›
›

Bài giảng Toán cao cấp - Chương 1: Ma trận-đinh thức - Nguyễn Phương

pdf 46 trang hapham 1650
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Toán cao cấp - Chương 1: Ma trận-đinh thức - Nguyễn Phương", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_toan_cao_cap_chuong_1_ma_tran_dinh_thuc_nguyen_phu.pdf

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp - Chương 1: Ma trận-đinh thức - Nguyễn Phương

  1. Chương 1: MA TRẬN ĐỊNH THỨC − Th.S NGUYỄN PHƯƠNG Khoa Giáo dục cơ bản Trường Đại học Ngân hàng TPHCM Blog: Email: nguyenphuong0122@gmail.com Yahoo: nguyenphuong1504 Ngày 30 tháng 10 năm 2013 1
  2. 1 Giới thiệu 2 Ma trận Các khái niệm Các phép toán trên ma trận Các tính chất Ma trận con 3 Định thức Định nghĩa Tính định thức bằng các phép biến đổi sơ cấp Các tính chất Định thức con 4 Hạng của ma trận Định nghĩa Tìm hạng của ma trận bằng các phép biến đổi sơ cấp 5 Ma trận nghịch đảo Định nghĩa Điều kiện tồn tại Tìm ma trận nghịch đảo bằng ma trận phần bù đại số Tìm ma trận nghịch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp Tính chất Giải phương trình ma trận 2
  3. Giới thiệu Công ty điện tử ABC sản xuất 4 mặt hàng TV, radio, đầu máy VCD và quạt máy. Công ty có 3 đại lý bán hàng. Bảng sau cho biết số lượng các mặt hàng bán được của các đại lý trong tháng 9 vừa qua: TV radio đầu máy VCD quạt máy Đại lý 1 120 150 80 210 Đại lý 2 140 180 120 220 Đại lý 3 150 120 180 250 Ta có thể viết lại bảng trên như sau: 120 150 80 210   q = 140 180 120 220   150 120 180 250 - Dòng thứ nhất là vector khối lượng hàng hóa bán được trong tháng 9 của đại lý 1. - Dòng thứ hai là vector khối lượng hàng hóa bán được trong tháng 9 của đại lý 2. - Cột thứ nhất là vector khối lượng TV bán được trong tháng 9 của công ty ABC. - Cột thứ nhất là vector khối lượng radio3 bán được trong tháng 9 của công ty ABC.
  4. Ma trận Các khái niệm Định nghĩa - Ma trận cấp m n là một bảng số (thực hoặc phức) hình chữ nhật bao gồm m dòng và n cột× . - Ma trận A cấp m n, kí hiệu A = (aij)mxn với i = 1, m, j = 1, n ×   a11 a1j a1n    . . .   . . .   . . .    A =  ai1 aij ain  dòng thứ i   ←  . . .   . . .    am1 amj amn m n × cột thứ↑ j   -Ai = ai1 ai2 ain được gọi là dòng thứ i của ma trận A. ∗ ··· a   1j    a2j  -A =   được gọi là cột thứ j của ma trận A. j  .  ∗  .    amj 4 A   1j      A2j  Khi đó có thể biểu diễn A: A = A A A =   i1 i2 in  .  ···  .    Amj
