›
›

Bài giảng Đại số, giải tích ứng dụng - Chương V: Phép tính vi phân hàm nhiều biến - Nguyễn Thị Nhung (Phần 2)

pdf 16 trang hapham 1560
Download
Bạn đang xem tài liệu "Bài giảng Đại số, giải tích ứng dụng - Chương V: Phép tính vi phân hàm nhiều biến - Nguyễn Thị Nhung (Phần 2)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_dai_so_giai_tich_ung_dung_chuong_v_phep_tinh_vi_ph.pdf

Nội dung text: Bài giảng Đại số, giải tích ứng dụng - Chương V: Phép tính vi phân hàm nhiều biến - Nguyễn Thị Nhung (Phần 2)

  1. Ghi chú Ôi số, giÊi tẵch v ựng dửng Nguyạn Thà Nhung Bở mổn ToĂn - Ôi hồc Thông Long Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 1 / 47 Ghi chú Chữỡng V Ph²p tẵnh vi phƠn h m nhiãu bián Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 2 / 47 Ghi chú B i toĂn tối ữu cho h m nhiãu bián Giợi thiằu b i toĂn tối ữu cho h m nhiãu bián B i toĂn B i toĂn tối ữu cho h m nhiãu bián: Cho h m số n bián y  f px1, x2, , xnq. Tẳm x  px1, x2, , xnq º h m số y  f px1, x2, , xnq Ôt GTLN v GTNN. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 3 / 47
  2. Ghi chú B i toĂn tối ữu cho h m nhiãu bián Cỹc trà cừa h m nhiãu bián iãu kiằn cƯn cừa b i toĂn tẳm cỹc trà B i toĂn Cho h m số n bián y  f px1, x2, , xnq. Tẳm x  px1, x2, , xnq º h m số y  f px1, x2, , xnq Ôt cỹc trà. iãu kiằn cƯn ành lẵ Náu h m số y  f px1, x2, , xnq Ôt cỹc trà tÔi X0  px10, x20, , xn0q thẳ tĐt cÊ cĂc Ôo h m riảng cĐp mởt cừa f tÔi X0 ãu bơng 0: f 1 pX q  f 1 pX q   f 1 pX q  0 x1 0 x2 0 xn 0 . Nhên x²t: ành lẵ (1.3) ch¿ ữa cho ta iãu kiằn cƯn trong b i toĂn tẳm cỹc trà chự chữa ữa ra iãu kiằn ừ, tực l phĂt biºu Êo lÔi cừa ành lẵ (1.3) l khổng úng. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 4 / 47 Ghi chú B i toĂn tối ữu cho h m nhiãu bián Cỹc trà cừa h m nhiãu bián KhĂi niằm vã giĂ trà dứng cừa h m số ành nghắa Cho h m số y  f px1, x2, , xnq. GiÊ sỷ tÔi X0  px10, x20, , xn0q ta cõ f 1 pX q  0 i  1 n. Khi õ xi 0 , , , X0  px10, x20, , xn0q ữủc gồi l giĂ trà tợi hÔn cừa h m số y  f px1, x2, , xnq; f pX0q ữủc gồi l giĂ trà dứng cừa cừa h m số y  f px1, x2, , xnq; pX0, f pX0qq ữủc gồi l iºm dứng cừa h m số y  f px1, x2, , xnq. Nhên x²t: GiĂ trà cỹc trà cừa h m số l giĂ trà dứng những giĂ trà dứng chữa h¯n  l giĂ trà cỹc trà cừa h m số. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 5 / 47 Ghi chú B i toĂn tối ữu cho h m nhiãu bián Cỹc trà cừa h m nhiãu bián Ma trên Hess ành nghắa Cho h m số y  f px x x q. GiÊ sỷ f 2 pX q l cĂc Ôo h m riảng 1, 2, , n xi xj 0 cĐp hai cừa f tÔi X0  px10, x20, , xn0q. Khi õ ma trên Hess cừa y  f px1, x2, , xnq tÔi X0, kẵ hiằu l HpX0q, ữủc xĂc ành bði: Ô f 2 px q f 2 px q f 2 px q x1x1 0 x1x2 0 x1xn 0 Ư 2 2 2  Ưfx x px0q fx x px0q fx x px0q HpX q  2 1 2 2 2 n 0 Ư . . .  Ơ . . . f 2 px q f 2 px q f 2 px q xnx1 0 xnx2 0 xnxn 0 Nhên x²t: Náu y  f px1, x2, , xnq cõ cĂc Ôo h m riảng cĐp hai liản tửc thẳ f 2  f 2 . Do õ HpX q l ma trên ối xựng hay xi xj xj xi 0 t HpX0q  H pX0q. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 6 / 47
  3. Ghi chú B i toĂn tối ữu cho h m nhiãu bián Cỹc trà cừa h m nhiãu bián Vẵ dử Tẳm ma trên Hess cừa h m số sau: f px, y, zq  x3 Ă 2y 2 z2 Ă 3x 4y z. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 7 / 47 Ghi chú B i toĂn tối ữu cho h m nhiãu bián Cỹc trà cừa h m nhiãu bián Lới giÊi cho vẵ dử Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 8 / 47 Ghi chú B i toĂn tối ữu cho h m nhiãu bián Cỹc trà cừa h m nhiãu bián iãu kiằn ừ tẳm cỹc trà h m số nhiãu bián ành lẵ Cho h m số y  f px1, x2, , xnq. GiÊ sỷ tÔi X0  px10, x20, , xn0q ta cõ 1 f pX0q  0 v HpX0q l ma trên Hess cừa h m số xĂc ành tÔi X0. Khi õ Náu HpX0q xĂc ành dữỡng thẳ h m số Ôt cỹc tiºu tÔi X0. Náu HpX0q xĂc ành Ơm thẳ h m số Ôt cỹc Ôi tÔi X0. Náu HpX0q khổng xĂc ành thẳ h m số khổng Ôt cỹc trà tÔi X0. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 9 / 47
  4. Ghi chú B i toĂn tối ữu cho h m nhiãu bián Tẳm GTLN v GTNN cừa h m nhiãu bián GTLN v GTNN cừa h m số nhiãu bián ành lẵ Cho h m số y  f px1, x2, , xnq. GiÊ sỷ tÔi X0  px10, x20, , xn0q ta cõ f 1 pX q  0 v HpX q l ma trên Hess cừa h m số xĂc ành tÔi X . Khi õ xi 0 Náu HpX q xĂc ành dữỡng vợi mồi X thẳ h m số Ôt cỹc tiºu duy nhĐt tÔi X0 v h m số cụng Ôt GTNN tÔi X0. Náu HpX q xĂc ành Ơm vợi mồi X thẳ h m số Ôt cỹc Ôi duy nhĐt tÔi X0 v h m số cụng Ôt GTLN tÔi X0. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 10 / 47 Ghi chú B i toĂn tối ữu cho h m nhiãu bián Tẳm GTLN v GTNN cừa h m nhiãu bián Vẵ dử Tẳm cỹc trà cừa h m số sau: f px, y, zq  x3 Ă 2y 2 z2 Ă 3x 4y z. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 11 / 47 Ghi chú B i toĂn tối ữu cho h m nhiãu bián Tẳm GTLN v GTNN cừa h m nhiãu bián Lới giÊi cho vẵ dử Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 12 / 47
  5. Ghi chú B i toĂn tối ữu cho h m nhiãu bián Tẳm GTLN v GTNN cừa h m nhiãu bián Vẵ dử Tẳm cỹc trà cừa h m số sau: 3 2 2 f px1, x2, x3q  Ăx1 3x1x3 2x2 Ă x2 Ă 3x3 . Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 13 / 47 Ghi chú B i toĂn tối ữu cho h m nhiãu bián Tẳm GTLN v GTNN cừa h m nhiãu bián Lới giÊi cho vẵ dử Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 14 / 47 Ghi chú B i toĂn tối ữu cho h m nhiãu bián B i toĂn tối a hõa lủi nhuên cừa doanh nghiằp B i toĂn tối a hõa lủi nhuên cừa doanh nghiằp sÊn xuĐt nhiãu sÊn phâm B i toĂn Mởt doanh nghiằp sÊn xuĐt hai h ng hõa cõ giĂ bĂn mội h ng hõa tữỡng ựng l P1, P2, h m tờng chi phẵ cừa doanh nghiằp l TC  TCpQ1, Q2q. Tẳm mực sÊn lữủng Q1, Q2 º lủi nhuên cừa doanh nghiằp Ôt tối a. Ta cõ h m doanh thu trong thà trữớng cÔnh tranh ho n hÊo vợi giĂ cừa hai h ng hõa khổng ời l P1  P10, P2  P20 l : TR  P10Q1 P20Q2. H m doanh thu trong thà trữớng ởc quyãn: TR  P1Q1 P2Q2. H m tờng chi phẵ C  CpQ1, Q2q. H m lủi nhuên Π  TRpQ1, Q2q Ă TCpQ1, Q2q. Tẳm Q1, Q2 Ơ 0 º h m lủi nhuên Π Ôt giĂ trà lợn nhĐt. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 15 / 47
  6. Ghi chú B i toĂn tối ữu cho h m nhiãu bián B i toĂn tối a hõa lủi nhuên cừa doanh nghiằp Vẵ dử Mởt doanh nghiằp sÊn xuĐt hai h ng hõa trong thà trữớng cÔnh tranh ho n hÊo cõ giĂ bĂn mội m°t h ng tữỡng ựng l P10  4, P20  6.H m 2 2 tờng chi phẵ TC  TCpQ1, Q2q  2Q1 Q1Q2 2Q2 . Tẳm mực sÊn lữủng Q1, Q2 º tối a hõa lủi nhuên cừa doanh nghiằp. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 16 / 47 Ghi chú B i toĂn tối ữu cho h m nhiãu bián B i toĂn tối a hõa lủi nhuên cừa doanh nghiằp Vẵ dử Mởt doanh nghiằp sÊn xuĐt hai h ng hõa trong thà trữớng cÔnh tranh ho n hÊo cõ giĂ bĂn mội m°t h ng tữỡng ựng l P10  4, P20  6.H m 2 2 tờng chi phẵ TC  TCpQ1, Q2q  2Q1 Q1Q2 2Q2 . Tẳm mực sÊn lữủng Q1, Q2 º tối a hõa lủi nhuên cừa doanh nghiằp. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 17 / 47 Ghi chú B i toĂn tối ữu cho h m nhiãu bián B i toĂn tối a hõa lủi nhuên cừa doanh nghiằp Vẵ dử Mởt doanh nghiằp sÊn xuĐt hai h ng hõa trong thà trữớng ởc quyãn cõ mực sÊn lữủng Q1, Q2 ữủc tẵnh theo mực giĂ P1, P2 nhữ sau: Q1  40 Ă 2P1 P2, Q2  15 P1 Ă P2, 2 2 giÊ sỷ chi phẵ º sÊn xuĐt hai h ng hõa l TC  Q1 Q1Q2 Q2 . a. Doanh nghiằp sÊn xuĐt hai h ng hõa bờ sung hay thay thá nhau? b. Tẳm mực sÊn lữủng Q1, Q2 º tối a hõa lủi nhuên cừa doanh nghiằp. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 18 / 47
