Giáo trình Đại số tuyến tính - Nguyễn Duy Thuận (Phần 2)

pdf

204 trang hapham 70

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Đại số tuyến tính - Nguyễn Duy Thuận (Phần 2)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_dai_so_tuyen_tinh_nguyen_duy_thuan_phan_2.pdf

Nội dung text: Giáo trình Đại số tuyến tính - Nguyễn Duy Thuận (Phần 2)

Ch ươ ng V MA TR N M U Ta ã bi t ma tr n góp phn vào vi c nghiên c u lý thuy t h ph ng trình tuy n tính. Bây gi ta ti p t c tìm hi u ma tr n sâu h n n a; c bi t nghiên c u m i liên h gi a ma tr n và ánh x tuy n tính. Ta s th y rng, ma tr n và ánh x tuy n tính liên h m t thi t v i nhau. Khi ã c nh hai c s c a hai không gian vect thì m t ánh x tuy n tính gi a hai không gian y cho m t ma tr n và ng c l i, m t ma tr n xác nh mt ánh x tuy n tính duy nh t. Nh có ma tr n mà ta xác nh c giá tr riêng và vect riêng m t ánh x tuyn tính; do ó xác nh c nh ng không gian con b t bi n ng v i nh ng giá tr riêng. Ma tr n c ng xác nh nh ng d ng ánh x tuy n tính c bi t c dùng n ch ng Vi nh các phép bi n i i x ng, bi n i tr c giao. Trái l i, nh các vect riêng và giá tr riêng c a ánh x tuy n tính mà có th a ma tr n tr v d ng n gi n; ó là ma tr n chéo. Ni d ng c a ch ng này là: - Các phép toán trên các ma tr n; - Ma tr n ngh ch o c a m t ma tr n vuông; - Giá tr riêng, vect riêng; - Chéo hoá m t ma tr n. Bn c c n n m v ng nh ng v n này vì chúng c áp d ng vào ngay ch ng sau và trong nhi u l nh v c khoa h c khác. h c t t ch ng này b n c c n n m v ng nh ng ki n th c v không gian vect và ánh x tuy n tính. Trong cu n sách này ta kí hi u t p h p các ma tr n ki u (m,n) v i các thành ph n trong tr ng K b i Mat(m.n)( K). 183
§1. MA TR N C A M T ÁNH X TUY N TÍNH 1.1. nh ngh a. Gi ả sử V và W là hai K-không gian vect ơ v ới c ơ s ở lần l ượt là () = { 1, , 2, , n}, ( ) = { 1, 2, , m} f: V → W là m ột ánh x ạ tuy ến tính mà được g ọi là ma tr ận c ủa ánh x ạ tuy ến tính f đố i v ới hai c ơ s ở () và () Có th vi t g n các ng th c (1) nh sau: Chú ý: Vì ( ) là m t c s c a W nên các thành ph n an c xác nh duy nh t; do ó ma tr n A c xác nh duy nh t. Ví d ụ 1. Gi s I v = V → V là ng c u ng nh t c a không gian vect V, và ( ) = { 1, , 2, , n} là m t c s b t kì trong V. Khi ó: Do ó ma tr n c a IV i v i c s ( ) là: 184
I c g i là ma tr n n v . Ma tr n vuông I = (a ij ) c g i là ma tr n n v n u Ví d ụ 2. N u V, W là hai K-không gian vect v i dimV = n, dimW = m thì ng c u 0 có ma tr n i v i m i c s c a V và c a W là ma tr n O ki u (m,n) d i ây: O c g i là ma tr ận không, tc là ma tr n mà m i thành ph n u bng 0. Ví d ụ 3. Gi s trong R2 và R3 ã ch n các c s chính t c: 2 3 f: R → R xác nh b i f(a 1, a 2) = (a 1, 3a 2, a 2 - 5a 1). Khi ó: Do ó ma tr n c a f i v i hai c s này là Ví d ụ 4. Gi s P 3, P 2 là các không gian g m a th c 0 và các a th c thu c R[x] có b c t ng ng không v t quá 3, không v t quá 2. d: P 3 2 3 2 → P 2 là phép l y o hàm, ( ) = {1, x, x , x }, ( ) = {1, x, x } l n l t là c s c a P 3 và P 2. Th thì: d(1) = 0 = 0.1 +0x + 0x 2 d(x) = 1 = 1.1 + 0x + 0x 2 185
d(x 2) = 2x = 0.1 + 2x + 0x 2 d(x 3) = 3x 2 = 0.1 + 0x + 3x 2 Do ó ma tr n c a d i v i hai c s này là Trên ây ta ã th y khi ã c nh hai c s ( ) và ( ) c a V và W, thì m i ánh x tuy n tính f. V → W xác nh m t ma tr n duy nh t. Ng c l i ta s th y, khi ó m i ma tr n c ng xác nh ánh x tuy n tính duy nh t. 1.2. Liên h gia Hom K(V, W) v i Mat (m.n) (K) Mnh . Gi ả s ử V, W là hai K-không gian vect ơ và () = { 1, , 2, , n}, ( ) = { 1, 2, , m} lần l ượt là c ơ s ở c ơm ích c ủa V và W. Khi đó: 1) Mỗi ma tr ận ki ểu (m, n) xác định duy nh ất m ột ánh x ạ tuy ến tính f: V → W. 2) Có m ột song ánh Φ: Hom K(V, W) → Mat (m, n) (K). Ch ứng minh. 1) Gi s t a 1j 1 + a 2j 2 + ,+ a mj m}, v i m i j ∈ {1, 2, , n } thì theo nh lí 1.2, Ch.III, có ánh x tuy n tính f duy nh t xác nh b i Hn n a, ma tr n c a f là A. 2) C nh hai c s trong V và W. V i m i f ∈Hom K(V, W), f xác 186
nh m t ma tr n A duy nh t. Xác nh ánh x : Hom K(V, W) →→→ Mat (m, n) (K) b i (f) = A. Vi m i A ∈Mat (m, n) (K), có m t ánh x tuy n tính f duy nh t mà A là ma tr n c a nó; t c là (f) = A. Do ó là m t toàn ánh. Vì f c xác nh duy nh t b i A nên là n ánh. Vy là m t song ánh.  187
§2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN CÁC T P MA TR N Ta ã bi t trên t p h p Hom K(V, W) có phép c ng hai ánh x tuy n tính và phép nhân m t ánh x tuy n tính v i m t s . H n n a, khi ã c nh hai c s c a V và W, ta có song ánh : Hom K(V, W) → Mat (m,n) (K). Bây gi ta mu n nh ngh a các phép toán trên các ma tr n sao cho "phù h p" v i các phép toán trên các ánh x tuy n tính; ch ng h n ma tr n c a t ng hai ánh x ph i b ng t ng hai ma tr n c a nh ng ánh x y. 2.1. Phép c ng Mnh và nh ngh a. Gi ả s ử A = (a ij )(m,n) và B = (b ij )(m,n) l ần l ượt là các ma tr ận c ủa hai ánh x ạ tuy ến tính f, g ∈ Hom K(V, W) đối v ới hai cơ s ở (ε) và (ξ) đã ch ọn trong V và W. Thêm thì ma tr ận c ủa ánh x ạ tuy ến tính f + g đố i v ới hai c ơ s ở ấy là C = (a ij + b ij )(m,n). Ma tr ận C được g ọi là t ổng c ủa hai ma tr ận A và B, kí hi ệu là A + B. Ch ứng minh. Theo gi thi t Vy ma tr n c a f + g i v i hai c s ã cho là (a ij + bij )(m,n) . Quy tc c ng ma tr n. Muôn c ộng hai ma tr ận ta ch ỉ vi ệc c ộng các thành ph ần t ươ ng ứng (cùng dòng, cùng c ột) c ủa chúng: 188
2.2. Phép nhân m t ma tr n v i m t s Mnh và nh ngh a. Gi ả s ửa = (a ij )(m,n) là ma tr ận c ủa ánh x ạ tuy ến tính f ∈ Hom K(V, W ) đối v ới hai c ơ s ở (ε) và (ξ) đã ch ọn trong V và W k ∈ K. Th ế thì ma tr ận c ủa ánh x ạ tuy ến tính kf đối v ới hai c ơ s ở ấy là ma tr ận C = (ka ij )(m,n) . Ma tr ận C được g ọi là tích c ủa ma tr ận A v ới s ố k, kí hi ệu là kA. Ch ứng minh. Xin dành cho b n c. € Quy t c nhân ma tr n v i m t s . Mu ốn nhân m ột ma tr ận A v ới m ột số k ta ch ỉ vi ệc nhân s ố k v ới m ọi thành ph ần c ủa A. 189
2.3. Phép tr Định ngh ĩa. Ma tr ận (-1) A được g ọi là đối c ủa ma tr ận A. Kí hi ệu là –A. Với hai ma tr ận A và B, tổng A + (-B) được g ọi là hi ệu c ủa A và B. Kí ki ệu A - B. Nh v y, v i A = (a ij )(m,n) và B - (b ij )(m,n) ta có: - B = (- bij )(m,n) , A - B = (a ij -bij) (m,n) . 2.4. Không gian vect Mat (m,n) (K) Bn c có th d dàng ch ng minh r ng, c ng nh Hom K(V, W), tp h p Mat (m,n) (K) là m t K-không gian vect . Mnh . Phép c ộng ma tr ận và phép nhân m ột ma tr ận v ới m ột s ố thu ộc tr ường K có các tính ch ất sau: 1) A + B = B + A; 2) (A + B) + C = A + (B + C); 3) A + 0 = A; 4) A + (-A) = 0; 5) k(A + B) = kA + kB; 6) (k + 1)A = kA + lA; 7) (k1)A = k(1 a); 8) 1.A = A, ( 1 là đơ n v ị c ủa tr ường K), với m ọi A, B, C ∈ Mat (m,n) (K), mọi k, l ∈ K Nói g ọn, v ới phép c ộng hai ma tr ận và phép nhân m ột ma tr ận v ới một s ố, Mat (n.n) (K) là m ột K-không gian vect ơ. € 190
mãn iu ki n 2X + A = B. Gi ải. Áp d ng m nh 2.4, c ng - A vào hai v c a ng th c 2X + A - B, ta có : 2.5. Tích c a hai ma tr n Mnh 1. Giả s ử trong m ỗi không gian U, V, W đã ch ọn m ột c ơ s ở cô định, A = (a ij )(m,n) là ma tr ận c ủa ánh x ạ tuy ến tính f: V → W, B = (b jk )(n,p) là ma tr ận c ủa ánh x ạ tuy ến tính g: U → V. Th ế thì ma tr ận c ủa ánh x ạ tuy ến tính fg là ma tr ận Ma tr ận C được g ọi là tích c ủa hai ma tr ận A và B, kí hi ệu là AB. Ch ứng minh. Gi s ( ε) = { 1, , 2, , p} là c s c a U, ( ξ) = { 1, 2, , n} là c s c a V, ( ξ) = { 2, , m} là c s c a W. Theo nh ngh a ma tr n c a ánh x tuy n tính, ta có: 191
Quy t c nhân hai ma tr n. Mu ốn tìm thành ph ần c ik c ủa ma tr ận tích AB ta ph ải l ấy m ỗi thành ph ần a ij của dòng th ứ i trong ma tr ận A nhân với thành ph ần b jk c ủa c ột th ứ k c ủa ma tr ận B r ồi c ộng l ại. Có th mô t b i s sau: Chú ý: 1) Theo nh ngh a, tích AB ch c xác nh khi s c t c a ma tr n A b ng s dòng c a ma tr n B. 2) Phép nhân ma tr n không có tính giao hoán. 192
Ví d ụ 3. Gi s ( ε) = { 1, , 2, , n} và ( ξ) = { 1, 2, , n} là hai c s c a K-không gian vect V, T = (t ij ) là ma tr n chuy n t c s ( ε) sang c s ( ξ) (x 1, x 2, , x n), (y 1, y 2, , y n) l n l t là t a c a vect i v i c s ( ε) và c s ( ξ). Th thì theo nh lí 6.3, Ch. II: Nu vi t hai vect t a d i d ng ma tr n c t thì các ng th c trên ây có th vi t là: hay X = TY. Ví d ụ 4. Gi s hai K-không gian vect V và W có c s l n l t là (ε) = { 1, , n}, ( ξ) = { 1, , m} và ma tr n c a ánh x tuy n tính f 193
i v i hai c s này là ta c a vect ∈ V i v i c s ( ε) và t a c a f( ) i v i c s (ξ) c vi t d i d ng ma tr n c t l n l t là Th thì Mt khác n Suy ra y i = ai jx j , v i m i in {1, 2, , m}. iu này ch ng t Y = j=1 AX. 194
Ví d ụ 5. Xét h ph ng trình tuy n tính hay AX = b. Ví d ụ 6. Gi s A = (a ij )(m,n) và I n là ma tr n n v c p n. Khi ó: T ng t , n u I m là ma tr n n v c p m thì I mA = A. Mnh 2. Với các ma tr ận A, B, C và m ọi s ố k ∈ K, ta có các đẳng th ức sau (n ếu các phép toán có ngh ĩa): 1) Tính k ết h ợp: (AB)C = A(BC); 2) Tính ch ất phân ph ối c ủa phép nhân đố i v ới phép c ộng: A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC, 195
3) k(AB) = (kA)B = A(kB). Ch ứng minh. 1) Coi các ma tr n A, B, C l n l t nh ma tr n c a các ánh x tuy n tính h: U → X, g: W → U, f: V → W (v i c s ã ch n trong m i K-không gian vect V, W, U, X). Theo m nh 1, m c 2.5, (AB)C là ma trn c a ánh x tuy n tính (hg)f, còn A(BC) là ma tr n ca ánh x h(gf). Theo m nh 2, m c 3.4, Ch.III, (hg)f-h(gf). Nh song ánh : Hom K(V, X) ≅ Mat (m,q) (K), (trong ó m = dimX, q = dimV), suy ra (AB)C = ((hg)f) = h(gf)) = A(BC). 2) và 3) c ch ng minh t ng t . € 2.6. Th c hi n các phép toán ma tr n b ng máy tính b túi và mây tính in t a) Dùng máy tính b ỏ túi CASIO-fx570MS. Tính A + B, A - B, 6A. Gi ải. Tính A + B. • Ch n MODE ma tr n: MODE MODE MODE 2 • T o ma tr n A ki u (2,3) ma tr n,s 1 th hai là kí hi u ma tr n A). • Ch n các thành ph n c a A: • T o ma tr n B ki u (2,3): SHIFT MAT 1 2 2 = 3 = (s 2 th nh t là kí hi u ma tr n B) 196
• Th c hi n phép c ng: c a s máy tính xu t hi n: - 5. ó là thành ph n c c a t ng hai ma tr n. Nháy con tr sang ph i ta c thành ph n c 12 . Ti p t c nháy con tr sang ph i m i l n c m t thành ph n ti p theo. − 5 17 11 Ma tr n A + B = 10 − 7 29 - Tính A - B t ng t . - Tính 6A. • Ch n MODE ma tr n: • T o ma tr n A ki u (2,3) • Ch n các thành ph n c a A: Màn hình xu t hi n: 18. ó là thành ph n c c a ma tr n 6A. Nháy con tr sang ph i, m i l n c m t thành ph n theo th t : c 12 , c 13 , c 21 . Ví d ụ 2. Nhân ma tr n. Gi ải. Thao tác nh khi làm tính c ng. 197
Màn hình xu t hi n: 146. ó là thành ph n c c a tích. Ti p t c nháy con ch sang ph i l n l t ta c các thành ph n ti p theo c a ma tr n tích. b) Dùng máy tính điện t ử Ta th c hi n theo ch ng trình MATHEMATICA 4.0. A = {{3, 5,II}, {- 4, 0, 9}} ↵ Màn hình xu t hi n: Out[1]= {{3, 5,11}, {-4, 0, 9}} B={{ - 8, 12, O},{14, - 7, 20}} ↵ Màn hình xu t hi n: Out[2]= {{ - 8, 12, 0},{14, - 7, 20}} A+B//1MatrixForm ↵ Màn hình xu t hi n: A-B//MatrixForm ↵ Màn hình xu t hi n: 198
