Tài liệu học tập Toán Lớp 11 - Học kỳ I

96 trang hapham 1080

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tài liệu học tập Toán Lớp 11 - Học kỳ I", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

tai_lieu_hoc_tap_toan_lop_11_hoc_ky_i.pdf

Nội dung text: Tài liệu học tập Toán Lớp 11 - Học kỳ I

TÀI LIỆU HỌC TẬP MÔN TOÁN 11 HK1 Họ và tên HS: .Lớp: Năm học 2014-2015 -Lƣu hành nội bộ-
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY MỤC LỤC Chƣơng 1. PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC 6 CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC. 8 Vấn đề 1: Tìm TXĐ của các hàm số lƣợng giác: 8 Vấn đề 2: Tìm GTLN- GTNN của các hàm số lƣợng giác: 10 CHỦ ĐỀ 2: PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC 10 Vấn đề 1: Phƣơng trình lƣợng giác cơ bản: 12 Vấn đề 2: Phƣơng trình bậc hai hoặc phƣơng trình đƣa về đƣợc bậc hai theo một hàm số lƣợng giác: 19 Vấn đề 3: Phƣơng trình cổ điển (bậc nhất theo sin, cos): 20 Vấn đề 4: [Đọc thêm]Phƣơng trình đẳng cấp bậc hai 22 Vấn đề 5: Phƣơng trình đƣa về dạng tích: 23 Vấn đề 6: [Nâng cao] Phƣơng trình đối xứng: 24 Chƣơng 2. TỔ HỢP- XÁC SUẤT 25 CHỦ ĐỀ 1: HAI QUI TẮC ĐẾM- HỐN VỊ, TỔ HỢP, CHỈNH HỢP. 25 Vấn đề 1: Hai qui tắc đếm: 25 Vấn đề 2: Hốn vị- tổ hợp- chỉnh hợp: 28 Vấn đề 3: Vận dụng cơng thức tính số tổ hợp, số chỉnh hợp, số hốn vị- Giải phƣơng trình, bất phƣơng trình tổ hợp đơn giản: 35 CHỦ ĐỀ 2: NHỊ THỨC NEWTON 37 Vấn đề 1: Khai triển nhị thức Newton: 38 Vấn đề 2: Tìm hệ số, số hạng của nhị thức Newton: 39 Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 2
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY Vấn đề 3: [Nâng cao] Một số bài tốn nâng cao liên quan nhị thức Newton: 41 CHỦ ĐỀ 3: XÁC SUẤT 42 Chƣơng 3: DÃY SỐ- CẤP SỐ CỘNG- CẤP SỐ NHÂN 49 CHỦ ĐỀ 1. PHƢƠNG PHÁP QUY NẠP TỐN HỌC 49 CHỦ ĐỀ 2. DÃY SỐ 52 Vấn đề 1: Số hạng, số hạng tổng quát của dãy số: 52 Vấn đề 2: Dãy số tăng, dãy số giảm: 53 Vấn đề 3: Dãy số bị chặn: 53 Chƣơng 4: PHÉP DỜI HÌNH- PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG 54 CHỦ ĐỀ 1: PHÉP TỊNH TIẾN: 55 CHỦ ĐỀ 2: PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC: 57 CHỦ ĐỀ 3: PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM: 59 CHỦ ĐỀ 4: PHÉP VỊ TỰ: 60 CHỦ ĐỀ 5: PHÉP QUAY. 62 BÀI TỔNG HỢP: 62 Chƣơng 5: QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHƠNG GIAN . 64 CHỦ ĐỀ 1: GIAO TUYẾN, GIAO ĐIỂM 67 Vấn đề 1: Giao tuyến của hai mặt phẳng: 67 Vấn đề 2: Các bài tập tìm giao tuyến bằng cách tìm phƣơng giao tuyến: 69 Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 3
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY Vấn đề 3: Giao điểm của đƣờng thẳng với mặt phẳng: 69 CHỦ ĐỀ 2: QUAN HỆ SONG SONG 72 Vấn đề 1: Đƣờng thẳng song song với đƣờng thẳng: 72 Vấn đề 2: Đƣờng thẳng song song với mặt phẳng: 73 Vấn đề 3: Mặt phẳng song song với mặt phẳng: 74 CHỦ ĐỀ 3: THIẾT DIỆN CỦA HÌNH CHĨP VỚI MỘT MẶT PHẲNG 76 BÀI TỔNG HỢP 77 PHỤ LỤC 81 Phụ lục 1:ĐỀ ƠN THI GIỮA HK1 81 Đề số 1 82 Đề số 2 83 Đề số 3 83 Đề số 4 84 Đề số 5 85 Đề số 6 85 Phụ lục 2: ĐỀ THI GIỮA HK1 các năm trƣớc 86 Đề giữa Hk1 năm 2008- 2009 (đề A) 86 Đề giữa Hk1 2009- 2010 (đề A) 86 Đề giữa Hk1 2011- 2012 (đề A) 87 Phụ lục 3: BỘ ĐỀ ƠN THI HK1 87 Đề số 1 87 Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 4
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY Đề số 2 88 Đề số 3 89 Đề số 4 89 Đề số 5 90 Đề số 6 91 Đề số 7 91 Đề số 8 92 Đề số 9 92 Đề số 10 93 Đề số 11 94 Phụ lục 4: ĐỀ THI HK1 các năm trƣớc 94 Đề thi HK 1 năm 2008- 2009 94 Đề thi HK 1 năm 2009- 2010 (đề A) 95 Đề thi HK 1 năm 2010- 2011 (đề A) 95 Đề thi HK 1 năm 2011- 2012 (đề A) 96 Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 5
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY Chƣơng 1. PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC HỆ THỨC CƠ BẢN 1 sin(x k 2 ) sin x sin22xx cos 1; 1 tan2 x 2 cos x cos( x k 2 ) c os x 1 ,kZ 1 cot2 x ; tan(x k 2 ) tan x sin2 x cot(x k 2 ) cot x 1 tanx .cot x 1 hay tan x ; . cot x DẤU CỦA CÁC GIÁ TRỊ LƢỢNG GIÁC sin GHI NHỚ: II I cos III IV NHẤT CẢ- NHÌ SIN TAM TAN COT- TỨ COS CUNG ĐỐI cos( xx ) cos ; tan( xx ) tan ; sin( xx ) sin ; cot( xx ) cot . CUNG BÙ cos( xx ) cos ; tan( xx ) tan ; sin( xx ) sin ; cot( xx ) cot . CUNG HƠN KÉM cos( xx ) cos ; tan( xx ) tan ; sin( xx ) sin ; cot( xx ) cot CUNG PHỤ Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 6
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY sin( xx ) cos ; tan( xx ) cot ; 2 2 cos( xx ) sin ; 2 cot( xx ) tan . 2 GHI NHỚ: cos ĐỐI, sin BÙ, tan cot , phụ CHÉO. CƠNG THỨC CỘNG sin(a b ) sin a cos b cos a sin b ; tanab tan tan(ab ) . cos( a b ) cos a cos b sin a sin b ; 1 tanab tan GHI NHỚ: Sin thì sincos cossin Cos thì coscos sinsin dấu trừ CƠNG THỨC NHÂN ĐƠI sin 2a 2sin a .cos a ; cos 2a cos22 a sin a 2tan a 2 tan 2a ; 2cosa 1 1 tan2 a 1 2sin2 a . CƠNG THỨC HẠ BẬC 1 ca os2 1 ca os2 sin2 a ; tan2 a ; 2 1 ca os2 1 ca os2 1 cos 2a caos2 . cot2 a . 2 1 cos 2a CƠNG THỨC TỔNG THÀNH TÍCH a b a b a b a b cosa cosb 2cos cos ; sinab sin 2sin cos ; 22 22 a b a b a b a b cosa cosb 2sin sin ; sina sin b 2 c os sin . 22 22 GHI NHỚ: Cos cộng cos bằng 2coscos; cos trừ cos ngược dấu 2sinsin; sin cộng sin bằng 2sincos, sin trừ sin bằng 2cossin CƠNG THỨC TÍCH THÀNH TỔNG 1 cosa .cos b cos( a b ) cos( a b ) 2 Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 7
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY 1 sina .sin b cos( a b ) cos( a b ) 2 1 sina .cos b sin( a b ) sin( a b ) 2 ĐẶC BIỆT: sinu cos u 2 sin u 4 sinu cos u 2 sin u 4 CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC. Hàm số sin: Hàm số yx sin Hàm số cosin: Hàm số yx cos Tập xác định: D= ; Tập xác định: D= ; Tập giá trị : [ 1;1]; Tập giá trị : ; Tính chẵn lẻ: Lẻ;  Tính chẵn lẻ: Chẵn; Tuần hồn với chu kỳ T= 2 Tuần hồn với chu kỳ T= Hàm số tan: Hàm số yx tan Hàm số cot: Hàm số yx cot Tập xác định: Tập xác định:  D R\, k k Z ; D R\,  k k Z ; 2 Tập giá trị: ; Tập giá trị: ;  Tính chẵn lẻ: Lẻ;  Tính chẵn lẻ: Lẻ; Tuần hồn với chu kỳ T= Tuần hồn với chu kỳ T= Vấn đề 1: Tìm TXĐ của các hàm số lượng giác:  Với A, B là các biểu thức : A y xác định B 0 ; yB xác định B 0 ; B Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 8
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY A A A 0 y xác định B 0 ; y xác định ; B B B 0  Đối với các hàm số lƣợng giác cần chú ý thêm miền xác định của tan, cot. 3sinx 2 Ví dụ 1: Tìm miền xác định của hàm số: y 2sin5x 1 Giải: Hàm số cĩ nghĩa 5xk 1 6 2sin5xx 1 sin5 2 5xk 6 sin x Ví dụ 2: y sin3x 2 Giải: Hàm số cĩ nghĩa sin3xx 2 Ví dụ 3: Phƣơng trình sau cĩ nghĩa khi nào? sin 2x 2cos x sin x 1 0 (1) (ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011) tanx 3 cosx 0 (điều kiện của tan) Giải: Phƣơng trình (1) cĩ nghĩa tanx 3 (điều kiện của mẫu) xk (,)km . xm 3 Bài 1: Tìm miền xác định của các hàm số: 1 sin x 1 sin x a. y ; b. y ; c. yx tan(2 ) ; cos x 1 sin x 6 2x x d. y = cot ( 3x – ) ; e.y = sin ( ) ; f.y = cot ( ) ; 4 x 1 3 4 Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 9
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY tan x 3 g.y = sin x 1 ; h. y ; j.y = ; sinx 1 sin3x sin x 1 x cot x sin x 2 k.y = cos ; l.y = ; m.y = ; 1 x cos x 1 cos x 1 1 cos x 1 x n.y = 3 sin x ; o.y = ; p.y = sin ; sin 2x 1 x 2 q.y = tan (2x + ) ; r. y ; 3 cos22xx sin Vấn đề 2: Tìm GTLN- GTNN của các hàm số lượng giác: Chú ý: 1 sinu ,cos u 1,  u . Bài 2: a.y= 2 sinx 1; b.y = 2 – 3cosx; c.y = 3 + 2 sinx; 1 4sin 2 x d.y = 5 – 4 sin2x cos2x; e.y = ; f.y = 2 cos2x – 3 cos2x; 2 g.y = 3 – 2 sin x ; h.y = cosx + cos ( x - ) ; 3 i.y = sinx – cosx; j.y = 2 sin2x – cos2x; k. y 5 2cos22 x sin x ; l.y = 3 – 4sinx; m.y = 2 – cos x ; n.y = 2 cos ( x + ) 3; 3 o.y = 4 sin x ; p. yx 1 sin(2 ) 1 CHỦ ĐỀ 2: PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 10
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY Cơng thức nghiệm thơng thƣờng. u v k2 u v k2 sinuv sin  cosuv cos u v k2 u v k2  tanu tan v u v k  cotu cot v u v k Cơng thức nghiệm đặc biệt. sinu 0 u k  tanu 0 u k sinu 1 u k 2  tanu 1 u k 2 4 sinu 1 u k 2  tanu 1 u k 2 4  cosu 0 u k  cotu 0 u k 2 2  cosu 1 u k 2  cotu 1 u k 4  cosu 1 u k 2  cotu 1 u k 4 Chú ý: Giải cotu a (với a 0) ta biến đổi thành tanua 1/ rồi dùng máy tính bấm shift tan (1/ a ) suy ra gĩc ,chuyển thành tanuv tan . Cịn cotu 0 cos u 0 u / 2 k Nếu bấm shift sin, shift cos, shift tan, mà ra giá trị “xấu” thì dùng arcsin, arcos, arctan. Chuyển từ sin sang cos, cos sang sin, tan sang cot hay cot sang tan thì ta sử dụng cơng thức “PHỤ CHÉO”. Làm mất dấu trừ: sin( ) sin[ ( )] cos( ) cos[ ( )] tan( ) tan[ ( )] cot( ) cot[ ( )] Điều kiện của tan, cot: tanu cot u cosu 0 u / 2 k sinu 0 u k Nhớ: Cơ tang thì khác k /Cịn tan chẳng phải nghĩ gì mất cơng/90 cộng với nửa vịng là xong! Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 11
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY Vấn đề 1: Phương trình lượng giác cơ bản: Phƣơng trình sinuv sin . Cách u v k2 giải sinu sin v , k Z u v k2 Chú ý  Nếu gặp sinua thì tìm v để sinu a sin v rồi giải nhƣ trên  Nếu gĩc v khơng “đẹp”, thì lấy va arcsin Các sinu 0 u k trƣờng hợp đặc sinu 1 u k 2 ( k Z ) 2 biệt sinu 1 u k 2 2 Làm mất sinu sin v sin u sin( v ) dấu trừ Phƣơng trình cosuv cos . Cách u v k2 giải cosu cos v k Z u v k2 Chú ý Nếu gặp cosua thì tìm v để cosu a cos v rồi giải nhƣ trên  Nếu gĩc v khơng “đẹp”, thì lấy va arccos Đặc biệt cosu 0 u k 2 cosu 1 u k 2 ( k Z ) cosu 1 u k 2 Làm mất cosu cos v cos u cos( v ) dấu trừ Phƣơng trình tanuv tan . Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 12
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY Cách tanu tan v u v k k Z giải (Điều kiện: u, v k ) 2 Chú ý Nếu gặp tanua thì tìm v để tanu a tan v rồi giải nhƣ trên Nếu gĩc v khơng “đẹp”, thì lấy va arctan Đặc biệt tanu 0 sin u 0 u k tanu 1 u k ( k Z ) 4 tanu 1 u k 4 Làm mất tanu tan v tan u tan( v ) dấu trừ Phƣơng trình cotuv cot . Cách cotu cot v u v k k Z giải (Điều kiện: u, v k ) Chú ý Nếu gặp cotua thì tìm v để cotu a cot v rồi giải nhƣ trên Nếu gĩc v khơng “đẹp”, thì lấy va arccot Đặc biệt cotu 0 cos u 0 u k 2 cotu 1 u k ( k Z ) 4 cotu 1 u k 4 Làm mất cotu cot v cot u cot( v ) dấu trừ Ví dụ: Giải các phương trình sau: a. 2sin 2x 300 1 0 Giải: Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 13
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY 1 2sin 2x 300 1 0 sin 2x 300 2 sin 2x 3000 sin( 30 ) 2xk 300 30 0 360 0 2xk 300 30 0 360 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2xk 30 180 ( 30 ) 360 2xk 180 ( 30 ) 30 360 2xk 3600 xk 1800 . 00 00 2xk 240 360 xk 120 180 2 b. cos 2xx cos2 0 3 Giải: 2 2 2x 2 x k 2 0x k 2 ( v ơ lý) 3 3 k x . 2 2 62 2x 2 x k 2 42xk 3 3 c. tan(450 xx ) tan3 0 (1) 450 x 90 0 k 180 0 x 45 0 k 180 0 Giải: ĐK: 0 0 0 0 3x 90 k 180 x 30 k 60 (1) tan(450 xx ) tan3 tan(450 xx ) tan( 3 ) 4500 x 3 x k 180 0 45 2xk 4500 180 xk 900 2 d. cot2 2x 3(2) Giải: (2) cot 2x 3 1 0 TH1: cot 2x 3 tan2x tan2x tan30 3 2x 300 k 180 0 x 15 0 k 90 0 Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 14
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY 1 0 TH2: cot 2x 3 tan2x tan2x tan( 30 ) 3 2x 300 k 180 0 x 15 0 k 90 0 e. sin(2xx 3000 ) sin(45 2 ) 0 Giải: sin(2xx 3000 ) sin(45 2 ) 00 sin(2xx 30 ) sin( 45 2 ) f. cos(2xx 3000 ) cos(45 2 ) 0 Giải: 00 0 0 0 cos(2xx 30 ) cos(45 2 ) cos(2xx 30 ) cos 180 (45 2 ) cos(2xx 3000 ) cos(135 2 ) g. sin2xx cos 0 3 Giải: sin2xx cos cos xx sin2 3 3 cos xx cos 2 32 h. (1 2sin2xx )(3 2cos ) 0 Giải: 1 2sin2x 0 3 2cossx 0 1 sin2x 2 1 0 sin2xx sin2 sin( 30 ) 3 2 cosx (vô nghiệm) 2 Bài 3: (sinu=a, cosu=a, tanu=a, cotu=a) Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 15
