›
›

Giáo trình Xác suất và thống kê - Chương 1: Xác xuất của biến cố

pdf 82 trang hapham 2470
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Giáo trình Xác suất và thống kê - Chương 1: Xác xuất của biến cố", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfgiao_trinh_xac_suat_va_thong_ke_chuong_1_xac_xuat_cua_bien_c.pdf

Nội dung text: Giáo trình Xác suất và thống kê - Chương 1: Xác xuất của biến cố

  1. XÁC SUẤT & THỐNG KÊ ĐẠI HỌC PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH Số tiết: 30 PHẦN I. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT (Probability theory) Chương 1. Xác suất của Biến cố Chương 2. Biến ngẫu nhiên Chương 3. Phân phối Xác suất thơng dụng Chương 4. Vector ngẫu nhiên Chương 5. Định lý giới hạn trong Xác suất
  2. PHẦN II. LÝ THUYẾT THỐNG KÊ (Statistical theory) Chương 6. Mẫu thống kê và Ước lượng tham số Chương 7. Kiểm định Giả thuyết Thống kê Chương 8. Bài tốn Tương quan và Hồi quy Tài liệu tham khảo 1. Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Xác suất – Thống kê và Ứng dụng – NXB Thống kê. 2. Đinh Ngọc Thanh – Giáo trình Xác suất Thống kê – ĐH Tơn Đức Thắng Tp.HCM. 3. Đặng Hùng Thắng – Bài tập Xác suất; Thống kê – NXB Giáo dục. 4. Lê Sĩ Đồng – Xác suất – Thống kê và Ứng dụng – NXB Giáo dục.
  3. 5. Đào Hữu Hồ – Xác suất Thống kê – NXB Khoa học & Kỹ thuật. 6. Đậu Thế Cấp – Xác suất Thống kê – Lý thuyết và các bài tập – NXB Giáo dục. 7. Phạm Xuân Kiều – Giáo trình Xác suất và Thống kê – NXB Giáo dục. 8. Nguyễn Cao Văn – Giáo trình Lý thuyết Xác suất & Thống kê – NXB Ktế Quốc dân. 9. F.M. Dekking – A modern introduction to Probability and Statistics – Springer Publication (2005).
  4. Vào năm 1651, Blaise Pascal nhận được bức thư của nhà quý tộc Pháp, De Méré, nhờ ơng giải quyết các rắc rối nảy sinh trong trị chơi đánh bạc. Pascal đã tốn học hố các trị Blaise Pascal trơi đánh bạc này, nâng lên thành những bài tốn phức tạp hơn và trao đổi với nhà tốn học Fermat. Những cuộc trao đổi đĩ đã nảy sinh ra Lý thuyết Xác suất – Lý thuyết tốn học về các hiện tượng ngẫu nhiên. Pierre de Fermat
  5. * James BERNOULLI là người phát minh ra Luật Số Lớn. Chính vì lý do đĩ, ngày nay Hội Xác Suất Thống Kê Thế Giới mang tên James BERNOULLI BERNOULLI * Leibniz cĩ nhiều đĩng gĩp quan trọng trong việc xây dựng Lý thuyết Xác suất Gottfried Wilhelm Leibniz
  6. PHẦN I. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT (Probability theory) Chương 1. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ §1. Biến cố ngẫu nhiên §2. Xác suất của biến cố §3. Cơng thức tính xác suất
  7.  Chương 1. Xác suất của Biến cố §1. BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN 1.1. Hiện tượng ngẫu nhiên 1.2. Phép thử và Biến cố 1.3. Quan hệ giữa các biến cố 1.4. Hệ đầy đủ các biến cố
  8.  Chương 1. Xác suất của Biến cố 1.1. Hiện tượng ngẫu nhiên Hiện tượng tất nhiên Hiện tượng Hiện tượng ngẫu nhiên Hiện tượng ngẫu nhiên chính là đối tượng khảo sát của lý thuyết xác suất.
  9.  Chương 1. Xác suất của Biến cố 1.2. Phép thử và Biến cố a) Phép thử (test): Quan sát, thí nghiệm, Khơng thể dự đốn được chắc chắn kết quả xảy ra. b) Biến cố (events) Khi thực hiện một phép thử, ta cĩ thể liệt kê tất cả các kết quả cĩ thể xảy ra.
