Bài giảng môn Xác suất và thống kê - Đoàn Vương Nguyên

pdf

33 trang hapham 50

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng môn Xác suất và thống kê - Đoàn Vương Nguyên", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bai_giang_mon_xac_suat_va_thong_ke_doan_vuong_nguyen.pdf

Nội dung text: Bài giảng môn Xác suất và thống kê - Đoàn Vương Nguyên

ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 05, 2011 dvntailieu.wordpress.com PH ẦN II. LÝ THUY ẾT TH ỐNG KÊ XÁC SU T & TH NG KÊ (Statistical theory ) CAO ĐNG Ch ươ ng 4. Mẫu th ống kê và Ước l ượ ng tham s ố Ch ươ ng 5. Ki ểm đị nh Gi ả thuy ết Th ống kê PHÂN PH I CH ƯƠ NG TRÌNH Ch ươ ng 6. Bài toán Tươ ng quan và Hồi quy S ti t: 30 Tài li ệu tham kh ảo 1. Nguy ễn Phú Vinh – Giáo trình Xác su ất – Th ống kê PH ẦN I. LÝ THUY ẾT XÁC SU ẤT và Ứng d ụng – NXB Th ống kê. (Probability theory ) 2. Đinh Ng ọc Thanh – Giáo trình Xác su ất Th ống kê Ch ươ ng 1. Xác su ất c ủa Biến c ố – ĐH Tôn Đứ c Th ắng Tp.HCM . 3. Đặ ng Hùng Th ắng – Bài t ập Xác su ất; Th ống kê Ch ươ ng 2. Bi ến ng ẫu nhiên – NXB Giáo d ục. Ch ươ ng 3. Phân ph ối Xác su ất thông d ụng 4. Lê S ĩ Đồ ng – Xác su ất – Th ống kê và Ứng d ụng – NXB Giáo d ục. 5. Đào H ữu H ồ – Xác su ất Th ống kê – NXB Khoa h ọc & K ỹ thu ật. PH ẦN I. LÝ THUY ẾT XÁC SU ẤT 6. Đậ u Th ế C ấp – Xác su ất Th ống kê – Lý thuy ết và (Probability theory ) các bài t ập – NXB Giáo d ục. Ch ươ ng 1. XÁC SU ẤT C ỦA BI ẾN C Ố 7. Ph ạm Xuân Ki ều – Giáo trình Xác su ất và Th ống kê – NXB Giáo d ục. §1. Bi ến c ố ng ẫu nhiên 8. Nguy ễn Cao V ăn – Giáo trình Lý thuy ết Xác su ất §2. Xác su ất c ủa bi ến c ố & Th ống kê – NXB Kt ế Qu ốc dân. §3. Công th ức tính xác su ất 9. F.M. Dekking – A modern introduction to Probability and Statistics – Springer Publication (2005). §1. BIẾN C Ố NG ẪU NHIÊN Biên so n: ThS . Đoàn Vươ ng Nguyên 1.1. Hi ện t ượ ng ng ẫu nhiên Download Slide bài gi ng XSTK_ CĐ ti Ng ườ i ta chia các hi ện t ượ ng x ảy ra trong đờ i s ống dvntailieu.wordpress.com hàng này thành hai lo ại: tất nhiên và ng ẫu nhiên . Ch ươ ng 1. Xác su t ca Bi n c Ch ươ ng 1. Xác su t ca Bi n c • Nh ững hi ện t ượ ng mà khi đượ c th ực hi ện trong cùng 1.2. Phép th ử và bi ến c ố một điều ki ện s ẽ cho r a k ết qu ả nh ư nhau đượ c g ọi là • Để quan sát các hi ện t ượ ng ng ẫu nhiên, ng ườ i ta cho nh ững hi ện t ượ ng t ất nhiên. các hi ện t ượ ng này xu ất hi ện nhi ều l ần. Việc th ực hi ện Ch ẳng h ạn, đun n ướ c ở điều ki ện bình th ườ ng đế n 0 một quan sát về một hi ện t ượ ng ng ẫu nhiên nào đó, để 100 C thì nướ c s ẽ b ốc h ơi; m ột ng ườ i nh ảy ra kh ỏi máy xem hi ện t ượ ng này có x ảy ra hay không đượ c g ọi là bay đang bay thì ng ườ i đó s ẽ r ơi xu ống là t ất nhiên. một phép th ử (test). • Nh ững hi ện t ượ ng mà cho dù khi đượ c th ực hi ện trong • Khi th ực hi ện m ột phép th ử, ta không th ể d ự đoán đượ c cùng m ột điều ki ện v ẫn có th ể s ẽ cho ra các k ết qu ả kết qu ả x ảy ra. Tuy nhiên, ta có th ể li ệt kê t ất c ả các k ết khác nhau đượ c g ọi là nh ững hi ện t ượ ng ng ẫu nhiên. qu ả có th ể x ảy ra. Ch ẳng h ạn, gieo m ột h ạt lúa ở điều ki ện bình th ườ ng thì h ạt lúa có th ể n ảy m ầm c ũng có th ể không n ảy m ầm. Tập h ợp t ất c ả các k ết qu ả có th ể x ảy ra c ủa m ột Hi ện t ượ ng ng ẫu nhiên chính là đố i t ượ ng kh ảo sát c ủa phép th ử đượ c g ọi là không gian m ẫu c ủa phép th ử lý thuy ết xác su ất. đó. Ký hi ệu là . Xác su t - Th ng kê Cao đng 1
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 05, 2011 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 1. Xác su t ca Bi n c Ch ươ ng 1. Xác su t ca Bi n c Mỗi ph ần t ử ω ∈ đượ c g ọi là một biến c ố s ơ c ấp. A = {4; 4,5; ; 10} , B = {0; 0,5; ; 3,5} , Mỗi t ập A ⊂ đượ c g ọi là m ột biến c ố (events). là các bi ến c ố. VD 1. Xét m ột sinh viên thi h ết môn XSTK, thì hành Các bi ến c ố A, B có th ể đượ c phát bi ểu l ại là: độ ng c ủa sinh viên này là m ột phép th ử. A : “sinh viên này thi đạ t môn XSTK”; T ập h ợp t ất c ả các điểm s ố: B : “sinh viên này thi h ỏng môn XSTK”. = {0; 0,5; 1; 1,5; ; 9,5; 10} • Trong m ột phép th ử, bi ến c ố mà ch ắc ch ắn s ẽ x ảy ra mà sinh viên này có th ể đạ t là không gian m ẫu. đượ c g ọi là bi ến c ố ch ắc ch ắn. Ký hi ệu là . Các ph ần t ử: Biến c ố không th ể x ảy ra đượ c g ọi là bi ến c ố rỗng . Ký hi ệu là ∅. ω1 =0 ∈ , ω2 =0,5 ∈ , , ω21 =10 ∈ là các bi ến c ố s ơ c ấp. VD 2. T ừ nhóm có 6 nam và 4 n ữ, ta ch ọn ng ẫu nhiên ra 5 ng ườ i. Khi đó, bi ến c ố “ ch ọn đượ c ít nh ất 1 nam ” Các t ập con c ủa : là ch ắc ch ắn; bi ến c ố “ ch ọn đượ c 5 ng ườ i n ữ” là rỗng. Ch ươ ng 1. Xác su t ca Bi n c Ch ươ ng 1. Xác su t ca Bi n c 1.3. Quan h ệ gi ữa các bi ến c ố b) Tổng và tích của hai bi ến c ố a) Quan hệ tươ ng đươ ng • T ổng c ủa hai bi ến c ố A và B là một bi ến c ố, bi ến c ố Trong 1 phép th ử, biến c ố A đượ c g ọi là kéo theo bi ến này xảy ra khi A x ảy ra hay B x ảy ra trong một phé p cố B n ếu khi A x ảy ra thì B x ảy ra. Ký hi ệu là A⊂ B . th ử (ít nh ất m ột trong hai bi ến c ố x ảy ra). Hai bi ến c ố A và B đượ c g ọi là tươ ng đươ ng v ới nhau Ký hi ệu là A∪ B hay A+ B . nếu A⊂ B và B⊂ A . Ký hi ệu là A= B . • Tích c ủa hai bi ến c ố A và B là m ột bi ến c ố, bi ến c ố này x ảy ra khi cả A và B cùng x ảy ra trong một phép VD 3. Quan sát 4 con gà mái đẻ tr ứng trong 1 ngày. Gọi th ử. Ký hi ệu là A∩ B hay AB . A : “có i con gà mái đẻ tr ứng trong 1 ngày”, i = 0, 4 . i VD 4. M ột ng ườ i th ợ s ăn b ắn hai viên đạ n vào m ột con A: “có 3 ho ặc 4 con gà mái đẻ tr ứng trong 1 ngày”. thú và con thú sẽ ch ết n ếu nó b ị trúng c ả hai viên đạ n. B : “có nhi ều h ơn 2 con gà mái đẻ tr ứng trong 1 ngày”. Gọi Ai : “viên đạ n th ứ i trúng con thú” ( i = 1, 2); Khi đó, ta có: A3 ⊂ B , A2 ⊄ B , B⊂ A và A= B . A : “con thú b ị trúng đạ n”; B : “con thú b ị ch ết”. Ch ươ ng 1. Xác su t ca Bi n c Ch ươ ng 1. Xác su t ca Bi n c ∪ ∩ c) Bi ến c ố đố i l ập Khi đó, ta có: A= A1 A 2 và B= A1 A 2 . VD 5. Xét phép th ử gieo hai h ạt lúa. Trong 1 phép th ử, bi ến c ố A đượ c g ọi là bi ến c ố đố i l ập A A G ọi N : “h ạt lúa th ứ i n ảy m ầm”; (hay bi ến c ố bù) c ủa bi ến c ố nếu và ch ỉ nếu khi i xảy ra thì A không x ảy ra và ng ượ c l ại, khi A không K “h ạt lúa th ứ i không n ảy m ầm” ( i = 1, 2); i : xảy ra thì A x ảy ra. A : “có 1 h ạt lúa nảy m ầm”. Vậy ta có: A= \ A . Khi đó, không gian m ẫu c ủa phép th ử là: VD 6. T ừ 1 lô hàng ch ứa 12 chính ph ẩm và 6 ph ế ph ẩm, = {;KK12 NK 12 ; KN 12 ; NN 12 } . ng ườ i ta ch ọn ng ẫu nhiên ra 15 s ản ph ẩm. Gọi A “ch ọn đượ c i chính ph ẩm”, i . Các bi ến c ố tích sau đây là các bi ến c ố s ơ c ấp: i : = 9,10,11,12 Ta có không gian m ẫu là: ω=1KK 122, ω= NK 123 , ω= KN 124 , ω= NN 12 . = A∪ A ∪ A ∪ A , ∪ 9 10 11 12 Bi ến c ố A không ph ải là s ơ c ấp vì A= NK12 KN 12 . ∪ ∪ và A10= \ A 10 = AAA 9 11 12 . Xác su t - Th ng kê Cao đng 2
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 05, 2011 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 1. Xác su t ca Bi n c Ch ươ ng 1. Xác su t ca Bi n c 1.4. Hệ đầ y đủ các bi ến c ố b) Hệ đầ y đủ các bi ến c ố a) Hai biến c ố xung kh ắc Trong m ột phép th ử, h ọ g ồm n bi ến c ố {Ai } , i= 1, n Hai bi ến c ố A và B đượ c g ọi là xung kh ắc v ới nhau đượ c g ọi là h ệ đầ y đủ khi và ch ỉ khi có duy nh ất bi ến trong m ột phép th ử n ếu A và B không cùng x ảy ra. cố A , i∈ {1; 2; ; n } c ủa h ọ x ảy ra. Ngh ĩa là: i0 0 VD 7. Hai sinh viên A và B cùng thi môn XSTK. ∩ ∪ ∪ ∪ 1) AAi j =∅∀, ij ≠ và 2) A1 A 2 A n = . Gọi A : “sinh viên A thi đỗ ”; B : “ch ỉ có sinh viên B thi đỗ ”; VD 8. Tr ộn l ẫn 4 bao lúa vào nhau r ồi b ốc ra 1 h ạt. C : “ch ỉ có 1 sinh viên thi đỗ ”. Gọi Ai : “hạt lúa b ốc đượ c là c ủa bao th ứ i”, i = 1, 4 . Khi đó,A và B là xung kh ắc; B và C không xung kh ắc. Khi đó, h ệ {;A1 A 2 ; A 3 ; A 4 } là đầ y đủ . Chú ý Chú ý Trong VD 7, A và B xung kh ắc nh ưng không đố i l ập. Trong 1 phép th ử, hệ {A ; A } là đầ y đủ v ới A tùy ý. Ch ươ ng 1. Xác su t ca Bi n c Ch ươ ng 1. Xác su t ca Bi n c §2. XÁC SU ẤT C ỦA BI ẾN C Ố 2.1. Đị nh ngh ĩa xác su ất d ạng c ổ điển Quan sát các bi ến c ố đố i v ới m ột phép th ử, m ặc dù Xét một phép th ử v ới không gian m ẫu =ω{1 ; ; ω n } không th ể kh ẳng đị nh m ột bi ến c ố có x ảy ra hay không và bi ến c ố A ⊂ có k ph ần t ử. Nếu n bi ến c ố s ơ c ấp nh ưng ng ườ i ta có th ể ph ỏng đoán kh ả n ăng x ảy ra c ủa có cùng kh ả n ăng x ảy ra (đồ ng kh ả n ăng) thì xác su ất các bi ến c ố này là ít hay nhi ều. Kh ả n ăng x ảy ra khách của bi ến c ố A đượ c đị nh ngh ĩa là: quan c ủa m ột bi ến c ố đượ c g ọi là xác su ất (probability) Soá tröôøng hôïp A xaûy ra k của bi ến c ố đó. P( A )= = . Xác su ất c ủa bi ến c ố A, ký hi ệu là P( A ) , có th ể đượ c Soá tröôøng hôïp co ùtheå xaûy ra n đị nh ngh ĩa bằng nhi ều dạng sau: VD 1. M ột công ty c ần tuy ển hai nhân viên. Có 4 ng ườ i dạng c ổ điển; nữ và 2 ng ườ i nam n ộp đơ n ng ẫu nhiên (kh ả n ăng trúng dạng th ống kê; tuy ển c ủa 6 ng ườ i là nh ư nhau). Tính xác su ất để : dạng tiên đề Kolmogorov; 1) cả hai ng ườ i trúng tuy ển đề u là n ữ; dạng hình h ọc. 2) có ít nh ất m ột ng ườ i n ữ trúng tuy ển. Ch ươ ng 1. Xác su t ca Bi n c Ch ươ ng 1. Xác su t ca Bi n c VD 2. Từ m ột h ộp ch ứa 6 s ản ph ẩm t ốt và 4 ph ế ph ẩm 2.2. Đị nh ngh ĩa xác su ất d ạng th ống kê ng ườ i ta chọn ng ẫu nhiên ra 5 s ản ph ẩm. • Nếu khi thực hi ện m ột phép th ử nào đó n l ần, th ấy có Tính xác su ất để có: k k l ần bi ến c ố A xu ất hi ện thì tỉ s ố đượ c g ọi là tần 1 ) cả 5 s ản ph ẩm đều tốt; 2) đúng 2 ph ế ph ẩm. n su ất c ủa bi ến c ố A. • Khi n thay đổ i, tần su ất cũng thay đổ i theo nh ưng luôn k VD 3. Tại m ột b ệnh vi ện có 50 ng ườ i đang ch ờ k ết qu ả dao độ ng quanh một s ố c ố đị nh p = lim . khám b ệnh. Trong đó có 12 ng ườ i ch ờ k ết qu ả n ội soi, n→∞ n 15 ng ườ i ch ờ k ết qu ả siêu âm, 7 ng ườ i ch ờ k ết qu ả c ả • Số p c ố đị nh này đượ c g ọi là xác su ất c ủa bi ến c ố A nội soi và siêu âm. G ọi tên ng ẫu nhiên m ột ng ườ i trong th eo ngh ĩa th ống kê. 50 ng ườ i này, hãy tính xác su ất g ọi đượ c ng ườ i đang k ch ờ k ết q uả n ội soi ho ặc siêu âm? Trong th ực t ế, khi n đủ l ớn thì P( A ) ≈ . n Xác su t - Th ng kê Cao đng 3
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 05, 2011 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 1. Xác su t ca Bi n c Ch ươ ng 1. Xác su t ca Bi n c VD 4. §3. CÔNG TH ỨC TÍNH XÁC SU ẤT • Pearson đã gieo m ột đồ ng ti ền cân đố i, đồ ng ch ất 3.1. Công th ức c ộng xác su ất 12.000 l ần th ấy có 6.019 l ần xu ất hi ện m ặt s ấp (t ần su ất là 0,5016); gieo 24.000 l ần th ấy có 12.012 l ần Xét m ột phép th ử, ta có các cô ng th ức c ộng xác su ất sau xu ất hi ện m ặt sấp (t ần su ất là 0,5005). • Nếu A và B là hai bi ến c ố tùy ý: • Laplace đã nghiên c ứu t ỉ l ệ sinh trai – gái ở London, PA(∪ B )= PA () + PB () − PA ( ∩ B ). Petecbua và Berlin trong 10 n ăm và đư a ra t ần su ất sinh bé gái là 21/43. • N ếu A và B là hai bi ến c ố xung kh ắc thì: PA(∪ B )= PA () + PB (). 2.3. Tính ch ất c ủa xác su ất • Nếu h ọ {A } (i= 1, , n ) xung kh ắc t ừng đôi thì: 1) N ếu A là bi ến c ố tùy ý thì 0≤P () A ≤ 1 . i ∪ ∪ ∪ 2) P(∅ ) = 0 ; 3) P( ) = 1 . PAA( 12 An) = PAPA ( 12 )+ ( )+ + PA ( n ). 4) N ếu A⊂ B thì PA()≤ PB () . Ch ươ ng 1. Xác su t ca Bi n c Ch ươ ng 1. Xác su t ca Bi n c VD 1. Một nhóm có 30 nhà đầ u t ư các lo ại, trong đó có: Chú ý 13 nhà đầ u t ư vàng; 17 nhà đầ u t ư ch ứng khoán và 10 nhà đầ u t ư c ả vàng l ẫn ch ứng khoán. M ột đố i tác g ặp AB∩= ABAB ∪∪; = AB ∩ . ng ẫu nhiên m ột nhà đầ u t ư trong nhóm. Tìm xác su ất để ng ườ i đó gặp đượ c nhà đầ u t ư vàng ho ặc ch ứng khoán? Đặ c bi ệt VD 3. Trong m ột vùng dân c ư, t ỉ l ệ ng ườ i mắc b ệnh tim là 9%; mắc b ệnh huy ết áp là 12%; mắc c ả b ệnh tim và PA()=− 1 PA ();() PA = PAB (.) + PAB (.). huy ết áp là 7%. Ch ọn ng ẫu nhiên 1 ng ườ i trong vùng đó. Tính xác su ất để ng ườ i này không mắc b ệnh tim và VD 2. M ột h ộp ph ấn có 10 viên trong đó có 3 viên màu không m ắc b ệnh huy ết áp ? đỏ . L ấy ng ẫu nhiên t ừ h ộp ra 3 viên ph ấn. Tính xác su ất để l ấy đượ c ít nh ất 1 viên ph ấn màu đỏ . Ch ươ ng 1. Xác su t ca Bi n c Ch ươ ng 1. Xác su t ca Bi n c 3.2. XÁC SU ẤT CÓ ĐIỀU KI ỆN Lúc này, bi ến c ố: “2 ng ườ i thi đỗ trong đó có A” là: • Xét phép th ử: 3 ng ườ i A, B và C thi tuy ển vào m ột 2 AH= { ABC , ABC } và P( AH ) = . công ty. Gọi 8 A: “ng ườ i A thi đỗ ”, B : “ng ườ i B thi đỗ ”, C : “ng ườ i C thi đỗ ”, H : “có 2 ng ườ i thi đỗ ”. • Bây gi ờ, ta xét phép th ử là: A, B , C thi tuy ển vào m ột công ty và bi ết thêm thông tin có 2 ng ườ i thi đỗ . Khi đó, không gian m ẫu là: {,,,,,,,}ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC . Không gian m ẫu tr ở thành H và A tr ở thành AH . Ta có: Gọi A H : “ A thi đỗ bi ết r ằng có 2 ng ườ i thi đỗ ” thì ta 4 A={ ABCABCABCABC , , , } ⇒ PA () = ; 8 2P ( AH ) 3 đượ c: P A H = = . H={ ABCABCABC , , } ⇒ PH () = . ( ) 3P ( H ) 8 Xác su t - Th ng kê Cao đng 4
