›
›

Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán học - Chương 2: Các công thức xác suất cơ bản

pdf 109 trang hapham 2700
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán học - Chương 2: Các công thức xác suất cơ bản", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_ly_thuyet_xac_suat_va_thong_ke_toan_hoc_chuong_2_c.pdf

Nội dung text: Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán học - Chương 2: Các công thức xác suất cơ bản

  1. Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học PGS.TS. Trần Lộc Hùng Tp. Hồ Chí Minh, 2/ 2014 Ngày 17 tháng 2 năm 2014 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 1 / 47
  2. TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH-MARKETING KHOA CƠ BẢN, BỘ MÔN TOÁN-THỐNG KÊ PGS. TS. TRẦN LỘC HÙNG LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Tp. Hồ Chí Minh, 2/2014 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 2 / 47
  3. Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học PGS.TS. Trần Lộc Hùng Tp. Hồ Chí Minh, 2/ 2014 Ngày 17 tháng 2 năm 2014 2 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 3 / 47
  4. Công thứ đầy đủ (toàn phần) Xác suất tiên nghiệm Xác suất hậu nghiệm Dãy Bernoulli Các biến cố ngẫu nhiên độc lập Công thức Bernoulli Từ khóa Xác suất có điều kiện PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 4 / 47
  5. Xác suất tiên nghiệm Xác suất hậu nghiệm Dãy Bernoulli Các biến cố ngẫu nhiên độc lập Công thức Bernoulli Từ khóa Xác suất có điều kiện Công thứ đầy đủ (toàn phần) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 4 / 47
  6. Xác suất hậu nghiệm Dãy Bernoulli Các biến cố ngẫu nhiên độc lập Công thức Bernoulli Từ khóa Xác suất có điều kiện Công thứ đầy đủ (toàn phần) Xác suất tiên nghiệm PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 4 / 47
  7. Dãy Bernoulli Các biến cố ngẫu nhiên độc lập Công thức Bernoulli Từ khóa Xác suất có điều kiện Công thứ đầy đủ (toàn phần) Xác suất tiên nghiệm Xác suất hậu nghiệm PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 4 / 47
  8. Các biến cố ngẫu nhiên độc lập Công thức Bernoulli Từ khóa Xác suất có điều kiện Công thứ đầy đủ (toàn phần) Xác suất tiên nghiệm Xác suất hậu nghiệm Dãy Bernoulli PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 4 / 47
  9. Công thức Bernoulli Từ khóa Xác suất có điều kiện Công thứ đầy đủ (toàn phần) Xác suất tiên nghiệm Xác suất hậu nghiệm Dãy Bernoulli Các biến cố ngẫu nhiên độc lập PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 4 / 47
  10. Từ khóa Xác suất có điều kiện Công thứ đầy đủ (toàn phần) Xác suất tiên nghiệm Xác suất hậu nghiệm Dãy Bernoulli Các biến cố ngẫu nhiên độc lập Công thức Bernoulli PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 4 / 47
  11. 2 Công thức nhân xác suất 3 Công thức cộng xác suất 4 Công thức xác suất đầy đủ 5 Công thức Bayes 6 Các biến cố độc lập 7 Công thức Bernoulli 8 Bài tập Chương 2. Các công thức xác suất cơ bản 1 Xác suất có điều kiện PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 5 / 47
  12. 3 Công thức cộng xác suất 4 Công thức xác suất đầy đủ 5 Công thức Bayes 6 Các biến cố độc lập 7 Công thức Bernoulli 8 Bài tập Chương 2. Các công thức xác suất cơ bản 1 Xác suất có điều kiện 2 Công thức nhân xác suất PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 5 / 47
  13. 4 Công thức xác suất đầy đủ 5 Công thức Bayes 6 Các biến cố độc lập 7 Công thức Bernoulli 8 Bài tập Chương 2. Các công thức xác suất cơ bản 1 Xác suất có điều kiện 2 Công thức nhân xác suất 3 Công thức cộng xác suất PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 5 / 47
  14. 5 Công thức Bayes 6 Các biến cố độc lập 7 Công thức Bernoulli 8 Bài tập Chương 2. Các công thức xác suất cơ bản 1 Xác suất có điều kiện 2 Công thức nhân xác suất 3 Công thức cộng xác suất 4 Công thức xác suất đầy đủ PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 5 / 47
  15. 6 Các biến cố độc lập 7 Công thức Bernoulli 8 Bài tập Chương 2. Các công thức xác suất cơ bản 1 Xác suất có điều kiện 2 Công thức nhân xác suất 3 Công thức cộng xác suất 4 Công thức xác suất đầy đủ 5 Công thức Bayes PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 5 / 47
  16. 7 Công thức Bernoulli 8 Bài tập Chương 2. Các công thức xác suất cơ bản 1 Xác suất có điều kiện 2 Công thức nhân xác suất 3 Công thức cộng xác suất 4 Công thức xác suất đầy đủ 5 Công thức Bayes 6 Các biến cố độc lập PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 5 / 47
  17. 8 Bài tập Chương 2. Các công thức xác suất cơ bản 1 Xác suất có điều kiện 2 Công thức nhân xác suất 3 Công thức cộng xác suất 4 Công thức xác suất đầy đủ 5 Công thức Bayes 6 Các biến cố độc lập 7 Công thức Bernoulli PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 5 / 47
  18. Chương 2. Các công thức xác suất cơ bản 1 Xác suất có điều kiện 2 Công thức nhân xác suất 3 Công thức cộng xác suất 4 Công thức xác suất đầy đủ 5 Công thức Bayes 6 Các biến cố độc lập 7 Công thức Bernoulli 8 Bài tập PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 5 / 47
  19. 1 3 gọi A là biến cố quả cầu lấy ra thứ nhất là cầu trắng, thì P(A) = 5 . 2 gọi B là biến cố quả cầu lấy ra thứ hai là cầu trắng, thì sự xảy ra của B phụ thuộc vào sự xảy ra của A. 3 2 3 có hai trường hợp P(B | A) = PA(B) = 4 và P(B | A) = PA(B) = 4 . Khi đó, nếu Các xác suất P(B | A) và P(B | A), được gọi là xác suất có điều kiện. Xác suất có điều kiện Ví dụ 1. Trong một hộp kín có 5 quả cầu giống hệt nhau về hình dạng và kích thước, trong số đó có 3 quả cầu trắng và 2 quả cầu đen. Lấy lần lượt ra 2 quả cầu từ hộp đó. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 6 / 47