  5. Ma trận Các khái niệm Ví dụ:  0 1 2 3    A =  4 5 6 7     8 9 10 11  A là ma trận có 3 dòng và 4 cột A là ma trận thực cấp 3 4 × Các phần tử của ma trận A là: a11 = 0, a12 = 1, a13 = 2, a14 = 3 a21 = 4, a22 = 5, a23 = 6, a24 = 7 a31 = 8, a32 = 9, a33 = 10, a34 = 11 Định nghĩa Ma trận không là ma trận có các phần tử đều bằng không (aij = 0, i, j), kí hiệu là O. ∀ Ví dụ: ! 0 0 0 O2 3 = × 0 0 0 5
  6. Ma trận Các khái niệm Định nghĩa Cho A = (aij)mxn Khi m=1, ta được ma trận dòng A = (a11 a12 a1n) ···  a   11     a21  Khi n=1, ta được ma trận cột A =    .   .    am1 Ví dụ:  1     2  Ma trận dòng A = (1 2 3) và ma trận cột B =    3     4  6
  7. Ma trận Các khái niệm Định nghĩa Ma trận vuông cấp n là ma trận có n dòng và n cột. Các phần tửa ii lập thành đường chéo chính. Các phần tửa ij với i + j = n + 1 lập thành đường chéo phụ. Ví dụ:    0123     4567  A =    89 10 11    12 13 14 15 4 4 × 7
  8. Ma trận Các khái niệm Định nghĩa Ma trận vuông A = (aij)nxn được gọi là ma trận tam giác trên Các phần tử ⇔ nằm phía dưới đường chéo chính đều bằng 0, tức là aij = 0, i > j. ∀ Ví dụ:  21 3    A =  000 −     001  Định nghĩa Ma trận vuông A = (aij)nxn được gọi là ma trận tam giác dưới Các phần tử ⇔ nằm phía trên đường chéo chính đều bằng 0, tức là aij = 0, i < j. ∀ Ví dụ:  200    A =  100     −303  8
  9. Ma trận Các khái niệm Định nghĩa Ma trận vuông A được gọi là ma trận chéo Các phần tử không nằm trên ⇔ đường chéo chính đều bằng 0, tức là aij = 0, i , j ∀ Ví dụ:  100    A =  000     00 3  − Định nghĩa Ma trận chéo có các phần tử nằm trên đường chéo chính đều bằng 1 được gọi là ma trận đơn vị, tức là aij = 0, i , j và aii = 1, i. Ma trận đơn vị cấp n được ∀ ∀ kí hiệu là In. !  100  10   Ví dụ: I = ;I =  010  2 01 3    001  9
  10. Ma trận Các khái niệm Định nghĩa Ma trận bậc thang theo dòng là ma trận thỏa 2 điều kiện 1. Các dòng không (nếu có) phải nằm ở dưới cùng. 2. Phần tử khác không đầu tiên của dòng trên (nếu có) phải nằm ở cột bên trái phần tử khác không đầu tiên của dòng dưới (nếu có). Ví dụ: Cho biết các ma trận sau có phải là ma trận bậc thang theo dòng hay không?     1 0 2 3 1 0 2      0 2 1 1  A =  0 2 1  ;B =   ;    0000 −   000 −     0011   1 0 2   1 0 2 3 1     −   02 1   0 2 1 1 0  C =   ;D =    0 11 −   0 0103−       0− 0 1   06011  10
  11. Ma trận Các khái niệm Định nghĩa Ma trận đối xứng là ma trận vuông thỏa aij = aji, i, j = 1, n ∀ Ví dụ:  110    A =  −125     050  Định nghĩa ( A và B cùng cấp Cho 2 ma trận A, B. A = B ⇔ aij = bij, i, j ∀  1 2 x 1   1 2 3      Ví dụ: Cho A =  3− 0− 1  và B =  3− 0 1       −4 1 5   −4 y + 1 5  ( ( x 1 = 3 x = 4 A = B − ⇔ 1 = y + 1 ⇔ y = 0 11
