Giáo trình Giải tích hàm nhiều biến - Chương 5: Chuỗi - Bài 1: Chuỗi số

Nội dung text: Giáo trình Giải tích hàm nhiều biến - Chương 5: Chuỗi - Bài 1: Chuỗi số

1. CHƯƠNG IV: CHUỖI Đ1. CHUỖI SỐ 1.CHUỖI SỐ DƯƠNG 2.CHUỖI ĐAN DẤU 3.CHUỖI Cể DẤU BẤT KỲ Đ2. CHUỖI LŨY THỪA 1.CHUỖI LŨY THỪA 2.CHUỖI TAYLOR - MACLAURINT
2. Đ1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số Định nghĩa: Cho dóy số {un}. Ta gọi tổng tất cả cỏc Ơ số hạng của dóy (TỔNG Vễ HẠN) ồ un là chuỗi số n= 1 Ta gọi: 1. un là số hạng tổng quỏt của chuỗi 2. Tổng riờng thứ n của chuỗi là tổng n – số hạng đầu tiờn : Sn=u1+u2+ +un 3. Tổng của chuỗi là giới hạn hữu hạn (nếu cú) S= lim Sn < Ơ nđƠ Khi đú, ta núi chuỗi hội tụ. Ngược lại, tức là hoặc khụng tồn tại giới hạn hoặc giới hạn ra vụ tận thỡ ta núi chuỗi phõn kỳ Ơ Vậy khi chuỗi hội tụ, chuỗi cú tổng ồ unn==lim S S n= 1 nđƠ
3. Đ1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số Vớ dụ: Tỡm số hạng tổng quỏt của cỏc chuỗi: 1 3 7 15 21n - + + + + ị=u 2 4 8 16 n 2n 2 22 2 3 2 4 2n + + + + ị=u 1 1.2 1.2.3 1.2.3.4 n n! Vớ dụ: Tớnh số hạng un của cỏc chuỗi Ơ n + 2 Tớnh u ? 5+ 2 7 ồ 5 ịu5 = = n= 1 41n - 4.5- 1 19 Ơ (2n - 1)!! ồ Tớnh u6 n= 1 (n + 1)! (2.6- 1)!! 11!! 1.3.5.7.9.11 99 ịu = = = = 6 (6+ 1)! 7! 1.2.3.4.5.6.7 48
4. Đ1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số Ơ Vớ dụ: Tớnh tổng của chuỗi cấp số nhõn ồ qn n= 0 Ta bắt đầu từ việc tớnh tổng riờng thứ n của chuỗi ỡ nq,1= ù 2 n ù n Sn =1 + q + q + + q = ớ 1- q ù ,1q ạ ợù 1- q Rừ ràng khi q=1, Sn=n thỡ chuỗi là phõn kỳ n 1 Khi |q| 1: Dóy {Sn} khụng cú giới hạn → chuỗi phõn kỳ Vậy chuỗi cấp số nhõn hội tụ khi và chỉ khi |q|<1
5. Đ1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số Ơ ổử11 Vớ dụ: Tớnh tổng của chuỗi ỗ - ữ ồ ỗ nnữ n= 0ốứỗ35 Áp dụng kết quả vớ dụ trờn, ta cú ƠƠ 1 1n 1 3 ồồn =() = = nn==003 321- 1 3 ƠƠ 1 1n - 1 5 ồồ-n = -() = = - nn==005 541- 1 5 Ơ ổử1 1 3 5 1 Vậy: ỗ -ữ = - = ồ ỗ nnữ n= 0ốứỗ35 2 4 4
6. Đ1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số Ơ 1 Vớ dụ: Tớnh tổng riờng và tổng (nếu cú) của ồ 2 n= 141n - Tổng riờng: Snn= u12 + u + + u 1 1 1 1 Ta cú: u = =() - n 41n2 - 2 2nn-+ 1 2 1 ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử 1 1ữ 1 1 ữ 1 1 ữ 1 1 ữ 2Sn =ỗ -ữ + ỗ - ữ + ỗ - ữ + + ỗ - ữ ốỗ1 3 ứữ ỗố 3 5 ứữ ốỗ 5 7 ứữ ốỗ 2nn-+ 1 2 1 ứữ 1 21S =- n 21n + Tổng của chuỗi: Ơ 11 SS=ồ 2 =lim n = n= 141n - nđƠ 2