6A//MatnxForm ↵ Phép nhân c th c hi n b ng m i thao tác nh i v i phép c ng nh ng ph i thay d u c ng ( "+") b i d u ch m ("."). 199
§3. I S MATN(K) CÁC MA TR N VUÔNG C P N Ta kí hi u t p h p các ma tr n vuông c p n v i các thành ph n thu c tr ng K b i Matn(K). Theo m nh 2.4, Matn(K) là m t K-không gian vect . H n na, trong Matn(K) tích c a hai ma tr n b t kì luôn luôn xác nh; tuy nhiên, phép nhân không giao hoán. Theo m nh 2, m c 2.5, phép nhân có tính k t h p và phân ph i i v i phép c ng và có ma tr ận đơ n v ị Trong ví d 6, m c 3.1, ã ch ng minh ma tr n n v I có tính ch t: AI = A = IA, v i m i A ∈ Matn(K). Nh v y, Matn(K) là m t không gian vect ng th i là m t vành có n v , không giao hoán. Ng i ta nói, Mat n(K) là m t đại s ố trên tr ường K hay m t K-đại s ố. Vì m i ma tr n thu c A ∈ Mat n(K) là m t ma tr n vuông nên nó có nh th c |A|. Ta hãy xét m i liên h gi a nh th c và các phép toán trong Mat n(K). B n c có th cho nh ng ví d ch ng t r ng: v i A, B là hai ma tr n vuông c p n và s k ∈ K, nói chung: 1) |A + B| ≠ |A| + |B|. 2) |kA| ≠ k |A|. Trái l i, ta l i có: |AB| = |A|.|B| v i m i ma tr n A,B thu c Mat n(K). 3.1. nh th c c a tích hai ma tr n nh lí. Định th ức c ủa tích hai ma tr ận vuông b ằng tích các đị nh th ức c ủa hai ma tr ận ấy. Ch ứng minh. Gi s : 200
Ta xét nh th c Trong nh th c D, nh th c con góc trên bên trái là nh th c |A|, mi nh th c con khác t o b i n dòng u u b ng 0 vì có m t c t v i các thành phán u b ng 0; t ng t , nh th c con góc d i bên ph i là nh th c |B|, m i nh th c con khác t o b i n dòng cu i u b ng 0. Theo nh lí Laplace, D = (-1) 2(1+2+ +n) |A|.|B| = |A|.|B|. Bây gi nhân l n l t các dòng th n + 1 v i a 11 , dòng th n + 2 v i a12 , , dòng th n + j v i a 1j , dòng th 2n v i a 1n , r i c ng vào dòng u. Khi ó dòng u c a D bi n thành 0, 0, , 0, c 11 , c 12 , , c 1n . Tng quát, nhân dòng th n +1 v i a 1i , , dòng th n + i v i a ij , , dòng th 2n v i a in r i c ng vào dòng th i thì dòng th i trong D bi n thành 0, 0, , 0, c i1 , c i2 , , c in . Theo tính ch t c a nh th c, nh ng phép bi n i trên không thay i nh th c D. Do v y: 201
Bây gi trong n dòng u c a nh th c này có làm góc trên bên ph i, các nh th c con khác u b ng 0. Theo nh lí Laplace, Gi s trong hai K-không gian vect n chi u V và W c nh hai c s. N u A là ma tr n c a ng c u f. V ≅ W, B là ma tr n c a f 1 thì theo mnh 1 m c 2.5, AB là ma tr n c a ff -1 = 1w, BA là ma tr n c a f -1f : 1v. Vì ma tr n c a IV và ma tr n c a 1 w u là ma tr n n v I nên AB = I = BA. Ng i ta g i A và B là hai ma tr n ngh ch o c a nhau. 3.2. Ma tr n ngh ch o nh ngh a. Ma tr ận A ∈ Mat n(K) được g ọi là kh ả ngh ịch n ếu tồn tại một ma tr ận B ∈ Mat n(K) sao cho AB = I = BA. B được g ọi là ma tr ận ngh ịch đả o c ủa A, kí hi ệu B = A-1. Ví d ụ 1. Hi n nhiên I là ma tr n kh ngh ch vì I.I = I. Nh v y I là ma tr n ngh ch o c a chính nó. 2 5 Ví d ụ 2. Trong Mat 2(R) ma tr n A = có ma tr n ngh ch −1 − 3 -1 3 5 o A = . Th t v y, ta có: −1 − 2 202
Có nh ng câu h i t ra là: Có ph i m i ma tr n trong Mat n(K) u có ngh ch o không? N u có thì tìm ma tr n ngh ch o nh th nào? nh lí sau s tr l i nh ng câu h i này. nh lí . Ma tr ận vuông A có ma tr ận ngh ịch đả o khi và ch ỉ khi |A| = 0. Ch ứng minh. “” Gi s ma tr n A có ngh ch o là A 1. Khi ó theo nh lí 3.1, “⇐” Gi s l i bé 0 và Akj t b jk = trong ó A kj là là ph n bù i s c a thành ph n a kj c a A ma tr n A (xem nh ngh a 4.1, Ch. I). Xét ma tr n vuông B - (b jk ), hay Khi ó AB có thành ph n 203
Nh ng theo nh lí và h qu , m c 4.2, Ch.I, Ma tr n mà nh th c c a nó khác 0 c g i là ma tr ận không suy bi ến. Vi khái ni m này có th phát bi u nh lí trên nh sau: Một ma tr ận là kh ả ngh ịch khi và ch ỉ khi nó không suy bi ến. 3.3. Tìm ma tr n ngh ch o 1) Tìm ta tr ận ngh ịch đả o bằng đị nh th ức Ch ng minh nh lí trên ây cho ta cách tìm ma tr n ngh ch o c a mt ma tr n có nh th c khác 0. Ví d ụ. Tìm ma tr n ngh ch o c a ma tr n Gi ải. Tính nh th c lai Tìm các ph n bù i s A11 = 11, A 12 = - 3, A 13 = - 6, A 21 = -15, A 22 = 5, A 23 = 8, A 31 = - 3, A32 = 1, A 33 = 2. 204
• Thi t l p ma tr n ngh ch o 2) Tìm ma tr ận ngh ịch đả o b ằng các phép bi ến đổ i s ơ c ấp Nh c l i r ng, các phép bi n i sau ây trên m t ma tr n là nh ng phép bi n i s c p: 1) i ch hai dòng (hai c t) cho nhau; 2) Nhân m i thành ph n trong m t dòng (c t) v i cùng m t s khác 0; 3) Nhân m i thành ph n trong m t dòng (c t) v i cùng m t s r i cng vào thành ph n cùng c t (dòng) trong m t dòng (c t) khác. B n c có th t ki m tra r ng v i ma tr n A: Phép bi n i 1) chính là nhân ma tr n vào bên trái (ph i) c a A. Phép bi n i 2) chính là nhân ma tr n 205
vào bên trái (ph i) c a A. Phép bi n i 3) chính là nhân ma tr n vào bên trái (ph i) c a A. Hn n a d th y r ng các ma tr n P, Q, R, S u không suy bi n. Do ó ta có nh lí sau: nh lí. Nếu th ực hi ện nh ững phép bi ến đổ i s ơ c ấp nh ư nhau trên ma tr ận không suy di ễn A và ma tr ận đơn v ị I mà A bi ến thành I thì I bi ến thành A-1. 206
Ch ứng minh . Nh nh n xét trên khi th c hi n nh ng phép bi n i s c p trên các dòng c a ma tr n A th c ch t là nhân vào bên trái A m t s h u h n nh ng ma tr n d ng P, Q, R. G i B là tích c a nh ng ma tr n ã nhân vào bên trái A nh th c 1, ta có BA = I. Suy ra: B = A -1 Theo gi thi t, ta c ng ng th i nhân B vào bên trái c a I và c: BI = B =A -1. Ví d ụ. Tìm ma tr n ngh ch o c a ma tr n Gi ải. Ta vi t hai ma tr n A và I li n nhau. M i khi th c hi n m t phép bi n i s c p nào trên A thì c ng th c hi n ph p bi n i y trên I. Nhân dòng th nh t v i -3 r i c ng vào dòng th ba: 1 Nhân dòng th hai v i : 2 Nhân dòng th hai v i - 3 r i c ng vào dòng th nh t và nhân dòng th hai v i 8 r i c ng vào dòng th ba: 207
3 Nhân dòng th ba v i - r i c ng vào dòng th nh t, nhân dòng th 2 1 ba v i r i c ng vào dòng th hai: 2 Ta th y l i k t qu tìm c ví d trong m c 4.3. 3) Tìm ma tr ận ngh ịch đả o b ằng máy tính b ỏ túi và máy tính điện tử a) Dùng máy tính CASIO-fx-570MS. (Ch áp d ng c i v i ma tr n c p 2 và c p 3) Ví d ụ. Tìm ma tr n ngh ch o c a ma tr n Gi ải. • To ma tr n A nh th ng l : • Tìm ma tr n ngh ch o 208
Màn hình xu t hi n thành ph n ba c a ma tr n ngh ch o. Nháy con tr sang ph i m i l n ta c m t thành ph n ti p theo: b 12 , b 13, b 21 , b22 , Kt qu : b) Dùng máy tính điện t ử (theo ch ng trình "MATHEMATICA 4.0"). Ví d ụ. Tìm ma tr n ngh ch o c a ma tr n Gi ải. • To ma tr n B = {{3,1,0,7},{6,-2,2,1},{5,1,7,0},{-4,3,8,-5}} ↵ Màn hình xu t hi n: Out[1] = {{3,1,0,7},{6, - 2,2,1},{5,1,7,0},{- 4,3,8, - 5}} Tìm ma tr n ngh ch o: Inverse[B]//MatrixForm ↵ Màn hình xu t hi n: 209
ó là ma tr n ngh ch o B -1. 3.4. M t vài ng d ng u tiên c a ma tr n ngh ch o 1) Tìm ma tr ận chuy ển. Vì ma tr n chuy n t c s ( ε) sang c s ( ξ) và ma tr n chuy n t c s ( ξ) sang c s ( ε) là hai ma tr n c a hai ánh x ng c nhau nên nu T là ma tr n chuy n t c s (E) sang c s ( ε) thì ma tr n chuy n t c s ( ξ) sang c s ( ε) là T -1. Ví d ụ. Tìm ma tr n chuy n t c s ( ξ) g m các vect 1 = (1, 1, 0), 3 2 = (0, 1, 1), 3= (1, 0, 1) sang c s chính t c c a không gian R . Gi ải. D dàng tìm c ma tr n chuy n t c s chính t c ( ε) sang c s ( ξ) là: Tìm ma tr n ngh ch o c a T ta c ma tr n chuy n t c s ( ξ) sang c s chính t c là: 2) Gi ải h ệ Cramer Ví d 4, m c 2.5, ã cho cách vi t h ph ng trình d i d ng ma tr n AX = b trong ó A là ma tr n c a h ph ng trình, X là ma tr n c t các n, b là ma tr n c t các h ng t t do. T ó suy ra: X = A -1b. ng d ng này ch mang tính lý thuy t: nó ch ng minh r ng h Cramer có nghi m duy nh t. Trong th c hành, nó không em l i l i ích 210
gì h n cách gi i b ng nh th c. u m c này ta ã th y n u m t ng c u f xác nh b i ma tr n A thì A kh ngh ch. Bây gi ta ch ng minh y m t c tr ng c a ng cu b i ma tr n. 3.5. Ma tr n c a m t ng c u Mnh . Một ánh x ạ tuy ến tính là m ột đẳ ng c ấu khi và ch ỉ khi ma tr ận của nó không suy bi ến. Ch ứng minh. Gi s f. V → W là m t ánh x tuy n tính. C nh hai c s trong V và W. G i A là ma tr n c a f. Ta có dãy các t ng ng sau ây: -1 -1 f là ng c u ⇔ t n t i f = W → V v i ma tr n B sao cho f f = 1 v, -1 ff = 1 v v i ma tr n B sao cho BA= I = AB ⇔ A kh ngh ch ⇔ |A| ≠ 0 ⇔ A không suy bi n. 211
§4. S THAY I C A MA TR N C A M T ÁNH X TUY N TÍNH KHI THAY I C Ơ S - MA TR N NG D NG 4.1. S thay i c a ma tr n c a m t ánh x tuy n tính khi thay i c s Ma tr n c a ánh x tuy n tính f: V → W ph thu c vào hai c s c a V và W Ch ng h n, ví d 1, m c 1.1 cho th y ma tr n c a ng c u 1 v = V → V i v i c s ( ε) là ma tr n n v I. Gi s S = (s ij ) là ma tr n chuy n t c s ( ε) sang c s ( ε’). Khi ó ta có: iu này ch ng t ma tr n chuy n t c s ( ε) sang c s ( ε’) là ma trn c a ng c u ng nh t 1 v i v i hai c s ( ε’) và ( ε). Nh v y, ma tr n c a 1 v ã thay i khi i c s . Vy t ng quát, khi i c s thì ma tr n c a ánh x tuy n tính thay i nh th nào? nh lí . A và B là hai ma tr ận c ủa cùng m ột ánh x ạ tuy ến tính khi và ch ỉ khi t ồn t ại hai ma tr ận không suy bi ến S và T sao cho B = T-1AS. Ch ứng minh . “” Gi s A là ma tr n c a ánh x tuy n tính f: V → W i v i hai c s ( ε) và ( ξ) t ng ng trong V và W, B là ma tr n c a f i v i hai c s ( ε’) và ( ξ’). G i S là ma tr n chuy n t c s ( ε) sang c s ( ε’), T là ma tr n chuy n t c s ( ε’) và ( ε’). Nh trên ã nói, S là ma tr n c a ng c u ng nh t 1v i v i hai c s ( ε’) và ( ε). T ng t, T là ma tr n c a ng c u ng nh t 1 w i v i hai c s ( ξ’) và ( ξ). Hi n nhiên 1w.f = f = f .1v. Theo m nh 3.2, TB là ma tr n c a 1 w.f còn AS là ma tr n c a f.1 v i v i hai c s ( ε’) và ( ξ’). Nh v y: 212
TB = AS. Vì các ma tr n chuy n kh ngh ch nên t ó suy ra: B =T -1AS. “⇐” Gi s B – T -1AS, A là ma tr n c a f i v i hai c s ( ε) và ( ξ) S và T là nh ng ma tr n không suy bi n. Coi S và là ma tr n chuy n t c s ( ε) sang c s ( ε’) nào ó, còn T là ma tr n chuy n t c s ( ξ) sang c s ( ξ’) nào ó. Khi ó T -1 là ma tr n chuy n t c s ( ξ’) sang c s ( ξ). Theo nh n xét tr c nh lí, S và T -1 l n l t là ma tr n c a các ánh x tuy n tính 1 v và 1 w. Theo m nh 1, m c 2.5, B là ma tr n ca 1 w.f.1 v Nh ng 1 w.f.1 v = f nên B c ng là ma tr n c a f. Nói riêng, khi V = W và ( ε) = ( ξ), ( ε’) = ( ξ’) thì S = T và B = T -1AT. 4.2. Ma tr n ng d ng nh ngh a. Hai ma tr ận A và B được g ọi là đồng d ạng n ếu có m ột ma tr ận T sao cho B = T -1AT. Kí hi ệu A ~ B. Theo nh ngh a này, mu n tìm m t ma tr n ng d ng v i m t ma tr n A ch c n l y m t ma tr n T không suy bi n r i l y ma tr n tích T IAT. H qu . Hai ma tr ận đồ ng d ạng khi và ch ỉ khi chúng là hai ma tr ận của cùng m ột t ự đồ ng c ấu. Ví d ụ. Cho là ma tr n c a t ng c u f. V → V i v i c s { 1, 2} c a V. Tìm ma tr n c a f i v i c s g m các vect : Gi ải. Ma tr n chuy n t c s ( ε) sang c s ( ε’) là 213