  12. Ma trận Các phép toán trên ma trận Định nghĩa   T   Ma trận chuyển vị của A = aij , kí hiệu là A = aji có được bằng m n n m cách đổi dòng của ma trận A thành× cột hoặc đổi cột thành× dòng. Ví dụ:    2 131  243      −   1 01  A =  4092  AT =      −3 9 2  31 20 3 4   − ×  −  1 20 4 3 × Định nghĩa Tích của ma trận A = (aij)mxn với một số k là ma trận C = k.A = (cij)mxn với cij = k.aij, i, j ∀ Ví dụ:  214       4 2 8  A =  1 1 0      2A =  2 2 0    ⇒   1 3 9 3 3  2 6 18  × 3 3 × 12
  13. Ma trận Các phép toán trên ma trận Định nghĩa Tổng 2 ma trận cùng cấp A = (aij)mxn và B = (bij)mxn là ma trận C = A + B = (cij)mxn với cij = aij + bij, i, j ∀  214   131      Ví dụ: Cho ma trận A =  1 1 0  và ma trận B =  1 4 0       1 3 9   4 3 2   3 4 5    Khi đó ma trận A + B =  2 5 0  ;A B =?    5 6 11  − Định nghĩa Cho ma trận A = (aij)mxp và B = (bij)pxn. Khi đó C = A.B tồn tại và C = (cij)mxn với cij = ai1b1j + ai2b2j + + aipbpj ··· hay  b       1j   .   ∗ b ∗   .   ∗ ∗ ∗ ∗   2j    AB =  ai1 ai2 aip   ∗ ∗  =  cij     .       .   .   ∗ ∗   .  ∗ ∗ ∗ ∗ bpj . 13∗ ∗
  14. Ma trận Các phép toán trên ma trận Ví dụ: Xác định ma trận C = A.B !  1 1 2  2 1 4   A = B =  3 0 1  4 1 0   2x3   2 4 3 3x3 Giải !  1 1 2  ! 2 1 4   c11 c12 c13 C = A B =  3 0 1  = . 4 1 0   c c c 2x3 ×   21 22 23 2x3 2 4 3 3x3  1      với c = 214  3  = 2 1 + 1 3 + 4 2 = 13 11   . . . ×  2   1      c = 214  0  = 2 1 + 1 0 + 4 4 = 18 12   . . . ×  4   2      c = 214  1  = 2 2 + 1 1 + 4 3 = 17 13   . . . ×  3  14
  15. Ma trận Các phép toán trên ma trận Tương tự ta có c21 = 7, c22 = 4, c23 = 9 ! 13 18 17 Vậy C = A B = . 7 4 9 ! ! 2 1 1 Ví dụ: Tìm ma trận X thỏa AX = B, biết A = với B = 2− 1 3 ! a Giải: Đặt X = , ta có b ! ! ! ! ! 2 1 a 1 2a b 1 AX = B − = − = ⇔ 2 1 b 3 ⇔ 2a + b 3 ( ( ! 2a b = 1 a = 1 1 − . Vậy X = ⇔ 2a + b = 3 ⇔ b = 1 1 15
  16. Ma trận Các tính chất Tính chất A + B = B + A k.(lA) = (kl).A A + 0 = A k(A + B) = kA + kB A + B + C = (A + B) + C = (k + l)A = kA + lA A + (B + C) Tính chất ABC = (AB)C = A(BC) (kA)B = A(kB) = k(AB) A(B C) = AB AC ± ± (A B)T = AT BT (B C)A = BA CA ± ± ± ± (A.B)T = BT.AT Im.Amxn = Amxn = Amxn.In 16
  17. Ma trận Các tính chất Chú ý : AB tồn tại không thể suy ra BA tồn tại AB và BA cùng tồn tại không thể suy ra AB = BA A.B = 0 không thể suy ra A = 0 hoặc B = 0 AB = CB không thể suy ra A = C Cho A = (aij)nxn. Quy ước A0 = I, A2 = A.A, , An = A A A A | · {z··· · } n 17