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY a. 2sin(x 300 ) 2 0; b. 1 2cos( 2x ) 2; 4 c. 3 3tan(3x 600 ) 0 ; d. 3 3 cot(4x ) 4 ; 4 2 0 3 e. sin 2x ; f. cos x 45 ; 62 2 0 1 g. cot 3x 45 3 0; h. tan 3x ; 2 3 0 i. 3cot x 135 3 ; j. 2sin 3x 3 0 ; 4 2 2x k. 3tan 4x 3 0 ; l. 2cos( ) 1 0 ; 5 34 1 m. cot 2x 100 ; n. 2cos 3x 1 3 0 ; 3 o. 2sin(2x ) 1 0 ; p. tan 2x 70o 3 ; 4 q. 3 tan(x ) 1 0 ; r. 2cos (3x – 20o ) + 3 0 4 x s. 2sin 2x 300 3 0 ; t. 3cot( 20o ) 3 0 3 Bài 4:(sinu=sinv, cosu=cosv, tanu=tanv, cotu=cotv) a. sin(2xx ) sin 0; b. cos3xx cos(600 2 ) 0 ; 6 c. tan( xx ) tan(3 ) 0 ; d. cot(4xx 12000 ) cot( 30 ) 0 43 Bài 5: (Làm mất dấu trừ) a. sin(2xx 600 ) sin 0 ; b. cos2xx cos( 3 ) 0 ; 4 c. tan(4500 xx ) tan(3 45 ) 0 ; d. cot(xx ) cot(3 ) 0 36 Bài 6: (Phụ chéo) Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 16
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY a. sin(xx 1200 ) cos3 0; b. cos2xx sin( ) 0 ; 4 c. tan( 2xx ) cot( ) 0 ; d. cot(2xx 13500 ) tan( 120 ) 0 34 Bài 7: (Làm mất dấu trừ + Phụ chéo) a. sin(2xx 600 ) cos3 0 ; b. cos3xx sin( 2 ) 0 ; 4 c. tan( xx ) cot(2 ) 0 ; d. cot(xx ) tan(3 ) 0 34 43 Bài 8: (Trƣờng hợp nghiệm đặc biệt) a. sin(2x 400 ) 0 ; b. cos(3x ) 0 ; c. tan( x ) 0 ; 4 3 2 d. cot(x ) 0 ; e. sin(3x ) 1; f. cos( 5x ) 1; 4 3 3 2 g. tan( 7x ) 1; h. cot(2x 100 ) 1; i. sin(4x ) 1 3 3 3 j. cos(5x 300 ) 1; k. tan(1350 3x ) 1; l. cot(2x ) 1; 4 Bài 9: (Vơ nghiệm) a. sin(x 700 ) 2 ; b. 2cos3x 3 0; c. 5 4sin(x ) 0 ; 3 d. cos(x ) 4 0 ; e. 2cx os2 3 0; f. 3sin(x 700 ) 4 . 4 g/ sinxx .cos 1; h/ cos22xx sin 3 Bài 10: (Dùng arc) a. 3sin(2x 400 ) 2 ; b. 1 3cos(x ) 0 ; 4 c. 4 tan( 3x ) 0; d. 2cot(2x ) 4 0 ; 3 4 e. 5cos2x 4 0 ; f. 3sin 2x 450 2 ; Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 17
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY g. 3tan2x 5 0 ; h. 6 3cot(x 1350 ) 12 Bài 11: (Lấy căn hoặc hạ bậc) 3 1 a. sin2 2x ; b. cos20 (3x 30 ) ; 4 2 1 c. tan2 4x ; d. cot2 (5x ) 3 3 4 Bài 12: (phƣơng trình tích) a. cos2xx .sin3 0; b. cos3 4xx .tan 0; c. sin3xx .cot6 0 ; d. tan xx 3000 .cos 2 150 0 ; e. 3tanxx 3 2sin 1 0 ; f. sin3xx 1 2 sin 0; g. sin3xx 1 cos2 2 0 ; h.sin5 2xx cos 7 0 ; i. cos(2xx 3002 ) 1 cos 5 0 ; j. (tan2 4xx 1)cos 0; Bài 13: (Tổng hợp) a. cos2xx cos(1200 2 ) 0 ; b. cos4xx cos3 0; c. sin 2xx sin(450 4 ) 0 ; d. sin 2xx sin 4 0; e. tan3xx .cot5 1; f. sin(3xx ) cos2 0 ; 4 g. sin 3xx cos2 0 ; h. tan xx cot 2 0 ; 4 3 i. tan xx cot 2 0 ; j. cot 2xx .tan 3 1; 3 34 2 5 k.sin (x + ) = cos3x; l.sin(3xx ) cos( 3 ) 0 ; 3 64 x m.cos = – cos (2x – 30o ); n.sin3x – cos2x = 0; 2 o. cos3x – sin5x = 0; p.tan ( x) cot 2x ; 4 Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 18
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY Vấn đề 2: Phương trình bậc hai hoặc phương trình đưa về được bậc hai theo một hàm số lượng giác: Dạng: at2 bt c 0( a 0) với t sin u ,cos u ,tan u ,cot u. Giải nhƣ giải phƣơng trình bậc hai, chú ý điều kiện Ví dụ: Giải các phương trình sau: a. 2sin2 xx 5sin 3 0 Giải: t 1( nhận ) 2 Đặt t sin x ( 1 t 1), ta cĩ 2tt 5 3 0 3 t () loại 2  t 1 sin x 1 x k 2 . 2 b. sin2 xx 4cos 4 0 Giải:  1 cos2 xx 4cos 4 0 2 cosx 1(nhận) cosxx 4cos 3 0 . cosx 3(loại) Ta cĩ cosx 1 x k 2 . Bài 14. a. 3sin2 3xx 5sin3 2=0; b. 2cos2 2xx 5cos2 3 0; c. tan2 (xx ) 4tan( ) 3 0 ; d. cot2 xx 1 3 cot 3 0 ; 33 e. tan42xx 4tan 3 0 ; f. 4sin2 xx 2( 3 1)sin + 3 0 . Bài 15. (Chứa sin22u ,cos u ; cos u ,sin u ) : a. sin2 2xx 4cos2 4 0 ; b. 2cos2 2xx 3sin2 2 0 ; c. 3sin2 2xx 4 4cos2 ; d. 2cos2 3xx 3sin3 3; Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 19
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY 3 e. sin2 xx cos +1=0 ; f. sin22 2xx 2cos 0 ; 4 g. 3cos2 6x 8cos3 x sin3 x 4 0 ; h. 2cos2 xx 3sin . ; i. 6cos2 xx 5sin 2 0 . Bài 16. (Chứa cos2u ,cos u ; cos2 u ,sin u ) : a. cos2xx 4sin 5; b. 2cos2xx 1 cos ; c. 1 cos4xx cos2 ; d. cos4xx cos2 2 0; e. 3cos2xx sin 4 0; f. cos2 x +9cos x +5=0 ; Bài 17. Chứa tanu ,cot u ; 1/ cos22 u ,tan u ; 1/ sin u ,cot u : a. tanxx 2cot 1 0; b. 3 tanxx 6cot +2 3 3 0 ; 5 3 c. 9 cot x ; d. tanx 5; e. tan 2xx cot 2 2 sin2 x cos2 x Bài 18. Chứa cos2u ,sin 2 u ,cos u cos 2 u ,sin 2 u ,sin u : a. cos22x sin x 3cos x 4 0 ; b.2sin22x cos x sin x 3; Bài 19. Chứa cos2u ,cos22 u ,sin u , cos2 u ,sin u ,cos u : a. cos2 x cos2 x 4sin x 3; b. cos2x sin2 x 1 2cos x Bài 20. x x a. 2sin22 3cosx 5 0 ; b. 2cos22 sinx 0 . 2 2 Vấn đề 3: Phương trình cổ điển (bậc nhất theo sin, cos): Dạng: asin u b cos u c . Điều kiện cĩ nghiệm: a2 b 2 c 2 Cách giải: Chia 2 vế cho ab22 , ta đƣợc a b c sinuu cos (1) a2 b 2 a 2 b 2 a 2 b 2 Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 20
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY ab Sau đĩ tìm gĩc để cos ,sin . a2 b 2 a 2 b 2 cc Khi đĩ: (1) cos sinu sin cos u sin( u ) a2 b 2 a 2 b 2 Ví dụ: Giải phương trình sin(2xx 1000 ) 3cos(2 10 ) 1 Giải:  a 1; b 3; c 1 a2 b 2 1 2 ( 3) 2 4 1 2 c 2  Chia hai vế cho ab22 2 ta được: 1 3 1 sin(2xx 1000 ) cos(2 10 ) 2 2 2 1 cos600 sin(2xx 10 0 ) sin 60 0 cos(2 10 0 ) 2 1 sin 2x 1000 60 2 2xk 700 30 0 360 0 sin 2x 7000 sin30 0 0 0 0 2xk 70 180 30 360 2x 1000 k 360 0 x 50 0 k 180 0 . 0 0 0 0 2x 220 k 360 x 110 k 180 Bài 21 : a.sinxx 3 cos 2 ; b. 3cos2xx 3sin 2 3; c. cosxx sin 2 ; d. sin(3xx ) 1 3 cos(3 ) 0 ; 33 e. 2 sin 3xx 6 cos 3 2 0 ; f. 2 cos4xx 6 sin 4 2 ; 44 g. cos2xx 3sin 2 2 ; h. 2 3 cos(3000 xx ) sin(30 ) 0; 22 i. 3 cos(xx ) 3sin( ) 3 . 33 Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 21
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY Vấn đề 4: [Đọc thêm]Phương trình đẳng cấp bậc hai Dạng: asin22 u b sin u cos u c cos u d . Cách giải: Xét hai trƣờng hợp: TH1: cosuu 0: sin2 1. Thay vào phƣơng trình. TH2: cosu 0: Chia 2 vế cho cos2 u , đƣa phƣơng trình về phƣơng d 2 trình bậc hai theo tanu với chú ý 2 du 1 tan cos u Xem ví dụ minh họa sẽ rõ hơn. Ví dụ: Giải các phương trình sau: a. 5sin22x 2sin2 x 3cos x 2 Giải: 5sin2x 2sin2 x 3cos 2 x 2 5sin 2 x 4sin x cos x 3cos 2 x 2 TH1: cosx 0:sin22xx 1 cos 1 0 1. Thay vào phƣơng trình ta cĩ: 5.1 4.sinx .0 3.0 2 (vơ lý) TH2: cosx 0: Chia cả hai vế phƣơng trình cho cos2 x : sin22x sin x cos x cos x 2 5 4 3 cos2x cos 2 x cos 2 x cos 2 x 5tan22x 4tan x 3 2(1 tan x ) 5tan22x 4tan x 3 2 2tan x 0 3tan2 xx 4tan 1 0 tanx 1 xk 4 1 tan x 1 3 xk arctan 3 b. 4sin22 3x 6 3sin3 x .cos3 x 2cos 3 x 4 Giải: TH1: cos3x 0 :ta cĩ sin2 3x 1. Thay vào đƣợc: 4=4 (đúng). k Giải cos3x 0 3 x k x là nghiệm. 2 6 3 Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 22
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY TH2: cos3x 0: Chia 2 vế cho cos2 3x ta đƣợc sin22 3x sin3 x .cos3 x cos 3 x 4 4 6 3 2 cos2 3x cos 2 3 x cos 2 3 x cos 2 3 x 4tan22 3x 6 3 tan3 x 2 4(1 tan 3 x ) 61 6 3 tan3x 2 4 6 3 tan3x 6 tan3x 6 3 3 k tan3x tan 3x k x . 6 6 18 3 Bài 22: a. cos22x 3sin x cos x 2sin x 0; b.sin22x (1 3)sin x cos x 3 cos x 0 ; 1 c. 5sin22x 2sin2 x 2 3cos x 0; d. sin22 2x sin 4 x 2cos 2 x ; 2 e. 3sin2 3x 3sin3 x .cos3 x cos6 x 1 0 ; f. 2sin22 2x sin 2 x cos2 x cos 2 x 2 g. 2sin22 3x sin3 x cos3 x 3cos 3 x 0 ; h. 4sin22x 2sin 2 x 3cos x 1; i. 2cos22x 3 3sin 2 x 4sin x 4 ; j. 4cos22x 3sin x cos x 3 sin x ; Vấn đề 5: Phương trình đưa về dạng tích: Sau những bƣớc biến đổi thích hợp ta cĩ phƣơng trình dạng: A 0 AB.0 . B 0 A 0 1 A 0 Mở rộng: AAA. 0 2 12 n An 0 Bài 23: Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 23
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY a. sin4xx 2cos2 0; b. sin2xx 2cos2 0 ; c. sin22 (3xx ) cos 2 0 ; d. 2sin2xx 2 sin4 0 4 e. sin22 (2xx ) cos 3 1; f.5cosxx 2sin2 0 ; 5 g. tan2xx 2tan 0; h. 2cos2 xx cos2 2 i. 2sin2 xx 3cos2 2 ; j.cos3x – cos4x + cos5x = 0 k. sin7x sin3 x cos5 x ; l. cos22x sin x sin3 x cos4 x 3x m.cos2x – cosx = 2 sin2 ; n. cos2xx sin 1 0 2 o. cos2x .cos x 1 sin2 x .sin x ; p. cosxx sin2 0 2 q.sin2(x + ) sin 2 (2x ) 0 ; r. tanxx 3cot 3 3 s. sinx 2sin3 x sin5 x t. cos5x .cos x cos4 x 1 4 41 2 u. sinx .sin2 x .sin3 x sin 4 x ; v. sinx cos x cos 2 x 4 2 Vấn đề 6: [Nâng cao] Phương trình đối xứng: Dạng: a(sin x cos x ) b sin x .cos x c 0 (1) Cách giải: Đặt t sin x cos x 2 sin x , 2 t 2 4 t 2 1 suy ra t2 1 2sin x cos x nên ta cĩ sinxx cos . 2 Sau đĩ thay vào phƣơng trình (1), đƣợc một phƣơng trình theo ẩn t, giải tìm t, từ đĩ giải tìm x. Bài 24: a.sinx cos x 2sin x .cos x 1 0 ; b. 3 sinx cos x 4sin x .cos x 0 . c.12 sinx cos x 2sin x .cos x 12 0 ; d. 1 sinxx 1 cos 2 . e.3 sinx cos x sin x .cos x 3; f. sinx cos x 3sin x .cos x 1; g. 2 sinx cos x 10sin x .cos x 2 ; h.sinx cos x 3sin x .cos x 1 Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 24
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY i. 4 sinx cos x 6sin x .cos x 7 0 ; Chƣơng 2. TỔ HỢP- XÁC SUẤT CHỦ ĐỀ 1: HAI QUI TẮC ĐẾM- HỐN VỊ, TỔ HỢP, CHỈNH HỢP. Vấn đề 1: Hai qui tắc đếm: Qui tắc cộng Qui tăc nhân Một cơng việc cĩ thể Một cơng việc chỉ đƣợc hồn Đặc đƣợc hồn thành bằng n thành sau khi trải qua n giai điểm trƣờng hợp khác nhau đoạn (các giai đoạn này cĩ mối (thực hiện xong mỗi ràng buộc với nhau, thiếu một trƣờng hợp là đã thực giai đoạn nào đĩ thì cơng việc hiện xong cơng việc rồi) chƣa đƣợc xem là xong) Trƣờng hợp 1: cĩ m1 Giai đoạn 1: cĩ cách thực cách thực hiện hiện Trƣờng hợp 2: cĩ m Giai đoạn 1: cĩ cách thực 2 Cụ thể cách thực hiện hiện . Trƣờng hợp n: cĩ mn Giai đoạn n: cĩ cách thực cách thực hiện hiện Tổng + + . số cách TH1 Giai Giai Giai Xong Mơ TH2 Xong cơng việc đoạn đoạn đoạn cơng 1 2 n việc hình THn Ví dụ 1: Cĩ 12 quyển sách Tốn khác nhau, 8 quyển Vật lí khác nhau. Bạn Nam được chọn một quyển. Hỏi Nam cĩ mấy cách chọn? Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 25
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY Giải: Cĩ 2 trƣờng hợp: TH 1: Chọn sách Tốn: 12 cách chọn TH 2: Chọn sách Vật lí: 8 cách chọn Rõ ràng khơng cần phải thực hiện hết cả 2 trƣờng hợp, chỉ cần một trƣờng hợp cũng đƣợc. Do đĩ ta sẽ áp dụng Qui tắc cộng. Theo Qui tắc cộng cĩ 12+8=20 cách chọn. Ví dụ 2: Từ thành phố A đến thành phố B cĩ 3 con đường, từ thành phố B đến thành phố C cĩ 4 con đường. Hỏi cĩ bao nhiêu cách đi từ A đến C qua B? Giải: Từ A đến C phải qua 2 giai đoạn Giai đoạn 1: Từ A đến B: cĩ 3 cách Giai đoạn 2: Từ B đến C: cĩ 4 cách Rõ rang, để đi từ A tới C thì khơng đƣợc bỏ bớt giai đoạn nào. Do đĩ, ta sẽ áp dụng Qui tắc nhân. Theo Qui tắc nhân cĩ 3.4=12 cách. Bài 1: Trong một lớp cĩ 18 bạn nam, 12 bạn nữ. Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn: a.một bạn làm thủ quỹ?; b.Hai bạn trong đĩ cĩ một nam và một nữ Bài 2: Nam đến cửa hàng văn phịng phẩm để mua quà tặng. Trong cửa hàng cĩ 3 mặt hàng: Bút, vở và thƣớc trong đĩ cĩ 5 loại bút, 4 loại vở và 3 loại thƣớc. Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn một mĩn quà gồm một bút, một vở và một thƣớc? Bài 3: Trong một đội văn nghệ cĩ 8 bạn nam và 6 bạn nữ. Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn một đơi song ca nam- nữ? Bài 4: Cĩ 8 phần thƣởng khác nhau đƣợc đem tặng cho 3 học sinh A, B, C sao cho: học sinh A đƣợc 4 phần, học sinh B đƣợc 3 phần và học sinh C đƣợc 1 phần. Hỏi cĩ bao nhiêu phƣơng án tặng khác nhau? Bài 5: Cĩ 10 cặp vợ chồng di dự tiệc. Tính số cách chọn một ngƣời đàn ơng và một ngƣời đàn bà trong bữa tiệc để phát biểu ý kiến, sao cho: a. Hai ngƣời đĩ là vợ chồng; b. Hai ngƣời đĩ khơng là vợ chồng Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 26
