›
›

Bài giảng Đại số, giải tích ứng dụng - Chương IV: Phép tính vi phân hàm một biến - Nguyễn Thị Nhung

pdf 16 trang hapham 1670
Download
Bạn đang xem tài liệu "Bài giảng Đại số, giải tích ứng dụng - Chương IV: Phép tính vi phân hàm một biến - Nguyễn Thị Nhung", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_giang_dai_so_giai_tich_ung_dung_chuong_iv_phep_tinh_vi_p.pdf

Nội dung text: Bài giảng Đại số, giải tích ứng dụng - Chương IV: Phép tính vi phân hàm một biến - Nguyễn Thị Nhung

  1. Ghi chú Ôi số, giÊi tẵch v ựng dửng Nguyạn Thà Nhung Bở mổn ToĂn - Ôi hồc Thông Long Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 1 / 48 Ghi chú Chữỡng IV Ph²p tẵnh vi phƠn h m mởt bián Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 2 / 48 Ghi chú Nghiằm cƠn bơng trong mổ hẳnh toĂn kinh tá Mổ hẳnh toĂn kinh tá Nhỳng khĂi niằm trong mổ hẳnh toĂn kinh tá Mổ hẳnh toĂn kinh tá l mổ hẳnh kinh tá ữủc trẳnh b y bơng ngổn ngỳ toĂn hồc. Cổng thực cừa mổ hẳnh ToĂn kinh tá: gỗm cĂc Ôi lữủng ành lữủng v cĂc hằ thực toĂn hồc (phữỡng trẳnh v bĐt phữỡng trẳnh) liản hằ giỳa chúng. Vẵ dử: Qd  a Ă bP Rpa, b Ă 0q, (1) ? Qs  Ăc dP Rpc, d Ă 0q, (2) vợi R l lữủng mữa. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 3 / 48
  2. Ghi chú Nghiằm cƠn bơng trong mổ hẳnh toĂn kinh tá Mổ hẳnh toĂn kinh tá Nhỳng khĂi niằm trong mổ hẳnh toĂn kinh tá Bián l mởt Ôi lữủng m ở lợn cõ thº thay ời, hay l mởt Ôi lữủng m cõ thº nhên nhiãu giĂ trà khĂc nhau. Bián nởi sinh l bián m giĂ trà cừa chúng tẳm ữủc tứ mổ hẳnh. Bián ngoÔi sinh l bián m giĂ trà cừa chúng ữủc xem l tỗn tÔi bản ngo i mổ hẳnh v ở lợn ch¿ ữủc xĂc ành khi dỳ liằu ữủc cho trữợc. Hơng số l Ôi lữủng khổng thay ời v do õ ối lêp vợi bián. Tham số l Ôi lữủng ữủc giÊ sỷ º biºu diạn hơng số cho trữợc những khổng ữủc gĂn mởt giĂ trà cử thº m cõ thº nhên bĐt kẳ mởt giĂ trà n o. Nhên x²t: Bián ngoÔi sinh l bián ởc lêp, bián nởi sinh l bián phử thuởc v o tham số v bián ngoÔi sinh. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 4 / 48 Ghi chú Nghiằm cƠn bơng trong mổ hẳnh toĂn kinh tá Mổ hẳnh toĂn kinh tá Mởt số bián thữớng g°p trong kinh tá Kẵ hiằu Tản T.Anh Tản T.Viằt Kẵ hiằu Tản T.Anh Tản T.Viằt P Price GiĂ Q Quantity SÊn lữủng Π Profit Lủi nhuên R Revenue Doanh thu C Cost Chi phẵ Y Income Thu nhêp C Consumtion Tiảu dũng T Tax Thuá L Labour Lao ởng K Capital Vốn Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 5 / 48 Ghi chú Nghiằm cƠn bơng trong mổ hẳnh toĂn kinh tá CƠn bơng Nhỳng khĂi niằm vã cƠn bơng trong mổ hẳnh ToĂn kinh tá TrÔng thĂi cƠn bơng l mởt trÔng thĂi ờn ành m nhõm cĂc bián số trong mổ hẳnh Ôt ữủc. Do trÔng