  18. Ma trận Các tính chất Bài toán: Cho ma trận A = (aij)nxn. Xác định f(A), biết n n 1 f(x) = anx + an 1x − + + a1x + a0. − ··· n n 1 Ta có f(A) = anA + an 1A − + + a1A + a0In. − ··· Ví dụ: Xác định f(A), biết ! 2 1 A = , f(x) = 2x2 4x + 3 1 2 − Giải. Ta có: f(A) = 2A2 4A + 3I ! 2 ! ! 2 1 − 2 1 5 4 Tính được A2 = = , từ đó suy ra 1 2 × 1 2 4 5 ! 10 8 2A2 = 8 10 ! ! 8 4 3 0 Ta có: 4A = − − và 3I2 = − 4 8 0 3 − !− 5 4 Vậy: f(A) = 4 5 18
  19. Ma trận Ma trận con Định nghĩa Cho A = (aij)mxn. Ma trận con cấp k của A là ma trận có được bằng cách lấy giao của k dòng, k cột bất kỳ của A (k m, k n). Kí hiệu Am m ; n n ≤ ≤ 1, , k 1, , k Ví dụ:  0123    Cho A =  4567     89 10 11  ! ! 0 1 13 Khi đó A = A = 1,2; 1,2 4 5 , , 1,3; 2,4 9 11 , k k Số ma trận con cấp k của A = (aij)mxn là Cm.Cn. 19
  20. Ma trận Ma trận con Định nghĩa Cho A = (aij)nxn. Ma trận con tương ứng với phần tử aij của A, kí hiệu là Mij, có được bằng cách bỏ đi dòng i và cột j của A.  0 1 2    Ví dụ: Cho A =  3 4 5  . Khi đó    6 7 8  ! ! ! 4 5 0 1 0 1 M = M = M = 11 7 8 , , 23 6 7 , , 33 3 4 , 2 Số ma trận con tương ứng với một phần tử của A = (aij)nxn là n . 20
  21. Định thức Định nghĩa Định nghĩa    a11 a12 a1n   ···  A = (a ) =  . . .  detA Cho ij nxn  . . . . . Định thức của A, kí hiệu là   an1 an2 ann hay A với ··· | | n = 1 : A = a11 | | n 2 : ≥ 1+1 1+2 1+n A =( 1) a11 M11 +( 1) a12 M12 + +( 1) a1n M1n | | − | | − | | ··· − | | Ví dụ: ! ab a. Cho A = cd Ta có A = ( 1)1+1ad +( 1)1+2bc = ad bc | | − − − 21
  22. Định thức Định nghĩa Ví dụ: ! 2 1 b. Cho A = 3 −2 − Ta có A = 2( 2) ( 1)3 = 1 | |  − − − −  a11 a12 a13    c. Cho A =  a21 a22 a23    a31 a32 a33 Ta có A = | | 1+1 a22 a23 1+2 a21 a23 1+3 a21 a22 ( 1) a11 + ( 1) a12 + ( 1) a13 = − a32 a33 − a31 a33 − a31 a32 a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 a13a22a31 a12a21a33 a23a32a11  −  − −  a11 a12 a13    Quy tắc Sarius: A =  a21 a22 a23    a31 a32 a33 A = a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 a13a22a31 a12a21a33 a23a32a11 | | − − − 22
  23. Định thức Định nghĩa Ví dụ:Tính định thức của các ma trận sau:  1 0 1    a)A =  2 1− 3     1 2 1  −  1 2 3 0     1 0 1 1  b)B =    −2 0 1− 1     1 2 0 3  23