  10.  Chương 1. Xác suất của Biến cố VD 1. Xét một sinh viên thi hết mơn XSTK, thì hành động của sinh viên này là một phép thử. Tập hợp tất cả các điểm số: {0; 0,5; 1; 1,5; ; 9,5; 10} mà sinh viên này cĩ thể đạt là khơng gian mẫu. Các phần tử: 1 0 , 2 0,5 , , 21 10 là các biến cố sơ cấp.
  11.  Chương 1. Xác suất của Biến cố Các tập con của : A {4; 4,5; ; 10}, B {0; 0,5; ; 3,5}, là các biến cố. Các biến cố A, B cĩ thể được phát biểu lại là: . A : “sinh viên này thi đạt mơn XSTK”; . B : “sinh viên này thi hỏng mơn XSTK”.
  12.  Chương 1. Xác suất của Biến cố • Trong một phép thử, biến cố mà chắc chắn sẽ xảy ra được gọi là biến cố chắc chắn, ký hiệu là . Biến cố khơng thể xảy ra được gọi là biến cố rỗng, ký hiệu là . VD 2. Từ nhĩm cĩ 6 nam và 4 nữ, ta chọn ngẫu nhiên ra 5 người. Khi đĩ: biến cố “chọn được ít nhất 1 nam” là chắc chắn; biến cố “chọn được 5 người nữ” là rỗng.
  13.  Chương 1. Xác suất của Biến cố 1.3. Quan hệ giữa các biến cố a) Quan hệ tương đương Nếu A xảy ra thì B xảy ra, ta nĩi A kéo theo B, ký hiệu là AB Nếu A kéo theo B và B kéo theo A, ta nĩi A và B tương đương, ký hiệu là AB
  14.  Chương 1. Xác suất của Biến cố VD 3. Quan sát 4 con gà mái đẻ trứng trong 1 ngày. Gọi Ai : “cĩ i con gà mái đẻ trứng trong 1 ngày”, i 0, 4; A: “cĩ 3 hoặc 4 con gà mái đẻ trứng trong 1 ngày”; B : “cĩ nhiều hơn 2 con gà mái đẻ trứng trong 1 ngày”. Khi đĩ, ta cĩ: AB3 , AB2 , BA và AB.
  15.  Chương 1. Xác suất của Biến cố b) Tổng và tích của hai biến cố • Tổng của hai biến cố A và B là một biến cố, biến cố này xảy ra khi xảy ra hay xảy ra trong một phép thử (ít nhất một trong hai biến cố xảy ra), ký hiệu là AB hay AB. • Tích của hai biến cố A và B là một biến cố, biến cố này xảy ra khi cả và cùng xảy ra trong một phép thử, ký hiệu là AB hay AB .
  16.  Chương 1. Xác suất của Biến cố VD 4. Một người thợ săn bắn hai viên đạn vào một con thú và con thú sẽ chết nếu nĩ bị trúng cả hai viên đạn. Gọi Ai : “viên đạn thứ i trúng con thú” (i = 1, 2); A : “con thú bị trúng đạn”; B : “con thú bị chết”. Khi đĩ, ta cĩ: AAA12 và BAA12.
  17.  Chương 1. Xác suất của Biến cố VD 5. Xét phép thử gieo hai hạt lúa. Gọi Ni : “hạt lúa thứ i nảy mầm”; Ki : “hạt lúa thứ khơng nảy mầm” (i = 1, 2); A : “cĩ 1 hạt lúa nảy mầm”. Khi đĩ, khơng gian mẫu của phép thử là: {;;;}KKNKKNNN1 2 1 2 1 2 1 2 . Các biến cố tích sau đây là các biến cố sơ cấp: 1KKNKKNNN 122,,, 123 124 12. Biến cố A khơng phải là sơ cấp vì ANKKN1 2 1 2.
  18.  Chương 1. Xác suất của Biến cố c) Biến cố đối lập A A Khơng xảy ra, và ngược lại Xảy ra AA\
  19.  Chương 1. Xác suất của Biến cố VD 6. Từ 1 lơ hàng chứa 12 chính phẩm và 6 phế phẩm, người ta chọn ngẫu nhiên ra 15 sản phẩm. Gọi Ai : “chọn được i chính phẩm”, i 9;10;11;12. Khơng gian mẫu là: AAAA9 10 11 12. Biến cố đối lập của A10 là: AAAAA10\ 10 9 11 12.
