›
›

Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán học - Chương 3: Biến ngẫu hững và đặc trưng

pdf 154 trang hapham 2620
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán học - Chương 3: Biến ngẫu hững và đặc trưng", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_ly_thuyet_xac_suat_va_thong_ke_toan_hoc_chuong_3_b.pdf

Nội dung text: Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán học - Chương 3: Biến ngẫu hững và đặc trưng

  1. Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học PGS.TS. Trần Lộc Hùng Tp. Hồ Chí Minh - 2013 Ngày 16 tháng 9 năm 2013 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 1 / 64
  2. TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH-MARKETING KHOA CƠ BẢN, BỘ MÔN TOÁN-THỐNG KÊ PGS. TS. TRẦN LỘC HÙNG LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Tp. Hồ Chí Minh - 2013 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 2 / 64
  3. Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học PGS.TS. Trần Lộc Hùng Tp. Hồ Chí Minh - 2013 Ngày 16 tháng 9 năm 2013 Chương 3. Biến ngẫu nhiên và các đặc trưng PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 3 / 64
  4. Hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất Kỳ vọng Phương sai Mô men, hệ số bất đối xứng, hệ số nhọn (đọc thêm) Véc tơ ngẫu nhiên Từ khóa (Key Words) Biến ngẫu nhiên PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 4 / 64
  5. Hàm mật độ xác suất Kỳ vọng Phương sai Mô men, hệ số bất đối xứng, hệ số nhọn (đọc thêm) Véc tơ ngẫu nhiên Từ khóa (Key Words) Biến ngẫu nhiên Hàm phân phối xác suất PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 4 / 64
  6. Kỳ vọng Phương sai Mô men, hệ số bất đối xứng, hệ số nhọn (đọc thêm) Véc tơ ngẫu nhiên Từ khóa (Key Words) Biến ngẫu nhiên Hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 4 / 64
  7. Phương sai Mô men, hệ số bất đối xứng, hệ số nhọn (đọc thêm) Véc tơ ngẫu nhiên Từ khóa (Key Words) Biến ngẫu nhiên Hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất Kỳ vọng PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 4 / 64
  8. Mô men, hệ số bất đối xứng, hệ số nhọn (đọc thêm) Véc tơ ngẫu nhiên Từ khóa (Key Words) Biến ngẫu nhiên Hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất Kỳ vọng Phương sai PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 4 / 64
  9. Véc tơ ngẫu nhiên Từ khóa (Key Words) Biến ngẫu nhiên Hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất Kỳ vọng Phương sai Mô men, hệ số bất đối xứng, hệ số nhọn (đọc thêm) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 4 / 64
  10. Từ khóa (Key Words) Biến ngẫu nhiên Hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất Kỳ vọng Phương sai Mô men, hệ số bất đối xứng, hệ số nhọn (đọc thêm) Véc tơ ngẫu nhiên PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 4 / 64
  11. 2 Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối 3 Biến ngẫu nhiên rời rạc và hàm xác suất 4 Biến ngẫu nhiên liên tục và hàm mật độ xác suất 5 Các phân phối xác suất 6 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên 7 Biến ngẫu nhiên hai chiều và các đặc trưng 8 Bài tập Chương 3. Biến ngẫu nhiên và các đặc trưng 1 Khái niệm và định nghĩa PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 5 / 64
  12. 3 Biến ngẫu nhiên rời rạc và hàm xác suất 4 Biến ngẫu nhiên liên tục và hàm mật độ xác suất 5 Các phân phối xác suất 6 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên 7 Biến ngẫu nhiên hai chiều và các đặc trưng 8 Bài tập Chương 3. Biến ngẫu nhiên và các đặc trưng 1 Khái niệm và định nghĩa 2 Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 5 / 64
  13. 4 Biến ngẫu nhiên liên tục và hàm mật độ xác suất 5 Các phân phối xác suất 6 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên 7 Biến ngẫu nhiên hai chiều và các đặc trưng 8 Bài tập Chương 3. Biến ngẫu nhiên và các đặc trưng 1 Khái niệm và định nghĩa 2 Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối 3 Biến ngẫu nhiên rời rạc và hàm xác suất PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 5 / 64
  14. 5 Các phân phối xác suất 6 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên 7 Biến ngẫu nhiên hai chiều và các đặc trưng 8 Bài tập Chương 3. Biến ngẫu nhiên và các đặc trưng 1 Khái niệm và định nghĩa 2 Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối 3 Biến ngẫu nhiên rời rạc và hàm xác suất 4 Biến ngẫu nhiên liên tục và hàm mật độ xác suất PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 5 / 64
  15. 6 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên 7 Biến ngẫu nhiên hai chiều và các đặc trưng 8 Bài tập Chương 3. Biến ngẫu nhiên và các đặc trưng 1 Khái niệm và định nghĩa 2 Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối 3 Biến ngẫu nhiên rời rạc và hàm xác suất 4 Biến ngẫu nhiên liên tục và hàm mật độ xác suất 5 Các phân phối xác suất PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 5 / 64
  16. 7 Biến ngẫu nhiên hai chiều và các đặc trưng 8 Bài tập Chương 3. Biến ngẫu nhiên và các đặc trưng 1 Khái niệm và định nghĩa 2 Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối 3 Biến ngẫu nhiên rời rạc và hàm xác suất 4 Biến ngẫu nhiên liên tục và hàm mật độ xác suất 5 Các phân phối xác suất 6 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 5 / 64
  17. 8 Bài tập Chương 3. Biến ngẫu nhiên và các đặc trưng 1 Khái niệm và định nghĩa 2 Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối 3 Biến ngẫu nhiên rời rạc và hàm xác suất 4 Biến ngẫu nhiên liên tục và hàm mật độ xác suất 5 Các phân phối xác suất 6 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên 7 Biến ngẫu nhiên hai chiều và các đặc trưng PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 5 / 64
  18. Chương 3. Biến ngẫu nhiên và các đặc trưng 1 Khái niệm và định nghĩa 2 Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối 3 Biến ngẫu nhiên rời rạc và hàm xác suất 4 Biến ngẫu nhiên liên tục và hàm mật độ xác suất 5 Các phân phối xác suất 6 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên 7 Biến ngẫu nhiên hai chiều và các đặc trưng 8 Bài tập PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 5 / 64
  19. Gọi Y là số lần phải gieo đồng tiền. Y nhận các giá trị 1, 2, Khái niệm và định nghĩa Ví dụ 1 Gieo hai đồng tiền cân đối và đồng chất. Xác định số lần sấp xảy ra và Ví dụ 2 Gieo một đồng tiền cân đối và đồng chất cho tới khi nào sấp thì ngừng. Xác định số lần gieo phải thực hiện Gọi X là số lần sấp trong ví dụ 1. X nhận các giá trị 0, 1 và 2 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 6 / 64
  20. Khái niệm và định nghĩa Ví dụ 1 Gieo hai đồng tiền cân đối và đồng chất. Xác định số lần sấp xảy ra và Ví dụ 2 Gieo một đồng tiền cân đối và đồng chất cho tới khi nào sấp thì ngừng. Xác định số lần gieo phải thực hiện Gọi X là số lần sấp trong ví dụ 1. X nhận các giá trị 0, 1 và 2 Gọi Y là số lần phải gieo đồng tiền. Y nhận các giá trị 1, 2, PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 6 / 64
  21. Biến X nhận giá trị phụ thuộc vào các kết cục xảy ra của phép thử Nếu X và Y là các biến ngẫu nhiên, thì X + Y , X − Y , X .Y , X /Y , cos(X ), sin(X ), là các biến ngẫu nhiên Định nghĩa biến ngẫu nhiên Định nghĩa Giả sử Ω là không gian các biến cố sơ cấp sinh ra từ một phép thử ngẫu nhiên, R là tập các số thực. Khi đó, ánh xạ X :Ω 7→ R được gọi là biến ngẫu nhiên, nếu tập hợp {ω : X (ω) < x} ∈ B, x ∈ R, là một biến cố ngẫu nhiên. Không gian Ω có thể vô hạn, hữu hạn. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 7 / 64
