Bài giảng Toán cao cấp - Chương 3: Hàm số và giới hạn

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp - Chương 3: Hàm số và giới hạn

1. 10/13/2012 Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn §1. Bổ túc về hàm số – Nếu f(x) f()x xx thì f là đơn ánh. §2. Giới hạn của hàm số 1212 §3. Đại lượng vô cùng bé – vô cùng lớn – Nếu f(X) = Y thì f là toàn ánh. §4. Hàm số liên tục – Nếu f vừa đơn ánh vừa toàn ánh thì f là song ánh. . VD 1. §1. BỔ TÚC VỀ HÀM SỐ x a) Hàm số f : ¡¡ thỏa y fx()2 là đơn ánh. 1.1. Khái niệm cơ bản 2 b) Hàm số f :¡ [0;) thỏa f()xx là toàn ánh. 1.1.1. Định nghĩa hàm số c) Hsố f :(0;) ¡ thỏa f(xx) ln là song ánh. • Cho khác rỗng. XY,  ¡ • Hàm số được gọi là hàm chẵn nếu: Ánh xạ f: XY với xa y fx() là một hàm số. y fx() Khi đó: f( x) f(x),  xDf . – Miền xác định (MXĐ) của f, ký hiệu Df, là tập X. – Miền giá trị (MGT) của f là: • Hàm số y fx() được gọi là hàm lẻ nếu: f( x) f(x),  xD. G y f()xxX. f Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn Nhận xét 1.1.3. Hàm số ngược – Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung. – Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ. • Hàm số g được gọi là hàm số ngược của f, ký hiệu gf 1, nếu x g(y),  yG. 1.1.2. Hàm số hợp f • Cho hai hàm số f và g thỏa điều kiện . Nhận xét GDgf – Đồ thị hàm số 1 Khi đó, hàm số h(x) (fo g)(x)f[gx()] được gọi là y fx() hàm số hợp của f và g. đối xứng với đồ thị của hàm số y fx() qua Chú ý đường thẳng yx . (foog)(x) (gfx)(). VD 3. Cho x thì VD 2. Hàm số y 2(xx2 1)122 là hàm hợp của fx()2 2 2 1 , mọi x > 0. f(x)2 xx và g(xx)1 . f(xx) log2 Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn 1.2. Hàm số lượng giác ngược 1.2.2. Hàm số y = arccos x 1.2.1. Hàm số y = arcsin x • Hàm số yx cos có hàm ngược trên [0;] là • Hàm số yx sin có hàm ngược trên ; là f 1 :[ 1; 1] [0;] 22 . f 1 :[ 1; 1] ; xa yx arccos 22 VD 5. arccos0 ; xa yx arcsin . 2 arccos( 1) ; VD 4. arcsin00 ; 3 12 arccos ; arccos . arcsin( 1) ; 26 23 2 Chú ý 3 arcsin . arcsinx arccosxx , [1; 1]. 23 2 1
2. 10/13/2012 Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn 1.2.3. Hàm số y = arctan x 1.2.4. Hàm số y = arccot x • Hàm số yx tan có hàm ngược trên ; là • Hàm số yx cot có hàm ngược trên (0;) là 22 1 1 f :¡ ; f :¡ (0;) 22 . xa yx arctan . xa y arcxcot VD 6. arctan00 ; VD 7. arc cot0 ; 2 arctan( 1) ; 3 4 arc cot( 1) ; 4 arctan3 . 3 arc cot3 . 6 Quy ước. arctan ,arctan. Quy ước. arccot( ) 0,arc cot( ). 22 Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn §2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Định nghĩa 3 (giới hạn tại vô cùng) • Ta nói f(x) có giới hạn là L (hữu hạn) khi , 2.1. Các định nghĩa x Định nghĩa 1 ký hiệu limf()xL , nếu  0 cho trước ta tìm x • Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b). Ta nói f(x) có giới được N > 0 đủ lớn sao cho khi x > N thì f()xL . hạn là L (hữu hạn) khi x x[ab; ], ký hiệu 0 • Tương tự, ký hiệu limf()xL , nếu  0 cho limf()xL , nếu  0 cho trước ta tìm được  0 x xx 0 trước ta tìm được N < 0 có trị tuyệt đối đủ lớn sao cho sao cho khi 0 xx  thì f()xL . khi x < N thì f()xL . 