất hiện mặt xấp” Tung đồng xu 10 lần −→ Có 4 lần xuất hiện mặt sấp; f = 4/10 là tần suất xuất hiện mặt sấp trong 10 lần tung. Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  49. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT ĐỊNH NGHĨA THỐNG KÊ VỀ XÁC SUẤT Ví dụ Tung 1 đồng xu −→ A: “Xuất hiện mặt xấp” Tung đồng xu 10 lần −→ Có 4 lần xuất hiện mặt sấp; f = 4/10 là tần suất xuất hiện mặt sấp trong 10 lần tung. Thực hiện một phép thử −→A là biến cố nào đó; Thực hiện phép thử n lần −→ m(A) = số lần xuất hiện biến cố A −→ f (A) = m(A)/n gọi là tần suất xuất hiện biến cố A trong n phép thử Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  50. Nếu tiến hành một số khá lớn các phép thử thì tần suất dao động rất ít xung quanh 1 giá trị p nào đó −→ thì p được gọi là xác suất của biến cố A theo quan điểm thống kê. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT ĐỊNH NGHĨA THỐNG KÊ VỀ XÁC SUẤT Định nghĩa Tần suất xuất hiện biến cố trong n phép thử là tỷ số giữa số phép thử trong đó biến cố xuất hiện và tổng số phép thử được thực hiện. m(A) f (A) = n trong đó f là tần suất xuất hiện biến cố A, m(A) là số lần xuất hiện biến cố A trong n phép thử. Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  51. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT ĐỊNH NGHĨA THỐNG KÊ VỀ XÁC SUẤT Định nghĩa Tần suất xuất hiện biến cố trong n phép thử là tỷ số giữa số phép thử trong đó biến cố xuất hiện và tổng số phép thử được thực hiện. m(A) f (A) = n trong đó f là tần suất xuất hiện biến cố A, m(A) là số lần xuất hiện biến cố A trong n phép thử. Nếu tiến hành một số khá lớn các phép thử thì tần suất dao động rất ít xung quanh 1 giá trị p nào đó −→ thì p được gọi là xác suất của biến cố A theo quan điểm thống kê. Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  52. Trong thực tế, với n đủ lớn, ta có thể lấy P(A) ≈ f (A) Ví dụ Xác suất để một xe máy gặp tai nạn = tỷ số giữa số xe máy gặp tai nạn và số xe máy tham gia giao thông. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT ĐỊNH NGHĨA THỐNG KÊ VỀ XÁC SUẤT Định nghĩa Xác suất xuất hiện biến cố A trong một phép thử là số p không đổi mà tần suất f xuất hiện biến cố đó trong n phép thử sẽ hội tụ về p khi n tăng lên vô hạn. f → p n→∞ Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  53. Ví dụ Xác suất để một xe máy gặp tai nạn = tỷ số giữa số xe máy gặp tai nạn và số xe máy tham gia giao thông. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT ĐỊNH NGHĨA THỐNG KÊ VỀ XÁC SUẤT Định nghĩa Xác suất xuất hiện biến cố A trong một phép thử là số p không đổi mà tần suất f xuất hiện biến cố đó trong n phép thử sẽ hội tụ về p khi n tăng lên vô hạn. f → p n→∞ Trong thực tế, với n đủ lớn, ta có thể lấy P(A) ≈ f (A) Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  54. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT ĐỊNH NGHĨA THỐNG KÊ VỀ XÁC SUẤT Định nghĩa Xác suất xuất hiện biến cố A trong một phép thử là số p không đổi mà tần suất f xuất hiện biến cố đó trong n phép thử sẽ hội tụ về p khi n tăng lên vô hạn. f → p n→∞ Trong thực tế, với n đủ lớn, ta có thể lấy P(A) ≈ f (A) Ví dụ Xác suất để một xe máy gặp tai nạn = tỷ số giữa số xe máy gặp tai nạn và số xe máy tham gia giao thông. Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  55. P(A) ≈ 0, 95 Nguyên lý xác suất nhỏ: Nếu một biến cố có xác suất rất nhỏ (gần bằng 0) thì về mặt thực tế có thể cho rằng nó sẽ không xảy ra trong một phép thử đơn lẻ. P(A) ≈ 0, 05 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT NGUYÊN LÝ XÁC SUẤT LỚN VÀ NGUYÊN LÝ XÁC SUẤT NHỎ Nguyên lý xác suất lớn: Nếu một biến cố có xác suất gần bằng 1 thì về mặt thực tế có thể cho rằng nó sẽ xảy ra trong một phép thử đơn lẻ. Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  56. Nguyên lý xác suất nhỏ: Nếu một biến cố có xác suất rất nhỏ (gần bằng 0) thì về mặt thực tế có thể cho rằng nó sẽ không xảy ra trong một phép thử đơn lẻ. P(A) ≈ 0, 05 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT NGUYÊN LÝ XÁC SUẤT LỚN VÀ NGUYÊN LÝ XÁC SUẤT NHỎ Nguyên lý xác suất lớn: Nếu một biến cố có xác suất gần bằng 1 thì về mặt thực tế có thể cho rằng nó sẽ xảy ra trong một phép thử đơn lẻ. P(A) ≈ 0, 95 Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  57. P(A) ≈ 0, 05 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT NGUYÊN LÝ XÁC SUẤT LỚN VÀ NGUYÊN LÝ XÁC SUẤT NHỎ Nguyên lý xác suất lớn: Nếu một biến cố có xác suất gần bằng 1 thì về mặt thực tế có thể cho rằng nó sẽ xảy ra trong một phép thử đơn lẻ. P(A) ≈ 0, 95 Nguyên lý xác suất nhỏ: Nếu một biến cố có xác suất rất nhỏ (gần bằng 0) thì về mặt thực tế có thể cho rằng nó sẽ không xảy ra trong một phép thử đơn lẻ. Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  58. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT NGUYÊN LÝ XÁC SUẤT LỚN VÀ NGUYÊN LÝ XÁC SUẤT NHỎ Nguyên lý xác suất lớn: Nếu một biến cố có xác suất gần bằng 1 thì về mặt thực tế có thể cho rằng nó sẽ xảy ra trong một phép thử đơn lẻ. P(A) ≈ 0, 95 Nguyên lý xác suất nhỏ: Nếu một biến cố có xác suất rất nhỏ (gần bằng 0) thì về mặt thực tế có thể cho rằng nó sẽ không xảy ra trong một phép thử đơn lẻ. P(A) ≈ 0, 05 Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  59. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ Tổng của các biến cố Biến cố xung khắc Tích của các biến cố Biến cố độc lập, phụ thuộc Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  60. Ví dụ Hai người cùng bắn vào một bia. Gọi A là biến cố "Người thứ nhất bắn trúng bia" và B là biến cố người thứ 2 bắn trúng bia, C là biến cố "Bia trúng đạn". =⇒ C = A + B LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Tổng của các biến cố Định nghĩa Biến cố C được gọi là tổng của hai biến cố A và B, ký hiệu C = A + B, nếu C xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất một trong hai biến cố A và B xảy ra. Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  61. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Tổng của các biến cố Định nghĩa Biến cố C được gọi là tổng của hai biến cố A và B, ký hiệu C = A + B, nếu C xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất một trong hai biến cố A và B xảy ra. Ví dụ Hai người cùng bắn vào một bia. Gọi A là biến cố "Người thứ nhất bắn trúng bia" và B là biến cố người thứ 2 bắn trúng bia, C là biến cố "Bia trúng đạn". =⇒ C = A + B Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  62. Ví dụ Gieo 1 xúc xắc. Ai : Biến cố “mặt i chấm xuất hiện”; Gọi C “Mặt chẵn chấm xuất hiện” =⇒ C = A2 + A4 + A6 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Tổng của các biến cố Định nghĩa Biến cố A được gọi là tổng của n biến cố A1, A2, ··· , An nếu A xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất 1 trong những biến cố đó xảy ra. Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  63. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Tổng của các biến cố Định nghĩa Biến cố A được gọi là tổng của n biến cố A1, A2, ··· , An nếu A xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất 1 trong những biến cố đó xảy ra. Ví dụ Gieo 1 xúc xắc. Ai : Biến cố “mặt i chấm xuất hiện”; Gọi C “Mặt chẵn chấm xuất hiện” =⇒ C = A2 + A4 + A6 Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  64. Ví dụ Trong ví dụ bắn bia, hai biến cố A và B không xung khắc. Trong ví dụ gieo xúc xắc, hai biến cố A3 và A6 là xung khắc. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Biến cố xung khắc Định nghĩa Hai biến cố A và B gọi là xung khắc với nhau nếu chúng không thể đồng thời xảy ra trong một phép thử. Ngược lại, chúng được gọi là không xung khắc. Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  65. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Biến cố xung khắc Định nghĩa Hai biến cố A và B gọi là xung khắc với nhau nếu chúng không thể đồng thời xảy ra trong một phép thử. Ngược lại, chúng được gọi là không xung khắc. Ví dụ Trong ví dụ bắn bia, hai biến cố A và B không xung khắc. Trong ví dụ gieo xúc xắc, hai biến cố A3 và A6 là xung khắc. Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  66. Ví dụ Trong ví dụ gieo xúc xắc, các biến cố A1, A2, , A6 là xung khắc từng đôi. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Biến cố xung khắc Định nghĩa Các biến cố A1, A2, , An được gọi là xung khắc từng đôi nếu bất kỳ 2 biến cố nào trong nhóm cũng xung khắc với nhau. Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  67. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Biến cố xung khắc Định nghĩa Các biến cố A1, A2, , An được gọi là xung khắc từng đôi nếu bất kỳ 2 biến cố nào trong nhóm cũng xung khắc với nhau. Ví dụ Trong ví dụ gieo xúc xắc, các biến cố A1, A2, , A6 là xung khắc từng đôi. Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  68. Ví dụ Trong ví dụ gieo xúc xắc, các biến cố A1, A2, , A6 lập thành nhóm đầy đủ. Định nghĩa Hai biến cố được gọi là đối lập với nhau nếu chúng lập nên một nhóm đầy đủ các biến cố. Ta ký hiệu hai biến cố đối lập là A và A¯ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Nhóm đầy đủ các biến cố Định nghĩa Các biến cố A1, A2, , An được gọi là một nhóm đầy đủ các biến cố, nếu trong kết quả của một phép thử sẽ xảy ra một và chỉ một trong các biến cố đó. Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  69. Định nghĩa Hai biến cố được gọi là đối lập với nhau nếu chúng lập nên một nhóm đầy đủ các biến cố. Ta ký hiệu hai biến cố đối lập là A và A¯ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Nhóm đầy đủ các biến cố Định nghĩa Các biến cố A1, A2, , An được gọi là một nhóm đầy đủ các biến cố, nếu trong kết quả của một phép thử sẽ xảy ra một và chỉ một trong các biến cố đó. Ví dụ Trong ví dụ gieo xúc xắc, các biến cố A1, A2, , A6 lập thành nhóm đầy đủ. Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  70. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Nhóm đầy đủ các biến cố Định nghĩa Các biến cố A1, A2, , An được gọi là một nhóm đầy đủ các biến cố, nếu trong kết quả của một phép thử sẽ xảy ra một và chỉ một trong các biến cố đó. Ví dụ Trong ví dụ gieo xúc xắc, các biến cố A1, A2, , A6 lập thành nhóm đầy đủ. Định nghĩa Hai biến cố được gọi là đối lập với nhau nếu chúng lập nên một nhóm đầy đủ các biến cố. Ta ký hiệu hai biến cố đối lập là A và A¯ Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  71. Ví dụ Một mạch điện gồm 2 bóng đèn mắc song song. A: “Bóng thứ nhất bị cháy”. B: “Bóng thứ hai bị cháy”. C: “Mạch điện bị ngắt“. =⇒ C = AB LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Tích của các biến cố Định nghĩa Biến cố C được gọi là tích của hai biến cố A và B nếu C xảy ra khi và chỉ khi cả A và B cùng đồng thời xảy ra. Kí hiệu: C = A.B = AB Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  72. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Tích của các biến cố Định nghĩa Biến cố C được gọi là tích của hai biến cố A và B nếu C xảy ra khi và chỉ khi cả A và B cùng đồng thời xảy ra. Kí hiệu: C = A.B = AB Ví dụ Một mạch điện gồm 2 bóng đèn mắc song song. A: “Bóng thứ nhất bị cháy”. B: “Bóng thứ hai bị cháy”. C: “Mạch điện bị ngắt“. =⇒ C = AB Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  73. Ví dụ Có n lá thư vào n phong bì có ghi sẵn địa chỉ. Ai : “Lá thư thứ i bỏ đúng địa chỉ” A: “Cả n lá thư bỏ đúng địa chỉ”. n Y A = Ai i=1 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Tích của các biến cố Định nghĩa Biến cố A được gọi là tích của n biến cố A1, A2, , An nếu A xảy ra khi và chỉ khi cả n biến cố trên cùng đồng thời xảy ra. Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  74. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Tích của các biến cố Định nghĩa Biến cố A được gọi là tích của n biến cố A1, A2, , An nếu A xảy ra khi và chỉ khi cả n biến cố trên cùng đồng thời xảy ra. Ví dụ Có n lá thư vào n phong bì có ghi sẵn địa chỉ. Ai : “Lá thư thứ i bỏ đúng địa chỉ” A: “Cả n lá thư bỏ đúng địa chỉ”. n Y A = Ai i=1 Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  75. Khi đó: 2 2 P(A) = ; P(B) = 10 10 Xác suất của B không phụ thuộc vào kết quả lấy ở lần 1. Ngược lại, xác suất của A cũng không phụ thuộc vào kết quả lấy ở lần 2. Ta nói A và B là độc lập. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Biến cố độc lập, phụ thuộc Ví dụ Trong một hộp 10 bút thì có 2 chiếc hỏng. Lấy ngẫu nhiên lần lượt có hoàn lại 2 chiếc bút ra viết. A là biến cố “lần đầu lấy phải bút hỏng”; B là biến cố "lần 2 cũng lấy phải bút hỏng". Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  76. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Biến cố độc lập, phụ thuộc Ví dụ Trong một hộp 10 bút thì có 2 chiếc hỏng. Lấy ngẫu nhiên lần lượt có hoàn lại 2 chiếc bút ra viết. A là biến cố “lần đầu lấy phải bút hỏng”; B là biến cố "lần 2 cũng lấy phải bút hỏng". Khi đó: 2 2 P(A) = ; P(B) = 10 10 Xác suất của B không phụ thuộc vào kết quả lấy ở lần 1. Ngược lại, xác suất của A cũng không phụ thuộc vào kết quả lấy ở lần 2. Ta nói A và B là độc lập. Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  77. 1 P(B) = 9 - A không được thực hiện thì 2 P(B) = 9 Ta nói A và B là phụ thuộc. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Biến cố độc lập, phụ thuộc Ví dụ Nếu ở ví dụ trên, chiếc bút lấy ra ở lần 1 không bỏ trở lại hộp (lấy không hoàn lại) thì nếu: - A được thực hiện thì Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  78. 2 P(B) = 9 Ta nói A và B là phụ thuộc. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Biến cố độc lập, phụ thuộc Ví dụ Nếu ở ví dụ trên, chiếc bút lấy ra ở lần 1 không bỏ trở lại hộp (lấy không hoàn lại) thì nếu: - A được thực hiện thì 1 P(B) = 9 - A không được thực hiện thì Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  79. Ta nói A và B là phụ thuộc. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Biến cố độc lập, phụ thuộc Ví dụ Nếu ở ví dụ trên, chiếc bút lấy ra ở lần 1 không bỏ trở lại hộp (lấy không hoàn lại) thì nếu: - A được thực hiện thì 1 P(B) = 9 - A không được thực hiện thì 2 P(B) = 9 Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  80. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Biến cố độc lập, phụ thuộc Ví dụ Nếu ở ví dụ trên, chiếc bút lấy ra ở lần 1 không bỏ trở lại hộp (lấy không hoàn lại) thì nếu: - A được thực hiện thì 1 P(B) = 9 - A không được thực hiện thì 2 P(B) = 9 Ta nói A và B là phụ thuộc. Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  81. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Biến cố độc lập, phụ thuộc Định nghĩa Hai biến cố A và B gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm thay đổi xác suất xảy ra của biến cố kia và ngược lại. Trong trường hợp ngược lại, ta nói 2 biến cố đó là phụ thuộc. Chú ý: Tính độc lập của các biến cố có tính tương hỗ theo nghĩa nếu A và B độc lập thì: A và B¯; B và A¯; A¯ và B¯ cũng độc lập với nhau. Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  82. Định nghĩa Các biến cố A1, A2, , An gọi là độc lập toàn phần với nhau nếu mỗi biến cố độc lập với một tích bất kỳ của các biến cố còn lại. Chẳng hạn đối với nhóm 3 biến cố A1, A2, A3. Các biến cố này được gọi là: - Độc lập từng đôi nếu: A1 độc lập với A2, A2 độc lập với A3, A3 độc lập với A1 - Độc lập toàn phần nếu: Thỏa mãn 3 điều kiện trên (độc lập từng đôi) và A1 độc lập với A2A3; A2 độc lập với A1A3; A3 độc lập với A1A2. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Biến cố độc lập, phụ thuộc Định nghĩa Các biến cố A1, A2, , An gọi là độc lập từng đôi nếu mỗi cặp bất kỳ hai trong n biến cố đó độc lập với nhau. Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  83. Chẳng hạn đối với nhóm 3 biến cố A1, A2, A3. Các biến cố này được gọi là: - Độc lập từng đôi nếu: A1 độc lập với A2, A2 độc lập với A3, A3 độc lập với A1 - Độc lập toàn phần nếu: Thỏa mãn 3 điều kiện trên (độc lập từng đôi) và A1 độc lập với A2A3; A2 độc lập với A1A3; A3 độc lập với A1A2. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Biến cố độc lập, phụ thuộc Định nghĩa Các biến cố A1, A2, , An gọi là độc lập từng đôi nếu mỗi cặp bất kỳ hai trong n biến cố đó độc lập với nhau. Định nghĩa Các biến cố A1, A2, , An gọi là độc lập toàn phần với nhau nếu mỗi biến cố độc lập với một tích bất kỳ của các biến cố còn lại. Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  84. - Độc lập từng đôi nếu: A1 độc lập với A2, A2 độc lập với A3, A3 độc lập với A1 - Độc lập toàn phần nếu: Thỏa mãn 3 điều kiện trên (độc lập từng đôi) và A1 độc lập với A2A3; A2 độc lập với A1A3; A3 độc lập với A1A2. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Biến cố độc lập, phụ thuộc Định nghĩa Các biến cố A1, A2, , An gọi là độc lập từng đôi nếu mỗi cặp bất kỳ hai trong n biến cố đó độc lập với nhau. Định nghĩa Các biến cố A1, A2, , An gọi là độc lập toàn phần với nhau nếu mỗi biến cố độc lập với một tích bất kỳ của các biến cố còn lại. Chẳng hạn đối với nhóm 3 biến cố A1, A2, A3. Các biến cố này được gọi là: Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  85. - Độc lập toàn phần nếu: Thỏa mãn 3 điều kiện trên (độc lập từng đôi) và A1 độc lập với A2A3; A2 độc lập với A1A3; A3 độc lập với A1A2. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Biến cố độc lập, phụ thuộc Định nghĩa Các biến cố A1, A2, , An gọi là độc lập từng đôi nếu mỗi cặp bất kỳ hai trong n biến cố đó độc lập với nhau. Định nghĩa Các biến cố A1, A2, , An gọi là độc lập toàn phần với nhau nếu mỗi biến cố độc lập với một tích bất kỳ của các biến cố còn lại. Chẳng hạn đối với nhóm 3 biến cố A1, A2, A3. Các biến cố này được gọi là: - Độc lập từng đôi nếu: A1 độc lập với A2, A2 độc lập với A3, A3 độc lập với A1 Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  86. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Biến cố độc lập, phụ thuộc Định nghĩa Các biến cố A1, A2, , An gọi là độc lập từng đôi nếu mỗi cặp bất kỳ hai trong n biến cố đó độc lập với nhau. Định nghĩa Các biến cố A1, A2, , An gọi là độc lập toàn phần với nhau nếu mỗi biến cố độc lập với một tích bất kỳ của các biến cố còn lại. Chẳng hạn đối với nhóm 3 biến cố A1, A2, A3. Các biến cố này được gọi là: - Độc lập từng đôi nếu: A1 độc lập với A2, A2 độc lập với A3, A3 độc lập với A1 - Độc lập toàn phần nếu: Thỏa mãn 3 điều kiện trên (độc lập từng đôi) và A1 độc lập với A2A3; A2 độc lập với A1A3; A3 độc lập với Phạm ThịA HồngA . Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT1 XÁC2 SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  87. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT CÁC ĐỊNH LÝ CỘNG VÀ NHÂN XÁC SUẤT Xác suất có điều kiện Định lý nhân xác suất Định lý cộng xác suất Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  88. Ví dụ Rút lần lượt 2 quân bài từ bộ bài 52 quân. Tìm xác suất để lần thứ 2 rút được 1 quân cơ biết rằng lần thứ nhất rút được 1 quân cơ. Giải Ai : "Lần thứ i rút được quân cơ", i = 1, 2. 12 → P(A /A ) = 2 1 51 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Xác suất có điều kiện Định nghĩa Xác suất biến cố A được tính với điều kiện biến cố B đã xảy ra gọi là xác suất có điều kiện của A và B, ký hiệu P(A/B). Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  89. Giải Ai : "Lần thứ i rút được quân cơ", i = 1, 2. 12 → P(A /A ) = 2 1 51 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Xác suất có điều kiện Định nghĩa Xác suất biến cố A được tính với điều kiện biến cố B đã xảy ra gọi là xác suất có điều kiện của A và B, ký hiệu P(A/B). Ví dụ Rút lần lượt 2 quân bài từ bộ bài 52 quân. Tìm xác suất để lần thứ 2 rút được 1 quân cơ biết rằng lần thứ nhất rút được 1 quân cơ. Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  90. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Xác suất có điều kiện Định nghĩa Xác suất biến cố A được tính với điều kiện biến cố B đã xảy ra gọi là xác suất có điều kiện của A và B, ký hiệu P(A/B). Ví dụ Rút lần lượt 2 quân bài từ bộ bài 52 quân. Tìm xác suất để lần thứ 2 rút được 1 quân cơ biết rằng lần thứ nhất rút được 1 quân cơ. Giải Ai : "Lần thứ i rút được quân cơ", i = 1, 2. 12 → P(A /A ) = 2 1 51 Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  91. Định lý Xác suất tích 2 biến cố A và B bằng tích xác suất của một trong hai biến cố với xác suất có điều kiện của biến cố còn lại: P(AB) = P(A)P(B/A) = P(B)P(A/B) Ví dụ Rút lần lượt 2 quân bài từ bộ bài 52 quân.Tìm xác suất để được 2 quân cơ. Ai : “Lần thứ i lấy được quân cơ”, i = 1,2; A: “Rút được 2 quân cơ”. 13 12 → A = A .A → P(A) = P(A ).P(A /A ) = · = 0, 0588 1 2 1 2 1 52 51 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Định lý nhân xác suất Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  92. Ví dụ Rút lần lượt 2 quân bài từ bộ bài 52 quân.Tìm xác suất để được 2 quân cơ. Ai : “Lần thứ i lấy được quân cơ”, i = 1,2; A: “Rút được 2 quân cơ”. 13 12 → A = A .A → P(A) = P(A ).P(A /A ) = · = 0, 0588 1 2 1 2 1 52 51 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Định lý nhân xác suất Định lý Xác suất tích 2 biến cố A và B bằng tích xác suất của một trong hai biến cố với xác suất có điều kiện của biến cố còn lại: P(AB) = P(A)P(B/A) = P(B)P(A/B) Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  93. Ai : “Lần thứ i lấy được quân cơ”, i = 1,2; A: “Rút được 2 quân cơ”. 