  20. 1 3 gọi A là biến cố quả cầu lấy ra thứ nhất là cầu trắng, thì P(A) = 5 . 2 gọi B là biến cố quả cầu lấy ra thứ hai là cầu trắng, thì sự xảy ra của B phụ thuộc vào sự xảy ra của A. 3 2 3 có hai trường hợp P(B | A) = PA(B) = 4 và P(B | A) = PA(B) = 4 . Các xác suất P(B | A) và P(B | A), được gọi là xác suất có điều kiện. Xác suất có điều kiện Ví dụ 1. Trong một hộp kín có 5 quả cầu giống hệt nhau về hình dạng và kích thước, trong số đó có 3 quả cầu trắng và 2 quả cầu đen. Lấy lần lượt ra 2 quả cầu từ hộp đó. Khi đó, nếu PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 6 / 47
  21. 2 gọi B là biến cố quả cầu lấy ra thứ hai là cầu trắng, thì sự xảy ra của B phụ thuộc vào sự xảy ra của A. 3 2 3 có hai trường hợp P(B | A) = PA(B) = 4 và P(B | A) = PA(B) = 4 . Các xác suất P(B | A) và P(B | A), được gọi là xác suất có điều kiện. Xác suất có điều kiện Ví dụ 1. Trong một hộp kín có 5 quả cầu giống hệt nhau về hình dạng và kích thước, trong số đó có 3 quả cầu trắng và 2 quả cầu đen. Lấy lần lượt ra 2 quả cầu từ hộp đó. Khi đó, nếu 1 3 gọi A là biến cố quả cầu lấy ra thứ nhất là cầu trắng, thì P(A) = 5 . PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 6 / 47
  22. 3 2 3 có hai trường hợp P(B | A) = PA(B) = 4 và P(B | A) = PA(B) = 4 . Các xác suất P(B | A) và P(B | A), được gọi là xác suất có điều kiện. Xác suất có điều kiện Ví dụ 1. Trong một hộp kín có 5 quả cầu giống hệt nhau về hình dạng và kích thước, trong số đó có 3 quả cầu trắng và 2 quả cầu đen. Lấy lần lượt ra 2 quả cầu từ hộp đó. Khi đó, nếu 1 3 gọi A là biến cố quả cầu lấy ra thứ nhất là cầu trắng, thì P(A) = 5 . 2 gọi B là biến cố quả cầu lấy ra thứ hai là cầu trắng, thì sự xảy ra của B phụ thuộc vào sự xảy ra của A. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 6 / 47
  23. Các xác suất P(B | A) và P(B | A), được gọi là xác suất có điều kiện. Xác suất có điều kiện Ví dụ 1. Trong một hộp kín có 5 quả cầu giống hệt nhau về hình dạng và kích thước, trong số đó có 3 quả cầu trắng và 2 quả cầu đen. Lấy lần lượt ra 2 quả cầu từ hộp đó. Khi đó, nếu 1 3 gọi A là biến cố quả cầu lấy ra thứ nhất là cầu trắng, thì P(A) = 5 . 2 gọi B là biến cố quả cầu lấy ra thứ hai là cầu trắng, thì sự xảy ra của B phụ thuộc vào sự xảy ra của A. 3 2 3 có hai trường hợp P(B | A) = PA(B) = 4 và P(B | A) = PA(B) = 4 . PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 6 / 47
  24. Xác suất có điều kiện Ví dụ 1. Trong một hộp kín có 5 quả cầu giống hệt nhau về hình dạng và kích thước, trong số đó có 3 quả cầu trắng và 2 quả cầu đen. Lấy lần lượt ra 2 quả cầu từ hộp đó. Khi đó, nếu 1 3 gọi A là biến cố quả cầu lấy ra thứ nhất là cầu trắng, thì P(A) = 5 . 2 gọi B là biến cố quả cầu lấy ra thứ hai là cầu trắng, thì sự xảy ra của B phụ thuộc vào sự xảy ra của A. 3 2 3 có hai trường hợp P(B | A) = PA(B) = 4 và P(B | A) = PA(B) = 4 . Các xác suất P(B | A) và P(B | A), được gọi là xác suất có điều kiện. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 6 / 47
  25. P(A) > 0, cho thấy biến cố A đã xảy ra. Xác suất có điều kiện Định nghĩa P(A T B) P(B | A) = P(A) Xác suất để hai biến cố A và B xảy ra đồng thời P(A T B). PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 7 / 47
  26. Xác suất có điều kiện Định nghĩa P(A T B) P(B | A) = P(A) Xác suất để hai biến cố A và B xảy ra đồng thời P(A T B). P(A) > 0, cho thấy biến cố A đã xảy ra. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 7 / 47
  27. Xác suất để cả hai cầu mầu trắng \ 3 2 P(A B) = . = 0.3 5 4 Công thức nhân xác suất Công thức \ P(A B) = P(B | A) × P(A) Có tính đối xứng P(A T B) = P(B T A) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 8 / 47
  28. Công thức nhân xác suất Công thức \ P(A B) = P(B | A) × P(A) Có tính đối xứng P(A T B) = P(B T A) Xác suất để cả hai cầu mầu trắng \ 3 2 P(A B) = . = 0.3 5 4 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 8 / 47
  29. Công thức cộng xác suất Tiên đề cộng tính đếm được của xác suất Nếu \ A1, , An; Ai Aj = ∅ thì n n  [  X   P Aj = P Aj j=1 j=1 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 9 / 47
  30. Công thức cộng xác suất Trường hợp 2 biến cố xung khắc Nếu A1, A2 ∈ B, A1 ∩ A2 = ∅ thì P(A1 ∪ A2) = P(A1) + P(A2) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 10 / 47
  31. Công thức cộng xác suất Trường hợp 2 biến cố bất kỳ Nếu A1, A2 ∈ B thì P(A1 ∪ A2) = P(A1) + P(A2) − P(A1 ∩ A2) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 11 / 47
  32. Các ví dụ Ví dụ 1 Hộp thứ nhất có 2 quả cầu trắng và 1 quả cầu đen. Hộp thứ hai có 1 quả cầu trắng và 1 quả cầu đen. Từ mỗi hộp rút ra (không hoàn lại) 1 quả cầu. Tính xác suất để 2 quả cầu có cùng màu. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 12 / 47
  33. Khi đó, Aj , j = 1, 2 là biến cố quả cầu lấy từ hộp thứ j, j = 1, 2 là đen. Gọi B là biến cố 2 quả cầu lấy ra cùng màu. B = (A1 ∩ A2) ∪ (A1 ∩ A1). Dễ thấy, (A1 ∩ A2) ∩ (A1 ∩ A1) = ∅, nên 1 P(B) = P(A ).P(A ) + P(A ).P(A ) = 1 2 1 2 2 Lời giải Gọi Aj , j = 1, 2 là biến cố quả cầu lấy từ hộp thứ j, j = 1, 2 là trắng. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 13 / 47
  34. Gọi B là biến cố 2 quả cầu lấy ra cùng màu. B = (A1 ∩ A2) ∪ (A1 ∩ A1). Dễ thấy, (A1 ∩ A2) ∩ (A1 ∩ A1) = ∅, nên 1 P(B) = P(A ).P(A ) + P(A ).P(A ) = 1 2 1 2 2 Lời giải Gọi Aj , j = 1, 2 là biến cố quả cầu lấy từ hộp thứ j, j = 1, 2 là trắng. Khi đó, Aj , j = 1, 2 là biến cố quả cầu lấy từ hộp thứ j, j = 1, 2 là đen. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 13 / 47
  35. Dễ thấy, (A1 ∩ A2) ∩ (A1 ∩ A1) = ∅, nên 1 P(B) = P(A ).P(A ) + P(A ).P(A ) = 1 2 1 2 2 Lời giải Gọi Aj , j = 1, 2 là biến cố quả cầu lấy từ hộp thứ j, j = 1, 2 là trắng. Khi đó, Aj , j = 1, 2 là biến cố quả cầu lấy từ hộp thứ j, j = 1, 2 là đen. Gọi B là biến cố 2 quả cầu lấy ra cùng màu. B = (A1 ∩ A2) ∪ (A1 ∩ A1). PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 13 / 47