7. Đ1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số Ơ 1 Vớ dụ: Khảo sỏt sự hội tụ của chuỗi ồ ln(1+ ) n= 1 n Tổng riờng: nn1 Sn =ồồln(1 + ) =( ln(1 + k ) - ln k) kk==11k Sn =(ln2 - ln1) + (ln3 - ln2) + + (ln( n + 1) - ln n ) Snn =+ln( 1) Ta cú: S=lim Sn = lim ln( n + 1) = Ơ nnđ Ơ đ Ơ Vậy chuỗi đó cho phõn kỳ
8. Đ1. Chuỗi số - Tớnh chất & điều kiện cần của sự hội tụ Ơ Điều kiện cần của sự hội tụ : Chuỗi ồ un hội tụ thỡ un→0 n= 1 Ta thường dựng điều kiện này để chứng minh chuỗi số phõn kỳ bằng cỏch chứng minh ộ1. limun ạ 0 ờ nđƠ ờ ờ2.$ lim un ở nđƠ Vớ dụ: Cỏc chuỗi sau phõn kỳ theo đkccsht Ơ nn ồ , vỡ limun = lim = 1 ạ 0 n= 1nn++11nnđ Ơ đ Ơ Ơ (- 1)nn +nn ( - 1) + ồ , vỡ lim=ạ 1 0 n= 1 nnnđƠ Ơ nn ồ nn, vỡ limun = lim = - 1 ạ 0 n= 1( 1)nnnnđ Ơ đ Ơ ( 1)
9. Đ1. Chuỗi số - Tớnh chất & điều kiện cần của sự hội tụ Tớnh chất 1: Tớnh hội tụ (phõn kỳ) của chuỗi khụng thay đổi nếu ta bỏ đi một số hữu hạn cỏc phần tử của chuỗi. Tức là 2 chuỗi sau cựng hội tụ hoặc cựng phõn kỳ ƠƠ ồồuunn và n==1 n p ƠƠ Tớnh chất 2: Cho 2 chuỗi hội tụ ồồunn== Q và v P nn==11 Cỏc chuỗi sau hội tụ với tổng ƠƠ ồồ(un+ v n) = Q + P, (ll u n ) = Q nn==11 Chỳ ý: Tổng của 1 chuỗi HT và 1 chuỗi PK thỡ PK
10. Đ1. Chuỗi số - Chuỗi khụng õm Ơ Chuỗi số ồ uunn, ³ 0 với tất cả cỏc số hạng n= 1 khụng õm thỡ gọi là chuỗi khụng õm Khi đú, dóy tổng riờng {Sn} là dóy số khụng giảm nờn chuỗi HT khi và chỉ khi dóy {Sn} bị chặn trờn Để khảo sỏt sự hội tụ của chuỗi số dương, chỳng ta sẽ sử dụng 1 trong 4 tiờu chuẩn : 1.Tiờu chuẩn tớch phõn Maulaurint – Cauchy 2.Tiờu chuẩn so sỏnh 3.Tiờu chuẩn Cauchy 4.Tiờu chuẩn d’Alembert
11. Đ1. Chuỗi số - Chuỗi khụng õm Tiờu chuẩn tớch phõn Maclaurint – Cauchy: Cho hàm f(x)≥0, liờn tục và đơn điệu giảm trờn [1,∞). Ơ Ơ Khi ấy, chuỗi ồ fn()HT khi và chỉ khi tp ũ f() x dx HT n= 1 1 Ơ Vớ dụ: Khảo sỏt sự hội tụ của chuỗi 1 ồ a n= 1 n 1 * Khi α 0: Xột hàm fx()= thỏa cỏc điều kiện của xa tiờu chuẩn tớch phõn