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 05, 2011 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 1. Xác su t ca Bi n c Ch ươ ng 1. Xác su t ca Bi n c 3.2.1. Đị nh ngh ĩa xác su ất có điều ki ện Nh ận xét Trong m ột phép th ử, xét hai bi ến c ố b ất k ỳ A và B v ới Khi tính P( A B ) v ới điều ki ện B đã x ảy ra, ngh ĩa là ta P( B )> 0 . Xác su ất có điều ki ện c ủa A v ới điều ki ện B đã h ạn ch ế không gian m ẫu xu ống còn B và h ạn ch ế đã x ảy ra đượ c ký hi ệu và đị nh ngh ĩa là: A xu ống còn A∩ B . P( A∩ B ) P( A B ) = . P( B ) Tính ch ất VD 4. M ột nhóm 10 sinh viên g ồm 3 nam và 7 n ữ trong 1) 0≤P( A B ) ≤ 1 , ∀A ⊂ ; đó có 2 nam 18 tu ổi và 3 n ữ 18 tu ổi. Ch ọn ng ẫu nhiên 1 sinh viên t ừ nhóm đó. 2) nếu A⊂ C thì PAB( ) ≤ PCB( ); Gọi A: “sinh viên đượ c ch ọn là n ữ”, B : “sinh viên đượ c ch ọn là 18 tu ổi”. 3) PAB( ) =1 − PAB( ). Hãy tính P( AB), P( BA ) ? Ch ươ ng 1. Xác su t ca Bi n c Ch ươ ng 1. Xác su t ca Bi n c 3.2.2. Công th ức nhân xác su ất Nếu A và B là hai bi ến c ố độ c l ập thì: a) S ự độ c l ập c ủa hai bi ến c ố PA(∩ B )= PAPB ().(). Trong m ột phép th ử, hai bi ến c ố A và B đượ c g ọi là • Nếu n bi ến c ố Ai , i= 1, , n không độ c l ập thì: độ c l ập n ếu B có x ảy ra hay không cũng không ảnh PAA A PAPAA PAA A hưở ng đế n kh ả n ăng x ảy ra A và ng ượ c l ại. ( 12 n) = ( 121) ( ) ( n 11 n − ) . Chú ý N ếu A và B độ c l ập v ới nhau thì các c ặp bi ến c ố: A và B , A và B , A và B c ũng độ c l ập v ới nhau . VD 5. M ột ng ườ i có 5 bóng đèn trong đó có 2 bóng b ị b) Công th ức nhân hỏng. Ng ườ i đó th ử ng ẫu nhiên lần l ượ t t ừng bóng đèn • Nếu A và B là hai bi ến c ố không độ c l ập thì: (không hoàn l ại) cho đế n khi ch ọn đượ c 1 bóng t ốt. PA(∩ B )()= PBPAB( ) = PAPBA ()( ) . Tính xác su ất để ng ườ i đó th ử đế n l ần th ứ 2 . Ch ươ ng 1. Xác su t ca Bi n c Ch ươ ng 1. Xác su t ca Bi n c VD 6. M ột sinh viên h ọc h ệ niên ch ế đượ c thi l ại 1 l ần VD 8. Trong d ịp t ết, ông A đem bán 1 cây mai l ớn và 1 nếu l ần thi th ứ nh ất b ị r ớt (2 l ần thi độ c l ập). Bi ết r ằng cây mai nh ỏ. Xác su ất bán đượ c cây mai l ớn là 0,9. N ếu xác su ất để sinh viên này thi đỗ l ần 1 và l ần 2 t ươ ng bán đượ c cây mai l ớn thì xác su ất bán đượ c cây mai ứng là 60% và 80%. Tính xác su ất sinh viên này thi đỗ ? nh ỏ là 0,7. N ếu cây mai l ớn không bán đượ c thì xác su ất bán đượ c cây mai nh ỏ là 0,2. Bi ết r ằng ông A bán đượ c ít nh ất 1 cây mai, xác su ất để ông A bán đượ c c ả hai cây mai là: VD 7. Có hai ng ườ i A và B cùng đặ t l ệnh (độ c l ập) để A. 0,63 42 ; B. 0,6848; C. 0,4796; D. 0,87 91 . mua c ổ phi ếu c ủa một công ty v ới xác su ất mua đượ c tươ ng ứng là 0,8 và 0,7. Bi ết r ằng có ng ườ i mua đượ c, VD 9. Hai ng ườ i A và B cùng ch ơi trò ch ơi nh ư sau: xác su ất để ng ườ i A mua được c ổ phi ếu này là: C ả hai luân phiên l ấy m ỗi l ần 1 viên bi t ừ m ột h ộp đự ng 19 12 40 10 2 bi tr ắng và 4 bi đen (bi đượ c l ấy ra không tr ả l ại h ộp). A. ; B. ; C. ; D. . 47 19 47 19 Ng ườ i nào l ấy đượ c bi tr ắng tr ướ c thì th ắng cu ộc. Gi ả s ử A l ấy tr ướ c, tính xác su ất A th ắng cu ộc ? Xác su t - Th ng kê Cao đng 5
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 05, 2011 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 1. Xác su t ca Bi n c Ch ươ ng 1. Xác su t ca Bi n c 3.2.3. Công th ức xác su ất đầ y đủ và Bayes. Chú ý a) Công th ức xác su ất đầ y đủ Trong tr ắc nghi ệm ta dùng s ơ đồ gi ải nhanh nh ư sau: Xét h ọ n bi ến c ố {Ai } ( i= 1,2, , n ) đầ y đủ và B là Nhánh 1: P( đèn t ốt màu tr ắng) = 0,7.0,99. một bi ến c ố b ất k ỳ trong phép th ử, ta có: Nhánh 2: P( đèn t ốt màu vàng) = 0,3.0,98. n PB PAPBA Suy ra: ()= ∑ ()i() i i=1 P( đèn t ốt) = t ổng xác su ất của 2 nhánh = 0,987. PAPBA PAPBA = (1 )( 1 ) + + (n )( n ) . VD 11. Chu ồng t hỏ 1 có 3 con th ỏ tr ắng và 4 con th ỏ VD 10. M ột cửa hàng bán hai lo ại bóng đèn cùng kích đen; chu ồng 2 có 5 th ỏ tr ắng và 3 th ỏ đen. Quan sát cỡ g ồm: 70 bóng màu tr ắng v ới t ỉ l ệ bóng h ỏng là 1% th ấy có 1 con th ỏ ch ạy t ừ chu ồng 1 sang chu ồng 2, sau và 30 bóng màu vàng v ới t ỉ l ệ h ỏng 2%. M ột khách đó có 1 con th ỏ ch ạy ra t ừ chu ồng 2. Tính xác su ất để hàng ch ọn mua ng ẫu nhiên 1 bóng đèn t ừ c ửa hàng này. con th ỏ ch ạy ra t ừ chu ồng 2 là th ỏ tr ắng ? T ính xác su ất để ng ườ i này mua đượ c bóng đèn t ốt ? Ch ươ ng 1. Xác su t ca Bi n c Ch ươ ng 1. Xác su t ca Bi n c b) Công th ức Bayes Phân bi t các bài toán áp dng công th c Nhân – Đy ñ – Bayes Xét h ọ n bi ến c ố {Ai } ( i= 1,2, , n ) đầ y đủ và B là Trong 1 bài toán, ta xét 3 bi n c một bi ến c ố b ất k ỳ trong phép th ử. Khi đó, x ác su ất để A1, A 2 , B . bi ến c ố A xảy ra sau khi B đã x ảy ra là: 1) Nu bài toán yêu cu tìm xác su t ca ∩ i A1 B , ∩ PAPBA()i( i) PAPBA () i( i ) A B thì ñây là bài toán công th c nhân. P A B = = . 2 ()i n P( B ) Xác su t là xác su t tích ca tng nhánh . P A P BA ∑ (i ) () i i=1 2) Nu bài toán yêu cu tìm xác su t caB và A A VD 12. Xét ti ếp VD 10. Gi ả s ử khách hàng ch ọn mua {1 , 2 } ñ y ñ thì ñây là bài toán áp d ng đượ c bóng đèn t ốt. Tính xác su ất để ng ườ i này mua công th c ñy ñ. Xác su t bng tng 2 nhánh . đượ c bóng đèn màu vàng ? Ch ươ ng 1. Xác su t ca Bi n c Ch ươ ng 1. Xác su t ca Bi n c 3) Nu bài toán yêu cu tìm xác su t ca A A 1, 2 3) Bi ết r ằng s ản ph ẩm đượ c ch ọn là h ỏng, tính xác su ất A A sản ph ẩm này là do phân x ưở ng A s ản xu ất ra ? và cho bi t B ñã xy ra , ñng th i h {1 , 2 } ñy ñ thì ñây là bài toán áp dng công th c VD 14. T ỉ l ệ ôtô t ải, ôtô con và xe máy đi qua đườ ng X Bayes. Xác su t là t s gi a nhánh cn tìm có tr ạm b ơm d ầu là 5 : 2 : 13. Xác su ất để ôtô t ải, ôtô vi tng ca hai nhánh . con và xe máy đi qua đườ ng này vào b ơm d ầu lần l ượ t VD 13. Nhà máy X có 3 phân x ưở ng A, B , C t ươ ng là 0,1; 0,2 và 0,15. Bi ết r ằng có 1 xe đi qua đườ ng X ứng sản xu ất ra 20%, 30% và 5 0% t ổng s ản ph ẩm c ủa vào b ơm d ầu, tính xác su ất để đó là ôtô con ? nhà máy. Gi ả s ử t ỉ l ệ s ản ph ẩm h ỏng do các phân x ưởng 11 10 8 7 A. ; B. ; C. ; D. . A, B , C t ươ ng ứng sản xu ất ra là 1%, 2% và 3%. 57 57 57 57 Ch ọn ng ẫu nhiên 1 s ản ph ẩm do nhà máy X s ản xu ất ra. 1) Tính xác su ất (t ỉ l ệ) s ản ph ẩm này là h ỏng ? 2) Tính xác su ất s ản ph ẩm này h ỏng và do phân x ưở ng A s ản xu ất ra ? Xác su t - Th ng kê Cao đng 6
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 05, 2011 dvntailieu.wordpress.com BÀI T ẬP TR ẮC NGHI ỆM CH ƯƠ NG I Câu 3. Có 3 sinh viên A, B và C cùng thi môn XSTK. G ọi bi ến c ố A : “có i sinh viên thi đỗ ” ( i = 0,1,2, 3 ); Câu 1. Có 3 sinh viên A, B và C cùng thi môn XSTK. i G ọi bi ến c ố A : “có i sinh viên thi đỗ ” ( i = 0,1,2,3 ); B : “sinh viên B thi đỗ ”. i Bi ến c ố A B là: C : “sinh viên C thi đỗ ”. 1 A. Sinh viên B thi h ỏng; Bi ến c ố AC là: 1 B. Ch ỉ có 1 sinh viên thi đỗ ; A. Sinh viên C thi đỗ ; B. Ch ỉ có sinh viên C thi đỗ ; C. Sinh viên A ho ặc C thi đỗ ; C. Có 1 sinh viên thi đỗ ; D. Sinh viên C thi không đỗ . D. Ch ỉ có 1 s inh viên ho ặc A ho ặc C thi đỗ . Câu 2. Có 3 sinh viên A, B và C cùng thi môn XSTK. Câu 4. Có 3 sinh viên A, B và C cùng thi môn XSTK. G ọi bi ến c ố Ai : “có i sinh viên thi đỗ ” ( i = 0,1,2,3 ); G ọi bi ến c ố Ai : “có i sinh viên thi đỗ ” ( i = 0,1,2,3 ); A: “sinh viên A thi đỗ ”. C : “sinh viên C thi đỗ ”. Bi ến c ố A2 A là: Bi ến c ố A0 C là: A. Sinh viên A thi hỏng; B. Ch ỉ có sinh viên A thi đỗ ; A. Sinh viên C thi h ỏng; B. Ch ỉ có sinh viên C thi h ỏng; C. Có 2 sinh viên thi đỗ ; D. Ch ỉ có s inh viên A thi hỏng . C. Có 2 sinh viên thi đỗ ; D. Cả 3 s inh viên thi hỏng . Câu 5. Có 3 sinh viên A, B và C cùng thi môn XSTK. G ọi bi ến c ố A : “có i sinh viên thi đỗ ” ( i = 0,1,2, 3 ); i Câu 7. Có 3 sinh viên A , A , A cùng thi môn XSTK. B : “sinh viên B thi đỗ ”. 1 2 3 G ọi bi ến c ố Ai : “sinh viên Ai thi đỗ ” ( i = 1,2,3 ); Bi ến c ố A0 B là: A. Sinh viên B thi h ỏng; H : “có sinh viên thi h ỏng”. B. Có 2 sinh viên thi đỗ ; Hãy ch ọn đáp án đúng ? ∪ ∪ C. Sinh viên A ho ặc C thi đỗ ; A. AH1= AAA 123 AAA 123 AAA 123 ; D. Sinh viên A và C thi đỗ . ∪ ∪ ∪ B. AH1= AAA 123 AAA 123 AAA 123 AAA 123 ; Câu 6. Có 3 sinh viên A, B và C cùng thi môn XSTK. C. AH= AAA∪ AAA ∪ AAA ; G ọi bi ến c ố A : “có i sinh viên thi đỗ ” ( i = 0,1,2, 3 ); 1 123 123 123 i D. AH= AAA∪ AAA ∪ AAA . B : “sinh viên B thi đỗ ”. 1 123 123 123 Hãy ch ọn đáp án đúng ? A. AB0⊂ AB 1 ; B. A1 B⊂ A 2 ; C. AB0= AB 1 ; D. A3 B⊂ A 3 . Câu 9. Có 3 sinh viên A , A , A cùng thi môn XSTK. Câu 8. Có 3 sinh viên A1, A2, A3 cùng thi môn XSTK. 1 2 3 G ọi bi ến c ố A : “sinh viên A thi đỗ ” ( i ); G ọi bi ến c ố Ai : “sinh viên Ai thi đỗ ” ( i = 1,2,3 ); i i = 1,2,3 H : “có 1 sinh viên thi h ỏng”. H : “2 sinh viên thi h ỏng trong đó có A1”. Hãy ch ọn đáp án đúng ? Hãy ch ọn đáp án đúng ? ∪ ∪ A. PAAAH≥ PAAH ; A. AAA123 AAA 123 AAA 123 ⊂ H ; ( 123) ( 12 ) B. H= AAA∪ AAA ∪ AAA ; B. PAAH PAAAH ; 123 123 123 ( 12) = ( 123 ) C. H= AAA∪ AAA ∪ AAA ; 123 123 123 C. PAAH PAAAH ; ( 12) ≤ ( 123 ) D. H⊂ AAA∪ AAA ∪ AAA . 123 123 123 ∪ ∪ D. AH1= AAA 123 AAA 123 AAA 123 . Xác su t - Th ng kê Cao đng 7