13 12 → A = A .A → P(A) = P(A ).P(A /A ) = · = 0, 0588 1 2 1 2 1 52 51 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Định lý nhân xác suất Định lý Xác suất tích 2 biến cố A và B bằng tích xác suất của một trong hai biến cố với xác suất có điều kiện của biến cố còn lại: P(AB) = P(A)P(B/A) = P(B)P(A/B) Ví dụ Rút lần lượt 2 quân bài từ bộ bài 52 quân.Tìm xác suất để được 2 quân cơ. Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  94. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Định lý nhân xác suất Định lý Xác suất tích 2 biến cố A và B bằng tích xác suất của một trong hai biến cố với xác suất có điều kiện của biến cố còn lại: P(AB) = P(A)P(B/A) = P(B)P(A/B) Ví dụ Rút lần lượt 2 quân bài từ bộ bài 52 quân.Tìm xác suất để được 2 quân cơ. Ai : “Lần thứ i lấy được quân cơ”, i = 1,2; A: “Rút được 2 quân cơ”. 13 12 → A = A .A → P(A) = P(A ).P(A /A ) = · = 0, 0588 1 2 1 2 1 52 51 Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  95. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Định lý nhân xác suất Hệ quả Nếu P(B) > 0 thì P (AB) P(A/B) = P (B) nếu P(B) = 0 thì P(A/B) không xác định. Tương tự đối với P(A). Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  96. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Định lý nhân xác suất Hệ quả Nếu P(B) > 0 thì P (AB) P(A/B) = P (B) nếu P(B) = 0 thì P(A/B) không xác định. Tương tự đối với P(A). Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  97. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Định lý nhân xác suất Hệ quả Xác suất của tích n biến cố phụ thuộc bằng tích các xác suất của n biến cố đó, trong đó xác suất của mỗi biến cố tiếp sau đều được tính với điều kiện tất cả các biến cố xét trước đó đã xảy ra. P(A1A2 An) = P(A1)P(A2/A1) P(An/A1A2 An−1) Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  98. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Định lý nhân xác suất Hệ quả Các biến cố A và B độc lập tương đương với một trong ba đẳng thức sau: P(B/A) = P(B) P(A/B) = P(A) P(AB) = P(A)P(B) Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  99. Giải Gọi Ai : “Quả bom của máy bay thứ i trúng mục tiêu”, i = 1,2; A: “Có hai quả bom trúng mục tiêu”. Ta có: A = A1A2 Vì các biến cố A1, A2 là độc lập với nhau, do đó: P(A) = P(A1)P(A2) = 0, 7.0, 8 = 0, 56 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Định lý nhân xác suất Ví dụ Hai máy bay ném bom một mục tiêu, mỗi máy bay ném một quả với xác suất trúng tương ứng là 0,7 và 0,8. Tìm xác suất để có hai quả bom trúng mục tiêu. Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  100. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Định lý nhân xác suất Ví dụ Hai máy bay ném bom một mục tiêu, mỗi máy bay ném một quả với xác suất trúng tương ứng là 0,7 và 0,8. Tìm xác suất để có hai quả bom trúng mục tiêu. Giải Gọi Ai : “Quả bom của máy bay thứ i trúng mục tiêu”, i = 1,2; A: “Có hai quả bom trúng mục tiêu”. Ta có: A = A1A2 Vì các biến cố A1, A2 là độc lập với nhau, do đó: P(A) = P(A1)P(A2) = 0, 7.0, 8 = 0, 56 Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  101. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Định lý nhân xác suất Hệ quả Cần và đủ để các biến cố A1, A2, , An độc lập toàn phần là: n n Y Y P( Ai ) = P(Ai ) i=1 i=1 Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  102. Định lý Xác suất của tổng 2 biến cố bằng tổng xác suất của các biến cố đó trừ đi xác suất của tích các biến cố đó. P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A.B) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Định lý cộng xác suất Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  103. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Định lý cộng xác suất Định lý Xác suất của tổng 2 biến cố bằng tổng xác suất của các biến cố đó trừ đi xác suất của tích các biến cố đó. P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A.B) Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  104. Giải Gọi Ai “Quả bom của máy bay thứ i trúng mục tiêu”; A: “Mục tiêu bị trúng bom”. Ta có: A = A1 + A2 =⇒ P(A1 + A2) = P(A1) + P(A2) − P(A1)P(A2) = 0, 7 + 0, 8 − 0, 7.0, 8 = 0, 94 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Định lý cộng xác suất Ví dụ Hai máy bay ném bom một mục tiêu, mỗi máy bay ném một quả với xác suất trúng tương ứng là 0,7 và 0,8. Tìm xác suất để mục tiêu bị trúng bom. Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  105. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Định lý cộng xác suất Ví dụ Hai máy bay ném bom một mục tiêu, mỗi máy bay ném một quả với xác suất trúng tương ứng là 0,7 và 0,8. Tìm xác suất để mục tiêu bị trúng bom. Giải Gọi Ai “Quả bom của máy bay thứ i trúng mục tiêu”; A: “Mục tiêu bị trúng bom”. Ta có: A = A1 + A2 =⇒ P(A1 + A2) = P(A1) + P(A2) − P(A1)P(A2) = 0, 7 + 0, 8 − 0, 7.0, 8 = 0, 94 Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  106. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Định lý cộng xác suất Hệ quả Xác suất của tổng 2 biến cố xung khắc bằng tổng các xác suất của các biến cố thành phần: P(A + B) = P(A) + P(B) Xác suất của tổng các biến cố xung khắc từng đôi A1, A2, , An bằng tổng các xác suất thành phần. n ! n X X P Ai = P (Ai ) i=1 i=1 Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  107. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Định lý cộng xác suất Hệ quả Xác suất của tổng 2 biến cố xung khắc bằng tổng các xác suất của các biến cố thành phần: P(A + B) = P(A) + P(B) Xác suất của tổng các biến cố xung khắc từng đôi A1, A2, , An bằng tổng các xác suất thành phần. n ! n X X P Ai = P (Ai ) i=1 i=1 Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  108. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Định lý cộng xác suất Định lý Nếu các biến cố A1, A2, , An tạo nên một nhóm đầy đủ các biến cố thì tổng xác suất của chúng bằng 1. Hệ quả P(A) + P(A¯) = 1, A và A¯ là hai biến cố đối lập. Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  109. Giải A : “Có ít nhất một con trai” =⇒ A:¯ “cả ba con đều là gái”. 1 1 1 7 P(A) = = → P(A) = 1 − P(A) = 1 − = 23 8 8 8 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Định lý cộng xác suất cho các biến cố xung khắc Ví dụ Tìm xác suất để trong gia đình ba con có ít nhất một con trai. Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  110. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Định lý cộng xác suất cho các biến cố xung khắc Ví dụ Tìm xác suất để trong gia đình ba con có ít nhất một con trai. Giải A : “Có ít nhất một con trai” =⇒ A:¯ “cả ba con đều là gái”. 1 1 1 7 P(A) = = → P(A) = 1 − P(A) = 1 − = 23 8 8 8 Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  111. Ví dụ Giải lại ví dụ trên. Ta thấy A1 và A2 không xung khắc và độc lập với nhau nên P(A) = P(A1 + A2) = 1 − P(A¯1)P(A¯2) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Định lý cộng xác suất Định lý Xác suất của tổng n biến cố không xung khắc và độc lập toàn phần với nhau được tính bởi: n n X Y P( Ai ) = 1 − P(A¯i ) i=1 i=1 Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  112. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Định lý cộng xác suất Định lý Xác suất của tổng n biến cố không xung khắc và độc lập toàn phần với nhau được tính bởi: n n X Y P( Ai ) = 1 − P(A¯i ) i=1 i=1 Ví dụ Giải lại ví dụ trên. Ta thấy A1 và A2 không xung khắc và độc lập với nhau nên P(A) = P(A1 + A2) = 1 − P(A¯1)P(A¯2) Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  113. Công thức Bernoulli Công thức xác suất đầy đủ Công thức Bayes LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT CÁC CÔNG THỨC XÁC SUẤT Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  114. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT CÁC CÔNG THỨC XÁC SUẤT Công thức Bernoulli Công thức xác suất đầy đủ Công thức Bayes Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  115. Ví dụ Gieo một con xúc xắc hai lần. Tìm xác suất để có một lần xuất hiện mặt sáu chấm. Giải Gọi A: "Lần thứ i xuất hiện mặt sáu chấm", ta có P(A) = 1/6 Biến cố B: "Có một lần xuất hiện mặt sáu chấm" được viết dưới dạng: B = AA¯ + AA.¯ Do đó: P(B) = P(AA¯ + AA¯ ) = P(A)P(A¯) + P(A¯)P(A) 1 5 5 1 1 5 = · + · = 2 · · 6 6 6 6 6 6 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Công thức Bernoulli Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  116. Giải Gọi A: "Lần thứ i xuất hiện mặt sáu chấm", ta có P(A) = 1/6 Biến cố B: "Có một lần xuất hiện mặt sáu chấm" được viết dưới dạng: B = AA¯ + AA.¯ Do đó: P(B) = P(AA¯ + AA¯ ) = P(A)P(A¯) + P(A¯)P(A) 1 5 5 1 1 5 = · + · = 2 · · 6 6 6 6 6 6 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Công thức Bernoulli Ví dụ Gieo một con xúc xắc hai lần. Tìm xác suất để có một lần xuất hiện mặt sáu chấm. Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  117. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Công thức Bernoulli Ví dụ Gieo một con xúc xắc hai lần. Tìm xác suất để có một lần xuất hiện mặt sáu chấm. Giải Gọi A: "Lần thứ i xuất hiện mặt sáu chấm", ta có P(A) = 1/6 Biến cố B: "Có một lần xuất hiện mặt sáu chấm" được viết dưới dạng: B = AA¯ + AA.¯ Do đó: P(B) = P(AA¯ + AA¯ ) = P(A)P(A¯) + P(A¯)P(A) 1 5 5 1 1 5 = · + · = 2 · · 6 6 6 6 6 6 Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  118. Tổng quát: Gieo con xúc xắc n lần, tìm xác suất để có k lần được mặt 6 chấm. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Công thức Bernoulli Ví dụ Mở rộng ví dụ trên: Gieo con xúc xắc 3 lần, tìm xác suất để có 2 lần được mặt 6 chấm. Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  119. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Công thức Bernoulli Ví dụ Mở rộng ví dụ trên: Gieo con xúc xắc 3 lần, tìm xác suất để có 2 lần được mặt 6 chấm. Tổng quát: Gieo con xúc xắc n lần, tìm xác suất để có k lần được mặt 6 chấm. Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  120. Công thức Bernoulli: Xác suất để trong n phép thử độc lập có k lần xuất hiện biến cố A được tính bởi công thức: k k n−k Cn p (1 − p) , 0 ≤ k ≤ n LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Công thức Bernoulli Lược đồ Bernouilli Thực hiện n phép thử độc lập Trong mỗi phép thử, biến cố A có thể xảy ra (hay không xảy ra) với xác suất đều bằng p Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  121. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Công thức Bernoulli Lược đồ Bernouilli Thực hiện n phép thử độc lập Trong mỗi phép thử, biến cố A có thể xảy ra (hay không xảy ra) với xác suất đều bằng p Công thức Bernoulli: Xác suất để trong n phép thử độc lập có k lần xuất hiện biến cố A được tính bởi công thức: k k n−k Cn p (1 − p) , 0 ≤ k ≤ n Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  122. Giải Nếu coi việc trả lời 1 câu hỏi một cách ngẫu nhiên là một phép thử, ta có 10 phép thử độc lập. A: "Học sinh trả lời đúng 1 câu hỏi" −→ P(A) = 0.25. Ta có lược đồ Bernoulli. Vậy xác suất để học sinh trả lời đúng 8 câu trong 10 câu được tính bởi: 8 8 2 C100, 25 0, 75 = 0, 00038 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Công thức Bernoulli Ví dụ Một bài thi gồm 10 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu có 4 đáp án trong đó chỉ có một đáp án đúng. Một học sinh làm bài thi bằng cách trả lời ngẫu nhiên cho mỗi câu hỏi. Tìm xác suất để học sinh đó trả lời được đúng 8 câu. Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  123. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Công thức Bernoulli Ví dụ Một bài thi gồm 10 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu có 4 đáp án trong đó chỉ có một đáp án đúng. Một học sinh làm bài thi bằng cách trả lời ngẫu nhiên cho mỗi câu hỏi. Tìm xác suất để học sinh đó trả lời được đúng 8 câu. Giải Nếu coi việc trả lời 1 câu hỏi một cách ngẫu nhiên là một phép thử, ta có 10 phép thử độc lập. A: "Học sinh trả lời đúng 1 câu hỏi" −→ P(A) = 0.25. Ta có lược đồ Bernoulli. Vậy xác suất để học sinh trả lời đúng 8 câu trong 10 câu được tính bởi: 8 8 2 C100, 25 0, 75 = 0, 00038 Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  124. Ví dụ Một lô hàng có 60 sản phẩm loại I và 40 sản phẩm loại II. Sau 1 năm sử dụng thì khả năng hỏng tương ứng là 1% và 2,5%. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm ra sử dụng. Tìm xác suất để sau 1 năm, sản phẩm đó bị hỏng. Giải A: "Sản phẩm lấy ra sau 1 năm sử dụng thì hỏng". Ta thấy, sản phẩm hỏng có thể là loại 1 hoặc loại 2, tức là biến cố A phụ thuộc vào một trong hai biến cố: H1: “Sản phẩm lấy ra là sản phẩm loại I”; H2: “Sản phẩm lấy ra là sản phẩm loại II”. Ta có: P(H1) = 0, 6;P(H2) = 0, 4;P(A/H1) = 0, 01; P(A/H2) = 0, 025. Tuy nhiên P(A) không tính được trực tiếp. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Công thức xác suất đầy đủ Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  125. Giải A: "Sản phẩm lấy ra sau 1 năm sử dụng thì hỏng". Ta thấy, sản phẩm hỏng có thể là loại 1 hoặc loại 2, tức là biến cố A phụ thuộc vào một trong hai biến cố: H1: “Sản phẩm lấy ra là sản phẩm loại I”; H2: “Sản phẩm lấy ra là sản phẩm loại II”. Ta có: P(H1) = 0, 6;P(H2) = 0, 4;P(A/H1) = 0, 01; P(A/H2) = 0, 025. Tuy nhiên P(A) không tính được trực tiếp. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Công thức xác suất đầy đủ Ví dụ Một lô hàng có 60 sản phẩm loại I và 40 sản phẩm loại II. Sau 1 năm sử dụng thì khả năng hỏng tương ứng là 1% và 2,5%. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm ra sử dụng. Tìm xác suất để sau 1 năm, sản phẩm đó bị hỏng. Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  126. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Công thức xác suất đầy đủ Ví dụ Một lô hàng có 60 sản phẩm loại I và 40 sản phẩm loại II. Sau 1 năm sử dụng thì khả năng hỏng tương ứng là 1% và 2,5%. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm ra sử dụng. Tìm xác suất để sau 1 năm, sản phẩm đó bị hỏng. Giải A: "Sản phẩm lấy ra sau 1 năm sử dụng thì hỏng". Ta thấy, sản phẩm hỏng có thể là loại 1 hoặc loại 2, tức là biến cố A phụ thuộc vào một trong hai biến cố: H1: “Sản phẩm lấy ra là sản phẩm loại I”; H2: “Sản phẩm lấy ra là sản phẩm loại II”. Ta có: P(H1) = 0, 6;P(H2) = 0, 4;P(A/H1) = 0, 01; P(A/H2) = 0, 025. Tuy nhiên P(A) không tính được trực tiếp. Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  127. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Công thức xác suất đầy đủ Ví dụ Do biến cố A luôn gắn liền với hai biến cố H1 và H2 nên: A = AH1 + AH2 P(A) = P(AH1 + AH2) = P(AH1) + P(AH2) = P(H1)P(A/H1) + P(H2)P(A/H2) = 0, 6.0, 01 + 0, 4.0, 025 = 0, 016 Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  128. Ý nghĩa. Công thức xác suất đầy đủ cho phép ta xác định được xác suất để xảy ra biến cố A sau khi đã xem xét "đầy đủ" các giả thiết (hay các điều kiện, nguyên nhân) chi phối khả năng xảy ra biến cố A. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Công thức xác suất đầy đủ Định lý Nếu biến cố A phụ thuộc vào một nhóm đầy đủ các biến cố H1, , Hn thì xác suất của biến cố A được tính bởi n X P (A) = P (Hi ) P (A/Hi ) i=1 Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  129. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Công thức xác suất đầy đủ Định lý Nếu biến cố A phụ thuộc vào một nhóm đầy đủ các biến cố H1, , Hn thì xác suất của biến cố A được tính bởi n X P (A) = P (Hi ) P (A/Hi ) i=1 Ý nghĩa. Công thức xác suất đầy đủ cho phép ta xác định được xác suất để xảy ra biến cố A sau khi đã xem xét "đầy đủ" các giả thiết (hay các điều kiện, nguyên nhân) chi phối khả năng xảy ra biến cố A. Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  130. Giải A: "Lấy được một bi xanh và một bi đỏ"; Hi : "Chọn được hộp thứ i, i = 1, 2. Áp dụng công thức xác suất đầy đủ: P(A) = P(H1)P(A/H1) + P(H2)P(A/H2) 1 1 1 1 C4 .C6 C3 .C7 = 0.5 · 2 + 0.5 · 2 C10 C10 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Công thức xác suất đầy đủ Ví dụ Có hai hộp bi, hộp I gồm 4 bi đỏ và 6 bi xanh; hộp II gồm 3 bi đỏ và 7 bi xanh. Chọn ngẫu nhiên một hộp rồi từ đó lấy ra hai viên bi. Tìm xác suất để được một bi xanh và một bi đỏ. Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  131. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Công thức xác suất đầy đủ Ví dụ Có hai hộp bi, hộp I gồm 4 bi đỏ và 6 bi xanh; hộp II gồm 3 bi đỏ và 7 bi xanh. Chọn ngẫu nhiên một hộp rồi từ đó lấy ra hai viên bi. Tìm xác suất để được một bi xanh và một bi đỏ. Giải A: "Lấy được một bi xanh và một bi đỏ"; Hi : "Chọn được hộp thứ i, i = 1, 2. Áp dụng công thức xác suất đầy đủ: P(A) = P(H1)P(A/H1) + P(H2)P(A/H2) 1 1 1 1 C4 .C6 C3 .C7 = 0.5 · 2 + 0.5 · 2 C10 C10 Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  132. Ví dụ Tiếp ví dụ phần trước: Một lô hàng có 60 sản phẩm loại I và 40 sản phẩm loại II. Sau 1 năm sử dụng thì khả năng hỏng tương ứng là 1% và 2,5%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm sử dụng sau một năm thì hỏng. Tìm xác suất để đó là sản phẩm loại II. −→ Với các kí hiệu đã sử dụng, xác suất cần tính là: P(H2/A) Ta có: P(AH2) P(H2)P(A/H2) P(H2/A) = = P(A) P(H1)P(A/H1) + P(H2)P(A/H2) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Công thức Bayes Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  133. −→ Với các kí hiệu đã sử dụng, xác suất cần tính là: P(H2/A) Ta có: P(AH2) P(H2)P(A/H2) P(H2/A) = = P(A) P(H1)P(A/H1) + P(H2)P(A/H2) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Công thức Bayes Ví dụ Tiếp ví dụ phần trước: Một lô hàng có 60 sản phẩm loại I và 40 sản phẩm loại II. Sau 1 năm sử dụng thì khả năng hỏng tương ứng là 1% và 2,5%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm sử dụng sau một năm thì hỏng. Tìm xác suất để đó là sản phẩm loại II. Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  134. Ta có: P(AH2) P(H2)P(A/H2) P(H2/A) = = P(A) P(H1)P(A/H1) + P(H2)P(A/H2) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Công thức Bayes Ví dụ Tiếp ví dụ phần trước: Một lô hàng có 60 sản phẩm loại I và 40 sản phẩm loại II. Sau 1 năm sử dụng thì khả năng hỏng tương ứng là 1% và 2,5%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm sử dụng sau một năm thì hỏng. Tìm xác suất để đó là sản phẩm loại II. −→ Với các kí hiệu đã sử dụng, xác suất cần tính là: P(H2/A) Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  135. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Công thức Bayes Ví dụ Tiếp ví dụ phần trước: Một lô hàng có 60 sản phẩm loại I và 40 sản phẩm loại II. Sau 1 năm sử dụng thì khả năng hỏng tương ứng là 1% và 2,5%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm sử dụng sau một năm thì hỏng. Tìm xác suất để đó là sản phẩm loại II. −→ Với các kí hiệu đã sử dụng, xác suất cần tính là: P(H2/A) Ta có: P(AH2) P(H2)P(A/H2) P(H2/A) = = P(A) P(H1)P(A/H1) + P(H2)P(A/H2) Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  136. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Công thức Bayes Giả sử biến cố A phụ thuộc vào nhóm đầy đủ các biến cố H1, H2, , Hn. Khi đó với mỗi Hi , i = 1, , n, ta đều có: P (Hi ) P (A/Hi ) P (Hi /A) = Pn , i = 1, n i=1 P (Hi ) P (A/Hi ) Ý nghĩa. Công thức Bayes cho phép ta xác định khả năng biến cố A đã xảy ra rồi là do biến cố Hi gây nên là bao nhiêu. Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  137. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Công thức Bayes Ví dụ Có hai hộp bi, hộp I có 10 bi đỏ và 2 bi xanh, hộp II có 8 bi đỏ và 4 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp I bỏ sang hộp II, rồi từ hộp II lấy ngẫu nhiên ra một viên bi. a. Tính xác suất để viên bi lấy ra từ hộp II là bi đỏ. b. Giả sử viên bi lấy ra từ hộp II là đỏ, tính xác suất để viên bi đó được lấy sang từ hộp I. Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  138. b. Phải sử dụng hệ đầy đủ theo cách 2. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Công thức Bayes Ví dụ a. A: "Viên bi lấy ra từ hộp II là bi đỏ". Có nhiều cách lập hệ đầy đủ: Cách 1: H1: "Viên bi chuyển từ hộp I sang là bi đỏ"; H2: "Viên bi chuyển từ hộp I sang là bi xanh". Ta có: P(H1) = 10/12; P(H2) = 2/12; P(A/H1) = 9/13; P(A/H2) = 8/13 Cách 2: H1: "Viên bi lấy ra từ hộp II là viên bi được lấy sang từ hộp I"; H2: "Viên bi lấy ra từ hộp II là viên bi của hộp II". Ta có: P(H1) = 1/13; P(H2) = 12/13; P(A/H1) = 10/12; P(A/H2) = 8/12 Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  139. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Công thức Bayes Ví dụ a. A: "Viên bi lấy ra từ hộp II là bi đỏ". Có nhiều cách lập hệ đầy đủ: Cách 1: H1: "Viên bi chuyển từ hộp I sang là bi đỏ"; H2: "Viên bi chuyển từ hộp I sang là bi xanh". Ta có: P(H1) = 10/12; P(H2) = 2/12; P(A/H1) = 9/13; P(A/H2) = 8/13 Cách 2: H1: "Viên bi lấy ra từ hộp II là viên bi được lấy sang từ hộp I"; H2: "Viên bi lấy ra từ hộp II là viên bi của hộp II". Ta có: P(H1) = 1/13; P(H2) = 12/13; P(A/H1) = 10/12; P(A/H2) = 8/12 b. Phải sử dụng hệ đầy đủ theo cách 2. Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
  140. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN Contents 1 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG BIẾN NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU LUẬT SỐ LỚN 2 THỐNG KÊ TOÁN Phạm Thị Hồng Thắm hongthampham.isfa@gmail.com Trường Đại học Kinh tế Quốc dân - Khoa Toán Kinh tế LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN