Bài giảng Toán cao cấp - Chương 1: Ma trận, định thức

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp - Chương 1: Ma trận, định thức

1. 10/13/2012 ØChương 1. Ma Trận, Định Thức Tốn Cao Cấp §1. Ma trận Thời lượng: 45 tiết §2. Định thức §3. Hệ phương trình tuyến tính Nội dung Chương 1: Ma trận, định thức. Chương 2: Hệ Phương trình tuến tính. §1. MA TRẬN Chương 3: Hàm số và giới hạn. 1.1. Các định nghĩa Chương 4: Phép tính vi phân hàm một biến. Chương 5: Tích phân. a) Định nghĩa ma trận Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến. • Ma trận A cấp trên là 1 hệ thống gồm Chương 7: Lý thuyết chuỗi. mn ¡ Chương 8. Phương trình vi phân. số và được sắp mn aij ¡ (i 1,m; jn1,) thành bảng gồm m dịng và n cột: ØChương 1. Ma Trận, Định Thức ØChương 1. Ma Trận, Định Thức aaa 11121n a11 aaa • Khi n 1, ta gọi A là ma trận cột. 21222n A . am1 • Khi , ta gọi: am12aam mn mn 1 là ma trận gồm 1 phần tử. • Các số được gọi là các phần tử của ở dịng thứ Aa ()11 aij A i và cột thứ j . • Ma trận cĩ tất cả các phần tử đều bằng 0 O (0)ijmn • Cặp số (mn,) được gọi là kích thước của A. được gọi là ma trận khơng. • Khi , ta gọi: m 1 • Tập hợp các ma trận A được ký hiệu là M ()¡ , để là ma trận dịng. mn, A (a11aa121 )n cho gọn ta viết là . Aa ()ijmn Ø Chương 5. Đại số tuyến tính Ø Chương 5. Đại số tuyến tính • Ma trận vuơng • Các ma trận vuơng đặc biệt § Khi mn , ta gọi A là ma trận vuơng cấp n . § Ma trận vuơng cĩ tất cả các 100 Ký hiệu là Aa (). phần tử nằm ngồi đường ijn 050 chéo chính đều bằng 0 được 000 § Đường chéo chứa các phần gọi là ma trận chéo. tử a,aa, , được gọi 1 234 1122 nn § Ma trận chéo cấp n gồm tất là đường chéo chính của 100 586 7 cả các phần tử trên đường , Aa ()ijn chéo chính đều bằng 1 được I 010 3 đường chéo cịn lại được gọi 746 5 gọi là ma trận đơn vị cấp n . 001 là đường chéo phụ. Ký hiệu là I . 3 2 1 0 n 1
2. 10/13/2012 Ø Chương 5. Đại số tuyến tính ØChương 1. Ma Trận, Định Thức § Ma trận ma trận vuơng cấp n cĩ tất cả các phần tử b) Ma trận bằng nhau nằm phía dưới (trên) đường chéo chính đều bằng Hai ma trận và được gọi là bằng 0 được gọi là ma trận tam giác trên (dưới). Aa ()ij Bb ()ij nhau, ký hiệu , khi và chỉ khi chúng cùng AB 102 300 kích thước và . aij bij ,,ij A 011 B 410 000 152 1 xy 101 VD 1. Cho A và B . § Ma trận vuơng cấp n cĩ tất cả zt2 23u các cặp phần tử đối xứng 3 4 1 Ta cĩ: nhau qua đường chéo chính 4 1 0 A B x 0;y 1;z 2;ut 2;3. bằng nhau (aa ) được ijji gọi là ma trận đối xứng. 1 0 2 ØChương 1. Ma Trận, Định Thức ØChương 1. Ma Trận, Định Thức 1.2. Các phép tốn trên ma trận b) Phép nhân vơ hướng Cho ma trận và , ta cĩ: a) Phép cộng và trừ hai ma trận Aa ()ijmn  ¡ Cho hai ma trận Aa () và Bb () , ta cĩ: ijmn ijmn Aa (ij).mn A B (abijij).mn 110 330 VD 3. 3 ; VD 2. 102 202 104; 204 6012 23 4 5 31 703 264 132. 2 102 202 300 408 204 . Chú ý 23 4 5 31 365 • Phép nhân vơ hướng cĩ tính phân phối đối với phép Nhận xét cộng ma trận. Phép cộng ma trận cĩ tính giao hốn và kết hợp. • Ma trận 1.AA được gọi là ma trận đối của A. ØChương 1. Ma Trận, Định Thức ØChương 1. Ma Trận, Định Thức c) Phép nhân hai ma trận 1 10 VD 5. Thực hiện phép nhân 12 . Cho hai ma trận Aa () và Bb (), ta cĩ: imj n jnk p 103 ABc (ik).mp 1 10 Giải. 12 116. n 103 Trong đĩ, . cik aijbjk i 1,m; kp1, j 1 1 VD 4. Thực hiện phép nhân . 1232 5 1 Giải. 123 2 ( 1 4 15) (12). 5 2
3. 10/13/2012 ØChương 1. Ma Trận, Định Thức ØChương 1. Ma Trận, Định Thức Tính chất 20 111 VD 6. Tính 11 . 1) (AB)C = A(BC); 2) A(B + C) = AB + AC; 203 13 3) (A + B)C = AC + BC; 4) λ(AB) = (λA)B = A(λB); 5) , với . AInm AIA AM mn, ()¡ 20 11 1 44 Giải. . 11 101 121 203 79 13 VD 7. Cho A 220 và B 031 . 303 2 10 Thực hiện phép tính: a) AB ; b) BA. ØChương 1. Ma Trận, Định Thức ØChương 1. Ma Trận, Định Thức Giải Chú ý 10 1 1 21 311 • Phép nhân ma trận khơng cĩ tính giao hốn. a) AB 2 20 0 31 220. • Đặc biệt, khi và *, ta cĩ: Aa ()ijn p ¥ 30 3 2 10 933 p IInn và 0ppp 11 A In ,A (A)AAA() 1 21 10 1 242 (lũy thừa ma trận). b) BA 0 31 2 20 363. 2 10 30 3 022 ØChương 1. Ma Trận, Định Thức ØChương 1. Ma Trận, Định Thức d) Phép chuyển vị Tính chất Cho ma trận . T T T T T Aa ()ijmn 1) (A + B) = A + B ; 2) (λA) = λA ; Khi đĩ, T được gọi là ma trận chuyển vị 3) (AT)T = A; 4) (AB)T = BTAT; Aa ()jinm T của A (nghĩa là chuyển tất cả các dịng thành cột). 5) AA A đối xứng. 1 4 123 VD 13. Cho T A A 2 5 . 456 { 3 6 3
4. 10/13/2012 ØChương 1. Ma Trận, Định Thức ØChương 1. Ma Trận, Định Thức T 11 012 111 1 22 VD 14. Cho . AB 02, . 103 20 6 103 32 2 312 1612 a) Tính ()AB T . b) Tính BATT và so sánh kết quả với ()AB T . b) Sinh viên tự làm. T 11 012 Giải. a) T (AB) 02 103 32 ØChương 1. Ma Trận, Định Thức ØChương 1. Ma Trận, Định Thức 1.3. Phép biến đổi sơ cấp trên dịng của ma trận VD 15. Dùng PBĐSC trên dịng để đưa ma trận (Gauss – Jordan) 211 1 23 Cho ma trận . Các phép biến đổi Aa ()ijmn (m 2) về . A 123 B 017/5 sơ cấp (PBĐSC) dịng e trên A là: dd 3 12 000 1) Hốn vị hai dịng cho nhau ik . (e1): AA dd  2) (e ): Nhân 1 dịng với số  0, AAii . 1 23 2 dd Giải. 12 3) (e ): Thay 1 dịng bởi tổng của dịng đĩ với λ lần A 211 3 d dd dịng khác, AAiik . 3 12 Chú ý 1 23 d dd d2 dd212 iik 1) Trong thực hành ta thường làm . d dd3 057 AB 331 2) Tương tự, ta cũng cĩ các phép biến đổi sơ cấp trên 057 cột của ma trận. ØChương 1. Ma Trận, Định Thức ØChương 1. Ma Trận, Định Thức 1.4. Ma trận bậc thang 1 23 • Một dịng của ma trận cĩ tất cả các phần tử đều bằng d dd 332 . 0 được gọi là dịng bằng 0 (hay dịng khơng). 1 01 7/5 B dd 225 000 • Phần tử khác 0 đầu tiên tính từ trái sang của 1 dịng trong ma trận được gọi là phần tử cơ sở của dịng đĩ. • Ma trận bậc thang là ma trận khác khơng cấp mn (mn, 2) thỏa hai điều kiện: 1) Các dịng bằng 0 (nếu cĩ) ở phía dưới các dịng khác 0; 2) Phần tử cơ sở của 1 dịng bất kỳ nằm bên phải phần tử cơ sở của dịng ở phía trên dịng đĩ. 4