  7. Ghi chú B i toĂn tối ữu cho h m nhiãu bián B i toĂn tối a hõa lủi nhuên cừa doanh nghiằp Lới giÊi cho vẵ dử Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 19 / 47 Ghi chú B i toĂn tối ữu cho h m nhiãu bián B i toĂn tối a hõa lủi nhuên cừa doanh nghiằp Lới giÊi cho vẵ dử Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 20 / 47 Ghi chú B i toĂn tối ữu cho h m nhiãu bián B i toĂn tối a hõa lủi nhuên cừa doanh nghiằp B i toĂn phƠn biằt giĂ B i toĂn Mởt doanh nghiằp ởc quyãn sÊn xuĐt mởt sÊn phâm v bĂn ð ba thà trữớng khĂc nhau vợi mực sÊn lữủng tữỡng ựng l Q1, Q2, Q3 v giĂ tữỡng ựng l P1, P2, P3. Tẳm mực sÊn lữủng v mực giĂ cƯn bĂn ð mội thà trữớng º lủi nhuên thu vã l tối a. Gồi R1, R2, R3 tữỡng ựng l doanh thu ð thà trữớng thự nhĐt, hai, ba. Ta cõ h m tờng doanh thu cừa doanh nghiằp TR  R1pQ1q R2pQ2q R3pQ3q. H m tờng chi phẵ TC  CpQq, Q  Q1 Q2 Q3. H m lủi nhuên cừa doanh nghiằp Π  TR Ă TC  R1pQ1q R2pQ2q R3pQ3q Ă CpQq Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 21 / 47
  8. Ghi chú B i toĂn tối ữu cho h m nhiãu bián B i toĂn tối a hõa lủi nhuên cừa doanh nghiằp iãu kiằn cƯn trong B i toĂn phƠn biằt giĂ iãu kiằn cƯn: 1  1  1  0. ΠQ1 ΠQ2 ΠQ3 Ta lÔi cõ: 1  R1 pQ q Ă C 1pQqQ1  R1 pQ q Ă C 1pQq  MR Ă MC ΠQ1 1 1 Q1 1 1 1 . Tữỡng tỹ 1  MR Ă MC, 1  MR Ă MC. ΠQ2 2 ΠQ3 3 Nhữ vêy iãu kiằn cƯn cõ thº viát lÔi th nh: MR1  MR2  MR3  MC. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 22 / 47 Ghi chú B i toĂn tối ữu cho h m nhiãu bián B i toĂn tối a hõa lủi nhuên cừa doanh nghiằp iãu kiằn ừ trong b i toĂn phƠn biằt giĂ Ta cõ cĂc Ôo h m riảng cĐp hai l : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Π 2  R1 pQ1qĂC pQq, Π 2  R2 pQ2qĂC pQq, Π 2  R3 pQ3qĂC pQq. Q1 Q2 Q3 1  1  1  1  1  1  ĂC 2pQq ΠQ1Q2 ΠQ2Q1 ΠQ1Q3 ΠQ3Q1 ΠQ2Q3 ΠQ3Q2 . Ma trên Hess Ô 2 2 2 2 R1 Ă C ĂC ĂC Ơ 2 2 2 2 ĂC R2 Ă C ĂC 2 2 2 2 ĂC ĂC R3 Ă C Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 23 / 47 Ghi chú B i toĂn tối ữu cho h m nhiãu bián B i toĂn tối a hõa lủi nhuên cừa doanh nghiằp Vẵ dử Mởt doanh nghiằp ởc quyãn sÊn xuĐt mởt sÊn phâm v bĂn ð ba thà trữớng khĂc nhau vợi mực sÊn lữủng tữỡng ựng l Q1, Q2, Q3 v giĂ tữỡng ựng l P1, P2, P3 cho bði: P1  63 Ă 4Q1, P2  105 Ă 5Q2, P3  75 Ă 6Q3 H m tờng chi phẵ cừa doanh nghiằp l : TC  20 15Q, Q  Q1 Q2 Q3. a. Tẳm mực giĂ, mực sÊn lữủng l m tối a hõa lủi nhuên cừa doanh nghiằp. b. TÔi mực giĂ v mực sÊn lữủng tối ữu, tẵnh ở co giÂn cừa cƯu cừa doanh nghiằp trản tứng thà trữớng. Nhên x²t kát quÊ tẳm ữủc. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 24 / 47
