›
›

Giáo trình Giải tích hàm nhiều biến - Chương 4: Tích phân mặt

ppt 56 trang hapham 1870
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Giải tích hàm nhiều biến - Chương 4: Tích phân mặt", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pptgiao_trinh_giai_tich_ham_nhieu_bien_chuong_4_tich_phan_mat.ppt

Nội dung text: Giáo trình Giải tích hàm nhiều biến - Chương 4: Tích phân mặt

  1. CHƯƠNG IV: TÍCH PHÂN MẶT Đ1. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 1 Đ1. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2
  2. Tớch phõn mặt loại 1 Định nghĩa : Cho hàm f(x,y,z) trờn mặt S. Chia S thành n phần tựy ý khụng dẫm lờn nhau. Gọi tờn và diện tớch của mỗi mặt đú là ΔSk, k=1, 2, , n . Trờn mỗi mảnh đú ta lấy 1 điểm Mk tựy ý và lập tổng n Sn=Dồ f() M k S k k= 1 Cho max(dΔSk) → 0 (dΔSk là đường kớnh của mảnh Sk), nếu tổng trờn dần đến 1 giới hạn hửu hạn thỡ ta gọi đú là tp mặt loại 1 của hàm f(x,y,z) trờn mặt S, kớ hiệu là n ũũ f( x , y , z ) ds=D limồ f ( Mkk ) S max(dSDđ ) 0 S k k= 1
  3. Tớch phõn mặt loại 1 Tớnh chất : Diện tớch mặt S được tớnh bởi S= ũũ ds S ũũ()lf+ m g ds = l ũũ fds + m ũũ gds SSS Nếu mặt S được chia thành 2 mặt khụng dẫm lờn nhau là S1 và S2 thỡ ũũfds=+ ũũ fds ũũ fds SSS12
  4. Tớch phõn mặt loại 1 Cỏch tớnh: 22 ũũf(,,) x y z ds= ũũ f (,,(,))1 x y z x y + zxyÂÂ + z dxdy SDxy Trong đú : Dxy là hỡnh chiếu của S xuống mặt phẳng Oxy (z=0) Từ pt mặt S là F(x,y,z)=0 ta rỳt ra z theo x, y để được z=z(x,y) 22 Biểu thức 1+zxyÂÂ + z dxdy = ds được gọi là vi phõn của mặt S
  5. Tớch phõn mặt loại 1 Vớ dụ 1: Tớnh tớch phõn I1 trờn mặt S là phần mặt nún z2=x2+y2 với 0≤z≤1 của hàm f(x,y,z)=x+y+z Hỡnh chiếu của S xuống mp z=0 là Dxy : 0≤x2+y2≤1 ỡ x ù  ù zx = ù xy22+ 22 ù Pt mặt S (z dương) z=+ x y ớ → ù y ù z = ù y 22 ợù xy+ Suy ra: ds= 2 dxdy Vậy: 22 I1 =ũũ( x + y + z ) ds = ũũ ( x + y + x + y ) 2 dxdy SDxy
  6. Tớch phõn mặt loại 1 Đổi tp sang tọa độ cực: 21p I1 =ũũ dj(cos j + sin j + r) rdr 00 2p I = 1 3
  7. Tớch phõn mặt loại 1 Vớ dụ 2: Tớnh tớch phõn I2 của hàm f(x,y,z)=x+2y+3z trờn mặt S là mặt xung quanh tứ diện x=0, y=0, z=0, x+2y+3z=6 C Mặt S gồm 4 mặt nờn tp I2 cũng được chia làm 4 tp Vỡ mặt x=0 nờn x’y=x’z=0 → ds=dydz, chiếu xuống mp x=0 ta được Dyz: ΔOBC B O I= fds =(2 y + 3 z ) dydz A 21 ũũ ũũ (x=D 0) OBC
  8. Tớch phõn mặt loại 1 C Tương tự, tp trờn 2 mặt tọa độ cũn lại I22 =ũũ fds = ũũ ( x + 3 z ) dxdz (y=D 0) OAC B O I23 =ũũ fds = ũũ ( x + 2 y ) dxdy A (z=D 0) OAB Cuối cựng, trờn mặt x+2y+3z=6 (mp(ABC)). Ta chiếu xuống mp z=0 thỡ Dxy: ΔOAB , vi phõn mặt : 21 4 1 14 z=2 - y - x ịds =1 + + dxdy = dxdy 33 9 9 3
  9. Tớch phõn mặt loại 1 14 Do đú: I24 ==ũũ fds ũũ 6. dxdy (x+ 2 y + 3 z = 6) D OAB 3 IIIII2= 21 + 22 + 23 + 24