  20.  Chương 1. Xác suất của Biến cố 1.4. Hệ đầy đủ các biến cố a) Hai biến cố xung khắc Trong một phép thử, nếu A và B khơng cùng xảy ra thì ta nĩi A và B xung khắc với nhau. VD 7. Hai sinh viên A và B cùng thi mơn XSTK. Gọi A : “sinh viên A thi đỗ”; B : “chỉ cĩ sinh viên B thi đỗ”; C : “chỉ cĩ 1 sinh viên thi đỗ”. Khi đĩ,A và B là xung khắc; B và C khơng xung khắc. Chú ý. A và B xung khắc nhưng khơng đối lập.
  21.  Chương 1. Xác suất của Biến cố b) Hệ đầy đủ các biến cố Trong một phép thử, họ gồm n biến cố được gọi là hệ đầy đủ khi và chỉ khi cĩ duy nhất một biến cố trong họ xảy ra. VD 8. Trộn lẫn 4 bao lúa vào nhau rồi bốc ra 1 hạt. Gọi Ai : “hạt lúa bốc được là của bao thứ i ”, i 1, 4. Khi đĩ, hệ {;;;}AAAA1 2 3 4 là đầy đủ. Chú ý Trong 1 phép thử, hệ {;}AA là đầy đủ với A tùy ý.
  22.  Chương 1. Xác suất của Biến cố §2. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 2.1. Khái niệm xác suất 2.2. Định nghĩa xác suất dạng cổ điển 2.3. Định nghĩa xác suất dạng thống kê 2.4. Tính chất của xác suất
  23.  Chương 1. Xác suất của Biến cố 2.1. Khái niệm xác suất Quan sát các biến cố đối với một phép thử, mặc dù khơng thể khẳng định một biến cố cĩ xảy ra hay khơng nhưng người ta cĩ thể phỏng đốn khả năng xảy ra của các biến cố này là ít hay nhiều. Khả năng xảy ra khách quan của một biến cố được gọi là xác suất (probability) của biến cố đĩ. Ký hiệu xác suất của biến cố A là P(A).
  24.  Chương 1. Xác suất của Biến cố 2.2. Định nghĩa xác suất dạng cổ điển Xét một phép thử với khơng gian mẫu {1 ; ;n } và biến cố A cĩ k phần tử. Nếu n biến cố sơ cấp cĩ cùng khả năng xảy ra (đồng khả năng) thì xác suất của biến cố A được định nghĩa Số trường hợpA xảy ra k PA() Số trường hợp co ùthể xảy ra n
  25.  Chương 1. Xác suất của Biến cố VD 1. Một cơng ty cần tuyển hai nhân viên. Cĩ 4 người nữ và 2 người nam nộp đơn ngẫu nhiên (khả năng trúng tuyển của 6 người là như nhau). Tính xác suất để: 1) cả hai người trúng tuyển đều là nữ; 2) cĩ ít nhất một người nữ trúng tuyển. Giải. Gọi A : “cả hai người trúng tuyển đều là nữ”; B : “cĩ ít nhất một người nữ trúng tuyển”. 2 Số trường hợp cĩ thể xảy ra là nC6 15.
  26.  Chương 1. Xác suất của Biến cố 2 1) Số trường hợp A xảy ra là kC4 6. k 62 Vậy PA() . n 15 5 2) Trong 15 trường hợp, chỉ cĩ 1 trường hợp cả hai người là nam. Suy ra số trường hợp B xảy ra là 14. 14 Vậy PB( ) 0,9333. 15
  27.  Chương 1. Xác suất của Biến cố VD 2. Từ một hộp chứa 6 sản phẩm tốt và 4 phế phẩm người ta chọn ngẫu nhiên ra 5 sản phẩm. Tính xác suất để cĩ: 1) cả 5 sản phẩm đều tốt; 2) đúng 2 phế phẩm. Giải 5 Chọn từ hộp ra 5 sản phẩm tùy ý cĩ nC10 cách. 1) Gọi A : “chọn được 5 sản phẩm tốt”. 5 Chọn từ hộp ra 5 sản phẩm tốt cĩ kC6 cách. k C 5 1 Vậy PA() 6 . n 5 42 C10
  28.  Chương 1. Xác suất của Biến cố 2) Gọi B : “chọn đúng 2 phế phẩm”. Chọn từ hộp ra 5 sản phẩm và trong đĩ cĩ đúng 2 phế 23 phẩm (3 sản phẩm cịn lại là tốt) cĩ CC46 cách. CC23 Vậy PB( )46 0,4762 47,62%. 5 C10
