Nhập môn Lí thuyết xác suất và thống kê toán

89 trang hapham 1700

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Nhập môn Lí thuyết xác suất và thống kê toán", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

nhap_mon_li_thuyet_xac_suat_va_thong_ke_toan.pdf

Nội dung text: Nhập môn Lí thuyết xác suất và thống kê toán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO DỰ ÁN PHÁT TRIỂN GIÁO VIÊN TIỂU HỌC TRẦN DIÊN HIỂN (Chủ biên) – VŨ VIẾT YÊN Nhập mơn LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN TÀI LIỆU ĐÀO TẠO GIÁO VIÊN TIỂU HỌC TRÌNH ĐỘ CAO ĐẲNG VÀ ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM 2
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN Chịu trách nhiệm xuất bản: Chủ tịch HĐQT kiêm Tổng Giám đốc NGƠ TRẦN ÁI Giám đốc ĐINH NGỌC BẢO Phĩ Tổng Giám đốc kiêm Tổng biên tập NGUYỄN QUÝ THAO Tổng biên tập LÊ A Biên tập nội dung: NGƠ HỒNG LONG Thiết kế sách và Biên tập mĩ thuật: PHẠM VIỆT QUANG Trình bày bìa: PHẠM VIỆT QUANG 371 (v) 167/110-05 Mã số : PGK06B5 GD - 05 3
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN MỤC LỤC Trang Lời nĩi đầu 6 Chủ Đề 1 8 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT (Biên soạn: PGS. TS. Trần DIên Hiển) 8 Tiểu chủ đề 1.1. Khái niệm cơ bản về xác suất 10 Tiểu chủ đề 1.2. Định nghĩa xác suất 16 Tiểu chủ đề 1.3. Biến cố ngẫu nhiên độc lập 31 Tiểu chủ đề 1.4. Xác suất điều kiện 34 Tiểu chủ đề 1.5. Cơng thức Bécnuli 38 Chủ Đề 2 43 BIẾN NGẪU NHIÊN (Biên soạn: TS. Vũ Viết Yên) 43 Tiểu chủ đề 2.1. Khái niệm biến ngẫu nhiên 45 Tiểu chủ đề 2.2. Phân phối của biến ngẫu nhiên rời rạc 48 Tiểu chủ đề 2.3. Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên 51 Tiểu chủ đề 2.4. Biến ngẫu nhiên nhị thức 54 Tiểu chủ đề 2.5. Biến ngẫu nhiên liên tục 56 Tiểu chủ đề 2.6. Phân phối tiệm cận chuẩn 60 Tiểu chủ đề 2.7. Kì vọng và phương sai 63 Chủ Đề 3 69 THỐNG KÊ TỐN (Biên soạn: TS. Vũ Viết Yên - PGS. TS. Trần DIên Hiển) 69 Tiểu chủ đề 3.1. Mẫu quan sát và cách trình bày mẫu 71 Tiểu chủ đề 3.2. Các giá trị đặc trưng mẫu 74 Tiểu chủ đề 3.3. Phương sai và độ lệch chuẩn mẫu 77 Tiểu chủ đề 3.4. Ước lượng điểm và ước lượng khoảng 80 Tiểu chủ đề 3.5. Khoảng tin cậy của kì vọng a đối với mẫu cĩ cỡ lớn 82 Tiểu chủ đề 3.6. Khoảng tin cậy cho kì vọng a với cỡ mẫu nhỏ 85 Tiểu chủ đề 3.7. Khoảng tin cậy cho tỉ lệ trong tập tổng quát 88 Tiểu chủ đề 3.8. Kiểm định giả thiết thống kê 88 Tiểu chủ đề 3.9. Yếu tố thống kê trong mơi trường tốn ở trường Tiểu học 100 Tài liệu tham khảo 108 Phụ lục 109 4
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN 5
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN LỜI NĨI ĐẦU ể gĩp phần đổi mới cơng tác đào tạo và bồi dưỡng giáo viên tiểu học, Dự án Phát triển Đ giáo viên tiểu học đã tổ chức biên soạn các mơđun đào tạo theo chương trình Cao đẳng Sư phạm và chương trình liên thơng từ Trung học Sư phạm lên Cao đẳng Sư phạm. Biên soạn các mơđun nhằm nâng cao năng lực chuyên mơn, nghiệp vụ, cập nhật những đổi mới về nội dung, phương pháp dạy học và kiểm tra, đánh giá kết quả giáo dục tiểu học theo chương trình, sách giáo khoa tiểu học mới. Điểm mới của tài liệu theo mơđun là thiết kế các hoạt động, nhằm tích cực hố hoạt động của người học, kích thích ĩc sáng tạo và khả năng giải quyết vấn đề, tự giám sát và đánh giá kết quả học tập của người học; chú trọng sử dụng nhiều phương tiện truyền đạt khác nhau (tài liệu in, băng hình, ) giúp cho người học dễ học, dễ hiểu và gây được hứng thú học tập. Mơđun Nhập mơn lí thuyết xác suất và thống kê tốn do nhĩm tác giả trường Đại học Sư phạm Hà Nội biên soạn. Mơđun Nhập mơn lí thuyết xác suất và thống kê tốn cĩ thời lượng bằng 2 đơn vị học trình, bao gồm 3 chủ đề: Chủ đề 1: Biến cố ngẫu nhiên và xác suất Chủ đề 2: Biến ngẫu nhiên Chủ đề 3: Thống kê tốn Lần đầu tiên tài liệu được biên soạn theo chương trỡnh và phương pháp mới, chắc chắn khơng tránh khỏi những thiếu sĩt nhất định. Ban Điều phối Dự án rất mong nhận được những ý kiến đĩng gĩp chân thành của bạn đọc, đặc biệt là đội ngũ giảng viên, sinh viên các trường sư phạm, giáo viên tiểu học trong cả nước. Xin trân trọng cảm ơn! DỰ ÁN PHÁT TRIỂN GIÁO VIÊN TIỂU HỌC 6
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN 7
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN Chủ đề 1 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT I. MỤC TIÊU KIẾN THỨC: Cung cấp cho người học những kiến thức về: - Những khái niệm cơ bản về xác suất. - Một số phương pháp định nghĩa xác suất thường sử dụng. - Một số tính chất cơ bản của xác suất. - Các cơng thức tính xác suất độc lập, xác suất điều kiện, dãy phép thử Bécnuli. KĨ NĂNG: Hình thành và rèn cho người học các kĩ năng: - Giải các bài tốn về tính xác suất cổ điển, xác suất hình học, xác suất điều kiện - Vận dụng để xử lí các bài tốn xác suất thường gặp trong thực tế đời sống và nghiên cứu khoa học. THÁI ĐỘ: Chủ động tìm tịi, phát hiện và khám phá các ứng dụng của xác suất trong thực tế. II. GIỚI THIỆU CHỦ ĐỀ STT Tiểu chủ đề Trang 1 Khái niệm cơ bản về xác suất 9 2 Định nghĩa xác suất 15 3 Biến cố ngẫu nhiên độc lập 29 4 Xác suất điều kiện 32 5 Cơng thức Bécnuli 36 III. ĐIỀU KIỆN CẦN THIẾT ĐỂ THỰC HIỆN CHỦ ĐỀ 8
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN KIẾN THỨC: - Nắm được kiến thức mơđun 1: Nhập mơn lí thuyết tập hợp và lơgíc tốn. - Nắm được kiến thức của tiểu mơđun 2.1 “Số tự nhiên”. ĐỒ DÙNG DẠY HỌC: - Một số thiết bị sử dụng trong khi tổ chức các hoạt động dạy học: máy chiếu projector, máy chiếu đa năng, tranh ảnh IV. NỘI DUNG 9
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN TIỂU CHỦ ĐỀ 1.1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT A. THƠNG TIN CƠ BẢN 1.1. Đối tượng nghiên cứu của xác suất - Khi tung một đồng tiền, cĩ thể xuất hiện mặt ngửa nhưng cũng cĩ thể khơng xuất hiện mặt ngửa. - Khi gieo một con xúc xắc, cĩ thể xuất hiện mặt 6 chấm nhưng cũng cĩ thể khơng xuất hiện mặt 6 chấm. - Khi gieo một hạt ngơ lấy từ trong kho giống, hạt ngơ cĩ thể nảy mầm những cũng cĩ thể khơng nảy mầm. - Kiểm tra ngẫu nhiên một học sinh thì em đĩ cĩ thể thuộc bài nhưng cũng cĩ thể khơng thuộc bài. Những hiện tượng như trên gọi là hiện tượng ngẫu nhiên. Vậy hiện tượng ngẫu nhiên là những hiện tượng cĩ thể xuất hiện nhưng cũng cĩ thể khơng xuất hiện khi một số điều kiện cơ bản gây nên hiện tượng đĩ được thực hiện. Các hiện tượng ngẫu nhiên là đối tượng nghiên cứu của xác suất. Lí thuyết xác suất nghiên cứu tính quy luật của các hiện tượng đĩ để cĩ thể dự báo kết quả của chúng. 1.2. Biến cố ngẫu nhiên - Gieo một con xúc xắc, xem như đã thực hiện một phép thử. - Tung một đồng tiền, xem như đã thực hiện một phép thử. - Gieo một hạt ngơ xuống đất màu và theo dõi sự nảy mầm của nĩ, xem như đã thực hiện một phép thử. - Kiểm tra một học sinh, ta cũng cĩ một phép thử. Vậy khi một nhĩm các điều kiện nào đĩ (cĩ thể lặp đi lặp lại vơ số lần) được thực hiện thì ta nĩi cĩ một phép thử ngẫu nhiên được thực hiện. Để cho gọn, ta gọi là phép thử thay cho phép thử ngẫu nhiên. Mỗi sự kiện cĩ tính chất xảy ra hay khơng xảy ra khi một phép thử được thực hiện được gọi là một biến cố ngẫu nhiên hay cịn gọi là biến cố. Ta dùng các chữ cái A, B, C, để kí hiệu các biến cố. Biến cố khơng bao giờ xảy ra khi phép thử được thực hiện gọi là biến cố rỗng, kí hiệu là ứ. Biến cố chắc chắn sẽ xảy ra khi một phép thử được thực hiện gọi là biến cố chắc chắn, kí hiệu là Ω. 10
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN Ví dụ 1.1 Trong phép thử tung đồng tiền, ta kí hiệu + S là biến cố xuất hiện mặt sấp, ta viết: S = “Xuất hiện mặt sấp”. + N là biến cố xuất hiện mặt ngửa, ta viết: N = “Xuất hiện mặt ngửa”. Ví dụ 1.2 Trong phép thử gieo một con một con xúc xắc, ta kí hiệu: + Qk = “Xuất hiện mặt k chấm”; với k = 1; 2; 3; 4; 5; 6. + Qc = “Xuất hiện mặt cĩ số chấm chẵn”. + Ql = “Xuất hiện mặt cĩ số chấm lẻ”. + Qnt = “Xuất hiện mặt cĩ số chấm là số nguyên tố”. Ví dụ 1.3 Trong phép thử kiểm tra một học sinh, ta kí hiệu: + T = “Học sinh đĩ thuộc bài”. + K = “Học sinh đĩ khơng thuộc bài”. 1.3. Quan hệ giữa các biến cố Định nghĩa 1.1: Cho A và B là hai biến cố của cùng một phép thử. Ta nĩi rằng a) Biến cố A thuận lợi (hay kéo theo) đối với biến cố B, kí hiệu là A ⊂ B, nếu trong phép thử đĩ biến cố A xuất hiện thì biến cố B cũng xuất hiện b) Biến cố A đồng nhất (hay bằng) biến cố B, kí hiệu là A = B, nếu đồng thời A thuận lợi đối với B và B cũng thuận lợi đối với A. c) A và B là hai biến cố xung khắc nếu chúng khơng thể đồng thời xuất hiện trong một phép thử. d) A là biến cố đối lập với biến cố B, kí hiệu là A = B, nếu A xuất hiện khi và chỉ khi B khơng xuất hiện. e) A và B là hai biến cố đồng khả năng nếu trong phép thử đĩ khơng cĩ biến cố nào được ưu tiên xuất hiện hơn biến cố kia. Ví dụ 1.4 Trong phép thử gieo xúc xắc - Biến cố Q1, Q3, Q5 ⊂ Ql. 11
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN - Biến cố Q2, Q4, Q6 ⊂ Qc. - Biến cố Q2, Q3, Q5 ⊂ Qnt. - Q1 và Q5, Q2 và Q4, là những cặp biến cố xung khắc. Nếu ta kí hiệu Kc = “Xuất hiện mặt cĩ số chấm khơng chẵn”, Kl = “Xuất hiện mặt số chấm khơng lẻ” thì Kc = Ql, Kl = Qc , Qc = Q1 và Ql = Qc Q1 và Q6 ; Qc và Qnt ; Qc và Ql là những cặp biến cố đồng khả năng. Ví dụ 1.5 Trong phép thử tung đồng tiền S = N và N = S. Ví dụ 1.6 Rõ ràng là: - Biến cố rỗng thuận lợi đối với mọi biến cố. - Mọi biến cố đều thuận lợi đối với biến cố chắc chắn. 1.4. Các phép tính trên các biến cố Định nghĩa 1.2: Cho A và B là hai biến cố của một phép thử. Ta gọi: a) Hợp của hai biến cố A và B là một biến cố H, kí hiệu H = A ∪ B, xuất hiện khi và chỉ khi ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xuất hiện. Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì ta viết H = A + B thay cho A ∪ B và gọi là tổng trực tiếp (hay tổng) của hai biến cố đĩ. b) Giao (hay tích) của hai biến cố A và B là biến cố G, kí hiệu là G = A ∩ B, xuất hiện khi và chỉ khi đồng thời cả hai biến cố A và B cùng xuất hiện. Ví dụ 1.7 Trong phép thử gieo xúc xắc - Biến cố Ql = Q1 + Q3 + Q5 , biến cố Qnt = Q2 + Q3 + Q5. - Qc ∩ Qnt = Q2 ; Ql ∩ Qnt = Q3 + Q5. Trong mọi phép thử bất kì ta luơn cĩ: - A ∩ A = ứ, A + A = Ω. - A và A xung khắc khi và chỉ khi A ∩ B = ứ. Các khái niệm vừa trình bày trên đây cĩ thể minh hoạ bằng các hình ảnh sau: 12
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN B A AB A ∪ B A ∩ B Định nghĩa 1.3: Biến cố A gọi là biến cố sơ cấp (hay cơ bản), nếu A = B ∪ C thì A = B hoặc A = C. Định nghĩa 1.4: Cho B1, B2, , Bn là các biến cố của một phép thử. Ta nĩi rằng họ n biến cố trên lập thành hệ đầy đủ các biến cố của phép thử đĩ, nếu: - Chúng đơi một xung khắc với nhau, tức là Bi ∩ Bj = ứ với mọi i ≠ j. - B1 + B2 + + Bn = Ω. Nếu các biến cố Bk, k = 1, 2, , n, đều là các biến cố sơ cấp thì ta nĩi họ n biến cố đĩ là khơng gian các biến cố sơ cấp. Ví dụ 1.8 Trong phép thử gieo xúc xắc - Họ {Q1, Q2, Q3, Q4, Q5, Q6 } tạo thành khơng gian các biến cố sơ cấp. - Họ {Qc, Ql} hoặc {Qnt, Q1, Q4, Q6} tạo thành hệ đầy đủ các biến cố. Ví dụ 1.9 Trong phép thử tung đồng tiền họ {S, N} tạo thành khơng gian các biến cố sơ cấp. Trong một phép thử bất kỳ, họ {A, A } tạo thành hệ đầy đủ các biến cố. B. HOẠT ĐỘNG HOẠT ĐỘNG 1.1: TÌM HIỂU CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT NHIỆM VỤ Hướng dẫn tổ chức hoạt động: Sinh viên chọn một trong các hình thức tổ chức sau: - Tự đọc thơng tin cơ bản và các tài liệu tham khảo hoặc - Thảo luận theo nhĩm 3, 4 người hoặc - Theo sự hướng dẫn của giáo viên để thực hiện các nhiệm vụ sau: 13