  36. Lời giải Gọi Aj , j = 1, 2 là biến cố quả cầu lấy từ hộp thứ j, j = 1, 2 là trắng. Khi đó, Aj , j = 1, 2 là biến cố quả cầu lấy từ hộp thứ j, j = 1, 2 là đen. Gọi B là biến cố 2 quả cầu lấy ra cùng màu. B = (A1 ∩ A2) ∪ (A1 ∩ A1). Dễ thấy, (A1 ∩ A2) ∩ (A1 ∩ A1) = ∅, nên 1 P(B) = P(A ).P(A ) + P(A ).P(A ) = 1 2 1 2 2 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 13 / 47
  37. Các ví dụ Ví dụ 2 Trong một lớp 65 sinh viên có 25 sinh viên có thể sử dụng tiếng Anh trong chuyên môn, 18 sinh viên có thể sử dụng tiếng Pháp trong chuyên môn và 6 sinh viên biết sử dụng cả hai ngoại ngữ Anh và Pháp trong chuyên môn. Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên từ lớp đó, tính xác suất chọn được sinh viên có thể sử dụng ít nhất một trong hai ngoại ngữ Anh và Pháp trong chuyên môn PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 14 / 47
  38. Khi đó, E S F là biến cố sinh viên biết ít nhất một trong hai ngoại ngữ Anh và Pháp. Ta có, 25 18 \ 6 P(E) = , P(F ) = , P(E F ) = . 65 65 65 Theo công thức, [ \ 37 P(E F ) = P(E) + P(F ) − P(E F ) = . 65 Lời giải Gọi E là biến cố sinh viên biết sử dụng tiếng Anh, F là biến cố sinh viên biết sử dụng tiếng Pháp. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 15 / 47
  39. Ta có, 25 18 \ 6 P(E) = , P(F ) = , P(E F ) = . 65 65 65 Theo công thức, [ \ 37 P(E F ) = P(E) + P(F ) − P(E F ) = . 65 Lời giải Gọi E là biến cố sinh viên biết sử dụng tiếng Anh, F là biến cố sinh viên biết sử dụng tiếng Pháp. Khi đó, E S F là biến cố sinh viên biết ít nhất một trong hai ngoại ngữ Anh và Pháp. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 15 / 47
  40. Theo công thức, [ \ 37 P(E F ) = P(E) + P(F ) − P(E F ) = . 65 Lời giải Gọi E là biến cố sinh viên biết sử dụng tiếng Anh, F là biến cố sinh viên biết sử dụng tiếng Pháp. Khi đó, E S F là biến cố sinh viên biết ít nhất một trong hai ngoại ngữ Anh và Pháp. Ta có, 25 18 \ 6 P(E) = , P(F ) = , P(E F ) = . 65 65 65 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 15 / 47
  41. Lời giải Gọi E là biến cố sinh viên biết sử dụng tiếng Anh, F là biến cố sinh viên biết sử dụng tiếng Pháp. Khi đó, E S F là biến cố sinh viên biết ít nhất một trong hai ngoại ngữ Anh và Pháp. Ta có, 25 18 \ 6 P(E) = , P(F ) = , P(E F ) = . 65 65 65 Theo công thức, [ \ 37 P(E F ) = P(E) + P(F ) − P(E F ) = . 65 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 15 / 47
  42. Nhóm đầy đủ còn được gọi là một phân hoạch của không gian Ω. Công thức xác suất đầy đủ Nhóm đầy đủ các biến cố Nhóm các biến cố A1, , An được gọi là đầy đủ, nếu 1 Xung khắc đôi một: Ai ∩ Aj = ∅, i 6= j, i, j = 1, 2, , n 2 Đầy đủ: A1 ∪ ∪ An = Ω Ví dụ 1. Nhóm đầy đủ đơn giản nhất A và A. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 16 / 47
  43. Công thức xác suất đầy đủ Nhóm đầy đủ các biến cố Nhóm các biến cố A1, , An được gọi là đầy đủ, nếu 1 Xung khắc đôi một: Ai ∩ Aj = ∅, i 6= j, i, j = 1, 2, , n 2 Đầy đủ: A1 ∪ ∪ An = Ω Ví dụ 1. Nhóm đầy đủ đơn giản nhất A và A. Nhóm đầy đủ còn được gọi là một phân hoạch của không gian Ω. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 16 / 47
  44. Xác suất P(Aj ) > 0, j = 1, 2, n, được gọi là xác suất tiên nghiệm. Công thức xác suất đầy đủ còn được gọi là công thức xác suất toàn phần Công thức xác suất đầy đủ Công thức Nếu nhóm các biến cố A1, , An là đầy đủ, B là biến cố xẩy ra đồng thời với chỉ một trong các Aj , j = 1, 2, n. Khi đó, n X P(B) = P(Aj ).P(B | Aj ). j=1 B và các Aj được sinh ra trong cùng một phép thử. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 17 / 47
  45. Công thức xác suất đầy đủ còn được gọi là công thức xác suất toàn phần Công thức xác suất đầy đủ Công thức Nếu nhóm các biến cố A1, , An là đầy đủ, B là biến cố xẩy ra đồng thời với chỉ một trong các Aj , j = 1, 2, n. Khi đó, n X P(B) = P(Aj ).P(B | Aj ). j=1 B và các Aj được sinh ra trong cùng một phép thử. Xác suất P(Aj ) > 0, j = 1, 2, n, được gọi là xác suất tiên nghiệm. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 17 / 47
  46. Công thức xác suất đầy đủ Công thức Nếu nhóm các biến cố A1, , An là đầy đủ, B là biến cố xẩy ra đồng thời với chỉ một trong các Aj , j = 1, 2, n. Khi đó, n X P(B) = P(Aj ).P(B | Aj ). j=1 B và các Aj được sinh ra trong cùng một phép thử. Xác suất P(Aj ) > 0, j = 1, 2, n, được gọi là xác suất tiên nghiệm. Công thức xác suất đầy đủ còn được gọi là công thức xác suất toàn phần PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 17 / 47
  47. Các ví dụ Ví dụ 1 Hộp thứ nhất có 2 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh. Hộp thứ hai có 1 viên bi đỏ và 2 viên bi xanh. Xác suất lựa chọn các hộp lần lượt là 1/3 và 2/3. Chọn ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy ra một viên bi. Tính xác suất lấy được viên bi đỏ. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 18 / 47
  48. Dễ thấy, A1 và A2 tạo thành một nhóm đầy đủ các biến cố, và P(A1) = 1/3, P(A2) = 2/3. Gọi B là biến cố chọn được viên bi đỏ. Ta có, P(B | A1) = 2/5, P(B | A2) = 1/3 Theo công thức, P(B) = P(A1).P(B | A1) + P(A2).P(B | A2) = 16/45. Lời giải Gọi Aj , j = 1, 2 là các biến cố chọn hộp thứ nhất và thứ hai. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 19 / 47
  49. Gọi B là biến cố chọn được viên bi đỏ. Ta có, P(B | A1) = 2/5, P(B | A2) = 1/3 Theo công thức, P(B) = P(A1).P(B | A1) + P(A2).P(B | A2) = 16/45. Lời giải Gọi Aj , j = 1, 2 là các biến cố chọn hộp thứ nhất và thứ hai. Dễ thấy, A1 và A2 tạo thành một nhóm đầy đủ các biến cố, và P(A1) = 1/3, P(A2) = 2/3. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 19 / 47
  50. Theo công thức, P(B) = P(A1).P(B | A1) + P(A2).P(B | A2) = 16/45. Lời giải Gọi Aj , j = 1, 2 là các biến cố chọn hộp thứ nhất và thứ hai. Dễ thấy, A1 và A2 tạo thành một nhóm đầy đủ các biến cố, và P(A1) = 1/3, P(A2) = 2/3. Gọi B là biến cố chọn được viên bi đỏ. Ta có, P(B | A1) = 2/5, P(B | A2) = 1/3 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 19 / 47