  29.  Chương 1. Xác suất của Biến cố VD 3. Tại một bệnh viện cĩ 50 người đang chờ kết quả khám bệnh. Trong đĩ cĩ 12 người chờ kết quả nội soi, 15 người chờ kết quả siêu âm, 7 người chờ kết quả cả nội soi và siêu âm. Gọi tên ngẫu nhiên một người trong 50 người này, hãy tính xác suất gọi được người đang chờ kết quả nội soi hoặc siêu âm? 5 7 8 Nội soi Siêu âm
  30.  Chương 1. Xác suất của Biến cố Giải Gọi A là biến cố: “gọi được người đang chờ kết quả nội soi hoặc siêu âm”. Từ biểu đồ Ven ta cĩ: Tổng số người chờ kết quả nội soi hoặc siêu âm là 20. 20 Vậy PA( ) 40%. 50
  31.  Chương 1. Xác suất của Biến cố 2.3. Định nghĩa xác suất dạng thống kê Nếu khi thực hiện một phép thử nào đĩ n lần (đủ lớn), ta thấy cĩ k lần biến cố A xuất hiện thì xác suất của biến cố A theo nghĩa thống kê là k PA() n
  32.  Chương 1. Xác suất của Biến cố VD 4. • Pearson đã gieo một đồng tiền cân đối, đồng chất 12.000 lần thấy cĩ 6.019 lần xuất hiện mặt sấp (tần suất là 0,5016); gieo 24.000 lần thấy cĩ 12.012 lần xuất hiện mặt sấp (tần suất là 0,5005). • Laplace đã nghiên cứu tỉ lệ sinh trai – gái ở London, Petecbua và Berlin trong 10 năm và đưa ra tần suất sinh bé gái là 21/43. • Cramer đã nghiên cứu tỉ lệ sinh trai – gái ở Thụy Điển trong năm 1935 và kết quả cĩ 42.591 bé gái được sinh ra trong tổng số 88.273 trẻ sơ sinh, tần suất là 0,4825.
  33.  Chương 1. Xác suất của Biến cố 2.4. Tính chất của xác suất 1) Nếu A là biến cố tùy ý thì 0PA ( ) 1. 2) P( ) 0. 3) P( ) 1. 4) Nếu AB thì PAPB()().
  34.  Chương 1. Xác suất của Biến cố §3. CƠNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT 3.1. Cơng thức cộng xác suất 3.2. Xác suất cĩ điều kiện Định nghĩa xác suất cĩ điều kiện Cơng thức nhân xác suất Cơng thức xác suất đầy đủ và Bayes
  35.  Chương 1. Xác suất của Biến cố 3.1. Cơng thức cộng xác suất Xét một phép thử, ta cĩ các cơng thức cộng xác suất sau • Nếu A và B là hai biến cố tùy ý: PABPAPBPAB( ) ( ) ( ) ( ). • Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì: PABPAPB( ) ( ) ( ).
  36.  Chương 1. Xác suất của Biến cố • Nếu họ {}Ai (in 1, , ) xung khắc từng đơi thì: PAAAPAPAPA1 2 nn = ( 1 )+ ( 2 )+ + ( ). VD 1. Một nhĩm cĩ 30 nhà đầu tư các loại, trong đĩ cĩ: 13 nhà đầu tư vàng; 17 nhà đầu tư chứng khốn và 10 nhà đầu tư cả vàng lẫn chứng khốn. Một đối tác gặp ngẫu nhiên một nhà đầu tư trong nhĩm. Tìm xác suất để người đĩ gặp được nhà đầu tư vàng hoặc chứng khốn?
  37.  Chương 1. Xác suất của Biến cố Giải. Gọi A:“đối tác gặp nhà đầu tư vàng hoặc chứng khốn”; V : “đối tác gặp nhà đầu tư vàng”; C : “đối tác gặp nhà đầu tư chứng khốn”. Ta cĩ: PAPVPCPVC()()()() 13 17 10 2 . 30 30 30 3
  38.  Chương 1. Xác suất của Biến cố Đặc biệt PAPAPAPABPAB() 1 ();() (.) (.). VD 2. Một hộp phấn cĩ 10 viên trong đĩ cĩ 3 viên màu đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 3 viên phấn. Tính xác suất để lấy được ít nhất 1 viên phấn màu đỏ. Giải. Gọi A: “lấy được ít nhất 1 viên phấn màu đỏ”; Ai : “lấy được i viên phấn màu đỏ”, (i 0,1,2,3). Ta cĩ {,,}AAA1 2 3 xung khắc từng đơi.