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY Bài 6: Ngƣời ta muốn chọn 5 cặp nam nữ để khiêu vũ trong một buổi dạ tiệc, trong đĩ cĩ 10 nam và 8 nữ. Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn? Bài 7: Một cơng ty gồm 3 trƣởng phịng và 10 nhân viên. Cơng ty cần lập ra một đồn cơng tác tỉnh xa gồm một trƣởng phịng làm trƣởng đồn, 5 nhân viên khác làm đồn viên. Hỏi cĩ bao nhiêu cách thành lập đồn cơng tác? Bài 8: Trên một giá sách cĩ 15 quyển sách Tiếng Việt khác nhau, 10 quyển sách Tiếng Anh khác nhau, 8 quyển sách Tiếng Pháp khác nhau. Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn: a. một quyển sách? b.Hai quyển sách tiếng khác nhau? c.Ba quyển sách tiếng khác nhau? Bài 9: Cĩ 12 cặp vợ chồng đi dự tiệc. Tính số cách chọn 1 ngƣời đàn ơng và 1 ngƣời đàn bà trong bữa tiệc để phát biểu ý kiến sao cho: a.Hai ngƣời đĩ là vợ chồng?; b.Hai ngƣời đĩ khơng là vợ chồng? Bài10: Từ thành phố A đến thành phố B cĩ 5 con đƣờng. Hỏi cĩ bao nhiêu cách đi từ A đến B, sau đĩ quay lại A mà khơng cĩ con đƣờng nào đƣợc đi quá 1 lần? Bài 11: Từ thành phố A đến thành phố B cĩ 3 con đƣờng, từ thành phố B đến thành phố C cĩ 4 con đƣờng. Cĩ bao nhiêu cách đi từ A đến C, qua B mà khơng cĩ con đƣờng nào đƣợc đi 2 lần? Bài 12: Trong 100000 số tự nhiên đầu tiên cĩ bao nhiêu số cả ba chữ số 3, 4, 5 trong đĩ 3, 4, 5 chỉ xuất hiện đúng một lần? Bài 13: Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 cĩ thể lập đƣợc bao nhiêu số tự nhiên chẵn cĩ 3 chữ số? Bài 14: Cĩ bao nhiêu số tự nhiên cĩ 5 chữ số trong đĩ các số cách đều số đứng giữa thì giống nhau? Bài 15: Các vé xem phim đƣợc đánh số từ 0000 đến 9999. Hỏi số vé gồm 4 chữ số khác nhau là bao nhiêu? Bài 16: Cĩ bao nhiêu ƣớc số nguyên dƣơng của 360, của 1000000. Bài 17: Với các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6 ta lập đƣợc bao nhiêu số cĩ 5 chữ số khác nhau nếu: a.Phải cĩ mặt chữ số 1? b.Phải cĩ mặt hai chữ số 1 và 2? Bài 18: Cĩ bao nhiêu số tự nhiên cĩ tính chất: a. Là số chẵn và cĩ hai chữ số (khơng nhất thiết khác nhau) b. Là số lẻ và cĩ hai chữ số (khơng nhất thiết khác nhau) c. Là số lẻ và cĩ hai chữ số khác nhau; d. Là số chẵn và cĩ hai chữ số khác nhau Bài 19: Từ các chữ số 1; 3; 5; 7 cĩ thể lập đƣợc bao nhiêu số tự nhiên cĩ 4 chữ số? Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 27
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY Bài 20: Từ các số 1,2,3, ,9 cĩ bao nhiêu cách chọn một số hoặc là số chẵn hoặc là số nguyên tố? Bài 21: Cĩ bao nhiêu số tự nhiên cĩ tính chất: a.Là số chẵn cĩ hai chữ số?; b. Là số lẻ cĩ hai chữ số? c. Là số chẵn cĩ hai chữ số khác nhau ? Bài 22: Trong 100,000 số nguyên dƣơng đầu tiên cĩ bao nhiêu số chứa một chữ số 2, một chữ số3, một chữ số 4 ? Bài 23: Cĩ bao nhiêu số nguyên dƣơng gồm khơng quá 3 chữ số khác nhau? Bài 24: Từ các số 1,3,5,7 cĩ thể lập đƣợc bao nhiêu số tự nhiên cĩ 4 chữ số ? Bài 25: Từ các số 0,1,2,3,4,5,6 cĩ thể lập đƣợc bao nhiêu số tự nhiên chẵn cĩ 3 chữ số ? Bài 26: Cĩ bao nhiêu số tự nhiên cĩ 5 chữ số trong đĩ các số cách đều số đứng giữa thì giống nhau? Bài 27: Cĩ bao nhiêu số tự nhiên cĩ 6 chữ số và chia hết cho 5? Vấn đề 2: Hốn vị- tổ hợp- chỉnh hợp: Nhớ: n! n .( n 1).( n 2) 3.2.1 Ví dụ: 3! 3.2.1 6; 5! 5.4.3.2.1 60 Qui ƣớc: 0! 1 CÁCH PHÂN BIỆT HỐN VỊ- TỔ HỢP- CHỈNH HỢP Gom hết Hốn vị Chỉnh hợp Tổ hợp Số đối tƣợng n n n n cĩ (n) Số đối tƣợng n n (k=n) k (k<n) k (k<n) lấy (k) Vị trí, vai Như nhau Khác nhau Khác nhau Như nhau trị, thứ tự (khơng (Phân biệt) (Phân biệt) (Khơng phân của các đối phân biệt) biệt) tƣợng lấy Cơng thức n! n! Ak C k tính (Số 1 n n Pnn ! (nk )! k!.( n k )! cách) Ví dụ 1: Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp 4 bạn An, Bình, Chi, Dung ngồi vào một bàn học gồm 4 chỗ? Giải: Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 28
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY Mỗi cách xếp là một hốn vị của 4 phần tử, vậy cĩ 4! 4.3.2.1 24 (cách) Ví dụ 2: Từ 5 chữ số của tập X={1; 2; 3; 4; 5}cĩ thể lập được bao nhiêu số cĩ 5 chữ số khác nhau từng đơi một? Giải: Mỗi số là một hốn vị của 5 phần tử. vậy cĩ 5! 5.4.3.2.1 120 (số) Ví dụ 3: Cĩ bao nhiêu cách bầu một ban cán sự gồm 4 người: Lớp trưởng, Lớp phĩ học tập, lớp phĩ lao động và Thủ quỹ trong một lớp học gồm 20 học sinh. Giải: Cách 1: Qua 4 giai đoạn: Chọn Lớp trƣởng: cĩ 20 cách Chọn Lớp phĩ học tập: cĩ 19 cách (bỏ đi em đã đƣợc chọn làm lớp trƣởng) Chọn Lớp phĩ lao động: cĩ 18 cách (bỏ đi 2 em đã đƣợc chọn làm lớp trƣởng và lớp phĩ học tập). Chọn Thủ quĩ: cĩ 17 cách (bỏ đi 3 em đã chọn làm Lớp trƣởng, Lớp phĩ học tập và Lớp phĩ lao động) Theo Qui tắc nhân cĩ: 20.19.18.17=116280 Cách 2: Mỗi cách chọn là một chỉnh hợp chập 4 của 20 phần tử, vậy cĩ 4 A20 20.19.18.17 116280. Ví dụ 4: Cĩ bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. Giải: Cách 1: Mỗi số ứng với một cách lấy 4 chữ số khác nhau trong {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} mà mỗi cách lấy là một chỉnh hợp chập 4 của 9 phần tử . 4 Vậy cĩ: A9 9.8.7.6 3024 (số) Cách 2: Gọi số đƣợc lập là abcd . Qua 4 giai đoạn: Chọn a: Cĩ 9 cách.  Chọn b: cĩ 8 cách (bỏ đi số đã chọn cho a) Chọn c: cĩ 7 cách (bỏ đi số đã chọn cho a và b) Chọn d: Cĩ 6 cách (bỏ đi số đã chọn cho a, b và c). Theo Qui tắc nhân: cĩ 9.8.7.6=3024(số) Ví dụ 5: Một giải bĩng đá cĩ 6 đội, thi đấu vịng trịn một lượt. Hỏi cĩ tất cả bao nhiêu trận đấu? Giải: Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 29
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY Để cĩ một trận đấu cần phải lấy 2 đội từ 6 đội (2 đội này khơng phân biệt vai trị, thứ tự). Do đĩ, mỗi trận đấu là một tổ hợp chập 2 của 6 phần từ, vậy sẽ cĩ 6.5 C2 15 (trận đấu) 6 2.1 Ví dụ 6: Trong một lớp cĩ 10 Đồn viên, cĩ bao nhiêu cách để GVCN: a. chọn ra 5 em đi dự Đại hội Đồn trường; b. chọn ra 5 em làm Ban cán sự lớp, mỗi em một nhiệm vụ: Lớp trưởng, Lớp phĩ học tập, Lớp phĩ lao động, Lớp phĩ kỉ luật và Thủ quĩ? c. phân cơng 10 em làm 10 mĩn quà khác nhau nhân ngày 20-11. d. Chọn 4 em trong đĩ 2 em thi cắm hoa và 2 em thi viết Thư pháp. Giải: a. Chọn 5 em đi dự ĐH đồn trƣờng, mỗi cách chọn là một tổ hợp chập 5 của 10.9.8.7.6 10 phần tử, cĩ: C5 252 (cách) 10 5.4.3.2.1 b. Mỗi cách chọn là một chỉnh hợp chập 5 của 10 phần tử, cĩ: 5 A10 10.9.8.7.6 30240 (cách) c. Mỗi cách phân cơng là một hốn vị của 10 phần tử, cĩ 10! 3628800(cách) d. Chọn 2 em cắm hoa: Mỗi cách chọn là một tổ hợp chập 2 của 10 phần tử 10.9 nên cĩ C2 45 (cách); 10 2.1  Sau đĩ chọn 2 em viết thƣ pháp trong 8 em cịn lại: mỗi cách chọn là một tổ 8.7 hợp chập 2 của 8 phần tử nên cĩ C2 28 (cách) 8 2.1 Theo Qui tắc nhân cĩ: 45.28 1260 (cách). Bài 28: Cĩ 6 bài tốn Đại số (ĐS), 5 bài tốn Hình học (HH), 4 bài tốn Lƣợng giác (LG). Từ các bài tốn trên cĩ bao nhiêu cách tạo ra một đề kiểm tra gồm 3 bài: 1 ĐS, 1 HH, 1 LG? Bài 29: Một tổ gồm 8 nam và 6 nữ. Cần lấy một nhĩm 5 ngƣời trong đĩ cĩ khơng quá 3 nữ. Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn? Bài 30: Một lớp cĩ 25 nam và 15 nữ, GVCN muốn chọn 4 học sinh vào ban cán sự lớp. Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn nếu: a.Số nam, nữ là tùy ý b. Số nam, nữ bằng nhau Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 30
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY c. Ít nhất phải cĩ nam d. Bầu 1 lớp trƣởng và 3 lớp phĩ e. Bầu 1 lớp trƣởng và 3 lớp phĩ khác nhau Bài 31: Cĩ 9 bơng hồng và 6 bơng cúc, chọn ra 5 bơng. Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn sao cho: a. Cĩ 3 bơng hồng và 2 bơng cúc; b. khơng cĩ bơng hơng nào; c. Cĩ ít nhất một bơng cúc; d. Số bơng cúc ít hơn 3. Bài 32: Đội thanh niên xung kích của một trƣờng phổ thơng cĩ 12 học sinh gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này khơng thuộc quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn nhƣ vậy? Bài 33: Cĩ 7 chiếc cặp khác nhau đƣợc phát thƣởng cho 4 học sinh. Hỏi cĩ bao nhiêu cách phát thƣởng sao cho: a. Mỗi học sinh đƣợc 1 chiếc cặp; b. Một học sinh giỏi nhất đƣợc phát hai chiếc, 3 học sinh cịn lại mỗi em đƣợc 1 chiếc. Bài 34: Một đội văn nghệ cĩ 20 ngƣời, trong đĩ cĩ 10 nam và 10 nữ. Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn 5 ngƣời sao cho: a.Cĩ đúng 2 nam trong 5 ngƣời đĩ; b. Cĩ ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 ngƣời đĩ. Bài 35: Trong mặt phẳng cho 10 điểm phân biệt. Cĩ bao nhiêu vector khác 0 cĩ điểm đầu và điểm cuối thuộc tập các điểm đã cho? Bài 36: Trong một cuộc đua ngựa cĩ 12 con ngựa cùng xuất phát. Hỏi cĩ bao nhiêu khả năng xếp loại: a.ba con ngựa về nhất, nhì, ba? b.Ba con ngựa về đích đầu tiên? Bài 37: Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn nam và 5 bạn nữ vào 10 ghế đƣợc kê thành hàng ngang sao cho: a.Nam nữ ngồi xen kẽ nhau; b.Các bạn nam ngồi liền nhau Bài 38: Cĩ 10 bạn đƣợc xếp vào 10 ghế hàng ngang. Cĩ bao nhiêu cách xếp sao cho bạn An luơn cạnh bạn Bình? Bài 39: Cĩ bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số phân biệt, cĩ mặt đủ 3 chữ số 1; 2; 3? Bài 40: Tập hợp X={1;3;4;7;8}. Cĩ bao nhiêu cách lập ra một số cĩ 3 chữ số khác nhua từ X sao cho: a.Số tạo thành là số chẵn?; b.Số tạo thành là số khơng cĩ chữ số 4? c.Số tạo thành là một số nhỏ hơn 378?; Bài 41: Từ các chữ số 1; 3; 5; 7;9 cĩ thể lập đƣợc bao nhiêu: a.Số tự nhiên cĩ 5 chữ số? b.Số tự nhiên cĩ 5 chữ số khác nhau? c.Số tự nhiên cĩ 3 chữ số khác nhau? d.Số tự nhiên cĩ 3 chữ số khác nhau và số đĩ chia hết cho 3? Bài 42: Cĩ bao nhiêu số tự nhiên: Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 31
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY a.Cĩ 5 chữ số mà 5 chữ số đều là số chẵn? b.Cĩ 5 chữ số trong đĩ các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau? Bài 43: Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 cĩ thể lập đƣợc bao nhiêu số chẵn cĩ 5 chƣ số đơi một khác nhau? Bài 44: Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 cĩ thể lập đƣợc bao nhiêu số gồm 4 chữ số, trong đĩ: a.Cĩ đúng một chữ số l? b.Cĩ đúng một chữ số 1 và các chữ số phân biệt? Bài 45: Trong một lớp học, thầy giáo phát phiếu thăm dị yêu cầu học sinh ghi thứ tự 3 mơn Tốn, Lý, Hĩa đang học theo mức độ yêu thích giảm dần. Hỏi cĩ bao nhiêu cách ghi khác nhau? Bài 46: Cĩ 10 cuốn sách khác nhau và 7 cây bút máy khác nhau. Cần chọn ra 3 cuốn sách và 3 cây bút máy để tặng cho 3 học sinh, mỗi em một cuốn sách và một cây bút máy. Hỏi cĩ mấy cách? Bài 47: Cĩ bao nhiêu cách xếp 5 bạn A, B, C, D, E vào 5 chiếc ghế kê hàng ngang ? Bài 48: Cĩ bao nhiêu cách chia 20 ngƣời thành 3 nhĩm: nhĩm 1 cĩ 10 ngƣời, 10 7 3 nhĩm 2 cĩ 7 ngƣời và nhĩm 3 cĩ 3 ngƣời? ĐS: CCC20 10 3 Bài 49: Một lớp cĩ 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Cĩ bao nhiêu cách chọn một nhĩm gồm 7 ngƣời vào ban lao động sao cho: 7 a. Số nam nữ là tùy ý? ĐS:C40 ; 52 b. 5 nam 2 nữ? ĐS:CC25. 15 ; 7 0 6 1 5 2 c. Ít hơn 3 nữ? ĐS: CCCCCC25 15 25 15 25 15 ; 7 0 6 1 d. Ít nhất là 6 nam? ĐS: CCCC25 15 25 15 7 0 6 1 5 2 4 3 e. Khơng ít hơn 4 nam? ĐS: CCCCCCCC25 15 25 15 25 15 25 15 ; Bài 50: Cĩ 30 bác sĩ phẫu thuật. Cĩ bao nhiêu cách chọn: 2 11 a.Một bác sĩ mổ, một bác sĩ phụ mổ? ĐS: A30 hoặc 30.29 hoặc CC30. 29 14 b.Một bác sĩ mổ, 4 bác sĩ phụ mổ? ĐS: CC30. 29 Bài 51: Cĩ bao nhiêu số nguyên dƣơng gồm 4 chữ số khác khơng và khác nhau đơi một? Bài 52: Cần phân cơng 4 bạn trong một tổ cĩ 12 ngƣời làm trực nhật. Hỏi cĩ bao nhiêu cách phân cơng khác nhau? Bài 53: Cĩ bao nhiêu cách xếp 6 bạn nam và 6 bạn nữ vào 12 chiếc ghế kê hàng ngang sao cho: a.Nam nữ ngồi xen kẽ? b.Các bạn nữ ngồi liền nhau? Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 32
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY Bài 54: Cĩ bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 8 bạn ( trong đĩ cĩ Ngân và Dũng) vào 8 ghế hàng ngang, sao cho: a.Ngân và Dũng ngồi cạnh nhau? b.Ngân và Dũng khơng ngồi cạnh nhau? Bài 55: Ba quả cầu đặt vào ba cái hộp khác nhau (khơng nhất thiết hộp nào cũng phải cĩ quả cầu). Hỏi cĩ bao nhiêu cách đặt nếu: a.Các quả cầu giống nhau? b.Các quả cầu khác nhau? Bài 56: Cĩ bao nhiêu cách chia 10 ngƣời thành: a.Hai nhĩm, một nhĩm 4 ngƣời, một nhĩm 6 ngƣời? b.Ba nhĩm tƣơng ứng là 2,3,5 ngƣời ? Bài 57: Chia 5 quả táo, 3 quả cam, 2 quả chuối cho 10 em (mỗi em một quả). Hỏi cĩ bao nhiêu cách chia? Bài 58: Cĩ bao nhiêu cách xếp 4 nam và 6 nữ ngồi vào 10 ghế mà khơng cĩ hai bạn nam nào ngồi gần nhau. a.Ghế xếp hàng ngang? b.Ghế xếp vịng trịn? Bài 59: Cĩ bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau và khác khơng, biết tổng 3 chữ số này bẳng 8 ? Bài 60: Khoa ngoại bệnh viện cĩ 40 bác sĩ. Hỏi cĩ bao nhiêu cách lập một êkíp mổ: a.Nếu mỗi êkíp cĩ 1 ngƣời mổ và 1 ngƣời phụ mổ? b.Nếu mỗi êkíp cĩ 1 ngƣời mổ và 4 ngƣời phụ mổ? Bài 61: Một hội đồng quản trị cĩ 11 ngƣời gồm 7 nam và 4 nữ. Hỏi cĩ bao nhiêu cách lập 1 ban thƣờng trực gồm 3 ngƣời biết rằng trong đĩ phải cĩ ít nhất 1 nam? Bài 62: Cĩ bao nhiêu đƣờng chéo trong một hình thập giác lồi? Bài 63: Cho tập B={1; 2; 4; 5; 7}. Cĩ thể thành lập từ B đƣợc: a.Bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau? ĐS: 120 b.Bao nhiêu số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau? ĐS: 48 c.Bao nhiêu số lẻ gồm 4 chữ số khác nhau? ĐS: 72 Bài 64: Cho tập B={0;1;2;3} cĩ thể thành lập đƣợc: a.Bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau? ĐS: 18 b.Bao nhiêu số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau? ĐS: 10 c.Bao nhiêu số lẻ gồm 4 chữ số khác nhau? ĐS: 8 Bài 65: Cĩ bao nhiêu số gồm 3 chữ số trong đĩ chỉ cĩ đúng một chữ số 4? ĐS: 225 Bài 66: Cĩ 5 con đƣờng nối hai thành phố X và Y, cĩ 4 con đƣờng nối Y và Z. a.Cĩ bao nhiêu cách chọn đƣờng đi từ X đến Z qua Y? ĐS: 20 b.Cĩ bao nhiêu cách chọn đƣờng đi từ X đến Z qua Y rồi về lại X trong đĩ khơng cĩ con đƣờng nào đi quá một lần? ĐS: 5.4.3.4=240 Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 33