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN NHIỆM VỤ 1: Xác định đối tượng nghiên cứu của xác suất. NHIỆM VỤ 2: Phát biểu định nghĩa các mối quan hệ giữa các biến cố. Minh họa bằng hình ảnh và xây dựng hai ví dụ minh hoạ cho mỗi quan hệ. NHIỆM VỤ 3: Phát biểu định nghĩa các phép tốn trên các biến cố. Minh họa bằng hình ảnh và xây dựng hai ví dụ minh họa cho mỗi phép tốn. NHIỆM VỤ 4: Phát biểu định nghĩa hệ đầy đủ, khơng gian các biến cố sơ cấp. Minh hoạ qua các ví dụ. ĐÁNH GIÁ HOẠT ĐỘNG 1.1 1.1. Trong phép thử tung hai đồng tiền, ta kí hiệu, chẳng hạn: (S, N) = “Đồng thứ nhất xuất hiện mặt sấp, đồng thứ hai xuất hiện mặt ngửa”. Điền vào chỗ chấm nội dung thích hợp: a) (S, S) là biến cố b) Cả hai đồng xuất hiện mặt ngửa là biến cố c) (N, S) là biến cố d) Ít nhất một đồng xuất hiện mặt sấp là biến cố e) Khơng gian các biến cố sơ cấp của phép thử này là f) Hệ đầy đủ các biến cố của phép thử này là 1.2. Trong phép thử kiểm tra ngẫu nhiên hai học sinh. Dùng kí hiệu tương tự ví dụ 1.3, hãy ghi Đ (đúng) hoặc S (sai) vào ơ trống: a) Khơng gian vào biến cố sơ cấp của phép thử này cĩ hai biến cố. c b) Các biến cố (T, T), (T, K), (K, T) + (K, K) lập thành hệ đầy đủ. c c) Các biến cố (T, T), (T, K) và ít nhất một học sinh khơng thuộc bài lập thành khơng gian biến cố sơ cấp. c d) Khơng gian các biến cố sơ cấp là {(T, T), (T, K), (K, T), (K, K)} c 1.3. Hãy mơ tả các biến cố trong câu a, b, c, d của bài 1.1 bằng hình ảnh. 1.4. Trong phép thử gieo hai con xúc xắc ta kí hiệu 14
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN (Qi, Qj) = “Con thứ nhất xuất hiện mặt i chấm, con thứ hai xuất hiện mặt j chấm”. a) Xác định khơng gian các biến cố sơ cấp của phép thử. b) Biểu diễn biến cố cả hai con xúc xắc đều xuất hiện mặt cĩ số chấm chẵn qua các biến cố sơ cấp. c) Biểu diễn biến cố “tổng số chấm xuất hiện ở hai con bằng 8” qua các biến cố sơ cấp. d) Gọi tên biến cố sau: (Q1, Q6) + (Q2, Q5) + (Q3, Q4) + (Q4, Q3) + (Q5, Q2) + (Q6, Q1). 15
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN TIỂU CHỦ ĐỀ 1.2. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT A. THƠNG TIN CƠ BẢN 2.1. Định nghĩa xác suất cổ điển Trong cuộc sống hàng ngày ta thường gặp các câu: - Khả năng xuất hiện mặt sấp hoặc mặt ngửa khi tung một đồng tiền là như nhau. - Khi gieo con xúc xắc, khả năng xuất hiện mặt lẻ nhiều hơn khả năng xuất hiện mặt “lục”. - Khả năng lấy được sản phẩm của phân xưởng thứ nhất nhiều hơn, v.v Trong mỗi câu nĩi trên chứa đựng một nội dung của xác suất thống kê. Để hiểu một cách khoa học những ý nghĩa đĩ, người ta cần xây dựng một mơ hình tốn học cho khái niệm xác suất. Định nghĩa 2.1: (định nghĩa xác suất cổ điển) Cho {B1, B2, , Bn} là hệ đầy đủ các biến cố đồng khả năng của một phép thử và A là biến cố trong phép thử đĩ. Giả sử trong hệ trên cĩ k biến cố thuận lợi đối với A, tức là: A= B+++ B B với 1 ≤ ni ≤ n; i = 1, 2, , k. nn12 n k k Ta gọi tỉ số P(A) = là xác suất của biến cố A. n Ví dụ 2.1 Trong phép thử tung đồng tiền, tìm xác suất để xuất hiện mặt sấp, xuất hiện mặt ngửa. Giải: 1 Ta đã biết, hệ đầy đủ các biến cố đồng khả năng trong phép thử này là {S, N}. Vậy P (S) = = 0,5 2 1 và P(N) = = 0,5 . 2 Ví dụ 2.2 Trong phép thử tung hai đồng tiền, tìm xác suất để: a) Cả hai đồng đều xuất hiện mặt sấp. b) Cĩ ít nhất một đồng xuất hiện mặt sấp. 16
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN Giải: Ta đã biết {(S,N); (S,S); (N,S); (N, N)} lập thành hệ đầy đủ các biến cố của phép thử. Biến cố cả hai đồng xuất hiện mặt sấp là (S, S) và ít nhất một đồng xuất hiện mặt sấp là (S,N) + (S,S) + (N,S). Vậy 1 a) Xác suất để cả hai đồng xuất hiện mặt sấp là P ((S,S)) = = 0,25. 4 b) Xác suất để ít nhất một đồng xuất hiện mặt sấp là 3 P((S, N) + (S, S) + (N, S)) = = 0,75. 4 Ví dụ 2.3 Trong phép thử gieo xúc xắc, tìm xác suất để xuất hiện mặt sáu chấm, xuất hiện mặt cĩ số chấm lẻ. Giải: Ta đã biết {Q1, Q2, Q3, Q4, Q5, Q6} lập thành khơng gian các biến cố sơ cấp và Ql = Q1 + Q3 + Q5. Vậy 1 3 P(Q6) = ≈ 0,17 và P(Ql) = = 0,5. 6 6 Tương tự ta cũng cĩ P(Qk) ≈ 0,17 với k = 1, 2, 3, 4, 5 và P(Qe) = P(Qnt) = 0,5. Ví dụ 2.4 Trên bàn cĩ hai túi đựng bài thi cuối học kì, một túi đựng 25 bài của lớp 5A và một túi đựng 20 bài của lớp 5B. Kết quả chấm theo điểm 10 được cho trong bảng dưới đây: Điểm 7 8 9 10 Lớp 5A 3 10 9 3 5B 2 12 4 2 Rút ngẫu nhiên từ mỗi túi một bài thi. Tìm xác suất để trong hai bài rút ra: a) Đều đạt điểm 10. b) Cĩ đúng một bài đạt điểm 10. c) Cĩ ít nhất một bài đạt điểm 10. 17
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN Giải: Kí hiệu A, B, C theo thứ tự là các biến cố ứng với các sự kiện xảy ra trong câu a, b và c của đề bài. Ta nhận xét: mỗi bài thi của lớp 5A, ghép với một bài thi của lớp 5B được một biến cố của phép thử. Vậy - Số biến cố của phép thử này là 25 × 20 = 500 (biến cố). - Số biến cố thuận lợi đối với A là: 3 × 2 = 6 (biến cố). - Số biến cố thuận lợi đối với B là: 3 × 18 + 2 × 22 = 98 (biến cố). - Số biến cố thuận lợi đối với C là: 98 + 6 = 104 (biến cố). Từ đĩ suy ra 6 98 104 P(A) = = 0,012, P(B) = = 0,196, P(C) = = 0,208. 500 500 500 Ví dụ 2.5 Đội đồng ca của khối 5 trường tiểu học Hồ Bình cĩ 12 em là học sinh lớp 5A và 8 em là học sinh lớp 5B. Gặp ngẫu nhiên hai em trong đội. Tìm xác suất để: a) Hai em là học sinh hai lớp khác nhau. b) Cả hai em là học sinh lớp 5A. Giải: Ta kí hiệu A và B theo thứ tự là các biến cố ứng với các sự kiện xảy ra trong câu a và b trong đề bài. Ta nhận xét: Mỗi cách gặp nhau trong số 20 em của đội cho ta một biến cố của phép thử. Vậy số biến cố của phép thử này là 2 N = C20 = 190 (biến cố). Mỗi cách ghép một trong số 12 em lớp 5A với một trong số 8 em lớp 5B cho ta một biến cố thuận lợi đối với A. Vậy số biến cố thuận lợi đối với A là: 12 × 8 = 96 (biến cố) Mỗi cách gặp hai trong số 12 em lớp 5A cho ta một biến cố thuận lợi đối với B. Vậy số biến cố thuận lợi đối với B là: 2 C12 = 66. Từ đĩ suy ra 96 66 P(A) = = 0,5 và P(B) = ≈ 0,35. 190 190 18
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN Ví dụ 2.6 Cuốn sách giáo khoa Tốn 3 dày 184 trang. Hai bạn An và Cường lần lượt mở mỗi người một trang (sau đĩ gấp lại đưa cho người sau mở tiếp). Tìm xác suất để: a) Cả hai bạn đều mở được trang cĩ số thứ tự là số cĩ ba chữ số. b) Cả hai bạn đều mở được trang cĩ số thứ tự là số chia hết cho 5. c) Cả hai bạn đều mở được trang cĩ số thứ tự là số cĩ hai chữ số khi chia cho 4 dư 1. Giải: Ta kí hiệu B, N, M theo thứ tự là các biến cố ứng với các sự kiện xảy ra trong câu a, câu b và câu c của đề bài. Ta nhận xét: - Mỗi biến cố của phép thử ứng với một chỉnh hợp lặp chập 2 của 184 phần tử vì vậy số biến 2 2 cố của phép thử này là: F184 = 184 = 33 856. - Số trang sách cĩ số thứ tự là số cĩ ba chữ số là: 184 - 100 + 1 = 85 (trang). 22 Số biến cố thuận lợi đối với B là: F85 == 85 7225 . - Các số chia hết cho 5 nhỏ hơn 184 lập thành dãy số cách đều 5, 10, 15, , 180. Vậy số trang sách cĩ số thứ tự là số chia hết cho 5 là: (180 - 5) : 5 + 1 = 36 (trang). 22 Số biến cố thuận lợi đối với N là: F36 == 36 1296 . - Số trang sách cĩ số thứ tự là số chia cho 4 dư 1 là (181 - 1) : 4 + 1 = 46 (trang) 22 Số biến cố thuận lợi đối với M là: F46 == 46 2116 . Từ đĩ suy ra: 7225 1296 2116 P(B) = ≈ 0,21. P(N) = ≈ 0,04, P(M) = ≈ 0,06. 33856 33856 33856 Ví dụ 2.7 Trong hộp cĩ 6 con số bằng nhựa: 0; 1; 2; 3; 4; 5. Một cháu mẫu giáo lấy ngẫu nhiên bốn con số từ trong hộp rồi xếp lại thành dãy. Tìm xác suất để: a) Dãy số xếp ra là số cĩ bốn chữ số. b) Dãy số xếp ra là số cĩ bốn chữ số chia hết cho 5. 19
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN Giải: Ta kí hiệu B và H theo thứ tự là các biến cố ứng với các sự kiện xảy ra trong câu a và câu b của đề bài. Ta nhận xét: - Mỗi dãy số xếp ra là chỉnh hợp khơng lặp chập 4 của 6 phần tử. Vậy số biến cố trong phép 4 thử này là: A6 = 360 biến cố. - Mỗi chỉnh hợp cĩ số 0 đứng ở vị trí đầu kể từ bên trái khơng cho ta một số cĩ bốn chữ số. 43 Vậy số biến cố thuận lợi đối với B là: AA65− = 300 (biến cố). - Số biến cố thuận lợi đối với H là 3 3 2 A5 + ( A5 – A4 ) = 108 (biến cố). Suy ra 300 108 P(B) = = 0,83, P(H) = = 0,36. 360 300 Từ định nghĩa ta dễ dàng suy ra các tính chất của xác suất như sau: Tính chất 1: 0 ≤ P(A) ≤ 1; P (∅) = 0 và P(Ω) = 1. Tính chất 2: P(A + B) = P(A) + P(B); Nếu A ⊂≤BPAPBthì ( ) ( ) . Tính chất 3: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B). Tính chất 4: P( A ) = 1 – P(A). Chứng minh: Đơn giản (Bạn đọc tự chứng minh như một bài tập). Ví dụ 2.8 Trong một lơ hàng cĩ 30 sản phẩm của phân xưởng I và 20 sản phẩm của phân xưởng II. Lấy ngẫu nhiên 4 sản phẩm từ lơ hàng đĩ. Tìm xác suất để: a) Bốn sản phẩm lấy ra khơng cùng của một phân xưởng. b) Trong bốn sản phẩm lấy ra cĩ ít nhất một sản phẩm của phân xưởng I. Giải: Ta kí hiệu K và I theo thứ tự là các biến cố ứng với các sự kiện xảy ra trong câu a và b của đề bài, Si = “Trong 4 sản phẩm cĩ i sản phẩm của phân xưởng I” với i = 1, 2, 3, 4. 4 Số biến cố của phép thử là C.50 a) Ta cĩ: 20
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN 3 30× C20 P(S1) = 4 ≈ 0,15 C50 22 CC30× 20 P(S2) = 4 ≈ 0,36 C50 3 C2030 × P(S3) = 4 ≈ 0,35 C50 K = S1 + S2 + S3. Suy ra P(K) = P(S1 + S2 + S3) = P(S1) + P(S2) + P(S3) ≈ 0,15 + 0,36 + 0,35 = 0,86. b) Ta kí hiệu H = “Cả 4 sản phẩm lấy ra đều của phân xưởng II”. Ta cĩ 4 C20 P(H) = 4 = 0,02. C50 I = H ⇒ P(I) = 1 – P(H) = 1 – 0,02 = 0,98. 2.2. Định nghĩa xác suất theo phương pháp thống kê Từ ngàn xưa, một số người đã tiến hành quan sát tỉ lệ sinh con trai của một số vùng lãnh thổ trong những thời điểm khác nhau. Kết quả các số liệu quan sát được ghi lại trong bảng sau: Người thống kê Nơi thống kê Tỉ số con trai 1 Người Trung Hoa cổ đại Trung Quốc ≈ 2 Luân Đơn, Pêtecbua 22 Laplace ≈ 0,5116 và Béc Lin 43 45682 Cramer Thụy Điển ≈ 0,51187 88079 Darmon Pháp ≈ 0,511 21
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN Tổng cục Thống kê Việt Nam ≈ 0,508 Việt Nam Kết quả ghi trong bảng trên cho ta thấy tỉ lệ sinh con trai (trên tổng số lần sinh) dao động quanh 0,51. Tương tự, Button và Pearson đã tiến hành gieo nhiều lần một đồng tiền cân đối và đồng chất. Kết quả các số liệu được ghi trong bảng sau: Tên người dân Số lần Tần suất Số lần gieo thực nghiệm xuất hiện mặt sấp xuất hiện mặt sấp Button 4040 2048 0,5080 Pearson 12000 6019 0,5016 Pearson 24000 12012 0,5005 Kết quả ghi trong bảng trên cho ta thấy tần suất xuất hiện mặt sấp dao động quanh 0,5 và càng gần 0,5 khi số lần gieo càng lớn. Từ các hiện tượng trên, ta rút ra nhận xét: Giả sử khi lặp lại n lần một phép thử, cĩ k lần xuất k hiện biến cố A. Ta gọi tỉ số là tần suất của biến cố A. n k Khi n thay đổi, tần suất cũng thay đổi. Bằng thực nghiệm người ta chứng tỏ được rằng tần n k suất luơn dao động xung quanh một số cố định, khi n càng lớn thì nĩ càng gần với số cố n định đĩ. Ta gọi số cố định đĩ là xác suất của biến cố A theo nghĩa thống kê và kí hiệu là P(A). Định nghĩa trên cho ta thấy ý nghĩa thực tiễn của xác suất một biến cố, chẳng hạn: Trong phép thử tung đồng tiền, P(S) = 0,50 cĩ nghĩa là khi tung liên tiếp đồng tiền đĩ n lần thì số lần xuất hiện mặt sấp chiếm khoảng 50%. Tỉ số này càng chính xác khi n càng lớn. Trong phép thử gieo xúc xắc, P(Q6) ≈ 0,17 cĩ nghĩa là khi gieo liên tiếp n lần con xúc xắc thì số lần xuất hiện mặt sáu chấm chiếm khoảng 17%. Tỉ số này càng chính xác khi n càng lớn. 2.3. Xác suất hình học Trong thực tế đơi khi ta gặp các bài tốn đưa về dạng: cho một hình Ω và một hình X nằm trong hình Ω. Lấy ngẫu nhiên một điểm M trong hình Ω. Tìm xác suất để điểm đĩ rơi vào hình X. 22
