Bài giảng môn Xác suất thống kê

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Nội dung text: Bài giảng môn Xác suất thống kê

BÀI GIẢNG XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Ch ’u’ong1 ˜ ’ ` NHUNG’ KHAI´ NIEˆ. MCOB’ AN VEXˆ AC´ SUATˆ´ ’ ` ’ 1. BOTˆ UC´ VEˆ GIAI’ T´ICH TOHˆ O.’P 1.1 Qui tac˘´ nhˆan ’ Gia’ su’ mˆo.t cˆongviˆe.c n`ao¯d´o¯du’o.’c chia th`anhk giai ¯doa.n. C´o n1 c´ach thu.’c hiˆe.n giai ´ ´ ´ ´ ¯doa.n thu’ nhˆat, n2 c´ach thu.’c hiˆe.n giai ¯doa.n thu’ hai, ,nk c´ach thu.’c hiˆe.n giai ¯doa.n thu’ k. Khi ¯d´ota c´o n = n1.n2 . . . nk c´ach thu.’c hiˆe.n cˆongviˆe.c. ’ ´ ’ V´ıdu. 1 Gia’ su’’ ¯dˆe¯ditu`’ A ¯dˆenC´ ta bat˘ buˆo. c phai’ ¯diqua ¯diˆemB. C´o3 ¯du’ong`’ kh´ac • nhau ¯dˆe¯dit’ u`’ A ¯dˆenB´ v`ac´o2 ¯du’ong`’ kh´acnhau ¯dˆe¯dit’ u`’ B ¯dˆenC.´ Vˆa. y c´o n = 3.2 c´ach kh´acnhau ¯dˆe¯dit’ u`’ A ¯dˆenC.´ AB C 1.2 Chinh’ ho.’p 2 ¯D.inh nghia˜ 1 Chinh’ ho.’p chˆa. p k cua’ n phˆant` u’’ (k n) l`amˆo. t nh´om(bˆo. ) c´othu´’ tu.’ ≤ gˆomk` phˆant` u’’ kh´acnhau cho. n tu`’ n phˆant` u’’ ¯d˜acho. ´ ’ ` ’ k Sˆochinh ho.’p chˆa. p k cua’ n phˆantu’ k´ıhiˆe. u l`a An. n! Cˆongthuc´’ t´ınh: Ak = = n(n 1) (n k + 1) n (n k)! − − − ’ V´ıdu. 2 Mˆo. t buˆoiho. p gˆom12` ngu’oi`’ tham du.’.Hoi’ c´omˆayc´achcho´ . n mˆo. t chu’ to. a • v`amˆo. t thu’ k´y? Giai’ ’ Mˆoic´ach˜ cho.n mˆo.t chu’ to.a v`amˆo.t thu’ k´ytu`’ 12 ngu’oi`’ tham du.’ buˆoiho.p l`amˆo.t chinh’ ho.’p chˆa.p k cua’ 12 phˆant` u.’’ 1
2 Ch ’u’ong1. Nhung˜’ kh´ainiˆemc. o’ ban’ vˆex´acsu` ˆat´ ´ 2 Do ¯d´osˆoc´ach cho.n l`a A12 = 12.11 = 132. ’ V´ıdu. 3 Voi´’ c´acchu˜’ sˆo0,1,2,3,4,5´ c´othˆelˆa. p ¯du’o.’c bao nhiˆeusˆokh´acnhau´ gˆom4` •chu˜’ sˆo.´ Giai’ C´acsˆob´ at˘´ ¯dˆaub` ang˘` chu˜’ sˆo0´ (0123, 0234, ) khˆongphai’ l`asˆog´ ˆom4` chu˜’ sˆo.´ Chu˜’ sˆo¯d´ ˆautiˆenph` ai’ cho.n trong c´acchu˜’ sˆo1,2,3,4,5.´ Do ¯d´oc´o5 c´ach cho.n chu˜’ sˆo´ ¯dˆau` tiˆen. ´ ´ ´ ’ ´ 3 Ba chu˜’ sˆokˆetiˆepc´othˆecho.n t`uy´ytrong 5 chu˜’ sˆoc`onla.i. C´o A5 c´ach cho.n. ´ 3 Vˆa.y sˆoc´ach cho.n l`a5.A5 = 5.(5.4.3) = 300 1.3 Chinh’ ho.’p la˘.p 2 ¯D.inh nghia˜ 2 Chinh’ ho.’p la˘. p chˆa. p k cua’ n phˆant` u’’ l`amˆo. t nh´omc´othu´’ tu.’ gˆomk` phˆant` u’’ cho. n tu`’ n phˆant` u’’ ¯d˜acho, trong ¯d´omˆoiph˜ ˆant` u’’ c´othˆec´om’ a˘. t 1,2, ,k lˆantrong` nh´om. ´ ’ ` ’ k Sˆochinh ho.’p la˘. p cha˘. p k cua’ n phˆantu’ ¯du’o.’c k´ıhiˆe. u Bn. Cˆongthuc´’ t´ınh k k Bn = n V´ıdu. 4 Xˆep5´ cuˆons´achv`ao3´ ngan.˘ Hoi’ c´obao nhiˆeuc´achxˆep?´ • Giai’ Mˆoic´ach˜ xˆep5´ cuˆons´ach´ v`ao3 ngan˘ l`amˆo.t chinh’ ho.’p la˘.p chˆa.p 5 cua’ 3 (Mˆoil˜ ˆan` xˆep1´ cuˆons´ach´ v`ao1 ngan˘ xem nhu’ cho.n 1 ngan˘ trong 3 ngan.˘ Do c´o5 cuˆons´ach´ nˆen viˆe.c cho.n ngan˘ ¯du’o.’c tiˆenh`anh5´ lˆan).` ´ ´ 5 5 Vˆa.y sˆoc´ach xˆepl`a B3 = 3 = 243. 1.4 Ho´anvi. 2 ¯D.inh nghia˜ 3 Ho´anvi. cua’ m phˆant` u’’ l`amˆo. t nh´omc´othu´’ tu.’ gˆom¯d` u’ ma˘. t m phˆan` tu’’ ¯d˜acho. ´ ’ Sˆoho´anvi. cua’ m phˆant` u’ ¯du’o.’c k´ıhiˆe.u l`a Pm. Cˆongthuc´’ t´ınh Pm = m! V´ıdu. 5 Mˆo. t b`anc´o4 ho. c sinh. Hoi’ c´omˆayc´achx´ ˆepch´ ˆong˜ ˆoi?` • Giai’ Mˆoic´ach˜ xˆepch´ ˆoc˜ ua’ 4 ho.c sinh o’’ mˆo.t b`anl`amˆo.t ho´anvi. cua’ 4 phˆant` u.’’ Do ¯d´osˆo´ c´ach xˆepl`a´ P4 = 4! = 24.
1. Bˆot´ucv’ ˆegi` ai’ t´ıch tˆoh’ op.’ 3 ’ 1.5 Tˆoho.’p ’ 2 ¯D.inh nghia˜ 4 Tˆoho.’p chˆa. p k cua’ n phˆant` u’’ (k n) l`amˆo. t nh´omkhˆongphˆanbiˆe.t ≤ thu´’ tu.’, gˆomk` phˆant` u’’ kh´acnhau cho. n tu`’ n phˆant` u’’ ¯d˜acho. ´ ’ ` ’ k Sˆotˆoho.’p chˆa. p k cua’ n phˆantu’ k´ıhiˆe.u l`a Cn. Cˆongthuc´’ t´ınh n! n(n 1) (n k + 1) Ck = = − − n k!(n k)! k! − Ch´u´y i) Qui u’oc´’ 0! = 1. k n k ii) Cn = Cn− . k k 1 k iii) Cn = Cn−1 + Cn 1. − − ’ V´ıdu. 6 Mˆoi¯d˜ ˆethi` gˆom3` cˆauhoi’ lˆaytrong´ 25 cˆauhoi’ cho tru’oc.´’ Hoi’ c´othˆelˆa. p •nˆenbao nhiˆeu¯dˆethi` kh´acnhau ? Giai’ 25! 25.24.23 Sˆo¯d´ ˆethi` c´othˆelˆa’ p nˆenl`a C3 = = = 2.300. . 25 3!.(22)! 1.2.3 ’ ’ ’ V´ıdu. 7 Mˆo. t m´ayt´ınhc´o16 cˆong.Gia’ su’’ ta. i mˆoith˜ oi`’ ¯diˆembˆatk`ym´ ˆoic˜ ˆonghoa˘. c • trong su’’ du. ng hoa˘. c khˆongtrong su’’ du. ng nhung’ c´othˆehoa’ . t ¯dˆo. ng hoa˘. c khˆongthˆehoa’ . t ¯dˆo. ng. Hoi’ c´obao nhiˆeucˆauh`ınh(c´achcho´ . n) trong ¯d´o10 cˆongtrong’ su’’ du. ng, 4 khˆong trong su’’ du. ng nhung’ c´othˆehoa’ . t ¯dˆo. ng v`a2 khˆonghoa. t ¯dˆo. ng? Giai’ ’ ¯Dˆex´ac¯di.nh sˆoc´ach´ cho.n ta qua 3 bu’oc:´’ ´ ’ ’ 10 Bu’oc’ 1: Cho.n 10 cˆongsu’ du. ng: c´o C16 = 8008 c´ach. Bu’oc´’ 2: Cho.n 4 cˆongkhˆongtrong’ su’’ du. ng nhung’ c´othˆehoa’ .t ¯dˆo.ng trong 6 cˆongc`on’ 4 la.i: c´o C6 = 15 c´ach. ´ ’ ’ 2 Bu’oc’ 3: Cho.n 2 cˆongkhˆongthˆehoa.t ¯dˆo.ng: c´o C2 = 1 c´ach. ´ 10 4 2 Theo qui tac˘ nhˆan,ta c´o C16 .C6 .C2 = (8008).(15).(1) = 120.120 c´ach. 1.6 Nhi. thuc´’ Newton O’’ phˆothˆongta’ ¯d˜abiˆetc´ach´ ang˘` ¯dang˘’ thuc´’ ¯d´angnho´’ a + b = a1 + b1 (a + b)2 = a2 + 2a1b1 + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2b1 + 3a1b2 + b3 C´achˆe. sˆotrong´ c´achang˘` ¯dang˘’ thuc´’ trˆenc´othˆex´ac¯di’ .nh tu`’ tam gi´acPascal
4 Ch ’u’ong1. Nhung˜’ kh´ainiˆemc. o’ ban’ vˆex´acsu` ˆat´ 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 0 1 2 3 4 n 1 n Cn Cn Cn Cn Cn Cn− Cn ’ Newton ¯d˜achung´’ minh ¯du’o.’c cˆongthuc´’ tˆongqu´atsau (Nhi. thuc´’ Newton): n n k n k k (a + b) = Cna − b k=o X0 n 1 n 1 2 n 2 2 k n k k n 1 n 1 n n = Cna + Cna − b + Cna − b + + Cna − b + + Cn− ab − + Cn b (a,b l`ac´acsˆoth´ u.’c; n l`asˆot´ u.’ nhiˆen) ´ ´ ´ ´ 2. BIENˆ COVˆ A` QUAN HEˆ. GIUA˜’ CAC´ BIENˆ COˆ 2.1 Ph´epthu’’ v`abiˆenc´ ˆo´ ’ Viˆe.c thu.’c hiˆe.n mˆo.t nh´omc´ac¯diˆeukiˆe` .n co’ ban’ ¯dˆequan s´atmˆo.t hiˆe.n tu’o.’ng n`ao¯d´o ’ ¯du’o.’c go.i mˆo.t ph´epthu.’’ C´ackˆetqu´ a’ c´othˆexay’ ra cua’ ph´epthu’’ ¯du’o.’c go.i l`abiˆenc´ ˆo(s´ u.’ kiˆe.n). V´ıdu. 8 • i) Tung ¯dˆongti` ˆenlˆenl`amˆo` . t ph´epthu.’’ ¯ Dˆongti` ˆenlˆa` . t ma˘. t n`ao¯d´o(xˆap,ng´ ua)’’ l`amˆo. t biˆenc´ ˆo.´ ii) Ban˘´ mˆo. t ph´ats´ungv`aomˆo. t c´aibia l`amˆo. t ph´epthu.’’ Viˆe. c viˆen¯da. n tr´ung(trˆa. t) bia l`amˆo. t biˆenc´ ˆo.´ 2.2 C´acbiˆenc´ ˆov`aquan´ hˆe. giua˜’ c´acbiˆenc´ ˆo´ i) Quan hˆe. k´eotheo Biˆenc´ ˆoA´ ¯du’o.’c go.i l`ak´eotheo biˆenc´ ˆoB,´ k´ıhiˆe.u A B, nˆeuA´ xay’ ra th`ıB xay’ ra. ⊂ ii) Quan hˆe. tu’ong’ ¯du’ong’ Hai biˆenc´ ˆoA´ v`aB ¯du’o.’c go.i l`atu’ong’ ¯du’ong’ voi´’ nhau nˆeu´ A B v`a B A, k´ıhiˆe.u A = B. ⊂ ⊂ iii) Biˆenc´ ˆos´ o’ cˆap´ ’ Biˆenc´ ˆos´ o’ cˆapl`abi´ ˆenc´ ˆokhˆongth´ ˆephˆant´ıch ¯du’o.’c nua˜’ ¯du’o.’c nua.’ iv) Biˆenc´ ˆoch´ ac˘´ chan˘´ L`abiˆenc´ ˆonh´ ˆat¯di´ .nh s˜exay’ ra khi thu.’c hiˆe.n ph´epthu.’’ K´ıhiˆe.u Ω.
2. Biˆenc´ ˆov`aquan´ hˆegi. ua˜’ c´acbiˆenc´ ˆo´ 5 ´ ´ V´ıdu. 9 Tung mˆo. t con x´ucxac.˘ Biˆenc´ ˆom´ a˘. t con x´ucxac˘ c´osˆoch´ ˆamb´eh´ on’ 7 l`a bi• ˆenc´ ˆoch´ ac˘´ chan.˘´ v) Biˆenc´ ˆokhˆongth´ ˆe’ L`abiˆenc´ ˆonh´ ˆat¯di´ .nh khˆongxay’ ra khi thu.’c hiˆe.n ph´epthu.’’ K´ıhiˆe.u . ∅ ’ Nhˆa.n x´et Biˆenc´ ˆokhˆongth´ ˆe khˆongbao h`ammˆo.t biˆenc´ ˆos´ o’ cˆapn`ao,ngh´ ia˜ l`a ⊕ ∅ ’ khˆongc´obiˆenc´ ˆos´ o’ cˆapn`aothuˆa´ .n lo.’i cho biˆencˆokhˆongth´ ˆe. vi) Biˆenc´ ˆong´ ˆaunhiˆen˜ ’ L`abiˆenc´ ˆoc´oth´ ˆexay’ ra hoa˘.c khˆongxay’ ra khi thu.’c hiˆe.n ph´epthu.’’ Ph´epthu’’ m`a c´ackˆetqu´ a’ cua’ n´ol`ac´acbiˆenc´ ˆong´ ˆaunhiˆen¯d˜ u’o.’c go.i l`aph´epthu’’ ngˆaunhiˆen.˜ vii) Biˆenc´ ˆot´ ˆong’ ’ Biˆenc´ ˆoC´ ¯du’o.’c go.i l`atˆongcua’ hai biˆenc´ ˆoA´ v`aB, k´ıhiˆe.u C = A + B, nˆeuC´ xay’ ra khi v`achi’ khi ´ıtnhˆatmˆo´ .t trong hai biˆenc´ ˆoA´ v`aB xay’ ra. ´ V´ıdu. 10 Hai ngu’oi`’ tho.’ san˘ c`ungban˘ v`aomˆo. t con th´u.Nˆeugo´ . i A l`abiˆenc´ ˆong´ u’oi`’ •thu´’ nhˆatb´ an˘´ tr´ungcon th´uv`aB l`abiˆenc´ ˆong´ u’oi`’ thu´’ hai ban˘´ tr´ungcon th´uth`ı C = A+B l`abiˆenc´ ˆocon´ th´ubi. ban˘´ tr´ung. Ch´u´y ’ ’ i) Mo.i biˆenc´ ˆong´ ˆaunhiˆenA˜ ¯dˆeubi` ˆeudiˆen¯d˜ u’o.’c du’oi´’ da.ng tˆongcua’ mˆo.t sˆobi´ ˆenc´ ˆo´ ’ so’ cˆapn`ao¯d´o.C´acbi´ ˆenc´ ˆos´ o’ cˆaptrong´ tˆongn`ay¯du’o.’c go.i l`a c´acbiˆenc´ ˆothuˆa´ . n lo.’i cho biˆenc´ ˆoA.´ ii) Biˆenc´ ˆoch´ ac˘´ chan˘´ Ω l`atˆongc’ ua’ mo.i biˆenc´ ˆos´ o’ cˆapc´oth´ ˆe,ngh’ ia˜ l`amo.i biˆenc´ ˆo´ so’ cˆap¯d´ ˆeuthuˆa` .n lo.’i cho Ω. Do ¯d´oΩ c`on¯du’o.’c go.i l`a khˆonggian c´acbiˆenc´ ˆos´ o’ cˆap´ . ´ ´ ´ ´ V´ıdu. 11 Tung mˆo. t con x´ucxac.˘ Ta c´o6 biˆencˆoso’ cˆap A1,A2,A3,A4,A5,A6, trong • ´ ´ ´ ¯d´o Aj l`abiˆencˆoxu´athiˆe. n ma˘. t j chˆam j = 1, 2, , 6. Go. i A l`abiˆenc´ ˆoxu´ ˆathiˆe´ . n ma˘. t voi´’ sˆoch´ ˆamch´ an˘˜ th`ıA c´o3 biˆenc´ ˆothuˆa´ . n lo.’i l`a A2,A4,A6. Ta c´o A = A2 + A4 + A6 Go. i B l`abiˆenc´ ˆoxu´ ˆathiˆe´ .n ma˘. t voi´’ sˆoch´ ˆamchia´ hˆetcho´ 3 th`ıB c´o2 biˆenc´ ˆothuˆa´ . n lo.’i l`a A3,A6. Ta c´o B = A3 + A6 viii) Biˆenc´ ˆot´ıch´ Biˆenc´ ˆoC´ ¯du’o.’c go.i l`at´ıch cua’ hai biˆenc´ ˆoA´ v`aB, k´ıhiˆe.u AB, nˆeuC´ xay’ ra khi v`a chi’ khi ca’ A lˆanB˜ c`ungxay’ ra.
6 Ch ’u’ong1. Nhung˜’ kh´ainiˆemc. o’ ban’ vˆex´acsu` ˆat´ ´ V´ıdu. 12 Hai ngu’oi`’ c`ungban˘ v`aomˆo. t con th´u. • Go. i A l`abiˆenc´ ˆong´ u’oi`’ thu´’ nhˆatb´ an˘´ tru’o.’t, B l`abiˆenc´ ˆong´ u’oi`’ thu´’ hai ban˘´ tru’o.’t th`ı C = AB l`abiˆenc´ ˆocon´ th´ukhˆongbi. ban˘´ tr´ung. ix) Biˆenc´ ˆohiˆe´ .u Hiˆe.u cua’ biˆenc´ ˆoA´ v`abiˆenc´ ˆoB,´ k´ıhiˆe.u A B l`abiˆenc´ ˆox´ ay’ ra khi v`achi’ khi A xay’ ra nhung’ B khˆongxay’ ra. \ x) Biˆenc´ ˆoxung´ khac˘´ Hai biˆenc´ ˆoA´ v`aB ¯du’o.’c go.i l`ahai biˆenc´ ˆoxung´ khac˘´ nˆeuch´ungkhˆong¯d´ ˆongth` oi`’ xay’ ra trong mˆo.t ph´epthu.’’ V´ıdu. 13 Tung mˆo. t ¯dˆongti` ˆen.` • Go. i A l`abiˆenc´ ˆoxu´ ˆathiˆe´ .n ma˘. t xˆap,B´ l`abiˆenc´ ˆoxu´ ˆathiˆe´ . n ma˘. t ngua’’ th`ı AB = . ∅ xi) Biˆenc´ ˆo¯d´ ˆoilˆa´ .p Biˆenc´ ˆo´ khˆongxay’ ra biˆenc´ ˆoA´ ¯du’o.’c go.i l`abiˆenc´ ˆo¯d´ ˆoilˆa´ .p voi´’ biˆenc´ ˆoA.´ K´ıhiˆe.u A. Ta c´o A + A = Ω,AA = ∅ Nhˆa.n x´et ⊕ Qua c´ackh´ainiˆe.m trˆenta thˆayc´acbi´ ˆenc´ ˆot´ ˆong,t´ıch,’ hiˆe.u, ¯dˆoilˆa´ .p tu’ong’ ung´’ voi´’ ’ tˆa.p ho.’p, giao, hiˆe.u, phˆanb`uc` ua’ l´ythuyˆettˆa´ .p ho.’p. Do ¯d´ota c´othˆesu’’ du. ng c´acph´ep to´antrˆenc´actˆa.p ho.’p cho c´acph´epto´antrˆenc´acbiˆenc´ ˆo.´ Ta c´othˆed`ungbi’ ˆeu¯d’ ˆoVenn` ¯dˆemiˆeut’ a’ c´acbiˆenc´ ˆo.´ Ω Ω Ω Bc chac˘´ chan˘´ A+B AB Ω Ω Ω ABB A A A A= B A,B xung khac˘´ Dˆoilˆa´ p A ⇒ ¯ .