thĂi cƠn bơng l ờn ành nản phƠn tẵch cƠn bơng gồi l phƠn tẵch tắnh. So sĂnh tắnh l so sĂnh hai trÔng thĂi cƠn bơng cụ v mợi vợi nhau v do hai trÔng thĂi cƠn bơng n y l tắnh nản gồi l so sĂnh tắnh. iãu kiằn cƠn bơng l phữỡng trẳnh mổ tÊ cho viằc Ôt ữủc cƠn bơng. Hai iãu kiằn cƠn bơng quen thuởc nhĐt trong kinh tá l Qd  Qs plữủng cƯu = lữủng cungq, v S  I ptiát kiằm = Ưu tữq, lƯn lữủt l cƠn bơng cừa mổ hẳnh thà trữớng v cƠn bơng cừa thu nhêp quốc dƠn trong trữớng hủp ỡn giÊn nhĐt. Tẳm trÔng thĂi cƠn bơng trong mổ hẳnh l tẳm têp cĂc giĂ trà cừa bián nởi sinh thọa mÂn iãu kiằn cƠn bơng cừa mổ hẳnh. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 6 / 48
  3. Ghi chú Nghiằm cƠn bơng trong mổ hẳnh toĂn kinh tá CƠn bơng TrÔng thĂi cƠn bơng trong mổ hẳnh thà trữớng ỡn Vẵ dử 1: Cho mổ hẳnh thà trữớng ỡn sau: Qd  a Ă bPpa, b Ă 0q, Qs  Ăc dPpc, d Ă 0q, trong õ Qd , Qs , P l lữủng cƯu, lữủng cung v giĂ bĂn cừa h ng hõa, a, b, c, d l cĂc tham số. a. XĂc ành bián nởi sinh, bián ngoÔi sinh v tham số trong mổ hẳnh. b. GiÊi thẵch iãu kiằn cĂc tham số trong mổ hẳnh. c. Tẳm trÔng thĂi cƠn bơng hay nghiằm cƠn bơng cừa mổ hẳnh. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 7 / 48 Ghi chú Nghiằm cƠn bơng trong mổ hẳnh toĂn kinh tá CƠn bơng TrÔng thĂi cƠn bơng trong mổ hẳnh thà trữớng hai h ng hõa Vẵ dử 2: Tẳm nghiằm cƠn bơng cừa mổ hẳnh thà trữớng hai h ng hõa biát h m cung v h m cƯu ữủc cho bði: Q  10 Ă 2P P d1 1 2 Qs1  Ă2 3P1 Q  15 P Ă P d2 1 2 Qs2  Ă1 2P2 Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 8 / 48 Ghi chú Nghiằm cƠn bơng trong mổ hẳnh toĂn kinh tá CƠn bơng TrÔng thĂi cƠn bơng trong mổ hẳnh thu nhêp quốc dƠn Vẵ dử 3: Tẳm nghiằm cƠn bơng cừa mổ hẳnh thu nhêp quốc dƠn sau: Y  C I0 G0 C  α βpY Ă T q pα Ă 0, 0 β 1q, T  γ δY pγ Ă 0, 0 δ 1q trong õ, Y l thu nhêp quốc dƠn, C l tiảu dũng cừa cĂc hở gia ẳnh cho h ng hõa v dàch vử, T l thuá, Y Ă T ữủc gồi l thu nhêp khÊ dửng. I0 l lữủng Ưu tữ, G0 l chi tiảu cừa chẵnh phừ. a. XĂc ành bián nởi sinh, bián ngoÔi sinh, tham số trong mổ hẳnh. b. GiÊi thẵch iãu kiằn cừa cĂc tham số trong mổ hẳnh. c. Tẳm thu nhêp quốc dƠn cƠn bơng. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 9 / 48
  4. Ghi chú Ôo h m cừa h m mởt bián v cĂc khĂi niằm liản quan KhĂi niằm Ôo h m cừa h m mởt bián KhĂi niằm Ôo h m GiÊ sỷ h m số y  f pxq xĂc ành trản khoÊng pa, bq. Cho x0, x P pa, bq, khi bián số thay ời tứ giĂ trà x0 tợi giĂ trà mợi x, ở thay ời ữủc o bði hiằu x Ă x0; Hiằu số ∆x  x Ă x0, ch¿ lữủng thay ời giĂ trà cừa x ữủc gồi l số gia cừa ối số. Khi x thay ời tứ giĂ trà ban Ưu x0 tợi giĂ trà mợi px0 ∆xq GiĂ trà cừa h m số y  f pxq thay ời tứ f px0q tợi f px0 ∆xq. Hiằu số ∆f pxq  f pxq Ă f px0q  f px0 ∆xq Ă f px0q, ch¿ lữủng thay ời tữỡng ựng cừa y, ữủc gồi l số gia cừa h m số T¿ số y f px xq Ă f px q ∆  0 ∆ 0 ∆x ∆x biºu diạn tốc ở thay ời trung bẳnh cừa bián số y khi bián số x thay ời tứ x0 án x. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 10 / 48 Ghi chú Ôo h m cừa h m mởt bián v cĂc khĂi niằm liản quan KhĂi niằm Ôo h m cừa h m mởt bián KhĂi niằm Ôo h m ành nghắa Cho h m số y  f pxq xĂc ành trản khoÊng pa, bq v x0 P pa, bq. Náu giợi hÔn y f px xq Ă f px q lim ∆  lim 0 ∆ 0 ∆xẹ0 ∆x ∆xẹ0 ∆x tỗn tÔi v hỳu hÔn thẳ giợi hÔn n y ữủc gồi l Ôo h m cừa h m số y  f pxq tÔi x0. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 11 / 48 Ghi chú Ôo h m cừa h m mởt bián v cĂc khĂi niằm liản quan KhĂi niằm Ôo h m cừa h m mởt bián KhĂi niằm Ôo h m Chú ỵ: Khi ∆x dƯn tợi 0, ta kẵ hiằu ∆x l dx, v gồi l mởt Ôi lữủng vổ cũng b², tực l mởt Ôi lữủng c ng ng y c ng dƯn tợi 0 những khổng bao giớ bơng 0. Khi ∆x l mởt Ôi lữủng vổ cũng b² thẳ ∆y tữỡng ựng cụng l mởt Ôi lữủng vổ cũng b² v ta kẵ hiằu l dy. Nhữ vêy, tứ ành nghắa Ôo h m ta thĐy Ôo h m cừa h m số y  f pxq tÔi x0 chẵnh l dy t¿ số . dx dy Ôo h m cừa y  f pxq tÔi x  x ữủc kẵ hiằu l f 1px q ho°c 0 0 dx dy ( |  x ). dx x 0 Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 12 / 48
  5. Ghi chú Ôo h m cừa h m mởt bián v cĂc khĂi niằm liản quan KhĂi niằm Ôo h m cừa h m mởt bián Mởt số tẵnh chĐt cừa Ôo h m ành lẵ Náu h m số y  f pxq cõ Ôo h m tÔi x0 thẳ f pxq s³ liản tửc tÔi x0. ành lẵ Cho y  f pxq l h m số cõ Ôo h m trản pa, bq. Khi õ 1 Náu f px0q Ă 0 thẳ f pxq ỗng bián xung quanh lƠn cên cừa iºm x0. 1 Náu f px0q 0 thẳ f pxq nghàch bián xung quanh lƠn cên cừa iºm x0. Náu f 1pxq Ă 0 thẳ f pxq ỗng bián trản pa, bq. Náu f 1pxq 0 thẳ f pxq nghàch bián trản pa, bq. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 13 / 48 Ghi chú Ôo h m cừa h m mởt bián v cĂc khĂi niằm liản quan Ôo h m v cĂc khĂi niằm liản quan Ôo h m v khĂi niằm cên biản trong kinh tá Trong kinh tá ta thữớng sỷ dửng khĂi niằm cên biản, vẵ dử chi phẵ cên biản, sÊn phâm cên biản theo lao ởng, xu hữợng tiảu dũng cên biản, Theo ành nghắa gốc thẳ ỵ nghắa cừa "cên biản" trong chi phẵ cên biản l chi phẵ bọ ra khi sÊn xuĐt thảm mởt ỡn và sÊn phâm, hay trong sÊn phâm cên biản theo lao ởng l lữủng sÊn phâm tông thảm khi số lao ởng Ưu v o tông thảm mởt. X²t theo ngổn ngỳ toĂn hồc, náu viát h m sÊn xuĐt dữợi dÔng Q  f pLq thẳ h m sÊn phâm cên biằn theo lao ởng ữủc viát th nh f pL 1q Ă f pLq ∆Q MPL   , 1 ∆L ð Ơy, ∆L  1 v ∆Q  f pL 1q Ă f pLq. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 14 / 48 Ghi chú Ôo h m cừa h m mởt bián v cĂc khĂi niằm liản quan Ôo h m v cĂc khĂi niằm liản quan Ôo h m v khĂi niằm cên biản trong kinh tá º thuên tiằn cho viằc tẵnh toĂn, thay vẳ cho ∆L  1 ta cho ∆L ẹ 0 v khi õ dQ MP   f 1pLq L dL . Nhỳng phƠn tẵch trản cho ta mð rởng khĂi niằm cên biản qua ành nghắa sau: ành nghắa Trong toĂn kinh tá khi ã cêp án khĂi niằm cên biản tực l chúng ta ã cêp án khĂi niằm Ôo h m. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 15 / 48
  6. Ghi chú Ôo h m cừa h m mởt bián v cĂc khĂi niằm liản quan Ôo h m v cĂc khĂi niằm liản quan Mởt số h m cên biản thữớng g°p trong kinh tá Kẵ hiằu Tản T.Anh Tản T.Viằt MC Marginal Cost Chi phẵ cên biản MR Marginal Revenue Doanh thu cên biản MC Marginal Consumption Xu hữợng tiảu dũng cên biản MPK Marginal Product of Capital SÊn phâm cên biản theo vốn MPL Marginal Product of Labor SÊn phâm cên biản theo lao ởng MU Marginal Utility ch lủi cên biản MΠ Marginal Profit Lủi nhuên cên biản Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 16 / 48 Ghi chú Ôo h m cừa h m mởt bián v cĂc khĂi niằm liản quan Ôo h m v cĂc khĂi niằm liản quan Vẵ dử 1 Cho h m sÊn xuĐt Cobb-Douglas cõ dÔng Q  f pLq  2L1{4. a. Tẵnh h m sÊn phâm cên biản theo lao ởng MPL. b. Tẵnh MPLpL  16q v ữa ra nhên x²t. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 17 / 48 Ghi chú Ôo h m cừa h m mởt bián v cĂc khĂi niằm liản quan Ôo h m v cĂc khĂi niằm liản quan Ôo h m v khĂi niằm so sĂnh tắnh PhƠn tẵch so sĂnh tắnh l b i toĂn liản quan án viằc so sĂnh hai trÔng thĂi cƠn bơng cụ v mợi vợi nhau. TrÔng thĂi cƠn bơng ữủc xĂc ành bði nghiằm cƠn bơng hay l têp cĂc giĂ trà cừa bián nởi sinh cƠn bơng. Bián nởi sinh cƠn bơng ữủc xĂc ành theo tham số v bián ngoÔi sinh. PhƠn tẵch so sĂnh tắnh chẵnh l tẳm tốc ở thay ời cừa cừa bián nởi sinh cƠn bơng theo sỹ thay ời cừa tham số v bián ngoÔi sinh v do õ Ôo h m cõ ỵ nghắa quan trồng trong so sĂnh tắnh. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 18 / 48
  7. Ghi chú Ôo h m cừa h m mởt bián v cĂc khĂi niằm liản quan Ôo h m v cĂc khĂi niằm liản quan Ôo h m v ở dốc cừa mởt ữớng Ta cõ thº xem ỗ thà cừa mởt h m số y  f pxq giống nhữ l mởt hằ thống gỗm cĂc dÂy núi v cĂc thung lụng, vợi x ữủc kẵ hiằu l và trẵ ựng dồc theo trửc x (tực l khoÊng cĂch l bao nhiảu tẵnh tứ mởt iºm theo hữợng ổng ho°c hữợng tƠy) v y l ở cao cừa và trẵ ựng so vợi trửc x (hay l cao bao nhiảu so vợi m°t nữợc biºn). CÊ nh leo núi v nh kinh tá ãu °c biằt quan tƠm án ở dốc. CĂc nh leo núi hiºn nhiản chú ỵ án chuyằn hồ ang chuân bà lản dốc hay xuống dốc, v cĂc nh kinh tá thẳ lÔi quan tƠm án chuyằn ỗ thà cừa mởt h m số l dốc lản (giống ữớng cung) hay dốc xuống (giống ữớng cƯu). Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 19 / 48 Ghi chú Ôo h m cừa h m mởt bián v cĂc khĂi niằm liản quan Ôo h m v cĂc khĂi niằm liản quan Minh Hồa Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 20 / 48 Ghi chú Ôo h m cừa h m mởt bián v cĂc khĂi niằm liản quan Ôo h m v cĂc khĂi niằm liản quan Ôo h m v ở dốc cừa mởt ữớng ở dốc tÔi mởt iºm bĐt kẳ x cõ thº ữủc o bði ở chuyºn ởng ∆x (ch¯ng hÔn, ∆x  5 hay i vã bản phÊi 5), o bơng ở thay ời ở cao ∆y (ch¯ng ∆y hÔn, ∆y  Ă20 hay i xuống 20) v lêp t¿ số º tẵnh ở dốc (ð Ơy, ∆x y Ă20 ∆   Ă4, nghắa l mội bữợc bÔn i vã phẵa trữợc, bÔn  i xuống ∆x 5 4 bữợc, dĐu Ơm ð Ơy cho ta biát l i xuống). Tứ õ ta cõ ành nghắa sau: ành nghắa Cho h m số y  f pxq cõ Ôo h m tÔi x  x0. ở dốc cừa h m số y  f pxq tÔi x0 chẵnh l hằ số gõc cừa tiáp tuyán cừa f pxq tÔi x0 hay l 1 Ôo h m f px0q tÔi iºm x0. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 21 / 48
  8. Ghi chú Ôo h m cừa h m mởt bián v cĂc khĂi niằm liản quan Ôo h m v cĂc khĂi niằm liản quan Minh Hồa Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 22 / 48 Ghi chú CĂc qui tưc tẵnh Ôo h m H m chi phẵ, h m doanh thu v h m lủi nhuên H m chi phẵ H m tờng chi phẵ TC  f pQq; H m chi phẵ cố ành FC; H m chi phẵ bián ời VC; Ta cõ TC  VC FC; TC H m chi phẵ trung bẳnh: AC  ; Q FC H m chi phẵ cố ành trung bẳnh: AFC  ; Q VC H m chi phẵ bián ời trung bẳnh: AVC  ; Q Ta cõ AC  AVC AFC; d H m chi phẵ cên biản: MC  TC. dQ Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 23 / 48 Ghi chú CĂc qui tưc tẵnh Ôo h m H m chi phẵ, h m doanh thu v h m lủi nhuên H m doanh thu v h m lủi nhuên H m tờng doanh thu: TR  PQ; TR H m doanh thu trung bẳnh: AR   P; Q d H m doanh thu cên biản: MR  TR. dQ H m lủi nhuên: Π  TR Ă TC. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 24 / 48
  9. Ghi chú CĂc qui tưc tẵnh Ôo h m H m chi phẵ, h m doanh thu v h m lủi nhuên Vẵ dử Cho h m tờng chi phẵ cừa mởt doanh nghiằp cõ dÔng TC  Q3 Ă 5Q2 15Q 50. Tẳm h m chi phẵ bián ời, chi phẵ cố ành cừa doanh nghiảp. Tẳm h m chi phẵ trung bẳnh, chi phẵ cên biản cừa doanh nghiằp. Tẳm Ôo h m cừa h m chi phẵ bián ời v cho nhên x²t. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 25 / 48 Ghi chú CĂc qui tưc tẵnh Ôo h m Ôo h m cừa mởt số h m số sỡ cĐp BÊng Ôo h m cừa mởt số h m số sỡ cĐp H m f pxq Ôo h m f 1pxq f pxq  c, c l hơng số f 1pxq  0, vợi mồi x f pxq  xα, α P R f 1pxq  αxαĂ1, vợi mồi x f pxq  ax , a Ă 0 f 1pxq  ax ln a, vợi mồi x f pxq  ex f 1pxq  ex , vợi mồi x 1 f pxq  log x a Ă 0 a  1 x Ă 0 f 1pxq  , vợi mồi x Ă 0 a , , , x ln a 1 f pxq  ln x x Ă 0 f 1pxq  , vợi mồi x Ă 0 , x Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 26 / 48 Ghi chú CĂc qui tưc tẵnh Ôo h m CĂc qui tưc tẵnh Ôo h m Qui tưc tờng, tẵch, thữỡng Cho f pxq, gpxq l cĂc h m số cõ Ôo h m. Khi õ ta cõ cĂc qui tưc tẵnh Ôo h m sau: Qui tưc tờng: pf pxq gpxqq1  f 1pxq g 1pxq; Qui tưc tờng tờng quĂt: 1 1 1 1 pf1pxq f2pxq fnpxqq  f1pxq f2pxq fnpxq. Qui tưc tẵch: pf pxqgpxqq1  f 1pxqgpxq f pxqg 1pxq; Qui tưc tẵch tờng quĂt: 1 pf1pxqf2pxq fnpxqq  1 1 1  f1pxqf2pxq fnpxq f1pxqf2pxq fnpxq f1pxqf2pxq fnpxq f pxq f 1pxqgpxq Ă f pxqg 1pxq Qui tưc thữỡng:  gpxq  0. gpxq g 2pxq , Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 27 / 48
  10. Ghi chú CĂc qui tưc tẵnh Ôo h m CĂc qui tưc tẵnh Ôo h m Vẵ dử Tẵnh Ôo h m cừa cĂc h m số sau: ? 2 x a. f pxq  3 x ? . x x2 1 x b. f pxq  2 log2 x x ln x. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 28 / 48 Ghi chú CĂc qui tưc tẵnh Ôo h m CĂc qui tưc tẵnh Ôo h m Vẵ dử Cho h m doanh thu trung bẳnh AR  f pQq. Tẳm h m doanh thu cên biản v cho nhên x²t. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 29 / 48 Ghi chú CĂc qui tưc tẵnh Ôo h m CĂc qui tưc tẵnh Ôo h m Vẵ dử Cho h m tờng chi phẵ TC  TCpQq. a. Tẵnh h m chi phẵ trung bẳnh AC. b. Tẵnh ở dốc cừa h m chi phẵ trung bẳnh AC 1pQq. c. So sĂnh chi phẵ trung bẳnh AC v chi phẵ cên biản MC dỹa trản ở dốc cừa AC. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 30 / 48
  11. Ghi chú CĂc qui tưc tẵnh Ôo h m CĂc qui tưc tẵnh Ôo h m Ôo h m cừa h m hủp hay qui tưc chuội Cho h m số z  f pyq v y  upxq hay z  f pupxqq. Khi õ ta cõ qui tưc tẵnh Ôo h m cừa z theo x nhữ sau: 1 1 1 1 1 1 z pxq  f pupxqq.u pxq hay zx  zy yx . Ta cõ cụng cõ thº viát dữợi dÔng tữỡng ữỡng: dz dz dy  dx dy dx . Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 31 / 48 Ghi chú CĂc qui tưc tẵnh Ôo h m CĂc qui tưc tẵnh Ôo h m BÊng tẵnh Ôo h m cừa h m hủp H m z  f pupxqq Ôo h m z1pxq zpxq  upxqα, α P R z1pxq  αuαĂ1u1pxq, vợi mồi x zpxq  aupxq, a Ă 0 z1pxq  aupxq ln au1pxq, vợi mồi x zpxq  eupxq z1pxq  eupxqu1pxq, vợi mồi x u1pxq zpxq  log upxq, z1pxq  , a upxq ln a a Ă 0, a  1, upxq Ă 0 vợi mồi x : upxq Ă 0 u1pxq zpxq  ln upxq z1pxq  , , upxq upxq Ă 0 vợi mồi x : upxq Ă 0 Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 32 / 48 Ghi chú CĂc qui tưc tẵnh Ôo h m CĂc qui tưc tẵnh Ôo h m Vẵ dử Tẵnh Ôo h m cừa cĂc h m số sau: a. zpxq  p3x2 Ă 2x 1q10. ? b. zpxq  2x4 5x2 3. c. zpxq  ex2 x 1. x d. zpxq  log p q x Ă 0. 2 x2 1 , Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 33 / 48