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN Mỗi cách chọn ngẫu nhiên điểm M trong hình Ω cho ta một biến cố của phép thử. Như vậy phép thử này cĩ vơ số biến cố. Ta gọi: A = “Lấy ngẫu nhiên điểm M trong hình Ω thì điểm đĩ rơi vào hình X”. Như vậy mỗi cách lấy một điểm M trong hình X cho ta một biến cố thuận lợi đối với A. Thành thử trong phép thử này sẽ cĩ vơ số biến cố thuận lợi đối với A. Từ phân tích trên đây cho ta thấy định nghĩa xác suất cổ điển khơng cịn phù hợp với các bài tốn dạng này. Vì vậy ta xây dựng một định nghĩa sau đây (gọi là định nghĩa hình học của xác suất): Cho một hình Ω và một hình X nằm trong hình Ω. Ta gọi tỉ số: “độ đo” hình X P(M) = “độ đo” hình Ω là xác suất để khi lấy ngẫu nhiên điểm M trong hình Ω, điểm đĩ rơi vào hình X. Chú ý: Khái niệm “độ đo” hình X ở đây được hiểu như sau: - Là độ dài đoạn thẳng, nếu X được tạo thành từ những đoạn thẳng trên đường thẳng. - Là độ dài đường cong, nếu X được tạo thành từ những đường cong trong mặt phẳng. - Là diện tích theo nghĩa thơng thường, nếu X là hình phẳng trong mặt phẳng. Trong trường hợp này ta quy ước: diện tích của đường cong trong mặt phẳng bằng 0. - Là thể tích theo định nghĩa thơng thường, nếu X là khối đa diện hoặc khối trịn xoay trong khơng gian. Trong trường hợp này ta quy ước: thể tích của mặt cong trong khơng gian thì bằng 0. Ví dụ 2.9 Cho một khu đất hình trịn và một vườn hoa hình tam giác đều nội tiếp trong hình trịn đĩ. Trẻ em đá bổng một quả bĩng rơi vào khu đất. Tìm xác suất để quả bĩng rơi vào trong vườn hoa. Giải: Theo định nghĩa ta cĩ xác suất để quả bĩng rơi vào vườn hoa là: 1 A S tam giác BC . AH P(M) = = 2 S hình trịn πR2 R O 1 3 .R 3. R R 2 2 33 B = = = 0,41. H C πR2 4π Ví dụ 2.10 23
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN Hai người hẹn gặp nhau tại một địa điểm trong khoảng từ 1 đến 2 giờ chiều. Họ thoả thuận với nhau như sau: Một người đến điểm hẹn mà người kia chưa đến thì sẽ chờ khơng quá 15 phút. Nếu người kia khơng đến thì người đĩ ra đi trước 2 giờ chiều. Tìm xác suất để hai người gặp nhau. Giải: Đổi 15 phút = 0,25 giờ. Gọi x và y theo thứ tự là thời điểm người thứ nhất và người thứ hai đến điểm hẹn. Vậy điều kiện để hai người gặp nhau là 1 ≤ x , y ≤ 2 1 ≤ x , y ≤ 2 ⇔ ⎥ x – y⎥ ≤ 0,25 x – 0,25 ≤ y ≤ x + 0,25 y B 2 C 1 A D 0,25 0,25 0 0,25 1 2 x 0,25 tập hợp những điểm M(x,y) với 1 ≤ x, y ≤ 2 nằm trong hình vuơng ABCD. Tập hợp những điểm M(x,y) với x – 0,25 ≤ y ≤ x + 0,25 nằm trong phần gạch chéo trong hình vẽ. Từ phân tích trên, ta phát biểu lại bài tốn đã cho dưới dạng hình học như sau: Lấy ngẫu nhiên một điểm M(x,y) trong hình vuơng ABCD. Tìm xác suất để điểm đĩ rơi vào phần gạch chéo trên hình vẽ. Áp dụng cơng thức xác suất hình học, ta cĩ xác suất để hai người gặp nhau tại điểm hẹn là “diện tích” hình X 1 – 0,752 P(M) = = = 0,44. “diện tích” hình Ω 1 Ví dụ 2.11 Tham số m của phương trình x2 – (m – 1)x + m2 – 1 = 0. lấy ngẫu nhiên trong đoạn [-2 ; 2]. Tìm xác suất để phương trình trên cĩ nghiệm thực. 24
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN Giải: Điều kiện để phương trình đã cho cĩ nghiệm thực là: Δ = (m – 1)2 – 4(m2 – 1) = - 3m2 – 2m + 5 ≥ 0. 5 Suy ra - ≤ m ≤ 1. 3 Bài tốn cĩ thể phát biểu dưới dạng hình học như sau: Lấy ngẫu nhiên một điểm M trong 5 đoạn [-2; 2]. Tìm xác suất để điểm đĩ rơi vào đoạn [- ; 1]. Vậy xác suất để phương trình cĩ 3 nghiệm thực là 5 1 + 3 P(M) = = 0,67. 2 + 2 Ví dụ 2.12 Cho bất phương trình x2 + 2mx + 1 - n2 ≤ 0. trong đĩ m lấy trong đoạn [-1; 1] và n lấy trong đoạn [0; 3]. Tìm xác suất để bất phương trình trên vơ nghiệm. Giải: Điều kiện để bất phương trình trên vơ nghiệm là ∆’ = m2 - 1 + n2 < 0 ⇔ m2 + n2 < 1. Như vậy mỗi cách chọn tham số m, n sẽ ứng với một điểm M(m, n) trong hình chữ nhật ABCD. Mỗi cách chọn m, n để bất phương trình vơ nghiệm ứng với một điểm M(m, n) trong phần gạch chéo. Vậy xác suất để bất phương trình vơ nghiệm là 1 × 12 S g¹ ch chÐo π P(M) = = 2 ≈ 0,26. SABCD 2 × 3 25
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN m BC3 2 1 A D 1 0 1 n 26
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN HOẠT ĐỘNG 1.2. THỰC HÀNH VẬN DỤNG ĐỊNH NGHĨA ĐỂ TÍNH XÁC SUẤT Sinh viên chọn một trong các hình thức tổ chức sau: - Tự đọc thơng tin cơ bản và các tài liệu tham khảo hoặc - Thảo luận theo nhĩm 3, 4 người hoặc - Dưới sự hướng dẫn của giáo viên để thực hiện các nhiệm vụ sau: NHIỆM VỤ NHIỆM VỤ 1: Phát biểu và so sánh ba phương pháp định nghĩa xác suất, theo phương pháp cổ điển, theo phương pháp thống kê và theo hình học. NHIỆM VỤ 2: Xác định các bước giải bài tốn tính xác suất cổ điển. NHIỆM VỤ 3: Thực hành với bảy tình huống giải tốn xác suất thường gặp: - Vận dụng định nghĩa xác suất cổ điển, - Vận dụng cơng thức tổ hợp, - Vận dụng cơng thức chỉnh hợp lặp, - Vận dụng cơng thức chỉnh hợp khơng lặp, - Vận dụng cơng thức tính xác suất của tổng các biến cố, biến cố đối lập, - Đưa tình huống trong đời sống, sinh hoạt về bài tốn xác suất hình học để giải, - Đưa tình huống trong đại số về bài tốn xác suất hình học để giải. ĐÁNH GIÁ 2.1. Hai xạ thủ cùng bắn vào một mục tiêu. Xác suất bắn trúng đích của mỗi người đều bằng 0,50. Điền Đ hoặc S vào ơ trống: a) Xác suất để cả hai người bắn trúng đích bằng xác suất để cả hai người bắn trượt. F b) Xác suất để cả hai người bắn trượt lớn hơn xác suất để ít nhất một người bắn trúng. F 2.2. Gieo ba đồng tiền cân đối và đồng chất. Tìm xác suất để a) Chỉ cĩ một đồng xuất hiện mặt sấp. 27
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN b) Cĩ ít nhất một đồng xuất hiện mặt sấp. c) Cĩ ít nhất hai đồng xuất hiện mặt ngửa. 2.3. Gieo hai con xúc xắc. Tìm xác suất của các biến cố sau: a) Chỉ cĩ một con xuất hiện mặt cĩ số chấm lẻ. b) Cĩ ít nhất một con xuất hiện mặt cĩ số chấm là số nguyên tố. c) Khơng xuất hiện con nào cĩ số chấm là số nguyên tố. 2.4. Trong một lơ hàng cĩ 45 sản phẩm của phân xưởng I và 55 sản phẩm của phân xưởng II. Số sản phẩm mỗi loại của hai phân xưởng được cho trong bảng dưới đây Loại 1 2 3 Phân xưởng I 30 12 3 II 35 15 5 Lấy ngẫu nhiên từ lơ hàng của mỗi phân xưởng một sản phẩm. Tìm xác suất để: a) Trong hai sản phẩm lấy ra cĩ một sản phẩm loại 1 và một sản phẩm loại 2. b) Trong hai sản phẩm lấy ra khơng cĩ sản phẩm nào loại 1. c) Cả hai sản phẩm lấy ra đều loại 3. d) Trong hai sản phẩm lấy ra cĩ ít nhất một sản phẩm loại 1. 2.5. Lớp 4A cĩ 20 học sinh giỏi, 12 học sinh khá và 3 học sinh yếu. Cơ hiệu trưởng gọi ngẫu nhiên ba em lớp 4A lên nhận sách về cho lớp. Tìm xác suất để: a) Cả ba em cĩ học lực như nhau. b) Cĩ ít nhất một em là học sinh giỏi. c) Cĩ ít nhất hai em là học sinh khá. d) Khơng cĩ em nào là học sinh yếu. 2.6. Số sản phẩm xuất xưởng mỗi loại của hai phân xưởng được thống kê trong bài 2.4. Lấy ngẫu nhiên từ lơ hàng của mỗi phân xưởng 2 sản phẩm. Tìm xác suất để: a) Cả bốn sản phẩm lấy ra đều loại 1. b) Trong bốn sản phẩm lấy ra cĩ hai sản phẩm loại 3 của phân xưởng 2. 2.7. Một đợt xổ số phát hành 10 vạn vé. Một người mua ngẫu nhiên hai vé. Tìm xác suất để: a) Cả hai vé đều cĩ số tạo thành từ các chữ số lẻ. b) Cả hai vé đều cĩ chữ số hàng đơn vị bằng 5. 28
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN 2.8. Trên bàn cĩ 7 tấm bìa, mặt dưới của mỗi tấm bìa được ghi một trong các chữ cái A, E, I, M, N, T, V. Một người trải ngẫu nhiên 7 tấm bìa đĩ thành hàng. Tìm xác suất để khi lật tấm bìa đĩ lên ta được chữ VIETNAM. 2.9. Tổ một lớp 4A cĩ 8 bạn trai và 6 bạn gái. Cơ giáo chia ngẫu nhiên các bạn trong tổ thành hai nhĩm, mỗi nhĩm 7 người, để chơi thể thao. Tìm xác suất để số nữ của hai nhĩm bằng nhau. 2.10. Trong hộp cĩ 10 con số bằng nhựa: 0, 1, 2, , 9. Một cháu mẫu giáo lấy ngẫu nhiên năm con số từ trong hộp và xếp lại thành dãy. Tìm xác suất để dãy số xếp ra: a) Là số cĩ năm chữ số khác nhau. b) Là số chẵn cĩ năm chữ số. c) Là số cĩ năm chữ số khi chia cho 5 dư 1. 2.11. Trong một kì thi, các thí sinh của tỉnh A được đánh số báo danh từ 1 đến 250. Tỉnh B từ 251 đến 600 và tỉnh C từ 601 đến 1000. Rút ngẫu nhiên ba hồ sơ từ tập hồ sơ của thí sinh về dự thi. Tìm xác suất để: a) Ba hồ sơ của thí sinh ba tỉnh khác nhau. b) Ba hồ sơ đều của thí sinh là người cùng tỉnh. c) Cĩ ít nhất một hồ sơ của thí sinh tỉnh A. d) Số báo danh của cả ba thí sinh đĩ đều là số lẻ, cĩ ba chữ số và chia hết cho 3. 2.12. Trong một lơ hàng cĩ 25 sản phẩm của phân xưởng I, 45 sản phẩm của phân xưởng II và 30 sản phẩm của phân xưởng III. Lấy ngẫu nhiên ba sản phẩm từ lơ hàng đĩ. Tìm xác suất để: a) Cĩ đúng một sản phẩm của phân xưởng II. b) Cĩ ít nhất hai sản phẩm của phân xưởng II. c) Ba sản phẩm của ba phân xưởng khác nhau. 2.13. Cho tam giác vuơng cân nội tiếp trong hình trịn. Lấy ngẫu nhiên một điểm M trong hình trịn, tìm xác suất để điểm đĩ rơi vào tam giác nội tiếp nĩi trên. 2.14. Cĩ một đoạn dây thép dài 2m và một đoạn dài 3m. Người ta cắt ngẫu nhiên đoạn thứ hai thành hai đoạn. Tìm xác suất để từ ba đoạn đĩ ghép lại ta được một hình tam giác. 2.15. Cắt một đoạn dây dài 3m thành ba đoạn. Tìm xác suất để từ ba đoạn đĩ ta ghép lại được một hình tam giác. 2.16. Tham số m của phương trình (m - 2) x2 + (2m - 1) x + m = 0 được lấy ngẫu nhiên trong đoạn [-1; 3]. Tìm xác suất để phương trình trên cĩ hai nghiệm trái dấu. 2.17. Cho phương trình x2 + 2bx + a2 = 0 29
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN trong đĩ lấy ngẫu nhiên a ∈ [0; 3] và b ∈ [-1; 2]. Tìm xác suất để phương trình trên cĩ nghiệm thực. 2.18. Tham số m của bất phương trình mx2 + 3mx + m + 2 > 0 1 được lấy ngẫu nhiên trong khoảng ( ; 2). Tìm xác suất để bất phương trình trên nghiệm đúng với 2 mọi x. 2.19. Cho bất phương trình x2 + 2(a + 1) x + b + 4 ≤ 0 trong đĩ các hệ số a lấy ngẫu nhiên trong đoạn [-3; 2] và b trong đoạn [0; 2]. Tìm xác suất để bất phương trình trên vơ nghiệm. 30
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN TIỂU CHỦ ĐỀ 1.3. BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP A. THƠNG TIN CƠ BẢN Ta xét bài tốn: “Gieo một đồng tiền xu và một con xúc xắc. Tìm xác suất để xuất hiện mặt ngửa trên đồng tiền và mặt cĩ số chấm là bội của 3 trên con xúc xắc". Mỗi biến cố trong phép thử này cĩ dạng: N ∩ Qk = "Trên đồng tiền xuất hiện mặt ngửa và con xúc xắc xuất hiện mặt k chấm", k = 1, 2, , 6 hoặc S ∩ Qk = "Trên đồng tiền xuất hiện mặt sấp và con xúc xắc xuất hiện mặt k chấm", k = 1, 2, , 6. Số biến cố trong phép thử này là 12. Ta phải tìm xác suất của biến cố: N ∩ B = "Trên đồng tiền xuất hiện mặt ngửa và con xúc xắc xuất hiện mặt 3 chấm hoặc 6 chấm". Cĩ hai biến cố N ∩ Q3 và N ∩ Q6 thuận lợi đối với N ∩ B. Vì vậy: 212 P (N ∩ B) = = . = P (N) . P (B). 12 2 6 Trực giác cho ta thấy rằng việc xuất hiện mặt ngửa trên đồng tiền và mặt cĩ số chấm là bội của ba trên xúc xắc là hai biến cố xảy ra một cách độc lập với nhau. Từ phân tích trên ta đi đến định nghĩa: Cho A và B là hai biến cố của phép thử. Ta nĩi rằng hai biến cố A, B là độc lập với nhau, nếu P (A ∩ B) = P (A) P (B) Ví dụ 3.1 Trên bàn cĩ một túi đựng bài thi mơn Tốn và một túi đựng bài thi mơn Tiếng Việt. Mơn Tốn cĩ 70% số bài đạt điểm giỏi, mơn Tiếng Việt cĩ 85% số bài đạt điểm giỏi. Rút ngẫu nhiên từ mỗi túi một bài thi, tìm xác suất để cả hai bài đều đạt điểm giỏi. Giải: Ta kí hiệu: TG = "Rút ngẫu nhiên ta được bài thi mơn Tốn đạt điểm giỏi". VG = "Rút ngẫu nhiên ta được bài thi mơn Tiếng Việt đạt điểm giỏi". Rõ ràng là hai biến cố trên độc lập với nhau. Vậy ta cĩ: P (TG ∩ VG) = P (TG) P (VG) = 0,70 . 0,85 31