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 05, 2011 dvntailieu.wordpress.com Câu 12. M ột h ộp đự ng 10 qu ả c ầu g ồm: 2 qu ả màu đỏ , Câu 10. Có 3 sinh viên A1, A2, A3 cùng thi môn XSTK. G ọi bi ến c ố A : “sinh viên A thi đỗ ” ( i = 1,2, 3 ); 3 qu ả vàng và 5 qu ả xa nh. Ch ọn ng ẫu nhiên t ừ h ộp đó i i ra 4 qu ả c ầu. Xác su ất ch ọn đượ c 2 qu ả màu xanh là: H : “có 1 sinh viên thi h ỏng”. A. 0,2894 ; B. 0,4762 ; C. 0,0952 ; D. 0,0476 . Hãy ch ọn đáp án đúng ? Câu 13. M ột h ộp đự ng 10 qu ả c ầu g ồm: 2 qu ả màu đỏ , A. A= H ; B. A A⊂ H ; 1 2 3 3 qu ả vàng và 5 qu ả xanh. Ch ọn ng ẫu nhiên t ừ h ộp đó C. AAA1 2 3 ⊂ H ; D. AAA1 2 3 = H . ra 4 qu ả c ầu thì th ấy có 3 qu ả màu xanh. Xác su ất ch ọn đượ c 1 qu ả màu đỏ là: Câu 11. M ột h ộp đự ng 10 qu ả c ầu g ồm: 2 qu ả màu đỏ , A. 40% ; B. 50% ; C. 60% ; D. 80% . 3 qu ả vàng và 5 qu ả xanh. Ch ọn ng ẫu nhiên t ừ h ộp đó Câu 14. M ột h ộp đự ng 10 qu ả c ầu g ồm: 2 qu ả màu đỏ , ra 4 qu ả c ầu. Xác su ất ch ọn đượ c 1 qu ả màu đỏ , 1 qu ả 3 qu ả vàng và 5 qu ả xanh. Ch ọn ng ẫu nhiên t ừ h ộp đó vàng và 2 qu ả xanh là: ra 4 qu ả c ầu thì th ấy có 2 qu ả màu xanh. Xác su ất ch ọn A. 0,2857 ; B. 0,1793 ; C. 0,1097 ; D. 0,0973 . đượ c ít nh ất 1 qu ả màu đỏ là: A. 40% ; B. 70% ; C. 26% ; D. 28% . Câu 17. M ột xạ th ủ bắn l ần l ượ t 2 viên đạ n vào m ột con Câu 15. M ột c ầu th ủ ném l ần l ượ t 3 qu ả bóng vào r ỗ thú và con thú ch ỉ ch ết khi b ị trúng 2 viên đạ n. Xác su ất một cách độ c l ập v ới xác su ất vào r ỗ t ươ ng ứng là 0,7; viên đạ n th ứ nh ất trúng con thú là 0,8. N ếu viên th ứ 0,8; 0,9. Bi ết r ằng có 2 qu ả bóng vào r ỗ. Xác su ất để nh ất trúng con thú thì xác su ất trúng c ủa viên th ứ hai là qu ả bóng th ứ nh ất vào r ỗ là: 0,7 và n ếu tr ượ t thì xác su ất trúng c ủa viên th ứ hai là A. 0,5437 ; B. 0,5473 ; C. 0,4753 ; D. 0,4573 . 0,1. Bi ết r ằng con thú còn s ống. Xác su ất để viên th ứ hai trúng con thú là: A. 0,0714 ; B. 0,0741 ; C. 0,0455 ; D. 0,0271 . Câu 16. M ột c ầu th ủ ném l ần l ượ t 3 qu ả bóng vào r ỗ Câu 18. Một trung tâm Tai–Mũi–Họng có t ỉ l ệ b ịnh một cách độ c l ập v ới xác su ất vào r ỗ t ươ ng ứng là 0,7; nhân Tai, M ũi, H ọng t ương ứng là 25%, 40%, 35% ; t ỉ 0,8; 0,9. Bi ết r ằng qu ả bóng th ứ nh ất vào r ỗ. Xác su ất lệ b ịnh n ặng ph ải m ổ t ươ ng ứng là 1%, 2%, 3%. Xác để có 2 qu ả bóng vào r ỗ là: su ất để ch ọn ng ẫu nhiên đượ c m ột b ịnh nhân b ị b ịnh A. 20% ; B. 24% ; C. 26% ; D. 28% . Mũi ph ải m ổ từ trung tâm này là: A. 0,008 ; B. 0,021 ; C. 0,312 ; D. 0,381 . Ch ươ ng 2. Bi n ng u nhiên Câu 19. M ột trung tâm Tai–Mũi–Họng có t ỉ l ệ b ịnh §1. Biến ng ẫu nhiên và hàm m ật độ nhân Tai, M ũi, H ọng t ươ ng ứng là 25%, 40%, 35%; t ỉ §2. Hàm phân ph ối xác su ất §3. Tham s ố đặ c tr ưng c ủa bi ến ng ẫu nhiên lệ b ịnh n ặng ph ải m ổ t ươ ng ứng là 1%, 2%, 3%. Xác su ất để ch ọn ng ẫu nhiên đượ c m ột b ịnh nhân ph ải §1. BI ẾN NG ẪU NHIÊN VÀ HÀM MẬT ĐỘ mổ t ừ trung tâm này là: 1.1. Khái ni ệm bi ến ng ẫu nhiên A. 0,008 ; B. 0,021 ; C. 0,312 ; D. 0,381 . • Xét m ột phép th ử v ới không gian m ẫu . Gi ả s ử, ứng Câu 20. M ột trung tâm Tai–Mũi–Họng có t ỉ l ệ b ịnh với m ỗi bi ến c ố s ơ c ấp ω ∈ , ta liên k ết v ới 1 s ố th ực nhân Tai, M ũi, H ọng t ươ ng ứng là 25%, 40%, 35%; t ỉ X(ω ) ∈ ℝ, thì X đượ c g ọi là m ột bi ến ng ẫu nhiên . lệ b ịnh n ặng ph ải m ổ t ươ ng ứng là 1%, 2%, 3%. Ch ọn ng ẫu nhiên m ột b ịnh nhân từ trung tâm này thì đượ c Tổng quát, bi ến ng ẫu nhiên (BNN) X c ủa m ột phép ng ườ i b ị m ổ. Xác su ất để bịnh nhân đượ c ch ọn b ị b ịnh th ử v ới không gian m ẫu là m ột ánh x ạ Mũi là: X : → ℝ A. 0,008 ; B. 0,021 ; C. 0,312 ; D. 0,381 . ω֏ X( ω ) = x . Giá tr ị x đượ c g ọi là m ột giá tr ị c ủa bi ến ng ẫu nhiên X . Xác su t - Th ng kê Cao đng 8
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 05, 2011 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 2. Bi n ng u nhiên Ch ươ ng 2. Bi n ng u nhiên VD 1. Ngườ i A mua m ột lo ại b ảo hi ểm tai n ạn trong 1 • Nếu X( ) là 1 kho ảng c ủa ℝ (hay c ả ℝ) thì X đượ c năm v ới phí là 70 ngàn đồ ng. N ếu b ị tai n ạn thì công ty gọi là bi ến ng ẫu nhiên liên t ục. sẽ chi tr ả 3 tri ệu đồ ng. G ọi X là s ố ti ền ng ườ i A có đượ c sau 1 n ăm mua b ảo hi ểm này. Khi đó, ta có Chú ý Trong th ực nghi ệm, các bi ến ng ẫu nhiên th ườ ng là r ời Phép th ử là: “mua b ảo hi ểm tai n ạn”. rạc. Khi bi ến ng ẫu nhiên r ời r ạc X có các giá tr ị đủ Bi ến c ố là T : “ng ườ i A b ị tai n ạn”. nhi ều trên 1 kho ảng c ủa ℝ, thì ta xem X là bi ến ng ẫu Không gian m ẫu là = {T , T } . nhiên liên t ục. Th ực ch ất là, các bi ến ng ẫu nhiên liên Vậy X( T )= 2,93 (tri ệu), X( T )= 0,07 (tri ệu). tục đượ c dùng làm x ấp x ỉ cho các bi ến ng ẫu nhiên r ời rạc khi t ập giá tr ị c ủa bi ến ng ẫu nhiên r ời r ạc đủ l ớn. • Nếu X( ) là 1 t ập h ữu h ạn {x1 , x 2 , , x n } hay vô h ạn • Cho biến ng ẫu nhiên X và hàm s ố y= ϕ ( x ) . đế m đượ c thì X đượ c g ọi là bi ến ng ẫu nhiên r ời r ạc. Khi đó, bi ến ng ẫu nhiên Y= ϕ ( X ) đượ c g ọi là hàm Để cho g ọn, ta vi ết là X= { xx1 , 2 , , x n , } . của bi ến ng ẫu nhiên X . Ch ươ ng 2. Bi n ng u nhiên Ch ươ ng 2. Bi n ng u nhiên 1.2. Hàm m ật độ Chú ý a) Bi ến ng ẫu nhiên r ời r ạc p ; p i i ≥ 0 ∑ i =1, = 1, 2, ℝ Cho BNN r ời r ạc X : → , X= { xx1 , 2 , , x n , } . Nếu x xx x thì P X x . Gi ả s ử x1< x 2 < < x n < với xác s uất t ươ ng ứng ∉ {1 , 2 , ,n , } (= ) = 0 là P({:ω X () ω= x }) ≡ PXx ( == ) pi , = 1,2, i i i PaXb p . Ta đị nh ngh ĩa (< ≤ ) = ∑ i a< x ≤ b • B ảng phân ph ối xác su ất của X là i X x x x 1 2 n VD 2. Cho BNN r ời r ạc X có b ảng phân ph ối xác su ất: P p p p 1 2 n X – 1 0 1 3 5 • Hàm m ật độ c ủa X là P 3a a 0,1 2a 0,3 p khi x x 1) Tìm a và tính P(− 1 < X ≤ 3) .  i= i , f( x ) =  2 0khi x≠ x , ∀ i . 2) L ập b ảng p hân ph ối xác su ất c ủa hàm Y= X .  i Ch ươ ng 2. Bi n ng u nhiên Ch ươ ng 2. Bi n ng u nhiên VD 3. Một x ạ th ủ có 4 viên đạn, b ắn l ần lượ t t ừng viê n b) Bi ến ng ẫu nhiên liên t ục vào một m ục tiêu m ột cách độc l ập. Xác su ất trúng m ục Hàm s ố f : ℝ→ ℝ đượ c g ọi là hàm m ật độ của bi ến tiêu ở m ỗi l ần b ắn là 0,8. Bi ết r ằng, n ếu có 1 viên trúng ng ẫu nhiên liên t ục X n ếu: mục tiêu ho ặc h ết đạn thì d ừng. G ọi X là s ố viên đạn b xạ th ủ đã bắn, hãy lập b ảng phân ph ối xác su ất c ủa X ? Pa(≤≤= X b )∫ fxdx (),, ∀∈ ab ℝ . a Nh ận xét +∞ VD 4. M ột hộp có 3 viên ph ấn tr ắng và 2 viên ph ấn đỏ . ∀x ∈ℝ, f () x ≥ 0 và ∫ f( x ) dx = 1 . Một ng ườ i l ấy ng ẫu nhiên m ỗi l ần 1 viên (không tr ả l ại) −∞ từ h ộp đó ra cho đế n khi l ấy đượ c 2 viên ph ấn đỏ . G ọi Khi f( x ) liên t ục trên lân c ận c ủa điểm a , ta có: X là s ố lần ng ườ i đó lấy ph ấn. Hãy l ập b ảng phân ph ối a+ε xác su ất và hàm m ật độ của X ? Pa(−ε≤ Xa ≤ +ε= )()∫ fxdx a−ε Xác su t - Th ng kê Cao đng 9
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 05, 2011 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 2. Bi n ng u nhiên Ch ươ ng 2. Bi n ng u nhiên a+ε  3 ⇒==PX( a )lim∫ fxdx () = 0 . 4x , x ∈ [0; 1] ε→0 VD 5. Ch ứng t ỏ f( x ) =  là hàm m ật độ a−ε  0, x ∉ [0; 1] V ậy Pa(≤ X a .  x ∫   a Fx()=ϕ () tdt khi axb <≤  ∫  a VD 1. Cho BNN X có bảng phân ph ối xác su ất là: 1 khi b< x .  X −2 1 3 4 P 0,1 0,2 0,2 0,5 Hãy l ập hàm phân ph ối c ủa X và v ẽ đồ th ị của F( x ) ? Xác su t - Th ng kê Cao đng 10
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 05, 2011 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 2. Bi n ng u nhiên Ch ươ ng 2. Bi n ng u nhiên Đồ th ị c ủa F( x ) : VD 2. Cho BNN X có hàm m ật độ là:  F( x ) 0,x ∈/ [0; 1] f( x ) =  3x2 , x ∈ [0; 1]. 1  Tìm hàm phân ph ối của X và v ẽ đồ th ị c ủa F( x ) ? Đồ th ị c ủa F( x ) : 0,5 • 0,3 • 0,1 • • −2 O 1 3 4 x Ch ươ ng 2. Bi n ng u nhiên Ch ươ ng 2. Bi n ng u nhiên VD 3. Cho BNN X có hàm m ật độ là: Đặ c bi ệt  0,x < 100 • N ếu X là BNN r ời r ạc thì:  f( x ) = 100 p= Fx( ) − Fx (),. ∀ i  ,x ≥ 100. i i+1 i  2  x • N ếu X là BNN liên t ục thì: Tìm hàm phân ph ối F( x ) c ủa X ? Pa(≤≤= X b )( Pa ≤<= X b )( Pa <≤ X b ) 2.2. Tính ch ất của hàm phân ph ối xác su ất =Pa( <<= X b ) Fb () − Fa (). 1) Hàm F( x ) xác đị nh v ới m ọi x ∈ ℝ. • Nếu X là BNN liên t ục có hàm m ật độ f( x ) thì: 2) 0≤F ( x ) ≤∀∈ 1, x ℝ; F(−∞= ) 0;( F +∞= ) 1 . Fx′()= fx (). 3) F( x ) không gi ảm và liên t ục trái t ại m ọi x ∈ ℝ. VD 4. Tính xác su ất P( X ≥ 400) trong VD 3? 4) Pa(≤ X <= b ) Fb () − Fa () . Ch ươ ng 2. Bi n ng u nhiên Ch ươ ng 2. Bi n ng u nhiên VD 5. Cho BNN X có hàm m ật độ 0, x < − 1  2  1 3x , x ∈ [ − 1;3]  3 f( x ) =  x 1 C. F() x= +,1 −≤< x 3 28 0,x ∈/− [ 1; 3].  28 28 Hàm phân ph ối xác su ất c ủa X là: 1, 3≤ x .  0, x ≤ − 1   3 x 0, x ≤ − 1 A. F() x= ,1 −<≤ x 3     28 0, x < − 1 x 3 1, 3< x .   1   3 D. F() x= +,1 −<≤ x 3  x 28 28 B. F() x= ,1 −≤< x 3  28 1, 3< x .   1, 3≤ x .  Xác su t - Th ng kê Cao đng 11
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 05, 2011 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 2. Bi n ng u nhiên Ch ươ ng 2. Bi n ng u nhiên §3. THAM S Ố ĐẶ C TR ƯNG VD 1. Cho BNN X có b ảng phân ph ối xác su ất: CỦA BI ẾN NG ẪU NHIÊN X 0 1 2 3 Nh ững thông tin cô đọ ng ph ản ánh t ừng ph ần v ề bi ến P 0,125 0,375 0,375 0,125 ng ẫu nhiên giúp ta so sánh gi ữa các đạ i l ượ ng v ới nhau Ta có: MedX= m th ỏa 1<m < 2 . đượ c g ọi là các đặ c tr ưng s ố. Có 3 lo ại đặ c tr ưng s ố là Các đặ c tr ưng s ố cho xu h ướ ng trung tâm c ủa BNN: Trung v ị, Mode , Kỳ v ọng , VD 2. Cho BNN X có hàm m ật độ : Các đặ c tr ưng s ố cho độ phân tán c ủa BNN:  2 2 3x− x , x ∈ [0;3] Ph ươ ng sai , Độ l ệch chu ẩn, f( x ) =  9 0,x ∈/ [0; 3]. Các đặ c tr ưng s ố cho d ạng phân ph ối xác su ất.  3.1. TRUNG V Ị và MODE Ta có: PX(≤= m )( PX ≥⇒ m ) MedX =∈ m [0;3] 3.1.1. Trung v ị (tham kh ảo) m 1 2 3 Trung v ị (median) của BNN X , ký hi ệu MedX , là s ố ⇒=(3x − x2 ) dx ⇒=∈ m [0; 3] . 2 9∫ 2 th ực m th ỏa: PX(≤ m ) = PX ( ≥ m ). 0 Ch ươ ng 2. Bi n ng u nhiên Ch ươ ng 2. Bi n ng u nhiên 3.1.2. MODE VD 4. Tìm ModX , bi ết X có b ảng phân ph ối xác su ất: Mode c ủa bi ến ng ẫu nhiên X , ký hi ệu ModX , là giá tr ị X 1 2 4 5 8 x X 0 ∈ th ỏa: P 1− 3 p 0,18 0,07 0,25 p P( X= x ) max n ếu X là rời r ạc, và 0 VD 5. Tìm ModX , bi ết X có hàm m ật độ xác su ất: f( x ) max n ếu X liên t ục có hàm m ật độ f( x ) . 0  3 2  x(4− x ), x ∈ [0;4] Chú ý f( x ) = 64  ModX còn đượ c g ọi là giá tr ị tin ch ắc nh ất c ủa X .  0,x ∉ [0; 4].  Bi ến ng ẫu nhiên X có th ể có nhi ều ModX . VD 3. Cho BNN X có b ảng phân ph ối xác su ất: 3.2. K Ỳ V ỌNG X 0 1 2 4 5 8 3.2.1. Đị nh ngh ĩa Kỳ v ọng ( Expectation ) c ủa bi ến ng ẫu nhiên X , ký hi ệu P 0,10 0,20 0,30 0,05 0,25 0,10 EX hay M X , là m ột s ố th ực đượ c xác đị nh nh ư sau: Ta có : ModX = 2. ( ) Ch ươ ng 2. Bi n ng u nhiên Ch ươ ng 2. Bi n ng u nhiên VD 6. Cho BNN X có b ảng phân ph ối xác su ất: Nếu X là rời r ạc v ới xác su ất PX(= xi ) = p i thì: EX x p X – 1 0 2 3 = ∑ i i . i P 0,1 0,2 0,4 0,3 Tính k ỳ v ọng c ủa X ? Nếu X là liên t ục có hàm m ật độ f( x ) thì: +∞ VD 7. M ột lô hàng g ồm 10 s ản ph ẩm t ốt và 2 ph ế ph ẩm. EX= ∫ xfxdx.() . Lấy ng ẫu nhiên 4 s ản ph ẩm t ừ lô hàng đó, g ọi X là s ố −∞ sản ph ẩm t ốt trong 4 s ản ph ẩm l ấy ra. Đặ c bi ệt Tìm phân ph ối xác su ất và tính k ỳ v ọng của X ? Nếu bi ến ng ẫu nhiên r ời r ạc X= { xx ; ; ; x } v ới 1 2 n VD 8. Tìm k ỳ v ọng c ủa BNN X có hàm m ật độ :  xác su ất t ươ ng ứng là p1, p 2 , , p n thì: 3 2  (x+ 2 x ), x ∈ [0; 1] EX= xp + xp ++ xp . f( x ) = 4 11 22 n n  0, x ∉ [0; 1].  Xác su t - Th ng kê Cao đng 12
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 05, 2011 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 2. Bi n ng u nhiên Ch ươ ng 2. Bi n ng u nhiên Chú ý • Trong th ực t ế s ản xu ất hay kinh doanh, khi c ần ch ọn Nếu X là BNN liên t ục trên [a ; b ] thì EX∈ [ a ; b ] . ph ươ ng án cho năng su ất hay lợi nhu ận cao, ng ườ i ta th ườ ng ch ọn ph ươ ng án sao cho kỳ v ọng năng su ất Nếu X= { x1 , , x n } thì: hay kỳ v ọng lợi nhu ận cao. EX∈ [min{ xx1 , ,n }; max{ xx 1 , , n }] . VD 9. Cho BNN X có b ảng phân ph ối xác su ất: X 1 2 4 5 7 P a 0,2 b 0,2 0,1 VD 10. Một th ống kê cho bi ết t ỉ l ệ tai n ạn xe máy ở thành ph ố H là 0,001. Công ty b ảo hi ểm A đề ngh ị bán Tìm giá tr ị c ủa tham s ố a và b để EX = 3,5 ? lo ại b ảo hi ểm tai n ạn xe máy cho ông B ở thành ph ố H 3.2.2. Ý ngh ĩa c ủa K ỳ v ọng trong 1 n ăm v ới s ố ti ền chi tr ả là 10 (tri ệu đồ ng) , phí • K ỳ v ọng của bi ến ng ẫu nhiên X là giá tr ị trung bình bảo hi ểm là 0,1 (tri ệu đồ ng). H ỏi trung bình công ty A (tính theo xác su ất) mà X nh ận đượ c, nó ph ản ánh giá lãi bao nhiêu khi bán b ảo hi ểm cho ông B ? tr ị trung tâm phân ph ối xác su ất c ủa X . Ch ươ ng 2. Bi n ng u nhiên Ch ươ ng 2. Bi n ng u nhiên VD 11. Ông A tham gia m ột trò ch ơi đỏ , đen nh ư sau: 3.2.3. K ỳ v ọng c ủa hàm c ủa bi ến ng ẫu nhiên Trong m ột h ộp có 4 bi đỏ và 6 bi đen. M ỗi l ần ông A Gi ả s ử Y= ϕ ( X ) là hàm c ủa bi ến ng ẫu nhiên X . lấy ra 1 bi: n ếu l à đỏ thì đượ c th ưở ng 100 (ngàn đồ ng), nếu là đen thì b ị m ất 70 (ngàn đồ ng). Hỏi trung bình Nếu X là bi ến ng ẫu nhiên r ời r ạc thì: mỗi l ần lấy bi ông A nh ận đượ c bao nhiêu ti ền? EY y p x p =∑ii. = ∑ ϕ ( ii ). i i VD 12. Ng ườ i th ợ chép tranh mỗi tu ần chép hai b ức tranh độ c l ập A và B v ới xác su ất h ỏng t ươ ng ứng là Nếu X là bi ến ng ẫu nhiên liên t ục thì: 0,03 và 0,05. Nếu thành công thì ng ườ i th ợ sẽ ki ếm l ời +∞ +∞ từ bức tranh A là 1,3 tri ệu đồ ng và B là 0,9 tri ệu đồ ng, EY= yfxdx.() = ϕ ().() xfxdx nh ưng n ếu h ỏng thì b ị l ỗ do bức tranh A là 0,8 tri ệu ∫ ∫ −∞ −∞ đồ ng và do B là 0,6 tri ệu đồ ng. H ỏi trung bình ng ườ i th ợ nh ận đượ c bao nhiêu ti ền chép tranh m ỗi tuần? Chú ý A. 2,185 tri ệu đồ ng; B. 2,148 tri ệu đồ ng. Khi bi ến ng ẫu nhiên X là r ời r ạc thì ta nên l ập b ảng C. 2,116 tri ệu đồ ng ; D. 2 ,062 tri ệu đồ ng . phân ph ối xác su ất c ủa Y , r ồi tính EY . Ch ươ ng 2. Bi n ng u nhiên Ch ươ ng 2. Bi n ng u nhiên VD 13. Cho BNN X có b ảng phân ph ối xác su ất: 3.3. PHƯƠ NG SAI X –1 0 1 2 3.3.1. Đị nh ngh ĩa P 0,1 0,3 0,35 0,25 Ph ươ ng sai (Variance hay Dispersion ) của bi ến ng ẫu nhiên X , ký hi ệu VarX hay D X , là m ột s ố th ực Tính EY v ới Y= X 2 − 3 ? ( ) không âm đượ c xác đị nh b ởi: VD 14. Cho BNN X có hàm mật độ xác su ất: VarX= E( X − EX )2 = E ()(). X 2 − EX 2  2  , x ∈ [1; 2] f( x ) =  2 Nếu BNN X là r ời r ạc và PX(= x ) = p thì: x i i  2  0, x ∉ [1; 2].    2  VarX= xp. −  xp . . 5 2 ∑ii ∑ ii  Tính EY v ới Y= X − ? i i   X Xác su t - Th ng kê Cao đng 13
