Bài giảng Toán cao cấp - Chương 6: Phép tính vi phân hàm hai biến

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp - Chương 6: Phép tính vi phân hàm hai biến

1. 10/13/2012 Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến §1. Khái niệm cơ bản • Miền phẳng D kể cả biên D được gọi là miền đóng, §2. Đạo hàm riêng – Vi phân miền phẳng không kể biên là miền mở. §3. Cực trị của hàm hai biến số D D . • Miền phẳng D được gọi là miền liên thông nếu có 1 §1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN đường cong nằm trong D nối 2 điểm bất kỳ thuộc D . 1.1. Các định nghĩa Miền liên thông có biên là 1 đường cong kín được gọi a) Miền phẳng là miền đơn liên (hình a); có biên là nhiều đường cong kín rời nhau là miền đa liên (hình b). • Trong mặt phẳng Oxy, hình phẳng D giới hạn bởi các đường cong kín được gọi là miền phẳng. Tập hợp các đường cong kín giới hạn D được gọi là biên của D , ký hiệu D hay . Đặc biệt, mặt phẳng Oxy được xem là miền phẳng với biên ở vô cùng. Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến b) Lân cận của một điểm c) Hàm số hai biến số • Khoảng cách giữa 2 điểm , là: • Trong mặt phẳng Oxy cho tập D  ¡2. M1(xy11,)M2(xy22,) Tương ứng fD: ¡ cho tương ứng mỗi (x,)yD 22 dM, M MM x x yy. với một giá trị duy nhất được gọi là 12 12 12 12 z f(xy,) ¡ hàm số hai biến số xy, . • Hình tròn mở có tâm • Tập 2 được gọi là miền xác định (MXĐ) của hàm SM(,)  D  ¡ • số, ký hiệu . Miền giá trị của hàm số là: , bán kính được Df M(xy,)  0 M gọi là một lân cận của điểm . . M G z f(x,y) ¡(x,)yDf Nghĩa là:  VD 22. M0(x0,y0) S(M,) (x x00) ()yy  • Hàm số 2 có 2. f(x,y) 3xycosxy Df ¡ Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến • Hàm số z 4 xy22 có MXĐ là hình tròn đóng §2. ĐẠO HÀM RIÊNG – VI PHÂN tâm O(0;0), bán kính R 2. 2.1. Đạo hàm riêng a) Đạo hàm riêng cấp 1 • Hàm số z ln(4) xy22 có MXĐ là hình tròn mở • Cho hàm số xác định trên miền mở 2 tâm O(0;0), bán kính R 2. f(xy,) D  ¡ Chú ý chứa điểm M(xy,). Cố định y , nếu hàm số f(xy,) • Trong trường hợp xét hàm số mà không nói gì 000 0 0 f(xy,) có đạo hàm tại thì ta gọi đạo hàm đó là đạo hàm riêng x0 thêm thì ta hiểu MXĐ của hàm số là tập tất cả các điểm theo biến của hàm số tại . x f(xy,) (xy00,) M(xy,) ¡2 sao cho f(xy,) có nghĩa. f • Hàm có nhiều hơn hai biến được định nghĩa tương tự. Ký hiệu: f(xy,) hay f/(xy,) hay (xy,). x 00 x 00 x 00 1.2. Giới hạn của hàm số hai biến số (xem giáo trình) f(x, y) f(xy, ) Vậy f/(xy,) lim.000 1.3. Hàm số liên tục (xem giáo trình) x 00 xx 0 xx 0 1