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN = 0,595 ≈ 0,60. Chú ý: Từ định nghĩa ta cĩ thể suy ra rằng nếu A và B là hai biến cố độc lập thì các cặp biến cố A và B, A và B, A và B cùng độc lập với nhau. Ví dụ 3.2 Hai xạ thủ cùng bắn vào một mục tiêu một cách độc lập. Xác suất bắn trúng đích của người thứ nhất bằng 0,75 và của người thứ hai bằng 0,85. Tìm xác suất để cĩ ít nhất một người bắn trúng đích. Giải: Ta kí hiệu: Tk = "Người thứ k bắn trúng đích", k = 1, 2. Ít nhất một người bắn trúng đích là biến cố T1 ∪ T2. Theo tính chất của xác suất ta cĩ: P (T1 ∪ T2) = P (T1) + P (T2) - P (T1 ∩ T2) = 0,75 + 0,85 - 0,75 . 0,85 = 0,9625 ≈ 0,96. B. HOẠT ĐỘNG HOẠT ĐỘNG 3.1. THỰC HÀNH TÍNH XÁC SUẤT CỦA CÁC BIẾN CỐ ĐỘC LẬP NHIỆM VỤ Sinh viên tự đọc thơng tin cơ bản sau đĩ trình bày trước lớp kết quả tìm hiểu về các nhiệm vụ sau: NHIỆM VỤ 1: Định nghĩa biến cố ngẫu nhiên độc lập. NHIỆM VỤ 2: Xây dựng hai ví dụ về vận dụng cơng thức xác suất độc lập để tính xác suất. ĐÁNH GIÁ 32
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN 3.1. Cuốn sách Tốn 4 cĩ 220 trang, Tiếng Việt 4 cĩ 265 trang. Bạn Hà mở ngẫu nhiên một trang trong cuốn sách Tốn, bạn An mở ngẫu nhiên một trang trong cuốn sách Tiếng Việt. Tìm xác suất để: a) Cả hai bạn đều mở được trang là số trịn chục. b) Ít nhất một bạn mở được trang là số trịn chục. 3.2. Tín hiệu thơng tin được phát liên tiếp hai lần. Trạm thu tiếp nhận được thơng tin trong mỗi lần phát với xác suất bằng 0,35. a) Tìm xác suất để trạm thu nhận được thơng tin đĩ. b) Nếu muốn xác suất nhận được thơng tin khơng nhỏ hơn 0,9 thì phải phát tin đĩ bao nhiêu lần? 33
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN TIỂU CHỦ ĐỀ 1.4. XÁC SUẤT ĐIỀU KIỆN A. THƠNG TIN CƠ BẢN Giả sử trong một phép thử đã xuất hiện biến cố B. Ta phải tìm xác suất của biến cố A. Cĩ ba khả năng xảy ra: - Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì P (A) = 0. - Nếu B thuận lợi đối với A thì P (A) = 1. - Nếu A và B là hai biến cố tương thích thì ta chưa thể nĩi gì về xác suất của A. Vì vậy ta đưa ra định nghĩa: Ta gọi xác suất cĩ điều kiện của biến cố A trong điều kiện biến cố B đã xuất hiện là tỉ số: P (A ∩ B) P (A/B) = . P(B) Nhận xét 1. Biến cố A và B là độc lập khi và chỉ khi: P (A/B) = P (A) hoặc P (B/A) = P (B) Nhận xét 2. Đối với hai biến cố A và B bất kì (của cùng một phép thử) ta cĩ: P (A ∩ B) = P (A/B) P (B). Giả sử A1, A2, , An là hệ đầy đủ các biến cố của một phép thử và B là một biến cố trong phép thử đĩ. Khi đĩ: a) P (B) = P (B/A1) P (A1) + P (B/A2) P (A2) + + P (B/An ) P(An) (được gọi là cơng thức xác suất đầy đủ). P(B/ AKk )P(A ) b) P (Ak/B) = , với k = 1, 2, , n P(B) (được gọi là cơng thức Bâyê). Ví dụ 4.1 Trong một kì thi tuyển sinh cĩ 35% nữ và 65% nam. Trong số thí sinh nữ cĩ 22% trúng tuyển, trong số thí sinh nam cĩ 18% trúng tuyển. a) Rút ngẫu nhiên một hồ sơ trong số hồ sơ của thí sinh về dự thi. Tìm xác suất để hồ sơ đĩ của thí sinh trúng tuyển. 34
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN b) Rút ngẫu nhiên một hồ sơ ta được hồ sơ của thí sinh trúng tuyển. Tìm xác suất để hồ sơ đĩ của thí sinh nữ. Giải: Ta kí hiệu: G = "Rút ngẫu nhiên, ta được hồ sơ của thí sinh nữ". N = "Rút ngẫu nhiên, ta được hồ sơ của thí sinh nam". T = "Rút ngẫu nhiên, ta được hồ sơ của thí sinh trúng tuyển". Ta cĩ P (G) = 0,35; P (N) = 0,65; P (T/G) = 0,22 và P (T/N) = 0,18. a) Áp dụng cơng thức xác suất đầy đủ ta cĩ: P (T) = P (T/G) P (G) + P (T/N) P (N) = 0,22 . 0,35 + 0,08 . 0,65. = 0,194. b) Áp dụng cơng thức Bâyê ta cĩ: P(T / G)P(G) P (G/T) = . P(T) 0,22 . 0,35 = ≈ 0,3969. 0,194 Ví dụ 4.2 Sinh viên năm thứ nhất của khoa Giáo dục tiểu học chiếm 37%, năm thứ hai chiếm 33% và năm thứ ba chiếm 30% số sinh viên của tồn khoa. Tổng kết năm học, năm thứ nhất cĩ 35%, năm thứ hai cĩ 40% và năm thứ ba cĩ 48% số sinh viên đạt tiên tiến. a) Gặp ngẫu nhiên một sinh viên của khoa đĩ, tìm xác suất để sinh viên đĩ là tiên tiến. b) Gặp ngẫu nhiên một sinh viên của khoa khơng đạt tiên tiến. Hỏi khả năng em đĩ là sinh viên học năm thứ mấy nhiều hơn? Giải: Ta kí hiệu: Sk = "Gặp ngẫu nhiên một sinh viên, em đĩ đang học năm thứ k", với k = 1, 2, 3. T = "Gặp ngẫu nhiên một sinh viên, em đĩ là sinh viên tiên tiến". Ta cĩ P (S1) = 0,37; P (S2) = 0,33; P (S3) = 0,30 P(T/S1) = 0,35; P(T/S2) = 0,40; P(T/S3) = 0,48. a) Áp dụng cơng thức xác suất đầy đủ ta cĩ: 35
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN P (T) = P (T/S1) P (S1) + P (T/S2) P (S2) + P (T/S3) P (S3) = 0,35 . 0,37 + 0,40 . 0,33 + 0,48 . 0,30 = 0,4055 = 40,55%. Vậy tỉ lệ sinh viên tiên tiến của cả khoa đạt 40,55%. b) Áp dụng cơng thức Bâyê ta cĩ: P(T /S11 )P(S ) P (S1/T) = P(T) 0,35 . 0,37 = = 0,3194 = 31,94%. 0,4055 P(T /S22 )P(S ) P (S2/T) = P(T) 0, 40 . 0,33 = ≈ 0,3255 = 32,55%. 0,4055 P(T /S33 )P(S ) P (S3/T) = P(T) 0, 48 . 0,30 = ≈ 0,3551 = 35,51%. 0,4055 Vậy tỉ lệ sinh viên tiên tiến của năm thứ nhất chiếm 31,94%, năm thứ hai chiếm 32,55% và năm thứ ba chiếm 35,51% tổng số sinh viên tiên tiến của cả khoa. Suy ra khả năng em đĩ là sinh viên năm thứ ba nhiều hơn. HOẠT ĐỘNG 4.1. THỰC HÀNH TÍNH XÁC SUẤT ĐIỀU KIỆN NHIỆM VỤ Sinh viên chọn một trong các hình thức tổ chức sau: - Thảo luận theo nhĩm 4, 5 người hoặc - Dưới sự hướng dẫn của giáo viên đọc thơng tin cơ bản để thực hiện các nhiệm vụ sau: NHIỆM VỤ 1: Định nghĩa xác suất điều kiện. Nêu điều kiện cần và đủ để hai biến cố A và B độc lập. NHIỆM VỤ 2: 36
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN Viết cơng thức xác suất đầy đủ. Nêu hai ví dụ về vận dụng cơng thức xác suất đầy đủ để giải tốn. NHIỆM VỤ 3: Viết cơng thức Bâyê. Nêu hai ví dụ về vận dụng cơng thức Bâyê để giải tốn. ĐÁNH GIÁ 4.1. Tại một khoa điều trị bệnh nhân bỏng, cĩ 68% bệnh nhân bị bỏng nĩng, 32% bị bỏng do hố chất. Trong số bệnh nhân bị bỏng nĩng cĩ 6% bị biến chứng, trong số bệnh nhân bị bỏng do hố chất cĩ 13% bị biến chứng. a) Lấy ngẫu nhiên một bệnh án của bệnh nhân bỏng. Tìm xác suất để bệnh án đĩ của bệnh nhân bị biến chứng. b) Lấy ngẫu nhiên một bệnh án ta được bệnh án của bệnh nhân bị biến chứng. Tìm xác suất để bệnh án đĩ của bệnh nhân bị bỏng do hố chất. 4.2. Trong số giáo viên của một địa phương cĩ 18% nghiện thuốc lá. Tỉ lệ bị viêm họng trong số giáo viên nghiện thuốc lá chiếm 65% và trong số giáo viên khơng nghiện thuốc là chiếm 32%. Gặp ngẫu nhiên một giáo viên của địa phương đĩ. a) Tìm xác suất để giáo viên đĩ bị viêm họng. b) Nếu người đĩ bị viêm họng thì hãy tìm xác suất để người đĩ khơng nghiện thuốc lá. 4.3. Tỉ lệ học sinh khối một của một trường tiểu học chiếm 25%, khối hai chiếm 22%, khối ba chiếm 18%, khối bốn chiếm 20% và khối năm chiếm 15% tổng số học sinh của tồn trường. Trong số học sinh khối một cĩ 45% đạt học sinh giỏi, khối hai cĩ 49% đạt học sinh giỏi, khối ba cĩ 55% đạt học sinh giỏi, khối bốn cĩ 52% đạt học sinh giỏi và khối năm cĩ 64% đạt học sinh giỏi. Gặp ngẫu nhiên một học sinh của trường đĩ. a) Tìm xác suất để em đĩ khơng là học sinh giỏi. b) Số học sinh giỏi của khối nào nhiều hơn? 4.4. Trong số sản phẩm của một nhà máy sản xuất bĩng đèn cĩ 35% sản phẩm của phân xưởng I, 38% của phân xưởng II và 27% của phân xưởng III. Trong số sản phẩm của phân xưởng I cĩ 1,8% kém phẩm chất, phân xưởng II cĩ 1,3% và phân xưởng III cĩ 2,5% kém phẩm chất. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm của nhà máy. a) Tìm xác suất để sản phẩm đĩ là chính phẩm. b) Số sản phẩm kém phẩm chất của phân xưởng nào nhiều hơn? 37
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN TIỂU CHỦ ĐỀ 1.5. CƠNG THỨC BÉCNULI A. THƠNG TIN CƠ BẢN Định nghĩa 5.1. Dãy n phép thử J1, J2, , Jn được gọi là độc lập với nhau, nếu các điều kiện sau đây thoả mãn: kk k (i) Mỗi phép thử Jk tương ứng với khơng gian các biến cố sơ cấp Ωk = { A12 ,A , ,A m }; (ii) Xác suất P(A12 A A n )= P(A 1 )P(A 2 ) P(A n ). ii12 i n i 1 i 2 i n Trong đĩ Akkkk∈ A ,A , ,A i12mk { } Định nghĩa: Ta gọi dãy phép thử J1, J2, , Jn là dãy phép thử Bécnuli, nếu các điều kiện sau đây thoả mãn: (i) J1, J2, , Jn là dãy phép thử độc lập; (ii) Trong mỗi phép thử Jk chỉ cĩ hai biến cố B hoặc B cĩ thể xảy ra; (iii) Xác suất để biến cố B xuất hiện trong mỗi phép thử khơng đổi và đều bằng p. Chẳng hạn, khi gieo n lần một đồng tiền ta cĩ dãy n phép thử Bécnuli. Giả sử biến cố B trong phép thử J xuất hiện với xác suất P(B) = p. Khi lặp lại n lần phép thử đĩ một cách độc lập, xác suất để trong n lần đĩ cĩ k lần xuất hiện biến cố B được xác định bởi cơng thức: k k n – k Pn, k (B) = Cn p (1 – p) với k = 1, 2, 3, , n. Ta gọi cơng thức trên đây là Cơng thức Bécnuli. Ví dụ 5.1 Gieo 8 lần một con xúc xắc. Tìm xác suất để trong 8 lần gieo đĩ cĩ 5 lần xuất hiện mặt 6 chấm. Giải: Ở đây n = 8, k = 5. Áp dụng cơng thức Bécnuli ta cĩ: 53 5 ⎛⎞⎛⎞15 P8,5 (Q6) = C8 ⎜⎟⎜⎟ ≈ 0,004. ⎝⎠⎝⎠66 38
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN Ví dụ 5.2 Tỉ lệ nảy mầm của một loại hạt giống đạt 95%. Tìm xác suất để khi gieo ngẫu nhiên 10 hạt giống loại đĩ cĩ 7 hạt nảy mầm. Giải: Ta kí hiệu M = "Gieo ngẫu nhiên một hạt giống thì hạt đĩ nảy mầm". Vậy P (M) = 0,95. Áp dụng cơng thức Bécnuli ta cĩ: 7 7 3 P7, 10 (M) = C10 0,95 .0,05 ≈ 0,01. Ví dụ 5.3 Một đợt xổ số phát hành 10 vạn vé, trong đĩ cĩ 2500 vé trúng thưởng. Một người mua ngẫu nhiên 5 vé. Tìm xác suất để cả 5 vé đĩ đều trúng thưởng. Giải: Ta kí hiệu T = "Mua ngẫu nhiên một vé, ta được vé trúng thưởng". Vậy: 2500 P(T) = = 0,025. 100000 Áp dụng cơng thức Bécnuli ta cĩ: xác suất để người đĩ mua được 5 vé đều trúng thưởng là: 550 –7 P5,5 (T) = C5 . 0,025 .0,075 ≈ 0,1.10 . Dưới đây ta xét sự biến thiên của xác suất Pn, k (B) khi n cố định, cho k thay đổi. Khi k biến thiên từ 0 đến n ta xét tỉ số: k1++−− k1 nk1 P()n, k+ 1 B Cn p q (n − k) p == kknk− . Pn, k (B ) C n p q (k + 1) q Ở đây q = 1 - p. Rõ ràng là: - Tỉ số trên khơng nhỏ hơn 1 khi k ≤ np - q. - Tỉ số trên nhỏ hơn 1 khi k > np - q. Từ đĩ suy ra Pk (B) đạt giá trị lớn nhất tại ko = np - q hoặc k0 = np - q + 1, nếu np - q là số nguyên. Nếu np - q khơng phải là số nguyên thì nĩ đạt giá trị lớn nhất tại k0 = [np - q] + 1 (ở đây ta kí hiệu [x] là phần nguyên của số thực x). Ví dụ 5.4 Gieo 100 lần một con xúc xắc. Hỏi xác suất để trong 100 lần gieo đĩ cĩ bao nhiêu lần xuất hiện mặt sáu chấm là lớn nhất? 39
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN Giải: 1 5 Ở đây n = 100, p = , q = . 6 6 1 5 95 np - q = 100. - = . 6 6 6 ⎡⎤95 Suy ra k0 = + 1 = 16. ⎣⎦⎢⎥6 Vậy xác suất để trong 100 lần gieo đĩ cĩ 16 lần xuất hiện 6 chấm là lớn nhất. HOẠT ĐỘNG 5.1 THỰC HÀNH VẬN DỤNG CƠNG THỨC BÉCNULI ĐỂ GIẢI TỐN XÁC SUẤT. NHIỆM VỤ Sinh viên chọn một trong các hình thức tổ chức hoạt động sau: - Tự đọc thơng tin cơ bản hoặc - Thảo luận theo nhĩm 4, 5 người để thực hiện các nhiệm vụ sau đây: NHIỆM VỤ 1: Tìm hiểu khái niệm dãy phép thử độc lập và dãy phép thử Bécnuli. NHIỆM VỤ 2: Viết cơng thức Bécnuli. NHIỆM VỤ 3: Xây dựng ba ví dụ về vận dụng cơng thức Bécnuli để giải tốn xác suất. ĐÁNH GIÁ 5.1. Trong một kì thi tuyển sinh cĩ 20% số thí sinh trúng tuyển. Rút ngẫu nhiên 10 hồ sơ của thí sinh về dự thi. Tìm xác suất để trong 10 hồ sơ đĩ cĩ 5 hồ sơ của thí sinh trúng tuyển. 5.2. Khi dùng loại kháng sinh A điều trị cho bệnh nhân bị bệnh B thì xác suất khỏi bệnh là 0,65. Tìm xác suất để khi dùng kháng sinh A điều trị cho 8 bệnh nhân bị bệnh B thì cĩ 5 người khỏi bệnh. 40