nh ngh a 4.2 cho ta th y m t iu lí thú v m i liên quan gi a hai ma tr n c a cùng m t t ng c u i v i hai c s khác nhau. Bây gi ta mu n ti n xa h n n a: i v i m t t ng c u f: V → V ta mu n tìm mt c s ( ξ) = { 1, 2, , n} c a không gian V sao cho ma tr n c a nó có d ng " p nh t", ó là ma tr n A = (a ij ) có d ng Ta g i ó là ma tr ận chéo. Khi ó f( j) = a jj j và nói r ng j là m t vect riêng c a f, còn l i là giá tr riêng c a f ng v i vect j. 214
§5. VECT Ơ RIÊNG-GIÁ TR RIÊNG 5.1. Vect riêng- Giá tr riêng nh ngh a 1 . Gi ả s ử V là m ột không gian vect ơ, f: V → V là m ột t ự đồng c ấu. Vect ơ ≠ 0 của V được g ọi là m ột vect ơ riêng c ủa f n ếu t ồn tại m ột s ố ∈ K sao cho f( ) = k . Số k được g ọi là giá tr ị riêng c ủa f ứng v ới vect ơ riêng . Nêu A là ma tr ận c ủa t ự đồ ng c ấu f thì giá tr ị riêng c ủa f c ũng được gọi là giá tr ị riêng c ủa ma tr ận A. Ví d ụ 1. Cho phép bi n i tuy n tính f: R2 → R2 có ma tr n i v i c s chính t c ( ε) là f có hai giá tr riêng là k 1 = 1, k 2 = - 2, = (4, - 1) là vect riêng ng vi k 1, = (1, -1) là vect riêng ng v i k 2. Th t v y, vì f( 1) = 2 1 - 2, f( 2) = 4 1 - 3 2, = 4 1 - 2 nên Có nh ng t ng c u mà m i vect khác 0 u là vect riêng. Ví d ụ 2. Gi s f: V → V là m t t ng c u c a R-không gian vect V, xác nh b i f( ) = 3 , v i m i ∈ V. D ki m tra r ng f là m t t ng c u c a không gian vect V. Rõ ràng m i vect khác 0 c a V u là vect riêng ng v i giá tr riêng k = 3. 215
Li có nh ng t ng c u không có vect riêng nào. 2 2 Ví d ụ 3. T ng c u f: R → R xác nh b i f(a 1, a 2) = (- a 2, a 1) không có vect riêng nào. Th t v y, n u = ( a 1, a 2) là vect riêng ng vi giá tr riêng k thì k(a 1, a 2) = f(a 1, a 2) = (- a 2, a 1) hay (ka 1, ka2) = (- a 2, a1). Suy ra: Vì ≠ 0 nên, ch ng h n, a 1 ≠ 0. T các ng th c trên suy ra a 1 = - 2 k a1, kéo theo k 2 = - 1. ó là iu vô lí. Theo nh ngh a c a vect riêng ta th y r ng ng v i m t giá tr riêng có vô s vect riêng. Ch ng h n, n u là m t vect riêng ng v i giá tr riêng k c a t ng c u f: V → V thì m i vect c a không gian con U sinh b i c ng là vect riêng ng v i giá tr riêng k; h n n a f(U) ⊆ U. Th t v y, v i m i r ∈ U ta có: f(r ) = rf( ) = r(k ) = k(r ) ∈ U. Ng i ta n i U là m t không gian con b t bi n c a V i v i f. T ng quát ta có nh ngh a sau. nh ngh a 2 . Gi ả s ử f: V → V là m ột t ự đồ ng c ấu c ủa không gian vect ơ V. Không gian con W của V được g ọi là m ột không gian con b ất bi ến đố i v ới f n ếu v ới m ọi ∈ W ta đều có f( ) ∈ W. Bây gi ta xét t p h p các vect riêng ng v i m t giá tr riêng. Mnh . Gi ả s ử V là m ột không gian vect ơ, t ập h ợp gồm vect ơ 0 và các vect ơ riêng ứng v ới giá tr ị riêng k c ủa t ự đồ ng c ấu f: V → V là một không gian con b ất bi ến c ủa V và được g ọi là không gian riêng ứng v ới giá tr ị riêng k. Ch ứng minh . Gi W là t p h p g m vect 0 và các vect riêng ng vi giá tr riêng k c a f. Rõ ràng W ≠ ∅ vì 0 ∈ W. Gi s , ∈ W và r, s ∈ K. Vì f là ánh x tuy n tính nên: iu ó ch ng t r + s 1à m t vect riêng ng v i k. Do ó r + 216
s ∈ W. V y W là m t không gian con c a V. H n n a W b t bi n i vi fvì n u ∈ W thì f( ) = k( ) ∈ W. Các vect riêng ng v i các giá tr riêng phân bi t c a m t t ng cu liên quan v i nhau nh th nào? nh lí . Nếu 1, 2, , p là nh ững vect ơ riêng t ươ ng ứng v ới các giá tr ị riêng đôi m ột phân bi ệt k 1, k 2, , k p c ủa t ự đồ ng c ấu f thì chúng lập thành m ột h ệ vect ơ độc l ập tuy ến tính. Ch ứng minh . Ta ch ng minh b ng quy n p theo p. Khi p = 1, m nh úng vì 1 ≠ 0 . Gi s p > 1 và m nh úng v i p – 1. Ta ph i ch ng minh r ng nu có ng th c r 1 + r2 2 + + rp-1 p-1 + rp p = 0 (1) thì b t bu c r 1 = r 2 = = r p-1 = r p= 0. Vì i là nh ng vect riêng ng v i giá tr riêng k i nên tác ng f vào hai v c a ng th c (1) ta c: Bây gi nhân hai v c a (1) v i úp r i tr vào (2) ta có: Theo gi thi t quy n p, h vect { 1, 2,, , p-1} c l p tuy n tính. Do ó: r1(k 1 – k p) = r 2(k 2 – k p) =. = r p-1(k p-1 – k p) = 0. Vì các k i ôi m t khác nhau nên r 1 = r 2 = = ra = 0. Thay các giá tr này vào (1) ta l i có r p p = 0 . Nh ng p ≠ 0 nên r p = 0. Vy h vect { 1, 2,, , p} c l p tuy n tính. 5.2. Da th c c tr ưng - Cách tìm vect riêng tìm vect riêng ta ch c n tìm t a c a chúng i v i c s ã cho. 217
Gi s ma tr n c a t ng c u f. V → V i v i c s ( ε) là có t a là (x 1, x 2, , x n) là m t vect riêng ng v i giá tr riêng k khi và ch khi f( ) = k . Nh ng khi ó t a c a f( ) là (kx 1, kx 2, , kx n). Theo ví d 4, m c 2.5, C th h n là: hay Nói tóm l i là m t vect riêng ng v i giá tr riêng k khi và ch khi ta (x 1, x 2, , x n). C a nó là nghi m c a h ph ng trình ( ). Vì vect riêng khác 0 nên h ph ng trình này có nghi m không t m th ng. Do ó nh th c iu này ch ng t m t t ng c u mà ma tr n c a nó là A = 218
(a ij )(m,n) , có vect riêng khi và ch khi ph ng trình ( ) i v i n k có nghi m. nh th c D chính là nh th c c a ma tr n A - kI, trong ó I là ma tr n n v . nh th c này vi t c d i d ng m t a th c b c n c a k: |A – kI| = D = (-1) nkn +. + |A| . Chú ý r ng n u A và B là hai ma tr n c a cùng m t t ng c u thì có m t ma tr n không suy bi n T sao cho B = T -1AT. Do ó: Nh v y, i v i m t t ng c u, a th c nói trên không ph thu c vào c s c a không gian vect . nh ngh a. Gi ả s ử A là ma tr ận c ủa t ự đồ ng cấu f. Ma tr ận A - kI được g ọi là ma tr ận đặ c tr ưng, còn đa th ức |A – kI| = (-1) nkn+ + |A| được g ọi là đa th ức đặ c tr ưng c ủa t ự đồ ng c ấu f. T nh ng iu nói trên suy ra cách tìm vect riêng nh sau. Cách tìm vect ơ riêng. 1) Tìm nghi ệm c ủa đa th ức đặ c trưng (t ức là nghi ệm c ủa ph ươ ng trình ( )). Đó là các giá tr ị riêng, 2) Thay m ỗi giá tr ị riêng tìm được vào v ị trí c ủa k trong h ệ ( ) rồi gi ải h ệ này. M ỗi nghi ệm riêng c ủa h ệ là t ọa độ c ủa m ột vect ơ riêng ứng với giá tr ị riêng ấy. Không gian nghi ệm c ủa h ệ ( ) xác định không gian riêng ứng v ới giá tr ị riêng v ừa ch ọn. Ví d ụ 1. Cho phép bi n i tuy n tính f: R3 → R3 có ma tr n i v i c s chính t c là Tìm các giá tr riêng c a f và ng v i m i giá tr riêng tìm m t vect 219
riêng. Tìm các không gian b t bin t ng ng c a f. Gi ải. Gi i ph ng trình ta c: k 1 = - 3, k 2 = 1, k 3 = 3. • V i k 1 = 3, h ph ng trình ( ) là h : 6 7 Gi i h này c nghi m t ng quát là ( c, - c, c) . 5 5 Cho c 3 = 5 ta c m t nghi m riêng 1 = (6, - 7, 5). 6 7 Không gian b t bi n g m t t các các vect có d ng ( c, - c, c) hay 5 5 c (6, - 7, 5). ó là không gian sinh b i 1. 5 • V i k2 = 1, gi i h ta c nghi m t ng quát (- 2c 3, c 3, c 3). Cho c 3 = 1, c m t nghi m riêng 2 = (- 2, 1, 1). Không gian b t bi n t ng ng g m các vect có d ng c 3(- 2, 1, 1) = c3 2. V y không gian b t bi n này sinh bi 2. • V i k t = 3, gi i h 220
ta c nghi m t ng quát: (0, c, c). Cho c = 1 ta có m t vect riêng ng v i k 3 = 3 là 3 = (0, 1, 1). Không gian b t bi n t ng ng g m các vect có d ng: (0, c, c) = c(0, 1, 1) = c 3. V y không gian b t bi n này sinh b i 3. Vì ba vect riêng 1, 2, 2 t ng ng v i ba giá tr riêng phân bi t nên theo nh lí m c 5.1, chúng c l p tuy n tính. Vì dim R3 = 3 nên chúng t o thành m t c s c a R3. Ví d ụ 2. Cho t ng c u f: R3 → R3 có ma tr n i v i c s chính Tìm các giá tr riêng và v i m t không gian riêng tìm m t c s . Gi ải. Gi i ph ng trình ta c: k 1 = - 9, k2 = k 3 = 9. • V i k 1 = - 9, gi i h ta c nghi m t ng quát: (2c, c, 2c). Vì h ng c a ma tr n c a h ph ng trình này b ng 2 nên theo nh lí 3.2, Ch.IV, không gian riêng 3 W1 t ng ng (t c là không gian nghi m) có dimW 1 = dim R - 2 = 1. Do ó m t vect riêng b t kì là m t c s , ch ng h n, v i c = 1, = (2, 1, 2) là m t c s . • V i k 2 = 9, gi i h 221
ta c nghi m t ng quát: (c 1, - 2c 1-2c 3, c 3). H ng c a ma tr n c a h ph ng trình này b ng 1 nên không gian riêng t ng ng W 2 (không gian nghi m) có 3 dimW 2 = dim R - 1 = 2. Mt c s c a nó là m t h nghi m c b n c a h ph ng trình. Vi c 1 = 1, c 3 = 0 ta có nghi m riêng 1= (1, - 2, 0), v i c 1 = 0, c 3 = 1 ta có nghi m riêng 2 = (0, - 2, 1). H vect { 1, 2} là m t c s c a W2. 5.3. Tìm giá tr riêng và vect riêng b ng máy tính in t Ta l y l i hai ví d trong m c 5.2. Ví d ụ. Cho m t t ng c u có ma tr n a) Tìm giá tr riêng. b) Tìm vect riêng. Gi ải. a) Tìm giá tr ị riêng B={{1,- 4,- 8},{- 4,7,- 4},{- 8, - 4, 1}} ↵ Màn hình xu t hi n ma tr n: Out[1]={{1, - 4, - 8}, {- 4, 7, - 4},{- 8, - 4, 1}} Eigenvalues[B] ↵ Màn hình xu t hi n: Out[2]={-9,9,9}. b) Tìm vect ơ riêng: To các ma tr n nh trên. N u ã có ma tr n trên màn hình thì không cn t o n a. tìm vect riêng ánh l nh: Eigenvectors [B] ↵ 222
Màn hình xu t hi n: Out[]={{2,1,2},{-1,0,1},{-1,2,0}}. c) Tìm đồng th ời c ả giá tr ị riêng và vect ơ riêng {vals, vecs}=Eigensystem[B] ↵ Màn hình xu t hi n: Out[]={{-9,9,9},{{2,1,2},{-1,0,1},{-1,2,0}}} 223
§6. CHÉO HOÁ MA TR N Nh ã nói tr c §5, khi cho ma tr n c a m t t ng c u i v i mt c s nào ó, ta mu n tìm nh ng c s mà i v i chúng ma tr n ca t ng c u ã cho có d ng “ p nh t”- d ng chéo. Khi ó ta nói rng ma tr n ã cho chéo hoá c. 6.1. nh ngh a Một ma tr ận vuông được g ọi là chéo hoá được n ếu nó đồ ng d ạng v ới một ma tr ận chéo. Ví d ụ Ma tr n 1 −1 − 2 0 -1 chéo hoá c. Th t v y, v i T = và B = ta có: T = − 2 1 0 3 −1 −1 -1 và b n c có th ki m tra r ng A = T BT, ngh a là A ~ B. − 2 −1 Ph i ch ng m i ma tr n u chéo hoá c? Tr c h t ta th y: n u t ng c u có ma tr n chéo i v i m t c s nào ó thì m i vect c a c s y là m t vect riêng. Ta s th y iu ng c l i c ng úng. 6.2. iu ki n m t ma tr n chéo hoá ưc nh lí . Một ma tr ận vuông chéo hoá được khi và ch ỉ khi nó là ma tr ận c ủa m ột t ự đồ ng c ấu có m ột h ệ vect ơ riêng là c ơ s ở c ủa không gian. Ch ứng minh. Coi A nh ma tr n ca m t t ng c u f. V → V i vi c s ( ε). A là ma tr n vuông chéo hoá c khi và ch khi có m t ma tr n T sao cho: 224
Theo nh lí 5.1, iu này x y ra khi và ch khi B là ma tr n c a f i vi m t c s ( ε) mà f( j) = k j j, v i m i i ∈ {1, 2, , n}; ngh a là ( ε’) là mt c s g m nh ng vect riêng. H qu . Nếu A là ma tr ận vuông c ấp n mà đa th ức đặ c tr ưng |A – kI | có n nghi ệm phân bi ệt thì A chéo hoá được. Ví d ụ 1. Cho ma tr n a) Chéo hoá ma tr n. b) Gi s ma tr n chéo v a tìm c là B. Hãy tìm ma tr n T B = T-1AT. Gi ải. a) ví d 1 m c 5.2, ta ã th y, n u coi A nh ma tr n c a t ng c u f c a R3 i v i c s chính t c thì f có ba giá tr riêng phân bi t là : kì - - 3, k2 = 1, k3 = 3. Các vect riêng t ng ng: 1 = (6, - 7, 3 5), 2 = (- 2, 1, 1), 3 = (0, 1, 1) l p thành m t c s c a R . Theo ch ng minh c a nh lí 6.2. 3 b) G i T là ma tr n chuy n t c s chính t c c a R sang c s { 1, 2, 3}. Vì nên ma tr n chuy n t c s chính t c sang c s { 1, 2, 3} là 225