3. X´acsuˆat´ 7 3. XAC´ SUATˆ´ 3.1¯ D.inh nghia˜ x´acsuˆattheo´ lˆoic´ ˆo¯di’ ˆen’ ’ 2 ¯D.inh nghia˜ 5 Gia’ su’’ ph´epthu’’ c´on biˆenc´ ˆo¯d´ ˆongkh` a’ nang˘ c´othˆexay’ ra, trong ¯d´o ’ c´om biˆenc´ ˆo¯d´ ˆongkh` a’ nang˘ thuˆa. n lo.’i cho biˆenc´ ˆoA´ (A l`atˆongcua’ m biˆenc´ ˆos´ o’ cˆap´ n`ay).Khi ¯d´ox´acsuˆatc´ ua’ biˆenc´ ˆoA,´ k´ıhiˆe.u P (A) ¯du’o.’c ¯di.nh nghia˜ bang˘` cˆongthuc´’ sau: m Sˆotr´ u’ong`’ ho’p thuˆan lo’i cho A P (A) = = . . . ’ n Sˆotr´ u’ong`’ ho.’p c´othˆexay’ ra ´ V´ıdu. 14 Gieo mˆo. t con x´ucxac˘ cˆan¯dˆoi,¯d´ ˆongch` ˆat.´ T´ınhx´acsuˆatxu´ ˆathiˆe´ .n ma˘. t ch• an.˘˜ Giai’ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ˜ Go.i Ai l`abiˆencˆoxuˆathiˆe.n ma˘.t i chˆamv`aA l`abiˆencˆoxuˆathiˆe.n ma˘.t chan˘ th`ı A = A2 + A4 + A6 Ta thˆayph´epth´ u’’ c´o6 biˆenc´ ˆos´ o’ cˆap¯d´ ˆongkh` a’ nang˘ c´othˆex’ ay’ ra trong ¯d´oc´o3 biˆenc´ ˆothuˆa´ .n lo.’i cho A. 3 1 P (A) = = 6 2 V´ıdu. 15 Mˆo. t ngu’oi`’ go. i ¯diˆe. n thoa. i nhung’ la. i quˆen2 sˆocu´ ˆoic´ ua’ sˆo¯diˆe´ .n thoa. i cˆan` • go. i m`achi’ nho´’ l`a2 sˆo¯d´okh´acnhau.´ T`ımx´acsuˆat¯d´ ˆeng’ u’oi`’ ¯d´oquay ngˆaunhiˆenmˆo˜ . t lˆantr´ungs` ˆoc´ ˆango` . i. Giai’ Go.i A l`abiˆenc´ ˆong´ u’oi`’ ¯d´oquay ngˆaunhiˆenmˆo˜ .t lˆantr´ungs` ˆoc´ ˆango` .i. ´ ´ ´ ´ ` ’ ´ ´ ´ 2 Sˆobiˆencˆoso’ cˆap¯dˆongkha’ nang˘ c´othˆexay’ ra (sˆoc´ach go.i 2 sˆocuˆoi)l`a n = A10 = 90. Sˆobi´ ˆenc´ ˆothuˆa´ .n lo.’i cho A l`a m = 1. 1 Vˆa.y P (A) = 90 . ´ ’ V´ıdu. 16 Trong hˆo. p c´o6 bi trang,˘ 4 bi ¯den.T`ımx´ac suˆat¯d´ ˆelˆayt´ u`’ hˆo. p ra ¯du’o.’c • i) 1 viˆenbi ¯den. ii) 2 viˆenbi trang.˘´ Giai’ Go.i A l`abiˆenc´ ˆol´ ˆayt´ u`’ hˆo.p ra ¯du’o.’c 1 viˆenbi ¯denv`aB l`abiˆenc´ ˆol´ ˆayt´ u`’ hˆo.p ra 2 viˆenbi trang.˘´ Ta c´o
8 Ch ’u’ong1. Nhung˜’ kh´ainiˆemc. o’ ban’ vˆex´acsu` ˆat´ 1 C4 2 i) P (A) = 1 = C10 5 2 C6 1 ii) P (B) = 2 = C10 3 V´ıdu. 17 R´utngˆaunhiˆent˜ u`’ mˆo. t cˆob`ait´ul˜ o’ kho’ 52 l´ara 5 l´a.T`ımx´acsuˆatsao´ cho• trong 5 l´ar´utra c´o a) 3 l´a¯do’ v`a2 l´a¯den. b) 2 con co,’ 1 con rˆo,2 con chuˆon.` Giai’ Go.i A l`abiˆenc´ ˆor´utra´ ¯du’o.’c 3 l´a¯do’ v`a2 l´a¯den. B l`abiˆenc´ ˆor´utra´ ¯du’o.’c 2 con co,’ 1 con rˆo,2 con chuˆon.` ´ ´ ´ ’ 5 Sˆobiˆencˆoc´othˆexay’ ra khi r´ut5 l´ab`ail`a C52. ´ ´ ´ 3 2 a) Sˆobiˆencˆothuˆa.n lo.’i cho A l`a C26.C26. 3 2 C26.C26 845000 P (A) = 5 = = 0, 3251 C52 2598960 ´ ´ ´ 2 1 2 b) Sˆobiˆencˆothuˆa.n lo.’i cho B l`a C13.C13.C13 2 1 2 C13.C13.C13 79092 P (B) = 5 = = 0, 30432 C52 2598960 ’ V´ıdu. 18 (B`aito´anng`aysinh) Mˆo. t nh´omgˆon` n ngu’oi.`’ T`ımx´acsuˆat¯d´ ˆec´o´ıt nh• ˆathai´ ngu’oi`’ c´oc`ungng`aysinh (c`ungng`ayv`ac`ungth´ang). Giai’ ’ Go.i S l`atˆa.p ho.’p c´acdanh s´ach ng`aysinh c´othˆecua’ n ngu’oi`’ v`a E l`abiˆenc´ ˆoc´o´ıt´ nhˆathai´ ngu’oi`’ trong nh´omc´oc`ungng`aysinh trong nam.˘ Ta c´o E l`abiˆenc´ ˆokhˆongc´ohai´ ngu’oi`’ bˆatk`ytrong´ nh´omc´oc`ungng`aysinh. Sˆoc´actr´ u’ong`’ ho.’p cua’ S l`a n(S) = 365.365 365 = 365n n | {z } Sˆotr´ u’ong`’ ho.’p thuˆa.n lo.’i cho E l`a n(E) = 365.364.363 [365 (n 1)] [365.364.363 (366− n)](365− n)! = − − (365 n)! 365! − = (365 n)! −
3. X´acsuˆat´ 9 V`ıc´acbiˆencˆo¯d´ ˆongkh` a’ nang˘ nˆen 365! n(E) (365 n)! 365! P (E) = = − = n(S) 365n 365n.(365 n)! − Do ¯d´ox´acsuˆat¯d´ ˆe´ıtnh’ ˆatc´ohai´ ngu’oi`’ c´oc`ungng`aysinh l`a 365! (365 n)! 365! P (E) = 1 P (E) = 1 − = − − 365n 365n.(365 n)! − Sˆong´ u’oi`’ trong nh´om X´acsuˆatc´o´ıtnh´ ˆat2´ ngu’oi`’ c´oc`ungng`aysinh n P (E) 5 0,027 10 0,117 15 0,253 20 0,411 23 0,507 30 0,706 40 0,891 50 0,970 60 0,994 70 0,999 Bang’ b`aito´anng`aysinh ’ ’ Ch´u´y ¯D.inh nghia˜ x´acsuˆattheo´ lˆoic´ ˆo¯diˆenc´omˆo.t sˆoha´ .n chˆe:´ i) N´ochi’ x´etcho hˆe. huu˜’ ha.n c´acbiˆenc´ ˆos´ o’ cˆap.´ ii) Khˆongphai’ l´ucn`aoviˆe.c ”¯dˆongkh` a’ nang”˘ c˜ungxay’ ra. 3.2¯ D.inh nghia˜ x´acsuˆattheo´ lˆoith´ ˆongkˆe´ 2 ¯D.inh nghia˜ 6 Thu.’c hiˆe.n ph´epthu’’ n lˆan.Gi` a’ su’’ biˆenc´ ˆoA´ xuˆathiˆe´ . n m lˆan.Khi` ` ´ ’ ´ ´ ’ ´ m ` ´ ´ ´ ¯d´om ¯du’o.’c go. i l`atˆansˆocua biˆencˆoA v`aty sˆo n ¯du’o.’c go. i l`atˆansuˆat xuˆathiˆe. n biˆen cˆoA´ trong loa. t ph´epthu.’’ Cho sˆoph´epth´ u’’ tang˘ lˆenvˆoha. n, tˆansu` ˆatxu´ ˆathiˆe´ . n biˆenc´ ˆoA´ dˆanv` ˆemˆo` . t sˆox´ac´ ¯di.nh go. i l`ax´acsuˆatc´ ua’ biˆenc´ ˆoA.´ m P (A) = lim n →∞ n ´ V´ıdu. 19 Mˆo. t xa. thu’ ban˘ 1000 viˆen¯da. n v`aobia. C´oxˆapx´ i’ 50 viˆentr´ungbia. Khi • ´ ’ ’ ´ 50 ¯d´ox´acsuˆat¯dˆexa. thu ban˘ tr´ungbia l`a 1000 = 5%. ’ V´ıdu. 20 ¯Dˆenghiˆencuu´’ kha’ nang˘ xuˆathiˆe´ . n ma˘. t sˆapkhi´ tung mˆo. t ¯dˆongti` ˆen,ng` u’oi`’ • ta tiˆenh`anhtung´ ¯dˆongti` ˆennhi` ˆeul` ˆanv`athu` ¯du’o.’c kˆetqu´ a’ cho o’’ bang’ du’oi´’ ¯dˆay:
10 Ch ’u’ong1. Nhung˜’ kh´ainiˆemc. o’ ban’ vˆex´acsu` ˆat´ Ngu’oi`’ l`am Sˆol´ ˆan` Sˆol´ ˆan¯d` u’o.’c Tˆansu` ˆat´ th´ınghiˆe.m tung ma˘.t sˆap´ f(A) Buyﬀon 4040 2.048 0,5069 Pearson 12.000 6.019 0,5016 Pearson 24.000 12.012 0,5005 3.3¯ D.inh nghia˜ x´acsuˆattheo´ quan ¯diˆemh`ınhho’ .c ’ 2 ¯D.inh nghia˜ 7 X´etmˆo. t ph´epthu’’ c´okhˆonggian c´acbiˆenc´ ˆos´ o’ cˆap´ Ω ¯du’o.’c biˆeudiˆen˜ boi’’ miˆenh`ınhho` . c Ω c´o¯dˆo. ¯do(¯dˆo. d`ai,diˆe. n t´ıch,thˆet´ıch)h’ uu˜’ ha. n kh´ac0, biˆenc´ ˆoA´ ’ ¯du’o.’c biˆeudiˆenb˜ oi’’ miˆenh`ınhho` . c A. Khi ¯d´ox´acsuˆatc´ ua’ biˆenc´ ˆoA´ ¯du’o.’c x´ac¯di.nh boi:’’ Dˆo ¯docua’ miˆenA` P (A) = ¯ . ¯Dˆo. ¯docua’ miˆen` Ω ’ ’ V´ıdu. 21 Trˆen¯doa. n thang˘ OA ta gieo ngˆaunhiˆenhai˜ ¯diˆem B v`a C c´oto. a ¯dˆo. tu’ong’ • ung´’ OB = x, OC = y (y x). T`ımx´acsuˆatsao´ cho ¯dˆo. d`aicua’ ¯doa. n BC b´ehon’ ¯dˆo. ≥ d`aicua’ ¯doa. n OB. Giai’ y Gia’ su’’ OA = l. C´acto.a ¯dˆo. x v`a y phai’ ’ ` thoa m˜anc´ac¯diˆeukiˆe.n: I M Q 0 x l, 0 y l, y x (*) y=2x ≤ ≤ ≤ ≤ ≥ Biˆeudi’ ˆen˜ x v`a y lˆenhˆe. tru. c to.a ¯dˆo. vuˆong g´oc.C´ac¯diˆemc´oto’ .a ¯dˆo. thoa’ m˜an(*) thuˆo.c tam gi´ac OMQ (c´othˆexem’ nhu’ biˆenc´ ˆoch´ ac˘´ chan).˘´ O x Ma˘.t kh´ac,theo yˆeucˆaub`aito´anta` phai’ c´o y x < x hay y < 2x ( ). Nhung˜’ ¯diˆem’ − c´oto.a ¯dˆo. thoa’ m˜an(*) v`a( ) thuˆo.c miˆenc´oga` .ch. Miˆenthuˆa` .n lo.’i cho biˆenc´ ˆoc´ ˆant`ım` l`atam gi´ac OMI. Vˆa.y x´acsuˆatc´ ˆant´ınh` diˆen t´ıch OMI 1 p = . = diˆe.n t´ıch OMQ 2 V´ıdu. 22 (B`aito´anhai ngu’oi`’ g.a˘p nhau) • Hai ngu’oi`’ he.n ga˘. p nhau o’’ mˆo. t ¯di.a ¯dıˆemx´ac¯di’ .nh v`aokhoang’ tu`’ 19 gio`’ ¯dˆen20´ gio.`’ Mˆoing˜ u’oi`’ ¯dˆen(ch´ ac˘´ chan˘´ s˜e¯dˆen)¯di´ ˆemhe’ . n trong khoang’ thoi`’ gian trˆenmˆo. t c´ach¯dˆo. c lˆa. p voi´’ nhau, cho`’ trong 20 ph´ut,nˆeukhˆongth´ ˆayng´ u’oi`’ kia ¯dˆens˜eb´ o’ ¯di.T`ımx´acsuˆat´ ¯dˆehai’ ngu’oi`’ ga˘. p nhau.
3. X´acsuˆat´ 11 Giai’ Go.i x, y l`athoi`’ gian ¯dˆen¯di´ ˆemhe’ .n cua’ mˆoing˜ u’oi`’ v`aA l`abiˆenc´ ˆohai´ ngu’oi`’ ga˘.p nhau. R˜or`angx, y ’ ˜ ’ l`amˆo.t ¯diˆemngˆaunhiˆentrong khoang [19, 20], ta y c´o19 x 20; 19 y≤ 20.≤ 20 ≤ ≤ ’ D ¯Dˆehai ngu’oi`’ ga˘.p nhau th`ı A 19 x y 20 ph´ut= 1 gio.`’ | − | ≤ 3 Do ¯d´o Ω = (x, y) : 19 x20, 19 y 20 { ≤ ≤ ≤ } o 19 20 x 1 A = (x, y): x y { | − | ≤ 3} Diˆe.n t´ıch cua’ miˆenΩ` bang˘` 1. Diˆe.n t´ıch cua’ miˆenA` bang˘` 1 2. 1 . 2 . 2 = 5 − 2 3 3 9 diˆe.n t´ıch A 5/9 Vˆa.y P (A) = = = 0, 555. diˆe.n t´ıch Ω 1 3.4¯ D.inh nghia˜ x´acsuˆattheo´ tiˆen¯dˆe` Gia’ su’’ Ω l`abiˆenc´ ˆoch´ ac˘´ chan.˘´ Go.i l`aho. c´actˆa.p con cua’ Ω thoa’ c´ac¯diˆeukiˆe` .n sau: A i) chua´’ Ω. A ii) Nˆeu´ A, B th`ı A, A + B, AB thuˆo.c . ∈ A A Ho. thoa’ c´actiˆen¯dˆei)` v`aii) th`ı ¯du’o.’c go. i l`a¯da. i sˆo´. A A ´ ’ ’ iii) Nˆeu A1,A2, ,An, l`ac´acphˆant` u’ cua’ th`ıtˆongv`at´ıch vˆoha.n A1 + A2 + A + An v`a A1A2 An c˜ungthuˆo.c . A Nˆeu´ thoa’ c´ac¯diˆeukiˆe` .n i), ii), iii) th`ı ¯du’o.’c go.i l`a σ ¯da.i sˆo.´ A A 2 ¯D.inh nghia˜ 8 Ta go. i x´acsuˆattrˆen´ (Ω, ) l`amˆo. t h`am P sˆox´ac¯di´ .nh trˆen c´ogi´a A A tri. trong [0,1] v`athoa’ m˜an3 tiˆen¯dˆesau:` i) P (Ω) = 1. ii) P (A + B) = P (A) + P (B) (voi´’ A, B xung khac).˘´ iii) Nˆeud˜ay´ An c´ot´ınhchˆat´ A1 A2 An v`a A1A2 An = th`ı { } ⊃ ⊃ ⊃ ⊃ ∅ lim P (An) = 0. n →∞
12 Ch ’u’ong1. Nhung˜’ kh´ainiˆemc. o’ ban’ vˆex´acsu` ˆat´ 3.5 C´act´ınhchˆatc´ ua’ x´acsuˆat´ i) 0 P (A) 1 voi´’ mo.i biˆenc´ ˆoA´ ii) P≤(Ω) = 1 ≤ iii) P ( ) = 0 iv) Nˆeu´∅ A B th`ı P (A) P (B). v) P (A) +⊂P (A) = 1. ≤ vi) P (A) = P (AB) + P (AB). ´ ´ 4. MOˆ. TSOCˆ ONGˆ THUC´’ T´INH XAC´ SUATˆ 4.1 Cˆongthuc´’ cˆo.ng x´acsuˆat´ Cˆongthuc´’ 1 Gia’ su’’ A v`a B l`ahai biˆenc´ ˆoxung´ khac˘´ (AB = ). Ta c´o ∅ P (A + B) = P (A) + P (B) Chung´’ minh ’ Gia’ su’’ ph´epthu’’ c´o n biˆenc´ ˆo¯d´ ˆongkh` a’ nang˘ c´othˆexay’ ra, trong ¯d´oc´o mA biˆenc´ ˆo´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ thuˆa.n lo.’i cho biˆencˆo A v`a mB biˆencˆothuˆa.n lo.’i cho biˆencˆo B. Khi ¯d´osˆobiˆencˆothuˆa.n ´ ´ lo.’i cho biˆencˆo A + B l`a m = mA + mB. Do ¯d´o m + m m m P (A + B) = A B = A + B = P (A) + P (B) n n n 2 ¯D.inh nghia˜ 9 ´ ´ ´ ´ ´ i) C´acbiˆencˆo A1,A2, ,An ¯du’o.’c go. i l`anh´omc´acbiˆencˆo¯dˆay¯d` u’ xung khac˘ tung`’ ¯dˆoinˆeuch´ungxung´ khac˘´ tung`’ ¯dˆoiv`atˆongc’ ua’ ch´ungl`abiˆenc´ ˆoch´ ac˘´ chan.˘´ Ta c´o A1 + A2 + + An = Ω,AiAj = ∅ ii) Hai biˆenc´ ˆoA´ v`aB ¯du’o.’c go. i l`ahai biˆenc´ ˆo¯dˆo´ . c lˆa. p nˆeus´ u.’ tˆonta` . i hay khˆongtˆon` ta. i cua’ biˆenc´ ˆon`aykhˆong´ anh’ hu’ong’’ ¯dˆens´ u.’ tˆonta` . i hay khˆongtˆonta` . i cua’ biˆenc´ ˆokia.´ ´ ´ ´ ˜ ´ ´ iii) C´acbiˆencˆo A1,A2, ,An ¯du’o.’c go. i ¯dˆo. c lˆa. p to`anphˆann` ˆeumˆoibiˆencˆo¯dˆo. c lˆa. p ’ voi´’ t´ıchcua’ mˆo. t tˆoho.’p bˆatk`ytrong´ c´acbiˆenc´ ˆoc`onla´ . i. Hˆe. qua’ 1 4 ´ i) Nˆeu´ A1,A2, ,An l`abiˆenc´ ˆoxung´ khac˘ tung`’ ¯dˆoith`ı P (A1 + A2 + + An) = P (A1) + P (A2) + + P (An)
4. Mˆots. ˆocˆongth´ uc´’ t´ınhx´acsuˆat´ 13 ´ ii) Nˆeu´ A1,A2, ,An l`anh´omc´acbiˆenc´ ˆo¯d´ ˆay¯d` u’ xung khac˘ tung`’ ¯dˆoith`ı n P (Ai) = 1 i=1 X iii) P (A) = 1 P (A). − Cˆongthuc´’ 2 P (A + B) = P (A) + P (B) P (AB) − Chung´’ minh ’ Gia’ su’’ ph´epthu’’ c´o n biˆenc´ ˆo¯d´ ˆongkh` a’ nang˘ c´othˆexay’ ra, trong ¯d´oc´o mA biˆenc´ ˆo´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ thuˆa.n lo.’i cho biˆencˆo A, mB biˆencˆothuˆa.n lo.’i cho biˆencˆo B v`a k biˆencˆothuˆa.n lo.’i cho ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ biˆencˆo AB. Khi ¯d´osˆobiˆencˆothuˆa.n lo.’i cho biˆencˆo A + B l`a mA + mB k. − Do ¯d´o mA + mB k mA mB k P (A + B) = − = + = P (A) + P (B) P (AB). n n n − n − Hˆe. qua’ 2 4 n i) P (A1 + A2 + , +An) = P (Ai) P (AiAj) + P (AiAjAk) + + i=1 − i<j i<j<k n 1 X X X ( 1) − P (A1A2 An). − ´ ´ ´ ii) Nˆeu A1,A2, ,An l`ac´acbiˆencˆo¯dˆo. c lˆa. p to`anphˆanth`ı` P (A1 + A2 + + An) = 1 P (A1).P (A2) P (An). − ’ ’ V´ıdu. 23 Mˆo. t lˆoh`anggˆom10` san’ phˆam,trong ¯d´oc´o2 phˆeph´ ˆam.Lˆayng´ ˆaunhiˆen˜ • khˆongho`anla. i tu`’ lˆoh`angra 6 san’ phˆam.’ T`ımx´acsuˆat¯d´ ˆec´okhˆongqu´a1’ phˆeph´ ˆam’ ’ trong 6 san’ phˆam¯du’o.’c lˆayra.´ Giai’ Go.i A l`abiˆenc´ ˆokhˆongc´oph´ ˆeph´ ˆamtrong’ 6 san’ phˆaml’ ˆayra.´ B l`abiˆenc´ ˆoc´o¯d´ung1´ phˆeph´ ˆam.’ C l`abiˆenc´ ˆoc´okhˆongqu´amˆo´ .t phˆeph´ ˆam’ th`ıA v`aB l`ahai biˆenc´ ˆoxung´ khac˘´ v`a C = A + B. Ta c´o 6 C8 28 2 P (A) = 6 = = C10 210 15
14 Ch ’u’ong1. Nhung˜’ kh´ainiˆemc. o’ ban’ vˆex´acsu` ˆat´ 1 5 C2 .C8 112 8 P (B) = 6 = = C10 210 15 Do ¯d´o 2 8 2 P (C) = P (A) + P (B) = + = 15 15 3 V´ıdu. 24 Mˆo. t lop´’ c´o100 sinh viˆen,trong ¯d´oc´o40 sinh viˆengioi’ ngoa. i ngu,˜’ 30 sinh • viˆengioi’ tin ho. c, 20 sinh viˆengioi’ ca’ ngoa. i ngu˜’ lˆantin˜ ho. c. Sinh viˆenn`aogioi’ ´ıtnhˆat´ ’ mˆo. t trong hai mˆons˜e¯du’o.’c thˆem¯diˆemtrong kˆetqu´ a’ ho. c tˆa. p cua’ ho. c k`y. Cho. n ngˆau˜ ’ ’ nhiˆenmˆo. t sinh viˆentrong lop.´’ T`ımx´acsuˆat¯d´ ˆesinh viˆen¯d´o¯du’o.’c tang˘ ¯diˆem. Giai’ Go.i ’ A l`abiˆenc´ ˆogo´ .i ¯du’o.’c sinh viˆen¯du’o.’c tang˘ ¯diˆem. N l`abiˆenc´ ˆogo´ .i ¯du’o.’c sinh viˆengioi’ ngoa.i ngu.˜’ T l`abiˆenc´ ˆogo´ .i ¯du’o.’c sinh viˆengioi’ tin ho.c th`ı A = T + N. Ta c´o 30 40 20 50 P (A) = P (T ) + P (N) P (TN) = + = = 0, 5 − 100 100 − 100 100 4.2 X´acsuˆatc´o¯di´ ˆeukiˆe` .n v`acˆongthuc´’ nhˆanx´acsuˆat´ a) X´acsuˆatc´o¯di´ ˆeukiˆe` .n 2 ¯D.inh nghia˜ 10 X´acsuˆatc´ ua’ biˆenc´ ˆoA´ voi´’ ¯diˆeukiˆe` . n biˆenc´ ˆoB´ xay’ ra ¯du’o.’c go. i l`a x´acc´o¯diˆeukiˆe` .n cua’ biˆenc´ ˆoA.´ K´ıhiˆe.u P (A/B). ´ V´ıdu. 25 Trong hˆo. p c´o5 viˆenbi trang,˘ 3 viˆenbi ¯den. Lˆayl´ ˆanl` u’o.’t ra 2 viˆenbi • ’ (khˆongho`anla. i). T`ımx´acsuˆat¯d´ ˆelˆanth` u´’ hai lˆay¯d´ u’o.’c viˆenbi trang˘´ biˆetl´ ˆanth` u´’ nhˆat´ ¯d˜alˆay¯d´ u’o.’c viˆenbi trang.˘´ Giai’ Go.i A l`abiˆenc´ ˆol´ ˆanth` u´’ hai lˆay¯d´ u’o.’c viˆenbi trang˘´ B l`abiˆenc´ ˆol´ ˆanth` u´’ nhˆatl´ ˆay¯d´ u’o.’c viˆenbi trang.˘´ Ta t`ım P (A/B). Ta thˆayl´ ˆanth` u´’ nhˆatl´ ˆay¯d´ u’o.’c viˆenbi trang˘´ (B ¯d˜axay’ ra) nˆentrong ho.’p c`on7 viˆen bi trong ¯d´oc´o4 viˆenbi trang.˘´ Do ¯d´o 1 C4 4 P (A/B) = 1 = C7 7
4. Mˆots. ˆocˆongth´ uc´’ t´ınhx´acsuˆat´ 15 Cˆongthuc´’ P (AB) P (A/B) = P (B) Chung´’ minh ’ Gia’ su’’ ph´epthu’’ c´o n biˆenc´ ˆo¯d´ ˆongkh` a’ nang˘ c´othˆexay’ ra trong ¯d´oc´o mA biˆenc´o´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ thuˆa.n lo.’i cho biˆencˆo A, mB biˆencˆothuˆa.n lo.’i cho biˆencˆo B v`a k biˆencˆothuˆa.n lo.’i cho biˆenc´ ˆo´ AB. Theo ¯di.nh nghia˜ x´acsuˆattheo´ lˆoic´ ˆo¯di’ ˆenta’ c´o k m P (AB) = ,P (B) = B n n Ta t`ım P (A/B). V`ıbiˆenc´ ˆo´ B ¯d˜axay’ ra nˆenbiˆenc´ ˆo¯d´ ˆongkh` a’ nang˘ cua’ A l`a mB, biˆenc´ ˆothuˆa´ .n lo.’i cho A l`a k. Do ¯d´o k k P (AB) P (A/B) = = n = . mB mB n P (B) ’ V´ıdu. 26 Mˆo. t bˆo. b`aic´o52 l´a.R´utngˆaunhiˆen1˜ l´ab`ai.T`ımx´acsuˆat¯d´ ˆer´ut¯du’o.’c •con ”´at”biˆetr´ ang˘` l´ab`air´utra l`al´ab`aim`au¯den. Giai’ Go.i A l`abiˆenc´ ˆor´ut¯d´ u’o.’c con ”´at” A A B l`abiˆenc´ ˆor´ut¯d´ u’o’c l´ab`aim`au¯den. . ♣ ♠ Ta thˆaytrong´ bˆo. b`aic´o 26 l´ab`ai¯den nˆen P (B) = 26 52 ♣ ♠ 2 con ”´at”¯den nˆen P (AB) = 2 . 52 A A P (AB) 2/52 1 Do ¯d´o P (A/B) = = = ♣ ♠ P (B) 26/52 13 b) Cˆongthuc´’ nhˆanx´acsuˆat´ Tu`’ cˆongthuc´’ x´acsuˆatc´o¯di´ ˆeukiˆe` .n ta c´o i) P (AB) = P (A).P (B/A) = P (B).P (A/B). ii) NˆeuA,´ B l`ahai biˆenc´ ˆo¯dˆo´ .c lˆa.p th`ı P (AB) = P (A).P (B). iii) P (ABC) = P (A).P (B/A).P (C/AB) P (A1A2 An) = P (A1)P (A2/A1) P (An/A1A2 An 1). − ´ ´ V´ıdu. 27 Hˆo. p thu´’ nhˆatc´o2´ bi trang˘ v`a10 bi ¯den.Hˆo. p thu´’ hai c´o8 bi trang˘ v`a4 • bi ¯den.Tu`’ mˆoihˆo˜ . p lˆayra´ 1 viˆenbi. T`ımx´acsuˆat¯d´ ˆe’
16 Ch ’u’ong1. Nhung˜’ kh´ainiˆemc. o’ ban’ vˆex´acsu` ˆat´ a) Ca’ 2 viˆenbi ¯dˆeutr` ang,˘´ b) 1 bi trang,˘´ 1 bi ¯den. Giai’ Go.i T l`abiˆenc´ ˆol´ ˆayra´ ¯du’o.’c ca’ 2 bi trang˘´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ T1 l`abiˆencˆolˆay¯du’o.’c bi trang˘ tu`’ hˆo.p thu’ nhˆat ´ ´ ´ ´ ´ T2 l`abiˆencˆolˆay¯du’o.’c bi trang˘ tu`’ hˆo.p thu’ hai ´ ´ th`ı T1,T2 l`a2 biˆencˆo¯dˆo.c lˆa.p v`a T = T1T2. Ta c´o 1 2 P (T ) = ,P (T ) = 1 6 2 3 1 2 1 Do ¯d´o P (T ) = P (T1T2) = P (T1).P (T2) = 6 . 3 = 9 . ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ b) Go.i T1,T2 l`abiˆencˆolˆay¯du’o.’c bi trang˘ o’’ hˆo.p thu’ nhˆat,thu’ hai ´ ´ ´ ´ ´ ´ D1,D2 l`abiˆencˆolˆay¯du’o.’c bi ¯den o’’ hˆo.p thu’ nhˆat,thu’ hai ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ T1D2 l`abiˆencˆolˆay¯du’o.’c bi trang˘ o’’ hˆo.p thu’ nhˆatv`abi ¯den o’’ hˆo.p thu’ hai ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ T2D1 l`abiˆencˆolˆay¯du’o.’c bi trang˘ o’’ hˆo.p thu’ hai v`abi ¯den o’’ hˆo.p thu’ nhˆat th`ı A = T1D2 + T2D1. Ta c´o 1 2 P (T ) = ,P (T ) = 1 6 2 3 5 1 P (D1) = 1 P (T1) = P (D2) = 1 P (T2) = − 6 − 3 Suy ra P (A) = P (T1D2) + P (T2D1) = P (T1).P (D2) + P (T2).P (T1) 1 1 2 5 11 = . + . = 6 3 3 6 8 V´ıdu. 28 Mˆo. t hˆe. thˆong¯d´ u’o.’c cˆauth`anhb´ oi’’ n th`anhphˆanriˆengl` e’ ¯du’o.’c go. i l`amˆo. t hˆe. • thˆongsong´ song nˆeun´ohoa´ . t ¯dˆo. ng khi ´ıtnhˆatmˆo´ . t th`anhphˆanhoa` . t ¯dˆo. ng. Th`anhphˆan` ´ ´ ´ ´ ´ ’ thu’ i (¯dˆo. c lˆa. p voi’ c´acth`anhphˆankh´ac)hoa` . t ¯dˆo. ng voi’ x´acsuˆat pi. T`ımx´acsuˆat¯dˆehˆe. thˆongsong´ song hoa. t ¯dˆo. ng. 1 A 2 B 3 n Giai’ Go.i A l`abiˆenc´ ˆohˆe´ . thˆonghoa´ .t ¯dˆo.ng.