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN 5.3. Một đợt xổ số phát hành 25 vạn vé; trong đĩ cĩ 3000 vé trúng thưởng. Tìm xác suất để một người mua ngẫu nhiên 6 vé đều khơng trúng thưởng. 5.4. Trong bài 5.3, xác suất để khi mua 12 vé cĩ bao nhiêu vé trúng thưởng là lớn nhất? Tìm xác suất đĩ. 5.5. Trong bài 5.1, xác suất để khi rút ngẫu nhiên 15 hồ sơ cĩ bao nhiêu hồ sơ của thí sinh trúng tuyển là lớn nhất? Tìm xác suất đĩ. THƠNG TIN PHẢN HỒI CHO CHỦ ĐỀ 1 TIỂU CHỦ ĐỀ 1.1 Hoạt động 1.1 1.2. a) S b) Đ c) S d) Đ 1.3 a) Ω = {(Qi ; Qj ) : i, j = 1, 2, , 6}. b) (Q2; Q2) + (Q2; Q4) + (Q2; Q6) + (Q4; Q2) + (Q4; Q4) + + (Q4; Q6) + (Q6; Q2) + (Q6; Q4) + (Q6; Q6). c) (Q2; Q6) + (Q3; Q5) + (Q6; Q2) + (Q5; Q3) + (Q4; Q4). d) “Tổng số chấm xuất hiện ở cả hai con bằng 7”. TIỂU CHỦ ĐỀ 1.2 Hoạt động 1.2 2.1 a) Đ b) S 2.2 a) 0,36 b) 0,88 c) 0,50 2.3 a) 0,33 b) 0,75 c) 0,25 2.4 a) 0,35 b) 0,12 c) 0,006 d) 0,88 2.5 a) 0,21 b) 0,93 c) 0,27 d) 0,76 2.6 a) 0,18 b) 0,007 2.7 a) 0,001 b) 0,01 2.8 a) 0,0002 2.9 a) 0,40 2.10 a) 0,9 b) 0,46 c) 0,18 2.11 a) 0,21 b) 0,27 c) 0,58 2.12 a) 0,41 b) 0,42 c) 0,21 41
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN 2,13 0,32 2.14 0,28 2.15 0,25 2.16 0,50 2.17 0,28 2.18 0,73 2.19 Gợi ý: Điều kiện để bất phương trình vơ nghiệm là: b > a2 + 2a - 3. 42
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN Chủ đề 2 BIẾN NGẪU NHIÊN MỤC TIÊU KIẾN THỨC: Cung cấp cho người học những kiến thức về: - Khái niệm về biến ngẫu nhiên. - Phân phối và hàm phân phối của biến ngẫu nhiên rời rạc, biến ngẫu nhiên nhị thức và biến ngẫu nhiên liên tục. - Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên: kì vọng, phương sai KĨ NĂNG: Hình thành và rèn cho người học các kĩ năng: - Thiết lập phân phối xác suất, hàm phân phối của các biến ngẫu nhiên thường gặp. - Tính các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên. THÁI ĐỘ: Chủ động tìm tịi phát hiện và khám phá các ứng dụng của biến ngẫu nhiên. II. GIỚI THIỆU CHỦ ĐỀ STT Tiểu chủ đề Trang số 1 Khái niệm biến ngẫu nhiên 43 2 Phân phối của biến ngẫu nhiên rời rạc 46 3 Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên 49 4 Biến ngẫu nhiên nhị thức 52 5 Biến ngẫu nhiên liên tục 54 6 Phân phối tiệm cận chuẩn 58 7 Kì vọng và phương sai 61 III. ĐIỀU KIỆN CẦN THIẾT ĐỂ THỰC HIỆN CHỦ ĐỀ 43
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN KIẾN THỨC: - Nắm được kiến thức của tiểu mơđun 1: Biến cố ngẫu nhiên và xác suất. - Nắm được kiến thức giải tích tốn học trong chương trình tốn phổ thơng. ĐỒ DÙNG DẠY HỌC: - Một số thiết bị sử dụng trong khi tổ chức các hoạt động dạy học: máy chiếu projector, máy chiếu đa năng, bảng phoĩc mi ca TÀI LIỆU THAM KHẢO: - Các tài liệu trong thư mục của giáo trình. IV. NỘI DUNG 44
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN TIỂU CHỦ ĐỀ 2.1. KHÁI NIỆM BIẾN NGẪU NHIÊN A. THƠNG TIN CƠ BẢN Biến ngẫu nhiên là một đại lượng mà giá trị của nĩ là số thực phụ thuộc vào kết quả của phép thử. Người ta thường kí hiệu các biến ngẫu nhiờn bằng các chữ cái X, Y, Z Biến ngẫu nhiên cĩ thể nhận giá trị này hay giá trị kia tuỳ thuộc vào kết quả này hay kết quả kia của phép thử xuất hiện. Từ định nghĩa ta thấy thực chất biến ngẫu nhiờn là một ánh xạ từ khơng gian mẫu Ω của phép thử vào tập số thực. B. HOẠT ĐỘNG HOẠT ĐỘNG 1.1. TÌM HIỂU KHÁI NIỆM BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỆM VỤ Sinh viên thảo luận theo nhĩm để thực hiện các nhiệm vụ sau: Gieo một đồng tiền hai lần. Kí hiệu X là số lần xuất hiện mặt “sấp”. Nghiên cứu các tính chất của X. NHIỆM VỤ 1: Kiểm tra lại rằng Ω = ⎨SS, SN, NS, NN⎬ là khơng gian mẫu của phép thử. Biến cố “Mặt sấp xảy ra khơng quá một lần” bao gồm các kết quả nào? NHIỆM VỤ 2: Xét xem X cĩ thể nhận các giá trị nào? Hãy hồn thiện bảng sau thiết lập tương ứng giữa kết quả của phép thử và giá trị của X. Kết quả của phép thử NN SN NS SS Giá trị của X 0 NN NS 0 NHIỆM VỤ 3: 1 Hãy vẽ các mũi tên cịn lại để chứng tỏ X là một ánh xạ SS SN 2 từ Ω vào tập số thực R = (-∞ ; +∞). NHIỆM VỤ 4: 45
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN Chứng tỏ rằng: + X cĩ tính ngẫu nhiên. + X cĩ giá trị phụ thuộc vào kết quả của phép thử. + X là một ánh xạ từ Ω vào R. + Biến cố “X nhận giá trị 1”, kí hiệu (X = 1), là tập hợp ⎨SN, NS⎬ nghĩa là (X = 1) = ⎨SN, NS⎬. HOẠT ĐỘNG 1.2. THỰC HÀNH XÁC ÐỊNH BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỆM VỤ Sinh viên thảo luận theo nhĩm để thực hiện các nhiệm vụ sau: Xét phép thử: Gieo một con xúc xắc hai lần. Kí hiệu S là tổng số chấm xuất hiện trong hai lần gieo. Nghiên cứu biến ngẫu nhiên S. NHIỆM VỤ 1: Hãy mơ tả khơng gian mẫu Ω của phép thử. NHIỆM VỤ 2: Xét xem S cĩ thể lấy các giá trị nào? Xác định biến cố (tập hợp con) (S = 6), (S < 5). Biến cố (S = 6) xảy ra khi nào? ĐÁNH GIÁ 1.1. a) Biến ngẫu nhiên là gì? b) Biến ngẫu nhiên cĩ liên quan với phép thử khơng? c) Tại sao lại cĩ thuật ngữ biến ngẫu nhiên? d) Hãy cho một ví dụ khác về biến ngẫu nhiên. 1.2. Trong một cái bát đựng 3 hạt đậu trắng 4 hạt đậu đen. Lấy ra ngẫu nhiên 2 hạt. Kí hiệu X là số hạt trắng lấy được. a) X cĩ thể nhận những giá trị nào? b) Biến cố (X < 1) cĩ xảy ra khơng? 1.3. Một xạ thủ cĩ ba viên đạn. Anh ta bắn lần lượt từng viên vào bia cho đến khi trúng hoặc hết đạn thì dừng lại. 46
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN a) Hãy mơ tả khơng gian mẫu. b) Kí hiệu X là số viên đã bắn. Lập bảng tương ứng giữa kết quả của phép thử và giá trị của X. 1.4. Xét một trị chơi xổ số đơn giản: bạn chọn ngẫu nhiên một số trong các số 0, 1, 2, , 9. Sau đĩ bạn tổ chức lấy ngẫu nhiên một thẻ từ 10 thẻ mà đã ghi các số 0, 1, 2, , 9 (hai thẻ khác nhau ghi hai số khác nhau). Nếu số ghi trên thẻ trùng với số bạn chọn thì bạn được thưởng 10 kẹo, ngược lại thì bạn sẽ khơng được gì. Kí hiệu X là số kẹo bạn nhận được. a) Mơ tả khơng gian mẫu. b) Lập bảng giá trị của X tương ứng với kết quả lấy thẻ. THƠNG TIN PHẢN HỒI Đối với hoạt động 1.2, Ω = ⎨(i, j) với 1 ≤ i ; j ≤ 6⎬. Ω gồm 36 phần tử (cặp số). S cĩ tập giá trị là S(Ω) = ⎨2, 3, 4, , 12⎬. (S = 6) = ⎨(1, 5) ; (5, 1) ; (2, 4) ; (4, 2) ; (3, 3)⎬. 47
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN TIỂU CHỦ ĐỀ 2.2. PHÂN PHỐI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC A. THƠNG TIN CƠ BẢN a) Ta nĩi biến ngẫu nhiên X là biến ngẫu nhiên rời rạc, nếu miền giá trị của nĩ là một tập hữu hạn hoặc vơ hạn đếm được. b) Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị ⎨x1, x2, ⎬ thì các biến cố (X = x1); (X = x2), lập thành một hệ đầy đủ. Đặt p1 = P(X = x1), p2 = P(X = x2), , pk = P(X = xk), Khi đĩ pk ≥ 0, ∀k và p1 + p2 + = 1. Ta cĩ bảng phân phối (xác suất) của biến ngẫu nhiên X thiết lập tương ứng giữa giá trị của biến ngẫu nhiên X và xác suất để biến ngẫu nhiên nhận giá trị đĩ: X x1 x2 xk P p1 p2 pk Bảng đĩ cho ta biết luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên một cách đầy đủ, thuận tiện nhất. B. HOẠT ĐỘNG HOẠT ĐỘNG 2.1. THỰC HÀNH XÁC ĐỊNH BIẾN CỐ TƯƠNG ỨNG VỚI GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỆM VỤ: - Sinh viên thảo luận theo nhĩm 4, 5 người hoặc - Dưới sự hướng dẫn của giáo viên, sinh viên đọc thơng tin cơ bản để thực hiện các nhiệm vụ dưới đây: Gieo một đồng tiền cân đối và đồng chất hai lần. Hãy lập bảng phân phối xác suất của số lần xuất hiện mặt sấp trong hai lần gieo đĩ. NHIỆM VỤ 1: 48
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN Kí hiệu X là số lần xuất hiện mặt sấp trong hai lần gieo. Hãy kiểm tra rằng Ω = ⎨SS, SN, NS, NN⎬ (X = 0) = ⎨NN⎬, (X = 1) = ⎨NS, SN⎬ và (X = 2) = ⎨SS⎬. NHIỆM VỤ 2: Tính các xác suất P(X = 0), P(X = 1) và P(X = 2). Lập bảng phân phối của X. Tính P (X 0). HOẠT ĐỘNG 2.2. THỰC HÀNH LẬP BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỆM VỤ: Sinh viên chọn một trong các hình thức tổ chức hoạt động sau: - Tự đọc thơng tin cơ bản hoặc - Thảo luận theo nhĩm 4, 5 người để thực hiện các nhiệm vụ sau: Từ một hộp chứa 3 quả cầu trắng và 2 quả cầu đen, lấy ra ngẫu nhiên 2 quả. Kí hiệu X là số quả cầu trắng trong 2 quả đã lấy. Xác định bảng phân phối xác suất của X. NHIỆM VỤ 1: Hãy mơ tả khơng gian mẫu (các quả trắng được đánh số bởi các số 1, 2, 3 và các quả đen bởi các số 4, 5). Xác định số phần tử của nĩ. NHIỆM VỤ 2: Xét xem X lấy các giá trị nào? Tính các xác suất P(X = 0), P(X = 2) rồi từ đĩ suy ra P(X = 1). NHIỆM VỤ 3: Lập bảng phân phối xác suất của X. ĐÁNH GIÁ 2.1. a) Nêu định nghĩa biến ngẫu nhiờn rời rạc. Cho một ví dụ. b) Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiờn được lập như thế nào? Hãy lập bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên trong ví dụ đưa ra ở trên. 2.2. Chọn ngẫu nhiên 2 học sinh từ một tổ gồm 6 nam và 4 nữ. Lập bảng phân phối xác suất của số nam X trong số hai học sinh đã chọn. 49
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN 2.3. Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất, quan sát đến tích của các số chấm xuất hiện trong hai lần gieo đĩ. Giả sử biến ngẫu nhiên X liên kết với phép thử được xác định như sau: X nhận giá trị bằng –1 nếu tích là số chẵn, bằng 2 nếu tích là số lẻ. Lập bảng phân phối xác suất của X. 2.4. Rút ngẫu nhiên 3 con bài từ một cỗ tú lơ khơ gồm 52 con. Lập bảng phân phối xác suất của số con át X trong 3 con bài được rút. THƠNG TIN PHẢN HỒI Với ví dụ trong hoạt động 2.2, X lấy ba giá trị 0, 1, 2 và 11 CC32× 3.2 3 P(X = 1) = 2 = = . C5 10 5 50
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN TIỂU CHỦ ĐỀ 2.3. HÀM PHÂN PHỐI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN A. THƠNG TIN CƠ BẢN a) Xét biến ngẫu nhiên X liên quan với một phép thử và giả sử a là một số thực đã cho. Khi phép thử tiến hành và kết quả ω xuất hiện thì cĩ thể X(ω) a thì biến cố (X < a) kéo theo biến cố (X < b) nghĩa là (X < a) ⊂ (X < b), do đĩ P(X < a) ≤ P(X < b). Như vậy tồn tại hàm số: F(x) = P(X < x), với x ∈ R. Hàm số F(x) xác định trên tập số thực được gọi là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X. Đơi khi cịn viết là FX (x). b)Từ định nghĩa, ta suy ra các tính chất sau của hàm phân phối: (i) F(x) là hàm khơng giảm, tức là nếu x ≤ y thì F(x) ≤ F(y); (ii) F(x) là hàm liên tục trái; (iii) lim F(x) = 0 khi x → − ∞ và lim F(x) = 1 khi x → + ∞; (iv) Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc cĩ tập giá trị {x1, x2, , xn} và pk = P(X = xk), với k = 1, 2, , n thì F(x) = Σ pk tổng trải trên các k mà xk < x. B. HOẠT ĐỘNG HOẠT ĐỘNG 3.1. TÌM HIỂU KHÁI NIỆM HÀM PHÂN PHỐI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỆM VỤ: Chọn một trong các hình thức tổ chức hoạt động sau - Sinh viên tự đọc thơng tin cơ bản hoặc - Dưới sự hướng dẫn của giáo viên, sinh viên thảo luận theo nhĩm 3, 4 người để thực hiện các nhiệm vụ sau: Giả sử X là số lần xuất hiện mặt sấp trong hai lần gieo một đồng tiền cân đối và đồng chất. 51
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN Hãy viết hàm phân phối của X. NHIỆM VỤ 1: Hãy kiểm tra lại rằng: Ω = {NN, NS, SN, SS} và ⎧∅≤,x0 ⎪ ⎪{}NN , 0 ,x2. NHIỆM VỤ 2: Chứng tỏ rằng: 0, với x ≤ 0 1 , với 0 < x ≤ 1 4 FX(x) = 3 , với 1 < x ≤ 2 4 1, với 2 < x. NHIỆM VỤ 3: Vẽ đồ thị hàm số y = FX(x). Nêu các nhận xét về tính chất của hàm số FX (x). NHIỆM VỤ 4: Chứng tỏ rằng: 111 a) P(0,5 ≤ X < 1,5) = FX(1,5) - FX(0,5) = − = . 244 b) P(a ≤ X < b) = FX (b) - FX (a), với a < b. ĐÁNH GIÁ 3.1. Giả sử Z là một biến ngẫu nhiên và P(Z ≥ 1,96) = 0,025. Hãy tính P(Z < 1,96). 3.2. Giả sử T là một biến ngẫu nhiên sao cho P(T ≥ 2,02) = P(T ≤ -2,02) = 0,05. Tính P(- 2,02 < T < 2,02). 3.3. Một cửa hiệu cắt tĩc cĩ 5 ghế ngồi cho khách đợi. Thực tế chỉ ra rằng bảng phân phối của số khách đợi Y là như sau: 52
