Bài giảng Toán cao cấp C1 - Chương 2: Đạo hàm và vi phân hàm một biến - Phan Trung Hiếu

Nội dung text: Bài giảng Toán cao cấp C1 - Chương 2: Đạo hàm và vi phân hàm một biến - Phan Trung Hiếu

1. 06/10/2017 Chương 2: Đạo hàm và vi phân hàm một biến §1. Đạo hàm của hàm một biến GV. Phan Trung Hiếu §1. Đạo hàm của hàm một biến §2. Hàm khả vi, vi phân của hàm số §3. Đạo hàm và vi phân cấp cao LOG O 2 I. Đạo hàm cấp một: Trong định nghĩa trên, nếu đặt Số gia của biến số tại x . Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f(x) xác định trên x x x0 : 0 y fx() fx () khoảng mở chứa x0. Đạo hàm (cấp một) của 0 hàm số f(x) tại x0,kýhiệuyx ()0 fx () 0 ,được fx(0 x )() fx 0 : Số gia của hàm số tại x0. tính bởi Khi đó fx() fx () 0 y fx(0 xfx )() 0 f ( x0 ) lim x x f( x0 ) lim lim 0 x x0 x0 x x 0 x fx( h ) fx () nếu giới hạn tồn tại hữu hạn. lim 0 0 h 0 h Chú ý 1.2. Nếuf ( x0 ) tồn tại thì f(x) được gọi là khả vi tại x0. 3 4 Ví dụ 1.1: Tìm đạo hàm của hàm số Định lý 1.5 ln(1 x2 ) khix 0 f( x ) x fxL()0 fx ()() 0 fx 0 L 0 khix 0 Ví dụ 1.2: Xét sự tồn tại đạo hàm của hàm số tại x 0. 0 fx( ) x Định nghĩa 1.3 (Đạo hàm bên trái) tại x0 0. fx() fx ()0 Định lý 1.6. f ( x0 ) lim x x 0 x x0 f(x) có đạo hàm tại x0 f(x) liên tục tại x0. Định nghĩa 1.4 (Đạo hàm bên phải) fx() fx ()0 f ( x0 ) lim x x 0 x x0 5 6 1
2. 06/10/2017 Ví dụ 1.3: Tìm m để hàm số II. Các công thức và quy tắc tính đạo hàm: x 2 exx( ) khi x 0 2.1. Các công thức tính đạo hàm: Xem Bảng 2. f( x ) 2.2. Quy tắc tính đạo hàm: Với u ux ( ), v vx ( ), ta có mkhi x 0 (.).k u k u khả vi tại x0 0. (uv ) uv Ví dụ 1.4: Tìm a, b để hàm số (.) uv uv uv 3x2 5 khi x 1 u uv uv 2 f( x ) v v ax bkhi x 1 2.3. Đạo hàm của hàm số hợp: có đạo hàm tại x0 1. Xét hàm số hợp f(x)=y[u(x)]. Khi đó y (). x yu u x 7 8 Ví dụ 1.5: Tính đạo hàm của các hàm số sau III. Ý nghĩa kinh tế của đạo hàm: a) y arctan x 3.1. Biên tế (Giá trị cận biên-Marginal): 2 b) y (arcsin x ) Cho hàm số y = f(x) xác định trên D với x, y là các biến 1 x số kinh tế, gọi x0 D. c) y 1 x My f ( x ) x x2 x Hàmsố đượcgọilà hàm biên tế (hàm cận d) ye arctan e ln 1 e biên) của biến y. 3 e) y ( x2 1)x GiátrịMyx()0 fx () 0 đượcgọilà biên tế (giá trị cận 2 3 3 biên) của hàm số f(x) tại điểm x . f) y (1 x ) 2 x 3 x 0 9 10 3.2. Ý nghĩa của biên tế: My( x0 ) cho biết xấp xỉ lượng 3.3. Độ thay đổi tuyệt đối và độ thay đổi tương đối: thay đổi giá trị của biến y khi biến x tăng thêm 1 Xét hàm số y = f(x). Khi biến số tăng từ x0 đến x thì ta có đơn vị. Cụ thể, ta có -Độ thay đổi tuyệt đối của biến x tại x0 là My( x0 ) 0 có nghĩa là khi x tăng 1 đơn vị thì y sẽ tăng x x x0 My( x ) 0 đơn vị. Độ thay đổi tuyệt đối của biến x phụ thuộc vào đơn vị My( x0 ) 0 có nghĩa là khi x tăng 1 đơn vị thì y sẽ giảm chọn để đo biến x. My( x0 ) đơn vị. -Độ thay đổi tương đối của biến x tại x0 là Ví dụ 1.6: Cho hàm tổng chi phí x C 0,1 Q2 0,3 Q 100. x0 a) Tìm hàm chi phí biên tế. Độ thay đổi tương đối của biến x không phụ thuộc vào b) Tìm chi phí biên tế tại mức sản lượng Q 120 đơn đơn vị chọn để đo biến x. vị và giải thích ý nghĩa kết quả nhận được. 11 12 2