  22. Nếu X và Y là các biến ngẫu nhiên, thì X + Y , X − Y , X .Y , X /Y , cos(X ), sin(X ), là các biến ngẫu nhiên Định nghĩa biến ngẫu nhiên Định nghĩa Giả sử Ω là không gian các biến cố sơ cấp sinh ra từ một phép thử ngẫu nhiên, R là tập các số thực. Khi đó, ánh xạ X :Ω 7→ R được gọi là biến ngẫu nhiên, nếu tập hợp {ω : X (ω) < x} ∈ B, x ∈ R, là một biến cố ngẫu nhiên. Không gian Ω có thể vô hạn, hữu hạn. Biến X nhận giá trị phụ thuộc vào các kết cục xảy ra của phép thử PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 7 / 64
  23. Định nghĩa biến ngẫu nhiên Định nghĩa Giả sử Ω là không gian các biến cố sơ cấp sinh ra từ một phép thử ngẫu nhiên, R là tập các số thực. Khi đó, ánh xạ X :Ω 7→ R được gọi là biến ngẫu nhiên, nếu tập hợp {ω : X (ω) < x} ∈ B, x ∈ R, là một biến cố ngẫu nhiên. Không gian Ω có thể vô hạn, hữu hạn. Biến X nhận giá trị phụ thuộc vào các kết cục xảy ra của phép thử Nếu X và Y là các biến ngẫu nhiên, thì X + Y , X − Y , X .Y , X /Y , cos(X ), sin(X ), là các biến ngẫu nhiên PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 7 / 64
  24. Có thể dùng định nghĩa FX (x) = P(X ≤ x), x ∈ R Hàm phân phối xác suất Định nghĩa FX (x) = P(X < x), x ∈ R Còn được gọi là hàm phân phối tích lũy PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 8 / 64
  25. Hàm phân phối xác suất Định nghĩa FX (x) = P(X < x), x ∈ R Còn được gọi là hàm phân phối tích lũy Có thể dùng định nghĩa FX (x) = P(X ≤ x), x ∈ R PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 8 / 64
  26. Tính chất 1. Hàm không giảm Nếu x1 < x2, thì FX (x1) ≤ FX (x2) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 9 / 64
  27. Tính chất 2. Nhận giá trị trong [0,1] 0 ≤ FX (x) ≤ 1, ∀x ∈ R PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 10 / 64
  28. Tính chất 3. Nhận giá trị ở vô cùng FX (−∞) = 0; FX (+∞) = 1 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 11 / 64
  29. Tính chất 4. Liên tục trái lim FX (x) = FX (a) x→a− PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 12 / 64
  30. Tính chất 5. Xác suất X nhận giá trị trong nữa khoảng P(a ≤ X < b) = FX (b) − FX (a) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 13 / 64
  31. Biến ngẫu nhiên Y trong ví dụ 2 là rời rạc (có đếm được giá trị) Biến ngẫu nhiên rời rạc và hàm xác suất Định nghĩa Biến ngẫu nhiên X là rời rạc nếu tập giá trị có thể của nó hữu hạn hay vô hạn đếm được {x1, x2, } Biến ngẫu nhiên X trong ví dụ 1 là rời rạc (có hữu hạn giá trị) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 14 / 64
  32. Biến ngẫu nhiên rời rạc và hàm xác suất Định nghĩa Biến ngẫu nhiên X là rời rạc nếu tập giá trị có thể của nó hữu hạn hay vô hạn đếm được {x1, x2, } Biến ngẫu nhiên X trong ví dụ 1 là rời rạc (có hữu hạn giá trị) Biến ngẫu nhiên Y trong ví dụ 2 là rời rạc (có đếm được giá trị) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 14 / 64
  33. Hàm xác suất Định nghĩa Giả sử X rời rạc. Hàm xác suất p là một hàm từ R vào R sao cho 1 p(x) = 0 nếu x ∈/ {x1, x2, } 2 p(xj ) ≥ 0 3 p(xj ) = P(X = xj ) 4 P∞ j=1 p(xj ) = 1 5 F (t) = P(X < t) = P p(x ) X j:xj <t j PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 15 / 64
  34. Dãy phân phối xác suất Định nghĩa Giả sử X rời rạc nhận các giá trị {x1, x2, }. Dãy số thực p1, p2, là dãy phân phối xác suất của X, nếu 1 pj ≥ 0 2 pj = P(X = xj ) 3 P∞ j=1 pj = 1 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 16 / 64
  35. Biến rời rạc Ví dụ 3 Một hộp kín có 2 quả cầu trắng và 3 quả cầu xanh. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 quả cầu. Gọi X là số quả cầu trắng được lấy ra 1 Xác định biến ngẫu nhiên X. 2 Lập hàm phân phối xác suất FX (x) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 17 / 64
  36. Lời giải 1 Biến X nhận các giá trị 0, 1 và 2. 2 Dãy phân phối xác suất của X: p0 = P(X = 0) = 0.3 p1 = P(X = 1) = 0.6 p2 = P(X = 3) = 0.1 3 Hàm phân phối xác suất FX (x) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 18 / 64
  37. Biến ngẫu nhiên liên tục và hàm mật độ xác suất Định nghĩa Biến ngẫu nhiên X là liên tục, nếu tồn tại hàm không âm fX (x) ≥ 0, x ∈ R sao cho Z x FX (x) = fX (y)dy −∞ Hàm fX (x) được gọi là hàm mật độ xác suất tương ứng với biến ngẫu nhiên X PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 19 / 64
  38. Tính chất 1. Không âm fX (x) ≥ 0, ∀x ∈ R PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 20 / 64
  39. Tính chất 2. Đầy đủ Z +∞ fX (x)dx = 1 −∞ PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 21 / 64
  40. Tính chất 3. Nguyên hàm dF (x) X = f (x) dx X PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 22 / 64
  41. Tính chất 4. Xác suất khoảng Z b P(a < X < b) = fX (x)dx = FX (b) − FX (a) a PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 23 / 64
  42. Biến ngẫu nhiên liên tục Ví dụ 4 Hàm mật độ Laplace có dạng 1 − 1 x2 ϕ(x) = √ e 2 , x ∈ R 2π 1 Kiểm tra các tính chất của hàm ϕ(x) 2 Lập hàm phân phối xác suất Φ(x) 3 Vẽ đồ thị hàm mật độ và hàm phân phối xác suất Laplace PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 24 / 64
  43. Tính đầy đủ: tính tích phân Z +∞ Z +∞ 1 − 1 x2 ϕ(x)dx = √ e 2 dx = 1 −∞ −∞ 2π Lưu ý tích phân Euler-Poisson: Z +∞ √ − 1 x2 e 2 dx = 2π −∞ Lời giải Tính không âm: dễ thấy ∀x ∈ R, hàm ϕ(x) ≥ 0. Đồ thị luôn nằm −→ trên trục hoành 0x PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 25 / 64
  44. Lời giải Tính không âm: dễ thấy ∀x ∈ R, hàm ϕ(x) ≥ 0. Đồ thị luôn nằm −→ trên trục hoành 0x Tính đầy đủ: tính tích phân Z +∞ Z +∞ 1 − 1 x2 ϕ(x)dx = √ e 2 dx = 1 −∞ −∞ 2π Lưu ý tích phân Euler-Poisson: Z +∞ √ − 1 x2 e 2 dx = 2π −∞ PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 25 / 64
  45. 1 Hàm không âm:ϕ(x) ≥ 0 2 Hàm chẵn: ϕ(−x) = ϕ(x) −→ 3 Nhận trục 0x làm tiệm cận: lim ϕ(x) = 0 x→±∞ Giá trị hàm Laplace được ghi bởi bảng Laplace ở các sách xác suất thống kê. Hàm phân phối xác suất Laplace: Z x 1 − 1 y 2 Φ(x) = √ e 2 dy 2π −∞ Lời giải Khảo sát hàm Laplace PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 26 / 64
  46. 2 Hàm chẵn: ϕ(−x) = ϕ(x) −→ 3 Nhận trục 0x làm tiệm cận: lim ϕ(x) = 0 x→±∞ Giá trị hàm Laplace được ghi bởi bảng Laplace ở các sách xác suất thống kê. Hàm phân phối xác suất Laplace: Z x 1 − 1 y 2 Φ(x) = √ e 2 dy 2π −∞ Lời giải Khảo sát hàm Laplace 1 Hàm không âm:ϕ(x) ≥ 0 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 26 / 64
  47. −→ 3 Nhận trục 0x làm tiệm cận: lim ϕ(x) = 0 x→±∞ Giá trị hàm Laplace được ghi bởi bảng Laplace ở các sách xác suất thống kê. Hàm phân phối xác suất Laplace: Z x 1 − 1 y 2 Φ(x) = √ e 2 dy 2π −∞ Lời giải Khảo sát hàm Laplace 1 Hàm không âm:ϕ(x) ≥ 0 2 Hàm chẵn: ϕ(−x) = ϕ(x) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 26 / 64
  48. Giá trị hàm Laplace được ghi bởi bảng Laplace ở các sách xác suất thống kê. Hàm phân phối xác suất Laplace: Z x 1 − 1 y 2 Φ(x) = √ e 2 dy 2π −∞ Lời giải Khảo sát hàm Laplace 1 Hàm không âm:ϕ(x) ≥ 0 2 Hàm chẵn: ϕ(−x) = ϕ(x) −→ 3 Nhận trục 0x làm tiệm cận: lim ϕ(x) = 0 x→±∞ PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 26 / 64
  49. Hàm phân phối xác suất Laplace: Z x 1 − 1 y 2 Φ(x) = √ e 2 dy 2π −∞ Lời giải Khảo sát hàm Laplace 1 Hàm không âm:ϕ(x) ≥ 0 2 Hàm chẵn: ϕ(−x) = ϕ(x) −→ 3 Nhận trục 0x làm tiệm cận: lim ϕ(x) = 0 x→±∞ Giá trị hàm Laplace được ghi bởi bảng Laplace ở các sách xác suất thống kê. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 26 / 64
