Giáo trình Đại số và Hình học giải tích 1-2

156 trang hapham 2820

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Đại số và Hình học giải tích 1-2", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

giao_trinh_dai_so_va_hinh_hoc_giai_tich_1_2.pdf

Nội dung text: Giáo trình Đại số và Hình học giải tích 1-2

ÑAÏI SOÁ VAØ HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH 1-2 Giaùo trình Ñaïi hoïc Ñaïi cöông Ngaønh Toaùn-Tin hoïc Taï Leâ Lôïi - Ñaïi Hoïc Ñaølaït - - 2005 -
Ñaïi soá vaø Hình hoïc giaûi tích 1-2 Taï Leâ Lôïi Muïc luïc Phaàn I: Chöông 0. Kieán thöùc chuaàn bò 1. Caùc caáu truùc ñaïi soá cô baûn 1 2. Tröôøng soá phöùc 3 3. Ña thöùc 6 Chöông I. Khoâng gian vector hình hoïc 1. Vector hình hoïc 15 2. Cô sôû Descartes - Toïa ñoä 17 3. Coâng thöùc ñaïi soá cuûa caùc pheùp toaùn treân vector 19 4. Ñöôøng thaúng vaø maët phaúng 22 Chöông II. Ma traän - Phöông phaùp khöû Gauss 1. Ma traän 27 2. Caùc pheùp toaùn treân ma traän 28 3. Phöông phaùp khöû Gauss 35 Chöông III. Khoâng gian vector 1. Khoâng gian vector - Khoâng gian vector con 41 2. Cô sôû - Soá chieàu - Toïa ñoä 44 3. Toång - Tích - Thöông khoâng gian vector 49 Chöông IV. AÙnh xaï tuyeán tính 1. AÙnh xaï tuyeán tính 53 2. AÙnh xaï tuyeán tính vaø ma traän 58 3. Khoâng gian ñoái ngaãu 62 Chöông V. Ñònh thöùc 1. Ñònh thöùc 65 2. Tính chaát cuûa ñònh thöùc 67 3. Tính ñònh thöùc 69 4. Moät soá öùng duïng cuûa ñònh thöùc 73
Phaàn II: Chöông VI. Cheùo hoùa 1. Chuyeån cô sôû 81 2. Vector rieâng - Gía trò rieâng 84 3. Daïng ñöôøng cheùo - Cheùo hoùa 85 Chöông VII. Khoâng gian vector Euclid 1. Khoâng gian vector Euclid 91 2. Moät soá öùng duïng 98 3. Toaùn töû tröïc giao - Ma traän tröïc giao 102 4. Toaùn töû ñoái xöùng - Cheùo hoùa tröïc giao ma traän ñoái xöùng 109 Chöông VIII. Daïng song tuyeán tính - Daïng toaøn phöông 1. Daïng song tuyeán tính 113 2. Daïng toaøn phöông 114 3. Daïng chính taéc 115 Chöông IX. AÙp duïng vaøo hình hoïc 1. Caáu truùc affin chính taéc cuûa moät khoâng gian vector 125 2. Moät soá aùnh xaï affin thoâng duïng 128 3. Ñöôøng, maët baäc 2 133 Baøi taäp 139
0. Kieán thöùc chuaån bò Chöông naøy neâu ñònh nghóa veà caùc caáu truùc ñaïi soá cô baûn laø nhoùm, vaønh vaø tröôøng. Phaàn tieáp theo laø moät soá kieán thöùc toái thieåu veà soá phöùc vaø ña thöùc. 1. Caùc caáu truùc ñaïi soá cô baûn 1.1 Ñònh nghóa. Cho A laø moât taäp hôïp. Moät pheùp toaùn hai ngoâi treân A laø moät aùnh xaï: : A × A → A Khi ñoù aûnh cuûa caëp (x, y) ∈ A × A bôûi aùnh xaï seõ ñöôïc kyù hieäu laø xy • Pheùp toaùn goïi laø coù tính keát hôïp neáuu1 (xy) z= x(yz), ∀x, y, z ∈ A • Pheùp toaùn goïi laø coù tính giao hoaùn neáuu xy= yx, ∀x, y ∈ A • Phaàn töû e ∈ A, goïi laø phaàn töû ñôn vò , neáuu xe= ex= x, ∀x ∈ A Khi vieát theo loái coäng + thì phaàn töû ñôn vò goïi laø phaàn töû khoâng vaø kyù hieäu laø 0. Khi vieát theo loái nhaân · thì phaàn töû ø kyù hieäu laø 1. • Giaû söû pheùp toaùn coù phaàn töû ñôn vò e. Khi ñoù x ∈ A goïi laø khaû nghòch neáuu toàn taïi x ∈ A sao cho: xx = x x= e. Khi ñoù x phaàn töû nghòch ñaûo cuûa x. Khi vieát theo loái coäng, thì phaàn töû nghòch ñaûo cuûa x goïi laø phaàn töû ñoái vaø kyù hieäu laø −x. Khi vieát theo loái nhaân, thì phaàn töû nghòch ñaûo cuûa x kyù hieäu laø x−1 hay 1 . x Nhaän xeùt. Phaàn töû ñôn vò neáu coù laø duy nhaát: Neáu e1,e2 laø hai phaàn töû ñôn vò, thì e1 = e1 e2 = e2. Nhaän xeùt. Neáu coù tính keát hôïp, thì phaàn töû nghòch ñaûo cuûa x neáu coù laø duy nhaát: Neáu x,x laø hai phaàn töû nghòch ñaûo cuûa x, thì x = x e = x (xx)=(x x)x = ex = x. Baøi taäp: Haõy xeùt caùc pheùp toaùn coäng vaø nhaân treân A := N, Z, Q, R coù tính chaát gì? Coù phaàn töû ñôn vò? Coù phaàn töû nghòch ñaûo? 1.2. Nhoùm. Moät nhoùm laø moät caëp (G, ), trong ñoù G laø moät taäp hôïp khoâng roãng, coøn laø moät pheùp toaùn hai ngoâi treân G, thoaû caùc ñieàu kieän sau: (G1) coù tính keát hôïp. (G2) coù phaàn töû ñôn vò. (G3) Moïi phaàn töû cuûa G ñeàu coù phaàn töû nghòch ñaûo. Nhoùm G ñöôïc goïi laø nhoùm giao hoaùn hay nhoùm Abel neáu: (G4) coù tính giao hoaùn. Ngöôøi ta thöôøng noùi nhoùm G thay vì (G, ) khi ñaõ ngaàm hieåu pheùp toaùn naøo. Qui öôùc naøy cuõng duøng cho khaùi nieäm vaønh, tröôøng tieáp sau. 1Trong giaùo trình naøy: neáuu = neáu vaø chæ neáu.
2 Ví duï. a) Taäp N vôùi pheùp coäng khoâng laø nhoùm vì khoâng chöùa phaàn töû ñoái. Taäp Z, Q, R laø nhoùm giao hoaùn vôùi pheùp coäng, nhöng khoâng laø nhoùm vôùi pheùp nhaân vì 0 khoâng coù phaàn töû nghòch ñaûo. b) Taäp caùc song aùnh töø moät taäp X leân chính X laø moät nhoùm vôùi pheùp hôïp aùnh xaï. Noùi chung nhoùm naøy khoâng giao hoaùn. 1.3 Vaønh. Moät vaønh laø moät boä ba (R, +, ·), trong ñoù R laø moät taäp khoâng roãng, coøn + vaø · laø caùc pheùp toaùn treân R, thoaû caùc ñieàu kieän sau: (R1) (R, +) laø moät nhoùm giao hoaùn. (R2) Pheùp nhaân · coù tính keát hôïp. (R3) Pheùp nhaân coù tính phaân phoái veà hai phía ñoái vôùi pheùp coäng: x(y + z)=xy + xz vaø (y + z)x = yx + zx ∀x, y, z ∈ R Neáu pheùp nhaân coù tính giao hoaùn thì R goïi laø vaønh giao hoaùn. Ví duï. a) Z, Q, R vôùi pheùp coäng vaø nhaân laø caùc vaønh giao hoaùn. b) Zp caùc lôùp caùc soá nguyeân ñoàng dö theo moät soá p laø vaønh giao hoaùn vôùi pheùp coäng vaø nhaân ñöôïc ñònh nghóa: [m]+[n]=[m + n], [m][n]=[mn] 1.3 Tröôøng. Moät tröôøng laø moät vaønh giao hoaùn coù ñôn vò 1 =0 vaø moïi phaàn töû khaùc khoâng cuûa K ñeàu coù phaàn töû nghòch ñaûo. Moät caùch ñaày ñuû, moät tröôøng laø boä ba (K, +, ·), trong ñoù K laø taäp khoâng roãng, + vaø · laø caùc pheùp toaùn treân K thoaû 9 ñieàu kieän sau vôùi moïi x, y, z ∈ K: (F1) (x + y)+z = x +(y + z) (F2) ∃0 ∈ K, x +0=0+x = x (F3) ∃−x ∈ K, x +(−x)=−x + x =0 (F4) x + y = y + x (F5) (xy)z = x(yz) (F6) ∃1 ∈ K, 1 =0 , x1=1x = x (F7) Khi x =0 , ∃x−1 ∈ K, xx−1 = x−1x =1 (F8) xy = yx (F9) x(y + z)=xy + xz Ví duï. a) Vaønh (Z, +, ·) khoâng laø tröôøng. (Q, +, ·), (R, +·) laø caùc tröôøng. b) Neáu p laø soá nguyeân toá, thì Zp laø moät tröôøng. Hôn nöõa, Zp laø taäp höõu haïn vaø vôùi moïi n ∈ , n ··· n . [ ] Zp [ ]+ +[ ] =[0] p laàn Ñaëc soá cuûa moät tröôøng K, kyù hieäu char(K), laø soá töï nhieân döông beù nhaát sao
Chöông 0. Kieán thöùc chuaån bò 3 cho ··· . Neáu khoâng coù soá töï nhieân nhö vaäy, thì K goïi laø coù ñaëc soá . 1+ +1 =0 0 n laàn Ví duï. Q, R coù ñaëc soá 0, coøn Zp coù ñaëc soá p. Ta coù 1+1=0trong Z2 ! 2. Tröôøng soá phöùc Treân tröôøng soá thöïc, khi xeùt phöông trình baäc hai ax2 + bx + c =0tröôøng hôïp b2 − 4ac < 0 phöông trình voâ nghieäm vì ta khoâng theå laáy caên baäc hai soá aâm. Ñeå caùc phöông trình nhö vaäy coù nghieäm, ta caàn theâm vaøo taäp caùc soá thöïc caùc caên baäc hai cuûa soá aâm. Phaàn naøy ta seõ xaây döïng taäp caùc soá phöùc C laø môû roäng taäp soá thöïc R, treân ñoù ñònh nghóa caùc pheùp toaùn coäng vaø nhaân ñeå C laø moät tröôøng. Hôn nöõa, moïi phöông trình baäc hai, chaúng haïn x2 +1=0, ñeàu coù nghieäm trong C. 2.1 Ñònh nghóa. Ta duøng kyù hieäu i, goïi laø cô soá aûo , ñeå chæ nghieäm phöông trình x2 +1=0, i.e. i2 = −1. Taäp soá phöùc laø taäp daïng: C = {z : z = a + ib, vôùi a, b ∈ R} z = a + ib goïi laø soá phöùc, a = Rez goïi laø phaàn thöïc, b = Imz goïi laø phaàn aûo. z1 = z2 neáuu Rez1 = Rez2, Imz1 = Imz2. Ta xem R laø taäp con cuûa C khi ñoàng nhaát R = {z ∈ C : Imz =0} Töø “soá aûo” sinh ra töø vieäc ngöôøi ta khoâng hieåu chuùng khi môùi phaùt hieän ra soá phöùc. Thöïc ra soá phöùc raát “thöïc” nhö soá thöïc vaäy. Ví duï. √ √ a) Soá phöùc z = −6+i 2 coù phaàn thöïc Rez = −6, phaàn aûo Imz = 2. 2 2 2 b) Ñeå giaûi phöông trình z +2z +4=0, ta bieán ñoåi z +2z +4=(z +1)√+3. Vaäy phöông trình töông ñöông (z +1)2 = −3. Suy ra nghieäm z = −1 ± i 3. Sau ñaây laø ñònh nghóa caùc pheùp toaùn vöøa thöïc hieän. 2.2 Caùc pheùp toaùn. Treân C coù hai pheùp toaùn ñöôïc ñònh nghóa nhö sau: Pheùp coäng. (a + ib)+(c + id)=(a + c)+i(b + d) Pheùp nhaân. (a + ib)(c + id)=(ac − bd)+i(ad + bc) Nhaän xeùt. Pheùp nhaân ñöôïc tính nhö nhaân caùc soá thoâng thöôøng vôùi chuù yù laø i2 = −1. Meänh ñeà. Vôùi caùc pheùp toaùn treân C laø tröôøng soá. Meänh ñeà treân deã suy töø ñònh nghóa vôùi chuù yù laø: Pheùp coäng coù phaàn töû khoâng laø 0=0+i0, phaàn töû ñoái cuûa z = a+ib laø −z = −a−ib. Pheùp nhaân coù phaàn töû ñôn vò laø 1=1+i0, nghòch ñaûo cuûa z = a + ib =0 laø 1 a b z−1 = = − i z a2 + b2 a2 + b2 a + ib Söï toàn taïi vaø vieäc tìm nghòch ñaûo ñöôïc thöïc hieän bôûi pheùp chia (c + id =0 ) c + id
4 khi giaûi phöông trình a + ib =(c + id)(x + iy). Ñoàng nhaát phaàn thöïc, phaàn aûo ta coù cx − dy = a dx + cy = b a + ib ac + bd bc − ad Vaäy = + i c + id c2 + d2 c2 + d2 Pheùp lieân hôïp. z = a − ib goïi laø soá phöùc lieân hôïp cuûa z = a + ib. Tính chaát. z = z, z1 + z2 =¯z1 +¯z2, z1z2 =¯z1z¯2. Nhaän xeùt. Neáu z = a + ib, thì zz¯ = a2 + b2. Töø ñoù coù theå chia 2 soá phöùc baèng caùch nhaân soá lieân hieäp cuûa maãu, chaúng haïn 2 − 5i (2 − 5i)(3 − 4i) 6 − 23i +20i2 −14 − 23i = = = 3+4i (3 + 4i)(3 − 4i) 32 − 42i2 25 2.3 Bieåu dieãn soá phöùc. Sau ñaây laø moät soá bieåu dieãn khaùc nhau cuûa soá phöùc y 6 z b ¨* ¨¨ r ¨¨ i ¨¨ 6 ¨ ¨¨ ϕ ¨¨ - x O a Daïng ñaïi soá. z = a + ib, a, b ∈ R,i2 = −1. Daïng hình hoïc. z =(a, b),a,b∈ R. Trong maët phaúng ñöa vaøo heä toïa truïc Descartes vôùi 1=(1, 0),i =(0, 1) laø 2 vector cô sôû. Khi ñoù moãi soá phöùc z = a + ib ñöôïc bieåu dieãn bôûi vector (a, b), coøn C ñöôïc ñoàng nhaát vôùi R2 . Trong pheùp bieåu dieãn naøy pheùp coäng soá phöùc ñöôïc bieåu thò bôûi pheùp coäng vector hình hoïc. Daïng löôïng giaùc. z = r(cos ϕ + i sin ϕ) Bieåu dieãn soá phöùc z =(a, b) trong toïa ñoä cöïc (r, ϕ), trong ñoù r laø ñoä daøi cuûa z, ϕ laø goùc ñònh höôùng taïo bôûi 1=(1, 0) vaø z trong maët phaúng phöùc. Ta coù: √ a r ϕ r |z| a2 b2, goïi laø modul cuûa z = cos vaø = = + b = r sin ϕ ϕ = Arg z, goïi laø argument cuûa z a b Vaäy neáu z =0 , thì cos ϕ = √ , sin ϕ = √ . a2 + b2 a2 + b2 Ta thaáy ϕ coù voâ soá giaù trò sai khaùc nhau k2π, k ∈ Z, trong ñoù coù moät giaù trò ϕ ∈ (−π,π]
Chöông 0. Kieán thöùc chuaån bò 5 goïi laø giaù trò chính vaø kyù hieäu laø argz. Vaäy coù theå vieát Argz = argz + k2π, k ∈ Z. √ √ Ví duï. z − i coù modul |z| 2 − 2 , vaø argument argz − π = 3 = (√3) +( 1) =2 = 3 (suy töø ϕ √−1 vaø Rez> ). Vaäy − i − π i − π . tan = 3 0 3 =2(cos( 3 )+ sin( 3 )) Moãi caùch bieåu dieãn soá phöùc coù thuaän tieän rieâng. Sau ñaây laø moät soá öùng duïng. 2.4 Meänh ñeà. |z1z2| = |z1||z2| vaø Arg(z1z2)= Argz1 + Argz2 Suy ra coâng thöùc de Moivre (r(cos ϕ + i sin ϕ))n = rn(cos nϕ + i sin nϕ),n∈ N Chöùng minh: Neáu z1 = r1(cos ϕ1 + i sin ϕ1),z2 = r2(cos ϕ2 + i sin ϕ2), thì z1z2 = r1r2(cos ϕ1 cos ϕ2 − sin ϕ1 sin ϕ2)+i(sin ϕ1 cos ϕ2 +cosϕ1 sin ϕ2) = r1r2(cos(ϕ1 + ϕ2)+i sin(ϕ1 + ϕ2)) Suy ra |z1z2| = r1r2 = |z1||z2|, vaø Arg(z1z2)=ϕ1 + ϕ2 +2kπ = Argz1 + Argz2. Nhaän xeùt. Veà maët hình hoïc pheùp nhaân soá phöùc r(cos ϕ + i sin ϕ) vôùi soá phöùc z laø pheùp co daõn vector z tæ soá r vaø quay goùc ϕ. (xem hình veõ) 2.5 Caên baäc n cuûa soá phöùc. Cho z ∈ C vaø n ∈ N. Moät caên baäc n cuûa z laø moät soá phöùc w thoaû phöông trình wn = z. Ñeå giaûi phöông trình treân, bieåu dieãn z = r(cos ϕ + i sin ϕ) vaø w = ρ(cos θ + i sin θ). Töø coâng thöùc de Moivre ρn(cos(nθ)+i sin(nθ)) = r(cos ϕ + i sin ϕ). Suy ra √ ρ = n r (caên baäc n theo nghóa thöïc) nθ = ϕ +2kπ, k ∈ Z Vaäy khi z =0 , phöông trình coù ñuùng n nghieäm phaân bieät: √ ϕ π ϕ π w n r k 2 i k 2 ,k , ··· ,n− . k = (cos( n + n )+ sin( n + n )) =0 1 √ √ Khi z =0 , kyù hieäu n z laø taäp n caên baäc n cuûa z. 0=0. Veà maët hình hoïc chuùng laø caùc ñænh cuûa moät ña giaùc ñeàu n caïnh, noäi tieáp ñöôøng troøn √ taâm 0 baùn kính n r.