  10. Tớch phõn mặt loại 1 2 2 Vớ dụ 3: Tớnh tp I3 của hàm f(x,y,z)=x +y +2z trờn mặt S là phần hỡnh trụ x2+y2=1 nằm trong hỡnh cầu x2+y2+z2=2 Chỳ ý: Ta khụng thể chiếu S xuống mp z=0 được vỡ cả mặt trụ x2+y2=1 cú hỡnh chiếu xuống mp z=0 chỉ là 1 đường trũn x2+y2=1 Chiếu S xuống mp x=0 hay y=0 đều như nhau. Ta sẽ tỡm hỡnh chiếu của S xuống mp x=0 bằng cỏch 2 2 khử x từ 2 pt 2 mặt và được Dyz: y ≤1, z ≤ 1 Khi đú, ta viết x theo y, z từ pt mặt S: xy= ±1 - 2
  11. Tớch phõn mặt loại 1 Do pt cả 2 mặt đều chẵn đối với x nờn mặt S nhận x=0 là mặt đối xứng. Hơn nữa, hàm dưới dấu tp cũng là hàm chẵn với x nờn ta sẽ tớnh tp trờn phần mặt S với x>0 rồi nhõn đụi. ỡ - y ù  ù xy = xy=1 -2 ị ớù 1- y 2 ù ợù xz = 0 1 ị=ds dydz 1- y 2 Vậy: 1112+ z I= 2 dy dz 3 ũũ 2 111- y
  12. Tớch phõn mặt loại 1 Vớ dụ 4: Tớnh diện tớch S4 của phần mặt paraboloid y=1-x2-z2 nằm phớa trờn mp y=0 Với y≥0, ta được hỡnh chiếu xuống mp y=0 của 2 2 paraboloid là Dxz : x +z ≤1 Pt mặt S: ùỡ yxx =-2 y=1 - x22 - y ị ớù ù ợù yzz =-2 Vậy: 22 S4 =ũũ ds = ũũ 1 + 4 x + 4 z dxdz SD4 xz 21p 2 p S4 =+ũũ dj r14 r dr =-( 125 1) 00 6
  13. Tớch phõn mặt loại 2 – Phỏp vecto của mặt Vecto Gradient: Cho mặt cong S cú pt là F(x,y,z)=0. Ta gọi vecto gradient của hàm F tại điểm M là vecto ẹ=FMFMFMFM( )( xxxÂÂÂ ( ), ( ), ( )) Mặt cong S được gọi là mặt trơn nếu cỏc đạo hàm riờng F’x, F’y, F’z liờn tục và khụng đồng thời bằng 0 trờn S tức là vecto gradient của F liờn tục và khỏc 0 Khi mặt S được cho bởi pt z=z(x,y) thỡ ta đặt F(x,y,z) = z-z(x,y) = 0 (,)x yẻ D Lỳc đú, mặt S trơn nếu cỏc đạo hàm riờng z’x, z’y liờn tục trờn D
  14. Tớch phõn mặt loại 2 – Phỏp vecto của mặt Mặt định hướng : Mặt S được gọi là mặt định hướng hay là mặt 2 phớa nếu tại điểm M bất kỳ của S xỏc định đượcur vecto phỏp đơn vị sao cho hàm vecto nM () liờn tục trờn S Khi ta chọn 1 hàm vecto xỏc định, ta núi ta đó định hướng xong mặt S, vecto đó chọn là vecto phỏp dương. Phớc tương ứng của mặt S là phớa mà khi ta đứng trờn phớa ấy, vecto phỏp ứng từ chõn lờn đầu Mặt S trơn cho bởi pt F(x,y,z) là mặt định hướng được với phỏp vecto đơn vị là ur ẹF n =± ||ẹF
  15. Tớch phõn mặt loại 2 – Phỏp vecto của mặt Phỏp vecto đơn vị trờn cũn cú thể viết bằng cỏch ur khỏc: n = (cosa ,cos b ,cos g ) Trong đú α, β, γ lần lượt là gúc tạo bởi nửa dương 3 trục Ox, Oy, Oz với phỏp vecto Để xỏc định phỏp vecto của mặt S với pt là F(x,y,z)=0, ta sẽ làm theo 3 bước sau: 1.Tớnh ẹ=FFFF(,,)x y  z  2.Xỏc định 1 trong 3 gúc α, β, γ xem gúc là nhọn hay là tự để suy ra 1 trong 3 tọa độ của phỏp vecto là dương hay õm 3.Xỏc định dấu của phỏp vecto