3. 06/10/2017 3.4. Hệ số co dãn: hệ số co dãn của biến y theo biến x tại Dựa vào hệ số co dãn, người ta đưa ra các khái niệm sau: x0 là  Nếu yx (x0 ) 1 thìhàm f được gọi là co dãn tại x0 (hàm x0 số có phản ứng nhanh với sự thay đổi của biến số). Khi  yx ()x0 yx () 0  y( x0 ) đó, điểm (x0; y0) được gọi là điểm co dãn. 3.5. Ý nghĩa của hệ số co dãn:  yx ( x 0 ) cho biết xấp xỉ  Nếu yx (x0 ) 1 thìhàm f được gọi là đẳng co dãn tại x0 độ thay đổi tương đối của biến y khi biến x tăng Khi đó, điểm (x0; y0) được gọi là điểm đẳng co dãn tương đối lên 1% tại x0. Cụ thể, ta có (điểm co dãn đơn vị).  yx (x0 ) 0 có nghĩa là có nghĩa là tại x = x0 , khi x  Nếu yx (x0 ) 1 thì hàm f được gọi là không co dãn tại tăng 1% thì y sẽ tăng  yx (x0 )%. x0 (hàm số có phản ứng chậm với sự thay đổi của biến  (x ) 0 có nghĩa là có nghĩa là tại x = x , khi x yx 0 0 số). Khi đó, điểm (x0; y0) được gọi là điểm không co tăng 1% thì y sẽ giảm  yx (x0 )%. dãn. 13 14 Ví dụ 1.7: Cho hàm cầu Q 600 2 P . Tính hệ số co dãn của cầu theo giá tại các mức giá P = 100; P = 200 và giải thích ý nghĩa kết quả nhận được. §2. Vi phân của hàm số 15 16 Định lý 2.3. Nếu u, v là các hàm khả vi thì I. Vi phân cấp một: 1)d ( u v ) du dv . Vi phân (cấp một) của hàm số f(x) là 2)d ( k . u ) k . du . 3)d ( u . v ) vdu udv . df() x f () x dx u vdu udv hay 4)d . v v2 dy y dx Ví dụ 2.2. Tính 2 x 3 x Ví dụ 2.1. Tìm vi phân của hàm số y e . a)() d x e b)() d x3 ex x3 c) d ex 17 18 3
4. 06/10/2017 III. Ứng dụng của vi phân: Dùng vi phân, ta có thể tính gần đúng giá trị của hàm số. Ta có giá trị của hàm số tại x gần x0 là fx(0 x ) fx () 0 fx (). 0 xox () fx(0 ) fx ( 0 ). x §3. Đạo hàm và vi phân Để áp dụng công thức trên ta cần chỉ ra dạng hàm f(x), cấp cao điểm x0 và số gia x đủ nhỏ. Ví dụ 2.3. Tính gần đúng giá trị của 3 2,0001. 19 20 Ví dụ 3.2. Cho hàm sốyx sin x . Chứng I. Đạo hàm cấp cao: minh xy 2( y sin x ) xy 0. Định nghĩa 1.1. Giả sử y=f(x) có đạo hàm cấp Ví dụ 3.3. Cho hàm sốy 2 xx 2 . Chứng mộty thì đạo hàm cấp hai của hàm số y=f(x) minh y3 y 1 0. là Định lý 1.2 (Công thức Leibniz). Giả sử u và y  fx ()  fx ()  v có đạo hàm đến cấp n. Khi đó n Tương tự, ta có đạo hàm cấp n của f(x) là ()n kknk ()() (uv . ) Cuvn ()n () n (1) n  k 0 y fx() f () x (20) Ví dụ 3.1. Tính đạo hàm cấp một, cấp hai, cấp Ví dụ 3.4. Tínhy của hàm số kx 2 2x ba, cấp bốn, cấp n của hàm số y e,. k const y xe . 