4. Mˆots. ˆocˆongth´ uc´’ t´ınhx´acsuˆat´ 17 ´ ´ ´ Ai l`abiˆencˆoth`anhphˆanth` u’ i hoa.t ¯dˆo.ng. Ta c´o P(A) = 1 P (A) − = 1 P (A1.A2 An) − n = 1 P (Ai) − i=1 Yn = 1 (1 pi) − i=1 − Y V´ıdu. 29 (H^e. x´ıch) X´etmˆo. t hˆe. thˆongg´ ˆomhai` th`anhphˆan.` Hˆe. thˆonghoa´ . t ¯dˆo. ng • khi v`achi’ khi ca’ hai th`anhphˆanhoa` . t ¯dˆo. ng (c´acth`anhphˆan¯d` u’o.’c nˆoitheo´ x´ıch). A B ¯Dˆo. tin cˆa. y R(t) cua’ mˆo.t th`anhphˆanc` ua’ hˆe. thˆongl`ax´acsu´ ˆatm`ath`anhph´ ˆanc´o` thˆehoa’ .t ¯dˆo.ng ´ıtnhˆatkho´ ang’ thoi`’ gian t. Nˆeuk´ıhiˆe´ .u biˆenc´ ˆo”th`anhph´ ˆanhoa` .t ¯dˆo.ng ´ıtnhˆat´ t ¯don’ vi. thoi`’ gian” boi’’ T > t th`ı R(t) = P (T > t) Go.i PA v`a PB l`a¯dˆo. tin cˆa.y cua’ th`anhphˆan` A v`a B, nghia˜ l`a ´ PA = P (A hoa.t ¯dˆo.ng ´ıtnhˆat t ¯don’ vi. thoi`’ gian), ´ PB = P (B hoa.t ¯dˆo.ng ´ıtnhˆat t ¯don’ vi. thoi`’ gian). ´ ´ Nˆeuc´acth`anhphˆanhoa` .t ¯dˆo.ng ¯dˆo.c lˆa.p th`ı¯dˆo. tin cˆa.y cua’ hˆe. thˆongl`a R = pA.pB. V´ıdu. 30 • X´et¯dˆo. tin cˆa. y cua’ hˆe. thˆongcho´ boi’’ AB h`ınhbˆen.Th`anhphˆann` ˆoiA´ v`aB trˆen ¯dinh’ c´othˆethay’ boi’’ th`anhphˆan` ¯don’ ´ voi’ ¯dˆo. tin cˆa. y pA.pB. Th`anhphˆansong` song cua’ ngat˘´ C v`aD c´othˆethay’ boi’’ C ´ ´ ngat˘ ¯don’ voi’ ¯dˆo. tin cˆa. y 1 (1 pC ).(1 − − − pD). D ¯Dˆo. tin cˆa. y cua’ hˆe. thˆongsong´ song n`ayl`a 1 (1 pA.pB)[1 (1 (1 pC ).(1 pD))] − − − − − −
18 Ch ’u’ong1. Nhung˜’ kh´ainiˆemc. o’ ban’ vˆex´acsu` ˆat´ 4.3 Cˆongthuc´’ x´acsuˆat¯d´ ˆay¯d` u’ v`acˆongthuc´’ Bayes a) Cˆongthuc´’ x´acsuˆat¯d´ ˆay¯d` u’ Cˆongthuc´’ ´ Gia’ su’’ A1,A2, ,An l`anh´omc´acbiˆenc´ ˆo¯d´ ˆay¯d` u’ xung khac˘ tung`’ ¯dˆoiv`aB l`abiˆen´ cˆob´ ˆatk`yc´oth´ ˆex’ ay’ ra trong ph´epthu.’’ Khi ¯d´ota c´o n P (B) = P (Ai).P (B/Ai) i=1 X Chung´’ minh V`ı A1 + A2 + + An = Ω nˆen B = B(A1 + A2 + + An) = BA1 + B2 + + BAn ´ Do c´acbiˆenc´ ˆo´A1,A2, ,An xung khac˘ tung`’ ¯dˆoinˆenc´acbiˆenc´ ˆot´ıch´ BA1, BA2, , ´ BAn c˜ungxung khac˘ tung`’ ¯dˆoi. n ´ Theo ¯di.nh l´ycˆo.ng x´acsuˆatta c´o P (B) = P (BAi). i=1 X ´ Ma˘.t kh´actheo cˆongthuc’ nhˆanx´acsuˆatth`ı P (BAi) = P (Ai).P (B/Ai). n Do ¯d´o P (B) = P (Ai).P (B/Ai). i=1 X ´ ´ Ch´u´y Cˆongthuc’ trˆenc`on¯d´ungnˆeuta thay ¯diˆeukiˆe` .n A1 + A2 + + An = Ω boi’’ B A1 + A2 + + An. ⊂ ’ ’ V´ıdu. 31 X´etmˆo. t lˆosan’ phˆamtrong ¯d´osˆos´ an’ phˆamdo nh`am´ayI san’ xuˆatchi´ ˆem´ 20%,• nh`am´ayII san’ xuˆatchi´ ˆem30%,´ nh`am´ayIII san’ xuˆatchi´ ˆem50%.´ X´acsuˆatph´ ˆe´ phˆamc’ ua’ nh`am´ayI l`a0,001; nh`am´ayII l`a0,005; nh`am´ayIII l`a0,006. T`ımx´acsuˆat´ ’ ’ ¯dˆelˆayng´ ˆaunhiˆen¯d˜ u’o.’c ¯d´ung1 phˆeph´ ˆam. Giai’ Go.i B l`abiˆenc´ ˆos´ an’ phˆaml’ ˆayra´ l`aphˆeph´ ˆam’ ´ ´ ´ ’ A1,A2,A3 l`abiˆencˆolˆay¯du’o.’c san’ phˆamcua’ nh`am´ayI, II, III ´ th`ı A1,A2,A3 l`anh´omc´acbiˆenc´ ˆoxung´ khac˘ tung`’ ¯dˆoi.Ta c´o P (A1) = 0, 2; P (A2) = 0, 3; P (A3) = 0, 5 P (B/A1) = 0, 001; P (B/A2) = 0, 005; P (B/A3) = 0, 006 Do ¯d´o P (B) = P (A1).P (B/A1) + P (A2).P (B/A2) + P (A3).P (B/A3) = 0, 2.0, 001 + 0, 3.0, 005 + 0, 5.0, 006 = 0, 0065
4. Mˆots. ˆocˆongth´ uc´’ t´ınhx´acsuˆat´ 19 ´ V´ıdu. 32 Mˆo. t hˆo. p chua´’ 4 bi trang,˘ 3 bi v`angv`a1 bi xanh. Lˆayl´ ˆanl` u’o.’t (khˆongho`an • ’ la. i) tu`’ hˆo. p ra 2 bi. T`ımx´acsuˆat¯d´ ˆelˆay¯d´ u’o.’c 1 bi trang˘´ v`a1 bi v`ang. Giai’ Go.i T l`abiˆenc´ ˆol´ ˆay¯d´ u’o.’c bi trang,˘´ V l`abiˆenc´ ˆol´ ˆay¯d´ u’o.’c bi v`ang. Ta c´o 4 1 3 P (T ) = = ; P (V ) = ; 8 2 8 3 4 P (V/T ) = ; P (T/V ) = 7 7 ’ X´acxuˆat¯d´ ˆelˆay¯d´ u’o.’c 1 bi trang˘´ v`a1 bi v`angl`a 1 3 3 4 3 P (TV ) = P (T ).P (V/T ) + P (V ).P (T/V ) = . + . = . 2 7 8 7 7 2 Cˆayx´acsuˆat´ Trong thu.’c tˆec´onhi´ ˆeuph´epth` u’’ chua´’ mˆo.t d˜ay nhiˆeubi` ˆenc´ ˆo.´ Cˆayx´acsuˆat´ cung cˆapcho´ ta mˆo.t cˆongcu. thuˆa.n lo.’i cho viˆe.c x´ac¯di.nh cˆautr´ucc´acquan´ hˆe. bˆentrong c´ac ph´epthu’’ khi t´ınhx´acsuˆat.´ Cˆautr´ucc´ ua’ cˆayx´acsuˆat¯d´ u’o.’c x´ac¯di.nh nhu’ sau: i) V˜ebiˆeu¯d’ ˆocˆayx´acsu` ˆatt´ u’ong’ ung´’ voi´’ c´ackˆetqu´ a’ cua’ d˜ay ph´epthu.’’ ii) G´anmˆoix´acsu˜ ˆatv´ oi´’ mˆoinh´anh.˜ Cˆayx´acsuˆatsau´ minh ho.a cho v´ıdu. 32. T 3/7 1 3 T V 2 . 7 1/2 X 4/7 T 3 . 4 3/8 8 7 V V X T X V b) Cˆongthuc´’ Bayes Cˆongthuc´’ ´ Gia’ su’’ A1,A2, ,An l`anh´omc´acbiˆenc´ ˆo¯d´ ˆay¯d` u’ xung khac˘ tung`’ ¯dˆoiv`aB l`abiˆen´ cˆob´ ˆatk`yc´oth´ ˆex’ ay’ ra trong ph´epthu.’’ Khi ¯d´ota c´o P (Ai).P (B/Ai) P (Ai/B) = n i = 1, 2, . . . , n i=1 P (Ai).P (B/Ai) P
20 Ch ’u’ong1. Nhung˜’ kh´ainiˆemc. o’ ban’ vˆex´acsu` ˆat´ Chung´’ minh Theo cˆongthuc´’ x´acsuˆatc´o¯di´ ˆeukiˆe` .n ta c´o (A B) P (A ).P (B/A ) P (A /B) = i = i i i P (B) P (B) n ´ Ma˘.t kh´actheo cˆongthuc’ x´acsuˆat¯dˆay¯d` u’ th`ı P (B) = P (Ai).P (B/Ai). i=1 X P (Ai).P (B/Ai) Do ¯d´o P (Ai/B) = n . i=1 P (Ai).P (B/Ai) P V´ıdu. 33 Gia’ su’’ c´o4 hˆo. p nhu’ nhau ¯du.’ng c`ungmˆo. t chi tiˆetm´ay,trong´ ¯d´oc´omˆo. t • hˆo. p 3 chi tiˆetx´ ˆau,5´ chi tiˆett´ ˆotdo´ m´ayI san’ suˆat;c`onba´ hˆo. p c`onla. i mˆoihˆo˜ . p ¯du.’ng 4 chi tiˆetx´ ˆau,6´ chi tiˆett´ ˆotdo´ m´ayII san’ suˆat.L´ ˆayng´ ˆaunhiˆenmˆo˜ . t hˆo. p rˆoit` u`’ hˆo. p ¯d´o lˆayra´ mˆo. t chi tiˆetm´ay.´ a) T`ımx´acsuˆat¯d´ ˆechi’ tiˆetm´ayl´ ˆayra´ l`atˆot.´ ’ b) Voi´’ chi tiˆett´ ˆot´ o’’ cˆaua, t`ımx´acsuˆat¯d´ ˆen´o¯du’o.’c lˆayra´ tu`’ hˆo. p cua’ m´ayI. Giai’ Go.i B l`abiˆenc´ ˆol´ ˆay¯d´ u’o.’c chi tiˆett´ ˆot´ ´ ´ ´ ´ A1,A2 l`abiˆencˆolˆay¯du’o.’c hˆo.p ¯du.’ng chi tiˆetm´aycua’ m´ayI, II ´ th`ı A1,A2 l`anh´omc´acbiˆenc´ ˆoxung´ khac˘ tung`’ ¯dˆoi. a) P (B) = P (A1).P (B/A1) + P (A2).P (B/A2) 1 5 3 6 P (A ) = ; P (B/A ) = ; P (A ) = ; P (B/A ) = 1 4 1 8 2 4 2 10 Do ¯d´o 1 5 3 6 97 P (B) = . + . = 4 8 4 10 160 1 5 P (A1).P (B/A1) 4 . 8 26 b) P (A1/B) = = 97 = P (B) 160 97 * Cˆayx´acsuˆatc´ ua’ cˆaua) cho boi’’ 5 8 1 5 T 4 . 8 1 I 4 X 6 3 6 10 T 4 . 10 3 4 II X
4. Mˆots. ˆocˆongth´ uc´’ t´ınhx´acsuˆat´ 21 ’ ’ V´ıdu. 34 Mˆo. t hˆo. p c´o4 san’ phˆamtˆot¯d´ u’o.’c trˆo. n lˆanv˜ oi´’ 2 san’ phˆamxˆau.L´ ˆayng´ ˆau˜ • ’ ’ ’ nhiˆenlˆanl` u’o.’t tu`’ hˆo. p ra 2 san’ phˆam.Biˆets´ an’ phˆamlˆayra´ o’’ lˆanhai` l`asan’ phˆamtˆot.´ T`ımx´acsuˆat¯d´ ˆes’ an’ phˆaml’ ˆayra´ o’’ lˆanth` u´’ nhˆatc˜ungl`as´ an’ phˆamt’ ˆot.´ Giai’ Go.i A l`abiˆenc´ ˆos´ an’ phˆaml’ ˆayra´ lˆanth` u´’ nhˆatl`as´ an’ phˆamt’ ˆot.´ B l`abiˆenc´ ˆos´ an’ phˆaml’ ˆayra´ lˆanth` u´’ hai l`asan’ phˆamt’ ˆot.´ Ta c´o 4 3 2 4 P (A) = ,P (B A) = ,P (A) = ,P (B A) = 6 | 5 6 | 5 Theo ¯di.nh l´yBayes th`ıx´acsuˆatc´ ˆant`ıml`a` P (A).P (B A) 4 . 3 3 P (A B) = | = 6 5 = . | P (A).P (B A) + P (A).P (B A) 4 . 3 + 2 . 4 5 | | 6 5 6 5 Ch´u´y Ta c´othˆenh`ın’ ¯di.nh l´yBayes theo c´ach h`ınhho.c thˆongqua viˆe.c viˆe.c minh ho.a v´ıdu. trˆennhu’ sau: V˜emˆo.t h`ınhvuˆongca.nh 1 1. Chia tru. c ho`anhtheo c´ac ti’ sˆo´ 4 2 P (B A) = 4/5 P (A) = 6 ,P (A) = 6 . | Tru. c tung chi’ c´acx´acsuˆat´ P (A B) = 3/5 | c´o¯diˆeukiˆe` .n P (B A) = 3 ,P (B A) = 4 . | 5 | 5 V`ung sˆa.m nhiˆeu` trˆen P (A) chi’ P (A).P (B A). | V`ungsˆa.m to`anbˆo. chi’ 1 4 3 2 4 2 0 P (A) = 4/6 P (A) = 2/6 P (B) = 6 . 5 + 6 . 5 = 3 . 4 . 3 ´ 6 5 3 ’ ´ ˜ ` X´acsuˆat P (A B) = 4 . 3 + 2 . 4 = 5 l`ati sˆogiua’ v`ungsˆa.m nhiˆeuv`av`ungsˆa.m to`an | 6 5 6 5 bˆo V´ıdu. 35 (Theo thoi`’ b´aoNew York ng`ay5/9/1987) • ’ Mˆo. t ”test” kiˆemtra su.’ hiˆe. n diˆe.n cua’ virus HIV (human immunodeﬁciency virus) cho kˆetqu´ a’ du’ong’ t´ınhnˆeubˆe´ . nh nhˆanthu.’c su.’ nhiˆemvirus.˜ Tuy nhiˆen,test n`ayc˜ungc´o sai s´ot.D¯ ˆoikhi cho kˆetqu´ a’ du’ong’ t´ınh¯dˆoiv´ oi´’ ngu’oi`’ khˆongbi. nhiˆemvirus,˜ ty’ lˆe. sai s´ot l`a1/20000. Gia’ su’’ kiˆemtra’ ngˆaunhiˆen10.000˜ ngu’oi`’ th`ıc´o1 ngu’oi`’ nhiˆemvirus.˜ T`ım ty’ lˆe. ngu’oi`’ c´okˆetqu´ a’ du’ong’ t´ınhthu.’c su.’ nhiˆemvirus.˜ Giai’ Go.i A l`abiˆenc´ong´ u’oi`’ bˆe.nh bi. nhiˆemvirus˜ v`a T + l`abiˆenc´otest´ cho kˆetqu´ a’ du’ong’ t´ınh
22 Ch ’u’ong1. Nhung˜’ kh´ainiˆemc. o’ ban’ vˆex´acsu` ˆat´ + + 1 th`ı P (A) = 0, 0001; P (T /A) = 1; P (T /A) = 20000 Theo ¯di.nh l´yBayes ta c´o P (A).P (T +/A) P (A/T +) = P (A).P (T +/A) + P (A).P (T +/A) (0, 0001).1 = 1 (0, 0001).1 + (0, 9999). 20000 20000 = 29999 ’ 5. DAY˜ PHEP´ THU’ BERNOULLI 2 ¯D.inh nghia˜ 11 Tiˆenh`anh´ n ph´epthu’’ ¯dˆo. c lˆa. p. Gia’ su’’ trong mˆoiph´epth˜ u’’ chi’ c´o ’ thˆexay’ ra mˆo. t trong hai tru’ong`’ ho.’p: hoa˘. c biˆenc´ ˆoA´ xay’ ra hoa˘. c biˆenc´ ˆoA´ khˆongxay’ ra. X´acsuˆat¯d´ ˆeA’ xay’ ra trong mˆoiph´epth˜ u’’ ¯dˆeub` ang˘` p. D˜ayph´epthu’’ thoa’ m˜anc´ac ¯diˆeukiˆe` .n trˆen¯du’o.’c go. i l`ad˜ayph´epthu’’ Bernoulli. Cˆongthuc´’ Bernoulli X´acsuˆat¯d´ ˆebi’ ˆenc´ ˆoA´ xuˆathiˆe´ .n k lˆantrong` n ph´epthu’’ cua’ d˜ay ph´epthu’’ Bernoulli cho boi’’ k k n k Pn(k) = C p q − (q = 1 p; k = 0, 1, 2, . . . , n) n − Chung´’ minh. X´acsuˆatc´ ua’ mˆo.t d˜ay n ph´epthu’’ ¯dˆo.c lˆa.p bˆatk`ytrong´ ¯d´obiˆenc´ ˆoA´ ` ´ ´ ` ` k n k k xay’ ra k lˆan(biˆencˆoA khˆongxay’ ra n k lˆan)bang˘ p q − . V`ıc´o Cn d˜ay nhu’ ´ ’ ´ ´ −` ’ k k n k vˆa.y nˆenx´acsuˆat¯dˆebiˆencˆoA xay’ ra k lˆantrong n ph´epthu’ l`a Pn(k) = Cnp q − (q = 1 p; k = 0, 1, 2, . . . , n) 2 − ` V´ıdu. 36 Mˆo. t b´acsi˜ c´ox´acsuˆatch´ ua˜’ khoi’ bˆe. nh l`a0,8. C´ongu’oi`’ n´oirang˘ cu´’ 10 • ’ ngu’oi`’ ¯dˆench´ ua˜’ th`ıchac˘´ chan˘´ c´o8 ngu’oi`’ khoi’ bˆe.nh.¯ Diˆeukh` ang˘ ¯di.nh ¯d´oc´o¯d´ungkhˆong? Giai’ ’ ¯Diˆeukh` ang˘ ¯di.nh trˆenl`asai. Ta c´oxem viˆe.c chua˜’ bˆe.nh cho 10 ngu’oi`’ l`amˆo.t d˜ay cua’ 10 ph´epthu’’ ¯dˆo.c lˆa.p. Go.i A l`abiˆenc´ ˆoch´ ua˜’ khoi’ bˆe.nh cho mˆo.t ngu’oi`’ th`ı P (A) = 0, 8. Do ¯d´ox´acsuˆat¯d´ ˆetrong’ 10 ngu’oi`’ ¯dˆench´ ua˜’ c´o8 ngu’oi`’ khoi’ bˆe.nh l`a 8 8 2 P10(8) = C .(0, 8) .(0, 2) 0, 3108 10 ≈ ´ V´ıdu. 37 Ban˘ 5 viˆen¯da. n ¯dˆo. c lˆa. p voi´’ nhau v`aoc`ungmˆo. t bia, x´acsuˆattr´ung¯d´ıch´ • c´aclˆanb` an˘´ nhu’ nhau v`abang˘` 0,2. Muˆonb´ an˘´ hong’ bia phai’ c´o´ıtnhˆat3´ viˆen¯da. n ban˘´ tr´ung¯d´ıch.T`ımx´acsuˆat¯d´ ˆebia’ bi. hong.’ Giai’ Go.i k l`asˆo¯da´ .n ban˘´ tr´ungbia th`ıx´acsuˆat¯d´ ˆebia’ bi. hong’ l`a
6. B`aitˆap. 23 P (k 3) = P5(3) + P5(4) + P5(5) ≥ 3 3 2 4 4 5 5 = C5 p q + C5 p q + C5 p = 0,0512+0,0064+0,0003 = 0,0579 6. BAI` TAˆ. P 1. Gieo ¯dˆongth` oi`’ hai con x´ucsac.˘´ T`ımx´acsuˆat¯d´ ˆe:’ (a) Tˆongs’ ˆon´ ˆotxu´ ˆathiˆe´ .n trˆenhai con l`a7. (b) Tˆongs’ ˆon´ ˆotxu´ ˆathiˆe´ .n trˆenhai con l`a8. (c) Sˆon´ ˆotxu´ ˆathiˆe´ .n hai con hon’ k´emnhau 2. 2. C´o12 h`anhkh´ach lˆenmˆo.t t`au¯diˆe.n c´o4 toa mˆo.t c´ach ngˆaunhiˆen.T`ımx´acsu˜ ˆat´ ¯dˆe:’ (a) Mˆoitoa˜ c´o3 h`anhkh´ach; (b) Mˆo.t toa c´o6 h`anhkh´ach, mˆo.t toa c´o4 h`anhkh´ach, hai toa c`onla.i mˆoitoa˜ c´o1 h`anhkh´ach. 3. C´o10 tˆamth´ e’ ¯du’o.’c ¯d´anhsˆot´ u`’ 0 ¯dˆen9.´ Lˆayng´ ˆaunhiˆenhai˜ tˆamth´ e’ xˆepth`anh´ mˆo.t sˆog´ ˆom2` chu˜’ sˆo.T`ımx´acsu´ ˆat¯d´ ˆes’ ˆo¯d´ochia´ hˆetcho´ 18. 4. Trong hˆo.p c´o6 bi ¯denv`a4 bi trang.˘´ R´utngˆaunhiˆent˜ u`’ hˆo.p ra 2 bi. T`ımx´acsuˆat´ ’ ¯dˆe¯du’o.’c: (a) 2 bi ¯den, (b) ´ıtnhˆat1´ bi ¯den, (c) bi thu´’ hai m`au¯den. 5. Cho ba biˆenc´ ˆoA,´ B, C c´oc´acx´acsuˆat´ P (A) = 0, 525, P (B) = 0, 302, P (C) = 0, 480, P (AB) = 0, 052, P (BC) = 0, 076, P (CA) = 0, 147, P (ABC) = 0, 030. Chung´’ minh rang˘` c´acsˆoliˆe´ .u ¯d˜acho khˆongch´ınhx´ac. 6. Trong tu’ c´o8 ¯dˆoigi`ay. Lˆayng´ ˆaunhiˆenra˜ 4 chiˆecgi`ay.´ T`ımx´acsuˆatsao´ cho trong c´acchiˆecgi`ayl´ ˆayra´ (a) khˆonglˆa.p th`anhmˆo.t ¯dˆoin`aoca.’ (b) c´o¯d´ung1 ¯dˆoigi`ay. 7. Mˆo.t ngu’oi`’ bo’ ngˆaunhiˆen3˜ l´athu’ v`ao3 chiˆecphong´ b`ı¯d˜aghi ¯di.a chi.’ T´ınhx´ac suˆat¯d´ ˆe´ıtnh’ ˆatc´omˆo´ .t l´athu’ bo’ ¯d´ungphong b`ıcua’ n´o.