  16. Tớch phõn mặt loại 2 – Phỏp vecto của mặt Vớ dụ 1: Tớnh phỏp vecto của mặt S với S là phớa trờn mặt phẳng x+2y+4z=8 Pt mặt S: F(x,y,z) = x+2y+4z-8(=0) 2 → ẹ=F (1,2,4) ur n Hướng của mặt S là phớa trờn tức là vecto phỏp cựng hướng với nửa dương trục Oz, nờn: 4 uur ur p g = 0 2 8 Vậy dấu cần lấy là “+’ để tọa ur 1 n =+ (1,2,4) độ thứ 3 là dương. 21
  17. Tớch phõn mặt loại 2 – Phỏp vecto của mặt Vớ dụ 2: Cho S là phớa trờn của nửa mặt cầu x2+y2+z2=R2, z≥0. Tớnh phỏp vecto của S Pt mặt S là F(x,y,z)=x2+y2+z2-R2 (=0) ẹ=F(2 x ,2 y ,2 z ) Cho S là phớa trờn tức là phỏp vecto cựng hướng với nửa π dương trục Oz, suy ra gúc γ≤ /2 nờn cosγ>0 Vỡ mặt S chỉ tớnh với z dương nờn ta chọn dấu “+” để tọa độ ur (,,)x y z n =+ thứ 3 của phỏp vecto dương R
  18. Tớch phõn mặt loại 2 – Phỏp vecto của mặt ur (,,)x y z n =+ R Khi đú, 2 gúc α, β là nhọn hay tự sẽ phụ thuộc vào x, y là dương, hay õm Với x≥0: thành phần thứ nhất dương tức là cosα≥0 → α≤π/2 và x≤0: cosα≤0 → α≥π/2 π π Với y≥0: cosβ≥0 → β≤ /2 và y≤0: cosβ≤0 → β≥ /2
  19. Tớch phõn mặt loại 2 – Phỏp vecto của mặt Vớ dụ 3: Tớnh phỏp vecto của mặt S là phớa ngoài mặt trụ x2+y2=1 Pt mặt S: F(x,y,z)=x2+y2-1(=0) ẹ=F( x , y ,0) Rừ ràng, S là mặt trụ song song với trục Oz nờn phỏp vecto vuụng gúc với trục Oz tức là π γ= /2 → cosγ=0 Phỏp vecto hướng ra phớa ur ngoài, ta sẽ so với nửa dương n=+( x , y ,0) trục Oy, thỡ π β≤ /2 → cosβ≥0 Ta chọn dấu sao cho khi y>0 thỡ thành phần thứ 2 của vecto cũng dương tức là chọn dấu “+”
  20. Tớch phõn mặt loại 2 – Phỏp vecto của mặt Vớ dụ 4: Tỡm phỏp vecto của mặt S là phớa dưới của mặt trụ z=x2 Pt mặt S: F(x,y,z)=x2-z(=0) ẹFx =(2 ,0, - 1) Mặt S là phớa dưới tức là phỏp vecto ngược với hướng nửa dương trục Oz, tức là γ>π/2 → cosγ<0 Vậy để tọa độ thứ 3 của phỏp vecto õm, ta sẽ chọn ur (2x ,0,- 1) dấu “+” n =+ 41x2 +
  21. Tớch phõn mặt loại 2 – Phỏp vecto của mặt Vớ dụ 5: Tỡm phỏp vecto của mặt S là phớa dưới của mặt nún z=+ x22 y Pt mặt S: F(,,) x y z= x22 + y - z xy ẹF =( , , - 1) x2++ y 2 x 2 y 2 Với S là phớa dưới mặt nún tức là phỏp vecto quay xuống dưới Ta cú γ>π/2 → cosγ<0 Do vậy, ta lấy dấu của phỏp ur 1 vecto là “+” và thay 22 n= +( x , y , - 1) x+= y z 2z để được :
  22. Tớch phõn mặt loại 2 – Cỏch tớnh Định nghĩa: Cho cỏc hàm P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) xỏcur định trờn mặt định hướng S với phỏp vecto đơn vị n = (cosa ,cos b ,cos g ) Tp mặt loại 1 của hàm f(x,y,z)=Pcosα+Qcosβ+Rcosγ trờn mặt S được gọi là tp mặt loại 2 của 3 hàm P, Q, R trờn mặt S và kớ hiệu là ũũPdydz+ Qdzdx + Rdxdy = ũũ( Pcosabg + Q cos + R cos ) ds SS Cỏch tớnh: Cú 2 cỏch Cỏch 1: Tỡmur phỏp vecto của mặt S n = (cosa ,cos b ,cos g ) Thay vào cụng thức trờn, tức là đưa về tp mặt loại 1