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY Bài 67: Cĩ bao nhiêu số tự nhiên cĩ 2 chữ số mà hai chữ số đều là chẵn đƣợc thành lập từ các số 0; 2; 4; 6; 8? ĐS: 20 Bài 68: Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp 4 học sinh vào ngồi trong một bàn dài đủ 4 chỗ ngồi? ĐS: 4! Bài 69: Trong một phịng học cĩ hai bàn dài, mỗi bàn cĩ 5 ghế. Ngƣời ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ. Hỏi cĩ bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu: a.Tất cả học sinh ngồi tùy ý. ĐS: 10! ; b. Tất cả học sinh nam ngồi một bàn và học sinh nữ ngồi một bàn. ĐS: 5!5!2! Bài 70: Cĩ bao nhiêu cách phân cơng 5 bạn vào 5 nhiệm vụ sau: lau bảng, quét lớp, cạo bàn, đổ rác, xếp bàn ghế? ĐS: 5! Bài 71: Xếp thẳng hàng 7 quyển sách Tốn, Lý, Hĩa, Anh, Văn, Sử, Địa. Hỏi cĩ bao nhiêu cách xếp nhƣ thế? ĐS: 7! Bài 72: Từ tập B={1; 2; 3; 4; 5; 6} cĩ thể lập đƣợc bao nhiêu số tự nhiên gồm 8 chữ số trong đĩ chữ số 1 cĩ mặt 3 lần, mỗi chữ số khác cĩ mặt đúng 1 lần? Gợi ý: Đặt các chữ số 2; 3; 4; 5; 6 vào trước, số cách lần lượt là 8, 7, 6, 5, 4. Cuối cùng đặt 3 chữ số 1 vào 3 vị trí cịn lại cĩ 1 cách. Vậy ĐS: 8.7.6.5.4.1 Bài 73: Cĩ bao nhiêu cách xếp 5 học sinh A, B, C, D, E vào một chiếc ghế dài sao cho: a.Bạn C ngồi chính giữa? ĐS: 4! ; b. Hai bạn A, E ở hai đầu ghế? ĐS: 2!3! c.Hai bạn B, D ngồi kề nhau? ĐS: 2!4! d.Hai bạn B, D khơng ngồi kề nhau? ĐS: 5!-(2!4!) e. Hai bạn B, D cách nhau một ghế? ĐS: 2!3!+2!3!+2!3! Bài 74: Một tổ học sinh cĩ 5 nam và 5 nữ xếp thành một hàng dọc. a.Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp khác nhau? ĐS: 10! b.Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp sao cho khơng cĩ học sinh cùng giới tính đứng kề nhau? ĐS: TH1: Nam trước- Nữ sau: 5!5! cách, TH2: Nữ trước- Nam sau: 5!5! cách. Do đĩ cĩ 5!5!+5!5! cách Bài 75: Xét các số tự nhiên cĩ 5 chữ số khác nhau lập từ {1; 2; 3; 4; 5}. Hỏi trong các số đĩ cĩ bao nhiêu số: a. Bắt đầu bởi chữ số 5? ĐS: 4!; b.Khơng bắt đầu bởi chữ số 1? ĐS: 4.4.3.2.1=96 (hoặc 5! 4!=96) c. Bắt đầu bởi 23? ĐS: 3! d. Khơng bắt đầu bởi 345? ĐS: 5! 2!=118. Bài 76: Cĩ thể lập đƣợc bao nhiêu số chẵn cĩ 5 chữ số khác nhau lấy từ các số 0; 2; 3; 6; 9? Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 34
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY Gợi ý: Xét 2 trường hợp: TH1: a5 0 (cĩ 4! cách) ; TH2: a5 0 (cĩ 2.3.3.2.1=36 cách) Bài 77: Cĩ bao nhiêu số tự nhiên chẵn cĩ 3 chữ số đơi một khác nhau? ĐS: 9.8+4.8.8=328 Bài 78: Cho bốn chữ số 1; 2; 3; 4. Lập đƣợc bao nhiêu số gồm bốn chữ số khác nhau từ 4 chữ số đĩ? ĐS: 4! Bài 79: Cĩ bao nhiêu số nguyên dƣơng gồm 5 chữ số sao cho: a. Là số chẵn? Là số lẻ? ĐS: 5.9.10.10.10; b. Số đầu tiên là 1? ĐS:10.10.10.10 c. Số đầu tiên khác 1? ĐS: 8.10.10.10.10; d.Hai chữ số kề nhau thì khác nhau? ĐS: 9.9.9.9.9 Bài 80: Với các số 1; 2; 3; 4; 5 cĩ thể thành lập đƣợc bao nhiêu số: a. Là số chẵn cĩ 3 chữ số khác nhau? ĐS: 24 b.Gồm ba chữ số khác nhau? 3 ĐS: A5 c. Là số chẵn cĩ 3 chữ số khác nhau và khơng lớn hơn 345? ĐS: Bài 81: Biển số xe gắn máy cĩ 4 chữ số (chữ số đầu tiên cĩ thể bằng 0). Cĩ bao nhiêu biển số trong đĩ: a.Hai chữ số kề nhau phải giống nhau? ĐS: 10 b.Hai chữ số kề nhau phải khác nhau? ĐS:10.9.9.9= 7290 (Gợi ý: biển số cĩ dạng abcd . Chọn a: 10 cách (kể cả chữ số 0), chọn b: 9 cách (bỏ đi chữ số đã chọn cho a), chọn c: 9 cách (bỏ đi chữ số đã chọn cho b, chọn d: 9 cách (bỏ đi chữ số đã chọn cho c). 4 c.Các chữ số khác nhau đơi một. ĐS: A10 2 Bài 82: Hình bát giác cĩ tất cả bao nhiêu đƣờng chéo? ĐS: C8 8 =20. Bài 83: Trong mặt phẳng, một đa giác lồi cĩ n đỉnh ( n 3). Tìm n biết đa giác đĩ cĩ 27 đƣờng chéo. ĐS: n=9. Vấn đề 3: Vận dụng cơng thức tính số tổ hợp, số chỉnh hợp, số hốn vị- Giải phương trình, bất phương trình tổ hợp đơn giản:  Pn n! n .( n 1) 3.2.1 Ví dụ: P5 5! 5.4.3.2.1 120; P6 6! 6.5.4.3.2.1 720 ; Nhận xét: n! n .[( n 1)!] n .( n 1).[( n 2)!] Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 35
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY n! n .( n 1) ( n k 1) Ck n k!( n k )! k .( k 1) 2.1 5.4.3 7.6 8.7.6.5 Chẳng hạn: C3 10; C2 21; C4 70 ; 5 3.2.1 7 2.1 8 4.3.2.1 0 n k n k Nhận xét: CCnn 1; CCnn . n!  Ak n.( n 1) ( n k 1) n (nk )! 3 2 4 Chẳng hạn: A5 5.4.3 60 ; A7 7.6 42 ; A8 8.7.6.5 1680 ; n Ví dụ: Biết hệ số của x2 trong khai triển của 13 x là 90. Tìm n. ĐS: n=5 k k n k k k k k k Giải:  Số hạng tổng quát: (1) Cnn 1 (3) x (1)3 C x 2 2 2 2 2  x ứng với k 2 . Hệ số của x là ( 1) 3 Cn .  Do đĩ ta cĩ : 2 2 2 2nn( 1) 2 n 4 (loại) ( 1) 3Cnn 9 C 10 10 n n 20 0 2.1 n 5 (nhận) Kết luận: Vậy n 5 là giá trị cần tìm. Bài 84: n a. Biết hệ số của trong khai triển của 13 x là 90. Tìm n. ĐS: n=5 n b. Biết hệ số của x6 trong khai triển của 1 x3 là 28. Tìm n. ĐS: n=8; n 4 2 c. Biết hệ số của x trong khai triển của 1 2 là 60. Tìm n. ĐS: n=6. x n d. Trong khai triển của 1 ax ta cĩ số hạng đầu là 1, Số hạng thứ hai là 24x , số hạng thứ ba là 252x2 . Tìm a và n. Bài 85: Giải các phƣơng trình, bất phƣơng trình sau: 2 PPxx 1 1 Pn 4 15 a. P23 x P x 8 ; b. ; c. ; Px 1 6 PPPn. n 21 n Bài 86: Giải các phƣơng trình, bất phƣơng trình sau: 22 32 a. 2Axx 50 A2 , x ; b. Ann 5 A 2( n 15) ; Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 36
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY 22 22 c. 3AAnn 2 42 0 ; d. 2PAPAn 6 n n n 12 ; 4 4 10 9 8 An 2 143 An 4 15 e. AAAx x9 x ; f. 0 ; g. PPnn 214 (nn 2)! ( 1)! Bài 86: Giải các phƣơng trình, bất phƣơng trình sau: 7 2 a. C123 C C x ; b. CCA3 2 2 ; x x x 2 x 1 x 13 x 2 1 1 7 c. ; d. CA22 ; 1 2 1 2xx 1 3 20 CCCx x 146 x (n 1)! e/ 72 f/3CCA3 2 2 3 2 , (n 1)! n n n A4 g/ x 1 Px , h/ AC21 z 3 143 , xx 1 79 Cz 1 x 12 i/ 12CAxx 31 55 Bài 87: Thực hiện theo yêu cầu trong từng câu: 1 2 2 0 1 2 a. Biết 2CCAn n n 25. Tìm n; b. Tìm n biết CCCn n n 16 ; 16 c. Giải bất phƣơng trình AAC2 2 3 10 ; 2 2x xx x nn 1 d. Biết rằng Cnn 43 C 7( n 3) . Hãy tìm n; rr 2 5 e. Cho r thỏa CC18 18 . Hãy tính Cr ; A4 24 1 1 1 f. Cho n . Tính n; g. Biết . Tìm k; 34n k k k ACnn 1 23 CCC4 5 6 2 2 2 2 h. Biết CCCCn 1 2 n 2 2 n 3 n 4 149 . Tìm n. CHỦ ĐỀ 2: NHỊ THỨC NEWTON n n0 n 1 n 1 n n k n k k  (ab ) CaCabn n Cb n  Cab n ; k 0 k n k k Số hạng tổng quát là Cn a b ; Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 37
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY n n k k n k k  (a b )  ( 1) Cn a b k 0 k k n k k Số hạng tổng quát là ( 1) Cn a b ;  Số hạng thứ m+1 ứng với k=m;  Các qui tắc lũy thừa: am 1 1 am. a n a m n ; amn ; a n ; aa 2 ; an an n n mn m. n n n n aa aa ; (.).a b a b ; n bb Vấn đề 1: Khai triển nhị thức Newton: 5 Ví dụ 1: Khai triển biểu thức sau thành tổng các đơn thức: xy 2 Giải: 5 5 kk5 k x 22 y  C5 x y k 0 050141232 32 3 4 4 5 5 Cxy5(2 ) Cxy 5 (2 ) Cx 5 2 y Cx 5 2 y Cxy 5 2 C 5 2 y x5 10 x 4 y 40 x 3 y 2 80 x 2 y 3 80 xy 4 32 y 5 4 Ví dụ 2: Khai triển biểu thức: 23x Giải: 4 44k k k k 2x 3  ( 1) C4 2 x 3 k 0 004 0 11 3 1 22 2 2 33 1 3 44 0 4 (1) C4 2 x 3(1) C 4 2 x 3(1) C 4 2 x 3(1) C 4 2 x 3(1) C 4 2 x 3 16x4 96 x 3 216 x 2 216 x 81. Bài: Khai triển các nhị thức sau thành tổng các đơn thức: 3 4 4 2 1 3 a. x ; b. 22a ; c. 32ab ; d. 23x . x Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 38
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY Vấn đề 2: Tìm hệ số, số hạng của nhị thức Newton: 8 2 Ví dụ : Trong khai triển của 3x x a.Tìm hệ số của số hạng chứa x2 ; b.Tìm số hạng khơng chứa x; c. Tìm hệ số của số hạng chính giữa; d. Hệ số của số hạng thứ 7; e. Số hạng đầu; f. Hệ số của số hạng cuối. 8 k k k 2 k k k8 k k 2 k 8 Giải: Số hạng tổng quát: (1) C88 (3) x (1) C 23 x x a. Số hạng chứa x2 ứng với 2kk 8 2 5. 5 5 8 5 5 Do đĩ hệ số cần tìm là ( 1)C8 2 3 108864 . b.Số hạng khơng chứa x ứng với 2kk 8 0 4 . 4 4 8 4 4 Do đĩ số hạng cần tìm là ( 1)C8 2 3 90720 . n 8 c. Số hạng chính giữa ứng với k 4 . 22 4 4 8 4 4 Do đĩ số hạng cần tìm là ( 1)C8 2 3 90720 . d. Số hạng thứ 7 ứng với k 6 . 6 6 8 6 6 Do đĩ hệ số cần tìm là ( 1)C8 2 3 81648 ; e. Số hạng đầu ứng với k 0 ; f. Số hạng cuối ứng với k 8; Bài 83: 6 3 2 a. Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển của x 2 ;ĐS: 12 x 5 3 3 3 3 3 3 3 b. Tìm số hạng chứa x trong khai triển của x ; ĐS: ( 1) 3 Cx5 x 8 7 x 4 2 c. Tìm hệ số của số hạng chứa 5 trong khai triển của x ; y y 5 5 5 ĐS: ( 1) 2 C7 (k=5) Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 39
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY 5 8 3 2 d. Tìm số hạng chứa x trong khai triển của 3x 2 ; ĐS: khơng cĩ x 6 x 7 e. Tìm số hạng chính giữa trong khai triển của 5 ; 5 x 73 ĐS: Cx3 12 (k=3) 6 53 10 2 2 f. Tìm hệ số của số hạng chính giữa trong khai triển của 9a 3 ; a 5 5 5 5 ĐS: ( 1)C10 9 .2 (k=5) 7 2 x3 g. Tìm hai số hạng chính giữa trong khai triển của 2 ; x 3 24 23 ĐS: ( 1)33Cx ; ( 1)4Cx 4 6 (k=3;k=4) 7 33 7 34 11 57x3 h. Tìm hệ số của hai số hạng chính giữa trong khai triển của 7 ; 32x 65 56 55 57 66 57 ĐS: ( 1) C11 ; ( 1) C11 (k=5;k=6) 32 32 7 45x4 i. Tìm số hạng thứ 4 trong khai triển của 3 ; 11x 2 4 4 3 3 45 x ĐS: C7 3 (k=3) 11x 2 9 2 x2 j. Tìm hệ số của số hạng thứ 5 trong khai triển của ; 32x 54 44 21 ĐS: ( 1) C9 (k=4) 32 Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 40
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY 8 3 2 k. Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển của 3x ; x 6 6 6 2 ĐS: ( 1) 2C8 3 ;( 24 4kk 0 6 ) 7 3 2 l. Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển của 7x 3 ; x 7 ĐS: (khơng cĩ) 21 6kk 0 (vô lý). 2 6 6 5 m. Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển của 2x 3 ; x 4 4 2 4 ĐS: ( 1)C6 2 5 (k=4) 8 32a2 n. Tìm số hạng khơng chứa a trong khai triển của 6 ; 75a 62 2 32 ĐS: C8 (k=2) 75 18 42x o. Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển của 2 ; 5 11x 12 6 66 42 ĐS: ( 1) C18 (k=6). 5 11 Vấn đề 3: [Nâng cao] Một số bài tốn nâng cao liên quan nhị thức Newton: Bài 84: a/ Chứng minh rằng với mọi số nguyên dƣơng n ta cĩ: 0 1 2 nn CCCCn n n n 2 b/ Chứng minh rằng với mọi số nguyên dƣơng n ta cĩ: Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 41
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY 0 2 4 2nn 1 3 3 2 1 CCCCCCCC21n 21 n 21 n 21 n 21 n 21 n 21 n 21 n c/ Tìm hệ số của x5 trong khai triển của biểu thức: (x + 1)4 + (x + 1)5 + (x + 1)6 + (x + 1)7. d/ Tìm số nguyên dƣơng n sao cho: 0 1 2 n n Cn 2C n 4C n 2 C n = 243. e/ Khai triển đa thức: P(x) = (1+2x)12 thành dạng: 2 12 a0 + a1x + a2x + + a12x Tìm max(a1, a2, , a12). 0 n 1 n 1 n n 0 1 n f/ Chứng minh: C3n C3 n (1)C n C n C n C n g/ Gọi a1, a2, , a11 là các hệ số trong khai triển sau: 10 11 10 9 (x + 1) .(x + 2) = x + a1x + a2x + + a11. Hãy tính hệ số a5. h/ Chứng minh rằng với số nguyên dƣơng n, ta cĩ: n11 n12 n33 n44 n n1 2 Cn 2 C n 3.2 C n 4.2 C n nC n n.3 CHỦ ĐỀ 3: XÁC SUẤT  Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta khơng đốn trước được kết quả SẼ xảy ra của nĩ mặc dù ta đã biết được tập hợp tất cả các kết quả CĨ THỂ xảy ra của nĩ. Khơng gian mẫu: tập hợp tất cả các kết quả CĨ THỂ xảy ra của một phép thử. Kí hiệu:  Biến cố là một tập con của khơng gian mẫu. Kí hiệu bằng chữ in hoa A, B, C . Biến cố cĩ thể được phát biểu dưới 2 dạng: dạng mệnh đề hoặc dạng tập hợp Tập  là biến cố khơng thể, tập là biến cố chắc chắn Phép tốn trên các biến cố: +  \ A gọi là biến cố đối của A kí hiệu A tức là AA \ +Tập AB là hợp của các biến cố A và B. Gọi là biến cố “A hoặc B” +Tập AB là giao của các biến cố A và B. Gọi là biến cố :A và B” (cịn được kí hiệu là A.B) + = thì ta nĩi A và B xung khắc Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 42