  50. Lời giải Khảo sát hàm Laplace 1 Hàm không âm:ϕ(x) ≥ 0 2 Hàm chẵn: ϕ(−x) = ϕ(x) −→ 3 Nhận trục 0x làm tiệm cận: lim ϕ(x) = 0 x→±∞ Giá trị hàm Laplace được ghi bởi bảng Laplace ở các sách xác suất thống kê. Hàm phân phối xác suất Laplace: Z x 1 − 1 y 2 Φ(x) = √ e 2 dy 2π −∞ PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 26 / 64
  51. Biến ngẫu nhiên X trong ví dụ 4 có kỳ vọng 1 R +∞ − 1 x2 E(X ) = √ xe 2 dx = 0. 2π −∞ Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên Kỳ vọng toán Kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu E(X ) hoặc M(X ), xác định bởi 1 P E(X ) = j=1 xj pj , với pj = P(X = xj ), nếu X là biến ngâu nhiên rời rạc. +∞ 2 R E(X ) = −∞ xfX (x)dx, nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục với fX (x) là hàm mật độ Biến ngẫu nhiên X trong ví dụ 1 có kỳ vọng E(X ) = 0x1/4 + 1x1/2 + 2x1/4 = 1 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 27 / 64
  52. Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên Kỳ vọng toán Kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu E(X ) hoặc M(X ), xác định bởi 1 P E(X ) = j=1 xj pj , với pj = P(X = xj ), nếu X là biến ngâu nhiên rời rạc. +∞ 2 R E(X ) = −∞ xfX (x)dx, nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục với fX (x) là hàm mật độ Biến ngẫu nhiên X trong ví dụ 1 có kỳ vọng E(X ) = 0x1/4 + 1x1/2 + 2x1/4 = 1 Biến ngẫu nhiên X trong ví dụ 4 có kỳ vọng 1 R +∞ − 1 x2 E(X ) = √ xe 2 dx = 0. 2π −∞ PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 27 / 64
  53. 2 Nếu C là hằng số, thì E(CX ) = CE(X ). 3 Nếu C1, C2 là các hằng số, thì E(C1X1 + C2X2) = C1E(X1) + C2E(X2). 4 Nếu X1, X2 là các biến ngẫu nhiên độc lập, tức là các biến cố (X1 < t1), (X2 < t2) độc lập, thì E(X1X2) = E(X1)E(X2). 5 Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục, với hàm mật đố xác suất fX (x). Giả sử g là một hàm thực. Khi đó, Z +∞  E g(X ) = g(x)fX (x)dx. −∞ Tính chất 1 Nếu C là hằng số, thì E(C) = C. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 28 / 64
  54. 3 Nếu C1, C2 là các hằng số, thì E(C1X1 + C2X2) = C1E(X1) + C2E(X2). 4 Nếu X1, X2 là các biến ngẫu nhiên độc lập, tức là các biến cố (X1 < t1), (X2 < t2) độc lập, thì E(X1X2) = E(X1)E(X2). 5 Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục, với hàm mật đố xác suất fX (x). Giả sử g là một hàm thực. Khi đó, Z +∞  E g(X ) = g(x)fX (x)dx. −∞ Tính chất 1 Nếu C là hằng số, thì E(C) = C. 2 Nếu C là hằng số, thì E(CX ) = CE(X ). PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 28 / 64
  55. 4 Nếu X1, X2 là các biến ngẫu nhiên độc lập, tức là các biến cố (X1 < t1), (X2 < t2) độc lập, thì E(X1X2) = E(X1)E(X2). 5 Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục, với hàm mật đố xác suất fX (x). Giả sử g là một hàm thực. Khi đó, Z +∞  E g(X ) = g(x)fX (x)dx. −∞ Tính chất 1 Nếu C là hằng số, thì E(C) = C. 2 Nếu C là hằng số, thì E(CX ) = CE(X ). 3 Nếu C1, C2 là các hằng số, thì E(C1X1 + C2X2) = C1E(X1) + C2E(X2). PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 28 / 64
  56. 5 Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục, với hàm mật đố xác suất fX (x). Giả sử g là một hàm thực. Khi đó, Z +∞  E g(X ) = g(x)fX (x)dx. −∞ Tính chất 1 Nếu C là hằng số, thì E(C) = C. 2 Nếu C là hằng số, thì E(CX ) = CE(X ). 3 Nếu C1, C2 là các hằng số, thì E(C1X1 + C2X2) = C1E(X1) + C2E(X2). 4 Nếu X1, X2 là các biến ngẫu nhiên độc lập, tức là các biến cố (X1 < t1), (X2 < t2) độc lập, thì E(X1X2) = E(X1)E(X2). PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 28 / 64
  57. Tính chất 1 Nếu C là hằng số, thì E(C) = C. 2 Nếu C là hằng số, thì E(CX ) = CE(X ). 3 Nếu C1, C2 là các hằng số, thì E(C1X1 + C2X2) = C1E(X1) + C2E(X2). 4 Nếu X1, X2 là các biến ngẫu nhiên độc lập, tức là các biến cố (X1 < t1), (X2 < t2) độc lập, thì E(X1X2) = E(X1)E(X2). 5 Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục, với hàm mật đố xác suất fX (x). Giả sử g là một hàm thực. Khi đó, Z +∞  E g(X ) = g(x)fX (x)dx. −∞ PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 28 / 64
  58. Biến ngẫu nhiên X trong ví dụ 4 có phương sai 1 R +∞ 2 − 1 x2 D(X ) = √ x e 2 dx = 1. 2π −∞ Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên Phương sai Phương sai của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu σ2 hoặc D(X ) hoặc Var(X ), xác định bởi D(X ) = E(| X − µ |2), với µ = E(X ). Biến ngẫu nhiên X trong ví dụ 1 có phương sai D(X ) = (0 − 1)2x1/4 + (1 − 1)2x1/2 + (2 − 1)2x1/4 = 1/2 1 P 2 D(X ) = j=1(xj − µ) pj , với pj = P(X = xj ), nếu X là biến ngâu nhiên rời rạc. +∞ 2 R 2 D(X ) = −∞ (x − µ) fX (x)dx, nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục với fX (x) là hàm mật độ PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 29 / 64
  59. Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên Phương sai Phương sai của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu σ2 hoặc D(X ) hoặc Var(X ), xác định bởi D(X ) = E(| X − µ |2), với µ = E(X ). Biến ngẫu nhiên X trong ví dụ 1 có phương sai D(X ) = (0 − 1)2x1/4 + (1 − 1)2x1/2 + (2 − 1)2x1/4 = 1/2 Biến ngẫu nhiên X trong ví dụ 4 có phương sai 1 R +∞ 2 − 1 x2 D(X ) = √ x e 2 dx = 1. 2π −∞ 1 P 2 D(X ) = j=1(xj − µ) pj , với pj = P(X = xj ), nếu X là biến ngâu nhiên rời rạc. +∞ 2 R 2 D(X ) = −∞ (x − µ) fX (x)dx, nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục với fX (x) là hàm mật độ PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 29 / 64
  60. 2 Nếu C là hằng số, thì D(CX ) = C 2D(X ). 3 D(X ) = E(X 2) − (E(X ))2. 4 Nếu X1, X2 là các biến ngẫu nhiên độc lập, tức là các biến cố (X1 < t1), (X2 < t2) độc lập, thì D(X1 + X2) = D(X1) + D(X2). p 5 Độ lệch tiêu chuẩn của X , σ = D(X ). Tính chất 1 Nếu C là hằng số, thì D(C) = 0. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 30 / 64
  61. 3 D(X ) = E(X 2) − (E(X ))2. 4 Nếu X1, X2 là các biến ngẫu nhiên độc lập, tức là các biến cố (X1 < t1), (X2 < t2) độc lập, thì D(X1 + X2) = D(X1) + D(X2). p 5 Độ lệch tiêu chuẩn của X , σ = D(X ). Tính chất 1 Nếu C là hằng số, thì D(C) = 0. 2 Nếu C là hằng số, thì D(CX ) = C 2D(X ). PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 30 / 64
  62. 4 Nếu X1, X2 là các biến ngẫu nhiên độc lập, tức là các biến cố (X1 < t1), (X2 < t2) độc lập, thì D(X1 + X2) = D(X1) + D(X2). p 5 Độ lệch tiêu chuẩn của X , σ = D(X ). Tính chất 1 Nếu C là hằng số, thì D(C) = 0. 2 Nếu C là hằng số, thì D(CX ) = C 2D(X ). 3 D(X ) = E(X 2) − (E(X ))2. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 30 / 64
  63. p 5 Độ lệch tiêu chuẩn của X , σ = D(X ). Tính chất 1 Nếu C là hằng số, thì D(C) = 0. 2 Nếu C là hằng số, thì D(CX ) = C 2D(X ). 3 D(X ) = E(X 2) − (E(X ))2. 4 Nếu X1, X2 là các biến ngẫu nhiên độc lập, tức là các biến cố (X1 < t1), (X2 < t2) độc lập, thì D(X1 + X2) = D(X1) + D(X2). PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 30 / 64
  64. Tính chất 1 Nếu C là hằng số, thì D(C) = 0. 2 Nếu C là hằng số, thì D(CX ) = C 2D(X ). 3 D(X ) = E(X 2) − (E(X ))2. 4 Nếu X1, X2 là các biến ngẫu nhiên độc lập, tức là các biến cố (X1 < t1), (X2 < t2) độc lập, thì D(X1 + X2) = D(X1) + D(X2). p 5 Độ lệch tiêu chuẩn của X , σ = D(X ). PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 30 / 64
  65. Rõ ràng, µ1 = 0. Các mô men của biến ngẫu nhiên (đọc thêm) Mô men gốc bậc k Mô men gốc bậc k của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu mk , xác định bởi k mk = E(X ) Mô men trung tâm k Mô men trung tâm bậc k của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu µk , xác định bởi k µk = E(X − µ) Dễ thấy, m1 = E(X ) = µ. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 31 / 64