  51. Lời giải Gọi Aj , j = 1, 2 là các biến cố chọn hộp thứ nhất và thứ hai. Dễ thấy, A1 và A2 tạo thành một nhóm đầy đủ các biến cố, và P(A1) = 1/3, P(A2) = 2/3. Gọi B là biến cố chọn được viên bi đỏ. Ta có, P(B | A1) = 2/5, P(B | A2) = 1/3 Theo công thức, P(B) = P(A1).P(B | A1) + P(A2).P(B | A2) = 16/45. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 19 / 47
  52. Các ví dụ Ví dụ 2 Hộp thứ nhất có 2 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh. Hộp thứ hai có 1 viên bi đỏ và 2 viên bi xanh. Từ hộp thứ nhất lấy ra một viên bi bỏ sang hộp thứ hai. Sau đó, từ hộp thứ hai lấy ra một viên bi. Tính xác suất lấy được viên bi đỏ. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 20 / 47
  53. Dễ thấy, A và A tạo thành một nhóm đầy đủ các biến cố, và P(A) = 2/5, P(A) = 3/5. Gọi B là biến cố chọn được viên bi đỏ từ hộp thứ hai. Ta có, P(B | A) = 2/4, P(B | A) = 1/4 Theo công thức, P(B) = P(A).P(B | A) + P(A).P(B | A) = 7/20. Lời giải Gọi A là biến cố viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất là bi đỏ. Khi đó, A là biến cố viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất là trắng. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 21 / 47
  54. Gọi B là biến cố chọn được viên bi đỏ từ hộp thứ hai. Ta có, P(B | A) = 2/4, P(B | A) = 1/4 Theo công thức, P(B) = P(A).P(B | A) + P(A).P(B | A) = 7/20. Lời giải Gọi A là biến cố viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất là bi đỏ. Khi đó, A là biến cố viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất là trắng. Dễ thấy, A và A tạo thành một nhóm đầy đủ các biến cố, và P(A) = 2/5, P(A) = 3/5. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 21 / 47
  55. Theo công thức, P(B) = P(A).P(B | A) + P(A).P(B | A) = 7/20. Lời giải Gọi A là biến cố viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất là bi đỏ. Khi đó, A là biến cố viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất là trắng. Dễ thấy, A và A tạo thành một nhóm đầy đủ các biến cố, và P(A) = 2/5, P(A) = 3/5. Gọi B là biến cố chọn được viên bi đỏ từ hộp thứ hai. Ta có, P(B | A) = 2/4, P(B | A) = 1/4 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 21 / 47
  56. Lời giải Gọi A là biến cố viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất là bi đỏ. Khi đó, A là biến cố viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất là trắng. Dễ thấy, A và A tạo thành một nhóm đầy đủ các biến cố, và P(A) = 2/5, P(A) = 3/5. Gọi B là biến cố chọn được viên bi đỏ từ hộp thứ hai. Ta có, P(B | A) = 2/4, P(B | A) = 1/4 Theo công thức, P(B) = P(A).P(B | A) + P(A).P(B | A) = 7/20. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 21 / 47
  57. Xác suất P(Aj | B) > 0, j = 1, 2, n, được gọi là xác suất hậu nghiệm. Công thức xác suất Bayes Công thức Nếu nhóm các biến cố A1, , An là đầy đủ, B là biến cố xẩy ra đồng thời với chỉ một trong các Aj , j = 1, 2, n. Khi đó, P(Aj ).P(B | Aj ) P(Aj | B) = Pn . j=1 P(Aj ).P(B | Aj ) B và các Aj được sinh ra trong cùng một phép thử, thỏa mãn công thức xác suất đầy đủ. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 22 / 47
  58. Công thức xác suất Bayes Công thức Nếu nhóm các biến cố A1, , An là đầy đủ, B là biến cố xẩy ra đồng thời với chỉ một trong các Aj , j = 1, 2, n. Khi đó, P(Aj ).P(B | Aj ) P(Aj | B) = Pn . j=1 P(Aj ).P(B | Aj ) B và các Aj được sinh ra trong cùng một phép thử, thỏa mãn công thức xác suất đầy đủ. Xác suất P(Aj | B) > 0, j = 1, 2, n, được gọi là xác suất hậu nghiệm. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 22 / 47
  59. Các ví dụ Ví dụ 3 Hộp thứ nhất có 2 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh. Hộp thứ hai có 1 viên bi đỏ và 2 viên bi xanh. Xác suất lựa chọn các hộp lần lượt là 1/3 và 2/3. Chọn ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy ra một viên bi đỏ. Tính xác suất viên bi đỏ đó được lấy từ hộp thứ hai. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 23 / 47
  60. Dễ thấy, A1 và A2 tạo thành một nhóm đầy đủ các biến cố, và P(A1) = 1/3, P(A2) = 2/3. Gọi B là biến cố chọn được viên bi đỏ. Ta có, P(B | A1) = 2/5, P(B | A2) = 1/3 Theo công thức xác suất đầy đủ, P(B) = P(A1).P(B | A1) + P(A2).P(B | A2) = 16/45. Khi đó, theo công thức Bayes P(A2 | B) = 5/8 Lời giải Gọi Aj , j = 1, 2 là các biến cố chọn hộp thứ nhất và thứ hai. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 24 / 47
  61. Gọi B là biến cố chọn được viên bi đỏ. Ta có, P(B | A1) = 2/5, P(B | A2) = 1/3 Theo công thức xác suất đầy đủ, P(B) = P(A1).P(B | A1) + P(A2).P(B | A2) = 16/45. Khi đó, theo công thức Bayes P(A2 | B) = 5/8 Lời giải Gọi Aj , j = 1, 2 là các biến cố chọn hộp thứ nhất và thứ hai. Dễ thấy, A1 và A2 tạo thành một nhóm đầy đủ các biến cố, và P(A1) = 1/3, P(A2) = 2/3. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 24 / 47
  62. Theo công thức xác suất đầy đủ, P(B) = P(A1).P(B | A1) + P(A2).P(B | A2) = 16/45. Khi đó, theo công thức Bayes P(A2 | B) = 5/8 Lời giải Gọi Aj , j = 1, 2 là các biến cố chọn hộp thứ nhất và thứ hai. Dễ thấy, A1 và A2 tạo thành một nhóm đầy đủ các biến cố, và P(A1) = 1/3, P(A2) = 2/3. Gọi B là biến cố chọn được viên bi đỏ. Ta có, P(B | A1) = 2/5, P(B | A2) = 1/3 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 24 / 47
  63. Khi đó, theo công thức Bayes P(A2 | B) = 5/8 Lời giải Gọi Aj , j = 1, 2 là các biến cố chọn hộp thứ nhất và thứ hai. Dễ thấy, A1 và A2 tạo thành một nhóm đầy đủ các biến cố, và P(A1) = 1/3, P(A2) = 2/3. Gọi B là biến cố chọn được viên bi đỏ. Ta có, P(B | A1) = 2/5, P(B | A2) = 1/3 Theo công thức xác suất đầy đủ, P(B) = P(A1).P(B | A1) + P(A2).P(B | A2) = 16/45. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 24 / 47