24 Ch ’u’ong1. Nhung˜’ kh´ainiˆemc. o’ ban’ vˆex´acsu` ˆat´ 8. Mˆo.t ph`ong¯diˆeutri` . c´o3 bˆe.nh nhˆanvoi´’ x´acsuˆatc´ ˆanc` ˆapc´ uu´’ trong mˆo.t ca tru.’c l`a 0,7; 0,8 v`a0,9. T`ımx´acsuˆatsao´ cho trong mˆo.t ca tru.’c: (a) C´o2 bˆe.nh nhˆancˆanc` ˆapc´ uu.´’ (b) C´o´ıtnhˆat1´ bˆe.nh khˆongcˆanc` ˆapc´ uu.´’ ´ ´ ’ ´ 9. Biˆetx´acsuˆat¯dˆemˆo.t ho.c sinh ¯da.t yˆeucˆau` o’’ lˆanthi` thu’ i l`a pi (i = 1, 2). T`ımx´ac ’ suˆat¯d´ ˆeho.c sinh ¯d´o¯da.t yˆeucˆautrong` k`ythi biˆetr´ ang˘` mˆoiho˜ .c sinh ¯du’o.’c ph´epthi tˆoi¯da2´ lˆan.` 10. Cho 2 ma.ch ¯diˆe.n nhu’ h`ınhv˜e 1 2 1 4 A 5 B A 3 B 3 4 2 5 (a) (b) ’ ´ ’ ´ ´ Gia’ su’ x´acsuˆat¯dˆed`ong¯diˆe.n qua ngat˘ i l`a pi. T`ımx´acsuˆatc´od`ong¯diˆe.n ¯ditu`’ A ¯dˆenB.´ 11. Gieo ¯dˆongth` oi`’ hai con x´ucxac˘´ cˆan¯dˆoi¯d´ ˆongch` ˆat20´ lˆanliˆenti` ˆep.T`ımx´acsu´ ˆat´ ¯dˆexu’ ˆathiˆe´ .n ´ıtnhˆatmˆo´ .t lˆan2` ma˘.t trˆenc`ungc´o6 nˆot.´ 12. Mˆo.t so.t cam rˆatl´ on´’ ¯du’o.’c phˆanloa.i theo c´ach sau. Cho.n ngˆaunhiˆen20˜ qua’ cam l`ammˆau¯da˜ .i diˆe.n. Nˆeum´ ˆaukhˆongc´oqu˜ a’ cam hong’ n`aoth`ıso.t cam ¯du’o.’c xˆep´ loa.i 1. Nˆeum´ ˆauc´omˆo˜ .t hoa˘.c hai qua’ hong’ th`ıso.t cam ¯du’o.’c ees p loa.i 2. Trong tru’ong`’ ho.’p c`onla.i (c´otu`’ 3 qua’ hong’ tro’’ lˆen)th`ıso.t cam ¯du’o.’c xˆeploa´ .i 3. Gia’ su’’ ti’ lˆe. cam hong’ cua’ so.t cam l`a3%. H˜ay t´ınhx´acsuˆat¯d´ ˆe:’ (a) So.t cam ¯du’o.’c xˆeploa´ .i 1. (b) So.t cam ¯du’o.’c xˆeploa´ .i 2. (c) So.t cam ¯du’o.’c xˆeploa´ .i 3. 13. Mˆo.t nh`am´aysan’ xuˆattivi´ c´o90%san’ phˆam¯da’ .t tiˆeuchuˆank˜ythuˆa’ .t. Trong qu´a tr`ınhkiˆemnghiˆe’ .m, x´acsuˆat¯d´ ˆech’ ˆapnhˆa´ .n mˆo.t san’ phˆam¯da’ .t tiˆeuchuˆank˜ythuˆa’ .t l`a0,95 v`ax´acsuˆat¯d´ ˆech’ ˆapnhˆa´ .n mˆo.t san’ phˆamkhˆong¯da’ .t k˜ythuˆa.t l`a0,08. T`ım ’ ’ ’ ’ x´acsuˆat¯d´ ˆemˆo.t san’ phˆam¯da.t tiˆeuchuˆank˜ythuˆa.t qua kiˆemnghiˆe.m ¯du’o.’c chˆap´ nhˆa.n. 14. Mˆo.t cˆongty lon´’ A ho.’p ¯dˆongs` an’ xuˆatbo´ ma.ch, 40% ¯dˆoiv´ oi´’ cˆongty B v`a60 % ¯dˆoiv´ oi´’ cˆongty C. Cˆongty B la.i ho.’p ¯dˆong70%` bo ma.ch n´onhˆa.n ¯du’o.’c tu`’ cˆong ty A voi´’ cˆongty D v`a30% ¯dˆoiv´ oi´’ cˆongty E. Khi bo ma.ch ¯du’o.’c ho`anth`anhtu`’ ’ c´accˆongty C, D v`aE, ch´ung¯du’o.’c ¯dua’ ¯dˆencˆongty´ A ¯dˆegan˘´ v`aoc´acmodel kh´ac
6. B`aitˆap. 25 nhau cua’ m´ayt´ınh. Ngu’oi`’ ta nhˆa.n thˆay1,5%,´ 1% v`a5% tu’ong’ ung´’ cua’ c´acbo ma.ch cua’ cˆongty D, C v`aE hu’ trong v`ong90 ng`aybao’ h`anhsau khi b´an.T`ım x´acsuˆatbo´ ma.ch cua’ m´ayt´ınhbi. hu’ trong khoang’ thoi`’ gian 90 ng`ay¯d u’o.’c bao’ h`anh. 15. Biˆetr´ ang˘` mˆo.t ngu’oi`’ c´onh´omm´auAB c´othˆenha’ .n m´aucua’ bˆatk`ynh´omm´au´ n`ao.Nˆeung´ u’oi`’ ¯d´oc´onh´omm´auc`onla.i (A, B hoa˘.c O) th`ıchi’ c´othˆenhˆa’ .n m´au cua’ ngu’oi`’ c´oc`ungnh´omm´auvoi´’ m`ınhhoa˘.c nh´omm´auO. Cho biˆett´ y’ lˆe. ngu’oi`’ c´onh´omm´auO, A, B v`aAB tu’ong’ ung´’ l`a33,7%; 37,5%; 20,9% v`a7,9%. (a) Cho.n ngˆaunhiˆenmˆo˜ .t ngu’oi`’ cˆanti` ˆepm´auv`amˆo´ .t ngu’oi`’ cho m´au.T´ınhx´ac ’ suˆat¯d´ ˆesu.’ truyˆenm´au¯d` u’o.’c thu.’c hiˆe.n. (b) Cho.n ngˆaunhiˆenmˆo˜ .t ngu’oi`’ cˆanti` ˆepm´auv`ahai´ ngu’oi`’ cho m´au. T´ınhx´ac ’ suˆat¯d´ ˆesu.’ truyˆenm´au¯d` u’o.’c thu.’c hiˆe.n. 16. Lˆoh`angthu´’ I c´o5 ch´ınhphˆamv`a3’ phˆeph´ ˆam.Lˆoh`angth’ u´’ II c´o3 ch´ınhphˆam’ v`a2 phˆeph´ ˆam.’ (a) Lˆayng´ ˆaunhiˆent˜ u`’ mˆoilˆoh`angra˜ 1 san’ phˆam.’ ’ ’ i) T`ımx´acsuˆat¯d´ ˆelˆay¯d´ u’o.’c 2 ch´ınhphˆam. ’ ’ ’ ii) T`ımx´acsuˆat¯d´ ˆelˆay¯d´ u’o.’c 1 ch´ınhphˆamv`a1 phˆeph´ ˆam. ’ ’ ’ ’ iii) Gia’ su’’ lˆay¯d´ u’o.’c 1 ch´ınhphˆamv`a1 phˆeph´ ˆam.T`ımx´acsuˆat¯d´ ˆephˆeph´ ˆam l`acua’ lˆoh`angthu´’ I. (b) Cho.n ngˆaunhiˆenmˆo˜ .t lˆoh`angrˆoit` u`’ ¯d´olˆayra´ 2 san’ phˆam.T`ımx´acsu’ ˆat¯d´ ˆe’ ’ lˆay¯d´ u’o.’c 2 ch´ınhphˆam. 2 TRAL’ OI`’ BAI` TAˆ P • . 1 5 2 12! 12! 1 1. (a) 6 , (b) 36 , (c) 9 . 2. (a) (3!)4.412 , (b) 6!4!412 3. 8 . 1 3 3 2 4. (a) 3 , (b) 5 , (c) 5 . 6. (a) 0,6154 ; (b) 0,3692. 7. 3 . 8. (a) 0,398; (b) 0,496. 9. p1 + (1 p1)p2. − 10. 1 ( 35 )20. − 36 12. (a) p = (0, 97)20 = 0, 5438, (b) p = 20(0, 03)(0, 97)19 + 190(0, 03)2.(0, 97)18 = 0, 4352, (c) 1 0, 54338 0, 4352 = 0, 021 − − 13. 0,99 14. p = 0, 4.0, 7.0, 015 + 0, 4.0, 3.0, 01 + 0, 6.0, 005 = 0, 0084.
26 Ch ’u’ong1. Nhung˜’ kh´ainiˆemc. o’ ban’ vˆex´acsu` ˆat´ 15. (a) 0,5737; (b) 0,7777. 3 19 9 23 16. (a) i) 8 , ii) 40 , iii) 19 , (b) 70 .
Ch ’u’ong2 ˜ ¯DA. ILU’ONG.’ NGAUˆ NHIENˆ VA` PHANˆ PHOIˆ´ XAC´ SUATˆ´ ˜ 1. ¯DA. ILU’O.’NG NGAUˆ NHIENˆ 1.1 Kh´ainiˆe.m ¯da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆen˜ ’ ’ 2 ¯D.inh nghia˜ 1 ¯Da. i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenl`a¯da˜ . i lu’o.’ng biˆen¯d´ ˆoibiˆeuthi. gı´atri. kˆetq´ ua’ cua’ mˆo. t ph´epthu’’ ngˆaunhiˆen.˜ ’ Ta d`ungc´acchu˜’ c´aihoa nhu’ X, Y, Z, ¯dˆek´ıhiˆe.u ¯da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆen.˜ ´ ´ V´ıdu. 1 Tung mˆo. t con x´ucxac.˘ Go. i X l`asˆoch´ ˆamxu´ ˆathiˆe´ .n trˆenma˘. t con x´ucxac˘ • ’ th`ıX l`amˆo. t ¯da. i lu’o.’ng ngˆaunhiˆennhˆa˜ . n c´acgi´atri. c´othˆel`a1, 2, 3, 4, 5, 6. 1.2¯ Da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenr˜ oi`’ ra.c a)¯ Da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenr˜ oi`’ ra.c 2 ¯D.inh nghia˜ 2 ¯Da. i lu’o.’ng ngˆaunhiˆen¯d˜ u’o.’c go. i l`aroi`’ ra. c nˆeun´och´ i’ nhˆa. n mˆo. t sˆo´ huu˜’ ha. n hoa˘. c mˆo. t sˆovˆoha´ . n ¯dˆem¯d´ u’o.’c c´acgi´atri ’ ˜ Ta c´othˆeliˆe.t kˆec´acgi´atri. cua’ ¯da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenroi`’ ra.c x1, x2, . . . , xn. ˜ ´ ’ Ta k´ıhiˆe.u ¯da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenX nhˆa.n gi´atri. xn l`a X = xn v`ax´acsuˆat¯dˆeX nhˆa.n gi´atri. xn l`a P (X = xn). ´ ´ V´ıdu. 2 Sˆoch´ ˆamxu´ ˆathiˆe´ . n trˆenma˘. t con x´ucxac,˘ sˆoho´ . c sinh vang˘ ma˘. t trong mˆo. t • ’ buˆoiho. c l`ac´ac¯da. i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenr˜ oi`’ ra. c. b) Bang’ phˆanphˆoix´acsu´ ˆat´ ’ Bang’ phˆanphˆoix´acsu´ ˆatd`ung¯d´ ˆethiˆetlˆa´ .p luˆa.t phˆanphˆoix´acsu´ ˆatc´ ua’ ¯da.i lu’o.’ng ´ ´ ’ ngˆaunhiˆenr˜ oi`’ ra.c, n´ogˆom2` h`ang:h`angthu’ nhˆatliˆe.t kˆec´acgi´atri. c´othˆe x1, x2, . . . , xn ˜ ´ ´ ´ cua’ ¯da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenX v`ah`angthu’ hai liˆe.t kˆec´acx´acsuˆattu’ong’ ung’ p1, p2, . . . , pn cua’ c´acgi´atri. c´othˆe¯d´o.’ 27
´ ´ 28 Ch ’u’ong2. ¯Da.i lu’ong’ ngˆaunhiˆenv`aphˆanph˜ ˆoix´acsuˆat X x1 x2 . . . xn P p1 p2 . . . pn ´ ’ ˜ ´ Nˆeuc´acgi´atri. c´othˆecua’ ¯da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenX gˆomh˜uuha` .n sˆo x1, x2, . . . , xn th`ı ´ ´ ´ ´ c´acbiˆencˆo X = x1,X = x2, ,X = xn lˆa.p th`anhmˆo.t nh´omc´acbiˆencˆo¯dˆay¯d` u’ xung khac˘´ tung`’ ¯dˆoi. n Do ¯d´o pi = 1. i=1 X ´ V´ıdu. 3 Tung mˆo. t con x´ucxac˘ ¯dˆongch` ˆat.Go´ . i X l`asˆoch´ ˆamxu´ ˆathiˆe´ .n trˆenma˘. t con • x´ucxac˘´ th`ıX l`a¯da. i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenr˜ oi`’ ra. c c´ophˆanphˆoix´acsu´ ˆatcho´ boi:’’ X 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 P 6 6 6 6 6 6 1.3¯ Da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenliˆentu˜ . c v`ah`ammˆa.t ¯dˆo. x´acsuˆat´ a)¯ Da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenliˆentu˜ . c ’ 2 ¯D.inh nghia˜ 3 ¯Da. i lu’o.’ng ngˆaunhiˆen¯d˜ u’o.’c go. i l`aliˆentu. c nˆeuc´acgi´atri´ . c´othˆecua’ n´olˆap¯d´ ˆaymˆo` . t khoang’ trˆentru. c sˆo.´ V´ıdu. 4 • - Nhiˆe. t ¯dˆo. khˆongkh´ı o’’ mˆoith˜ oi`’ ¯diˆemn`ao¯d´o.’ - Sai sˆokhi´ khi ¯dolu’ong`’ mˆo. t ¯da. i lu’o.’ng vˆa. t l´y. - Khoang’ thoi`’ gian giua˜’ hai ca cˆapc´ uu´’ cua’ mˆo. t bˆe.nh viˆe. n. b) H`ammˆa.t ¯dˆo. x´acsuˆat´ 2 ¯D.inh nghia˜ 4 H`ammˆa. t ¯dˆo. x´acsuˆatc´ ua’ ¯da. i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenliˆentu˜ . c X l`ah`am khˆongˆamf(x), x´ac¯di.nh voi´’ mo. i x ( , + ) thoa’ m˜an ∈ −∞ ∞ P (X B) = f(x)dx ∈ BZ voi´’ mo. i tˆa. p sˆoth´ u.’c B. 3 T´ınhchˆat´ H`ammˆa.t ¯dˆo. x´acsuˆatc´oc´act´ınhch´ ˆatsau´ i) f(x) 0, x ( , + ) + ≥ ∀ ∈ −∞ ∞ ∞ ii) f(x)dx = 1 Z −∞ Y´ nghia˜ cua’ h`ammˆa.t ¯dˆo. Tu`’ ¯di.nh nghia˜ cua’ h`ammˆa.t ¯dˆo. ta c´o P (x X x + x) f(x). x ≤ ≤ 4 ∼ 4 Do ¯d´ota thˆayx´acsu´ ˆat¯d´ ˆeX’ nhˆa.n gi´atri. thuˆo.c lˆancˆa.n kh´ab´e(x, x + x) gˆannh` u’ 4 ti’ lˆe. voi´’ f(x).
1.¯ Da.i lu’ong’ ngˆaunhiˆen˜ 29 1.4 H`amphˆanphˆoix´acsu´ ˆat´ 2 ¯D.inh nghia˜ 5 H`amphˆanphˆoix´acsu´ ˆatc´ ua’ ¯da. i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenX,˜ k´ıhiˆe.u F(x), l`ah`am¯du’o.’c x´ac¯di.nh nhu’ sau F (x) = P (X 6 th`ı F (x) = 0, 3 + 0, 1 + 0, 6 = 1.
´ ´ 30 Ch ’u’ong2. ¯Da.i lu’ong’ ngˆaunhiˆenv`aphˆanph˜ ˆoix´acsuˆat 0 ; x 1 0, 3 ; 1 6 ≤   V´ıdu. 6 Cho X l`a¯da. i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenliˆentu˜ . c c´oh`ammˆa. t ¯dˆo. • 0 nˆeu´ x 1  T`ımh`amphˆanphˆoix´acsu´ ˆatF(x).´ Giai’ x Khi x 1 th`ı x 1 x 6 6 3 2 x 2 F (x) = f(t)dt = tdt + 4 dt = + 3 = 1 3 5 5t 5 −5t 1 − 5x Z 0Z 1Z −∞ 0 ; x 1 − 5x  ´ ˜ 2. CAC´ THAM SODˆ ¯ A˘. C TRUNG’ CUA’ ¯ DA. ILU’O.’NG NGAUˆ NHIENˆ 2.1 K`yvo.ng (Expectation) 2 ¯D.inh nghia˜ 6 ’ ˜ ’ * Gia’ su’ X l`a¯da. i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenroi`’ ra. c c´othˆenhˆa. n c´acgi´atri. x1, x2, . . . , xn ´ ´ ´ ˜ voi’ c´acx´axsuˆattu’ong’ ung’ p1, p2, . . . , pn. K`yvo. ng cua’ ¯da. i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenX, k´ıhiˆe.u E(X) (hay M(X)), l`asˆo¯d´ u’o.’c x´ac¯di.nh boi’’
2. C´actham sˆo¯d´ ac˘ trung’ cua’ ¯da.i lu’ong’ ngˆaunhiˆen˜ 31 n E(X) = xipi i=1 X * Gia’ su’ X l`a¯da. i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenliˆentu˜ . c c´oh`ammˆa. t ¯dˆo. x´acsuˆat´ f(x). K`yvo. ng cua’ ¯da. i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenX˜ ¯du’o.’c x´ac¯di.nh boi’’ ∞ E(X) = xf(x)dx Z −∞ V´ıdu. 7 T`ımk`yvo. ng cua’ ¯da. i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenc´ob˜ ang’ phˆanphˆoix´acsu´ ˆatsau´ • X 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 2 2 1 1 P 12 12 12 12 12 12 12 Ta c´o 1 2 3 2 2 1 1 93 31 E(X) = 5. 12 + 6. 12 + 7. 12 + 8. 12 + 9. 12 + 10. 12 + 11. 12 = 12 = 4 = 7, 75. V´ıdu. 8 Cho X l`a¯da. i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenliˆentu˜ . c c´oh`ammˆa. t ¯dˆo. • 2.e 2x nˆeu´ 0 < x < 2 f(x) = − ( 0 nˆeu´ x / (0, 2) ∈ T`ımE(X). Giai’ 2 2 ∞ 1 x3 4 E(X) = xf(x)dx = x.( x)dx = = 2 6 3 Z 0Z 0 −∞ 3 T´ınhchˆat´ i) E(C) = C, C l`ahang.˘` ii) E(cX) = c.E(X). iii) E(X + Y ) = E(X) + E(Y ). iv) NˆeuX´ v`aY l`ahai ¯da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆen¯dˆo˜ .c lˆa.p th`ı E(XY ) = E(X).E(Y ). Y´ nghia˜ cua’ k`yvo.ng ’ Tiˆenh`anhn´ ph´epthu.’’ Gia’ su’’ X l`a¯da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆennhˆa˜ .n c´acgi´atri. c´othˆe ´ ´ x1, x2, . . . , xn voi’ sˆolˆannhˆa` .n k1, k2, . . . , kn. Gi´atri. trung b`ınhcua’ ¯da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenX˜ trong n ph´epthu’’ l`a k x + k x + + k x k k k x = 1 1 2 2 n n = 1 x + 2 x + + n x = f x + f x + + f k n x 1 n 2 n n 1 1 2 2 n n ´ ki ` ´ ’ voi’ fi = n l`atˆansuˆat¯dˆeX nhˆa.n gi´atri. xi.