  66. Các mô men của biến ngẫu nhiên (đọc thêm) Mô men gốc bậc k Mô men gốc bậc k của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu mk , xác định bởi k mk = E(X ) Mô men trung tâm k Mô men trung tâm bậc k của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu µk , xác định bởi k µk = E(X − µ) Dễ thấy, m1 = E(X ) = µ. Rõ ràng, µ1 = 0. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 31 / 64
  67. Median thỏa mãn điều kiện 1 P(X < Med) ≤ ≤ P(X ≤ Med ) 2 X Do E(| X − a |) đạt cực tiểu khi a = MedX , nên nếu không tồn tại kỳ vọng µ thường dùng median. Median (Trung vị) của biến ngẫu nhiên Định nghĩa Median của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu MedX , xác định bởi 1 F (Med ) = X X 2 Median luôn tồn tại và không duy nhất. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 32 / 64
  68. Do E(| X − a |) đạt cực tiểu khi a = MedX , nên nếu không tồn tại kỳ vọng µ thường dùng median. Median (Trung vị) của biến ngẫu nhiên Định nghĩa Median của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu MedX , xác định bởi 1 F (Med ) = X X 2 Median luôn tồn tại và không duy nhất. Median thỏa mãn điều kiện 1 P(X < Med) ≤ ≤ P(X ≤ Med ) 2 X PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 32 / 64
  69. Median (Trung vị) của biến ngẫu nhiên Định nghĩa Median của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu MedX , xác định bởi 1 F (Med ) = X X 2 Median luôn tồn tại và không duy nhất. Median thỏa mãn điều kiện 1 P(X < Med) ≤ ≤ P(X ≤ Med ) 2 X Do E(| X − a |) đạt cực tiểu khi a = MedX , nên nếu không tồn tại kỳ vọng µ thường dùng median. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 32 / 64
  70. Ví dụ với biến X có hàm mật độ Laplace, thì E(X ) = Med = Mod = 0. Mod không duy nhất Mod (số trội) của biến ngẫu nhiên Định nghĩa Mod của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu ModX , là giá trị của biến X để hàm mật độ đạt giá trị cực đại fX (ModX ) = max fX (x) Nếu X là biến ngẫu nhiên đối xứng, FX (x) = F−X (x), thì E(X ) = Med = Mod. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 33 / 64
  71. Mod không duy nhất Mod (số trội) của biến ngẫu nhiên Định nghĩa Mod của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu ModX , là giá trị của biến X để hàm mật độ đạt giá trị cực đại fX (ModX ) = max fX (x) Nếu X là biến ngẫu nhiên đối xứng, FX (x) = F−X (x), thì E(X ) = Med = Mod. Ví dụ với biến X có hàm mật độ Laplace, thì E(X ) = Med = Mod = 0. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 33 / 64
  72. Mod (số trội) của biến ngẫu nhiên Định nghĩa Mod của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu ModX , là giá trị của biến X để hàm mật độ đạt giá trị cực đại fX (ModX ) = max fX (x) Nếu X là biến ngẫu nhiên đối xứng, FX (x) = F−X (x), thì E(X ) = Med = Mod. Ví dụ với biến X có hàm mật độ Laplace, thì E(X ) = Med = Mod = 0. Mod không duy nhất PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 33 / 64
  73. Nếu phân phối của biến ngẫu nhiên là đối xứng tại E(X ) = µ thì µ3 = 0 (mọi mô men cấp lẻ đều bằng 0) Nếu µ3 > 0 phân phối nặng về bên phải của kỳ vọng µ. Nếu µ3 < 0 thì phân phối nặng về bên trái của kỳ vọng µ. σ là độ lệch tiêu chuẩn của X Hệ số bất đối xứng của biến ngẫu nhiên Định nghĩa µ γ = 3 1 σ3 3 R +∞ 3 Mô men trung tâm bậc ba µ3 = E(X − µ) = −∞ (x − µ) fX (x)dx đặc trưng cho tính chất đối xứng của hàm phân phối. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 34 / 64
  74. Nếu µ3 > 0 phân phối nặng về bên phải của kỳ vọng µ. Nếu µ3 < 0 thì phân phối nặng về bên trái của kỳ vọng µ. σ là độ lệch tiêu chuẩn của X Hệ số bất đối xứng của biến ngẫu nhiên Định nghĩa µ γ = 3 1 σ3 3 R +∞ 3 Mô men trung tâm bậc ba µ3 = E(X − µ) = −∞ (x − µ) fX (x)dx đặc trưng cho tính chất đối xứng của hàm phân phối. Nếu phân phối của biến ngẫu nhiên là đối xứng tại E(X ) = µ thì µ3 = 0 (mọi mô men cấp lẻ đều bằng 0) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 34 / 64
  75. σ là độ lệch tiêu chuẩn của X Hệ số bất đối xứng của biến ngẫu nhiên Định nghĩa µ γ = 3 1 σ3 3 R +∞ 3 Mô men trung tâm bậc ba µ3 = E(X − µ) = −∞ (x − µ) fX (x)dx đặc trưng cho tính chất đối xứng của hàm phân phối. Nếu phân phối của biến ngẫu nhiên là đối xứng tại E(X ) = µ thì µ3 = 0 (mọi mô men cấp lẻ đều bằng 0) Nếu µ3 > 0 phân phối nặng về bên phải của kỳ vọng µ. Nếu µ3 < 0 thì phân phối nặng về bên trái của kỳ vọng µ. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 34 / 64
  76. Hệ số bất đối xứng của biến ngẫu nhiên Định nghĩa µ γ = 3 1 σ3 3 R +∞ 3 Mô men trung tâm bậc ba µ3 = E(X − µ) = −∞ (x − µ) fX (x)dx đặc trưng cho tính chất đối xứng của hàm phân phối. Nếu phân phối của biến ngẫu nhiên là đối xứng tại E(X ) = µ thì µ3 = 0 (mọi mô men cấp lẻ đều bằng 0) Nếu µ3 > 0 phân phối nặng về bên phải của kỳ vọng µ. Nếu µ3 < 0 thì phân phối nặng về bên trái của kỳ vọng µ. σ là độ lệch tiêu chuẩn của X PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 34 / 64
  77. Với biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn γ2 = 0. Nếu γ2 > 0 đường cong phân phối sẽ nhọn hơn đường cong Laplace. Nếu γ2 < 0 đường cong phân phối sẽ tù hơn đường cong Laplace. Hệ số nhọn của biến ngẫu nhiên Định nghĩa µ γ = 4 − 3 2 σ4 Mô men trung tâm bậc bốn Z +∞ 4 4 µ4 = E(X − µ) = (x − µ) fX (x)dx −∞ đặc trưng cho độ nhọn của đường cong phân phối so với đường cong Laplace. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 35 / 64
  78. Nếu γ2 > 0 đường cong phân phối sẽ nhọn hơn đường cong Laplace. Nếu γ2 < 0 đường cong phân phối sẽ tù hơn đường cong Laplace. Hệ số nhọn của biến ngẫu nhiên Định nghĩa µ γ = 4 − 3 2 σ4 Mô men trung tâm bậc bốn Z +∞ 4 4 µ4 = E(X − µ) = (x − µ) fX (x)dx −∞ đặc trưng cho độ nhọn của đường cong phân phối so với đường cong Laplace. Với biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn γ2 = 0. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 35 / 64
  79. Hệ số nhọn của biến ngẫu nhiên Định nghĩa µ γ = 4 − 3 2 σ4 Mô men trung tâm bậc bốn Z +∞ 4 4 µ4 = E(X − µ) = (x − µ) fX (x)dx −∞ đặc trưng cho độ nhọn của đường cong phân phối so với đường cong Laplace. Với biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn γ2 = 0. Nếu γ2 > 0 đường cong phân phối sẽ nhọn hơn đường cong Laplace. Nếu γ2 < 0 đường cong phân phối sẽ tù hơn đường cong Laplace. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 35 / 64
  80. Nếu X và Y độc lập, thì ρ(X , Y ) = 0. Ngược lại, không đúng. | ρ(X , Y ) |= 1 khi và chỉ khi tồn tại a 6= 0, b ∈ R, sao cho P(Y = aX + b) = 1. Hệ số tương quan Định nghĩa Giả sử X và Y là hai biến ngẫu nhiên, có kỳ vọng và phương sai hữu hạn tương ứng E(X ), E(Y ), D(X ), D(Y ). Hệ số tương quan của hai biến ngẫu nhiên X và Y, xác định bởi E(X − E(X ))(Y − E(Y )) ρ(X , Y ) = pD(X )D(Y ) | ρ(X , Y ) |≤ 1 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 36 / 64
  81. | ρ(X , Y ) |= 1 khi và chỉ khi tồn tại a 6= 0, b ∈ R, sao cho P(Y = aX + b) = 1. Hệ số tương quan Định nghĩa Giả sử X và Y là hai biến ngẫu nhiên, có kỳ vọng và phương sai hữu hạn tương ứng E(X ), E(Y ), D(X ), D(Y ). Hệ số tương quan của hai biến ngẫu nhiên X và Y, xác định bởi E(X − E(X ))(Y − E(Y )) ρ(X , Y ) = pD(X )D(Y ) | ρ(X , Y ) |≤ 1 Nếu X và Y độc lập, thì ρ(X , Y ) = 0. Ngược lại, không đúng. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 36 / 64