21 22 II. Vi phân cấp cao: III. Quy tắc L’Hospital: Định nghĩa 2.1. Giả sử y=f(x) có đạo hàm đến Định lý 3.1. Giả sử các hàm f và g khả vi trong cấp n thì vi phân cấp n của hàm số y=f(x) là lân cận nào đó của x0 (hoặc có thể trừ x0). Nếu i) hay n n 1 ( n ) n limfx () lim gx () 0 d y d d y y dx xx 0 xx 0 limfx ( ) lim gx ( ) xx xx 3 3 0f ( x ) 0 Ví dụ 3.5. Cho y (2 x 3) . Tính d y. vàlim tồn tại x x0 g ( x ) thì fx() fx () lim lim xx 0gx() xx 0 gx () 23 24 4
5. 06/10/2017 Chú ý 1.2. IV. Áp dụng quy tắc L’Hospital để tính giới hạn: Khi tính giới hạn hàm số, quy tắc L’Hospital chỉ dùng để khử dạng vô định Dạng 0 0 0 hoặc . 0 Ví dụ 3.6. Tính các giới hạn sau x2 5 x 6 2 4 x2  Ta có thể áp dụng quy tắc L’Hospital a)lim 3 2 b)lim x 2 x x x 2 x 0 2 nhiều lần. x 9 3 sin x ex 1 c)lim d)lim x 0 x x 0 x3 x sin x ln(cosx ) e)lim 3 f )lim x 0 x x 0 arctan2x 2 x 2 25 26 Dạng 0. Dạng 0 Ta đưa về dạng hoặc . 0 Ví dụ 3.7. Tính các giới hạn sau Chú ý: 2 2 f 3x 2 x x x 1 a) lim 2 b) lim x g x x 1 x e 3 f. g (0. ) 2 g ln x x 1 c) lim d) lim f x x3 x 1 x2 Ví dụ 3.8. Tính các giới hạn sau a) lim xx .ln b) lim x .tan x x 0 x 2 2 27 28 Dạng Ví dụ 3.9. Tính các giới hạn sau 0 Ta đưa về dạng 1 1 x 2 hoặc . a)lim b) lim ( ex ) 0 x 1 lnx x 1 x Chú ý: 1 1 1 c)lim f x 0 t an2x sin xx f 1 g f f g g 1 g 1 1 f. g g f 29 30 5
6. 06/10/2017 Dạng 0 0 0 , , 1 V. Một số bài toán trong kinh tế: g( x ) Giới hạn có dạng lim  f ( x )  , trong đó f ( x ) 0 x x0 5.1. Bài toán lập kế hoạch sản xuất: trong lân cận của x0. Giả sử, một doanh nghiệp sản xuất một loại sản phẩm. Xem lại phương pháp giải ở Chương 1. Gọi P: đơn giá. Ví dụ 3.10. Tính các giới hạn sau QD = QD(P): hàm cầu. tan x Q = Q(P): hàm sản lượng. x 1 a) lim x b) lim C=C(Q): hàm tổng chi phí. x 0 x 0 x R = P.Q: doanh thu. RC : lợi nhuận (trước thuế). 31 32 Ta có thể thiết lập các bài toán tối ưu trong kinh tế mà Ví dụ 3.11: Một doanh nghiệp sản xuất một loại sản thực chất là tìm GTLN, GTNN của hàm số một biến phẩm trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo. Giá của 1 số. Chẳng hạn: đơn vị sản phẩm trên thị trường là P = 130 đơn vị tiền. -Tìm mức P hoặc Q để doanh thu R đạt tối đa. Tổng chi phí để doanh nghiệp sản xuất ra Q đơn vị sản 1 3 2 lập hàm R(P) hoặc R(Q). phẩm (Q > 1) làC QQ 10 Q 20 đơn vị tiền. 3 -Tìm mức Q để chi phí C đạt tối thiểu. Tìm mức sản lượng Q để doanh nghiệp có lợi nhuận lập hàm C(Q). tối đa. -Tìm mức Q để lợi nhuận đạt tối đa. Ví dụ 3.12: Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một lập hàm (Q ). loại sản phẩm. Hàm cầu QD của sản phẩm này là QD = Chú ý 5.1: 300-P, với P là giá bán của một đơn vị sản phẩm. Hàm QQP( ). Doanh nghiệp muốn tiêu thụ hết sản phẩm D chi phí sản xuất của doanh nghiệp là CQ 319 Q 2 333 Q 10. Tìm mức sản lượng Q để doanh nghiệp có