2. 10/13/2012 Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến • Tương tự, đạo hàm riêng theo biến tại là: VD 1. Tính các đạo hàm riêng của hàm số: y (xy00,) f(x,y) x4 3x3y23 23yxy tại ( 1;2). / f(x0, y) f(xy00, ) f(xy,) lim. Giải. /322/ . y 00 yy f(x,y) 4x 9xy 3yf ( 1;2) 46 0 yy 0 xx /32/ . fyy(x,y) 6xy 6y 3xf ( 1;2)39 Chú ý x 2 1 / fdf VD 2. Tính các đạo hàm riêng của z ln . • Nếu fx() là hàm số một biến x thì f . 22 x xdx xy 1 • Hàm số nhiều hơn hai biến có định nghĩa tương tự. Giải. Ta có z ln(x2 1) ln(xy22 1). Suy ra: / 22xx, / 2y . zx zy x2 11xy22 xy22 1 Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến x xy2 VD 3. Tính các đạo hàm riêng của z cos tại ( ; 4). VD 4. Tính các đạo hàm riêng của f(x,y,z) ezsin . y Giải. /2/x22yxy Giải fxx (xy)esinz2xyezsin /2/2x22yxy / f (xy)esinzxezsin //x xx12yy zz sin sin ( ;4) , 2 xx / xy . yx yyy 8 fz ezcos / xxxx 2 zz// sin sin ( ;4) . yy 2 yy yyy 32 Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến b) Đạo hàm riêng cấp cao • Hàm số nhiều hơn 2 biến và đạo hàm riêng cấp cao hơn • Đạo hàm riêng (nếu có) của hàm số / , / 2 có định nghĩa tương tự. fx (xy,)fy (xy,) được gọi là các đạo hàm riêng cấp hai của f(xy,). VD 5. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số: 2 Ký hiệu:  f  f , f 2 ff 3y 234 x xxx 2 f(x,)y xe xyy tại ( 1; 1). xxx x 2  f  f , f 2 ff /23y y yyy 2 yyy fx 32xexy y Giải. Ta có 2 /3y 223  f f fy xe 34xyy , fxy ffxyx yyx  yx 2  f f . fy x ffyxy xxy  xy 2
3. 10/13/2012 Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến VD 6. Cho hàm số 5445. // y 3 f(x,)y x yxy f2 62xey x (5) //2y 2// Giá trị của đạo hàm riêng cấp năm f (1; 1) là: xy32 fxy 36xe xyfyx (5) (5) // 3y 22 A. ; B. ; f 32(1; 1)480 f 32(1; 1) 480 f2 xe 6xyy12 xy xy y C. (5) ; D. (5) . f 32(1; 1)120 f 32(1; 1) 120 // xy xy fe2 ( 1;1) 62 x Giải. /435 // 325 // f 54xxy f2 20x12xy fe( 1;1) 36 x x xy // /// (4) fe2 ( 1;1) 6. 25 4 y f3 60x24xy f 120xy x xy3 (5) 3 (5) f32 480xy fA32(1; 1) 480. xy xy Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến • Định lý Schwarz VD 7. Đạo hàm riêng ()mn của 2xy là: zmmn 22( 2) ze Nếu hàm số có các đạo hàm riêng và xyx f(xy,) fxy fyx A. ( 1)2nm ne2xy; B. ( 1)2mm ne2xy; liên tục trong miền mở D  ¡2 thì ff . xyyx C. ( 1)2mme2xy ; D. ( 1)2nme2xy . Giải. Ta có zz(m n) ()mn. xm 22ynxxymn ze/2 2 xy ze// 222xy ze()m 2m2xy x x 2 xm Hermann Amandus Schwarz z(mm 1) 22me22x y ze(2) mxy (1843 – 1921) xmmyxy2 z()mn ( 1)2nmeD2xy . xymn Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến b) Định nghĩa 2.2. VI PHÂN • Nếu trong lân cận SM(,) với số gia x , y mà số 2.2.1. Vi phân cấp 1 0 gia f tương ứng có thể viết được dưới dạng a) Số gia của hàm số f A. x B.,y Or rxy ()(22 ) • Cho hàm số xác định trong lân cận f(xy,) SM(0,) trong đó AB, là những số chỉ phụ thuộc vào điểm của điểm . Cho một số gia và y một M0(xy00,) x x M(xy,) và hàm f(xy,), không phụ thuộc xy, số gia , khi đó hàm có tương ứng số gia: 000 y f(xy,) thì đại lượng A x By được gọi là vi phân của hàm số tại điểm . f f(x0 x, y0 y)f(xy00, ). f(xy,) M0(xy00,) • Khi đó, được gọi là khả vi tại điểm . f(xy,) M0(xy00,) Ký hiệu: df A. x By 3