  82. Hệ số tương quan Định nghĩa Giả sử X và Y là hai biến ngẫu nhiên, có kỳ vọng và phương sai hữu hạn tương ứng E(X ), E(Y ), D(X ), D(Y ). Hệ số tương quan của hai biến ngẫu nhiên X và Y, xác định bởi E(X − E(X ))(Y − E(Y )) ρ(X , Y ) = pD(X )D(Y ) | ρ(X , Y ) |≤ 1 Nếu X và Y độc lập, thì ρ(X , Y ) = 0. Ngược lại, không đúng. | ρ(X , Y ) |= 1 khi và chỉ khi tồn tại a 6= 0, b ∈ R, sao cho P(Y = aX + b) = 1. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 36 / 64
  83. Biến ngẫu nhiên hai chiều Định nghĩa Biến ngẫu nhiên 2 chiều là một ánh xạ từ một không gian Ω vào không gian 2 chiều R2 (X , Y ):7→ R2 sao cho tập {ω ∈ Ω | (X (ω), Y (ω)) < (x, y)} là biến cố ngẫu nhiên. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 37 / 64
  84. Biến ngẫu nhiên hai chiều Ví dụ Z chỉ sự phát triển của một đứa trẻ, trong đó X là chiều cao, Y là cân nặng. Như vậy, Z = (X , Y ) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 38 / 64
  85. Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc Hàm xác suất đồng thời Hàm xác suất đồng thời của (X,Y)xác định bởi pij = P(X ,Y )(X = xi , Y = yj ) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 39 / 64
  86. P P i j pij = 1 Các đặc trưng của véc tơ ngẫu nhiên hai chiều rời rạc Hàm xác suất biên duyên Hàm xác suất biên duyên của (X,Y)xác định bởi 1 P P PX (X = xi ) = j P(X ,Y )(X = xi , Y = yj ) = j pij = pi 2 P P PY (Y = yj ) = i P(X ,Y )(X = xi , Y = yj ) = i pij = pj Lưu ý: P P i pi = j pj = 1 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 40 / 64
  87. Các đặc trưng của véc tơ ngẫu nhiên hai chiều rời rạc Hàm xác suất biên duyên Hàm xác suất biên duyên của (X,Y)xác định bởi 1 P P PX (X = xi ) = j P(X ,Y )(X = xi , Y = yj ) = j pij = pi 2 P P PY (Y = yj ) = i P(X ,Y )(X = xi , Y = yj ) = i pij = pj Lưu ý: P P i pi = j pj = 1 P P i j pij = 1 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 40 / 64
  88. Các đặc trưng của véc tơ ngẫu nhiên hai chiều rời rạc Hàm xác suất có điều kiện Hàm xác suất có điều kiện xác định bởi   P X = xi , Y = yj pij P X = xi | Y = yj = = = pi|j P(Y = yj ) pi Lưu ý: Tính đầy đủ X 1 X pi|j = pij = 1 pj i i PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 41 / 64
  89. Các biến ngẫu nhiên độc lập Định nghĩa Hai biến ngẫu nhiên X và Y là độc lập,nếu    P X = xi , Y = yj = P X = xi P Y = yj hay Định nghĩa tương đương   P X = xi | Y = yj = P X = xi PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 42 / 64
  90. Kỳ vọng có điều kiện Định nghĩa Kỳ vọng của Y với điều kiện X = xi , xác định bởi X  X E(Y | X = xi ) = yj P Y = yj | X = xi = yj pi|j j PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 43 / 64
  91. Nếu X và Y độc lập, thì cov(X , Y ) = 0. Ngược lại không đúng. Hiệp phương sai Định nghĩa Hiệp phương sai của X và Y xác định bởi cov(X , Y ) = µXY = E(X − E(X ))(Y − E(Y )) Dễ thấy rằng cov(X , Y ) = E(XY ) − E(X )E(Y ) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 44 / 64
  92. Hiệp phương sai Định nghĩa Hiệp phương sai của X và Y xác định bởi cov(X , Y ) = µXY = E(X − E(X ))(Y − E(Y )) Dễ thấy rằng cov(X , Y ) = E(XY ) − E(X )E(Y ) Nếu X và Y độc lập, thì cov(X , Y ) = 0. Ngược lại không đúng. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 44 / 64
  93. −1 ≤ ρX ,Y ≤ 1 Hai biến ngẫu nhiên X và Y được gọi là có tương quan, nếu ρX ,Y 6= 0. Ngược lại, ta nói X và Y không tương quan (phân biệt với độc lập, tính độc lập mạnh hơn tính tương quan) Hệ số tương quan Định nghĩa Hệ số tương quan của X và Y xác định bởi cov(X , Y ) ρX ,Y = pD(X )D(Y ) ρX ,Y = ρY ,X PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 45 / 64
  94. Hai biến ngẫu nhiên X và Y được gọi là có tương quan, nếu ρX ,Y 6= 0. Ngược lại, ta nói X và Y không tương quan (phân biệt với độc lập, tính độc lập mạnh hơn tính tương quan) Hệ số tương quan Định nghĩa Hệ số tương quan của X và Y xác định bởi cov(X , Y ) ρX ,Y = pD(X )D(Y ) ρX ,Y = ρY ,X −1 ≤ ρX ,Y ≤ 1 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 45 / 64
  95. Hệ số tương quan Định nghĩa Hệ số tương quan của X và Y xác định bởi cov(X , Y ) ρX ,Y = pD(X )D(Y ) ρX ,Y = ρY ,X −1 ≤ ρX ,Y ≤ 1 Hai biến ngẫu nhiên X và Y được gọi là có tương quan, nếu ρX ,Y 6= 0. Ngược lại, ta nói X và Y không tương quan (phân biệt với độc lập, tính độc lập mạnh hơn tính tương quan) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 45 / 64
  96. Ý nghĩa hình học: F (x, y) là xác suất để điểm (X,Y) rơi vào hình chữ nhật vô hạn có 1 đỉnh tại điểm (x,y) Biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục (đọc thêm) Hàm phân phối đồng thời Hàm phân phối đồng thời của (X,Y)xác định bởi  F (x, y) = FX ,Y (x, y) = P X < x, Y < y = \ = P{X < x} {Y < y} Lưu ý, biến cố {X < x, Y < y} là biến cố xảy ra đồng thời {X < x} TT{Y < y} PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 46 / 64
  97. Biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục (đọc thêm) Hàm phân phối đồng thời Hàm phân phối đồng thời của (X,Y)xác định bởi  F (x, y) = FX ,Y (x, y) = P X < x, Y < y = \ = P{X < x} {Y < y} Lưu ý, biến cố {X < x, Y < y} là biến cố xảy ra đồng thời {X < x} TT{Y < y} Ý nghĩa hình học: F (x, y) là xác suất để điểm (X,Y) rơi vào hình chữ nhật vô hạn có 1 đỉnh tại điểm (x,y) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 46 / 64
  98. 1 Nếu x1 < x2, thì FX ,Y (x1, y) ≤ FX ,Y (x2, y) 2 Nếu y1 < y2, thì FX ,Y (x, y1) ≤ FX ,Y (x, y2) 3 Nếu x1 < x2, y1 < y2 thì FX ,Y (x1, y1) ≤ FX ,Y (x2, y2) FY (y) = limx→+∞ F (x, y) = FX ,Y (+∞, y) FX ,Y (+∞, +∞) = 1 F (−∞, y) = F (x, −∞) = F (−∞, −∞) = 0 Hàm phân phối đồng thời là hàm không giảm theo từng đối số và theo cả hai đối số  P x1 < X < x2; y1 < Y < y2 = F (x2, y2) − F (x1, y2) − F (x2, y1) + F (x1, y1) Tính chất FX (x) = limy→+∞ F (x, y) = FX ,Y (x, +∞) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 47 / 64
  99. 1 Nếu x1 < x2, thì FX ,Y (x1, y) ≤ FX ,Y (x2, y) 2 Nếu y1 < y2, thì FX ,Y (x, y1) ≤ FX ,Y (x, y2) 3 Nếu x1 < x2, y1 < y2 thì FX ,Y (x1, y1) ≤ FX ,Y (x2, y2) FX ,Y (+∞, +∞) = 1 F (−∞, y) = F (x, −∞) = F (−∞, −∞) = 0 Hàm phân phối đồng thời là hàm không giảm theo từng đối số và theo cả hai đối số  P x1 < X < x2; y1 < Y < y2 = F (x2, y2) − F (x1, y2) − F (x2, y1) + F (x1, y1) Tính chất FX (x) = limy→+∞ F (x, y) = FX ,Y (x, +∞) FY (y) = limx→+∞ F (x, y) = FX ,Y (+∞, y) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 47 / 64
  100. 1 Nếu x1 < x2, thì FX ,Y (x1, y) ≤ FX ,Y (x2, y) 2 Nếu y1 < y2, thì FX ,Y (x, y1) ≤ FX ,Y (x, y2) 3 Nếu x1 < x2, y1 < y2 thì FX ,Y (x1, y1) ≤ FX ,Y (x2, y2) F (−∞, y) = F (x, −∞) = F (−∞, −∞) = 0 Hàm phân phối đồng thời là hàm không giảm theo từng đối số và theo cả hai đối số  P x1 < X < x2; y1 < Y < y2 = F (x2, y2) − F (x1, y2) − F (x2, y1) + F (x1, y1) Tính chất FX (x) = limy→+∞ F (x, y) = FX ,Y (x, +∞) FY (y) = limx→+∞ F (x, y) = FX ,Y (+∞, y) FX ,Y (+∞, +∞) = 1 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 47 / 64
  101. 1 Nếu x1 < x2, thì FX ,Y (x1, y) ≤ FX ,Y (x2, y) 2 Nếu y1 < y2, thì FX ,Y (x, y1) ≤ FX ,Y (x, y2) 3 Nếu x1 < x2, y1 < y2 thì FX ,Y (x1, y1) ≤ FX ,Y (x2, y2) Hàm phân phối đồng thời là hàm không giảm theo từng đối số và theo cả hai đối số  P x1 < X < x2; y1 < Y < y2 = F (x2, y2) − F (x1, y2) − F (x2, y1) + F (x1, y1) Tính chất FX (x) = limy→+∞ F (x, y) = FX ,Y (x, +∞) FY (y) = limx→+∞ F (x, y) = FX ,Y (+∞, y) FX ,Y (+∞, +∞) = 1 F (−∞, y) = F (x, −∞) = F (−∞, −∞) = 0 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 47 / 64