lợi nhuận 33 tối đa. 34 5.2. Bài toán thuế doanh thu: Bước 4: Kiểm tra sự phù hợp bằng cách với t tìm được, ta Giả sử, một doanh nghiệp sản xuất một loại sản phẩm. tính T, Q, R, C,, t P. Nếu tất cả các kết quả đều > 0 thì Gọi kết quả t tìm được là phù hợp. t: mức thuế doanh thu trên một đơn vị sản phẩm. T=t.Q: tổng số thuế doanh thu. Ví dụ 3.13: Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Hàm cầu QD của sản phẩm này là QD = t RCT : lợi nhuận sau thuế. Hãy tìm mức thuế t trên một đơn vị sản phẩm để tổng 800-P, với P là giá bán của một đơn vị sản phẩm. Hàm chi phí sản xuất của doanh nghiệp là số thuế thu được từ doanh nghiệp là lớn nhất. 2 Phương pháp: CQ 200 Q 100. Các nhà làm thuế sẽ áp mức thuế doanh thu t trên một Bước 1: Viết hàm lợi nhuận sau thuế t (QQ ), 0. đơn vị sản phẩm là bao nhiêu để tổng số thuế thu được Bước 2: Tìm mức sản lượng Q(t) để t đạt GTLN. Bước 3: Viết hàm T = t.Q(t), t > 0. Sau đó, tìm mức từ doanh nghiệp là lớn nhất? thuế t để T đạt GTLN. 35 36 6
7. 06/10/2017 5.3. Bài toán thuế nhập khẩu: P: giá bán một đơn vị hàng của doanh nghiệp ra thị Giả sử, một doanh nghiệp độc quyền nhập khẩu một mặt trường nội địa sau khi nhập hàng. hàng. Gọi Pt P P0 QS = S(P): hàm cung của mặt hàng ở thị trường nội địa. QD = D(P): hàm cầu của mặt hàng ở thị trường nội địa. Hãy tìm mức thuế nhập khẩu t trên một đơn vị hàng để tổng số thuế nhập khẩu thu được từ doanh nghiệp là P0 : giá bán một đơn vị hàng ở thị trường nội địa. Q: lượng hàng doanh nghiệp nhập về từ thị trường quốc lớn nhất (giả thiết rằng lượng hàng nhập khẩu của tế. doanh nghiệp không ảnh hưởng đến giá bán trên thị P : số tiền cho một đơn vị hàng mà doanh nghiệp phải trường quốc tế). chi ra để mua ở thị trường quốc tế = giá bán ở thị trường Phương pháp: quốc tế + chi phí nhập khẩu (chưa tính thuế). Bước 1 (Tìm P0): Trước khi nhập khẩu, các nhà sản t: mức thuế nhập khẩu trên một đơn vị sản phẩm xuất tại thị trường nội địa muốn tiêu thụ hết hàng QQSD . P t P0 37 38 ()P Bước 2 (Viết hàm lợi nhuận sau thuế t ()Q hoặc t ): Ví dụ 3.14: Một doanh nghiệp độc quyền nhập khẩu Sau khi nhập hàng, thị trường nội địa có lượng cung là một mặt hàng. Với mức giá P tại thị trường nội địa, Q + QS (P). Khi đó: nhu cầu về mặt hàng này là QD = 4200-P đơn vị và các QQPQPQQPQPPPQ SDDS( ) ( ) ( ) ( ) ( ). nhà sản xuất cung cấp được QS = -200+P đơn vị. Để Lợi nhuận sau thuế của doanh nghiệp là mua mặt hàng này ở thị trường quốc tế thì doanh t RCT nghiệp phải chi ra một số tiền là 1600 đơn vị tiền cho P Q P Q t Q mỗi đơn vị hàng (chưa tính thuế). Hãy xác định mức thuế nhập khẩu t thu trên một đơn vị hàng để tổng số Bước 3: Tìm mức sản lượng Q(t) để t đạt GTLN. Bước 4: Viết hàm T = t.Q(t), t > 0. Sau đó, tìm mức thuế thuế nhập khẩu thu được