Theo ch ng minh nh lí 4.1, B = T -1AT. Bây gi ta xét tr ng h p a th c c tr ng c a ma tr n A có nghi m bi. Ch ng h n, 2 = k (k - 4) có nghi m n là kì 4, nghi m kép k 2 = k 3 = 0. Vi k 1 = 4, không gian riêng W 1 t ng ng g m các vect có d ng (3c, 2c, c) hay W 1 sinh b i vect (3,2,1). Do ó dimW 1 1. Vi k 2 = k 3 = 0, không gian riêng W 2 t ng ng g m các vect có dng (c, 2c, - c) hay c , 2, - 1); t c là W 2 sinh b i vect (1, 2, -1) và dimW 2 = 1. Vì A ch có hai giá tr riêng k = 0 và k = 4 nên n u A chéo hoá c thì A ng d ng v i ma tr n có d ng Nu A ng d ng v i B thì R3 có m t c s { 1, 2, 3} sao cho f( 1) = 0 = f( 2). Suy ra 1, 2 thu c không gian riêng W 2. Nh ng hai vect này c l p tuy n tính. Trái v i nh n xét trên r ng dimW 2 = 1. T ng t , n u A ng d ng v i C. V y A không chéo hoá c. Tóm l i, n u s b i c a nghi m riêng l n h n s chi u ca không gian riêng t ng ng thì ma tr n không chéo hoá c. Khi s b i c a mi nghi m riêng u b ng s chi u c a không gian riêng t ng ng thì sao? Ta có nh lí sau. 226
6.3. nh lí Gi ả s ửa là m ột ma tr ận vuông c ấp n; k 1, k 2, , k p là các nghi ệm c ủa đa th ức đặ c tr ưng \A – kI\, m i là s ố b ội c ủa nghi ệm k i, v ới m ọi i ∈ {1, 2, , p}, m1 + m 2+ + m p = n, tức là: và h ạng(A – k iI) = n - mi. Khi đó A chéo hoá được. Ch ứng minh. Gi s A là ma tr n c a t ng c u f: Rn → Rn i vi c s chính t c. G i W i là không gian riêng ng v i giá tr riêng ki. Vì h ng(A – k iI) = n - m i, nên theo nh lí 3.2, Ch. IV, dimW i = n – (n - m i) = m i. Vi m i i ∈ = {1, 2, , p}, ta ch n m t c s { i1 , i2 , , im i}} c a Wi. H vect c l p tuy n tính. Th t v y, gi s Vì i ∈ W i nên nó là vect riêng ng v i giá tr riêng k i. Nh ng các ki là nh ng giá tr riêng ôi m t phân bi t c a f. Theo nh h m c 5.1, h vect { 1, 2,, , p} g c l p tuy n tính . T (3) suy ra i = r 1i il + + rim i im i = 0. Theo cách ch n, h { i1 , i2 , , im i} c l p tuy n tính. Do ó các n h s r ij = 0, v i m i i ∈ {1, 2, , p} và m i j ∈ {1, 2, , m i}. Vì dim R = n và h (1) g m n vect riêng c l p tuy n tính nên nó là m t c s c a Rn. Theo nh lí 7.2, A chéo hoá c. 227
TÓM T T Ch ng này ã nêu lên các quy t c tính trên t p các ma tr n. Phép c ng hai ma tr n cùng ki u và phép nhân m t ma tr n v i m t s c th c hi n trên các thành ph n t ng ng. T p h p các ma tr n cùng ki u là m t K-không gian vect. Nhân ma tr n A = (a ij )(m,n) v i ma tr n B = (b jj )(n,p) c ma tr n C = (c ik )(m.p) vi Phép nhân có tính ch t k t h p nh ng không giao hoán. Tp h p các ma tr n vuông c p n v a là m t K - không gian vect va là m t vành, c g i là m t K - i s . Trong i s Mat n(K) có nh ng ma tr n kh ngh ch. ó là nh ng ma tr n có nh th c khác 0, g i là nh ng ma tr n không suy bi n. Ma tr n ngh ch o c a ma tr n A là ma tr n trong ó A ij là ph n bù i s c a thành ph n aij c a ma tr n A. Hai ma tr n vuông A và B c g i là ng d ng n u có ma tr n T sao cho B = T -1AT ây ta c ng ch ng minh c nh th c c a tích hai ma tr n b ng tích hai nh th c c a hai ma tr n y: |AB| = |A|.|B| Ma tr n có m i liên quan m t thi t v i ánh x tuy n tính: i v i hai c s ( ε) và ( ξ) t ng ng c a hai không gian V và W m t ánh x tuy n tính f: V → W xác nh và c xác nh b i m t ma tr n duy nh t A = 228
(a ij ) g i là ma tr n c a f i v i hai c s ( ε) và ( ξ). Nó tho mãn các ng th c: Nu A và B l n l t là hai ma tr n c a hai ánh x tuy n tính f và g thì A + B là ma tr n c a f + g, ma tr n AB là ma tr n c a fg (n u các phép toán có ngh a); n u k ∈ K thì k t là ma tr n c a ánh x tuy n tính kf. Nói riêng, i v i các t ng c u f : V → V, ta có khái ni m vect riêng và giá tr riêng. Vect ≠ 0 và f( ) = k vi m t s k nào ó c g i là m t vect riêng c a f, còn k c g i là giá tr riêng ng v i . Nh ma tr n A = (a ij ) c a f và nh th c |A – kI| ta tìm c các giá tr riêng c a f, ó là các nghi m c a ph ng trình |A – kI| = 0. Ma tr n A - kI c g i là ma tr n c tr ng, |A – kI| là a th c c tr ng c a f (hay ca ma tr n A) . Mu n tìm t a c a vect riêng ng v i giá tr riêng k, ta gi i h ph ng trình Tp h p W g m 0 và các vect riêng ng v i m t giá tr riêng là mt không gian con b t bi n i v i f, t c là f(W) ⊆ W. p vect riêng ng v i p giá tr riêng ôi m t phân bi t thì c l p tuy n tính. Do ó n u dimV = n và a th c c tr ng có n nghi m phân bi t thì V có m t c s g m các vect riêng. Ma tr n A c g i là chéo hoá c n u nó ng d ng v i m t ma tr n chéo. M t ma tr n chéo hoá c khi và ch khi nó là ma tr n c a mt t ng c u có m t h vect riêng là c s c a không gian V. 229
BÀI T P Tr c h t nh c l i r ng c s chính t c c a không gian vect Ra là c s g m các vect : §1. MA TR N C A ÁNH X TUY N TÍNH 1. Cho hai không gian vect V và W có c s l n r t là ( 1, 2, 3}, ( 1, 2, 1, 2,} và ánh x tuy n tính f: v → W xác nh b i: a) Tìm ma tr n c a f i v i hai c s ã cho. b) Cho = 3 2 + 3. Tìm nh f( ). 2. Cho ánh x tuy n tính f: R3 → R2 xác nh b i: f( 1) = (-2, 3), f( 2) = (0, 5), f( 3) = (7, - 1), trong ó { 1, 2, 3} là c s chính t c c a R3. a) Tìm ma tr n c a f i v i các c s chính t c c a hai không gian. b) Tìm vect f( ), v i = (5, -1, 1). 3. Cho ánh x tuy n tính f: R3 → R2 xác nh b i a) Tìm ma tr n c a f i v i hai c s chính t c ( ε) và ( ξ) c a hai 230
không gian. b) Tìm ma tr n c a f i v i c s ( ε’) g m các vect 3 ’1 = (1, 1, 0), ’2 = (0, 1, 1), ’3 = (1, 0, 1) c a R và c s chính tc ( ξ) c a R2. 4. Xác nh ánh x tuy n tính f : R3 → R3, bi t r ng ma tr n c a nó i v i c s chính t c c a R3 là Cho = (3, - 2, 0). Tìm f( ) i v i c s chính t c. 5. Cho là ma tr n c a ánh x tuy n tính f: V → W i v i c s { 1, 2, 3} ca v và c s { 1, 2} c a W, ∈ V có t a là (-1, 2, 3). Tìm t a ca f( ) i v i c s { 1, 2}. 6. Cho P 2, P 3 l n l t là nhng không gian con g m 0 và các a th c bc không v t quá 2, quá 3, ϕ: P 2 → P 3 là ánh x tuy n tính xác nh bi: ϕ(a + bx + cx 2) = a + (a + b)x + (b + c)x 2+ cx 3. 2 a) Tìm ma tr n c a ϕ i v i c s {1, x, x } c a P 2 và c s {1, x, 2 3 x , x } c a P 3. b) Cho = 2 - 5x + x2. Tìm t a c a ϕ( ) i v i c s ã cho câu a). 7. Cho phép bi n i tuy n tính f: R4 → R4 có ma tr n i v i c s chính t c là: 231
a) Tìm t a c a f( ), trong ó = (2, 5, 1, - 2). b) Tìm Kerf. §2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN T P CÁC MA TR N 8. Cho các ma tr n Tính : a) A + B - C; b) 2A - 7B; c) 3A + 5B - 2C. 9. Cho hai ma tr n: Tìm ma tr n X sao cho: a) A - X = B; b) 3B + 2X = A; C) 5X - 2A = 4B. 10. Cho hai ma tr n: Tìm ma tr n X trong m i tr ng h p sau: a) X = A + t B; b) 3 t B - 2X = 2A; c) 3X + t A - 2B = 0, (0 ây là ma tr n 0). 11 . V i iu ki n nào c a hai ma tr n A và B thì A + t B xác nh? tA 232
- B xác nh? 12. Cho: ln l t là ma tr n c a hai ánh x tuy n tính f và g ( i v i cùng nh ng c s ). Tìm ma tr n c a ánh x f- 2g. 13 . Nhân các ma tr n: 14. Cho hai ma tr n: Tính AB và BA. Có k t lu n gì v tính giao hoán c a phép nhân ma tr n? 15. Cho các ma tr n: a) Tính AB, BC. b) Tính (AB)C và A(BC). So sánh hai k t qu . 16. Cho ma tr n 233
Tìm t t c các ma tr n X sao cho AX = I, (I là ma tr n n v ). n 17. Gi s A là m t ma tr n vuông, f(x) = a 0 + a 1x + + anx , ta kí hi u n f(A) = a0I + a1A + + anA . Cho ma tr n 1 2 2 A = và a th c f(x) = x – 2x + 3. − 3 0 Tính f(A). 18. Cho AB là tích c a hai ma tr n A và B. Ch ng minh r ng: t(AB) = tB. tA. 19. Gi ( ε) và ( ξ) l n l t là c s chính t c c a hai không gian R4 và R3. Các ánh x tuy n tính f: R4 → R3, g: R3 → R3 xác nh b i: Tìm ma tr n c a ánh x gf i v i các c s chính t c ã cho. §4. I S CÁC MA TR N VUÔNG C P N 20 . Ch ng minh r ng v i A và B là hai ma tr n vuông c p n kh ngh ch ta có: 21. Cho các ma tr n Tính nh th c c a AB. 22. Tìm ma tr n ngh ch o c a các ma tr n sau: 234
23. Cho các ma tr n Tìm ma tr n X tho mãn ng th c AX + B - C. 24. a) Tìm m t ma tr n vuông A khác ma tr n 0, c p l n h n 1, mà A = 0. b) Ch ng minh r ng n u ma tr n vuông A tho mãn iu ki n A 2 = 0 thì I + A và I - A là hai ma tr n ngh ch o c a nhau, ( ây I là ma tr n n v ). 25. Ch ng minh r ng n u m t trong hai ma tr n A và B không suy bi n thì hai ma tr n AB và BA ng d ng. 26. Cho f: V → V là m t t ng c u có ma tr n i v i c s 235
Hãy tìm ma tr n c a f i v i c s ( ε’) g m các vect : 27. Trong không gian vect V cho c s ( ε) = { 1, 2, 3} và c s ( ε’) gm các vect : Ma tr n c a t ng c u y: V → V có ma tr n i v i c s ( ε’) là Tìm ma tr n c a f i v i c s ( ε). 28. f và g là hai t ng c u c a không gian vect R2. Ma tr n c a f 3 5 i v i c s g m hai vect 1 = (1, 2), 2 = (2, 3) là A = . Ma 4 3 tr n c a g i v i c s g m hai vect 1 = (3, 1), 2 = (4, 2) là B = 4 6 . Tìm ma tr n c a t ng c u f + g i v i c s { 1, 2}. 6 9 §5. VECT Ơ RIÊNG - GIÁ TR RIÊNG 29. Gi s A là ma tr n c a t ng c u f c a không gian vect V i vi m t c s ã ch n. Hãy xét xem trong m i tr ng h p sau vect nào là vect riêng: 236
30. Gi s là vect riêng c a hai t ng c u f và g ng v i hai giá tr riêng t ng ng là kì, k2' ch ng minh r ng a cng là vect riêng c a các t ng c u fg và f + g. Tìm các giá tr riêng ng v i a ca t ng t ng c u y. 31. Tìm vect riêng c a các t ng c u có ma tr n d i ây: 32. Tìm vect riêng và không gian riêng t ng ng v i m i giá tr riêng c a các t ng c u có ma tr n d i ây: 33. Hai ma tr n sau có ng d ng không: §6. CHÉO HOÁ MA TR N 34. Trong các ma tr n sau ma tr n nào chéo hoá c? N u c hãy a nó v d ng chéo. 237
35. Vi m i ma tr n A sau ây hãy tìm m t ma tr n T t|A| là m t ma tr n chéo: 36. Gi s A là ma tr n c a t ng c u f trong không gian R3 i vi c s chính t c. Hãy tìm m t c s c a R3 ma tr n c a f là ma tr n chéo: 37. Bài t p t ki m tra Cho f. R3 → R4 và g: R4 → R3 xác nh l n l t b i f(a 1, a 2, a 3) = (a 1, a 2, a 1 - a 2, a 3), g(a 1, a 2, a 3, a 4) = (a 1 + a2, a 3, a 4). a) Tìm ma tr n c a f và ma tr n c a g i v i các c s chính t c trong R3 và R4. b) Tìm ma tr n c a gf và fg i v i các c s chính t c. c) Trong hai ng c u gf và fg, ánh x nào là ng c u? Tìm ma tr n ca ánh x ng c c a ng c u. d) Tìm m t c s c a Ker(fg), m t c s c a Im(fg). e) Tìm các giá tr riêng và các không gian con b t bi n t ng ng c a gf và c a fg. 238
f) Trong hai ma tr n c a gf và fg, ma tr n nào chéo hoá c? Hãy chéo hoá trong tr ng h p có th . 239
VÀI NÉT L CH S Ma tr n ã có t r t s m. Trong cu n "C u ch ng toán s " ng i Trung Qu c ã dùng ma tr n gi i ph ng trình vô nh. Còn Châu âu l n u tiên ma tr n xu t hi n vào th k XIX, trong công trình c a nhà toán h c Anh tên là J. J. Sylvester (1814-1897) v vi c gi i h ph ng trình tuy n tính (tuy nhiên lúc ó ch a có tên ma tr n). Chính Sylvester c ng ã nh ngh a khái ni m h ng c a ma tr n. V sau, Kelly (1821-1895), nhà toán h c Anh ã a ra các quy t c tính trên các ma tr n. Các công trình c a Sylvester và Kelly có liên quan n nh th c. Kronecker (nhà toán h c c (1823-1891)) và Capelli (nhà toán h c Italia) c ng ã dùng ma tr n nghiên c u lý thuy t h ph ng trình tuy n tính. Ngày nay, ma tr n c ng d ng r ng rãi trong toán h c tính toán, trong V t lý, trong Kinh t và trong nhi u ngành khoa h c khác. 240
Ch ươ ng VI DNG SONG TUY N TÍNH DNG TOÀN PH ƯƠ NG M U Trong Hình h c, khi nghiên c u nh ng ng b c hai, m t b c hai, vi c a ph ng trình c a chúng v d ng chính t c có m t ý ngh a r t quan tr ng, vì d ng chính t c ta d nh n bi t d ng và các c tính c a chúng, phân lo i chúng. Công vi c này th c hi n c nh nh ng khái ni m v d ng nh : d ng tuy n tính, d ng song tuy n tính, d ng toàn ph ng, và khái ni m không gian vect Ơclit. Nh v y vi c nghiên c u Hình h c c th c hi n b ng nh ng ph ng ti n i s . B n c s th y r ng ph ng ti n này t ra r t h u hi u. Mt ánh x tuy n tính t m t K-không gian vect n K-không gian vect K c g i là m t d ng tuy n tính. M r ng khái ni m này ta có nh ng khái ni m: d ng song tuy n tính, d ng song tuy n tính i x ng, dng song tuy n tính thay phiên, d ng toàn ph ng. L i nh khái ni m dng song tuy n tính i x ng và d ng toàn ph ng mà ta s nh ngh a c khái m m tích vô h ng trong không gian vect - m t khái ni m ã c làm quen t khi h c l p 10 tr ng Trung h c Ph thông. Tích vô hng giúp ta xây d ng không gian vect Ơclit. Khi h c ch ng này các b n c n n m c: - Các khái ni m d ng tuy n tính, d ng song tuy n tính, d ng toàn ph ng; - Các ph ng pháp a m t d ng toàn ph ng v d ng chính t c; - nh lí quán tính c a d ng toàn ph ng; - Khái ni m không gian vect Ơclit; - Khái ni m h c s tr c chu n và cách d ng m t h c s tr c chu n; m t s ng d ng c a nh ng ki n th c nói trên ng th i v n d ng 241
c nh ng ki n th c này trong vi c h c t p Hình h c và m t s môn hc liên quan khác. h c t p ch ng này c d dàng, b n c c n n m v ng các ki n th c v không gian vect , ánh x tuy n tính, ma tr n. §1. D NG TUY N TÍNH VÀ D NG SONG TUY N TÍNH 1.1. nh ngh a, ví d nh ngh a. Gi ả s ử V là không gian vect ơ. 1) Ánh x ạ f : V → R được g ọi là m ột d ạng tuy ến tính trên V n ếu: 2) Ánh x ạ ϕ: V × V → R được g ọi là m ột d ạng song tuy ến tính trên V nếu: với m ọi , 1, 2, , 1, 2 thu ộc V và m ọi k ∈ R. 3) Dạng song tuy ến tính được g ọi là đối x ứng n ếu: Dạng song tuy ến tính ϕ được g ọi là thay phiên n ếu: n Ví d ụ 1. Vi V = R , = (a 1 , a n) ' v i m i i = 1, 2, , n, ta có phép n n chi u f i t R n R xác nh b i fi( ) = a i là d ng tuy n tính trên R . Ví d ụ 2. Ký hi u P n là không gian véc t g m a th c 0 và các a n i th c m t n x có b c bé h n ho c b ng n, v i h s th c, = aix . i=0 242
n Ánh x f : P n → R, xác nh b i f ( ) = ai ; là m t d ng tuy n tính i=0 trên P n. 2 2 2 Ví dụ 3. Vi V = R , = (a 1, a 2), = (b 1, b 2). Ánh x : ϕ = R × R a a → R, xác nh b i ϕ( , ) = 1 2 ( nh th c c p hai), là m t d ng b1 b2 song tuy n tính thay phiên. Th t v y, v i b t k = (a 1, a 2), = (b 1, b 2), ’ = (a' 1, a' 2), ’ = 2 (b' 1, b' 2) ∈ R và k ∈ R ta có: Hn n a ta có ϕ( , ) = -ϕ( , ) n n Ví d ụ 4. Ánh x ϕ = R × R → R xác nh b i ϕ( , ) = x 1y1 + x2y2 + . + xnyn, v i = (x 1, x 2, , x n), = (y 1, y 2, , y n), là m t d ng song tuy n tính i x ng trên Rn. Ví d ụ 5. Gi s V là không gian các vect (hình h c) có chung g c O. Ánh x ϕ t V × V vào R xác nh nh sau: Vi OA = , OB = , ϕ( , ) = | | | | là cos ( , ) (tích vô h ng ca và ), là m t d ng song tuy n tính i x ng. Th t v y, nh ã bi t trong giáo trình hình h c tr ng ph thông, v i ký hi u , là tích vô h ng c a hai vect và , ta có: 243
Nh ận xét: - M t d ng tuy n tính trên V th c ch t là m t ánh x tuy n tính t V vào R, ó R c xét nh m t không gian vect trên chính nó - Ánh x ϕ : V × V → R là m t dạng song tuy ến tính trên V n u và ch n u nó là d ng tuy n tính trên V i v i bi n x khi ta c nh bi n y và t ng t là d ng tuy n tính trên V i v i bi n y khi ta c nh bi n x. - M i d ng song tuy n tính trên V u có th bi u di n c thành tng c a m t dng song tuy n tính i x ng và m t d ng song tuy n tính thay phiên trên V. Th t v y: v i ∀ , ∈ V t : D dàng ch ng minh c ϕ1 là d ng song tuy n tính i x ng và ϕ2 là d ng song tuyn tính thay phiên th a mãn ϕ = ϕ1 + ϕ2. nh lý 1. Gi ả s ử V là không gian vect ơ n chi ều v ới c ơ s ở là { 1, , 2 , , n}. Ánh x ạ f : V → R là m ột d ạng tuy ến tính trên V khi và ch ỉ khi n n tồn t ại n s ố th ực c1, , c n sao cho f ( ) = a jcj với m ọi = ai i ∈ V. i=1 i=1 Khi đó f ( i) = c i, với m ọi i = 1, , n và f là d ạng tuy ến tính duy nh ất trên V th ỏa mãn điều ki ện này. Ch ứng minh. ây là tr ng h p c bi t c a nh lý v s xác nh mt ánh x tuy n tính (Ch.III). nh lý 2. Gi ả s ử V là không gian vect ơ n chi ều v ới c ơ s ở là {{ 1, , 2, , n}. Ánh x ạ ϕ : V × V → R là m ột d ạng song tuy ến tính trên V khi 2 và ch ỉ khi t ồn t ại n s ố th ực {d ij | i, j =1, 2, , n} sao cho ϕ( , ) = 244
n n n n xi y jdij với m ọi = xi i , = yi i ∈ V. Khi đó ϕ( i, j) = i=1 j=1 i=1 i=1 dij , với m ọi i, j = 1, , n và ϕ là d ạng song tuy ến tính duy nh ất trên V th ỏa mãn điều ki ện này. Ch ứng minh . Gi s ϕ là m t d ng song tuy n tính tùy ý trên V. V i mi c p (i, j), i, i =1, , n t ϕ( i, j) = d ij . Khi ó v i hai vect b t 2 Ng c l i, gi s t n t i n s th c {d ij | i, i = 1, 2, , n } sao cho ánh x ϕ t V × V vào R tho mãn iu ki n trong nh lí. Khi ó v i b t k T ng t ta c ng ch ng minh c ϕ( , + )= ϕ( , ) + ϕ( , ) và ϕ( , k ) = k ϕ( , ). Do ó ϕ là m t d ng song tuy n tính trên V. Khi = i, = j thì x i = 1 và x t = 0 v i t ≠ i, y j = 1 và y h = 0 v i h ≠ i. Vì v y ta có : ϕ( i, j) = d ij v i m i c p (i, j). Gi s ψ là m t d ng song tuy n tính trên V th a mãn ψ( i, j) = d ij , 245
n n khi ó v i hai vect b t k = xi i , = yi i ∈ V ta có: i=1 i=1 n n ψ( , ) = xi y jdij = ϕ( , ). V y ψ = ϕ. nh lý c ch ng i=1 j=1 minh. Ví d ụ: n Xét V = R , và { 1, , 2, , n} là c s chính t c c a V. D ng song n tuy n tính ϕ trên R xác nh b i ϕ( , ) = x 1y1 + x2y2 + + xnyn, v i = (x 1, x 2, , x n), = (y 1, y 2, , y n) ∈ V là d ng song tuy n tính duy nh t n trên R th a mãn ϕ ( 1, 2) = δij , trong ó δij = 1 khi i = j và δij = 0 khi i ≠ j. 1.2. Ma tr n c a d ng song tuy n tính nh ngh a. Gi ả s ử { 1, , 2, , v} là m ột c ơ s của không gian vect ơ n chi ều V trên tr ường s ố th ực R, ϕ là m ột d ạng song tuy ến tính trên V, ký hi ệu ϕ( i, j) = aij ∈ R, ∀ i, j = 1, 2, , n. Ma tr ận vuông c ấp n sau đây được g ọi là ma tr ận c ủa d ạng song tuy ến tính ϕ đối v ới cơ sở { 1, , 2, , v} đã cho Nh ận xét: Gi s V là không gian vect v i c s { 1, , 2, , n} và A = (a ij )n là ma tr n c a d ng song tuy n tính ép trên V. Khi ó v i n n = xi i , = yi i ∈ V, áp d ng nh lý 2, m c 1.1, ta có: ϕ( , ) = i=1 i=1 n n aij xi y j . i=1 j=1 Nh v y, n u bi t ma tr n c a d ng song tuy n tính q) i v i m t c s nào ó, thì ta có th xác nh nh ϕ ( , ) c a c p ( , ) tu ý; ngh a là: m t d ng song tuy n tính c hoàn toàn xác nh b i ma tr n ca nó i v i m t c s ã cho. 246
Ví d ụ 1. Trong Ví d 3 c a m c 1.1, n u ch n c s c a R là 1 = (1, 0), 2 = (0, 1 thì Ví d ụ 2. Trong ví d 4 ca m c 1.1, n u ch n c s c a V là hai vect OI = i , OJ = j , trong ó | i | ⊥ | j | = = 1 thì: Do ó ma tr n c a ϕ là 1.3. Liên h gi a hai ma tr n c a cùng m t d ng song tuy n tính i v i hai c s khác nhau Theo nh ngh a, ma tr n c a d ng song tuy n tính thay i khi ta i c s c a không gian vect . Ta hãy xét m i liên quan gi a hai ma tr n ca cùng m t d ng song tuy n tính i v i hai c s khác nhau. nh lý . Gi ả s ử (ε) = { 1, , 2, , n}, ( ξ) = { 1, 2, , n} là hai cơ s của cùng m ột R-không gian vect ơ n chi ều V, A = (a ij )n và B = (b ij )n lần l ượt là các ma tr ận c ủa d ạng song tuy ến tính ϕ trên V đối v ới các c ơ sở t ươ ng ứng (ε) và (ξ), T = (t ij )n là ma tr ận chuy ển t ừ ( ε) sang ( ξ). Khi đó B = tTAT. Ch ứng minh . Vì T là ma tr n chuy n t c s ( ε) sang ( ξ) nên 247
n Ta có c ki = akl tlj là ph n t dòng k c t j trong ma tr n tích AT và l=1 ' ma tr n (tik )n là ma tr n chuy n v c a ma tr n T, nên b ij = n n n ' ' tik akl tlj = tik ckj là ph n t dòng th i và c t th j c a ma tr n tích k=1 l=1 k =1 tTAT. V y B = tTAT. Ví d ụ. Trên không gian vect R3 trên tr ng s th c R cho d ng song tuy n tính ϕ xác nh nh sau: V i = (x 1, x 2, x 3), = (y 1, y 2, y 3), i v i c s ( ε): 1 = (1, 0, 0), 2 = (0, 1, 0), 3 = (0, 0, 1), ϕ có ma tr n là Nu xét c s ( ξ) : ( ξ) = (1, 1, 1), 2 = (1, 0, 1), 2 = (0, - 1, 1) thì 1 1 0 ma v n chuy n t c s ( ε) sang ( ξ) là T = 1 0 −1 1 1 1 Ma tr n c a ϕ i v i c s ( ξ) s là: 248
Cng có th tìm ma tr n B b ng cách tính tr c ti p b ij = ϕ( i, j). Ch ng h n b 13 = ϕ( 1, 3) = 2.1.0 +1(-1)= 1.1 - 3.1.1 = -1 -1 - 3 = -5. §2. D NG TOÀN PH ƯƠ NG 2.1. nh ngh a nh ngh a. Ánh x ạ Γ : V → R (R là tr ường s ố th ực) được g ọi là m ột dạng toàn ph ươ ng trên V nếu t ồn t ại m ột d ạng song tuy ến tính f trên V sao cho Γ( ) = f( , ) với m ọi ∈ V. Khi đó f được g ọi là d ạng song tuy ến tính sinh ra d ạng toàn ph ươ ng Γ. Ví d ụ: Dng song tuy n tính f( , ) = 3x1y2 - x 2y1, v i m i vect = (x 1, x 2), = (y 1, y2) ∈ R 2, sinh ra d ng toàn ph ng Γ( ) = 2x 1x2. Nh ận xét (i) Có th có nhi u d ng song tuy n tính cùng sinh ra m t d ng toàn ph ng. Ch ng h n, n u f là m t d ng song tuy n tính không i x ng, t g( , ) = f( , ), ∀ , ∈ V thì các d ng song tuy n tính f và g trên V cùng sinh ra m t d ng toàn ph ng, nh ng f ≠ g. (ii) Ta có th ch ng minh t n t i t ng ng 1-1 gi a các d ng toàn ph ng trên V và các d ng song tuy n tính i x ng trên V; ngh a là n u Γ là m t d ng toàn ph ng trên V thì t n t i m t và ch m t d ng song tuy n tính i x ng ϕ sinh ra Γ. Th c v y, gi s f là d ng song tuy n tính nào ó sinh ra d ng toàn 1 ph ng Γ, ∀ , , ∈ V, t ϕ( , ) = {Γ( + ) - Γ( ) -Γ( )}. Có 2 th th y ngay ϕ là m t d ng song tuy n tính i x ng trên V sinh ra Γ. Gi s ψ c ng là m t d ng song tuy n tính i x ng trên V sinh ra Γ. Khi ó ∀ , ∈ V ta có: Vì v y d ng song tuy n tính i x ng ψ hoàn toàn c xác nh b i r qua công th c: 249
Dng song tuy n tính i x ng ϕ sinh ra d ng toàn ph ng r c gi là dạng c ực ca Γ. (iii) T nh lý m c 1.2 suy ra r ng n u V là không gian vect n chi u v i c s là { 1, , 2, , n} thì ánh x Γ : V → R là m t d ng n n toàn ph ng trên V khi và ch khi Γ( ) = aij xi y j vi m i = i=1 j=1 n xi i ∈ V, trong ó a ij (i, j = 1, 2, , n) là dãy các s th c xác nh. i=1 2.2. Ma tr n c a d ng toàn ph ư ng nh ngh a. Gi ả s ử Γ là d ạng toàn ph ươ ng t ươ ng ứng v ới d ạng song tuy ến tính đối x ứng ϕ. Ma tr ận c ủa ϕ đối v ới c ơ s { 1, , 2, , n} cũng được g ọi là ma tr ận c ủa d ạng toàn ph ươ ng Γ đối v ới c ơ s ấy. Nh vậy nên A = (a ij )n là ma tr ận c ủa d ạng toàn ph ươ ng Γ đối v ới cơ s { 1, , 2, , n}, thì A có tính ch ất aij = ϕ( i, j) = ϕ( j, i) = ai;. Ma tr ận có tính ch ất này được g ọi là ma tr ận đố i x ứng. n n n Với = xi i , bi ểu th ức Γ( ) = aij xi y j được g ọi là bi ểu th ức i=1 i=1 j=1 tọa độ c ủa Γ. Ví d ụ. Ánh x Γ : R3 → R xác nh nh sau: 2 2 2 Vi = (x 1, x 2, x 3), Γ ( ) = 2x 1 - 2x 1x2 + 4x 1x3 - x 2 + 3x 3, là m t dng toàn ph ng ng v i d ng song tuy n tính i x ng q) xác nh bi: ây = (y 1, y 2, y 3). i v i c s ( ε) : 1 = (1, 0, 0), 2 = (0, 1, 0), 3 = (0, 0, 1), ϕ và Γ có ma tr n là: Vì ma tr n c a d ng toàn ph ng là i x ng, t c là a ij = a ji , nên i 250