6 6 r(cos ϕ + i sin ϕ)z w s s2 ¢ w3 s sw1 ¢ ¢ ¢ s s ¢ w0 ¢ ϕ sz ¨* ¢ ¨ ¢ ¨¨ s s ¨¢ ¨ - s O Nhaân r(cos ϕ + i sin ϕ) vôùi zwn =1, vôùi n =8 Ví duï. a) Caên baäc n cuûa 1 laø n soá phöùc: ,ω , ··· ,ωn−1, vôùi ω 2π i 2π √ 1 n n √ n =cos n + sin n b) Ñeå tìm caùc gía trò cuûa 3 i, ta bieåu dieãn i π i π . √ 1+ 1+ = 2(cos 4 + sin 4 ) 3 1 π 2kπ π 2kπ Suy ra 1+i =26 (cos( 12 + 3 )+i sin( 12 + 3 )),k∈ Z. Vaäy coù 3 giaù trò phaân bieät laø: 1 π π k =0,w0 =26 (cos( 12 )+i sin( 12 )) 1 3π 3π k =1,w1 =26 (cos( 4 )+i sin( 4 )) = ω3w0 1 17π 17π k =2,w2 =26 (cos( 12 )+i sin( 12 )) = ω3w0 3. Ña thöùc 3.1 Ñònh nghóa. Cho K laø moät tröôøng. Moät ña thöùc treân K laø bieåu thöùc daïng n P (X)=a0 + a1X + ···+ anX , trong ñoù n ∈ N, vaø ak ∈ K, k =0, ··· ,n, goïi laø heä soá baäc k cuûa P (X). Hai ña thöùc goïi laø baèng nhau neáuu moïi heä soá cuøng baäc cuûa chuùng baèng nhau. Neáu an =0 , thì n goïi laø baäc cuûa P (X) vaø kyù hieäu n =degP (X), an = lcP (X). Neáu ak =0vôùi moïi k, thì P (X) goïi laø ña thöùc khoâng vaø qui öôùc deg(0) = −∞. n k k Ta thöôøng vieát döôùi daïng toång: P (X)= akX hay P = akX laø toång voâ haïn k=0 k nhöng chæ coù höõu haïn ak =0 . Kyù hieäu K[X] laø taäp moïi ña thöùc treân K. 3.2 Caùc pheùp toaùn treân ña thöùc. Treân K[X] coù hai pheùp toaùn coäng vaø nhaân ñònh nghóa nhö sau: k k k Pheùp coäng: akX + bkX = (ak + bk)X k k k i j k Pheùp nhaân: ( aiX )( bjX )= ckX vôùi ck = a0bk + ···+ akb0 = aibj. i j k i+j=k Meänh ñeà. K[X] laø vôùi hai pheùp toaùn treân laø moät vaønh giao hoaùn. Baøi taäp: Chöùng minh meänh ñeà treân.
Chöông 0. Kieán thöùc chuaån bò 7 Nhaän xeùt. deg P (X)Q(X) = deg P (X) + deg Q(X), vôùi moïi P (X),Q(X) ∈ K[X]. 3.3 Pheùp chia Euclid. Cho hai ña thöùc P0(X),P1(X) ∈ K[X],P1(X) =0 . Khi ñoù toàn taïi duy nhaát caùc ña thöùc Q(X),R(X) ∈ K[X], sao cho P0(X)=Q(X)P1(X)+R(X), deg R(X) 0, thì khöû heä soá baäc cao nhaát cuûa Rk baèng caùch: lc(Rk) n Rk+1 = Rk − X k P1 lc(P1) lc(Rk) n Qk+1 = Qk + X k lc(P1) Ta coù P0 = Qk+1P1 + Rk+1 Do deg Rk+1 < deg Rk, neân ñeán voøng laëp thöù m ≤ deg P0, ta coù deg Rm < deg P1. Khi ñoù Q = Qm,R= Rm. Ví duï. Thuaät toaùn chia Euclid X4 − 2X3 − 6X2 +12X +15 cho X3 + X2 − 4X − 4 coù theå thöïc hieän theo sô ñoà 4 3 2 3 2 R0 = X − 2X − 6X +12X +15| X + X − 4X − 4 3 2 R1 = − 3X − 2X +16X +15 X − 3 2 R2 = X +4X +3 Vaäy X4 − 2X3 − 6X2 +12X +15=(X3 + X2 − 4X − 4)(X − 3) + X2 +4X +3 n Baøi taäp: Thöïc hieän pheùp chia P (X)=a0 + a1X + ···+ anX cho X − c. 3.4 Öôùc chung lôùn nhaát. Ña thöùc P (X) ∈ K[X] goïi laø chia heát cho ña thöùc D(X) ∈ K[X] neáuu toàn taïi ña thöùc A(X) ∈ K[X], sao cho P (X)=A(X)D(X). Khi ñoù D(X) goïi laø moät öôùc cuûa P (X) vaø kyù hieäu D(X)|P (X). Öôùc chung lôùn nhaát cuûa caùc ña thöùc P0(X),P1(X) ∈ K[X], laø moät ña thöùc D(X) ∈ K[X], thoaû ñieàu kieän: D(X)|P0(X),D(X)|P1(X) vaø neáu C(X)|P0(X),C(X)|P1(X) thì C(X)|D(X) Khi ñoù kyù hieäu D(X)=GCD(P0(X),P1(X)) Nhaän xeùt. Öôùc chung lôùn nhaát ñöôïc xaùc ñònh sai khaùc moät haèng soá tæ leä. Nhaän xeùt. Neáu P0 = QP1 + R, thì GCD(P0,P1)=GCD(P1,R), vì öôùc chung cuûa
8 P0,P1 laø öôùc chung cuûa P1,R. Ngoaøi ra GCD(R, 0) = R, neân öôùc chung lôùn nhaát ñöôïc xaây döïng töø daõy phaàn dö cuûa thuaät chia Euclid, nhö sau: Thuaät toaùn tìm GCD. Input : P0,P1 ∈ K[X], P0,P1 =0 Output : GCD(P0,P1) vaø U, V ∈ K[X], thoaû UP0 + VP1 = GCD(P0,P1) Xaây döïng daõy ña thöùc khaùc khoâng (P0,P1,P2, ··· ,Pm), vôùi Pk laø phaàn dö cuûa pheùp chia Pk−2 cho Pk−1: Pk−2 = Qk−1Pk−1 + Pk (k =2, ··· ,m− 1) Pm−2 = Qm−1Pm−1 + Pm Pm−1 = QmPm Theo nhaän xeùt treân ta coù GCD(P0,P1)=GCD(Pm, 0) = Pm Thuaät toaùn coøn cho caùc daõy ña thöùc (U0, ··· ,Um) vaø (V0, ··· ,Vm), thoaû Pk = UkP0 + VkP1, (k =0, ··· ,m)(∗) Tröôùc heát, khi k =0, 1, ta phaûi coù U0 =1,V0 =0vaø U1 =0,V1 =1. Sau ñoù ñeä qui Uk = Uk−2 − Qk−1Uk−1 vaø Vk = Vk−2 − Qk−1Vk−1 (k =2, ···m) Ta kieåm tra daõy thoaû (∗) baèng qui naïp. Giaû söû (∗) ñuùng ñeán k − 1. Khi ñoù Pk = Pk−2 − Qk−1Pk−1 =(Uk−2P0 + Vk−2P1) − Qk−1(Uk−1P0 + Vk−1P1) =(Uk−2 − Qk−1)P0 +(Vk−2 − Qk−1Vk−1)P1 = UkP0 + VkP1 Khi U = Um,V = Vm ta coù UP0 + VP1 = Pm = GCD(P0,P1). Vaäy ta coù: Ñaúng thöùc Beùzout. Cho P0(X),P1(X) ∈ K[X]. Khi ñoù toàn taïi U(X),V(X) ∈ K[X] sao cho GCD(P0(X),P1(X)) = U(X)P0(X)+V (X)P2(X) 4 3 2 3 2 Ví duï. Vôùi P0(X)=X − 2X − 6X +12X +15vaø P1(X)=X + X − 4X − 4, caùc böôùc cuûa thuaät toaùn treân ñöôïc theå hieän qua baûng sau k Pk−2 Pk−1 Qk−1 Pk 2 X4 − 2X3 − 6X2 +12X +15 X3 + X2 − 4X − 4 X − 3 X2 +4X +3 3 X3 + X2 − 4X − 4 X2 +4X +3 X − 3 5X +5 2 1 3 4 X +4X +3 5X +5 5 X + 5 0 5 5X +5 0 1 2 4 U0 =1,U1 =0,U2 =1,U3 = −X +3,U4 = 5 X − 5 ,U5 = −X +3 2 1 3 3 2 3 2 V0 =0,V1 =1,V2 = −X+3,V3 = X −6X+10,V4 = − X + X + X−3,V5 = X −6X+10 5 5 5
Chöông 0. Kieán thöùc chuaån bò 9 2 Vaäy GCD(P0,P1)=5X +5vaø (−X +3)P +0+(X − 6X + 10)P1 =5X +5. n 3.5 Nghieäm - Boäi. Cho ña thöùc P (X)=a0 + a1X + ···+ anX ∈ K[X]. n Giaù trò cuûa P (X) taïi c ∈ K ñònh nghóa laø P (c)=a0 + a1c + ···+ anc . Nhaän xeùt. Ñeå duøng ít pheùp toaùn khi tính P (c), ta coù qui taéc Horner sau P (c)=(···((anc + an−1)c + an−1)c + ···+ a1)c + a0 Neáu P (c)=0, thì c goïi laø moät nghieäm cuûa P (X). Ñònh lyù Beùzout. c ∈ K laø nghieäm cuûa ña thöùc P (X) khi vaø chæ khi toàn taïi ña thöùc Q(X) ∈ K[X], sao cho P (X)=(X − c)Q(X) Chöùng minh: Theo pheùp chia Euclid P (X)=(X − c)Q(X)+r, vôùi r ∈ K. Suy ra P (c)=r. Vaäy P (c)=0khi vaø chæ khi r =0hay P (X)=(X − c)Q(X). Nhaän xeùt. Theo ñònh lyù treân, soá nghieäm cuûa moät ña thöùc baäc n laø khoâng quaù n. m Phaàn töû c ∈ K goïi laø nghieäm boäi m cuûa P (X) neáuu P (X)=(X − c) P1(X), m vôùi P1(X) ∈ K[X] vaø P1(c) =0 , i.e. P (X) chia heát cho (X − c) , nhöng khoâng chia heát cho (X − c)m+1 3.6 Ña thöùc treân tröôøng phöùc. Ta coâng nhaän ñònh lyù sau Ñònh lyù cô baûn cuûa ñaïi soá. Moïi ña thöùc baäc > 0 treân tröôøng phöùc ñeàu coù nghieäm phöùc. Meänh ñeà. Moïi ña thöùc phöùc P (X) ∈ C[X], baäc n ñeàu coù n nghieäm phöùc keå caû boäi, i.e. toàn taïi caùc soá phöùc c1, ··· ,cs ∈ C, khaùc nhau, sao cho m1 ms P (X)=an(X − c1) ···(X − cs) trong ñoù an laø heä soá baäc n cuûa P (X), m1 + ···+ ms = n Chöùng minh: Theo ñònh lyù treân, neáu n>0, P (X) coù nghieäm c1 ∈ C. Theo ñònh lyù Beùzout P (X)=(X − c1)P1(X). Neáu deg P1 = n − 1 > 0, thì laëp lyù luaän treân cho P := P1. Khi ñeán baäc 0, ta coù P (X)=(X − c1) ···(X − cn)A, vôùi A laø soá. Ñoàng nhaát heä soá baäc cao nhaát cuûa ña thöùc 2 veá, ta coù an = A. 3.7 Ña thöùc treân tröôøng thöïc. Meänh ñeà. Cho ña thöùc thöïc P (X) ∈ R[X]. Khi ñoù (i) Neáu c ∈ C laø nghieäm cuûa P (X), thì soá phöùc lieân hôïp c¯ cuõng laø nghieäm cuûa P (X). (ii) Neáu n =degP (X), thì P (X) coù phaân tích thaønh thöøa soá baäc 1 hay baäc 2 nhö sau m1 mr 2 n1 2 ns P (X)=an(X − c1) ···(X − cr) (X + p1X + q1) ···(X + psX + qs) trong ñoù an laø heä soá baäc n cuûa P (X), cj (j =1, ···r) laø caùc nghieäm thöïc cuûa P (X), 2 X + pkX + qk (k =1, ··· ,s) laø caùc tam thöùc baäc hai khoâng coù nghieäm thöïc.
10 (iii) Neáu n =degP (X) laø leû, thì P (X) coù nghieäm thöïc. Chöùng minh: n (i) Giaû söû P (X)=a0 + a1X + ···+ anX ∈ R[X]. Khi ñoù vôùi moïi c ∈ C, ta coù n n P (c)=a0 + a1c + ···+ anc = a0 + a1c¯ + ···+ anc¯ = P (¯c) (ñeå yù laø ak ∈ R neân ak = ak, vaø lieân hôïp cuûa toång (tích) laø toång (tích) lieân hôïp) Vaäy P (c)=0khi vaø chæ khi P (¯c)=0. Suy ra (i). (ii) Cho c = a + ib ∈ C. Khi ñoù (X − c)(X − c¯)=X2 − (c +¯c)X + cc¯ = X2 − 2aX +(a2 + b2) laø ña thöùc coù heä soá thöïc daïng (X − a)2 + b2, neân voâ nghieäm khi b =0 , i.e. khi c ∈ R. Vôùi nhaän xeùt treân vaø ñònh lyù phaân tích ña thöùc treân tröôøng phöùc ta coù (ii). (iii) Theo (ii) neáu deg P (X)=n leû, thì P (X) phaûi coù moät thöøa soá (X −c), vôùi c ∈ R, i.e. coù nghieäm thöïc c. 3.8 Tìm nghieäm ña thöùc baèng pheùp khai caên. Phaàn naøy ñeà caäp ñeán vieäc giaûi tìm nghieäm ña thöùc phöùc. Phöông trình baäc 2: ax2 + bx + c =0 (a =0) b c Chia cho a: x2 x + a + a =0 b b2 − 4ac Tònh tieán ñeå khöû soá haïng baäc 1: X = x+ , phöông trình coù daïng X 2 − =0 2a (2a)2 r −b ± r Tìm r laø moät caên baäc 2 cuûa b2 − 4ac. Suy ra X = ± . Vaäy x = 2a 2a Phöông trình baäc 3: ax3 + bx2 + cx + d =0 (a =0) b c d Chia cho a: x3 x2 x + a + a + a =0 b Tònh tieán ñeå khöû soá haïng baäc 2: X = x+ , phöông trình coù daïng X 2 +pX +q =0 3a Vieäc giaûi phöông trình X2 + pX + q =0, nhö sau: Ñaët X = u + v, phöông trình coù daïng u3 + v3 +(3uv + p)(u + v)+q =0. Ta caàn tìm u, v thoûa heä phöông trình: u3 + v3 = −q p uv = − 3 p3 Ñaët U = u3,V = v3. Ta coù U + V = −q, UV = . 327 2 p Vaäy U, V laø nghieäm phöông trình X + qX − =0. Giaûi tìm nghieäm U0,V0. 27 3 2 2π 2π Giaûi u = U0, ta coù 3 nghieäm u0,ju0,j u0, vôùi j =cos( )+i sin( ). 3 3 3 p Giaûi v = V0, tìm nghieäm v0 thoaû phöông trình thöù hai cuûa heä u0v0 = − . 2 2 3 Vaäy coù 3 nghieäm cuûa heä laø (u0,v0), (ju0,j v0), (j u0,jv0)
Chöông 0. Kieán thöùc chuaån bò 11 2 2 Vaäy 3 nghieäm caàn tìm: X1 = u0 + v0,X2 = ju0 + j v0,X3 = j u0 + jv0 Caùc tính toaùn treân ñöôïc toång keát baèng coâng thöùc Cardano: 2 3 2 3 b 3 q q p 3 q q p x = − + − + + + − − + 3a 2 4 27 2 4 27 Nhaän xeùt. Trong thöïc haønh coâng thöùc treân laø voâ duïng. Chaúng haïn, coâng thöùc treân ñoái vôùi x3 − 21x +20=0(coù caùc nghieäm laø 1, 4, −5): 3 √ 3 √ x = −10 + i 243 + −10 − i 243 =??? Baøi taäp: Giaûi caùc phöông trình; x3 − 15x − 4=0, −2x3 +18x2 − 42x +10=0. Phöông trình baäc 4: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e =0 (a =0) b Chia cho a, roài tònh tieán ñeå khöû soá haïng baäc 3, ñaët X = x + , ñöa veà giaûi phöông 4a trình: X4 + pX2 + qX + r =0 Phaân tích: X4 + pX2 + qX + r =(X2 + αX + β)(X2 − αX + γ) Ñoàng nhaát heä soá, ta coù α, β, γ laø nghieäm cuûa heä:   2  β + γ = p + α βγ = r  q  γ − β = α Töø ñoù α2 laø nghieäm phöông trình baäc 3: α2(p + α2)2 − 4rα2 − q =0 Giaûi ta coù α, β, γ. Thay vaøo phöông trình tích, roài giaûi phöông trình baäc 2 ta coù caùc nghieäm X1,X2,X3,X4 Baøi taäp: Giaûi phöông trình: x4 +2x3 +5x2 +6x +9=0 Phöông trình baäc ≥ 5. Abel (1802-1829) ñaõ chöùng minh khoâng theå giaûi moät phöông trình ña thöùc baäc ≥ 5 toång quaùt, theo nghóa khoâng theå bieåu dieãn nghieäm nhö laø bieåu thöùc goàm caùc pheùp toaùn ñaïi soá (coäng, tröø, nhaân, chia) vaø caên soá (baäc 2, 3, ···) cuûa caùc heä soá cuûa ña thöùc. Sau ñoù Galois (1811-1832) duøng lyù thuyeát nhoùm ñaõ tìm ñöôïc tieâu chuaån ñeå moät phöông trình baäc ≥ 5 cuï theå coù giaûi ñöôïc baèng caên thöùc khoâng. Ví duï phöông trình x5 − x − 1=0khoâng giaûi ñöôïc baèng caên thöùc Tìm nghieäm höõu tæ cuûa phöông trình heä soá nguyeân. Cho moät ña thöùc coù heä soá nguyeân n P (X)=a0 + a1X + ···+ anX ak ∈ Z,k =0, ··· ,n,an =0 p Khi ñoù neáu moät soá höõu tæ , vôùi gcd p, q , laø nghieäm cuûa P X , thì p laø öôùc soá q ( )=1 ( ) cuûa a0 vaø q laø öôùc soá cuûa an.