12. Đ1. Chuỗi số - Chuỗi khụng õm +Ơ 1 Vỡ tớch phõn hội tụ khi và chỉ khi α>1 nờn ũ a dx 1 x Ơ 1 Chuỗi Hội tụ khi α>1 và phõn kỳ khi α≤1 ồ a n= 1 n Ơ 1 Vớ dụ: Khảo sỏt sự HT của chuỗi ồ b n= 2 nn(ln ) 1 Xột hàm fx()= trờn [2,+∞), ta cú xx(ln )a f(x) khụng õm, hàm liờn tục và khi x tăng thỡ lnx tăng nờn f(x) giảm tức là hàm f(x) thỏa điều kiện của tiờu chuẩn tớch phõn
13. Đ1. Chuỗi số - Chuỗi khụng õm Mặt khỏc ùỡ + Ơ khi b Ê 1 + Ơdx + Ơ d(ln x ) ù = = ớ 1 ũũbbù khi b >1 22x(ln x ) (ln x ) ù b- 1 ợù (b - 1)(ln2) Ơ 1 Vậy chuỗi ồ b HT khi β>1 và PK khi β≤1 n= 2 nn(ln )
14. Đ1. Chuỗi số - Chuỗi khụng õm Tiờu chuẩn so sỏnh 1: ƠƠ Cho 2 chuỗi số khụng õm ồồuvnn và thỏa nn==11 $p: unn ³ v " n ³ p ƠƠ Khi ấy: 1.ồồuvnn HT ị HT nn==11 ƠƠ 2.ồồvunn PK ị PK nn==11 Ghi nhớ: Chuỗi “lớn” HT kộo theo chuỗi “nhỏ” HT và ngược lại chuỗi “nhỏ” PK kộo theo chuỗi “lớn” PK
15. Đ1. Chuỗi số - Chuỗi khụng õm Ơ 2n Vớ dụ: Khảo sỏt sự hội tụ của chuỗi ồ n n= 131+ Ta so sỏnh 22nn u= Ê = v, " n nn3nn+ 1 3 Ơ2n Ơổử 2n Ơ 2 Vỡ =ỗ ữ =qqn, = là chuỗi hội tụ ồn ồỗ ữ ồ n=13 n = 1ốứỗ33 n = 1 Suy ra chuỗi đó cho hội tụ
16. Đ1. Chuỗi số - Chuỗi khụng õm Tiờu chuẩn so sỏnh 2: ƠƠ Cho 2 chuỗi số khụng õm ồồuvnn và thỏa u nn==11 lim n = K nđƠ vn Khi ấy: ƠƠ 1. Nếu K=∞ thỡ ồồuvnn HT ị HT nn==11 2. Nếu 0<K<∞ thỡ 2 chuỗi cựng HT hoặc cựng PK ƠƠ 3. Nếu K=0 thỡ ồồvunn HT ị HT nn==11
17. Đ1. Chuỗi số - Chuỗi khụng õm Khi dựng tiờu chuẩn so sỏnh, thường xuyờn ta sẽ so sỏnh với 1 trong 2 chuỗi cơ bản sau Chuỗi cấp số nhõn: Ơ n Hội tụ khi |q| 1 ồ a n= 1 n Phõn kỳ khi α≤1
18. Đ1. Chuỗi số - Chuỗi khụng õm Ơ nn2 22 Vớ dụ: Khảo sỏt sự hội tụ của chuỗi -+ ồ 3 n= 1 nn++1 Ta dựng T/c so sỏnh 2 bằng cỏch tớnh khi n→∞ nn2 -+2 2 1 Khi n→∞ thỡ uv==: nnnn3 ++1 n u Tức là limn = 1 nđƠ (hai chuỗi cựng HT hoặc cựng PK) vn ƠƠ Mà 1 ồồvn = là chuỗi phõn kỳ nn==11n Vậy chuỗi đó cho phõn kỳ
19. Đ1. Chuỗi số - Chuỗi khụng õm Ơ 11ổử+ n n Vớ dụ: Khảo sỏt sự hội tụ của chuỗi ỗ ữ ồ 2 ỗ ữ n= 1n ốứỗ n ổửn 1 1+ nữ 1 Khi n→∞ thỡ unn==ỗ ữ : . e v nn22ốứỗ n ữ ƠƠ 1 hội tụ Mà chuỗi ồồven = 2 . nn==11n Theo tiờu chuẩn so sỏnh 2 ta được kết quả: Chuỗi đó cho HT