  9. Ghi chú B i toĂn tối ữu cho h m nhiãu bián B i toĂn tối a hõa lủi nhuên cừa doanh nghiằp Lới giÊi cho vẵ dử Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 25 / 47 Ghi chú B i toĂn tối ữu cho h m nhiãu bián B i toĂn tối a hõa lủi nhuên cừa doanh nghiằp Lới giÊi cho vẵ dử Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 26 / 47 Ghi chú B i toĂn tối ữu cõ iãu kiằn r ng buởc Giợi thiằu b i toĂn tối ữu cõ iãu kiằn r ng buởc B i toĂn B i toĂn tối ữu cõ iãu kiằn r ng buởc: Tẳm GTLN v GTNN cừa h m số n bián y  f px1, x2, , xnq vợi iãu kiằn r ng buởc gpx1, x2, , xnq  C. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 27 / 47
  10. Ghi chú B i toĂn tối ữu cõ iãu kiằn r ng buởc Cỹc trà cõ iãu kiằn r ng buởc Phữỡng phĂp nhƠn tỷ Largrange B i toĂn B i toĂn cỹc trà cõ iãu kiằn r ng buởc: Tẳm cỹc trà cừa h m số n bián y  f px1, x2, , xnq vợi iãu kiằn r ng buởc gpx1, x2, , xnq  C. ành nghắa H m Largrange cừa h m số y  f px1, x2, , xnq thọa mÂn iãu kiằn r ng buởc gpx1, x2, , xnq  C ữủc xĂc ành bði Lpx1, , xn, λq  f px1, x2, , xnq Ă λpC Ă gpx1, x2, , xnqq, trong õ λ l nhƠn tỷ Largrange. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 28 / 47 Ghi chú B i toĂn tối ữu cõ iãu kiằn r ng buởc Cỹc trà cõ iãu kiằn r ng buởc Phữỡng phĂp nhƠn tỷ Largrange Nhên x²t: TÔi X  px1, x2, , xnq thọa mÂn iãu kiằn r ng buởc gpX q  C thẳ f pX q  LpX , λq. Ta cõ thº chựng minh ữủc náu h m Largrange Ôt cỹc trà tÔi pX , λq thẳ h m f pX q Ôt cỹc trà tÔi X vợi iãu kiằn r ng buởc gpX q  C. Nhữ vêy º tẳm cỹc trà cừa h m f pX q vợi iãu kiằn r ng buởc gpX q  C, ta tẳm cỹc trà cừa h m Largrange LpX , λq khổng cõ iãu kiằn r ng buởc v giĂ trà cỹc trà cừa hai h m l nhữ nhau. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 29 / 47 Ghi chú B i toĂn tối ữu cõ iãu kiằn r ng buởc Cỹc trà cõ iãu kiằn r ng buởc iãu kiằn cƯn cừa b i toĂn tẳm cỹc trà iãu kiằn cƯn ành lẵ Náu h m Largrange Lpx1, , xn, λq Ôt cỹc trà tÔi pX , λq thẳ tĐt cÊ cĂc Ôo h m riảng cĐp mởt cừa L tÔi pX , λq ãu bơng 0: L1 pX q  L1 pX q   L1 pX q  L1 pX q  0 x1 , λ x2 , λ xn , λ λ , λ . hay $ ' f 1 pX q Ă λg 1 pX q  0 ' x1 x1 ' f 1 pX q Ă g 1 pX q  0 & x2 λ x2 . . . . . ., ' ' f 1 pX q Ă λg 1 pX q  0 %' xn xn C Ă gpX q  0 Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 30 / 47