4. 10/13/2012 Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến Nhận xét c) Định lý • Xét những điểm dịch chuyển M(x00 x, yy ) • Nếu hàm số f(xy, ) có các đạo hàm riêng trong lân cận trên đường đi qua M song song Ox . Khi đó y 0 : nào đó của và các đạo hàm riêng này liên tục 0 (xy00,) f f(x0 x, y0) f(x00, y) A. x Ox() tại thì khả vi tại . (xy00,) f(xy, ) (xy00,) f / . lim A Afx (xy00,) x 0 x 25xy f VD 8. Cho hàm f(x,)y xey. Tính df (1; 1). Tương tự, lim BBf/ (xy,). y 0 y y 00 /2xy /2 // Suy ra df(x, y) f(x, y). x f(x, yy). . fxx (2x x)efe(1; 1)3 xy Giải. . • Xét . f/ x2exy 5y4fe/2(1; 1)5 f(x, y) x df(x,)y x dxx yy Tương tự, dyy . Vậy df(1; 1) 3e22dx (e5)dy. Vậy df(x, y) fxy (x, y)dxf(x, y).dy Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến 2 2.2.2. Vi phân cấp 2 VD 9. Tính vi phân cấp 1 của hàm xy 2 . z esin()xy • Giả sử f(xy,) là hàm khả vi với xy, là các biến độc /222xy2 lập. Các số gia dx x, dyy tùy ý độc lập với Giải. z 2xsin(xy)ycos()xye , x nên được xem là hằng số đối với . Vi phân của 2 xy, xy, z/ sin(xy22)2xycos()xyexy . y df(xy,) được gọi là vi phân cấp 2 của f(xy,). Ký hiệu và công thức: Vậy 222xy2 dz 2xsin(xy)ycos()xyedx 222 df ddf f 22 dx 2.f dxdyf dy 2 xyxy sin(xy22)2xycos()xyexy dy . Chú ý • Nếu xy, là các biến không độc lập (biến trung gian) xx ( ,), yy ( ,) thì công thức trên không còn đúng nữa. Sau đây ta chỉ xét trường hợp xy, độc lập. Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến VD 10. Cho hàm số f(x,y)3 x2y3 xy2xy35. VD 11. Tính vi phân cấp 2 của hàm f(x,y) ln()xy2 . 2 Tính vi phân cấp hai df (2; 1). 2 y122xy Giải. Ta có ff// , xy22 f/ 29xy3 y2xy25 xyxyxy Giải. Ta có: x /2234 //12// // fy 3xy 2xy15xy . f22 ,ffxy 0, xyxy22 //35 // f22 2y 18xyf(2; 1)34 2 2222 xx Vậy df xdx2ydy . //224// f 6xy+2y 45xyf (2; 1) 170 xyxy //233 // f22 6xy+2x 60xyf(2; 1)460. yy Vậy d2f(2; 1) 34dx22 340dxdy460dy . 4
5. 10/13/2012 Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến 2.3. Đạo hàm của hàm số ẩn (hai biến) VD 12. Cho hàm ẩn z(xy,) thỏa phương trình: 2 • Hàm xác định trên thỏa phương trình // z(xy,) Dz  ¡ . Tính . xyz cos()x yz zzxy, F(x,y,z(x,y)) 0,(x,)y DD (*) được gọi là z Giải. Ta có F(x,y,z) xyz cos()x yz hàm số ẩn hai biến xác định bởi (*). F/ yz sin()x yz Giả sử các hàm trên đều khả vi, đạo hàm 2 vế (*) ta được: x / F xz sin()x yz F F .z 0,F Fz .0. y xzxyzy / F xy sin(x yz). z Fx Fy Vậy z ,zF 0. yz sin()x yz xFF yz Vậy z/ , zz x xy sin()x yz xz sin()x yz z/ . y xy sin()x yz Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến VD 13. Cho hàm ẩn z(xy,) thỏa phương trình mặt cầu: §3. CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN SỐ 222 / 3.1. Định nghĩa x y z 2x 4yz 6 20. Tính z . y • Hàm số đạt cực trị thực sự tại z f(xy,) M0(xy00,) Giải. Ta có 222 nếu với mọi điểm khá gần nhưng khác thì F x y z 2x 4yz 62 M(xy,) M0 hiệu có dấu không đổi. Fy/ 24 f f(x,y)f(xy00,) y / y 2 . / zy • Nếu f 0 thì là giá trị cực tiểu và là Fz 26 z 3 f(xy00,) M0 z điểm cực tiểu của z f(xy,). • Nếu thì là giá trị cực đại và là f 0 f(xy00,) M0 điểm cực đại của z f(xy,). Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến 2 3.2. ĐỊNH LÝ yy3 2 VD 1. Hàm số f(x,)y x22 y xyx a) Điều kiện cần 24 2 nên đạt cực tiểu tại . • Nếu hàm số đạt cực trị tại và f(x,y) 0, (xy,) ¡ O(0;0) z f(xy,) M0(xy00,) tại đó hàm số có đạo hàm riêng thì: // fxy(x0,y0) f(xy00,)0. • Điểm thỏa // được M0(xy00,) fxy(x0,y0) f(xy00,)0 gọi là điểm dừng, có thể không là điểm cực trị. M0 5