  64. Lời giải Gọi Aj , j = 1, 2 là các biến cố chọn hộp thứ nhất và thứ hai. Dễ thấy, A1 và A2 tạo thành một nhóm đầy đủ các biến cố, và P(A1) = 1/3, P(A2) = 2/3. Gọi B là biến cố chọn được viên bi đỏ. Ta có, P(B | A1) = 2/5, P(B | A2) = 1/3 Theo công thức xác suất đầy đủ, P(B) = P(A1).P(B | A1) + P(A2).P(B | A2) = 16/45. Khi đó, theo công thức Bayes P(A2 | B) = 5/8 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 24 / 47
  65. Các biến cố độc lập Định nghĩa 1 Hai biến cố A và B được gọi là độc lập, nếu \ P(A B) = P(A) × P(B) Định nghĩa tương đương Hai biến cố A và B được gọi là độc lập, nếu P(A | B) = P(A) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 25 / 47
  66. Gọi B là biến cố con xúc sắc xuất hiện mặt lục. P(B) = 1/6. Khi đó, P(A ∩ B) = 1/12 = P(A).P(B) A và B là hai biến cố độc lập Các biến cố độc lập Ví dụ 1 Gieo đồng thời một đồng xu và một con xúc sắc cân đối đồng chất. Hai biến cố "đồng xu sấp" và "mặt lục xuất hiện" của con xúc sắc là độc lập. Gọi A là biến cố đồng xu xuất hiện mặt sấp. P(A) = 1/2 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 26 / 47
  67. Khi đó, P(A ∩ B) = 1/12 = P(A).P(B) A và B là hai biến cố độc lập Các biến cố độc lập Ví dụ 1 Gieo đồng thời một đồng xu và một con xúc sắc cân đối đồng chất. Hai biến cố "đồng xu sấp" và "mặt lục xuất hiện" của con xúc sắc là độc lập. Gọi A là biến cố đồng xu xuất hiện mặt sấp. P(A) = 1/2 Gọi B là biến cố con xúc sắc xuất hiện mặt lục. P(B) = 1/6. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 26 / 47
  68. A và B là hai biến cố độc lập Các biến cố độc lập Ví dụ 1 Gieo đồng thời một đồng xu và một con xúc sắc cân đối đồng chất. Hai biến cố "đồng xu sấp" và "mặt lục xuất hiện" của con xúc sắc là độc lập. Gọi A là biến cố đồng xu xuất hiện mặt sấp. P(A) = 1/2 Gọi B là biến cố con xúc sắc xuất hiện mặt lục. P(B) = 1/6. Khi đó, P(A ∩ B) = 1/12 = P(A).P(B) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 26 / 47
  69. Các biến cố độc lập Ví dụ 1 Gieo đồng thời một đồng xu và một con xúc sắc cân đối đồng chất. Hai biến cố "đồng xu sấp" và "mặt lục xuất hiện" của con xúc sắc là độc lập. Gọi A là biến cố đồng xu xuất hiện mặt sấp. P(A) = 1/2 Gọi B là biến cố con xúc sắc xuất hiện mặt lục. P(B) = 1/6. Khi đó, P(A ∩ B) = 1/12 = P(A).P(B) A và B là hai biến cố độc lập PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 26 / 47
  70. Các biến cố độc lập Định nghĩa 2 Các biến cố A1, A2, được gọi là độc lập đôi một, nếu \ P(Ai Aj ) = P(Ai ).P(Aj ), i 6= j; i, j = 1, 2, Định nghĩa 3 Các biến cố A1, A2, được gọi là độc lập toàn bộ (gọi tắt: độc lập), nếu n n \ Y P( Aj ) = P(Aj ) j j PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 27 / 47
  71. Hơn nữa, P(D ∩ V ) = P(V ∩ X ) = (X ∩ D) = 1/4 Khi đó, các biến cố D, X, V là độc lập đôi một. Nhưng không phải độc lập toàn bộ vì P(D ∩ X ∩ V ) = 1/4 6= P(D).P(X ).P(V ) = 1/8 Các biến cố độc lập Ví dụ 2 (phản ví dụ Bernstein) Gieo một khối tứ diện đều có mặt thứ nhất sơn màu đỏ (D), mặt thứ hai sơn màu xanh (X), mặt thứ ba sơn màu vàng (V), mặt thứ tư sơn cả ba màu đỏ, xanh, vàng. Ta có P(D) = P(X ) = P(V ) = 2/4 = 1/2 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 28 / 47
  72. Khi đó, các biến cố D, X, V là độc lập đôi một. Nhưng không phải độc lập toàn bộ vì P(D ∩ X ∩ V ) = 1/4 6= P(D).P(X ).P(V ) = 1/8 Các biến cố độc lập Ví dụ 2 (phản ví dụ Bernstein) Gieo một khối tứ diện đều có mặt thứ nhất sơn màu đỏ (D), mặt thứ hai sơn màu xanh (X), mặt thứ ba sơn màu vàng (V), mặt thứ tư sơn cả ba màu đỏ, xanh, vàng. Ta có P(D) = P(X ) = P(V ) = 2/4 = 1/2 Hơn nữa, P(D ∩ V ) = P(V ∩ X ) = (X ∩ D) = 1/4 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 28 / 47
  73. Nhưng không phải độc lập toàn bộ vì P(D ∩ X ∩ V ) = 1/4 6= P(D).P(X ).P(V ) = 1/8 Các biến cố độc lập Ví dụ 2 (phản ví dụ Bernstein) Gieo một khối tứ diện đều có mặt thứ nhất sơn màu đỏ (D), mặt thứ hai sơn màu xanh (X), mặt thứ ba sơn màu vàng (V), mặt thứ tư sơn cả ba màu đỏ, xanh, vàng. Ta có P(D) = P(X ) = P(V ) = 2/4 = 1/2 Hơn nữa, P(D ∩ V ) = P(V ∩ X ) = (X ∩ D) = 1/4 Khi đó, các biến cố D, X, V là độc lập đôi một. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 28 / 47
  74. Các biến cố độc lập Ví dụ 2 (phản ví dụ Bernstein) Gieo một khối tứ diện đều có mặt thứ nhất sơn màu đỏ (D), mặt thứ hai sơn màu xanh (X), mặt thứ ba sơn màu vàng (V), mặt thứ tư sơn cả ba màu đỏ, xanh, vàng. Ta có P(D) = P(X ) = P(V ) = 2/4 = 1/2 Hơn nữa, P(D ∩ V ) = P(V ∩ X ) = (X ∩ D) = 1/4 Khi đó, các biến cố D, X, V là độc lập đôi một. Nhưng không phải độc lập toàn bộ vì P(D ∩ X ∩ V ) = 1/4 6= P(D).P(X ).P(V ) = 1/8 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 28 / 47
  75. 1 A và B độc lập 2 A và B độc lập 3 A và B độc lập 4 A và B độc lập 2 Nếu các A1, , An độc lập toàn bộ, thì chúng độc lập đôi một. 3 Độc lập đôi một không suy ra độc lập toàn bộ (xem ví dụ 2). Các tính chất 1 Các mệnh đề sau là tương đương PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 29 / 47
  76. 2 A và B độc lập 3 A và B độc lập 4 A và B độc lập 2 Nếu các A1, , An độc lập toàn bộ, thì chúng độc lập đôi một. 3 Độc lập đôi một không suy ra độc lập toàn bộ (xem ví dụ 2). Các tính chất 1 Các mệnh đề sau là tương đương 1 A và B độc lập PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 29 / 47
  77. 3 A và B độc lập 4 A và B độc lập 2 Nếu các A1, , An độc lập toàn bộ, thì chúng độc lập đôi một. 3 Độc lập đôi một không suy ra độc lập toàn bộ (xem ví dụ 2). Các tính chất 1 Các mệnh đề sau là tương đương 1 A và B độc lập 2 A và B độc lập PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 29 / 47
  78. 4 A và B độc lập 2 Nếu các A1, , An độc lập toàn bộ, thì chúng độc lập đôi một. 3 Độc lập đôi một không suy ra độc lập toàn bộ (xem ví dụ 2). Các tính chất 1 Các mệnh đề sau là tương đương 1 A và B độc lập 2 A và B độc lập 3 A và B độc lập PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 29 / 47