20. Đ1. Chuỗi số - Chuỗi khụng õm Ơ 1ổử 2n + 1 ỗ ữ Vớ dụ: Khảo sỏt sự hội tụ của chuỗi ồ lnỗ ữ n= 1nn 11ốứỗ ổử ổử Ta cú : 1 2n + 1ữ 1ỗ 3 ữ un =lnỗ ữ = ln 2(1 + ữ n 1ốứỗ n 1ữ n 1ốứỗ 2( n 1)ữ 1ổử 3 ln2 1 3 u =ỗln2 + ln(1 + )ữ = + ln(1 + ) n n 1ốứỗ 2( n 1)ữ n 1 n 1 2( n 1) Do 1 3 1 3 3 n đ Ơ: ln(1+ ): . = n 1 2( n 1) n 1 2( n 1) 2(n - 1)2 Nờn theo t/c so sỏnh 2: chuỗi đó cho PK vỡ nú là tổng ƠƠln2 1 3 của 2 chuỗi ồồ PK và ln(1+ ) HT nn==22n 1 n 2 2( n 1)
21. Đ1. Chuỗi số - Chuỗi khụng õm Ơ ổử1 a ỗ ữ Vớ dụ: Khảo sỏt sự hội tụ của chuỗi ồ ỗ1- n sin ữ n= 1ốứỗ n 1 Khi n→∞ thỡ đ 0 n 1 Nờn ta cú thể khai triển Maclaurint hàm sin n Vậy khi n→∞ thỡ ổửa a 1ữ ổửổử1 1 1 1 1 unn =-ỗ1 sin ữ ỗ ỗ ữữ ỗ ữ =ỗ1 -nOỗ -33 + ( )ữữ: ốứn ốứỗ ốứỗn 3!nnữữ 6n2 Ơ 1 Mà chuỗi ồ 2 HT n= 16n Nờn chuỗi đó cho HT
22. Đ1. Chuỗi số - Chuỗi khụng õm 2 nen−+−n 1 Vớ dụ: Khảo sỏt sự hội tụ của chuỗi  3 ln n=2 n −1 n Khi n →∞ : - n2 1 e =đ2 0 Suy ra en 22 n- e nn n +11 n - e u =ln( ) = ln(1 + ) n 33nn 11nn 2 n- e- n 1 n 1 1 u =ln(1 + ) : = n 3n- 1 nn 3 n 3 n Ơ 1 Mà chuỗi ồ 3 phõn kỳ nờn chuỗi đó cho phõn kỳ n= 1 n
23. Đ1. Chuỗi số - Chuỗi khụng õm Tiờu chuẩn d’Alembert : Ơ Xột chuỗi số dương: ồ un n= 1 Đặt : u n+1 •  q 1 : phõn kỳ nn→ → un • D = 1 : khụng cú kết luận
24. Đ1. Chuỗi số - Chuỗi khụng õm Tiờu chuẩn Cauchy : Ơ Xột chuỗi số dương: ồ un n= 1 Đặt : •  q 1 : phõn kỳ • C = 1 : khụng cú kết luận
25. Đ1. Chuỗi số - Chuỗi khụng õm Tiờu chuẩn Rapb : (sử dụng khi D = 1 và Dn 1 : hội tụ • R < 1 : phõn kỳ • R = 1 : khụng cú kết luận
26. Đ1. Chuỗi số - Chuỗi khụng õm Vớ dụ: Khảo sỏt sự hội tụ của cỏc chuỗi sau: Ơ (2n + 1)! 1/ ồ 24 n= 1 4 n nn(- 1) Ơ ổửn - 1 ỗ ữ 2/ ồ ỗ ữ n= 1ốứn Ơ (2n - 1)!! 3/ ồ n= 1(2nn )!!(2+ 1) Ơ 4 /ồ aa- lnn ,> 0 n= 1
27. Đ1. Chuỗi số - Chuỗi khụng õm Ơ (2n + 1)! 1/ ồ 24 n= 1 4 n (2nn+ 1)! (2( + 1) + 1)! uunn= ị1 = 42nn 4+ 4 2 (+ 1) 4 24 4 un+1 (2nn+ 3)! 4 n ị=24. =(2nn + 2)(2 + 3) 4 unn 4 (n + 1) (2+ 1)! (n + 1) u ịlim n+ 1 = Ơ nđƠ un Chuỗi PK theo tiờu chuẩn d’Alembert
28. Đ1. Chuỗi số - Chuỗi khụng õm Ơ ổửn - 1 nn(- 1) ỗ ữ 2/ ồ ỗ ữ n= 1ốứn ổnn 11 ửn( n 1) ổ ử ( n 1) ữữn uunn=ỗỗữữ ị = ốỗỗnn ứữữ ố ứ ổửn - 1(n- 1) 1 1 n ữ ịlim un = limỗ ữ = lim = < 1 nđ Ơ n đ Ơốứỗ ữ n đ Ơ 1 ne(1+ )(n- 1) n - 1 Vậy chuỗi HT theo tiờu chuẩn Cauchy