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN Y 0 1 2 3 4 5 P 0,424 0,161 0,134 0,111 0,093 0,077 Dùng kí hiệu biến ngẫu nhiên Y để biểu diễn các biến cố sau: - Cĩ đúng hai khách đợi; - Cĩ ít nhất một khách đợi. Tính các xác suất sau: a) P(Y = 2) b) P(Y ≥ 1) c) P(4 ≤ Y ≤ 4) d) P(2 < Y < 4). THƠNG TIN PHẢN HỒI Ta luơn cĩ đẳng thức: a) P(X ≥ C ) = 1 – P(X < C), với mọi C; b) P(a < X < b) = 1 – ( P(X ≤ a) + P(X ≥ b)). = FX(b) – FX(a + 0), với a < b tuỳ ý. 53
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN TIỂU CHỦ ĐỀ 2.4. BIẾN NGẪU NHIÊN NHỊ THỨC A. THƠNG TIN CƠ BẢN a) Một phép thử chỉ cĩ hai kết quả đối lập nhau: một kết quả gọi là biến cố “thành cơng”, kí hiệu là T và kết quả thứ hai gọi là biến cố “thất bại”, kí hiệu là B. Xác suất p = P(T) gọi là xác suất thành cơng và xác suất q = P(B) = 1 − p gọi là xác suất thất bại. b) Một phép thử Bécnuli được lặp lại n lần độc lập với nhau và trong các điều kiện như nhau. Khi đĩ số lần Sn xuất hiện thành cơng trong n phép thử đĩ gọi là biến ngẫu nhiên nhị thức với tham số (n, p). Khi đĩ Sn nhận n + 1 giá trị là 0, 1, 2, , n và k k n–k P(Sn = k) = C n p q , k = 0, 1, 2, , n. Phân phối xác suất của Sn được gọi là phân phối nhị thức với các tham số (n; p). B. HOẠT ĐỘNG HOẠT ĐỘNG 4.1. TÌM HIỂU KHÁI NIỆM BIẾN NGẪU NHIÊN NHỊ THỨC NHIỆM VỤ: - Sinh viên tự đọc hoặc - Giáo viên hướng dẫn sinh viên đọc thơng tin cơ bản để thực hiện cỏc nhiệm vụ sau: Xác định phân phối X chỉ số lần xuất hiện mặt S trong hai lần gieo đồng tiền cân đối và đồng chất. NHIỆM VỤ 1 Hai lần gieo đồng tiền như trên cĩ phải là hai phép thử Bécnuli khơng? Xác định p, q, n. NHIỆM VỤ 2: Sử dụng thơng tin cơ bản, hãy tính P(X = k), với k = 0, 1, 2. 54
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN ĐÁNH GIÁ 4.1. Từ một hộp chứa 3 quả cầu trắng và 2 quả cầu đen, lấy ngẫu nhiên từng quả sau khi xem màu của nĩ rồi hồn trả lại hộp rồi mới lấy quả tiếp theo cũng một cách ngẫu nhiên. Quá trình cứ tiếp tục như vậy. Hỏi: a) Mỗi lần lấy cĩ phải là một phép thử Bécnuli khơng? Nếu kí hiệu T là biến cố “quả lấy ra màu trắng” thì xác suất P(T) bằng bao nhiêu? b) Kí hiệu X là số quả trắng lấy ra được sau 10 lần lấy. Chứng tỏ rằng X cĩ phân phối nhị 3 thức với các tham số (10; ). Tính P(X = 4), P(X = 10) và P(X ≥ 1). 5 4.2. Một con xúc xắc cân đối và đồng chất được gieo 4 lần và chú ý đến sự xuất hiện mặt 6 chấm. a) Cĩ thể coi 4 lần gieo là 4 phép thử Bécnuli hay khơng? b) Kí hiệu X là số lần xuất hiện mặt 6 chấm. X cĩ phân phối gì? Tại sao? 4.3. Mười xạ thủ độc lập với nhau cùng bắn vào một cái bia (mỗi người bắn một viên) với xác suất bắn trúng đích đều bằng 0,4. a) Lập bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X chỉ số viên trúng đích. b) Tính P(X ≥ 1). 4.4. Năm hạt đậu được gieo xuống đất canh tác với xác suất nảy mầm của mỗi hạt là 0,90. Kí hiệu X là số hạt nảy mầm. a) X là biến ngẫu nhiên gì? b) Lập bảng phân phối xác suất của X. THƠNG TIN PHẢN HỒI 1 a) Một đồng tiền cân đối và đồng chất được gieo n lần là phép thử Bécnuli với p = q = và 2 số lần xuất hiện mặt S trong n lần gieo đĩ là biến ngẫu nhiên phân phối nhị thức với tham số 1 (n; ). 2 b) Mỗi lần lấy cầu cĩ hồn lại là phép thử Bécnuli, 10 lần lấy như vậy là 10 phép thử Bécnuli. Như vậy 4 3 4 2 6 2 10 P(X = 4) = C .( ) ( ) và P(X ≥ 1) = 1 – P(X = 0) = 1 – ( ) . 10 5 5 5 55
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN TIỂU CHỦ ĐỀ 2.5. BIẾN NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC A. THƠNG TIN CƠ BẢN Biến ngẫu nhiên liên tục là một biến ngẫu nhiên cĩ tập giá trị là một khoảng (a; b) nào đĩ và P(X = x) = 0, với mọi x. Như vậy phân phối của X khơng thể cho bằng bảng phân phối, mà phải cho bằng hàm mật độ. Ta nĩi rằng hàm số f(x) xác định trên tập số thực R là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X, nếu x FX (x) − FX (a) = ∫ f(t)dt, mọi x > a. a Từ đĩ, nếu cho a dần tới −∞ thì ta cĩ: x FX (x) = ∫ f(t)dt, với mọi số thực x. (1) −∞ ’ Ngược lại, từ (1) ta cĩ f(x) = F X (x). Vì hàm mật độ hồn tồn xác định hàm phân phối nên trong thực tiễn người ta thường cho phân phối liên tục bằng cách cho hàm mật độ của nĩ. Về mặt hình học, giả sử f(x) là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X. Khi đĩ FX(a) chính là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hồnh và đường thẳng cĩ phương trình x = a song song với trục tung. B. HOẠT ÐỘNG HOẠT ÐỘNG 5.1. THỰC HÀNH TÍNH TỐN VỚI BIẾN NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC NHIỆM VỤ Sinh viên tự đọc thơng tin cơ bản sau đĩ thảo luận theo nhĩm 2, 3 người để thực hiện các nhiệm vụ sau: Cho biến ngẫu nhiên X với hàm mật độ: ⎧2x, 0 0hoỈc x 1. Hãy tính các xác suất dạng P(a < X < b) và lập hàm phân phối. 56
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN NHIỆM VỤ 1: Tính các xác suất sau 13 11 a) P( <<X ) b) P( − < X < ). 24 22 NHIỆM VỤ 2: Vẽ đồ thị của hàm mật độ và viết cơng thức của hàm phân phối. HOẠT ĐỘNG 5.2. THỰC HÀNH TÍNH TỐN VỚI BIẾN NGẪU NHIÊN CĨ PHÂN PHỐI CHUẨN NHIỆM VỤ Sinh viên tự đọc sau đĩ thảo luận theo nhĩm 2, 3 người để thực hiện các nhiệm vụ sau: Cho biến ngẫu nhiên Z cĩ phân phối chuẩn tắc N(0; 1), nghĩa là Z cĩ hàm mật độ là: 2 1 −x ϕ(x) = e 2 . 2π Hãy nghiên cứu phân phối của Z. NHIỆM VỤ 1: Hãy chứng tỏ rằng φ(x) là hàm chẵn. Vẽ đồ thị của hàm y = φ(x). NHIỆM VỤ 2: y Viết cơng thức hàm phân phối Φ(x) của Z. Chứng tỏ rằng: 1 y = ϕ (x) +Φ0 ()x F(x) = 2 , x −t2 1 2 Φ=0 (x) e dt. ∫ 2π x x trong đĩ 0 φ(x) NHIỆM VỤ 3: Từ bảng phân phối chuẩn hãy chứng tỏ rằng: P(Z ≥ 1,96) = 1 – F(1,96) = 0,0250; P(Z ≥ 1,64) = 1 – F(1,64) = 0,05; P(Z ≥ 2,58) = 1 – F(2,58) = 0,005. Từ đĩ suy ra rằng: 57
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN + P(-1,64 0. 5.3. Cho biến ngẫu nhiên X với hàm mật độ: ⎧asinx,x∈π (0; ) f(x)= ⎨ ⎩0, x∉π (0; ) a) Tính hằng số a. b) Viết cơng thức hàm phân phối. π π c) Tính P( X − −λx ,víix0; F(x) = ⎨ ⎩0, ví i x≤ 0, trong đĩ λ là hằng số dương. a) Xác định hàm mật độ của X. b) Tính P(−1 < X < 2). THƠNG TIN PHẢN HỒI a) Đối với hoạt động 5.1: 3 4 13 3/4 315 P( <<X ) = 2xdx= x2 = ()22−= () . ∫ |1/2 241 4216 2 1 110 2 P(− <<X ) =∫∫ 0.dx + x2 dx. 221 0 2 58
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN ⎧0, x≤ 0; ⎪ 2 F(x) = ⎨x, 0 R. 0 nên σ cĩ phân phối chuẩn tắc N(0, 1). 59
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN TIỂU CHỦ ĐỀ 2.6. PHÂN PHỐI TIỆM CẬN CHUẨN A. THƠNG TIN CƠ BẢN a) Giả sử Sn là biến ngẫu nhiên cĩ phân phối nhị thức với tham số (n; p), Moivre – Laplace đã chứng minh được rằng: x t2 ⎛⎞Snp− 1 − lim P⎜⎟n 2 0 , thì với X+++ X X X = 12 n ta cĩ: n ⎛⎞Xa− lim P⎜⎟ n<=Φ x (x) với mọi x ∈ R. n→∞ ⎝⎠σ Do đĩ khi n khá lớn: ⎛⎞Xa− P⎜⎟b <<≈Φ−Φ<nc (c)(b),bc. ⎝⎠σ 60
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN B. HOẠT ĐỘNG HOẠT ĐỘNG 6.1. THỰC HÀNH VẬN DỤNG ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN TRUNG TÂM NHIỆM VỤ Dưới sự hướng dẫn của giáo viên, sinh viên đọc, thảo luận cặp đơi nội dung thơng tin cơ bản để thực hiện các nhiệm vụ sau: Biết rằng xác suất để một người 70 tuổi tiếp tục sống đến 75 tuổi là 0,8. Chọn 500 người 70 tuổi một cách ngẫu nhiên. Xác định xác suất sau: a) Cĩ đúng 390 người sống được đến 75 tuổi. b) Cĩ khoảng từ 375 đến 425 người sống được đến 75 tuổi. NHIỆM VỤ 1: Kí hiệu S là số người trong 500 người 70 tuổi sống được đến 75 tuổi. Biết rằng S cĩ phân phối nhị thức. Xác định tham số (n; p) của phân phối đĩ. NHIỆM VỤ 2: Dựa vào cơng thức xác suất nhị thức: kknk− P(S = k) = Cpqn ,q=− 1 p để viết cơng thức tính P(S = 390). NHIỆM VỤ 3: Sử dụng cơng thức (2) để tính gần đúng P(S = 390). NHIỆM VỤ 4: Từ cơng thức: ⎛⎞knpSnplnp−−− P(k<< S l) = P < < ⎜⎟ ⎝⎠npq npq npq và cơng thức (3) để tính gần đúng P(375 < S < 425). ĐÁNH GIÁ a) Kí hiệu n là số lần thành cơng trong n phép thử Bécnuli với xác suất thành cơng là p và đặt pS/n= n . Chứng tỏ rằng: Snppp−− n = n . npq pq 61
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN pp− Với n khá lớn, ta cĩ thể coi n cĩ phân phối chuẩn tắc N(0; 1) được khơng? Vì sao? npq THƠNG TIN PHẢN HỒI Đối với hoạt động 6.1, n = 500, p = 0,80. 390 390 110 + P(S = 390) = C500 .0,80 0,2 . 1⎛⎞ 390−ψ− 400 ( 1,12) + P(S = 390) ≈ψ⎜⎟ =≈0,0238. 500.0,80.0,20⎝⎠ 500.0,80.0,20 8, 94 + P(375 < S < 425) ≈Φ (2,8) −Φ ( − 2,8) ≈ 0,995. 62
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN TIỂU CHỦ ĐỀ 2.7. KÌ VỌNG VÀ PHƯƠNG SAI THƠNG TIN CƠ BẢN Kì vọng của biến ngẫu nhiên là số đặc trưng cho giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên đĩ. Phương sai của biến ngẫu nhiên là số đặc trưng cho mức độ phân tán của các giá trị của biến ngẫu nhiên so với kì vọng. a) Giả sử X là biến ngẫu nhiên rời rạc với bảng phân phối: X x1 x2 xk P p1 p2 pk Kì vọng của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu là E(X), là số được xác định bởi cơng thức: E(X) = x1 p1 + x2 p2 + + xk pk + = ∑ xpkk (2) k1≥ Đối với biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ f(x) thì: ∞ E(X) = ∫ xf (x)dx. (3) −∞ Ta dễ dàng chứng minh các tính chất sau của kì vọng: (i) Nếu X = a thì E(X) = a; (ii) E(aX + b) = aE(X) + b, trong đĩ X là biến ngẫu nhiên, a và b là hằng số tùy ý. b) Phương sai của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu là V(X), là một số đặc trưng xác định bởi cơng thức: V(X) = E[(X − E(X))2] = E(X2) – (E(X))2. (4) Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc với bảng phân phối (1) thì 2 V(X) = ∑(xkk− a) p (5) k1≥ Với a = E(X). Theo cơng thức (3) ta cĩ: 2 2 ⎛⎞ V(X) = ∑∑xpkk− ⎜⎟ xp kk . (6) k1≥≥⎝⎠ k1 Nếu X cĩ hàm mật độ f(x) thì: 2 ∞ ∞∞⎛⎞ V(X)= ∫ (x−= a)2 f(x)dx ∫∫xf(x)dx2 − ⎜⎟ xf(x)dx . −∞ −∞⎝⎠ −∞ B. HOẠT ĐỘNG 63
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN HOẠT ĐỘNG 7.1. THỰC HÀNH TÍNH KÌ VỌNG VÀ PHƯƠNG SAI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC NHIỆM VỤ Sinh viên tự đọc thơng tin cơ bản để thực hiện các nhiệm vụ sau: Chọn ngẫu nhiên 3 bạn từ một nhĩm gồm 4 bạn nam và 3 bạn nữ. Kí hiệu X là số bạn nam chọn được từ nhĩm ba bạn đĩ chọn.Tớnh kỡ vọng, phương sai của X. NHIỆM VỤ 1: k3k− CC43 Kiểm tra lại rằng X nhận các giá trị 0, 1, 2, 3 và P(X = k) = 3 , với k = 0, 1, 2, 3. Từ đĩ C7 hãy lập bảng phân phối của X. NHIỆM VỤ 2: Tính E(X). NHIỆM VỤ 3: Chứng tỏ rằng P(X2 = k2 ) = P( X = k ), k = 0, 1, 2, 3. Từ đĩ hãy lập bảng phân phối của X2 và tính E(X2). NHIỆM VỤ 4: Tính V(X). HOẠT ĐỘNG 7.2. THỰC HÀNH TÍNH KÌ VỌNG VÀ PHƯƠNG SAI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC NHIỆM VỤ − Dưới sự hướng dẫn của giáo viên, sinh viên thực hiện các nhiệm vụ sau Biến ngẫu nhiên X cĩ hàm mật độ: ⎧x, 0<< x 1 f(x) = ⎨ ⎩0, x≤≥ 0hoỈc x 1. Tính kì vọng, phương sai của X. NHIỆM VỤ 1: Chứng tỏ rằng hàm số g(x) bất kì xác định và bị chặn trên R ta cĩ: 64
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN ∞ ⌠ 1 ⎮ f(x)g(x)dx= g(x)f(x)dx ⎮ ∫ ⌡ 0 −∞ NHIỆM VỤ 2: 11 Tính ∫∫xf (x)dx, x2 f (x)dx. 00 NHIỆM VỤ 3: Với các kết quả trên, hãy tính E(X), V(X). ĐÁNH GIÁ 7.1. a) Giả sử X là biến ngẫu nhiên sao cho E(X) = 2, E(X2) = 5. Tính V(X). b) Cho E(X) = 0, V(X) = 1. Tính E(X2). c) Nếu V(X) = 4 thì V(2X + 1) bằng bao nhiêu? 7.2. Giả sử X là biến ngẫu nhiên nhị thức tham số (n; p). Tính E(X), V(X). 7.3. Cho biến ngẫu nhiên X cĩ hàm mật độ: ⎧ 1 ⎪ , khi x∈ (a;b) f(x) = ⎨ba− ⎩⎪0, khi x∉ (a;b). Tính E(X), V(X). THƠNG TIN PHẢN HỒI a) Đối với hoạt động 7.1, ta cĩ: 3 CCk3k− 12 E(X) = k.43 1,71. ∑ 3 =≈ k0= C77 Vì (X = k) = (X2 = k2 ) với k≥ 0 nên P(X = k) = P(X2 = k2 ). 333 C.Ck3k− 24 E(X2) = k222 P(X k ) k 2 P(X k) k.2 43 , ∑∑== ===∑ 3 k0== k0 k0= C77 24 V(X) = E(X2) – (E(X))2 = . 49 Chú ý rằng: + Nếu X cĩ phân phối nhị thức với các tham số (n; p) thì E(X) = np và V(X) = npq. 65