  79. 2 Nếu các A1, , An độc lập toàn bộ, thì chúng độc lập đôi một. 3 Độc lập đôi một không suy ra độc lập toàn bộ (xem ví dụ 2). Các tính chất 1 Các mệnh đề sau là tương đương 1 A và B độc lập 2 A và B độc lập 3 A và B độc lập 4 A và B độc lập PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 29 / 47
  80. 3 Độc lập đôi một không suy ra độc lập toàn bộ (xem ví dụ 2). Các tính chất 1 Các mệnh đề sau là tương đương 1 A và B độc lập 2 A và B độc lập 3 A và B độc lập 4 A và B độc lập 2 Nếu các A1, , An độc lập toàn bộ, thì chúng độc lập đôi một. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 29 / 47
  81. Các tính chất 1 Các mệnh đề sau là tương đương 1 A và B độc lập 2 A và B độc lập 3 A và B độc lập 4 A và B độc lập 2 Nếu các A1, , An độc lập toàn bộ, thì chúng độc lập đôi một. 3 Độc lập đôi một không suy ra độc lập toàn bộ (xem ví dụ 2). PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 29 / 47
  82. 2 n phép thử lặp (được thực hiện trong những điều kiện như nhau) 3 trong mỗi phép thử chỉ xuất hiện một trong hai biến cố đối lập A và A, với xác suất p = P(A), q = 1 − p = P(A). Dãy phép thử Bernoulli Dãy n phép thử ngẫu nhiên được gọi là dãy Bernoulli, nếu 1 n phép thử độc lập (các biến cố sinh ra từ chúng là độc lập) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 30 / 47
  83. 3 trong mỗi phép thử chỉ xuất hiện một trong hai biến cố đối lập A và A, với xác suất p = P(A), q = 1 − p = P(A). Dãy phép thử Bernoulli Dãy n phép thử ngẫu nhiên được gọi là dãy Bernoulli, nếu 1 n phép thử độc lập (các biến cố sinh ra từ chúng là độc lập) 2 n phép thử lặp (được thực hiện trong những điều kiện như nhau) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 30 / 47
  84. Dãy phép thử Bernoulli Dãy n phép thử ngẫu nhiên được gọi là dãy Bernoulli, nếu 1 n phép thử độc lập (các biến cố sinh ra từ chúng là độc lập) 2 n phép thử lặp (được thực hiện trong những điều kiện như nhau) 3 trong mỗi phép thử chỉ xuất hiện một trong hai biến cố đối lập A và A, với xác suất p = P(A), q = 1 − p = P(A). PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 30 / 47
  85. Ví dụ 2. Gieo 1200 đồng xu khác nhau không phải là một dãy 1200 phép thử Bernoulli. Ví dụ về dãy phép thử Bernoulli Ví dụ 1. Gieo một đồng xu 1200 lần. A là biến cố xuất hiện "Sấp" với p = P(A) = 1/2. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 31 / 47
  86. Ví dụ về dãy phép thử Bernoulli Ví dụ 1. Gieo một đồng xu 1200 lần. A là biến cố xuất hiện "Sấp" với p = P(A) = 1/2. Ví dụ 2. Gieo 1200 đồng xu khác nhau không phải là một dãy 1200 phép thử Bernoulli. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 31 / 47
  87. Ví dụ 2. Gieo một con xúc sắc cân đối đồng chất 600 lần. Tính xác suất để mặt "lục" xuất hiện đúng 100 lần. Công thức Bernoulli Bài toán Bernoulli Tiến hành n phép thử Bernoulli, với xác suất "thành công" (xuất hiện biến cố A) là p, p ∈ (0, 1). Tính xác suất có đúng k phép thử thành công, 0 ≤ k ≤ n. Ví dụ 1. Xác suất một chai bia bị vỡ khi vận chuyển từ nơi sản xuất tới nơi tiêu thụ là 0.001 Tính xác suất để khi vận chuyển 15.000 chai bia có đúng 5 chai bị vỡ. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 32 / 47
  88. Công thức Bernoulli Bài toán Bernoulli Tiến hành n phép thử Bernoulli, với xác suất "thành công" (xuất hiện biến cố A) là p, p ∈ (0, 1). Tính xác suất có đúng k phép thử thành công, 0 ≤ k ≤ n. Ví dụ 1. Xác suất một chai bia bị vỡ khi vận chuyển từ nơi sản xuất tới nơi tiêu thụ là 0.001 Tính xác suất để khi vận chuyển 15.000 chai bia có đúng 5 chai bị vỡ. Ví dụ 2. Gieo một con xúc sắc cân đối đồng chất 600 lần. Tính xác suất để mặt "lục" xuất hiện đúng 100 lần. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 32 / 47
  89. 2.9 Công thức Bernoulli Công thức Bernoulli, 1713 k k n−k Pn(k, p) = Cn p (1 − p) , n ≥ 1, 0 ≤ k ≤ n, p ∈ (0, 1) và Công thức Bernoulli mở rộng P (k ≤ k ≤ k , p) = Pk2 C k pk (1 − p)n−k , n ≥ 1, 0 ≤ k ≤ k ≤ k ≤ n 1 2 k=k1 n 1 2 n, p ∈ (0, 1) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 33 / 47
  90. Có thể tính bằng công thức xấp xỉ Poisson (xem chương 4 Các định lý giới hạn của Lý thuyết xác suất) Các ví dụ Ví dụ 1 Xác suất một chai bia bị vỡ khi vận chuyển từ nơi sản xuất tới nơi tiêu thụ là 0.001 Tính xác suất để khi vận chuyển 15.000 chai bia có đúng 5 chai bị vỡ. Theo công thức Bernoulli, ta có 5 5 15000−5 P15000(5, 0.001) = C15000(0.001) (1 − 0.001) = 0.001929663 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 34 / 47
  91. Các ví dụ Ví dụ 1 Xác suất một chai bia bị vỡ khi vận chuyển từ nơi sản xuất tới nơi tiêu thụ là 0.001 Tính xác suất để khi vận chuyển 15.000 chai bia có đúng 5 chai bị vỡ. Theo công thức Bernoulli, ta có 5 5 15000−5 P15000(5, 0.001) = C15000(0.001) (1 − 0.001) = 0.001929663 Có thể tính bằng công thức xấp xỉ Poisson (xem chương 4 Các định lý giới hạn của Lý thuyết xác suất) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 34 / 47
  92. Có thể tính bằng công thức xấp xỉ de Moivre - Laplace (xem phần các định lý giới hạn) Các ví dụ Ví dụ 2 Gieo một con xúc sắc cân đối đồng chất 600 lần. Tính xác suất để mặt "lục" xuất hiện trong khoảng từ 50 tới 100 lần. Theo công thức Bernoulli mở rộng, ta có 100 X k 5 600−k P600(50; 100, 1/6) = C600(1/6) (1 − 1/6) k=50 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 35 / 47
  93. Các ví dụ Ví dụ 2 Gieo một con xúc sắc cân đối đồng chất 600 lần. Tính xác suất để mặt "lục" xuất hiện trong khoảng từ 50 tới 100 lần. Theo công thức Bernoulli mở rộng, ta có 100 X k 5 600−k P600(50; 100, 1/6) = C600(1/6) (1 − 1/6) k=50 Có thể tính bằng công thức xấp xỉ de Moivre - Laplace (xem phần các định lý giới hạn) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 35 / 47