29. Đ1. Chuỗi số - Chuỗi khụng õm (2n − 1)!! 1 3 /  n=1 (2nn )!! 2 +1 (2n + 1)!! 1  an(2nn++ 2)!! 2 3 (2+ 1)2 D =n+1 = = n (2n − 1)!! 1 an  (2 n++ 2).(2 n 3) (2nn )!! 2+ 1 DDnn =1& lim 1 khụng dựng tc D’A được n→ (2n + 1)2 Rnn= n(11 − D) = n − (2nn++ 2)(2 3)
30. Đ1. Chuỗi số - Chuỗi khụng õm (2n + 1)2 Rnn= n(11 − D) = n − (2nn++ 2)(2 3) 65n + = n (2nn++ 2)(2 3) 3 limRn = 1 n→ 2 chuỗi hội tụ theo tiờu chuẩn Rapb
31. Đ1. Chuỗi số - Chuỗi khụng õm 4 /  a−ln n , a 0 n=1 −ln n n −ln n n 0 C== a a và limCan == 1 n nđƠ 1 −+ln(n 1) ln 1− a lnnn−+ ln( 1) n+1 0 Dn = = a = a và limDan == 1 a−ln n nđƠ (Ta khụng dựng được tiờu chuẩn Cauchy, d’Alembert) Biến đổi a−lnn== e − ln n ln a n − ln a 1 Suy ra chuỗi đó cho là chuỗi điều hòa  ln a n=1n Chuỗi HT khi và chỉ khi lna>1 ↔ a>e
32. Đ1. Chuỗi số - Chuỗi đan dấu Chuỗi số Ơ nn ồ (- 1)un =-+-++- u1 u 2 u 3 ( 1) u n + , u n ³" n , n n= 1 gọi là chuỗi đan dấu Tiờu chuẩn Leibnitz : ùỡ uunnÊ - 1 Ơ ù (- 1)nu Nếu ớ u = 0 thỡ chuỗi ồ n hội tụ ù lim n n=1 ợù nđƠ Khi ấy, ta gọi chuỗi đú là chuỗi Leibnitz và tổng S của chuỗi thỏa 0≤S≤u1
33. Đ1. Chuỗi số - Chuỗi đan dấu n (- 1)n Vớ dụ: Khảo sỏt sự hội tụ của chuỗi 1/ ồ n= 1 n n (- 1)n n 2/ ồ n= 2 n - 1 1 1/Ta cú : u = đơn điệu giảm và dần về 0 n n Nờn chuỗi đó cho là chuỗi Leibnitz n 2/ u = đơn điệu giảm và dần về 0 n n - 1 Nờn chuỗi đó cho là chuỗi Leibnitz
34. Đ1. Chuỗi số - Chuỗi đan dấu Ơ (- 1)n Vớ dụ: Khảo sỏt sự hội tụ của chuỗi ồ n n=1 n +-( 1) (- 1)n Số hạng tổng quỏt của chuỗi un = n +-( 1)n n khụng thể viết được dưới dạng (-³ 1)vvnn , 0 Tức là chuỗi trờn khụng là chuỗi đan dấu Ta cú (1) n (1)( nnn (1))(1) n n 1 un = = = - nn+( - 1)nn - ( - 1)2 nn 11
35. Đ1. Chuỗi số - Chuỗi đan dấu Ơ (- 1)n n Chuỗi ồ là chuỗi đan dấu hội tụ n= 1 n - 1 Ơ 1 Chuỗi ồ là chuỗi số dương phõn kỳ n= 2 n - 1 Vậy chuỗi đó cho là chuỗi PK vỡ là tổng của 1 chuỗi HT và 1 chuỗi PK
36. Đ1. Chuỗi số - Chuỗi đan dấu Ơ (- 1)n Vớ dụ: Khảo sỏt sự hội tụ của chuỗi ồ n= 1nn- ln 1 Chuỗi đan dấu với u = n nn- ln Để khảo sỏt sự đơn điệu của dóy un ta đặt 1 x - 1 fx()= ịfÂ( x ) = - 1 xx- ln x( x- ln x )2 Tức là hàm f(x) cũng là dóy {un} đơn điệu giảm và dần về 0. Vậy chuỗi đó cho HT theo Leibnitz