  102. 1 Nếu x1 < x2, thì FX ,Y (x1, y) ≤ FX ,Y (x2, y) 2 Nếu y1 < y2, thì FX ,Y (x, y1) ≤ FX ,Y (x, y2) 3 Nếu x1 < x2, y1 < y2 thì FX ,Y (x1, y1) ≤ FX ,Y (x2, y2)  P x1 < X < x2; y1 < Y < y2 = F (x2, y2) − F (x1, y2) − F (x2, y1) + F (x1, y1) Tính chất FX (x) = limy→+∞ F (x, y) = FX ,Y (x, +∞) FY (y) = limx→+∞ F (x, y) = FX ,Y (+∞, y) FX ,Y (+∞, +∞) = 1 F (−∞, y) = F (x, −∞) = F (−∞, −∞) = 0 Hàm phân phối đồng thời là hàm không giảm theo từng đối số và theo cả hai đối số PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 47 / 64
  103. 2 Nếu y1 < y2, thì FX ,Y (x, y1) ≤ FX ,Y (x, y2) 3 Nếu x1 < x2, y1 < y2 thì FX ,Y (x1, y1) ≤ FX ,Y (x2, y2)  P x1 < X < x2; y1 < Y < y2 = F (x2, y2) − F (x1, y2) − F (x2, y1) + F (x1, y1) Tính chất FX (x) = limy→+∞ F (x, y) = FX ,Y (x, +∞) FY (y) = limx→+∞ F (x, y) = FX ,Y (+∞, y) FX ,Y (+∞, +∞) = 1 F (−∞, y) = F (x, −∞) = F (−∞, −∞) = 0 Hàm phân phối đồng thời là hàm không giảm theo từng đối số và theo cả hai đối số 1 Nếu x1 < x2, thì FX ,Y (x1, y) ≤ FX ,Y (x2, y) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 47 / 64
  104. 3 Nếu x1 < x2, y1 < y2 thì FX ,Y (x1, y1) ≤ FX ,Y (x2, y2)  P x1 < X < x2; y1 < Y < y2 = F (x2, y2) − F (x1, y2) − F (x2, y1) + F (x1, y1) Tính chất FX (x) = limy→+∞ F (x, y) = FX ,Y (x, +∞) FY (y) = limx→+∞ F (x, y) = FX ,Y (+∞, y) FX ,Y (+∞, +∞) = 1 F (−∞, y) = F (x, −∞) = F (−∞, −∞) = 0 Hàm phân phối đồng thời là hàm không giảm theo từng đối số và theo cả hai đối số 1 Nếu x1 < x2, thì FX ,Y (x1, y) ≤ FX ,Y (x2, y) 2 Nếu y1 < y2, thì FX ,Y (x, y1) ≤ FX ,Y (x, y2) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 47 / 64
  105.  P x1 < X < x2; y1 < Y < y2 = F (x2, y2) − F (x1, y2) − F (x2, y1) + F (x1, y1) Tính chất FX (x) = limy→+∞ F (x, y) = FX ,Y (x, +∞) FY (y) = limx→+∞ F (x, y) = FX ,Y (+∞, y) FX ,Y (+∞, +∞) = 1 F (−∞, y) = F (x, −∞) = F (−∞, −∞) = 0 Hàm phân phối đồng thời là hàm không giảm theo từng đối số và theo cả hai đối số 1 Nếu x1 < x2, thì FX ,Y (x1, y) ≤ FX ,Y (x2, y) 2 Nếu y1 < y2, thì FX ,Y (x, y1) ≤ FX ,Y (x, y2) 3 Nếu x1 < x2, y1 < y2 thì FX ,Y (x1, y1) ≤ FX ,Y (x2, y2) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 47 / 64
  106. Tính chất FX (x) = limy→+∞ F (x, y) = FX ,Y (x, +∞) FY (y) = limx→+∞ F (x, y) = FX ,Y (+∞, y) FX ,Y (+∞, +∞) = 1 F (−∞, y) = F (x, −∞) = F (−∞, −∞) = 0 Hàm phân phối đồng thời là hàm không giảm theo từng đối số và theo cả hai đối số 1 Nếu x1 < x2, thì FX ,Y (x1, y) ≤ FX ,Y (x2, y) 2 Nếu y1 < y2, thì FX ,Y (x, y1) ≤ FX ,Y (x, y2) 3 Nếu x1 < x2, y1 < y2 thì FX ,Y (x1, y1) ≤ FX ,Y (x2, y2)  P x1 < X < x2; y1 < Y < y2 = F (x2, y2) − F (x1, y2) − F (x2, y1) + F (x1, y1) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 47 / 64
  107. R +∞ R +∞ Đầy đủ: −∞ −∞ f (x, y)dxdy = 1 R x R y F (x, y) = −∞ −∞ f (u, v)dudv R +∞ R +∞ fX (x) = −∞ fX ,Y (x, y)dy, fY (y) = −∞ fX ,Y (x, y)dx   RR P (x, y) ∈ D = D f (x, y)dxdy Biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục Hàm mật độ xác suất đồng thời Hàm mật độ đồng thời của (X,Y)xác định bởi d2F (x, y) f (x, y) = dxdy Không âm: f (x, y) ≥ 0 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 48 / 64
  108. R x R y F (x, y) = −∞ −∞ f (u, v)dudv R +∞ R +∞ fX (x) = −∞ fX ,Y (x, y)dy, fY (y) = −∞ fX ,Y (x, y)dx   RR P (x, y) ∈ D = D f (x, y)dxdy Biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục Hàm mật độ xác suất đồng thời Hàm mật độ đồng thời của (X,Y)xác định bởi d2F (x, y) f (x, y) = dxdy Không âm: f (x, y) ≥ 0 R +∞ R +∞ Đầy đủ: −∞ −∞ f (x, y)dxdy = 1 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 48 / 64
  109. R +∞ R +∞ fX (x) = −∞ fX ,Y (x, y)dy, fY (y) = −∞ fX ,Y (x, y)dx   RR P (x, y) ∈ D = D f (x, y)dxdy Biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục Hàm mật độ xác suất đồng thời Hàm mật độ đồng thời của (X,Y)xác định bởi d2F (x, y) f (x, y) = dxdy Không âm: f (x, y) ≥ 0 R +∞ R +∞ Đầy đủ: −∞ −∞ f (x, y)dxdy = 1 R x R y F (x, y) = −∞ −∞ f (u, v)dudv PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 48 / 64
  110.   RR P (x, y) ∈ D = D f (x, y)dxdy Biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục Hàm mật độ xác suất đồng thời Hàm mật độ đồng thời của (X,Y)xác định bởi d2F (x, y) f (x, y) = dxdy Không âm: f (x, y) ≥ 0 R +∞ R +∞ Đầy đủ: −∞ −∞ f (x, y)dxdy = 1 R x R y F (x, y) = −∞ −∞ f (u, v)dudv R +∞ R +∞ fX (x) = −∞ fX ,Y (x, y)dy, fY (y) = −∞ fX ,Y (x, y)dx PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 48 / 64
  111. Biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục Hàm mật độ xác suất đồng thời Hàm mật độ đồng thời của (X,Y)xác định bởi d2F (x, y) f (x, y) = dxdy Không âm: f (x, y) ≥ 0 R +∞ R +∞ Đầy đủ: −∞ −∞ f (x, y)dxdy = 1 R x R y F (x, y) = −∞ −∞ f (u, v)dudv R +∞ R +∞ fX (x) = −∞ fX ,Y (x, y)dy, fY (y) = −∞ fX ,Y (x, y)dx   RR P (x, y) ∈ D = D f (x, y)dxdy PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 48 / 64
  112. Ví dụ Bài toán Tính xác suất để√ điểm ngẫu nhiên√ rơi vào miền chữ nhật KLMN có các đỉnh K(1, 1), L( 3, 1), M(1, 0), N( 3, 0), với hàm mật độ đồng thời của (X,Y)xác định bởi 1 f (x, y) = π2(1 + x2)(1 + y 2) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 49 / 64
  113. Giải Ta có ZZ  1 P (x, y) ∈ D = 2 2 2 dxdy = D π (1 + x )(1 + y ) √ 1 Z 1 dy Z 3 dx = 2 2 2 = π 0 1 + y 0 1 + x 1 Z 1 dy π π = 2 2 ( ) − = π 0 1 + y 3 4 1 π π = ( − )(arctg 1-arctg 0) = π2 3 4 1 π π 1 = = π2 12 4 48 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 50 / 64
  114. Biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục Hàm phân phối xác suất có điều kiện Hàm phân phối xác suất có điều kiện của X với điều kiện {Y = y} xác định bởi PX ≤ x, Y = y F (x | y) = X PY = y Hàm mật độ xác suất có điều kiện Hàm mật độ xác suất có điều kiện của X với điều kiện {Y = y} xác định bởi dFX (x | y) fXY (x, y) fX (x | y) = = dx fY (y) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 51 / 64
  115. 2 fX ,Y (x, y) = fX (x)fY (y) 2 3 FX (x | y) = FX (x), ∀(x, y) ∈ R 2 4 fX (x | y) = fX (x), ∀(x, y) ∈ R Tính độc lập của biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục Hai biến ngẫu nhiên X và Y là độc lập khi và chỉ khi một trong các điều sau thỏa mãn 1 FX ,Y (x, y) = FX (x)FY (y) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 52 / 64
  116. 2 3 FX (x | y) = FX (x), ∀(x, y) ∈ R 2 4 fX (x | y) = fX (x), ∀(x, y) ∈ R Tính độc lập của biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục Hai biến ngẫu nhiên X và Y là độc lập khi và chỉ khi một trong các điều sau thỏa mãn 1 FX ,Y (x, y) = FX (x)FY (y) 2 fX ,Y (x, y) = fX (x)fY (y) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 52 / 64
  117. 2 4 fX (x | y) = fX (x), ∀(x, y) ∈ R Tính độc lập của biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục Hai biến ngẫu nhiên X và Y là độc lập khi và chỉ khi một trong các điều sau thỏa mãn 1 FX ,Y (x, y) = FX (x)FY (y) 2 fX ,Y (x, y) = fX (x)fY (y) 2 3 FX (x | y) = FX (x), ∀(x, y) ∈ R PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 52 / 64
  118. Tính độc lập của biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục Hai biến ngẫu nhiên X và Y là độc lập khi và chỉ khi một trong các điều sau thỏa mãn 1 FX ,Y (x, y) = FX (x)FY (y) 2 fX ,Y (x, y) = fX (x)fY (y) 2 3 FX (x | y) = FX (x), ∀(x, y) ∈ R 2 4 fX (x | y) = fX (x), ∀(x, y) ∈ R PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 52 / 64