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN + Nếu X cĩ phân phối chuẩn N(a; σ2 ) thì E(X) = a và V(X) = σ2. THƠNG TIN PHẢN HỒI CHO CHỦ ĐỀ 2 TIỂU CHỦ ĐỀ 2.1 1.2. a) X cĩ tập giá trị 0, 1, 2. b) A cĩ thể xảy ra mà cũng cĩ thể khơng xảy ra. 1.3. a) Ω = {T, BT, BBT, BBB}, ở đây BT là kí hiệu cho kết quả lần đầu bắn trượt, lần thứ hai bắn trúng. b) ω T BT BBT BBB X(ω) 1 2 3 3 1.4. a) Ω+{0, 1, 2, , 9} b) Giả sử số bạn chọn là 3 thì X(3) = 10; X(a) = 0 khi a khác 3. TIỂU CHỦ ĐỀ 2.2 2.3. X 0 1 2 2 11 2 C4 CC64 C6 P 2 2 2 C10 C10 C10 2.4. X –1 –2 P 0,75 0,25 2.5. X 0 1 2 3 2 31 22 13 C43 C.C48 4 C.C48 4 C.C48 4 P 4 4 4 4 C52 C52 C52 C52 66
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN TIỂU CHỦ ĐỀ 2.4 4.2. a) Cĩ thể coi mỗi phép thử (mỗi lần gieo) cĩ hai kết quả: xuất hiện mặt 6 chấm và khơng xuất hiện mặt 6 chấm. b) X cĩ phân phối nhị thức với tham số (4; 1/6). k k 10-k 4.3. a) P(X = k) = C 10 .0,4 . 0,6 , với k = 0, 1, , 10. b) P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0) = 1 – 0,610. 4.4. a) X là biến ngẫu nhiên nhị thức tham số (5; 0,9). k k 5-k b) P(X = k) = C 5 .0,9 . 0,1 , với k = 0, 1, , 5. TIỂU CHỦ ĐỀ 2.5 5.1. P(a 5.4. a) Do fX(x) = F'XX (x) nên f (x) = ⎨ ⎩0, x< 0. tại x = 0 hàm phân phối khơng cĩ đạo hàm nhưng ta cĩ thể gán cho fX(0) giá trị bất kì, chẳng hạn đặt fX(0) = 0. −2λ b) P(-1 < X < 2) = FX (2) - FX (–1) = 1 - e . 67
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN TIỂU CHỦ ĐỀ 2.7 7.1. a) V(X) = E(X2) – ( EX)2 = 1. b) E(X2) = V(X) + (EX)2 = 1. c) V(2X + 1) = 4V(X) = 16. n 2 2kknk− 2 7.2. E(X ) = ∑kCpqn =+ npq (np). k0= Vậy V(X) = npq. ∞ ab+ 7.3. E(X) = ∫ xf (x)dx = . −∞ 2 ∞ b33−++ababa 2 2 E(X2) = ∫ xf(x)dx2 == . −∞ 3(b− a) 3 (b− a)2 Từ đĩ V(X) = . 12 68
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN Chủ đề 3 THỐNG KÊ TỐN I. MỤC TIÊU KIẾN THỨC: Người học sau khi học xong chủ đề này sẽ nắm được những kiến thức về: - Các khái niệm cơ bản của thống kê tốn. - Các giá trị đặc trưng của mẫu quan sát: phương sai, độ lệch chuẩn, trung vị. - Ước lượng điểm và ước lượng khoảng. - Kiểm định giả thiết thống kê. - Nội dung dạy yếu tố thống kê trong mơn Tốn ở trường tiểu học. KĨ NĂNG: Người học từng bước hình thành và rèn các kĩ năng về: - Lập biểu đồ tần suất. - Tính các số đặc trưng mẫu. - Ước lượng tham số. - Kiểm định giả thiết thống kê. - Giải tốn về thống kê ở Tiểu học. THÁI ĐỘ: - Chủ động tìm tịi các ứng dụng của thống kê để xử lí các bài tốn thống kê thường gặp trong thực tế và trong nghiên cứu khoa học giáo dục. - Phát hiện cơ sở tốn học của mạch yếu tố thống kê trong mơn Tốn ở Tiểu học. 69
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN II. GIỚI THIỆU CHỦ ĐỀ STT Tên tiểu chủ đề Trang số 1 Mẫu quan sát và cách trình bày mẫu 69 2 Các giá trị đặc trưng mẫu 72 3 Phương sai và độ lệch chuẩn mẫu 75 4 Ước lượng điểm và ước lượng khoảng 78 5 Khoảng tin cậy của kì vọng a đối với mẫu cĩ cỡ lớn 80 6 Khoảng tin cậy của kì vọng a đối với mẫu cỡ nhỏ 83 7 Khoảng tin cậy cho tỉ lệ trong tập tổng quát 86 8 Kiểm định giả thiết thống kê 88 9 Yếu tố thống kê trong mơn Tốn ở trường Tiểu học 100 III. ĐIỀU KIỆN CẦN THIẾT ĐỂ THỰC HIỆN CHỦ ĐỀ KIẾN THỨC: - Nắm được kiến thức chủ đề 1 và 2. ĐỒ DÙNG DẠY HỌC: - Một số thiết bị sử dụng trong khi tổ chức các hoạt động dạy học: Máy chiếu Projector, máy chiếu đa năng, bảng phoĩc mi ca. IV. NỘI DUNG 70
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN TIỂU CHỦ ĐỀ 3.1. MẪU QUAN SÁT VÀ CÁCH TRÌNH BÀY MẪU A. THƠNG TIN CƠ BẢN a) Để đánh giá tuổi thọ (thời gian chiếu sáng) của một loại bĩng đèn điện, người ta khơng thể "quan sát" mọi bĩng đèn loại đĩ vì số lượng quá nhiều cũng như việc quan sát (cho thắp sáng và tính thời gian từ lúc thắp đến khi cháy) dẫn đến phá huỷ đối tượng quan sát. Vì vậy người ta đã chọn ra một số bĩng một cách ngẫu nhiên và cho chiếu sáng rồi quan sát. Ta thu được dãy số liệu (X1, X2, Xn) tương ứng với dãy tuổi thọ của các bĩng đèn được lấy ra. Trong thống kê, tập hợp các bĩng đèn cùng loại được gọi là tập tổng quát (hay cư dân) cịn tập các bĩng đèn được lấy ra thử nghiệm gọi là tập mẫu. Dãy số liệu (X1, X2, Xn) được gọi là mẫu quan sát. Một cách khái quát, tập hợp tổng quát là tập hợp các đối tượng cùng loại mà đều mang một dấu hiệu về lượng, kí hiệu là X, nào đĩ, được quan tâm nghiên cứu. Tập mẫu là tập hợp gồm các đối tượng của tập tổng quát được tách ra để quan sát. Một dãy (x1, x2, xn) gồm các số liệu thu thập được thơng qua quan sát dấu hiệu về lượng X trên các đối tượng của tập mẫu được gọi là mẫu quan sát về X. Ngồi ra, ta cịn kí hiệu (X1, X2, Xn) để chỉ dãy các kết quả quan sát cụ thể về X. Nĩ được gọi tắt là một mẫu. Chú ý rằng X là một biến ngẫu nhiên và nếu sự quan sát là ngẫu nhiên và độc lập thì (X1, X2, Xn) là các biến ngẫu nhiên độc lập (theo nghĩa mỗi biến ngẫu nhiên cĩ thể lấy giá trị này hay giá trị kia độc lập với các biến ngẫu nhiên khác) và cĩ cùng luật phân phối với X. Số n được gọi là cỡ mẫu hay kích thước mẫu. b) Biểu đồ và tổ chức đồ: Để cĩ hình ảnh rõ ràng và trực quan về phân bố các giá trị trong mẫu (X1, X2, Xn) ta xếp chúng thành m lớp khác nhau sao cho các số liệu trong mỗi lớp đều bằng nhau và mỗi số ở lớp này khác số ở lớp kia. Sau đĩ lấy ở mỗi lớp một số làm đại diện ta được dãy số tăng y1 < y2 < < ym. Ta kí hiệu rk là số các số yi bằng yk, rk được gọi là tần số của yk. Ta cĩ bảng phân bố tần số yk y1 y2 . ym Tần số r1 r2 rm rk Tỉ số fk = , k = 1, , m được gọi là tần suất của yk và ta cĩ bảng phân bố tần suất n yk y1 y2 . ym Tần số r1 r2 rm Tần suất f1 f2 fm Trên mặt phẳng toạ độ, nối điểm (yk; nk) với điểm (yk+1; nk+1) bởi đoạn thẳng với k = 1; , m –1 ta được biểu đồ tần số hình gậy. Cịn nối các điểm (xk; fk) với (xk+1; fk+1) bởi đoạn thẳng với k = 1, 2, m – 1 ta được đường gấp khúc được gọi là biểu đồ đa giác tần suất. B. HOẠT ĐỘNG 71
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN HOẠT ĐỘNG 1.1: THỰC HÀNH XÁC ÐỊNH TẦN SUẤT VÀ BIỂU ÐỒ TẦN SUẤT NHIỆM VỤ Sinh viên thảo luận theo nhĩm 3, 4 người để thực hiện các nhiệm vụ sau: Hỏi tuổi của 120 giáo viên THPT trong huyện ta nhận được bảng phân bố tần số và tần suất (chưa đầy đủ) sau: Tuổi Xi 31 34 35 36 38 40 42 44 Tần số rk 10 20 30 15 10 10 5 20 1 1 Tần suất 12 12 NHIỆM VỤ 1: Điền vào chỗ trống để hồn thiện bảng biểu đồ tần suất. NHIỆM VỤ 2: Hãy hồn thiện biểu đồ tần số bằng cách vẽ ba đoạn cịn lại. 30 20 15 10 5 0 31 34 35 36 38 40 42 44 Tuỉi 72
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN NHIỆM VỤ 3: Hãy hồn thiện biểu đồ đa giác tần suất. ĐÁNH GIÁ 25 học sinh tham gia cuộc thi trắc nghiệm với 8 câu hỏi. Kết quả kiểm tra được cho bởi bảng sau: Số câu trả lời đúng 0 1 2 3 4 5 6 Số học sinh 4 8 4 5 2 1 1 a) Hãy lập bảng phân bố tần suất. b) Vẽ biểu đồ tần số và đa giác tần suất. 73
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN TIỂU CHỦ ĐỀ 3.2. CÁC GIÁ TRỊ ĐẶC TRƯNG MẪU A. THƠNG TIN CƠ BẢN Các giá trị trung bình, trung vị (median), mode là các số đo quan trọng. Chúng cho ta biết thơng tin về các xu hướng trung tâm. 1. Giả sử (X1, X2 Xn) là một mẫu. a) Trung bình mẫu, kí hiệu X , là một số được xác định bởi X++ X + X X = 12 n. n b) Trung vị mẫu, kí hiệu m, là một số mà số các giá trị của mẫu ≥ m bằng số các giá trị của mẫu ≤ m. Nghĩa là m thoả mãn Card {k ≤ n | Xk ≤ m} = Card {k ≤ n | Xk ≥ m}. * Từ đĩ nếu sắp xếp lại mẫu (X1, , Xn) theo thứ tự tăng dần X12≤≤≤ X X n thì * ⎧Xvíin1+ n lỴ ⎪ ⎪ 2 m = ⎨ XXnn+ ⎪ +1 22ví i n ch½n ⎩⎪ 2 c) Mode mẫu là một giá trị của mẫu cĩ tần số lớn nhất. Ví dụ: lương tháng X của 13 giáo viên được cho trong bảng sau (đơn vị nghìn đồng): 1200 1200 1840 1200 1200 1300 1200 1300 1350 1700 1950 1200 1350 1200++++ 1200 1200 1350 Khi đĩ X== 1383,85. 13 Để xác định trung vị ta xếp dãy số liệu theo thứ tự tăng 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1300 1300 1350 1350 1700 1840 1950 6 mức lương thấp nhất 6 mức lương cao nhất m = trung vị = 1300 Để tính mode mẫu ta lập bảng phân bố tần suất. 74
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN Mức lương 1200 1300 1350 1700 1840 1950 Tần suất 6 2 2 1 1 1 13 13 13 13 13 13 Vậy mode = 1200 B. HOẠT ĐỘNG HOẠT ĐỘNG 2.1. THỰC HÀNH TÍNH CÁC SỐ LIỆU ÐẶC TRÝNG CỦA MẪU QUAN SÁT NHIỆM VỤ Sinh viên đọc thơng tin cơ bản rồi thảo luận theo nhĩm 3, 4 người để thực hiện các nhiệm vụ sau: Một hãng sản xuất sữa tắm đĩng chai trên nhãn quảng cáo ghi dung tích sữa là 310 ml. Một mẫu 16 chai được kiểm tra ta nhận được dãy số liệu sau: 297 311 322 315 318 303 307 296 306 291 312 309 300 298 300 311 NHIỆM VỤ 1: Tính dung lượng sữa tắm trung bình trong 16 chai kể trên. NHIỆM VỤ 2: Xếp dãy số liệu trên theo thứ tự tăng dần. Tính trung vị. NHIỆM VỤ 3: Lập bảng phân bố tần suất. Tính mode. ĐÁNH GIÁ Tuổi của 40 sinh viên năm thứ nhất trong một trường đại học là: 19 24 24 24 23 20 22 21 18 20 19 19 21 19 19 23 36 22 20 35 22 23 19 26 22 17 19 20 20 21 19 21 20 20 21 19 24 21 22 21 75
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN ___ Hãy tính X , trung vị và mode. THƠNG TIN PHẢN HỒI - Để tính trung vị, ta thường sắp thứ tự các số liệu thành dãy tăng và lấy số ở giữa dãy. - Để tính mode, ta thường lập bảng phân phối tần số. Từ đĩ chọn giá trị mẫu cĩ tần số lớn nhất. 76
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN TIỂU CHỦ ĐỀ 3.3. PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN MẪU A. THƠNG TIN CƠ BẢN Hai tập mẫu (tài liệu) cĩ thể cùng trung bình, trung vị và mode nhưng hồn tồn khác nhau theo nghĩa độ biến động (độ lệch) giữa các giá trị của mẫu này so với trung bình của nĩ rất khác so với độ biến động tương ứng trong mẫu kia. Người ta đã lấy phương sai hay độ lệch chuẩn mẫu đã đánh giá độ biến động hay độ phân tán của các giá trị mẫu so với trung bình mẫu. Giả sử (X1, X2, Xn) là một mẫu. Đại lượng __ __ (X−++− X )22 (X X ) S2 = 1n (1) n1− ___ được gọi là phương sai mẫu (điều chỉnh), trong đĩ X là trung bình mẫu. (1) cĩ thể viết gọn như sau: n __ 221 S(XX)=−∑ k n1− k1= n __ 221 Đại lượng S(XX)=−∑ k được gọi là độ lệch chuẩn mẫu. n1− k1= Chú ý: a) Trong thực hành ta cĩ thể tính phương sai mẫu nhanh hơn nhờ cơng thức nn 22 n(∑∑ Xkk )− ( X ) S2 = k1== k1 . n(n− 1) Và do đĩ nn 22 n(∑∑ Xkk )− ( X ) S= k1== k1 . n(n− 1) b) Nếu mẫu được cho dưới dạng bảng phân phối tần số Xk X1 X2 Xk . Xm Tần số n1 n2 nk nm 77
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN __ X r+++ X r X r Thì X==+++11 22 mm , (n r r r ) n 12 m mm 22 n(∑∑ rX)kk− ( rX) kk S2 = k1== k1 n(n− 1) B. HOẠT ĐỘNG HOẠT ĐỘNG 3.1. THỰC HÀNH TÍNH PHƯƠNG SAI MẪU NHIỆM VỤ: - Giáo viên hướng dẫn sinh viên thực hiện các nhiệm vụ sau: Chiều cao của 5 cầu thủ bĩng đá được chọn từ đội tuyển I như sau (đơn vị: cm) 172 173 176 176 178. Hãy tính độ lệch chuẩn. NHIỆM VỤ 1: ___ Chứng tỏ rằng X = 175. NHIỆM VỤ 2: Hồn thiện bảng độ lệch và bình phương độ lệch của các số đo chiều cao với trung bình Chiều cao Xk 172 173 176 176 178 ___ ___ Độ lệch so với X: (Xk – X) –3 –2 1 ___ 2 Bình phương độ lệch (Xk – X) 9 4 1 24 NHIỆM VỤ 3: Hãy chứng tỏ rằng 5 ___ 2 ∑ (Xk −= X ) 24 k1= 24 S6(cm)22== 51− S2,4(cm).≈ HOẠT ĐỘNG 3.2. THỰC HÀNH XÁC ĐỊNH ĐỘ LỆCH CHUẨN MẪU 78