  39.  Chương 1. Xác suất của Biến cố Vậy PAPAPAPA()()()()1 2 3 CCCCCC1 2 2 1 3 0 17 3 7 3 7 3 7 . 3 3 3 24 CCC10 10 10 Cách khác CC03 17 PAPA( ) 1 ( ) 1 37 . 0 3 24 C10
  40.  Chương 1. Xác suất của Biến cố Chú ý. ABABABAB; VD 3. Trong một vùng dân cư, tỉ lệ người mắc bệnh tim là 9%; mắc bệnh huyết áp là 12%; mắc cả bệnh tim và huyết áp là 7%. Chọn ngẫu nhiên 1 người trong vùng đĩ. Tính xác suất để người này khơng mắc bệnh tim và khơng mắc bệnh huyết áp? Giải. Gọi A: “người được chọn mắc bệnh tim”; B : “người được chọn mắc bệnh huyết áp”; H : “người được chọn khơng mắc cả hai bệnh trên”.
  41.  Chương 1. Xác suất của Biến cố Ta cĩ: HABHABAB Vậy PHPHPAB( ) 1 ( ) 1 ( ) 1P ( A ) P ( B ) P ( AB ) 1 0,09 0,12 0,07 0,86. Sơ đồ Ven 86% 2% 7% 5%
  42.  Chương 1. Xác suất của Biến cố 3.2. Xác suất cĩ điều kiện Xét phép thử: cĩ 3 người A, B và C thi tuyển vào một cơng ty. Gọi A: “người thi đỗ”; B : “người thi đỗ”; C : “người C thi đỗ”; H : “cĩ 2 người thi đỗ”. Khi đĩ, khơng gian mẫu là: {,,,,,,,}ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC .
  43.  Chương 1. Xác suất của Biến cố Ta cĩ: 4 A{,,,}() ABC ABC ABC ABC P A ; 8 3 H{,,}() ABC ABC ABC P H . 8 Lúc này, biến cố “2 người thi đỗ trong đĩ cĩ A” là: 2 AH{,} ABC ABC và P() AH . 8
  44.  Chương 1. Xác suất của Biến cố Bây giờ, ta xét phép thử là: A, B , C thi tuyển vào một cơng ty và biết thêm thơng tin cĩ 2 người thi đỗ. Khơng gian mẫu trở thành H và A trở thành AH . Gọi AH: “A thi đỗ biết rằng cĩ 2 người thi đỗ” thì ta được 2P ( AH ) PAH . 3PH ( ) Đọc là: biến cố A với điều kiện H (đã xảy ra).
  45.  Chương 1. Xác suất của Biến cố 3.2.1. Định nghĩa xác suất cĩ điều kiện Trong một phép thử, xét hai biến cố bất kỳ A và B với PB( ) 0. Xác suất cĩ điều kiện của A với điều kiện B đã xảy ra được ký hiệu và định nghĩa là PAB() PAB PB()
  46.  Chương 1. Xác suất của Biến cố VD 4. Một nhĩm 10 sinh viên gồm 3 nam và 7 nữ trong đĩ cĩ 2 nam 18 tuổi và 3 nữ 18 tuổi. Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên từ nhĩm đĩ. Gọi A: “sinh viên được chọn là nữ”, B : “sinh viên được chọn là 18 tuổi”. Hãy tính PABPBA, ? Giải. Ta cĩ: PAPBPAB() 0,7; () 0,5; ( ) 0,3.
  47.  Chương 1. Xác suất của Biến cố Suy ra: PAB( ) 0,3 PAB 0,6; PB( ) 0,5 PBA( ) 0,3 3 PBA . PA( ) 0,7 7
  48.  Chương 1. Xác suất của Biến cố Cách khác: Số sinh viên nư õ18 tuổi 3 PAB , Số sinh viên 18 tuổi 5 Số sinh viên 18 tuổi là nữ 3 PBA . Số sinh viên nữ 7
  49.  Chương 1. Xác suất của Biến cố Nhận xét Khi tính PAB với điều kiện B đã xảy ra, nghĩa là ta đã hạn chế khơng gian mẫu xuống cịn B và hạn chế A xuống cịn AB. Tính chất 1) 01PAB , A ; 2) nếu AC thì PABPCB ; 3) PABPAB1 .