´ ´ 32 Ch ’u’ong2. ¯Da.i lu’ong’ ngˆaunhiˆenv`aphˆanph˜ ˆoix´acsuˆat Theo ¯dinh nghia˜ x´acsuˆattheo´ lˆoith´ ˆongkˆeta´ c´o lim fi = pi. V`ıvˆay voi´’ n ¯du’ lon´’ . n . ta c´o →∞ x p1x1 + p2x2 + + pnxn = E(X) ≈ Ta thˆayk`yvo´ .ng cua’ ¯da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenx˜ ˆapx´ i’ voi´’ trung b`ınhsˆoho´ .c c´acgi´atri. quan s´atcua’ ¯da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆen.˜ ’ Do ¯d´oc´othˆen´oi k`yvo. ng cua’ ¯da. i lu’o.’ng ngˆaunhiˆench´ınhl`agi´atri˜ . trung b`ınh(theo x´acsuˆat)c´ ua’ ¯da. i lu’o.’ng ngˆaunhiˆen.N´oph˜ an’ ´anhgi´atri. trung tˆamcua’ phˆanphˆoix´ac´ suˆat´ 2.2 Phu’ong’ sai (Variance) 2 ¯D.inh nghia˜ 7 Phu’ong’ sai (¯dˆo. lˆe. ch b`ınh phu’ong’ trung b`ınh) cua’ ¯da. i lu’o.’ng ngˆau˜ nhiˆenX, k´ıhiˆe.u Var(X) hay D(X), ¯du’o.’c ¯di.nh nghia˜ bang˘` cˆongthuc´’ V ar(X) = E [X E(X)]2 { − } ´ ˜ ’ ´ *NˆeuX l`a¯da. i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenroi`’ ra. c nhˆa. n c´acgi´atri. c´othˆe x1, x2, . . . , xn voi’ c´acx´acsuˆatt´ u’ong’ ung´’ p1, p2, . . . , pn th`ı n 2 V ar(X) = [xi E(X)] pi i=1 − X *NˆeuX´ l`a¯da. i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenliˆentu˜ . c c´oh`ammˆa. t ¯dˆo. x´acsuˆatf(x)´ th`ı + ∞ V ar(X) = [x E(X)]2f(x)dx Z − −∞ ` Ch´u´y Trong thu.’c tˆeta´ thu’ong`’ t´ınhphu’ong’ sai bang˘ cˆongthuc´’ V ar(X) = E(X2) [E(X)]2 − Thˆa.t vˆa.y, ta c´o V ar(X) = E X E(X)]2 = E{X2− 2X.E(}X) + [E(X)]2 = E{(X2)− 2E(X).E(X) + [E(X} )]2 = E(X2) − [E(X)]2 − V´ıdu. 9 Cho ¯da. i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenr˜ oi`’ ra. c X c´obang’ phˆanphˆoix´acsu´ ˆatsau´ • X 1 3 5 P 0,1 0,4 0,5 T`ımphu’ong’ sai cua’ X. Giai’ E(X)=1.0,1+3.0,4+5.0,5=3,8 E(X2) = 12.0, 1 + 32.0, 4 + 52.0, 5 = 16, 2 Do ¯d´o V ar(X) = E(X2) [E(X)]2 = 16, 2 14, 44 = 1, 76. − −
2. C´actham sˆo¯d´ ac˘ trung’ cua’ ¯da.i lu’ong’ ngˆaunhiˆen˜ 33 V´ıdu. 10 Cho ¯da. i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenX˜ c´oh`ammˆa. t ¯dˆo. • cx3 voi´’ 0 x 3 f(x) = ≤ ≤ ( 0 voi´’ x [0, 3] 6∈ H˜ayt`ım i) Hang˘` sˆoc.´ ii) K`yvo. ng. iii) Phu’ong’ sai Giai’ 3 x4 3 81 i) Ta c´o 1 = cx3dx = c = c. " 4 # 4 0Z 0 4 Suy ra c = . 81 3 4 4 x5 3 ii) E(X) = x x3dx = = 2, 4. 81 81 " 5 # 0Z 0 iii) Ta c´o 3 3 ∞ 4 4 x6 E(X2) = x2f(x)dx = x2 x3dx = = 6 81 81 " 6 # Z 0Z 0 −∞ Vˆa.y V ar(X) = E(X2) [E(X)]2 = 6 (2, 4)2 = 0, 24. − − 3 T´ınhchˆat´ i) Var(C)=0; (C khˆong¯dˆoi).’ ii) V ar(cX) = c2.V ar(X). iii) NˆeuX´ v`aY l`ahai ¯da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆen¯dˆo˜ .c lˆa.p th`ı * V ar(X + Y ) = V ar(X) + V ar(Y ); * Var(X-Y)=Var(X)+Var(Y); * Var(C+X)=Var(X). Y´ nghia˜ cua’ phu’ong’ sai Ta thˆay´ X E(X) l`a¯dˆo. lˆe.ch khoi’ gi´atri. trung b`ınhnˆen V ar(X) = E [X E(X)]2 − { − } l`a¯dˆo. lˆe.ch b`ınhphu’ong’ trung b`ınh. Do ¯d´ophu’ong’ sai phan’ ´anhmuc´’ ¯dˆo. phˆant´anc´ac gi´atri. cua’ ¯da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenchung˜ quanh gi´atri. trung b`ınh. 2.3¯ Dˆo. lˆe.ch tiˆeuchuˆan’ ¯Don’ vi. ¯docua’ phu’ong’ sai bang˘` b`ınhphu’ong’ ¯don’ vi. ¯docua’ ¯da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆen.˜ Khi cˆan¯d´anhgi´am` uc´’ ¯dˆo. phˆant´anc´acgi´atri. cua’ ¯da.i lu’ong’ ngˆaunhiˆentheo˜ ¯don’ vi. cua’ n´o,ngu’oi`’ ta d`ungmˆo.t ¯da˘.c trung’ moi´’ ¯d´ol`a¯dˆo. lˆe.ch tiˆeuchuˆan.’
´ ´ 34 Ch ’u’ong2. ¯Da.i lu’ong’ ngˆaunhiˆenv`aphˆanph˜ ˆoix´acsuˆat ’ 2 ¯D.inh nghia˜ 8 ¯Dˆo. lˆe. ch tiˆeuchuˆancua’ ¯da. i lu’o.’ng ngˆaunhiˆen˜ X, k´ıhiˆe. u l`a σ(X), ¯du’o.’c ¯di.nh nghia˜ nhu’ sau: σ(X) = V ar(X) q 2.4 Mode 2 ¯D.inh nghia˜ 9 Mod(X) l`agi´atri. cua’ ¯da. i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenX˜ c´okha’ nang˘ xuˆathiˆe´ .n lon´’ nhˆattrong´ mˆo. t lˆancˆa. n n`ao¯d´ocua’ n´o. ¯Dˆoiv´ oi´’ ¯da. i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenr˜ oi`’ ra. c mod(X) l`agi´atri. cua’ X ung´’ voi´’ x´acsuˆatl´ on´’ nhˆat,c`on¯d´ ˆoiv´ oi´’ ¯da. i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenliˆentu˜ . c th`ımod(X) l`agi´atri. cua’ X ta. i ¯d´oh`am mˆa. t ¯dˆo. ¯da. t gi´atri. cu.’c ¯da. i. ’ Ch´u´y Mˆo.t ¯da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenc´oth˜ ˆec´omˆo.t mode hoa˘.c nhiˆeumode.` ’ V´ıdu. 11 Gia’ su’’ X l`a¯diˆemtrung b`ınhcua’ sinh viˆentrong tru’ong`’ th`ımod(X) l`a • ’ ¯diˆemm`anhiˆeusinh` viˆen¯da. t ¯du’o.’c nhˆat.´ V´ıdu. 12 Cho ¯da. i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenliˆentu˜ . c c´ophˆanphˆoiVˆay´ bun voi´’ h`ammˆa. t • − ¯dˆo. 0 nˆeu´ x 0 2 f(x) = x x ≤  e 4 nˆeu´ x > 0  2 − H˜ayx´ac¯di.nh mod(X).  Giai’ mod(X) l`anghiˆe.m cua’ phu’ong’ tr`ınh 2 1 x2 x x2 f 0(x) = e− 4 e− 4 = 0 2 − 4 x2 Suy ra mod(X) l`anghiˆe.m cua’ phu’ong’ tr`ınh1 = 0. Do mod(X) > 0 nˆen − 2 mod(X) = √2 = 1, 414. 2.5 Trung vi. 2 ¯D.inh nghia˜ 10 Trung vi. cua’ ¯da. i lu’o.’ng ngˆaunhiˆen˜ X l`agi´atri. cua’ X chia phˆan phˆoix´acsu´ ˆatth`anhhai´ phˆanc´ox´acsu` ˆatgi´ ˆongnhau.´ K´ıhiˆe. u med(X). Ta c´o P (X < med(X)) = P (X med(X)) = 1 ≥ 2 ’ 1 Nhˆa.n x´et Tu`’ ¯di.nh nghia˜ ta thˆay¯d´ ˆet`ımtrung vi. chi’ cˆangi` ai’ phu’ong’ tr`ınh F (x) = . ⊕ 2 Trong ung´’ du. ng, trung vi. l`a¯da˘.c trung’ vi. tr´ıtˆotnh´ ˆat,nhi´ ˆeukhi` tˆoth´ on’ ca’ k`yvo.ng, nhˆatl`akhi´ trong sˆoliˆe´ .u c´onhiˆeusai` s´ot. Trung vi. c`on¯du’o.’c go.i l`a phˆanvi. 50% cua’ phˆanphˆoi´ .
2. C´actham sˆo¯d´ ac˘ trung’ cua’ ¯da.i lu’ong’ ngˆaunhiˆen˜ 35 V´ıdu. 13 T`ımmed(X) trong v´ıdu. (12). • Giai’ med(X) l`anghiˆe.m cua’ phu’ong’ tr`ınh med(X) [med(X)]2 f(x)dx = 0, 5 hay 1 e− 4 = 0, 5 − 0Z Suy ra med(X) = 1, 665. Ch´u´y N´oichung, ba sˆo¯d´ a˘.c trung’ k`yvo.ng, mode v`atrung vi. khˆongtr`ungnhau. Chang˘’ ha.n, tu`’ c´acv´ıdu. (12), (13) v`at´ınhthˆemk`yvo.ng ta c´o E(X) = 1, 772; mod(X) = 1, 414 v`a med(X) = 1, 665. Tuy nhiˆennˆeuphˆanph´ ˆoi¯d´ ˆoix´ ung´’ v`achi’ c´omˆo.t mode th`ı ca’ ba ¯da˘.c trung’ ¯d´otr`ungnhau. 2.6 Moment 2 ¯D.inh nghia˜ 11 ´ ˜ ´ k * Moment cˆapk cua’ ¯da. i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenX l`asˆo mk = E(X ). ´ ˜ ´ k * Moment qui tˆamcˆapk cua’ ¯da. i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenX l`asˆo αk = E [X E(X)] . { − } Nhˆa.n x´et ⊕ ´ i) Moment cˆap1 cua’ X l`ak`yvo.ng cua’ X (m1 = E(X)). 2 ii) Moment qui tˆamcˆaphai´ cua’ X l`aphu’ong’ sai cua’ X (α2 = m2 m = V ar(X)). − 1 3 iii) α3 = m3 3m2m1 + 2m . − 1 2.7 H`ammoment sinh 2 ¯D.inh nghia˜ 12 H`ammoment sinh cua’ ¯da. i lu’o.’ng ngˆaunhiˆen˜ X l`ah`amx´ac¯di.nh trong ( , + ) cho boi’’ −∞ ∞ tx e p(x) nˆeu´ X roi`’ ra. c tX x φ(t) = E(e ) =  X+  ∞ tx ´  e p(x)dx nˆeu X liˆentu. c −∞  R  3 T´ınhchˆat´ i) φ0 (0) = E(X). ii) φ00 (0) = E(X2). iii) Tˆongqu´at:’ φ(n)(0) = E(Xn), n 1. ∀ ≥
´ ´ 36 Ch ’u’ong2. ¯Da.i lu’ong’ ngˆaunhiˆenv`aphˆanph˜ ˆoix´acsuˆat Chung´’ minh. d d i) φ0 (t) = E(etX ) = E (etX ) = E(XetX ). dt dt ! Suy ra φ0 (0) = E(X). d d d ii) φ00 (t) = φ0 (t) = E(XetX ) = E (XetX ) = E(X2etX ). dt dt dt ! Suy ra φ00 (0) = E(X2). 2 Ch´u´y i) Gia’ su’’ X v`a Y l`ahai ¯da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆen¯dˆo˜ .c lˆa.p c´oh`ammoment sinh tu’ong’ ung´’ l`a φX (t) v`a φY (t). Khi ¯d´oh`ammoment sinh cua’ X + Y cho boi’’ t(X+Y ) tX tY tX tY φX+Y (t) = E(e ) = E(e e ) = E(e )E(e ) = φX (t)φY (t) ’ tX tY (¯dang˘ thuc´’ gˆancu` ˆoic´o¯d´ u’o.’c do e v`a e ¯dˆo.c lˆa.p) ii) C´otu’ong’ ung´’ 1 1 giua˜’ h`ammoment sinh v`ah`amphˆanphˆoix´acsu´ ˆatc´ ua’ ¯da.i − lu’o.’ng ngˆaunhiˆen˜ X. ´ ´ ´ 3. MOˆ. TSOˆ QUI LUAˆ. T PHANˆ PHOIˆ XAC´ SUATˆ 3.1 Phˆanphˆoinhi´ . thuc´’ (Binomial Distribution) 2 ¯D.inh nghia˜ 13 ¯Da. i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenr˜ oi`’ ra. c X nhˆa. n mˆottrong c´acgi´atri. 0,1,2, ,n voi´’ c´acx´acsuˆatt´ u’ong’ ung´’ ¯du’o.’c t´ınhtheo cˆongthuc´’ Bernoulli x x n x Px = P (X = x) = Cnp q − (2.1) go. i l`ac´ophˆanphˆoinhi´ . thuc´’ voi´’ tham sˆon´ v`ap. K´ıhiˆe.u X B(n, p) (hay X B(n, p)). ∈ ∼ Cˆongthuc´’ Voi´’ h nguyˆendu’ong’ v`a h n x, ta c´o ≤ − P (x X x + h) = Px + Px+1 + + Px+h (2.2) ≤ ≤ ’ ’ ’ V´ıdu. 14 Ty’ lˆe. phˆeph´ ˆamtrong lˆosan’ phˆaml`a3%. Lˆayng´ ˆaunhiˆen100˜ san’ phˆam • ¯dˆeki’ ˆemtra.’ T`ımx´acsuˆat¯d´ ˆetrong’ ¯d´o i) C´o3 phˆeph´ ˆam.’ ii) C´okhˆongqu´a3 phˆeph´ ˆam.’ Giai’ ’ ’ Ta thˆaym´ ˆoil˜ ˆanki` ˆemtra mˆo.t san’ phˆaml`athu.’c hiˆe.n mˆo.t ph´epthu.’’ Do ¯d´ota c´o n=100 ph´epthu.’’
3. Mˆotsˆoqui´ luˆatphˆanphˆoix´acsu´ ˆat´ 37 Go.i A l`abiˆenc´ ˆos´ an’ phˆaml’ ˆayra´ l`aphˆeph´ ˆamth`ı’ trong mˆoiph´epth˜ u.’’ Ta c´o p = p(A) = 0, 03. ’ ’ ’ ¯Da˘.t X l`atˆongsˆoph´ ˆeph´ ˆamtrong 100 san’ phˆamth`ı X B(100; 0, 03). ∈ 3 3 97 i) P (X = 3) = C100(0, 03) .(0, 97) = 0, 2274. ii) P (0 X 3) = P0 + P1 + P2 + P3 ≤ ≤ 0 0 100 1 1 99 = C100(0, 03) (0, 97) + C100(0, 03) (0, 97) 2 2 98 3 3 97 +C100(0, 03) (0, 97) + C100(0, 03) (0, 97) = 0, 647. Ch´u´y Khi n kh´alon´’ th`ıx´acsuˆatp´ khˆongqu´agˆan0` v`a1. Khi ¯d´ota c´othˆe´apdu’ . ng cˆongth uc´’ xˆapx´ i’ sau i) x x n x 1 Px = C p q − f(u) (2.3) n ≈ √npq trong ¯d´o x np 1 u2 u = − ; f(u) = e− 2 ; √npq √2π (2.3) ¯du’o.’c go.i cˆongthuc´’ ¯di.a phu’ong’ Laplace. ii) P (x X x + h) ϕ(u2) ϕ(u1) (2.4) ≤ ≤ ≈ − trong ¯d´o u 1 t2 ϕ(u) = e− 2 dt (H`amLaplace); √2π 0Z x np x + h np u1 = − ; u2 = − √npq √npq (2.4) ¯du’o.’c go.i l`acˆongthuc´’ t´ıch phˆanLaplace. C´actham sˆo¯d´ a˘.c trung’ Nˆeu´ X B(n, p) th`ıta c´o ∈ i) E(X) = np. ii) V ar(X) = npq. iii) np q mod(X) np + p. − ≤ ≤ Chung´’ minh. X´et¯da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆen˜ X c´ophˆanphˆoinhi´ . thuc´’ voi´’ c´actham sˆo´ n v`a p biˆeudi’ ˆenph´epth˜ u’’ biˆenc´ ˆo´ A xay’ ra, mˆoiph´epth˜ u’’ c´oc`ungx´acsuˆatx´ ay’ ra biˆenc´ ˆo´ A l`a p. Ta c´othˆebi’ ˆeudi’ ˆen˜ X nhu’ sau: n X = Xi i=1 X
´ ´ 38 Ch ’u’ong2. ¯Da.i lu’ong’ ngˆaunhiˆenv`aphˆanph˜ ˆoix´acsuˆat 1 nˆeu´ o’’ ph´epthu’’ thu´’ i biˆenc´ ˆo´ A xay’ ra trong ¯d´o Xi = ( 0 nˆeung´ u’o.’c la.i ˜ ´ ´ V`ı Xi, i = 1, 2, . . . , n l`ac´ac¯da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆen¯dˆo.c lˆa.p c´ophˆanphˆoinhi. thuc’ nˆen E(Xi) = P (Xi = 1) = p 2 2 2 V ar(Xi) = E(X ) p = p(1 p) = pq (X = Xi) i − − i Do ¯d´o n E(X) = E(Xi) = np i=1 X n V ar(X) = V ar(Xi) = npq i=1 X 2 ’ ’ V´ıdu. 15 Mˆo. t m´aysan’ xuˆat¯d´ u’o.’c 200 san’ phˆamtrong mˆo. t ng`ay.X´acsuˆat¯d´ ˆem´ay • san’ xuˆatra´ phˆeph´ ˆaml`a’ 0, 05. T`ım sˆoph´ ˆeph´ ˆamtrung’ b`ınhv`asˆoph´ ˆeph´ ˆamc´okh’ a’ nang˘ tin ch´accua’ m´ay¯d´otrong mˆo. t ng`ay. Giai’ Go.i X l`asˆoph´ ˆeph´ ˆamc’ ua’ m´aytrong mˆo.t ng`ayth`ı X B(200; 0, 05). ∈ Sˆoph´ ˆeph´ ˆamtrung’ b`ınhcua’ m´aytrong mˆo.t ng`ayl`a E(X) = np = 200 0, 05 = 10 × Sˆoph´ ˆeph´ ˆamtin’ chac˘´ trong ng`ayl`amod(X). Ta c´o np q = 200 0, 05 0, 95 = 9, 05 np +− p = 200 × 0, 05− + 0, 05 = 10, 05 × = 9, 05 mod(X) 10, 05 ⇒ ≤ ≤ V`ı X B(200; 0, 05) nˆen mod(X) Z. Do ¯d´o mod(X) = 10. ∈ ∈ 3.2 PhˆanphˆoiPoisson´ Cˆongthuc´’ Poisson Gia’ su’’ X l`a¯da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenc´ophˆanph˜ ˆoinhi´ . thuc´’ voi´’ tham sˆo(´ n, p) v`a a = np trong ¯d´o n kh´alon´’ v`a p kh´ab´e. Ta c´o n! k n k P (X = k) = p (1 p) − (n k)!k! − − n! a k a n k = .( ) .(1 ) − (n k)!k! n − n n(n− 1) (n k + 1) ak (1 a )n = − − . . − n nk k! (1 a )k − n
3. Mˆotsˆoqui´ luˆatphˆanphˆoix´acsu´ ˆat´ 39 Do n kh´alon´’ v`a p kh´ab´enˆen a n a n(n 1) (n k + 1) a k (1 ) e− , − − 1, (1 ) 1 − n ≈ nk ≈ − n ≈ k a a Do ¯d´o P (X = k) e− ≈ k! Vˆa.y tu`’ cˆongthuc´’ Bernoulli ta c´ocˆongthuc´’ xˆapx´ i’ k k k n k a a Pk = P (X = k) = C p q − e− n ≈ k! Khi ¯d´ota c´othˆethay’ cˆongthuc´’ Bernoulli boi’’ cˆongthuc´’ Poisson ak P = P (X = k) = e a (2.5) k k! − 2 ¯D.inh nghia˜ 14 ¯Da. i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenr˜ oi`’ ra. c X nhˆa. n mˆo. t trong c´acgi´atri. 0,1, ,n voi´’ c´acx´acsuˆatt´ u’ong’ ung´’ ¯du’o.’c t´ınhtheo cˆongthuc´’ (2.5) ¯du’o.’c go. i l`ac´ophˆanphˆoi´ Poisson voi´’ tham sˆoa.´ K´ıhiˆe. u X (a) (hay X (a)). ∈ P ∼ P Ch´u´y k a a P (k X k + h) = Pk + Pk+1 + + Pk+h voi´’ Pk = e− . ≤ ≤ k! ’ V´ıdu. 16 Mˆo. t m´aydˆe. t c´o1000 ˆongs´ o.’i, X´acsuˆat¯d´ ˆemˆo. t gio`’ m´ayhoa. t ¯dˆo. ng c´o1 • ’ ˆongs´ o.’i bi. ¯dut´’ l`a0,002. T`ımx´acsuˆat¯d´ ˆetrong mˆo. t gio`’ m´ayhoa. t ¯dˆo. ng c´okhˆongqu´a2 ˆongs´ o.’i bi. ¯dut.´’ Giai’ Viˆe.c quan s´atmˆo.t ˆongs´ o.’i c´obi. ¯dut´’ hay khˆongtrong mˆo.t gio`’ m´ayhoa.t ¯dˆo.ng l`amˆo.t ph´epthu.’’ M´ay¯dˆe.t c´o1000 ˆongs´ o.’i nˆenta c´on = 1000 ph´epthu’’ ¯dˆo.c lˆa.p. Go.i A l`abiˆenc´ ˆo´ ˆongs´ o.’i bi. ¯dut´’ v`aX l`asˆo´ ˆongs´ o.’i bi. ¯dut´’ trong mˆo.t gio`’ m´ayhoa.t ¯dˆo.ng th`ı p = P (A) = 0, 002 v`a X B(1000; 0, 002). ∈ V`ı n = 1000 kh´alon´’ v`a np = 2 khˆong¯dˆoinˆenta’ c´othˆexem’ X (a). ∈ P ’ Do ¯d´ox´acsuˆat¯d´ ˆec´okhˆongqu´a2 ˆongs´ o.’i bi. ¯dut´’ trong mˆo.t gio`’ l`a P (0 X 2) = P0 + P1 + P2 ≤ ≤ 20 2 P0 = P (X = 0) = 0! e− 21 2 P1 = P (X = 1) = 1! e− 22 2 P2 = P (X = 2) = 2! e− 2 2 Do ¯d´o P (0 X 2) = (1 + 2 + 2)e− = 5(2, 71)− = 0, 6808. ≤ ≤