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY nA() Xác suất của biến cố A: PA() n() CÁC TÍNH CHẤT: PP  0;  1 0 PAA 1,  là biến cố PABPAPB  (nếu A và B xung khắc) PAPA 1 Định nghĩa: A và B độc lập PABPAPB( . ) ( ). ( ) Các cặp biến cố đối Biến cố A Biến cố đối của A là A Cĩ ít nhất 1 Khơng cĩ cái nào Khơng cùng (loại, màu, giới, ) Cùng (loại, màu, giới, ) Ví dụ: Từ một hộp cĩ 6 viên bi xanh, 5 viên bi vàng, lấy ngẫu nhiên 3 viên. Tính xác suất sao cho lấy được: a. 3 viên cùng màu xanh; b. khơng viên nào màu xanh; c. 2 xanh+1 vàng; d. cĩ ít nhất 2 vàng; e. Cĩ nhiều nhất 1 xanh; f. viên xanh khơng nhiều hơn 1; g. Cĩ ít nhất 1 bi xanh. Giải: Mỗi cách lấy 3 viên trong 11 viên là một tổ hợp chập 3 của 11 phần tử nên cĩ 11.10.9 nC( ) 3 165(cách) 11 3.2.1 a. Gọi biến cố A: “3 viên cùng màu xanh” 3 viên màu xanh đƣợc lấy trong 6 viên màu xanh, vậy cĩ 6.5.4 n( A ) C3 20 (cách) 6 3.2.1 nA( ) 20 4 Vậy PA() n( ) 165 33 b. Gọi biến cố B: “khơng viên nào màu xanh”= “3 viên vàng” Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 43
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY 3 viên màu vàng đƣợc lấy trong 5 viên màu vàng, vậy cĩ 5.4.3 n( B ) C3 10 (cách) 5 3.2.1 nB( ) 10 2 Vậy PB() n( ) 165 33 c. Gọi biến cố C: “2 xanh+ 1 vàng” 6.5 2 xanh: C2 15 (cách) 6 2.1 1 1 vàng: C5 5 (cách) Theo Qui tắc nhân nC( ) 15.5 75 (cách) nC( ) 75 15 Vậy PC() n( ) 165 33 d. Gọi biến cố D: “cĩ ít nhất 2 vàng” 5.4 TH1: 2 vàng+ 1 xanh: CC21. .6 60 (cách) 56 2.1 5.4.3 TH1: 3 vàng C3 10 (cách) 5 3.2.1 Theo qui tắc cộng nD( ) 60 10 70 (cách) nD( ) 70 14 Vậy PD() n( ) 165 33 . e. Gọi biến cố E: “cĩ nhiều nhất 1 vàng” 6.5.4 TH1: 0 vàng+ 3 xanh: C3 20 (cách) 6 3.2.1 6.5 TH1: 1 vàng+2 xanh: CC12. 5. 75 (cách) 56 2.1 Theo qui tắc cộng nE( ) 20 75 95 (cách) Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 44
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY nE( ) 95 19 Vậy PE() n( ) 165 33 . f. Gọi biến cố F: “viên xanh khơng nhiều hơn 1” 5.4.3 TH1: 3 vàng+ 0 xanh: C3 10 (cách) 5 3.2.1 5.4 TH1: 2 vàng+1 xanh: CC21. .6 60 (cách) 56 2.1 Theo qui tắc cộng nF( ) 10 60 70 (cách) nF( ) 70 14 Vậy PF() n( ) 165 33 g. Gọi biến cố G: “cĩ ít nhất 1 xanh” G : “khơng cĩ bi xanh nào”= “tất cả đều bi vàng”=B 2 p()() G p B 33 2 31 Vậy PGPG( ) 1 ( ) 1 . 33 33 Bài 85:Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần. a. Mơ tả khơng gian mẫu; b. Xác định các biến cố sau: A: “Tổng số chấm xuất hiện trong hai lần gieo khơng bé hơn 10” và B: “Mặt 5 chấm xuất hiện ít nhất một lần”; c. Tính P(A), P(B). Bài 86: Cĩ bốn tấm bìa đƣợc đánh số từ 1 đến 4. Rút ngẫu nhiên cùng lúc 3 tấm. a. Xác định số phần tử của khơng gian mẫu; b. Xác định các biến cố sau:A: “Tổng các số trên ba tấm bìa bằng 8”; B: “Các số trên ba tấm bìa là 3 số tự nhiên liên tiếp”; c.Tính P(A), P(B). Bài 87: Một tổ cĩ 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên hai ngƣời. Tìm xác suất sao cho hai ngƣời đĩ: a.Cả hai đều là nữ; b. Khơng cĩ nữ nào; c. Ít nhất một ngƣời là nữ; d.Cĩ đúng một ngƣời là nữ. Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 45
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY Bài 88: Một nhĩm học sinh cĩ 15 nam và 10 nữ. Chọn ngẫu nhiên 7 ngƣời đi dự Đại hội Đồn trƣờng. Tính xác suất sao cho 7 ngƣời đƣợc chọn: a. tồn là nam; b. cĩ ít nhất một nữ; c. khơng cùng 1 giới; d. 3 nam+4 nữ; e. Nhiều nhất 2 nữ; f. nam khơng ít hơn 5. Bài 89: Một hộp chứa 10 quả cầu đỏ đƣợc đánh số từ 1 đến 10 và 20 quả cầu xanh đƣợc đánh số từ 1 đến 20. Lấy ngẫu nhiên một quả. Tìm xác suất sao cho quả đƣợc chọn: a. ghi số chẵn; b. màu đỏ; c. Màu đỏ và ghi số chẵn; d. màu xanh hoặc ghi số lẻ. Bài 90: Trong một hộp chứa 13 bi vàng, 11 bi đỏ và 9 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 5 bi. Tính xác suất sao cho: a. Cả 5 bi đều màu xanh; b. Cĩ ít nhất 3 bi vàng; c.5 bi khơng cùng một màu; d.2 vàng+ 2 đỏ+1 xanh; e. nhiều nhất 2 bi vàng; f. bi đỏ ít hơn 2; g. bi xanh khơng nhiều hơn 2; h. 5 bi chỉ cĩ hai loại màu. Bài 91: Trong 1 tổ cĩ 4 nam và 6 nữ. Chọn ngẫu nhiên 4 ngƣời. Tính xác suất sao cho: a. Cả bốn là nữ; b. Khơng cĩ nữ; c.Ít nhất một nữ; d. Cĩ đúng một nữ; e. Số nữ khơng vƣợt quá 2; f. Nam khơng ít hơn 3; g. vừa cĩ nam, vừa cĩ nữ Bài 92: Một hộp bút cĩ 10 bút xanh và 7 bút đỏ. Lấy ngẫu nhiên 5 bút. Tính xác suất sao cho trong 5 bút lấy ra: a. cĩ ít nhất một bút xanh ; b. khơng cùng một màu; c. Nhiều nhất 3 bút đỏ; d. Ít nhất 4 bút xanh; e. Số bút xanh khơng vƣợt quá 2; f. cĩ đúng 3 bút đỏ. Bài 93: Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác suất sao cho a. Tổng số chấm hai lần gieo là 8; b. Ít nhất một lần gieo xuất hiện mặt 5 chấm; c. hai lần gieo nhƣ nhau; d. tích số chấm hai lần gieo là lẻ. Bài 94: Một lớp cĩ 45 học sinh trong đĩ 30 học thêm Tốn, 20 học thêm Lý, 10 em học cả Tốn và Lý. Đọc tên ngẫu nhiên 1 em. Tính xác suất sao cho: a. Em đĩ học thêm Tốn; b. Em đĩ học thêm Lý; c. Em đĩ học thêm cả Tốn và Lý; d. Em đĩ học chỉ học thêm Tốn (khơng học Lý); e. Em đĩ chỉ học thêm Lý (khơng học Tốn); f. Em đĩ học ít nhất một mơn; g. Em đĩ khơng học Tốn cũng khơng học Lý. Bài 95: Gieo đồng thời hai con súc sắc. Tính xác suất sao cho: a. Hai con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn; b. Tích các số chấm trên hai con súc sắc là số lẻ. Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 46
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY Bài 96: Xét phép thử “Tung một đồng xu ba lần”. Hãy mơ tả khơng gian mẫu. Sau đĩ tính xác suất sao cho ba lần tung: a. đều mặt sấp; b. khơng lần nào sấp; c. chỉ đúng một lần sấp; d. nhiều hơn một lần ngửa. Bài 97: Gieo một con súc sắc ba lần. Tính xác suất sao cho mặt 6 chấm xuất hiện ít nhất một lần. Bài 98: Một lớp cĩ 60 học sinh học thêm Anh hoặc Pháp. Sau khi đăng kí GVCN nhận thấy cĩ 40 em học Anh, 30 học Pháp, 10 em học cả Anh lẫn Pháp. Chọn ngẫu nhiên một em. Tính xác suất sao cho: a. Em đĩ học Anh; b. Em đĩ học Pháp; c. em đĩ học cả Anh và Pháp; d. Em đĩ chỉ học Anh (khơng học Pháp); e. Em đĩ chỉ học Pháp (khơng học Anh); f. Em đĩ học ít nhất một mơn; g.Em đĩ khơng học cả Anh lẫn Pháp. Bài 99: Từ một cỗ bài tú lơ khơ cĩ 52 con, rút ngẫu nhiên cùng lúc 4 con. Tính xác suất sao cho: a. cả 4 con đều là át; b. cĩ ít nhất một con át; c. 2 át và 2 con K. Bài 100: Từ một hộp cĩ 7 viên bi xanh, 9 viên bi vàng, lấy ngẫu nhiên 4 viên. Tính xác suất sao cho lấy đƣợc: a. 4 viên cùng màu xanh; b. khơng viên nào màu xanh; c. 3 xanh+1 vàng; d. cĩ ít nhất 2 vàng; e. Cĩ nhiều nhất 3 xanh; f. viên xanh khơng nhiều hơn 3. Bài 101: Gieo một con súc sắc cân đối, đồng chất và quan sát số chấm xuất hiện: a.Mơ tả khơng gian mẫu? b.Xác định các biến cố sau: A: " Xuất hiện mặt chấm chẵn" B: " Xuất hiện mặt chấm lẻ"; C: " Xuất hiện mặt cĩ chấm khơng nhỏ hơn 3" c. Trong các biến cố trên, hãy tìm các biến cố xung khắc? Bài 102: Từ một hộp chứa ba bi trắng, hai bi đỏ lấy đồng thời ngẫu nhiên 2 bi. a.Hãy xây dựng khơng gian mẫu? b.Xác định các biến cố sau: A: "Hai bi cùng màu trắng "; B: "Hai bi cùng màu đỏ "; C: "Hai bi cùng màu "; D: "Hai bi khác màu ". c.Trong các biến cố trên, hãy tìm các biến cố xung khắc, các biến cố đối nhau? Bài 103: Gieo 1 đồng tiền 3 lần và xét sự xuất hiện mặt sấp (S), mặt ngửa (N) a. Hãy xây dựng khơng gian mẫu? b. Xác định các biến cố sau: A: "Gieo lần đầu xuất hiện mặt sấp "; B: "Gieo ba lần xuất hiện các mặt nhƣ nhau "; C: "Đúng 2 lần xuất hiện mặt sấp "; D: " Ít nhất 1 lần xuất hiện mặt sấp " c.Trong các biến cố trên, hãy tìm các biến cố xung khắc, các biến cố đối nhau? Bài 104: Một con súc sắc đƣợc gieo 3 lần. Quan sát số chấm xuất hiện. Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 47
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY a.Hãy xây dựng khơng gian mẫu? b.Xác định các biến cố sau : A:" Tổng số chấm 3 lần gieo là 6" B:" Số chấm lần gieo thứ nhất bằng tổng số chấm của lần gieo thứ 2 và 3"; C: “Số chấm là các số nguyên tố”; D: “Số chấm gồm 3 số tự nhiện liên tiếp”. Bài 105: Trong 1 tổ cĩ 6 nam và 4 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 ngƣời. Tìm xác suất sao cho 2 ngƣời đĩ: a.Cả hai là nữ b.Khơng cĩ nữ; c. Ít nhất một nữ d. Cĩ đúng một nữ Bài 106: Xếp ngẫu nhiên ba ngƣời đàn ơng, hai ngƣời đàn bà và một đứa bé vào ngồi trên 6 cái ghế hàng ngang. Tính xác xuất: a.Đứa bé ngồi giữa hai ngƣời đàn ơng; b.Đứa bé ngồi giữa hai ngƣời đàn bà. Bài 107: Một tổ cĩ 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 ngƣời. Tính xác suất sao cho trong 2 ngƣời đĩ: a.Cả hai đều là nam ? b. Khơng cĩ nam nào? c. Ít nhất 1 ngƣời là nam? d. Cĩ đúng 1 ngƣời là nam ? Bài 108: Cĩ 2 hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 3 quả trắng và 2 quả đen, hộp thứ hai chứa 4 quả trắng và 6 quả đen. Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp 1 quả. Tính xác suất sao cho: a. Cả 2 quả đều trắng b. Cả 2 quả cùng màu c. Cả 2 quả khác màu. Bài 109: Cĩ 2 bi xanh, 5 bi đỏ và 4 bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 4 bi. Tính xác suất sao cho: a. Cĩ 1 bi xanh, 2 bi đỏ và 1 bi vàng; b. Cĩ nhiều nhất 1 bi đỏ c. Cĩ đủ 3 màu Bài 110: Một ngƣời chọn ngẫu nhiên hai chiếc giày từ bốn đơi giày cỡ khác nhau. Tính xác suất để hai chiếc đƣợc chọn tạo thành một đơi. Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 48
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY Chƣơng 3: DÃY SỐ- CẤP SỐ CỘNG- CẤP SỐ NHÂN CHỦ ĐỀ 1. PHƢƠNG PHÁP QUY NẠP TỐN HỌC Các bƣớc của Phƣơng pháp qui nạp để chứng minh mệnh đề Pn() đúng với mọi n n00;, n n N : Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với nn 0 (tức Pn()0 đúng). Bước 2: (Giả thiết qui nạp) giả thiết rằng mệnh đề đúng với n k k n0 bất kì (tức ta giả sử Pk() đúng). Bước 3: Chứng minh rằng mệnh đề đúng với nk 1 (tức chứng minh Pk( 1) đúng). có Pn ( ) đúng Sơ đồ: 0 chứng minh Pk ( 1) đúng giả sử Pk ( ) đúng Ví dụ 1: Chứng minh rằng với 1 3 5 (2n 1) n2* , n . Giải: VT 1 Với n=1: đẳng thức đúng 2 VP 1  Giải sử đẳng thức đúng với n k( k 1), ta cĩ 1 3 5 (2kk 1) 2 Ta chứng minh đẳng thức cũng đúng với nk 1 tức là chứng minh 2 135 (2 k 1) 2 k 11 k 1 2 2 k 2 k 1 1 k 1 k22 2 k 1 k 2 k 1(đúng) Vậy đẳng thức đúng với mọi n * Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 49
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY Ví dụ 2: Chứng minh rằng (nn 1)( 2) 1 2 3 (n 1) , n , n 2. 2 Giải: VT 1 2 3 6 Với n=2: (2 1)(2 2) đẳng thức đúng VP 6 2  Giải sử đẳng thức đúng với nk ( k 2 ), tức là (kk 1)( 2) 1 2 3 (k 1) . 2 Ta chứng minh đẳng thức cũng đúng với nk 1 tức là chứng minh (kk 1) 1 ( 1) 2 1 2 3 (kk 1)  ( 1) 1 2 (k 1)( k 2) ( k 2)( k 3) k 11 22 (k 1)( k 2) 2 k 2 ( k 2)( k 3) k22 5 k 6 k 5 k 6 (đúng) Vậy đẳng thức đúng với mọi nn ,2. Bài 1: Chứng minh các đẳng thức sau bằng phƣơng pháp qui nạp tốn học: nn( 1) a. 1 2 3 n ,  n * 2 b. 1 3 5 (2nn 1) 2 , c. 2 4 6 2n n ( n 1) ; nn(3 1) d. 2 5 8 (3n 1) , 2 e.1.2 2.5 3.8 n . 3 n 1 n2 ( n 1), n( n 1)(2 n 1) f. 12 2 2 3 2 n 2 ; 6 nn22( 1) g. 13 2 3 3 3 n 3 ; 4 Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 50
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY n( n 1)( n 2) h. 1.2 2.3 3.4 nn ( 1) ;  n * 3 i. 1.4 2.7 3.10 n (3 n 1) n ( n 1)2 ; 1 1 1 1 n j. ; 1.2 2.3 3.4n ( n 1) n 1 1 1 1 1 n k. ; ; 1.5 5.9 9.13 (4n 3)(4 n 1) 4 n 1 l. 2 221 2nn 2 2,  nN* ; 1 1 1 1 n m. , ; 1.3 3.5 5.7 (2n 1)(2 n 1) 2 n 1 1 1 1 1 (n 3) n. ,nn , 4 ; 1.2 2.3 3.4 (n 3) n 2 n 2 2 2 nn 41 o. 12 3 2 5 2 2n 1 , n * ; 3 nn(3 1) p. 1 4 7 (3n 2) , n * ; 2 q. 4.2 8.5 12.8 4n 3 n 1 n2* 4 n 4 ,  n ; 1 r. 3 9 27 3nn 3 1 3 ,  n * ; 2 5n ( n 1)( n 2) s. 5.2 10.3 15.4 [5nn ( 1)] , n * ; 3 t. 10 20 30 10n 20 ( n 2)(5 n 5) , nn ,3 ; 1 1 1 1 1 u. 1  n * ; 2 4 8 2nn 2 1 2 3nn 2 v. 2  n * ; 2 4 8 2nn 2 1 w. 5 25 125 5nn 5 1 5 , n * ; 4 1 1 1 n 1 x. 1 1 1 , . 4 9 n2 2n Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 51