từ doanh nghiệp là lớn nhất ? t để T đạt GTLN. Bước 5: Kiểm tra sự phù hợp và kiểm tra điều kiện Pt P P0 39 40 5.4. Bài toán thuế xuất khẩu: P: giá mua một đơn vị hàng từ thị trường nội địa để Giả sử, một doanh nghiệp độc quyền xuất khẩu một mặt xuất khẩu. hàng. Gọi P0 PPt QS = S(P): hàm cung của mặt hàng ở thị trường nội địa. Hãy tìm mức thuế xuất khẩu t trên một đơn vị sản QD = D(P): hàm cầu của mặt hàng ở thị trường nội địa. phẩm để tổng số thuế xuất khẩu thu được từ doanh P0 : giá bán một đơn vị hàng ở thị trường nội địa. nghiệp là lớn nhất (giả thiết rằng lượng hàng xuất khẩu Q: lượng hàng doanh nghiệp thu mua từ thị trường nội của doanh nghiệp không ảnh hưởng đến giá bán trên thị địa. trường quốc tế). P : số tiền cho một đơn vị hàng mà doanh nghiệp thu Phương pháp: được khi bán mặt hàng ở thị trường quốc tế (giá bán một Bước 1 (Tìm P0): Trước khi doanh nghiệp mua hàng, đơn vị hàng trên thị trường quốc tế của doanh nghiệp trừ các nhà sản xuất tại thị trường nội địa muốn tiêu thụ đi chi phí xuất khẩu (chưa trừ thuế)). hết hàng QQSD . t: mức thuế xuất khẩu trên một đơn vị sản phẩm P t P0 41 42 7
8. 06/10/2017 ()P Bước 2 (Viết hàm lợi nhuận sau thuế t ()Q hoặc t ): Ví dụ 3.15: Một doanh nghiệp độc quyền xuất khẩu Khi doanh nghiệp mua hàng, thị trường nội địa có một mặt hàng. Với mức giá P tại thị trường nội địa, lượng cầu là Q + QD . Khi đó: nhu cầu về mặt hàng này là QD = 4200-P đơn vị và các QQPQPQQPQPPPQ DSSD() () () () (). nhà sản xuất cung cấp được QS = -200+P đơn vị. Nếu Lợi nhuận sau thuế của doanh nghiệp là xuất mặt hàng này ra nước ngoài thì doanh nghiệp sẽ t RCT thu về 3200 đơn vị tiền cho mỗi đơn vị hàng (trừ chi P Q P Q t Q phí xuất khẩu nhưng chưa trừ thuế). Hãy xác định mức thuế xuất khẩu t thu trên một đơn vị hàng để tổng số Bước 3: Tìm mức sản lượng Q(t) để t đạt GTLN. Bước 4: Viết hàm T = t.Q(t), t > 0. Sau đó, tìm mức thuế thuế xuất khẩu thu được từ doanh nghiệp là lớn nhất? t để T đạt GTLN. Bước 5: Kiểm tra sự phù hợp và kiểm tra điều kiện P0 PPt 43 44 8
9. BẢNG 2. ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SƠ CẤP STT Đạo hàm Đạo hàm của hàm hợp, với u=u(x) 1 (C ) 0 (C const ) 2 ().x x 1 () u u 1 u ( const ) 1 1 1 u 3 2 2 x x u u 1 u 4 (x ) (u ) 2 x 2 u 5 (ax ) a x .ln,(: a a hằng > 0) (au ) a u .(ln a ). u 6 (ex ) e x ().eu e u u 1 u 7 (logx ) , (0 a 1) (logu ) a x.ln a a u.ln a 1 u 8 (lnx ) (lnu ) x u 9 (sinx ) cos x (sinu ) (cos u ). u 10 (cosx ) sin x (cosu ) (sin u ). u 1 2 u 2 11 (tanx ) 1 tan x (tanu ) (1 tan u ). u cos2 x cos2 u 1 2 u 2 12 (cot)x (1cot x ) (cotu ) (1 cot u ). u sin2 x sin2 u 1 u 13 (arcsinx ) (arcsinu ) 1 x2 1 u2 1 u 14 (arccosx ) (arccosu ) 1 x2 1 u 2 1 u 15 (arctanx ) (arctanu ) 1 x2 1 u2 1 u 16 (arccotx ) (arccotu ) 1 x2 1 u2 9