´ ´ 40 Ch ’u’ong2. ¯Da.i lu’ong’ ngˆaunhiˆenv`aphˆanph˜ ˆoix´acsuˆat C´actham sˆo¯d´ a˘.c trung’ Nˆeu´ X (a) th`ı E(X) = V ar(X) = a v`a a 1 modX a. ∈ P − ≤ ≤ ’ Chung´’ minh. ¯Dˆenhˆa.n ¯du’o.’c k`yvo.ng v`aphu’ong’ sai cua’ ¯da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenc´ophˆan˜ phˆoiPoisson´ ta x´ac¯di.nh h`ammoment sinh ψ(t) = E(etX ) Ta c´o k t k a (ae ) t t ψ(t) = ∞ etke a = e a ∞ = e aeae = ea(e 1) − k! − k! − − kX=0 kX=0 t a(et 1) ψ0 (t) = ae e − t 2 a(et 1) t a(et 1) ψ00 (t) = (ae ) e − + ae e − Do ¯d´o E(X) = ψ0 (0) = a V ar(X) = ψ00 (0) [E(X)]2 = a2 + a a2 = a − − 2 Ung’ du. ng Mˆo.t v`ai¯da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenc´ophˆanph˜ ˆoiPoisson:´ i) Sˆol´ ˆoiin˜ sai trong mˆo.t trang (hoa˘.c mˆo.t sˆotrang)´ cua’ mˆo.t cuˆons´ach.´ ii) Sˆong´ u’oi`’ trong mˆo.t cˆo.ng ¯dˆongs` ˆongcho´ toi´’ 100 tuˆoi.’ iii) Sˆocuˆo´ .c ¯diˆe.n thoa.i go.i sai trong mˆo.t ng`ay. iv) Sˆotransitor´ hu’ trong ng`ay¯dˆautiˆens` u’’ du. ng. v) Sˆokh´ach´ h`angv`aobuu’ ¯diˆe.n trong mˆo.t ng`ay. vi) Sˆoha´ .t α ph´atra tu`’ c´atha.t ph´ongxa. trong mˆo.t chu k`y. 3.3 Phˆanphˆoisiˆeubˆo´ .i a) Cˆongthuc´’ siˆeubˆo.i X´etmˆo.t tˆa.p ho.’p gˆomN` phˆant` u,’’ trong ¯d´oc´oM phˆant` u’’ c´ot´ınhchˆatA´ n`ao¯d´o. Lˆayng´ ˆaunhiˆen(khˆongho`anla˜ .i) tu`’ tˆa.p ho.’p ra n phˆant` u.’’ Go.i X l`asˆoph´ ˆant` u’’ c´ot´ınh chˆatA´ c´otrong n phˆant` u’’ lˆayra.´ Ta c´o x n x CM CN− M Px = P (X = x) = n − (x = 0, 1, . . . , n) (2.6) CN
3. Mˆotsˆoqui´ luˆatphˆanphˆoix´acsu´ ˆat´ 41 b) Phˆanphˆoisiˆeubˆo´ .i 2 ¯D.inh nghia˜ 15 ¯Da. i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenr˜ oi`’ ra. c X nhˆa. n mˆo. t trong c´acgi´atri. 0,1, ,n voi´’ c´acx´acsuˆatt´ u’ong’ ung´’ ¯du’o.’c t´ınhtheo cˆongthuc´’ (2.6) ¯du’o.’c go. i l`ac´ophˆanphˆoisiˆeu´ bˆo. i voi´’ tham sˆoN,´ M, n. K´ıhiˆe.u X H(N, M, n) (hay X H(N, M, n)). ∈ ∼ ’ ’ V´ıdu. 17 Mˆo. t lˆoh`angc´o10 san’ phˆam,trong ¯d´oc´o6 san’ phˆamtˆot.L´ ˆayng´ ˆaunhiˆen˜ • (khˆongho`anla. i) tu`’ lˆoh`angra 4 san’ phˆam.T`ımx´acsu’ ˆat¯d´ ˆec´o3’ san’ phˆamt’ ˆottrong´ 4 ’ san’ phˆam¯du’o.’c lˆayra.´ Giai’ ’ ’ Go.i X l`asˆos´ an’ phˆamtˆotc´otrong´ 4 san’ phˆamlˆayra´ th`ıX l`a¯da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆen˜ c´ophˆanphˆoisiˆeubˆo´ .i voi´’ tham sˆo´ N = 10,M = 6, n = 4. X´acsuˆat¯d´ ˆec´o3’ san’ phˆamt’ ˆottrong´ 4 san’ phˆaml’ ˆayra´ l`a 3 1 C6 .C4 8 P (X = 3) = 4 = = 0, 3809 C10 21 Ch´u´y Cx Cn x ´ M N− M x x n x M Khi n kh´ab´eso voi’ N th`ı n − Cnp q − (p = , q = 1 p) CN ≈ N − Go.i X l`asˆoph´ ˆant` u’’ c´ot´ınhchˆatA´ n`ao¯d´otrong n phˆant` u’’ lˆayra´ th`ıta c´othˆexem’ X B(n, p) v´oip l`ati’ lˆe. phˆant` u’’ c´ot´ınhchˆatA´ cua’ tˆa.p ho.’p. ∈ c) C´actham sˆo¯d´ a˘.c trung’ Nˆeu´ X H(N, M, n) th`ıta c´o ∈ M E(X) = np (voi´’ p = ) N N n V ar(X) = npq − (voi´’ q = 1 p). N 1 − − Bang’ tˆongk’ ˆetc´acphˆanph´ ˆoir´ oi`’ ra.c Phˆanphˆoi´ K´ıhiˆe.u X´acsuˆat´ P (X = k) E(X) V ar(X) ´ k k n k Nhi. thuc’ B(n, p) Cnp (1 p) − np npq − k a a Poisson (a) e− a a P k! k n k CM .CN− M M N n Siˆeubˆoi H(N, M, n) − np (p = ) npq − . Cn N N 1 N −
´ ´ 42 Ch ’u’ong2. ¯Da.i lu’ong’ ngˆaunhiˆenv`aphˆanph˜ ˆoix´acsuˆat 3.4 Phˆanphˆoim˜u´ 2 ¯D.inh nghia˜ 16 ¯Da. i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenX˜ ¯du’o.’c go. i l`ac´ophˆanphˆoim˜uv´ oi´’ tham sˆo´ λ > 0 nˆeun´oc´oh`ammˆa´ . t ¯dˆo. x´acsuˆat´ λe λx nˆeu´ x > 0 f(x) = − ( 0 nˆeu´ x 0 ≤ Nhˆa.n x´et NˆeuX´ c´ophˆanphˆoim˜uv´ oi´’ tham sˆo´ λ th`ıh`amphˆanphˆoix´acsu´ ˆatc´ ua’ X⊕ l`a x λx λx F (x) = λe− dt = 1 e− v´oi x > 0 0 − v`a R F (x) = 0 voi´’ x 0. ≤ C´actham sˆo¯d´ a˘.c trung’ NˆeuX´ l`a¯da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenc´ophˆanph˜ ˆoim˜uv´ oi´’ tham sˆo´ λ > 0 th`ı i) K`yvo.ng cua’ X l`a + + ∞ ∞ λx λx + λx 1 E(X) = λ xe− dx = xe− ∞ + e− dx = − 0 λ 0Z h i 0Z ii) Phu’ong’ sai cua’ X l`a + ∞ 2 λx 1 V ar(X) = x λe− dx − λ2 0Z + + ∞ ∞ 2 λx 2 λx + λx 2 T´ıch phˆantung`’ phˆanta` ¯du’o.’c x λe− dx = x e− ∞ +2 λxe− dx = . − 0 λ2 0Z h i 0Z 1 Do ¯d´o V ar(X) = . λ2 ’ ` V´ıdu. 18 Gia’ su’’ tuˆoitho. (t´ınhbang˘ nam)˘ cua’ mˆo. t ma. ch ¯diˆe.n tu’’ trong m´ayt´ınhl`a • mˆo. t ¯da. i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenc´ophˆanph˜ ˆoim˜uv´ oi´’ k`yvo. ng l`a6,25. Thoi`’ gian bao’ h`anhcua’ ma. ch ¯diˆe. n tu’’ n`ayl`a5 nam.˘ Hoi’ c´obao nhiˆeuphˆantr` am˘ ma. ch ¯diˆe. n tu’’ b´anra phai’ thay thˆetrong´ thoi`’ gian bao’ h`anh? Giai’ Go.i X l`atuˆoitho’ . cua’ ma.ch. Th`ıX c´ophˆanphˆoim˜u´ 1 1 Ta c´o λ = = E(X) 6, 25 λ.5 5 0,8 P (X 5) = F (5) = 1 e− = 1 e− 6,25 = 1 e− = 1 0, 449 = 0, 5506 ≤ − − − −
3. Mˆotsˆoqui´ luˆatphˆanphˆoix´acsu´ ˆat´ 43 Vˆa.y c´okhoang’ 55% sˆoma´ .ch ¯diˆe.n tu’’ b´anra phai’ thay thˆetrong´ thoi`’ gian bao’ h`anh. ´ Ung’ du. ng trong thu’c tˆe´ . Khoang’ thoi`’ gian gi˜uahai lˆanxu` ˆathiˆe´ .n cua’ mˆo.t biˆenc´ophˆanph´ ˆoim˜u.Ch´ ang˘’ ha.n khoang’ thoi`’ gian gi˜uahai ca cˆapc´ uu´’ o’’ mˆo.t bˆe.nh viˆe.n, giua˜’ hai lˆanh` ong’ h´occua’ mˆo.t c´aim´ay, giua˜’ hai trˆa.n lu. t hay ¯dˆo.ng ¯dˆatl`anh´ ung˜’ ¯da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenc´ophˆanph˜ ˆoim˜u.´ 3.5 Phˆanphˆoi¯d´ ˆeu` 2 ¯D.inh nghia˜ 17 ¯Da. i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenliˆentu˜ . c X ¯du’o.’c go. i l`ac´ophˆanphˆoi¯d´ ˆeutrˆen` ¯doa. n [a,b] nˆeuh`ammˆa´ . t ¯dˆo. x´acsuˆatc´oda. ng 1 nˆeu´ x [a, b] f(x) =  b a ∈  −0 nˆeu´ x [a, b]  6∈  Nhˆa.n x´et NˆeuX´ c´ophˆanphˆoi¯d´ ˆeutrˆen[a,b]` th`ıh`amphˆanphˆoic´ ua’ X cho boi’’ ⊕ F (x) = 0 nˆeu´ x b. Ch´u´y Gia’ su’’ (α, β) [a, b]. X´acsuˆat¯d´ ˆeX’ roi’ v`ao(α, β) l`a ⊂ β β α P (α < X < β) = f(x)dx = − b a αZ − C´actham sˆo¯d´ ac˘ trung’ b xdx 1 b2 a2 a + b i) E(X) = = − = (k`yvong l`atrung ¯diˆemc’ ua’ [a,b]). b a b a 2 2 . aZ − − b x2dx 1 x3 b a + b ii) V ar(X) = [E(X)]2 = b a − b a " 3 # − 2 ! aZ − − a b2 + ab + a2 (a + b)2 (b a)2 = = − 3 − 4 12 iii) modX l`abˆatc´ u´’ ¯diˆemn`aotrˆen[a,b].’ V´ıdu. 19 Li.ch cha. y cua’ xe bu´ytta. i mˆo. t tra. m xe bu´ytnhu’ sau: chiˆecxe´ bu´yt¯dˆau` • tiˆentrong ng`ays˜ekhoi’’ h`anhtu`’ tra. m n`ayv`aol´uc7 gio,`’ cu´’ sau mˆoi15˜ ph´uts˜ec´omˆo. t xe kh´ac¯dˆentra´ . m. Gia’ su’’ mˆo. t h`anhkh´ach¯dˆentra´ . m trong khoang’ thoi`’ gian tu`’ 7 gio`’ ¯dˆen´ 7 gio`’ 30. T`ımx´acsuˆat¯d´ ˆeh`anhkh´achn`aych’ o`’
´ ´ 44 Ch ’u’ong2. ¯Da.i lu’ong’ ngˆaunhiˆenv`aphˆanph˜ ˆoix´acsuˆat a) It´ hon’ 5 ph´ut. b) It´ nhˆat12´ ph´ut. Giai’ Go.i X l`asˆoph´utsau´ 7 gio`’ m`ah`anhkh´ach ¯dˆentra´ .m th`ı X l`a¯da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆen˜ c´ophˆanphˆoi¯d´ ˆeutrong` khoang’ (0, 30). a) H`anhkh´ach s˜echo`’ ´ıthon’ 5 ph´utnˆeu¯d´ ˆentra´ .m giua˜’ 7 gio`’ 10 v`a7 gio`’ 15 hoa˘.c giua˜’ 7 gio`’ 25 v`a7 gio`’ 30. Do ¯d´ox´acsuˆatc´ ˆant`ıml`a` 5 5 1 P (10 0, < x < . −∞ ∞ o µ σ µ µ + σ x − K´ıhiˆe. u X N(µ, σ2) hay (X N(µ, σ2)). ∈ ∼ b) C´actham sˆo¯d´ a˘.c trung’ Nˆeu´ X N(µ, σ2) th`ı E(X) = µ v`a V ar(X) = σ2. ∈ Chung´’ minh. X´eth`ammoment sinh + ∞ (x µ)2 tX 1 tx − φ(t) = E(e ) = e .e− 2σ2 dx σ√2π Z −∞ x µ ¯Da˘.t y = −σ th`ı
3. Mˆotsˆoqui´ luˆatphˆanphˆoix´acsu´ ˆat´ 45 + µt + ∞ y2 ∞ y2 2tσy 1 µt tx e − φ(t) = e e e− 2 dy = e− 2 dy √2π Z √2π Z + −∞ −∞ + µt 2 2 ∞ (y tσ) t2σ2 σ2t2 ∞ (y tσ) e − + µt+ 1 − = e− 2 2 dy = e 2 e− 2 dy √2π Z × √2π Z −∞ −∞ 1 (y tσ)2 − ’ V`ı f(y) = e− 2 l`ah`ammˆa.t ¯dˆo. cua’ phˆanphˆoichu´ ˆanvoi´’ tham sˆo´ tσ v`a1 √2π + ∞ (y tσ)2 1 − nˆen e− 2 dy = 1. √2π Z −∞ 2 2 µt+ σ +t Do ¯d´o φ(t) = e 2 . Lˆayc´ac¯da´ .o h`amta ¯du’o.’c 2 2 2 µt+σ2 t 2 µt+σ2 t 2 φ0 (t) = (µ + tσ )e 2 , φ00 (t) = σ e 2 .(µ + tσ ) Khi ¯d´o E(X) = φ0 (0) = µ E(X2) = φ00 (0) = σ2 + µ2 = V ar(X) = E(X2) [E(X)]2 = σ2 2 ⇒ − c) Phˆanphˆoichu´ ˆanh´oa’ ’ 2 ¯D.inh nghia˜ 19 ¯Da. i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenX˜ ¯du’o.’c go. i l`ac´ophˆanphˆoichu´ ˆanh´oanˆeun´o´ c´ophˆanphˆoichu´ ˆanv’ oi´’ µ = 0 v`a σ2 = 1. K´ıhiˆe.u X N(0, 1) hay X N(0, 1). ∈ ∼ 2 X µ Nhˆa.n x´et Nˆeu´ X N(µ, σ ) th`ı U = − N(0, 1). ⊕ ∈ σ ∈ ’ d) Phˆanvi. chuˆan ’ ´ Phˆanvi. chuˆanmuc’ α, k´ıhiˆe.u uα, l`agi´atri. cua’ ¯da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenU˜ c´ophˆanphˆoichu´ ˆanh´oath’ oa’ m˜an¯diˆeu` kiˆe.n P (U < uα) = α. ´ ´ ’ Voi’ α cho tru’oc’ c´othˆet´ınh ¯du’o.’c c´acgi´atri. cua’ uα. C´acgi´atri. cua’ uα ¯du’o.’c t´ınh san˘˜ th`anhbang.’
´ ´ 46 Ch ’u’ong2. ¯Da.i lu’ong’ ngˆaunhiˆenv`aphˆanph˜ ˆoix´acsuˆat e) Cˆongthuc´’ Nˆeu´ X N(µ, σ2) th`ıta c´o ∈ x2 µ x1 µ i) P (x1 X x2) = ϕ( − ) ϕ( − ) ≤ ≤ σ − σ ε ii) P ( X µ < ε) = 2ϕ( ) σ | − | x 1 t2 trong ¯d´o ϕ(x) = e− 2 dt (h`amLaplace). √2π 0Z ’ V´ıdu. 20 Tro. ng lu’o.’ng cua’ mˆo. t loa. i san’ phˆaml`a¯da. i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenc´ophˆanph˜ ˆoi´ • ’ ’ chuˆanvoi´’ tro. ng lu’o.’ng trung b`ınh µ = 5kg v`a¯do. lˆe.ch tiˆeuchuˆan σ = 0, 1. T´ınhti’ lˆe. ’ nhung˜’ san’ phˆamc´otro. ng lu’o.’ng tu`’ 4,9 kg ¯dˆen5,2´ kg. Giai’ ’ Go.i X l`atro.ng lu’o.’ng cua’ san’ phˆamth`ı X N(5; 0, 1). ∈ ’ Ti’ lˆe. san’ phˆamc´otro.ng lu’o.’ng tu`’ 4,9 kg ¯dˆen5,2´ kg l`a 5,2 5 4,9 5 P (4, 9 X 5, 2) = ϕ( − ) ϕ( − ) ≤ ≤ 0,1 − 0,1 = ϕ(2) ϕ( 1) = 0, 4772− (− 0, 3413) = 0, 8185 − − f) Qui tac˘ ”k σ” − ´ ε ´ ´ Trong cˆongthuc’ P ( X µ < ε) = 2ϕ( σ ) nˆeulˆay ε = kσ th`ı P ( X µ < ε) = 2ϕ(k). | − | | − | ´ Trong thu.’c tˆeta´ thu’ong`’ d`ungqui tac˘ 1, 96σ, 2, 58σ v`a3σ voi´’ nˆo.i dung l`a: ”Nˆeu´ X N(µ, σ2) th`ıx´acsuˆat¯d´ ˆeX’ nhˆa.n gi´atri. sai lˆe.ch so voi´’ k`yvo.ng khˆongqu´a 1, 96σ; 2, 58σ∈v`a3σ l`a95 %, 99% v`a99% ”. ´ g) Ung’ du. ng ’ C´ac¯da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆensau˜ c´ophˆanphˆoichu´ ˆan: - K´ıch thu’oc´’ chi tiˆetm´aydo´ m´aysan’ suˆatra.´ ’ - Tro.ng lu’o.’ng cua’ nhˆeus` an’ phˆamc`ungloa.i. -Nang˘ suˆatc´ ua’ mˆo.t loa.i cˆaytrˆongtrˆennh` ung˜’ thua’’ ruˆo.ng kh´acnhau. 3.7 Phˆanphˆoi´ χ2 ˜ ’ ˜ 2 ¯D.inh nghia 20 Gia’ su’ Xi (i=1,2, ,n) l`ac´ac¯da. i lu’o.’ng ngˆaunhiˆen¯dˆo. c lˆa. p c`ung c´ophˆanphˆoichu´ ˆanh´oa.’
3. Mˆotsˆoqui´ luˆatphˆanphˆoix´acsu´ ˆat´ 47 n ˜ 2 2 ´ 2 ¯Da. i lu’o.’ng ngˆaunhiˆen χ = Xi ¯du’o.’c go. i l`ac´ophˆanphˆoi χ (khi b`ınhphu’ong)’ i=1 − 2 2X 2 2 voi´’ n bˆa. c tu.’ do. K´ıhiˆe.u χ χ (n) (hay χ χ (n)). ∈ ∼ Nhˆa.n x´et ⊕ H`ammˆa.t ¯dˆo. x´acsuˆatc´ ua’ χ2 c´oda.ng x n 1 e− 2 .x 2 − ´ n n voi’ x > 0 f (x) = 2 n  2 .Γ( 2 )  0 voi´’ x 0 ≤   + ∞ x 1 t trong ¯d´o Γ(x) = t − e− dt 0 2 (H`amGamma) R H`amm^a.t ¯d^o. x´acsu^atc´ ua’ χ voi´’ n b^a.c t.u’ do C´actham sˆo¯d´ a˘.c trung’ Nˆeu´ χ2 χ2(n) th`ı E(χ2) = n v`a V ar(χ2) = 2n. ∈ 2 Phˆanvi. χ 2 ´ 2 2 ´ Phˆanvi. χ muc’ α, k´ıhiˆe.u χα, l`agi´atri. cua’ ¯da.i lu’o.’ng χα c´ophˆanphˆoi”khi b`ınh − phu’ong”’ voi´’ n bˆa.c tu.’ do thoa’ m˜an 2 2 P (χ < χα) = α 2 ˜ C´acgi´atri. cua’ χα ¯du’o.’c t´ınhsan˘ th`anhbang.’ Ch´u´y Khi bˆa.c n tang˘ lˆenth`ıphˆanphˆoi´ χ2 xˆapx´ i’ voi´’ phˆanphˆoichu´ ˆan.’ 3.8 PhˆanphˆoiStudent´ (G.S Gosset) ’ 2 ¯D.inh nghia˜ 21 Gia’ su’’ U l`a¯da. i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenc´ophˆanph˜ ˆoichu´ ˆanh´oav`aV l`a 2 ¯da. i lu’o.’ng ngˆaunhiˆen¯dˆo˜ . c lˆa. p voi´’ U c´ophˆanphˆoi´ χ voi´’ n bˆa. c tu.’ do. Khi ¯d´o¯da. i lu’o.’ng ngˆaunhiˆen˜ U√n T = √V ¯du’o.’c go. i l`ac´ophˆanphˆoiStudent´ voi´’ n bˆa. c tu.’ do. K´ıhiˆe. u T T (n) (hay T T (n)). ∈ ∼ Nhˆa.n x´et H`ammˆa.t ¯dˆo. cua’ ¯da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenc´ophˆanph˜ ˆoiStudent´ voi´’ n bˆa.c tu.’ ⊕ do c´oda.ng n+1 t2 n+1 2 Γ( 2 )(1 + n )− fn(t) = n ;( < t < + ) Γ( 2 )√nπ −∞ ∞ + ∞ x 1 t trong ¯d´o Γ(x) = t − e− dt (H`amGamma) 0 R
´ ´ 48 Ch ’u’ong2. ¯Da.i lu’ong’ ngˆaunhiˆenv`aphˆanph˜ ˆoix´acsuˆat C´actham sˆo¯d´ a˘.c trung’ n Nˆeu´ T T (n) th`ı E(T ) = 0 v`a V ar(T ) = . ∈ n 2 Phˆanvi. Student − • ´ ˜ Phˆanvi. Student muc’ α, k´ıhiˆe.u tα l`agi´atri. cua’ ¯da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆen T T (n) ∈ thoa’ m˜an P (T 30) th`ıphˆanphˆoiStudent´ tiˆennhanh´ vˆephˆanph` ˆoi´ chuˆan.Do’ ¯d´okhi n > 30 ta c´othˆed`ungphˆanph’ ˆoichu´ ˆanthay’ cho phˆanphˆoiStudent.´ 3.9 PhˆanphˆoiF´ (Fisher Snedecor) − ˜ ´ 2 2 ˜ ´ 2 ¯D.inh nghia 22 Nˆeu χn v`a χm l`ahai ¯da. i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenc´ophˆanphˆoi”khi b`ınh ´ ˜ ’ phu’ong”’ voi’ n v`a m bˆa. c tu.’ do th`ı¯da. i lu’o.’ng ngˆaunhiˆen Fn,m x´ac¯di.nh boi’ 2 χn/n Fn,m = 2 χm/m ¯du’o.’c go. i l`ac´ophˆanphˆoiF´ voi´’ n v`a m bˆa. c tu.’ do. Nhˆa.n x´et H`ammˆa.t ¯dˆo. cua’ phˆanphˆoiF´ c´oda.ng ⊕ 0 ; x 0 n n+m n 1 ≤ p(x) = Γ( 2 ) n x 2 −  n m ( ) 2 n+m ; x > 0 Γ( 2 ).Γ( 2 ) m n 2  (1+ m x)  C´actham sˆo¯d´ a˘.c trung’ • m E(F ) = voi´’ m > 2 n,m m 2 − m2(2m + 2n 4) V ar(Fn,m) = − voi´’ m > 4 n(m 2)2(m 4) − −
4.¯ Da.i lu’ong’ ngˆaunhiˆenhai˜ chiˆeu` 49 3.10 PhˆanphˆoiGamma´ 2 ¯D.inh nghia˜ 23 ¯Da. i lu’o.’ng ngˆaunhiˆen˜ X ¯du’o.’c go. i l`ac´ophˆanphˆoiGamma´ voi´’ c´ac tham sˆo´ (α, λ), k´ıhiˆe. u X γ(α, λ), nˆeuh`ammˆa´ . t ¯dˆo. x´acsuˆatc´oda´ . ng ∈ λe λx(λx)α 1 − − ; x 0 f(x) =  Γ(α) ≥  0 ; x 0) − λ λ2 1 a + b (b a)2 ¯Dˆeu` (a x b) − b a ≤ ≤ 2 12 1 − (x µ)2 Chuˆan’ N(σ2, µ) exp − µ σ2 σ√2π "− 2σ2 # x n 2 2 1 2 e− .x − Khi b`ınhphu’ong’ χ (n) n n (x > 0, n > 0 n 2n 2 2 .Γ( 2 ) n+1 x2 n+1 Γ( )(1 + ) 2 n Student T (n) 2 n − (n > 0) 0 (n > 1) Γ( n )√nπ n 2 2 − λe λx(λx)α 1 α α Gamma γ(α, λ) − − Γ(α) λ λ2 ˜ ` 4. ¯DA. ILU’O.’NG NGAUˆ NHIENˆ HAI CHIEUˆ 4.1 Kh´ainiˆe.m vˆe¯da` .i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenhai˜ chiˆeu` ’ ¯Da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenhai˜ chiˆeul`a¯da` .i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenm`ac´acgi´atri˜ . c´othˆecua’ n´o ¯du’o.’c x´ac¯di.nh bang˘` hai sˆo.K´ıhiˆe´ .u (X, Y ). (X, Y ¯du’o.’c go.i l`ac´acth`anhphˆanc` ua’ ¯da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenhai˜ chiˆeu)` ¯Da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenhai˜ chiˆeu¯d` u’o.’c go.i l`aroi`’ ra.c (liˆentu. c) nˆeuc´acth`anhph´ ˆanc` ua’ n´ol`ac´ac¯da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenr˜ oi`’ ra.c (liˆentu. c).