12 p p Chöùng minh: Neáu laø nghieäm cuûa P X , thì töø P , ta coù q ( ) ( q )=0 n n−1 n−1 n a0q + a1q p + ···+ an−1qp + anp =0 Do gcd(p, q)=1, töø ñaúng thöùc treân deã suy ta p laø öôùc soá cuûa a0, q laø öôùc cuûa an. Baøi taäp: Tìm caùc nghieäm höõu tæ cuûa phöông trình: 3x4 +5x3 + x2 +5x − 2=0 3.9 Phaân thöùc. Moät phaân thöùc treân K laø moät bieåu thöùc daïng P (X) , trong ñoù P (X),Q(X) ∈ K[X],Q(X) =0 Q(X) P (X) P1(X) Hai phaân thöùc baèng nhau: = ⇔ P (X)Q1(X)=P1(X)Q(X). Q(X) Q1(X) k k Ñònh lyù. Cho P (X),Q(X) ∈ K[X]. Giaû söû Q(X)=Q1(X) 1 ··· Qs(X) s , vôùi Q1(X), ··· ,Qs(X) ∈ K[X] thoaû ñieàu kieän GCD(Qi(X),Qj(X)) = 1, neáu i = j. Khi ñoù toàn taïi duy nhaát caùc ña thöùc A(X),Pij(X) ∈ K[X],i=1, ··· ,s,j =1, ··· ,ki, sao cho deg Pij(X) < deg Qi(X) vaø   P X s ki P X ( ) A X  ij( )  Q X = ( )+ Q X j ( ) i=1 j=1 i( ) Chöùng minh: Söï toàn taïi: Neáu deg P<deg Q vaø Q = D1D2, vôùi GCD(D1,D2)=1, thì theo ñaúng thöùc Beùzout ta coù 1=U1D1 + U2D2,U1,U2 ∈ K[X] Suy ra P = PU1D1 + PU2D2. Chia Euclid, ta coù PU1 = AD2 + V2, deg V2 < deg D2. Vaäy P = V2D1 + V1D2, vôùi V1 = AD1 + PU2.Dodeg P<deg Q, deg V2 < deg D2, ta coù deg V1 < deg D1. Suy ra ta coù bieåu dieãn P V1 V2 = + , vôùi deg V1 < deg D1, deg V2 < deg D2 Q D1 D2 Tröôøng hôïp toång quaùt, tröôùc heát chia Euclid P cho Q ta coù thöông laø A. Sau ñoù aùp k1 k2 ks duïng bieåu dieãn treân cho D1 = Q1 , D2 = Q2 ···Qs . Tieáp tuïc aùp duïng bieåu dieãn k2 ks treân cho Q = Q2 ···Qs . Sau höõu haïn böôùc ta coù phaân tích   P s ki P A  ij  , vôùi P < Q Q = + j deg ij deg i i=1 j=1 Qi Tính duy nhaát: Giaû söû coù caùc ña thöùc khaùc A ,Pij ∈ K[X], sao cho   P s ki P A  ij  , vôùi P < Q Q = + j deg ij deg i i=1 j=1 Qi
Chöông 0. Kieán thöùc chuaån bò 13 Suy ra A = A do tính duy nhaát cuûa pheùp chia Euclid. s ki P − P  ij ij  Tröø hai bieåu dieãn ta coù j =0 (∗). i=1 j=1 Qi Giaû söû phaûn chöùng laø P − P . Nhaân ∗ vôùi Q, suy ra 1k1 1,k1 =0 ( ) P − P Qk2 ···Qks Q U , vôùi U ∈ K X ( 1k1 1,k1 ) 2 s + 1 =0 [ ] Do GCD Q ,Qk2 ···Qks , neân Q | P −P . Vaäy P −P ≥ Q . ( 1 2 s )=1 1 ( 1k1 1,k1 ) deg( 1k1 1,k1 ) deg 1 Ñieàu naøy maâu thuaãn vôùi P − P ≤ P , P ≤ Q . deg( 1k1 1,k1 ) max(deg 1k1 deg 1k1 ) deg 1 Vaäy phaûi coù P − P . 1k1 1,k1 =0 Töông töï laäp luaän treân, ta coù Pij = Pij, ∀ij. Heä quaû 1. Moïi phaân thöùc treân tröôøng phöùc ñeàu coù phaân tích duy nhaát döôùi daïng P X s mi a ( ) A X ij Q X = ( )+ X − c j ( ) i=1 j=1 ( i) trong ñoù A(X) ∈ C[X], aij ∈ C, c1, ··· ,cs ∈ C laø caùc nghieäm cuûa Q(X) vôùi boäi m1, ··· ,ms töông öùng. Heä quaû 2. Moïi phaân thöùc treân tröôøng thöïc ñeàu coù phaân tích duy nhaát döôùi daïng P X r mi a s ni b X c ( ) A X ij ij + ij Q X = ( )+ X − c j + X2 p X q j ( ) i=1 j=1 ( i) i=1 j=1 ( + i + i) m m 2 n 2 n trong ñoù Q(X)=an(X −c1) 1 ···(X −cr) s (X +p1X +q1) 1 ···(X +psX +qs) s , 2 X + piX + qi (i =1, ··· ,s) khoâng coù nghieäm thöïc., A(X) ∈ R[X], aij,bij,cij ∈ R. Ví duï. Phaân tích 1 thaønh phaân thöùc ñôn treân tröôøng thöïc: X5 − X2 Ta coù X5 − X2 = X2(X − 1)(X2 + X +1). 1 A B C DX + E Vaäy phaân tích coù daïng = + + + . X5 − X2 X X2 X − 1 X2 + X +1 Ñeå tính caùc heä soá A, B, C, D, E döïa vaøo 1=AX(X−1)(X2+X+1)+B(X−1)(X2+X+1)+CX2(X2+X+1)+(DX+E)X2(X−1) Ñoàng nhaát heä soá ña thöùc 2 veá (goïi laø phöông phaùp heä soá baát ñònh), roài giaûi heä phöông trình tuyeán tính, ta coù 1 0 1 1 X − 1 = − + − X5 − X2 X X2 3(X − 1) 3(X2 + X +1)
I. Khoâng gian vector hình hoïc Chöông naøy vector ñöôïc trình baøy döïa vaøo tröïc quan, vôùi muïc ñích taïo moâ hình hình hoïc giuùp cho vieäc tö duy tröøu töôïng vaø khaùi quaùt hoùa ôû caùc chöông sau. Ñeå coù theå laøm vieäc cuï theå hôn treân caùc vector, nguôøi ta ñaïi soá hoaù khoâng gian hình hoïc baèng caùch ñöa vaøo heä côû sôû Descartes1. Khi ñoù caùc pheùp toaùn treân vector seõ coù coâng thöùc tính thuaän lôïi, coøn caùc ñoái töôïng hình hoïc nhö ñöôøng, maët cong seõ ñöôïc moâ taû bôûi caùc phöông trình giuùp cho vieäc nghieân cöùu hình hoïc deã daøng vaø cuï theå hôn. 1. Vector hình hoïc Trong nhieàu vaán ñeà toaùn hoïc cuõng nhö vaät lyù ngoaøi caùc ñaïi löôïng voâ höôùng, coøn coù nhieàu ñaïi löôïng coù höôùng chuùng ñöôïc ñaëc tröng bôûi ñoä lôùn vaø höôùng, chaúng haïn löïc, vaän toác, . Caùc ñaïi löôïng naøy ñöôïc moâ hình hoaù thaønh caùc vector. 1.1 Ñònh nghóa. Trong khoâng gian Euclid E3 moät vector ñöôïc moâ taû nhö laø moät ñoaïn thaúng ñöôïc ñònh höôùng AB. −→ Kyù hieäu: AB= v, hay ñôn giaûn chæ laø v. A goïi ñieåm goác, B goïi laø ñieåm ngoïn. Ñöôøng thaúng AB goïi laø phöông, höôùng töø A ñeán B. −→ Ñoä daøi ñoaïn AB, kyù hieäu laø AB . B phöông 3 −→v A 3 −→v −→ −→ −→ −→ Hai vector AB, CD goïi laø baèng nhau, kyù hieäu AB=CD, neáuu chuùng cuøng ñoä daøi vaø höôùng, i.e. ABDC laø hình bình haønh. → Vector khoâng, kyù hieäu laø O hay O, laø vector coù goác truøng vôùi ngoïn. −→ −→ −→ Vector ñoái cuûa AB ñöôïc kyù hieäu vaø ñònh nghóa − AB=BA. Nhaän xeùt. Phaân bieät ñònh nghóa treân vôùi khaùi nieäm vector buoäc khi ta xem hai vector coù goác khaùc nhau laø khaùc nhau. 1Reneù Descartes (1596-1650) vaø Pierre Fermat (1601-1665) ñöôïc xem laø caùc cha ñeû cuûa Hình hoïc giaûi tích
16 → → → → 1.2 Coäng vector: u + v , cuûa hai vector u, v , laø vector xaùc ñònh bôûi qui taéc hình bình haønh hay qui taéc hình tam giaùc sau: −→ −→ −→ −→ u + v : u + v 3 −→ 3 v −→ −→ u u −→ v: → → → Tính chaát. Vôùi moïi vector u, v , w,tacoù → → → → u + v = v + u → → → → → → (u + v )+ w = u +( v + w) → → → v + O = v → → → v +(− v )=O Heä thöùc Chasles. Trong khoâng gian cho caùc ñieåm A0,A1, ···An. Khi ñoù −→ −→ −→ −→ A0A1 + A1A2 + ···+ An−1An = A0An → 1.3 Nhaân vector vôùi soá: αv, cuûa vector v vaø soá α, laø vector: → Coù ñoä daøi laø |α| v . → → → → Cuøng höôùng vôùi v neáu α>0, ngöôïc höôùng vôùi v neáu α 0) t t −→ α v (α<0) + → → Tính chaát. Vôùi moïi vector u, v vaø caùc soá α, β,tacoù → → α(β v )=(αβ) v → → → (α + β) v = α v +β v → → → → α(u + v )=α u +α v → → 1 v = v
Chöông I. Khoâng gian vector hình hoïc 17 2. Cô sôû Descartes - Toïa ñoä Ñeå coù theå laøm vieäc cuï theå hôn treân caùc vector, ngöôøi ta ñaïi soá hoùa nhö sau 2.1 Heä cô sôû Descartes. Descartes ñaõ ñaïi soá hoaù maët phaúng E2 hay khoâng gian Euclid E3 baèng caùch ñöa vaøo heä toïa truïc, maø chuùng ta ñaõ quen bieát vôùi caùi teân goïi → → → heä cô sôû Descartes , laø boä boán (O; e1, e2, e3): Ñieåm O goïi laø goác cuûa heä. → → → Caùc vector e1, e2, e3, goïi laø caùc vector cô sôû, thoaû caùc tính chaát sau: → → → (i) e1, e2, e3 vuoâng goùc vôùi nhau töøng ñoâi. → → → (ii) e1 = e2 = e3 =1. → → → (iii) Boä ba (e1, e2, e3) taïo thaønh tam dieän thuaän (?). z 6 tM −→ y e3 6 −→ e2 t - - O −→ x e1 Caùc ñöôøng thaúng coù vector chæ phöông e1,e2,e3 thöôøng ñöôïc goïi teân laø caùc truïc Ox, Oy, Oz töông öùng. Heä côû sôû trong maët phaúng E2 ñöôïc ñònh nghóa töông töï nhö trong E3. Hôn nöõa, ta seõ ñoàng nhaát E2 vôùi maët phaúng Oxy trong E3, neân tieáp sau ñaây caùc khaùi nieäm seõ chæ ñöôïc trình baøy trong khoâng gian. → → → 2.2 Toïa ñoä. Khi coá ñònh moät heä cô sôû Descartes (O; e1, e2, e3), ta coù: • Moãi ñieåm M ∈ E3 töông öùng duy nhaát moät boä ba soá (x, y, z), goïi laø toïa ñoä ñieåm M, xaùc ñònh qua caùc vector cô sôû nhôø pheùp chieáu vuoâng goùc: −→ → → → OM= x e1 +y e2 +z e3 . → • Moãi vector v , sau khi ñöa goác veà O seõ coù ngoïn laø A ∈ E3, töông töï nhö treân → −→ → → → → v =OA= v1 e1 +v2 e2 +v3 e3. Ta coù theå moâ taû ñaïi soá vector v nhö boä ba (v1,v2.v3) → → goïi laø toïa ñoä vector v . Ta vieát: v =(v1,v2,v3). Vieäc vieát cuøng kyù hieäu toïa ñoä cho vector vaø ñieåm seõ ñöôïc chæ ñònh roõ khi caàn. 3 Nhaän xeùt. Nhö vaäy khi ñöa vaøo heä cô sôû ta ñaõ ñoàng nhaát E3 vôùi R , i.e. ta ñaõ ñaïi soá hoaù khoâng gian E3. Coù thuaän tieän gì ? Haõy xem 2.3 Moâ taû ñoái töôïng hình hoïc baèng phöông trình hay phöông trình tham soá. Xeùt caùc ñoái töôïng hình hoïc (ñöôøng, maët, khoái,···) trong maët phaúng E2 hay khoâng
18 gian E3: X = {M : M thoaû ñieàu kieän (P )} Coá ñònh moät cô sôû Descartes. Khi ñoù caùc ñieåm M thay ñoåi vaø thoaû ñieàu kieän (P ), thì töông öùng caùc toïa ñoä (x, y, z) cuûa M cuõng thay ñoåi vaø thoûa ñieàu kieän (F ) naøo ñoù. Cuï theå hôn, ta thöôøng gaëp caùc tröôøng hôïp sau: • Ñieàu kieän hình hoïc coù theå moâ taû bôûi phöông trình: M thoaû (P ) ⇔ (x, y, z) thoûa phöông trình F (x, y, z)=0 trong ñoù F : D → R, laø moät haøm soá xaùc ñònh treân D ⊂ R3. Khi ñoù ta noùi X ñöôïc cho bôûi phöông trình F (x, y, z)=0. Ví duï. a) Trong maët phaúng, ñöôøng troøn taâm A =(a, b) baùn kính R>0 laø taäp ñònh nghóa C = {M ∈ E2 : khoaûng caùc töø M ñeán A baèng R} C ñöôïc cho bôûi phöông trình: F (x, y)=(x − a)2 +(y − b)2 − R2 =0. b) Töông töï,ï trong khoâng gian maët caàu taâm A =(a, b, c), baùn kính R>0 ñöôïc cho bôûi phöông trình F (x, y, z)=(x − a)2 +(y − b)2 +(z − c)2 − R2 =0 Toång quaùt hôn, khi caùc ñieàu kieän (P1), ··· , (Pk) coù theå moâ taû bôûi caùc phöông trình töông öùng F1 =0, ··· ,Fk =0, thì k X = {M : M thoaû ñieàu kieän (P1) vaø ··· vaø (Pk)} = {M : M thoaû ñieàu kieän (Pi)} i=1 Khi ñoù ta noùi X ñöôïc cho bôûi heä phöông trình: F1(x, y, z)=0, ··· ,Fk(x, y, z)=0 Ví duï. Heä phöông trình: (x − a)2 +(y − b)2 +(z − c)2 = R2,z=0, moâ taû giao cuûa maët caàu vaø maët phaúng, vaäy laø ñöôøng troøn treân maët phaúng Oxy • Ñieàu kieän hình hoïc coù theå moâ taû bôûi phöông trình tham soá: Khi taäp ñang xeùt laø ñöôøng cong C (chaúng haïn quõy ñaïo cuûa moät ñieåm), noù thöôøng coøn ñöôïc moâ taû bôûi M ∈ C ⇔ (x = f(t),y = g(t),z = h(t)),t∈ I trong ñoù f,g,h : I → R laø caùc haøm xaùc ñònh treân I ⊂ R. Khi ñoù ta noùi ñöôøng cong C ñöôïc cho bôûi phöông trình tham soá   x = f(t) y = g(t) , vôùi tham soá t ∈ I  z = h(t)
Chöông I. Khoâng gian vector hình hoïc 19 Töông töï, maët cong S thöôøng coøn ñöôïc moâ taû bôûi M ∈ S ⇔ (x = f(s, t),y = g(s, t),z = h(s, t)), (s, t) ∈ D trong ñoù f,g,h : D → R laø caùc haøm xaùc ñònh treân D ⊂ R2. Ta noùi maët S ñöôïc cho bôûi phöông trình tham soá   x = f(s, t) y = g(s, t) , vôùi 2 tham soá (s, t) ∈ D  z = h(s, t) Ví duï. a) Ñöôøng troøn taâm A =(a, b), baùn kính R, coù theå cho bôûi phöông trình tham soá trong maët phaúng: x = a + R cos t t ∈ [0, 2π] y = b + R sin t (t trong tröôøng hôïp naøy laø ñoä lôùn cuûa goùc quay) b) Maët caàu taâm A =(a, b, c), baùn kính R, coù theå cho bôûi phöông trình tham soá trong khoâng gian:   x = a + R cos s sin t y = b + R sin s sin t , (s, t) ∈ [0,π] × [0, 2π]  z = c + R cos t (s, t trong tröôøng hôïp naøy coù theå xem laø vó ñoä vaø kinh ñoä treân maët caàu) Ngoaøi ra, coøn nhieàu tröôøng hôïp ñieàu kieän hình hoïc coù theå moâ taû bôûi heä phöông trình vaø baát phöông trình maø ta khoâng xeùt ôû ñaây. 3. Coâng thöùc ñaïi soá cuûa caùc pheùp toaùn treân vector → → → Trong E3 coá ñònh heä cô sôû Descartes (O; e1, e2, e3). → → → Cho ba vector u=(u1,u2,u3), v =(v1,v2,v3), w=(w1,w2,w3). → → 3.1 Coâng thöùc coäng vector. u + v =(u1 + v1,u2 + v2,u3 + v3) → 3.2 Coâng thöùc nhaân vector vôùi soá. α v =(αv1,αv2,αv3). → 2 2 2 3.3 Coâng thöùc tính ñoä daøi. v = v1 + v2 + v3 (coâng thöùc Pythagore) 3.4 Coâng thöùc tính khoaûng caùch. Cho caùc ñieåm A(a1,a2,a3) vaø B(b1,b2,b3). Khoaûng −→ −→ −→ caùch giöõa chuùng laø ñoä daøi vector AB=OB − OA=(b1 − a1,b2 − a2,b3 − a3). Vaäy −→ 2 2 2 d(A, B)= AB = (b1 − a1) +(b2 − a2) + b3 − a3) Ngoaøi caùc pheùp toaùn coäng vaø nhaân vôùi soá, coøn caùc pheùp toaùn cô baûn treân caùc vector maø ta seõ ñònh nghóa vaø tính toaùn sau ñaây.
20 → → → → → → 3.5 Tích voâ höôùng: = u . v , cuûa hai vector u, v , laø moät soá ñöôïc ñònh nghóa: → → → → → → = u v cos (u, v ) → → → → → Veà maët hình hoïc hình chieáu vuoâng goùc cuûa u leân phöông v laø → v (Baøi taäp) v 2 Coâng thöùc qua toïa ñoä: → → = u1v1 + u2v2 + u3v3 → −→ → −→ Chöùng minh: Goïi u=OA, v =OB. Ta coù −→ → → 2 2 2 2 2 2 2 AB = v − u = u1 + u2 + u3 + v1 + v2 + v3 − 2(u1v1 + u2v2 + u3v3) Maët khaùc, ta coù heä thöùc löôïng giaùc cho tam giaùc OAB: −→ −→ −→ −→ −→ AB 2 = OA 2 + OB 2 − 2 OA OB cos (AOB) So saùnh veá phaûi cuûa caùc ñaúng thöùc treân, ta coù coâng thöùc caàn tìm. → → → Tính chaát. Vôùi moïi vector u, v , w vaø caùc soá α, β,tacoù → → → → = → → → → → → → = α + β → → → → → → = v 2 ≥ 0, vaø =0⇔v = O → → → → → → 3.6 Tích höõu höôùng: u × v =u ∧ v , goïi laø tích vector cuûa hai vector u, v (theo ñuùng thöù töï ñoù), laø moät vector: → → → → u × v vuoâng goùc vôùi maët phaúng ( u, v ). → → → → u, v , u × v laø tam dieän thuaän. ( ) → → → → → → → → → → u × v = u v | sin (u, v )| = u 2 v 2− 2 → → → → Veà maët hình hoïc u × v = dieän tích hình bình haønh taïo bôûi u, v . −→ → u × v 6 −→v - −→u → → → Ñeå ñònh nghóa ñöôïc chaët cheõ ta qui öôùc u × v laø vector O trong tröôøng hôïp moät → trong hai vector baèng O, hay hai vector song song. → → → → → → → → → Ví duï. e1 × e1=O, e1 × e2=e3, e1 × e3= − e2. Coâng thöùc qua toïa ñoä: → → → e1 e2 e3 → → u2 u3 → u1 u3 → u1 u2 → u × v = u1 u2 u3 = e1 − e2 + e3 v2 v3 v1 v3 v1 v2 v1 v2 v3
Chöông I. Khoâng gian vector hình hoïc 21 → → Chöùng minh: Goïi u × v =(x, y, z). Töø caùc tính chaát → → → → → → → → → → → → u × v ⊥ u, u × v ⊥ v , u × v 2 = u 2 v 2 sin2 (u, v ) , ta coù caùc phöông trình töông öùng u1x + u2y + u3z =0 v1x + v2y + v3z =0 2 2 2 2 2 2 x + y + z =(u1v2 − u2v1) +(u1v3 − u3v1) +(u2v3 − u3v2) → → → → Giaûi heä phöông trình, keát hôïp vôùi ñieàu kieän ( u, v , u × v ) laø tam dieän thuaän, ta coù coâng thöùc treân. → → → Tính chaát. Vôùi moïi vector u, v , w vaø caùc soá α, β, ta coù → → → → u × v = − v × u → → → → → → → (α u + β v )× w = α u × w + β v × w → → → 3.7 Tích hoãn hôïp: cuûa ba vector u, v , w ñöôïc ñònh nghóa laø soá → → → → → → (u, v , w)= Veà maët hình hoïc → → → → → → → → → |(u, v , w)| = u × v w | cos(u × v , w)| → → → = Dieän tích ñaùy × chieàu cao cuûa hình hoäp bình haønh taïo bôûi u, v , w → → → = Theå tích hình hoäp bình haønh taïo bôûi u, v , w → → u × v 6 → w ¨ ¨ ¨¨ ¢¢ ¨¨ ¢¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢ → ¢ ¢ v ¢ ¢ ¢ ¨*¢ ¢ ¨ ¢¨¨ -¢¨¨ →u Coâng thöùc qua toïa ñoä: u1 u2 u3 → → → u, v , w v v v ( )= 1 2 3 w1 w2 w3 → → → → → → → → → Khi (u, v , w) > 0, i.e. cos(u × v , w) > 0, heä (u, v , w) goïi laø thuaän . → → → Khi (u, v , w) =0. → → → → → b) Hai vector u, v song song khi vaø chæ khi u × v =O. → → → → → → c) Ba vector u, v , w ñoàng phaúng khi vaø chæ khi (u, v , w)=0.