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY Bài 2: Chứng minh rằng  n * , ta cĩ: a.n(n+1)(n+2) 6 b. n(n + 1)(2n + 1) 6 c. (13n 1) 6 d. (32n+1 + 2n+2) 7 e. (4n +15n - 1) 9 f. n3 + 2n 3 Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 2 a. 3n > 3n + 1 b. 2n+1 > 2n + 3. CHỦ ĐỀ 2. DÃY SỐ Vấn đề 1: Số hạng, số hạng tổng quát của dãy số: 2n Bài 5: Cho dãy số (un): u n n2 1 9 a. Viết 5 số hạng đầu tiên; b. là số hạng thứ mấy của dãy số? 41 u1 3 Bài 6: Cho dãy số (un): uunn 1 2 a. Viết 5 số hạng đầu tiên; b.Tìm số hạng tổng quát của dãy số? n 1 Bài 7: Cho dãy số u n 21n 8 a. là số hạng thứ mấy của dãy số? b.Tìm số hạng thứ 9 của dãy số? 15 2 Bài 8: Cho dãy số (un) cĩ tổng Sn = 4n – 3n. Tìm số hạng tổng quát un ? ( Biết Sn = u1 + u2 + u3 + + un ) Bài 9: Viết số hạng tổng quát của dãy số tăng gồm các số nguyên dƣơng biết mỗi số hạng của dãy chia cho 5 dƣ 2? Bài 10: Tìm cơng thức tính số hạng tổng quát của các dãy số sau: u1 3 u1 1 u1 2 a. , n 1 ; b. 1 , n 1; c. ,  n 1 uunn 1 2 uunn 1 uunn 1 2 Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 52
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY Vấn đề 2: Dãy số tăng, dãy số giảm: un 1 Lập hiệu uunn 1 hoặc thương tùy dãy số. Nếu hiệu >0, hoặc un thương >1 thì dãy tăng. Nếu hiệu <0, hoặc thương <1 thì dãy giảm. 31n Bài 11. Cho dãy số u n n2 5 22 a. Viết 5 số hạng đầu tiên; b. là số hạng thứ mấy? 54 Bài 12. Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: a. unn 3 100; b. unn 5( 2) 19 ; c. ; n 3 35n 2n 10 2 d. un ; e. un ; f. un ; n 2 55n 5 3.2n 1 g. u ( 1)nn 2 1 ; h. u 17.5 n 3 ; i. u . n n n 5.2n 3 Vấn đề 3: Dãy số bị chặn: Phƣơng pháp: Chứng minh: un M,  n . Bài 13: Xét tính bị chặn của dãy số (un) với: nn2 1 1 a. u b. u n n2 1 n nn( 1) 1 1 1 c. un 212 d. u 1 n n 232 2n 2 Bài 14: Xét tính đơn điệu và bị chặn của dãy số (un) với: 1 a. b. u ( 1)n 1 .sin n n u1 2 * c. un = sin n + cos n d. , n N uunn 1 2 Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 53
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY Chƣơng 4: PHÉP DỜI HÌNH- PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG PHÉP TỊNH TIẾN Đặc trƣng Cơng thức Tịnh tiến theo v . kí hiệu : biến M thành x x x T MM' v v y y y M‟ sao cho MM' v MM' v PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC Đặc trƣng Cơng thức xxMM' Đối xứng trục d. Kí d Ox yyMM' hiệu Đd : biến M thành M‟ sao cho d là trung xxMM' d Oy trực của MM‟ yyMM' PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM Đặc trƣng Cơng thức Đối xứng tâm I .kí hiệu Đ : I xxMM' I là gốc O biến M thành M‟ sao cho I là yyMM' trung điểm của MM‟. xMIM' 2 x x I bất kỳ yMIM' 2 y y PHÉP VỊ TỰ Đặc trƣng Cơng thức Vị tự tâm I, tỉ số. Kí hiệuV(;)Ik : x x k() x x MIMI' biến M thành M‟ sao cho yMIMI' y k() y x IM' kIM x k() x x x MMII' yMMII' k() y x y Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 54
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY CHỦ ĐỀ 1: PHÉP TỊNH TIẾN: Ví dụ: Cho ABC(3; 2); (5;4); ( 1;9), (d ): 2 x 3 y 7 0 , ():(C x 2)22 ( y 5) 25. a. Tìm tọa độ ảnh của A qua phép tịnh tiến theo v( 4;7). b. Viết phương trình ảnh của d qua T . AB c. Viết phương trình đường trịn (CTC ') (( )) . 2BC Giải: x x x 3 ( 4) 1 AA' v a.Gọi ATA'() A'( 1;5). v y y y ( 2) 7 5 AA' v b. AB (5 3;4 ( 2)) (2;6).  Lấy M(,) xMM y d 2xyMM 3 7 0 (1). x x x x 2 MMM' xxMM ' 2  Gọi MTM'() AB (2) AB y y y y 6 yy 6 MMM' AB MM' Thay (2) vào (1) ta đƣợc: 2(xyMM'' 2) 3( 6) 7 0 2xyMM'' 3 21 0  Gọi d'() T d Md'' . AB Vậy d': 2 x 3 y 21 0 c. BC ( 6;5) 2BC (12;10) tâm I(2; 5)  (C ) có bán kính R=5 x x x 2 12 14 II' BC Gọi ITI'() 2 2BC y y y 5 10 5 II' 2BC tâm I'(14;5)  (C ') có bán kính R'=R=5 sVậy (C '):( x 14)22 ( y 5) 25 . Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 55
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY Bài 1: a.Cho , tìm Av 2;3 , 1;5 ATA' v b.Cho , tìm ảnh của B qua ; Bv 3;6 , 0;8 T 2v c. Tìm ảnh của C( 3;7) qua phép tịnh tiến theo vector 5DE với D(5; 2),E (6;8) Bài 2: a.Cho , tìm ():2d x 3 y 60; v 1;1 d' Tv d b.Cho , viết p.t ảnh của d qua . ():2d x 3 y 4 0; v 2;1 T5v c.Cho , tìm (d ) : x 5 0; v 2;6 d' T v d d.Cho , viết (d ) : y 5 x 4;A 2;3 ; B (5;10) d' TAB d e.Cho , tìm ():d y 6 0; A 3;4; B (4;9) d' T 3AB d 22 Bài 3: a.Cho , tìm C : x 2 y 7 144; v 3;8 CTC' v 2 b.Cho 2 , tìm C : x y 5 25; v 2; 5 CTC' 4v c. Cho 22 , viết C : x y 4 x 8 y 5 0; v ( 3;1) CTC' 3v d.Cho 2 2 , viết C : x 4 y 16; A 3;4 ; B ( 4;9) CTC' 2AB e.Cho C : x22 y 4 y 0; v 2;2 , tìm f.Cho 22 , viết pt C : x y 16 x 144; A 2;3 ; B (5;10) CTC' 3AB Bài 4: Cho ABC(2; 4); ( 7;6); ( 3;5) , (d ): 5 x 2 y 15 0 , (C ): x22 ( y 7) 169 . a.Tìm tọa độ ảnh của B qua phép tịnh tiến theo AC . b.Tìm ảnh của d qua T ; c.Tìm(CTC ') (( )) . AB 4BC Bài 5: Cho ABC(3; 5); ( 8;2); ( 1;6), (d ):3 x 8 y 12 0, (C ): x22 y 6 x 40 0 . a.Tìm tọa độ ảnh của C qua phép tịnh tiến theo vector 2AB . b.Tìm ảnh của d qua T ; c.Tìm(CTC ') (( )) . AC 3CB Bài 6: Cho ABC gọi M là trung điểm BC. a.Tìm ảnh của ABM qua phép tịnh tiến ? TBC Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 56
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY b.Tìm điểm D sao cho ? C = TBA (D ) c.Tìm ảnh của đtrịn đkính BM qua ? TAC Bài 7: Cho hình bình hành ABCD, tâm I. a.Tìm ảnh của đoạn AC qua ? TBD b.Tìm ảnh của ABC qua phép tịnh tiến ? TAD Bài 8: Trong mp Oxy cho v (2, 3) , A(–1, 2), B( - 3 , – 4) và đƣờng thẳng (d): 2x + 3y – 1 = 0 a.Tìm A' là ảnh của A qua phép tịnh tiến ? Tv b.Tìm B1 sao cho B là ảnh của B1 qua phép tịnh tiến ? c.Tìm ảnh của (d) qua phép tịnh tiến ? d.Tìm ảnh của đƣờng trịn (C): (x+1)2 + (y – 2)2 = 9 qua ? T 2v Bài 9: Trong mp Oxy cho đtrịn (C): x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0 và v (3, 1) . Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến ? Bài 10: Cho v 2; 1 , A(– 3, 2), B(5,-2), đƣờng thẳng d: 2x – 3y +1 = 0 & đƣờng trịn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + 1 = 0. Tìm ảnh của: a.Các điểm A ,B qua ; b. Đƣờng thẳng d qua T3v c. Đƣờng trịn (C) qua T 5v Bài 11: Cho A( 3, - 2), B(-5,2), đƣờng thẳng d: 3x – 2y +1 = 0 và đƣờng trịn 22 (C): xy 1 2 9 .Tìm ảnh của: a. Các điểm D( -1; -3), I ( tâm đƣờng trịn (C)) qua TAB b. Đƣờng thẳng d qua c) Đƣờng trịn (C) qua T 4BA T2AB CHỦ ĐỀ 2: PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC: Làm giống nhƣ phép tịnh tiến, chỉ thay cơng thức của phép đối xứng trục cho phù hợp. Bài 12: a.Cho A 2;3 , tìm A'() ĐAOx ; b.Cho B 3;6 , tìm B' ĐOx B Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 57
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY Bài 13: a.Cho (d ): 2 x 3 y 6 0, tìm d ' ĐOx d b.Cho (d ): 2 x 3 y 4 0 , tìm ĐOy c.Cho (dx ): 5 0 , tìm ĐOx d.Cho (d ): y 5 x 4 , tìm ĐOy e.Cho (dy ): 6 0, tìm ĐOx 22 Bài 14: a.Cho C : x 2 y 7 144 , viết pt C ' ĐOx C 2 2 b.Cho C : x y 5 25, tìm ĐOy 22 c. Cho C : x y 4 x 8 y 5 0 viết pt ĐOx 2 2 d.Cho C : x 4 y 16 , viết pt ĐOy 22 e.Cho C : x y 4 y 0 , tìm ĐOx 22 f.Cho C : x y 16 x 144 , viết pt C ' ĐCOy (( )) . Bài 15: Cho A(2; 4) , (d ): 5 x 2 y 15 0 , (C ): x22 ( y 7) 169 . a.Tìm tọa độ ảnh của A qua phép đối xứng trục Ox . b.Tìm ảnh của d qua ĐOy . c.Tìm(CĐC ') Ox (( )) . Bài 16: Cho B( 8;2), (d ):3 x 8 y 12 0, (C ): x22 y 6 x 40 0 . a.Tìm tọa độ ảnh của B qua . b.Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d'() ĐOx d . c.Tìm(C ')của đƣờng trịn ()C qua phép đối xứng trục Oy . Bài 17: Cho ABC, AH là đƣờng cao a.Tìm ảnh của ABH qua phép đối xứng trục ĐAC ? b.Tìm điểm D sao cho C = ĐAB(D)? c.Tìm ảnh của đtrịn đƣờng kính CH qua phép đối xứng trục ĐAB ? Bài 18: Trong mp Oxy cho A(–1, 2), B(4, 1), đt (d): x –y + 1= 0 và đƣờng trịn (C): x2 + y2 –2x + 4y – 4 = 0. a.Tìm ảnh của A, (d), (C) qua phép đối xứng trục Ox, Oy ? b.Tìm ảnh của A, ảnh của đƣờng AB qua phép đxứng trục Đd? c.Tìm ảnh của đtrịn (C) qua phép đối xứng trục Đd? Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 58
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY d.Tìm M trên Ox để (MA + MB) bé nhất? Bài 19: Trong mp Oxy cho A(–2, 3), B(4, -1), đt (d): 3x –2y + 1= 0 22 và đƣờng trịn (C): xy 3 1 4. Tìm ảnh của : a.A, d qua phép đối xứng trục ĐOx; b.B , (C) qua phép đối xứng trục ĐOy c.Đƣờng thẳng :xy 2 5 0 qua phép đối xứng trục Đd CHỦ ĐỀ 3: PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM: Làm giống nhƣ phép tịnh tiến, chỉ thay cơng thức của phép đối xứng tâm cho phù hợp. Bài 20: a.Cho A 2;3 , tìm A' ĐO A b.Cho BI 3;6 , 0;8 , tìm B' ĐI B c.Cho C 4;7 , tìm ảnh của C qua phép đối xứng gốc O. d.Cho DI 11; 2 , 4;3 , tìm tọa độ điểm D' ĐI D Bài 21: a.Cho (d ): 2 x 3 y 6 0, viết pt d ' ĐO d b.Cho (d ): 2 x 3 y 4 0 , I 2;5 , viết pt ĐI c.Cho (dx ): 5 0 , tìm pt ĐO d.Cho (d ): y 5 x 4 , I 4; 1 , tìm ĐI e.Cho (dy ): 6 0, I 2; 7 , tìm pt ĐI 22 Bài 22: a.Cho C : x 2 y 7 144 , tìm pt C ' ĐO C 2 2 b.Cho C : x y 5 25, I 2;5 , viết pt ĐI 2 2 c.Cho C : x 4 y 16 , tìm ĐO d. Cho C : x22 y 4 x 8 y 5 0 22 Cho C : x y 4 y 0 , I 3;4 , tìm ĐI 22 e.Cho C : x y 16 x 144 , I 5; 3 , viết pt ĐI Bài 23: Cho ABC(2; 4); ( 7;6); ( 3;5) ,(d ): 5 x 2 y 15 0 , (C ): x22 ( y 7) 169 . Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 59
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY a.Tìm ảnh B‟của B lần lƣợt qua phép đối xứng tâm O(0;0) và tâm C. b.Viết phƣơng trình ảnh của d qua Đ ; c.Tìm(CTC ') (( )) . A 4BC Bài 24: Cho ABC(3; 5); ( 8;2); ( 1;6),(d ):3 x 8 y 12 0, (C ): x22 y 6 x 40 0 . a.Tìm ảnh của C qua phép ; b.Tìm ảnh của d qua ĐB . c.Tìm(CĐC ') O (( )) . Bài 25: Cho hình bình hành ABCD, tâm O. a.Tìm ảnh của ABO qua phép đối xứng tâm O ? b.Tìm ảnh của ABC qua phép đối xứng tâm D ? Bài 26: Trong mp Oxy cho A(1, 2), B(–2, 3),đt (d): 3x –y + 9= 0 và đƣờng trịn (C): x2 + y2 + 2x – 6y + 6 = 0. a.Tìm ảnh của A, (d), (C) qua phép đối xứng tâm O ? b.Tìm ảnh của B qua phép đối xứng tâm A ? c.Tìm ảnh của (d), (C) qua phép đối xứng tâm B ? Bài 27: Trong mp Oxy cho A(2,- 3 ), B(–1, 4),đt (d): 2x –y + 1= 0 22 và đƣờng trịn (C): xy 3 1 9 .Tìm ảnh của : a.A, d , (C) qua phép đối xứng ĐO; b.B, (C) qua phép đối xứng ĐA c.A, d qua phép đối xứng ĐB CHỦ ĐỀ 4: PHÉP VỊ TỰ: Làm giống nhƣ phép tịnh tiến, chỉ thay cơng thức của phép vị tự cho phù hợp. Chú ý: bán kính đƣờng trịn ảnh bằng k lần bán kính đƣờng trịn ban đầu (tức là R'. k R ) Bài 28: a. Cho AI 2;3 , ( 4;7) , tìm AVA'() (I ;3) b. Cho B 3;6 , tìm ảnh của B qua phép vị tự tâm I 0;8 , tỉ số 4. Bài 29: a.Cho (d ): 2 x 3 y 6 0, tìm d' V(B ; 2) d với B(4; 2) . b. Cho (d ): 2 x 3 y 4 0 , C 2;5 , tìm d' V(C ;5) d . c. Cho (dx ): 5 0 , tìm ảnh của d qua phép vị tự tâm O(0;0), tỉ số k=3. Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 60
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY d. Cho (d ): y 5 x 4 , I 4; 1 , viết d'() V(I : 3) d . e. Cho (dy ): 6 0, I 2; 7 , viết pt ảnh của d qua V(I ; 4) . 22 Bài 30: a.Cho C : x 2 y 7 144 , viết pt CVC' (O ; 3) (( )) . 2 2 b.Cho C : x y 5 25, I 2;5 , tìm CVC' (I ; 1/2) (( )) . 2 2 c.Cho C : x 4 y 16 , viết pt ảnh của()C qua V(A ; 4) , A(2; 5) 22 d.Cho C : x y 4 y 0 , B 3;4 , tìm pt CVC' (B ;3/2) (( )) . 22 e.Cho C : x y 16 x 144 , D 5; 3 , viết CVC' (D ; 3) (( )) . Bài 31: Cho ABC(2; 4); ( 7;6); ( 3;5) ,(d ): 5 x 2 y 15 0 , (C ): x22 ( y 7) 169 . a.Tìm ảnh của A qua phép vị tự tâm C, tỉ số k=5. b.Viết phƣơng trình ảnh của d qua V(B ; 3) . c.Tìm(CVC ') (A ; 2) (( )) . Bài 32: Cho AB(3; 5); ( 8;2), (d ):3 x 8 y 12 0, (C ): x22 y 6 x 40 0 . a.Tìm ảnh của B qua V(A ; 3) b.Viết phƣơng trình đƣờng thẳng ảnh của d qua V(B ;4) . c.Viết phƣơng trình của (CVC ') (A ; 7) (( )). Bài 33: Trong mp Oxy cho đthẳng (d): 3x + 2y – 6 = 0. a.Tìm ảnh của (d) qua phép V(O,–2) ? b.Tìm ảnh của (d) qua phép V(O,3) ? Bài 34: Trong mp Oxy cho (C): (x – 3)2 + (y + 1)2 = 9. Tìm ảnh của (C) qua phép vị tự V(I,2) với I(1,2). Bài 35: Trong mặt phẳng Oxy cho B(1; -3), I(-1; -2), đƣờng thẳng d: 2x – y – 1= 0, đƣờng trịn (C) : x22 y 2x 4 y 1 0. Tìm ảnh của : a. B, I , d, (C) qua V(O,2) ;b.B, d, (C) qua V(I,-2) Bài 36: Trong mặt phẳng Oxy cho A(-1; 2), I(3; -1), đƣờng thẳng d: 2x + y – 22 1= 0, đƣờng trịn (C) : xy 3 1 9 . Tìm ảnh của : Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 61