´ ´ 50 Ch ’u’ong2. ¯Da.i lu’ong’ ngˆaunhiˆenv`aphˆanph˜ ˆoix´acsuˆat 4.2 Phˆanphˆoix´acsu´ ˆatc´ ua’ ¯da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenhai˜ chiˆeu` a) Bang’ phˆanphˆoix´acsu´ ˆat´ X Y y1 y2 yj ym \ x1 P (x1, y1) P (x2, y2) P (x1, yj) P (x1, ym) x2 P (x2, y1) P (x2, y2) P (x2, yj) P (x2, ym) . . xi P (xi, y1) P (xi, y2) P (xi, yj) P (xi, ym . . xn P (xn, y1) P (xn, y2) P (xn, yj) P (xn, ym) trong ¯d´o ’ xi (i = 1, n) l`ac´acgi´atri. c´othˆecua’ th`anhphˆanX` ’ yj (j = 1, m) l`ac´acgi´atri. c´othˆecua’ th`anhphˆanY` P (xi, yj) = P ((X, Y ) = (xi, yj) ) = P (X = xi,Y = yj), i = 1, n, j = 1, m n m P (xi, yj) = 1 i=1 j=1 X X b) H`ammˆa.t ¯dˆo. x´acsuˆat´ 2 ¯D.inh nghia˜ 24 H`amkhˆongˆam,liˆentu. c f(x, y) ¯du’o.’c go. i l`ah`ammˆa. t ¯dˆo. x´acsuˆat´ cua’ ¯da. i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenhai˜ chiˆeu` (X, Y ) nˆeun´oth´ oa’ m˜an P (X A, Y B) = dx f(x, y)dy ∈ ∈ A B voi´’ A, B l`ac´actˆa. p sˆoth´ u.’c. R R c) H`amphˆanphˆoix´acsu´ ˆat´ 2 ¯D.inh nghia˜ 25 H`amphˆanphˆoix´acsu´ ˆatc´ ua’ ¯da. i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenhai˜ chiˆeu` (X, Y ), k´ıhiˆe.u F (x, y), l`ah`am¯du’o.’c x´ac¯di.nh nhu’ sau F (x, y) = P (X < x, Y < y) Nhˆa.n x´et x y Ta c´o F (x, y) = P (X < x, Y < y) = f(x, y)dy dx nˆen ! −∞R −∞R ∂2F (x, y) = f(x, y) ∂x∂y 4.3 K`yvo.ng v`aphu’ong’ sai cua’ c´acth`anhphˆan` i) Tru’ong`’ ho.’p (X, Y ) roi`’ ra. c
5. Phˆanphˆoixs´ cua’ h`amc´ac¯dlnn 51 n m m n E(X) = xiP (xi, yj); E(Y ) = yjP (xi, yj) i=1 j=1 j=1 i=1 X X X X n m m n 2 2 2 2 V ar(X) = xi P (xi, yj) [E(X)] , V ar(Y ) = yj P (xi, yj) [E(Y )] i=1 j=1 − j=1 i=1 − X X X X ii) Tru’ong`’ ho.’p (X, Y ) liˆentu. c + + + + ∞ ∞ ∞ ∞ E(X) = xf(x, y)dxdy, E(Y ) = yf(x, y)dxdy. Z Z Z Z −∞ −∞ −∞ −∞ + + + + ∞ ∞ ∞ ∞ V ar(X) = x2f(x, y)dxdy [E(X)]2, V ar(Y ) = y2f(x, y)dxdy Z Z − Z Z − [E(Y )]2 −∞ −∞ −∞ −∞ ´ ´ 5. PHANˆ PHOIˆ XAC´ SUATˆ CUA’ HAM` CAC´ ¯ DA. ILU’O.’NG NGAUˆ˜ NHIENˆ 5.1 H`amcua’ mˆo.t ¯da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆen˜ ’ 2 ¯D.inh nghia˜ 26 Nˆeum´ ˆoigi´atri˜ . c´othˆecua’ ¯da. i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenX˜ tu’ong’ ung´’ voi´’ ’ mˆo. t gi´atri. c´othˆecua’ ¯da. i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenY˜ th`ıY ¯du’o.’c go. i l`ah`amcua’ ¯da. i lu’o.’ng ngˆau˜ nhiˆenX. K´ıhiˆe.u Y = ϕ(X). 3 T´ınhchˆat´ i) NˆeuX´ l`a¯da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenr˜ oi`’ ra.c v`a Y = ϕ(X) th`ı ung´’ voi´’ c´acgi´atri. kh´ac nhau cua’ X ta c´oc´acgi´atri. kh´acnhau cua’ Y v`ac´o P (Y = ϕ(xi)) = P (X = xi) ii) Gia’ su’’ X l`a¯da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenliˆentu˜ . c c´oh`ammˆa.t ¯dˆo. x´acsuˆat´ f(x) v`a Y = ϕ(X). Nˆeu´ y = ϕ(x) l`ah`amkha’ vi, ¯don’ ¯diˆe.u, c´oh`amngu’o.’c l`a x = ψ(y) th`ıh`ammˆa.t ¯dˆo. x´acsuˆat´ g(y) cua’ ¯da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenY˜ ¯du’o.’c x´ac¯di.nh boi’’ g(y) = f(ψ(y)).ψ0 (y) V´ıdu. 21 Gia’ su’’ X l`a¯da. i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenr˜ oi`’ ra. c c´obang’ phˆanphˆoix´acsu´ ˆat´ • X 1 3 4 P 0,3 0,5 0,2 T`ımqui luˆa. t phˆanphˆoix´acsu´ ˆatc´ ua’ Y = X2. Giai’ ’ 2 2 2 C´acgi´atri. Y c´othˆenhˆa.n l`a y1 = 1 = 1; y2 = 3 = 9; y3 = 4 = 16. Vˆa.y phˆan phˆoix´acsu´ ˆatc´ ua’ Y c´othˆecho’ boi’’
´ ´ 52 Ch ’u’ong2. ¯Da.i lu’ong’ ngˆaunhiˆenv`aphˆanph˜ ˆoix´acsuˆat Y 1 9 16 P 0,3 0,5 0,2 C´actham sˆo´ • ´ ˜ i) NˆeuX l`a¯da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenroi`’ ra.c nhˆa.n mˆo.t trong c´acgi´atri. x1, x2, . . . , xn voi´’ c´acx´acsuˆatt´ u’ong’ ung´’ p1, p2, . . . , pn th`ı n E(Y ) = E[ϕ(X)] = ϕ(xi)pi i=1 X n 2 2 V ar(Y ) = V ar[ϕ(X)] = ϕ (xi)pi [E(Y )] i=1 − X ii) NˆeuX´ l`a¯da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenliˆentu˜ . c c´oh`ammˆa.t ¯dˆo. x´acsuˆat´ f(x) th`ı + E(Y ) = E[ϕ(X)] = ∞ϕ(x)f(x)dx −∞R + V ar(Y ) = V ar[ϕ(X)] = ∞ϕ2(x)f(x)dx [E(Y )]2 − −∞R 5.2 H`amcua’ ¯da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenhai˜ chiˆeu` ’ 2 ¯D.inh nghia˜ 27 Nˆeum´ ˆoic˜ a˘. p gi´atri. c´othˆec´ac¯da. i lu’o.’ng X v`aY tu’ong’ ung´’ voi´’ mˆo. t ’ gi´atri. c´othˆecua’ Z th`ıZ ¯du’o.’c go. i l`ah`amcua’ hai ¯da. i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenX,˜ Y. K´ıhiˆe.u Z = ϕ(X, Y ). Ch´u´y Viˆe.c x´ac¯di.nh phˆanphˆoix´acsu´ ˆatc´ ua’ Z = ϕ(X, Y ) thu’ong`’ rˆatph´ uc´’ ta.p. Ta x´ettru’ong`’ ho.’p ¯don’ gian’ Z = X + Y thˆongqua v´ıdu. du’oi´’ ¯dˆay. V´ıdu. 22 Gia’ su’’ X v`aY l`ahai ¯da. i lu’o.’ng ngˆaunhiˆen¯dˆo˜ . c lˆa. p c´obang’ phˆanphˆoix´ac´ su• ˆat´ X 1 2 Y 3 4 P 0,3 0,7 P 0,2 0,8 T`ımphˆanphˆoix´acsu´ ˆatc´ ua’ Z = X + Y . Giai’ C´acgi´atri. c´othˆec’ ua’ Z l`atˆongc’ ua’ mˆo.t gi´atri. cua’ X v`amˆo.t gi´atri. c´othˆec’ ua’ Y. Do ¯d´oZ nhˆa.n c´acgi´atri. c´othˆe’ z1 = 1 + 3 = 4; z2 = 1 + 4 = 5; z3 = 2 + 3 = 5; z4 = 2 + 4 = 6 C´acx´acsuˆatt´ u’ong’ ung´’ l`a P (Z = 4) = P (X = 1).P (Y = 3) = 0, 3 0, 2 = 0, 06 × P (Z = 5) = P (X = 1,Y = 4) + P (X = 2,Y = 3)
6. Luˆats. ˆol´ on’ 53 = P (X = 1).P (Y = 4) + P (X = 2).P (Y = 3) = 0, 3 0, 8 + 0, 7 0, 2 = 0, 38 × × P (Z = 6) = P (X = 2).P (Y = 4) = 0.7 0, 8 = 0, 56 × Vˆa.y Z c´ophˆanphˆoix´acsu´ ˆat´ Z 4 5 6 P 0,006 0,38 0,56 ´ 6. LUAˆ. TSOLˆ ON´’ 6.1 Bˆat¯d´ ang˘’ thuc´’ Markov ∆ ¯D.inh l´y1 NˆeuX´ l`a¯da. i lu’o.’ng ngˆaunhiˆennhˆa˜ . n gi´atri. khˆongˆamth`ı ε > 0 ta c´o ∀ E(X) P (X a) ≥ ≤ a Chung´’ minh. Ta chung´’ minh trong tru’ong`’ ho.’p X l`a¯da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenliˆentu˜ . c c´o h`ammˆa.t ¯dˆo. f(x). + a + ∞ ∞ E(X) = xf(x)dx = xf(x)dx + xf(x)dx 0Z 0Z aZ + + + ∞ ∞ ∞ xf(x)dx af(x)dx = a = aP (X a). ≥ ≥ ≥ aZ aZ aZ 2 6.2 Bˆat¯d´ ang˘’ thuc´’ Tchebyshev 2 ∆ ¯D.inh l´y2 NˆeuX´ l`a¯da. i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenc´ok`yvo˜ . ng µ v`aphu’ong’ sai σ huu˜’ ha. n th`ı ε > 0 b´et`uy´yta c´o ∀ V ar(X) P ( X µ ε) | − | ≥ ≤ ε2 hay V ar(X) P ( X µ 1 | − | − ε2 Chung´’ minh. 2 Ta thˆay(´ X µ) l`a¯da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆennhˆa˜ .n gi´atri. khˆongˆam. − ’ 2 Ap´ du. ng bˆat¯d´ ang˘ thuc´’ Tchebyshev voi´’ a = ε ta ¯du’o.’c E[(X µ)2] V ar(X) P [(X µ)2 ε2] − = − ≥ ≤ ε2 ε2
´ ´ 54 Ch ’u’ong2. ¯Da.i lu’ong’ ngˆaunhiˆenv`aphˆanph˜ ˆoix´acsuˆat V`ı(X µ)2 ε2 khi v`achi’ khi X µ ε nˆen − ≥ | − | ≥ V ar(X) P ( X µ ε) | − | ≥ ≥ ε2 2 ’ Ch´u´y Bˆat¯d´ ang˘ thuc´’ Markov v`aTchebuchev gi´upta phu’ong’ tiˆe.n thˆay¯d´ u’o.’c gioi´’ ha.n cua’ x´acsuˆatkhi´ k`yvo.ng v`aphu’ong’ sai cua’ phˆanphˆoix´acsu´ ˆatch´ ua’ biˆet.´ ’ V´ıdu. 23 Gia’ su’’ sˆos´ an’ phˆam¯du’o.’c san’ xuˆatc´ ua’ mˆo. t nh`am´aytrong mˆo. t tuˆanl`a` • mˆo. t ¯da. i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenv˜ oi´’ k`yvo. ng µ = 50. ’ ’ a) C´othˆen´oig`ıvˆex´acsu` ˆats´ an’ phˆamcua’ tuˆann`ayv` u’o.’t qu´a75. b) Nˆeuph´ u’ong’ sai cua’ san’ phˆamtrong’ tuˆann`ayl`a` σ2 = 25 th`ıc´othˆen´oig`ıv’ ˆex´ac` suˆats´ an’ phˆamtu’ ˆann`ays˜e` o’’ giua˜’ 40 v`a60. Giai’ a) Theo bˆat¯d´ ang˘’ thuc´’ Markov E(X) 50 2 P (X > 75) = = ≥ 75 75 3 b) Theo bˆat¯d´ ang˘’ thuc´’ Tchebyshev σ2 25 1 P ( X 50 10) = = | − | ≥ ≤ 102 100 4 Do ¯d´o 1 3 P (40 1 = | − | − 4 4 6.3¯ D.inh l´yTchebyshev ´ ˜ ∆ ¯D.inh l´y3 (¯D.inh l´yTchebyshev) Nˆeuc´ac¯da. i lu’o.’ng ngˆaunhiˆen X1,X2, ,Xn ¯dˆo. c lˆa. p tung`’ ¯dˆoi,c´ok`yvo. ng huu˜’ ha. n v`ac´acphu’ong’ sai ¯dˆeubi` . cha˘. n trˆenboi’’ sˆoC´ th`ı ε > 0 b´et`uy´yta c´o ∀ 1 n 1 n lim P Xi E(Xi) < ε) = 1 n n − n ! →∞ i=1 i=1 X X n 1 Da˘c biˆet, khi E(Xi) = a;(i = 1, n) th`ı lim ( Xi a < ε) = 1 ¯ . . n |n i=1 − | →∞ X ´ ´ 2 Chung’ minh. Ta chung’ minh trong tru’ong`’ ho.’p ¯da˘.c biˆe.t E(Xi) = µ, V ar(Xi) = σ (i = 1, 2 . . . , n). Ta c´o 1 n 1 n σ2 E( Xi) = µ, V ar( ) = n i=1 n i=1 n X X
7. B`aitˆap. 55 Theo bˆat¯d´ ang˘’ thuc´’ Tchebyshev 1 n σ2 P Xi µ n − ! ≤ nε2 i=1 X 2 Y´ nghia˜ • ’ Ma˘.c d`utung`’ ¯da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆen¯dˆo˜ .c lˆa.p c´othˆenhˆa.n gi´atri. sai kh´acnhiˆeuso` voi´’ k`yvo.ng cua’ ch´ung,nhung’ trung b`ınhsˆoho´ .c cua’ mˆo.t sˆol´ on´’ ¯da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenla˜ .i nhˆa.n gi´atri. gˆanb` ang˘` trung b`ınhsˆoho´ .c cua’ c´ack`yvo.ng cua’ ch´ung.D¯ iˆeun`aycho` ph´ep ta du.’ ¯do´angi´atri. trung b`ınhsˆoho´ .c cua’ c´ac¯da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆen.˜ 6.4¯ D.inh l´yBernoulli ´ ` ´ ´ ´ ´ ∆ ¯D.inh l´y4 (D¯ .inh l´yBernoulli) Nˆeu fn l`atˆansuˆatxuˆathiˆe.n biˆencˆoA trong n ph´epthu’’ ¯dˆo. c lˆa. p v`a p l`ax´acsuˆatxu´ ˆathiˆe´ . n biˆenc´ ˆoA´ trong mˆoiph´epth˜ u’’ th`ı ε > 0 b´e t`uy´yta c´o ∀ lim P ( fn p < ε) = 1 n →∞ | − | Y´ nghia˜ • Tˆansu` ˆatxu´ ˆathiˆe´ .n biˆenc´ ˆotrong´ n ph´epthu’’ ¯dˆo.c lˆa.p dˆanv` ˆex´acsu` ˆatxu´ ˆathiˆe´ .n biˆen´ cˆotrong´ mˆoiph´epth˜ u’’ khi sˆoph´epth´ u’’ tang˘ lˆenvˆoha.n. 7. BAI` TAˆ. P 1. Mˆo.t nh´omc´o10 ngu’oi`’ gˆom6` nam v`a4 nu.˜’ Cho.n ngˆaunhiˆenra˜ 3 ngu’oi.`’ Go.i X l`asˆon´ u˜’ o’’ trong nh´om. Lˆa.p bang’ phˆanphˆoix´acsu´ ˆatc´ ua’ X v`at´ınh E(X), V ar(X), mod(X). 2. Gieo ¯dˆongth` oi`’ hai con x´ucsac˘´ cˆan¯dˆoi¯d´ ˆongch` ˆat.Go´ .i X l`atˆongs’ ˆon´ ˆotxu´ ˆathiˆe´ .n trˆenhai ma˘.t con x´ucsac.˘´ lˆa.p bang’ qui luˆa.t phˆanphˆoix´acsu´ ˆatc´ ua’ X. T´ınh E(X) v`a V ar(X). 3. Trong mˆo.t c´aihˆo.p c´o5 b´ong¯d`entrong ¯d´oc´o2 b´ongtˆotv`a3´ b´onghong.’ Cho.n ngˆaunhiˆent˜ ung`’ b´ong¯demthu’’ (thu’’ xong khˆongtra’ la.i) cho ¯dˆenkhi´ thu ¯du’o.’c 2 b´ongtˆot.Go´ .i X l`asˆol´ ˆanth` u’’ cˆanthi` ˆet.T`ımphˆanph´ ˆoix´acsu´ ˆatc´ ua’ X. Trung b`ınhcˆanth` u’’ bao nhiˆeulˆan?` ’ ´ 4. Mˆo.t ¯do.’t xˆosˆoph´ath`anh N v´e. Trong ¯d´oc´o mi v´etr´ung ki ¯dˆongmˆo` .t v´e(i = 1, 2, . . . , n). Hoi’ gi´acua’ mˆoiv´es˜ ˆol`abao´ nhiˆeu¯dˆecho’ trung b`ınhcua’ tiˆenth` u’ong’’ cho mˆoiv´eb˜ ang˘` mˆo.t nua’’ gi´atiˆenc` ua’ mˆo.t v´e?
´ ´ 56 Ch ’u’ong2. ¯Da.i lu’ong’ ngˆaunhiˆenv`aphˆanph˜ ˆoix´acsuˆat ’ 5. Tuˆoitho. cua’ mˆo.t loa.i cˆontr`ungn`ao¯d´ol`amˆo.t ¯da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenliˆentu˜ . c X (¯don’ vi. l`ath´ang)c´oh`ammˆa.t ¯dˆo. kx2(4 x) nˆeu0´ x 4 f(x) = − ≤ ≤ ( 0 nˆeung´ u’o.’c la.i a) T`ımhang˘` sˆo´ k. b) T`ım mod(X). ’ ’ c) T´ınhx´acsuˆat¯d´ ˆecˆontr`ungchˆettr´ u’oc´’ khi n´o¯du’o.’c 1 th´angtuˆoi. 6. Cho ¯da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenliˆentu˜ . c X c´oh`ammˆa.t ¯dˆo. 2 2x kx e− x 0 f(x) = ≥ ( 0 x < 0 a) T`ımhang˘` sˆo´ k. b) T`ımh`amphˆanphˆoic´ ua’ X. c) T`ım mod(X). d) T`ım E(X) v`a V ar(X). 7. Mˆo.t x´ınghiˆe.p san’ xuˆatm´ayt´ınhc´ox´acsu´ ˆatl`amra´ phˆeph´ ˆaml`a0,02.’ Cho.n ngˆau˜ nhiˆen250 m´ayt´ınh¯dˆeki’ ˆemtra.’ T`ımx´acsuˆat¯d´ ˆe:’ a) C´o¯d´ung2 phˆeph´ ˆam.’ b) C´okhˆongqu´a2 phˆeph´ ˆam.’ 8. (B`aito´anSamuel Pepys) Pepys ¯d˜a¯dua’ ra b`aito´ansau cho Newton: Biˆenc´ ˆo´ n`aotrong c´acbiˆenc´osau´ − ¯dˆayc´ox´acsuˆatl´ on´’ nhˆat?´ a) C´o´ıtnhˆatmˆo´ .t lˆanxu` ˆathiˆe´ .n ma˘.t 6 khi tung mˆo.t con x´ucxac˘´ 6 lˆan.` b) C´o´ıtnhˆat2´ lˆanxu` ˆathiˆe´ .n ma˘.t 6 khi tung con x´ucxac˘´ 12 lˆan.` c) C´o´ıtnhˆat3´ lˆanxu` ˆathiˆe´ .n ma˘.t 6 khi tung con x´ucxac˘´ 18 lˆan.` 9. X´acsuˆatmˆo´ .t ngu’oi`’ bi. phan’ ung´’ tu`’ viˆe.c tiˆemhuyˆetthanh´ l`a0,001. T`ımx´acsuˆat´ sao cho trong 2000 ngu’oi`’ c´o¯d´ung3 ngu’oi,`’ c´onhiˆeuh` on’ 2 ngu’oi`’ bi. phan’ ung.´’ 10. Mˆo.t lˆoh`angc´o500 san’ phˆam(trong’ ¯d´oc´o400 san’ phˆamloa’ .i A). Lˆayng´ ˆaunhiˆen˜ tu`’ lˆoh`ang¯d´ora 200 san’ phˆam¯d’ ˆeki’ ˆemtra.’ Go.i X l`asˆos´ an’ phˆamloa’ .i A c´otrong 200 san’ phˆaml’ ˆayra´ kiˆemtra.’ T`ımk`yvo.ng v`aphu’ong’ sai cua’ X. 11. Mˆo.t trung tˆambuu’ ¯diˆe.n nhˆa.n ¯du’o.’c trung b`ınh300 lˆango` .i ¯diˆe.n thoa.i trong mˆo.t ’ gio.`’ T`ımx´acsuˆat¯d´ ˆetrung tˆamn`aynhˆa.n ¯du’o.’c ¯d´ung2 lˆango` .i trong 1 ph´ut. ’ 12. Tro.ng lu’o.’ng cua’ mˆo.t con b`ol`amˆo.t ¯da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenc´ophˆanph˜ ˆoichu´ ˆanvoi´’ gi´atri. trung b`ınh250kg v`a¯dˆo. lˆe.ch tiˆeuchuˆanl`a40’ kg. T`ımx´acsuˆat¯d´ ˆemˆo’ .t con b`ocho.n ngˆaunhiˆenc´otro˜ .ng lu’o.’ng: a) Na˘.ng hon’ 300kg. b) Nhe. hon’ 175kg. c) Nam˘` trong khoang’ tu`’ 260kg ¯dˆen270´ kg.