  24. Định thức Tính định thức bằng các phép biến đổi sơ cấp Định nghĩa Có 3 phép biến đổi sơ cấp trên dòng (cột): di dj ci cj 1 P1: Hoán vị dòng i (cột i) và dòng j (cột j): A ↔ B (A ↔ B). −−−−→ −−−−→ di λdi ci λci 2 P2: Nhân dòng i (cột i) với số λ , 0: A → B (A → B). −−−−−→ −−−−−→ di di+λdj 3 P3: Nhân dòng j (cột j) với số λ rồi cộng dòng i (cột i): A → B ci ci+λcj −−−−−−−−→ (A → B). −−−−−−−−→ Ví dụ:  123   456    d1 d2   Cho A =  456  ↔  1 23  ;      7 8 9  −−−−−→  7 8 9   123   246    d1 2d1   A =  4 5 6  →  4 5 6       7 8 9  −−−−−−→  7 8 9   123   9 12 15    d1 d1+2d2   ;A =  456  →  4 5 6       7 8 9  −−−−−−−−−→  7 8 9  24
  25. Định thức Tính định thức bằng các phép biến đổi sơ cấp Định lý 1 P1: Hoán vị 2 dòng/cột làm định thức đổi dấu. 2 P2: Nhân một dòng/cột với một số λ , 0 làm định thức biến đổi gấp λ lần. 3 P3: Nhân một dòng/cột với một số λ rồi cộng vào một dòng/cột khác không làm định thức thay đổi. 4 Ta có thể tính định thức bằng cách khai triển bất kỳ dòng/cột nào di i+1 i+2 i+n A = ( 1) ai1 Mi1 + ( 1) ai2 Mi2 + + ( 1) ain Min | | cj − 1+j | | − 2+j | | ··· − n+j | | A = ( 1) a1j M1j + ( 1) a2j M2j + + ( 1) anj Mnj | | − | | − | | ··· − | | Ví dụ:  1 0 3    a. Cho A =  2 1− 1 . Ta có A = 12 3 2 = 17    1 2 0  | | − − − −  −     1 0 3   2 1 1   −  d1 d2   A =  2 1 1  ↔  1 0 3  = B      1 2 0  −−−−−→  1 2− 0  B =−17 − ⇒ | | 25
  26. Định thức Tính định thức bằng các phép biến đổi sơ cấp  1 0 3    A =  2 1− 1 . Ta có A = 17    1 2 0  | | −  −     1 0 3   2 0 6   −  d1 2d1  −  A =  2 1 1  →  2 1 1  = C      1 2 0  −−−−−−→  1 2 0  C =− 34 − ⇒ | | −     1 0 3   5 2 1   −  d1 d1+2d2  −  A =  2 1 1  →  2 1 1  = D      1 2 0  −−−−−−−−−→  1 2 0  D =− 17 − ⇒ | | − 26
  27. Định thức Tính định thức bằng các phép biến đổi sơ cấp  10 31   −   2 1 1 0  b. Cho A =    −1 2 1 3     3 1− 1 0  − 1 0 0 1 1 0 0 0 c3 c3+3c1 2 1 5 0 c4 c4 c1 2 1 5 2 d1 Ta có A → = − − →= − − − = | | 1 2 2 3 1 2 2 2 3 1 8 0 3 1 8 3 1 5 2− − − − − ( 1)1+1.1. 2 2 2 = 6 10 32 4 + 30 + 16 = 6 − − − − 1 8 3 − 27
  28. Định thức Tính định thức bằng các phép biến đổi sơ cấp  1 0 31   −   2 1 1 0  b. Cho A =    −1 2 13     3 1− 1 0  − 1 0 31 − 2 1 1 d3 d3+( 3)d1 2 1 1 0 c4 − Ta có A → = − − = ( 1)1+4.1. 2 2 8 = | | 2 2 8 0 − − − 3 1 1 3 1 1 0 − ( 4 24 2 + 6 + 2 +−16) = 6 − − − − 28
  29. Định thức Các tính chất Tính chất (1) AT = A | | | | Tính chất (2) Ma trận có dòng/cột không thì định thức bằng 0. Tính chất (3) Ma trận có hai dòng/cột tỉ lệ nhau thì định thức bằng 0. Tính chất (4) n Cho A = (aij)nxn. Khi đó kA = k A | | | | 29