0 Định nghĩa 2 (định nghĩa theo dãy) Định nghĩa 4 (giới hạn vô cùng) • Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b). Ta nói f(x) có giới • Ta nói f(x) có giới hạn là khi , ký hiệu xx 0 hạn là L (hữu hạn) khi x x[ab; ], ký hiệu 0 limfx() , nếu  M 0 lớn tùy ý cho trước ta xx limf()xL , nếu mọi dãy {xn} trong (a; bx)\{} mà 0 xx 0 0 tìm được  0 sao cho khi 0 xx  thì thì . 0 xx limf()xL . n 0 n n f()xM Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn • Tương tự, ký hiệu limfx() , nếu  M 0 có trị 2.2. Tính chất xx 0 Cho và . Khi đó: tuyệt đối lớn tùy ý cho trước ta tìm được  0 sao cho limf()xa limg()xb xx 0 xx 0 khi 0 xx  thì f()xM . 0 1) lim[C.f(x)]. Ca (C là hằng số). Định nghĩa 5 (giới hạn 1 phía) xx 0 • Nếu f(x) có giới hạn là L (có thể là vô cùng) khi xx 0 2) lim[f(x) g(x)] ab. xx với xx thì ta nói f(x) có giới hạn phải tại x0 (hữu 0 0 3) ; hạn), ký hiệu limf()xL hoặc limf()xL . lim[f(x)g(x)] ab xx 0 xx 0 0 xx 0 • Nếu f(x) có giới hạn là L (có thể là vô cùng) khi f()xa xx 0 4) lim , b 0; xx với xx thì ta nói f(x) có giới hạn trái tại x0 (hữu 0 g()xb 0 5) Nếu thì . hạn), ký hiệu limf()xL hoặc limf()xL . f(x) g(x),x (xx00 ; )ab xx 0 0 xx 6) Nếu và 0 f(x) h(x) g(x),x (xx00 ; ) Chú ý. limf(x) L limf(x) limf(xL). thì . limf(x) limg()xL limh()xL xx 0 x xxx 0 0 x x00xx xx 0 2
3. 10/13/2012 Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn Định lý Các kết quả cần nhớ Nếu thì: 11 limu(x) a 0, limv()xb 1) lim ,lim . x xxx 00 xx 00 xx v()xb lim[u(xa)]. nn 1 xx ax axa 0 2) Xét L lim nn 10, ta có: mm 1 2x x bmmx b 10xb x 1 VD 1. Tìm giới hạn 2x . L lim a) an nếu ; x x 3 L nm bn A. L 9; B. L 4; C. L 1; D. L 0. b) nếu ; L 0 nm x 2. c) L nếu nm . x 1 2x 2 Giải. Ta có: LB lim 2. x sin xxtan x 3 3) lim lim1. xx 00 xx Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn 4) Số e: 33xx x Khi x thì 0,2x.3 1 22 1 2xx 121 lim 1 lim 1. xe x xx x 0 21x 2 2x 3x 3x 3x 3 VD 2. Tìm giới hạn L lim1 . lim1 e L eB. 2 x 2 x 21x 21x A. L ; B. Le 3; C. Le 2; D. L 1. 3x 2 2.x 21x 21x 2 3x 3x Giải. L lim 1 . 2 x 2x 1 Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn 1 §3. ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG BÉ – VÔ CÙNG LỚN VD 3. Tìm giới hạn Lx lim1tan2 4x . x 0 3.1. Đại lượng vô cùng bé A. ; B. ; C. 4 ; D. . a) Định nghĩa L L 1 Le Le 1 .tan2 x Hàm số ()x được gọi là đại lượng vô cùng bé (VCB) 1 4x 2 khi nếu ( có thể là vô cùng). Giải. 2 tan x xx 0 lim (x)0x0 L lim1 tan x xx 0 x 0 2 3 1 tan x VD 1. là VCB khi ; . (xx) tansin1 x 1 1 4 x 2 tan2 x 4 . 1 lim 1 tan x eC  ()x là VCB khi x . x 0 2 ln x 3