n n n vi = xi i , bi u th c t a Γ( ) = aij xi y j có th vi t là: i=1 i=1 j=1 Ch ng h n i v i d ng toàn ph ng trong ví d ta có: Ng c l i, n u d ng toàn ph ng Γ c xác nh b i ng th c 2.3. D ng toàn ph ư ng xác nh nh ngh a. Dạng toàn ph ươ ng Γ trên không gian vect ơ V được g ọi là xác định n ếu: Γ( ) = 0 kéo theo = 0 . nh lý. Nếu Γ là m ột d ạng toàn ph ươ ng xác định thì rắn có cùng một d ấu v ới m ọi a ∈ V. Ch ứng minh . C nh vect ≠ 0 , v i b t k c a V, ta xét bi u th c: trong ó ϕ là d ng song tuy n tính i x ng t ng ng c a Γ. Nu có giá tr x = k ∈ R (k ≠ 0) sao cho = k thì Do ó Γ( ) cùng d u v i Γ( ). Nu ≠ v i m i x ∈ R, t c là - x ≠ 0 thì vì Γ là d ng toàn ph ng xác nh nên 251
iu này có ngh a là ph ng trình x 2Γ( ) - 2x ϕ( , ) + Γ( ) = 0 i v i n x vô nghi m. Vì th ∆’ = [ ϕ( , ]2 - Γ( ) Γ ( ) 0 ( Γ( ) < 0 ) với m ọi ≠ 0 thu ộc V. H qu . Nếu Γ là m ột d ạng toàn ph ươ ng xác định d ươ ng (âm ) trên không gian vect ơ V và W là m ột không gian con c ủa V thì thu h ẹp c ủa Γ trên W (ký hi ệu là Γ| W ) cũng là m ột d ạng toàn ph ươ ng xác định d ươ ng (âm ) trên W. §3. Ư A D NG TOÀN PH ƯƠ NG V D NG CHÍNH T C 3.1. nh ngh a Gi ả s ử Γ là m ột d ạng toàn ph ươ ng trên không gian vect ơ V. N ếu đố i với c ơ s ở (ξ) = { 1, 2, , n} của V bi ểu th ức t ọa độ c ủa Γ là thì bi ểu th ức này được g ọi là d ạng chính t ắc c ủa d ạng toàn ph ươ ng Γ. Trong tr ường h ợp này ma tr ận c ủa d ạng toàn ph ươ ng Γ đối v ới c ơ s ở (ξ) là m ột ma tr ận chéo (a ij = aji = 0 v ới i ≠ j ). Vi ệc đổ i c ơ s ở đế n m ột d ạng toàn ph ươ ng đã cho đối v ới cơ sở mới có d ạng chính t ắc được g ọi là đư a d ạng toàn ph ươ ng v ề d ạng chính t ắc. 3.2. nh lý Mọi d ạng toàn ph ươ ng đều đưa được v ề d ạng chính t ắc. Ch ứng minh . Gi s Γ là m t d ng toàn ph ng trên không gian vect V. Ta ch ng minh nh lý b ng quy n p theo s chi u n c a V. 252
Nu n > 1 thì Γ có bi u th c t a d ng Γ( ) = ax 2. ó là úng chính t c. Gi s n > 1 và m nh úng v i (n - 1), h n n a i v i c s ( ε) = n n { 1, , 2, , n} c a V, Γ có bi u th c t a Γ( ) = aij xi y j , v i i=1 j=1 n = xi i . i=1 a) Tr ường h ợp có m ột a ii ≠≠≠ 0. Gi s a 11 ≠ 0, ta vi t Γ( ) d i d ng: 253
Công th c t a (I) có th vi t thành: Công th c bi n i t a (II) cho ta ma tr n Mà nh th c |T| = 1 ≠ 0. Do ó theo công th c liên h t a c a i v i hai c s khác nhau thì T là ma tr n chuy n t c s ( ε) sang c n s ( ξ) = { 1, 2, , n}, mà i v i nó = y j n . Gi W là không gian i=2 n vect con c a V sinh b i các vect { 2, , n}. t = y j n ∈ W, ta i=2 n 2 có bi u th c Γ’( ) = kizi + 2 bij yi y j xác nh d ng toàn ph ng i=2 2≤i≤ j≤n thu h p c a Γ trên W. Theo gi thi t qui n p, Γ’ có th a v d ng chính n 2 tc Γ’( ) = kizi . i=2 n 2 t a 11 = k 1, y 1 = z 1, ta có: Γ( )= kizi . i=2 b) Tr ường h ợp a ii = 0 v ới m ọi i = 1, 2, , n. Trong tr ng h p này bi u th c t a c a Γ là Γ (a ) = aij xi x j . 2≤i≤ j≤n Hi n nhiên ph i có m t a kh ≠ 0. Bi n i t a : Phép bi n i t a này xác nh ma tr n: 254
Vi |S| = 2 ≠ 0. S l i là ma tr n chuy n t c s ( ε) sang m t c s n (ζ) mà i v i nó = y j n và bi u th c t a c a Γ có d ng: i=2 t b kk = 2a kh ≠ 0, ta l i tr v tr ng h p a). nh lý c ch ng minh. H qu . Gi ả s ử r là m ột d ạng toàn ph ươ ng có d ạng chính t ắc Γ( ) = n 2 kizi . Th ế thì Γ là d ạng toàn ph ươ ng xác định d ươ ng khi và ch ỉ khi k 1 i=2 > 0, với m ọi i = 1, , n. Ch ứng minh . “” Gi s Γ là xác nh d ng và trong bi u di n chính t c i v i m t c s nào ó có m t h s , ch ng h n k 1 0 v i m i i = 1, , n. “⇐” Hi n nhiên. Có nhi u ph ng pháp khác nhau a m t d ng toàn ph ng v dng chính t c: ph ng pháp chéo hóa ma tr n, ph ng pháp Jacobi Quy trình rút g n d ng toàn ph ng trình bày trong nh lý trên c g i là ph ng pháp Lagrange. ây là ph ng pháp dùng liên ti p nhi u phép bi n i tuy n tính a m t d ng toàn ph ng v dng chính t c. Ví d ụ: a d ng toàn ph ng sau trên R3 v d ng chính t c 255
3 Ví d ụ 2. a d ng toàn ph ng Γ( ) = 4x 1x2 + 3x 2x3 trên R v d ng chính t c. Gi ải. Khi ó ta có: 256
2 2 Ta c Γ( ) = 4 z1 - 4 z2 2 2 3 Ví d ụ 3. a d ng toàn ph ng Γ( ) 2 x1 + 3x 1x2 + 4x 1x3 + x 2 + x 3 trên R3 v d ng chính t c. ta nh n d c bi u th c c a Γ i v i c s m i ( ) = { 1, 2, 3} là: 3.3. D ưa d ng toàn ph ư ng v d ng chinh tác b ng máy tính in t Ta có th s d ng ph ng pháp Lagrange v i s h tr c a ph n mm toán Maple d a bi u th c t a c a d ng toàn ph ng v d ng chính t c. Quy trình c th nh sau: 257
Tr c tiên ta ph i s d ng hai l nh t o môi tr ng tính toán là: >restart; >with(student); [D,Diff, Int, Limit, Lineint, Product, Sum, Tripleint, Changevar, Completesquare, Distance, Equate, Integran , Intercept, Intpart, leftbox, leftsum, makeproc, mi dlebox, middlesum, midpoint, powsubs, rightbox, rightsum, showtangent, símpon, slope, summand, trapezoid] Trong quá trình bi n i c n chú ý phân bi t tr ng h p a 1i ≠ 0 v i a ii = 0. 2 2 3 Ví d ụ 1. a d ng toàn ph ng Γ( ) = x1 + 5 x 2 - 4 x 3 + 2x 1x2 - 3 4x 1x3 trên R v d ng chính t c. Ta s d ng l nh c a Maple theo t ng b c sau: Bước 1: ánh l nh >completesquare(x1^2+5*x2^2-4*x3^2+2*x1*x2-4*x1*x3,x1); 2 2 Ta nh n c Γ( ) = (x 1 + x 2 – 2x 3) + 4 x 2 + 4x 2x3 – 8 x 3 Ta t y 1 = x 1 + x2 - 2x 3. Bước 2: ánh l nh sau: > completesquare(y1^2+4*x2^2+4*x2*x3-8*x3^2,x2); 1 2 2 2 Ta nh n c: Γ( ) = 4(x 2 + x3) - 9 x + y1 . 2 3 1 Ta t ti p : y 2 = x 2 + x3, y 3 = x 3. 2 Ta nh n c bi u th c chính t c c a d ng toàn ph ng r là: 2 2 2 Ví d ụ 2. a d ng toàn ph ng Γ( ) = x1 + 4 x 2 + x 3 + 4x 1x2 + 3 2x 1x3 + 2x 2x3 trên R v d ng chính t c. Ta s d ng l nh c a Maple theo t ng b c sau: Bước 1 : ánh l nh 258
Bước 2. Ti p t c th c hi n l nh > completesquare(y1^2-2*(y2+y3)*(y2-y3),y2), Chú ý. gi l i c h ph ng trình bi u di n các phép bi n i, ta c n ghi l i phép t n ph trong quá trình làm các câu l nh c a Maple. Nh vy, sau khi ti n hành gi i bài toán b ng ph ng pháp Lagrange, ta có th ki m tra l i t ng b c c a các phép bi n i ã làm. Trong m t s tr ng h p quá khó, ta có th s d ng Maple tìm tr c kt qu sau ó a ra các phép bi n i cho phù h p. 3.4. nh lý quán tính Mt d ng toàn ph ng có th có nhi u d ng chính t c. Song chúng có m t im chung c th hi n b i nh lý sau: nh lý 1 . (1ut quán tính) Trong hai d ạng chính t ắc b ất k ỳ c ủa cung m ột d ạng toàn ph ươ ng s ố các h ệ s ố d ươ ng b ằng nhau, s ố các h ệ s ố âm b ằng nhau. 2 2 2 2 Ch ứng minh . Gi s : Γ ( ) = a 1 x1 + + ar x r – b 1 x r +1 - – b 3 x r +3 là d ng chính t c c a Γ i v i c s ( ε') = { 1, , 2, , n}, trong ó a i > 0, i = 1, r, b j > 0, j = 1, , s. 2 2 2 2 Γ(c) = c 1 y1 +. + ct yt – d 1 yt +1 - . - d u yt +u , là d ng chính t c c a r i v i c s ( ζ) = { 1, 2, , n}, trong ó c k > 0, k = 1, , t, d 1 > 0, l = 1, , u. Ta ph i ch ng minh r = t, s = u. Gi s r 0. T ó suy ra dimW + dimU = n + t - r > n = dimV. 259
Do dimW + dimU - dim (W ∩ U) = dim (U + W) ≤ dimV, nên dim (W ∩ U) ≥ dimW + dimU - dimV = n + t - r - n = t - r > 0. Vì th : W ∩ U ≠ { 0 }. Gi s ∈ W ∩ U và ≠ 0 , ó là iu không th c. V y r ≥ t. Thay i vai trò c a r và t, ta li suy ra t ≥ r. Do ó r - t. Cng l p lu n nh v y i v i s và u, ta c u = s. nh lý trên ây c g i là lu ật quán tính ca d ng toàn ph ng. phát bi u m t tiêu chu n c a d ng toàn ph ng xác nh d ng ta a ra khái ni m sau. i v i ma tr n vuông mi nh th c c g i là m t định th ức con chính ca ma tr n A. nh lý 2 . Gi ả s ửa là ma tr ận c ủa d ạng toàn ph ươ ng Γ trên không gian vect ơ n chi ều V. Khi đó Γ là d ạng toàn ph ươ ng xác định d ươ ng n ếu và ch ỉ nên m ọi đị nh th ức con chính c ủa A đề u d ươ ng. Ch ứng minh . Gi s Γ là d ng toàn ph ng trên V và A là ma tr n ca nó i v i c s ( ε) = { 1, , 2, , n}. Gi V k là không gian con c a V, sinh b i các vect { 1, , 2, , k} 260
(k = 1, 2, , n). Khi ó thu h p c a r trên V k (ký hi u là Γ|Vk là m t d ng toàn ph ng v i ma tr n “” N u Γ xác nh d ng thì Γ|Vk, c ng xác nh d ng. Do ó D k > 0 V i m i k = 1, 2, , n. “⇐” Gi s D k > 0 v i m i k = 1, 2, , n. Ta s ch ng minh Γ là dng toàn ph ng xác nh d ng b ng qui n p theo n. Vi n = 1, D 1 = a 11 > 0, bi u th c c a d ng toàn ph ng là Γ( ) = 2 a11 x1 > 0. Gi s v i m i n > 1, iu kh ng nh úng v i in - 1). Khi ó d ng toàn ph ng Γn-1 = Γ|Vn-1 có ma tr n là A n-1. Theo gi thi t, các nh th c con chính c a A n-1 u d ng. Do ó, theo gi thi t qui n p, Γn-1. Xác nh d ng. Vì th có m t c s { 1, 2, , n-1} c a V n-1 Sao cho r n-1 có dng chính t c, trong tr ng h p này ta có Γn-1( ) = k i > 0, i = 1, 2, , n-1. Khi ó i v i c s { 1, 2, , n} Γ có ma tr n Trong ó b in = b in = ϕ( i, n), v i ϕ là d ng song tuy n tính i x ng t ng ng c a Γ. vi 261
Tìm c c s ( ζ) = { 1, 2, , n} c a V, i v i nó, ma tr n c a Γ Có d ng: Gi T là ma tr n chuy n t c s ( ε) sang c s ( ζ) ta có C = T -1AT. -1 -1 Do ó: k 1 k n-1 k n = |C| = |T |.|A|.|T| = |T |.|T|.|A| = |A|. Vì |A| > 0 theo gi thi t và k i > 0, v i i = 1, 2, , n- nên | A | kn = > 0. Nh v y i v i c s ( ζ), Γ có d ng Γ({ 1, 2, , k1 k 2 k n−1 n 2 m}) = kizi , trong ó k i > 0 v i m i i = 1, 2, , n. V y Γ là d ng toàn i=1 ph ng xác nh d ng. §4. KHÔNG GIAN VECT Ơ ƠCLIT 4.1. nh ngh a không gian vect Ơclit nh ngh a. 1) Dạng song tuy ến tính đố i x ứng ϕ trên không gian vect ơ V được gọi là m ột tích vô h ướng trên V n ếu ∀ ≠ 0 thu ộc V ta có ϕ ( , ) > 0. Với , ∈ V, số th ực ϕ ( , ) được g ọi là tích vô h ướng c ủa và , kí hi ệu b ởi . . N ếu = , thay cho . ta vi ết 2 2) Không gian vect ơ V được g ọi là m ột không gian vect ơ Ơclit n ếu 262
trên V có m ột tích vô h ướng. Chú ý: Trên cùng m t không gian vect th c V có th xác nh nhi u tích vô h ng khác nhau, và ta có th nh n c nh ng không gian vect Ơclit hoàn toàn khác nhau. Ví d ụ 1. Xét không gian V các vect hình h c có chung g c O. Trong không gian này, d ng song tuy n tính ϕ c xác nh b i: ϕ(OA , OB ) = | OA |. | OB |cos ( OA , OB ), là m t tích vô h ng trên V, v i tích vô hng ó, V là m t không gian vect Ơclit. Ví d ụ 2. Trên không gian Rn, d ng song tuy n ϕ c xác nh b i ϕ( , ) = x 1y1 + x2y2 + + xnyn, v i = (x 1, x 2, , x n) = (y 1, n y2, , y n), là m t tích vô h ng và R là m t không gian vect Ơclit, tích vô h ng này c g i là tích vô h ng chính t c. 4.2. C s tr c chu n nh ngh a. Gi ả s ử E là m ột không gian vect ơ Ơclit. 1) Hai vect ơ , của E được g ọi là tr ực giao n ếu . = 0; kí hi ệu là ⊥ . 2 2) Với m ỗi ∈ E ta g ọi () là chu ẩn c ủa vect ơ , kí hi ệu | |. Nếu | | = 1 thì ta nói là vect ơ định chu ẩn. 3) Cơ s ở (ε) = { 1, , 2, , n} c ủa không gian vect ơ Ơclit E được gọi là m ột c ơ s ở tr ực chu ẩn n ếu i, j = δij . (Trong đó δij là ký hi ệu Kronecker th ỏa mãn δij = 1 khi i = j , δij = 0 khi i ≠ j). Ví d ụ 1. Trong không gian V c a ví d 1, m c 4.1, 3 vect tu ý OI , OJ , OK ôi m t vuông góc và có dài b ng 1 l p thành c s tr c chu n. Ví d ụ 2. Trong không gian vect Ơclít Rn ví d 2, m c trên, c s là m t c s tr c chu n. C s ( ε) c g i là c s chính t c c a không gian vect Ơclit Rn. Ví d ụ 3. H vect 263