  50.  Chương 1. Xác suất của Biến cố 3.2.2. Cơng thức nhân xác suất a) Sự độc lập của hai biến cố Trong một phép thử, hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu cĩ xảy ra hay khơng cũng khơng ảnh hưởng đến khả năng xảy ra và ngược lại. Chú ý Nếu A và B độc lập với nhau thì các cặp biến cố: A và B , A và B , A và B cũng độc lập với nhau.
  51.  Chương 1. Xác suất của Biến cố b) Cơng thức nhân • Nếu A và B là hai biến cố khơng độc lập thì: PABPP()()().BBAAPBP A Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì: PABPAPB( ) ( ). ( ). • Nếu n biến cố Ai , i 1, , n khơng độc lập thì: PAAAPAPAAPAAA1 2 n 1 2 1 n 1 n 1 .
  52.  Chương 1. Xác suất của Biến cố VD 5. Một người cĩ 5 bĩng đèn trong đĩ cĩ 2 bĩng bị hỏng. Người đĩ thử ngẫu nhiên lần lượt từng bĩng đèn (khơng hồn lại) cho đến khi chọn được 1 bĩng tốt. Tính xác suất để người đĩ thử đến lần thứ 2. Giải. Gọi A: “người đĩ thử đến lần thứ 2”; Ai : “bĩng đèn được thử lần thứ i tốt”, i 1; 5. Ta cĩ PAPAAPAPAA() 1 2 1 2 1 23 . 30%. 54
  53.  Chương 1. Xác suất của Biến cố VD 6. Một sinh viên học hệ niên chế được thi lại 1 lần nếu lần thi thứ nhất bị rớt (2 lần thi độc lập). Biết rằng xác suất để sinh viên này thi đỗ lần 1 và lần 2 tương ứng là 60% và 80%. Tính xác suất sinh viên này thi đỗ? Giải. Gọi A: “sinh viên này thi đỗ”; Ai : “sinh viên này thi đỗ lần thứ i ”, i 1; 2. Ta cĩ: PAPAAAPAPAA()(.)()(.)1 1 2 1 1 2
  54.  Chương 1. Xác suất của Biến cố PAPAPA(1 ) ( 1 ). ( 2 ) 0,6 (1 0,6).0,8 92%. Cách khác: PAPAAPAA( ) 11 . 2 1 1 . 2 1 0,4.0,2 0,92.
  55.  Chương 1. Xác suất của Biến cố VD 7. Cĩ hai người A và B cùng đặt lệnh (độc lập) để mua cổ phiếu của một cơng ty với xác suất mua được tương ứng là 0,8 và 0,7. Biết rằng cĩ người mua được, xác suất để người mua được cổ phiếu này là: 19 12 40 10 A. ; B. ; C. ; D. . 47 19 47 19 Giải. Gọi C : “cĩ người mua được cổ phiếu”; A : “người mua được cổ phiếu”; B : “người mua được cổ phiếu”.
  56.  Chương 1. Xác suất của Biến cố Ta cĩ: P()( ) AC P AB AB PAC PCPABABAB()( ) 0,8.0,3 0,8.0,7 40 C . 0,8.0,3 0,2.0,7 0,8.0,7 47
  57.  Chương 1. Xác suất của Biến cố Cách khác P() AC PAC 1PC ( ) PA( ) 0,8 40 . 1PAB ( . ) 1 0,2.0,3 47
  58.  Chương 1. Xác suất của Biến cố VD 8. Trong dịp tết, ơng A đem bán 1 cây mai lớn và 1 cây mai nhỏ. Xác suất bán được cây mai lớn là 0,9. Nếu bán được cây mai lớn thì xác suất bán được cây mai nhỏ là 0,7. Nếu cây mai lớn khơng bán được thì xác suất bán được cây mai nhỏ là 0,2. Biết rằng ơng bán được ít nhất 1 cây mai, xác suất để ơng bán được cả hai cây mai là: A. 0,6342; B. 0,6848; C. 0,4796; D. 0,8791. Giải. Gọi A1: “ơng A bán được cây mai lớn”; A2: “ơng bán được cây mai nhỏ”; B : “ơng bán được ít nhất 1 cây mai”.