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY a. I , d, (C) qua V(O,-3); b .A, d, (C) qua V(I, 4) CHỦ ĐỀ 5: PHÉP QUAY. Bài 37: Cho lục giác đều ABCDEF, tâm O, I là trung điểm AB. a.Tìm ảnh của AIF qua phép quay tâm O, gĩc 1200 ? b.Tìm ảnh của ABO qua phép quay tâm F, gĩc – 600 ? Bài 38: Trong mp Oxy cho A(3,3), B0,5), C(1,1) và đƣờng thẳng (d): 5x – 3y + 15 = 0. Hãy xác định tọa độ đỉnh của A'B'C' và phƣơng trình đƣờng thẳng (d') theo thứ tự là ảnh của ABC và đƣờng thẳng (d) qua phép quay tâm O, gĩc quay 900 ? Bài 39: Cho nửa đtrịn tâm O, đkính BC. Điểm A chạy trên nửa đƣờng trịn đĩ. Dựng phía ngồi ABC hình vuơng ABEF. Chứng minh rằng: E chạy trên nửa đƣờng trịn cố định ? BÀI TỔNG HỢP: Bài 40: Trong mp (Oxy), cho điểm A(5; 4) , đƣờng thẳng d:3 x 5 y 7 0 , đƣờng trịn (C ): x22 y 2 x 4 y 4 0 . a. Tìm phƣơng trình đƣờng thẳng d ' là ảnh của d qua phép đối xứng tâm A. b. Tìm phƣơng trình đƣờng thẳng (C ') là ảnh của ()C qua phép đối xứng trục Ox. Bài 41: Cho A(–1, –3), B(–5, 2), M(3,4); đthẳng (d): 3x + 2y – 1 = 0 và đƣờng trịn (C): x2 + y2 – 10x + 2y + 1 = 0 a.Tìm tọa độ M' là ảnh của M qua ? T 3AB b.Tìm ảnh của (d), (C) qua ? TAB c.Tìm ảnh của A, (D): x + y = 0 qua ĐOx, Đd ? d.Tìm ảnh của B, (d), (C) qua ĐO , ĐM ? e.Tìm ảnh của A, ( ): 3x – 5y +12 = 0 qua Q(O, ) ? 2 f. Tìm N trên (d) để AN + BN bé nhất ? Bài 42: Cho điểm A ( 1; -2) , B ( -3; 2), đƣờng thẳng d: 2x – 3y + 1 = 0 và đƣờng trịn (C) : x2 + y2 - 4x +2y – 4 = 0.Tìm ảnh của Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 62
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY a.Điểm A qua phép đối xứng tâm B b.Đƣờng thẳng d qua phép đối xứng trục Ox c.Đƣờng trịn (C) qua phép tịnh tiến AB d.Đƣờng trịn (T) đƣờng kính AB qua phép vị tự tâm O tỉ số - 2 . Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 63
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY Chƣơng 5: QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHƠNG GIAN 1. Các đối tƣợng và quan hệ liên thuộc trong khơng gian. Điểm Đƣờng thẳng Mặt phẳng . A d A B d mp (P) P Điểm A nằm trên d B nằm trong mp(P) ta viết BP (), (A thuộc d) ta d nằm trong (P) ta viết dP () hay viết: Ad ()Pd 2. Sự tƣơng giao giữa các đối tƣợng. ST Sự tƣơng giao giữa Sự tƣơng giao giữa T Đƣờng thẳng và đƣờng thẳng Mặt phẳng và mặt phẳng 1 Trùng nhau Trùng nhau 2 Song song Song song (Cùng mặt phẳng (Khơng cĩ điểm và khơng cĩ điểm chung) chung) 3 Cắt nhau Cắt nhau (Cùng mặt phẳng (Cĩ vơ số điểm và cĩ điểm chung lập thành chung) một đƣờng thẳng gọi là giao tuyến) 4 Chéo nhau (Khơng cùng nằm trên một mặt Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 64
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY phẳng nào cả) STT Sự tƣơng giao giữa Đƣờng thẳng và mặt phẳng 1 Đƣờng trong mặt- Mặt chứa đƣờng. 2 Song song (Khơng cĩ điểm chung) 3 Cắt nhau (cĩ đúng 1 điểm chung) 3. Cách biểu diễn một hình khơng gian. Nguyên tắc chung:  Phần nào bị che khuất biểu diễn bằng nét đứt.  Hai đƣờng thẳng song song vẫn đƣợc biểu diễn bởi hai đƣờng thẳng song song Cụ thể:  Hình thang đƣợc biểu diễn bằng hình thang.  Hình vuơng, hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành đƣợc biểu diễn bằng h.b.hành.  Tam giác đều, vuơng, cân, bất kì đƣợc biểu diễn bằng tam giác bất kì. 4. Một số hình cơ bản: Hình chĩp tứ giác bất kì Hình chĩp đáy là hình thang Hình chĩp đáy là hình bình hành Hình chĩp đáy tam giác (Tứ diện) Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 65
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY Hình lăng trụ (đáy tứ giác, tam Hình hộp giác, ) Hình chĩp cụt 5. Một số kí hiệu thể hiện đúng quan hệ liên thuộc : Cho A, B là các điểm, a, b, d là các đƣờng thẳng, (  ),( ) là các mặt phẳng. Aa , A () a  () A  a b Aa () A ()()  a ()()  6. Một số qui tắc trình bày. 1 2 A () Aa A ()()   Aa () A () A () 3 4 A ()()  d  () AB ()()   d ()()   B ()()  d  () Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 66
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY CHỦ ĐỀ 1: GIAO TUYẾN, GIAO ĐIỂM Vấn đề 1: Giao tuyến của hai mặt phẳng: Phƣơng pháp: Tìm 2 điểm APQ ()(), BPQ ()()đƣợc giao tuyến là AB. Tuy nhiên: Nếu 2 mặt phẳng (  ),( )cĩ một điểm chung A và chứa 2 đƣờng thẳng a, b song song với nhau thì giao tuyến của chúng là đƣờng thẳng x’Ax qua điểm A và song song với a, b. Nhớ: Đi tìm giao tuyến em ơi/ Tìm 2 giao điểm được rồi là xong Cách sau cũng dễ như khơng / 1 giao điểm với song song 2 đường. Bài 1: (0k)Cho hình bình hành ABCD, và điểm S khơng thuộc (ABCD). Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). Bài 2: (0k)Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là tứ giác cĩ các cặp cạnh đối khơng song song. M là điểm thuộc miền trong của tam giác SCD. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau: a.(SAD) và (SBC); b. (SAC) và (SBD); c. (SAB) và (SBC). d. (SBM) và (SCD); e. (ABM) và (SCD); f*. (ABM) và (SAC). Bài 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F là hai điểm trong đoạn AB và BC sao cho EA = EB, BF 3 FC . Tìm giao tuyến của mp (DEF) với các mp sau: a. (ABC), b.(BCD), c.(ABD), d.(ACD). Bài 4: (0k)Cho hình chĩp tứ giác S.ABCD với hai đƣờng thẳng AB và CD cắt nhau. Gọi A‟ là một điểm nằm giữa hai điểm S và A. Hãy tìm các giao tuyến của: a. (A‟CD) và (ABCD); b. (A‟CD) và (SCD), c.(A‟CD) và (SDA), d. (A‟CD) và (SAB), e*.(A‟CD) và (SBC). Bài 5: (0k) ( Tìm phương giao tuyến) Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình bình hành tâm O, M là trung điểm của SB. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau: a. (SAB) và (SDC); b. (SAD) và (SBC); c. (DMC) và (SAC), d. (DMC) và (SDC); e. (DMC) và (SAB); f. (DMC) và (SAD). Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 67
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY Bài 7: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lƣợt là trung điểm của SB, SD. Gọi P là điểm trên SC sao cho SP > PC. Tìm giao tuyến của (MNP) với các mặt phẳng: a. (SAC), b.(SAB), c.(SAD), d.(ABCD); e. Tìm thiết diện của (MNP) với hình chĩp S.ABCD (sẵn đây GV nĩi về thiết diện luơn) Bài 8: Cho hình chĩp S.ABCD, Tứ giác ABCD là hình thang tâm I đáy lớn DC 2 AB , F là trung điểm của SD. Tìm giao tuyến của các mặt phẳng sau a. (ABF) và (SAD); b.(ABF) và (SBD); c. (ABF) và (SAC); d. (ABF) và (SBC); e. (ABF) và (SDC); f.(SAD) và (SBC). Bài 9: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình bình hành. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng (SAB) và (SCD), (SAD) và (SBC). Bài 10: Cho tứ diện ABCD cĩ M, N lần lƣợt thuộc đoạn AB, AC sao AM AN cho . Xác định giao tuyến của (DBC) và (DMN). AB AC Bài 11: Cho hình chĩp tứ giác S.ABCD với hai đƣờng thẳng AB và CD cắt nhau. Gọi A‟ là một điểm nằm giữa hai điểm S và A, C‟ là điểm nằm SA'' SC giữa S và C sao cho . Hãy tìm các giao tuyến của: SA SC a. (SAB) và (SCD);b. (A‟C‟D) và (SDA), c.(A‟C‟D) và (ACD); d. (A‟C‟D) và (SBD), e.(A‟C‟D) và (SBC). Bài 12: Cho hình chĩp S.ABCD, cĩ đáy ABCD là hình thang tâm I đáy lớn . Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau:(SAB) và (SDC); (SAD) và (SBC). Bài 13: Cho bốn điểm A, B, C, D khơng đồng phẳng. Gọi M, N lần lƣợt là trung điểm của AD và BC. a.Xác định giao tuyến của (MBC) và (NAD) b.Cho I, J lần lƣợt là hai điểm nằm trên đoạn AB, AC. Xác định giao tuyến của (MBC) với (IJD). Bài 14: Cho tứ diện ABCD. Trên AB lấy điểm I và lấy J, K thuộc miền trong của tam giác BCD và ACD. a Gọi L là giao điểm của JK với (ABC). Tìm L. b.Tìm giao tuyến của (IJK) với các mặt của tứ diện ABCD. Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 68
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY Bài 15: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình bình hành tâm O. M là trung điểm của SB. Tìm thiết diện của m.phẳng (DMC) và hình chĩp. Bài 16: Cho hình chĩp S.ABCD, Tứ giác ABCD là hình thang tâm I đáy lớn DC 2 AB . F là trung điểm của SD. Tìm thiết diện của mặt phẳng (ABF) với hình chĩp. Bài 6: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lƣợt là trung điểm của AD, SB. Gọi K là điểm thuộc SC sao cho SK>KC. a.Tìm giao tuyến của (MNK) với (ABCD); suy ra giao tuyến của (MNK) với (SCD); b.Tìm giao tuyến của (MNK) với (SAB); c.Xác định thiết diện của (MNK) với hình chĩp. Vấn đề 2: Các bài tập tìm giao tuyến bằng cách tìm phương giao tuyến: Bài : Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lƣợt là trung điểm của BC, AC, M AD . Tìm giao tuyến của (MIJ) và (ABD). Bài: Cho hình chĩp S.ABCD đáy là hình thang cĩ đáy lớn AB. Gọi I, J lần lƣợt là trung điểm AD, BC, G là trọng tâm tam giác SAB. a. Tìm giao tuyến của (SIJ) và (SAB); b. Xác định giao tuyến của (GIJ) và (SAB); c. Xác đinh thiết diện của hình chĩp với (GIJ). Thiết diện là hình gì? Bài: Cho hình chĩp S.ABCD đáy là hình vuơng. Gọi I là trung điểm SB và K là trung điểm SD. a. Tìm ()()CDI SAB ; b. Tìm ()()AIK ABCD ; c. Tìm ()()KBC SAD . Vấn đề 3: Giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng: Phương pháp: Để xác định giao điểm của d với (Q). 1. Tìm mp (P) chứa đƣờng d; 2. Xác định giao tuyến ()()PQ  . 3. Xác định giao điểm Md  thì M là giao điểm cần tìm. Nhớ: Tìm giao điểm của đường với mặt/ Ta đi tìm mặt khác chứa đường. Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 69
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY Rồi tìm giao tuyến bình thường/ Điểm giao là điểm hai đường cắt nhau. Bài 17: (0k)Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lƣợt là trung điểm của AC và BC, K BD sao cho K khơng là trung điểm của BD. Tìm giao điểm của: a. CD với (MNK); b. AD với (MNK) Bài 18: (0k)Cho tứ diện ABCD. Trên AB, AC lấy 2 điểm M, N sao cho MN khơng song song với BC. Gọi O là một điểm trong tam giác BCD. Xác định: a. Giao tuyến của (OMN) với (BCD); b. Giao điểm của BD với (OMN); c. Giao điểm của DC với (OMN) Bài 19: (0k)Cho tứ diện SABC. Gọi M SA , N () SBC , P () ABC . a. Xác định giao điểm của MN và (ABC), suy ra giao tuyến của (MNP) và (ABC). b. Tìm giao điểm của AB và (MNP); c. Tìm giao điểm của NP và (SAB). Bài 20: Cho hình chĩp S.ABCD lấy M, N lần lƣợt thuộc các cạnh SC và BC. Tìm giao điểm của SD và (AMN), biết AN khơng song song với CD. Bài 21: Cho tứ diện S.ABC, , N SB sao cho MN cắt AB, O là điểm thuộc miền trong của (ABC). Tìm: a. Giao tuyến của (MNO) và (ABC); b. Giao tuyến của (MNO) và (SBC); c. Giao điểm của (MNO) với AB, BC, AC, SC; d. Giao điểm của MO và (SBC). Bài 22: Cho hình thang ABCD ( AB// CD ), S () ABCD , O là giao điểm của hai đƣờng chéo, M SB. a. Xác định giao tuyến của: (SAD) và (SBC), (SAC) và (SBD). b. Tìm giao điểm của SO với (MDC), SA với (MDC). Bài 23: Cho bốn điểm A, B, C, D khơng đồng phẳng. Gọi M, N lần lƣợt là trung điểm của AC, BC. Trên BD lấy P sao cho BP=2PD. a. Tìm giao điểm của CD với (NMP) b. Tìm giao tuyến của (MNP) với (ABD). Bài 24: Cho hình chĩp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là điểm bất kì trên SB, N là điểm trong (SCD).Tìm giao điểm của: a. MN và (ABCD); b. SC và (AMN) ; c. SD và (AMN); d. SA và (CMN). Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 70
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY Bài 25: Cho tứ giác ABCD nằm trong mặt phẳng (P) sao cho AB và CD khơng song song. S là điểm nằm ngồi (P), M là trung điểm của SC. Tìm giao điểm của: a. AM và (SBD); b. SD và (ABM). Bài 26: Cho tứ diện SABC cĩ I, J, K lần lƣợt là ba điểm nằm trong ba mặt phẳng (SAB), (SBC), (ABC). a.Tìm giao điểm của IJ và (ABC); b. Tìm giao tuyến của (IJK) và (ABC) suy ra giao điểm của (IJK) với AC, AB, BC. Bài 27: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là h.h.hành tâm O. Gọi M, N lần lƣợt là trung điểm các cạnh SC, AB. a. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng (SBD) và (SAC); (AMN) và (SCD). b. Tìm giao điểm P của AM và (SBD); giao điểm Q của MN và (SBD) (Thi HK1 năm 2007-2008/ đề A). Bài 28: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lƣợt là trung điểm của các cạnh SD, BC. a.Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng (SBD) và (SAC), (BMN) và (SAD). b.Tìm giao điểm P của BM và (SAC), giao điểm Q của MN và (SAC). (Thi HK1 năm 2007-2008/ đề B). Bài 29: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lƣợt là trung điểm của các cạnh SB, AB, K là điểm trên cạnh CD (K khơng là trung điểm của CD) a.Xác định giao tuyến của ()MNK và ()SBD ; ()MNK và ()SAC . b.Tìm giao điểm của ()MNK và BC; ()MNK và SC. c.Xác định thiết diện của hình chĩp S.ABCD với ()MNK . (Thi HK1 năm 2008-2009/ đề A). Bài 30: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ ABCD là hình thang (AD đáy lớn). Gọi M là trung điểm SD. Tìm: a. (SAB)  (SCD) ; ( SAC) ( SBD); (SAD) (SBC); b. BM ( SAC) ; SA ( BCM) c. Xác định thiết diện của hình chĩp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (BCM). (Thi HK1 năm 2009-2010/ đề A). Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 71