  23. Tớch phõn mặt loại 2 – Cỏch tớnh Cỏch 2: Ta tớnh từng phần của tp mặt loại 2 trờn I1 ==ũũ P( x , y , z ) dydz ũũ P cosa ds Theo 4 bước sau SS Bước 1: Xỏc định gúc α nhọn (hay tự) để cú cosα≥0 (hay cosα≤0). Bước 2: Vỡ cần tớnh tp theo dydz nờn ta tỡm hỡnh chiếu của S xuống mp Oyz là Dyz Bước 2: Ta viết lại pt mặt S: F(x,y,z)=0 ↔ x=x(y,z) để thay vào hàm P Bước 4: Đưa tp trờn về thành tp kộp I1 =ũũ P(,,) x y z dydz = ± ũũ P ((,),,) x y z y z dydz SDyz Trong đú: tp kộp lấy dấu dương (õm) nếu cosα dương (õm)
  24. Tớch phõn mặt loại 2 – Cỏch tớnh Đặc biệt: Nếu S là phần mặt song song với trục Ox π thỡ gúc α= /2 tức là cosα=0, Suy ra I==ũũ Pdydz 0 S Tớnh tương tự cho 2 tp cũn lại
  25. Tớch phõn mặt loại 2 – Cỏch tớnh Vớ dụ 1: Tớnh I1 = ũũ zdxdy với S là phớa ngoài của S mặt cầu x2+y2+z2=1 Pt mặt S là F(x,y,z)=x2+y2+z2-1→ ẹF =( x , y , z ), ẹ F = 1 Ta phải chia S thành 2 phần ứng với z≥0 và z≤0, chỳng đối xứng nhau qua mp z=0 và cựng cú hỡnh chiếu xuống mp Oxy là Dxy: x2+y2≤1 Ta sẽ tớnh tp này bằng 2 cỏch Cỏch 1: Tớnh trực tiếp 22 Trờn mặt S1 với z≥0, pt S1 là z= +1 - x - y Phỏp vecto hướng ra phớa ngoài tức là hướng lờn trờn, khi đú gúc γ≤π/2 nờn cosγ≥0 , tp kộp lấy dấu “+”
  26. Tớch phõn mặt loại 2 – Cỏch tớnh 21p 22 2 Vậy I11 = +ũũ 1 - x - y dxdy =-ũũdj r1 r dr Dxy 00 Tương tự, trờn mặt S2 ứng với z≤0 22 S1 z= -1 - x - y Phỏp vecto hướng ra ngoài tức là quay xuống dưới nờn γ≥π/2 → cosγ≤0, tp kộp lấy dấu “-” Hỡnh chiếu Dxy: x2+y2≤1 S 22 2 I12= -ũũ -1 - x - y dxdy = I 11 Dxy 4p Vậy : I = 1 3
  27. Tớch phõn mặt loại 2 – Cỏch tớnh Cỏch 2: Chuyển về tớch phõn mặt loại 1 Mặt S ứng với z≥0, phỏp vecto hướng lờn trờn nờn ur 1 22 n1 =+(,,) x y z → cosγ=z và z=1 - x - y Mặt Suur2 ứng với z≤0, phỏp vecto hướng xuống dưới 22 nờn n2 = (,,) x y z → cosγ=z và z= -1 - x - y Như vậy với cả 2 mặt S1, S2 ta đều cú cosγ=z và 1 Tức là ta khụng cần chia làm ds= dxdy 2 tp như cỏch 1, mà chỉ cần 22 1 xy tớnh trờn nửa phớa trờn rồi Vậy: nhõn đụi. dxdy I= zdxdy =2 z . zds = 2 (1 - x22 - y ) 1 ũũ ũũ ũũ 22 SSDxy 1 xy
  28. Tớch phõn mặt loại 2 – Cỏch tớnh Vớ dụ 2: Cho S là phớa trờn mặt trụ z=x2 giới hạn bởi cỏc mặt : y=0, y=1, z=1, z=0. Tớnh I2 =ũũ zdxdy + yzdydz + xyzdzdx S Do S là phần mặt trụ z=x2 song song với trục Oy nờn I23 ==ũũ xyzdxdz 0 S Ghi nhớ: Pt mặt S chỉ chứa x, z thỡ ũũ Rdzdx = 0 S Pt mặt S: F(x,y,z)=z-x2=0 suy ra ẹFx =( - 2 ,0,1) S là phớa trờn mặt trụ tức là phỏp vecto hướng lờn π trờn: γ≤ /2, cosγ≥0. Vậy ta lấy dấu “+” cho phỏp vecto
  29. Tớch phõn mặt loại 2 – Cỏch tớnh ur (- 2x ,0,1) Phỏp vecto đơn vị của S: n =+ 41x2 + Ta tớnh Tp theo dxdy: I21 = ũũ zdxdy S Pt mặt S: z=x2, với 0≤z≤1, ta được 0≤x2≤1 → -1≤x≤1 Hỡnh chiếu xuống mp Oxy là Dxy: -1≤x≤1, 0≤y≤1 Tọa độ thứ 3 của phỏp vecto dương nờn cosγ≥0 Do vậy : 112 I= zdxdy = + x2 dxdy ==ũũx2 dx dy 21 ũũ ũũ 3 SDxy - 10