  119. Tìm hàm phân phối xác suất FX (x). Tính E(2X + 3) và D(4X − 1). Tính P(0 < X ≤ 2) Bài tập Bài tập 1. Một hộp kín có 3 viên bi xanh và 4 bi đỏ. Lấy lần lượt 2 bi từ hộp đó. Gọi X là số bi xanh được lấy ra. Lập bảng phân phối xác suất của X PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 53 / 64
  120. Tính E(2X + 3) và D(4X − 1). Tính P(0 < X ≤ 2) Bài tập Bài tập 1. Một hộp kín có 3 viên bi xanh và 4 bi đỏ. Lấy lần lượt 2 bi từ hộp đó. Gọi X là số bi xanh được lấy ra. Lập bảng phân phối xác suất của X Tìm hàm phân phối xác suất FX (x). PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 53 / 64
  121. Tính P(0 < X ≤ 2) Bài tập Bài tập 1. Một hộp kín có 3 viên bi xanh và 4 bi đỏ. Lấy lần lượt 2 bi từ hộp đó. Gọi X là số bi xanh được lấy ra. Lập bảng phân phối xác suất của X Tìm hàm phân phối xác suất FX (x). Tính E(2X + 3) và D(4X − 1). PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 53 / 64
  122. Bài tập Bài tập 1. Một hộp kín có 3 viên bi xanh và 4 bi đỏ. Lấy lần lượt 2 bi từ hộp đó. Gọi X là số bi xanh được lấy ra. Lập bảng phân phối xác suất của X Tìm hàm phân phối xác suất FX (x). Tính E(2X + 3) và D(4X − 1). Tính P(0 < X ≤ 2) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 53 / 64
  123. Bài tập Bài tập 2. Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất 2013 lần. Gọi X là số điểm sau 2013 lần gieo. Tính E(X ) và D(X ). Bài tập 3. Gieo một đồng xu cân đối đồng chất cho tới khi nào xuất hiện mặt sấp đầu tiên thì ngừng gieo. Gọi X là số lần gieo. Tính E(X ) và D(X ). PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 54 / 64
  124. Bài tập Bài tập 4. Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất cho tới khi nào xuất hiện mặt lục đầu tiên thì ngừng gieo. Gọi X là số lần gieo. Tính E(X ) và D(X ). Bài tập 5. Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ C f (x) = X e−x + ex Tính hệ số C Xác định hàm phân phối xác suất FX (x). Phải quan sát biến√ X bao nhiêu lần để xác suất có ít nhất một lần biến X ∈ (ln √1 ; ln 3) không bé hơn 0.999 3 PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 55 / 64
  125. Tìm mod (X). Tính xác suất để côn trùng chết trước khi nó được 1 tháng tuổi. Bài tập Bài tập 6 Tuổi thọ của một loại côn trùng nào đó là một biến ngẫu nhiên X (đơn vị là tháng) với hàm mật độ như sau ( Kx2(4 − x), nếu 0 ≤ x ≤ 4 pX (x) = 0, nếu x > 4; x < 0. Tìm K và vẽ đồ thị của pX (x). PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 56 / 64
  126. Tính xác suất để côn trùng chết trước khi nó được 1 tháng tuổi. Bài tập Bài tập 6 Tuổi thọ của một loại côn trùng nào đó là một biến ngẫu nhiên X (đơn vị là tháng) với hàm mật độ như sau ( Kx2(4 − x), nếu 0 ≤ x ≤ 4 pX (x) = 0, nếu x > 4; x < 0. Tìm K và vẽ đồ thị của pX (x). Tìm mod (X). PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 56 / 64
  127. Bài tập Bài tập 6 Tuổi thọ của một loại côn trùng nào đó là một biến ngẫu nhiên X (đơn vị là tháng) với hàm mật độ như sau ( Kx2(4 − x), nếu 0 ≤ x ≤ 4 pX (x) = 0, nếu x > 4; x < 0. Tìm K và vẽ đồ thị của pX (x). Tìm mod (X). Tính xác suất để côn trùng chết trước khi nó được 1 tháng tuổi. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 56 / 64
  128. Viết biểu thức hàm phân phối xác suất FX (x). Chọn ra 4 sản phẩm thì có mấy phế phẩm hay xẩy ra hơn cả. Nếu kiểm tra ngẫu nhiên 4 sản phẩm không gặp một phế phẩm nào thì chấp nhận lô hàng. Tìm xác suất để không nhận lô hàng đó. Bài tập Bài tập 7 Trong một lô hàng 15 sản phẩm có 5 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên đồng thời ra 4 sản phẩm. Gọi X là số phế phẩm được lấy ra. Lập bảng phân phối xác suất của X. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 57 / 64
  129. Chọn ra 4 sản phẩm thì có mấy phế phẩm hay xẩy ra hơn cả. Nếu kiểm tra ngẫu nhiên 4 sản phẩm không gặp một phế phẩm nào thì chấp nhận lô hàng. Tìm xác suất để không nhận lô hàng đó. Bài tập Bài tập 7 Trong một lô hàng 15 sản phẩm có 5 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên đồng thời ra 4 sản phẩm. Gọi X là số phế phẩm được lấy ra. Lập bảng phân phối xác suất của X. Viết biểu thức hàm phân phối xác suất FX (x). PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 57 / 64
  130. Nếu kiểm tra ngẫu nhiên 4 sản phẩm không gặp một phế phẩm nào thì chấp nhận lô hàng. Tìm xác suất để không nhận lô hàng đó. Bài tập Bài tập 7 Trong một lô hàng 15 sản phẩm có 5 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên đồng thời ra 4 sản phẩm. Gọi X là số phế phẩm được lấy ra. Lập bảng phân phối xác suất của X. Viết biểu thức hàm phân phối xác suất FX (x). Chọn ra 4 sản phẩm thì có mấy phế phẩm hay xẩy ra hơn cả. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 57 / 64
  131. Bài tập Bài tập 7 Trong một lô hàng 15 sản phẩm có 5 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên đồng thời ra 4 sản phẩm. Gọi X là số phế phẩm được lấy ra. Lập bảng phân phối xác suất của X. Viết biểu thức hàm phân phối xác suất FX (x). Chọn ra 4 sản phẩm thì có mấy phế phẩm hay xẩy ra hơn cả. Nếu kiểm tra ngẫu nhiên 4 sản phẩm không gặp một phế phẩm nào thì chấp nhận lô hàng. Tìm xác suất để không nhận lô hàng đó. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 57 / 64
  132. Xác định hàm phân phối xác suất của X. Tính Kỳ vọng E(X) và phương sai D(X). Bài tập Bài tập 8 Hộp thứ nhất có 2 viên bi màu đỏ và 3 viên bi màu xanh. Hộp thứ hai có 1 viên bi màu đỏ và 4 viên bi màu xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp thứ nhất bỏ sang hộp thứ hai. Sau đó lấy từ hộp thứ hai ra 2 viên bi. Gọi X là số bi đỏ được lấy ra. Lập bảng phân phối xác suất của X. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 58 / 64
  133. Tính Kỳ vọng E(X) và phương sai D(X). Bài tập Bài tập 8 Hộp thứ nhất có 2 viên bi màu đỏ và 3 viên bi màu xanh. Hộp thứ hai có 1 viên bi màu đỏ và 4 viên bi màu xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp thứ nhất bỏ sang hộp thứ hai. Sau đó lấy từ hộp thứ hai ra 2 viên bi. Gọi X là số bi đỏ được lấy ra. Lập bảng phân phối xác suất của X. Xác định hàm phân phối xác suất của X. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 58 / 64
  134. Bài tập Bài tập 8 Hộp thứ nhất có 2 viên bi màu đỏ và 3 viên bi màu xanh. Hộp thứ hai có 1 viên bi màu đỏ và 4 viên bi màu xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp thứ nhất bỏ sang hộp thứ hai. Sau đó lấy từ hộp thứ hai ra 2 viên bi. Gọi X là số bi đỏ được lấy ra. Lập bảng phân phối xác suất của X. Xác định hàm phân phối xác suất của X. Tính Kỳ vọng E(X) và phương sai D(X). PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 58 / 64
  135. Tìm hàm phân phối xác suất FX (x) của biến X Bài tập Bài tập 9 Hộp thứ nhất có 2 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh. Hộp thứ hai có 1 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp thứ nhất bỏ sang hộp thứ hai. Sau đó lấy từ hộp thứ hai ra 2 viên bi. Gọi X là số viên bi đỏ được lấy ra. Lập dãy phân phối xác suất cho biến ngẫu nhiên X PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 59 / 64
  136. Bài tập Bài tập 9 Hộp thứ nhất có 2 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh. Hộp thứ hai có 1 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp thứ nhất bỏ sang hộp thứ hai. Sau đó lấy từ hộp thứ hai ra 2 viên bi. Gọi X là số viên bi đỏ được lấy ra. Lập dãy phân phối xác suất cho biến ngẫu nhiên X Tìm hàm phân phối xác suất FX (x) của biến X PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 59 / 64