22 4. Ñöôøng thaúng vaø maët phaúng Trong E3 coá ñònh moät heä cô sôû Descartes. Sau ñaây laø vaøi aùp duïng cuûa phöông phaùp toïa ñoä. 4.1 Phöông trình ñöôøng thaúng. Ñöôøng thaúng qua M0 =(x0,y0,z0) coù vector chæ → phöông v =(a, b, c) = O ñöôïc ñònh nghóa laø taäp −→ → ∆={M ∈ E3 : M0M song song vôùi v } ñöôøng thaúng ∆ −→ v 3 3 M t M0 −→ → Vaäy M =(x, y, z) ∈ ∆ neáu vaø chæ neáu M0M= t v ,t∈ R. Töø ñoù ta coù phöông trình tham soá cuûa ∆:   x = x0 + ta y = y0 + tb ,t∈ R  z = z0 + tc Khi a, b, c =0 , khöû t ta coù phöông trình chính taéc cuûa ∆: x − x0 y − y0 z − z0 a = b = c 4.2 Phöông trình maët phaúng. Cho M0 =(x0,y0,z0) vaø hai vector khoâng song song → → → → u=(u1,u2,u3), v =(v1,v2,v3). Maët phaúng qua M0 vaø coù caùc vector chæ phöông u, v ñöôïc ñònh nghóa laø taäp −→ → → P = {M ∈ E3 : M0M, u, v ñoàng phaúng } 6 →n ¡ → ¡ v 1 ¡ ¡ - ¡ M0 Ht M ¡ ¡ →HHj ¡ ¡ u ¡ ¡P ¡ −→ → → Vaäy M =(x, y, z) ∈ P neáu vaø chæ neáu M0M= s u +t v ,s,t∈ R.
Chöông I. Khoâng gian vector hình hoïc 23 Töø ñoù ta coù phöông trình tham soá cuûa P :   x = x0 + su1 + tv2 y = y0 + su2 + tv2 ,s,t∈ R  z = z0 + su3 + tv3 −→ → → −→ → → Ta cuõng coù M =(x, y, z) ∈ P neáu vaø chæ neáu (M0M, u, v )= =0. Töø ñoù ta coù phöông trình toång quaùt cuûa P Ax + By + Cz + D =0, → → → trong ñoù vector phaùp n=u × v =(A, B, C) = O laø vuoâng goùc vôùi P . 4.3. Moät soá baøi toaùn. Döïa vaøo toïa ñoä vaø phöông trình coù theå ñöa caùc baøi toaùn hình hoïc veà baøi toaùn ñaïi soá: Baøi toaùn 1: Xeùt vò trí cuûa 2 maët phaúng P1,P2. Soá giao ñieåm chính laø soá nghieäm cuûa heä phöông trình xaùc ñònh bôûi 2 maët phaúng: A1x + B1y + C1z + D1 =0 A2x + B2y + C2z + D2 =0 P1 ∩ P2 ⇔ A1B2 − A2B1,B1C2 − B2C1,C1A2 − C2A1 khoâng ñoàng thôøi baèng 0 P1 P2 ⇔ A1 : A2 = B1 : B2 = C1 : C2 = D1 : D2 P1 ≡ P2 ⇔ A1 : A2 = B1 : B2 = C1 : C2 = D1 : D2 Baøi toaùn 2: Xeùt vò trí ñöôøng thaúng ∆ vôùi maët phaúng P . Töông töï baøi toaùn treân xeùt heä phöông trình xaùc ñònh bôûi ñöôøng thaúng vaø maët phaúng.   x − x0 y − y0 z − z0 a = b = c  Ax + By + Cz + D =0 → Ta coù M = M0 + t v ∈ ∆ ∩ P ⇔ (Aa + Bb+ Cc)t + Ax0 + By0 + Cz0 + D =0. Vaäy ∆ ∩ P ⇔ Aa + Bb + Cc =0 ∆ P ⇔ Aa + Bb + Cc =0,Ax0 + By0 + Cz0 + D =0 ∆ ⊂ P ⇔ Aa + Bb + Cc =0,Ax0 + By0 + Cz0 + D =0 Baøi toaùn 3: Tính goùc giöõa caùc maët phaúng / ñöôøng thaúng. Vôùi kyù hieäu ôû treân ta coù → → |A1A2 + B1B2 + C1C2| cos(P1,P2)=| cos(n1, n2)| = 2 2 2 2 2 2 A1 + B1 + C1 A2 + B2 + C2 → → |Aa + Bb + Cc| sin(∆,P)=| cos( v , n)| = √ √ A2 + B2 + C2 a2 + b2 + c2 Baøi toaùn 4: Tính khoaûng caùch töø ñieåm M0 =(x0,y0,z0) ñeán maët phaúng P : Ax + By + Cz + D =0.
24 t M0 d 6 ¡ → ¡ ¡ n ¡ ¡ ?H ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡P ¡ −→ → Goïi H =(x, y, z) laø hình chieáu cuûa M0 leân P , ta coù: M0H n vaø H ∈ P . −→ → Töông ñöông vôùi: M0H= t n vaø Ax + By + Cz + D =0 Thay toïa ñoä H vaøo phöông trình treân: A(x0 +tA)+B(y0 +tB)+C(z0 +tC)+D =0. Ax0 + By0 + Cz0 + D Suy ra t = A2 + B2 + C2 Vaäy Ax0 + By0 + Cz0 + D H =(x0,y0,z0) − (A, B, C) A2 + B2 + C2 Ta coù coâng thöùc tính khoûang caùch laø −→ Ax0 + By0 + Cz0 + D d(M0,P)= M0H = √ A2 + B2 + C2 Baøi toaùn 5: Tính khoaûng caùch töø ñieåm M =(x, y, z) ñeán ñöôøng thaúng ∆ qua M0 vaø → coù vector chæ phöông v . M d - → ∆ M0 v Döïa vaøo hình hoïc, roài duøng caùc pheùp toaùn treân vector, ta coù: −→ → d(M,∆) = chieàu cao hình bình haønh taïo bôûi M0M, v −→ → dieän tích hình bình haønh taïo bôûi M0M, v = → v −→ → M0M × v = → v
Chöông I. Khoâng gian vector hình hoïc 25 Baøi toaùn 6: Tính khoaûng caùch giöõa 2 ñöôøng thaúng ∆1, ∆2. → Giaû söû ∆1 qua M1 =(x1,y1,z1) vaø coù vector chæ phöông v1=(a1,b1,c1) → ∆2 qua M2 =(x2,y2,z2) vaø coù vector chæ phöông v2=(a2,b2,c2) D ¨¨ ∆2 ¨¨ ¨¨ ¨¨ M ¨ 2¨ ¢ ¨¨¢ ¨¨ ¢ ¨ ¢ ¨¨ ¢ ¢ ¢ ¢ ¨ ¢ ¢ ¢ ¢ ¨ ¢ → ¢ ¨ ¢ v2 ¢ ¢ ¨* ¢ ¨ s¢¨¨ -¢¨¨ ∆1 M1 → v1 Döïa vaøo hình hoïc, roài duøng caùc pheùp toaùn treân vector, ta coù: → → −→ d(∆1, ∆2)= chieàu cao hoäp bình haønh taïo bôûi v1, v2, M1M2 → → −→ theà tích hoäp bình haønh taïo bôûi v1, v2, M1M2 = → → dieän tích hình bình haønh taïo bôûi v1, v2 → → −→ |(v1, v2, M1M2)| = → → v1 × v2 Baøi toaùn 7: Tìm phöông trình ñöôøng vuoâng goùc chung cuûa 2 ñöôøng thaúng ∆1, ∆2. −→ −→ Vôùi kyù hieäu nhö treân, goïi A1 ∈ ∆1,A2 ∈ ∆2 sao cho A1A2⊥ ∆1, A1A2⊥ ∆1. −→ Khi ñoù ñöôøng vuoâng goùc chung D laø ñöôøng thaúng qua A1, coù vector chæ phöông A1A2. Ñeå xaùc ñònh A1,A2, ta tieán haønh nhö sau: −→ → −→ → −→ −→ → → Ñaët M1A1= x v1, M1A2= y v2. Suy ra A1A2=M1M2 +y v2 −x v1. −→ → −→ → Töø =0, =0, ta coù heä phöông trình:  −→  → 2 → → → v1 x − y = −→  → → → 2 → x −v2 y = Giaûi heä phöông trình, ta coù x, y, suy ra A1,A2. Vaäy xaùc ñònh ñöôïc D. → → → → → 2 → 2 → → 2 Nhaän xeùt. Khi ∆1 ∆2 ⇔ v1 v2 ⇔v1 × v2 = v1 v2 − =0 : heä phöông trình treân duy nhaát nghieäm, i.e. coù duy nhaát moät ñöôøng vuoâng goùc chung. → → → Moät caùch laøm khaùc ñeå tìm D, döïa nhieàu vaøo hình hoïc hôn: goïi v =v1 × v2=(a, b, c), → → P1 laø maët phaúng qua M1 vaø coù caùc vector chæ phöông v1, v , → → P2 laø maët phaúng qua M2 vaø coù caùc vector chæ phöông v2, v Khi ñoù ñöôøng vuoâng goùc chung D = P1 ∩ P2. Vaäy M ∈ D khi vaø chæ khi:   −→ → → (M1M,v1, v )=0  −→ → → (M2M,v2, v )=0
26 Thay toïa ñoä M =(x, y, z) vaø caùc toïa ñoä cuûa caùc yeáu toá treân vaøo caùc tích hoãn hôïp, ta coù heä phöông trình xaùc ñònh ñöôøng vuoâng goùc chung.
II. Ma traän - Phöông phaùp khöû Gauss Trong khoa hoïc, kyõ thuaät nhieàu baøi toaùn ñöa veà vieäc tìm nghieäm heä phöông trình tuyeán tính. Trong chöông naøy seõ ñeà caäp ñeán phöông phaùp khöû Gauss1 , laø phöông phaùp ñôn giaûn vaø hieäu quûa ñeå giaûi heä phöông trình tuyeán tính. Phaàn ñaàu laø khaùi nieäm veà ma traän2 , noù laø coâng cuï höõu hieäu vaø töï nhieân ñeå theå hieän, löu tröõ döõ lieäu. Ñeå söû lyù caùc soá lieäu ngöôøi ta ñöa vaøo caùc pheùp toaùn thöïc hieän treân ma traän. Ngoaøi ra, ôû chöông naøy coøn neâu öùng duïng cuûa pheùp bieán ñoåi sô caáp treân ma traän ñeå tính haïng, tìm ma traän ngöôïc. Caùc tính toaùn ôû caùc chöông sau döïa nhieàu vaøo phöông phaùp tính ôû chöông naøy. 1. Ma traän 1.1 Ñònh nghóa. Moät m × n ma traän hay ma traän caáp m × n treân tröôøng soá K (K = R hay C) laø moät baûng caùc soá thuoäc K ñöôïc saép xeáp nhö sau   a11 a12 ··· a1n    a a ··· a   21 22 2n  A =(aij)m×n =  . . .   . . .  am1 am2 ··· amn trong ñoù aij ∈ K goïi laø phaàn töû doøng i coät j cuûa A. Hai ma traän goïi laø baèng nhau neáuu chuùng coù cuøng caáp vaø caùc phaàn töû cuøng doøng, cuøng coät baèng nhau. Kyù hieäu MatK (m, n) laø taäp moïi m × n ma traän treân K. Ví duï. a) Moät m × 1 ma traän laø ma traän coät. Moät 1 × n ma traän laø moät ma traän doøng.   a1    a   2   .  (x1 x2 ··· xn)  .  am b) Ma traän sau goïi laø ma traän lieân thuoäc cuûa ñoà thò beân caïnh s V1 H HH   HH 0201 H   s HHs   V2 ¨ V4  2021 ¨  0201 ¨ ¨¨ 1110 ¨¨ V3 s¨ Trong ma traän treân, phaàn töû aij = soá ñöôøng noái Vi vôùi Vj. 1Goïi laø phöông phaùp khöû Gauss vì Karl Friedrich Gauss (1777-1855) ñeà caäp khi tính toaùn ñeå xaùc ñònh quõy ñaïo haønh tinh Pallas. Thöïc ra ngöôøi Trung quoác ñaõ bieát phöông phaùp naøy töø laâu (khoaûng 200 B.C) 2Ngöôøi Trung quoác ñaõ söû duïng ma traän vaøo khoaûng 2200 B.C, xem ví duï veà oâ vuoâng kyø aûo caáp 3
28 c) Caùc ma traän sau ñöôïc goïi laø caùc oâ vuoâng kyø aûo       15 8 1 24 17 162313   618    16 14 7 5 23     511108    753    22 20 13 6 4   97612   294  321191210 414151 9 2 25 18 11 Caùc ma traän treân coù caùc phaàn töû laø n2 (n =3, 4, 5) soá töï nhieân ñaàu tieân ñöôïc saép xeáp sao cho toång caùc soá haïng treân moãi doøng, moãi coät, cuõng nhö treân hai ñöôøng cheùo chính laø moät haèng soá ! 1.2 Caùc ma traän ñaëc bieät. Cho A =(aij) ∈ Matk(m, n). Ma traän khoâng laø ma traän maø moïi phaàn töû aij =0. Kyù hieäu Om×n. Ma traän vuoâng caáp n laø ma traän caáp n × n. Kyù hieäu MatK (n, n)=MatK (n). Ma traän ñöôøng cheùo laø ma traän vuoâng vaø caùc phaàn töû khoâng naèm treân ñöôøng cheùo ñeàu baèng 0, i.e. aij =0neáu i = j. Kyù hieäu diag(a11,a22, ··· ,ann). Ma traän ñôn vò caáp n laø ma traän ñöôøng cheùo caáp n maø caùc phaàn töû treân ñöôøng cheùo baèng 1, i.e. aij =0neáu i = j vaø aii =1. Kyù hieäu In. Ma traän tam giaùc treân (t.ö. döôùi ) laø ma traän vuoâng maø moïi phaàn töû döôùi (t.ö. treân) ñöôøng cheùo ñeàu baèng 0, i.e. aij =0neáu i>j(t.ö. neáu i<j).   λ1 0 ··· 0    λ ···   0 2 0  diag(λ1,λ2, ··· ,λn)= . . .   . . .  00··· λn     10··· 0 a11 a12 ··· a1n      ···   a ··· a   01 0   0 22 2n  In =  . . .   . . .   . . .   . . .  00··· 1 00··· ann 2. Caùc pheùp toaùn treân ma traän 2.1 Coäng ma traän. Cho A =(aij),B=(bij) ∈ MatK(m, n). A + B =(aij + bij) ∈ MatK (m, n) Töø ñònh nghóa pheùp coäng ta coù: Tính chaát. Cho A, B, C ∈ MatK (m, n). Khi ñoù (i) A + B = B + A (ii) (A + B)+C = A +(B + C) (iii) A + O = O + A = A , trong ñoù O ∈ MatK (m, n) laø ma traän khoâng. 2.2 Nhaân moät soá vôùi ma traän. Cho A =(aij) ∈ MatK (m, n) vaø α ∈ K. αA =(αaij) ∈ MatK(m, n)
Chöông II. Ma traän - Phöông phaùp khöû Gauss 29 Töø ñònh nghóa deã kieåm chöùng caùc tính chaát sau: Tính chaát. Cho A, B ∈ MatK (m, n) vaø α, β ∈ K. Khi ñoù (i) α(βA)=(αβ)A (ii) (α + β)A = αA + βA (iii) α(A + B)=αA + αB Ví duï. 12x 11y 143x − 2y 3 − 2 = 0 −1 −2 101 −2 −3 −8 2.3 Nhaân ma traän. Cho A =(aij) ∈ MatK (m, n),B=(bjk) ∈ MatK (n, p). AB =(cik) ∈ MatK (m, p) n cik = ai1b1k + ai2b2k + ···+ ainbnk = aijbjk j=1 Chuù yù: Chæ ñònh nghóa pheùp nhaân AB khi soá coät cuûa A = soá doøng cuûa B (= n). Sô ñoà tính phaàn töû cik       b1k      b     ai1 ai2 ··· ain   2k   cik     .  =      .    bnk Ví duï.   01 123   1.0+2.3+3.x 1.1+2.4+3.y a)   34 = . . .x . . .y 456 xy 4 0+53+6 4 1+54+6   x1    x   2  b) a1 a2 ··· an  .  = a1x1 + a2x2 + ···+ anxn.  .  x n     0 a a ··· a   11 12 1n  .     .   a21 a22 ··· a2n    c) Cho te ··· ··· , A  , e   ← doøng j . i =(0 1 0) =  . . . .  j =  1  ↑  . . . .   .   .  coät i am1 a12 ··· amn   0 a1j    a  t  2j  Khi ñoù eiA =(ai1 ai2 ··· ain) (doøng i cuûa A), Aei =  .  (coät j cuûa A)  .  amj Vaäy vôùi moïi m × n ma traän A, ta coù: InA = A vaø AIm = A.
30 Tính chaát. Cho A, A,B,B vaø C laø caùc ma traän. Neáu caùc caùc pheùp toaùn ôû caùc bieåu thöùc sau coù nghóa, thì (i) A(BC)=(AB)C (ii) (A + A)B = AB + AB (iii) A(B + B)=AB + AB (iv) Noùi chung AB = BA, i.e. pheùp nhaân ma traän khoâng coù tính giao hoaùn. Chöùng minh: Caùc tính chaát (ii),(iii) deã daøng suy töø ñònh nghóa. Ñeå chöùng minh (i), goïi A =(aij),B=(bjk),C=(ckl). Ta caàn so saùnh A(BC)=(dil) vaø (AB)C =(dil). Theo ñònh nghóa, ta coù dil = aij( bjkckl)= aijbjkckl j k j k dil = ( aijbjk)ckl = aijbjkckl k j k j Vaäy d d , ∀i, j. ij = ij 01 00 Deã tìm ví duï ñeå chöùng minh (iv), chaúng haïn A = vaø B = . 00 01 Khi ñoù AB = A coøn BA = O. 2.4 Ma traän ngöôïc. Moät ma traän vuoâng A ∈ MatK(n) goïi laø khaû nghòch neáuu toàn taïi X ∈ MatK(n) sao cho XA = AX = In. Khi ñoù deã thaáy X laø duy nhaát, goïi laø ma traän ngöôïc cuûa A vaø kyù hieäu laø A−1. −1 −1 Vaäy theo ñònh nghóa, ta coù A A = AA = In Kyù hieäu GlK (n) laø taäp moïi ma traän vuoâng caáp n treân K khaû nghòch. −1 −1 Tính chaát. Cho A, B ∈ GlK (n). Khi ñoù A ,B ,AB ∈ GlK (n) vaø (i) (A−1)−1 = A. (ii) (AB)−1 = B−1A−1. −1 −1 −1 Chöùng minh: Do AA = A A = In, neân A coù ma traän ngöôïc laø A. Do (AB)(B−1A−1)=A(BB−1)A−1 = AIA−1 = AA−1 = I. Töông töï, (B−1A−1)AB = I. Vaäy ta coù (ii). Ví duï. 21 a) Ñeå tính ma traän ngöôïc cuûa A = ta giaûi phöông trình AX = I2 vôùi aån 32 −1 2 −1 X ∈ MatK (2). Suy ra ma traän ngöôïc laø A = . −32 b) Deã tìm ví duï ma traän khoâng khaû nghòch, chaúng haïn ma traän khoâng, hay 11 22 Vieäc xaùc ñònh moät ma traän khaû nghòch khi naøo vaø tính ma traän ngöôïc seõ ñöôïc ñeà caäp sau.