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 05, 2011 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 2. Bi n ng u nhiên Ch ươ ng 2. Bi n ng u nhiên Nếu BNN X là liên t ục và có hàm m ật độ f( x ) thì: VD 16. Tính ph ươ ng sai c ủa X , bi ết hàm m ật độ : 2 3 +∞ +∞   (x2 + 2 x ), x ∈ [0; 1] 2   f( x ) =  VarX= xfxdx.() −  xfxdx .() . 4 ∫ ∫  0, x ∉ [0; 1]. −∞ −∞    3.3.2. Ý ngh ĩa c ủa Ph ươ ng sai VD 15. Cho BNN X có b ảng phân ph ối xác su ất: X 1 2 3 • (X− EX ) 2 là bình ph ươ ng sai bi ệt gi ữa giá tr ị c ủa X P 0,2 0,7 0,1 so v ới trung bình c ủa nó. Và ph ươ ng sai là trung b ình Ta có: VarX =(12 .0,2 + 2 2 .0,7 + 3 2 .0,1) của sai bi ệt này, nên phươ ng sai cho ta hình ảnh v ề sự 2 phân tán c ủa các s ố li ệu: ph ươ ng sai càng nh ỏ thì số −(1.0,2 + 2.0,7 + 3.0,1) = 0,29 . li ệu càng t ập trung xung quanh trung bình c ủa chúng . Ch ươ ng 2. Bi n ng u nhiên BÀI T ẬP TR ẮC NGHI ỆM • Trong k ỹ thu ật, ph ươ ng sai đặ c tr ưng cho độ sai s ố c ủa Ch ươ ng 2 thi ết b ị. Trong kinh doanh, ph ươ ng sai đặ c tr ưng cho Câu 1. Cho BNN r ời r ạc X có b ảng phân ph ối xác su ất: độ r ủi ro đầ u t ư. X – 1 0 2 4 5 • Do đơ n v ị đo c ủa VarX b ằng bình ph ươ ng đơ n v ị đo P 0,15 0,10 0,45 0,05 0,25 của X nên để so sánh đượ c v ới các đặ c tr ưng khác , Giá tr ị c ủa P[(−<≤ 1 X 2)∪ ( X = 5)] là: ng ườ i ta đư a vào khái ni ệm độ l ệch tiêu chu ẩn A. 0,9 ; B. 0,8 ; C. 0,7 ; D. 0,6. (standard deviation ) là: σ = VarX . Câu 2. Cho BNN r ời r ạc X có b ảng phân ph ối xác su ất: X 1 2 3 4 P 0,15 0,25 0,40 0,20 Giá tr ị kỳ v ọng c ủa X là: A. 2,6 ; B. 2,8 ; C. 2,65 ; D. 1,97 . Câu 3. Cho BNN r ời r ạc X có b ảng phân ph ối xác su ất: C) D) X 1 2 3 4 X 0 1 2 X 0 1 2 P 0,15 0,25 0,40 0,20 1 7 3 1 4 2 P P Giá tr ị ph ươ ng sai c ủa X là: 3 15 15 3 15 5 A. 5,3 ; B. 7,0225 ; C. 7,95 ; D. 0,9275. Câu 5. Cho BNN r ời r ạc X có hàm phân ph ối xác su ất: Câu 4. M ột ki ện hàng có 6 s ản ph ẩm t ốt và 4 ph ế ph ẩm.  0khi x ≤ 1 Ch ọn ng ẫu nhiên t ừ ki ện hàng đó ra 2 s ản ph ẩm. G ọi X  F() x= 0,19 khi 1 < x ≤ 2 là s ố ph ế ph ẩm trong 2 s ản ph ẩm ch ọn ra.  1khi 2< x . B ảng phân ph ối xác su ất c ủa X là:  A) B) Bảng phân ph ối xác su ất c ủa X là: X 0 1 2 X 0 1 2 A) B) 2 8 1 1 8 2 0 1 2 0 1 2 P P X X 15 15 3 3 15 15 P 0 0,19 0,81 P 0,19 0,51 0,3 Xác su t - Th ng kê Cao đng 14
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 05, 2011 dvntailieu.wordpress.com C) D) C) D) X 1 2 X 1 2 X 0 1 2 X 0 1 2 P 0,29 0,71 P 0,19 0,81 9 30 11 9 11 30 P P 50 50 50 50 50 50 Câu 6. Lô hàng I có 3 s ản ph ẩm t ốt và 2 ph ế ph ẩm, lô hàng II có 2 s ản ph ẩm t ốt và 2 ph ế ph ẩm. Ch ọn ng ẫu Câu 7. Ki ện hàng I có 3 s ản ph ẩm t ốt và 2 ph ế ph ẩm, nhiên t ừ lô hàng I ra 1 s ản ph ẩm và b ỏ vào lô hàng II , ki ện hàng II có 2 s ản ph ẩm t ốt và 4 ph ế ph ẩm. sau đó t ừ lô hàng II ch ọn ng ẫu nhiên ra 2 s ản ph ẩm. G ọi Ch ọn ng ẫu nhiên t ừ ki ện hàng I X là s ố s ản ph ẩm t ốt ch ọn đượ c t ừ lô hàng II. 0,x < 0 ra 1 s ản ph ẩm và t ừ ki ện  Bảng phân ph ối xác su ất c ủa X là: 1 hàng II ra 1 s ản ph ẩm.  , 0≤x < 1 A) B)  G ọi X là s ố ph ế ph ẩm A. F( x ) = 5 X 0 1 2 X 0 1 2 ch ọn đượ c. Hàm phân ph ối 11  , 1≤x < 2 11 30 9 11 9 30 xác su ất Fx PX x của X là:  P P ()= ( < ) 15 1, 2 ≤ x 50 50 50 50 50 50   0,x ≤ 0  Câu 8. Cho BNN liên t ục X có hàm mật độ xác su ất: 1  , 0<x ≤ 1 2 5  x, x ∈ [ − 1; 2] B. F( x ) =  f( x ) = 3 11   , 1<x ≤ 2 0,x ∉ [ − 1; 2].   15 1, 2 < x Hàm phân ph ối xác su ất Fx()= PX ( < x ) của X là:     0,x ≤ 0 0,x < 0 0khi x ≤ − 1    1 1    1 2  , 0<x ≤ 1  , 0≤x < 1 A. Fx()= ( x − 1) khi −<≤ 1 x 2 5 5 C. F( x ) =  D. F( x ) =  3  8  8 1khi 2< x .  , 1<x ≤ 2  , 1≤x < 2  15 15 1, 2 < x 1, 2 ≤ x    0khi x < − 1 Câu 9. Bi ến ng ẫu nhiên X có hàm m ật độ xác su ất:   3 1 2  2 B. Fx()= ( x − 1) khi −≤< 1 x 2  x, x ∈ ( − 2;2) 3 f( x ) = 16   0, x ∉ ( − 2; 2) 1khi 2≤ x .   2  Giá tr ị c ủa P2< Y ≤ 5 v ới Y= X + 1 là: 0khi x ≤ − 1 ( )  A. 0, 3125 ; B. 0, 4375 ; C. 0, 875 ; D. 0,625 . 1 2 C. Fx()= xkhi −<≤ 1 x 2 Câu 10. Theo th ống kê trung bình c ứ 1.000 ng ườ i dân ở 3  độ tu ổi 40 thì sau 1 n ăm có 996 ng ườ i còn s ống. M ột 1khi 2< x .  công ty b ảo hi ểm nhân th ọ bán b ảo hi ểm 1 n ăm cho  0khi x < − 1 nh ững ng ườ i ở độ tu ổi này v ới giá 1,5 tri ệu đồ ng, n ếu  ng ườ i mua b ảo hi ểm ch ết thì s ố ti ền b ồi th ườ ng là 300 1 2 D. Fx()= xkhi −≤< 1 x 2 tri ệu đồ ng. Gi ả s ử công ty bán đượ c 40.000 h ợp đồ ng 3  bảo hi ểm lo ại này (m ỗi h ợp đồ ng ứng v ới 1 ng ườ i mua 1khi 2≤ x .  bảo hi ểm) trong 1 n ăm. Xác su t - Th ng kê Cao đng 15
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 05, 2011 dvntailieu.wordpress.com H ỏi trong 1 n ăm l ợi nhu ận trung bình thu đượ c c ủa công Câu 12. M ột c ửa hàng điện máy bán 1 chi ếc máy l ạnh ty v ề lo ại b ảo hi ểm này là bao nhiêu ? A thì l ời 850.000 đồ ng nh ưng n ếu chi ếc máy l ạnh đó A. 1,2 t ỉ đồ ng; B. 1,5 t ỉ đồ ng; ph ải b ảo hành thì l ỗ 1.000.000 đồ ng. Bi ết xác su ất máy C. 12 t ỉ đồ ng; D. 15 t ỉ đồ ng. lạnh A ph ải b ảo hành c ủa c ửa hàng là p = 15% , tính mức l ời trung bình khi bán 1 chi ếc máy l ạnh A ? Câu 11. Theo th ống kê trung bình c ứ 1.000 ng ườ i đi xe A. 722.500 đồ ng; B. 675.500 đồ ng; máy thì có 25 ng ườ i b ị tai n ạn trong 1 n ăm. M ột công C. 605.500 đồ ng ; D. 572.500 đồ ng . ty b ảo h iểm bán b ảo hi ểm lo ại này cho 20.000 ng ườ i trong 1 n ăm v ới giá 98 ngàn đồ ng và m ức chi tr ả khi b ị Câu 13. M ột c ửa hàng điện máy bán 1 chi ếc tivi thì l ời tai n ạn là 3 tri ệu đồ ng. 500.000 đồ ng nh ưng n ếu chi ếc tivi đó ph ải b ảo hành thì H ỏi trong 1 n ăm l ợi nhu ận trung bình thu đượ c c ủa công lỗ 700.000 đồ ng. Tính xác su ất tivi ph ải b ảo hành c ủa ty v ề lo ại b ảo hi ểm này là bao nhiêu ? cửa hàng để m ức l ời trung bình khi bán 1 chi ếc tivi là A. 445 tri ệu đồ ng; B. 450 tri ệu đồ ng; 356.000 đồ ng ? C. 455 tri ệu đồ ng ; D. 460 tri ệu đồ ng . A. 10% ; B. 12% ; C. 15% ; D. 23% . Câu 14. Cho BNN liên t ục X có hàm m ật độ xác su ất: Câu 16. Cho BNN liên t ục X có hàm m ật độ xác su ất:  2 axx2 x axx(3− ), 0 ≤ x ≤ 3  (3− ), 0 ≤ ≤ 3 f( x ) =  . f( x ) =  .  0, x ∉ [0; 3]  0, x ∉ [0; 3]   Giá tr ị trung bình của X là: Giá tr ị trung bình của Y v ới Y= 3 X 2 là: A. EX = 1,2 ; B. EX = 1,4 ; A. EY = 8,1 ; B. EY = 7,9 ; C. EX = 1,5 ; D. EX = 2,4 . C. EY = 4,5 ; D. EY = 5,4 . Câu 15. Cho BNN liên t ục X có hàm m ật độ xác su ất: Câu 17. Cho BNN liên t ục X có hàm m ật độ xác su ất:  2  2 axx(3− ), 0 ≤ x ≤ 3 axx(3− ), 0 ≤ x ≤ 3 f( x ) =  . f( x ) =  .  0, x ∉ [0; 3]  0, x ∉ [0; 3]   Giá tr ị ph ươ ng sai của X là: Giá tr ị ph ươ ng sai của Y v ới Y= 3 X 2 là: A. VarX = 0,64 ; B. VarX = 1,5 ; A. VarY = 38, 0329 ; B. VarY = 38,5329 ; C. VarX = 2,7 ; D. VarX = 0,45 . C. VarY = 38,9672 ; D. VarY = 39,0075 . Câu 18. Cho BNN liên t ục X có hàm m ật độ xác su ất: Câu 20. BNN liên t ục X có hàm phân ph ối xác su ất: axx2 x  (3− ), 0 ≤ ≤ 3  f( x ) =  .  0, x ≤ 1  0, x ∉ [0; 3]   x −1 Giá tr ị của ModX là: F( x )= , 1 < x ≤ 3  2 A. ModX = 1,5 ; B. ModX = 0;   1, 3< x . C. ModX = 1; D. ModX = 3.  Giá tr ị ph ươ ng sai của X là: Câu 19. Cho BNN liên t ục X có hàm m ật độ xác su ất: 1 1  2 A. VarX = ; B. VarX = ; axx(3− ), 0 ≤ x ≤ 3 f( x ) =  . 4 6  0, x ∉ [0; 3] 1 1  C. VarX = ; D. VarX = . Giá tr ị c ủa xác su ất p= P(1 < X ≤ 2) là: 2 3 A. p = 0,4815 ; B. p = 0,4915 ; C. p = 0,5015 ; D. p = 0,5115 . Xác su t - Th ng kê Cao đng 16
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 05, 2011 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 3. Phân ph i xác su t thông dng Ch ươ ng 3. Phân ph i xác su t thông dng §1. Phân ph ối Siêu b ội §2. Phân ph ối Nh ị th ức • Xác su ất trong n ph ần t ử ch ọn ra có k ph ần t ử A là: §3. Phân ph ối Poisson §4. Phân ph ối Chu ẩn k n− k §5. Các loại x ấp x ỉ phân ph ối xác su ất CN C N− N p= PX( = k ) = A A . §1. PHÂN PH ỐI SIÊU B ỘI k n CN 1.1. Đị nh ngh ĩa Trong đó: • Xét t ập có N ph ần t ử g ồm N ph ần t ử có tính ch ất A A 0 ≤k ≤ n và n−( NN −A ) ≤≤ kN A . và N− N A ph ần t ử có tính ch ất A. T ừ t ập đó, ta ch ọn ra n ph ần t ử. • Gọi X là s ố ph ần t ử có tính ch ất A lẫn trong n ph ần t ử VD 1. M ột hộp ph ấn g ồm 10 viên, trong đó có 6 viên đã ch ọn thì X có phân ph ối Siêu b ội (Hypergeometric màu tr ắng. L ấy ng ẫu nhiên 3 viên ph ấn t ừ h ộp này . G ọi distribution ) v ới 3 tham s ố N , N , n . X là s ố viên ph ấn tr ắng l ấy đượ c. L ập b ảng phân ph ối A xác su ất c ủa X ? ∼ Ký hi ệu là: X∈ HNN(,A ,) n hay X HNN( ,A ,). n Ch ươ ng 3. Phân ph i xác su t thông dng Ch ươ ng 3. Phân ph i xác su t thông dng Gi ải. Ta có: X = {0; 1; 2; 3} và 1.2. Các số đặ c tr ưng c ủa X ~ H (N, N A, n ) N=10, NA = 6, n =⇒∈ 3 XH (10, 6, 3) . N− n EX= np; VarX = npq . V ậy ta có b ảng phân ph ối xác su ất c ủa X : N −1 X 0 1 2 3 Trong đó: C0 C 3 C1 C 2 C2 C 1 C3 C 0 N 6 4 6 4 6 4 6 4 p=A , q = 1 − p . P 3 3 3 3 N C10 C10 C10 C10 VD 3. Tại m ột công trình có 100 ng ườ i đang làm vi ệc, VD 2. Một c ửa hàng bán 10 bóng đèn, trong đó có 3 trong đó có 70 k ỹ s ư. Ch ọn ng ẫu nhiên 40 ng ườ i t ừ bóng h ỏng. M ột ng ườ i ch ọn mua ng ẫu nhiên 5 bóng công trình này. G ọi X là s ố kỹ s ư ch ọn đượ c. đèn t ừ c ửa hàng này. G ọi X là s ố bóng đèn t ốt ng ườ i đó 1) Tính xác su ất ch ọn đượ c t ừ 27 đế n 29 k ỹ s ư ? mua đượ c. Tính xác su ất ng ườ i đó mua đượ c 3 ho ặc 4 2) T ính trung bình s ố k ỹ s ư ch ọn đượ c và VarX ? bóng đèn t ốt? Ch ươ ng 3. Phân ph i xác su t thông dng Ch ươ ng 3. Phân ph i xác su t thông dng §2. PHÂN PH ỐI NH Ị THỨC b) Các s ố đặ c tr ưng c ủa X ~ B (p) 2.1. Phân ph ối Bernoulli EX= p; VarX = pq . a) Đị nh ngh ĩa VD 1. Một câu h ỏi tr ắc nghi ệm có 4 ph ươ ng án tr ả l ời, • Phép th ử Bernoulli là một phép th ử mà ta ch ỉ quan tâm trong đó ch ỉ có 1 ph ươ ng án đúng. M ột sinh viên ch ọn đế n 2 bi ến c ố A và A, v ới P( A ) = p . ng ẫu nhiên 1 ph ươ ng án để tr ả l ời câu h ỏi đó. • Xét bi ến ng ẫu nhiên: G ọi A: “sinh viên này tr ả l ời đúng”.  1 khi A xuaát hieän, X= PApq( ) =−= 1 . Khi đó, việc tr ả l ời câu h ỏi c ủa sinh viên này là m ột 0 khi A xuaát hieän,  phép th ử Bernoulli và p= P( A ) = 0,25 , q = 0,75 . Khi đó, ta nói X có phân ph ối Bernoulli v ới tham s ố p.  1 khi sinh vieân naøy tra ûlôøi ñuùng, Ký hi ệu là X∈ B( p ) hay X∼ B( p ) . G ọi BNN X =  X 0 1 0 khi sinh vieân naøy tra ûlôøi sai, Bảng phân ph ối xác su ất của X là :  P q p thì X∈ B (0,25) và EX=0,25, VarX = 0,1875 . Xác su t - Th ng kê Cao đng 17