  30. Định thức Các tính chất Tính chất (5) Định thức của ma trận tam giác bằng tích của các phần tử nằm trên đường chéo chính. Định thức của ma trận chéo bằng tích của các phần tử nằm trên đường ⇒ chéo chính. Ví dụ: 2 1 1 3 − 0 2 8 5 − = ( 2).2.1.3 = 12 0 0 1 2 − − 0 0 0 3 2 0 0 0 0 3 0 0 = 2.3.1.5 = 30 0 0 1 0 0 0 0 5 30
  31. Định thức Các tính chất Tính chất (6) Cho A, B là hai ma trận vuông cùng cấp. Khi đó AB = A . B | | | | | | An = A n | | | | Tính chất (7) Nếu các phần tử của một dòng/cột là tổng của 2 số hạng thì định thức có thể phân tích thành hai định thức tương ứng trong đó các dòng/cột còn lại không thay đổi. Ví dụ: ∗ ∗ ∗ ∗ ai1 + bi1 ai2 + bi2 ain + bin = ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ai1 ai2 ain + bi1 bi2 bin ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 31
  32. Định thức Các tính chất Ví dụ: a1 + b1x a1x + b1 c1 a1 a1x + b1 c1 b1x a1x + b1 c1 a2 + b2x a2x + b2 c2 = a2 a2x + b2 c2 + b2x a2x + b2 c2 = a3 + b3x a3x + b3 c3 a3 a3x + b3 c3 b3x a3x + b3 c3 a1 a1x c1 a1 b1 c1 b1x a1x c1 b1x b1 c1 a2 a2x c2 + a2 b2 c2 + b2x a2x c2 + b2x b2 c2 = a3 a3x c3 a3 b3 c3 b3x a3x c3 b3x b3 c3 a1 b1 c1 b1 a1 c1 a1 b1 c1 2 2 0 + a2 b2 c2 + x b2 a2 c2 + 0 = (1 x ) a2 b2 c2 − a3 b3 c3 b3 a3 c3 a3 b3 c3 32
  33. Định thức Định thức con Định nghĩa Định thức của ma trận con cấp k của A = (aij)nxn được gọi là định thức con cấp k của A . | | Định thức của A có thể được tính thông qua công thức sau X i1+ +ik+j1+ +jk A = ( 1) ··· ··· Ai i ;j j . Ai i ;j j | | − | 1, , k 1, , k | | 1, , k 1, , k | 1 j1<j2< <jk n ≤ ≤ trong đó Ai1, ,ik;j1, ,jk là ma trận con của A có được bằng cách bỏ đi k dòng i1, , ik và bỏ đi k cột j1, , jk. 33
  34. Định thức Định thức con Ví dụ: Tính định thức của ma trận  1 1 0 0     1 2 0 0  A =    −0 0 3 2     0 0 1 1  − P 1+2+j1+j2 Ta có A = ( 1) A1,2;j1,j2 . A1,2;j1,j2 | | 1 j1<j2 4 − | | | | ≤ ≤ 1+2+1+2 1 1 3 2 A = ( 1) A1,2;1,2 . A1,2;1,2 = . = 3.5 = 15 | | − | | | | 1 2 1 1 − − Tổng quát, xét A = (aij)nxn    Bkxk C    A =     O D(n k)x(n k) − − P 1+ +k+j1+ +jk Ta có A = ( 1) ··· ··· A1, ,k;j1, ,jk . A1, ,k;j1, ,jk | | 1 j1< <jk n − | | | | ≤ ≤ 1+ +k+1+ +k A = ( 1) ··· ··· A1, ,k;1, ,k . A1, ,k;1, ,k = B D | | − | ··· ··· | | ··· ··· | | || | Tương tự,    Bkxk O    A =   Ta có A = B D   | | | || | C D(n k)x(n k) − − 34