  59.  Chương 1. Xác suất của Biến cố Ta cĩ: PAAB PAAB 12 12 PB() PAA PAPAA(1 ). 2 1 12 1.PAA 12 1PAPAA (1 ). 2 1 0, 9.0,7 0,6848 B . 1 0,1.0,8
  60.  Chương 1. Xác suất của Biến cố VD 9. Hai người A và B cùng chơi trị chơi như sau: Cả hai luân phiên lấy mỗi lần 1 viên bi từ một hộp đựng 2 bi trắng và 4 bi đen (bi được lấy ra khơng trả lại hộp). Người nào lấy được bi trắng trước thì thắng cuộc. Giả sử lấy trước, tính xác suất thắng cuộc ? Giải Gọi A: “người A thắng cuộc”, Ai : “người lấy được bi trắng ở lần thứ i”, Bi : “người B lấy được bi trắng ở lần thứ ”.
  61.  Chương 1. Xác suất của Biến cố Ta cĩ AAABAABABA1 1 1 2 1 1 2 2 3 2 4 3 2 4 3 2 1 3 PA( ) . . . . . .1 . 6 6 5 4 6 5 4 3 5
  62.  Chương 1. Xác suất của Biến cố 3.2.3. Cơng thức xác suất đầy đủ và Bayes. a) Cơng thức xác suất đầy đủ Xét họ n biến cố {}Ai (in1,2, ,) đầy đủ và B là một biến cố bất kỳ trong phép thử, ta cĩ: n PBPPB()()AAi i i 1 PPBPPB (A1 )AAA1 (n )n .
  63.  Chương 1. Xác suất của Biến cố Chứng minh PBPB()() PBAAA12 n P BA12 BA BAn PABPABPAB12 n PAPBAPAPBA(11 ) (nn ) .
  64.  Chương 1. Xác suất của Biến cố VD 10. Một cửa hàng bán hai loại bĩng đèn cùng kích cỡ gồm: 70 bĩng màu trắng với tỉ lệ bĩng hỏng là 1% và 30 bĩng màu vàng với tỉ lệ hỏng 2%. Một khách hàng chọn mua ngẫu nhiên 1 bĩng đèn từ cửa hàng này. Tính xác suất để người này mua được bĩng đèn tốt ? Giải Gọi B : “khách chọn được bĩng đèn tốt”, A1: “khách chọn được bĩng đèn màu trắng”, A2: “khách chọn được bĩng đèn màu vàng”. Suy ra hệ {,}AA12 là đầy đủ.
  65.  Chương 1. Xác suất của Biến cố Ta cĩ: PBPAPBAPAPBA()()()1 1 2 2 70 30 .0,99 .0,98 0,987. 70 30 70 30
  66.  Chương 1. Xác suất của Biến cố Chú ý Trong trắc nghiệm ta dùng sơ đồ giải nhanh như sau: Nhánh 1: P(đèn tốt màu trắng) = 0,7.0,99. Nhánh 2: P(đèn tốt màu vàng) = 0,3.0,98. Suy ra: P(đèn tốt) = tổng xác suất của 2 nhánh = 0,987.
  67.  Chương 1. Xác suất của Biến cố VD 11. Chuồng thỏ I cĩ 3 con thỏ trắng và 4 con thỏ đen; chuồng II cĩ 5 thỏ trắng và 3 thỏ đen. Quan sát thấy cĩ 1 con thỏ chạy từ chuồng I sang chuồng II, sau đĩ cĩ 1 con thỏ chạy ra từ chuồng II. Tính xác suất để con thỏ chạy ra từ chuồng II là thỏ trắng ? Giải. Gọi T : “con thỏ chạy ra từ chuồng II là thỏ trắng”; T1: “con thỏ chạy ra từ chuồng I là thỏ trắng”; T1: “con thỏ chạy ra từ chuồng I là thỏ đen”.