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 05, 2011 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 3. Phân ph i xác su t thông dng Ch ươ ng 3. Phân ph i xác su t thông dng 2.2. Phân ph ối Nh ị th ức • Xác su ất trong n l ần th ử có k l ần A xu ất hi ện là: a) Đị nh ngh ĩa k k n− k pk=== PXkCpq( ) n ( k = 0,1, , n ). • Xét dãy n phép th ử Bernoulli độ c l ập. V ới phép th ử VD 2. M ột đề thi XSTK g ồm 20 câu h ỏi tr ắc nghi ệm th ứ i, ta xét bi ến ng ẫu nhiên Xi ∈ B( p ) (i= 1, , n ) .  nh ư trong VD 1. Sinh viên B làm bài m ột cách ng ẫu 1 khi laàn thö ùi A xuaát hieän, Ngh ĩa là: X =  nhiên. Bi ết r ằng, n ếu tr ả l ời đúng 1 câu thì sinh viên B i 0 khi laàn thö ùi A xuaát hieän.  đượ c 0,5 điểm và n ếu tr ả l ời sai 1 câu thì b ị tr ừ 0,125 • Gọi X là s ố l ần bi ến c ố A xu ất hi ện trong n phép th ử. điểm. Tính xác su ất để sinh viên B đạ t điểm 5 ? Khi đó, X= X1 + + X n và ta nói X có phân ph ối b) Các s ố đặ c tr ưng c ủa X ~ B (n, p) Nh ị th ức (Binomial distribution ) v ới tham s ố n , p. EX= np; VarX = npq ; Ký hi ệu là X∈ Bn( , p ) hay X∼ Bnp( , ) . ModX= x0: np −≤≤ q x 0 np −+ q 1. Ch ươ ng 3. Phân ph i xác su t thông dng Ch ươ ng 3. Phân ph i xác su t thông dng VD 3. Ông B tr ồng 100 cây b ạch đàn v ới xác su ất cây 2) Nếu mu ốn trung bình m ỗi n ăm có nhi ều h ơn 100 cây ch ết là 0,02. G ọi X là s ố cây b ạch đàn ch ết. lan quý n ở hoa thì nhà v ườ n ph ải tr ồng t ối thi ểu m ấy 1) Tính xác su ất có từ 3 đế n 5 cây b ạch đàn ch ết ? cây lan quý ? 2) Tính trung bình s ố cây b ạch đàn ch ết và VarX ? 3) Hỏi ông B cần ph ải tr ồng t ối thi ểu m ấy cây b ạch đàn để xác su ất có ít nh ất 1 cây ch ết lớn h ơn 10 % ? VD 5. M ột nhà tuy ển d ụng ki ểm tra ki ến th ức l ần l ượ t các ứng viên, xác su ất đượ c ch ọn c ủa m ỗi ứng viên đề u VD 4. M ột nhà v ườ n tr ồng 126 cây lan quý, xác su ất n ở bằng 0,56. Bi ết xác su ất để nhà tuy ển d ụng ch ọn đúng 8 hoa c ủa m ỗi cây trong 1 n ăm là 0,67. ứng viên là 0,0843. S ố ng ườ i cần ph ải ki ểm tra là: 1) Giá bán 1 cây lan quý nở hoa là 2 tri ệu đồ ng. Gi ả s ử A. 9 ng ườ i; B. 10 ng ườ i; nhà v ườ n bán h ết nh ững cây lan n ở hoa thì m ỗi n ăm C. 12 ng ườ i; D. 13 ng ườ i. nhà v ườ n thu đượ c ch ắc ch ắn nh ất là bao nhiêu ti ền? Ch ươ ng 3. Phân ph i xác su t thông dng Ch ươ ng 3. Phân ph i xác su t thông dng §3. PHÂN PH ỐI POISSON VD 1. Quan sát t ại siêu th ị A th ấy trung bình 5 phút có 18 khách đế n mua hàng. 3.1. Đị nh ngh ĩa 1) Tính xác su ất để trong 7 phút có 25 khách đế n siêu Bi ến ng ẫu nhiên X đượ c g ọi là có phân ph ối Poisson th ị A ? tham s ố λ > 0, ký hi ệu là X∈ P ( λ ) hay X∼ P (λ ) , 2) Tính xác su ất để trong 2 phút có t ừ 3 đế n 5 khách đế n nếu X nh ận các giá tr ị 0, 1, 2, , n , với xác su ất: siêu th ị A ? e−λ .λk 3) Tính s ố khách ch ắc ch ắn nh ất s ẽ đế n siêu th ị A trong pPXk=( == ) ( k = 0,1, ,, ). n 1 gi ờ ? k k ! Trong đó, λ là trung bình s ố l ần xu ất hi ện bi ến c ố nào VD 2. Quan sát th ấy trung bình 1 phút có 3 ôtô đi qua đó mà ta quan tâm. tr ạm thu phí. Bi ết xác su ất có ít nh ất 1 ôtô đi qua tr ạm 3.2. Các s ố đặ c tr ưng c ủa X ~ P (λ) thu phí trong t phút b ằng 0,9. Giá tr ị c ủa t là: A. 0,9082 phút; B. 0,8591 phút; EX= VarX =λ; ModX = x : λ−≤≤λ1 x . C. 0 ,8514 phút ; D. 0 ,7675 phú t. 0 0 Xác su t - Th ng kê Cao đng 18
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 05, 2011 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 3. Phân ph i xác su t thông dng Ch ươ ng 3. Phân ph i xác su t thông dng §4. PHÂN PH ỐI CHU ẨN b) Các s ố đặ c tr ưng c ủa T ~ N (0; 1) 4.1. Phân ph ối Chu ẩn đơ n gi ản ModT= ET =0; V a rT = 1. a) Đị nh ngh ĩa Bi ến ng ẫu nhiên liên t ục T đượ c g ọi là có phân ph ối c) Xác su ất c ủa T ~ N (0; 1) Chu ẩn đơ n gi ản (hay phân ph ối Gauss ), ký hi ệu là T∈ N (0; 1) hay T∼ N (0; 1) , n ếu hàm mật độ xác • Hàm Laplace su ất c ủa T có d ạng: x t2 − Hàm ϕ()x = ftdtt () ( ≥ 0) đượ c g ọi là hàm Laplace. 1 2 ∫ ft()= e , t ∈ ℝ . 0 2π (Giá tr ị hàm f( t ) đượ c cho trong b ảng ph ụ l ục A). (Giá tr ị hàm ϕ(x ) đượ c cho trong b ảng ph ụ l ục B ). Ch ươ ng 3. Phân ph i xác su t thông dng Ch ươ ng 3. Phân ph i xác su t thông dng • Tính ch ất c ủa hàm Laplace 4.2. Phân ph ối Chu ẩn Hàm ϕ(x ) đồ ng bi ến trên ℝ; a) Đị nh ngh ĩa ϕ() −x = −ϕ () x (hàm ϕ(x ) l ẻ); Biến ng ẫu nhiên liên t ục X đượ c g ọi là có phân ph ối ϕ( −∞ ) = − 0,5 ; ϕ( +∞ ) = 0,5 . Chu ẩn (Normal distribution ) tham s ố và σ2 (σ > 0) , • Công th ức tính xác su ất ký hi ệu là X∈ N (; σ 2 ) hay X∼ N (; σ 2 ) , n ếu hàm b mật độ xác su ất c ủa X có d ạng: PaTb ftdt b a (x− ) 2 (≤≤= ) () =ϕ−ϕ ()(). − ∫ 1 2 a fx()= e2σ , x ∈ ℝ. σ2 π Chú ý b) Các s ố đặ c tr ưng c ủa X ~ N (, σ2) PTb( ) = 0,5 −ϕ () a . Nếu x ≥ 4 thì ϕ(x ) ≈ 0,5 . ModX= EX =; VrXa =σ 2 . Ch ươ ng 3. Phân ph i xác su t thông dng Ch ươ ng 3. Phân ph i xác su t thông dng c) Xác su ất c ủa X ~ N (, σ2) VD 2. Một k ỳ thi đầ u vào ở tr ườ ng chuyên A quy đị nh X − điểm đỗ là t ổng s ố điểm các môn thi không đượ c th ấp Nếu X∈ N ( ; σ 2 ) thì T= ∈ N (0; 1) . σ hơn 15 điểm. Gi ả s ử t ổng điểm các môn thi c ủa h ọc sinh là bi ến ng ẫu nhiên có phân ph ối chu ẩn v ới trung Vậy, ta có công thức tính xác su ất: bình 12 điểm. Bi ết r ằng t ỉ l ệ h ọc sinh thi đỗ là 25,14 %.    b− a −  Độ l ệch chu ẩn là: Pa(≤ X ≤ b ) =ϕ −ϕ   . σ   σ  A. 4 điểm; B. 4,5 điểm; C. 5 điểm; D. 5,5 điểm. VD 3. Gi ả s ử thời gian khách ph ải ch ờ để đượ c ph ục v ụ VD 1. Tốc độ chuy ển d ữ li ệu t ừ máy ch ủ c ủa ký túc xá tại m ột c ửa hàng là BNN X (phút), X∈ N (4,5; 1,21) . đế n máy tính c ủa sinh viên vào bu ổi sáng ch ủ nh ật có 1) Tính xác su ất khách ph ải ch ờ t ừ 3,5 phút đế n 5 phút. phân ph ối chu ẩn v ới trung bình 60Kbits/s và độ l ệch 2) Tính th ời gian t ối thi ểu t n ếu xác su ất khách ph ải ch ờ chu ẩn 4Kbits/s. Xác su ất để t ốc độ chuy ển d ữ li ệu l ớn vượ t quá t là không quá 5%. hơn 63Kbits/s là: VD 4. Cho BNN X có phân ph ối chu ẩn v ới EX = 10 A. 0,2266 ; B. 0,214 4; C. 0, 131 3; D. 0,106 0. và P(10< X < 20) = 0,3 . Tính P(0< X ≤ 15) ? Xác su t - Th ng kê Cao đng 19
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 05, 2011 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 3. Phân ph i xác su t thông dng Ch ươ ng 3. Phân ph i xác su t thông dng §5. CÁC LO ẠI X ẤP X Ỉ PHÂN PH ỐI XÁC SU ẤT Chú ý 5.1. Xấp x ỉ phân ph ối Siêu b ội bởi Nh ị th ức Khi c ỡ m ẫu n khá nh ỏ so v ới kích th ướ c N ( kho ảng 5% N ) c ủa t ổng th ể thì vi ệc l ấy m ẫu có hoàn l ại hay Xét BNN X có phân ph ối Siêu b ội HN(; NA ;) n . không hoàn l ại là nh ư nhau. NA • N ếu p c ố đị nh, N → ∞ và →p =1 − q thì: ộ ườ ắ ở đ N VD 1. M t v n lan có 10.000 cây s p n hoa, trong ó k n− k có 1.000 cây hoa màu đỏ . CN C N− N A A →d Ck p k q n− k . 1) Tính xác su ất để khi ch ọn ng ẫu nhiên 20 cây lan thì n n đượ c 5 cây có hoa màu đỏ . CN 2) Tính xác su ất để khi ch ọn ng ẫu nhiên 50 cây lan thì • Ứng d ụng, n ếu N khá l ớn và n r ất nh ỏ so với N thì: đượ c 10 cây có hoa màu đỏ . N 3) Có th ể tính xác su ất để khi ch ọn ng ẫu nhiên 200 cây X∼ Bnp( ; ), p = A . N lan thì có 5 0 cây hoa màu đỏ đượ c không ? Ch ươ ng 3. Phân ph i xác su t thông dng Ch ươ ng 3. Phân ph i xác su t thông dng 5.2. Xấp x ỉ phân ph ối Nh ị th ức bởi Poisson 2) đúng 34 gói b ị nhi ễm khu ẩn. Xét bi ến ng ẫu nhiên X có phân ph ối Nh ị th ức B( n ; p ) . VD 3. Gi ải câu 3) trong VD 1. • Khi n → ∞, n ếu p → 0 và np → λ thì: −λ k Tóm tt các lo i xp x ri rc k k n− k d e .λ Cn p q → . k ! N A • Ứng d ụng, đặt λ = np . p = N Nếu n đủ lớn và p gần b ằng 0 (ho ặc gần b ằng 1) thì: X∈ HNN(, ,) n X∈ Bn( , p ) X∼ P A Chú ý (λ ). n< 5% N ( ) np < 5 Xấp x ỉ trên sẽ có hi ệu qu ả khi np < 5 hay nq < 5.  N A nq < 5 VD 2. M ột lô hàng th ịt đông l ạnh đóng gói nh ập kh ẩu λ = n.  có ch ứa 0,4% bị nhi ễm khu ẩn. Tìm xác su ất để khi N λ = np ch ọn ng ẫu nhiên 1.000 gói th ịt từ lô hàng này có: Sai s rt ln X∈ P (λ ) 1) không quá 2 gói b ị nhi ễm khu ẩn; Ch ươ ng 3. Phân ph i xác su t thông dng Ch ươ ng 3. Phân ph i xác su t thông dng 5.3. Xấp x ỉ phân ph ối Nh ị th ức b ởi phân ph ối Chu ẩn Chú ý. Khi k = , ta s ử d ụng công th ức hi ệu ch ỉnh: Cho X∈ Bn( ; p ) . N ếu n khá l ớn, np ≥ 5 và nq ≥ 5 PXk(=≈ ) Pk ( − 0,5 ≤≤+ Xk 0,5). thì X∼ N ( ; σ 2 ) v ới =np, σ=2 npq . VD 4. Trong m ột đợ t thi tuy ển công ch ức ở một thành Khi đó: ph ố có 1.000 ng ườ i d ự thi v ới tỉ l ệ thi đạ t là 80%. Tính xác su ất để :   1 k −  PX(= k ). = f   . 1) có 172 ng ườ i không đạ t; σ σ   2) có kho ảng 170 đế n 180 ng ườ i không đạ t. (giá tr ị đượ c cho trong b ảng A v ới f(− x ) = fx () ). VD 5. Trong 10.000 s ản ph ẩm trên m ột dây chuy ền s ản k  k  xu ất có 2.000 s ản ph ẩm không đượ c ki ểm tra ch ất l ượ ng. 2−  1 −  Pk(≤≤ X k ) =ϕ −ϕ   . Tìm xác su ất để trong 400 s ản ph ẩm s ản xu ất ra: 1 2 σ  σ     1) có 80 sản ph ẩm không đượ c ki ểm tra; (giá tr ị đượ c cho trong b ảng B v ới ϕ() −x = −ϕ () x ). 2) có t ừ 70 đế n 100 s ản ph ẩm không đượ c ki ểm tra . Xác su t - Th ng kê Cao đng 20
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 05, 2011 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 3. Phân ph i xác su t thông dng BÀI T ẬP TR ẮC NGHI ỆM Tóm tt xp x Chu n cho Nh th c Ch ươ ng 3  Câu 1. Một thùng bia có 24 chai trong đó để l ẫn 3 chai np ≥ 5  quá h ạn s ử d ụng. Ch ọn ng ẫu nhiên t ừ thùng đó ra 4 chai X∈ Bn( , p ) nq ≥ 5 2  X∈ N ( , σ ) bia . Xác su ất ch ọn ph ải ít nh ất 1 chai bia quá h ạn s ử = np EX= np EX = dụng là: σ2 = npq A. 0,4123 ; B. 0,5868 ; C. 0,4368 ; D. 0,5632 . VarX= npq VarX = σ2 1 k −  Câu 2. Ch ủ v ườ n lan đã để nh ầm 10 ch ậu lan có hoa   đỏ ớ ậ ư ở ⇒PX( = k ) = f   , màu v i 10 ch u lan có hoa màu tím (lan ch a n σ σ   hoa). M ột khách hàng ch ọn ng ẫu nhiên 7 ch ậu t ừ 20    ch ậu lan đó. Xác su ất khách ch ọn đượ c nhi ều h ơn 5 b− a −  Pa( 5,5) là: 32 cu ộc g ọi trong 2 phút là: A. 0,0659 ; B. 0,0481 ; C. 0,0963 ; D. 0,0624 . A. 0,1587 ; B. 0, 3413 ; C. 0,1916 ; D. 0,2707 . Xác su t - Th ng kê Cao đng 21
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 05, 2011 dvntailieu.wordpress.com Câu 14. Th ống kê điểm thi X (điểm) môn XSTK c ủa sinh viên t ại tr ườ ng Đạ i h ọc A cho th ấy X là bi ến ng ẫu Câu 17. M ột lô hàng th ịt đông l ạnh đóng gói nh ập kh ẩu nhiên v ới X∈ N (5,25; 1,25) . T ỉ l ệ sinh viên có điểm với t ỉ l ệ b ị nhi ểm khu ẩn là 1,6%. Ki ểm tra l ần l ượ t ng ẫu thi môn XSTK c ủa tr ườ ng A t ừ 4 đế n 6 điểm là: nhiên 2000 gói th ịt t ừ lô hàng này. Tính xác su ất có A. 56 ,71 %; B. 68 ,72 %; C. 64 ,72 %; D. 61 ,72 %. đúng 36 gói th ịt b ị nhi ểm khu ẩn ? A. 0,1522 ; B. 0 ,2522 ; C. 0,0922 ; D. 0,0522 . Câu 15. Th ời gian X (tháng) t ừ lúc vay đế n lúc tr ả ti ền của 1 khách hàng t ại ngân hàng A là bi ến ng ẫu nhiên có phân ph ối N(18; 16) . Tính t ỉ l ệ khách hàng tr ả ti ền cho ngân hàng A trong kho ảng t ừ 12 đế n 16 tháng ? Câu 18. Trong một kho lúa gi ống có t ỉ l ệ h ạt lúa lai t ạp A. 24,17% ; B. 9,63% ; C. 25,17% ; D. 10,63% . là 2%. Tính xác su ất sao cho khi ch ọn l ần l ượ t 1000 h ạt Câu 16. Chi ều cao c ủa nam gi ới đã tr ưở ng thành là bi ến lúa gi ống trong kho thì có t ừ 17 đế n 19 h ạt lúa lai tạp ? ng ẫu nhiên X (cm) có phân ph ối N(165; 25) . T ỉ l ệ A. 0,2492 ; B. 0,3492 ; C. 0,0942 ; D. 0,0342 . nam gi ới đã tr ưở ng thành cao t ừ 1,65m đế n 1,75m là: A. 1,6% ; B. 42,75% ; C. 45,96% ; D. 47,73% . Câu 19. Một khách s ạn nh ận đặ t ch ỗ c ủa 585 khách PH ẦN II. LÝ THUY ẾT TH ỐNG KÊ hàng cho 500 phòng vào ngày 2/9 vì theo kinh nghi ệm (Statistical theory ) của nh ững n ăm tr ướ c cho th ấy có 15% khách đặ t ch ỗ nh ưng không đế n. Bi ết m ỗi khách đặ t 1 phòng, tính xác Ch ươ ng IV. MẪU TH ỐNG KÊ su ất có t ừ 494 đế n 499 khách đặ t ch ỗ và đế n nh ận VÀ ƯỚ C L ƯỢ NG THAM S Ố phòng vào ngày 2/9 ? §1. Lý thuy ết m ẫu A. 0,0273 ; B. 0,1273 ; C. 0,2273 ; D. 0,3273 . §2. Ướ c l ượ ng kho ảng Câu 20. T ỉ l ệ thanh ni ên đã t ốt nghi ệp THPT c ủa qu ận A là 75%. Trong đợ t tuy ển quân đi ngh ĩa v ụ quân s ự §1. LÝ THUY ẾT M ẪU năm nay, qu ận A đã g ọi ng ẫu nhiên 325 thanh niên. 1.1. M ẫu và t ổng th ể Tính xác su ất để có t ừ 80 đế n 84 thanh niê n b ị lo ại do ch ưa t ốt nghi ệp THPT ? • T ập h ợp tất c ả ph ần t ử là các đố i t ượ ng mà ta nghiên A. 13,79% ; B. 20,04% ; C. 26,32% ; D. 28,69% . cứu đượ c g ọi là tổng th ể. S ố ph ần t ử c ủa t ổng th ể đượ c gọi là kích th ướ c c ủa t ổng th ể (th ườ ng r ất l ớn) . Ch ươ ng 4. Mu th ng kê & Ưc lưng tham s Ch ươ ng 4. Mu th ng kê & Ưc lưng tham s • T ừ t ổng th ể ta ch ọn ra n ph ần t ử thì n ph ần t ử đó đượ c • Mẫu đị nh tính là m ẫu mà ta ch ỉ quan tâm đế n các ph ần gọi là m ột mẫu có kích th ướ c n (cỡ m ẫu). t ử c ủa nó có tính ch ất A nào đó hay không. • Mẫu đượ c ch ọn ng ẫu nhiên m ột cách khách quan đượ c • Mẫu đị nh l ượ ng là m ẫu mà ta quan tâm đế n các yếu t ố gọi là mẫu ng ẫu nhiên . v ề l ượ ng (nh ư chi ều dài, cân n ặng, ) c ủa các ph ần t ử có trong m ẫu. • Có hai cách l ấy mẫu: Mẫu có hoàn l ại: ph ần t ử v ừa quan sát xong đượ c • G ọi X1, X 2 , , X n là nh ững k ết qu ả quan sát. Ta xem tr ả l ại cho t ổng th ể tr ướ c khi quan sát l ần sau. nh ư đã quan sát n l ần, m ỗi l ần ta đượ c một bi ến ng ẫu Mẫu không hoàn l ại: Ph ần t ử v ừa quan sát xong nhiên Xi ( i= 1, , n ) . không đượ c tr ả l ại cho t ổng th ể. Do ta th ườ ng l ấy m ẫu trong t ổng th ể có r ất nhi ều ph ần Khi m ẫu có kích th ướ c l ớn thì ta không phân bi ệt m ẫu tử nên X1, X 2 , , X n đượ c xem là độ c l ập và có cùng có hoàn l ại hay không hoàn l ại. phân ph ối xác su ất. Xác su t - Th ng kê Cao đng 22