  137. Xác định hàm phân phối xác suất FX (x) và vẽ đồ thị hàm FX (x) Tính E(2X + 3) và D(3X − 4) Tính xác suất P(0 < X ≤ 2) qua biểu thức của hàm phân phối xác suất FX (x). Bài tập Bài tập 10 Một hộp kín có 2 sản phẩm loại A và 3 sản phẩm loại B. Lấy đồng thời ra 2 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm loại A lấy ra. Lập bảng phân phối xác suất của X PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 60 / 64
  138. Tính E(2X + 3) và D(3X − 4) Tính xác suất P(0 < X ≤ 2) qua biểu thức của hàm phân phối xác suất FX (x). Bài tập Bài tập 10 Một hộp kín có 2 sản phẩm loại A và 3 sản phẩm loại B. Lấy đồng thời ra 2 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm loại A lấy ra. Lập bảng phân phối xác suất của X Xác định hàm phân phối xác suất FX (x) và vẽ đồ thị hàm FX (x) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 60 / 64
  139. Tính xác suất P(0 < X ≤ 2) qua biểu thức của hàm phân phối xác suất FX (x). Bài tập Bài tập 10 Một hộp kín có 2 sản phẩm loại A và 3 sản phẩm loại B. Lấy đồng thời ra 2 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm loại A lấy ra. Lập bảng phân phối xác suất của X Xác định hàm phân phối xác suất FX (x) và vẽ đồ thị hàm FX (x) Tính E(2X + 3) và D(3X − 4) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 60 / 64
  140. Bài tập Bài tập 10 Một hộp kín có 2 sản phẩm loại A và 3 sản phẩm loại B. Lấy đồng thời ra 2 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm loại A lấy ra. Lập bảng phân phối xác suất của X Xác định hàm phân phối xác suất FX (x) và vẽ đồ thị hàm FX (x) Tính E(2X + 3) và D(3X − 4) Tính xác suất P(0 < X ≤ 2) qua biểu thức của hàm phân phối xác suất FX (x). PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 60 / 64
  141. Xác định hàm phân phối xác suất FX (x) và vẽ đồ thị hàm FX (x) Tính các đặc trưng của X như kỳ vọng E(X ), phương sai D(X ), median Med và số trội Mod Phải quan sát biến X bao nhiêu lần để xác suất có ít nhất một lần π biến X ∈ (0, 4 ) không bé hơn 0.995. Bài tập Bài tập 11 Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất ( π A cos x, nếu| x |≤ 2 pX (x) = π 0, nếu | x |> 2 . Xác định hệ số A. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 61 / 64
  142. Tính các đặc trưng của X như kỳ vọng E(X ), phương sai D(X ), median Med và số trội Mod Phải quan sát biến X bao nhiêu lần để xác suất có ít nhất một lần π biến X ∈ (0, 4 ) không bé hơn 0.995. Bài tập Bài tập 11 Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất ( π A cos x, nếu| x |≤ 2 pX (x) = π 0, nếu | x |> 2 . Xác định hệ số A. Xác định hàm phân phối xác suất FX (x) và vẽ đồ thị hàm FX (x) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 61 / 64
  143. Phải quan sát biến X bao nhiêu lần để xác suất có ít nhất một lần π biến X ∈ (0, 4 ) không bé hơn 0.995. Bài tập Bài tập 11 Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất ( π A cos x, nếu| x |≤ 2 pX (x) = π 0, nếu | x |> 2 . Xác định hệ số A. Xác định hàm phân phối xác suất FX (x) và vẽ đồ thị hàm FX (x) Tính các đặc trưng của X như kỳ vọng E(X ), phương sai D(X ), median Med và số trội Mod PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 61 / 64
  144. Bài tập Bài tập 11 Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất ( π A cos x, nếu| x |≤ 2 pX (x) = π 0, nếu | x |> 2 . Xác định hệ số A. Xác định hàm phân phối xác suất FX (x) và vẽ đồ thị hàm FX (x) Tính các đặc trưng của X như kỳ vọng E(X ), phương sai D(X ), median Med và số trội Mod Phải quan sát biến X bao nhiêu lần để xác suất có ít nhất một lần π biến X ∈ (0, 4 ) không bé hơn 0.995. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 61 / 64
  145. Xác định hàm phân phối xác suất FX (x) và vẽ đồ thị hàm FX (x) Tính E(2X + 3) và D(3X − 4) Bài tập Bài tập 12. Một hộp kín có 2 viên bi đen và 3 viên bi trắng. Lấy lần lượt (có hoàn lại) từng viên bi cho tới khi lấy được viên bi trắng. Gọi X là số viên bi đen được lấy ra. Lập bảng phân phối xác suất của X PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 62 / 64
  146. Tính E(2X + 3) và D(3X − 4) Bài tập Bài tập 12. Một hộp kín có 2 viên bi đen và 3 viên bi trắng. Lấy lần lượt (có hoàn lại) từng viên bi cho tới khi lấy được viên bi trắng. Gọi X là số viên bi đen được lấy ra. Lập bảng phân phối xác suất của X Xác định hàm phân phối xác suất FX (x) và vẽ đồ thị hàm FX (x) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 62 / 64
  147. Bài tập Bài tập 12. Một hộp kín có 2 viên bi đen và 3 viên bi trắng. Lấy lần lượt (có hoàn lại) từng viên bi cho tới khi lấy được viên bi trắng. Gọi X là số viên bi đen được lấy ra. Lập bảng phân phối xác suất của X Xác định hàm phân phối xác suất FX (x) và vẽ đồ thị hàm FX (x) Tính E(2X + 3) và D(3X − 4) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 62 / 64
  148. Xác định hàm phân phối xác suất FX (x) và vẽ đồ thị hàm FX (x) Nếu trong số 3 sản phẩm lấy ra có ít nhất một phế phẩm thì lô hàng không được chấp nhận. Tính xác suất lô hàng không được chấp nhận. Bài tập Bài tập 13. Một lô hàng có 10 sản phẩm trong đó có 3 phế phẩm. Lấy đồng thời từ lô hàng ra 3 sản phẩm. Gọi X là số phế phẩm được lấy ra. Lập bảng phân phối xác suất của X PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 63 / 64
  149. Nếu trong số 3 sản phẩm lấy ra có ít nhất một phế phẩm thì lô hàng không được chấp nhận. Tính xác suất lô hàng không được chấp nhận. Bài tập Bài tập 13. Một lô hàng có 10 sản phẩm trong đó có 3 phế phẩm. Lấy đồng thời từ lô hàng ra 3 sản phẩm. Gọi X là số phế phẩm được lấy ra. Lập bảng phân phối xác suất của X Xác định hàm phân phối xác suất FX (x) và vẽ đồ thị hàm FX (x) PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 63 / 64
  150. Bài tập Bài tập 13. Một lô hàng có 10 sản phẩm trong đó có 3 phế phẩm. Lấy đồng thời từ lô hàng ra 3 sản phẩm. Gọi X là số phế phẩm được lấy ra. Lập bảng phân phối xác suất của X Xác định hàm phân phối xác suất FX (x) và vẽ đồ thị hàm FX (x) Nếu trong số 3 sản phẩm lấy ra có ít nhất một phế phẩm thì lô hàng không được chấp nhận. Tính xác suất lô hàng không được chấp nhận. PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 63 / 64
  151. Tìm hàm phân phối xác suất FX ,Y (x, y). Tính các hàm phân phối biên duyên FX (x) và FY (y). Các biến ngẫu nhiên X và Y có độc lập không? Bài tập Bài tập 14. Véc tơ ngẫu nhiên (X,Y) có hàm mật độ C f (x, y) = π2(1 + x2)(1 + y 2) Xác định hệ số C PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 64 / 64
  152. Tính các hàm phân phối biên duyên FX (x) và FY (y). Các biến ngẫu nhiên X và Y có độc lập không? Bài tập Bài tập 14. Véc tơ ngẫu nhiên (X,Y) có hàm mật độ C f (x, y) = π2(1 + x2)(1 + y 2) Xác định hệ số C Tìm hàm phân phối xác suất FX ,Y (x, y). PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 64 / 64
  153. Các biến ngẫu nhiên X và Y có độc lập không? Bài tập Bài tập 14. Véc tơ ngẫu nhiên (X,Y) có hàm mật độ C f (x, y) = π2(1 + x2)(1 + y 2) Xác định hệ số C Tìm hàm phân phối xác suất FX ,Y (x, y). Tính các hàm phân phối biên duyên FX (x) và FY (y). PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 64 / 64
  154. Bài tập Bài tập 14. Véc tơ ngẫu nhiên (X,Y) có hàm mật độ C f (x, y) = π2(1 + x2)(1 + y 2) Xác định hệ số C Tìm hàm phân phối xác suất FX ,Y (x, y). Tính các hàm phân phối biên duyên FX (x) và FY (y). Các biến ngẫu nhiên X và Y có độc lập không? PGS.TS.Trần Lộc Hùng (Tp. Hồ Chí Minh - 2013)Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Ngày 16 tháng 9 năm 2013 64 / 64