  35. Hạng của ma trận Định nghĩa Định nghĩa Hạng của A = (aij)mxn, được kí hiệu là rank(A), là cấp cao nhất của ma trận con của A sao cho tồn tại một ma trận con cấp đó có định thức khác không. Ta có: rankA min m; n ≤ { } Ví dụ: ! 1 2 3 Cho A = 2 4 5 ! 2 3 Ta có rank(A) 2 và tồn tại ma trận con cấp 2: A1 2;2 3 = có ≤ , , 4 5 A = 2 , 0 nên rankA = 2 | | −  1 1 0 2    Ví dụ: Xác định hạng của A =  1 2 1− 0     2− 1− 1 2  − Nhận thấy rankA 3 và A có 4 ma trận con cấp 3 với định thức đều =0,do vậy rankA 2. ≤ ! ≤ 1 1 Mà tồn tại ma trận con cấp 2 A1 2;1 2 = có A1 2;1 2 = 3 , 0 , , 1 2 | , , | − − Vậy rankA = 2 35
  36. Hạng của ma trận Tìm hạng của ma trận bằng các phép biến đổi sơ cấp Định lý 1 Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của ma trận. 2 Ma trận bậc thang theo dòng có hạng bằng số dòng khác không của nó. cpbdsc Trong thực hành ta biến đổi A B với B là ma trận bậc thang theo −−−−−→ dòng. Theo định lý trên ta dễ dàng xác định rankA. Ví dụ:  110 2    Xác định hạng của A =  1 2 1− 0     2112− −  − Ta có      1 1 0 2   110 2  d2 d2 d1  −  d3 d3+d2  −  A → −  0 3 1 2  →  0 3 1 2  = B. −−−−−−−−−→d3 d3+2d1  − −  −−−−−−−−→  − −  →  0 3 1 2   0000  suy ra rankA = rankB = 2. − 36
  37. Hạng của ma trận Tìm hạng của ma trận bằng các phép biến đổi sơ cấp Ví dụ:  2 1 0 1    Xác định hạng của A =  31 − 1 0     212 − 1   − −  2 1 0 1  d2 2d2 3d1  −  Ta có A → −  0 5 2 3  = B −−−−−−−−−−→d3 d3+d1  − −  →  0 0 2 0  Ta có rankA = rankB = 3. Ví dụ: Xác định hạng của  2 1 3 2 4    a)A =  4 −2 5− 1 7     2 −1 1 8 2  −  2 0 3 1   −   1 2 2 3  b)C =    3 −2 5 −4     5 −2 8 −5  − − 37
  38. Ma trận nghịch đảo Định nghĩa Định nghĩa Cho A = (aij)nxn, nếu tồn tại một ma trận B = (bij)nxn sao cho AB = BA = In. 1 Khi đó B được gọi là ma trận nghịch đảo của A, kí hiệu B = A− và A được gọi là ma trận khả nghịch. Ví dụ: ! ! 1 1 2 1 Cho A = . Nhận thấy B = thỏa 1 2 1− 1 ! − 1 0 AB = = I BA = I nên B = A 1. 0 1 2, 2 − 38
  39. Ma trận nghịch đảo Điều kiện tồn tại Định nghĩa A = (aij)nxn suy biến A = 0. ⇔ | | Định lý A = (aij)nxn khả nghịch A không suy biến A , 0. ⇔ ⇔ | | Ví dụ: Cho biết các ma trận sau có khả nghịch hay không?   !  2 3 1  1 3  − −  A = B =  3 5 0  2 6  −  − 1 2 1 − 39
  40. Ma trận nghịch đảo Tìm ma trận nghịch đảo bằng ma trận phần bù đại số Định lý i+j Cho A = (aij)nxn khả nghịch, gọi Aij = ( 1) Mij là phần bù đại số của aij.   − | |  A11 A1n   ···  A =  . .  Khi đó p  . . .  được gọi là ma trận phần bù đại số của A và   An1 Ann ··· 1 A 1 = AT − A p | | Ví dụ: ! a b a. Cho A = với A = ad bc , 0 c d | | − ! ! + d c d c Ta có: A = = p b +− a b− a − − ! 1 1 T 1 d b Vậy A− = A = − A p ad bc c a | | − − 40