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 05, 2011 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 4. Mu th ng kê & Ưc lưng tham s Ch ươ ng 4. Mu th ng kê & Ưc lưng tham s 1.2. S ắp x ếp mẫu d ựa vào số li ệu th ực nghi ệm Các thanh niên có chi ều cao trong cùng 1 kho ảng đượ c a) S ắp x ếp theo dạng b ảng xem là cao nh ư nhau. Khi đó, ta có b ảng s ố li ệu ở d ạng kho ảng nh ư sau: VD 1. Ki ểm tra ng ẫu nhiên 50 sinh viên. Ta s ắp x ếp X 148-152 152-156 156-160 160-164 164-168 điểm s ố X thu đượ c theo th ứ t ự t ăng d ần và s ố sinh n 5 20 35 25 15 viên n có điểm t ươ ng ứng vào b ảng nh ư sau: X ( điểm) 2 4 5 6 7 8 9 10 Khi c ần tính toán, ng ườ i ta ch ọn số trung bình c ủa m ỗi n (s ố SV) 4 6 20 10 5 2 2 1 kho ảng để đư a s ố li ệu trên v ề d ạng b ảng: X 150 154 158 162 166 b) S ắp x ếp theo d ạng kho ảng n 5 20 35 25 15 VD 2. Đo chi ều cao X (cm) c ủa n = 100 thanh niên. Chú ý Vì chi ều cao khác nhau nên để ti ện vi ệc s ắp x ếp, ng ườ i Đố i v ới tr ườ ng h ợp s ố li ệu đượ c cho dướ i d ạng li ệt kê ta chia chi ều cao thành nhi ều kho ảng. thì ta s ắp x ếp l ại ở d ạng b ảng. Ch ươ ng 4. Mu th ng kê & Ưc lưng tham s Ch ươ ng 4. Mu th ng kê & Ưc lưng tham s 1.3. Các đặ c tr ưng m ẫu Xét m ột m ẫu ng ẫu nhiên (X , X , , X ) , ta có các đặ c • Ph ươ ng sai m ẫu hi ệu ch ỉnh: 1 2 n n 1 2 tr ưng m ẫu nh ư sau. SS2 2 XX =n =∑() i − . a) Trung bình m ẫu n −1 i=1 n 1 X= X . • Trong tính toán c ụ th ể, ta s ử d ụng công th ức: nn ∑ i i=1 2 2n 2  n 2 Để đơ n gi ản, ta dùng ký hi ệu X= X . S= XX −  = S ˆ . n n−1( )  n − 1 b) Ph ươ ng sai m ẫu   n • Ph ươ ng sai m ẫu: 21 2 Với X= X . n ∑ i 1 2 n i=1 SSˆ2 ˆ 2 XX =n =∑() i − . n i=1 Ch ươ ng 4. Mu th ng kê & Ưc lưng tham s Dùng máy tính b túi đ tính đc tr ưng mu c) Tỉ l ệ m ẫu SỬ D ỤNG MÁY TÍNH B Ỏ TÚI ĐỂ TÍNH CÁC ĐẶ C TR ƯNG C ỦA M ẪU Xét mẫu đị nh tính v ới các bi ến Xi (i= 1, , n ) có phân ph ối Bernoulli B(1; p ) : 1. Số li ệu đơ n (không có t ần s ố)  VD 1. Cho m ẫu có c ỡ m ẫu là n = 5: 0, neáu phaàn töû khoâng co ùtính chaát A Xi =  12; 13; 11; 14; 11. 1, neáu phaàn töû co ùtính chaát A.  a) Máy fx 500 – 570 MS • Xóa bộ nh ớ: SHIFT → MODE → 3 → = → = Nếu m ẫu có m ph ần t ử có tính ch ất A thì t ỉ l ệ m ẫu là: • Vào ch ế độ th ống kê nh ập d ữ li ệu: X+ X + + X m – MODE → 2 (ch ọn SD đố i v ới fx 500MS); F= F =1 2 n = . n n n MODE → MODE → 1 (ch ọn SD đố i v ới fx 570MS). – Nh ập các s ố: 12 M+ 13 M+ 11 M+ 14 M+ 11 M+ Xác su t - Th ng kê Cao đng 23
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 05, 2011 dvntailieu.wordpress.com Dùng máy tính b túi đ tính đc tr ưng mu Dùng máy tính b túi đ tính đc tr ưng mu • Xu ất k ết qu ả: – MODE → 3 (stat) → 1 (1-var) → (nh ập các s ố): – SHIFT → 2 → 1 → = 12= 13= 11= 14= 11= → AC (kết qu ả x là trung bình m ẫu). • Xu ất k ết qu ả: – SHIFT → 2 → 2 → = – SHIFT → 1 → 5 (var) → 1 → = (n : c ỡ m ẫu) (kết qu ả xσn là độ l ệch chu ẩn c ủa m ẫu sˆ). – SHIFT → 1 → 5 (var) → 2 → = ( x ) – SHIFT → 2 → 3 → = – SHIFT → 1 → 5 (var) → 3 → = ( xσn = sˆ). (xσn − 1 là độ l ệch chu ẩn c ủa m ẫu có hi ệu ch ỉnh s ). – SHIFT → 1 → 5 (var) → 4 → = ( xσn −1 = s ). b) Máy fx 500 – 570 ES 2. S ố li ệu có t ần s ố • Xóa bộ nh ớ: SHIFT → 9 → 3 → = → = VD 2. Cho m ẫu có c ỡ m ẫu là n = 9 nh ư sau: • Vào ch ế độ th ống kê nh ập d ữ li ệu: 12 11 15 – SHIFT → MODE → dịch chuy ển m ũi tên tìm ch ọn X n 3 2 4 m ục Stat → 2 ( ch ế độ không t ần s ố). Dùng máy tính b túi đ tính đc tr ưng mu Dùng máy tính b túi đ tính đc tr ưng mu b) Máy fx 500 – 570 ES a) Máy fx 500 – 570 MS • Xóa bộ nh ớ: SHIFT → 9 → 3 → = → = • Xóa bộ nh ớ: SHIFT → MODE → 3 → = → = • Vào ch ế độ th ống kê nh ập d ữ li ệu: • Vào ch ế độ th ống kê nh ập d ữ li ệu: – SHIFT → MODE (SETUP) dịch chuy ển m ũi tên – MODE → 2 (ch ọn SD đố i v ới fx 500MS); → 4 → 1 MODE → MODE → 1 (ch ọn SD đối v ới fx 570MS). – MODE → 3 (stat) → 1 (1-var) – Nh ập các s ố: – Nhập các giá tr ị và t ần s ố vào 2 c ột trên màn hình: 12 → SHIFT → , → 3 → M+ X FREQ 11 → SHIFT → , → 2 → M+ 12 3 15 → SHIFT → , → 4 → M+ 11 2 15 4 → AC • Xu ất k ết qu ả, ta làm nh ư 1a). • Xu ất k ết qu ả, làm nh ư 1b). Dùng máy tính b túi đ tính đc tr ưng mu Dùng máy tính b túi đ tính đc tr ưng mu VD 3. Điều tra n ăng su ất c ủa 100 ha lúa trong vùng A, Gi ải ta có b ảng s ố li ệu sau: Bảng s ố li ệu đượ c vi ết l ại: Năng su ất 3 - 3,5 4 - 4,5 5 - 5,5 6 - 6,5 Năng (t ấn/ha) 3,5 - 4 4,5 - 5 5,5 - 6 6,5 - 7 su ất 3,25 3,75 4,25 4,75 5,25 5,75 6,25 6,75 Di ện tích(ha) 7 12 18 27 20 8 5 3 (t ấn/ha) Di ện Nh ững th ửa ru ộng có n ăng su ất ít h ơn 4,4 t ấn/ha là có 7 12 18 27 20 8 5 3 năng su ất th ấp. tích(ha) Dùng máy tính b ỏ túi để tính: m 7+ 12 + 18 1) tỉ l ệ di ện tích lúa có n ăng su ất th ấp; 1) f = = = 37% . 2) năng su ất lúa trung bình, ph ươ ng sai m ẫu ch ưa hi ệu n 100 ch ỉnh và độ l ệch chu ẩn c ủa m ẫu có hi ệu ch ỉnh. 2) x=4,75; sˆ2 = 0,685; s = 0,8318 . Xác su t - Th ng kê Cao đng 24
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 05, 2011 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 4. Mu th ng kê & Ưc lưng tham s Ch ươ ng 4. Mu th ng kê & Ưc lưng tham s §2. ƯỚ C L ƯỢ NG KHO ẢNG 2.2. Ướ c l ượ ng kho ảng cho trung bình t ổng th ể Gi ả s ử t ổng th ể X có trung bình ch ưa bi ết. 2.1. Đị nh ngh ĩa V ới độ tin c ậy 1 − α cho tr ướ c, ta đi tìm kho ảng ướ c • Xét th ống kê T ướ c l ượ ng tham s ố θ, kho ảng (θ ; θ ) 1 2 lượ ng cho là (1 ; 2 ) th ỏa P(1 << 2 ) = 1 −α . đượ c g ọi là kho ảng ướ c l ượ ng nếu v ới xác su ất 1 − α Trong th ực hành, ta có 4 tr ườ ng h ợp sau. cho tr ướ c thì P(θ1 <θ<θ 2 ) = 1 −α . a) Tr ườ ng h ợp 1. Kích th ướ c m ẫu n ≥ 30 và ph ươ ng sai t ổng th ể σ2 đã bi ết. • Xác su ất đượ c g ọi là độ tin c ậy c ủa ướ c l ượ ng, 1 − α • T ừ m ẫu ta tính x (trung bình m ẫu). 2ε=θ −θ đượ c g ọi là độ dài của kho ảng ướ c l ượ ng 2 1 1− α tra baûng B và ε đượ c g ọi là độ chính xác c ủa ướ c l ượ ng. • Từ 1−α⇒ =ϕ (t ) → t . 2 α α • Bài toán đi tìm kho ảng ướ c l ượ ng cho θ đượ c g ọi là σ x−ε; x +ε , ε= t bài toán ướ c l ượ ng kho ảng . • Kho ảng ướ c l ượ ng là: ( ) α n t2 1 − Tra bng B f( t ) = e 2 t P(− 1,96 << T 1,96) = 95% 1− α α 2π =ϕ t = ftdt( ) ()α ∫ 2 0 X − T = σ P T t ( <5% ) = 95% n 1− α 2 −1,96 1,96 ε tα t t − 5% 5% σ σ α −<<tTt5% 5% ⇒− Xt 5%. <<+ Xt 5% . n n Ch ươ ng 4. Mu th ng kê & Ưc lưng tham s Ch ươ ng 4. Mu th ng kê & Ưc lưng tham s b) Tr ườ ng h ợp 2. Kích th ướ c m ẫu n và ≥ 30 c) Tr ườ ng h ợp 3. Kích th ướ c m ẫu n < 30 , σ2 đã bi ết và 2 ph ươ ng sai t ổng th ể σ ch ưa bi ết. X có phân ph ối chu ẩn thì ta làm nh ư tr ườ ng h ợp 1. • Tính x và s ( độ l ệch chu ẩn m ẫu đã hi ệu ch ỉnh). 1 − α 2 • Từ 1−α⇒ =ϕ (t ) →tra baûng B t . d) Tr ườ ng h ợp 4. Kích th ướ c m ẫu n < 30 , σ ch ưa bi ết 2 α α và X có phân ph ối chu ẩn. s • T ừ m ẫu ta tính x, s . • Kho ảng ướ c l ượ ng là: (x−ε; x +ε) , ε= t α . n tra baûng C n−1 • Từ 1 − α ⇒ α →tα Chú ý (nh ớ gi ảm b ậc thành n −1 r ồi m ới tra b ảng!) Mối liên h ệ gi ữa độ l ệch chu ẩn m ẫu đã hi ệu ch ỉnh s và • Kho ảng ướ c l ượ ng là: ch ưa hi ệu ch ỉnh sˆ là: s x x t n−1 n n ( −ε; +ε) , ε= α s2= ssˆ 2 ⇒ = sˆ 2 . n n−1 n − 1 Xác su t - Th ng kê Cao đng 25
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 05, 2011 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 4. Mu th ng kê & Ưc lưng tham s Ch ươ ng 4. Mu th ng kê & Ưc lưng tham s Bài 3. Tìm c mu (ta ch xét TH1 và TH2) CÁC BÀI TOÁN V Ư C LƯ NG KHO NG Ta c ñnh s (hay σ) ñ tìm c mu N. Bài 1. Ưc lư ng kho ng Tùy theo bài toán thu c trư ng hp nào, ta s dng a) Nu ε > ε’ thì ta gi i bt ñng th c: tr c ti p công th c ca trư ng hp ñó.   2 s s  Bài 2. Tìm ñ tin cy (ta không xét TH4) t>ε′ ⇒ Nt  . ⇒ N . α α  min sε n N ε′  ε =tα ⇒ t α = . n s VD 1. Lượ ng Vitamin có trong m ột trái cây A là bi ến Tra bng B, ta suy ra: ng ẫu nhiên X (mg) có độ l ệch chu ẩn 3,98 mg. Phân 1− α tích 250 trái cây A thì thu đượ c lượ ng Vitamin trung ϕ(tα ) = ⇒−=1 α 2 ϕ ( t α ) . 2 bình là 2 0 m g. Ch ươ ng 4. Mu th ng kê & Ưc lưng tham s Ch ươ ng 4. Mu th ng kê & Ưc lưng tham s Với độ tin c ậy 95%, hãy ướ c l ượ ng l ượ ng Vitamin trung 2) Dựa vào m ẫu trên để ướ c l ượ ng tu ổi th ọ trung bình bình có trong một trái cây A ? của lo ại bóng đèn do nhà máy A s ản xu ất có độ chính VD 2. Biết chi ều cao con ng ườ i là bi ến ng ẫu nhiên X xác 59,02 gi ờ thì đả m b ảo độ tin c ậy là bao nhiêu ? (cm) có phân ph ối chu ẩn N( ; 100) . 3) Dựa vào m ẫu trên, n ếu mu ốn ướ c l ượ ng tu ổi th ọ trung bình của lo ại bóng đèn do nhà máy A s ản xu ất V ới độ tin c ậy 95%, n ếu mu ốn ướ c l ượ ng chi ều cao có độ chính xác nh ỏ h ơn 40 gi ờ v ới độ tin c ậy 98% thì trung bình c ủa dân s ố có sai s ố không quá 1 cm thì ph ải cần ph ải ki ểm tra t ối thi ểu bao nhiêu bóng đèn nữa ? cần đo ít nh ất m ấy ng ườ i ? VD 3. Ki ểm tra tu ổi th ọ (tính b ằng gi ờ) c ủa 50 bóng đèn VD 4. Chi ều cao c ủa lo ại cây A là bi ến ng ẫu nhiên có do nhà máy A s ản xu ất ra, ng ườ i ta đượ c b ảng s ố li ệu: phân ph ối chu ẩn. Ng ườ i ta đo ng ẫu nhiên 20 cây A thì Tu ổi th ọ 3.300 3.500 3.600 4.000 th ấy chi ều cao trung bình 23,12 m và độ l ệch chu ẩn c ủa Số bóng đèn 10 20 12 8 mẫu ch ưa hi ệu ch ỉnh là 1,25 m. 1) Hãy ướ c l ượ ng tu ổi th ọ trung bình của lo ại bóng đèn Tìm kho ảng ướ c l ượ ng chi ều cao trung bình c ủa lo ại do nhà máy A s ản xu ất với độ tin c ậy 97% ? cây A v ới độ tin c ậy 95%? Ch ươ ng 4. Mu th ng kê & Ưc lưng tham s Ch ươ ng 4. Mu th ng kê & Ưc lưng tham s VD 5. Để nghiên c ứu nhu c ầu v ề lo ại hàng X ở ph ườ ng VD 6. Đo đườ ng kính c ủa 100 tr ục máy do 1 nhà máy A ng ườ i ta ti ến hành kh ảo sát 400 trong toàn b ộ 4000 sản xu ất thì đượ c b ảng s ố li ệu: gia đình. Kết qu ả kh ảo sát là: Đườ ng kính (cm) 9,75 9,80 9,85 9,90 Nhu c ầu (kg/tháng) 0,5 1,5 2,5 3,5 Số tr ục máy 5 37 42 16 Số gia đình 10 35 86 132 1) Hãy ướ c l ượ ng trung bình đườ ng kính c ủa tr ục máy Nhu c ầu (kg/tháng) 4,5 5,5 6,5 7,5 với độ tin c ậy 97% ? Số gia đình 78 31 18 10 2) Dựa vào m ẫu trên để ướ c l ượ ng trung bình đườ ng 1) Hãy ước l ượ ng nhu c ầu trung bình về lo ại hàng X kính của tr ục máy có độ chính xác 0,006cm thì đả m của toàn b ộ gia đình ở ph ườ ng A trong 1 n ăm v ới độ bảo độ tin c ậy là bao nhiêu ? tin c ậy 95%? 3) Dựa vào m ẫu trên, n ếu mu ốn ướ c l ượ ng trung bình 2) V ới m ẫu kh ảo sát trên, n ếu ướ c l ượ ng nhu c ầu trung đườ ng kính c ủa tr ục máy có độ chính xác l ớn h ơn bình về lo ại hàng X c ủa ph ườ ng A v ới độ chính xác 0,003cm v ới độ tin c ậy 99% thì c ần ph ải đo t ối đa bao lớn h ơn 4,8 t ấn/n ăm và độ tin c ậy 99% thì c ần kh ảo sát nhiêu tr ục máy n ữa ? tối đa bao nhiêu gia đình trong ph ườ ng A ? Xác su t - Th ng kê Cao đng 26