  30. Tớch phõn mặt loại 2 – Cỏch tớnh ur (- 2x ,0,1) Phỏp vecto đơn vị của S n =+ 41x2 + Tp theo dydz I22 = ũũ yzdydz Pt mặt S: z=x2 S Hỡnh chiếu xuống mp Oyz là Dyz: 0≤z≤1, 0≤y≤1 Tọa độ thứ nhất của phỏp vecto phụ thuộc vào x nờn ta sẽ chia S thành 2 phần ứng với x≥0 và x≤0 I22 =+ũũ yzdydz ũũ yzdydz S, x³Ê 0 S , x 0 Pt mặt trụ chẵn đối với x, 4 mặt cắt trụ đều cú pt khụng chứa x nờn mặt S nhận x=0 là mặt đối xứng. tức là hỡnh chiếu Dyz của 2 phần mặt (S,x≥0) và (S,x≤0) như nhau → miền lấy tp của 2 tp trờn như nhau
  31. Tớch phõn mặt loại 2 – Cỏch tớnh Suy ra tp I22 là tổng 2 tp cú cựng hàm dưới dấu tp là yz, cựng miền lấy tp là Dyz nhưng dấu thỡ ngược nhau I022 = +ũũyzdydz - ũũ yzdydz = DDyz yz Vậy 2 IIII= + + = 2 21 22 23 3
  32. Tớch phõn mặt loại 2 – Cỏch tớnh Vớ dụ 3: Cho S là phớa trờn mặt nún z2=x2+y2, 0≤z≤1. 22 Tớnh I3 =ũũ z dxdy + zdydz + y dzdx S Do z≥0 nờn pt mặt S là F(,,) x y z= x22 + y - z xy ẹF =( , , - 1) x2++ y 2 x 2 y 2 Ta lấy S là phớa trờn mặt nún tức là γ≤π/2 → cosγ≥0 Vậy phỏp vecto của S là ur 1 xy n = -( , , - 1) 2 x2++ y 2 x 2 y 2 ur 1 xy n = ( , ,1) 2 x2++ y 2 x 2 y 2
  33. Tớch phõn mặt loại 2 – Cỏch tớnh uur 1 xy nS = ( , ,1) 2 x2++ y 2 x 2 y 2 21 2 2 2 Tp theo dxdy : I31 =ũũ z dxdy, cosg = , z = x + y S 2 Hỡnh chiếu của S xuống mp z=0 là Dxy: x2+y2≤1 21p 22 2 Suy ra: I31 = +ũũ () x + y dxdy = ũũdj r. r dr Dxy 00 p I = 31 2
  34. Tớch phõn mặt loại 2 – Cỏch tớnh uur 1 xy nS = ( , ,1) 2 x2++ y 2 x 2 y 2 - x Tớnh tp theo dydz : I== zdydz, cosa 32 ũũ 22 S 2(xy+ ) Vỡ cosα phụ thuộc vào x nờn ta phải chia S thành 2 phần ứng với x≥0 và x≤0, 2 phần đú đối xứng nhau qua mp x=0 vỡ pt S là chẵn đối với x 2 tp trờn 2 phần đú, khi chuyển sang tp kộp sẽ cú hàm dưới dấu tp cựng là f(x,y,z)=z, hỡnh chiếu cựng là Dyz: -z≤y≤z, 0≤z≤1 nhưng trỏi dấu nhau vỡ 2 nửa cho ta 2 phỏp vecto ngược nhau Vậy I32=0
  35. Tớch phõn mặt loại 2 – Cỏch tớnh uur 1 xy nS = ( , ,1) 2 x2++ y 2 x 2 y 2 - y Tớnh tp theo dxdz : I== y2 dydz, cosb 33 ũũ 22 S 2(xy+ ) Tương tự tp I , ta cũng được : 32 I32=0 Vậy : p IIII= + + = 3 31 32 33 2
  36. Tớch phõn mặt loại 2 – Cụng thức Gauss Cụng thức Gauss – Ostrogratxki: Cho miền V đúng, bị chặn trong khụng gian cú biờn là mặt S trơn từng khỳc. Cỏc hàm P, Q, R và cỏc đạo hàm riờng cấp 1 của chỳng liờn tục trong miền mở chứa V. Ta cú cụng thức ũũPdydz+ Qdzdx + Rdxdy = ± ũũũ () Px + Q y  + R z  dxdydz SV Trong đú: Tp bội 3 lấy dấu “+” nếu S là mặt biờn phớa ngoài V và lấy dấu “-” nếu S là mặt biờn phớa trong V
  37. Tớch phõn mặt loại 2 – Cụng thức Gauss Vớ dụ 4: Cho mặt S là phớa ngoài vật thể giới hạn bởi : x2+y2+z2≤4 và z³+ x22 y Tớnh tp sau bằng 2 cỏch trực tiếp và dựng 22 I3 =ũũ x dydz + y dzdx + zdxdy CT Gauss S Cỏch 1: Tớnh trực tiếp Mặt S gồm 2 mặt S1 là phớa trờn mặt cầu với 32ÊÊz Và S2 là phớa dưới mặt nún với 03ÊÊz Trờn mặt S1, S2, ta thấy chỳng đều nhận mp x=0, mp y=0 là mặt đối xứng