  94. Nếu (n + 1)p không là một số nguyên, thì k0 = [(n + 1)p]. Chú ý: [x] là phần nguyên của số x. Số có khả năng nhất Định nghĩa Số có khả năng nhất, ký hiệu k0, là số phép thử thành công mà xác suất tương ứng lớn nhất, Pn(k0, p) = max Pn(k, p) Nếu (n + 1)p là một số nguyên, thì k0 có hai giá trị k0 = (n + 1)p và k0 = (n + 1)p − 1. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 36 / 47
  95. Chú ý: [x] là phần nguyên của số x. Số có khả năng nhất Định nghĩa Số có khả năng nhất, ký hiệu k0, là số phép thử thành công mà xác suất tương ứng lớn nhất, Pn(k0, p) = max Pn(k, p) Nếu (n + 1)p là một số nguyên, thì k0 có hai giá trị k0 = (n + 1)p và k0 = (n + 1)p − 1. Nếu (n + 1)p không là một số nguyên, thì k0 = [(n + 1)p]. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 36 / 47
  96. Số có khả năng nhất Định nghĩa Số có khả năng nhất, ký hiệu k0, là số phép thử thành công mà xác suất tương ứng lớn nhất, Pn(k0, p) = max Pn(k, p) Nếu (n + 1)p là một số nguyên, thì k0 có hai giá trị k0 = (n + 1)p và k0 = (n + 1)p − 1. Nếu (n + 1)p không là một số nguyên, thì k0 = [(n + 1)p]. Chú ý: [x] là phần nguyên của số x. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 36 / 47
  97. Khi đó, xác suất tương ứng 11 11 15−11 P15(11, 0.75) = C15 (0.75) (1 − 0.75) = 0.2251991 Các ví dụ Ví dụ 3 Thực hiện 15 phép thử Bernoulli có xác suất thành công của một phép thử là 0.75. Tính số có khả năng nhất. Tính xác suất tương ứng. Do (n + 1)p = (15 + 1).0.75 = 12, nên số có khả năng nhất có 2 giá trị, k0 = 12 và k0 = 11. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 37 / 47
  98. Các ví dụ Ví dụ 3 Thực hiện 15 phép thử Bernoulli có xác suất thành công của một phép thử là 0.75. Tính số có khả năng nhất. Tính xác suất tương ứng. Do (n + 1)p = (15 + 1).0.75 = 12, nên số có khả năng nhất có 2 giá trị, k0 = 12 và k0 = 11. Khi đó, xác suất tương ứng 11 11 15−11 P15(11, 0.75) = C15 (0.75) (1 − 0.75) = 0.2251991 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 37 / 47
  99. Khi đó, xác suất tương ứng 13 13 25−13 P25(13, 0.51) = C25 (0.51) (1 − 0.51) = 0.1573235 Các ví dụ Ví dụ 4 Thực hiện 25 lần gieo một đồng xu có xác suất xuất hiện mặt sấp là 0.51. Tính số mặt sấp có khả năng nhất. Tính xác suất tương ứng. Do (n + 1)p = (25 + 1).0.51 = 13.26, nên số có khả năng nhất là, k0 = [13.26] = 13 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 38 / 47
  100. Các ví dụ Ví dụ 4 Thực hiện 25 lần gieo một đồng xu có xác suất xuất hiện mặt sấp là 0.51. Tính số mặt sấp có khả năng nhất. Tính xác suất tương ứng. Do (n + 1)p = (25 + 1).0.51 = 13.26, nên số có khả năng nhất là, k0 = [13.26] = 13 Khi đó, xác suất tương ứng 13 13 25−13 P25(13, 0.51) = C25 (0.51) (1 − 0.51) = 0.1573235 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 38 / 47
  101. Bài tập chương 2 1. Hộp thứ nhất có 2 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ. Hộp thứ hai có 1 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ. Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên ra 1 viên bi. Sau đó chọn ngẫu nhiên 1 viên bi từ hai viên bi vừa lấy ra từ hai hộp. Tính xác suất để viên bi được chọn là bi đỏ. 2. Hộp thứ nhất có 2 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ. Hộp thứ hai có 3 viên bi xanh và 2 viên bi đỏ. Từ hộp thứ nhất lấy ngẫu nhiên ra 2 viên bi bỏ qua hộp thứ hai. Sau đó chọn ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp thứ hai. Tính xác suất để lấy được hai viên bi cùng màu. 3. Một hộp có 5 bi xanh và 10 bi đỏ. Thực hiện 9 lần lấy ra một viên bi để xác định màu. Tính xác suất có 5 lần lấy được bi đỏ. Tìm số bi đỏ có khả năng nhất. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 39 / 47
  102. Bài tập chương 2 4. Hộp thứ nhất có 2 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ. Hộp thứ hai có 1 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ. Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên ra 1 viên bi. Sau đó chọn ngẫu nhiên 1 viên bi từ hai viên bi vừa lấy ra từ hai hộp. Tính xác suất để viên bi được chọn là bi đỏ 5. Hộp thứ nhất có 4 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ. Hộp thứ hai có 1 viên bi xanh và 2 viên bi đỏ. Từ hộp thứ nhất lấy ngẫu nhiên ra 1 viên bi bỏ qua hộp thứ hai. Sau đó chọn ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp thứ hai. Tính xác suất để lấy được hai viên bi cùng màu. 6. Một hộp có 5 bi xanh và 10 bi đỏ. Thực hiện 9 lần lấy ra (có hoàn lại) một viên bi để xác định màu. 1 Tính xác suất có 5 lần lấy được bi đỏ. 2 Tìm số bi đỏ có khả năng nhất. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 40 / 47
  103. Bài tập chương 2 7. Hộp thứ nhất có 2 sản phẩm loại A và 3 sản phẩm loại B. Hộp thứ hai có 1 sản phẩm loại A và 4 sản phẩm loại B. Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ hộp thứ nhất bỏ sang hộp thứ hai. Sau đó lấy từ hộp thứ hai ra 2 sản phẩm. 1 Tính xác suất để hai sản phẩm lấy ra có 1 sản phẩm loại A và 1 sản phẩm loại B. 2 Tính xác suất để hai sản phẩm lấy ra là hai sản phẩm loại A. 3 Tính xác suất để có ít nhất một sản phẩm loại B. 8. Gieo 25 hạt giống có xác suất nảy mầm là 0.75. 1 Tính xác suất để có 15 hạt nẩy mầm. 2 Số hạt giống có khả năng nẩy mầm nhất là bao nhiêu? Tính xác suất tương ứng. 3 Phải gieo bao nhiêu hạt giống loại đó để xác suất có ít nhất một hạt nảy mầm không bé hơn 0.999 9. Có 2 chuồng thỏ thí nghiệm, chuồng thứ nhất có 2 thỏ trắng và 3 thỏ nâu. Chuồng thứ hai có 1 thỏ trắng và 2 thỏ nâu. Tình cờ, 2 con thỏ từ PGS.TS.Trầnchuồng Lộc thứ Hùng nhất (UFM, chạy HCMC) sangLý thuyết chuồng Xác suất thứ và Thống hai. kê Toán Bắt học từ chuồngNgày 17 tháng thứ 2 năm hai 2014 ra 2 41 / 47 con thỏ. 1 Tính xác suất bắt ra hai con thỏ khác màu. 2 Tính xác suất bắt được ít nhất một thỏ trắng.