Chöông II. Ma traän - Phöông phaùp khöû Gauss 31 2.5 Pheùp chuyeån vò ma traän. Cho A =(aij) ∈ MatK (m, n). Ma traän chuyeån vò cuûa ma traän A ñôïc kyù hieäu vaø ñònh nghóa nhö sau t t t A =( aji) ∈ MatK(n, m) , trong ñoù aji = aij i.e. chuyeån doøng cuûa A thaønh coät cuûa tA.   14 123   Ví duï. Ma traän chuyeån vò cuûa ma traän laø  25 456 36 Tính chaát. Cho A, B, C, D laø caùc ma traän. Neáu caùc pheùp toaùn trong caùc bieåu thöùc sau coù nghóa, thì (i) t(A + B)=tA + tB (ii) t(αA)=α tA (iii) t(AC)=tC tA (iv) t(D−1)=(tD)−1 Chöùng minh: (i),(ii) vaø (iii) deã kieåm chöùng. Ñeå chöùng minh (iv), gæa söû D ∈ GlK (n). t t −1 t −1 t t −1 t Töø (iii) suy ra D (D )= (D D)= In = In. Töông töï (D ) D = In. Vaäy t(D−1) laø ma traän ngöôïc cuûa tD. 2.6 Luõy thöøa ma traän. Cho A laø moät ma traän vuoâng caáp n. Vôùi moãi k ∈ N, ñònh nghóa 0 1 k A = In,A= A, A = AA ··· A k laàn Ví duï. Baèng qui naïp coù theå chöùng minh vôùi moïi k ∈ N, k cos ϕ − sin ϕ cos kϕ − sin kϕ = sin ϕ cos ϕ sin kϕ cos kϕ k k k k diag(λ1,λ2, ··· ,λn) =diag(λ1,λ2, ··· ,λn) 2.7 Bieán ñoåi sô caáp treân ma traän. Caùc pheùp bieán ñoåi treân ma traän sau ñaây ñöôïc goïi laø bieán ñoåi sô caáp : Bieán ñoåi 1- Chuyeån vò hai doøng (coät). Bieán ñoåi 2- Nhaân moät doøng (coät) vôùi moät soá khaùc khoâng. Bieán ñoåi 3- Coäng moät doøng (coät) vôùi boäi cuûa moät doøng (coät) khaùc. Kyù hieäu. Di ↔ Dj Pheùp chyeån vò doøng thöù i vaø thöù j. αDi Pheùp nhaân doøng thöù i vôùi soá α. Di + αDj Pheùp coäng doøng thöù i vôùi α laàn doøng thöù j. Ci ↔ Cj Pheùp chyeån vò coät thöù i vaø thöù j. αCi Pheùp nhaân coät thöù i vôùi soá α. Ci + αCj Pheùp coäng coät thöù i vôùi α laàn coät thöù j.
32 Cho A, B ∈ MatK(m, n). Khi ñoù B goïi laø töông ñöông sô caáp vôùi A., kyù hieäu A → B, neáuu B nhaän ñöôïc töø A qua höõu haïn bieán ñoåi sô caáp treân A. Nhaän xeùt. Cho A ∈ MatK(m, n),B ∈ MatK (n, p). i Kyù hieäu a laø doøng thöù i cuûa A, bj laø coät thöù j cuûa B Theo qui taéc nhaân ma traän ta coù     a1 a1B      a2   a2B      AB =  .  (b1 b2 ··· bp). =  .  =(Ab1 Ab2 ··· Abp) ,  .   .  am amB i.e. doøng i cuûa AB = (doøng i cuûa A)B, vaø coät j cuûa AB = A (coät j cuûa B). Vaäy bieán ñoåi sô caáp treân doøng AB = (bieán ñoåi sô caáp treân doøng A)B , vaø bieán ñoåi sô caáp treân coät AB = A(bieán ñoåi sô caáp treân coät B). Suy ra caùc bieán ñoåi sô caáp coù theå bieåu dieãn qua pheùp nhaân ma traän: Meänh ñeà. Cho A ∈ MatK (m, n). Khi ñoù (i) Neáu d laø bieán ñoåi sô caáp treân doøng cuûa A, thì d(A)=d(Im)A (nhaân beân traùi). (ii) Neáu c laø bieán ñoåi sô caáp treân coät cuûa A, thì c(A)=Ac(In) (nhaân beân phaûi). Ma traän sô caáp laø ma traän nhaän töø bieán ñoåi sô caáp ma traän ñôn vò. Baøi taäp: Haõy lieät keâ moïi daïng cuûa ma traän sô caáp caáp 2: d(I2),c(I2). Chöùng minh caùc ma traän sô caáp laø khaû nghòch. Tìm caùc ma traän ngöôïc töông öùng. Ví duï. a)       010 1 abc 2 def        100  2 def =  1 abc (d = D1 ↔ D2) 001 3 gh i 3 gh i       123 10α 123+α        xyz  01 0 =  xyz+ αx  (c = C3 + αC1) tuv 00 1 tuv+ αt b) Gæa söû a11 =0 . Cho     100··· 0 a11 a12 ··· a1n  a21     − a 10··· 0   a21 a22 ··· a2n   11     − a31 01··· 0  A =  . . . .  va E =  a11   . . . .   . . . .   . . . .  am1 a12 ··· amn − am1 ··· a11 00 1 Baøi taäp: Ma traän E bieåu dieãn pheùp bieán ñoåi gì treân doøng cuûa ma traän ñôn vò Im ? Vieát coät ñaàu cuûa ma traän EA.
Chöông II. Ma traän - Phöông phaùp khöû Gauss 33 2.8 Ma traän daïng baäc thang. Cho A =(aij) ∈ MatK (m, n). Khi ñoù A goïi laø coù daïng baäc thang neáuu aij =0, ∀j i, i.e. neáu treân doøng i caùc phaàn töû phía traùi aij ñeàu baèng 0, thì treân coät j moïi phaàn töû phía döôùi aij ñeàu baèng 0.       ∗×××××× neáu →  ··· a     00 0 ij   00 ∗××××      0   ∗×××    00 0   0   ∗×    00 0 0 0  ∗  .    ( =0)  .  0000000 0 0000000 ↑ thì 2.9 Meänh ñeà. Moïi ma traän ñeàu coù theå ñöa veà daïng baäc thang baèng höõu haïn pheùp bieán ñoåi sô caáp treân doøng. Vieäc chöùng minh ñöôïc theå hieän qua thuaät toaùn sau: Thuaät toaùn Gauss. Input: A ∈ MatK (m, n) Output: B ∈ Matk(m.n) daïng baäc thang vaø A → B Thuaät toaùn ñöôïc tieán haønh qui naïp (laëp) nhö sau: Gæa söû ôû voøng laëp thöù k − 1, k − 1 doøng ñaàu cuûa A coù daïng baäc thang. Baây giôø chæ thöïc hieän bieán ñoåi treân caùc doøng i ≥ k. Tröôøng hôïp 1: Moïi phaàn töû moïi doøng i ≥ k baèng 0. Khi ñoù A ñaõ coù daïng baäc thang. Tröôøng hôïp 2: Tìm phaàn töû coù vò trí khaùc 0 gaàn phía traùi nhaát j(k) = min{j : aij =0 ,i≥ k} Böôùc 1: Chuyeån vò doøng, Di ↔ Dk, ñeå ôû doøng k coù akj(k) =0 . Böôùc 2: Khöû caùc phaàn töû ôû coät j(k) ôû caùc doøng i>kbaèng bieán ñoåi: aij(k) Di − αiDk, vôùi αi = akj(k) Böôùc 3: Neáu k<m, taêng k leân 1. Tieán haønh laëp nhö treân, sau höõu haïn (≤ m) böôùc, ta coù ma traän B daïng baäc thang. Haïng cuûa ma traän A laø soá nguyeân r, kyù hieäu r =rankA, neáuu coù theå duøng caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp ñöa A veà daïng baäc thang vôùi r doøng khaùc khoâng. Vieäc chöùng minh tính ñuùng ñaén cuûa ñònh nghóa vöøa neâu: hai ma traän töông ñöông sô caáp laø coù cuøng haïng (i.e. r khoâng phuï thuoäc bieán ñoåi sô caáp) ñöôïc chöùng minh ôû caùc
34 chöông sau. ÔÛ ñaây chæ neâu aùp duïng cuûa thuaät toaùn treân ñeå tính haïng. Sô ñoà tính haïng: A −→ B (daïng baäc thang), rankA = soá doøng khaùc khoâng cuûa B Ví duï. Cho   1022   A =  1 −13−2  2 −15 0 Ñeå tính haïng cuûa A ta duøng caùc pheùp bieán ñoåi treân doøng ma traän nhö sau       1022 10 22 1022   D −D ,D −2D   D3−D2    1 −13−2  2 −→1 3 1  01 14 −→  0114 2 −15 0 01−14 0000 Töø ñoù suy ra rankA =2. Ñeå keát thuùc tieát naøy ta phaùt bieåu ñònh lyù sau, vieäc chöùng minh xem nhö baøi taäp. 2.10 Ñònh lyù. Cho A ∈ MatK (m, n). Khi ñoù rankA = r khi vaø chæ khi toàn taïi I höõu haïn pheùp bieán ñoåi sô caáp treân doøng vaø treân coät ñeå A → r 0 00 Noùi moät caùch khaùc, toàn taïi caùc ma traän khaû nghòch P ∈ GlK (m),Q∈ GlK (n), sao cho   1 ··· 0 ··· 0    . . .   . . . .     ··· ···  PAQ  0 1 0  =  ··· ···   0 0 0   . . .   . . .  0 ··· 0 ··· 0 r Höôùng daãn: Duøng thuaät toaùn Gauss bieán ñoåi sô caáp treân doøng (= nhaân beân traùi A vôùi caùc ma traän sô caáp) ñöa A veà daïng baäc thang. Töông töï, coù theå duøng caùc bieán ñoåi sô caáp treân coät (= nhaân phaûi bôûi caùc ma traän sô caáp) cuûa moät ma traän daïng baäc thang ñöa ma traän ñoù veà daïng ñöôøng cheùo nhö treân. Goïi P (t.ö. Q) laø tích caùc ma traän sô caáp töông öùng vôùi pheùp bieán ñoåi treân doøng (t.ö. coät) Ñeå yù laø caùc ma traän sô caáp laø khaû nghòch, neân P, Q khaû nghòch. Baøi taäp: Thöïc hieän cuï theå höôùng daãn treân tìm P, Q cho ma traän ôû ví duï phaàn treân. Töø ñoù vieát thuaät toaùn cho ñònh lyù treân.
Chöông II. Ma traän - Phöông phaùp khöû Gauss 35 3. Phöông phaùp khöû Gauss 3.1 Ñònh nghóa. Moät heä phöông trình tuyeán tính m phöông trình, n aån, treân tröôøng K, laø bieåu thöùc daïng   a x a x ··· a x b  11 1 + 12 2 + + 1n n = 1  a21x1 + a22x2 + ··· + a2nxn = b2  . . . .  . . . .  am1x1 + am2x2 + ··· + amnxn = bm trong ñoù aij,bj ∈ K, vaø x1, ··· ,xn laø caùc kyù hieäu goïi laø caùc aån. Neáu b1 = ···= bn =0, thì heä goïi laø heä phöông trình thuaàn nhaát. n Boä n soá (x1, ··· ,xn) ∈ K , thoûa caùc phöông trình treân goïi laø nghieäm cuûa heä. Heä phöông trình goïi laø töông thích neáuu noù coù taäp nghieäm khaùc troáng. Baøi toaùn. 1- Khi naøo heä töông thích, i.e. coù nghieäm ? 2- Khi heä coù nghieäm thì duy nhaát nghieäm hay bao nhieâu nghieäm ? 3- Giaûi heä, i.e. tìm taäp nghieäm cuûa heä. 3.2 Bieåu dieãn ma traän heä phöông trình tuyeán tính. Neáu kyù hieäu       a11 a12 ··· a1n x1 b1        a a ··· a   x   b   21 22 2n   2   2  A =  . . . .  ,x=  .  ,b=  .  ,  . . . .   .   .  am1 a12 ··· amn xn bm thì töø pheùp nhaân ma traän heä phöông trình coù theå vieát goïn thaønh Ax = b. Nhaän xeùt. Phöông phaùp theá laø phöông phaùp ñôn giaûn nhaát ñeå giaûi heä phöông trình tuyeán tính. Giaû söû heä coù heä soá a11 =0 . Khi ñoù töø phöông trình ñaàu 1 x1 = ( b1 − a12x2 −···− a1nxn ). a11 Theá bieåu thöùc treân vaøo caùc phöông trình coøn laïi, ta ñöa veà vieäc giaûi m − 1 phöông trình, n − 1 aån x2, ··· ,xn. Tieáp tuïc tieán haønh töông töï cho heä môùi . Ñeå giaûi heä phöông trình côõ lôùn, ngöôøi ta thöôøng duøng phöông phaùp khöû Gauss (hay caûi tieán cuûa phöông phaùp naøy)3. Phöông phaùp naøy döïa vaøo nhaän xeùt ñôn giaûn sau: 3.3 Meänh ñeà. Caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp sau ñaây ñöa heä phöông trình veà heä töông ñöông vôùi heä ñaõ cho, i.e. heä ñaõ bieán ñoåi coù cuøng taäp nghieäm vôùi heä xuaát phaùt: Bieán ñoåi 1- Chuyeån vò hai phöông trình cuûa heä. Bieán ñoåi 2- Nhaân moät phöông trình vôùi moät soá khaùc khoâng. Bieán ñoåi 3- Coäng moät phöông trình vôùi boäi moät phöông trình khaùc cuûa heä. 3Xem chöông Ñònh thöùc ñeå bieát ñaùnh giaù soá pheùp toaùn caàn ñeå thöïc hieän thuaät toaùn Gauss
36 Nhaän xeùt. Caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp treân töông öùng vôùi bieán ñoåi sô caáp treân doøng ma traän môû roäng (A | b) cuûa heä. 3.4 Ñònh lyù. Moïi heä phöông trình tuyeán tính, baèng caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp, ñeàu töông ñöông vôùi heä coù daïng baäc thang. i.e. heä coù daïng Ax = b vôùi A laø ma traän daïng baäc thang. Vieäc chöùng minh ñònh lyù treân ñöôïc theå hieän qua phöông phaùp sau: 3.5 Phöông phaùp khöû Gauss. m Giaûi heä Ax = b, trong ñoù A =(aij) ∈ MatK(m, n),b∈ K . Sô ñoà cuûa phöông phaùp: Böôùc 1: Duøng thuaät toaùn Gauss (A | b) → (A | b)(A coù daïng baäc thang) Böôùc 2: Giaûi phöông trình Ax = b baèng phöông phaùp theá. Nhaän xeùt. Raát deã giaûi heä phöông trình daïng baäc thang baèng phöông phaùp theá. Chaúng haïn, ñeå giaûi heä phöông trình sau:   2x1 + x2 + x3 − 3x4 + x5 =1 3x2 + x3 − x4 + x5 =2  x4 + x5 =3 Baét ñaàu töø phöông trình cuoái, laàn löôït ta coù: x4 =3− x5,x2 =1/3(2 + ··· ),x1 =1/2(1 + ··· ) Vaäy heä treân coù voâ soá nghieäm, phuï thuoäc 2 tham soá x3 vaø x5. 3.6 Bieän luaän. Gæa söû heä Ax = b coù daïng baäc thang, i.e.   a1j(1) ··· a1j(2) ··· a1j(r) ··· a1n | b1    0 ··· a2j(2) ··· a2j(r) ··· a2n | b2     . . . . .   . . . . | .    A | b  ··· ··· a ··· a | b  ( )= 0 0 rj(r) rn r     0 ··· 0 ··· 0 ··· 0 | br+1   . . . . .   . . . . | .  0 ··· 0 ··· 0 ··· 0 | bm Trong ñoù m laø soá phöông trình, n laø soá aån, vaø r chính laø haïng cuûa A. Tröôøng hôïp 1: r = m = n, heä duy nhaát nghieäm. Tröôøng hôïp 2: r = m<n, heä coù voâ soá nghieäm. Caùc bieán xj(1), ··· ,xj(r) ñöôïc giaûi theo n − r bieán coøn laïi, goïi laø caùc bieán töï do coøn soá (n − r) goïi laø baäc töï do. Tröôøng hôïp 3: r<m, 3a) br+1 = ···= bm =0, heä coù nghieäm (vôùi baäc töï do laø n − r). 3b) (br+1, ··· ,bm) =(0 , ··· , 0), heä voâ nghieäm.
Chöông II. Ma traän - Phöông phaùp khöû Gauss 37   ∗××××|×    0 ∗×××|×   Minh hoïa tröôøng hôïp 1:  ∗××|×  00   00 0 ∗×|× 00 0 0 ∗|×   ∗×××××|×    ∗××××|× Minh hoïa tröôøng hôïp 2:  0   00 0 ∗××|× 00 0 0 ∗×|×   ∗×××××|×|×    00 ∗ ×××|×|×    ∗××|×|× Minh hoïa tröôøng hôïp 3a vaø 3b:  00 0   ∗|×|×  00 0 0 0   000000| 0 |∗ 000000| 0 |× Ví duï. Giaûi ñoàng thôøi 2 heä phöông trình chæ khaùc nhau coät b   x2 + x3 − 3x4 +2x5 =6| 3  2x1 − x2 +2x4 − 6x5 =4| 6  6x1 − 3x2 +7x4 − 10x5 = −8 | 10  2x1 + x3 + x4 +12x5 =15|−7 Ta thöïc hieän caùc pheùp bieán ñoåi treân ma traän môû roäng:   2 −102−6 | 4 | 6    011−3 −2 | 6 | 3    (D1 ↔ D2)  6 −307−10 |−8 | 10  2 01112| 15 |−7   1 −1/20 1−3 | 2 | 3    011−3 −2 | 6 | 3    (1/2D1,D3 − 3D1,D4 − 2D1)  00018|−20 |−8  011−118| 11 | 13   1 −1/20 1−3 | 2 | 3    011−3 −2 | 6 | 3    (D4 − D2)  00018|−20 |−8  000216| 5 | 16   1 −1/20 1−3 | 2 | 3    011−3 −2 | 6 | 3    (D4 − 2D3)  00018| 20 |−8  00000| 45 | 0
38 Sau bieán ñoåi heä coù daïng baäc thang   x1 − 1/2x2 + x4 − 3x5 =2| 3  x2 + x3 − 3x4 − 2x5 =6| 3  x4 +8x5 = −20 |−8  0= 45| 0 Vaäy heä vôùi coät ñaàu voâ nghieäm vì coù phö trình cuoái 0=45. Heä vôùi coät sau coù phöông trình cuoái laø thöøa (0 = 0). Tieáp tuïc giaûi baèng phöông phaùp theá töø phöông trình cuoái cuûa heä, ta coù x4 = −8 − 8x5 x2 =3− x3 +3x4 − x5 = −21 − x3 − 26x5 x1 =8− 1/2x2 − x4 +3x5 =1/2 − 1/2x3 − 2x5 Nghieäm toång quaùt cuûa heä vôùi coät sau: (1/2 − 1/2x3 − 2x5, −21 − x3 − 26x5,x3, −8 − 8x5,x5),x3,x5 ∈ K. Vaäy heä coù voâ soá nghieäm phuï thuoäc 2 tham soá, i.e. heä coù baäc töï do laø 2. Nhaän xeùt. Coù theå giaûi tieáp heä phöông trình daïng baäc thang baèng bieán ñoåi sô caáp treân ma traän. Töông töï nhö phaàn cuoái cuûa thuaät toaùn sau: 3.7 Phöông phaùp Gauss-Jordan tính ma traän ngöôïc. Cho A ∈ MatK (n). Nhaän xeùt. Söï toàn taïi vaøvieäc tìm ma traän ngöôïc cuûa A töông ñöông vôùi vieäc giaûi ñoàng thôøi n heä phöông trình n aån. Cuï theå, goïi Xi, i =1, ··· ,n, laø nghieäm (neáu coù) cuûa heä phöông trình:   0    .   .    AX e , trong ñoù e   ← coät thöù i i = i i =  1   .   .  0 −1 Khi ñoù A =(X1 ···Xn) Thuaät toaùn Gauss-Jordan. Input: Cho A ∈ MatK(n) Ouput: A coù khaû nghòch? Neáu coù xaùc ñònh A−1 Böôùc 1: Duøng thuaät toaùn Gauss treân (A | I) ñöa A veà daïng tam giaùc. - rankA<n, i.e moät trong caùc phaàn töû ñöôøng cheùo baèng 0: A khoâng khaû nghòch. - rankA = n: chia doøng i vôùi aii ñeå phaàn töû treân ñöôøng cheùo laø 1. Böôùc 2: Khöû caùc phaàn töû khoâng naèm treân ñöôøng cheùo baét ñaàu töø doøng aùp cuoái −1 (i = n − 1, ··· , 1) baèng caùc bieán ñoåi Di − αikDk (k = n, ··· ,i+1), vôùi αik = aik ñöa heä veà daïng (In | X) Ma traän ngöôïc laø A−1 = X
Chöông II. Ma traän - Phöông phaùp khöû Gauss 39 Ví duï sau minh hoïa cho thuaät toaùn Gauss-Jordan.   012   Ví duï. Tính ma traän nghòch ñaûo cuûa ma traän A =  2 −11 −110 Thieát laäp ma traän môû roäng vaø bieán ñoåi     012| 100 −110| 001      2 −11| 010 →  2 −11| 010 → − | |  110 001  012 100 1 −10| 00−1 1 −10| 00−1      2 −11| 010 →  011| 012 → | |  012 100  012 100 1 −10| 00−1 1 −10| 00−1      011| 012 →  010|−124 → | − − | − −  001 1 1 2  001 1 1 2 100|−123    010|−124 001| 1 −1 −2 Vaäy   −123   A−1 =  −124 1 −1 −2 Moät phöông phaùp khaùc ñeå tính ma traän ngöôïc seõ ñöôïc trình baøy ôû chöông Ñònh thöùc. Nhaän xeùt. Cho A laø ma traän vuoâng caáp n. Khi ñoù caùc ñieàu sau töông ñöông: • A laø ma traän khaû nghòch. • rankA = n • Coù theå bieán ñoåi sô caáp ñeå A → In. • Vôùi moïi b, phöông trình Ax = b coù duy nhaát nghieäm.