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY CHỦ ĐỀ 2: QUAN HỆ SONG SONG Vấn đề 1: Đường thẳng song song với đường thẳng: Phƣơng pháp: Để chứng minh a//b ta làm nhƣ sau: Cách 1. Chứng minh a, b cùng thuộc một mặt phẳng (một mặt phẳng tam giác nào đĩ) rồi chứng minh a, b khơng cắt nhau (dùng Talet đảo, đƣờng trung bình, cặp cạnh đối hình bình hành, ); Cách 2. Chứng minh chúng cùng song song với đƣờng thẳng thứ 3; Cách 3: Dùng tính chất “Hai mặt phẳng phân biệt lần lƣợt chứa hai đƣờng thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu cĩ) cũng song song với hai đƣờng thẳng đĩ”; Cách 4: Dùng định lí về giao tuyến của 3 mặt phẳng (3 giao tuyến hoặc đơi một song song hoặc đồng qui). Bài 31: Cho tứ diện ABCD cĩ I, J lần lƣợt là trọng tâm của tam giác ABC, ABD. Cmr: IJ//CD. Bài 31: Cho hình chĩp S.ABCD đáy là hình thang cĩ đáy lớn là AB. Gọi M, N lần lƣợt là trung điểm của SA, SB. Chứng minh: MN//CD. Bài 31: Cho hình chĩp S.ABCD đáy là hình bình hành. Gọi H, K lần SH SK 1 lƣợt là các điểm trên SA, SB sao cho . SA SB 3 a. Chứng minh HK//CD; b. Bài 32: Cho tứ diện ABCD. Lấy I, J lần lƣợt là trung điểm của BC, AC với M là điểm tùy ý trên AD. a.Xác định giao tuyến d của (MIJ) và (ABD). b.Gọi N là giao điểm của BD với d, K là giao điểm của IN với JM. Tìm giao tuyến của (ABK) và (MIJ). Bài 33: Cho tứ diện ABCD, gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, BC và Q là một điểm trên AD, P  CD() MNQ . CMR: PQ//MN, PQ//AC. Bài 34: Cho hình chĩp tứ giác S.ABCD cĩ đáy là tứ giác lồi. Gọi M, N, E, F lần lƣợt là trung điểm của các cạnh bên SA, SB, SC, SD. CMR: ME//AC, NF// BD. Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 72
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY Vấn đề 2: Đường thẳng song song với mặt phẳng: Phƣơng pháp: Để chứng minh đƣờng thẳng a// () Cách 1: Ta chứng minh a // b, b nằm trong mặt phẳng Bước 1: Chọn b  Bước 2: Chứng minh a//b. Cách 2: Ta chứng minh a nằm trong mặt phẳng () , // Bước 1: Chọn   a Bước 2: Chứng minh // . Bài 35 (ok): Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm tam giác ABD. Trên đoạn BC lấy M sao cho MB=2MC. Chứng minh rằng MG//(ACD). Bài 36 (ok): Cho tứ diện ABCD với G1, G2 là trọng tâm tam giác ACD, BCD. Cmr: G1G2// (ABC) và G1G2// (ABD). Bài 4 (ok). Cho hình chĩp S.ABCD đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lƣợt là trung điểm của AB, CD, SA. Chứng minh: a. MN//(SBC); b. MN//(SAD); c. SB//(MNP); d. SC//(MNP) Bài 37 (ok): Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình bình hành, G là trọng tâm SAB, I là trung điểm AB. Lấy M trong đoạn AD sao cho AD=3AM. a.Xác định giao tuyến của (SAD) và (SBC). b.Đƣờng thẳng qua M song song với AB cắt CI tại N. Chứng minh rằng: NG//(SCD), c*. Chứng minh: MG//(SCD). Bài 38 (ok): Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình bình hành, G là trọng tâm SAB, I là trung điểm AB. Lấy M trong đoạn SA sao cho MS=2MA. Lấy N thuộc đoạn IC sao cho IC=3IN. a. Xác định giao tuyến của (SAD) và (SBC); b.Chứng minh MG//(SCD); c. Chứng minh NG//(SBC); d.Xác định giao tuyến của (MNG) và (SAC); (MNG) và (ABCD). Bài 39: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thang, đáy lớn là AD, đáy nhỏ là BC và AD=2BC. Gọi O là giao điểm của AC và BD, G là trọng tâm của tam giác SCD. Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 73
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY a. Chứng minh rằng OG//(SBC). b. Gọi M là trung điểm của SD. Chứng minh rằng CM//(SAB). c. Gọi I là điểm nằm trên SC sao cho IS=2IC. Cmr: SA//(BDI). Bài 40: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M là điểm thuộc đoạn SB sao cho MS=2MB, G là trọng tâm tam giác SAC. a. Chứng minh rằng MG//(ABCD); b.Tìm giao tuyến của (AMG) với (ABCD); c.Tìm giao điểm của SC với (AMG); d. Xác định thiết diện của (AMG) với hình chĩp. Bài 40: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình bình hành với O là giao điểm của hai đƣờng chéo. Gọi M, N lần lƣợt là trung điểm của AB, AD. SI SJ 2 Gọi I, J lần lƣợt thuộc cạnh SM, SN sao cho . SM SN 3 a. Chứng minh: MN// (SBD); b. Chứng minh: IJ// (SBD); c. Chứng minh: SC// (IJO); Vấn đề 3: Mặt phẳng song song với mặt phẳng: Phương pháp: Cách 1. Để chứng minh () //() ta chứng minh : (),  ab ab, cắt nhau // a // ( ) b// ( ) Cách 2. Chứng minh chúng song song với mặt phẳng thứ 3. Bài 42: Cho tứ diện ABCD cĩ G1, G2, G3 lần lƣợt là trọng tâm của tam giác ABC, ACD, ABD. Chứng minh rằng: (G1G2G3)//(BCD). Bài 43: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình bình hành. Gọi M,N, P lần lƣợt là trung điểm SA, SB, BC. Chứng minh: (MNP)//(ABC) Bài 43: Cho hình chĩp S.ABCD đáy là hình thang cĩ đáy lớn AB. Gọi I, J, K lần lƣợt là trung điểm của SA, AD, SD. Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 74
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY a. Chứng minh (IJK)//(SCD); b. Gọi M là giao điểm của AC và JK. Chứng minh IM//(SBC). Bài 4 (ok). Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF khơng cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi M M AC, N BF sao cho MC=2AM, NF=2BN. Từ M, N lần lƣợt vẽ các đƣờng thẳng song song với AB, cắt AD tại M‟, cắt AF tại N‟. Chứng minh rằng: a. DF// (BCE); b. M‟N‟//(BCE); c. MN//(DEF). Bài 41: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A‟B‟C‟ . Gọi I, J, K lần lƣợt là tâm của các hình bình hành ACC‟A‟, BCC‟B‟; ABB‟A‟. Chứng minh rằng: a. IJ//(ABB‟A‟); b.JK//(ACC‟A‟); c. IK//(BCC‟B‟); d. (IJK)//(ABC); Bài 41: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lƣợt lad trung điểm của SA, SB, SD. a. Chứng minh: (OMN)// (SCD); b. Chứng minh: (PMN)// (ABCD); c. Gọi K, I lần lƣợt là trung điểm của BC, OM. Chứng minh: KI//(SCD) Bài 44: Cho 2 hình vuơng ABCD, ABEF ở trong hai mặt phẳng phân biệt. Trên các đƣờng chéo AC và BF lần lƣợt lần lƣợt lấy M, N sao cho AM=BN. Các đƣờng thẳng song song với AB vẽ từ M, N lần lƣợt cắt AD, AF tại M‟, N‟. Chứng minh rằng: a. (ADF)//(BCE); b. M‟N‟//DF; c. (DEF)//(MM‟NN‟); d. MN//(DEF). Bài 45: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A‟B‟C‟ . Gọi I, I‟ lần lƣợt là trung điểm của BC, B‟C‟. a. Chứng minh rằng: AI//A‟I‟; b. giao điểm của IA‟ với (AB‟C‟); c. giao tuyến của (AB‟C‟) và (A‟BC). Bài 46: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A‟B‟C‟ . Gọi H là trung điểm của A‟B‟. a. CMR: CB‟//(AHC‟); b. giao tuyến của (AB‟C‟) và (ABC). Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 75
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY CHỦ ĐỀ 3: THIẾT DIỆN CỦA HÌNH CHĨP VỚI MỘT MẶT PHẲNG Thiết diện của một hình chĩp với mặt phẳng () là phần chung của hình chĩp với mặt phẳng . Phương pháp: Để dựng thiết diện của một hình chĩp với mặt phẳng ta lần lƣợt làm nhƣ sau Bƣớc 1: Dựng giao tuyến của với một mặt nào đĩ của hình chĩp Bƣớc 2: Giới hạn đoạn giao tuyến là phần của giao tuyến nằm trong mặt đang xét của hình chĩp Tiếp tục hai bƣớc trên với các mặt khác của hình chĩp cho đến khi các đoạn giao tuyến khép kín tạo thành một đa giác, đa giác ấy là thiết diện. Bài 47: Cho tứ diện ABCD.Trên các cạnh BC,CD,AD lấy các điểm M,N,P.Dựng thiết diện của ABCD với mặt phẳng(MNP). Bài 48: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ AD khơng song song với BC.Trên cạnh SD lấy điểm M. Dựng thiết diện của hình chĩp với mặt phẳng (BCM). Bài 49: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ AD song song với BC.Trên cạnh SD lấy điểm M. Dựng thiết diện của hình chĩp với mặt phẳng (BCM). Bài 50: Cho tứ diện ABCD.Trên các cạnh AB,AC lấy 2 điểm M, N; trong tam giác BCD lấy điểm I. Dựng thiết diện của hình chĩp với mặt phẳng (MNI). Bài 51: Cho hình chĩp S.ABCD trên các cạnh SA,AB,BC lấy các điểm M, N, P.Dựng thiết diện của hình chĩp với mặt phẳng (MNP). Bài 52: Cho hình chĩp S.ABCD trên các cạnh SA,SB,SC lấy các điểm M,N,P. a.Tìm giao điểm MN  (ABCD) ; b.Tìm giao điểm NP (ABCD) c. Dựng thiết diện của hình chĩp với mặt phẳng(MNP) Bài 53: Cho tứ diện ABCD.Trong 3 tam giác ABC ,ACD và BCD lần lƣợt lấy 3 điểm M, N, P. a.Tìm giao điểm MN (BCD) ; b. Dựng thiết diện của tứ diện với mặt phẳng(MNP). Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 76
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY Bài 54: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình thang ABCD đáy lớn AB. Gọi M, N là trung điểm của SB và SC. a.Tìm giao tuyến (SAD)  (SBC); b.Tìm giao điểm SD (AMN); c. Dựng thiết diện của hình chĩp với mặt phẳng (AMN) Bài 55: Cho hình chĩp S.ABCD. Trong tam giác SCD ta lấy điểm M a. Tìm giao tuyến (SBM) (SAC); b.Tìm giao điểm của BM với (SAC) c. Dựng thiết diện của hình chĩp với mặt phẳng(ABM) Bài 56: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình thang ABCD với AB là đáy lớn. Gọi M và N lần lƣợt là trung điểm của các cạnh SB và SC. a. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC); b.Tìm giao điểm của đƣờng thẳng SD với mặt phẳng (AMN); c. Dựng thiết diện của hình chĩp với mặt phẳng (AMN). Bài 57: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình bình hành ABCD. Gọi H và K lần lƣợt là trung điểm các cạnh CB và CD, M là điểm bất kỳ trên cạnh SA. Dựng thiết diện của hình chĩp với mặt phẳng (MHK) Bài 58: Cho tứ diện đều ABCD cĩ cạnh bằng a. Gọi I là trung điểm của AD, J là điểm đối xứng với D qua C, K là điểm đối xứng với D qua B a. Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (IJK); b. Tính diện tích của thiết diện ấy. BÀI TỔNG HỢP Bài 59 (ok): Cho hình chĩp S.ABCD, đáy ABCD là h.bình hành tâm O. Gọi M, N lần lƣợt là trung điểm của SC và AB. a. Tìm giao tuyến của (MNO) và (SBC); b. Tìm giao tuyến của (MNO) và (SAB), c. Tìm giao tuyến của (MNO) và (SCD). d. Xác định thiết diện của (MNO) với hình chop S.ABCD. e. Tìm giao tuyến của (AMB) và (SBD), từ đĩ tìm giao điểm của M N với (SBD); d. Chứng minh SD//(MNO). Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 77
THPT ERNST THÄLMANN GV. LÊ QUỐC HUY Bài 60 (ok): Cho tứ diện ABCD, M là trọng tâm tam giác ABC, N là trung điểm của AD, P là trung điểm của CD. a. Tìm giao tuyến của (AMN) và (BCD). b. Tìm giao tuyến của (ABC) và (MNP). c. Tìm giao tuyến của (AMP) và(BCD). d.Tìm giao điểm của AB và mp(MNP). Suy ra thiết diện (MNP) với tứ diện ABCD. Thiết diện là hình gì? e. Gọi I, J lần lƣợt là trung điểm AB, BC. Chứng minh IJ//(MNP). Bài 61Cho hình chĩp S.ABCD đáy là hình thang, đáy lớn là AD và AD=2 BC. Gọi O là giao điểm của AC và BD, G là trọng tâm của tam giác SDC, N là trung điểm của SC, M là trung điểm SD,O‟ là giao điểm của AB và CD. a.Tìm giao tuyến của (SAB) và (SCD) b. Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC). b. Chứng minh:OG//BN suy ra OG//(SBC) c. Chứng minh C là trung điểm của O‟D. Từ đĩ chứng minh CM//(SAB). Bài 62: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lƣợt là trung điểm của SB và AB, K là điểm trên cạnh CD (K khơng là trung điểm của CD). a.Xác định giao tuyến của: (MNK) và (SBD); (MNK) và (SAC); b. Tìm giao điểm của (MNK) và BC; (MNK) và SC; c. Xác định thiết diện của hình chĩp S.ABCD và (MNK). Bài 63: (ok) Cho hình chĩp SABCD, đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lƣợt là trung điểm của SC và AB. a. Chứng minh NO// (SBC); suy ra ()()MNO SBC ; b.Tìm ()()AMB SBD ; c. Tìm giao điểm của MN với (SBD), d. Tìm giao điểm của SD với (AMB); e. Tìm giao tuyến của (AMB) và (SCD); f. Xác định thiết diện của (AMB) với hình chĩp S.ABCD. Bài 64: Cho tứ diện ABCD, M là một điểm thuộc miền trong tam giác BCD, N là trung điểm của AD, K là trung điểm của CD. a.Tìm giao tuyến của (BCN) và (ADM); Tài liệu học tập Tốn 11-HK1/2014/2015 Lưu hành nội bộ lớp Trang 78