  104. Bài tập chương 2 10. Một bộ bài 52 quân bỏ đi 2 quân bài một cách ngẫu nhiên và chia đều cho 5 người chơi. Tính xác suất một người chơi được chia 2 quân át. 11. Một người có 3 chỗ câu cá với xác suất để một lần thả câu sẽ câu được một con cá ở mỗi chỗ lần lượt là 0.8, 0.7 và 0.9. Người đó chọn ngẫu nhiên một chỗ để câu bằng cách gieo ngẫu nhiên 2 đồng xu cân đối và đồng chất. Nếu 2 đồng xu sấp thì chọn chỗ câu thứ nhất. Nếu hai đồng xu ngữa thì chọn chỗ câu thứ hai. Trường hợp còn lại người đó sẽ chọn chỗ câu thứ ba. 1 Nếu chọn được một chỗ để câu, tính xác suất để sau một lần thả câu người đó câu được một con cá. 2 Tại một chỗ câu đã chọn, người đó thả câu 3 lần thì câu được một con cá. Hỏi khả năng người đó đã câu ở địa điểm nào? 12. Có 3 người A, B và C lần lượt bắt 3 lá thăm trong đó có 2 lá thăm tốt và 1 lá thăm không tốt. Hỏi khả năng bắt được lá thăm tốt của A, B và C có như nhau không? Tại sao? PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 42 / 47
  105. Bài tập chương 2 13.Phải gieo một con xúc xắc cân đôi đồng chất bao nhiêu lần để xác suất 1 có ít nhất một lần mặt "lục" xuất hiện lớn hơn 2 14. Giả sử tỷ lệ làm ra chính phẩm của một máy là 99%. Hỏi phải làm ra bao nhiêu sản phẩm để xác suất máy đó làm ra ít nhất một chính phẩm là 95% 15. Xác suất để thời tiết thuận lợi cho giống lúa A là 0.9. Nếu thời tiết thuận lợi thì xác suất để giống lúa A đạt năng suất cao là 0.85. Nếu thời tiết không thuận lợi thì với xác suất 0.2 giống lúa A sẽ đạt năng suất cao. 1 Tính xác suất để giống lúa A đạt năng suất cao. 2 Giả sử giống lúa A không đạt năng suất, hãy tính xác suất để thời tiết không thuận lợi cho giống lúa A. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 43 / 47
  106. Bài tập chương 2 16. Ba bức điện được truyền theo một kênh thông tin với mức độ chính xác khác nhau. Cụ thể mỗi bức điện đều có một trong ba khả năng sau: 1 A1 : bức điện được truyền đúng 2 A2 : bức điện được truyền sai lệch một phần 3 A3 : bức điện được truyền sai lệch hoàn toàn với xác suất p1, p2 và p3 mà pj ∈ (0, 1), p1 + p2 + p3 = 1. Giả sử các bức điện được truyền đúng hay sai lệch là độc lập với nhau. Hãy tính các xác suất 1 Cả ba bức điện đều được truyền đúng 2 Có ít nhất một bức điện bị truyền sai lệch hoàn toàn 17. Hai chuồng gà nằm cạnh nhau. Chuồng thứ nhất có 18 gà mái và 2 gà trống, chuồng thứ hai có 15 gà mái và 5 gà trống. Bất ngờ hai con gà từ chuồng thứ hai nhảy sang chuồng thứ nhất. Người ta bắt ngẫu nhiên 2 con gà từ chuồng thứ nhất bỏ vào lại chuồng thứ hai. 1 Tính xác suất bắt được hai con gà trống. 2 Tính xác suất để bắt được một gà trống và một gà mái PGS.TS.Trần3 Tính Lộc Hùng xác (UFM, suất HCMC) để bắtLý được thuyết Xác ít suất nhất và Thống một kê Toángàtrống. học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 44 / 47
  107. Bài tập chương 2 18. Tại một nhà máy sản xuất bóng đèn điện tử xác suất làm ra một bóng đèn đạt tiêu chuẩn là 0.8. Trước khi xuất xưởng các bóng đèn cần phải đóng dấu kiểm tra chất lượng. Vì kiểm tra không chặt nên mỗi bóng đạt tiêu chuẩn có xác suất được đóng dấu là 0.9 còn mỗi bóng không đạt tiêu chuẩn có xác suất được đóng dấu là 0.05 1 Chọn ngẫu nhiên một bóng đèn. Tính xác suất bống đèn đó được đóng dấu kiểm tra chất lượng. 2 Giả sử chọn được một bóng đã có đóng dấu kiểm tra chất lượng. Tính xác suất để bóng đèn đó là loại bóng đèn đạt tiêu chuẩn. 19. Một ca thợ gồm 3 công nhân sản xuất cùng một loại sản phẩm với số sản phẩm làm ra tỷ lệ với 3:4:5 và với tỷ lệ phế phẩm tương ứng là 2%: 2,5%: 3%. Chọn ngẫu nhiên ra một sản phẩm do ca thợ đó sản xuất. 1 Tìm xác suất để sản phẩm chọn ra là phế phẩm. 2 Nếu kiểm tra thấy đó là phế phẩm, hãy tính xác suất để phế phẩm đó do công nhân thứ i sản xuất ra (i=1,2,3). PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 45 / 47
  108. Bài tập chương 2 20. Xác suất để một xạ thủ bắn trúng mục tiêu ở mỗi lần bắn là 0,4. Tính xác suất mục tiêu bị tiêu diệt sau 3 lần bắn độc lập, biết rằng xác suất mục tiêu bị tiêu diệt khi trúng 1, 2 , 3 phát lần lượt là 0,2; 0,5; 0,8. 21. Từ một lô hàng có 5 sản phẩm loại I và 2 sản phẩm loại II. Lấy ngẫu nhiên đồng thời từ lô hàng đó ra 3 sản phẩm. 1 Tìm xác suất để trong 3 sản phẩm lấy ra có 2 sản phẩm loại I và 1 sản phẩm loại II. 2 Tìm xác suất để trong 3 sản phẩm lấy ra có ít nhất 1 sản phẩm loại I. 22. Một em bé có trong túi trái 5 bi đỏ và 4 bi xanh, trong túi phải có 6 bi đỏ và 3 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên hai viên bi từ túi trái bỏ qua túi phải, rồi lại lấy ngẫu nhiên từ túi phải ra hai viên bi. 1 Tìm xác suất để 2 viên bi lấy ra lần sau là hai bi đỏ. 2 Tìm xác suất để 2 viên bi lấy ra lần sau là 2 bi cùng màu. 3 Tìm xác suất để 2 viên bi lấy ra lần sau là 2 bi khác màu. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 46 / 47
  109. Bài tập chương 2 23. Có 2 lô sản phẩm. Lô 1 có 8 sản phẩm loại I và 3 sản phẩm loại II, lô 2 có 15 sản phẩm loại I và 5 sản phẩm loại II. Từ mỗi lô lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm. Sau đó lại lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm từ 2 sản phẩm vừa lấy ra trước. Tìm khả năng để sản phẩm lấy ra sau cùng là sản phẩm loại I. 24. Xác suất để một xạ thủ bắn trúng bia là 0,95. Hỏi xạ thủ này phải bắn ít nhất bao nhiêu viên để với xác suất không bé hơn 0,99 xạ thủ này bắn trúng bia ít nhất 1 viên. 25. Một máy sản xuất các chi tiết điện tử với xác suất phế phẩm là 0.015. 1 Hãy tính xác suất để sản xuất 300 chi tiết điện tử, phát hiện ra 5 phế phẩm 2 Tính số phế phẩm có khả năng nhất 3 Phải sản xuất bao nhiêu chi tiết điện tử loại đó để xác suất có ít nhất một chi tiết không bị hỏng không bé hơn 0.9999 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (UFM, HCMC) Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 17 tháng 2 năm 2014 47 / 47