III. Khoâng gian vector Trong chöông naøy, khaùi nieäm khoâng gian vector 1 ñöôïc trình baøy theo phöông phaùp tieân ñeà. Vì coù raát nhieàu moâ hình coù caáu truùc khoâng gian vector, maø thoaït tieân nhìn vaøo coù theå raát khaùc nhau, neân phöông phaùp naøy ngoaøi tính chaët cheõ, coøn coù thuaän lôïi khi nghieân cöùu caùc tính chaát chung, caùc keát quûa chung cho moät lôùp caùc ñoái töôïng. Chaúng haïn, thuaät ngöõ “vector” ñöôïc söû duïng cho nhieàu ñoái töôïng: löïc, vaän toác, (caùc ñaïi löôïng coù höôùng trong vaät lyù); vector hình hoïc, ma traän, ña thöùc, haøm lieân tuïc, . Caáu truùc khoâng gian vector coù caû ñaëc tröng hình hoïc laãn ñaïi soá. Ñaëc tröng hình hoïc laøm cho vaán ñeà mang tính tröïc quan, coøn ñaëc tröng ñaïi soá taïo ñieàu kieän thuaän tieän cho vieäc ñònh löôïng, tính toaùn keát quûa. 1. Khoâng gian vector - Khoâng gian vector con 1.1 Ñònh nghóa. Cho K laø moät tröôøng (K = R hay C). Moät khoâng gian vector hay khoâng gian tuyeán tính) treân K laø moät boä ba (V,+, ·), trong ñoù V laø moät taäp hôïp khaùc troáng, coøn + vaø · laø caùc pheùp toaùn, goïi laø: pheùp coäng +:V × V −→ V (x, y) → x + y pheùp nhaân vôùi soá · : K × V −→ V (α, x) → αx , caùc pheùp toaùn thoûa caùc tieân ñeà sau: ∀x, y, z ∈ V , ∀α, β ∈ K, (V 1) x + y = y + x (tính giao hoaùn) (V 2) (x + y)+z = x +(y + z) (tính keát hôïp) (V 3) ∃O ∈ V : x + O = x ( O goïi laø vector khoâng) (V 4) ∃−x ∈ V : x +(−x)=O ( − x goïi laø vector ñoái cuûa x) (V 5) (α + β)x = αx + βx (tính phaân phoái) (V 6) α(x + y)=αx + αy (tính phaân phoái) (V 7) α(βx)=(αβ)x (V 8) 1x = x Moãi phaàn töû x ∈ V goïi laø vector, α ∈ K goïi laø voâ höôùng hay soá. Neáu K = R (t.ö K = C), thì V ñöôïc goïi laø khoâng gian vector thöïc (t.ö. phöùc). Pheùp tröø ñöôïc ñònh nghóa: x − y = x +(−y). Do tính keát hôïp ta coù theå vieát toång höõu haïn vector v1, ··· ,vk ∈ V khoâng caàn vieát daáu k ngoaëc v1 + ···+ vk = vi. i=1 Qui öôùc. Ta seõ söû duïng cuøng moät kyù hieäu cho pheùp coäng (pheùp nhaân) treân K vaø treân V (ñieàu ñoù seõ khoâng gaây laàm laãn). Hôn nöõa, ta thöôøng noùi V laø khoâng gian vector thay vì boä ba (V,+, ·). 1Khoâng gian vector ñöôïc trình baøy ñaàu tieân bôûi Herman Grassmann (1809-1877) trong “Aus- dehnungslehre” naêm 1862, nhaèm moâ taû caùc yù töôûng hình hoïc trong khoâng gian n chieàu qua ngoân ngöõ ñaïi soá maø khoâng phuï thuoäc heä toïa ñoä.
42 Ví duï. Sau ñaây laø moät soá moâ hình khoâng gian vector quan troïng. −→ −→ x + y > −→x ¡ ¡ −→ ¡ 1 y ¡ ¡ ¡ a) Khoâng gian vector hình hoïc (laø moâ hình tröïc quan). n b) Khoâng gian vector ñaïi soá K = {x =(x1, ··· ,xn):xi ∈ K, i =1, ··· ,n} (laø moâ hình quan troïng khi tính toaùn). Ñeå thuaän tieän, khi thöïc hieän caùc pheùp toaùn lieân quan ñeán ma traän ta qui öôùc duøng bieåu dieãn vector thuoäc K n döôùi daïng coät. Treân khoâng gian naøy, pheùp coäng vaø pheùp nhaân vôùi soá ñöôïc ñònh nghóa nhö ñoái vôùi ma traän:           x1 y1 x1 + y1 x1 αx1  .   .   .   .   .   .  +  .  =  .  ,α .  =  .  (α ∈ K). xn yn xn + yn xn αxn c) Khoâng gian MatK (m, n) vôùi pheùp coäng ma traän vaø pheùp nhaân soá vôùi ma traän. d) Khoâng gian caùc ña thöùc heä soá treân K, bieán X, kyù hieäu K[X], vôùi pheùp coäng ña thöùc vaø nhaân soá vôùi ña thöùc. Khoâng gian caùc ña thöùc baäc khoâng quùa n, kyù hieäu Kn[X]. e) Caùc khoâng gian haøm vôùi pheùp coäng haøm vaø nhaân soá vôùi haøm: F [a, b] khoâng gian caùc haøm xaùc ñònh treân ñoaïn [a, b]. C[a, b] khoâng gian caùc haøm lieân tuïc treân [a, b]. Ck(a, b) khoâng gian caùc haøm khaû vi lieân tuïc ñeán caáp k treân (a, b) (k ∈ N). R[a, b] khoâng gian caùc haøm khaû tích treân [a, b]. Meänh ñeà. Cho V laø khoâng gian vector treân K. Khi ñoù ∀x, y, z ∈ V,∀α ∈ K,ta coù (1) O laø vector duy nhaát thoûa: O + x = x + O = x (2) −x laø vector duy nhaát thoûa: x +(−x)=−x + x = O (3) Qui taéc giaûn öôùc: x + z = y + z ⇒ x = y (4) Qui taéc chuyeån veá: x + y = z ⇒ x = z − y (5) 0x = O vaø αO = O (6) (−1)x = −x. Chöùng minh: Döïa vaøo heä tieân ñeà, duøng caùc suy daãn toaùn hoïc, ta suy ra caùc keát quûa treân. Chaúng haïn, chöùng minh: (V 3) (gt) (1) Gæa söû O ∈ V coù tính chaát nhö O. Khi ñoù O = O + O = O. (2) Gæa söû x ∈ V coù tính chaát nhö −x. Khi ñoù (V 3) (V 4) (V 2) (gt) (V 3) x = x + O = x +(x − x) =(x + x) − x = O − x = − x.
Chöông III. Khoâng gian vector 43 (V 8) (K) (V 5) (V 8) (3) (5) x =1x =(1+0)x =1x +0x = x +0x =⇒ 0x = O. Vieäc chöùng minh caùc tính chaát coøn laïi xem nhö baøi taäp. 1.2 Khoâng gian vector con. Cho V laø khoâng gian vector treân K. Moät taäp hôïp con khaùc troáng W ⊂ V ñöôïc goïi laø khoâng gian vector con cuûa V neáuu W laø khoâng gian vector vôùi cuøng caùc pheùp toaùn treân V haïn cheá treân W . Ñònh nghóa treân töông ñöông vôùi: ∀x, y ∈ W ⇒ x + y ∈ W vaø ∀α ∈ K, ∀x ∈ W ⇒ αx ∈ W. Vaø cuõng töông ñöông vôùi: ∀x, y ∈ W, ∀α, β ∈ K ⇒ αx + βy ∈ W. Nhaän xeùt. Moïi khoâng gian vector con ñeàu chöùa vector O. Moïi khoâng gian V ñeàu chöùa caùc khoâng gian con taàm thöôøng: V vaø O. Ví duï. a) Khoâng gian vector con cuûa khoâng gian vector hình hoïc R3 coù moät trong caùc daïng: goác O, ñöôøng thaúng qua goác O, maët phaèng qua goác O vaø toaøn boä khoâng gian R3. b) Taäp nghieäm cuûa heä phöông trình tuyeán tính thuaàn nhaát: Ax = O, vôùi A ∈ n MatK (m, n), laø khoâng gian con cuûa K , i.e. neáu x, y laø nghieäm, thì αx + βy (α, β ∈ K) cuõng laø nghieäm. c) Kn[X] laø khoâng gian con cuûa K[X]. d) Caùc bao haøm thöùc sau ñaây xaùc ñònh caùc khoâng gian vector con Ck[a, b] ⊂ C[a, b] ⊂ R[a, b] ⊂ F [a, b] e) Khoâng gian nghieäm cuûa phöông trình vi phaân tuyeán tính: n (n) (n−1) {y ∈ C (a, b): any + an−1y + ···+ a0y =0}, vôùi ai ∈ F (a, b) laø khoâng gian con cuûa Cn(a, b). Meänh ñeà. Giao cuûa moät hoï khoâng gian vector con laø moät khoâng gian vector con. Chöùng minh: Gæa söû Wi,i ∈ I laø caùc khoâng gian con cuûa V . Cho α, β ∈ K vaø x, y ∈ W = ∩i∈I Wi. Khi ñoù, theo gæa thieát αx + βy ∈ Wi, ∀i ∈ I, i.e. αx + βy ∈ W = ∩i∈I Wi. Nhaän xeùt. Hôïp hai khoâng gian con noùi chung khoâng laø khoâng gian con (chaúng haïn, hôïp cuûa 2 ñöôøng thaúng trong maët phaúng). Baøi toaùn. Cho A ⊂ V , xaùc ñònh khoâng gian con beù nhaát cuûa V chöùa A. Ví duï. Cho vector e = O. Khi ñoù khoâng gian con beù nhaát chöùa e chính laø ñöôøng thaúng {x = te, t ∈ K}. Töông töï, khoâng gian con beù nhaát chöùa hai vector khoâng “song song” e1,e2 laø maët phaúng {x = x1e1 + x2e2,x1,x2 ∈ K}.
44 x1e1 ¨* x = x1e1 + x2e2 ¨¨ ¨ e1 ¨ ¨¨ ¨¨ ¨ ¨¨ - - x2e2 e2 Toång quaùt, ta coù: 1.3 Khoâng gian con sinh bôûi moät taäp con. Cho V laø moät khoâng gian vector treân K. Cho A ⊂ V laø taäp khaùc troáng. Khi ñoù toàn taïi duy nhaát moät khoâng gian con beù nhaát chöùa A, kyù hieäu L(A), goïi laø khoâng gian sinh bôûi A. L(A) chính laø giao cuûa caùc khoâng gian con chöùa A, vaø coù bieåu dieãn (Baøi taäp): Neáu A = {e1, ··· ,en}, thì L(A)={x ∈ V : x = x1e1 + ···+ xnen,xi ∈ K}. Neáu A coù voâ haïn phaàn töû, thì L(A) laø taäp caùc vector x coù bieåu dieãn döôùi daïng toång (höõu haïn): x = xiei, trong ñoù xi ∈ K vaø chæ coù höõu haïn xi =0 . ei∈A 2. Cô sôû - Soá chieàu - Toïa ñoä Cuõng nhö trong khoâng gian caùc vector hình hoïc, ñeå ñònh löôïng vaø tính toaùn, ta seõ ñaïi soá hoùa khoâng gian vector baèng caùch ñöa vaøo khoâng gian heä cô sôû (laø khaùi nieäm khaùi quaùt hoùa khaùi nieäm heä cô sôû Descartes trong R2, R3). Khi ñoù moãi vector ñöôïc hoaøn toaøn xaùc ñònh bôûi toïa ñoä cuûa noù trong cô sôû naøy, caùc toïa ñoä ñöôïc bieåu dieãn nhö laø moät vector coät trong khoâng gian vector ñaïi soá. Hôn nöõa, caùc pheùp toaùn treân vector ñöôïc chuyeån thaønh caùc pheùp toaùn töông öùng treân toïa ñoä. Cho V laø khoâng gian vector treân K. 2.1 Ñònh nghóa. Moät toå hôïp tuyeán tính cuûa moät heä vector e1, ··· ,en ∈ V laø moät vector coù daïng x = x1e1 + ···+ xnen , trong ñoù x1, ··· ,xn ∈ K. Khi ñoù x goïi laø toå hôïp tuyeán tính hay laø bieåu dieãn tuyeán tính cuûa caùc vector e1, ··· ,en. Moät taäp con A ⊂ V goïi laø moät heä sinh cuûa V , hay ta noùi A sinh ra V , neáuu L(A)=V , i.e. moïi vector thuoäc V ñeàu laø moät toå hôïp tuyeán tính cuûa caùc vector thuoäc A. Moät khoâng gian vector höõu haïn chieàu laø moät khoâng gian coù moät heä sinh goàm höõu haïn vector. Tröôøng hôïp ngöôïc laïi ta noùi khoâng gian laø voâ haïn chieàu. n Nhaän xeùt. Cho a1, ··· ,an vaø b laø caùc vector trong K . Khi ñoù b laø toå hôïp tuyeán tính cuûa a1, ··· ,an ⇔ phöông trình x1a1 +···+xnan = b coù nghieäm.       7 1 −2       Ví duï. b =  6  coù laø toå hôïp tuyeán tính cuûa a1 =  2  ,a2 =  −5  hay 1 3 2
Chöông III. Khoâng gian vector 45 khoâng, töông ñöông vôùi heä phöông trình sau coù nghieäm hay khoâng       1 −2 7       x1  2  + x2  −5  =  6  3 2 1 Duøng thuaät toaùn Gauss, ta coù       1 −2 | 7 1 −2 | 7 1 −2 | 7        2 −5 | 6  →  0 −1 |−8  →  0 −1 |−8  32| 1 08|−20 00|−84 Vì heä voâ nghieäm, neân b khoâng laø toå hôïp tuyeán tính cuûa a1,a2 Baøi taäp: Chöùng minh caùc khoâng gian K[X], F ([a, b]) laø voâ haïn chieàu. Nhaän xeùt. Trong khoâng gian vector hình hoïc: Moät ñöôøng thaúng ñöôïc sinh ra bôûi ñuùng 1 vector khaùc khoâng. Moät maët phaúng ñöôïc sinh ra bôûi ñuùng 2 vector khoâng song song. Khoâng gian sinh bôûi ñuùng 3 vector khoâng ñoàng phaúng. Khaùi nieäm song song, ñoàng phaúng vaø “sinh ra bôûi ñuùng ” ñöôïc khaùi quaùt hoùa nhö sau: 2.2 Ñònh nghóa. Moät heä e1, ··· ,en ∈ V goïi laø phuï thuoäc tuyeán tính neáuu toàn taïi x1, ··· ,xn ∈ K khoâng ñoàng thôøi baèng 0 sao cho x1e1 + ···+ xnen = O. Tröôøng hôïp ngöôïc laïi heä goïi laø ñoäc laäp tuyeán tính, i.e. x1e1 + ···+ xnen = O ⇒ x1 = ···= xn =0. Taäp B⊂V ñöôïc goïi laø moät cô sôû cuûa V neáuu (B1) B laø moät heä sinh cuûa V , i.e. L(B)=V . (B2) B laø moät heä vector ñoäc laäp tuyeán tính, i.e. moïi hoï höõu haïn vector thuoäc B laø ñoäc laäp tuyeán tính. Nhaän xeùt. Töø ñònh nghóa, ta coù: • Heä e1, ··· ,en phuï thuoäc tuyeán tính khi vaø chæ khi toàn taïi i ∈{1, ··· ,n}, sao cho ei laø toå hôïp tuyeán tính cuûa caùc vector coøn laïi. • Moät heä ñoäc laäp tuyeán tính khoâng theå chöùa vector O. • Moät heä con cuûa moät heä ñoäc laäp tuyeán tính laø ñoäc laäp tuyeán tính. • Neáu V coù cô sôû, thì V = {O}. Ví duï. n a) Trong K heä a1, ··· ,ap laø ñoäc laäp tuyeán tính khi vaø chæ khi heä phöông trình thuaàn nhaát x1a1 + ···+ xpap = O chæ coù nghieäm taàm thöôøng O. Chaúng haïn, xeùt tính ñoäc laäp tuyeán tính cuûa heä 3 vector sau trong K 3       1 −1 1       a1 =  −2  ,a2 =  1  ,a3 =  0  . −1 0 1