6. 10/13/2012 Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến b) Điều kiện đủ 3.3. Phân loại cực trị Giả sử có điểm dừng là và có đạo hàm z f(xy,) M0 • Trong không gian , riêng cấp hai tại lân cận của điểm M . Oxyz 0 xét mặt cong chứa Đặt //// // . S A f22(M), B f(M), CfM() xy0xy 00 đường cong ()C . 2 ABC 0 • Nếu fy()x, đạt cực tiểu tại M . • Chiếu lên mp 0 S Oxy A 0 2 ta được miền D  ¡ 2 và đường cong phẳng ABC 0 • Nếu fy()x, đạt cực đại tại M . . A 0 0 (): (xy,)0 • Nếu 2 không đạt cực trị tại . ACB 0 f()xy, M0 • Nếu ACB 2 0 thì ta không thể kết luận. Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến 3.4. Cực trị tự do • Khi đó, điểm là điểm cao nhất (hay thấp nhất) so PS1 Cho hàm số f(xy,) xác định trên D. Để tìm cực trị (tự với các điểm ở trong lân cận của nó và hình chiếu do) của f(xy,), ta thực hiện các bước sau: MD là được gọi là điểm cực trị tự do của hàm 1 • Bước 1. Tìm điểm dừng bằng cách giải hệ: f(xy,) xác định trên D (vì không phụ thuộc vào () ). M0(xy00,) f/(xy,)0 • Tương tự, điểm là điểm cao nhất (hay thấp x 00 PC2 () f/(xy,) 0. nhất) so với các điểm ở trong lân cận của nó và hình y 00 chiếu là điểm cực trị có điều kiện ràng buộc M2 () • Bước 2. Tính A f//(x,y), Bf//(xy,), bởi (): (xy,)0 của hàm f(xy,). x 2 00xy 00 C f//(xy,) ACB2. y2 00 • Bước 3. Dựa vào điều kiện đủ để kết luận. Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến VD 2. Tìm điểm dừng của hàm số z xy(1) xy. VD 3. Tìm cực trị của hàm z x22 y 428xy . /2 / z 0y 20xyy zx 2 40 Giải. Ta có x Giải. x là điểm dừng. / M(2; 1) z/2 0x 20xyx zy 2 20 y y 22 (x y) (xy )0 (x y)(xy 1)0 // . Az 2 ( 2;1) 20 2 2 x x 20xyx x 20xyx // Bz ( 2;1) 0 40. xy // Vậy hàm số có 4 điểm dừng: Cz ( 2;1)2 y2 11 M(0;0),M(0;1),MM(1;0),; . 1234 Vậy là điểm cực tiểu và . 33 M( 2; 1) zCT 3 Hình 1 6
7. 10/13/2012 Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến VD 4. Tìm cực trị của hàm số z x33 y 32xy . VD 5. Tìm cực trị của z 3x2y y3 332xy22 . /2/2 Giải. Ta có / zxy 3x 3y 0,z 3yx 30 z 6xyx 60 xy 01 Giải. x 22 MM(0;0),(1;1) là hai điểm dừng. z/ 3x22 3yy 60 3x 3yy 60 12 y Do z// 6x,z// 3,6zy// nên: là 4 điểm dừng. xy22xy M1(0;0),M2(0;2),MM34(1;1),(1;1) • Tại : M1 A CB 0, 30 Do //// // nên: z22 6y 6, z 6x, zy 66 không là điểm cực trị. xyxy M1 • Hai điểm không là điểm cực trị. MM34, • Tại : M2 A CB 6 0, 30 • Điểm là điểm cực đại và . M1 zCĐ 2 Vậy M (1;1) là điểm cực tiểu và z 3. • Điểm là điểm cực tiểu và . 