5. 10/13/2012 ØChương 1. Ma Trận, Định Thức ØChương 1. Ma Trận, Định Thức VD 16. Các ma trận bậc thang: 1.5. Ma trận khả nghịch 10 0 a) Định nghĩa 102 0123 • Ma trận được gọi là khả nghịch nếu tồn 01 0 AM n ()¡ 003, 0045, I . n tại ma trận sao cho: BM n ()¡ 000 0001 00 1 AB BAIn . Các ma trận khơng phải là bậc thang: • Ma trận B được gọi là ma trận nghịch đảo của A. Ký hiệu 1. Khi đĩ: BA 000 027 135 1 1 11 AA AA I;(AA). , , . n 314 034 004 Chú ý 005 005 213 Nếu B là ma trận nghịch đảo của A thì B là duy nhất và A cũng là ma trận nghịch đảo của B . ØChương 1. Ma Trận, Định Thức ØChương 1. Ma Trận, Định Thức 25 35 VD 17. và là hai ma trận 25 21 A B VD 18. Cho A và B . 13 12 13 32 nghịch đảo của nhau vì . 1 11 AB BAI2 Thực hiện phép tính: a) ()AB ; b) BA. Chú ý 1) Nếu ma trận cĩ 1 dịng (hay cột) bằng 0 thì A khơng khả nghịch. Giải. a) Ta cĩ: 1912 và AB 19.7 11.121 1 11 117 2) ()AB BA. 3) Nếu thì: 1 ac bd 0 1912 7 12 1 1 . ab cb ()AB 1 117 1119 dc ac bd da ØChương 1. Ma Trận, Định Thức ØChương 1. Ma Trận, Định Thức §2. ĐỊNH THỨC b) Ta cĩ: 2.1. Định nghĩa 2 1 3 5 712 11 . a) Ma trận con cấp k BA 32 12 1119 Cho A aM()¡ . ijn n • Ma trận vuơng cấp k được lập từ các phần tử nằm trên giao của k dịng và k cột của A được gọi là ma trận con cấp k của A. • Ma trận cĩ cấp thu được từ bằng cách Mij n 1 A bỏ đi dịng thứ i và cột thứ j được gọi là ma trận con của ứng với phần tử . A aij 5
6. 10/13/2012 ØChương 1. Ma Trận, Định Thức ØChương 1. Ma Trận, Định Thức 123 b) Định thức (Determinant) Định thức của ma trận vuơng AM ()¡ , ký hiệu VD 1. Ma trận A 456 cĩ các ma trận con ứng n detA hay A , là 1 số thực được định nghĩa: 7 89 với các phần tử a là: ij § Nếu thì . Aa ()11 detAa 11 56 46 45 , , , M11 M12 M13 aa1112 89 79 78 § Nếu A thì detA aaaa. 11221221 aa2122 23 13 12 § Nếu (cấp ) thì: , , , Aa ()ijn n 3 M21 M22 M23 89 79 78 detA a11A11 a12A12 aA11nn ij 23 13 12 trong đĩ, và số thực được , , . AMij (1)det ij Aij M31 M32 M33 56 46 45 gọi là phần bù đại số của phần tử . aij ØChương 1. Ma Trận, Định Thức ØChương 1. Ma Trận, Định Thức Chú ý VD 2. Tính định thức của các ma trận sau: 1) detIO 1,det0. nn 121 32 , . a11aa1213 A B 321 14 2) Tính . a21aa2223 211 aaa 313233 3 2 Giải. de1t4A 3.4 1.( 2) . a11a12a13aa1112 a11aa1213 1 4 aaaaa hoặc aaa 2122232122 212223 detB 1.( 2).1 2.1.2 3.1.(1) a31a32a33aa3132 a31aa3233 (Tổng của tích các phần tử trên đường chéo nét liền trừ 2.( 2)( 1) 3.2.1 1.1.1 12. đi tổng của tích các phần tử trên đường chéo nét đứt). ØChương 1. Ma Trận, Định Thức ØChương 1. Ma Trận, Định Thức VD 3. Tính định thức của ma trận: 2.2. Các tính chất cơ bản của định thức 0031 Cho ma trận vuơng A aM()¡ , ta cĩ các 4121 ijn n . tính chất cơ bản sau: A 3102 a) Tính chất 1 Giải. Ta cĩ: 2335 T det AA det. detA 0.A11 0.A123.AA13 (1). 14 3( 1)1 3detMM (1)14det 1314 132121 41 1412 VD 4. 2 21 3 21 12. . 3312 310 49 111211 235233 6