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 05, 2011 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 4. Mu th ng kê & Ưc lưng tham s Ch ươ ng 4. Mu th ng kê & Ưc lưng tham s VD 7. Ti ến hành kh ảo sát 420 trong t ổng s ố 3.000 gia 2.3. Ướ c l ượ ng kho ảng cho t ỉ l ệ t ổng th ể p đình ở m ột ph ườ ng thì th ấy có 400 gia đình dùng lo ại • Gi ả s ử t ỉ l ệ p các ph ần t ử có tính ch ất A c ủa t ổng th ể X A sản ph ẩm do công ty s ản xu ất v ới b ảng s ố li ệu: ch ưa bi ết. V ới độ tin c ậy 1 − α cho tr ướ c, kho ảng ướ c Số l ượ ng (kg/tháng) 0,75 1,25 1,75 2,25 2,75 3,25 lượ ng p là (p1 ; p 2 ) th ỏa Pp(1< p < p 2 ) =−α 1 . Số gia đình 40 70 110 90 60 30 m Hãy ướ c l ượ ng trung bình tổng kh ối l ượ ng s ản ph ẩm X • Nếu bi ết t ỉ l ệ m ẫu f= f = v ới n là c ỡ m ẫu, m là n n do công ty A s ản xu ất đượ c tiêu th ụ ở ph ườ ng này số ph ần t ử ta quan tâm thì kho ảng ướ c l ượ ng cho p là: trong m ột tháng v ới độ tin c ậy 95%? A. (5612,7kg; 6012,3kg); B. (5893,3kg; 6312,9kg); f(1− f ) (f−ε; f +ε), ε= t α . C. (5307,3kg; 5763,9kg); D. (5210,4kg; 5643,5kg). n 1 − α Trong đó t tìm đượ c t ừ ϕ(t ) = (tra b ảng B ). α α 2 Ch ươ ng 4. Mu th ng kê & Ưc lưng tham s Ch ươ ng 4. Mu th ng kê & Ưc lưng tham s VD 8. Tỉnh X có 1.000.000 thanh niên. Ng ườ i ta kh ảo 1) D ựa vào m ẫu trên, để ướ c l ượ ng t ỉ l ệ TV Sony trong sát ng ẫu nhiên 20.000 thanh niên c ủa t ỉnh X v ề trình độ kho có độ chính xác là ε = 0,0177 thì đả m b ảo độ tin học v ấn thì th ấy có 12.575 thanh niên đã t ốt nghi ệp cậy c ủa ướ c l ượ ng là bao nhiêu? PTTH. Hãy ướ c l ượ ng t ỉ l ệ thanh niên đã t ốt nghi ệp 2) D ựa vào m ẫu trên, n ếu mu ốn có độ chính xác c ủa PTTH c ủa t ỉnh X v ới độ tin c ậy 95%? S ố thanh niên đã ướ c l ượ ng tỉ l ệ TV Sony nh ỏ h ơn 0,01 v ới độ tin c ậy tốt nghi ệp PTTH c ủa t ỉnh X trong kho ảng nào? 95 % thì c ần ch ọn thêm ít nh ất bao nhiêu TV n ữa? VD 9. Để ướ c l ượ ng s ố cá có trong một h ồ ng ườ i ta b ắt VD 11. L ấy ng ẫu nhiên 200 s ản ph ẩm trong kho hàng A lên 10.000 con, đánh d ấu r ồi th ả l ại xu ống h ồ. Sau một th ấy có 21 ph ế ph ẩm. th ời gian, l ại b ắt lên 8.000 con cá th ấy 564 con có đánh 1) D ựa vào m ẫu trên, để ướ c l ượ ng t ỉ l ệ ph ế ph ẩm trong dấu. Với độ tin c ậy 97%, hãy ướ c l ượ ng t ỉ l ệ cá có đánh kho A có độ chính xác là ε = 0, 035 thì đả m b ảo độ dấu và s ố cá có trong h ồ ? tin c ậy c ủa ướ c l ượ ng là bao nhiêu? 2) D ựa vào m ẫu trên, n ếu mu ốn có độ chính xác c ủa ướ c VD 10. Ngườ i ta ch ọn ng ẫu nhiên 500 chi ếc tivi trong lượ ng tỉ l ệ ph ế ph ẩm nh ỏ h ơn 0,01 v ới độ tin c ậy 93% một kho ch ứa TV thì th ấy có 27 TV So ny. thì c ần ki ểm tra thêm ít nh ất bao nhiêu s ản ph ẩm n ữa? Ch ươ ng 4. Mu th ng kê & Ưc lưng tham s Ch ươ ng 5. Ki m đnh Gi thuy t Th ng kê VD 12. Kh ảo sát n ăng su ất X (t ấn/ha) c ủa 100 ha lúa ở §1. Khái ni ệm v ề kiểm đị nh gi ả thuy ết th ống kê huy ện A, ta có b ảng s ố li ệu: §2. Ki ểm đị nh so sánh đặ c tr ưng với m ột s ố §3. Ki ểm đị nh so sánh hai đặ c tr ưng X 3,25 3,75 4,25 4,75 5,25 5,75 6,25 6,75 S (ha) 7 12 18 27 20 8 5 3 §1. KHÁI NI ỆM V Ề KI ỂM ĐỊ NH Nh ững th ửa ru ộng có n ăng su ất lúa trên 5,5 t ấn/ha là GI Ả THUY ẾT TH ỐNG KÊ nh ững th ửa ru ộng có n ăng su ất cao. S ử d ụng b ảng kh ảo 1.1. Khái ni ệm chung sát trên, để ướ c l ượ ng t ỉ l ệ di ện tích lúa có n ăng su ất • Mô hình t ổng quát c ủa bài toán ki ểm đị nh là: ta nêu lên cao ở huy ện A có độ chính xác là ε = 8,54% thì đả m hai m ệnh đề trái ng ượ c nhau, m ột m ệnh đề đượ c g ọi là bảo độ tin c ậy là bao nhiêu? gi ả thuy ết H và m ệnh đề còn l ại đượ c g ọi là ngh ịch A. 92%; B. 94%; C. 96%; D. 98%. thuy ết ( hay đố i thuy ết) H . • Gi ải quy ết m ột bài toán ki ểm đị nh là: b ằng cách d ựa vào quan sát m ẫu, ta nêu lên m ột quy t ắc hành độ ng, ta ch ấp nh ận gi ả thuy ết H hay bác b ỏ gi ả thuy ết H . Xác su t - Th ng kê Cao đng 27
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 05, 2011 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 5. Ki m đnh Gi thuy t Th ng kê Ch ươ ng 5. Ki m đnh Gi thuy t Th ng kê • Khi ta ch ấp nh ận gi ả thuy ết H , ngh ĩa là ta tin r ằng H a) Sai l ầm lo ại I đúng; khi bác b ỏ H , ngh ĩa là ta tin r ằng H sai. Do ch ỉ • Sai l ầm lo ại 1 là lo ại sai l ầm mà ta ph ạm ph ải trong dựa trên m ột m ẫu quan sát ng ẫu nhiên, nên ta không vi ệc bác b ỏ gi ả thuy ết H khi H đúng. th ể kh ẳng đị nh ch ắc ch ắn điều gì cho t ổng th ể. • Xác su ất c ủa vi ệc bác b ỏ H khi H đún g là xác su ất • Trong ch ươ ng này, ta ch ỉ xét lo ại ki ểm đị nh tham s ố của sai l ầm lo ại 1 và đượ c ký hi ệu là α. (so sánh đặ c tr ưng v ới 1 s ố, so sánh hai đặ c tr ưng c ủa hai t ổng th ể). b) Sai l ầm lo ại II 1.2. Các lo ại sai l ầm trong ki ểm đị nh • Sai l ầm lo ại 2 là lo ại sai l ầm mà ta ph ạm ph ải trong Khi th ực hi ện ki ểm đị nh gi ả thuy ết, ta d ựa vào quan vi ệc ch ấp nh ận gi ả thuy ết H khi H sai. sát ng ẫu nhiên m ột s ố tr ườ ng h ợp r ồi suy r ộng ra cho • Xác su ất c ủa vi ệc ch ấp nh ận gi ả thuy ết H khi H sa i là tổng th ể. S ự suy r ộng này có khi đúng, có khi sai. xác su ất c ủa sai l ầm lo ại 2 và đượ c ký hi ệu là β. Th ống kê h ọc phân bi ệt 2 lo ại sai l ầm sau : Ch ươ ng 5. Ki m đnh Gi thuy t Th ng kê Ch ươ ng 5. Ki m đnh Gi thuy t Th ng kê c) M ối liên h ệ gi ữa hai lo ại sai l ầm 1.3. Cơ s ở lý thuy ết c ủa ki ểm đị nh • Khi th ực hi ện ki ểm đị nh, ta luôn mu ốn xác su ất ph ạm • Để gi ải quy ết bài toán ki ểm đị nh, ta quan sát m ẫu ng ẫu ph ải sai l ầm càng ít càng t ốt. Tuy nhiên, n ếu h ạ th ấp α nhiên X, , X và đư a ra gi ả thuy ết H . thì β s ẽ t ăng lên và ng ượ c l ại. 1 n • T ừ m ẫu trên, ta ch ọn th ống kê T= fX( , , X ; θ ) Trong th ực t ế, gi ữa hai lo ại sai l ầm này, lo ại nào tác h ại 1n 0 hơn thì ta nên tránh. sao cho n ếu khi H đúng thì phân ph ối xác su ất c ủa T hoàn toàn xác đị nh. • Trong th ống kê, ng ườ i ta quy ướ c r ằng sai l ầm lo ại 1 • V ới m ức ý ngh ĩa α, ta tìm đượ c kho ảng tin c ậy (hay tác h ại h ơn lo ại 2 nên c ần tránh h ơn. Do đó, ta ch ỉ xét kho ảng ướ c l ượ ng) [a ; b ] cho T ở độ tin c ậy 1− α . các phép ki ểm đị nh có α không v ượ t quá m ột giá tr ị ấn đị nh tr ướ c, thông th ườ ng là 1%; 3%; 5%; Khi đó: Giá tr ị α còn đượ c g ọi là mức ý ngh ĩa c ủa ki ểm đị nh. nếu t∈ [ a ; b ] thì ta ch ấp nh ận gi ả thuy ết H ; nếu t∉ [ a ; b ] thì ta bác b ỏ gi ả thuy ết H . Ch ươ ng 5. Ki m đnh Gi thuy t Th ng kê Ch ươ ng 5. Ki m đnh Gi thuy t Th ng kê • N ếu hàm m ật độ c ủa T đố i x ứng qua tr ục Oy thì ta §2. KI ỂM ĐỊ NH SO SÁNH ĐẶ C TR ƯNG CỦA T ỔNG TH Ể V ỚI M ỘT S Ố ch ọn kho ảng đố i x ứng [−tα ; t α ] , v ới: α 2.1. Ki ểm đị nh so sánh trung bình với m ột s ố PT(≤− t )( = PT ≥ t ) = . α α 2 V ới số 0 cho tr ướ c, ta đặ t gi ả thuy ết H : = . V ậy, khi xét n ửa bên ph ải c ủa tr ục Oy thì ta đượ c: 0 a) Tr ườ ng h ợp 1. V ới n ≥30, σ 2 đã bi ết. nếu t≤ t thì ta ch ấp nh ận gi ả thuy ết H ; α 1− α nếu t> t thì ta bác b ỏ gi ả thuy ết H . • T ừ mức ý ngh ĩa α ⇒ = ϕ(t ) →B t . α 2 α α • N ếu hàm m ật độ c ủa T không đố i x ứng qua tr ục Oy thì x − 0 ta ch ọn kho ảng tin c ậy [0;C ] , v ới P( T≥ C ) = α . • Tính giá tr ị th ống kê t= n . σ Nếu t≤ C thì ta ch ấp nh ận gi ả thuy ết H , và • N ếu t≤ t thì ta ch ấp nh ận H , ngh ĩa là = ; nếu t> C thì ta bác b ỏ gi ả thuy ết H . α 0 nếu t> t α thì ta bác b ỏ H , ngh ĩa là ≠ 0. Xác su t - Th ng kê Cao đng 28
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 05, 2011 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 5. Ki m đnh Gi thuy t Th ng kê Ch ươ ng 5. Ki m đnh Gi thuy t Th ng kê b) Tr ườ ng h ợp 2. V ới n ≥30, σ 2 ch ưa bi ết. Chú ý Ta làm nh ư tr ườ ng h ợp 1 nh ưng thay σ b ằng s . Trong tất c ả các tr ườ ng h ợp bác b ỏ, ta so sánh x và 0: 2 x c) Tr ườ ng h ợp 3. Với n 0 thì ta kết lu ận > 0. X có phân ph ối chu ẩn, ta làm nh ư tr ườ ng h ợp 1. Nếu x t n−1 thì ta bác b ỏ gi ả thuy ết H . α kết lu ận ? Ch ươ ng 5. Ki m đnh Gi thuy t Th ng kê Ch ươ ng 5. Ki m đnh Gi thuy t Th ng kê VD 2. Nhà Giáo d ục h ọc B mu ốn nghiên cứu xem s ố A. t = 1,7205 ; ch ấp nh ận H v ới m ức ý ngh ĩa 6%. gi ờ t ự h ọc trung bình hàng ngày c ủa sinh viên có thay B. t = 1,7205 ; bác b ỏ H , tr ọng l ượ ng th ực t ế c ủa đổ i không so v ới m ức 1 gi ờ/ngày cách đây 10 n ăm. bao g ạo nh ỏ h ơn 50 kg v ới m ức ý ngh ĩa 6%. Ông B kh ảo sát ng ẫu nhiên 120 sinh viên và t ính đượ c C. t = 1,9732 ; ch ấp nh ận H v ới m ức ý ngh ĩa 4%. trung bình là 0,82 gi ờ/ngày v ới sˆ = 0,75 giờ/ngày. D. t = 1,9732 ; bác b ỏ H , tr ọng l ượ ng th ực t ế c ủa Với m ức ý ngh ĩa 3%, hãy cho bi ết k ết lu ận c ủa ông B ? bao g ạo nh ỏ h ơn 50 kg v ới m ức ý ngh ĩa 4%. VD 4. Một công ty cho bi ết m ức l ươ ng trung bình c ủa VD 3. Trong m ột nhà máy g ạo, tr ọng l ượ ng đóng bao một k ỹ s ư ở công ty là 5,7 tri ệu đồ ng/tháng với độ l ệch theo quy đị nh c ủa m ột bao g ạo là 50 kg và độ l ệch chu ẩn 0,5 tri ệu đồ ng/tháng. Kỹ s ư A dự đị nh xin vào chu ẩn là 0,3 kg. Cân th ử 296 bao g ạo c ủa nhà máy này làm ở công ty này và đã th ăm dò 18 k ỹ s ư thì th ấy thì th ấy tr ọng l ượ ng trung bình là 49,97 kg. Kiểm đị nh lươ ng trung bình là 5,45 tri ệu đồ ng/tháng. gi ả thuy ết H : “ tr ọng l ượ ng m ỗi bao g ạo c ủa nhà máy Kỹ s ư A quy ết đị nh r ằng: n ếu m ức l ươ ng trung bình này là 50 kg ” có giá tr ị th ống kê t và k ết l uận là: bằng v ới m ức công ty đư a ra thì nộp đơ n xin làm. V ới m ức ý ngh ĩa 2%, cho bi ết kết lu ận của k ỹ s ư A ? Ch ươ ng 5. Ki m đnh Gi thuy t Th ng kê Ch ươ ng 5. Ki m đnh Gi thuy t Th ng kê VD 5. Ngườ i ta ki ểm tra ng ẫu nhiên 38 c ửa hàng c ủa Kiểm đị nh giả thuy ết H : “ điểm trung bình môn Toán công ty A và có b ảng doanh thu trong 1 tháng là: của sinh viên n ăm nay b ằng n ăm tr ướ c”, mức ý X (tri ệu đồng/tháng) 200 220 240 260 ngh ĩa tối đa để H đượ c ch ấp nh ận là: Số c ửa hàng 8 16 12 2 A. 13,94%; B. 13,62%; C. 11,74%; D. 11,86%. Ki ểm đị nh gi ả thuy ết H : “ doanh thu trung bình hàng tháng của m ột cửa hàng công ty là 230 tri ệu đồ ng ”, mức ý ngh ĩa t ối đa để gi ả thuy ết H được ch ấp nh ận là: VD 7. Th ời gian X (phút) gi ữa hai chuy ến xe bus trong A. 3,4%; B. 4,2%; C. 5,6%; D. 7, 8%. một thành ph ố là bi ến ng ẫu nhiên có phân ph ối chu ẩn. Công ty xe bus nói r ằng: trung bình c ứ 5 phút l ại có 1 VD 6. Điểm trung bình môn Toán c ủa sinh viên n ăm chuy ến xe bus. Ng ườ i ta ch ọn ng ẫu nhiên 8 th ời điểm tr ướ c là 5,72. N ăm nay, theo dõi 100 SV đượ c s ố li ệu: và ghi l ại th ời gian (phút) gi ữa hai chuy ến xe bus là: Điểm 3 4 5 6 7 8 9 5,3; 4,5; 4,8; 5,1; 4,3; 4,8; 4,9; 4,7. Số sinh viên 3 5 27 43 12 6 4 V ới m ức ý ngh ĩa 5%, hãy ki ểm đị nh l ời nói trên ? Xác su t - Th ng kê Cao đng 29