  68.  Chương 1. Xác suất của Biến cố Suy ra hệ {,}TT11 là đầy đủ. Ta cĩ: PTPTPTTPTPTT()()()1 1 1 1 3 6 4 5 38 . 7 9 7 9 63
  69.  Chương 1. Xác suất của Biến cố Sơ đồ 36 P(thỏ 1 trắng và thỏ 2 trắng) = . . 79 45 P(thỏ 1 đen và thỏ 2 trắng) = . . 79
  70.  Chương 1. Xác suất của Biến cố b) Cơng thức Bayes Xét họ n biến cố {}Ai (in1,2, , ) đầy đủ và B là một biến cố bất kỳ trong phép thử. Khi đĩ, xác suất để biến cố Ai xảy ra sau khi B đã xảy ra là: PPBPPB()()AAAAi i i i PBA . i n PB() PAPBA( ii) i 1
  71. Nhà Tốn học người Anh Thomas Bayes (1702 – 1761).
  72.  Chương 1. Xác suất của Biến cố VD 12. Xét tiếp VD 10. Giả sử khách hàng chọn mua được bĩng đèn tốt. Tính xác suất để người này mua được bĩng đèn màu vàng ? Giải. Đặt tên biến cố như VD 10. Ta cĩ: PAPBA()220,3.0,98 14 PAB . 2 PB( ) 0,987 47
  73.  Chương 1. Xác suất của Biến cố Nhận xét Nếu ta dùng sơ đồ như VD 10. Khi đĩ: P(đèn vàng | tốt) = (nhánh 2) chia (tổng 2 nhánh).
  74.  Chương 1. Xác suất của Biến cố Phân biệt các bài tốn áp dụng cơng thức Nhân – Đầy đủ – Bayes Trong 1 bài tốn, ta xét 3 biến cố AAB12,,. 1) Nếu bài tốn yêu cầu tìm xác suất của AB 1 , AB2 thì đây là bài tốn cơng thức nhân. Xác suất là xác suất tích của từng nhánh.
  75.  Chương 1. Xác suất của Biến cố 2) Nếu bài tốn yêu cầu tìm xác suất của B và {,}AA 12 đầy đủ thì đây là bài tốn áp dụng cơng thức đầy đủ. Xác suất bằng tổng 2 nhánh.
  76.  Chương 1. Xác suất của Biến cố 3) Nếu bài tốn yêu cầu tìm xác suất của AA12, và cho biết B đã xảy ra, đồng thời hệ {,}AA12 đầy đủ thì đây là bài tốn áp dụng cơng thức Bayes. Xác suất là tỉ số giữa nhánh cần tìm với tổng của hai nhánh.
  77.  Chương 1. Xác suất của Biến cố VD 13. Nhà máy X cĩ 3 phân xưởng A, B , C tương ứng sản xuất ra 20%, 30% và 50% tổng sản phẩm của nhà máy. Giả sử tỉ lệ sản phẩm hỏng do các phân xưởng , , tương ứng sản xuất ra là 1%, 2% và 3%. Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm do nhà máy X sản xuất ra. 1) Tính xác suất (tỉ lệ) sản phẩm này là hỏng ? 2) Tính xác suất sản phẩm này hỏng và do phân xưởng A sản xuất ra ? 3) Biết rằng sản phẩm được chọn là hỏng, tính xác suất sản phẩm này là do phân xưởng A sản xuất ra ?
  78.  Chương 1. Xác suất của Biến cố Giải. Gọi H : “sản phẩm được chọn là hỏng”; A: “sản phẩm được chọn là của phân xưởng ”; B : “sản phẩm được chọn là của phân xưởng ”; C : “sản phẩm được chọn là của phân xưởng ”. Suy ra hệ {,,}ABC là đầy đủ.
  79.  Chương 1. Xác suất của Biến cố 1) PHPAPHAPBPHB()()() PCPHC() 0,2.0,01 0,3.0,02 0,5.0,03 0,023.
  80.  Chương 1. Xác suất của Biến cố 2) P( AH ) P ( A ) P H A 0,2.0,01 0,002. PAPHA() 0,002 2 3) PAH . PH( ) 0,023 23
  81.  Chương 1. Xác suất của Biến cố Sơ đồ P(sản phẩm hỏng của phân xưởng A) = 0,2.0,01 P(sản phẩm hỏng của phân xưởng B ) = 0,3.0,02 P(sản phẩm hỏng của phân xưởng C ) = 0,5.0,03
  82.  Chương 1. Xác suất của Biến cố VD 14. Tỉ lệ ơtơ tải, ơtơ con và xe máy đi qua đường X cĩ trạm bơm dầu là 5 : 2 : 13. Xác suất để ơtơ tải, ơtơ con và xe máy đi qua đường này vào bơm dầu lần lượt là 0,1; 0,2 và 0,15. Biết rằng cĩ 1 xe đi qua đường X vào bơm dầu, tính xác suất để đĩ là ơtơ con ? 11 10 8 7 A. ; B. ; C. ; D. . 57 57 57 57