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN NHIỆM VỤ - Giáo viên hướng dẫn sinh viên đọc thơng tin cơ bản để thực hiện các nhiệm vụ sau: Chiều cao của 5 cầu thủ được chọn từ đội tuyển II là (đơn vị cm) 167 172 176 176 184. Tính trung bình và độ lệch chuẩn mẫu và so sánh với mẫu được chọn từ đội tuyển I. NHIỆM VỤ 1: ___ Chứng tỏ rằng X = 175 S2 = 156 (cm2) S = 6,2 (cm) NHIỆM VỤ 2: Cĩ nhận xét gì về trung bình, độ lệch chuẩn của hai mẫu với nhau? ĐÁNH GIÁ 3.1. a) Cho một mẫu 1 2 3 4 5 3 2 1 4 5 ___ Hãy tính X và tính S2 bằng định nghĩa và cơng thức (2). 2 b) S cĩ thay đổi khơng khi thay Xi bởi X'i = Xi + C với i = 1, , n trong đĩ C là hằng số đã ___ ___ cho. Khơng cần tính xét xem X' bằng bao nhiêu khi biết X. 3.2. Cân 10 gĩi kẹo được chọn ngẫu nhiên ta được kết quả sau: 295 295 300 298 295 300 300 290 300 300. Hãy tính kì vọng và phương sai mẫu trong quan sát nĩi trên. THƠNG TIN PHẢN HỒI ___ ___ 2 2 2 Nếu thay Xi bởi X'i = hXi + C thì X'= h X + C và S’ = h S . ___ 2 Ở đây X' và S' là trung bình mẫu và phương sai mẫu được tính đối với mẫu X'1 , X'2, X'n. 79
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN TIỂU CHỦ ĐỀ 3.4. ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM VÀ ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG A. THƠNG TIN CƠ BẢN Xét một tập hợp tổng quát mà mỗi đối tượng đều mang một dấu hiệu về lượng X. Về phương diện tốn học X là một đại lượng ngẫu nhiên cĩ phân phối chưa biết phụ thuộc vào một vài tham số nào đĩ. Trong nhiều trường hợp ta cần phải ước lượng một tham số đặc trưng θ nào đĩ chưa biết thơng qua tài liệu quan sát (X1, X2, Xn) về các giá trị của X. Ước lượng đưa ra phải dựa trên mẫu quan sát. Vì vậy, một cách tổng quát ta cĩ các định nghĩa sau: ∧ ∧ a) Ước lượng điểm của tham số θ là một hàm số θn = θn (X1, X2, Xn) chỉ phụ thuộc vào mẫu quan sát mà khơng phụ thuộc vào tham số. ∧ Để ước lượng điểm θn phản ánh sự gần đúng với tham số ta cần địi hỏi. ∧ - Tính khơng chệch: E ( θn ) = θ. Yêu cầu này được đưa ra nhằm tránh sai số hệ thống của ước lượng - Tính vững (hay nhất quán) nghĩa là địi hỏi: Với mọi e > 0 ta cĩ ∧ lim P (| θn – θ| ∞ ∧ Yêu cầu này đảm bảo cho θn gần với θ với xác suất gần 1 khi n khá lớn. ___ Chẳng hạn nếu a = E(X) và σ2 = V(X) thì X là ước lượng điểm khơng chệch và vững của a, n __ 221 2 S(XX)=−∑ k là ước lượng khơng chệch và vững của σ vì vậy với n khá lớn, ta cĩ thể n1− k1= coi __ Xa≈ và S2 ≈ σ2. b) Giả sử θ1 và θ2 là hai ước lượng điểm của tham số θ, γ = 1 – α ∈ (0; 1), khoảng (,θ12θ ) gọi là khoảng tin cậy của θ với độ tin cậy γ nếu P( θ1 < θ < θ2 ) = γ. Ý nghĩa của khoảng tin cậy là ở chỗ cĩ thể nĩi trong 100g% trường hợp lấy mẫu khoảng (,θθ12 ) chứa tham số chưa biết θ hay cũng vậy khẳng định θ1 < θ < θ2 cĩ thể tin cậy ở mức γ. 80
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN B. HOẠT ĐỘNG NHIỆM VỤ Sinh viên chọn một trong các hình thức tổ chức hoạt động sau: - Tự đọc thơng tin cơ bản rồi thảo luận theo nhĩm 3, 4 người hoặc - Theo sự hướng dẫn của giáo viên đọc thơng tin cơ bản. để thực hiện các nhiệm vụ sau: NHIỆM VỤ 1: P ( θ1 < θ < θ2 ) = γ = 1 – α hãy tính xác suất P(θ∉θ (12 , θ )). b) Hãy tính độ dài khoảng tin cậy cho bởi (1). ___ c) Chứng tỏ rằng: X là ước lượng khơng chênh lệch của a. S2 là ước lượng khơng chênh lệch của σ2. NHIỆM VỤ 2: __ Xa− 2 Cho biết P (| n | ≥ Cα) = α, trong đĩ S là phương sai mẫu, Cα là số nào đĩ chỉ phụ S thuộc vào α. Xác định khoảng tin cậy của a với độ tin cậy 1 – α. ĐÁNH GIÁ 4.1. Nếu θθ12, là khoảng tin cậy của θ với độ tin cậy γ < 1 thì cĩ thể nĩi θ ∈ (,θθ12 )được hay khơng? Vì sao? 4.2. Nếu P (θ ≥ θ2 ) = α thì khoảng tin cậy của θ với độ tin cậy 1 – α là khoảng nào? 81
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN TIỂU CHỦ ĐỀ 3.5. KHOẢNG TIN CẬY CỦA KÌ VỌNG a ĐỐI VỚI MẪU CĨ CỠ LỚN A. THƠNG TIN CƠ BẢN Giả sử (X1, X2, Xn) là một mẫu quan sát với cỡ mẫu lớn (n ≥ 30) về biến ngẫu nhiên X cĩ kì vọng a (chưa biết) và phương sai σ2. a) Nếu s = s0 đã biết thì khoảng tin cậy của a với độ tin cậy γ = 1 - α là khoảng từ ⎛ σ0 σ0 ⎞ ⎜ Xz.− α ; Xz.− α ⎟ y ⎝ 2 n 2 n ⎠ α y = ϕ (x) ở đây z α thoả mãn Φ( z α ) = 1 - . 2 2 2 α 2 x b) Nếu s chưa biết thỡ khoảng tin cậy của a với độ tin z α 2 ⎛⎞SS cậy γ = 1 - a là khoảng ⎜⎟Xz−+αα ;Xz . ⎝⎠22nn nn2 2 ⎛⎞ nx∑∑kk− ⎜⎟ x trong đĩ S = k1==⎝⎠ k1 . n(n− 1) B. HOẠT ĐỘNG HOẠT ĐỘNG 5.1. THỰC HÀNH ƯỚC LƯỢNG KÌ VỌNG a ĐỐI VỚI MẪU CĨ CỠ LỚN NHIỆM VỤ Giáo viên trình bày cho sinh viên nội dung thơng tin cơ bản để thực hiện các nhiệm vụ sau: Một cơng ty sản xuất bĩng đèn cho ra một loại bĩng đèn mới. Để đánh giá tuổi thọ trung bình của các bĩng đèn xuất xưởng, người ta chọn ngẫu nhiên 100 bĩng trong lơ hàng xuất xưởng đem thử và nhận được kết quả thời gian chiếu sáng trung bình của 100 bĩng đĩ là 1280 giờ. Hãy xác định tuổi thọ trung bình a của loại bĩng đèn đĩ với độ tin cậy 95%, biết rằng phương sai của tuổi thọ loại bĩng đèn đĩ là 196 h2. 82
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN NHIỆM VỤ 1: 2 Xác định n, X , α, σo . NHIỆM VỤ 2: Tra bảng phân phối chuẩn để tìm z0,025. NHIỆM VỤ 3: Tính cận dưới và cận trên của khoảng tin cậy từ cơng thức: σ0 X ± z α/2 . . n HOẠT ĐỘNG 5.2. THỰC HÀNH ƯỚC LƯỢNG SỐ TRUNG BÌNH a KHI PHƯƠNG SAI CHƯA BIẾT NHIỆM VỤ Để đánh giá độ tuổi trung bình của những người lao động trong một cơng ty lớn, người ta chọn ngẫu nhiên 50 người. Tuổi của họ được ghi lại trong bảng dưới đây: 22 58 40 43 32 34 45 38 19 42 33 16 49 29 30 43 37 19 21 62 60 41 28 35 37 51 37 65 57 26 27 31 33 24 34 28 39 43 26 38 42 40 31 34 38 35 29 33 32 33 Từ các số liệu trên, hãy cho ước lượng về độ tuổi trung bình của người lao động trong cơng ty đĩ với độ tin cậy 90%. NHIỆM VỤ 1: Với α = 1 − 0,90 = 0,10 từ bảng chuẩn, hãy tìm z0,05. NHIỆM VỤ 2: Tính X và S. NHIỆM VỤ 3: Xác định khoảng tin cậy cho kì vọng a. ĐÁNH GIÁ 83
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN 5.1. a) Để cĩ thể sử dụng được các khoảng tin cậy đã nêu, trong thực hành người ta cần chọn cỡ mẫu n lớn đến mức nào? b) z α/2 được tra từ bảng nào? Cĩ thể tìm z α/2 từ điều kiện α Φ(− zα/2) = được khơng? 2 c) Nêu ý nghĩa của các khoảng tin cậy ở trên. 5.2. Một trường đại học tiến hành điều tra xem trung bình một sinh viên tiêu bao nhiêu tiền cho việc gọi điện thoại trong một tháng. Sau khi hỏi 59 sinh viên thì nhận được kết quả như sau (đơn vị 1000 đồng) 14 18 22 30 36 28 42 79 36 52 15 47 95 16 27 111 37 63 127 23 31 70 27 11 30 147 72 37 25 7 33 29 35 41 48 15 29 73 26 15 26 15 31 57 40 18 85 28 32 22 37 60 41 35 26 20 58 23 33 Hãy xác định khoảng tin cậy 95% cho số tiền điện thoại trung bình của một sinh viên. THƠNG TIN PHẢN HỒI a) Trong hoạt động 5.1, n = 100 > 30 được coi là lớn σ0 = 14, X = 1280, α = 0,05, zα = 1,96. 2 b) Trong hoạt động 5.2, n = 50 > 30, σ chưa biết, α = 0,10, zα = 1,64, X = 36,38, 2 50(72,179)− (1819)2 S = = 11,07. 50,49 Từ đĩ ta cĩ khoảng tin cậy: 33,8 < a < 39. 84
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN TIỂU CHỦ ĐỀ 3.6. KHOẢNG TIN CẬY CHO KÌ VỌNG a VỚI CỠ MẪU NHỎ A. THƠNG TIN CƠ BẢN 2 Giả sử (X1, , Xn) là mẫu quan sát về X cĩ phân phối chuẩn N(a, σ ). Xa− a) Người ta chứng minh được rằng: Z = n cĩ phân phối N(0, 1) σ Xa− và T = n cĩ phân phối Student với n – 1 bậc tự do, nghĩa là T cĩ hàm mật độ dạng S C f(t) = , t ∈ R t2 n (1+ ) 2 n1− trong đĩ C là một hằng số xác định chỉ phụ thuộc vào n. α Do tầm quan trọng, người ta lập bảng tính sẵn để tìm tα/2(n − 1) thoả mãn P(T ≥ tα/2 (n – 1)) = . 2 Chẳng hạn với n = 13, n – 1 = 12, t0,025(12) = 2,201 n = 14, n – 1 = 13, t0,05(13) = 1,771. b) Từ đĩ khoảng tin cậy của a với độ tin cậy γ = 1 − α khi σ = σ0 đã biết là σo σo (X − zα/2. ; X + zα/2 . ). n n Khoảng tin cậy của a với độ tin cậy γ = 1 − α khi σ chưa biết là: SS (Xt−− (n1);Xt +− (n1)). αα/2nn /2 B. HOẠT ĐỘNG HOẠT ĐỘNG 6.1. THỰC HÀNH ƯỚC LƯỢNG KÌ VỌNG a KHI CỠ MẪU NHỎ NHIỆM VỤ: Sinh viên tự đọc thơng tin cơ bản sau đĩ thảo luận theo nhĩm 3, 4 người để thực hiện các nhiệm vụ sau: 85
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN Giả thiết rằng chiều cao của học sinh lớp 12 của một trường cĩ phân phối chuẩn. Để ước lượng chiều cao trung bỡnh, 15 nam lớp 12 của trường được chọn ngẫu nhiên để đo và thu được bảng số liệu sau (đơn vị là cm): 162,0 161,4 159,8 162,2 160,3 160,4 159,4 160,2 160,4 160,8 161,8 159,2 161,1 160,4 160,9 Xác định khoảng tin cậy về chiều cao trung bình của nam học sinh trường đĩ với độ tin cậy γ = 95%. NHIỆM VỤ 1: Từ bảng phân phối Student, tìm t0,025 (14) NHIỆM VỤ 2: Tính X, S. NHIỆM VỤ 3: Xác định khoảng tin cậy của chiều cao trung bình. ĐÁNH GIÁ 6.1. a) Với X cĩ phân phối chuẩn: N(a, σ2) Xa−− Xa nvà n σ S cĩ phân phối gì? Xa− b) Với n khá lớn, n cĩ phân phối gần với phân phối chuẩn tắc N(0, 1) cĩ đúng S khơng? 6.2. Để ước lượng tuổi thọ trung bình a của một loại pin, một mẫu ngẫu nhiên gồm 16 chiếc pin được kiểm tra. Kết quả được ghi lại trong bảng sau (đơn vị giờ): 17,2 17,3 17,3 17,4 17,4 17,5 17,6 16,6 16,6 16,7 16,5 17,3 17,1 17,0 17,1 17,0 Giả thiết rằng tuổi thọ của loại pin này cĩ phân phối chuẩn với σ0 = 3,43. Tìm khoảng tin cậy của a với độ tin cậy γ = 95%. 86
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN THƠNG TIN PHẢN HỒI 2410,39 Đối với hoạt động 6.1, t0,025(14) = 2,145; X = = 160,69; 15 S = 0,81 = 0,90. Từ đĩ ta cĩ khoảng tin cậy của a là: 0,90 0,90 160,69 - 2,145 < a < 160,69 + 2,145 . 15 15 Tính ra ta được 160,19 < a < 161,18. 87
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN TIỂU CHỦ ĐỀ 3.7. KHOẢNG TIN CẬY CHO TỈ LỆ TRONG TẬP TỔNG QUÁT A. THƠNG TIN CƠ BẢN Xét một tập hợp tổng quát với số lượng rất lớn các phần tử, được phân làm hai loại: loại cĩ tính chất A và loại khơng cĩ tính chất A. Tỉ lệ các đối tượng cĩ tính chất A là p chưa biết cần ước lượng. Một mẫu gồm n đối tượng được chọn ngẫu nhiên để kiểm tra. Ta thấy cĩ m đối m tượng cĩ tính chất A. Tỉ số p = là ước lượng điểm cho p. n Theo định lí giới hạn trung tâm: với n khá lớn đại lượng: pp− Z = n . p(1− p) cĩ phân phối xấp xỉ phân phối chuẩn N(0; 1). Vì vậy trong thực hành ta coi Z cĩ phân phối N(0; 1). Từ đĩ tương tự như trong tiểu chủ đề 5 ta nhận được khoảng tin cậy của p với độ tin cậy γ = 1 − α là ⎛⎞p(1−− p) p(1 p) pz−+ ,pz . ⎜⎟αα ⎝⎠22nn B. HOẠT ĐỘNG HOẠT ĐỘNG 7.1. THỰC HÀNH ƯỚC LƯỢNG TỈ LỆ HAY XÁC SUẤT ρ CỦA TỔNG THỂ NHIỆM VỤ Chọn một trong các hình thức tổ chức hoạt động sau: − Giáo viên hướng dẫn sinh viên đọc thơng tin cơ bản hoặc − Tự sinh viên thảo luận theo nhĩm 3, 4 người để thực hiện các nhiệm vụ sau: Một hãng sản xuất xà phịng giặt muốn đánh giá tỉ lệ người tiêu dùng sử dụng sản phẩm của hãng. Người ta phỏng vấn ngẫu nhiên 6841 người tiêu dùng, cĩ 2470 người dùng sản phẩm của hãng. Hãy xác định khoảng tin cậy cho tỉ lệ p khách hàng dùng sản phẩm của hãng với độ tin cậy 95%. 88
NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN NHIỆM VỤ 1: Xác định α = 1 − γ. Tìm zα/2 từ bảng phân phối chuẩn. NHIỆM VỤ 2: Tính p, q = 1 − p. NHIỆM VỤ 3: Tính các cận của khoảng tin cậy theo cơng thức: p(1− p) p = p ± zα/2. . n NHIỆM VỤ 4: Nêu kết luận về kết quả tìm được. ĐÁNH GIÁ 7.1. a) Tại sao địi hỏi cỡ mẫu n khá lớn? b) Tại sao lại tìm zα/2 từ bảng chuẩn? c) Với tập tổng quát cĩ số phần tử nhỏ thì bài tốn tìm khoảng tin cậy tỉ lệ p được giải như thế nào? 7.2. Trong một đợt thăm dị 200 ý kiến khách hàng thấy cĩ 162 ý kiến trả lời thích dùng loại sản phẩm A.Tìm khoảng tin cậy với mức tin cậy 95% cho tỉ lệ p của những người thích dùng loại sản phẩm A. THƠNG TIN PHẢN HỒI a) Đối với hoạt động 7.1: 2470 α = 1 − 0,95 = 0,05; z0,025 = 1,96 và p = = 0,361. 6841 Khoảng tin cậy cần tìm là 0,361.0,639 0,361.0,639 (0,361 – 1,96 ; 0,361+ 1,96 ) 6841 6841 Tính ra ta được khoảng (0,350; 0,372). b) Cỡ mẫu n để phân phối của Z tiệm cận tốt phân phối chuẩn. c) Nếu tập tổng quát ít phần tử thì ta cĩ thể tính trực tiếp p bằng cách kiểm tra tồn bộ. 89