  38. Tớch phõn mặt loại 2 – Cụng thức Gauss Do đú, cỏc tp tớnh theo dydz, dzdx đều chia thành 2 phần với hỡnh chiếu như nhau và dấu tp kộp trỏi nhau. Hơn nữa, 2 tp đú đều cú hàm dưới dấu tp kộp giống nhau. Ta được: ũũ x22 dydz+= y dzdx 0 S Tớch phõn trờn mặt S1: pt mặt z=4 - x22 - y Lấy phớa trờn mặt cầu tức là π γ≤ /2, tp kộp lấy dấu “+” Hỡnh chiếu xuống mp z=0 là Dxy: x2+y2≤2
  39. Tớch phõn mặt loại 2 – Cụng thức Gauss ũũzdxdy= + ũũ 4 - x22 - y dxdy SD1 xy 22 Tớch phõn trờn mặt S2: pt mặt z=+ x y π Lấy phớa dưới mặt nún tức là γ≥ /2, tp kộp lấy dấu “-” Hỡnh chiếu xuống mp z=0 là Dxy: x2+y2≤1 ũũzdxdy= - ũũ x22 + y dxdy SD2 xy 2 2 2 2 Vậy: I3 = +ũũ4 - x - y dxdy - ũũ x + y dxdy DDxy xy 21p 2 I3 =ũũ dj r( 4 - r - r ) dr 00
  40. Tớch phõn mặt loại 2 – Cụng thức Gauss Cỏch 2: S là mặt biờn phớa ngoài miền V giới hạn bởi x2+ y 2 Ê z Ê4 - ( x 2 + y 2 ) Hỡnh chiếu của V xuống mp z=0 là hỡnh trũn x2+y2≤1 Áp dụng CT Gauss, ta được I3 = +ũũũ (2 x + 2 y + 1) dxdydz V 1 xy22 I3 =ũũ dxdy ũ (2 x + 2 y + 1) dz 22 Dxy xy+ 21p 2 I3 =ũũ dj r( 4 - r - r )(2 r cos j + 2 r sin j + 1) dr 00
  41. Tớch phõn mặt loại 2 – Cụng thức Gauss Vớ dụ 4: Cho S là mặt biờn phớa trong của V giới hạn bởi x2+y2≤4, 0 ≤z ≤ x2+y2. Tớnh tớch phõn I4 =ũũ ydydz + xydzdx - zdxdy S Áp dụng CT Gauss, ta được I4 = -ũũũ (0 + x - 1) dxdydz V xy22+ I4 = -ũũ( x - 1) dxdy ũ dz xy22+Ê40 22p 2 I4 = -ũũ djj r. r ( r cos - 1) dr 00 2pp 1 2 1 = -ũcosjd j ũ r43 dr + ũ d j ũ r dr 0 0 0 0
  42. Tớch phõn mặt loại 2 – Cụng thức Gauss Vớ dụ 5: Cho S là mặt biờn ngoài của V: x=0, y=0, z=0, x+y+z=2. Tớnh I5 =ũũ xzdydz + xzdzdx + xydxdy S Cỏch 1: Áp dụng CT Gauss I5 = +ũũũ ( z + 0 + 0) dxdydz V 22- x 2 xy I5 = ũ dx ũ dy ũ zdz 0 0 0
  43. Tớch phõn mặt loại 2 – Cụng thức Stokes Cụng thức Stokes: Cho mặt định hướng S trơn từng khỳc cú biờn là đường cong kớn C trơn từng khỳc và khụng tự cắt. Cỏc hàm P, Q, R và cỏc đh riờng cấp 1 liờn tục trong miền mở chứa S. Ta cú CT Stokes ũũ ()()()QxÂ- P y  dxdy + P z  - R x  dzdx + R y  - P z  dydz S =ũẹ()Pdx + Qdy + Rdz C Trong đú, hướng của C được lấy sao cho khi đứng phớa mặt S và đi theo hướng đú thỡ ta thấy S bờn trỏi. Ghi chỳ: Nếu C lấy ngược chiều kim đồng hồ nhỡn từ phớa z>0 (z<0) thỡ hướng trờn mặt S là cựng phớa (ngược phớa) với trục Oz, tức là gúc γ≤π/2 (γ≥π/2)
  44. Tớch phõn mặt loại 2 – Cụng thức Stokes Cụng thức Stokes cũn được dựng ở dạng liờn hệ giữa tp đường loại 2 và tp mặt loại 1 như sau ũẹPdx+ Qdy + Rdz = C ộựÂ Â Â Â Â Â ũũ ởỷ(Qx- P y )cosg + ( P z - R x )cos b + ( R y - Q z )cos a ds S Trong trường hợp C là giao của 1 mp và 1 mặt cong vỡ khi đú ta sẽ chọn S là phần mp bị cắt bởi mặt cong, suy ra phỏp vecto của S là hằng số.