7. 10/13/2012 ØChương 1. Ma Trận, Định Thức ØChương 1. Ma Trận, Định Thức b) Tính chất 2 c) Tính chất 3 Nếu hốn vị hai dịng (hoặc hai cột) cho nhau thì Nếu nhân 1 dịng (hoặc 1 cột) với số thực λ thì định thức đổi dấu. định thức tăng lên λ lần. 132 111 1 11 VD 5. 2 21 221 221. 3.103.( 1)101 VD 7. ; 111 132 312 21 2 3212 317317 Hệ quả. Nếu định thức cĩ ít nhất 2 dịng (hoặc 2 cột) giống nhau thì bằng 0. 33 23 x 11xxxx 331 xxx x 1yy33 (x1)1 yy. VD 6. 221 0; 1yy25 0. x 11zz33zz 117 1 y2y5 ØChương 1. Ma Trận, Định Thức ØChương 1. Ma Trận, Định Thức Hệ quả d) Tính chất 4 Nếu định thức cĩ 1 dịng (hoặc 1 cột) mà mỗi phần 1) Nếu định thức cĩ ít nhất 1 dịng (hoặc 1 cột) tử là tổng của 2 số hạng thì ta cĩ thể tách thành tổng bằng 0 thì bằng 0. 2 định thức. 2) Nếu định thức cĩ 2 dịng (hoặc 2 cột) tỉ lệ với VD 9. nhau thì bằng 0. x 1x 1x110 xxx xyy3 xyy33xyy; 1zz311zz33zz x 01 6 69 2 VD 8. ; . 22 xy00 22 30 cosxx23sin23 123 32 xy0 8312 sin22xx56 cos56156. sin22xx89cos89 189 ØChương 1. Ma Trận, Định Thức ØChương 1. Ma Trận, Định Thức e) Tính chất 5 123 1 123 Định thức sẽ khơng đổi nếu ta cộng vào 1 dịng d3 dd32 4 (hoặc 1 cột) với λ lần dịng (hoặc cột) khác. 042 042. VD 10. Sử dụng tính chất 5 để đưa định thức sau về 0 12 00 3/2 123 Chú ý dạng bậc thang: 121. 123d 4dd 123 234 332 Phép biến đổi 042 042 là sai 123 123 0 1 2006 d2 dd21 d3 dd312 Giải. 042 042 vì dịng 3 (trước khi thay đổi) đã nhân với số 4. 234 0 12 7
8. 10/13/2012 ØChương 1. Ma Trận, Định Thức Ø Chương 1. Ma Trận, Định Thức 2.3. Định lý (khai triển Laplace) 1002 Cho ma trận vuơng A aM()¡ , ta cĩ các 2012 ijn n VD 12. Tính định thức bằng hai cách khai triển Laplace của định thức A: 1323 a) Khai triển theo dịng thứ i 3021 n khai triển theo dịng 1 và khai triển theo cột 2. detA aA aA aAaA i1i1i22iininijij j 1 Giải. Khai triển theo dịng 1: Trong đĩ, ij . ( 1)11 ( 1)14 AMij (1)det()ij 1002 012201 b) Khai triển theo cột thứ j 2012 1.1.323 ( 1).2.1323. n 1323 detA a1jA1j a22jAj anjAnjaAijij 021302 i 1 3021 ØChương 1. Ma Trận, Định Thức ØChương 1. Ma Trận, Định Thức VD 13. Áp dụng tính chất và định lý Laplace, hãy tính • Khai triển theo cột 2: 1112 2 113 1002 định thức . 102 2012 12 12 ( 1).3.2123. 1323 3321 321 3021 11121112 32 d dd2 ( 1) 2 1132210 3 11 Giải. d dd 12 12331 0120 d4 dd413 332100 15 ØChương 1. Ma Trận, Định Thức ØChương 1. Ma Trận, Định Thức Các kết quả đặc biệt cần nhớ 1) Dạng tam giác khai triển cột 1 3 11 aa aa0 0 1 20 34. 11121n 11 0a22 a2n aa2122 0 0 15 a11aa22 nn 00 annan12aan nn 2) Dạng tích: det(AB) detAB.det. 3) Dạng chia khối ABM , với . KKK detAC.det A,B,CM n ()¡ OCn M 8