46 Heä phöông trình x1a1 + x2a2 + x3a3 = O coù nghieäm khoâng taàm thöôøng, chaúng haïn x1 =1,x2 =2,x3 =1, neân a1,a2,a3 khoâng ñoäc laäp tuyeán tính ( i.e. chuùng ñoàng phaúng).       1 0 0             n  0   1   0  b) Cô sôû chính taéc trong K laø heä vector e1 =  .  e2 =  .  , ··· ,en =  .   .   .   .  0 0 1 2 n c) Moät cô sôû töï nhieân cuûa Kn[X] laø heä caùc ñôn thöùc {1,X,X , ··· ,X }. d) Hoï voâ haïn ñôn thöùc {1,X,X2, ···} laø moät cô sôû cuûa K[X]. Baøi taäp: Chöùng minh caùc heää vector treân laø cô sôû. 2.3 Ñònh lyù (cô sôû). (i) Moïi khoâng gian vector V = O ñeàu toàn taïi cô sôû. (ii) Moïi cô sôû cuûa V ñeàu coù cuøng soá phaàn töû (löïc löôïng). Töø ñoù soá chieàu cuûa khoâng gian vector V treân K ñöôïc kyù hieäu vaø ñònh nghóa: dimK V = soá phaàn töû cuûa cô sôû cuûa V, dimK {O} =0. Chöùng minh: Tröôøng hôïp V laø khoâng gian höõu haïn chieàu. Goïi A = {a1, ··· ,aN } moät heä sinh cuûa V . Tröôùc heát ta xaây döïng moät côû sôû B töø A baèng caùch loaïi bôùt moät soá vector. Cuï theå, xeùt phöông trình x1a1 + ···+ xN aN = O. Neáu phöông trình chæ coù nghieäm taàm thöôøng x1 = ···= xN =0, thì B = A laø cô sôû. Neáu phöông trình coù nghieäm khaùc khoâng (x1, ··· ,xn), vôùi xi =0 , thì loaïi ai khoûi A: A1 = A \{ai}. Laëp laïi laäp luaän treân cho A1, ···. Sau <N böôùc ta coù cô sôû B⊂A. Vieäc chöùng minh (ii) döïa vaøo boå ñeà sau: Boå ñeà. Neáu B = {e1, ··· ,en} laø cô sôû vaø f1, ··· ,fm laø heä ñoäc laäp tuyeán tính, thì m ≤ n. Vieäc chöùng minh boå ñeà döïa vaøo phöông phaùp thay theá nhö sau: Do f1 ∈ L(e1, ··· ,en), f1 = x1e1 + ···+ xnen.Vìf1 = O, khoâng maát tính toång −1 quaùt, giaû söû x1 =0 . Khi ñoù e1 = x1 (f1 − x2e2 + ···+ xnen). Vaäy L(e1, ··· ,en)= L(f1,e2, ··· ,en). Do f2 ∈ L(f1,e2, ··· ,en), f2 = y1f1 + y2e2 + ···+ ynen.Vìf1,f2 ñoäc laäp tuyeán tính, toàn taïi i ≥ 2 sao cho yi =0 . Khoâng maát tính toång quaùt, giaû söû y2 =0 . Khi ñoù −1 e2 = y2 (f2 − y1f1 − y2e2 + ···+ ynen). Vaäy L(e1, ··· ,en)=L(f1,f2, ··· ,en). Laëp laäp luaän treân, ôû böôùc k, f1, ··· ,fk ñöôïc thay theá vaøo B. Ta phaûi coù m ≤ n, vì neáu khoâng, ôû böôùc n, V = L(f1, ··· ,fn) vaø khi ñoù fn+1 ∈ L(f1, ··· ,fn), ñieàu naøy traùi gæa thieát veà tính ñoäc laäp tuyeán tính cuûa f1, ··· ,fm. Baây giôø, ta chöùng minh (ii). Cho B vaø B laø caùc cô sôû cuûa V . Kyù hieäu #B vaø #B laø soá phaàn töû cuûa chuùng. Khi ñoù, theo boå ñeà treân, #B ≤ #B vaø #B≤#B. Vaäy #B =#B. Tröôøng hôïp V voâ haïn chieàu, coù theå chöùng minh ñònh lyù döïa vaøo tieân ñeà choïn. Ví duï. n a) dimK K = n (cô sôû chính taéc). b) dimK MatK (m, n)=m × n (cô sôû chính taéc {Eij,i =1, ··· ,m; j =1, ··· ,n},
Chöông III. Khoâng gian vector 47 vôùi Eij laø m × n ma traän maø phaàn töû doøng i coät j laø 1, caùc phaàn töû khaùc laø 0). c) dimR C =2 (cô sôû laø 1,i). n d) dimK Kn[X]=n +1 (cô sôû töï nhieân {1,X,··· ,X }). 2.4 Meänh ñeà. Cho V laø khoâng gian vector n chieàu. Khi ñoù (i) Moïi heä sinh cuûa V ñeàu chöùa cô sôû cuûa V . (ii) Moïi heä >nvector ñeàu phuï thuoäc tuyeán tính. (iii) Moïi heä = n vector ñoäc laäp tuyeán tính laø cô sôû. (iv) Moïi heä <nvector ñeàu coù theå boå sung thaønh cô sôû. (v) Neáu W laø khoâng gian con cuûa V , thì dim W ≤ V , vaø daáu = xaûy ra khi vaø chæ khi W = V . Chöùng minh: Suy tröïc tieáp töø ñònh lyù treân vaø chöùng minh cuûa noù. 2 2 Ví duï. Cho A ∈ MatK(n).Vìdim MatK (n)=n , neân neáu k ≥ n , caùc ma k traän I,A,··· ,A laø phuï thuoäc tuyeán tính. Nhö vaäy, moïi A ∈ MatK(n), toàn taïi ña 2 k thöùc baäc k ≤ n , PA(X)=a0 + a1X + ···+ akX ∈ K[X], sao cho k PA(A)=a0I + a1A + ···+ akA =0. Neáu A coù ña thöùc PA maø a0 =0 , thì A coù ma traän ngöôïc ñöôïc tính bôûi coâng thöùc −1 1 k−1 A = (a1I + a2A + ···+ akA ). a0 2.5 Toïa ñoä. Cho B =(e1, ··· ,en) laø moät cô sôû ñöôïc saép thöù töï cuûa V . Khi ñoù vôùi n moïi x ∈ V , toàn taïi duy nhaát (x1, ··· ,xn) ∈ K sao cho x = x1e1 + ···+ xnen. x1    x   2  Kyù hieäu xB =  .  goïi laø toïa ñoä cuûa x theo cô sôû B.  .  xn Nhaän xeùt. • Vieäc x laø toå hôïp tuyeán tính cuûa e1, ··· ,en laø do B laø heä sinh cuûa V . Tính duy nhaát cuûa caùc toïa ñoä laø do B laø heä ñoäc laäp tuyeán tính. • Ñònh nghóa toïa ñoä phuï thuoäc vaøo thöù töï cuûa caùc vector trong cô sôû. Vì vaäy khi caùc vaán ñeà coù lieân quan ñeán toïa ñoä, ta qui öôùc heä cô sôû laø heä ñöôïc saép thöù töï. n Nhaän xeùt. Heä (e1, ··· ,en) laø cô sôû cuûa K töông ñöông vôùi caùc ñieàu sau: n • Vôùi moïi b ∈ K phöông trình x1e1 + ···+ xnen = b coù duy nhaát nghieäm. • Duøng thuaät toaùn Gauss-Jordan coù theå thöïc hieän ñöôïc bieán ñoåi (e1 ···en) → In • rankA =rank(e1 ···en)=n. • Ma traän A =(e1 ···en) khaû nghòch. n Sô ñoà tìm toïa ñoä x ∈ K theo cô sôû B =(e1, ··· ,en): Duøng phöông phaùp Gauss-Jordan (e1e2 ···en | x) −→ (In | xB)
48 x Ví duï. Trong K2. Khi vieát x 1 chính laø toïa ñoä cuûa x trong cô sôû chính taéc, = x 2 1 0 vì x = x1 + x2 0 1 1 −1 Ñeå tìm toïa ñoä x trong cô sôû B : f1 = ,f2 = , giaûi heä phöông trình 1 1 x1 = X1 − X2 x = X1f1 + X2f2 ⇔ x2 = X1 + X2 X1 1 x1 + x2 Suy ra xB = = . X2 2 x2 − x1 Meänh ñeà. Gæa söû B laø cô sôû cuûa khoâng gian vector V treân K. Khi ñoù vôùi moïi x, y ∈ V, α ∈ K, (x + y)B = xB + yB vaø (αx)B = αxB Chöùng minh: Deã daøng suy töø ñònh nghóa. Nhaän xeùt. Khi coá ñònh moät cô sôû cho moät khoâng gian n chieàu V treân K ta coù töông öùng 1-1:      V   Kn       x   x  ←→ B  x + y   xB + yB      αx αxB Khi ñoù Kn laø moâ hình hay “baûn sao” cuûa V . Pheùp töông öùng naøy laøm cho tính toaùn, ñònh löôïng thuaän lôïi. 2.6 Haïng cuûa heä vector. Haïng cuûa heä vector a1, ··· ,am ∈ V ñöôïc kyù hieäu vaø ñònh nghóa rank(a1, ··· ,am) = dim L(a1, ··· ,am)= soá vector ñoäc laäp tuyeán tính cöïc ñaïi cuûa heä. Ñeå tính haïng ta coù theå döïa vaøo nhaän xeùt sau (Baøi taäp): Meänh ñeà. Khoâng gian sinh bôûi moät heä vector laø khoâng ñoåi khi thöïc hieän caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp treân heä. Cuï theå, ∀i = j, ∀α ∈ K \ 0, ta coù: 1- L(a1, ··· ,ai, ··· ,aj, ··· ,am)=L(a1, ··· ,aj, ··· ,ai, ··· ,am). 2- L(a1, ··· ,αai, ··· ,am)=L(a1, ··· ,ai, ··· ,am). 3- L(a1, ··· ,ai + αaj, ··· ,am)=L(a1, ··· ,ai, ··· ,am). Suy ra haïng cuûa moät heä vector khoâng ñoåi qua caùc pheùp bieán ñoåi sô caáp treân heä. n Sô ñoà tính haïng heä a1, ··· ,am ∈ K : Böôùc 1: Laäp ma traän A maø moãi doøng laø toïa ñoä cuûa moãi vector cuûa heä.
Chöông III. Khoâng gian vector 49 Böôùc 2: Duøng thuaät toaùn Gauss, suy ra rankA =rank(a1, ··· ,am).       1 1 2       4  0   −1   −1  Ví duï. Trong K Cho a1 =   ,a2 =   ,a3 =   .  2   3   5  2 −2 0 Ñeå tính haïng cuûa heä vaø tìm moät cô sôû cuûa L(a1,a2,a3), ta duøng thuaät toaùn Gauss       1022 10 22 1022   D −D ,D −2D   D3−D2    1 −13−2  2 −→1 3 1  01 14 −→  0114 2 −15 0 01−14 0000 Töø ñoù suy ra rank(a1,a2,a3)=2. Hôn nöõa, töø ma traän cuoái ta coù L(a1,a2,a3) laø khoâng gian coù cô sôû laø (1, 0, 2, 2), (0, 1, 1, 4). 3. Toång - Tích - Thöông caùc khoâng gian vector 3.1 Toång. Cho V1,V2 ⊂ V laø caùc khoâng gian con. Toång cuûa V1,V2 : V1 + V2 = {x ∈ V : x = x1 + x2,x1 ∈ V1,x2 ∈ V2} = L(V1 ∪ V2). Toång treân goïi laø toång tröïc tieáp , kyù hieäu V1 ⊕ V2, neáuu V1 ∩ V2 = O. Nhaän xeùt. Toång 2 khoâng gian con laø khoâng gian con. Ví duï. Toång 2 ñöôøng thaúng qua goác O trong khoâng gian laø maët phaúng chöùa 2 ñöôøng thaúng ñoù. Meänh ñeà. Toång V1 + V2 laø toång tröïc tieáp khi vaø chæ khi vôùi moïi x ∈ V1 + V2 toàn taïi duy nhaát x1 ∈ V1,x2 ∈ V2, x = x1 + x2. Chöùng minh: Gæa söû x = x1 + x2 = y1 + y2, vôùi x1,y1 ∈ V1,x2,y2 ∈ V2. Khi ñoù x1 − y1 = y2 − x2 ∈ V1 ∩ V2. Neáu V1 ∩ V2 = O, thì x1 = y1,x2 = y2. Ngöôïc laïi, moïi x ∈ V1 ∩ V2 ñeàu coù caùc bieåu dieãn x = x1 = x1 + O ∈ V1,x = x2 = O + x2 ∈ V2, neân neáu bieåu dieãn laø duy nhaát, thì x1 = O, x2 = O, i.e. x = O. Vaäy V1 ∩ V2 = O. s Toång quaùt, toång cuûa höõu haïn khoâng gian con, kyù hieäu V1 + ···+ Vs = Vi , i=1 laø khoâng gian caùc vector coù daïng x1 + ···+ xs, vôùi xi ∈ Vi. s s Toång treân laø tröïc tieáp, kyù hieäu V1 ⊕···⊕Vs = i=1 Vi, neáuu vôùi moïi x ∈ Vi coù i=1 bieåu dieãn duy nhaát x = x1 + ···+ xx, vôùi xi ∈ Vi. 3.2 Phaàn buø ñaïi soá (hieäu). Cho V1 laø khoâng gian con cuûa V . Khi ñoù toàn taïi khoâng gian con V2 sao cho V = V1 ⊕ V2. Ta goïi V2 laø moät phaàn buø ñaïi soá cuûa V1. Chöùng minh: Goïi B1 laø moät cô sôû cuûa V1. Theo Meänh ñeà 2.4, coù theå boå sung heä ñoù ñeå coù cô sôû B cuûa V . Khi ñoù V2 = L(B\B1) laø moät phaàn buø cuûa V1.
50 Nhaän xeùt. Phaàn buø ñaïi soá noùi chung khoâng duy nhaát (chaúng haïn, phaàn buø ñaïi soá cuûa ñöôøng thaúng trong maët phaúng.) Tröôøng hôïp V höõu haïn chieàu, neáu V2 laø phaàn buø ñaïi soá cuûa V1, thì dim V2 = dim V − dim V1 khoâng ñoåi vôùi moïi phaàn buø ñaïi soá, soá treân goïi laø soá ñoái chieàu cuûa V1 trong V vaø kyù hieäu laø codimV1. Meänh ñeà. Cho V laø khoâng gian höûu haïn chieàu. Khi ñoù (i) dim(V1 + V2) = dim V1 +dimV2 − dim(V1 ∩ V2). (ii) dim V =dimV1 + codimV1. Chöùng minh: Goïi {a1, ··· ,am}, {a1, ··· ,am,b1, ··· ,bn1 }, {a1, ··· ,am,c1, ··· ,cn2 } laàn löôït laø cô sôû cuûa V1 ∩ V2,V1,V2. Ñeå chöùng minh (i), caàn chöùng minh B = {a1, ··· ,am,b1, ··· ,bn1 ,c1, ··· ,cn2 } laø cô sôû cuûa V1 + V2. Deã thaáy B sinh ra V1 + V2. Ñeå kieåm tra tính ñoäc laäp tuyeán tính, gæa söû m n1 n2 αiai + βjbj + γkck = O. i=1 j=1 k=1 n2 m n1 Suy ra γkck = − αiai − βjbj ∈ V1 ∩ V2 = L(a1, ··· ,am). k=1 i=1 j=1 n2 Do {a1, ··· ,am,c1, ··· ,cn2 } ñoäc laäp tuyeán tính, γkck = O. k=1 m n1 Suy ra αiai + βjbj = O. Töø tính ñoäc laäp tuyeán tính cuûa {c1, ··· ,cn2 } vaø i=1 j=1 {a1, ··· ,am,b1, ··· ,bn1 }, töø hai ñaúng thöùc treân suy ra γk =0,αi =0,βj =0, ∀i, j, k. Vaäy B laø heä ñoäc laäp tuyeán tính. 3.3 Tích. Cho V1,V2 laø caùc khoâng gian vector treân cuøng tröôøng K. Tích V1,V2 laø khoâng gian V1 × V2 = {(x1,x2):x1 ∈ V1,x2 ∈ V2}, vôùi pheùp coäng vaø nhaân vôùi soá ñöôïc ñònh nghóa: (x1,x2)+(y1,y2)=(x1 +1 y1,x2 +2 y2) α(x1,x2)=(α ·1 x1,α·2 x2) Deã thaáy tích treân laø khoâng gian vector treân K. Toång quaùt, baèng qui naïp coù theå ñònh nghóa tích caùc khoâng gian vector treân K: s V1 ×···×Vs = Vi =(V1 × Vs−1) × Vs. i=1 Meänh ñeà. Neáu Vi,i=1, ··· ,s laø caùc khoâng gian höõu haïn chieàu treân K, thì s s dim Vi = dim Vi i=1 i=1
Chöông III. Khoâng gian vector 51 Chöùng minh: Thöïc vaäy, neáu e1, ··· ,en laø cô sôû cuûa V1 vaø f1, ··· ,fm laø cô sôû V2, thì deã kieåm tra (e1,O), ··· , (en,O), (O, f1), ··· , (O, fm) laø cô sôû cuûa V1 × V2. Sau ñoù quy naïp theo s. Ví duï. Kn K ×···×K. = n 3.4 Thöông. Cho W laø moät khoâng gian vector con cuûa khoâng gian vector V . Khoâng gian thöông V/W ñöôïc xaây döïng nhö sau: Treân V xeùt quan heä “ñoàng dö modulo W ”: x, y ∈ V, x ≡ y (mod W ) ⇔ x − y ∈ W Nhaän xeùt. • Quan heä treân laø quan heä töông ñöông. • Quan heä treân phaân hoaïch V thaønh caùc lôùp töông ñöông: [x]=x + W (x ∈ V ). • Neáu [x]=[x], [y]=[y] vaø α ∈ K, thì [x + y]=[x + y] vaø [αx]=[αx]. Töø caùc nhaän xeùt treân, ñònh nghóa khoâng gian thöông V/W = {[x]=x + W : x ∈ V }, vôùi pheùp coäng vaø nhaân vôùi soá: [x]+[y]=[x + y] ,α[x]=[αx]. Nhaän xeùt. Ñònh nghóa laø hôïp caùch vaø V/W laø khoâng gian vector treân K. Meänh ñeà. Cho V laø khoâng gian höõu haïn chieàu. Khi ñoù dim V/W =dimV − dim W = codimW. Chöùng minh: Goïi e1, ··· ,em laø cô sôû cuûa moät phaàn buø ñaïi soá cuûa W . Khi ñoù [e1], ··· , [em] laø cô sôû cuûa V/W. Thaät vaäy, moïi x ∈ V , coù bieåu dieãn duy nhaát x = x1e1 + ···+ xmem + y, vôùi y ∈ W . Suy ra, [y]=O ∈ V/W. Do ñoù, moïi [x] ∈ V/W coù bieåu dieãn duy nhaát [x]=x1[e1]+···+ xn[en]. Ví duï. Cho W laø ñöôøng thaúng qua goác O trong R2. Khi ñoù x ≡ y( mod W ) neáuu x, y thuoäc ñöôøng thaúng song song vôùi W , i.e. x − y ∈ W , coøn [x]=ñöôøng thaúng qua x song song W . Khoâng gian thöông R2/W = taäp caùc ñöôøng thaúng song song vôùi W . (ñeå yù laø phaàn töû cuûa taäp naøy laø ñöôøng thaúng).