là m t c s tr c chu n trong không gian R3. Vect = (1, 4, 3) ∈ R3 có bi u th c t a i v i c s ( ) nh sau = 4. 1 + 2 2 . 2 - 2 3 véc t có t a i v i c s ( ) là = (4, 2 2 - 2 ). Ta có | | = 26 . nh lý 1 . Gi ả s ử E là m ột không gian vect ơ Ơclit. Khi đó: 1) V ới ∈ E, || || = 0 khi và ch ỉ khi = 0 . 2) Với m ọi ∈ E, mọi k ∈ R ta có ||k || = |k| .|| ||. 3) Với m ọi , ∈ E ta có | . | ≤ || ||.|| ||, (b ất đẳ ng th ức Cauchy Bunhiakovsky). 4) Với m ọi , ∈ E ta có || + || ≤ || || + || ||, (b ất đẳ ng th ức tam giác). Ch ứng minh . Gi ϕ là tích vô h ng trên E. 1) Hi n nhiên n u = 0 || || = 0. Ng c l i n u || || = 0 thì ϕ( , ) = 2 = || || 2 = 0. T ó suy ra suy ra = 0 (do tính xác nh c a ϕ). 2) Rõ ràng: ||k || = (k )2 = k 2 ()2 = |k|. ()2 = |k|.|| ||. 3) V i m i , ∈ E, v i m i giá tr c a x ∈ R ta có: 0 ≤ || - x || 2 = 2 – 2x . + x 2 2. Do ó ∆' = ( . ) - 2. 2 ≤ 0 | . | ≤ ()2 . ()2 Vy | . | ≤ || ||.|| ||. Du b ng x y ra khi = k. (hai vect , là ph thu c tuy n tính). 264
Du b ng x y ra khi = k. (v i k ≥ 0). nh lý 2 . Mọi h ệ g ồm nh ững vect ơ khác không, đôi m ột tr ực giao của mt không gian vect ơ Ơclit đều độ c l ập tuy ến tính. Ch ứng minh . Gi s 1, 2, , , n là nh ng vect khác không, ôi r mt tr c giao c a không gian vect Ơclit E, xét ng th c kii = 0 . i=1 Vi m i j, j = 1, , r ta có Vì j ≠ nên || || ≠ 0 nên ta có k j = 0. V y k j = 0 ∀ j = 1, , r. Vy h véc t 1, 2, , r là c l p tuy n tính. nh lý 3 . Mọi không gian vect ơ Ơclit n chi ều (n ≥ 2 ) đều có c ơ s ở tr ực chu ẩn. Ch ứng minh. Ta ch ng minh b ng qui n p theo n. Vi n = 1 d dàng ch ng minh c m nh . Vi n = 2, gi s 1, 2 là m t c s nào ó c a không gian vect Ơclit E. Tìm vect có d ng: = x 1 1 + 2, tho mãn iu ki n: ⊥ 1, Nh v y: = 2 – ( 2, 1) 1 hoàn toàn c xác nh. 265
t: E2 = , hi n nhiên || 2|| = 1, do 2 ⊥ 1 nên theo nh lý 2 ta c h vect { 1, 2} là c l p tuy n tính, do ó là m t c s tr c chu n c a không gian Ơclit 2 chi u E. Bây gi gi s E là không gian vect Ơclit n-chi u v i n > 2 và m nh ã c ch ng minh v i m i không gian có s chi u ≤ (n - 1). G i F là m t không gian con (n – 1) chi u c a E. Theo gi thi t qui n p F có mt c s tr c chu n, ch ng h n: { 1, , 2, , n-1}. n−1 Ly tùy ý n ∈ E\F. Tìm vect n có d ng: n = xi i + n, tho i−1 n−1 mãn iu ki n: n. j = 0 (v i m i j = 1,2, , n - 1). Suy ra xi i j + i−1 n j = 0, j =1,2, , n - 1. Vì i j = δij nên ng th c trên ch là: xj + n j = 0. Nh v y n c hoàn toàn xác nh b i các x j = - n j v i m i j = 1, 2, , n - 1. n t: n = , hi n nhiên l n || n|| = 1, ta c m t h tr c chu n n gm n vect { 1, 2, n-1, n}. H n n a theo cách xác nh véc t ta có n ⊥ i (i = 1, , n - 1 ) nên theo nh lý 2, h { 1, 2, n-1, n} là c l p tuy n tính. Vì dimE = n nên nó là m t c s tr c chu n c a E. Vi c xây d ng h tr c chu n trên ây c g i là quá trình tr ực chu ẩn hoá Giam - Smit. Quá trình tr c chu n hoá có th xu t phát t m t c s b t k ( ) = 1 { 1, 2, , , n} cho tr c. Khi ó ta xác nh 1 = sau ó theo 1 ph ng pháp trên ta xác nh 2 thông qua 1 và 2, , xác nh i thông qua 1, , i-1 và i, , và cu i cùng xác nh n qua 1, , n-1 và n. Công th c t ng quát c a quá trình tr c chu n này là: 266
Ta nh n c h { 1, , 2, , n} là c s tr c chu n c n tìm. nh lý 4 . Nếu (ε) = { 1, , 2, , n} là m ột c ơ s ở tr ực chu ẩn c ủa không gian Ơclit n chi ều E, thì v ới ∀ ∈ E ta có : Ch ứng minh . Vì ( ε) = { 1, , 2, , n} là c s c a E nên có s bi u di n duy nh t d i d ng: Vi m i i = 1, 2, , n, nhân vô h ng hai v c a ng th c trên v i i; ta có: Vy có d ng c n ch ng minh. Nh v y, n u ( ε) = { 1, , 2, , n} là c s tr c chu n c a không gian cht n chi u E, thì ta có th xác nh ngay t a c a m t véc t b t k i v i c s ã cho, ó là ( 1, 2, , ) ; ngh a là = (x i) v i xi = i, i = 1, , n. Ví d ụ: Trong không gian Ơclit R3 (v i tích vô h ng chính t c) xét 4 3 3 4 h vect sau: 1 = (0, 1, 0) ; 2 = (- , 0, ). 3 ( , 0, ). D dàng 5 5 5 5 3 ki m tra c h vect 1, 2, 3 là m t c s tr c chu n c a R . bi u di n véc t = (1, 4, 7) là m t t h p tuy n tính c a c s trên ta th c hi n nh sau: 267
4.3. Không gian con bù tr c giao Nh ận xét: Gi s F là m t không gian con c a không gian vect Ơclit E. T p h p H = { ∈ E | ⊥ , ∀ ∈ F} là m t không gian con c a E. Th t v y, hi n nhiên H ≠ ∅ vì 0 ∈ H. V i ∀ 1, 2 ∈ H và ∀ k ∈ R ta có: 1. = 0, 2. = 0 V i m i ∈ F. Do ó ( 1 + 2). = 1. + 2 = 0, ∀ ∈ F. iu này có ngh a là ( 1 + 2) ∈ H. T ng t , ta có (k ). = k( . ) = 0, ∀ ∈ F. Do ó k ∈ H. Vy H là m t không gian con c a E. nh ngh a. Không gian con H = { ∈ E | ⊥ , ∀ ∈ F} được g ọi là không gian con bù tr ực giao v ới không gian con F. nh lý. Nếu H là không gian con bù tr ực giao v ới không gian con F của không gian vect ơ Ơclit n chi ều E thì F ∩ H = { 0 } và E = F + H. Ch ứng minh. Ly tùy ý ∈ F ∩ H, theo cách xác nh H ta th y tr c giao v i chính nó, ngh a là 2 = 0. Theo nh lý nh lý 1 (4.2) ta có = 0 v y F ∩ H = { 0 }. Gi s { 1, , 2, , r} là m t c s tr c chu n c a không gian con F. B sung vào nó c m t c s tr c chu n c a E: { 1 2, , r, r+1 , , n}. Khi ó m i véc t ∈ E u bi u di n duy nh t d i d ng: 268
Khi V là không gian vect th a mãn V = F + H, F ∩ H = { 0 }, trong ó F, H là nh ng không gian con c a V, ng i ta nói r ng V là tổng tr ực ti ếp ca F và H. 4.4. Hình chi u c a m t vect lên không gian con Gi s E là không gian Ơclit n chi u, F là không gian con tùy ý c a E, khi ó ∀ ∈ E ta luôn có bi u bi n duy nh t = + , v i ∈ F, ∈ H, trong ó H là không gian con bù tr c giao c a F. Ta s g i vect là hình chi ếu tr ực giao c ủa lên F và ký hi u là hch F , còn vect = - = - hch F c g i là thành ph n c a tr c giao v i F. Ví d ụ: Xét không gian Ơclit R3 (v i tích vô h ng chính t c) và 4 không gian con F c sinh b i các vect sau: 1 = (0, 1, 0); 2 = (- , 5 3 0, ). D dàng ki m tra c ó là c s tr c chu n c a F. Theo Ví d 5 4 3 3 4 trên ta có h 1 = (0, 1, 0) ; 2 = (- , 0, ) ; 3 = ( , 0, - ) là c s 5 5 5 5 tr c chu n c a R3. Vi = (2, 1, 3), ta có: Khi ó hình chi u tr c giao c a = (2, 1, 3) lên F là: 18 54 72 Thành ph n c a tr c giao v i F là : 3 = ( , 0, ). 5 25 25 269
4.5. Phép bi n i tr c giao - Ma tr n tr c giao nh ngh a. Gi ả s ử E là m ột không gian vect ơ Ơclit n chi ều. T ự đồng c ấu f. E → E được g ọi là m ột phép bi ến đổ i tr ực giao n ếu nh lí 1. Gi ả s ử E là m ột không gian vect ơ Ơclit n chi ều. T ự đồ ng cấu f: E → E là phép bi ến đổ i tr ực giao khi và ch ỉ khi nó bi ến c ơ sở tr ực chu ẩn thành c ơ s ở tr ực chu ẩn. Ch ứng minh. “”: Gi s hà m t phép bi n i tr c giao và ( ε) = { 1, , 2, , n} là m t c s tr c chu n b t k c a E. Khi ó f( 1).f( j) = i j = δij , vi m i i, j = 1, 2, , n. Nh v y ta có f( i) ⊥ f( j) v i i ≠ j, và ||f( i)|| 1 vi i j = 1, 2, , n. Vy h {f( 1), f( 2), , f( n)} là m t c s tr c chu n c a E. “⇐” Gi s f là m t t ng c u c a E sao cho v i m i c s tr c chu n { 1, , 2, , n} c a E ta có h vect {f( 1), f( 2), , f( n)} c ng n n là m t c s tr c chu n c a E. Vi = xi ε i yi ε i tùy ý thu c E ta i=1 i=1 có: Vy f là m t phép bi n i tr c giao. nh lý 2 . Gi ả s ử E là m ột không gian vect ơ Ơclit, A là ma tr ận c ủa tự đồ ng c ấu f: E → E đối v ới m ột c ơ s ở tr ực chu ẩn (ε) = { 1, , 2, , t n}. Tự đồ ng c ấu f là tr ực giao khi và ch ỉ khi AA = I (I là ma tr ận đơn v). Ch ứng minh. “”: Gi s f là m t phép bi n i tr c giao có ma tr n i v i c s tr c chu n ( ε) = { 1, , 2, , n} là : 270
n Nh ng a ki a kj chính là ph n t dòng th i và c t th j c a ma tr n k=1 tích ta.A. Vy A.A = I. t “⇐” Gi s A.A = I, c ng nh trên ta có: f( i).f( j) = i. j = δij . Do ó h vect {f( 1), f( 2), , f( n)} là m t c s tr c chu n c a không gian vect Ơclit E. V y theo nh lýl f là m t phép bi n i tr c giao. nh ngh a. Ma tr ận vuông A được g ọi là m ột ma tr ận tr ực giao n ếu tA.A = I (I là ma tr ận đơn v ị). H qu . f là m ột phép bi ến đổ i tr ực giao khi và ch ỉ khi ma tr ận c ủa nó đối v ới m ột c ơ s ở tr ực chu ẩn là m ột ma tr ận tr ực giao. Ví d ụ: Các ma tr n sau là nh ng ma tr n tr c giao: a) Ma tr n n v I; 4.6. Phép bi n i d i x ng nh ngh a. Gi ả s ử E là m ột không gian vect ơ Ơclit n chi ều. T ự đồng c ấu f: E → E được g ọi là phép bi ến đổ i đố i x ứng n ến .f( ) = 271
f( ). , ∀ , ∈ E. nh lý. Gi ả sử E là m ột không gian vect ơ Ơclit n chi ều. T ự đồ ng cấu f c ủa E là phép đối x ứng nên và ch ỉ n ếu ma tr ận c ủa f đố i v ới m ột c ơ sở tr ực chu ẩn là m ột ma tr ận đố i x ứng. Ch ứng minh. “” Gi s f là phép bi n i i x ng c a E và ma tr n c a f i vi c s tr c chu n ( ε) = { 1, , 2, , n} là ma tr n A = (a ij )n. Khi ó: Vì f là phép bi n i i x ng nên i.f( j) = f( i). j. Do ó a ij = a ji , Ta có A là ma tr n i x ng. “⇐”: Gi s ma tr n c a t ng c u f i v i c s tr c chu n ( ε) : { 1, , 2, , n} là ma tr n i x ng A = (a ij )n. Khi ó ta có các ng n n th c (1) và (2) trên. V i hai vect = xi ε i , = yi ε i tu ý c a i=1 i=1 E, ta có: Vì a ij = a ji do ma tr n A i x ng nên .f( ) = f( ) . Vy f là phép i x ng. 4.7. ng d ng nêu lên m t ng d ng c a phép bi n i tr c giao ta c n n các nh lý sau: nh lí 1. Nếu A là m ột ma tr ận đố i x ứng v ới các thành ph ần là 272
nh ững s ố th ực thì m ọi nghi ệm c ủa đa th ức đặ c tr ưng |A – kI | đều là s ố th ực. Ch ứng minh . Gi s k là m t nghi m c a ph ng trình |A – kI| = 0. 0 Xét ph ng trình (A - kI n)X = 0. Gi s X là m t nghi m không t m t_ n 0 0 0 th ng c a ph ng trình ó, ta có (A - kI )X = 0 X (A - kI n)X = 0 t_ t_ X0 AX 0 = k X0 X0 (*) u 1 t_ 0 u 2 t 0 0 0 Gi s X = . Khi ó X = ( u1 u 2 u n ). Ta có X X = u n n ui ⋅ un là s th c. Do ó i=1 n n t 0 0 t 0 0 t t 0 0 k X X = k . ui ⋅ un = k. u n ⋅ ui = k X X = (k X X ). Vì A là i=1 i=1 ma tr n i x ng v i các ph n t là nh ng s th c nên ta có t X0 AX 0 = t( t X0 AX 0) = tX0 X0 . Do ó X0 AX 0 = tX0 X0 = t X0 AX 0. V y t X0 AX 0 là s th c. T (*) suy ra k t X0 X00 là s th c. Theo nh n xét trên có t X0 X0 là s th c, do ó k là s th c. nh lý c ch ng minh. nh lý 2 . N ếu f là m ột phép đố i x ứng c ủa không gian vect ơ ơclit n chi ều E thì hai không gian con riêng ứng v ới hai giá tr ị riêng phân b ổ của f ph ải tr ực giao v ới nhau. Ch ứng minh. Gi s f : E → E là phép i x ng, F 1, F 2 là hai không gian con l n l t sinh b i các vect riêng 1, 2 t ng ng v i hai giá tr riêng phân bi t k 1, k 2. Khi ó, v i hai vect tùy ý ∈ F 1, ∈ F 2, ta có f( ) = k 1 ; f( ) = k2 . Vì f là m t phép bi n i i x ng nên f( ) = f( ). Do ó (k 1 ). = .(k 2 ). Suy ra (k 2 – k 1)( . ) = 0. Vì k 2 ≠ k 1 nên . = 0. V y F 1 tr c giao v i F 2. nh lý 3 . Nếu f là m ột phép bi ến đổ i đố i x ứng c ủa không gian vect ơ Ơclit n chi ều E, thì E có m ột c ơ s ở tr ực chu ẩn g ồm nh ững vect ơ riêng của f . Ch ứng minh . Vì ma tr n A c a f i v i c s tr c chu n ( ε) = 273