  11. Ghi chú B i toĂn tối ữu cõ iãu kiằn r ng buởc Cỹc trà cõ iãu kiằn r ng buởc KhĂi niằm vã giĂ trà dứng cừa h m số ành nghắa Cho LpX , λq l h m Largrange cừa h m số y  f pX q vợi iãu kiằn r ng buởc gpX q  C. GiÊ sỷ tÔi pX , λq ta cõ L1 pX q  0 i  1 n L1 pX q  0 xi , λ , , , , λ , λ . Khi õ pX , λq ữủc gồi l giĂ trà tợi hÔn cừa h m Largrange LpX , λq; LpX , λq ữủc gồi l giĂ trà dứng cừa cừa h m Largrange LpX , λq; ppX , λq, LpX , λqq ữủc gồi l iºm dứng cừa h m Largrange LpX , λq. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 31 / 47 Ghi chú B i toĂn tối ữu cõ iãu kiằn r ng buởc Cỹc trà cõ iãu kiằn r ng buởc Ma trên biản Hess ành nghắa Gồi LpX , λq l h m Largrange cừa h m số y  f pX q vợi iãu kiằn r ng buởc gpX q  C. Khi õ ma trên biản Hess cừa L tÔi pX , λq, kẵ hiằu l HpX , λq, ữủc xĂc ành bði: Ô 0 g 1 g 1 g 1 x1 x2 xn Ưg 1 L2 L2 L2  Ư x1 x2 x1x2 x1xn  Ư 1  g 1 L2 L2 L2 HpX q  Ư x2 x2x1 2 x2xn  , λ Ư x2  Ư . . . .  Ơ . . . . 1 2 2 2 gx Lx x Lx x L 2 n n 1 n 2 xn Nhên x²t: Ma trên biản Hess cừa h m Largrange LpX , λq l ma trên cõ cĐp l n 1. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 32 / 47 Ghi chú B i toĂn tối ữu cõ iãu kiằn r ng buởc Cỹc trà cõ iãu kiằn r ng buởc Ma trên biản Hess ành nghắa Vợi mội ma trên biản Hess HpX , λq, ta ành nghắa cĂc ma trên con Hk pX , λq, k Ơ 2 ữủc xĂc ành bði: Ô 0 g 1 g 1 g 1 x1 x2 xk Ưg 1 L2 L2 L2  x1 2 x1x2 x1x Ư x1 k  Ưg 1 L2 L2 L2  H pX q  Ư x2 x2x1 x2 x2xk  k , λ Ư 2  Ư . . . .  Ơ . . . . g 1 L2 L2 L2 xk xk x1 xk x2 2 xk Nhên x²t: Ma trên Hk pX , λq l ma trên cõ cĐp l k 1. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 33 / 47
  12. Ghi chú B i toĂn tối ữu cõ iãu kiằn r ng buởc Cỹc trà cõ iãu kiằn r ng buởc iãu kiằn ừ tẳm cỹc trà cõ iãu kiằn r ng buởc ành lẵ Cho LpX , λq l h m Largrange cừa h m số y  f pX q vợi iãu kiằn r ng buởc gpX q  C. GiÊ sỷ tÔi LpX , λq l giĂ trà dứng cừa h m số. Khi õ k H m Largrange Ôt cỹc Ôi tÔi pX , λq náu pĂ1q |Hk | Ă 0, k Ơ 2, tực l : n |H2pX , λq| Ă 0, |H3pX , λq| 0, , pĂ1q |HnpX , λq| Ă 0. H m Largrange Ôt cỹc tiºu tÔi pX , λq náu |Hk | 0, k Ơ 2, tực l : |H2pX , λq| 0, |H3pX , λq| 0, , |HnpX , λq| 0. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 34 / 47 Ghi chú B i toĂn tối ữu cõ iãu kiằn r ng buởc Cỹc trà cõ iãu kiằn r ng buởc iãu kiằn ừ tẳm cỹc trà cõ iãu kiằn r ng buởc Khi n = 2, ta cõ H m Largrange Ôt cỹc Ôi tÔi pX , λq náu |H2pX | Ă 0 H m Largrange Ôt cỹc tiºu tÔi pX , λq náu |H2pX , λq| 0. Khi n = 3, ta cõ H m Largrange Ôt cỹc Ôi tÔi pX , λq náu |H2pX , λq| Ă 0, |H3pX , λq| 0. H m Largrange Ôt cỹc tiºu tÔi pX , λq náu |H2pX , λq| 0, |H3pX , λq| 0. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 35 / 47 Ghi chú B i toĂn tối ữu cõ iãu kiằn r ng buởc Cỹc trà cõ iãu kiằn r ng buởc Vẵ dử Tẳm cỹc trà cừa h m số: 2 2 f px1, x2q  x1 x2 thọa mÂn iãu kiằn r ng buởc x1 4x2  2. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 36 / 47