  41. Ma trận nghịch đảo Tìm ma trận nghịch đảo bằng ma trận phần bù đại số Ví dụ: ! 3 2 b. Xác định ma trận nghịch đảo của A = 1− 1 Ta có A = 5 , 0 nên A khả nghịch. | |  1 2  !  5 5  1 1 1 2   Vậy A− = =   5 1 3  1 3  − −5 5  1 2 0    c. Tìm ma trận nghịch đảo của A =  1 −1 2     2 −3 3  − 41
  42. Ma trận nghịch đảo Tìm ma trận nghịch đảo bằng ma trận phần bù đại số Ta có A = 1 0 nên A khả nghịch. , | |  1 2 1 2 1 1   + − + −   3 3 2 3 2 3   −   − −     2 0 1 0 1 2    Ta có Ap =  − + −  =  − 3 3 2 3 − 2 3   − −       2 0 1 0 1 2   + − + −  1 2 − 1 2 1 1  3 1 − 1  −   A =  6 3 −1  p   ⇒  4 2− 1  − −  3 6 4   3 6 4  1 1     Vậy A 1 = AT =  1 3 −2  =  1 3 −2  − p     A 1  1 1− 1   1 1− 1  | | − − − − 42
  43. Ma trận nghịch đảo Tìm ma trận nghịch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp Định lý Cho A = (aij)nxn khả nghịch, xét ma trận mở rộng (A In). Bằng các phép biến | đổi sơ cấp trên dòng đưa ma trậnA về ma trận In, khi đó ma trận In sẽ biến 1 thành A− . cpbdsctd 1 (A In) (In A− ) | −−−−−−−→ | Ví dụ:  1 2 0    Tìm ma trận nghịch đảo của A =  1 −1 2     2 −3 3  − Ta có      1 2 0 1 0 0   1 2 0 1 0 0   −  d2 d2 d1  −  (A I3) =  1 1 2 0 1 0  → −  0 1 2 1 1 0  |  −  −−−−−−−−−−−→d3 d3+( 2)d1  −   2 3 3 0 0 1  → −  0 1 3 2 0 1  − − 43
  44. Ma trận nghịch đảo Tìm ma trận nghịch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp    1 2 0 1 0 0  d2 d2 d1  −  → −  0 1 2 1 1 0  −−−−−−−−−→d3 d3 2d1  −  → −  0 1 3 2 0 1   −   1 0 4 1 2 0  d1 d1+2d2  −  →  0 1 2 1 1 0  −−−−−−−−−→d3 d3 d2  −  → −  0 0 1 1 1 1   − −   1 0 0 3 6 4  d1 d1 4d3  −  → −  0 1 0 1 3 2  −−−−−−−−−→d2 d2 2d3  −  → −  0 0 1 1 1 1  − −  3 6 4    Vậy A 1 =  1 3 −2  −    1 1− 1  − − 44
  45. Ma trận nghịch đảo Tính chất Tính chất 1 1 1. (A− )− = A 1 1 2. A− = | | A | | n 1 3. Cho A = (aij)nxn khả nghịch. Khi đó Ap = A − | | | | 1 1 1 4. Cho A,B vuông cùng cấp với AB khả nghịch. Khi đó (AB)− = B− A− T 1 1 T 5. (A )− = (A− ) 45
  46. Ma trận nghịch đảo Giải phương trình ma trận 1 1 Cho A = (aij)nxn khả nghịch: AX = B X = A− B ⇔ 1 2 Cho A = (aij)nxn khả nghịch: XA = B X = BA− ⇔ 1 1 3 Cho A = (aij)nxn,B = (bij)mxm khả nghịch: AXB = C X = A− CB− ⇔ Thật vậy: 1 1 1 1 1 AX = B A− AX = A− B InX = A− B X = A− B ⇔ ⇔ ⇔ 1 1 1 1 2 XA = B XAA− = BA− XIn = BA− X = BA− ⇔ ⇔ ⇔ 1 1 1 1 1 1 3 AXB = C A− AXBB− = A− CB− InXIm = A− CB− X = 1 1 ⇔ ⇔ ⇔ A− CB− Ví dụ: Tìm ma trận X thỏa mãn phương trình ma trận: ! ! 4 6 2 5 a) X = 2− 1 1 3  1 0 2  !   1 2 1 b)X  2 1 3  =   2− 1− 3  4− 1 8  46