  12. Ghi chú CĂc qui tưc tẵnh Ôo h m CĂc qui tưc tẵnh Ôo h m Ôo h m cừa h m ngữủc ành nghắa Cho h m số f pxq. Náu tỗn tÔi h m gpxq sao cho f pgpxqq  gpf pxqq  x thẳ gpxq ữủc gồi l h m ngữủc cừa f pxq v ữủc kẵ hiằu l f Ă1pxq. ành lẵ Cho h m số f pxq. Náu f pxq l h m ỡn iằu thẳ f pxq cõ h m ngữủc. Nhên x²t: Khi f pxq l h m khÊ vi thẳ f pxq ỡn iằu khi f 1pxq Ă 0, @x ho°c f 1pxq 0, @x. Nhữ vêy ta cõ thº kiºm tra viằc tỗn tÔi h m ngữủc cừa f pxq dỹa trản viằc x²t dĐu cừa Ôo h m f 1pxq. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 34 / 48 Ghi chú CĂc qui tưc tẵnh Ôo h m CĂc qui tưc tẵnh Ôo h m Vẵ dử Chựng minh rơng nhỳng h m số sau cõ h m ngữủc trản miãn ch¿ ra tữỡng ựng v tẵnh Ôo h m h m ngữủc cừa chúng: a. f pxq  ax b, a  0. b. f pxq  Axα, A  0, α  0, x Ă 0. c. f pxq  x5 x3 x, x P R . Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 35 / 48 Ghi chú CĂc qui tưc tẵnh Ôo h m CĂc qui tưc tẵnh Ôo h m ành lẵ Ôo h m h m ngữủc ành lẵ Cho h m số f pxq cõ Ôo h m v cõ h m ngữủc l f Ă1pxq. Khi õ h m ngữủc f Ă1pxq cụng cõ Ôo h m v ữủc cho bði cổng thực: 1 pf Ă1q1pxq  f 1pf Ă1pxqq hay 1 pf Ă1q1py q  vợi y  f px q 0 1 , 0 0 . f px0q Nhên x²t: Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 36 / 48
  13. Ghi chú CĂc qui tưc tẵnh Ôo h m CĂc qui tưc tẵnh Ôo h m Vẵ dử Cho h m số f pxq  x5 x3 x, x P R . a. Tẵnh f Ă1p3q. b. Tẵnh pf Ă1q1p3q. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 37 / 48 Ghi chú Vi phƠn KhĂi niằm vã vi phƠn KhĂi niằm vã vi phƠn Cho h m số y  f pxq. Khi x thay ời mởt lữủng ∆x thẳ y tữỡng ựng thay ời mởt lữủng ∆y. Náu lữủng thay ời cừa x l ừ nhọ thẳ ta kẵ hiằu l dx v lữủng thay ời ừ nhọ tữỡng ựng cừa y ta kẵ hiằu l dy. ành nghắa Cho h m số f pxq. Lữủng thay ời ừ nhọ dx, dy tữỡng ựng ữủc gồi l vi phƠn cừa bián số v vi phƠn cừa h m số. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 38 / 48 Ghi chú Vi phƠn Mối quan hằ giỳa vi phƠn v Ôo h m Mối quan hằ giỳa vi phƠn v Ôo h m dy Cho h m số y  f pxq. Ta cõ f 1pxq  hay mởt cĂch tữỡng ữỡng dx dy  f 1pxqdx. (3) Nhên x²t: Cổng thực (3) cho ta tẵnh ở thay ời cừa h m số y khi x thay ời mởt lữủng vổ cũng b². Khi ∆x khổng ữủc x²t l vổ cũng b² thẳ ta viát: 1 1 ∆y ≈ f pxq∆x hay f px0 ∆xq ≈ f px0q f px0q∆x. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 39 / 48
  14. Ghi chú Vi phƠn Mối quan hằ giỳa vi phƠn v Ôo h m Vẵ dử ? Cho h m số f pxq  3x4 2x2 4. a. Tẵnh vi phƠn dy cừa h m số. b. Tẵnh giĂ trà f p1, 02q. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 40 / 48 Ghi chú Vi phƠn Mối quan hằ giỳa vi phƠn v Ôo h m Mởt số tẵnh chĐt cừa vi phƠn Cho u  upxq v v  vpxq l cĂc h m số cừa x. Khi õ ta cõ cĂc tẵnh chĐt sau: 1. dpcq  0, vợi c l hơng số. 2. dpcunq  cnunĂ1du, vợi c l hơng số. 3. dpu ă vq  du ă dv. 4. dpuvq  udv vdu. u vdu Ă udv 5. dp q  , vợi vpxq  0. v v 2 Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 41 / 48 Ghi chú Vi phƠn Mối quan hằ giỳa vi phƠn v Ôo h m Vẵ dử Tẵnh vi phƠn cừa h m số sau bơng cĂch sỷ dửng cĂc tẵnh chĐt cừa vi phƠn: a f pxq  3x4 2x2 4 Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 42 / 48