IV. AÙnh xaï tuyeán tính Moät aùnh xaï giöõa hai khoâng gian vector maø baûo toaøn pheùp coäng vaø nhaân vôùi soá ñöôïc goïi laø aùnh xaï tuyeán tính. Trong lôùp caùc aùnh xaï, aùnh xaï tuyeán tính laø ñôn giaûn vaø quan troïng nhaát. Maët khaùc, nhieàu aùnh xaï coù theå xaáp xæ bôûi aùnh xaï tuyeán tính, khi ñoù vieäc nghieân cöùu aùnh xaï goác deã daøng hôn. Vì vaäy phaàn lôùn caùc vaán ñeà toaùn hoïc cuõng nhö kyõ thuaät coù lieân quan ñeán aùnh xaï tuyeán tính. ÔÛ chöông naøy caùc keát quûa ñònh tính cuûa heä phöông trình tuyeán tính ñöôïc suy ra moät caùch deã daøng thoâng qua khaùi nieäm aùnh xaï tuyeán tính. Khi coá ñònh cô sôû treân caùc khoâng gian vector, aùnh xaï tuyeán tính ñöôïc bieåu dieãn bôûi ma traän. Moái quan heä naøy cho pheùp tính toaùn, ñònh löôïng caùc aùnh xaï tuyeán tính. 1. AÙnh xaï tuyeán tính 1.1 Ñònh nghóa. Cho V vaø V laø caùc khoâng gian vector treân cuøng tröôøng soá K. AÙnh xaï f : V −→ V goïi laø K-tuyeán tính neáuu vôùi moïi x, y ∈ V,α ∈ K (L1) f(x + y)=f(x)+f(y) (L2) f(αx)=αf(x) Nhaän xeùt. (L1)(L2) töông ñöông vôùi (L) f(αx + βy)=αf(x)+βf(y) ∀x, y ∈ V,∀α, β ∈ K. Thuaät ngöõ: Khi ñaõ roõ tröôøng K ñang xeùt laø tröôøng naøo, ta thöôøng goïi f laø aùnh xaï tuyeán tính thay cho K-tuyeán tính. AÙnh xaï tuyeán tính coøn ñöôïc goïi laø ñoàng caáu tuyeán tính hay toaùn töû tuyeán tính. Neáu V = V , thì aùnh xaï tuyeán tính ñöôïc goïi laø töï ñoàng caáu. Khi V = K, ngöôøi ta coøn duøng thuaät ngöõ phieám haøm tuyeán tính hay daïng tuyeán tính. Kyù hieäu LK(V,V )= taäp moïi aùnh xaï tuyeán tính töø V vaøo V , vaø LK(V ) = LK(V,V ). Tính chaát. Cho f ∈ LK (V,V ). Khi ñoù n n f(O)=O vaø f( αivi)= αif(vi), ∀vi ∈ V,αi ∈ K; i =1, ··· ,n i=1 i=1 1.2 Ví duï. a) AÙnh xaï khoâng OV , aùnh xaï ñoàng nhaát idV laø caùc aùnh xaï tuyeán tính. b) AÙnh xaï tuyeán tính sinh bôûi ma traän A ∈ MatK (m, n), ñöôïc ñònh nghóa: n m LA : K −→ K ,LA(x)=Ax. Deã kieåm tra LA laø tuyeán tính, do tính chaát cuûa caùc pheùp toaùn treân ma traän. Ngöôïc laïi, ôû 2.2 seõ chöùng minh moïi aùnh xaï tuyeán tính K n → Km ñeàu coù daïng treân.
54 2 c) Caùc pheùp bieán ñoåi hình hoïc trong R sau ñaây laø tuyeán tính: x1 λ1x1 λ1 0 x1 Pheùp co daõn caùc truïc: → = x2 λ2x2 0 λ2 x2 x1 x1 10 x1 Pheùp ñoái xöùng qua Ox1: → = x2 −x2 0 −1 x2 x1 −x1 −10 x1 Pheùp ñoái xöùng qua Ox2: → = x2 x2 01 x2 x1 −x1 −10 x1 Pheùp ñoái xöùng qua taâm O: → = x2 −x2 0 −1 x2 r cos θ r cos(θ + ϕ) cos ϕ − sin ϕ r cos θ Pheùp quay goùc ϕ: → = r sin θ r sin(θ + ϕ) sin ϕ cos ϕ r sin θ x1 x1 10 x1 Pheùp chieáu leân Ox1: → = x2 0 00 x2 Baøi taäp: Xaùc ñònh pheùp ñoái xöùng qua ñöôøng thaúng ax1 + bx2 =0. d) Ñaïo haøm, tích phaân laø caùc aùnh xaï tuyeán tính. (Haõy neâu caùc khoâng gian vector nguoàn vaø ñích töông öùng). e) AÙnh xaï khoâng tuyeán tính ñöôïc goïi laø phi tuyeán . Chaúng haïn: haøm ña thöùc baäc ≥ 2, haøm sin, cos, exp, log, 1.3 Im - Ker. Cho f ∈ LK(V,V ) Ta coù caùc kyù hieäu vaø ñònh nghóa: Imf = f(V )={y ∈ V : ∃x ∈ V,y = f(x)} goïi laø aûnh cuûa f. Kerf = f −1(O)={x ∈ V : f(x)=0} goïi laø nhaân hay taâm, haïch cuûa f. rankf =dim Imf goïi laø haïng cuûa f. dim Kerf goïi laø soá khuyeát cuûa f. Nhaän xeùt. Imf, Kerf laø khoâng gian vector con cuûa V ,V töông öùng. Ñieàu treân suy töø khaúng ñònh sau (maø vieäc chöùng minh xem nhö baøi taäp): Meänh ñeà. (i) Neáu W ⊂ V laø khoâng gian con, thì f(W ) laø khoâng gian con. (ii) Neáu W ⊂ V laø khoâng gian con, thì f −1(W ) laø khoâng gian con. Nhaän xeùt. Coù theå xem Kerf vaø Imf ño ñoä ñôn aùnh hay toaøn aùnh cuûa f. Töø ñònh nghóa deã suy ra (baøi taäp): Meänh ñeà. (i) Kerf = O khi vaø chi khi f laø ñôn aùnh. (ii) Imf = V khi vaø chæ khi f laø toaøn aùnh.
Chöông IV. AÙnh xaï tuyeán tính 55 n m Nhaän xeùt. Khi f = LA : K → K ,LA(x)=Ax, vôùi A ∈ MatK(m, n). m Vieát A döôùi daïng n vector coät A =(a1 ···an), vôùi aj ∈ K . Khi ñoù t n LA(x)=Ax = x1a1 + ···+ xnan x = (x1 ···xn) ∈ K m ImLA = {b ∈ K : ∃x, b = x1a1 + ···+ xnan} = L(a1, ··· ,an). n KerLA = {x ∈ K : Ax =0} = Khoâng gian nghieäm phöông trình Ax =0. Ví duï. Cho f : R4 → R3, f(x, y, z, t)=(x − y + z + t, x +2z − t, x + y +3z − 3t). Ñeå xaùc ñònh Imf vaø Kerf ta tieán haønh nhö sau. Vieát f döôùi daïng ma traän:     x x       1 −11 1  y   y    f   A   , vôùi A  −   z  =  z  = 1021 − t t 1133 Ta coù Imf = Khoâng gian sinh bôûi caùc coät cuûa A Ñeå xaùc ñònh khoâng gian treân, bieán ñoåi sô caáp treân doøng ma traän tA:       111 111 111        −       101 −→  012 −→  012  123  012  000 1 −13 0 −2 −4 000 Suy ra Imf coù cô sôû laø caùc vector (1, 1, 1), (0, 1, 2). Ta coù Kerf laø khoâng gian nghieäm heä phöông trình   x − y + z + t =0 x +2z − t =0  x + y +3z − 3t =0 Duøng phöông phaùp khöû Gauss bieán ñoåi treân ma traän       1 −11 1 1 −11−1 1 −11−1        102−1  −→  011−2  −→  011−2  113−3 022−4 0000 Suy ra y = −z +2t, x = −2z + t, z, t ∈ R. Vaäy Kerf laø khoâng gian 2 chieàu, coù cô sôû laø (−2, −1, 1, 0), (1, 2, 0, 1). Ñònh lyù. Cho f : V → V laø aùnh xaï tuyeán tính giöõa caùc khoâng gian höõu haïn chieàu. Khi ñoù dim Imf +dimKerf =dimV Chöùng minh: Goïi e1, ··· ,ep laø cô sôû cuûa Kerf. Boå sung ñeå e1, ··· ,ep,ep+1, ··· ,en laø cô sôû cuûa V . Ñeå chöùng minh coâng thöùc treân caàn chöùng minh f(ep+1), ··· ,f(en) laø cô sôû cuûa Imf. Heä sinh: Moïi y ∈ Imf, toàn taïi x = x1e1 +···+xpep +xp+1ep+1 +···+xnen ∈ V , sao
56 cho y = f(x). Vaäy y = f(x)=xp+1f(ep+1)+···+xnf(en) ∈ L(f(ep+1), ··· ,f(en)). n n Ñoäc laäp tuyeán tính: Cho xif(ei)=O. Suy ra f( xiei)=O, i=p+1 i=p+1 n i.e. xiei ∈ Kerf = L(e1, ··· ,ep). Töø tính ñoäc laäp tuyeán tính cuûa e1, ··· ,en,ta i=p+1 coù xp+1 = ···= xn =0. Heä quûa 1. Cho f ∈ LK(V,V ). Gæa söû dim V =dimV . Khi ñoù caùc ñieàu sau töông ñöông (i) f laø ñôn aùnh (ii) f laø toaøn aùnh (iii) f laø song aùnh (iv) Ker f =0 Heä quûa 2. (Ñònh lyù veà ñoàng caáu) Cho f ∈ LK (V,V ). Khi ñoùï f¯ : V/ Kerf → V , f¯([x]) = f(x) laø ñôn aùnh, vaø f¯ : V/ Kerf → Imf laø song aùnh tuyeán tính. 1.4 AÙp duïng vaøo heä phöông trình tuyeán tính.1 Xeùt heä phöông trình tuyeán tính m phöông trình, n aån treân tröôøng K: Ax = b, trong ñoù A ∈ MatK (m, n). Phaàn naøy seõ giaûi quyeát hai baøi toaùn sau: 1-Khi naøo heä coù nghieäm, i.e. töông thích ? 2-Soá nghieäm cuûa phöông trình? m Nhaän xeùt. Vieát A =(a1 ···an) daïng n vector coät trong K . Khi ñoù Ax = b laø heä töông thích ⇔∃x1, ··· ,xn ∈ K : x1a1 + ···+ xnan = b ⇔ L(a1, ··· ,an)=L(a1, ··· ,an,b) ⇔ rank(a1, ··· ,an)= rank(a1, ··· ,an,b). Töø ñoù ta coù: Ñònh lyù (Kronecker-Capelli). Heä phöông trình Ax = b töông thích khi vaø chæ khi rankA = rank(Ab) n m Nhaän xeùt. Goïi LA : K → K ,LA(x)=Ax = x1a1 + ···+ xnan. n (i) Taäp nghieäm phöông trình thuaàn nhaát S0 = {x ∈ K : Ax =0} = KerLA, neân laø khoâng gian vector con soá chieàu dim KerLA = n − dim ImLA = n − rankA. (ii) Gæa söû x0 thoûa Ax0 = b. Khi ñoù Ax = b ⇔ A(x − x0)=0 ⇔ x = x0 + x , vôùi Ax =0. Toùm taét laïi, ta coù: Bieän luaän. Xeùt heä Ax = b, vôùi A ∈ MatK (m, n). rankA< rank(Ab) ⇔ heä voâ nghieäm. rankA = rank(Ab)=n (soá aån) ⇔ heä duy nhaát nghieäm. rankA = rank(Ab) <n ⇔ heä voâ soá nghieäm (baäc töï do n − rankA). 1So saùnh vôùi caùc keát quûa ôû Chöông II.
Chöông IV. AÙnh xaï tuyeán tính 57 Caáu truùc khoâng gian nghieäm. (i) Taäp nghieäm heä thuaàn nhaát Ax =0laø khoâng gian vector (n − rankA) chieàu. (ii) Neáu heä coù nghieäm, thì taäp nghieäm cuûa heä laø moät phaúng (n − rankA) chieàu n Sb = x0 + S0 = {x ∈ K : x = x0 + x ,x ∈ S0}, n trong ñoù x0 ∈ K laø moät nghieäm rieâng cuûa heä, i.e. Ax0 = b. S0 laø khoâng gian nghieäm cuûa heä thuaàn nhaát Ax = O. n Bieåu dieãn hình hoïc cuûa heä phöông trình. Taäp caùc ñieåm (x1, ··· ,xn) ∈ K thoûa phöông trình Hb1 : a11x1 + ···+ a1nxn = b1, (a1j khoâng ñoàng thôøi baèng 0) goïi laø moät sieâu phaúng . Khi ñoù ta noùi Hb1 song song vôùi khoâng gian vector con (n − 1) chieàu H01 : a11x1 + ···+ a1nxn =0. Nhö vaäy, taäp nghieäm Sb cuûa heä phöông trình Ax = b, vôùi A ∈ MatK (m, n), laø giao n cuûa m sieâu phaúng trong K . Neáu heä töông thích, thì Sb = ∅, vaø khi ñoù Sb = x0 + S0, neân Sb ñöôïc goïi laø moät phaúng (n − rankA) chieàu hay (n − rankA)-phaúng, song song vôùi khoâng gian con S0 : Ax =0(dim S0 = n − rankA). Ví duï. Moät 1-phaúng laø moät ñöôøng thaúng, moät 2-phaúng laø maët phaúng. 1.5 Ñaúng caáu tuyeán tính. Cho V,V laø 2 khoâng gian vector treân K. Moät aùnh xaï f : V → V goïi laø ñaúng caáu tuyeán tính neáuu f song aùnh vaø f,f−1 laø tuyeán tính. Hai khoâng gian V,V goïi laø ñaúng caáu neáu toàn taïi moät ñaúng caáu tuyeán tính giöõa chuùng. Moät ñaúng caáu tuyeán tính töø V leân chính noù goïi laø töï ñaúng caáu hay bieán ñoåi tuyeán tính. Taäp caùc töï ñaúng caáu treân V , kyù hieäu GlK (V ), goïi laø nhoùm tuyeán tính cuûa V . Nhaän xeùt. Neáu f : V → V laø song aùnh vaø f tuyeán tính, thì f −1 tuyeán tính. Ñònh lyù (ñaúng caáu). Hai khoâng gian vector höõu haïn chieàu treân cuøng tröôøng K ñaúng caáu khi vaø chæ khi chuùng cuøng soá chieàu. Ñaëc bieät, moïi khoâng gian n chieàu treân K ñeàu ñaúng caáu vôùi Kn. Chöùng minh: Gæa söû dim V = n. Coá ñònh cô sôû B cuûa V . Khi ñoù, theo II.2.5, ta coù ñaúng caáu tuyeán tính n V x ←→ xB ∈ K . Nhaän xeùt. YÙ nghóa cuûa ñònh lyù laø neáu chæ xeùt caáu truùc tuyeán tính, thì caùc khoâng gian coù cuøng soá chieàu n ñôïc xem laø nhö nhau, vaø nhö vaäy chæ caàn xeùt moät ñaïi dieän, chaúng haïn moâ hình Kn. Ví duï. Ñaúng caáu n n Kn[X] P (x)=a0 + a1X + ···+ anX ←→ (a0,a1, ··· ,an) ∈ K , cho pheùp xeùt caùc tính chaát tuyeán tính cuûa caùc ña thöùc baäc ≤ n, thoâng qua caùc heä soá cuûa chuùng.
58 2. AÙnh xaï tuyeán tính vaø ma traän Baøi toaùn. Cho f : V → V laø aùnh xaï tuyeán tính. Giaû söû B, B laø caùc côû sôû cuûa V,V töông öùng. Khi y = f(x), haõy tìm quan heä cuûa caùc toïa ñoä yB vaø xB. Ta seõ chöùng minh raèng khi coá ñònh cô sôû aùnh xaï tuyeán tính ñöôïc bieåu dieãn bôûi moät ma traän. Nhö vaäy, cho pheùp tính toaùn cuï theå. Tröôùc heát, ta nhaän xeùt laø moät aùnh xaï tuyeán tính ñöôïc hoaøn toaøn xaùc ñònh bôûi giaù trò cuûa noù treân cô sôû (vì vaäy höõu haïn gía trò neáu khoâng gian laø höõu haïn chieàu). Cuï theå: 2.1 Meänh ñeà. Gæa söû {e1, ··· ,en} laø cô sôû cuûa V vaø f1, ··· ,fn laø caùc vector (tuøy yù) cuûa V . Khi ñoù toàn taïi duy nhaát moät aùnh xaï tuyeán tính f : V → V sao cho f(e1)=f1, ··· ,f(en)=fn. n n Chöùng minh: AÙnh xaï tuyeán tính ñoù laø f(x)=f( xiei)= xifi. i=1 i=1 2 2 Ví duï. Ñeå xaùc ñònh aùnh xaï tuyeán tính f : R → R , khi bieát giaù trò cuûa f treân cô sôû chính taéc e ,e : f e 2 , f e 3 1 2 ( 1)= ( 2)= − 4 2 x Ta coù, vôùi moïi x ∈ 2, x 1 x e x e R = x = 1 1 + 2 2 2 2 3 2x1 +3x2 Suy ra f(x)=x1f(e1)+x2f(e2)=x1 + x2 = 4 −2 4x1 − 2x2 2.2 Ma traän bieåu dieãn aùnh xaï tuyeán tính. Xeùt f ∈ LK (V,V ). Cho B =(e1, ··· ,en) laø cô sôû cuûa V vaø B =(f1, ··· ,fm) laø cô sôû cuûa V . Khi ñoù   f e a f a f ··· a f  ( 1)= 11 1 + 21 2 + + m1 m  f(e2)=a12f1 + a22f2 + ···+ am2fm  . .  . .  f(en)=a1nf1 + a2nf2 + ···+ amnfm   m a1j  .  i.e. f(ej)= aijfi hay f(ej)B =  .  (j =1, ··· ,n) i=1 amj Ma traän bieåu dieãn cuûa f trong cô sôû B, B ñöôïc kyù hieäu vaø ñònh mghóa: B MB (f)=(f(e1)B ··· f(en)B )=(aij) ∈ MatK (m, n).     n x1 m y1  .   .  Cho x = xjej, i.e. xB =  .  vaø y = yifi, i.e. yB =  . . j=1 i=1 xn ym Khi y = f(x),tacoù m n n m n yifi = f( xjej)= ( aijxj)fi. So saùnh heä soá, suy ra yi = aijxj i=1 j=1 i=1 j=1 j=1
Chöông IV. AÙnh xaï tuyeán tính 59 Vieát laïi theo pheùp nhaân ma traän, ta coù töông öùng: B y = f(x) ←→ yB = MB (f)xB Sô ñoà tìm ma traän bieåu dieãn aùnh xaï tuyeán tính f : K n → Km, trong caùc cô sôû B =(e1, ··· ,en), B =(f1, ··· ,fm): vieát toïa ñoä caùc vector theo coät, roài duøng thuaät toaùn Gauss-Jordan B (f1 ···fm|f(e1) ···f(en)) → (Im|MB ) Ví duï. a) Ma traän bieåu dieãn aùnh xaï khoâng O trong moïi cô sôû laø ma traän O. b) Ma traän bieåu dieãn aùnh xaï ñoàng nhaát idV trong cuøng cô sôû laø ma traän ñôn vò I. c) Ma traän bieåu dieãn aùnh xaï tuyeán tính Kn → Km trong cô sôû chính taéc: Laäp luaän treân cho thaáy moïi aùnh xaï tuyeán tính f : K n → Km, ñeàu coù daïng f(x)=Ax, n vôùi A ∈ MatK(m, n) chính laø ma traän bieåu dieãn cuûa f trong cô sôû chính taéc cuûa K vaø Km. Chaúng haïn, pheùp nhuùng i vaø pheùp chieáu p: n n+p i : K → K ,i(x1, ··· ,xn)=(x1, ··· ,xn, 0, ··· , 0). n1 n2 n1 p : K × K → K ,p(x1, ··· ,xn1 ,y1, ··· ,yn2 )=(x1, ··· ,xn1 ), coù ma traän bieåu dieãn trong cô sôû chính taéc laø:   1 ··· 0        .    1 ··· 00··· 0  0 ··· 1  In  . . .  M i   ,M p  . .  In On ×n ( )= ···  = O ( )= . . =( 1 1 2 )  0 0  p×n  . .  0 ··· 10··· 0  . .  0 ··· 0 3 2 d) Cho f : K → K ,f(x1,x2,x3)=(2x1 − x2 +2x3, 3x1 − x2 − x3). Ñeå tìm ma traän bieåu dieãn ftrong cô sôû  1 1 1       1 1 B : e1 =  0  e2 =  1  e3 =  −1 , vaø B : f1 = f2 = . 1 2 0 1 1 Ta giaûi caùc heä phöông trình: a1jf1 + a2jf2 = f(ej),j=1, 2, 3. Duøng thuaät toaùn Gauss-Jordan: | | | 11 235 → 11 235→ 10 153 12| 313 01| 1 −22 01| 1 −22 153 Suy ra ma traän caàn tìm M B (f)= B 1 −22 e) AÙnh xaï C-tuyeán tính w : C → C coù daïng z = x + iy → w =(a + ib)z =(ax − by)+i(bx + ay), vôùi a + ib = w(1).