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 05, 2011 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 5. Ki m đnh Gi thuy t Th ng kê Ch ươ ng 5. Ki m đnh Gi thuy t Th ng kê VD 8. Chi ều cao cây gi ống X (m) trong m ột v ườ m 2.2. Ki ểm đị nh so sánh tỉ l ệ với m ột s ố ươm là bi ến ng ẫu nhiên có phân ph ối chu ẩn. Ng ườ i ta • Với số p cho tr ướ c, ta đặ t gi ả thuy ết H: p= p . đo ng ẫu nhiên 25 cây gi ống này và có b ảng s ố li ệu: 0 0 1− α B X (m) 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 • T ừ mức ý ngh ĩa α ⇒ = ϕ(tα ) → t α . Số cây 1 2 9 7 4 2 2 m • T ừ m ẫu c ụ th ể, ta tính t ỉ l ệ m ẫu f = và Theo quy đị nh c ủa v ườ n ươ m, khi nào cây cao hơn 1 m n thì đem ra tr ồng. V ới mức ý ngh ĩa 5%, ki ểm đị nh gi ả f− p thuy ết H : “ cây gi ống c ủa v ườ n ươ m cao 1 m” có giá giá tr ị th ống kê t= 0 n , q=1 − p . tr ị th ống kê và k ết lu ận là: 0 0 p0 q 0 A. t = 2, 7984 , không nên đem cây ra tr ồng. Nếu t≤ t thì ch ấp nh ận H , ngh ĩa là p= p . B. t = 2,7984 , nên đem cây ra tr ồng. α 0 t t H p p C. t = 1,9984 , không nên đem cây ra tr ồng. Nếu > α thì bác b ỏ , ngh ĩa là ≠ 0. D. t = 1,9984 , nên đem cây ra tr ồng. Khi đó: f> p0 ⇒ pp > 0 ; f< p0 ⇒ pp < 0 . Ch ươ ng 5. Ki m đnh Gi thuy t Th ng kê Ch ươ ng 5. Ki m đnh Gi thuy t Th ng kê VD 9. Một báo cáo cho bi ết có 58% ng ườ i tiêu dùng Trong ki ểm đị nh gi ả thuy ết H : “ tỉ l ệ b ắn trúng c ủa Vi ệt Nam quan tâm đế n hàng Vi ệt. Khảo sát ng ẫu nhiên súng th ể thao này là 70%”, v ới m ức ý ngh ĩa 3% có 1.000 ng ườ i dân Vi ệt Nam th ấy có 536 ng ườ i đượ c h ỏi giá tr ị th ống kê t và k ết lu ận là: là có quan tâm đế n hàng Vi ệt. Với mức ý ngh ĩa 5% , A. t = 2, 0702 và cải ti ến k ỹ thu ật là t ốt. hãy ki ểm đị nh lại báo cáo trên ? B. t = 2, 0702 và cải ti ến k ỹ thu ật là ch ưa t ốt. VD 10. Kh ảo sát ng ẫu nhiên 400 sinh viên v ề m ức độ C. t = 2, 0176 và cải ti ến k ỹ thu ật là t ốt. nghiêm túc trong gi ờ h ọc thì th ấy 13 sinh viên th ừa D. t = 2, 0176 và cải ti ến k ỹ thu ật là ch ưa t ốt. nh ận có ng ủ trong gi ờ h ọc. Trong ki ểm đị nh gi ả thuy ết VD 12. Công ty A tuyên b ố r ằng có 40% ng ườ i tiêu H : “ có 2% sinh viên ng ủ trong gi ờ h ọc”, m ức ý ngh ĩa dùng ưa thích s ản ph ẩm c ủa mình. Kh ảo sát 400 ng ườ i tối đa là bao nhiêu để H đượ c ch ấp nh ận ? tiêu dùng th ấy có 179 ng ườ i ưa thích s ản ph ẩm c ủa VD 11. Để ki ểm tra m ột lo ại súng th ể thao, ng ườ i ta cho công ty A. Trong ki ểm đị nh gi ả thuy ết H : “ có 40% bắn 1.000 viên đạ n vào 1 t ấm bia th ấy có 67 0 viên ng ườ i tiêu dùng thích s ản ph ẩm c ủa công ty A”, mức trúng mục tiêu. Sau đó, ng ườ i ta c ải ti ến k ỹ thu ật và ý ngh ĩa t ối đa để H đượ c ch ấp nh ận là: ki ểm tra l ại thì th ấy t ỉ l ệ trúng c ủa súng lúc này là 70%. A. 7,86%; B. 6,48%; C. 5,24%; D. 4,32%. Ch ươ ng 5. Ki m đnh Gi thuy t Th ng kê Ch ươ ng 5. Ki m đnh Gi thuy t Th ng kê §3. KI ỂM ĐỊ NH SO SÁNH HAI ĐẶ C TR ƯNG 2 2 b) Tr ườ ng h ợp 2. nx, n y ≥ 30 và σx, σ y ch ưa bi ết. CỦA HAI T ỔNG TH Ể Ta thay σ2, σ 2 b ằng s2, s 2 trong tr ườ ng h ợp 1. 3.1. So sánh hai trung bình của hai t ổng th ể X, Y x y x y c) Tr ườ ng h ợp 3. n n và 2 2 đã bi ết Ta có 4 tr ườ ng h ợp và việc ch ấp nh ận hay bác b ỏ H x, y < 30 σx, σ y ta đề u làm nh ư ki ểm đị nh so sánh trung bình v ới 1 s ố đồ ng th ời X , Y có phân ph ối chu ẩn. Ta làm nh ư tr ườ ng h ợp 1. (cả 4 tr ườ ng h ợp ta đề u đặ t gi ả thuy ết H : x = y ). 2 2 2 2 d) Tr ườ ng h ợp 4. nx, n y < 30 và σx, σ y ch ưa bi ết a) Tr ườ ng h ợp 1. nx, n y ≥ 30 và σx, σ y đã bi ết. đồ ng th ời X , Y có phân ph ối chu ẩn. x− y • Tính ph ươ ng sai chung c ủa 2 mẫu: Ta tính th ống kê t = và so sánh v ới tα . 2 σ2 σ (n− 1) s2 + ( n − 1) s 2 x + y s2 = x x y y . n n x y nx+ n y − 2 Xác su t - Th ng kê Cao đng 30
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 05, 2011 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 5. Ki m đnh Gi thuy t Th ng kê Ch ươ ng 5. Ki m đnh Gi thuy t Th ng kê x− y VD 2. Để so sánh m ức l ươ ng trung bình c ủa nhân viên • Tính giá tr ị th ống kê t = . nữ X (USD/gi ờ) và nam Y (USD/gi ờ) ở m ột công ty 1 1 s. + đa qu ốc gia, ng ườ i ta ti ến hành kh ảo sát ng ẫu nhiên 100 nx n y nữ và 75 nam thì có k ết qu ả: n+ n − 2 x = 7,23 , s = 1,64 và y = 8, 06 , s = 1,85 . • T ừ α →tra baûng C t x y và so sánh v ới t . x y α Với m ức ý ngh ĩa 3%, ki ểm đị nh gi ả thuy ết H : “ mức lươ ng trung bình c ủa n ữ và nam ở công ty này là VD 1. Ng ườ i ta ti ến hành bón hai lo ại phân X , Y cho nh ư nhau ” có giá tr ị th ống kê và k ết lu ận là: cây cà chua. V ới 60 cây đượ c bón phân X thì thu đượ c A. t = 4, 0957 , m ức l ươ ng c ủa n ữ và nam nh ư nhau. trung bình 32,2 qu ả và độ l ệch chu ẩn 8,5 qu ả; 72 cây B. t = 4, 0957 , mức l ươ ng c ủa n ữ th ấp h ơn nam. đượ c bón phân Y thu đượ c trung bình 28,4 qu ả và độ C. t = 3,0819 , m ức l ươ ng c ủa n ữ và nam nh ư nhau. lệch chu ẩn 9,3 qu ả. V ới m ức ý ngh ĩa 5%, hãy cho bi ết D. t = 3,0819 , m ức l ươ ng c ủa n ữ th ấp h ơn nam. kết lu ận v ề hai lo ại phân bón trên ? Ch ươ ng 5. Ki m đnh Gi thuy t Th ng kê Ch ươ ng 5. Ki m đnh Gi thuy t Th ng kê VD 3. Tu ổi th ọ (n ăm) c ủa pin là bi ến ng ẫu nhiên có Ki ểm đị nh gi ả thuy ết H : “ tu ổi th ọ c ủa thi ết b ị lo ại A phân ph ối chu ẩn. M ột công ty s ản xu ất th ử nghi ệm 10 và B là nh ư nhau v ới m ức ý ngh ĩa 3%” có giá tr ị chi ếc pin lo ại X và 12 chi ếc pin lo ại Y thì có k ết qu ả: th ống kê và k ết lu ận là: A. t ; tu ổi th ọ c ủa hai lo ại thi ết b ị là nh ư nhau. x = 4, 8 , sx = 1,1 và y = 4, 3 , sy = 0,3 . = 2,1616 V ới m ức ý ngh ĩa 1%, ta có th ể kết lu ận tu ổi th ọ c ủa B. t = 2,1616 ; tu ổi th ọ c ủa lo ại thi ết b ị A l ớn h ơn. lo ại pin X cao h ơn lo ại pin Y đượ c không ? C. t = 2,4616 ; tu ổi th ọ c ủa hai lo ại thi ết b ị là nh ư nhau. D. t = 2,4616 ; tu ổi th ọ c ủa lo ại thi ết b ị A l ớn h ơn. VD 4. Tu ổi th ọ (tháng) của thi ết b ị là bi ến ng ẫu nhiên có phân ph ối chu ẩn. Ng ườ i ta ki ểm tra ng ẫu nhiên tu ổi 3.2. So sánh hai t ỉ l ệ c ủa hai t ổng th ể X, Y th ọ của 15 thi ết b ị lo ại A, có k ết qu ả: Ta th ực hi ện các b ướ c sau: 114; 78; 96; 137; 78; 103; 126; 86; • Đặ t gi ả thuy ết H: p= p . 99; 114; 72; 104; 73; 86; 117. x y m m+ m Ki ểm tra tu ổi th ọ c ủa 17 thi ết b ị lo ại B th ấy có trung mx y x y • T ừ 2 m ẫu ta tính fx = , fy = , p0 = . bình là 84 tháng và độ l ệch chu ẩn là 19 tháng. nx ny nx+ n y Ch ươ ng 5. Ki m đnh Gi thuy t Th ng kê Ch ươ ng 5. Ki m đnh Gi thuy t Th ng kê V ới m ức ý ngh ĩa 9 %, hãy so sánh 2 t ỉ l ệ của 2 t ổng th ể ? fx− f y • Tính giá tr ị th ống kê t = . VD 6. Ki ểm tra 120 s ản ph ẩm ở kh o I th ấy có 6 ph ế    1 1  ph ẩm; 200 s ản ph ẩm ở kho II th ấy có 24 ph ế ph ẩm. p q  +  0 0   Hỏi chất l ượ ng hàng ở hai kho có khác nhau không v ới: nx n y  • Kết lu ận: 1) mức ý ngh ĩa 5%; 2) mức ý ngh ĩa 1%. Nếu t≤ t thì ta ch ấp nh ận H ⇒p = p . VD 7. M ột công ty điện t ử ti ến hành điều tra th ị tr ườ ng α x y về s ở thích xem tivi c ủa c ư dân trong 1 thành ph ố. Điều Nếu t> t α và fx t α và fx> f y thì ta bác b ỏ H ⇒px > p y . có 450 ng ườ i xem tivi ít nh ất 1 gi ờ trong 1 ngày. VD 5. T ừ hai t ổng th ể X và Y ng ườ i ta ti ến hành ki ểm Trong ki ểm đị nh gi ả thuy ết H : “ tỉ l ệ c ư dân xem tivi ít tra 2 m ẫu có kích th ướ c n = 1000 , n = 1200 v ề một nh ất 1 gi ờ trong 1 ngày ở qu ận X và Y nh ư nhau ”, x y mức ý ngh ĩa t ối đa để H đượ c ch ấp nh ận là: A f f tính ch ất thì đượ c x = 0,27 và y = 0,3 . A. 0,96%; B. 2,84%; C. 4,06%; D. 6,14%. Xác su t - Th ng kê Cao đng 31
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 05, 2011 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 5. Ki m đnh Gi thuy t Th ng kê Ch ươ ng 6. Bài to án tươ ng quan & Hi quy VD 8. Tr ướ c b ầu c ử, ng ườ i ta th ăm dò 1000 c ử tri thì 1. H Ệ S Ố T ƯƠ NG QUAN M ẪU th ấy có 400 ng ườ i nói r ằng s ẽ b ỏ phi ếu cho ông A. M ột 1.1. Đị nh ngh ĩa tu ần sau (v ẫn ch ưa b ầu c ử), ng ườ i ta t ổ ch ức 1 cu ộc • Hệ s ố t ươ ng quan m ẫu r là s ố đo m ức độ ph ụ thu ộc th ăm dò khác và th ấy có 680 trong s ố 1500 c ử tri đượ c tuy ến tính gi ữa hai m ẫu ng ẫu nhiên cùng c ỡ X và Y . hỏi s ẽ b ỏ phi ếu cho ông A. Ki ểm đị nh gi ả thuy ết H : “ tỉ lệ c ử tri ủng h ộ ông A ở hai l ần là nh ư nhau ”, v ới • Gi ả s ử ta có m ẫu ng ẫu nhiên c ỡ n v ề vector ng ẫu nhiên mức ý ngh ĩa 1% có giá tr ị th ống kê và k ết lu ận là: (X , Y ) là (xyii , i );= 1; 2; ; n . Khi đó, hệ s ố t ươ ng A. t = 2,6356 ; c ử tri ngày càng ủng h ộ ông A. quan m ẫu r đượ c tính theo công th ức: B. t = 2,6356 ; c ử tri ủng h ộ ông A không thay đổ i. C. t = 2,1349 ; c ử tri ngày càng ủng h ộ ông A. xy− xy. 1 n t D. = 2,1349 ; c ử tri ủng h ộ ông A không thay đổ i. r=; xy = ∑ xyi i . sˆx. sˆ y n i=1 Ch ươ ng 6. Bài to án tươ ng quan & Hi quy Ch ươ ng 6. Bài to án tươ ng quan & Hi quy 1.2. Tính ch ất Gi ải. Từ s ố li ệu ở b ảng trên, ta tính đượ c: 1) −1 ≤r ≤ 1 . 20× 1,9 + + 49 × 4,0 xy = = 167, 26 ; 2) N ếu r = 0 thì X, Y không có quan h ệ tuy ến tính; 10 N ếu r = ±1 thì X, Y có quan h ệ tuy ến tính tuy ệt đố i. 1 n x x s =∑ i = 43,9 ; ˆx = 13,5385 ; 3) N ếu r 0 thì quan h ệ gi ữa , là đồ ng bi ến. y= y = 3,56 ; sˆ = 0,8333 . n ∑ i y VD 1. K ết qu ả đo l ườ ng độ cholesterol ( Y) có trong máu i=1 xy− xy. của 10 đố i t ượ ng nam ở độ tu ổi ( X) nh ư sau: Vậy r = = 0, 9729 . X 20 52 30 57 28 43 57 63 40 49 sˆx. sˆ y Y 1,9 4,0 2,6 4,5 2,9 3,8 4,1 4,6 3,2 4,0 Tính h ệ s ố t ươ ng quan m ẫu gi ữa X và Y . Ch ươ ng 6. Bài to án tươ ng quan & Hi quy Ch ươ ng 6. Bài to án tươ ng quan & Hi quy 2. Đườ ng h ồi quy trung bình tuy ến tính th ực nghi ệm • Đườ ng th ẳng là đườ ng h ồi quy th ực nghi ệm x ấp x ỉ t ốt • Từ m ẫu th ực nghi ệm v ề vector ng ẫu nhiên (X , Y ) , ta nh ất các điểm m ẫu đã cho, c ũng là x ấp x ỉ đườ ng cong cần tìm. Trong hình a) ta th ấy x ấp x ỉ tốt (ph ụ thu ộc bi ễu di ễn các c ặp điểm (xi , y i ) lên mp Oxy . Khi đó, tuy ến tính ch ặt), hình b) x ấp x ỉ không t ốt. đườ ng cong n ối các điểm là đườ ng cong ph ụ thu ộc c ủa Y theo X mà ta c ần tìm (xem hình a), b)). 2.1. Ph ươ ng pháp bình ph ươ ng bé nh ất • Khi có sự ph ụ thu ộc tuy ến tính t ươ ng đố i ch ặt gi ữa hai bi ến ng ẫu nhiên X và Y ta c ần tìm bi ểu th ức a+ bX xấp x ỉ Y t ốt nh ất theo ngh ĩa c ực ti ểu sai s ố bình ph ươ ng trung bình EY(− a − bX ) 2, ph ươ ng pháp này đượ c g ọi là bình ph ươ ng bé nh ất. Hình a Hình b Xác su t - Th ng kê Cao đng 32
ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 05, 2011 dvntailieu.wordpress.com Ch ươ ng 6. Bài to án tươ ng quan & Hi quy Ch ươ ng 6. Bài to án tươ ng quan & Hi quy 2.2. Ph ươ ng trình đườ ng h ồi quy tuy ến tính VD 2. Đo chi ều cao (X: m) và kh ối l ượ ng (Y: kg) c ủa 5 Đườ ng h ồi quy tuy ến tính c ủa Y theo X là: học sinh nam, ta có k ết qu ả: X 1,45 1,60 1,50 1,65 1,55 y= a + bx . Y 50 55 45 60 55 xy− xy. 1) Tìm h ệ s ố t ươ ng quan r. Trong đó: b = , a= y − bx. . 2) L ập ph ươ ng trình h ồi quy tuy ến tính c ủa Y theo X. 2 sˆx 3) D ự đoán n ếu m ột h ọc sinh cao 1,62m thì n ặng kho ảng bao nhiêu kg? Đườ ng h ồi quy tuy ến tính c ủa X theo Y là: Gi ải. 1) x s ys ; x= a + by . =1,55;ˆx = 0,0707; == 53; ˆ y 5,099 82, 45− 1,55 × 53 xy− xy. xy=⇒=82, 45 r = 0, 8322 . Trong đó: b = , a= x − by. . 0, 0707× 5, 099 2 sˆy Ch ươ ng 6. Bài to án tươ ng quan & Hi quy S dng máy tính b túi tìm đư ng hi quy SỐ LI ỆU KHÔNG CÓ T ẦN S Ố xy− x. y 82, 45 − 1,55 × 53 2) b = = = 60, 0181 ; 1) Máy tính fx500MS, fx570MS sˆ2(0, 0707) 2 x VD. Bài toán cho ở dạng c ặp (xi,y i ) nh ư sau: a=−=− y bx 53 60, 0181 × 1,55 =− 40, 0281 . X 20 52 30 57 28 43 57 63 40 49 Vậy y= −40, 0281 + 60, 0181 x . Y 1,94,0 2,6 4,52,9 3,84,14,6 3,24,0 Tìm h ệ s ố r , đườ ng h ồi quy Y theo X: y= a + bx . 3) Học sinh cao 1,62m thì n ặng kho ảng: Nh ập số li ệu: y =−40,0281 + 60,0181 ×= 1,62 57,2012 kg. MODE → REG → LIN X, Y → M + 20, 1.9 → M + 52, 4.0 → M + 49 , 4.0 → M + S dng máy tính b túi tìm đư ng hi quy S dng máy tính b túi tìm đư ng hi quy Xu ất k ết qu ả: MODE → 3 (stat) → 2 (A+Bx ) → (nh ập các giá tr ị SHIFT → 2 → (d ịch chuy ển m ũi tên ph ải 2 l ần) của X, Y vào 2 c ột) → 1 (A chính là a trong ph ươ ng trình) X Y → 2 (B chính là b trong ph ươ ng trình) 20 1.9 → 3 (r chính là r ). 52 4.0 Đáp s ố: r = 0, 9729 ; y=0, 9311 + 0, 0599 x . 49 4.0 Xu ất k ết qu ả: 2) Máy tính fx500ES, fx570ES VD. Xét l ại VD đã cho ở trên. SHIFT →1 →7 → 1(A chính là a trong ph ươ ng trình) SHIFT →1 →7 → 2 (B chính là b trong ph ươ ng trình) Nh ập số li ệu: SHIFT →1 →7 → 3 (r chính là r trong ph ươ ng trình). SHIFT → MODE → dịch chuy ển m ũi tên tìm ch ọn Đáp s ố: r = 0, 9729 ; y=0, 9311 + 0, 0599 x . m ục Stat → 2 ( ch ế độ không t ần s ố) Ht Xác su t - Th ng kê Cao đng 33