9. 10/13/2012 ØChương 1. Ma Trận, Định Thức ØChương 1. Ma Trận, Định Thức 1234 0034 0 2719 3 2719 VD 14. Tính detA . VD 15. Tính detB . 0030 1237 0001 0081 Giải. Ta cĩ: Giải. Ta cĩ: detA 1.( 2).3.( 1)6. 1237 dd 31 3 2719 1234 detB 0034 3 281 0081 280. ØChương 1. Ma Trận, Định Thức ØChương 1. Ma Trận, Định Thức T 11 1 214 11 1 214 314 VD 16. Tính . VD 17. Tính detC 203 213 detD 203 213 012. 12 3 121 121 12 3 121 Giải. Ta cĩ: 11 1214 11 1214314 Giải. Ta cĩ: detC 2032133 . detD 203213012 21. 12 3121 12 3121121 ØChương 1. Ma Trận, Định Thức ØChương 1. Ma Trận, Định Thức x 100 2.4. Ứng dụng định thức tìm ma trận nghịch đảo 1x 00 a) Định lý VD 18. Phương trình 0 cĩ nghiệm Ma trận vuơng khả nghịch khi và chỉ khi: 22xx A detA 0. 382 x x 1 VD 19. Giá trị của tham số để ma trận là: A. x 1; B. x 1; C. x 1; D. . m T x 2 Giải. Chuyển vị định thức, ta được: mm10 m 10 A 2 xx12 0mm 11 1m Phương trình 0 khả nghịch là: 12xx 22 m 0 m 0 (x 1)(xA 4)0 . A. ; B. ; C. m 0; D. m 1. m 1 m 1 9
10. 10/13/2012 ØChương 1. Ma Trận, Định Thức ØChương 1. Ma Trận, Định Thức Giải. Ta cĩ: b) Thuật tốn tìm A–1 mm10m 10 • Bước 1. Tính . Nếu thì kết luận detA mm52(1). detA det0A A 0mm11 1m2 khơng khả nghịch. Ngược lại, ta làm tiếp bước 2. • Bước 2. Lập ma trận A,AM (1)ij det . ij n ijij m 0 Suy ra ma trận phụ hợp (adjunct matrix) của A là: Vậy A khả nghịch det0AB . m 1 T adjAA . ij n • Bước 3. Ma trận nghịch đảo của A là: 1 1 A adjA detA ØChương 1. Ma Trận, Định Thức ØChương 1. Ma Trận, Định Thức VD 20. Tìm ma trận nghịch đảo (nếu cĩ) của: 110101 A 1,AA 1, 1, 111213 121 231312 . A 112 211112 A21 4,AA22 2,23 0, 354 231312 Giải. Ta cĩ: khơng khả nghịch. det0AA 211112 A 1,AA 1, 1. 313233 121 110101 VD 21. Cho ma trận . Tìm 1. A 011 A 1 41 1 41 123 1 1 adjA 121 A 121. 2 Giải. Ta cĩ: detAA 20 khả nghịch. 101 101 ØChương 1. Ma Trận, Định Thức ØChương 1. Ma Trận, Định Thức 2.5. Hạng của ma trận Chú ý • Nếu Aa khác 0 thì 1 r(A)min{mn,}. a) Định thức con cấp k ij mn Cho ma trận Aa . Định thức của ma trận con • Nếu là ma trận khơng thì ta quy ước . ij mn A rA()0 cấp k của A được gọi là định thức con cấp k của A. c) Thuật tốn tìm hạng của ma trận Định lý • Bước 1. Đưa ma trận cần tìm hạng về bậc thang. Nếu ma trận A cĩ tất cả các định thức con cấp k đều • Bước 2. Số dịng khác 0 của ma trận bậc thang chính bằng 0 thì các định thức con cấp k 1 cũng bằng 0. là hạng của ma trận đã cho. b) Hạng của ma trận • Đặc biệt Cấp cao nhất của định thức con khác 0 của ma trận A Nếu A là ma vuơng cấp n thì: được gọi là hạng của ma trận . Ký hiệu là . A rA() r(A) nA det0. 10
11. 10/13/2012 ØChương 1. Ma Trận, Định Thức ØChương 1. Ma Trận, Định Thức VD 22. Điều kiện của tham số m để ma trận 1 342 m 12 VD 23. Cho A 2514 . Tìm rA(). cĩ hạng bằng 3 là: A 032 3 856 011 1 342 A. ; B. ; C. ; D. . d dd2 m 1 m 1 m 1 m 0 Giải. Biến đổi 221 Ad dd3 0170 331 Giải. Ta cĩ: 01 70 32 . 1 342 r(A) 3 detA 00 mD 11 d3 dd32  01 70 rA()2. 0000 ØChương 1. Ma Trận, Định Thức 21 13 0 100 VD 24. Cho . Tìm . A rA() 0120 0 114 Giải. Biến đổi: 21 13 21 13 0 100 0 100 A . 0020 0020 0014 0008 Vậy rA()4 . 11