2 CT M2 zCT 2 Hình 2 Hình 3 Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến VD 6. Cho hàm số 5020 . z xy (xy 0,0) 2 x 5 xy xy 50 x 5 y 2 M(5;2). Khẳng định đúng là: 2 y 2 xy 20 xy2 20 A. z đạt cực tiểu tại M(2;5) và giá trị cực tiểu z 39. B. z đạt cực tiểu tại M(5;2) và giá trị cực tiểu z 30. Vi phân cấp hai: //100/ // 40 z22 ,zzxy 1, C. z đạt cực đại tại M(2;5) và giá trị cực đại z 39. xyxy33 D. z đạt cực đại tại M(5;2) và giá trị cực đại z 30. AC BB2 30 . Giải. Ta có //5020 Hình 4 zxy y 0,0zx xy22 Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến 3.5. Cực trị có điều kiện a) Phương pháp khử • Từ phương trình ta rút hoặc thế vào • Cho hàm số f(xy,) xác định trên lân cận của điểm (xy,)0 x y , sau đó tìm cực trị của hàm một biến. thuộc đường cong . f(xy,) M0(xy00,) (): (xy,)0 Nếu tại hàm đạt cực trị thì ta nói là VD 7. Tìm điểm cực trị của hàm 2 thỏa điều kiện: M0 f(xy,) M0 z xy . điểm cực trị có điều kiện của f(xy,) với điều kiện xy 30 Giải. 32. (xy,)0. x y 3 0 y x 33 z xx Ta có z 3x2 6x 0 xx 2,0. • Để tìm cực trị có điều kiện của hàm số f(xy,) ta dùng • x 21 yz đạt cực đại tại điểm M ( 2;1). phương pháp khử hoặc nhân tử Lagrange. 1 • đạt cực tiểu tại điểm . x 03 yz M2(0;3) Hình 5 7
8. 10/13/2012 Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến b) Phương pháp nhân tử Lagrange Các vi phân dx, dy phụ thuộc vào điều kiện ràng buộc: / / f fy // Tại điểm cực trị (xy,) của f , gọi  x là d (x,y) (x,)ydx (x,y)dy 0(1) // 00 xy0000 xy (dx)2 (dy)2 0(2). nhân tử Lagrange. Để tìm cực trị ta thực hiện các bước: • Bước 1. Lập hàm phụ (hàm Lagrange): • Bước 4. Từ điều kiện ràng buộc (1) và (2), ta có: L(x,y,) f(x,y)  (xy,). Ø Nếu d2LM()0 thì f(xy,) đạt cực tiểu tại M . • Bước 2. Giải hệ: /// 0 0 Lxy 0, LL 0,  0 điểm dừng ứng với . Ø Nếu 2 thì đạt cực đại tại . M0(xy00,) 0 dLM(0)0 f(xy,) M0 • Bước 3. Tính vi phân cấp 2 tại ứng với : M0(xy00,) 0 Ø Nếu 2 thì không là điểm cực trị. dLM(0)0 M0 d2L(M) L//dx2 2.L//2dxdyL//dy 0 xy22xy Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến VD 8. Tìm điểm cực trị của hàm số f(x,y)2 xy với điều kiện xy22 5. Giải. Lập hàm Lagrange: x2 y2 5 (x,y)5 xy22 L(x,y,) 2x y (xy22 5). Tìm điểm dừng: / Lx 0 2 20 x / Joseph-Louis Lagrange Ly 0 1 20 y (1736 –1813) /22 L 0xy 50  Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến 1 VD 9. Tìm điểm cực trị của hàm thỏa điều kiện x z xy 22  1 xy M11(2; 1),  . 1 2 . 1 y 82 2 1 11 M22( 2; 1),  5 2 22 22 Giải. Ta có xy . 4 L(x,y,)1 xy  82 Vi phân cấp hai d2L(x,y) 2 ()dx22dy . xxy22 • d2L(M) (dx22 dyM)0 là điểm cực đại. L// y 0,L xy  0, 10 11 xy482 • 222 là điểm cực tiểu. dL(M22)0 dx dyM Hình 6 8
9. 10/13/2012 Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến Ø Chương 6. Phép tính vi phân hàm hai biến 2 M11(2; 1),  2 22 là điểm cực đại.  4 (*) dL(M11) 80dyM M22( 2; 1),  2 xy  . M( 2; 1),  2 • Tại các điểm MMM,, ta làm tương tự. 22 33 234 xy 48 M(2; 1),  2 44 Cách khác (dùng trong trắc nghiệm) 2 22 1 Vi phân cấp hai dL(x,y)2 dx dxdy dy . d2L(M) dx22 22dxdydy 4 1 2 • Tại : 21 22 (*). 1 2 M1 dL(M1) dx 22dxdydy dx 20dyM là điểm cực đại. 2 2 1 x Hình 7 Mặt khác, d (x,)y dxydy 4 . d (M1) 0 dx 20dy 9