7. B`aitˆap. 57 ’ 13. Chiˆeucao` cua’ 300 sinh viˆenl`amˆo.t ¯da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenc´ophˆanph˜ ˆoichu´ ˆanvoi´’ trung b`ınh172cm v`a¯dˆo. lˆe.ch tiˆeuchuˆan8’ cm. C´obao nhiˆeusinh viˆenc´ochiˆeucao:` a) lon´’ hon’ 184cm, b) nho’ hon’ hoa˘.c bang˘` 160cm, c) giua˜’ 164cm v`a180cm, d) bang˘` 172cm. 14. Cho hai ¯da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆen¯dˆo˜ .c lˆa.p X, Y c´obang’ phˆanphˆoix´acsu´ ˆatnh´ u’ sau: X 1 2 3 Y 2 4 P 0,2 0,3 0,5 P 0,4 0,6 T`ımphˆanphˆoix´acsu´ ˆatc´ ua’ Z = X + Y . 15. Cho ¯da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenr˜ oi`’ ra.c X c´obang’ phˆanphˆoix´acsu´ ˆatnh´ u’ sau: X 1 3 5 P 0,2 0,5 0,3 2 T`ımk`yvo.ng v`aphu’ong’ sai cua’ ¯da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆen˜ Y = ϕ(X) = X + 1. 16. Gieo mˆo.t con x´ucxac˘´ cˆan¯dˆoi´ n lˆan.Go` .i X l`asˆolˆanxu´ ˆathiˆe´ .n ma˘.t lu. c. Chung´’ minh rang˘` n n 31 P ( √n < X < + √n) 6 − 6 ≥ 36 2 TRAL’ OI`’ BAI` TAˆ P • . X 0 1 2 3 1. 5 15 9 1 E(X) = 1, 2, V ar(X) = 0, 56, mod(X) = 1. P 30 30 30 30 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 P 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 E(X) = 7, V ar(X) = 5, 833. 2 1 1 3. P (X = 2) = 5 . 4 = 10 . 3 2 1 2 3 1 2 P (X = 3) = 5 . 4 . 3 + 5 . 4 . 3 = 10 . 3 2 2 1 3 2 2 1 2 3 2 1 3 P (X = 4) = 5 . 4 . 3 . 2 + 5 . 4 . 3 . 2 + 5 . 4 . 3 . 2 = 10 . P (X = 5) = 1 ( 2 + 4 + 6 ) = 4 . − 20 20 20 10 Trung b`ınhcˆan` E(X) = 4 lˆanth` u.’’ 2 n 4. kimi. N i=1 X 4 2 64 3 8 5. a) V`ı x (4 x)dx = 3 suy ra k = 64 , b) mod(X) = 3 , 0 − R
´ ´ 58 Ch ’u’ong2. ¯Da.i lu’ong’ ngˆaunhiˆenv`aphˆanph˜ ˆoix´acsuˆat 1 3 2 13 c) P (X 0 6. a) k = 4, b) F (x) = − ( 0 nˆeu´ x 2) = 0, 323. 10. E(X) = 160, V ar(X) = 19, 238. 11. P = 0, 09. 12. a) P (X > 300) = 1 φ(1, 25) == 0, 1056, − b) P (X, 175) == φ( 1, 875) = 0, 0303, − c) P (260 < X < 270) = φ(0, 5) φ(0, 25) = 0, 0928. − 13. a) 18, b) 22, c) 213, d) 14. Z 3 4 5 6 7 14. P 0,08 0,12 0,32 0,18 0,3 15. E(Y ) = 13, 2, V ar(Y ) = 79, 36. ´ ´ ´ 1 n ´ ´ ’ ´ 16. X c´ophˆanphˆoinhi. thuc’ voi’ P = 6 nˆen E(X) = 6 . Ap du. ng bˆat¯dang˘ thuc’ ’ Tchebyshev ta ¯du’o.’c bˆat¯d´ ang˘ thuc´’ cˆanch` ung´’ minh.
Ch ’u’ong3 ’ TONGˆ THEVˆ’ AM` AU˜ˆ ’ ’ 1. TONGˆ THEVˆ AM` AUˆ˜ 1.1 Tˆongth’ ˆe’ Khi nghiˆencuu´’ vˆemˆo` .t vˆan¯d´ ˆeng` u’oi`’ ta thu’ong`’ khao’ s´attrˆenmˆo.t dˆauhiˆe´ .u n`ao¯d´o, ’ c´acdˆauhiˆe´ .u n`aythˆehiˆe.n trˆennhiˆeuph` ˆant` u.’’ Tˆa.p ho.’p c´acphˆant` u’’ mang dˆauhiˆe´ .u ’ ’ ¯du’o.’c go.i l`a tˆongthˆe hay ¯d´am¯dˆong (population). V´ıdu. 1 Nghiˆencuu´’ tˆa. p ho.’p g`atrong mˆo. t tra. i chan˘ nuˆoita quan tˆam¯dˆend´ ˆauhiˆe´ .u • tro. ng lu’o.’ng. Nghiˆencuu´’ chˆatl´ u’o.’ng ho. c tˆa. p cua’ sinh viˆentrong mˆo. t tru’ong`’ ¯da. i ho. c ta quan tˆam¯dˆend´ ˆauhiˆe´ .u ¯diˆem.’ Ch´u´y Trong phˆann`ayta` su’’ du. ng mˆo.t sˆokh´ainiˆe´ .m v`ak´ıhiˆe.u sau: ’ ’ ’ ’ 1. N: sˆoph´ ˆant` u’’ cua’ tˆongthˆe,¯du’o.’c go.i l`ak´ıch thu’oc´’ cua’ tˆongthˆe. ´ 2. X∗: dˆauhiˆe.u m`ata khao’ s´at. ´ ’ ’ ’ 3. xi (i = 1, k): gi´atri. cua’ dˆauhiˆe.u X∗ ¯do¯du’o.’c trˆenphˆant` u’ cua’ tˆongthˆe(xi l`a thˆongtin m`ata quan tˆam,c`onc´acphˆant` u’’ cua’ tˆongth’ ˆel`avˆa’ .t mang thˆongtin). ´ ´ ’ 4. Ni (i = 1, k): tˆans` ˆocua’ xi (sˆophˆant` u’ c´ochung gi´atri. xi). Ni ` ´ ’ 5. pi = N : tˆansuˆatcua xi. Bang’ co’ cˆauc´ ua’ tˆongth’ ˆe’ ´ ` ´ ’ ˜ ’ ´ ’ Su.’ tu’ong’ ung’ giua˜’ c´acgi´atri. xi v`atˆansuˆat pi ¯du’o.’c biˆeudiˆenboi’ bang’ co’ cˆautˆong ’ ´ thˆetheo dˆauhiˆe.u X∗ nhu’ sau: Gi´atri. cua’ X∗ x1 x2 . . . xk Tˆansu` ˆat´ pi p1 p2 . . . pk 59
60 Ch ’u’ong3. Tˆongth’ ˆev`am’ ˆau˜ ’ ’ C´ac¯da˘.c trung’ cua’ tˆongthˆe • k ´ ’ ’ 1. Trung b`ınhcua’ dˆauhiˆe.u X∗ (trung b`ınhcua’ tˆongthˆe) m = xipi. i=1 X k ´ ’ ’ 2 2 2. Phu’ong’ sai cua’ dˆauhiˆe.u X∗ (phu’ong’ sai cua’ tˆongthˆe) σ = (xi m) pi. i=1 − X ’ ´ ’ ’ ’ 3.¯ Dˆo. lˆe.ch tiˆeuchuˆancua’ dˆauhiˆe.u X∗ (¯dˆo. lˆe.ch tiˆeuchuˆancua’ tˆongthˆe) k σ = √σ2 = (x m)2p v i i ui=1 − uX t 1.2 Mˆau˜ ’ ’ ´ ’ ´ Tu`’ tˆongthˆelˆayra n phˆant` u’ v`a¯dolu’ong`’ dˆauhiˆe.u X∗ trˆench´ung.Khi ¯d´on phˆan` • tu’’ n`aylˆa.p nˆenmˆo.t mˆau(˜ sample). Sˆoph´ ˆant` u’’ cua’ mˆau¯d˜ u’o.’c go.i l`a k´ıchthu’oc´’ cua’ mˆau˜ . V`ıtu`’ mˆausuy˜ ra kˆetluˆa´ .n cho tˆongth’ ˆenˆenm’ ˆauph˜ ai’ ¯da.i diˆe.n cho tˆongth’ ˆev`a’ • phai’ ¯du’o.’c cho.n mˆo.t c´ach kh´ach quan. Viˆe.c lˆaym´ ˆau¯d˜ u’o.’c tiˆenh`anhtheo´ hai phu’ong’ thuc:´’ lˆaym´ ˆauc´oho`anla˜ .i v`alˆay´ • mˆaukhˆongho`anla˜ .i. ’ ’ 2. MOHˆ `INH XAC´ SUATˆ´ CUA’ TONGˆ THEVˆ AM` AUˆ˜ 2.1¯ Da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆeng˜ ˆocv`aphˆanph´ ˆoig´ ˆoc´ ´ ’ ’ ’ Lˆayt`uy´ytu`’ tˆongthˆera mˆo.t phˆant` u.’ Go.i X l`agi´atri. cua’ X∗ ¯do¯du’o.’c trˆenphˆan` tu’’ lˆayra´ th`ı X l`a¯da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenc´ophˆanph˜ ˆoix´acsu´ ˆat´ X x1 x2 . . . xi . . . xk P p1 p2 . . . pi . . . pk ´ ´ ˜ Ta thˆaydˆauhiˆe.u X∗ ¯du’o.’c mˆoh`ınhh´oaboi’’ ¯da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆen X. Khi ¯d´o X ¯du’o.’c go.i l`a¯da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆeng˜ ˆocv`aphˆanph´ ˆoix´acsu´ ˆatc´ ua’ X ¯du’o.’c go.i l`aphˆanphˆoig´ ˆoc.´ 2.2 C´actham sˆoc´ ua’ ¯da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆeng˜ ˆoc´ k E(X) = xipi. i=1 X k 2 V ar(X) = [xi E(X)] pi i=1 − X
3. Thˆongkˆe´ 61 2.3 Mˆaung˜ ˆaunhiˆen˜ ´ ’ ’ ’ ’ Lˆay n phˆant` u’ cua’ tˆongthˆetheo phu’ong’ ph´apho`anla.i ¯dˆequan s´at.Go.i Xi l`agi´a ’ ´ tri. cua’ X∗ ¯do¯du’o.’c trˆenphˆant` u’ thu’ i (i = 1, n) th`ı X1,X2, ,Xn l`ac´ac¯da.i lu’o.’ng ˜ ´ ngˆaunhiˆen¯dˆo.c lˆa.p c´oc`ungphˆanphˆoinhu’ X. Khi ¯d´obˆo. (X1,X2, ,Xn) ¯du’o.’c go.i l`a mˆo.t mˆaung˜ ˆaunhiˆen˜ k´ıch thu’oc´’ n ¯du’o.’c ta.o nˆentu`’ ¯da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆeng˜ ˆoc´ X. K´ıhiˆe.u WX = (X1,X2, ,Xn). ’ ’ Gia’ su’ Xi nhˆa.n gi´atri. xi (i = 1, n). Khi ¯d´o(x1, x2, . . . , xn) l`amˆo.t gi´atri. cu. thˆecua’ ˜ ˜ ˜ ’ mˆaungˆaunhiˆen WX , ¯du’o.’c go.i l`a mˆaucu. thˆe. K´ıhiˆe.u wx = (x1, x2, . . . , xn). ’ V´ıdu. 2 Kˆetqu´ a’ ¯diˆemmˆonTo´ancua’ mˆo. t lop´’ gˆom100` sinh viˆencho boi’’ bang’ sau • ’ ¯Diˆem 3 4 5 6 7 Sˆosinh´ viˆenc´o¯diˆemt’ u’ong’ ung´’ 25 20 40 10 5 ’ Go.i X l`a¯diˆemmˆonTo´ancua’ mˆo.t sinh viˆen¯du’o.’c cho.n ngˆaunhiˆentrong˜ danh s´ach lop´’ th`ıX l`a¯da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenc´ophˆanph˜ ˆoi´ X 3 4 5 6 7 P 0,25 0,2 0,4 0,1 0,05 ´ ’ ’ ’ Cho.n ngˆaunhiˆen5˜ sinh viˆentrong danh s´ach lop’ ¯dˆexem ¯diˆem.Go.i Xi l`a¯diˆemcua’ sinh viˆenthu´’ i. Ta c´omˆaung˜ ˆaunhiˆenk´ıch˜ thu’oc´’ n = 5 ¯du’o.’c xˆaydu.’ng tu`’ ¯da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆenX˜ WX = (X1,X2, ,Xn) ’ ’ ’ Gia’ su’’ sinh viˆenthu´’ nhˆat¯d´ u’o.’c 4 ¯diˆem,thu´’ hai ¯du’o.’c 3 ¯diˆem,thu´’ ba ¯du’o.’c 6 ¯diˆem ’ ’ ’ thu´’ tu’ ¯du’o.’c 7 ¯diˆemv`athu´’ nam˘ ¯du’o.’c 5 ¯diˆem.Ta ¯du’o.’c mˆaucu˜ . thˆe wx = (4, 3, 6, 7, 5) 3. THONGˆ´ KEˆ ´ ’ ˜ Trong thˆongkˆe(statistics), viˆe.c tˆongho.’p mˆau WX = (X1,X2, ,Xn) ¯du’o.’c thu.’c ´ ˜ hiˆe.n du’oi’ da.ng h`am G = f(X1,X2, ,Xn) cua’ c´ac¯da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆen X1,X2, ,Xn. Khi ¯d´o G ¯du’o.’c go.i l`amˆo.t thˆongkˆe.´ 3.1 Trung b`ınhmˆaung˜ ˆaunhiˆen˜ ˜ ˜ ˜ ´ 2 ¯D.inh nghia 1 Trung b`ınhcua’ mˆaungˆaunhiˆen WX = (X1,X2, ,Xn) l`amˆo. t thˆong kˆe,k´ıhiˆe. u X, ¯du’o.’c x´ac¯di.nh boi’’ 1 n X = Xi (3.1) n i=1 X
62 Ch ’u’ong3. Tˆongth’ ˆev`am’ ˆau˜ Ch´u´y ˜ ˜ i) V`ı X1,X2, ,Xn l`ac´ac¯da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆennˆen X c˜ungl`a¯da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆen. ´ ’ ii) Nˆeumˆaung˜ ˆaunhiˆen˜ WX = (X1,X2, ,Xn) c´omˆaucu˜ . thˆe wx = (x1, x2, . . . , xn) n 1 ˜ ’ th`ı X s˜enhˆa.n gi´atri. x = xi v`a x ¯du’o.’c go.i l`atrung b`ınhcua’ mˆaucu. thˆe wx = n i=1 X (x1, x2, . . . , xn). 3 T´ınhchˆat´ 2 Nˆeu¯da´ .i lu’o.’ng ngˆaunhiˆeng˜ ˆocX´ c´ok`yvo.ng E(X) = m v`aphu’ong’ sai V ar(X) = σ σ2 th`ı E(X) = m v`a V ar(X) = . n Phˆanphˆoix´acsu´ ˆatc´ ua’ X i) Nˆeu´ X B(n, p) th`ı X B(n, p). ∈ ∈ ii) Nˆeu´ X (a) th`ı X (a). ∈ P ∈ P iii) Nˆeu´ X N(µ, σ2) th`ı X N(µ, σ2 ). ∈ ∈ n iv) Nˆeu´ X χ2(n) th`ı X χ2(n). ∈ ∈ 3.2 Phu’ong’ sai cua’ mˆaung˜ ˆaunhiˆen˜ ˜ ˜ ˜ ´ 2 ¯D.inh nghia 2 Phu’ong’ sai cua’ mˆaungˆaunhiˆen WX = (X1,X2, ,Xn) l`amˆo. t thˆong 2 kˆe,k´ıhiˆe. u S , ¯du’o.’c x´ac¯di.nh boi’’ n 2 1 2 S = (Xi X) n i=1 − X trong ¯d´o X l`atrung b`ınhcua’ mˆaung˜ ˆaunhiˆen.˜ Ch´u´y ˜ 2 ˜ i) V`ı X1,X2, ,Xn l`ac´ac¯da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆennˆen S c˜ungl`a¯da.i lu’o.’ng ngˆau nhiˆen. ´ ’ ii) Nˆeumˆaung˜ ˆaunhiˆen˜ WX = (X1,X2, ,Xn) c´omˆaucu˜ . thˆe wx = (x1, x2, . . . , xn) 1 n 2 2 2 2 ˜ th`ı S nhˆa.n gi´atri. s = (xi x) . Khi ¯d´o s ¯du’o.’c go.i l`aphu’ong’ sai cua’ mˆaucu. n i=1 − X thˆe.’ n 1 3 T´ınhchˆat´ Nˆeu´ V ar(X) = σ2 th`ı E(S2) = − σ2. n Phu’ong’ sai ¯diˆeuch` inh’ n Da˘t S 2 = S2 th`ıta c´o E(S 2) = σ2. ¯ . 0 n 1 0 −
4. Sap˘´ xˆeps´ ˆoli´ ˆeu. 63 2 ˜ ˜ S0 ¯du’o.’c go.i l`a phu’ong’ sai ¯diˆeuch` inh’ cua’ mˆaungˆaunhiˆen WX . ´ ’ 2 Voi’ mˆaucu˜ . thˆe wx = (x1, x2, . . . , xn) th`ı S0 s˜enhˆa.n gi´atri. n 2 n 2 1 2 s0 = s = (xi x) n 1 n 1 i=1 − − − X 2 ˜ ’ s0 ¯du’o.’c go.i l`a phu’ong’ sai ¯diˆeuch` inh’ cua’ mˆaucu. thˆe. Phˆanphˆoix´acsu´ ˆat´ ’ ˜ ˜ ` ˜ Gia’ su’ WX = (X1,X2, ,Xn) l`amˆaungˆaunhiˆen¯du’o.’c xˆaydu.’ng tu’ ¯da.i lu’o.’ng ngˆau nhiˆen X c´ophˆanphˆoichu´ ˆanv’ oi´’ E(X) = m v`a V ar(X) = σ2. Khi ¯d´o 2 n 2 nS (Xi X) 2 i) 2 = −2 χ (n 1). σ i=1 σ ∈ − X n 2 (Xi m) 2 ii) −2 χ (n) i=1 σ ∈ X 3.3¯ Dˆo. lˆe.ch tiˆeuchuˆanv`a¯dˆo’ . lˆe.ch tiˆeuchuˆan¯di’ ˆeuch` inh’ ’ ˜ ˜ 2 i)¯ Dˆo. lˆe.ch tiˆeuchuˆancua’ mˆaungˆaunhiˆen WX l`a S = √S . ’ ˜ ’ 2 ¯Dˆo. lˆe.ch tiˆeuchuˆancua’ mˆaucu. thˆe wx l`a s = √s , trong ¯d´o s l`agi´atri. cua’ S. ’ ` ˜ ˜ 2 ii)¯ Dˆo. lˆe.ch tiˆeuchuˆan¯diˆeuchinh’ cua’ mˆaungˆaunhiˆen WX l`a S0 = √S0 . ’ ` ˜ ’ 2 ¯Dˆo. lˆe.ch tiˆeuchuˆan¯diˆeuchinh’ cua’ mˆaucu. thˆe wx l`a s0 = √s0 , trong ¯d´o s0 l`agi´a tri. cua’ S0. ´ ´ ´ 4. SAP˘ XEPˆ SOˆ LIEˆ. U Qu´atr`ınhnghiˆencuu´’ thˆongkˆeth´ u’ong`’ tr˜aiqua 2 khˆau:thu thˆa.p c´acsˆoliˆe´ .u liˆen ’ ´ quan ¯dˆenviˆe´ .c nghiˆencuu´’ v`axu´’ l´ysˆoliˆe´ .u.¯ Dˆeviˆe.c xu’’ l´y¯du’o.’c thuˆa.n lo.’i ta cˆanph` ai’ sap˘ xˆepla´ .i sˆoliˆe´ .u. 4.1 Tru’ong`’ ho.’p mˆauc´ok´ıch˜ thu’oc´’ nho’ xi ni ’ ˜ ´ ˜ ´ Gia’ su’ mˆauc´ok´ıch thu’oc’ n v`a¯da.i lu’o.’ng ngˆaunhiˆengˆoc X xi n1 ’ ´ ´ ´ nhˆa.n c´acgi´atri. c´othˆe xi (i = 1, k) voi’ sˆolˆanl` a˘.p la.i (tˆans` ˆo) x2 n2 ni (i = 1, k). Ta thu’ong`’ lˆa.p bang’ nhu’ sau: xk nk k Ch´u´y ni = n. i=1 X ’ V´ıdu. 3 Tiˆenh`anhthu´ thˆa. p du˜’ liˆe. u sˆotr´ e’ o’’ lua´’ tuˆoi¯dˆentr´ u’ong`’ cua’ 30 gia ¯d`ınh o’’ • mˆo. t huyˆe.n ta ¯du’o.’c kˆetqu´ a’ cho boi’’ bang’
64 Ch ’u’ong3. Tˆongth’ ˆev`am’ ˆau˜ 0 3 0 0 3 0 2 2 0 1 2 1 0 0 1 2 4 0 4 2 1 0 1 0 0 2 0 1 3 2 Sap˘´ xˆeps´ ˆoliˆe´ .u la.i ta c´obang’ sau ’ Sˆotr´ e’ o’’ lua´’ tuˆoi¯dˆentr´ u’ong`’ ni 0 12 1 6 2 7 3 3 4 2 4.2 Tru’ong`’ ho.’p mˆauc´ok´ıch˜ thu’oc´’ lon´’ Ta chia mˆauth`anhc´ackho˜ ang’ (lop),´’ trong mˆoikho˜ ang’ ta cho.n mˆo.t gi´atri. ¯da.i diˆe.n. Ngu’oi`’ ta thu’ong`’ chia th`anhc´ackhoang’ ¯dˆeunhau` (c´othˆekho’ ang’ ¯dˆauho` a˘.c cuˆoic´o¯dˆo´ . d`aikh´acvoi´’ ¯dˆo. d`aicua’ c´ackhoang’ c`onla.i) v`acho.n gi´atri. ¯da.i diˆe.n l`agi´atri. trung tˆam cua’ khoang.’ Ta qui u’oc´’ ¯dˆaum´utbˆenph` ai’ cua’ mˆoikho˜ ang’ thuˆo.c khoang’ ¯d´om`akhˆong thuˆo.c khoang’ tiˆeptheo´ khi t´ınhtˆans` ˆoc´ ua’ mˆoikho˜ ang.’ V´ıdu. 4 Chiˆeucao` cua’ 400 cˆaysao ¯du’o.’c chia th`anhc´ackhoang’ ¯du’o.’c xˆeptrong´ •bang’ sau: ` ` ´ Khoang’ chiˆeucao Tˆansˆo ni ¯Dˆo. d`aicua’ khoang’ 5,5 8,5 18 3 8,5 −12,5 58 4 12,5− 16,5 62 4 16,5 − 20,5 72 4 20,5 − 24,5 57 4 24,5 − 28,5 42 4 28,5 − 32,5 36 4 32,5 − 36,5 10 4 − 5. BANG’ T´INH x, s2 5.1 T´ınhtru.’c tiˆep´ Ta d`ungcˆongthuc´’ 1 k x = nixi n i=1 Xk (3.2) 2 1 2 2 s = nixi (x) n i=1 − X trong ¯d´o xi (i = 1, k) l`ac´acgi´atri. cua’ X∗.
5. Bang’ t´ınh x, s2 65 V´ıdu. 5 Sˆoxe´ hoi’ b´an¯du’o.’c trung b`ınhtrong mˆo. t tuˆan` o’’ mˆoi¯da˜ . i l´ytrong 45 ¯da. i l´y •cho boi’’ ´ Sˆoxe hoi’ ¯du’o.’c b´an ni trong tuˆan/` ¯da. i l´y 1 15 2 12 3 9 4 5 5 3 6 1 Ta lˆa.p bang’ t´ınhnhu’ sau 2 xi ni nixi nixi 1 15 15 15 2 12 24 48 3 9 27 81 4 5 20 80 5 3 15 75 6 1 6 36 n = 45 107 335 Ta c´o P 107 x = 45 = 2, 38 s2 = 335 (2, 38)2 = 7, 444 5, 664 = 1, 78. 45 − − ´ V´ıdu. 6 Theo d˜oi336 tru’ong`’ ho.’p t`aucˆa. p cang,’ ngu’oi`’ ta thˆaykho´ ang’ thoi`’ gian ngan˘ nh• ˆatgi´ ua˜’ hai lˆant`auv`aoc` ang’ liˆentiˆepl`a4´ gio,`’ thoi`’ gian d`ainhˆatl`a80´ gio.`’ V`ısˆoliˆe´ .u nhiˆeunˆenta` sap˘´ xˆepth`anhl´ op´’ c´o¯dˆo. d`ai8 v`athay mˆoil˜ op´’ boi’’ gi´atri. x + x trung tˆam x0 = min max . i 2 Ta c´obang’ t´ınhsau 0 0 02 xi xi+1 xi ni nixi nixi 4 − 12 8 143 1144 9152 12 − 20 16 75 1200 19200 20 − 28 24 53 1272 30528 28 − 36 32 27 864 27648 36 − 44 40 14 560 22400 44 − 52 48 9 432 20736 52 − 60 56 5 280 15680 60 − 68 64 4 256 16384 68 − 76 72 3 216 15552 76 − 80 78 3 234 18252 − 336 6458 195532 P