4. 10/13/2012 Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn b) Tính chất của VCB c) So sánh các VCB • Định nghĩa 1) Nếu (xx), () là các VCB khi xx thì 0 Cho là các VCB khi , ()x . (xx), () xx 0 lim k (xx) () và (xx).() là VCB khi xx . xx 0 Khi đó: 0 ()x 2) Nếu là VCB và bị chận trong lân cận – Nếu , ta nói là VCB cấp cao hơn , ()x ()x x0 k 0 ()x ()x thì là VCB khi . ký hiệu (xx) 0(()). (xx).() xx 0 – Nếu k , ta nói ()x là VCB cấp thấp hơn ()x . 3) limf(x) a f(x) ax (), trong đó ()x là xx 0 – Nếu 0 k , ta nói ()x và ()x là các VCB VCB khi . xx 0 cùng cấp. – Đặc biệt, nếu k 1, ta nói ()x và ()x là các VCB tương đương, ký hiệu (xx): (). Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn VD 2. • Tính chất của VCB tương đương khi x → x0 • 1 cosx là VCB cùng cấp với x 2 khi x 0 vì: 1) . 2 x (x): (x) (x) (x) 0( (xx)) 0(()) 2sin 1 cos1x 2 . 2) Nếu (x)::(x), (xx)() thì (xx): (). lim lim xx 00x 22 2 x 3) Nếu thì 4 1(x)::1(x), 22(xx)() 2 (x) (x): (xx)(). 12 12 22 4) Nếu (xx) 0(()) thì (x) (xx): (). • sin3(xx 1): 9(1) khi x 1. Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn • Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao • Các VCB tương đương cần nhớ khi x → 0 Cho là tổng các VCB khác cấp khi 1) sin xx: ; 2) tanxx: ; (xx), () xx 0 ()x 3) ; 4) thì lim bằng giới hạn tỉ số hai VCB cấp thấp arcsin xx: arctanxx: xx 2 0 ()x x nhất của tử và mẫu. 5) 1 cosx : ; 6) exx 1 : ; 2 xx3 cos1 7) ; 8) n x . VD 3. Tìm giới hạn L lim . ln(1) xx: 11 x : 42 n x 0xx Chú ý x 3 (1 cosx) 1 cos1x Giả i. L lim lim . Nếu ux() là VCB khi x 0 thì ta có thể thay x bởi x 0 4 2 x 0 2 2 x x x ux() trong 8 công thức trên. 4
5. 10/13/2012 Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn 22 ln(1 2xxsin)2 sinx 1 1 xx3tan VD 4. Tính giới hạn L lim . VD 5. Tính . x 0 2 L lim sinxx.tan x 0 sin2xx3 Giải. Khi x 0, ta có: Giải. Khi , ta có: x 0 ln(1 2xsin2x) 2xsin22x2.xx 22 (cấp 2), 33 (cấp 3), :: 2. tan xx: sin xx: 222 sinx.tanxx xxx x sin xx 1 1 ::11 (cấp 1). Vậy L 2. 2 x 1 Vậy L lim 2 . x 0 24x Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn Chú ý 3.2. Đại lượng vô cùng lớn a) Định nghĩa Quy tắc VCB tương đương không áp dụng được cho hiệu hoặc tổng của các VCB nếu chúng làm triệt tiêu tử Hàm số fx() được gọi là đại lượng vô cùng lớn (VCL) hoặc mẫu của phân thức. khi nếu ( có thể là vô cùng). xx 0 limfx() x0 xx 0 ex e x 2(eexx 1) (1) VD 6. lim lim VD 7. cos1x là VCL khi ; xx 0022 x 0 xx 2xx3 sin xx () 3 lim0 (Sai!). xx 1 x 0 2 là VCL khi x . x xx2 cos43 33 xx Nhận xét. Hàm số là VCL khi thì lim lim (Sai!). fx() xx 0 xx 00tan x xxx 1 là VCB khi xx . fx() 0 Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn b) So sánh các VCL VD 8. • Định nghĩa Cho là các VCL khi , fx() . • 3 là VCL khác cấp với 1 khi vì: f(x), gx() xx 0 lim k 3 3 x 0 xx 0 gx() Khi đó: x 2xx 312x3 xx – Nếu , ta nói là VCL cấp thấp hơn . lim : 3lim 3lim . k 0 fx() gx() 33 33 x 0 x2x x xx 00xx – Nếu k , ta nói fx() là VCL cấp cao hơn gx(). 