  13. Ghi chú B i toĂn tối ữu cõ iãu kiằn r ng buởc Cỹc trà cõ iãu kiằn r ng buởc Lới giÊi cho vẵ dử Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 37 / 47 Ghi chú B i toĂn tối ữu cõ iãu kiằn r ng buởc ị nghắa cừa nhƠn tỷ Largrange ị nghắa cừa nhƠn tỷ Largrange GiÊ sỷ h m Largrange L Ôt cỹc trà L tÔi pX , λq. Khi õ ta cõ L  f pX q λpC Ă gpX qq. Ta x²t sỹ thay ời cừa L theo sỹ thay ời cừa iãu kiằn r ng buởc C. LĐy vi phƠn cừa L theo C ta ữủc dL  dc λ. Nhên x²t: λ o giĂ trà cên biản tối ữu L theo iãu kiằn r ng buởc C; Khi giĂ trà r ng buởc tông 1 ỡn và thẳ giĂ trà tối ữu L tông xĐp x¿ mởt lữủng λ. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 38 / 47 Ghi chú B i toĂn tối ữu cõ iãu kiằn r ng buởc ị nghắa cừa nhƠn tỷ Largrange Vẵ dử Tẳm cỹc trà cừa h m số sau: 2 2 f px1, x2q  x1 x2 thọa mÂn iãu kiằn r ng buởc x1 4x2  3. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 39 / 47
  14. Ghi chú B i toĂn tối ữu cõ iãu kiằn r ng buởc GTLN v GTNN trong cỹc trà cõ iãu kiằn r ng buởc GTLN v GTNN trong cỹc trà cõ iãu kiằn r ng buởc ành lẵ Cho h m số y  f pX q r ng buởc bði iãu kiằn gpX q  C. Khi õ trong mởt số trữớng hủp sau giĂ trà cỹc trà cừa h m f pX q cõ thº suy ra GTNN v GTLN tữỡng ựng: Khi h m f cõ dÔng f px, yq  Apx aqαpy bqβ, A Ă 0, 0 α 1, 0 β 1 v h m g cõ dÔng tuyán tẵnh gpx, yq  b1x b2y thẳ giĂ trà cỹc Ôi cừa h m f px, yq cụng chẵnh l giĂ trà lợn nhĐt cừa h m số. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 40 / 47 Ghi chú B i toĂn tối ữu cõ iãu kiằn r ng buởc GTLN v GTNN trong cỹc trà cõ iãu kiằn r ng buởc GTLN v GTNN trong cỹc trà cõ iãu kiằn r ng buởc ành lẵ Khi h m f cõ dÔng tuyán tẵnh f px, yq  a1x a2y v h m g cõ dÔng tuyán tẵnh gpx, yq  Apx aqαpy bqβ, A Ă 0, 0 α 1, 0 β 1 thẳ giĂ trà cỹc tiºu cừa h m f px, yq cụng chẵnh l giĂ trà nhọ nhĐt cừa h m số. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 41 / 47 Ghi chú B i toĂn tối ữu cõ iãu kiằn r ng buởc B i toĂn tối a hõa ẵch lủi cừa ngữới tiảu dũng B i toĂn tối a hõa ẵch lủi cừa ngữới tiảu dũng B i toĂn GiÊ sỷ ẵch lủi thu ữủc vã cừa mởt cĂ nhƠn khi mua h ng hõa thự nhĐt v thự 1 1 hai vợi số lữủng tữỡng ựng l x, y cho bði h m U  Upx, yq, Ux Ă 0, Uy Ă 0. Náu giĂ bĂn mội h ng hõa l Px , Py v ngữới õ ch¿ ữủc mua trong mởt lữủng tiãn l B. Tẵnh số lữủng x, y mội h ng hõa cƯn mua º lủi ẵch thu vã tối a. Tẳm giĂ trà x Ơ 0, y Ơ 0 º h m Upx, yq r ng buởc bði iãu kiằn xPx yPy  B Ôt giĂ trà lợn nhĐt. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 42 / 47