37. Đ1. Chuỗi số - Chuỗi cú dấu bất kỳ Tiờu chuẩn hội tụ tuyệt đối: Ơ Nếu chuỗi ồ ||un hội tụ n= 1 Ơ Thỡ chuỗi ồ un hội tụ n= 1 ƠƠ Khi đú: ồồuunnÊ || nn==11 Ơ Và ta gọi chuỗi ồ un là chuỗi hội tụ tuyệt đối n= 1
38. Đ1. Chuỗi số - Chuỗi cú dấu bất kỳ Chỳ ý 1: Điều ngược lại khụng đỳng, tức là chuỗi Ơ Ơ ồ un khụng suy ra chuỗi ồ ||un hội tụ n= 1 n= 1 Khi chuỗi HT và chuỗi PK thỡ ta gọi chuỗi là chuỗi bỏn hội tụ Chỳ ý 2: Nếu dựng tiờu chuẩn Cauchy hoặc d’Alembert mà biết được chuỗi PK thỡ chuỗi cũng PK
39. Đ1. Chuỗi số - Chuỗi cú dấu bất kỳ Vớ dụ: Khảo sỏt sự hội tụ của cỏc chuỗi sau: Ơ n 11 1/ồ (- 1) tan sin n= 1 n n Ơ sinn2 2/ ồ n n= 1 3 111 1 1 1/ Xột un = tan sin : =, khi n đ Ơ n n n n 3 n 2 Ơ 1 ồ Chuỗi 3 HT, suy ra chuỗi đó cho HTTĐ n= 1n 2 sinn2 1ổử 1 n 2/ Xột ỗ ữ un = Ê = ỗ ữ → chuỗi đó cho HTTĐ 33nnốứỗ3
40. Đ1. Chuỗi số - Chuỗi cú dấu bất kỳ Ơ n n + 1 Vớ dụ: Khảo sỏt sự hội tụ của chuỗi ồ (- 1) 2 n= 1 21n - n + 1 1. Chuỗi đó cho là chuỗi đan dấu với un = 21n2 - Rừ ràng dóy {un} đơn điệu giảm và dần về 0 nờn chuỗi HT theo t/c Leibnitz 2. Mặt khỏc, coi đú là chuỗi cú dấu bất kỳ thỡ n + 1 1 ||un = : , khi n đƠ 21n2 - 2n ƠƠn + 1 ồồ||u = Tức là chuỗi n 2 PK nn==1121n - Vậy chuỗi đó cho chuỗi bỏn HT
41. Đ1. Chuỗi số - Chuỗi cú dấu bất kỳ 2 Ơ (-+ 1)n ổửn 1 n Vớ dụ: Khảo sỏt sự hội tụ của chuỗi ồ ỗ ữ n ỗ ữ n= 1 2 ốứn Ta cú 2 11ổửn + n n u = n ỗ ữ limn lim n ỗ ữ nnđ Ơ đ Ơ 2 ốứn 11ổửn e ỗ ữ =lim ỗ11 +ữ = > nđƠ 22ốứn Ơ Vậy chuỗi ồ un PK theo t/c Cauchy nờn n= 1 chuỗi đó cho cũng PK
42. Đ1. Chuỗi số - Chuỗi cú dấu bất kỳ Ơ arcsin(- 1)n Vớ dụ: Khảo sỏt sự hội tụ của chuỗi ồ n= 2 n( n+- 1)( n 1) Vỡ ùỡ p ,2nk= n ù 2 arcsin(-= 1) ớù ù - p ,nk=+ 2 1 ợù 2 Nờn pp1 un Ê: khi n đ Ơ 2n ( n+- 1)( n 1) 2 3 n 2 Vậy chuỗi đó cho HTTĐ
43. Đ1. Chuỗi số - Chuỗi cú dấu bất kỳ Vớ dụ: Khảo sỏt sự hội tụ của chuỗi Ơ 11- ồ uun, u2 n- 1== , 2 n n= 1 3nn+- 2 3 1 Ta đi tớnh tổng riờng thứ 2n của chuỗi S2n= u 1 + u 2 + + u 2 n- 1 + u 2 n S2n=( u 1234 + u )( + u + u ) ( + + u 2322 n + u n )( + u 212 n + u n ) ổ1 1 ử ổ 1 1 ử ổ 1 1 ử ổ 1 1 ử S =ỗ +ữ + ỗ + ữ + + ỗ + ữ + ỗ + ữ 2n ốỗ5285 ứữ ốỗ ứữ ốỗ 31343231n- n - ứữ ốỗ n + n - ứữ - 11 nđƠ - 1 S =+ ắ ắ ắ ắđ Và 2n 2 3n + 2 2 nđƠ - 1 S2n++ 1=+ S 2 n u 2 n 1 ắ ắ ắ ắđ 2 1 Vậy tổng của chuỗi SS=lim n = - Chuỗi HT nđƠ 2