  45. Tớch phõn mặt loại 2 – Cụng thức Stokes Vớ dụ 6: Tớnh I6 =ũẹ ydx + zdy + xdz C Với C là giao của mặt x+y+z=0 và x2+y2+z2=4 theo hướng ngược chiều kim đồng hồ nhỡn từ phớa z>0 Cỏch 1: Áp dụng CT Stokes Vỡ C là giao của mp x+y+z=0 và x2+y2+z2=4 theo hướng ngược chiều kim đồng hồ nhỡn từ phớa z>0 Nờn ta chọn S là phần mp x+y+z=0 nằm phớa trong mặt cầu, lấy phớa trờn. S là hỡnh trũn tõm tại O, bỏn kớnh bằng 2 ur 1 Suy ra vecto chỉ phương của S là n =+ (1,1,1) 3
  46. Tớch phõn mặt loại 2 – Cụng thức Stokes Và ta sử dụng CT Stokes dưới dạng: ũẹPdx+ Qdy + Rdz = C ộựÂ Â Â Â Â Â ũũ ởỷ(Qx- P y )cosg + ( P z - R x )cos b + ( R y - Q z )cos a ds S Để được : I6 =ũẹ ydx + zdy + xdz C 111 =ũũ [(0 - 1) + (0 - 1) + (0 - 1) ]ds S 333 = -3ũũ ds = - 3. S Trong đú S là diện tớch mặt S, S Vậy I6 =-43p
  47. Tớch phõn mặt loại 2 – Cụng thức Stokes Cỏch 2: Tớnh trực tiếp bằng cỏch viết pt tham số của C (Xem trong phần tp đường loại 2- pt tham số) ùỡ 6 ùỡ 6 ù x=-2cos t sin t ù xÂ= -2 sin t - co s t ù 3 ù 3 ù ù ù 26 ù 26 ù yt= sin ù y= cos t ớ 3 ị ớ 3 ù ù ù 6 ù 6 ù z= -2cos t - sin t ù z=-2 sin t co s t ù 3 ù 3 ù ù ợù t tu 0 den 2p ợù t tu 0 den 2p 2p I6 =ũẹ ydx + zdy + xdz =-ũ 12dt =-43p C 0
  48. Tớch phõn mặt loại 2 – Cụng thức Stokes Vớ dụ 7: Tớnh tp I7 =ũẹ ydx - zdy + dz C Với C là giao tuyến của x2+y2+z2=4y và x=y-2 lấy cựng chiều kim đồng hồ nhỡn từ phớa x>0 bằng 2 cỏch : trực tiếp và dựng CT Stokes Cỏch 1: Dựng CT Stokes Chọn S là phần mp x=y-2 nằm trong hỡnh cầu, lấy hướng ngược với nửa dương trục Ox π Suy ra α≥ /2 → cosα≤0 Pt mặt S là F(x,y,z)=x-y+2(=0) : ẹF =(1, - 1,0) Vỡ cosα≤0, nờn ta chọn dấu “-” cho phỏp vecto ur 1 n = -(1, - 1,0) 2
  49. Tớch phõn mặt loại 2 – Cụng thức Stokes ur 1 n = -(1, - 1,0) 2 Vậy: I7 =ũẹ ydx - zdy + dz C 11 =ũũ [(0 - 1).0 + (0 - 0) + (0 + 1)( - )]ds S 22 S là phần mp x=y-2 nằm trong hỡnh cầu. Ta khử x từ 2 pt để được hỡnh chiếu của S xuống mp x=0 là 2 2 22 Dyz: 2(y-2) +z ≤4, ds=12 + xyzÂÂ + x dydz = dydz Suy ra 1 I7 =- ũũ 2 dydz 2 Dyz I7 =-22p
  50. Tớch phõn mặt loại 2 – Cụng thức Stokes Cỏch 2: Viết pt tham số của C ùùỡỡx2+ y 2 + z 2 =4 y 2( y - 2) 2 + z 2 = 4 C : ớớùùÛ ợợùùx= y -22 x = y - ùỡ xt= 2cos ỡ ù ù xtÂ=- 2 sin ù ù ùyt =2 + 2cos ù Â C : ớù ịớ yt = - 2 sin ù ù ù zt= 2sin ù ztÂ= 2cos ù ợù ợù t di tu 0 den 2p I7 =ũẹ ydx - zdy + dz C 2p =ũ [(2 + 2cost )( - 2 sin t ) - 2sin t ] dt 0 I7 =-22p