{ 1, , 2, , n} là ma tr n i x ng nên theo nh lý các giá tr riêng ca f u là s th c. Ta ch ng minh b ng qui n p theo n. Vi n = 1, nh lý hi n nhiên úng. Vi n = 2, gi s k 1 là m t giá tr riêng c a f và 1 là vect riêng 1 t ng ng. G i F là không gian con c a E sinh b i 1 = 1 và H là 1 không gian con bù tr c giao v i F. Vì F ∩ H ={ } và E = F + H, nên danH = dimE - dimF = 1. Ta có f( ) ∈ H v i ∀ ∈ H. Th t v y, l y tùy ý ∈ F ta có .f( ) = f( ). = 0 vì f( ) = k 1 ∈ F nên f( ) ∈ H. 1 Gi s 2 là c s c a H. t 2 = 2, h { 1, 1} là m t c s 2 tr c chu n c a E. Vì f( 2) ∈ H nên t n t i k 2 ∈ R sao cho f( 2) = k 2 2. Nh v y h { 1, 1} là c s tr c chu n c a E g m nh ng véc t riêng c a f. Gi s n > 2, và m nh úng v i n - 1. Gi k 1 là m t giá tr riêng c a f và F, H c ng là nh ng không gian nh trên. L p l i l p lu n trên ta có dimH = n - 1 và H là không gian con bt bi n i v i f. Nh v y thu h p f| H là m t phép bi n i i x ng c a không gian n - 1 chi u H. Do ó, theo gi thi t qui n p H có m t c s tr c chu n { 1, , 1} g m nh ng vect riêng ca f. Vì 1 ⊥ 1 v i m i = 2, , n, nên { 1, 2, , n} là m t c s tr c chu n c a E g m nh ng vect riêng c a f. Ta có iu c n ch ng minh. T ây v sau ta ch xét các d ng toàn ph ng trên không gian vect cht Rn, và ta v n ký hi u c s chính t c c a Ra là c s g m các vect 1 = (1, 0, , 0), 2 (0, 1, , 0), , n = (0, 0, , 1). nh lý 4. Mỗi d ạng toàn ph ươ ng trên không gian vect ơ Ơclit En đư a được v ề d ạng chính t ắc nh ờ m ột ma tr ận tr ực giao. Ch ứng minh . Gi s d ng toàn ph ng Γ trên E n có ma tr n i v i c s chính t c là A. Khi ó A là ma tr n i x ng. Coi A là ma tr n c a 274
phép bi n i tuy n tính f i v i c s chính t c. Do A là ma tr n i xng, nên theo nh lý 3, t n t i m t c s tr c chu n c a Rn g m nh ng vect riêng c a f, gi s ó là ( ξ) = { 1, 2, , n}. Khi ó ma tr n B c a f i v i c s ( ξ) là m t ma tr n chéo. Ký hi u T là ma tr n chuy n t c s chính t c ( ε) = { 1, , 2, , n} sang c s ( ξ) khi ó T là ma tr n tr c giao. Ta có B - tTAT là ma tr n c a d ng toàn ph ng r i v i c s ( ξ) và là ma tr n chéo, nên i v i c s ( ξ) d ng toàn ph ng Γ có dng chính t c. T nh lí trên suy ra: Cách tìm ma tr ận tr ực giao đưa d ạng toàn ph ươ ng trên Rn về d ạng chính tắc. Gi s A là ma tr n c a d ng toàn ph ng i v i c s chính t c ca Rn. Ta th c hi n các b c sau: 1) Tìm các giá tr riêng là nghi m c a a th c c tr ng |A – kI|. 2) Tìm các vect riêng t o thành m t c s tr c chu n c a Rn. 3) Tìm ma tr n chuy n T t c s chính t c sang c s tr c chu n va tìm c. Ví d ụ 1. a d ng toàn ph ng trên RA v d ng chính t c Gi ải. Ma tr n c a r i v i c s chính t c là Tìm nghi m c a a th c c tr ng: Ta có k 1 = 0, k 2 = 9, k 3 = 14 • Tìm các vect riêng: - V i k 1 = 0, gi i h : 275
Vect riêng có d ng: (3c 1, 2c 1, c 1). - V i k 2 = 9, gi i h : Vect riêng có d ng: (0, c 2, -2c 2). 5 - Vi k 3 = 14, vect riêng có d ng: (- c3, 2c 3, c 3) 3 Ch n c s tr c chu n ( ξ) g m nh ng vect riêng: Ma tr n chuy n t c s chính t c sang c s ( ξ) là Nu t a c a vect ln l t i v i c s chính t c và c s ( ξ) x y 1 1 là X = x 2 và Y = y2 , thì ta có: x3 y3 276
Ví d ụ 2. Tìm phép bi n i tr c giao a d ng toàn ph ng sau trên Ra v d ng chính t c. Gi ải. Dng toàn ph ng Γ có ma tr n i v i c s chính t c là: a th c c tr ng: Các nghi m c a a th c c tr ng là: k 1 = - 9, k 2 = k 3 = 9 - V i k 1 = - 9, gi i h ph ng trình ta c nghi m có d ng (2c, c, 2c). Ch n 1 = (2, 1, 2) ta c nghi m riêng ng v i k 1 = - 9. - V i k 2 = k 3 = 9, h ph ng trình t ng ng là: 277
Nghi m c a h ph ng trình này có d ng: (d, - 2d - 2e, e). Vì h ng c a h ph ng trình b ng 1 nên không gian các nghi m có chi u b ng 2. Ch n m t c s c a không gian này: ó là hai vect riêng ng v i k 2 = k 3 = 9. Theo nh lý 2, ta có 2 v 3 3 tr c giao v i 1. Vì th , mu n c m t c s tr c chu n c a R g n các vect riêng ch c n tr c chu n hoá h vect { 2, 3}. 4 Suy ra t = - 5 3 H vect ( ξ) = { 1, 2, , m} là m t c s chu n c a R . Vì 278
ta có ma tr n chuy n t c s chính t c thành c s ( ξ) là: ây chính là ma tr n c a phép bi n i tuy n tính tr c giao a dng toàn ph ng ã cho v d ng chính t c. 2 i v i c s ( ξ), v i = {y 1 1 + y 2 2 + y3 3} ta có Γ( ) = - 9 y1 2 3 + 9 y2 + 9 y2 . Vi c tìm phép bi n i tr c giao a d ng toàn ph ng v d ng chính t c nh ã làm trong các Ví d trên s c s d ng nhi u khi a ph ng trình c a ng b c hai, m t b c hai v d ng chính t c. 279
TÓM T T §1. D NG TUY N TÍNH, D NG SONG TUY N TÍNH 1.1. nh ngh a Cho V là không gian vect ơ 1) Ánh x ạ f : V → R được g ọi là m ột d ạng tuy ến tính trên V n ếu 2) Ánh x ạ : V × V → R được g ọi là m ột d ạng song tuy ến tính trên V nếu với m ọi α , α 1, α 2, β , β 1, β thu ộc V và m ọi k ∈ R. 3) Dạng song tuy ến tính φ được g ọi là đối x ứng n ếu φ(α , β ) = φ( β α ), ∀α , β ∈ V. D ạng song tuy ến tính φ được g ọi là thay phiên n ếu φ(α , β ) = -φ( β ,α ), ∀α , β ∈ V. nh lý 1 . Gi ả s ử V là không gian vect ơ n chi ều v ới c ơ s ở là { 1, , 2, , n}. Ánh x ạ f : V → R là m ột d ạng tuy ến tính trên V khi và ch ỉ khi n n tồn t ại n s ố th ực c b, , cn sao cho f( ) = ai ci , với m ọi = ai ε i ∈ V. i=1 i=1 Khi đó f ( i) = ci, v ới m ọi i = 1, , n, và f là d ạng tuy ến tính duy nh ất trên V th ỏa mãn điều ki ện này. nh lý 2. Gi ả s ử V là không gian vect ơ n chi ều v ới c ơ s ở là { 1, , 2, , n}. Ánh x ạ : V × V → R là m ột d ạng song tuy ến tính trên V khi 2 và ch ỉ khi t ồn t ại n s ố th ực {d ij | i, j = 1, 2, , n} sao cho 280
trên V th ỏa mãn điều ki ện này. 1.2. Ma tr n c a d ng song tuy n tính nh ngh a. Cho { 1, , 2, , n} là m ột c ơ s ở c ủa không gian vect ơ n chi ều V trên tr ường s ố th ực R, là m ột d ạng song tuy ến tính trên V, ký hi ệu φ( i, j) = aij ∈ R, ∀ i, j = 1, 2, , n. Ma tr ận vuông c ấp n sau được g ọi là ma tr ận c ủa d ạng song tuy ến tính φ đối v ới c ơ s { 1, , 2, , n} đã cho. Nh ận xét. Gi s V là không gian vect v i c s { 1, , 2, , n} và A = (a ij )n là ma tr n c a d ng song tuy n tính trên V. Khi ó v i m i Nh v y, n u bi t ma tr n c a d ng song tuyn tính i v i m t c s nào ó, thì ta có th xác nh nh ( , ) c a c p ( , ) tu ý; ngh a là m t d ng song tuy n tính c hoàn toàn xác nh b i ma tr n c a nó i v i m t c s ã cho. 1.3. Liên h gi a hai ma tr n c a cùng m t d ng song tuy n tính i v i hai c s khác nhau nh lý. Cho (ε) = { 1, , 2, , n}, ( ξ) = { 1, 2, , m} là hai c ơ sở c ủa cùng m ột không gian vect ơ n chi ều V trên R, A = (a ij )n và B = (b ij )n l ần l ưu là các ma tr ận c ủa cùng m ột d ạng song tuy ến tính do trên V đối v ới các c ơ s tươ ng ứng (ε) và (ξ), T = (t ij )n là ma tr ận chuy ển t ừ (ε) sang (ξ). Khi đó B = tTAT. 281
§2. DNG TOÀN PH ƯƠ NG 2.1. D ng toàn ph ư ng nh ngh a. Ánh x ạ Γ : V → R (R là tr ường s ố th ực) được g ọi là m ột dạng toàn ph ươ ng trên V n ếu t ồn t ại m ột d ạng song tuy ến tính f trên V sao cho Γ( ) - f( , ) với m ọi ∈ V. Khi đó f được g ọi là d ạng song tuy ến tính sinh ra d ạng toàn ph ươ ng Γ. Tn t i t ng ng 1-1 gi a các d ng toàn ph ng trên V và các d ng song tuy n tính i x ng trên V; ngh a là n u r là m t d ng toàn ph ng trên V thì t n t i m t và ch m t d ng song tuy n tính i x ng sinh ra Γ. Dng song tuy n tính i x ng sinh ra d ng toàn ph ng Γ c gi là dạng c ực ca Γ. Gi s V là không gian vect n chi u v i c s là { 1, , 2, , n}. Ánh x Γ : V × V → R là m t d ng toàn ph ng trên V khi và ch khi Γ n n n ( ) = xix jaij , v i m i = xi i , ∈ V, trong ó a ij (i, j : 1, 2, , i=1 j=1 i=1 n) là dãy các s th c xác nh. 2.2. Ma tr n c a d ng toàn ph ư ng nh ngh a. Cho Γ là d ạng toàn ph ươ ng t ươ ng ứng v ới d ạng song tuy ến tính đố i x ứng . Ma tr ận c ủa đối v ới c ơ s ở { 1, , 2, , n} cũng được g ọi là ma tr ận c ủa d ạng toàn ph ươ ng Γ đối v ới c ơ s ở ấy. Nếu A = (a ij )n là ma tr ận c ủa d ạng toàn ph ươ ng Γ đối v ới c ớ s { 1, , 2, , n}, thì A có tính ch ất a ij = ( i, j) = ( j, i) = aij . Ma tr n có tính ch t này c g i là m t ma tr ận đố i x ứng. n n n Vi = xi i , bi u th c Γ ( ) = xix jaij c g i là bi u i=1 i=1 j=1 th c t a c a Γ. 2.3. D ng toàn ph ư ng xác nh nh ngh a. Dạng toàn ph ươ ng Γ trên không gian vect ơ V được g ọi là xác định n ếu Γ( ) = 0 kéo theo = 0. 282
nh lý . Nếu Γ là một dạng toàn ph ươ ng xác đinh thì Γ ( ) có cùng một d ấu v ới m ọi ∈ V. Dạng toàn ph ươ ng Γ trên không gian vect ơ V độc g ọi là xác định dươ ng (âm ) nếu Γ ( ) > 0 (Γ ( ) 0, với m ọi i = 1, , n. Có nhi u ph ng pháp khác nhau a m t d ng toàn ph ng v dng chính t c: ph ng pháp chéo hóa ma tr n, ph ng pháp Jacobi, ph ng pháp LagTange. 3.3. Dùng ph n m m Maple ưa d ng toàn ph ư ng v d ng chính t c 283
Ta có th s d ng ph ng pháp LagTange v i s h tr c a ph n mm toán Maple a bi u th c t a c a d ng toàn ph ng v d ng chính t c. Quy trình c th nh sau: Tr c tiên ta ph i s d ng hai l nh t o môi tr ng tính toán là: >restart; >with(student); [D,Diff, Int, Limit, Lineint, Product, Sum, Tripleint, Changevar, Completesquare, Distance, Equate, Integrand, Intercept, Intparts, leftbox, leftsum, makeproc, middlebox, middlesum, midpoint, powsubs, rightbox, rightsum, showtangent, símpon, slope, summand, trapezoid] Trong quá trình bi n i c n chú ý phân bi t tr ng h p a ii ≠ 0 v i a ii = 0. 3.4. nh lý quán tính nh lý 1. (1ut quán tính) Trong hai d ạng chính t ắc b ất k ỳ c ủa cùng một d ạng toàn ph ươ ng s ố các hệ số d ươ ng b ằng nhau, s ố các h ệ s ố tìm bằng nhau. Đối v ới ma tr ận vuông mỗi đị nh th ức được g ọi là m ột nh th c con chính của ma tr ận A. nh lý 2. Gi ả s ử A là ma tr ận c ủa d ạng toàn ph ươ ng Γ trên không gian vect ơ n chi ều V. Khi đó Γ là d ạng toàn ph ươ ng xác định d ươ ng n ếu và ch ỉ nên m ọi đị nh th ức con chính c ủa A đề u d ươ ng. 284
§4. KHÔNG GIAN VECT Ơ ƠCLIT 4.1. nh ngh a 1) Dạng song tuy ến tính đố i x ứng φ trên không gian vect ơ V được g ọi là m ột tích vô h ướng trên V n ếu ∀ ≠ 0 thu ộc V ta có φ ( , ) > 0. Với , V s ố th ực φ( , ) được g ọi là tích vô hướng c ủa và kí hi ệu bởi . . N ếu = 6, thay cho . ta vi ết 2. 2) Không gian vect ơ V được g ọi là m ột không gian vect ơ Ơclit n ếu trên V có m ột tích vô h ướng. 4.2. C s tr c chu n nh ngh a. Gi ả s ử E là m ột không gian vect ơ Ơclit. 1) Hai vect ơ , của E được g ọi là tr ực giao n ếu . = 0; kí hi ệu ⊥ . 2) V ới mỗi ∈ E, ta g ọi (x)2 là chu ẩn c ủa vect ơ , kí hi ệu | ||. Nếu || || = 1 thì ta nói là vect ơ định chu ẩn. 3) Cơ s ở () = { 1, , 2, , n} của không gian vect ơ Ơclit E được gọi là m ột c ơ s ở tr ực chu ẩn n ếu i, j = δij (Trong đó δij là ký hi ệu Kronecker th ỏa mãn δij = 1 khi i = j, δij = 0 khi i ≠ j). nh lý 1. Gi ả s ử E là m ột không gian vect ơ Ơclit. Khi đó: 1) Với ∈ E, || || = 0 khi và ch ỉ khi = 0 . 2) Với m ọi ∈ E, mọi k ∈ R ta có ||k || = |k| .|| ||. 3) Với m ọi , ∈ E ta có | | ≤ || ||.|| || (b ất đẳ ng thúc Cauchy- Bunhiakovsky). 4) Với m ọi , ∈ E ta có || + || ≤ || || +|| || (b ất đẳ ng th ức tam giác). nh lý 2 . Mọi h ệ g ồm nh ững vect ơ khác không, đôi m ột tr ực giao của m ột không gian uect ơ Ơclit đều độ c l ập tuy ến tính. nh lý 3 . Mọi không gian vect ơ Ơclit n chi ều đều có c ơ s ở tr ực 285