  15. Ghi chú B i toĂn tối ữu cõ iãu kiằn r ng buởc B i toĂn tối a hõa ẵch lủi cừa ngữới tiảu dũng Vẵ dử GiÊ sỷ ẵch lủi thu ữủc vã cừa mởt cĂ nhƠn khi mua h ng hõa thự nhĐt v thự hai vợi số lữủnga tữỡng ựng l x, y cho bði h m U  Upx, yq  px 2qpy 3q. Náu giĂ bĂn mội h ng hõa l Px  4, Py  8 v ngữới õ ch¿ ữủc mua trong mởt lữủng tiãn l B  120. Tẵnh số lữủng x, y mội h ng hõa cƯn mua º lủi ẵch thu vã tối a. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 43 / 47 Ghi chú B i toĂn tối ữu cõ iãu kiằn r ng buởc B i toĂn tối a hõa ẵch lủi cừa ngữới tiảu dũng Lới giÊi cho vẵ dử Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 44 / 47 Ghi chú B i toĂn tối a hõa sÊn phâm Ưu ra v tối thiºu hõa chi phẵ Ưu B i toĂn tối ữu cõ iãu kiằn r ng buởc v o B i toĂn tối a hõa sÊn phâm Ưu ra v tối thiºu hõa chi phẵ Ưu v o B i toĂn Mởt doanh nghiằp cõ hai bián Ưu v o vốn v lao ởng tữỡng ựng l K, L, sÊn lữủng Ưu ra tẵnh bði Q  QpK, Lq. GiÊ sỷ chi phẵ thuả mởt ỡn và K, L tữỡng ựng l PK , PL. a. Cố ành sÊn lữủng Ưu ra QpK, Lq  Q0. Tẳm chi phẵ tối thiºu º sÊn xuĐt Q0 ỡn và sÊn phâm. b. Cố ành chi phẵ sÊn xuĐt C  C0. Tẳm mực sÊn lữủng tối a náu dũng lữủng chi phẵ l C0. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 45 / 47
  16. Ghi chú B i toĂn tối a hõa sÊn phâm Ưu ra v tối thiºu hõa chi phẵ Ưu B i toĂn tối ữu cõ iãu kiằn r ng buởc v o B i toĂn tối a hõa sÊn phâm Ưu ra v tối thiºu hõa chi phẵ Ưu v o Ta cõ sÊn lữủng Ưu ra Q  QpK, Lq v chi phẵ dũng º sÊn xuĐt ra Q ỡn và sÊn phâm l C  PK .K PL.L. Khi õ º giÊi quyát b i toĂn kinh tá °t ra ð trản ta qui vã b i toĂn tẳm cỹc trà cõ iãu kiằn r ng buởc, cử thº l : a. Tẳm giĂ trà cỹc tiºu cừa h m C  PK .K PL.L thọa mÂn iãu kiằn r ng buởc QpK, Lq  Q0. b. Tẳm giĂ trà cỹc Ôi cừa Q  QpK, Lq thọa mÂn iãu kiằn r ng buởc PK .K PL.L  C0. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 46 / 47 Ghi chú B i toĂn tối a hõa sÊn phâm Ưu ra v tối thiºu hõa chi phẵ Ưu B i toĂn tối ữu cõ iãu kiằn r ng buởc v o Vẵ dử GiÊ sỷ mởt doanh nghiằp cõ h m sÊn xuĐt Q tẵnh theo số ỡn và Ưu v o l vốn K v lao ởng L nhữ sau: Q  25K 0.5L0.5. GiĂ cừa mội ỡn và K, L lƯn lữủt l 12$ v 3$. a. Tẳm chi phẵ tối thiºu º sÊn xuĐt ra 1250 ỡn và sÊn phâm. b. HÂy ch¿ ra rơng vợi chi phẵ Ưu v o tối thiºu tẵnh ữủc ð cƠu paq, số ỡn và sÊn phâm tối a sÊn xuĐt ữủc cụng úng bơng 1250. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 47 / 47 Ghi chú