33 – Nếu 0 k , ta nói fx() và gx() là các VCL • 2x xx12: khi x . cùng cấp. – Đặc biệt, nếu k 1, ta nói fx() và gx() là các VCL tương đương. Ký hiệu f(x): gx(). 5
6. 10/13/2012 Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn • Quy tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp VD 9. Tính các giới hạn: 3 32 Cho và là tổng các VCL khác cấp khi xx cos1 xx 21 fx() gx() xx 0 A lim ; B lim . x 3 x fx() 32xx 2xx72 sin thì lim bằng giới hạn tỉ số hai VCL cấp cao nhất xx 0 gx() của tử và mẫu. x 3 1 Giải. A lim . x 3x 3 3 x3 1 B lim lim0. xx 2 x 7 2 x Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn §4. HÀM SỐ LIÊN TỤC 4.2. Định lý • Tổng, hiệu, tích và thương của các hàm số liên tục tại 4.1. Định nghĩa x là hàm số liên tục tại x . • Số được gọi là điểm cô lập của f(x) nếu 0 0 xD0 f • Hàm số sơ cấp xác định ở đâu thì liên tục ở đó. • Hàm số liên tục trên một đoạn thì đạt giá trị lớn nhất và  0:x (x ; xx )\{} thì xD . 000 f nhỏ nhất trên đoạn đó. • Hàm số liên tục tại nếu . fx() x0 limf(x) fx()0 xx 0 • Hàm số fx() liên tục trên tập X nếu fx() liên tục tại mọi điểm . xX0 Quy ước • Hàm số fx() liên tục tại mọi điểm cô lập của nó. Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn 22 4.3. Hàm số liên tục một phía 3tanxx sin ,0x • Định nghĩa VD 1. Cho hàm số fx() . 2x Hàm số được gọi là liên tục trái (phải) tại nếu ,0x fx() x0 Giá trị của để hàm số liên tục tại là: limf(x) fx() ( limf(x) fx()). x 0 0 0 xx 0 xx 0 1 3 A. 0; B. ; C. 1; D. . • Định lý 2 2 Hàm số liên tục tại nếu Giải. Ta có . fx() x0 limf(xf) (0) x 0 limf(x) limf(x)fx(). 0 Mặt khác, khi ta có: x x00xx x 0 2 3tan22xx sin1x : 2xx22 6
7. 10/13/2012 Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn 1 ln(cos)x limfx(). ,0x VD 2. Cho hàm số 22 . x 0 2 fx() arctan2xx 2 3,0x Hàm số liên tục tại fx() x 0 Giá trị của để hàm số liên tục tại x 0 là: 1 17 17 3 3 limf(x) limf(x) fB(0) . A. ; B. ; C. ; D. . xx 00 2 12 12 2 2 Giải. Khi , ta có: x 0 arctan2x 23xx22: ; x 2 ln(cosx) ln[1 (cosxx 1)]::cos1 2 Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn Ø Chương 3. Hàm số và giới hạn 2 4.4. Phân loại điểm gián đoạn x ln(cosx)1• Nếu hàm số fx() không liên tục tại x thì x được gọi : 2 limfx() . 0 0 222x 0 6 là điểm gián đoạn của fx(). arctanx 23xx • Nếu tồn tại các giới hạn: Hàm số liên tục tại fx() x 0 , limf(x) fx()0 limf(x) fx()0 1 xx xx limf(x) fA(0) 23 . 0 0 x 0 6 nhưng , và không đồng thời bằng fx()0 fx()0 fx()0 nhau thì ta nói là điểm gián đoạn loại một. x0 Ngược lại, là điểm gián đoạn loại hai. x0 7