  15. Ghi chú Vi phƠn Vi phƠn v hằ số co giÂn iºm ành nghắa hằ số co giÂn ành nghắa Cho h m số y  f pxq. Hằ số co giÂn cừa y theo x, kẵ hiằu l εyx , ữủc xĂc ành bði dy{y  εyx dx{x . Nhên x²t: Khi x tông 1% thẳ y tông khoÊng εyx %. Ta cõ dy{dx f 1pxqx h m cên biản εyx    . y{x f pxq h m trung bẳnh Trong kinh tá ta ch¿ x²t x Ă 0, y Ă 0. iãu n y chựng tọ f 1pxq luổn cũng dĐu vợi εyx . Tứ õ náu hằ số co giÂn cừa cƯu l Ơm thẳ cụng tữỡng ữỡng vợi ữớng cƯu l dốc xuống. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 43 / 48 Ghi chú Vi phƠn Vi phƠn v hằ số co giÂn iºm Sỹ co giÂn cừa h m số tÔi mởt iºm ành nghắa $ &'co giÂn H m số y  f pxq ữủc gồi l co giÂn ỡn và tÔi mởt iºm náu %' ẵt co giÂn |εyx | ¿ 1 ? Vẵ dử: Tẵnh hằ số co giÂn cừa h m số y  3x4 2x2 4 tÔi x  1 v cho nhên x²t. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 44 / 48 Ghi chú Vi phƠn Vi phƠn v hằ số co giÂn iºm Vẵ dử Cho h m cƯu Q  100 Ă 5P. a. Tẳm hằ số co giÂn cừa cƯu εd . b. Tẳm miãn giĂ º h m cƯu l co giÂn, co giÂn ỡn và ho°c ẵt co giÂn v tứ õ cho nhên x²t. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 45 / 48
  16. Ghi chú Vi phƠn Vi phƠn v hằ số co giÂn iºm Vẵ dử Mởt doanh nghiằp cõ h m cƯu cho bði Q  QpPq. Khi õ ta cõ cĂc kh¯ng ành sau: a. Khi ữớng cƯu ẵt co giÂn, sỹ gia tông cừa giĂ cÊ l tông tờng doanh thu v sỹ giÊm sút cừa giĂ cÊ l m giÊm tờng doanh thu. b. Khi ữớng cƯu co giÂn, sỹ gia tông cừa giĂ cÊ l giÊm tờng doanh thu v sỹ giÊm sút cừa giĂ cÊ l m tông tờng doanh thu. c. Khi ữớng cƯu co giÂn ỡn và, sỹ thay ời cừa giĂ cÊ khổng l m Ênh hữðng án tờng doanh thu. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 46 / 48 Ghi chú Vi phƠn Vi phƠn v hằ số co giÂn iºm Mởt số tẵnh chĐt cừa hằ số co giÂn Mằnh ã H m số y  f pxq cõ hằ số co giÂn khổng ời tÔi mồi x náu v ch¿ náu a y  Ax v εyx  a. Mằnh ã Náu h m số y  f pxq cõ h m ngữủc l gpxq v hằ số co giÂn cừa f pxq theo x l εf v hằ số co giÂn cừa h m ngữủc gpxq l εg thẳ ta cõ: 1 εg pxq  . εf pgpxqq Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 47 / 48 Ghi chú Vi phƠn Vi phƠn v hằ số co giÂn iºm Vẵ dử Ă5 Cho h m cƯu Q  100P . Tẵnh hằ số co giÂn cừa h m cƯu εQP , hằ số co giÂn cừa h m cƯu ngữủc εPQ v cho nhên x²t. Nguyạn Thà Nhung (H TH‹NG LONG) Ôi Số v GiÊi tẵch Ng y 17 thĂng 12 nôm 2011 48 / 48