  51. Tớch phõn mặt loại 2 – Cụng thức Stokes Vớ dụ 8: Tớnh I8 =ũẹ( x + y ) dx + (2 x - z ) dy + ydz C Với C là giao tuyến của x2+y2=1 và z=y2 lấy ngược chiều kim đồng hồ nhỡn từ phớa z>0 Cỏch 1: Dựng CT Stokes Vỡ C là giao tuyến của 2 mặt trụ, ta chưa biết nờn chọn S là mặt nào nờn ta sẽ dựng CT Stokes để viết I8 dưới dạng Tp mặt loại 2 trước I8 =ũẹ( x + y ) dx + (2 x - z ) dy + ydz C =ũũ (21) -dxdy + (00) - dzdx + (11) + dydz S
  52. Tớch phõn mặt loại 2 – Cụng thức Stokes Để tớnh I8, ta sẽ phải tớnh 2 tp : tp theo dxdy và dydz. Tức là ta sẽ phải tỡm hỡnh chiếu của S xuống 2 mp z=0 và x=0. Như vậy, ta sẽ chọn S sao cho hỡnh chiếu của nú xuống 1 trong 2 mặt trờn dễ tỡm, vỡ khi đó chọn xong 1 trong 2 trụ là mặt S thỡ 1 trong 2 tp phải tớnh bằng 0 Ta chọn S là phần mặt trụ parabol z=y2 nằm trong trụ trũn xoay x2+y2=1 lấy phớa trờn, suy ra γ≤π→cosγ≥0 Pt mặt S: F(x,y,z) = y2-z ẹFy =(0,2 , - 1)
  53. Tớch phõn mặt loại 2 – Cụng thức Stokes ur 1 Phỏp vecto mặt S: ny= -(0,2 , - 1) 41y 2 + I8 =ũẹ( x + y ) dx + (2 x - z ) dy + ydz C =ũũ (21) -dxdy + (00) - dzdx + (11) + dydz S Để tớnh tp mặt loại 2 trờn, ta cú 2 cỏch: tớnh trực tiếp hoặc đưa về tp mặt loại 1
  54. Tớch phõn mặt loại 2 – Cụng thức Stokes Tớnh trực tiếp: Vỡ S là mặt trụ song song với Ox (Pt chỉ chứa y, z) nờn tp theo dydz bằng 0. Do đú: 2 2 I8 = ũũ dxdy Với cosγ>0 và hỡnh chiếu Dxy: x +y ≤1 S Vậy : I8 = +ũũ dxdy = p Dxy
  55. Tớch phõn mặt loại 2 – Cụng thức Stokes Đưa I8 về thành tp mặt loại 1 Ta cú: ur 1 ny= -(0,2 , - 1) = (cosa ,cos b ,cos g ) Suy ra 41y 2 + - 21y cosa== 0, cos b , cos g = Do đú: 4yy22++ 1 4 1 I8 =ũũ (21) - dxdy + (00) - dzdx + (11) + dydz S =+ũũ [1.cosga 2.cos ]ds S Pt mặt S: z=y2 nờn ds=+14 y2 dxdy Vậy: 1 2 I=+41 y dxdy I8 = p 8 ũũ 2 xy22+Ê1 41y +
  56. Tớch phõn mặt loại 2 – Cụng thức Stokes Vớ dụ 8: Tớnh I8 =ũẹ( x + y ) dx + (2 x - z ) dy + ydz C Với C là giao tuyến của x2+y2=1 và z=y2 lấy ngược chiều kim đồng hồ nhỡn từ phớa z>0 Cỏch 2: Tớnh trực tiếp bằng cỏch viết pt tham số của C ỡ xt= cos ù ỡ 22 ù ù xy+=1 ù yt= sin C : ớớù Û ùùzy= 2 zt= sin2 ợùùù ù Vậy: ợù t di tu 0 den 2p 2p 2 I8 =ũ [(cos tt + sin )( - sin t ) + (2cos t - sin tttttdt )cos + sin .2sin cos ] 0 I8 = p